2021届人教a版(文科数学) 空间点线面的 位置关系 单元测试
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19、请给以下各图分类．
20、如图, 是底面半径为1的圆柱的内接正六棱柱(底面是正六边形,侧棱垂直于底面),过FB作圆柱的截面交下底面于 ,已知 .
(1)证明:四边形 是平行四边形;
(2)证明: ;
(3)求三棱锥 的体积.
21、如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分是以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到的一几何体，求该几何体的表面积和体积.(其中∠BAC＝30°)
6、答案B
7、答案B
平行于底面的平面截圆锥可以得到一个小圆锥，利用它的底面与原圆锥的底面的面积之比得到相应的母线长之比，故可得截面分母线段长所成的两段长度之比.
详解
设截面圆的半径为 ，原圆锥的底面半径为 ，则 ，所以小圆锥与原圆锥的母线长之比为 ，故截面把圆锥母线段分成的两段比是 .选B.
名师点评
在平面几何中，如果两个三角形相似，那么它们的面积之比为相似比的平方，类似地，在立体几何中，平行于底面的平面截圆锥所得的小圆锥与原来的圆锥的底面积之比为 ，体积之比为 （ 分别为小圆锥的底面半径和原圆锥的底面半径）.
A. B. C. D.
9、如图，网格纸的各小格都是正方形（边长为1），粗实线画出的是一个凸多面体的三视图(两个矩形，一个直角三角形)，则这个几何体的表面积为（）
A. B.
C. D.
10、一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A. B. C. D.
11、己知某三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形，则该三棱锥的体积为（ ）
3、
现为一球状巧克力设计圆锥体的包装盒，若该巧克力球的半径为 ，则其包装盒的体积的最小值为（）。
A． B． C． D．
4、
底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥.如图，半球内有一内接正四棱锥 ，该四棱锥的侧面积为 ，则该半球的体积为(）。
A． B． C． D．
5、已知正三棱锥 的顶点均在球 的球面上，过侧棱 及球心 的平面截三棱锥及球面所得截面如图所示，已知三棱锥的体积为 ，则球 的表面积为( )
4、答案D
由题意知，设半球的半径为 ，正方形 的边长为 ，顶点 在底面的身影是半球的球心 ，取 的中点 ，连接 ，如图所示，则 ，所以四棱锥的侧面积为 ， ，所以该半球的体积为 .故选D.
名师点评：此题主要考查立体几何中简单组体的表面积和体积的计算，这里涉及到正四棱锥的侧面积和半球的体积的计算等方面的知识与技能，属于中档题型，也是常考考点.解决此类问题的突破口在于把空间组合体问题转化为平面图形问题，由于四棱锥侧面积涉及到斜高，而半球的体积涉及到其半径，所以在选截面图时要能把斜高和半径联系起来的平面图，再根据平面图形的特点来解决问题.
22、在直三棱柱 中, , ，求：
（1）异面直线 与 所成角的大小；
（2）四棱锥 的体积．
参考答案
1、答案B
几何体如图，则体积为 ，选Ｂ．
2、答案B
由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥， .
故选：B.
3、答案B
如图，设 ，
则
，
当 时，
故选
名师点评：本题考查了球内接于圆锥体，求圆锥的体积最值，在解答过程中，运用三角函数表示相关量，按照体积的计算公式表示体积，然后利用函数性质求出最值，选取何种方式建立函数表达式是本题关键
15、一个空间几何体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是一个的圆，尺寸如图，那么这个几何体的侧面积为．
16、已知正四棱锥的底边和侧棱长均为 ，则该正四棱锥的外接球的表面积为.
17、底面是菱形的直平行六面体的高为12cm，两条体对角线的长分别是15cm和20cm，求底面边长
18、已知圆柱的侧面展开图是边长为4和6的矩形，则该圆柱的表面积为
2021届人教A版（文科数学） 空间点线面的 位置关系 单元测试
1、
如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）。
A． 7 B． 6 C． 5 D． 4
2、
某几何体的三视图如图所示（单位： ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位： ）是（）。
A． B． C． D．
8、答案A
因为 是边长为1的正三角形,所以 的外接圆的半径为 ,又因为球的半径为1,所以球心O到平面ABC的距离为 ,则点S到平面ABC的距离为 ,所以此棱锥的体积为V= .
故选:A
名师点评：空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
A. B. C. D.
6、用固定的速度向图中形状的瓶子注水，则水面的高度h和时间t之间的关系是( )
7、用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是1：3，这截面把圆锥母线分成的两段的比是（ ）
A． 1：3 B． 1：（ ） C． 1：9 D．
8、已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上, 是边长为1的正三角形, 为球 的直径,且 ,则此棱锥的体积为
A． B． C． D．
12、如右图所示的直观图，其平面图形的面积为（）
A．3 B．6 C． D．
13、某几何体的三视图(单位：cm)如下图，则这个几何体的表面积为cm2.
14、如图所示,一个简单的空间几何体的正视图和侧视图是边长为2的正三角形,俯视图轮
廓为正方形,该几何体的体积为___________.
5ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ答案A
分析：根据图示，这个截面三角图形和球的体积，求得正三棱锥的底面边长，进而求得球的半径，求的球的表面积.
详解：设正三棱锥的底面边长为 ，外接球的半径为 ，
因为正三棱锥的底面为正三角形，边长为 ，则 ，则 ，
所以 ，即 ，
又因为三棱锥的体积为 ，所以 ，
解得 ，所以球的表面积为 ，故选A.
名师点评：本题考查了空间想象能力，关键是抓住这个截面三角形由原正三棱锥的一条棱，一个侧面三角形的中线和侧面是正三角形的中线围成，正三棱锥的外接球的球心在截面正三角形的重心上，着重考查学生分析问题和解答问题的能力.
(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．
20、如图, 是底面半径为1的圆柱的内接正六棱柱(底面是正六边形,侧棱垂直于底面),过FB作圆柱的截面交下底面于 ,已知 .
(1)证明:四边形 是平行四边形;
(2)证明: ;
(3)求三棱锥 的体积.
21、如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分是以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到的一几何体，求该几何体的表面积和体积.(其中∠BAC＝30°)
6、答案B
7、答案B
平行于底面的平面截圆锥可以得到一个小圆锥，利用它的底面与原圆锥的底面的面积之比得到相应的母线长之比，故可得截面分母线段长所成的两段长度之比.
详解
设截面圆的半径为 ，原圆锥的底面半径为 ，则 ，所以小圆锥与原圆锥的母线长之比为 ，故截面把圆锥母线段分成的两段比是 .选B.
名师点评
在平面几何中，如果两个三角形相似，那么它们的面积之比为相似比的平方，类似地，在立体几何中，平行于底面的平面截圆锥所得的小圆锥与原来的圆锥的底面积之比为 ，体积之比为 （ 分别为小圆锥的底面半径和原圆锥的底面半径）.
A. B. C. D.
9、如图，网格纸的各小格都是正方形（边长为1），粗实线画出的是一个凸多面体的三视图(两个矩形，一个直角三角形)，则这个几何体的表面积为（）
A. B.
C. D.
10、一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A. B. C. D.
11、己知某三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形，则该三棱锥的体积为（ ）
3、
现为一球状巧克力设计圆锥体的包装盒，若该巧克力球的半径为 ，则其包装盒的体积的最小值为（）。
A． B． C． D．
4、
底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥.如图，半球内有一内接正四棱锥 ，该四棱锥的侧面积为 ，则该半球的体积为(）。
A． B． C． D．
5、已知正三棱锥 的顶点均在球 的球面上，过侧棱 及球心 的平面截三棱锥及球面所得截面如图所示，已知三棱锥的体积为 ，则球 的表面积为( )
4、答案D
由题意知，设半球的半径为 ，正方形 的边长为 ，顶点 在底面的身影是半球的球心 ，取 的中点 ，连接 ，如图所示，则 ，所以四棱锥的侧面积为 ， ，所以该半球的体积为 .故选D.
名师点评：此题主要考查立体几何中简单组体的表面积和体积的计算，这里涉及到正四棱锥的侧面积和半球的体积的计算等方面的知识与技能，属于中档题型，也是常考考点.解决此类问题的突破口在于把空间组合体问题转化为平面图形问题，由于四棱锥侧面积涉及到斜高，而半球的体积涉及到其半径，所以在选截面图时要能把斜高和半径联系起来的平面图，再根据平面图形的特点来解决问题.
22、在直三棱柱 中, , ，求：
（1）异面直线 与 所成角的大小；
（2）四棱锥 的体积．
参考答案
1、答案B
几何体如图，则体积为 ，选Ｂ．
2、答案B
由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥， .
故选：B.
3、答案B
如图，设 ，
则
，
当 时，
故选
名师点评：本题考查了球内接于圆锥体，求圆锥的体积最值，在解答过程中，运用三角函数表示相关量，按照体积的计算公式表示体积，然后利用函数性质求出最值，选取何种方式建立函数表达式是本题关键
15、一个空间几何体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是一个的圆，尺寸如图，那么这个几何体的侧面积为．
16、已知正四棱锥的底边和侧棱长均为 ，则该正四棱锥的外接球的表面积为.
17、底面是菱形的直平行六面体的高为12cm，两条体对角线的长分别是15cm和20cm，求底面边长
18、已知圆柱的侧面展开图是边长为4和6的矩形，则该圆柱的表面积为
2021届人教A版（文科数学） 空间点线面的 位置关系 单元测试
1、
如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）。
A． 7 B． 6 C． 5 D． 4
2、
某几何体的三视图如图所示（单位： ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位： ）是（）。
A． B． C． D．
8、答案A
因为 是边长为1的正三角形,所以 的外接圆的半径为 ,又因为球的半径为1,所以球心O到平面ABC的距离为 ,则点S到平面ABC的距离为 ,所以此棱锥的体积为V= .
故选:A
名师点评：空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
A. B. C. D.
6、用固定的速度向图中形状的瓶子注水，则水面的高度h和时间t之间的关系是( )
7、用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是1：3，这截面把圆锥母线分成的两段的比是（ ）
A． 1：3 B． 1：（ ） C． 1：9 D．
8、已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上, 是边长为1的正三角形, 为球 的直径,且 ,则此棱锥的体积为
A． B． C． D．
12、如右图所示的直观图，其平面图形的面积为（）
A．3 B．6 C． D．
13、某几何体的三视图(单位：cm)如下图，则这个几何体的表面积为cm2.
14、如图所示,一个简单的空间几何体的正视图和侧视图是边长为2的正三角形,俯视图轮
廓为正方形,该几何体的体积为___________.
5ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ答案A
分析：根据图示，这个截面三角图形和球的体积，求得正三棱锥的底面边长，进而求得球的半径，求的球的表面积.
详解：设正三棱锥的底面边长为 ，外接球的半径为 ，
因为正三棱锥的底面为正三角形，边长为 ，则 ，则 ，
所以 ，即 ，
又因为三棱锥的体积为 ，所以 ，
解得 ，所以球的表面积为 ，故选A.
名师点评：本题考查了空间想象能力，关键是抓住这个截面三角形由原正三棱锥的一条棱，一个侧面三角形的中线和侧面是正三角形的中线围成，正三棱锥的外接球的球心在截面正三角形的重心上，着重考查学生分析问题和解答问题的能力.
(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．