高考一轮课时训练(理)6.3等比数列 (通用版)

第三节 等比数列
一、选择题
1．(2009年辽宁卷)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9
S 6＝( )
A ．2 B.7
3
C.8
3
D ．3 2．(2009年广东卷)已知等比数列{a n }满足a n ＞0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝( )
A ．n (2n －1)
B ．(n ＋1)2
C ．n 2
D ．(n －1)2
3．(2009年湖北卷)设x ∈R ，记不超过x 的最大整数为[x ]，令{x }＝x －[x ]，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫5＋12，⎣⎢⎡⎦
⎥⎤5＋12，5＋1
2( )
A ．是等差数列但不是等比数列
B ．是等比数列但不是等差数列
C ．既是等差数列又是等比数列
D ．既不是等差数列也不是等比数列
4．(2008年全国卷Ⅰ)已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝( ) A ．64 B ．81 C ．128 D ．243
5．已知等比数列{a n }中a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．(－∞，0)∪(1，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞) 二、填空题
6．(2009年宁夏海南)等比数列{a n }的公比q ＞0，已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4
＝________.
7．(2009年江苏卷)设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |＞1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,81}中则6q ＝________.
8．(2009年浙江卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16
T 12
成等比数列．
三、解答题
9．(2009年福建卷)等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .
10．(2009年辽宁卷)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列． (1)求{a n }的公比q ； (2)若a 1－a 3＝3，求S n ，
参考答案
1．解析：设公比为q ，则S 6S 3＝(1＋q 3
)S 3
S 3＝1＋q 3＝3⇒q 3＝2.
于是S 9S 6＝1＋q 3＋q 6
1＋q 3＝1＋2＋41＋2
＝73.
答案：B
2．解析：由a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)得a 2n ＝22n
，a n ＞0，则a n ＝2n ，
log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2. 答案：C
3．解析：可分别求得⎩
⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪
⎫5＋12＝5－12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋12＝1，则三数成等比数列． 答案：B
4．解析：由a 2＋a 3＝q (a 1＋a 2)＝3q ＝6，
∴q ＝2，∴a 1(1＋q )＝3，∴a 1＝1， ∴a 7＝26＝64. 答案：A
5．解析：∵等比数列{a n }中a 2＝1，∴S 3＝a 1＋a 2＋a 3 ＝a 2(1＋q ＋1q )＝1＋q ＋1
q
.
∴当公比q >0时，S 3＝1＋q ＋1
q ≥1＋2
q ·1q ＝3(当且仅当q ＝1
q
即q ＝1时取“＝”)； 当公比q <0时， S 3＝1－(－q －1
q
)≤1－2
－q ·(－1
q
)＝－1，
(当且仅当－q ＝－1
q 即q ＝－1时取等号)．
∴S 3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)，故选D. 答案：D
6．解析：由a n ＋2＋a n －1＝6a n 得：q n ＋1＋q n ＝6q n －1， 即q 2＋q －6＝0，q ＞0，解得：q ＝2，又a 2＝1， ∴a 1＝12，S 4＝1
2(1－24)1－2＝15
2.
答案：152
7．解析：{a n }有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中，四项－24,36，－54,81成等比数列，公比为q ＝－3
2
，6q ＝－9.
答案：－9
8．解析：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16
T 12成等比数列．
答案：T 8T 4 T 12
T 8
9．解析：(1)设{a n }的公比为q ，由已知得16＝2q 3，解得q ＝2. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2·2n －1＝2n . (2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32.
设{b n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＋2d ＝8b 1＋4d ＝32解得⎩⎪⎨⎪⎧
b 1＝－16
d ＝12
，
从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28， 所以数列{b n }的前n 项和 S n ＝n (－16＋12n －28)
2
＝6n 2－22n .
10．解析：(1)依题意有a 1＋(a 1＋a 1q )＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2) 由于a 1≠0，故2q 2＋q ＝0，又q ≠0，从而q ＝－1
2.
(2)由已知可得a 1－a 1⎝⎛⎭
⎫－1
22＝3，故a 1＝4. 故S n ＝4⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n 1－⎝⎛⎭
⎫－12＝83⎣⎡⎦⎤
1－⎝⎛⎭⎫－12n .。