2019版高考数学大一轮复习江苏专版文档：第十三章 推理与证明、算法、复数13.5

§13.5 复 数
考情考向分析 本节主要考查复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，考查复数的代数形式的四则运算，重点考查复数的除法运算．一般以填空题形式出现，难度为低档．
1．复数的有关概念
(1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部．(i 为虚数单位) (2)分类：
(3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．
(5)模：向量OZ →
的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )． 2．复数的几何意义
复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ →
＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系． 3．复数的运算
(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R .
(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．
如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→
，Z 1Z 2—→＝OZ 2→－OZ 1→.
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解．( × )
(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( × )
(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × ) (4)原点是实轴与虚轴的交点．( √ )
(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( √ ) 题组二 教材改编
2．[P128复习T6]设复数z 满足1＋z
1－z ＝i ，则|z |＝________.
答案 1
解析 1＋z ＝i(1－z )，z (1＋i)＝i －1， z ＝i －11＋i ＝－(1－i )22＝i ，
∴|z |＝|i|＝1.
3．[P123练习T5]在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →
对应的复数是－1－3i ，则向量CA →
对应的复数是________． 答案 －3－4i
解析 CA →＝CB →＋BA →
＝－1－3i ＋(－2－i)＝－3－4i.
4．[P111练习T4]若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为________． 答案 －1
解析 ∵z 为纯虚数，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2－1＝0，
x －1≠0，∴x ＝－1.
题组三 易错自纠
5．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋b
i 为纯虚数”的________条件．(填
“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案 必要不充分
解析 ∵复数a ＋b
i ＝a －b i 为纯虚数，∴a ＝0且－b ≠0，即a ＝0且b ≠0，∴“ab ＝0”是
“复数a ＋b
i
为纯虚数”的必要不充分条件．
6．设i 是虚数单位，若z ＝cos θ＋isin θ，且其对应的点位于复平面内的第二象限，则θ位于第________象限．
答案 二
解析 ∵z ＝cos θ＋isin θ对应的点的坐标为(cos θ，sin θ)，且点(cos θ，sin θ)位于第二象限，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
cos θ<0，sin θ>0， ∴θ为第二象限角．
7．i 2 011＋i 2 012＋i 2 013＋i 2 014＋i 2 015＋i 2 016＋i 2 017＝________. 答案 1
解析 原式＝i 3＋i 4＋i 1＋i 2＋i 3＋i 4＋i ＝1.
题型一 复数的概念
1．(2017·全国Ⅰ改编)设有下列四个命题： p 1：若复数z 满足1
z ∈R ，则z ∈R ；
p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z －
2； p 4：若复数z ∈R ，则z －
∈R . 其中的真命题为________． 答案 p 1，p 4
解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 1＝a 1＋b 1i(a 1，b 1∈R )， z 2＝a 2＋b 2i(a 2，b 2∈R )．
对于p 1，若1z ∈R ，即1
a ＋
b i ＝a －b i a 2＋b 2∈R ，则b ＝0，
故z ＝a ＋b i ＝a ∈R ，所以p 1为真命题；
对于p 2，若z 2∈R ，即(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2∈R ，则ab ＝0.当a ＝0，b ≠0时，z ＝a ＋b i ＝b i ∉R ，所以p 2为假命题；
对于p 3，若z 1z 2∈R ，即(a 1＋b 1i)(a 2＋b 2i)＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ∈R ，则a 1b 2＋a 2b 1＝0.而z 1＝z 2，即a 1＋b 1i ＝a 2－b 2i ⇔a 1＝a 2，b 1＝－b 2.因为a 1b 2＋a 2b 1＝0⇏a 1＝a 2，b 1＝－b 2，所以p 3为假命题；
对于p 4，若z ∈R ，即a ＋b i ∈R ，则b ＝0， 故z ＝a －b i ＝a ∈R ，所以p 4为真命题．
2．(2016·江苏)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________． 答案 5
解析 z ＝(1＋2i)(3－i)＝5＋5i.故z 的实部为5.
3．如果复数2－b i 1＋2i (其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反数，则b ＝______.
答案 －2
3
解析 由2－b i 1＋2i ＝(2－b i )(1－2i )5＝2－2b －(b ＋4)i
5，
得2－2b ＝b ＋4，得b ＝－2
3
.
4．已知复数z 满足z 2＝－4，若z 的虚部大于0，则z ＝________. 答案 2i
解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b >0)， 则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ＝－4， 因此a ＝0，－b 2＝－4，b ＝±2， 又b >0，∴b ＝2，∴z ＝2i.
思维升华 解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋b i(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
题型二复数的运算
命题点1复数的乘法运算
典例(1)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝________.
答案－5
解析∵z1＝2＋i在复平面内的对应点的坐标为(2,1)，
又z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，
则z2的对应点的坐标为(－2,1)，
即z2＝－2＋i，
∴z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.
(2)复数i(2－i)＝________.
答案1＋2i
解析i(2－i)＝2i－i2＝1＋2i.
(3)(2017·江苏)已知复数z＝(1＋i)(1＋2i)，其中i是虚数单位，则z的模是________．
答案10
解析方法一∵z＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i＋i－2
＝－1＋3i，
∴|z|＝(－1)2＋32＝10.
方法二 |z |＝|1＋i||1＋2i|＝2×5＝10. 命题点2 复数的除法运算
典例 (1)(2017·全国Ⅱ改编)3＋i
1＋i ＝________.
答案 2－i
解析
3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )
＝3－3i ＋i ＋1
2＝2－i.
(2)若z ＝1＋2i ，则4i
z z －1＝________.
答案 i
解析 z ＝1＋2i ，z z ＝5，4i
z z －1
＝i.
(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i
＝________. 答案 －1＋i
解析 原式＝
⎣⎡⎦⎤(1＋i )226＋(2＋3i )(3＋2i )(3)2＋(2)2
＝i 6＋
6＋2i ＋3i －6
5
＝－1＋i.
命题点3 复数的综合运算
典例 (1)(2013·江苏)设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为________． 答案 5
解析 z ＝(2－i)2＝3－4i ，|z |＝32＋(－4)2＝5.
(2)若复数z 满足2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z ＝________. 答案 1－2i
解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ， ∴2(a ＋b i)＋(a －b i)＝3－2i ，整理得3a ＋b i ＝3－2i ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＝3，b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝－2，
∴z ＝1－2i. (3)若z ＝4＋3i ，则z |z |
＝________.
答案 45－35
i
解析 z ＝4＋3i ，|z |＝5，
z
|z |＝45－35
i. 思维升华 复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略
(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．
(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式.
(3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再结合相关定义解答．
(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再结合复数的几何意义解答．
(5)复数的综合运算．分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的． 跟踪训练 (1)(1＋i )3(1－i )2＝________.
答案 －1－i
解析 方法一 (1＋i )3(1－i )2＝(1＋i )(1＋i )2
－2i
＝(1＋i )(1＋i 2＋2i )
－2i
＝－2＋2i －2i ＝1－i i
＝－1－i.
方法二 (1＋i )3(1－i )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2
(1＋i)＝i 2(1＋i)＝－(1＋i)． (2)已知(1－i )2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝________.
答案 －1－i
解析 由(1－i )2z ＝1＋i ，知z ＝(1－i )21＋i ＝－2i
1＋i ＝－1－i.
(3)－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫21－i 2 017
＝________. 答案
22＋⎝⎛⎭⎫22＋1i 解析
－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫21－i 2 017
＝i (1＋23i )1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 1 008 ＝i ＋i 1 008·22(1＋i)＝22＋⎝⎛⎭⎫2
2＋1i.
题型三 复数的几何意义
典例 (1)(2017·北京改编)若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－1)
解析 ∵(1－i)(a ＋i)＝a ＋i －a i －i 2＝a ＋1＋(1－a )i ，
又∵复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＋1<0，1－a >0，解得a <－1. (2)已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，其中i 是虚数单位，且|z －2|＝3，则y x 的最大值为________．
答案
3
解析 ∵|z －2|＝(x －2)2＋y 2＝3， ∴(x －2)2＋y 2＝3.
结合如图所示的图形，可知⎝⎛⎭⎫y x max ＝3
1＝ 3.
(3)如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：
①AO →，BC →
所表示的复数； ②对角线CA →
所表示的复数； ③B 点对应的复数．
解 ①∵AO →＝－OA →，∴AO →
所表示的复数为－3－2i. ∵BC →＝AO →，∴BC →
所表示的复数为－3－2i.
②∵CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为
(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
③OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，
∴OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，
即B 点对应的复数为1＋6i.
思维升华 因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．
跟踪训练 已知z 是复数，z ＋2i ，z 2－i
均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．
解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，
∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2.
∵z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15
(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15
(x －4)i ， 由题意得x ＝4.∴z ＝4－2i.
∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，
根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧
12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0， 解得2<a <6，
∴实数a 的取值范围是(2,6)．。