微专题06 圆锥曲线中的最值、范围及探索性问题- 高考数学(文)二轮复习微专题聚焦

微专题06 圆锥曲线中的最值、范围及探索性问题
——2020高考数学（文）二轮复习微专题聚焦
【考情分析】与圆锥曲线有关的最值、范围及存在性问题是高考命题的热点，直线或圆锥曲线运动变化时，点、直线、曲线之间的关联受到一定范围的制约，于是便产生了对范围的求解、最值的探求这类问题，注重与平面向量、函数、二次方程、不等式等融合与渗透，因而这类问题考查范围广泛，命题形式新颖，属于解析几何中的压轴题。

【前备知识】
1、圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法:
一是利用几何法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是利用代数法,即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式),然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.
2、解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
①利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围.
①利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系. ①利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围. ①利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围.
①利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.
考点一 圆锥曲线中的最值或取值范围问题
【例1】过F(0,1)的直线l 与抛物线y x C 4:2=交于A ，B 两点，以A ，B 两点为切点分别作抛物线C 的切线21,l l ，设21l l 与交于点),(00y x Q . （1）求0y ；
（2）过Q ，F 的直线交抛物线C 于M ，N 两点，求四边形AMBN 面积的最小值. 【解析】（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线:1l y kx =+，
所以241x y y kx ⎧=⎨=+⎩
得2440x kx --=，所以121244x x k x x +=⎧⎨=-⎩
由21
42x y y x '=⇒=，所以()111112
l y y x x x -=-：，
即21111
24
x l y x x =-：，
同理2
222124x l y x x =-：，联立得12012022
14
x x x k x x y +⎧
==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩，
即01y =-．
（2）因为12
,22x x QF +⎛⎫=- ⎪⎝⎭
u u u r ，()2121,AB x x y y =--u u u
r ，
所以()22222221
21212120222
x x x x x x QF AB y y ---⋅=--=-=u u u r u u u r ，
所以QF AB ⊥u u u r u u u r
，即MN AB ⊥， ()212122444AB y y k x x k =++=++=+，
同理2
4
4MN k =
+， ()222211181182322AMBN S AB MN k k k k ⎛⎫⎛⎫
=
=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 当且仅当=1k ±时，四边形AMBN 面积的最小值为32.
【方法归纳 提炼素养】——数学思想是数形结合、方程思想，核心素养是数学运算.
求最值,取值范围的常用方法 (1)利用函数单调性:求导,换元,变形等.
(2)利用不等式:基本不等式(有一个或两个变量都可以),三角不等式等. (3)利用线性规划:条件是不等式组的题目,可考虑用线性规划法. (4)利用数形结合:将代数方程与它表示的几何图形联系起来.
(5)利用转化与化归:将几何关系转化为代数式,再求解;或将不等式问题转化为等式问题,即先找到所求不等式恰好相等时的“边界”,“边界”将实数R 分为若干部分,其中符合题意的部分即为所求取值范围.
注意:在圆锥曲线最值问题中,特别注意椭圆、双曲线、抛物线上的点(x,y)横纵坐标x,y 的取值范围.
【类比训练】已知抛物线E:y 2=2px (p >0),过其焦点F 的直线与抛物线相交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点，满足y 1y 2=−4.
（1）求抛物线E 的方程；
（2）已知点C 的坐标为（-2,0），记直线CA,CB 的斜率分别为k 1，k 2，求1k 1
2+1
k 2
2的最小值．
【解析】（1）因为直线过焦点，所以有2124y y p =-=-， 解得2p =，所以抛物线E 的方程为2
4y x =．
（2）由（1）知抛物线的焦点坐标为(10)F ，，设直线AB 的方程为1x my =+， 联立抛物线的方程有2440y my --=，所以121244y y m y y +==-，， 则有1111123y y k x my ==
++，22
22223
y y k x my ==++， 所以
11
13
m k y =+，2213m k y =+
， 因此2
2
222221212121211331111269m m m m k k y y y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+=+++=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
29
52
m =+
， 所以当且仅当0m =时，
22
1211k k +有最小值9
2
． 【例2】已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的右焦点为F 2(3,0),离心率为e.
(1)若2
3
=
e ,求椭圆的方程. (2)设直线y=kx 与椭圆相交于A,B 两点,M,N 分别为线段AF 2,BF 2的中点.若坐标原点O 在以MN 为直径的圆上,且
2
322≤<e ≤,求k 的取值范围. 【解析】(1)由已知⎪⎩⎪⎨⎧=
=233a c c ，得32=a 即a 2
=12,
又a 2=b 2+c 2,解得b 2=3. 所以椭圆的方程为
+
=1.
(2)由⎪⎩⎪⎨⎧==+
kx y b y a x 122
22，得(b 2+a 2k 2)x 2-a 2b 2=0,
设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 所以x 1+x 2=0,x 1x 2=
,
由已知可得,OM ⊥ON,易证四边形OMF 2N 为平行四边形,所以AF 2⊥BF 2, 因为),3(),,3(222112y x B F y x A F -=-=,
所以212122)3)(3(y y x x B F A F +--=⋅=(1+k 2)x 1x 2+9=0, 即
+9=0,
整理为k 2=-
=-1-,
因为
2
322≤<e ,所以1812,23322<≤<≤a a . 所以8
1
2≥k ,即k 的取值范围是),42[]42,(+∞--∞Y . 【方法归纳 提炼素养】——数学思想是数形结合、函数与方程思想，核心素养是数学运算.
解决取值范围问题的常用方法
(1)构建不等式法:利用已知或隐含的不等关系,构建以待求量为元的不等式求解. (2)构建函数法:先引入变量构建以待求量为因变量的函数,再求其值域. (3)数形结合法:利用待求量的几何意义,确定出极端位置后数形结合求解.
考点二 圆锥曲线中的探索性（或是否存在性）问题 【必备知识】
探索性问题的解题思路：
第一步：先假设存在，用待定系数法设出；
第二步：列出关于待定系数的方程组，推证满足条件的结论；
第三步：解方程（组）；若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．
注意：(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；
(3)当条件和结论都不确定，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法．
【例2】已知椭圆C：()的离心率为,且以原点O为圆心，椭圆C的长半
轴长为半径的圆与直线相切.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知动直线l过右焦点F,且与椭圆C交于A、B两点，试问x轴上是否存在定点Q,使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

【解析】（1）由离心率为，可得
且以原点O为圆心，椭圆C
因与直线相切，则有，即，
（2）假设在x轴上存在点Q（m,0）,使得恒成立。

当直线l的斜率不存在时，A(1,),B(1,),由于（）()=,所以，下面证明时，
当直线l的斜率为0时，A（，0）B（，0）
则（，0）（，0）=，符合题意。

当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=ty+1,A,B
由x=ty+1
有
∴；
，
∴=
综上所述：在x 轴上存在点Q （
，0）
【方法归纳 提炼素养】——数学思想是分类讨论、数形结合、方程思想，核心素养是数学运算.
1、有关存在性问题的求解策略
此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，若成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，在针对其表达式进行讨论，其中往往涉及对参数的讨论.求解策略通常有一下三种：
（1）存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定的问题明朗化.其步骤如下：假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在并设出，列出关于待定系数的方程（组），若方程（组）有实数解，则元素（点、直线、曲线或参数）存在，否则（点、直线、曲线或参数）不存在
（2）反证法与验证法也是求解存在性问题的常用方法.
（3）解决存在性问题时要注意解题的规范性，一般先做出结论，后给出证明（或理由）. 2、关于两类定点的探索性问题
定点的存在问题与过定点问题稍有差异.过定点问题实际上是恒成立问题. 例如直线过定点解决方法有:
①将方程化为一边为0,此时是恒等于0,所以变量的系数都为0,列出方程组求解,得定点; ①取两条直线,联立解出交点坐标,再证明此交点在动直线上.
做高考真题 提能力素养
【解答题】
1、（2019全国II 文20）已知是椭圆的两个焦点，P 为C 上一点，
12,F F 2222:1(0)x y C a b a b
+=>>
O 为坐标原点．
（1）若为等边三角形，求C 的离心率；
（2）如果存在点P ，使得，且的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围. 【解析】（1）连结，由为等边三角形可知在中，，，
，于是，故的离心率是. （2）由题意可知，满足条件的点存在当且仅当，
，，即，① ，①
，① 由①①及得，又由①知，故.
由①①得，所以，从而故.
当，时，存在满足条件的点P . 所以，的取值范围为.
2、（2019浙江21）如图，已知点为抛物线的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧.记的面积为. （1）求p 的值及抛物线的准线方程； （2）求
的最小值及此时点G 的坐标. 【解析】（I ）由题意得
，即p =2. 所以，抛物线的准线方程为x =−1.
（Ⅱ）设，重心.令，则.
由于直线AB 过F ，故直线AB 方程为，代入，得， 2POF △12PF PF ⊥12F PF △1PF 2POF △12F PF △1290F PF ∠=︒2PF c =13PF c =122(31)a PF PF c =+=+C 31c
e a
=
=-(,)P x y 1||2162y c ⋅=1y y
x c x c
⋅=-+-22
221x y a b
+=||16c y =222x y c +=22
22
1x y a b +=2
2
2
a b c =+42
2b y c =22
216y c
=4b =()22
222a x c b c
=-22
c b ≥2222232,a b c b =+≥=42a ≥4b =42a ≥4b =a [42,)+∞(10)F ，
22(0)y px p =>ABC △,AFG CQG △△12,S S 1
2
S S 12
p
=()()(),,,,,A A B B c c A x y B x y C x y (),G G G x y 2,0A y t t =≠2
A x t =2112t x y t -=+24y x =()
22
2140t y y t
---=
故，即，所以.
又由于及重心G 在x 轴上，故， 得. 所以，直线AC 方程为，得. 由于Q 在焦点F 的右侧，故.从而
. 令，则m >0，
.
当时，
取得最小值，此时G （2，0）.
3、（2018北京）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b
+=>>
k 的
直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B ． (1)求椭圆M 的方程； (2)若1k =，求||AB 的最大值；
(3)设(2,0)P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ．若
C ，
D 和点71
(,)42
Q - 共线，求k ．
【解析】(1)
由题意得2c =
，所以c =
又3
c e a =
=
，所以a =2221b a c =-=， 所以椭圆M 的标准方程为2
213
x y +=．
(2)设直线AB 的方程为y x m =+，
24B ty =-2B y t =-212,B t t ⎛⎫
- ⎪⎝⎭()()11,33G A B c G A B c x x x x y y y y =
++=++2
20c t y t
-+=242211222,2,,03t t C t t G t t t ⎛⎫⎛⎫
-+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()222y t t x t -=-()21,0Q t -22t >422
42212
44242222211|2|||322
221222211|||1||2|23A c t t t FG y t S t t t t t S t t QG y t t t t -+-⋅⋅--====--+--⋅--⋅-22m t =
-1221222134324S m S m m m m =-=--=+++++
…m =1
2
S
S 1
由22
13y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则2223644(33)48120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1232
m
x x +=-，212334m x x -=，
则12|||AB x x =-==，
易得当20m =
时，max ||AB ，故||AB
． (3)设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，
则221133x y += ①，222
233x y += ①， 又(2,0)P -，所以可设1
112
PA y k k x ==
+，直线PA 的方程为1(2)y k x =+， 由122
(2)13
y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2222
111(13)121230k x k x k +++-=， 则2113211213k x x k +=-+，即2
131211213k x x k =--+，
又1112y k x =
+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+， 所以1111712(
,)4747x y C x x --++，同理可得22
22712(,)4747
x y D x x --++．
故3371(,)44QC x y =+-u u u r ，4471
(,)44
QD x y =+-u u u r ，
因为,,Q C D 三点共线，所以34437171
()()()()04444x y x y +--+-=，
将点,C D 的坐标代入化简可得
12
12
1y y x x -=-，即1k =． 4、（2018浙江）如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：
24y x =上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．
(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；
(2)若P 是半椭圆2
2
14
y x +=(0x <)上的动点，求PAB ∆面积的取值范围． 【解析】(1)设00(,)P x y ，211(,)4y A y ，2
2
2(,)4
y B y ．
因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程
2
21014()422y x y y ++=⋅即2210100280y y y x y -+-=的两个不同的实数根． 所以1202y y y +=．因此，PM 垂直于y 轴．
(2)由(1)可知1202
12
0028y y y y y x y +=⎧⎨=-⎩ 所以22
21200013||()384PM y y x y x =+-=-
，12||y y -= 因此，PAB ∆
的面积3
2212001||||4)24
PAB
S PM y y y x ∆=⋅-=-． 因为2
2
00
14
y x +
=0(0)x <，所以22
00004444[4,5]y x x x -=--+∈． 因此，PAB ∆
面积的取值范围是4
． 5、（2017山东）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C :22221x y a b
+=(0)a b >>
的离心率为2，
椭圆C 截直线1y =
所得线段的长度为．
(①)求椭圆C 的方程；
(①)动直线l ：(0)y kx m m =+≠交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点
M ．
点N 是M 关于O 的对称点，N e 的半径为||NO ． 设D 为AB 的中点，DE ，DF 与N e 分别相切于点E ，F ，求EDF ∠的最小值．
【解析】（①
）由椭圆的离心率为
2
，得2222()a a b =-， 又当1y =时，22
2
2a x a b =-，得22
22a a b
-=，
所以24a =，22b =，
因此椭圆方程为22
142
x y +=． （①）设1122(,),(,)A x y B x y ，联立方程2224
y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 得222(21)4240k x kmx m +++-=， 由0∆> 得2242m k <+ （*） 且122421
km x x k +=+ ， 因此122221m y y k +=
+ ， 所以222(,)2121
km m D k k -++ ， 又(0,)N m - ，所以222222()()2121km m ND m k k =-
++++ 整理得：2242224(13)(21)
m k k ND k ++=+ ， 因为NF m = 所以
2422222224(31)831(21)(21)
ND k k k k k NF +++==+++ 令283t k =+，3t ≥ 故21214t k ++= 所以2221616111(1)2ND
t t NF t t
=+=++++． 令1y t t =+，所以211y t
'=-． 当3t ≥时，0y '>，从而1y t t
=+在[3,)+∞上单调递增， 因此1103
t t +≥，等号当且仅当3t =时成立，此时0k =， 所以22134ND
NF +=≤，
由（*）得
m << 且0m ≠，故
12
ND NF ≥， 设2EDF θ∠=，则1sin 2NF ND θ=≥ ， 所以θ得最小值为6
π． 从而EDF ∠的最小值为
3π，此时直线l 的斜率时0． 综上所述：当0k =
，(m ∈⋃时，EDF ∠取得最小值为3
π． 6、（2017浙江）如图，已知抛物线2x y =．点11(,)24A -，39(,)24
B ，抛物线上的点(,)P x y 13()22x -<<，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ． （①）求直线AP 斜率的取值范围； （①）求||||PA PQ ⋅的最大值． 【解析】（①）设直线AP 的斜率为k ，则2
114122x k x x -==-+， 因为1322
x -<<，所以直线AP 斜率的取值范围是(1,1)-。

（①）联立直线AP 与BQ 的方程110,24930,42
kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩解得点Q 的横坐标是22432(1)Q k k x k -++=+ 因为||PA
1)2
x +
1)k + ||PQ
= )Q x x -
=2
所以||||PA PQ =3(1)(1)k k --+ 令()f k =3(1)(1)k k --+，
因为2()(42)(1)f k k k '=--+，
所以()
f k在区间
1
(1,)
2
-上单调递增，
1
(,1)
2
上单调递减，
因此当
1
2
k=时，||||
PA PQ取得最大值
27
16
．。