C14 江苏省扬州、泰州、南通、淮安、宿迁、徐州六市2017届高三二模数学试题

i ←1While i < 6 i ←i +2 S ←2i +3 End While Print S（第3题）宿迁市2017届高三第二次调研测试数学学科一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1． 已知集合{} 03 4 A =，，，{} 102 3 B =-，，，，则A B = ▲ ． 2． 已知复数3i1iz -=+，其中i 为虚数单位，则复数z 的模是 ▲ ． 3． 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 是 ▲ ．4． 现有1 000根某品种的棉花纤维，从中随机抽取50根，纤维长度（单位：mm ）的数据分组及各组的频数见右上表，据此估计这1 000根中纤维长度不小于37.5 mm 的根数是 ▲ ． 5． 100张卡片上分别写有1，2，3，…，100．从中任取1张，则这张卡片上的数是6的倍数的概率是 ▲ ．6． 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线24y x =上一点P 到焦点的距离为3，则点P 的横坐标是 ▲ ．7． 现有一个底面半径为3 cm ，母线长为5 cm 的圆锥状实心铁器，将其高温融化后铸成一个实心铁球（不计损耗），则该铁球的半径是 ▲ cm ． 8． 函数()f x =的定义域是 ▲ ．9． 已知{}n a 是公差不为0的等差数列，n S 是其前n 项和．若2345a a a a =，927S =，则1a 的值是 ▲ ．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：()()22481x y -+-=，圆2C ：()()22669x y -++=．若圆心在x 轴上的圆C 同时平分圆1C 和圆2C 的圆周，则圆C 的方程是 ▲ ．（第4题）11．如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且3OA =，5OC =．若AB →·AD →=-7， 则BC →·DC →的值是 ▲ ．12．在△ABC 中，已知2AB =，226AC BC -=，则tan C 的最大值是 ▲ ．13．已知函数20()1 0x m x f x x x -+<⎧=⎨-⎩≥，，，，其中0m >．若函数()()1y f f x =-有3个不同的零点，则m 的取值范围是 ▲ ．14．已知对任意的x ∈R ，()()3sin cos 2sin2 3 a x x b x a b ++∈R ≤，恒成立，则当a b +取得最小值时，a 的值是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）已知()πsin α+，()ππ2α∈，． 求：（1）cos α的值； （2）()πsin 24α-的值．16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，A 1B 与AB 1交于点D ，A 1C 与AC 1交于点E ．求证：（1）DE ∥平面B 1BCC 1； （2）平面1A BC ⊥平面11A ACC ．(第11题)C 1ACA 1B 1 D(第16题)E如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222 1 (0)y x a b a b+=>>的离心率为23，C 为椭圆上位于第一象限内的一点．（1）若点C 的坐标为()523，，求a ，b 的值；（2）设A 为椭圆的左顶点，B 为椭圆上一点，且AB →=12OC →，求直线AB 的斜率．(第17题)一缉私艇巡航至距领海边界线l（一条南北方向的直线）3.8海里的A处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据：sin17°≈5.7446）（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．北(第18题)已知函数1()ex f x =，()ln g x x =，其中e 为自然对数的底数．（1）求函数()()y f x g x =在x =1处的切线方程；（2）若存在12x x ，()12x x ≠，使得[]1221()()()()g x g x f x f x λ-=-成立，其中λ为常数，求证：e λ>；（3）若对任意的(]01x ∈，，不等式()()(1)f x g x a x -≤恒成立，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为S n ()*n ∈N ，且满足：①12 a a ≠；②()()()22112n n r n p S n n a n n a +-=++--，其中r p ∈R ，，且0r ≠． （1）求p 的值；（2）数列{}n a 能否是等比数列？请说明理由； （3）求证：当r =2时，数列{}n a 是等差数列．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，已知△ABC 内接于⊙O ，连结AO 并延长交⊙O 于点D ，ACB ADC ∠=∠． 求证：2AD BC AC CD ⋅=⋅．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）设矩阵A 满足：A 1206⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1203--⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵A 的逆矩阵1-A ．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线32x y ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，（l 为参数）与曲线218x t y t ⎧=⎪⎨⎪=⎩，（t 为参数）相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设x y z ，，均为正实数，且1xyz =，求证：333111xy yz zx x y y z z x++++≥．（第21—A 题）【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱．（1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a（a为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a．求观众与乐队的互动指数之和X的概率分布及数学期望．23．（本小题满分10分）设*2n n ∈N ≥，．有序数组()12n a a a ⋅⋅⋅，，，经m 次变换后得到数组()12m m m n bb b ⋅⋅⋅，，，，，，，其中11i i i b a a +=+，，111m i m i m i b b b --+=+，，，（i =1，2，⋅⋅⋅，n ），11n a a +=，1111m n m b b -+-=，，(2)m ≥．例如：有序数组()123，，经1次变换后得到数组()122331+++，，，即()354，，；经第2次变换后得到数组()897，，． （1）若 (12)i a i i n ==⋅⋅⋅，，，，求35b ，的值； （2）求证：0C mj m i i j m j b a +==∑，，其中i =1，2，⋅⋅⋅，n ．（注：当i j kn t +=+时，*k ∈N ，t =1，2，⋅⋅⋅，n ，则i j t a a +=．）答案1．【答案】{}03，2．3．【答案】17 4．【答案】1805．【答案】425（或0.16）6．【答案】27．8．【答案】[]22-， 9．【答案】5-10．【答案】2281x y += 11．【答案】912．13．【答案】(01)，14．【答案】45-15．解：（1）法一：因为()ππ2α∈，，所以()π3π5π444α+∈，，又()πsin 4α+，所以()πcos 4α+=． …… 3分所以()ππcos cos αα⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦()()ππππcos cos sin sin 4444αα=+++=35=-． …… 6分法二：由()πsin 4α+=得，ππsin cos cos sin 44αα+=，即1sin cos 5αα+=． ① …… 3分又22sin cos 1αα+=. ②由①②解得3cos 5α=-或cos α=45．因为()ππ2α∈，，所以3cos 5α=-． …… 6分 （2）因为()ππ2α∈，，3cos 5α=-，所以4sin 5α． …… 8分所以()4324sin22sin cos 25525ααα==⨯⨯-=-，()2237cos22cos 12αα=-=⨯-=-． …… 12分所以()πππsin 2sin 2cos cos2sin 444ααα-=-()()2472525=--= …… 14分 16．证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，四边形A 1ACC 1为平行四边形． 又E 为A 1C 与AC 1的交点，所以E 为A 1C 的中点． …… 2分同理，D 为A 1B 的中点，所以DE ∥BC ． …… 4分 又BC ⊂平面B 1BCC 1，DE ⊄平面B 1BCC 1，所以DE ∥平面B 1BCC 1． …… 7分（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，所以1AA BC ⊥． …… 9分 又AC BC ⊥，1AC AA A = ，1AC AA ⊂，平面11A ACC ， 所以BC ⊥平面11A ACC ． …… 12分 因为BC ⊂平面1A BC ，所以平面1A BC ⊥平面11A ACC ． …… 14分17．解：（1）因为椭圆的离心率为23，23=，即2259b a=．①又因为点C ()523，在椭圆上，所以42519a b +=． ② …… 3分 由①②解得2295a b ==，．因为0a b >>，所以3a b =， …… 5分（2）法一：由①知，25b a =，所以椭圆方程为2222915y x a a+=，即222595x y a +=．设直线OC 的方程为x my =()0m >，11()B x y ，，22()C x y ，．由222595x my x y a=⎧⎨+=⎩，得2222595m y y a +=，所以222559a y m =+．因为20y >，所以2y =． … 8分 因为AB →=12OC →，所以//AB OC ．可设直线AB 的方程为x m y a =-．由222595x my a x y a=-⎧⎨+=⎩，得22(59)100m y amy +-=， 所以0y =或21059am y m =+，得121059am y m =+． …… 11分因为AB →=12OC →，所以()()112211x a y x y +=，，，于是212y y =，22059am m =+()0m >，所以m =所以直线AB 的斜率为1m ． …… 14分法二：由（1）可知，椭圆方程为222595x y a +=，则(0)A a -，． 设11()B x y ，，22()C x y ，．由AB →=12OC →，得()()112211x a y x y +=，，，所以1212x x a =-，1212y y =． …… 8分 因为点B ，点C 都在椭圆222595x y a +=上，所以()()22222222225951595.22x y a y x a a ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩， 解得24a x =，2y …… 12分所以直线AB的斜率22y k == …… 14分 18．解：（1）设缉私艇在C 处与走私船相遇（如图甲）， 依题意，3AC BC =． …… 2分 在△ABC 中，由正弦定理得，sin sin BC BAC ABC AC ∠=∠sin1203=． 因为sin17°≈，所以17BAC ∠=°． 从而缉私艇应向北偏东47 方向追击． …… 5分 在△ABC 中，由余弦定理得，2224cos1208BC AC BC+-=，解得BC = 1.68615≈．又B 到边界线l 的距离为3.84sin30 1.8-= ．因为1.68615 1.8<，所以能在领海上成功拦截走私船． …… 8分 （2）如图乙，以A 为原点，正北方向所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系xOy ． 则(2B ，，设缉私艇在()P x y ，处（缉私艇恰好截住走私船的位置）与走私船相遇，则3PA PB=3．整理得，()(229944x y -+=， …… 12分所以点()P x y ，的轨迹是以点(94为圆心，32为半径的圆．因为圆心(94到领海边界线l ： 3.8x =的距离为 所以缉私艇能在领海内截住走私船． …… 14分 答：（1）缉私艇应向北偏东47 方向追击；（2）缉私艇总能在领海内成功拦截走私船． …… 16分A BC图甲19．解：（1）因为ln ()()e x xy f x g x ==，所以()211e ln e ln e e x x x x x xx x y ⋅-⋅-'==，故11e x y ='=． 所以函数()()y f x g x =在x =1处的切线方程为1(1)ey x =-，即e 10x y --=． …… 2分（2）由已知等式[]1221()()()()g x g x f x f x λ-=-得1122()()()()g x f x g x f x λλ+=+．记()()()ln e x p x g x f x x λλ=+=+，则e ()e x x x p x x λ-'=． …… 4分 假设e λ≤．① 若λ≤0，则()0p x '>，所以()p x 在()0+∞，上为单调增函数．又12()()p x p x =，所以12x x =，与12x x ≠矛盾． …… 6分 ② 若0e λ<≤，记()e x r x x λ=-，则()e x r x λ'=-．令()0r x '=，解得0ln x λ=．当0x x >时，()0r x '>，()r x 在()0x +∞，上为单调增函数； 当00x x <<时，()0r x '<，()r x 在()00x ，上为单调减函数． 所以0()()=1ln )0r x r x λλ-≥（≥，所以()0p x '≥， 所以()p x 在()0+∞，上为单调增函数．又12()()p x p x =，所以12x x =，与12x x ≠矛盾．综合①②，假设不成立，所以e λ>． …… 9分 （3）由()()(1)f x g x a x -≤得ln e (1)x x a x --≤0． 记ln e (1)x F x x a x --()=，0x <≤1， 则()11e e e x x F x ax x a x '-=-()=． ① 当1e a ≤时，因为211ee x x ≥，e 0x x >，所以0F x '()≥， 所以F x ()在(]0+∞，上为单调增函数，所以(1)F x F ()≤=0，故原不等式恒成立． …… 12分 ② 法一：当1e a >时，由（2）知e e x x ≥，3211e e a x F x a x x x-'-=()≤，当()1e 1a x -<<时，0F x '<()，()F x 为单调减函数， 所以(1)F x F >()=0，不合题意． 法二：当1ea >时，一方面1=1e 0F a '-<()．另一方面，111e x a ∃=<，()()111121111e e e e 10F x a x x a x a a x x '-=-=->()≥．所以01(1)x x ∃∈，，使0=0F x '()，又F x '()在(0)+∞，上为单调减函数， 所以当01x x <<时，0F x '<()，故F x ()在0(1)x ，上为单调减函数， 所以(1)F x F >()=0，不合题意．综上，1e a ≤． …… 16分20．解：（1）n =1时，211(1)220r p S a a -=-=， 因为12a a ≠，所以20S ≠，又0r ≠，所以p =1． …… 2分 （2）{}n a 不是等比数列．理由如下： 假设{}n a 是等比数列，公比为q ，当n =2时，326rS a =，即211(1)6ra q q a q ++=，所以2(1)6r q q q ++=， （i ） …… 4分 当n =3时，431212+4rS a a =，即2321112(1)124ra q q q a q a +++=+， 所以232(1)62r q q q q +++=+， （ii ） …… 6分由（i ）（ii ）得q =1，与12a a ≠矛盾，所以假设不成立．故{}n a 不是等比数列． …… 8分（3）当r =2时，易知3122a a a +=．由22112(1)()(2)n n n S n n a n n a +-=++--，得2n ≥时，11(1)(1)(2)211n n n n a n n a S n n +++-=+--， ① 112(1)(2)(1)(2)2n n n n a n n a S n n++++-+=+，② ②-①得，2112(1)(2)(1)(2)21(1)n n n n n a n n a n n a a n n n n +++++-+=-+--， …… 11分 即11121(1)(2)()(1)()2()1n n n n n a a n n a a a a n n ++++-+--=--， 211112()(2)()()11n n n a a n a a n a a n n n ++-+--=-+-， 即()2111111121n n n n a a a a n a a a a n n n n +++-----=-+- ()111(1)2212n n n n a a a a n n ----=-⨯-- =…… ()3121(1)3202223121n n a a a a -⨯⋅⋅⋅⨯--=-=⨯⨯⋅⋅⋅⨯--，所以11121121n n a a a a a an n ----==⋅⋅⋅=--，令21a a -=d ，则11n a a d n -=-(2)n ≥． …… 14分 所以1(1)(2)n a a n d n =+-≥. 又1n =时，也适合上式， 所以*1(1)()n a a n d n =+-∈N ． 所以*1()n n a a d n +-=∈N ．所以当r =2时，数列{}n a 是等差数列． …… 16分数学Ⅱ（附加题）21．A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）证明：连结OC ．因为ACB ADC ∠=∠，ABC ADC ∠=∠，所以ACB ABC ∠=∠． …… 3分 因为OC =OD ，所以OCD ADC ∠=∠． 所以ACB OCD ∠=∠．所以△ABC ∽△ODC ． …… 8分 所以AC BC OC CD=，即AC CD OC BC ⋅=⋅．因为1OC AD =，所以2AD BC AC CD ⋅=⋅． …… 10分B ．解：法一：设矩阵a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，则1206a b c d ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1203--⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以1a =-，262a b +=-，0c =，263c d +=． …… 4分 解得0b =，1d =，所以10102-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦A ． …… 6分 根据逆矩阵公式得，矩阵11002--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ． …… 10分 法二：在A 1206⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1203--⎡⎤⎢⎥⎣⎦两边同时左乘逆矩阵1-A 得， 1206⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1-A 1203--⎡⎤⎢⎥⎣⎦． …… 4分 设1-=A a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则1206⎡⎤=⎢⎥⎣⎦a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1203--⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以1a -=，232a b -+=，0c -=，236c d -+=． …… 6分 解得1a =-，0b =，0c =，2d =，从而11002--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ． …… 10分C ．解：法一：将曲线218x t y t⎧=⎪⎨⎪=⎩，（t 为参数）化为普通方程为28y x =． …… 3分将直线32x y ⎧=-+⎪⎨⎪⎩，（l 为参数）代入28y x =得，2240l -+=， …… 6分解得1l =2l =则12l l -=，所以线段AB的长为 …… 10分法二：将曲线218x t y t⎧=⎪⎨⎪=⎩，（t 为参数）化为普通方程为28y x =， …… 3分将直线32x y ⎧=-+⎪⎨⎪⎩，（l 为参数）化为普通方程为30x y -+=，… 6分 由28302y x x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，得，122x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，或926.x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 所以AB…… 10分D ．证明：因为x y z ，，均为正实数，且1xyz =，所以3122xy yz x x y +=≥，3122yz xz y y z+=≥，3122xz xy z z x +=≥．…… 8分 所以333111xy yz zx x y y z z x ++++≥． …… 10分 22．解：（1）设“至少演唱1首原创新曲”为事件A ，则事件A 的对立事件A 为：“没有1首原创新曲被演唱”．所以()4548C 13()1114C P A P A =-=-=．答：该乐队至少演唱1首原创新曲的概率为1314． …… 4分（2）设随机变量x 表示被演唱的原创新曲的首数，则x 的所有可能值为0，1，2，3． 依题意，()24X ax a x =+-，故X 的所有可能值依次为8a ，7a ，6a ，5a ．则458C 1(8)(0)C P X a P x =====，133548C C 3(7)(1)7C P X a P x =====，223548C C3(6)(2)7C P X a P x =====，313548C C 1(5)(3)14C P X a P x =====．从而X 的概率分布为：…… 8分所以X 的数学期望()133191876514771414E X a a a a a =⨯+⨯+⨯+⨯=．… 10分23．解：（1）依题意，()12345678n ⋅⋅⋅，，，，，，，，， 经1次变换为：()35791113151n ⋅⋅⋅+，，，，，，，，， 经2次变换为：()812162024284n ⋅⋅⋅+，，，，，，，， 经3次变换为：()202836445212n ⋅⋅⋅+，，，，，，，所以3552b =，． …… 3分（2）下面用数学归纳法证明对*m ∈N ，0C mjm i i j m j b a +==∑，，其中12i n =⋅⋅⋅，，，． （i ）当1m =时，11110C j i i i i j j b a a a ++==+=∑，，其中12i n =⋅⋅⋅，，，，结论成立； （ii ）假设*()m k k =∈N 时，k i b =，0C kj i jk j a+=∑，其中12i n =⋅⋅⋅，，，． … 5分 则1m k =+时，11k i k i k i b b b ++=+，，，10C C kkjj i j ki j k j j a a +++===+∑∑1101C C kk j j i j ki j k j j a a +-++===+∑∑()0111C C C C kj j ki ki j k k i k k j a a a -+++==+++∑0111111C C C kj k i k i j k i k k j a a a +++++++==++∑ 110C k j i j k j a +++==∑，所以结论对1m k =+时也成立．由（i ）（ii ）知，*m ∈N ，0C mjm i i j m j b a +==∑，，其中12i n =⋅⋅⋅，，，． …… 10分。