第三章 气体管流的基本方程

上式中第一项为惯性项，表示动量随时间的变化，反映了过程的不稳
定性，具有定点变化的特征。第二项为对流项，表示动量随管长的变化， 即控制体从一组流动参数改变为另一组参数时动量的改变量。
14

作用于控制体内气体上的力有重力、压力和摩擦力，它
们的冲量分别为 （ 1）重力在流动方向上的分量为
gFdx sin
( w) p ( w 2 ) ds w 2 g x x dx D 2
对于稳定流动 ( w) 0 ，且 ( w) 0 ，得 x dp dw ds w 2 w g dx dx dx D 2 注
（3-7）
1
• 通常，这些描述气体运动的基本定律
都是对一个系统来叙述的。 • 系统:是相同物质的一种任意组合。 • 在气体管流的情况下，根据气体流经 某一空间体积来观察问题比根据某一 特定质量的同一气体来观察问题更为 简单、容易。此处该空间体积就称为 控制体，控制体的表面称为控制面。
2
•
输气管的直径在很长距离上是不变的。 管路的曲率半径比直径大的多。垂直于流线 方向上的流体参数的变化与沿着流线方向上 的变化相比可以忽略不计，因此这种流动可 看作一元流动。这就意味着在管路任一截面 上所有流体参数可以看作是均匀的，实际上 即该断面上的平均值。对于一元流动，流体 运动参数p、ρ 、w和T只是时间τ 和沿管轴长 度x 的函数。
Q Q ( wF )dxd x
（3-13）
Q w2 w2 ( wF )dxd [( F )(u gs)]dxd [( wF )(h gs)]dxd x 2 x 2
即
（3-14）
Q w2 w2 ( wF ) [( F )(u gs)] [( wF )(h gs)] x 2 x 2
（3-12）
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三、在时间dτ内的热交换
Q 为单位质量流量气 x Q ( wF )dx ，那 体在单位管长上的热交换率。管长dx上单位时间的热交换为 x 么在时间 dτ内从长度dx管段上的热损失为
设 dQ为单位质量流量的气体在长度dx上的换热量，则
根据式（3-9）、（3-11）、（3-12）和（3-13）得
稳定流常用的能量方程

代入（3-15）得
( h dT h dp dw ds dQ )p ( )T w g T dx p dx dx dx dx
（3-16）
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应该指出：由连续性方程式（3-1）、运动方程式（3-
7）、能量方程式（ 3-14）和气体状态方程组成的方程组可 以用来求解管道中任意断面 x和任意时间 τ的气体流动参数 p、
即
( F )dxd ( wF )dxd 0 x
或
F ( wF ) 0 （3－1） x
连续性方程
8

这就是刚性管内一元流动的质量连续条件。方程（3－1）称为 连续性方程。对于稳定流，其流动参数不随时间改变， 方程（ 3-1）变为
( wF ) 0 x
确指出：系统储存能的变化Δ E等于引入的热量Δ Q减去对
外所作的功Δ A，即
Δ E ＝Δ Q－Δ A
（3-9）
21
热力学规定： 吸热为正，放热为负； 系统对外做功为正，外界对系统做功为负。 下面我们应用热力学第一定律阐明气体管流的能量
方程：
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一、储存能的变化 在重力场中，储存能为
w2 E m(u gs) 2
代入式（3-14）并化简得
dQ d w2 ( wF ) ( wF ) (h gs) dx dx 2
即
（3-15）
dh dw ds dQ w g dx dx dx dx
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dh dw ds dQ w g dx dx dx dx
由热力学一般关系式可知
h h dh ( ) p dT ( ) T dp T p
w 2 Fd ( Fw 2
第二部分动量改变量等于动量增加值与减少值之差，即
d (mw) ( w 2 F ) dxd x
13

控制体总的动量改变
( Fw) ( w 2 F ) d (mw) d (mw) d (mw) dxd dxd x
（3-14）
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式（ 3-14）即为能量方程的表达式之一。
Q w2 w2 ( wF ) [( F )(u gs)] [( wF )(h gs)] x 2 x 2 2 对于稳定流动 [( F )(u w gs)] 0 ，且 wF 常数，d ( wF ) ， 0 dx 2
，其冲量为
gF sin dxd
15

（ 2）压力的冲量 在 x断面的压力为pF，在x＋dx断面上的压力与流动方向 相反，并等于
(p
p F dx)( F dx) x x
脱括号并去掉dx的高次项，得x+dx断面上的压力为
pF pF dx x
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故两侧压力之和的冲量为
d (mw) Ni d

（3-4）
如图 3－2所示，作为一元流动，控制体的动量改变由两部分组成。 第一部分为控制体的动量随时间的改变量，即dτ时间内由于过程不 稳定而引起的改变量，可写为
( Fdxw) ( Fw) d mw d dxd
10
S
wdτ
(w
式中
m——系统的质量；
u——内能；
w——系统内气体的运动速度； s——系统的位置高程。
故控制体的储存能力
w2 E Fdx (u gs) 2
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在时间dτ内的储存能变化
w2 E [( Fdx )(u gs)]d 2

（3-11）
二、在时间dτ内控制面上的流动净功和交换的能量 如图 3-1的 Ⅰ－Ⅰ截面上为对控制体做流动功和流入的能量为
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( Fw) ( w 2 F ) d (mw) d (mw) d (mw) dxd dxd x

各项冲量之和为
pF w2 N i d gF sin dxd x dxd D 2 Fdxd ( Fw) ( w 2 F ) pF w 2 gF sin F （3-5） x x D 2
或
（3-2）
上式表示管道任意截面的质量流量相等。若流通截面F不随x而 变化，则
w 常数
或
1 w1 2 w2
（3-3）
9
即管道任意截面上的密度与流速成反比。
第二节 运动方程

运动方程的基础是牛顿第二定律。对于控制体可表示为： 控制体内流体的动量改变等于作用在该流体上所有力的冲
量之和，即
3
• 我们要讨论的是，以刚性管道的一元 流动为基础，按控制体的方法来推导 输气管的气体流动的基本方程。
4
第一节 连续性方程

连续性方程的基础是质量守恒定律。科 学实践证明，在运动速度远低于光速的 系统中，质量不能被创造也不能被消灭， 无论经过什么运动形式，其总质量是不 变的。气体在管内流动过程中，系统的 质量保持守恒。
F w w (F dx)(w dx)d ( dx)(w dx) x x x x
12

去括号后舍去dx的高次项，得
w F 2 Fw w2 )dxd x x x 2 ( w F) w 2 Fd dxd x
一元稳定流动运动方程
（3-8）
( w 2 ) ( w w) ( w) w w w x x x x
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第三节 能量方程

自然界一切物质都具有能量。根据能量守恒定律，能量
既不能被创造，也不可能被消灭，而只能从一种形式转变
为另一种形式，在转换中能量的总量保持不变。对任何系 统而言，各项能量之间的平衡关系一般可表示为 进入系统的能量－离开系统的能量＝系统储存能的变化 能量守恒定律对热现象的说明——热力学第一定律更明
第三章
气体管流方 向，压力下降，密度减小，流速不断增大， 温度同时也在变化。在不稳定流动（非定 常流）的情况下，这些变化更为复杂、激 烈。描述气体管流状态的参数有四个：压 力p、密度ρ 、流速w和温度T。为求解这 些参数有四个基本方程:连续性方程、运 动方程、能量方程和气体状态方程。
根据式（3-4）并消去dxdτ得
当流道面积F不随x改变时，则得
( w) ( w 2 ) p w 2 （3-6） g sin x x D 2 由于 sin ds dx ， ds为 dx段上的高程变化，代入上式即得常用
的运动方程
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运动方程
，去括号舍去dx
的高次项得
wF wF dx d x
流入流出两者之差即控制体内的净增质量
wF dxd x
7

控制体内的质量为Fdx，因此时间d 内控制体中的质量变化 为
( Fdx )d
显然，流入控制体的净增质量应等于控制体内质量随时间的变化，
pF pF ( pF pF dx)d dxd x x
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（ 3）摩擦力的冲量 在运动方向的总的摩擦力dT＝－τdxX，X为湿周，τ为壁上的 剪切应力。根据流体力学可知：
管道直径 D 4 F 或 X 4 F X D 2 摩阻系数 8 / w 或 w 2 8 将上二值代入得 w2 dT Fdx D 2 2 w 其冲量为 dTd Fdxd D 2
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联立式（3-9）、（3-11）、（3-12）、（3-13）得
w2 A A2 A1 [( wF )(h gs)]dxd x 2 Q Q ( wF )dxd x
Δ E ＝ Δ Q －Δ A w2 E [( Fdx )(u gs)]d 2
w dx)d x
Ⅰ
Ⅱ
Ⅰ’
Ⅱ’
w w dx x
x
α dG dx x
Y

第二部分为dτ时间内控制体由Ⅰ－Ⅰ’移至Ⅱ－Ⅱ’后相应
的动量改变量，即控制体由于位移增加的动量与减少的动
量之差。减少的动量即Ⅰ－Ⅱ之间那部分气体的动量，为
( Fwd ) w w2 Fd
增加的动量为Ⅰ’－Ⅱ’之间那部分气体的动量，为
（3-9） （3-11） （3-12） （3-13）
Q w2 w2 ( wF )dxd [( F )(u gs)]dxd [( wF )(h gs)]dxd x 2 x 2 Q w2 w2 ( wF ) [( F )(u gs)] [( wF )(h gs)] x 2 x 2
w2 A1 wdF ( pv u gs) 2 w2 wF (h gs)d 2
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截面Ⅱ－Ⅱ上对外做流动功和流出的能量为

w2 w2 A2 wF (h gs)d [( wdF )(h gs)]dx 2 x 2 两者之差即加入控制体的流动净功和能量 w2 A A2 A1 [( wF )(h gs)]dxd x 2
5
Ⅰ
dx
Ⅱ
w Ⅰ 压力p 密度ρ 流速w 面积F
w
w dx x
p dx x dx x w w dx x F F dx x p
Ⅱ
6

如图 3-1，在时间dτ内，进入控制面的质量是 wFd; 流出控 制面的质量是
w F dx w dx F dx d x x x