2018版高中数学平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角导学案新人教A版必修4 含解析

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
学习目标 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直.
知识点一 平面向量数量积的坐标表示
设i ，j 是两个互相垂直且分别与x 轴、y 轴的正半轴同向的单位向量. 思考1 i ·i ，j ·j ，i ·j 分别是多少？
答案 i ·i ＝1×1×cos 0＝1，j ·j ＝1×1×cos 0＝1，i ·j ＝0.
思考2 取i ，j 为坐标平面内的一组基底，设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，试将a ，b 用i ，j 表示，并计算a ·b .
答案 ∵a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j ，
∴a ·b ＝(x 1i ＋y 1j )·(x 2i ＋y 2j )＝x 1x 2i 2
＋(x 1y 2＋x 2y 1)i ·j ＋y 1y 2j 2
＝x 1x 2＋y 1y 2. 思考3 若a ⊥b ，则a ，b 坐标间有何关系？ 答案 a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.
梳理 设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.
数量积 a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2 向量垂直
a ⊥
b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0
知识点二 平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式 思考1 若a ＝(x ，y )，试将向量的模|a |用坐标表示. 答案 ∵a ＝x i ＋y j ，x ，y ∈R ，
∴a 2
＝(x i ＋y j )2
＝(x i )2
＋2xy i·j ＋(y j )2 ＝x 2i 2
＋2xy i·j ＋y 2j 2
. 又∵i 2
＝1，j 2
＝1，i·j ＝0， ∴a 2
＝x 2
＋y 2
，∴|a |2
＝x 2
＋y 2
， ∴|a |＝x 2
＋y 2
.
思考2 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，如何计算向量AB →
的模？
答案 ∵AB →＝OB →－OA →
＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1) ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，
∴|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 梳理
向量
模长 a ＝(x ，y )
|a |＝x 2
＋y 2
以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为端点的向量AB →
|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2
知识点三 平面向量夹角的坐标表示
思考 设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？ 答案 cos θ＝
a·b |a||b|＝x 1x 2＋y 1y 2
x 21＋y 21 x 22＋y 2
2
.
类型一 平面向量数量积的坐标表示
例1 已知a 与b 同向，b ＝(1，2)，a·b ＝10. (1)求a 的坐标；
(2)若c ＝(2，－1)，求a (b·c )及(a·b )c .
解 (1)设a ＝λb ＝(λ，2λ)(λ>0)，则有a·b ＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2，4). (2)∵b·c ＝1×2－2×1＝0，a·b ＝10， ∴a (b·c )＝0a ＝0，
(a·b )c ＝10(2，－1)＝(20，－10).
反思与感悟 此类题目是有关向量数量积的坐标运算，灵活应用基本公式是前提，设向量一般有两种方法：一是直接设坐标，二是利用共线或垂直的关系设向量，还可以验证一般情况下(a ·b )·c ≠a ·(b ·c )，即向量运算结合律一般不成立.
跟踪训练1 向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，则(2a ＋b )·a 等于( ) A.－1 B.0 C.1 D.2
答案 C
解析 因为a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，所以2a ＋b ＝2(1，－1)＋(－1，2)＝(1，0)，则(2a ＋b )·a ＝(1，0)·(1，－1)＝1，故选C. 类型二 向量的模、夹角问题
例2 在平面直角坐标系xOy 中，O 是原点(如图).已知点A (16，12)，B (－5，15).
(1)求|OA →|，|AB →
|； (2)求∠OAB .
解 (1)由OA →
＝(16，12)， AB →
＝(－5－16，15－12)＝(－21，3)，
得|OA →|＝162＋122
＝20， |AB →|＝(－21)2＋32
＝15 2. (2)cos ∠OAB ＝cos AO →，AB →
＝
AO →·AB
→
|AO →||AB →|
.
其中AO →·AB →＝－OA →·AB → ＝－(16，12)·(－21，3) ＝－[16×(－21)＋12×3]＝300. 故cos ∠OAB ＝30020×152＝2
2.
∴∠OAB ＝45°.
反思与感悟 利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤： (1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积. (2)利用|a |＝x 2
＋y 2
求两向量的模.
(3)代入夹角公式求cos θ，并根据θ的范围确定θ的值.
跟踪训练2 已知a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角α为钝角，求λ的取值范围.
解 ∵a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)， ∴|a |＝2，|b |＝1＋λ2
，a ·b ＝λ－1.
又∵a ，b 的夹角α为钝角，
∴⎩⎨
⎧
λ－1<0，2·1＋λ2≠1－λ，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
λ<1，λ2
＋2λ＋1≠0.
∴λ<1且λ≠－1.
∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，1). 类型三 向量垂直的坐标形式
例3 (1)已知a ＝(－3，2)，b ＝(－1，0)，若向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( )
A.17
B.－17
C.16
D.－1
6 答案 B
解析 由向量λa ＋b 与a －2b 垂直，得 (λa ＋b )·(a －2b )＝0.
因为a ＝(－3，2)，b ＝(－1，0)， 所以(－3λ－1，2λ)·(－1，2)＝0， 即3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－17
.
(2)在△ABC 中，AB →＝(2，3)，AC →
＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，求k 的值. 解 ∵AB →＝(2，3)，AC →
＝(1，k )， ∴BC →＝AC →－AB →
＝(－1，k －3).
若∠A ＝90°，则AB →·AC →
＝2×1＋3×k ＝0，∴k ＝－23；
若∠B ＝90°，则AB →·BC →
＝2×(－1)＋3(k －3)＝0， ∴k ＝113
；
若∠C ＝90°，则AC →·BC →
＝1×(－1)＋k (k －3)＝0， ∴k ＝3±132
.
故所求k 的值为－23或113或3±13
2
.
反思与感悟 利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化，若在关于三角形的问题中，未明确哪个角是直角时，要分类讨论.
跟踪训练3 在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1，4)，B (－2，3)，C (2，－1)，若(AB →
－
tOC →)⊥OC →
，则实数t ＝____.
答案 －1
解析 ∵AB →
＝(－3，－1)， ∴AB →－tOC →
＝(－3－2t ，－1＋t )， 又∵OC →＝(2，－1)，(AB →－tOC →)⊥OC →， ∴(－3－2t )×2＋(－1＋t )·(－1)＝0. ∴t ＝－1.
1.已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 答案 B
解析 ∵|a |＝10，|b |＝5，a ·b ＝5.
∴cos〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝510×5＝22
.
又∵a ，b 的夹角范围为[0，π]. ∴a 与b 的夹角为π
4
.
2.已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC 等于( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.120° 答案 A
解析 ∵|BA →|＝1，|BC →
|＝1， ∴cos ∠ABC ＝
BA →·BC
→
|BA →||BC →|
＝32，
∴∠ABC ＝30°.
3.已知向量m ＝(λ＋1，1)，n ＝(λ＋2，2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ等于( ) A.－4 B.－3 C.－2 D.－1 答案 B
解析 因为m ＋n ＝(2λ＋3，3)，m －n ＝(－1，－1)，
由(m ＋n )⊥(m －n )，可得(m ＋n )·(m －n )＝(2λ＋3，3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.
4.已知平面向量a ，b ，若a ＝(4，－3)，|b |＝1，且a·b ＝5，则向量b ＝____________. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫4
5
，－35
解析 ∵|a |＝5，cos 〈a ，b 〉＝a·b
|a ||b |＝1，
∴a ，b 方向相同，∴b ＝15a ＝(45，－3
5).
5.已知a ＝(4，3)，b ＝(－1，2). (1)求a 与b 的夹角的余弦值；
(2)若(a －λb )⊥(2a ＋b )，求实数λ的值. 解 (1)∵a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2， |a |＝42
＋32
＝5，|b |＝(－1)2
＋22
＝5，
∴cos〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝255＝25
25
.
(2)∵a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7，8)， (a －λb )⊥(2a ＋b )，
∴(a －λb )·(2a ＋b )＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0， ∴λ＝529
.
1.平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径.准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程.同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具.
2.应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力.
3.注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.
4.事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角”的范围，稍不注意就会带来失误与错误.
课时作业
一、选择题
1.已知向量a ＝(－5，6)，b ＝(6，5)，则a 与b ( ) A.垂直 B.不垂直也不平行 C.平行且同向 D.平行且反向
答案 A
解析 ∵a·b ＝－5×6＋6×5＝0， ∴a ⊥b .
2.已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A.1 B. 2 C.2 D.4
答案 C
解析 ∵(2a －b )·b ＝2a ·b －|b |2
＝2(－1＋n 2
)－(1＋n 2
)＝n 2
－3＝0， ∴n 2
＝3，∴|a |＝12
＋n 2
＝2.
3.若向量a ＝(1，2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( ) A.－π4
B.π6
C.π4
D.3π4
答案 C
解析 ∵2a ＋b ＝2(1，2)＋(1，－1)＝(3，3)，
a －
b ＝(1，2)－(1，－1)＝(0，3)，
∴(2a ＋b )·(a －b )＝9， |2a ＋b |＝32，|a －b |＝3.
设所求两向量夹角为α，则cos α＝932×3＝2
2，
∵0≤α≤π，∴α＝π
4
.
4.若a ＝(2，－3)，则与向量a 垂直的单位向量的坐标为( ) A.(3，2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫
31313
，21313
C.⎝
⎛⎭⎪⎫31313
，21313或⎝ ⎛⎭⎪⎫－31313，－21313
D.以上都不对 答案 C
解析 设与a 垂直的向量为单位向量(x ，y )， ∵(x ，y )是单位向量， ∴x 2
＋y 2
＝1，即x 2
＋y 2
＝1， ①
又∵(x ，y )表示的向量垂直于a ， ∴2x －3y ＝0，
②
由①②得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝
31313，
y ＝21313
或⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－313
13，y ＝－21313
.
5.已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m 等于( ) A.－2 B.－1 C.1 D.2
答案 D
解析 因为a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，所以c ＝m a ＋b ＝(m ＋4，2m ＋2)，所以a ·c ＝m ＋4＋2(2m ＋2)＝5m ＋8，b ·c ＝4(m ＋4)＋2(2m ＋2)＝8m ＋20. 因为c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，
所以a ·c |a ||c |＝b ·c |b ||c |，即a ·c |a |＝b ·c
|b |
，
所以5m ＋85＝8m ＋2025，
解得m ＝2，故选D.
6.已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－3).若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－7
3，－79
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫73，79 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－7
9
，－73
答案 D
解析 设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)， ∵(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.
① 又∵c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.
②
由①②解得x ＝－79，y ＝－7
3.
二、填空题
7.已知a ＝(3，3)，b ＝(1，0)，则(a －2b )·b ＝________. 答案 1
解析 a －2b ＝(1，3)， (a －2b )·b ＝1×1＋3×0＝1.
8.已知A (－3，0)，B (0，3)，O 为坐标原点，C 在第二象限，且∠AOC ＝30°，OC →＝λOA →
＋OB →
，则实数λ的值为________.
答案 1
解析 由题意知OA →＝(－3，0)，OB →
＝(0，3)， 则OC →
＝(－3λ，3)，
由∠AOC ＝30°知，以x 轴的非负半轴为始边，OC 为终边的一个角为150°， ∴tan 150°＝3－3λ，即－33＝－3
3λ
，∴λ＝1.
9.已知a ＝(1，3)，b ＝(2＋λ，1)，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________.
答案 (－5，－53)∪(－5
3，＋∞)
解析 由a 与b 的夹角为锐角， 得a ·b ＝2＋λ＋3＞0，λ＞－5， 当a ∥b 时，(2＋λ)×3－1＝0，λ＝－5
3.
故λ的取值范围为λ＞－5且λ≠－5
3
.
10.已知点A (1，－2)，若向量AB →与a ＝(2，3)同向，且|AB →
|＝213，则点B 的坐标为________. 答案 (5，4)
解析 设AB →
＝(2λ，3λ)(λ>0)， 则|AB →|＝4λ2＋9λ2
＝213， ∴13λ2
＝13×22
，∴λ＝2， ∴AB →
＝(4，6)，
∴OB →＝OA →＋AB →
＝(1，－2)＋(4，6)＝(5，4). ∴点B 的坐标为(5，4). 三、解答题
11.已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1，2). (1)若|c |＝25，且c 与a 方向相反，求c 的坐标； (2)若|b |＝
5
2
，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ. 解 (1)设c ＝(x ，y )， 由c ∥a 及|c |＝25，
可得⎩⎪⎨⎪⎧
1·y －2·x ＝0，x 2＋y 2
＝20，
所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2，y ＝4或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－2，
y ＝－4，
因为c 与a 方向相反， 所以c ＝(－2，－4). (2)因为(a ＋2b )⊥(2a －b )， 所以(a ＋2b )·(2a －b )＝0， 即2a 2
＋3a ·b －2b 2
＝0， 所以2|a |2
＋3a ·b －2|b |2
＝0， 所以2×5＋3a ·b －2×5
4＝0，
所以a ·b ＝－5
2
.
所以cos θ＝a ·b
|a ||b |
＝－1.
又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π.
12.已知三个点A (2，1)，B (3，2)，D (－1，4). (1)求证：AB ⊥AD ；
(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 两条对角线所成的锐角的余弦值. (1)证明 ∵A (2，1)，B (3，2)，D (－1，4)， ∴AB →＝(1，1)，AD →
＝(－3，3)， 又∵AB →·AD →
＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB →⊥AD →
，即AB ⊥AD .
(2)解 ∵AB →⊥AD →
，四边形ABCD 为矩形， ∴AB →＝DC →.
设C 点坐标为(x ，y )，则AB →＝(1，1)，DC →
＝(x ＋1，y －4)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝5.
∴C 点坐标为(0，5).
由于AC →＝(－2，4)，BD →＝(－4，2)，
所以AC →·BD →＝8＋8＝16>0，
|AC →|＝2 5，|BD →|＝2 5.
设AC →与BD →的夹角为θ，
则cos θ＝AC ，→·BD →|AC →||BD →|＝1620＝45
>0， ∴矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为45
. 13.平面内有向量OA →＝(1，7)，OB →＝(5，1)，OP →＝(2，1)，点Q 为直线OP 上的一个动点.
(1)当QA →·QB →取最小值时，求OQ →的坐标；
(2)当点Q 满足(1)的条件和结论时，求cos ∠AQB 的值.
解 (1)设OQ →＝(x ，y )，
∵Q 在直线OP 上，
∴向量OQ →与OP →共线.
又∵OP →＝(2，1)，∴x －2y ＝0，
∴x ＝2y ，
∴OQ →＝(2y ，y ).
又∵QA →＝OA →－OQ →＝(1－2y ，7－y )，
QB →＝OB →－OQ →＝(5－2y ，1－y )，
∴QA →·QB →＝(1－2y )(5－2y )＋(7－y )(1－y )
＝5y 2－20y ＋12＝5(y －2)2－8.
故当y ＝2时，QA →·QB →有最小值－8，此时OQ →＝(4，2).
(2)由(1)知：QA →＝(－3，5)，QB →＝(1，－1)，
QA →·QB →＝－8，|QA →|＝34，|QB →|＝2，
∴cos ∠AQB ＝QA →·QB →
|QA →||QB →|＝－834×2
＝－41717
. 四、探究与拓展 14.已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a ·b ＝3，则向量b 的坐标为________.
答案 (12，32
) 15.已知OA →＝(4，0)，OB →＝(2，23)，OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →(λ2≠λ).
(1)求OA →·OB →及OA →在OB →上的投影；
(2)证明A ，B ，C 三点共线，且当AB →＝BC →时，求λ的值；
(3)求|OC →|的最小值.
解 (1)OA →·OB →＝8，设OA →与OB →的夹角为θ，
则cos θ＝OA →·OB →|OA →||OB →|
＝84×4＝12， ∴OA →在OB →上的投影为|OA →|cos θ＝4×12
＝2. (2)AB →＝OB →－OA →＝(－2，23)，BC →＝OC →－OB →
＝(1－λ)OA →－(1－λ)OB →＝(λ－1)AB →，
所以A ，B ，C 三点共线.
当AB →＝BC →时，λ－1＝1，所以λ＝2.
(3)|OC →|2＝(1－λ)2OA →2＋2λ(1－λ)OA →·OB →＋λ2OB →2＝16λ2－16λ＋16＝16(λ－12
)2＋12， ∴当λ＝12时，|OC →|取到最小值，为2 3.。