福建省泉州市2013届高三5月质量检查数学理科试题

2013年泉州市普通高中毕业班质量检测理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），第Ⅱ卷第21题为选考题，其它题为必考题.本试卷共6页，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 5.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式：样本数据1x 、2x 、…、n x 的标准差：22121()()n s x x x x x x n2=[-+-+⋯+(-)]，其中x 为样本平均数；柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高； 锥体体积公式：13V S h =，其中S 为底面面积，h 为高；球的表面积、体积公式：24S R π=，343V R π=，其中R 为球的半径.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知a ∈R ，且01a <<，i 为虚数单位，则复数(1)i z a a =+-在复平面内所对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 2．对于直线m 、n 和平面α，若n α⊂，则“//m n ”是“//m α”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若公比为2且各项均为正数的等比数列{}n a 中，41264a a ⋅=，则7a 的值等于A ．2B ．4C ．8D ．164．某车间加工零件的数量x 与加工时间y 的统计数据如下表：零件数x （个） 10 20 30 加工时间y （分钟）213039现已求得上表数据的回归方程 y b x a =+ 中的b 值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为 A ．84分钟 B ．94分钟 C ．102分钟 D ．112分钟5．已知点()P x ,y 在直线10x y --=上运动，则()()2222x y -+-的最小值为 A ．12B ．22C ．32D ．3226．执行如图所示程序框图所表达的算法，输出的结果是 A. 99 B. 100 C. 120 D. 1427．已知向量()12,=a ，()13m ,m =-+b 在同一平面内，若对于这一平面内的任意向量c ，都有且只有一对实数λμ,，使λμc =a +b ，则实数m 的取值范围是 A. 13m ≠-B.5m ≠C. 7m ≠-D. 53m ≠-8．公安部新修订的《机动车登记规定》正式实施后，小型汽车的号牌已经可以采用“自主编排”的方式进行编排. 某人欲选由A 、B 、C 、D 、E 中的两个不同字母，和0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中的3个不同数字，组成的三个数字都相邻的一个号牌，则他选择号牌的方法种数最多有 Ａ．7200种 Ｂ．14400种 Ｃ．21600种 Ｄ．43200种9．已知周期函数()f x 的定义域为R ，周期为2，且当11x -<≤时，2()1f x x =-．若直线y x a =-+与曲线()y f x =恰有2个交点，则实数a 的所有可能取值构成的集合为 A ．3{|24a a k =+或524k +,k ∈Z } B ．1{|24a a k =-或324k +,k ∈Z }C ．{|21a a k =+或524k +,k ∈Z } D ．{|21a a k =+,k ∈Z }10．如图，等腰梯形A B C D 中，//A B C D 且2,1A B A D ==，2((0,1))D C x x =∈. 以A ，B 为焦点，且过点D 的双曲线的离心率为1e ；以C ，D 为焦点，且过点A 的椭圆的离心率为2e ，则12e e +的取值范围为___________.A ．[)2,+∞ B．()5,+∞ C ．331,2⎡⎫++∞⎪⎢⎪⎣⎭D ．()51,++∞A BD C第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．请将答案填在答题卡的相应位置. 11．设全集U =R ，{}1,0,1,2,3A =-，{}2lo g 1,B x x =≤则()U A C B = ．12．已知a b <，则在下列的一段推理过程中，错误的推理步骤有 ．（填上所有错误步骤的序号）13．已知A B C ∆的三个内角,,A B C 满足2sin sin sin A B C ⋅=， 则角C 的取值范围是 ． 14．如图所示的三个等腰直角三角形是某几何体的三视图， 则该几何体的外接球的表面积为 ．15．设集合P ⊆Z ，且满足下列条件：（1）,x y P ∀∈，x y P +∈； （2）1P -∉；（3）P 中的元素有正数，也有负数； （4）P 中存在是奇数的元素． 现给出如下论断：①P 可能是有限集； ②,m n P ∃∈，m n P ∈； ③0P ∈； ④2P ∉． 其中正确的论断是 ． （写出所有正确论断的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分13分)已知0ω>，函数()23sin co s 3sin 2f x x x x ωωω=⋅+-的最小正周期为π.（Ⅰ）试求ω的值；（Ⅱ）在图中作出函数()f x 在区间[]0,π上的图象，并根据图象写出其在区间[]0,π上的单调递减区间.1俯视图侧视图正视图a b <，∴a a b a +<+,即2a b a <+， ……………………………①∴222a b b a b -<+-，即()2a b a b -<-， …………②∴()()()()2a b a b a b a b -⋅-<-⋅-，即()()222a b a b -<-， …………………………③ ∵2()0a b ->,∴可证得 21<. …………………………④22-22yxOπ12π6π4π35π12π27π122π33π45π611π12π12-1232117．(本小题满分13分)小王经营一家面包店，每天从生产商处订购一种品牌现烤面包出售.已知每卖出一个现烤面包可获利10元，若当天卖不完，则未卖出的现烤面包因过期每个亏损5元.经统计，得到在某月（30天）中，小王每天售出的现烤面包个数n 及天数如下表：售出个数n 10 11 12 13 14 15 天数333696试依据以频率估计概率的统计思想，解答下列问题： （Ⅰ）计算小王某天售出该现烤面包超过13个的概率；（Ⅱ）若在今后的连续5天中，售出该现烤面包超过13个的天数大于3天，则小王决定增加订购量. 试求小王增加订购量的概率.（Ⅲ）若小王每天订购14个该现烤面包，求其一天出售该现烤面包所获利润的分布列和数学期望.18．(本小题满分13分)已知椭圆C 的对称中心为坐标原点，上焦点为()01F ,，离心率12e =.（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设()()00A m ,m>为x 轴上的动点，过点A 作直线l 与直线A F垂直，试探究直线l 与椭圆C 的位置关系.19．（本小题满分13分）如图，四棱柱1111-A B C D A B C D 中，1⊥A A 平面A B C D ．（Ⅰ）从下列①②③三个条件中选择一个做为1A C B D ⊥的充分条件，并给予证明；①⊥AB BC ，②⊥A C B D ；③A B C D 是平行四边形．（Ⅱ）设四棱柱1111-A B C D A B C D 的所有棱长都为1，且∠B A D 为锐角，求平B 1C 1A 1ABDCD 1面1B D D 与平面11B C D 所成锐二面角θ的取值范围．20．（本小题满分14分）已知函数()()ln 0f x a x bx x =+>，()()10xg x x e x =⋅->，且函数()f x 在点()()1,1P f 处的切线方程为21y x =-.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设点()()00,Q x f x ，当01x >时，直线P Q 的斜率恒小于m ，试求实数m 的取值范围； （Ⅲ）证明：()()g x f x ≥.21． 本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．每个答题框内只能解答1个小题，作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． （1）（本小题满分7分）选修4—2:矩阵与变换如图，单位正方形区域O A B C 在二阶矩阵M 的作用下变成平行四边形11O A B C 区域． （Ⅰ）求矩阵M ；（Ⅱ）求2M ，并判断2M 是否存在逆矩阵？若存在，求出它的逆矩阵． （2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xO y 中，直线l 的参数方程为：21,222x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为)4sin(22πθρ+=．（Ⅰ）求曲线C 的平面直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于点,M N ，若点P 的坐标为(1,0)，求||||P M P N ⋅的值． （3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲已知函数()||f x x =，x ∈R ．x y xy2AB 1O C 11C BO A（Ⅰ）解不等式(1)2f x ->；（Ⅱ）若222[()]9f x y z ++=，试求22x y z ++的最小值．泉州市2013届普通中学高中毕业班质量检测理科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分． 1．D 2．D 3．B 4．C 5．A 6．C 7．B 8．D 9 C ． 10．B 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分. 11、{}1,0,3-； 12、③； 13、0,3π⎛⎤⎥⎝⎦； 14、3π； 15、②③④. 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．本小题主要考查三角恒等变型、三角函数的图象和性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想等. 满分13分. 解：（Ⅰ）()f x 13sin 2co s 222x x ωω=-……2分sin 23x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ……4分因为函数()f x 的最小正周期为22T ππω==，且0ω>，所以1ω=. ……6分 （Ⅱ）因为()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，[]0,x π∈. 列对应值表：x0 6π512π 23π1112π π 23x π-3π-2ππ 32π53π()f x32-0 1 0 -132-……8分描点，并参照弦形曲线的走向特征，用光滑曲线把各对应点顺次联结起来画图，得函数()f x 在区间[]0,π上的图象如图所示. ……11分根据图象可得单调递减区间511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. . …13分 17．本小题主要考查概率与统计的基础知识，考查运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分13分．解：（Ⅰ）记事件A=“小王某天售出超过13个现烤面包”，……1分用频率估计概率可知：()0.20.30.5P A =+=. ……2分 所以小王某天售出超过13个现烤面包的概率为0.5. ……3分（Ⅱ）设在最近的5天中售出超过13个的天数为ξ，则1(5,)2B ξ . …..5分记事件B=“小王增加订购量”，则有4455551113()()()()2221))6(4(5P B C C P P ξξ==+=+==，所以小王增加订购量的概率为316. ……8分（Ⅲ）若小王每天订购14个现烤面包，设其一天的利润为η元，则η的所有可能取值为80，95，110，125，140. …..9分 其分布列为利润η 80 95 110 125 140 概率P0.10.10.10.20.5……11分则()800.1950.11100.11250.21400.5123.5E η=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=所以小王每天出售该现烤面包所获利润的数学期望为123.5元. …..13分18．本小题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等．满分13分． 解：（Ⅰ）由条件可知1c =，12c e a==，23a ,b ∴==，……3分所以椭圆C 的标准方程为22134x y+=. ……4分22-22yxOπ12π6π4π35π12π27π122π33π45π611π12π12-1232-321-1（Ⅱ）1A Fk m=-，l k m ∴=， ……6分则直线l ：()y m x m =-. ……7分 联立()y m x m =-与22134xy+=有()22344363120mxm x m +-+-=， ……9分则()()()62442364433124834m mmm m ∆=-+⋅-=---()()()()()222481448122m m m m m =-+-=-++-，……10分0m > ，21020m ,m ∴+>+>，则当02m <<时，0∆>，此时直线l 与椭圆C 相交； ……11分 当2m =时，=0∆，此时直线l 与椭圆C 相切； ……12分 当2m >时，0∆<，此时直线l 与椭圆C 相离. ……13分19．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想等.满分13分.解：（Ⅰ）条件②⊥A C B D ，可做为1A C B D ⊥的充分条件. ……1分 证明如下：1⊥ A A 平面A B C D ，11//A A D D ，1∴⊥D D 平面A B C D ， …2分∵⊂A C 平面A B C D ，1∴⊥D D A C . 若条件②成立，即⊥A C B D ， ∵1= D D B D D ，∴⊥A C 平面1B D D ， ……3分又1⊂B D 平面1B D D ，1∴⊥A C B D ． …..4分 （Ⅱ）由已知，得A B C D 是菱形，∴⊥A C B D .设 A C B D =O ，1O 为11B D 的中点，则1⊥O O 平面A B C D ，∴1O O 、A C 、B D 交于同一点O 且两两垂直. ……5分以1,O ,O B C O O 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系-O xyz ，如图所示．6分设O A m =，O B n =，其中220,0,1m n m n >>+=，则(0,,0)A m -，(,0,0)B n ，(0,,0)C m ，1(0,,1)C m ，1(,0,1)D n -，O 1OB 1C 1A 1AB D CD 1xyz1(,,1)B C n m =- ，1(2,0,1)B D n =-， ……7分 设(,,)=n x y z 是平面11B C D 的一个法向量，由110,0,⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n B C n B D 得0,20,xn ym z xn z -++=⎧⎨-+=⎩令x m =，则y n =-，2z m n =， (,,2)n m n m n ∴=-， ……9分又(0,2,0)A C m =是平面1B D D 的一个法向量， ……10分2222||2m nco s ||||m n 4m n 2mn A C n A C ⋅∴θ==++⋅ 22n 14m n=+222n14m n=+，……11分令2n t =，则2m 1t =-，B A D ∠ 为锐角，202n ∴<<，则102<<t ，1co s 114(1)44t t t t tθ==+--+，因为函数14=-y t t在1(0,)2上单调递减，140∴=->y t t，所以10co s 2<<θ，……12分 又02π<<θ， 32ππ∴<<θ，即平面1B D D 与平面11B C D 所成角的取值范围为(,)32ππ． …13分 20．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等．满分14分. 解：（Ⅰ） ()()ln 0f x a x bx x =+>，∴()a f x b x'=+. ……1分函数()f x 在点()()1,1P f 处的切线方程为21y x =-，∴(1)1,(1)2,f f =⎧⎨'=⎩ 即12b a b =⎧⎨+=⎩， 解得1a b ==， ……2分 ∴()()ln 0f x x x x =+>. ……3分（Ⅱ）由()1,1P 、()000,ln Q x x x +，得000ln 11P Q x x k x +-=-，∴“当01x >时，直线P Q 的斜率恒小于m ”⇔当01x >时，000ln 11x x m x +-<-恒成立⇔()()00ln 110x m x +--<对()01x ,∈+∞恒成立. ……4分令()()()000ln 11h x x m x =+--，0(1)x >.()()0011h x m x '=+-()011m x x -+=. 5分（ⅰ）当1m ≤时，由01x >，知()00h x '>恒成立，∴()0h x 在()1,+∞单调递增，∴()()010h x h >=，不满足题意的要求. ……6分（ⅱ）当12m <<时，10m -<，111m >-，()0h x '=()00001(1)()111m x m x m x x ---+-==，∴当011,1x m ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭ ，()00h x '>；当01,+1x m ⎛⎫∈∞ ⎪-⎝⎭，()00h x '<.即()0h x 在11,1m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭单调递增；在1,+1m ⎛⎫∞ ⎪-⎝⎭单调递减.所以存在()1,t ∈+∞使得()()10h t h >=，不满足题意要求. ……7分 （ⅲ）当2m ≥时，1011m <≤-，对于01x >，()00h x '<恒成立，∴()0h x 在()1,+∞单调递减，恒有()()010h x h <=，满足题意要求.…8分综上所述：当2m ≥时，直线P Q 的斜率恒小于m . ……9分（Ⅲ）证明：令()()()h x g x f x =-ln 1xx e x x =⋅---()0x >，则()()111xh x x e x'=+⋅--()()()()111xx x x e g x xx++=⋅⋅-=⋅，…10分()()10(0)x g x x e x '=+⋅>> ，∴函数()g x 在()0,+∞递增，()g x 在()0,+∞上的零点最多一个. …11分又 (0)10g =-<，(1)10g e =->，∴存在唯一的()0,1c ∈使得()0g c =， ……12分 且当()0,x c ∈时，()0g x <；当(),x c ∈+∞时，()0g x >. 即当()0,x c ∈时，()0h x '<；当(),x c ∈+∞时，()0h x '>.∴()h x 在()0,c 递减，在(),c +∞递增，从而()h x ≥()ln 1c h c c e c c =⋅---. ……13分由()0g c =得10cc e ⋅-=且ln 0c c +=，∴()0h c =，∴()()0h x h c ≥=， 从而证得()()g x f x ≥. ……14分21．（1）（本小题满分7分）选修4—2:矩阵与变换解：（Ⅰ）设M a b cd ⎛⎫=⎪⎝⎭，由1100ab cd ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得1,0a c ==， 由0111a b c d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得1,1b d ==，M ∴1101⎛⎫=⎪⎝⎭；………………3分 （Ⅱ）2M1101⎛⎫= ⎪⎝⎭11120101⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2|1010=-=≠ |M ，2∴M存在逆矩阵，2∴M的逆矩阵为1201-⎛⎫⎪⎝⎭． …………………………7分 （2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）由)4sin(22πθρ+=，得2sin 2cos ρθθ=+，当0ρ≠时，得22sin 2cos ρρθρθ=+，对应直角坐标方程为：2222x y y x +=+.当0ρ=，θ有实数解，说明曲线C 过极点，而方程2222x y y x +=+所表示的曲线也过原点.∴曲线C 的直角坐标方程为22(1)(1)2x y -+-=． …………………3分（Ⅱ）把直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得2222(1)222t t ⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭，即2210t t --=，由于60∆=>，故可设12,t t 是上述方程的两实根，则121t t =-. ……5分∵直线l 过点(1,0)P ，∴由t 的几何意义，可得1212||||||||||1P M P N t t t t ⋅=⋅=⋅=． ………7分 （3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲解：（Ⅰ）原不等式化为|1|2x ->，12x ∴-<-或12x ->，即1x <-或3x >，∴原不等式的解集为{|1x x <-或3}x >. ……3分（Ⅱ）由已知，得2229x y z ++=，由柯西不等式，得2222222(22)()(122)81x y z x y z ++≤++++=，229x y z ∴++≥-， ……5分 当且仅当2220,229,y z x x y z ⎧==<⎪⎨⎪++=⎩即1,2,2x y z =-=-=-时等号成立，……6分 所以，22x y z ++的最小值为9-． ………………7分。