2021考研数学一考试历年真题及答案详解

2021考研数学一考试历年真题及答案详解
一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分。

每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上）
1.函数，在x＝0处（）。

A．连续且取极大值
B．连续且取极小值
C．可导且导数为0
D．可导且导数不为0
【答案】
D
【考点】
连续和可导的定义；
【解析】
因为
故f（x）在x＝0处连续。

因为
即f′（0）＝1/2，
故选D项。

2.设函数f（x，y）可微，且f（x＋1，ex）＝x（x＋1）2，f（x，x2）＝2x2lnx，则df（1，1）＝（）。

A．dx＋dy
B．dx－dy
C．dy
D．－dy
【答案】
C
【考点】
多元函数可微；
【解析】
记∂f/∂x＝f1′，记∂f/∂y＝f2′，则题给两式对x求导得
将
分别代入（1）（2）式有
联立可得f1′（1，1）＝0，f2′（1，1）＝1，df（1，1）＝f1′（1，1）dx＋f2′（1，1）dy＝dy，故选C项。

3.设函数在x＝0处的3次泰勒多项式为ax＋bx2＋cx3，则
（）。

A．a＝1，b＝0，c＝－7/6
B．a＝1，b＝0，c＝7/6
C．a＝－1，b＝－1，c＝－7/6
D．a＝－1，b＝－1，c＝7/6
【答案】
A
【考点】
麦克劳林公式；
【解析】
根据麦克劳林公式有
与题给多项式相比较，得a＝1，b＝0，c＝－7/6，故选A项。

4.设函数f（x）在区间[0，1]上连续，则（）。

A．
B．
C．
D．
【答案】
B
【考点】
定积分的定义；
【解析】
由定积分的定义知，将（0，1）分成n份，取中间点的函数值，则
故选B项。

5.二次型f（x1，x2，x3）＝（x1＋x2）2＋（x2＋x3）2－（x3－x1）2的正惯性指数和负惯性指数依次为（）。

A．2，0
B．1，1
C．2，1
D．1，2
【答案】
B
【考点】
二次型的特征值；
【解析】
f（x1，x2，x3）＝（x1＋x2）2＋（x2＋x3）2－（x3－x1）2＝2x22＋2x1x2＋2x2x3＋2x3x1
所以，故特征多项式为
令上式等于0，得特征值为－1，3，0，故该二次型的正惯性指数为1，负惯性指数为1，选B项。

6.已知，记→β1＝→α1，→β2＝→α2－k→β1，→β3＝
→
α3－l1→β1－l2→β2，若→β1，→β2，→β3两两正交，则l1，l2依次为（）。

A．5/2，1/2
B．－5/2，1/2
C．5/2，－1/2
D．－5/2，－1/2
【答案】
A
【考点】
斯密特正交化；
【解析】
利用斯密特正交化方法知→β1＝→α1，
故
故选A项。

7.设A，B为n阶实矩阵，下列不成立的是（）。

A．
B．
C．
D．
【答案】
C
【考点】
分块矩阵的秩；
【解析】
A项
B项，AB的列向量可由A的列线
性表示，故
C项，BA的列向量不
一定能由A的列线性表示；
D项，BA的行向量可由A的行线性表示
故本题选C项。

8.设A，B为随机事件，且0＜P（B）＜1，下列命题中不成立的是（）。

A．若P（A｜B）＝P（A），则P（A｜—B）＝P（A）
B．若P（A｜B）＞P（A），则P（—A｜—B）＝P（—A）
C．若P（A｜B）＞P（A｜—B），则P（A｜B）＞P（A）
D．若P（A｜A∪B）＞P（—A｜A∪B），则P（A）＞P（B）
【答案】
D
【考点】
条件概率公式；
【解析】
由条件概率公式以及和事件的运算公式得
因为P（A|A∪B）＞P（—A|A∪B），故有P（A）＞P（B）－P（AB），故选D项。

9.设（X1，Y1），（X2，Y2），…，（Xn，Yn）是来自总体N（μ1，μ2，σ12，σ22，ρ）的简单随机样本，令
，则（）。

A．^θ是θ的无偏估计，
B．^θ不是θ的无偏估计，
C．^θ是θ的无偏估计，
D．^θ不是θ的无偏估计，
【答案】
C
【考点】
无偏估计；
【解析】
因为X，Y是二维正态分布，所以—X与—Y也服从二维正态分布，则—X－—Y也服从二维正态分布，即
则^θ是θ的无偏估计。

又由方差公式得
故选C项。

10.设X1，X2，…，X16是来自总体N（μ，4）的简单随机样本，考虑假设检验问题：H0：μ≤10，H1：μ＞10，Φ（x）表示标准正态分布函数，若该检验
问题的拒绝域为W{—X≥11}，其中，则μ＝11.5时，该检验犯第二类错误的概率为（）。

A．1－Φ（0.5）
B．1－Φ（1）
C．1－Φ（1.5）
D．1－Φ（2）
【答案】
B
【考点】
犯第二类错误的概率；
【解析】
所求概率为P{—X＜11}，—X～N（11.5，4），故
二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分。

请将答案写在答题纸指定位置上）
1．。

【答案】
π/4
【考点】
定积分的计算；
【解析】
2．设参数y＝y（x）由参数方程确定，则。

【答案】
2/3
【考点】
参数方程的导数；
【解析】
由，得，将
t＝0代入得。

3．微分方程x2y＋xy′－4y＝0满足条件y（1）＝1，y′（1）＝2，得解为y ＝。

【答案】
x2
【考点】
微分方程的解；
【解析】
令x＝et，则，原方程化为，特征方程为λ2－4＝0，特征根为λ1＝2，λ2＝－2，则通解为y＝C1e2t＋C2e－2t＝C1x2＋C2x－2，y′＝2C1x－2C2x－3，将初始条件y（1）＝1，y′（1）＝2代入得C1＝1，C2＝0，故满足初始条件的解为y＝x2。

4．设Σ为空间区域表面的外侧，则曲面积分。

【答案】
4π
【考点】
曲面积分；
【解析】
由高斯公式得。

由对称性得，
，则。

5．设A＝aij为3阶矩阵，Aij为代数余子式，若A的每行元素之和均为2，且|A|＝3，A11＋A21＋A31＝。

【答案】
3/2
【考点】
代数余子式的计算；
【解析】
由于A的每行元素之和均为2，所以AX＝2X，其中X＝（1，1，1）T，因此λ＝2为A的特征值，属于此特征值的特征向量为→α＝（1，1，1）T。

A→α＝2→α⇒A*A→α
＝2A*→α⇒|A|→α＝2A*→α⇒A*→α＝（|A|/2）a，因此|A|/2＝3/2是A*的一个特征
值且对应的特征向量为→α＝（1，1，1）T，因此
6．甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球。

令X，Y分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则X与Y的相关系数为。

【答案】
1/5
【考点】
二维离散随机变量的相关系数；
【解析】
X，Y的联合分布律为
X的分布律为
Y的分布律为
根据协方差的定义式计算得Cov（X，Y）＝E（XY）－E（X）E（Y）＝3/10－1/2×1/2＝1/20，
又DX＝1/4，DY＝1/4，由计算得ρXY＝1/5。

三、解答题（本题共6小题，共70分。

请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
1.（本题满分10分）
求极限。

【答案】
又因为
将上式代入得
【考点】
利用泰勒展开式求极限；
2.（本题满分12分）
设，求级数的收敛域及和函数。

【答案】
，当x＞0时，e－nx收敛；
，因此收敛半径R＝1/ρ＝1，收敛域
为[－1，1]。

综上级数的
收敛域为（0，1]，
将S（x）分成两部分讨论，
综上，将两式求和可得
【考点】
级数的收敛域以及和函数；
3.（本题满分12分）
已知曲线C：，求C上的点到xoy坐标面距离的最大值。

【答案】
构建拉格朗日函数
求
导得
Lx′＝2xλ＋4μ＝0
Ly′＝4yλ＋2μ＝0
Lz′＝2z－λ＋μ＝0
联立曲线方程，解得驻点：（4，1，12），（－8，－2，66）。

C上的点（－8，－2，66）到xoy面距离最大，为66。

【考点】
拉格朗日乘数法求条件极值；
4.（本题满分12分）
设D⊂R2是有界连通闭区域，取得最大值的积分区域记为D1，
（1）求I（D1）的值。

（2）计算，其中∂D1是D1的正边界。

【答案】
（1）由二重积分的几何意义知，当且仅当4－x2－y2在D上大于0时，I（D）
达到最大，故D1：x2＋y2≤4，则。

（2）补D2：x2＋4y2＝r2（r很小），取D2的方向为顺时针方向，
【考点】
二重积分的计算；
5.（本题满分12分）
已知，
（1）求正交矩阵P，使得PTAP为对角矩阵；
（2）求正交矩阵C，使得C2＝（a＋3）E－A。

【答案】
（1）由
得
λ1＝a＋2，λ2＝λ3＝a－1
当λ1＝a＋2时，的特征向量为
；
当λ2＝λ3＝a－1时，的特
征向量为。

令
则
（2）
故
【考点】
正交矩阵及相似对角化；
6.（本题满分12分）
在区间（0，2）上随机取一点，将该区间分成两段，较短的一段长度记为X，较长的一段长度记为Y，令Z＝Y/X
（1）求X的概率密度；
（2）求Z的概率密度；
（3）求E（X/Y）。

【答案】
（1）由题知：X服从（0，1）上的均匀分布，则概率密度函数为。

（2）由Y＝2－X，即Z＝（2－X）/X，先求Z的分布函数：
当z＜1时，Fz
（z）＝0；
当z≥1时，。

故Z的概率密度函数为
（3）
【考点】
多维随机变量的概率密度及期望计算；。