平面坐标与线性参照系统的转换

平面坐标与线性参照系统的转换
余成
07260103
一、线性参照系统（Linear Referencing System）
线性参照系统是一系列内业和外业的程序和方法的集合，包括线性参照方法及不同线性参照方法之间的转换方法。

类似于二维或者三维参照系统，它是对象在一维空间中的位置度量形式和方法。

在三维空间参照系统中，物体的位置可以用三维空间直角坐标来表示，也可以用大地坐标经纬度及高程来表示，两种形式之间可以转换。

在二维参照系统中，可以用平面直角坐标或者经纬度坐标来表示空间位置。

同样，在一维空间参照系统也可以有不同的参照方法，并且它们之间可以相互转换。

线性参照系统的功能：
1）数据共享。

线性参照系统提出了“空间数据与地图相分离”的思想，将运输设施作为发生在拓扑网上的事件，存储在相应的关系数据库中，避免了不同软件对空间数据处理方式的不同和同一软件对空间数据和属性数据处理方式的不同。

同时，采用线性参照系统后，空间数据库建立在基线网上，方便地促进不同来源数据间的共享。

2）多种定位参照方法的集成。

运输管理的不同部门采用了共同的基线网后，各种定位参照方法就有了共同的定位参照基准，可进行相互转换。

定位参照方法间的相互转换包括同一拓扑网上定位参照方法间的相互转换和不同拓扑网间定位参照方法间的相互转换。

同一拓扑网上定位参照方法间的相互转换可直接在拓扑网的层次上进行；不同拓扑网上定位参照方法间的相互转换须通过基线网进行。

3）空间分析。

空间分析可在拓扑网的层次上进行。

要求的数据分析是基于数据库的操作，可避免传统的GIS所要进行的复杂的图形运算（如线性叠加分析、网络分析等）并能够真正地实现交通中的网络分析功能。

采用线性参照系统后，运输信息作为事件存储在相应的事件表中。

叠加分析变成了事件表之间偏距的内插计算，采用简单的算法就可求出事件间的交集，得到满足条件的结果。

网络分析也可通过连线节点拓扑表，加以一定的算法得以实现。

线性参照系统的优点：
1）交通地理信息系统需要一个用以的位置参照系统。

任何一个路网都有一个位置参照系统：XY坐标参照系统或者线性参照系统。

由于交通信息系统中的事物和事件通常沿交通线性网络分布，采用线性参照系统使得交通地理信息系统能够采用一个统一界面融合各类不同的交通信息数据，简化系统的查询方式。

2）线性参照系统能够减轻空间数据输入的工作量。

线性参照系统的最大优点是：交通网络中的空间事物或事件（点或线段）不需要用几何形式（即图形化）存储在数据库中，而是以属性形式存在。

也就是说，不需要用地图数字化的方式将所有空间信息（如桥梁、沿线旅馆、加油站等）输入数据库，而只需输入线性参照方法所需的数据项（如距离或者地址等），然后采用动态分段技术来显示这些事物或者事件的空间位置，这样就减少了大量的地图数字化的工作。

3）线性参照系统的查询比较灵活，即可以直接通过数据库查询，也可通过空间叠加分析进行查询；一般基于线性参照系统查询过程是这样：如果输入一个XY坐标查询5公里范围内的旅馆，只做一次叠加分析，即叠加XY坐标为中心的圆周与交通网络，然后查询位于网络的旅馆，再通过动态分段方法显示在交通网络中。

线性参照系统的缺点：
1）逻辑上的路径不连续；
2）交通设施难以唯一定位；
3）末端成圈状的道路不能进行唯一的线性表达；
4）斜坡难以线性表示。

二、平面直角坐标与线性参照系统之间的相互转换
在计算机内部模型中，各种来源的数字化图形都是以平面直角坐标的形式运算和存储的，而在交通地理信息系统中，很多与空间相关的属性信息（如交通事故地点），其都是定位于某种线性参照系统之中的。

因此，为了实现对于空间位置有关的属性细腻地查询和分析，必须实现平面直角坐标与线性参照系统之间的转换。

※线性内插法
这种方法计算简单、速度快，但是计算误差较大，对于精度要求不高的示意性查询或分析
P，并将其存可以使用，计算时将曲线作为折线处理，获取折线角点处及网络结点坐标集
i
入数组，然后进行转换。

1）平面直角坐标转换为线性里程坐标
首先，判断待转换点P位于网络中哪一条线段上：有待定点与相邻的两个结点构成的两个
向量，计算两个向量的模之和，并判断所有和值中最小的一个，则此值和对应的两个结点构成的边即P 所在的边。

如图所示，从1至n 搜索i ，求得min{|P i P|+|PP 1+i |}，则
此时的|P i P 1+i |即为所求边。

然后计算P 点的线性里程坐标L p ，先计算其在结点边上
的相对位置系数μ： ||||1i i i x x x x --=+μ 则有
μ⋅
+-=++=∑|P P |||)P P (|L 11
11P i i i m m m
2） 线性里程坐标转换为平面直角坐标
首先，判断P 点位于哪一条结点边上：从1至n 搜索i ，找到满足L i p ≤L p ≤L 1p +i 的P i 、P 1+i 。

然后计算P 点的直角坐标，先求其在直角坐标系中的相对位置系数μ：
|L L ||L L |P P P P 1i i i --=
+μ
则有 P = P i (μ) + P 1+i (μ)
以上式中，L i
p 为P i 点的线性里程坐标；i x 为第i 个结点在直角坐标系中的横坐标；μ为相对位置系数。

※积分法
这种方法采用曲线参数进行精确的积分计算，与前一种方法相比计算复杂一些。

首先采用与线性内插中同样的方法判别点位于哪一段曲线上在判断曲线段的类型，然后进行坐标转换。

1） 平面直角坐标转换为线性里程坐标
⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫+=+=+=⎰⎰⎰s s s
ds s y s y ds s x s x ds s k s 000000))(sin()())(cos()()()(ϕϕϕϕ 式中，s 为弧长，它等于所求点的里程与该点所在曲线起点里程之差；)(s k 、)(s ϕ分别为所求点处的曲率和方向角；)(s x 、)(s y 为所求点的纵、横坐标；0ϕ、0x 、0y 分别为该点所在曲线段起点的方向角和纵横坐标。

所求点的曲率计算与该点所处的曲线类型有关，一般的当所求点在曲线单元为
①直线时：)(s k = 0
②缓和曲线时：121/)()(l k k s k -=
式中，1k 、2k 分别为缓和曲线的起点和终点曲率；1l 为缓和曲线长度。

③圆曲线时：)(s k = 1/R
式中，R 为圆半径。

平面直角坐标转换为线性里程坐标，其问题实质就是：已知点的纵横坐标),(y x ,求点到曲线起点的弧长s ，可采用以下迭代算法求解：
第一步：取s 的初始值为所求点到曲线起点的直线距离；
第二步：将s 代入上式中，计算得)(s x 或)(s y ；这里以)(s x 计算为例；
第三步：对)(s x 与x 进行精度比较，如果满足要求，则结束，此时的弧长s 与曲线起点里程之和即为所求点的线性里程坐标值，否则令s x s x s ⋅
=
)(，返回算法第二步。

2） 线性里程坐标转换为平面直角坐标
给定一点的线性里程求其平面直角坐标，计算过程比较简单，可直接采用前式计算，这里的关键问题有两个：一是给定点所在位置，记给定点是位于直线段、缓和曲线段还是圆曲线上，这可通过给定点的里程和线路主点里程之间的比较判定；二是给定点处的曲率计算，当知道
给定点所在的曲线类型时，可通过上列公式计算其曲率。

三、大地坐标与里程的相互转换
※道路几何线性特征的识别技术及其参数计算
1）道路几何线性识别步骤
（1）计算有像零点所组成的线段的斜率i K （如图），由此计算斜率差1,+∆i i K 、2,1++∆i i K 、以及根据斜率所计算的斜率差变化2,1++∆i i K －1,+∆i i K ，3,2++∆i i K －2,1++∆i i K 。

（2）判断2,1++∆i i K －1,+∆i i K ≈3,2++∆i i K －2,1++∆i i K 是否成立，据此查找位于缓和曲线上采样点数以及缓和曲线的起点编号，根据起点编号以及采样点数将位于缓和曲线上点的坐标转存到一组数组中。

（3）根据1,+∆i i K ≈2,1++∆i i K 是否成立，判断属于圆曲线上的采样点个数以及圆曲线的起点编号，根据起点编号以及采样点数将位于圆曲线上点的坐标转存到另一数组中。

（4）剩余点为直线上的点，将这些位于直线上点的坐标转存到另一数组中。

根据以上道路几何线性的识别结果，既可以建立直线方程、圆曲线方程和曲线拟合方程。

3） 具体步骤如下
（1） 计算直线方程参数（直线斜率和截距）。

设直线方程为：
b kx y += 其中：1
1x x y y k n n --=，n n kx y b -= 式中：n x 、n y 、1x 、1y ——所识别的直线的起点和终点坐标。

（2）根据位于圆曲线上3个点的坐标，计算圆曲线参数（圆曲线半径和圆心坐标）。

取圆曲
线上的起点、中点、和终点的数字化坐标分别为（1x ，1y ），（⎥⎦⎤⎢⎣⎡+21n x ，⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+21n y ），（n x ，n y ）。

其中（⎥⎦⎤⎢⎣⎡+21n x ，⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+21n y ）的下标[]表示取整。

计算圆心坐标（0x ，0y ）和半径为：
⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21122
1100c c b a b a y x 其中：)(1211x x a n -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+，)(1211y y b n -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+，)(12x x a n -=，)(12y y b n -=，
)(2121222112121y x y x c n n --+=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+， )(212122221y x y x c n n --+= 201201)()(y y x x R -+-=
（3）采用曲线拟合方法计算缓和曲线多项式拟合系数。

设拟合方程为：
m m x a x a x a x a a y +++++= 332210
利用坐标（n i y x i i ,,3,2,1,, =）求解上述方程的系数时，需要求解如下的方程：
BZ=Y
式中：
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=---m n n n m n n n m m x x x x x x x x x x x x x x x x B 432331211232222
1312111111 ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-n n y y y y Y 121 ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n a a a a Z 210（m ﹤n ） ※交接点（特征点）坐标计算方法
交接点（直缓点和缓圆点）的位置主要用于划分空间数据库中道路几何要素的分段特征，同时也是准确计算道路历程的依据。

交接点位置的变化将直接影响道路里程的变化。

（1）采用非线性方程组求解方法计算直线和缓和曲线的交接点（ZH ）
在计算直线和缓和曲线的交接点所采用的方程为：
⎩⎨⎧++++=+=
332210x a x a x a a y b kx y
（2）求解非线性方程组求解缓和曲线与圆曲线的交接点（HY ）
⎩⎨⎧++++==-+-
3322102
2020)()(x a x a x a a y R y y x x
※曲线积分求缓和曲线的长度
直线长度可以通过位于直线上两端点坐标求得。

利用圆缓点和圆曲线终点坐标以及圆曲线半径求得圆曲线长度。

由此，计算缓和曲线长度是计算道路里程的重点内容。

根据所拟合的缓和曲线多项式采用弧长积分可以求得缓和曲线长度。

设弧长积分的参数方程为：
⎩⎨⎧++++==
332210t a t a t a a y t x t x t x ≤≤0 缓和曲线的弧长1S 为：
⎰
++++=s x x dt x a x a a S 0223211)32(1 在对上式积分时，采用变步长Simpson 数值积分算法，根据需要取不同的积分步长以保
证里程计算精度。

四、线性参照系统的应用
上文介绍了平面坐标与线性参照系统的几种基本转换方法，这几种方法在实践中都得到了广泛的应用。

国外很多政府部门和规划部门都采用线性参照系统来维护相关设施信息。

线性参照系统能够对网络上的事情如路面情况、事故、交通量等信息进行存储和维护。