流体力学泵与风机 蔡增基 第五版 下 答案

1.描绘出下列流速场 解：流线方程： y x u dy u dx = （a ）4=x u ，3=y u ，代入流线方程，积分：c x y +=4
3
直线族
（b ）4=x u ，x u y 3=，代入流线方程，积分：c x y +=28
3
抛物线族
（c ）y u x 4=，0=y u ，代入流线方程，积分：c y =
直线族
（d ）y u x 4=，3=y u ，代入流线方程，积分：c y x +=23
2
抛物线族
（e ）y u x 4=，x u y 3-=，代入流线方程，积分：c y x =+2243
椭圆族
（f ）y u x 4=，x u y 4=，代入流线方程，积分：c y x =-22
双曲线族
（g ）y u x 4=，x u y 4-=，代入流线方程，积分：c y x =+22
同心圆
（h ）4=x u ，0=y u ，代入流线方程，积分：c y =
直线族
（i ）4=x u ，x u y 4-=，代入流线方程，积分：c x y +-=2
2
抛物线族
（j ）x u x 4=，0=y u ，代入流线方程，积分：c y =
直线族
（k ）xy u x 4=，0=y u ，代入流线方程，积分：c y =
直线族
（l ）r c u r =，0=θu ，由换算公式：θθθsin cos u u u r x -=，θθθcos sin u u u r y += 2
20y x cx r x r c u x +=-=，220y x cy r y r c u y +=+= 代入流线方程积分：
c y x =
直线族
（m ）0=r u ，r c u =θ，220y x cy r y r c u x +-=-=，220y x cx r x r c u y +=+= 代入流线方程积分：c y x =+22
同心圆
2.在上题流速场中，哪些流动是无旋流动，哪些流动是有旋流动。

如果是有旋流动，它的旋转角速度的表达式是什么？
解：无旋流有：x u y u y x ∂∂=∂∂（或r
r u u r ∂∂=∂∂θθ） （a ），（f ），（h ），（j ），（l ），（m ）为无旋流动，其余的为有旋流动
对有旋流动，旋转角速度：)(21y
u x u x y ∂∂-∂∂=ω （b ）23=
ω （c ）2-=ω （d ）2-=ω （e ）2
7-=ω （g ）4-=ω （i ）2-=ω （k ）x 2-=ω
3.在上题流速场中，求出各有势流动的流函数和势函数。

解：势函数⎰+=dy u dx u y x ϕ
流函数⎰-=dx u dy u y x ψ
（a ）⎰+=+=y x dy dx 3434ϕ
y x dx dy 4334+-=-=⎰ψ
（积分；路径可以选择）（d ）积分路径可以选
0,0:0,0,0==→y dy x
x x dx y x x ==→,0:,0,
x y dx ydy dx ydy 3234342-=-=-=⎰⎰⎰ψ
（e ）⎰⎰⎰⎰-+=-+=y
y x x xdy dx y xdy ydx 0034340ϕ 取),(00y x 为)0,0(则
积分路线可选
其中0,0:0,0,0==→y dy x
x x dx y x x ==→,0:,0,
222
3234x y xdx ydy +=--=⎰⎰ψ
（g ）积分路径可以选
0,0:0,0,0==→y dy x x x dx y x x ==→,0:,0,
2222)4(4x y dx x ydy +=--=⎰ψ
（L ）积分路径可以选
0,0:0,0,0==→y dy x
x x dx y x x ==→,0:,0, ()⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+⋅=+-+=++=+++=+==+=+==
-=⎰⎰222222
22
222222
2)(1arctan ln 2
ln sin sin cos x y c dx y x cy dy y x cx y x c x c dy y x cy dx y x cx y x cy r y r c con u u u y x cx r x r c u u u r y r x ψϕθθθθθθ流函数
势函数
其中均可以用上图作为积分路径图
4.流速场为r
c u u a r ==θ,0)(，r u u b r 2,0)(ωθ==时，求半径为1r 和2r 的两流线间流量的表达式。

解：ψ
d dQ = ⎰⎰-=dr u rd u r θθψ
⎰-=-=r c dr r
c a ln )(ψ ∴211212ln
)ln (ln r r c r c r c Q =---=-=ψψ ⎰-=-=2)(2
22r rdr b ωωψ
∴)(222212
12r r Q -=-=ωψψ
5.流速场的流函数是323y y x -=ψ。

它是否是无旋流动？如果不是，计算它的旋转角速度。

证明任一点的流速只取决于它对原点的距离。

绘流线2=ψ。

解：xy x 6=∂∂ψ y x
622=∂∂ψ 2233y x y
-=∂∂ψ y y 622-=∂∂ψ ∴+∂∂22x ψ022=∂∂y ψ 是无旋流 2233y x y u x -=∂∂=ψ xy x
u y 6-=∂∂-=ψ ∴222223)(3r y x u u u y x =+=+= 即任一点的流速只取决于它对原点的距离
流线2=ψ即2332=-y y x
用描点法：
2)3(22=-y x y
2
3,21
,1±
==±==x y x y （图略）
6.确定半无限物体的轮廓线，需要哪些量来决定流函数。

要改变物体的宽度，需要变动哪些量。

以某一水平流动设计的绕流流速场，当水平流动的流速变化时，流函数是否变化？
解：需要水平流速0v ，半无限物体的迎来流方向的截面A ，由这两个参数可得流量A v Q 0=。

改变物体宽度，就改变了流量。

当水平流速变化时，ψ也变化 x
y arctg Q y v πψ20+
= 7.确定朗金椭圆的轮廓线主要取决于哪些量？试根据指定长度m l 2=，指定宽度m b 5.0=，设计朗金椭圆的轮廓线。

解：需要水平流速0v ，一对强度相等的源和汇的位置a ±以及流量Q 。

)(20a
x y arctg a x y arctg Q y v --++=πψ
驻点在2
,0l x y ±==处，由5.0,2==b l 得椭圆轮廓方程：1)25.0(1222=+y x 即：1162
2=+y x
8.确定绕圆柱流场的轮廓线，主要取决于哪些量？已知m R 2=，求流函数和势函数。

解：需要流速0v ，柱体半径R θψsin )(2
0r
R r v -= ∵2=R ∴θψsin )4
(0r
r v -= θϕcos )(2
0r
R r v += ∵2=R ∴θϕcos )(2
0r
R r v += 9.等强度的两源流，位于距原点为a 的x 轴上，求流函数。

并确定驻点位置。

如果此流速场和流函数为vy =ψ的流速场相叠加，绘出流线，并确定驻点位置。

解：叠加前
)(2a x y arctg a x y arctg Q -++=
πψ ))()((22
222a x y a x a x y a x Q y u x -+-++++=∂∂=πψ ))
()((22222a x y y a x y y Q x u y -++++=∂∂-=πψ 当0=x )(22a y Qy u y +=
π 0=x u 0=y )11(2a
x a x Q u x -++=π 0=y u ∴驻点位置)0,0( 叠加后)(2a
x y arctg a x y arctg Q vy -+++=πψ 流速为零的条件：0)
(2)(20=-+++=∂∂==a x Q a x Q v y u y x ππψ
解得：⎥⎦⎤⎢
⎣⎡+±-=22)2(21v a Q Q v x ππ 即驻点坐标：⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢
⎣⎡+--0,)2(2122v a Q Q v ππ
⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢
⎣⎡++-0,)2(2122v a Q Q v ππ 10.强度同为s m /602的源流和汇流位于x 轴，各距原点为m a 3=。

计算坐标原点的流速。

计算通过)4,0(点的流线的流函数值，并求该点流速。

解：)(2a
x y arctg a x y arctg Q --+=πψ s m a x a x y a x a x y Q y u a Q y x /37.61111112223
,60,0=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=∂∂====πψ 0=y u
)4,0(的流函数：3
4)3434(2arctg Q arctg arctg Q ππψ=--= s m a x a x y a x a x y Q y u a y x Q x /25180)1)(111)(11(22
23,4,0,60ππψ=-++-+++=∂∂===== 0=y u
11.为了在)5,0(点产生10的速度，在坐标原点应加强度多大的偶极矩？过此点的流函数值为何？ 解：202R v M π=
将5,100==R v 代入得：π500=M
r
M πθψ2sin -
= 将5,1sin ,500====R r M θπ代入得：50-=ψ 12.强度为s m /2.02的源流和强度为s m /12的环流均位于坐标原点，求流函数和势函数，求
)5.0,1(m m 的速度分量。

解：r Q ln 22πΓπθψ+=，θπΓπϕ2ln 2+=r Q ，r
Q u r π2= 将225.01,2.0+==r Q 代入得：s m u r /0284.0=
r
u πΓθ2-= 将225.01,1+==r Γ代入得：s m u /142.0-=θ
1.弦长为3m 的飞机机翼以300km/h 的速度，在温度为20℃，压强为1at （n ）的静止空气中飞行，用比例为20的模型在风洞中作试验，要求实现动力相似。

(a) 如果风洞中空气温度、压强和飞行中的相同，风洞中的空气速度应该怎样？(b) 如果在可变密度的风洞中作实验，温度为20℃, 压强为30at(n), 则速度为多少？(c) 如果模型在水中作实验，水温20℃，则速度为多少？
解：雷诺准数相等
（a ）=υn
n L v υm
m L v
=m v n v m
n L L =300⨯20=6000km/h 不可能达到此速度，所以要改变实验条件
（b ） ∵等温c P =ρ，μ不变，μ
μρυpvl vl vl →==Re 得n m v v =m n L L m n P P =300⨯20⨯30
1=200km/h （c ）由气υn n L v =水υm
m L v 得m n n m L L v v 水气υυ==300⨯20×7
.15007.1=384km/h 2.长1.5m ，宽0.3m 的平板在20℃的水内拖曳，当速度为3m/s 时，阻力为14N ，计算相似板的尺寸，它的速度为18m/s ，绝对压强101.4kN/m 2，温度15℃的空气气流中形成动力相似条件，它的阻力为多少？ 解：由雷诺准数相等：
22211
1υυL v L v =⇒水υλl 3=
υ18⇒l λ=0.4 且v l λλλυ=
m L =l
n
L λ=4051..=3.75m （长） m L =l n L λ=
4.03.0=0.75m （宽） F m
F λ=14=226.12.998)2.15007.1(2222==ρυρλλλλλl v 解得：N F m 92.3=
3.当水温为20℃.平均速度为
4.5m/s 时，直径为0.3m 水平管线某段的压强降为68.95kN/m 2，如果用比例为6的模型管线，以空气作为工作流体，当平均速度为30m/s 时，要求在相应段 产生5
5.2kN/m 2的压强降。

计算力学相似所要求的空气压强，设空气的温度20℃
解：由欧拉准则：32222/1830
2.555.42.99895.68m kg v p v p m m m n n n =⇒⨯=⨯⇒=ρρρ∆ρ∆ 因RT p
=ρ，()abs at p p p p m m n n m m
1518
205.11=⇒=⇒=ρρ 4.拖曳比例为50的船模型，以4.8km/h 航行所需的力为9 N 。

若原型航行主要受(a) 密度和重力；(b) 密度和表面张力；(c)密度和粘性力的作用，计算原型相应的速度和所需的力。

解：（a ）弗诺德准则：h km v L L v L v L v F F F F m m
n n m m n n Gm Gn In /9.3322Im =⨯=⇒=⇒= kN F F F n l l v m
n 11259503322
=⨯=⇒==λλλλρ (b) 韦伯准则：N km v L v L v F F F F n m m n n m n In /678.08.450
122Im =⨯=⇒=⇒=σρσρσσ N F F F n l l v m
n 4505022
=⇒===λλλ (c) 雷诺准则：h km v L v L v F F F F n m m n n m n In /096.08.450
1Im =⨯=⇒=⇒=υυνν N F F F n l v m
n 91=⇒==λλ 5.小型水面船只和溢水建筑的原型和模型所受重力、粘性力和表面张力可能有同样的重要性。

为了实现动力相似，粘性力、表面张力和模型尺寸之间，应当有什么关系？
解：如果r F 与Re 相等
l v υ
⇒:Re l v F r ⇒: ∴32
v
l λλ= 如果e W 与Re 相等
l v W e ρσ⇒: l v υ⇒:Re ∴2υ
σρλλλλl
= ∵23222υσρλλλλλλλλl v l v I == 21:l v Fr λλ= ∴24υσλλλλl I = ∵32v l λλ= ∴32
υσλλλ=I 6.为了决定吸风口附近的流速分布，取比例为10作模型设计。

模型吸风口的速度为13m/s ，距风口轴线0.2m 处测得流速为0.5m/s ，若实际风口速度为18m/s 怎样换算为原型的流动速度？
解m l l l m n l 2,10=⋅==λλ 1318=v λ，s m v v v m n /69.0==λ 即在原型m 2处流速为s m /69.0 7.在风速为8m/s 的条件下，在模型上测得建筑物模型背风面压强为-24N/m 2 ，迎风面压强为+40N/m 2 。

估计在实际风速为10m/s 的条件下，原型建筑物被风面和迎风面的压强为多少？ 解：由雷诺准则：22
v l p λλλ==- ⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⇒2
45m n p p 2/5.37m N -=背ρ；
2/5.62m N =迎ρ
8.溢水堰模型设计比例为20。

当在模型上测得模型流量为Q m =300L/s 时，水流推力为p m =300N 时，求实际流量Q n 和推力p n 。

解：由弗诺德准则：
s m Q Q vA Q m n l l v Q /537103002020335.25.25.22=⨯⨯=⨯=⇒==⇒=-λλλλ
kN p n
l p 24002030033=⨯=⇒=λλ 9.两个共轴圆筒，外筒固定，内筒旋转，两筒的筒壁间隙充满不可压缩的粘性流体。

写出维持内筒以不变角速度旋转所需转距的无因次的方程式。

假定这种转距只与筒的长度和直径，流体的密度和粘性，以及内筒的旋转角速度有关。

解：()ωυρ,,,,l d f M =
取d 、ρ、ω为基本物理量
152522
5225322=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-----d M L T T L M T L ML T ML M ρωρωρ 同理[][]1=d l ，12=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ωυd []1=d L ，得⎪⎭
⎫ ⎝⎛=ωυρω252,d d l f d M 或用π定理，解法见下题
10.角速度为Φ的三角堰的溢流流量Q 是堰上水头H ，堰前流速0v 和重力加速度g 的函数分别以(a) H ，g ；(b) H ，0v 为基本物理量，写出Q 的无因次表达式。

解：（a ）βαπg H Q =:1 [][][]β
α213--=LT L T L βα+=3:L β21:-=-T ∴25,21==
αβ ∴g H Q
51=π 同理gH
v 0
2=π (b) βαπ01:v H Q = [][][]βα113--=LT L T L
βα+=3:L β-=-1:T ∴2,1==αβ ∴201H v Q =π 同理202v Hg =π，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0120v Hg f H v Q 11.流动的压强降Δp 是流速v ，密度ρ，线性尺度21,,l l l 重力加速度g ，粘滞系数μ，表面张力σ，体积弹性模量E 的函数。

即：
Δp=F (v ，ρ，l ，21,l l ，g ，μ，σ，E )
取v 、ρ、l 作为基本物理量，利用因次分析法，将上述函数写为无因次式。

解：解法同上题
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=222212,,,,,v E lv vl v gl l l l l f v P ρρσρμρ∆ 12.射流从喷嘴中射入另一均匀流动，按图取x ，y 坐标。

已知射流轴线轨迹可以用下列形的函数表征： y=f (x ，d ，θ，α，ρ1，ρ2，v 1，v 2)
式中d 为喷嘴出口直径；v 1 , v 2 为气流出口流速和外部均匀流速；ρ1，ρ2为气流密度和外部流动介质密度；θ为射流角度；α为紊流系数（无因次量）。

试用因次分析：（1）以d , ρ1, v 1为基本物理量，将上述函数写为无因次式。

（2）从几何相似和惯性力相似出发将上述函数写为无因次式。

解：（1）解法同第10题 ，得：
),,,,(1
2121v v d x f d y ρραθ= （2）∵是射流 ∴由欧拉准则2v
p E u ρ∆= ∴21122212v v p p ρρ∆∆= ∴),,,(2
112222v v d x f d y ρραθ=。