高三数学4月联考试题 理 试题

2021年三校联考高三数学〔理〕
制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。

第I 卷
一、选择题:本大题一一共12小题,每一小题5分,一共60分,在每一小题给出的四个选项里面,只有一
项是哪一项符合题目要求的．
1.集合{}1,0,1,3A =-，集合{}
2
20,B x x x x N =--≤∈，全集{}
14,U x x x Z =-≤∈，那么
=B C A U ( )
A.{}3
B.{}3,1-
C.{}3,0,1-
D.{}3,1,1- 2．纯虚数z 满足()121i z ai -=+，那么实数a 等于( ) A.
12 B. 1
2
- C. -2 D. 2 3．如图是一个多面体的三视图,那么其全面积为 ( )
A.3
B.
2
3
+6 C. 3+4 D. 3+6 4．函数()2
2sin sin 44f x x x ππ⎛⎫
⎛⎫=+
-- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭是( )
A. 周期为π的偶函数
B. 周期为2π的偶函数
C.周期为π的奇函数
D. 周期为2π奇函数
5．执行如下图的程序框图，假设输出的S ＝88，那么判断框内应填入的条件是( ) A ．k >4? B ．k >5? C ．k >6?
D ．k >7?
6．等差数列{}n a 中， 13539a a a ++=， 57927a a a ++=，那么数列{}n a 的前9项的和9S 等于( )
A. 66
B. 99
C. 144
D. 297
2ln y x x =+的图象大致为( )
8.甲、乙、丙 3人站到一共有7级的台阶上，假设每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，那么不同的站法总数是( )
A ．210 B.84 C.343 D.336
9四棱锥P ABCD -的底面是一个正方形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，E 是棱PA 的中点，那么异面直线BE 与AC 所成角的余弦值是 ( )
A 15
B 10
6610平面向量a ， b 夹角为
3π，且1a =， 1
2
b =，那么2a b +与b 的夹角是( ) A. 6π B. 56π C. 4π D. 34
π
11．双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12,F F O 、为坐标原点，点P 是双曲线在第
一象限内的点，直线2,PO PF 分别交双曲线C 的左、右支于另一点,M N ，假设122PF PF =，且
02120MF N ∠=，那么双曲线的离心率为( )
A.
22
3
732 ()f x 的定义域为R ，(2)2021f -=，对任意(,)x ∈-∞+∞，都有'()2f x x <成立，那么不等式
2()2017f x x >+的解集为( )
A ．(2,)-+∞
B ．(2,2)-
C ．(,2)-∞-
D ．(,)-∞+∞
第二卷
二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分．
13．设变量x ，y 满足不等式组241,22x y x y x y +≥⎧⎪
-≥-⎨⎪-≤⎩
，那么z=x+y 的最小值为 ．
14．设
⎰
=
e
dx x
a 1
2 ，那么二项式6
1a x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式的常数项是________.
{}()
=∈-=+==++n n n n n n N n a a S a a n a S ,1,2,1,S .15*1221则且满足：项和为的前已知数列___.
16．f(x)=
，且g(x)= f(x)+
2
x
有三个零点，那么实数a 的取值范围为_________． 三、解答题:本大题一一共6小题，一共计70分。

解容许写出文字说明．证明过程或者演算步骤 17. 〔本小题满分是10分〕在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝a cos C .
(1)求角C 的大小； (2)求3sin A －cos ）
（4
π
+B 的最大值，并求获得最大值时角A ，B 的大小．
18．〔本小题满分是10分〕为了理解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间是，随机抽取了高三男生和女生各50名进展问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间是超过3小时的学生称为“古文迷〞，否那么为“非古文迷〞，调查结果如表： 古文迷 非古文迷 合计 男生 26 24 50 女生 30 20 50 合计
56
44
100
〔1〕根据表中数据判断能否有60%的把握认为“古文迷〞与性别有关？
〔2〕先从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进展理科学习时间是的调查，求所抽取的5人中“古文迷〞和“非古文迷〞的人数；
〔3〕现从〔2〕中所抽取的5人中再随机抽取3人进展体育锻炼时间是的调查，记这3人中“古文迷〞的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望． 参考数据：
()
20P K k ≥
0k
6. 635
参考公式： ()
()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．
19. 〔本小题满分是12分〕如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形. 平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB=3，BC=5. 〔1〕求证：AA 1⊥平面ABC ； 〔2〕求二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值；
〔3〕证明：在线段BC 1存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，并求1
BD
BC 的值.
20、〔本小题满分是12分〕椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率为3
3，过右焦点F 的直线l 与C 相
交于B A ,两点，当l 的斜率为1是，坐标原点O 到l 的间隔 〔1〕求b a ,的值；
〔2〕C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OB OA OP +=成立？假设存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；假设不存在，说明理由.
21. 〔本小题满分是12分〕函数2
ln )(x x a x f +=,(a 为实常数〕． 〔1〕假设2-=a ，求证：函数)(x f 在〔1，+∞〕上是增函数； 〔2〕求函数)(x f 在[1，e]上的最小值及相应的x 值.
请考生在第22、23两题中任选一题做答，假如多做，那么按所做的第一题记分. 22. 〔本小题满分是10分〕选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩
⎨
⎧-=+=ααα
αcos sin cos sin y x 〔α为参数〕 〔1〕求曲线C 的普通方程；
〔2〕在以O 为极点，x 正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 方程为01)4
sin(2=+-θπ
ρ，
直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，求AB ．
23. 〔本小题满分是10分〕选修4-5：不等式选讲
函数3)(--=x m x f ，不等式2)(>x f 的解集为〔2，4〕． 〔1〕务实数m 的值；
〔2〕假设关于x 的不等式)(x f a x ≥-恒成立，务实数a 的取值范围．
2021三校联考数学〔理〕答案
一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A A
D
C
B
B
A
D
B
A
B
C
二、填空题
13．2 14．-160 15． 16．(,+∞)
三、解答题〔一共6小题，满分是70分〕 17.〔满分是12分〕
(1)由正弦定理得sin C sin A ＝sin A cos C .
因为0<A <π，所以sin A >0. 从而sin C ＝cos C .
又cos C ≠0，所以tan C ＝1，那么C ＝4π
. (2)由(1)知，B ＝43π
－A ，于是 sin A －cos 4π
＝sin A －cos(π－A ) ＝sin A ＋cos A ＝2sin 6π
.
因为0<A <43π，所以6π<A ＋6π<1211π.从而当A ＋6π＝2π，即A ＝3π时，2sin 6π
取最大值2.
综上所述，sin A －cos4π的最大值为2，此时A ＝3π，B ＝125π
.
18．〔满分是12分〕〔1〕由列联表得，
所以没有
的把握认为“古文迷〞与性别有关．
〔2〕调查的50名女生中“古文迷〞有30人，“非古文迷〞有20人，按分层抽样的方法抽出5人，那
么“古文迷〞的人数为人，“非古文迷〞有人．
即抽取的5人中“古文迷〞和“非古文迷〞的人数分别为3人和2人．
〔3〕因为为所抽取的3人中“古文迷〞的人数，所以的所有取值为1，2,3．
，，．
所以随机变量的分布列为
1 2 3
于是．
19. 〔满分是12分〕
解: (1) ∵为正方形,
,又面⊥面,
又面∩面=∴AA1⊥平面ABC.
(2)∵AC=4,AB=3,BC=5,
∴,∴∠CAB=,即AB⊥AC,
又由(1) ∴AA1⊥平面ABC.知,
所以建立空间直角坐标系A-xyz, 那么(0,0,4), (4,0,4), (0,3,4),B(0,3,0) 设面与面B的法向量分别为,,
由,得,令,那么,
同理, ,
,
由图知,所求二面角为锐二面角,所以二面角A1-BC1-B1的余弦值为.
(3)证明: 设, ,那么,,, 因为三点一共线,所以设,即,
所以, (1)
由得 (2)
由(1)(2)求得, 即,
故在线段BC1存在点D，使得AD⊥A1B，且=.
20、〔本小题满分是12分〕
解：〔1〕设当的斜率为1时，其方程为到的间隔为
故，
，
由
得，=
，
〔2〕C上存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立。

由〔1〕知C的方程为+=6. 设
(ⅰ)
C上的点使成立的充要条件是点的坐标为，且整理得
故①
将，并化简得
于是, =,
代入①解得，，此时
于是=，即
因此，当时，，；
当时，，。

〔ⅱ〕当垂直于轴时，由知，C上不存在点P使成立。

综上，C上存在点使成立，此时的方程为
21. 〔本小题满分是12分〕
解：〔1〕当a=﹣2时，f〔x〕=x2﹣2lnx，当x∈〔1，+∞〕，，
所以函数f〔x〕在〔1，+∞〕上是增函数；.........2分
〔2〕，当x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．
假设a≥﹣2，f'〔x〕在[1，e]上非负〔仅当a=﹣2，x=1时，f'〔x〕=0〕，故函数f〔x〕在[1，e]上是增函数，此时[f〔x〕]min=f〔1〕=1．
假设﹣2e2＜a＜﹣2，当时，f'〔x〕=0；
当时，f'〔x〕＜0，此时f〔x〕是减函数；
当时，f'〔x〕＞0，此时f〔x〕是增函数．
故[f〔x〕]min==．
假设a≤﹣2e2，f'〔x〕在[1，e]上非正〔仅当a=﹣2e2，x=e时，f'〔x〕=0〕，
故函数f〔x〕在[1，e]上是减函数，此时[f〔x〕]min=f〔e〕=a+e2．
综上可知，当a≥﹣2时，f〔x〕的最小值为1，相应的x值为1；
当﹣2e2＜a＜﹣2时，f〔x〕的最小值为，相应的x值为；
当a≤﹣2e2时，f〔x〕的最小值为a+e2，相应的x值为e．......................7分
22.〔本小题满分是10分〕选修4-4：坐标系与参数方程
〔1〕由，结合，消去得：
普通方程为，化简得
〔2〕由知，化为普通方程为，圆心到直线的间隔，
由垂径定理
23.〔本小题满分是10分〕选修4-5：不等式选讲
解：〔1〕∵f〔x〕=m﹣|x﹣3|，∴不等式f〔x〕＞2，即m﹣|x﹣3|＞2，
∴5﹣m＜x＜m+1，而不等式f〔x〕＞2的解集为〔2，4〕，
∴5﹣m=2且m+1=4，解得：m=3；........5分
〔2〕关于x的不等式|x﹣a|≥f〔x〕恒成立⇔关于x的不等式|x﹣a|≥3﹣|x﹣3|恒成立，⇔|x﹣a|+|x ﹣3|≥3恒成立⇔|a﹣3|≥3恒成立，由a﹣3≥3或者a﹣3≤﹣3，
解得：a≥6或者a≤0．..............10分
制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……
日期：2022年二月八日。