高考数学总复习 第二章 第十四节导数在研究函数中的应用(二)课时精练 理

高考数学总复习 第二章 第十四节导数在研究函数中
的应用(二)课时精练 理
第十四节 导数在研究函数中的应用(二)
1.f (x )＝x 3
－3x 2
＋2在区间[]－1，1上的最大值是( ) A ．－2 B ．0 C ．2 D ．4
解析：f ′(x )＝3x 2
－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0，可得x ＝0或2(舍去)，当－1≤x ＜0时，f ′(x )＞0，当0＜x ≤1时，f ′(x )＜0，所以当x ＝0时，f (x )取得最大值为2.故选C.
答案：C
2．(2013·揭阳二模)已知函数f (x )＝1
x －ln （x ＋1）
，则y ＝f (x )的图象大致为
( )
解析：令g (x )＝x －ln (x ＋1)，则g ′(x )＝1－1x ＋1＝x x ＋1
， 由g ′(x )＞0，得x ＞0，即函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增， 由g ′(x )＜0得－1＜x ＜0，即函数g (x )在(－1,0)上单调递减， 所以当x ＝0时，函数g (x )有最小值，g (x )min ＝g (0)＝0，
于是对任意的x ∈(－1,0)∪(0，＋∞)，有g (x )≥0，故排除B 、D ，
因函数g (x )在(－1,0)上单调递减，则函数f (x )在(－1，0)上递增，故排除C ，故选A.
答案：A
3．(2013·淄博一检)已知a ≤1－x x ＋ln x 对任意x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2恒成立，则a 的最大值为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：设f (x )＝1－x x ＋ln x ，则f ′(x )＝－x ＋x －1x 2
＋1x ＝x －1x 2.当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1时，f ′(x )
＜0，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，1上单调递减；当x ∈(1,2]时，f ′(x )＞0，故函数f (x )在(1,2]上单调递增，∴f (x )min ＝f (1)＝0，∴a ≤0，即a 的最大值为0.
答案：A
4．函数f (x )满足f (0)＝0，其导函数f ′(x )的图象如下图所示，则f (x )在[－2,1]上的最小值为( )
A ．－1
B ．0
C ．2
D ．3
解析：易知f (x )为二次函数，且常数项为0，设f (x )＝ax 2
＋bx ，则f ′(x )＝2ax ＋b ，由图得导函数的表达式为f ′(x )＝2x ＋2，所以f (x )＝x 2
＋2x ，当x ＝－1时，f (x )在[－2,1]有最小值－1.故选A.
答案：A
5．已知函数y ＝x 3
－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝( ) A ．－2或2 B ．－9或3 C ．－1或1 D ．－3或1
解析：因为三次函数的图象与x 轴恰有两个公共点，结合该函数的图象，可得极大值
或者极小值为零即可满足要求．而f ′(x )＝3x 2
－3＝3(x －1)(x ＋1)，当x ＝±1时取得极值. 由f (1)＝0或f (－1)＝0可得c －2＝0或c ＋2＝0，即c ＝±2.故选A.
答案：A
6．函数f (x )＝x 2
－2ln x 的单调递减区间是____________．
解析：首先考虑定义域(0，＋∞)，由f ′(x )＝2x －2x ＝2（x 2
－1）
x
≤0及x >0知0<x ≤1.
答案：(0,1]
7．已知f (x )＝－x 2
＋mx ＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f (x )的极大值，则m 的取值范围是______．
解析：f ′(x )＝m －2x ，令f ′(x )＝0，则x ＝m 2，由题设得m
2
∈[－2，－1]，故m ∈[－4，
－2]．
答案：[－4，－2]
8．(2013·东莞二模改编)已知函数g (x )＝13
ax 3＋2x 2
－2x ，函数f (x )是函数g (x )的导
函数．
(1)若a ＝1，求g (x )的单调减区间；
(2)若对任意x 1，x 2∈R 且x 1≠x 2，都有f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 1＋x 22＜f x 1＋f x 22，求实数a 的取值
范围．
解析：(1)当a ＝1时，g (x )＝13
x 3＋2x 2－2x ，g ′(x )＝x 2
＋4x －2，
由g ′(x )＜0解得－2－6＜x ＜－2＋6，
∴当a ＝1时函数g (x )的单调减区间为 (－2－6，－2＋6)．
(2)易知f (x )＝g ′(x )＝ax 2
＋4x －2，
依题意知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22－f （x 1）＋f （x 2）2＝a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 1＋x 222＋4×x 1＋x 22－2－
ax 21＋4x 1－2＋ax 2
2＋4x 2－22＝－a 4
(x 1－x 2)2
＜0.
因为x 1≠x 2，所以a ＞0，即实数a 的取值范围是(0，＋∞)．
9．(2013·北京海淀区检测)已知函数f (x )＝x 2
＋2a 3x
＋1，其中a ＞0.
(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线y ＝1平行，求a 的值； (2)求函数f (x )在区间[1,2]上的最小值．
解析：f ′(x )＝2x －2a 3
x
2＝2（x 3
－a 3
）
x
2
，x ≠0. (1)由题意可得f ′(1)＝2(1－a 3
)＝0，解得a ＝1，
此时f (1)＝4，在点(1，f (1))处的切线为y ＝4，与直线y ＝1平行． 故所求的a 的值为1.
(2)由f ′(x )＝0可得x ＝a ，a ＞0，
①当0＜a ≤1时，f ′(x )＞0在[1,2]上恒成立， 所以y ＝f (x )在[1,2]上递增，
所以f (x )在[1,2]上的最小值为f (1)＝2a 3
＋2. ②当1＜a ＜2时，
x (1，a ) a (a,2) f ′(x ) － 0 ＋
f (x ) 极小值
由上表可得y ＝f (x )在[1,2]上的最小值为f (a )＝3a 2
＋1. ③由a ≥2时，f ′(x )＜0在[1,2]上恒成立， 所以y ＝f (x )在[1,2]上递减．
所以f (x )在[1,2]上的最小值为f (2)＝a 3
＋5.
综上讨论，可知：
当0＜a ≤1时，y ＝f (x )在[1,2]上的最小值为f (1)＝2a 3
＋2；
当1＜a ＜2时，y ＝f (x )在[1,2]上的最小值为f (a )＝3a 2
＋1；
当a ≥2时，y ＝f (x )在[1,2]上的最小值为f (2)＝a 3
＋5.。