浙江省温州市江南中学2018年高三数学文上学期期末试题含解析
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参考答案：
B
略
4.已知F1、F2分别是双曲线 的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABF2为钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是
A．（1， ）B． C． D．
参考答案：
D
略
5.在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括周界），若使目标函数z=ax+y(a>0)取最大值的最优解有无穷多个，则a的值等于（）
浙江省温州市江南中学
一、
1.已知复数 ，则该复数在复平面内对应的点在第( )象限
A.一B.二C.三D.四
参考答案：
D
2.若椭圆 的左右焦点分别为 、 ，线段 被抛物线 的焦点分成 的两段，则此椭圆的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
参考答案：
答案： D
3.函数f（x）= 的零点的个数： （ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
在 及 处取得极值，
∴ ，整理得： ，
解得： ，
∴ 、 的值分别为 ，4；
（2）由（1）可知 ，
令 ，解得： 或 ，
令 ，解得： ，
的单调递增区间 ， ，单调递减区间 ．
21.（本小题满分10分，选修4—2 矩阵与变换）
已知矩阵
（1）求 ；
（2）满足AX= 二阶矩阵X
参考答案：
(1) ………4分 (2) ………10分
参考答案：
C
略
二、
11.
为了解某中学高一新生的体重情况，抽查了该中学100名高一新生的体重（kg），得到频率分布直方图（如右图）根据右图可得这100名学生中体重不小于60（kg）的学生人数是.
参考答案：
答案：30
12.实数x，y满足关系 ，则x2+y2的最大值是．
参考答案：
4
【考点】简单线性规划．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】作出可行域，x2+y2表示可行域内的点到原点的距离，数形结合可得．
【解答】解：作出 所对应的可行域（如图阴影），
x2+y2表示可行域内的点到原点的距离，
由图象可知当取点（﹣2，0）或（0，2）或（2，0）时，
x2+y2取最大值4
故答案为：4
【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．
A. B. C. D.
参考答案：
A
考点：几何概型
9.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图，则该样本的中位数、众数分别是（）
A.45，56 B.46，45 C.47，45 D.45，47
参考答案：
B
10.若点 和点 到直线 的距离依次为1和2，则这样的直线有( )
A．1条B．2条C．3条D．4条
设平面A1BC的法向量为n=(x,y,z).
由 得
取n=(1, ,1),故
sinθ=|cos< ,n>|= .
因此，直线EF与平面A1BC所成的角的余弦值为 .
20.已知函数 在 及 处取得极值．
（1）求 、 的值；
（2）求 的单调区间．
参考答案：
（1） ，4；（2）见解析．
（1）函数 ，求导， ，
不妨设AC=4，则在Rt△A1EG中，A1E=2 ，EG= .
由于O为A1G的中点，故 ，
所以 ．
因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是 ．
方法二：
（I）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.
又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E 平面A1ACC1，
平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC.
所以BC⊥平面A1EF.
因此EF⊥BC.
（Ⅱ）取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形．
由于A1E⊥平面ABC，故AE1⊥EG，所以平行四边形EGFA1为矩形．
由（I）得BC⊥平面EGFA1，则平面A1BC⊥平面EGFA1，
所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上.
连接A1G交EF于O，则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角）.
如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E–xyz.
不妨设AC=4，则
A1（0，0，2 ），B（ ，1，0）， ， ，C(0，2，0).
因此， ， ．
由 得 ．
（Ⅱ）设直线EF与平面A1BC所成的角为θ.
由（I）可得
=(－ ,1,0), =(0,2,－2 ).
当 时， ，
……………………2分
由 ，得 ，解得 ;由 ，得 ，解得 或 . ， 在 单调递增，在 单调递减；
所以 的极大值为 ，此即为最大值……………………4分
(Ⅱ) ，则有 在 上有解，
∴ ≥ ， ………6分
所以 当 时， 取得最小值 ……………8分
(Ⅲ)因为方程 有唯一实数解，所以 有唯一实数解，……9分
13.在三棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ，则该三棱锥的外接球表面积为________．
参考答案：
14π
在△ABC中，由余弦定理得
所以底面三角形的外接圆的半径为 故填14π.
14.直线 过点 ，则该直线的倾斜角为
参考答案：
15.设函数f（x）= x2+c，若 f（x）dx=1，则c=.
参考答案：
16.
∴ =（﹣2 ，﹣1， ）， =（ ，﹣1，0），
设平面BC1D1的一个法向量为 =（x，y，z），则 ，取 =（1， ，3），
由（1）A1C⊥平面BB1D1D，∴平面BB1D1D的一个法向量为 =（﹣ ，0， ），
设平面BC1D1与平面BB1D1D夹角为θ，则cosθ=|cos |=| |= = ．
（Ⅱ）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.
参考答案：
方法一：
（I）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.
又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E 平面A1ACC1，
平面A1ACC1∩平面ABC=AC，
所以，A1E⊥平面ABC，则A1E⊥BC.
又因为A1F∥AB，图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC，BD交于点O，A1O⊥平面ABCD，A1A=BD=2，AC=2 ．
（1）证明：A1C⊥平面BB1D1D；
（2）求平面BC1D1与平面BB1D1D夹角的余弦值．
参考答案：
（1）证明：∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O⊥BD，
∵A1O∩AC=O，∴BD⊥平面A1AC，∴BD⊥A1C，
由已知A1A=2，AC=2 ，
又AO=OC，A1O⊥AC，
∴A1A=A1C=2，A1A2+A1C2=AC2，∴A1C⊥A1A，
∵B1B∥A1A，∴A1C⊥B1B，BD∩B1B=B，
∴A1C⊥平面BB1D1D；
（2）解：以O为坐标原点，建立坐标系，则A（ ，0，0），B（0，1，0），C1（﹣2 ，0， ），
（D）当a≠0时，有2个零点；当a＝0时，有1个零点
参考答案：
A
略
7.如图，空间四边形 四边相等，顺次连接各边中点 ,则
四边形 一定是（）
A．菱形B．正方形C．矩形D．空间四边形
参考答案：
C
略
8.小赵和小王约定在早上7:00至7:30之间到某公交站搭乘公交车去上学.已知在这段时间内，共有3班公交车到达该站，到站的时间分别为7:10,7:20,7:30，如果他们约定见车就搭乘，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为 （ ）
参考答案：
充要
略
17.已知全集 ，集合 ，则 =▲.
参考答案：
{1}
三、
18.(本小题满分14分)设函数
(Ⅰ)当 时，求函数 的最大值；
(Ⅱ)令 （ ），其图象上存在一点 ，使此处切线的斜率 ，求实数 的取值范围；
(Ⅲ)当 ， 时，方程 有唯一实数解，求 的值．
参考答案：
(Ⅰ)依题意， 的定义域为 ，
A． B．1 C．6 D．3高考资源网
参考答案：
B
略
6.．已知函数 （其中 ），函数 ．下列关于函数 的零点个数的判断，正确的是
（A）当a＞0时，有4个零点；当a＜0时，有2个零点；当a＝0时，有无数个零点
（B）当a＞0时，有4个零点；当a＜0时，有3个零点；当a＝0时，有2个零点
（C）当a＞0时，有2个零点；当a≤0时，有1个零点
设 ，则 ， ，所以由 得 ，由 得 ，所以 在 上单调递增，
在 上单调递减， . ……………11分
若 有唯一实数解，则必有
所以当 时，方程 有唯一实数解. ………14分
19.如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1，平面A1AC1C⊥平面ABC, ， 分别是AC，A1B1的中点.
（I）证明：EF⊥BC；
B
略
4.已知F1、F2分别是双曲线 的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABF2为钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是
A．（1， ）B． C． D．
参考答案：
D
略
5.在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括周界），若使目标函数z=ax+y(a>0)取最大值的最优解有无穷多个，则a的值等于（）
浙江省温州市江南中学
一、
1.已知复数 ，则该复数在复平面内对应的点在第( )象限
A.一B.二C.三D.四
参考答案：
D
2.若椭圆 的左右焦点分别为 、 ，线段 被抛物线 的焦点分成 的两段，则此椭圆的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
参考答案：
答案： D
3.函数f（x）= 的零点的个数： （ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
在 及 处取得极值，
∴ ，整理得： ，
解得： ，
∴ 、 的值分别为 ，4；
（2）由（1）可知 ，
令 ，解得： 或 ，
令 ，解得： ，
的单调递增区间 ， ，单调递减区间 ．
21.（本小题满分10分，选修4—2 矩阵与变换）
已知矩阵
（1）求 ；
（2）满足AX= 二阶矩阵X
参考答案：
(1) ………4分 (2) ………10分
参考答案：
C
略
二、
11.
为了解某中学高一新生的体重情况，抽查了该中学100名高一新生的体重（kg），得到频率分布直方图（如右图）根据右图可得这100名学生中体重不小于60（kg）的学生人数是.
参考答案：
答案：30
12.实数x，y满足关系 ，则x2+y2的最大值是．
参考答案：
4
【考点】简单线性规划．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】作出可行域，x2+y2表示可行域内的点到原点的距离，数形结合可得．
【解答】解：作出 所对应的可行域（如图阴影），
x2+y2表示可行域内的点到原点的距离，
由图象可知当取点（﹣2，0）或（0，2）或（2，0）时，
x2+y2取最大值4
故答案为：4
【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．
A. B. C. D.
参考答案：
A
考点：几何概型
9.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图，则该样本的中位数、众数分别是（）
A.45，56 B.46，45 C.47，45 D.45，47
参考答案：
B
10.若点 和点 到直线 的距离依次为1和2，则这样的直线有( )
A．1条B．2条C．3条D．4条
设平面A1BC的法向量为n=(x,y,z).
由 得
取n=(1, ,1),故
sinθ=|cos< ,n>|= .
因此，直线EF与平面A1BC所成的角的余弦值为 .
20.已知函数 在 及 处取得极值．
（1）求 、 的值；
（2）求 的单调区间．
参考答案：
（1） ，4；（2）见解析．
（1）函数 ，求导， ，
不妨设AC=4，则在Rt△A1EG中，A1E=2 ，EG= .
由于O为A1G的中点，故 ，
所以 ．
因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是 ．
方法二：
（I）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.
又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E 平面A1ACC1，
平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC.
所以BC⊥平面A1EF.
因此EF⊥BC.
（Ⅱ）取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形．
由于A1E⊥平面ABC，故AE1⊥EG，所以平行四边形EGFA1为矩形．
由（I）得BC⊥平面EGFA1，则平面A1BC⊥平面EGFA1，
所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上.
连接A1G交EF于O，则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角）.
如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E–xyz.
不妨设AC=4，则
A1（0，0，2 ），B（ ，1，0）， ， ，C(0，2，0).
因此， ， ．
由 得 ．
（Ⅱ）设直线EF与平面A1BC所成的角为θ.
由（I）可得
=(－ ,1,0), =(0,2,－2 ).
当 时， ，
……………………2分
由 ，得 ，解得 ;由 ，得 ，解得 或 . ， 在 单调递增，在 单调递减；
所以 的极大值为 ，此即为最大值……………………4分
(Ⅱ) ，则有 在 上有解，
∴ ≥ ， ………6分
所以 当 时， 取得最小值 ……………8分
(Ⅲ)因为方程 有唯一实数解，所以 有唯一实数解，……9分
13.在三棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ，则该三棱锥的外接球表面积为________．
参考答案：
14π
在△ABC中，由余弦定理得
所以底面三角形的外接圆的半径为 故填14π.
14.直线 过点 ，则该直线的倾斜角为
参考答案：
15.设函数f（x）= x2+c，若 f（x）dx=1，则c=.
参考答案：
16.
∴ =（﹣2 ，﹣1， ）， =（ ，﹣1，0），
设平面BC1D1的一个法向量为 =（x，y，z），则 ，取 =（1， ，3），
由（1）A1C⊥平面BB1D1D，∴平面BB1D1D的一个法向量为 =（﹣ ，0， ），
设平面BC1D1与平面BB1D1D夹角为θ，则cosθ=|cos |=| |= = ．
（Ⅱ）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.
参考答案：
方法一：
（I）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.
又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E 平面A1ACC1，
平面A1ACC1∩平面ABC=AC，
所以，A1E⊥平面ABC，则A1E⊥BC.
又因为A1F∥AB，图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC，BD交于点O，A1O⊥平面ABCD，A1A=BD=2，AC=2 ．
（1）证明：A1C⊥平面BB1D1D；
（2）求平面BC1D1与平面BB1D1D夹角的余弦值．
参考答案：
（1）证明：∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O⊥BD，
∵A1O∩AC=O，∴BD⊥平面A1AC，∴BD⊥A1C，
由已知A1A=2，AC=2 ，
又AO=OC，A1O⊥AC，
∴A1A=A1C=2，A1A2+A1C2=AC2，∴A1C⊥A1A，
∵B1B∥A1A，∴A1C⊥B1B，BD∩B1B=B，
∴A1C⊥平面BB1D1D；
（2）解：以O为坐标原点，建立坐标系，则A（ ，0，0），B（0，1，0），C1（﹣2 ，0， ），
（D）当a≠0时，有2个零点；当a＝0时，有1个零点
参考答案：
A
略
7.如图，空间四边形 四边相等，顺次连接各边中点 ,则
四边形 一定是（）
A．菱形B．正方形C．矩形D．空间四边形
参考答案：
C
略
8.小赵和小王约定在早上7:00至7:30之间到某公交站搭乘公交车去上学.已知在这段时间内，共有3班公交车到达该站，到站的时间分别为7:10,7:20,7:30，如果他们约定见车就搭乘，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为 （ ）
参考答案：
充要
略
17.已知全集 ，集合 ，则 =▲.
参考答案：
{1}
三、
18.(本小题满分14分)设函数
(Ⅰ)当 时，求函数 的最大值；
(Ⅱ)令 （ ），其图象上存在一点 ，使此处切线的斜率 ，求实数 的取值范围；
(Ⅲ)当 ， 时，方程 有唯一实数解，求 的值．
参考答案：
(Ⅰ)依题意， 的定义域为 ，
A． B．1 C．6 D．3高考资源网
参考答案：
B
略
6.．已知函数 （其中 ），函数 ．下列关于函数 的零点个数的判断，正确的是
（A）当a＞0时，有4个零点；当a＜0时，有2个零点；当a＝0时，有无数个零点
（B）当a＞0时，有4个零点；当a＜0时，有3个零点；当a＝0时，有2个零点
（C）当a＞0时，有2个零点；当a≤0时，有1个零点
设 ，则 ， ，所以由 得 ，由 得 ，所以 在 上单调递增，
在 上单调递减， . ……………11分
若 有唯一实数解，则必有
所以当 时，方程 有唯一实数解. ………14分
19.如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1，平面A1AC1C⊥平面ABC, ， 分别是AC，A1B1的中点.
（I）证明：EF⊥BC；