2019届高考数学二轮复习练习：第二部分 专项二 专题一 1 第1讲 函数的图象与性质
届数学统考第二轮专题复习第1讲函数的图像与性质的简单应用学案理含解析
第1讲 函数的图像与性质的简单应用高考年份全国卷Ⅰ 全国卷Ⅱ 全国卷Ⅲ2020函数单调性的应用·T12对数大小的判断·T11 函数的奇偶性与单调性·T9函数的性质·T162019 函数图像的判断·T5函数的建模与应用·T4 函数图像的判断·T7 2018函数图像的判断·T3函数图像的判断·T71。
[2019·全国卷Ⅰ］函数f （x )=sinx+x cosx+x 2在[-π,π］的图像大致为( ）A BC D图M1-1-12。
[2018·全国卷Ⅲ]函数y=-x 4+x 2+2的图像大致为 ( ）图M1-1-23。
［2019·全国卷Ⅱ］若a〉b,则 (）A。
ln（a—b）>0 B。
3a〈3bC。
a3—b3〉0 D.｜a|>｜b｜4。
[2020·全国卷Ⅱ］若2x-2y〈3—x-3-y，则(）A.ln(y-x+1)〉0B.ln（y—x+1）〈0C.ln|x-y|〉0D。
ln｜x-y｜〈05.[2020·北京卷]已知函数f(x)=2x—x—1，则不等式f(x）〉0的解集是()A.（—1，1)B。
(-∞,—1)∪(1，+∞）C.(0，1）D。
（-∞,0）∪(1,+∞）6.[2020·全国新高考Ⅰ卷］若定义在R的奇函数f（x)在（-∞，0)单调递减,且f（2）=0,则满足xf(x-1）≥0的x的取值范围是（)B。
［—3,—1]∪[0，1]C.[—1，0］∪［1，+∞）D.[-1,0］∪［1,3］7.［2020·全国卷Ⅲ]已知55〈84,134<85。
设a=log53，b=log85,c=log138,则()A。
a<b〈c B.b<a〈cC。
b<c〈a D.c<a〈b8。
[2020·全国卷Ⅲ］Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎，累计确诊病例数I（t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t）=K1+e-0.23(t-53)其中K为最大确诊病例数。
2019届高考数学二轮复习 第二部分专项二 专题一 1 第1讲 专题强化训练 Word版含解析
一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2－2x ，x≤－1，2x ＋2，x>－1，则满足f (a )≥2的实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)B ．(－1，0)C ．(－2，0)D ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)解析：选D.因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2x ，x≤－1，2x ＋2，x>－1，且f (a )≥2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a≤－1，2－2a≥2或⎩⎪⎨⎪⎧a>－12a ＋2≥2，解得a ≤－1或a ≥0.2．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )A ．y ＝1x B ．y ＝|x |－1C ．y ＝lg xD ．y ＝⎝⎛⎭⎫12|x|解析：选B.A 中函数y ＝1x不是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，故A 错误；B 中函数满足题意，故B 正确；C 中函数不是偶函数，故C 错误；D 中函数不满足在(0，＋∞)上单调递增，故选B.3．已知函数f (x )＝2×4x －a2x的图象关于原点对称，g (x )＝ln(e x ＋1)－bx 是偶函数，则log a b ＝( )A ．1B ．－1C ．－12D.14解析：选B.由题意得f (0)＝0，所以a ＝2.因为g (1)＝g (－1)，所以ln(e ＋1)－b ＝ln ⎝⎛⎭⎫1e ＋1＋b ，所以b ＝12，所以log a b ＝log 212＝－1.4．(2018·高考全国卷Ⅲ)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为( )解析：选D.当x ＝0时，y ＝2，排除A ，B.由y ′＝－4x 3＋2x ＝0，得x ＝0或x ＝±22，结合三次函数的图象特征，知原函数在(－1，1)上有三个极值点，所以排除C ，故选D.5.若函数f (x )＝⎩⎨⎧ax ＋b ，x<－1ln(x ＋a)，x≥－1的图象如图所示，则f (－3)等于( )B ．－54A ．－12C ．－1D ．－2解析：选C.由图象可得a (－1)＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，所以a ＝2，b ＝5，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x<－1，ln(x ＋2)，x≥－1，故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1.6．(2018·开封模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋2)，当x ∈(0，2]时，f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (2015)＝( )A ．5B.12C ．2D ．－2解析：选D.由f (x )＝－f (x ＋2)，得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数，所以f (2015)＝f (503×4＋3)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－(2＋0)＝－2，故选D.7．(2018·石家庄质量检测(一))已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )单调递增，且f (1)＝0，若f (x －1)>0，则x 的取值范围为( )A ．{x |0<x <1或x >2}B ．{x |x <0或x >2}C ．{x |x <0或x >3}D ．{x |x <－1或x >1}解析：选A.由于函数f (x )是奇函数，且当x >0时f (x )单调递增，f (1)＝0，故由f (x －1)>0，得－1<x －1<0或x －1>1，所以0<x <1或x >2，故选A.8．(2018·高考全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( )A ．y ＝ln(1－x )B ．y ＝ln(2－x )C ．y ＝ln(1＋x )D ．y ＝ln(2＋x )解析：选B.法一：设所求函数图象上任一点的坐标为(x ，y )，则其关于直线x ＝1的对称点的坐标为(2－x ，y )，由对称性知点(2－x ，y )在函数f (x )＝ln x 的图象上，所以y ＝ln(2－x )．故选B.法二：由题意知，对称轴上的点(1，0)既在函数y ＝ln x 的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A ，C ，D ，选B.9.如图，动点P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体对角线BD 1上．过点P 作垂直于平面BB 1D 1D 的直线，与正方体的表面相交于M ，N 两点．设BP ＝x ，MN ＝y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )解析：选B.设正方体的棱长为1，显然，当P 移动到体对角线BD 1的中点E 时，函数y ＝MN ＝AC ＝2取得唯一的最大值，所以排除A 、C ；当P 在BE 上时，分别过M ，N ，P 作底面的垂线，垂足分别为M 1，N 1，P 1，则y ＝MN ＝M 1N 1＝2BP 1＝2x cos ∠D 1BD ＝263x ，是一次函数，所以排除D.故选B.10．(2018·太原模拟)已知函数f (x )是偶函数，f (x ＋1)是奇函数，且对于任意x 1，x 2∈[0，1]，且x 1≠x 2，都有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫8211，b ＝－f ⎝⎛⎭⎫509，c ＝f ⎝⎛⎭⎫247，则下列结论正确的是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．b >c >aD ．c >a >b解析：选B.因为函数f (x )是偶函数，f (x ＋1)是奇函数，所以f (－x )＝f (x )，f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，所以f (x －1)＝－f (x ＋1)，所以f (x )＝－f (x ＋2)，所以f (x )＝f (x ＋4)，所以a ＝f ⎝⎛⎭⎫8211＝f ⎝⎛⎭⎫－611＝f ⎝⎛⎭⎫611，b ＝－f ⎝⎛⎭⎫509＝f ⎝⎛⎭⎫49，c ＝f ⎝⎛⎭⎫247＝f ⎝⎛⎭⎫47，又对于任意x 1，x 2∈[0，1]，且x 1≠x 2，都有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0，所以f (x )在[0，1]上是减函数，因为49<611<47，所以b >a >c ，故选B.11．(2018·唐山模拟)已知奇函数f (x )，偶函数g (x )的图象分别如图(1)，(2)所示，若函数f (g (x ))，g (f (x ))的零点个数分别为m ，n ，则m ＋n ＝( )A ．3B ．7C ．10D ．14解析：选C.由题中函数图象知f (±1)＝0，f (0)＝0，g ⎝⎛⎭⎫±32＝0，g (0)＝0，g (±2)＝1，g (±1)＝－1，所以f (g (±2))＝f (1)＝0，f (g (±1))＝f (－1)＝0，f ⎝⎛⎭⎫g ⎝⎛⎭⎫±32＝f (0)＝0，f (g (0))＝f (0)＝0，所以f (g (x ))有7个零点，即m ＝7.又g (f (0))＝g (0)＝0，g (f (±1))＝g (0)＝0，所以g (f (x ))有3个零点，即n ＝3.所以m ＋n ＝10，选择C.12．已知函数f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当h (x )<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( )A ．有最小值－1，最大值1B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值－1，无最大值D ．有最大值－1，无最小值解析：选C.作出函数g (x )＝1－x 2和函数|f (x )|＝|2x －1|的图象如图①所示，得到函数h (x )的图象如图②所示，由图象得函数h (x )有最小值－1，无最大值．二、填空题13．已知函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，若f (x ＋2017)＝⎩⎪⎨⎪⎧2sinx ，x≥0，lg(－x)，x<0，则f ⎝⎛⎭⎫2017＋π4·f (－7983)＝________．解析：由题意得，f ⎝⎛⎭⎫2017＋π4＝2sin π4＝1， f (－7983)＝f (2017－10000)＝lg10000＝4，所以f ⎝⎛⎭⎫2017＋π4·f (－7983)＝4.答案：414．定义在R 上的函数f (x )，满足f (x ＋5)＝f (x )，当x ∈(－3，0]时，f (x )＝－x －1，当x ∈(0，2]时，f (x )＝log 2x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2018)的值等于________．解析：定义在R 上的函数f (x )，满足f (x ＋5)＝f (x )，即函数f (x )的周期为5.又当x ∈(0，2]时，f (x )＝log 2x ，所以f (1)＝log 21＝0，f (2)＝log 22＝1.当x ∈(－3，0]时，f (x )＝－x －1，所以f (3)＝f (－2)＝1，f (4)＝f (－1)＝0，f (5)＝f (0)＝－1.f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2018)＝403×[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)]＋f (2016)＋f (2017)＋f (2018)＝403×1＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝403＋0＋1＋1＝405.答案：40515．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于________．解析：由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.因为f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数．所以f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.答案：616．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧kx －3，x≥0ln(－2x)，x<0的图象上有两对关于y 轴对称的点，则实数k 的取值范围是________．解析：将函数y ＝ln(－2x )(x <0)的图象沿y 轴翻折，得函数g (x )＝ln(2x )(x >0)的图象，由题意可得g (x )的图象和y＝kx－3(x≥0)的图象有两个交点．设y＝kx－3(x≥0)的图象与曲线y＝g(x)相切的切点为(m，ln(2m))，由g′(x)＝1x，得k＝1m.又ln(2m)＝km－3，解得m＝12e2，则k＝2e2.由图象可得0<k<2e2时，g(x)的图象和y＝kx－3(x≥0)的图象有两个交点．答案：(0，2e2)。
专题2.1分段函数的性质、图象以及应用(讲) 2019年高考数学(文科)二轮复习含解析
热点一 分段函数的性质、图象以及应用新课标下高考数学题中以分段函数为载体，考查函数的图像、性质等知识的习题倍受青睐.所谓的分段函数是指自变量X 在不同的取值范围内对应关系不同的函数，由分段函数本身的特点，使得一个函数在各段上有不同的解析式，所以可将一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、抽象函数融合在一个题目之中，考查多个知识点.因而分段函数已成为高考命题的一个热点.纵观近几年高考对于分段函数的性质、图象的考查，重点放在函数的奇偶性、周期性以及函数的零点问题与分段函数结合上；要求学生有较强的抽象思维能力、作图能力以及准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识是学生掌握比较模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目本身就是压轴题确实不易之外，主要是学生的作图能力普遍较弱，还有就是没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理. 本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.1 分段函数与函数值分段函数:定义域中各段的x 与y 的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的.分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集.分段函数中的问题一般是求解析式、值域或最值，讨论奇偶性、单调性等.分段函数的处理方法:分段函数分段研究.一般将具体函数或与抽象函数结合，通过考查对数、指数的运算形成的函数求值问题． 例 1【山东省枣庄第八中学2019届高三1月考前测试】已知函数（ ）A ．8B ．6C ．3D ．1 【答案】C 【解析】 由函数,可得，则，解得.所以.故选C.2 分段函数与图象：分段函数的图象分段画.例 2.已知函数，则函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】令，则，化简得，因g x在上都是增函数.又，故选B.此()3 分段函数与方程已知函数值求自变量x或其它参数的值的问题，一般按自变量x的取值范围分类讨论，通过解方程而得到.数形结合是解答此类问题的重要方法.例3【河北省衡水中学2019届高三上学期五调】已知定义在上的函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意函数恰有2个零点，即是方程有两不等实根，即是两函数与有两不同交点，作出函数图像如下图，易得当时，有两交点，即函数恰有2个零点.故选B.4 分段函数与不等式将分段函数与不等式结合，考查函数单调性及解不等式知识，体现分类讨论思想.例4【河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟】已知函数若，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，∴或即或即∴的取值范围是故选：B5 分段函数与零点解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．讨论参数、数形结合是解答此类问题的重要方法.例5【2019年上海市普陀区高考一模】设是定义在R上的周期为4的函数，且，记，若则函数在区间上零点的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】由图可知：直线与在区间上的交点有8个，故选：D ．6 分段函数与解析式分段函数是定义域中各段的x 与y 的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的.因此求解析式时，也是分段求解析式的.例 6【2018届湖南省株洲市高三教学质量统一检测（一）】已知()f x 是定义在R 上的奇函数.当0x >时，，则不等式()0f x >的解集用区间表示为（ ）A. ()1,1-B.C.D.【答案】D【解析】f （x ）是定义在R 上的奇函数，∴f （0）=0．设x ＜0，则-x ＞0，∵当x ＞0时，f （x ）=x 2-x ， ∴f （-x ）=x 2+x ，又f （-x ）=x 2+x=-f （x ），∴f （x ）=-x 2-x ，x ＜0．当x ＞0时，由f （x ）＞0得x 2-x ＞0，解得x ＞1或x ＜0（舍去），此时x ＞1． 当x=0时，f （0）＞0不成立．当x ＜0时，由f （x ）＞0得-x 2-x ＞0，解得-1＜x ＜0． 综上x ∈（-1，0）∪（1，+∞）． 故选D.7 分段函数与周期和最值分段函数的值域是各段值域的并集，最大值是各段最大值中的最大者是函数的最大值，最小值是各段最小值中的最小者，一般可借助于图像来解决.例 7【2018届山西省太原十二中高三1月月考】已知8m n -<<，函数若()f x 的值域为[]1,3-，则n m -的最大值与最小值之积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B点睛：这是一个动态变化的问题，注意到函数在区间[)8,m -有最大值3，但无最小值，故函数的最小值1-只能在[],m n 取得，但是，因此[]1,m n ∈且12m ≤-，再根据()f x 的最大值为3，得到，所以n m -的最小值为32，最大值为4，它们的乘积为6. 例 8【2018届贵州省贵阳市第一中学高三12月月考】已知()f x 是定义在R 上的奇函数，满足，当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，，则函数在区间3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有零点之和为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1 【答案】A【解析】由已知()f x 是定义在R 上的奇函数，所以，又，所以()f x。
2019届高考数学二轮复习 第二部分专项二 专题二 1 第1讲 专题强化训练 Word版含解析
一、选择题1．(2018·南宁模拟)如图，函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，|φ|<π2的图象过点(0，3)，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6解析：选B.由函数图象可知，A ＝2，又函数f (x )的图象过点(0，3)，所以2sin φ＝3，即sin φ＝32，由于|φ|<π2，所以φ＝π3，于是f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，故选B.2．(2018·郑州质量检测(二))已知函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2－cos 2x ，若要得到一个奇函数的图象，则可以将函数f (x )的图象( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移π12个单位长度D ．向右平移π12个单位长度解析：选 C.f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2－cos 2x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －cos 2x ＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π12，所以将f (x )的图象向左平移π12个单位长度可得到奇函数y ＝2sin 2x 的图象．故选C.3．(2018·广州调研)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，2π3上单调递增，则ω的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，83B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，83 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，2 解析：选 B.因为x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，2π3，所以ωx ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4ω＋π6，2π3ω＋π6，因为函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，2π3上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧－π4ω＋π6≥2k π－π2，k ∈Z ，2π3ω＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z .又ω>0，所以0<ω≤12，选B.4.(2018·石家庄质量检测(二))已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，已知点A (0，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，若将它的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝π12B ．x ＝π4C ．x ＝π3D ．x ＝2π3解析：选 A.因为f (0)＝2sin φ＝3，所以sin φ＝32，又|φ|<π，所以φ＝π3或2π3，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πω6＋φ＝0，所以πω6＋φ＝k π(k ∈Z )，所以ω＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3×6π＝6k －2(k ∈Z )，或ω＝⎝⎛⎭⎪⎫k π－2π3×6π＝6k －4(k ∈Z )，又ω>0，且T 4＝2π4ω＝π2ω>π6，所以ω<3，所以ω＝2，φ＝2π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，将其图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，所以g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋2π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，g (x )图象的对称轴方程满足2x＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，所以x ＝k π2＋π12(k ∈Z )，故选A.5.(2018·惠州第二次调研)已知函数f (x )＝A sin(2x ＋θ)(|θ|≤π2，A >0)的部分图象如图所示，且f (a )＝f (b )＝0，对不同的x 1，x 2∈[a ，b ]，若f (x 1)＝f (x 2)，有f (x 1＋x 2)＝3，则( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12，π12上是减函数B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12，π12上是增函数C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6上是减函数D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6上是增函数解析：选B.由题图知A ＝2，设m ∈[a ，b ]，且f (0)＝f (m )，则f (0＋m )＝f (m )＝f (0)＝3，所以2sin θ＝3，sin θ＝32，又|θ|≤π2，所以θ＝π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，此时f (x )单调递增．所以选项B 正确．6．(2018·河北“五个一名校联盟”模拟)已知函数f (x )＝1＋2cos x cos(x ＋3φ)是偶函数，其中φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则下列关于函数g (x )＝cos(2x －φ)的正确描述是( )A ．g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π3上的最小值为－1B ．g (x )的图象可由函数f (x )的图象向上平移2个单位长度，向右平移π3个单位长度得到C ．g (x )的图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0D ．g (x )的一个单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2解析：选C.因为函数f (x )＝1＋2cos x cos(x ＋3φ)是偶函数，y ＝1，y ＝2cos x 都是偶函数，所以y ＝cos(x ＋3φ)是偶函数，所以3φ＝k π，k ∈Z ，所以φ＝k π3，k ∈Z ，又0<φ<π2，所以φ＝π3，所以g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当－π12≤x ≤π3时，－π2≤2x －π3≤π3，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈[0，1]，故A 错误；f (x )＝1＋2cos x cos(x ＋π)＝1－2cos 2x ＝－cos 2x ，显然B 错误；当x ＝－π12时，g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝0，故C 正确；当0≤x ≤π2时，－π3≤2x －π3≤2π3，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3有增有减，故D 错误．故选C.二、填空题7．(2018·辽宁五校联合体模拟)已知函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)为奇函数，A (a ，0)，B (b ，0)是其图象上两点，若|a －b |的最小值是1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝________．解析：因为函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)为奇函数，所以cos φ＝0(0<φ<π)，所以φ＝π2，所以f (x )＝－4sin ωx ，又A (a ，0)，B (b ，0)是其图象上两点，且|a －b |的最小值是1，所以函数f (x )的最小正周期为2，所以ω＝π，所以f (x )＝－4sin πx ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝－4sin π6＝－2.答案：－28．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π2)，f (0)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，若将f (x )的图象向左平移π12个单位长度后所得函数的图象关于原点对称，则φ＝________．解析：因为f (0)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，则sin φ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω＋φ，所以ω＝4k ＋2，k ∈Z ，将f (x )的图象向左平移π12个单位长度后所得函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋ωπ12＋φ的图象关于原点对称，则ωπ12＋φ＝k π，k ∈Z ，由ω＞0，0＜φ＜π2得ω＝10，φ＝π6.答案：π69．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)＋a cos(2x ＋φ)(0<φ<π)的最大值为2，且满足f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ，则φ＝________．解析：因为f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称，由函数的解析式可得a 2＋1＝2，即a 2＝3.若a ＝3，则f (x )＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π3，由函数图象的对称性可得2×π4＋φ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π－π3(k ∈Z )，因为0<φ<π，所以φ＝2π3；若a ＝－3，则f (x )＝sin(2x ＋φ)－3cos(2x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π3，由函数图象的对称性可得2×π4＋φ－π3＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π＋π3(k ∈Z )，因为0<φ<π，所以φ＝π3.综上可得φ＝π3或2π3.答案：π3或2π3三、解答题10．已知函数f (x )＝sin 4x ＋cos 4x ＋32sin 2x cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，求f (x )的最值．解：f (x )＝sin 4x ＋cos 4x ＋32sin 2x cos 2x＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x cos 2x ＋34sin 4x＝1－12sin 2 2x ＋34sin 4x＝1－12·1－cos 4x 2＋34sin 4x＝34sin 4x ＋14cos 4x ＋34＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋34.(1)T ＝2π4＝π2.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，4x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则当4x ＋π6＝π2，即x ＝π12时，函数f (x )取最大值54；当4x ＋π6＝7π6，即x ＝π4时，函数f (x )取最小值12.所以，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，函数f (x )的最大值是54，最小值是12.11．已知函数f (x )＝3sin 2ωx ＋cos 4ωx －sin 4ωx ＋1(其中0<ω<1)，若点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，1是函数f (x )图象的一个对称中心．(1)求f (x )的解析式，并求距y 轴最近的一条对称轴的方程； (2)先列表，再作出函数f (x )在区间[－π，π]上的图象．解：(1)f (x )＝3sin 2ωx ＋(cos 2ωx －sin 2ωx )(cos 2ωx ＋sin 2ωx )＋1＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋1.因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，1是函数f (x )图象的一个对称中心，所以－ωπ3＋π6＝k π，k ∈Z ，所以ω＝－3k ＋12，k ∈Z .因为0<ω<1， 所以k ＝0，ω＝12，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1.由x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋π3，k ∈Z ，令k ＝0，得距y 轴最近的一条对称轴方程为x ＝π3.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1，当x ∈[－π，π]时，列表如下：则函数f (x )在区间[－π，π]上的图象如图所示．12．设函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx －3cos 2ωx ＋32(ω>0)的图象上相邻最高点与最低点的距离为π2＋4.(1)求ω的值；(2)若函数y ＝f (x ＋φ)(0<φ<π2)是奇函数，求函数g (x )＝cos(2x －φ)在[0，2π]上的单调递减区间．解：(1)f (x )＝sin ωx ·cos ωx －3cos 2ωx ＋32＝12sin 2ωx －3（1＋cos 2ωx ）2＋32 ＝12sin 2ωx －32cos 2ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3，设T 为f (x )的最小正周期，由f (x )的图象上相邻最高点与最低点的距离为π2＋4，得⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22＋[2f (x )max ]2＝π2＋4， 因为f (x )max ＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22＋4＝π2＋4，整理得T ＝2π.又ω>0，T ＝2π2ω＝2π，所以ω＝12. (2)由(1)可知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3， 所以f (x ＋φ)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋φ－π3. 因为y ＝f (x ＋φ)是奇函数，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π3＝0. 又0<φ<π2，所以φ＝π3， 所以g (x )＝cos(2x －φ)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 令2k π≤2x －π3≤2k π＋π，k ∈Z ， 则k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ， 所以单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z ， 又因为x ∈[0，2π]，所以当k ＝0时，递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3； 当k ＝1时，递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π6，5π3. 所以函数g (x )在[0，2π]上的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π6，5π3.。
2019届高考数学(理)二轮复习专题(1)函数与导数名师讲义含答案
专题1 函数与导数一、函数1.函数的三要素是什么?定义域、值域和对应关系是函数的三要素,是一个整体,研究函数问题时必须“定义域优先”.2.求函数的定义域应注意什么?求函数的定义域时,若已知函数的解析式,则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围,只需构建并解不等式(组).在实际问题中,除要考虑解析式有意义外,还要使实际问题有意义.已知f(x)的定义域是[a,b],求f(g(x))的定义域,是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围,而已知f(g(x))的定义域是[a,b],指的是x∈[a,b].3.判断函数的单调性有哪些方法?单调性是函数在其定义域上的局部性质.常见判定方法:①定义法,取值、作差、变形、定号,其中变形是关键,常用的方法有通分、配方、因式分解;②图象法;③复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则;④导数法.4.函数的奇偶性有什么特征?奇偶性的特征及常用结论:①若f(x)是奇函数,0在其定义域内,则f(0)=0.②f(x)是偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称;f(x)是奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称.③奇函数在对称(关于原点对称)的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称(关于原点对称)的单调区间内有相反的单调性.④若f(x+a)为奇函数,则f(x)的图象关于点(a,0)对称;若f(x+a)为偶函数,则f(x)的图象关于直线x=a对称.5.指数函数、对数函数的图象与性质有哪些?指数函数与对数函数的图象和性质:6.函数图象的推导应注意哪些?探寻函数图象与解析式之间的对应关系的方法:(1)知图选式:①从图象的左右、上下分布,观察函数的定义域、值域;②从图象的变化趋势,观察函数的单调性;③从图象的对称性方面,观察函数的奇偶性;④从图象的循环往复,观察函数的周期性.(2)知式选图:①从函数的定义域,判断图象左右的位置,从函数的值域,判断图象的上下位置;②从函数的单调性,判断图象的变化趋势;③从函数的奇偶性,判断图象的对称性;④从函数的周期性,判断图象的循环往复.7.确定函数零点的常用方法有哪些?函数零点个数的判断方法:(1)直接法:令f(x)=0,则方程解的个数为函数零点的个数.(2)零点存在性定理:利用该定理不仅要求曲线f(x)在[a,b]上是连续的,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.(3)数形结合:对于给定的函数不能直接求解或画出图象,常会通过分解转化为两个函数的图象,然后通过数形结合,看其交点的个数有几个,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.二、导数1.如何利用导数的方法研究函数的单调性?利用导数研究函数的单调性有什么应用?在某个区间(a,b)内,如果f'(x)>0(f'(x)<0),那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增(单调递减).利用导数研究函数单调性的应用:(1)利用导数判断函数的图象.(2)利用导数解不等式.(3)求参数的取值范围:①y=f(x)在(a,b)上单调,则(a,b)是相应单调区间的子集.②若函数单调递增,则f'(x)≥0;若函数单调递减,则f'(x)≤0.2.如何判断函数的极值?如何确定函数的最值?当f'(x0)=0时,若在x0附近左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,则f(x0)为函数f(x)的极大值;若在x0附近左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,则f(x0)为函数f(x)的极小值.将函数y=f(x)在[a,b]上的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.3.利用导数可以解决哪些不等式问题?(1)利用导数证明不等式:证明f(x)<g(x),x∈(a,b),可以构造函数F(x)=f(x)-g(x),如果能证明F(x)在(a,b)上的最大值小于0,那么可以证明f(x)<g(x),x∈(a,b).(2)利用导数解决不等式的“恒成立”与“存在性”问题:①f(x)>g(x)对一切x∈I恒成立⇔I是f(x)>g(x)的解集的子集⇔[f(x)-g(x)]min>0(x∈I);②∃x∈I,使f(x)>g(x)成立⇔I与f(x)>g(x)的解集的交集不是空集⇔[f(x)-g(x)]max>0(x∈I);③对∀x1,x2∈I,f(x1)≤g(x2)⇔f(x)max≤g(x)min;④对∀x1∈I,∃x2∈I,f(x1)≥g(x2)⇔f(x)min≥g(x)min.函数是一条主线,贯穿于整个高中数学,导数是重要的解题工具,是解决函数问题的利器,因此,函数与导数在高考数学中的地位不言而喻.本专题内容也是高考中重要的考点之一,从近年高考的命题情况来看,本专题在高考分值中占20%左右,试题的易、中、难比例相当,选择题、填空题和解答题均有考查.一、选择题和填空题的命题特点(一)考查函数图象的判断及简单应用.试题难度中档,综合考查函数的解析式、定义域、值域及单调性、奇偶性等性质的综合.1.(2018·全国Ⅱ卷·理T3改编)函数f(x)=的图象大致为().解析▶∵f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f(-x)==-f(x),∴f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,排除A;又当x>0时,5x>1>5-x,∴f(x)>0,排除D;f(2)>1,排除C.故选B.答案▶ B2.(2017·全国Ⅰ卷·文T8改编)函数y=的部分图象大致为().解析▶因为函数为奇函数,所以其图象关于原点对称,所以选项C,D错误;又当x=0时,y=0,所以选项B错误.故选A.答案▶ A(二)考查函数的基本性质及简单应用.试题难度中档,综合考查函数的奇偶性、单调性、周期性及图象的推理能力等.3.(2018·全国Ⅱ卷·理T11改编)已知f(x)是定义域为R的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2018)=().A.-2018B.0C.2D.50解析▶∵f(x)是奇函数,且f(1-x)=f(1+x),∴f(1-x)=f(1+x)=-f(x-1),f(0)=0,∴f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即函数f(x)是周期为4的周期函数.∵f(1)=2,∴f(2)=f(0)=0,f(3)=-f(1)=-2,f(4)=f(0)=0,∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0,∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2018)=504[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(2017)+ f(2018)=f(1)+f(2)=2+0=2.故选C.答案▶ C(三)考查基本初等函数的性质及应用.试题难度较大,综合考查基本初等函数的性质与图象.4.(2018·全国Ⅲ卷·文T16改编)已知函数f(x)=log2(-x)+2,f(a)=3,则f(-a)= .解析▶因为f(x)log=2(-x)+2,所以f(x)+f(-x)=log2(-x)+2+log2[-(-x)]+2=log2(1+x2-x2) +4=4.因为f(a)=3,所以f(-a)=4-f(a)=4-3=1.答案▶ 15.(2018·全国Ⅰ卷·文T13改编)已知函数f(x)=log3(x2+a),若f(2)=1,则a= .解析▶∵f(2)=1,log∴3(4+a)=1,∴4+a=3,∴a=-1.答案▶-16.(2017·全国Ⅱ卷·文T8改编)函数y=ln(-x2+2x+3)的单调递减区间是().A.(-1,1]B.[1,3)C.(-∞,1]D.[1,+∞)解析▶令t=-x2+2x+3,由t>0,求得-1<x<3,故函数的定义域为(-1,3),且y=ln t,故本题为求函数t=-x2+2x+3在定义域内的单调递减区间.利用二次函数的性质求得t=-(x-1)2+4在定义域内的单调递减区间为[1,3),故选B.答案▶ B(四)考查函数零点的判断及应用,同时考查函数与方程的思想、转化思想及数形结合思想,试题难度较大.7.(2017·全国Ⅲ卷·理T11改编)已知函数f(x)=x2-4x+a(10x-2+10-x+2)有唯一零点,则a=().A.4B.3C.2D.-2解析▶函数f(x)有唯一零点等价于方程4x-x2=a(10x-2+10-x+2)有唯一解,等价于函数y=4x-x2的图象与y=a(10x-2+10-x+2)的图象只有一个交点.当a=0时,f(x)=x2-4x,此时函数有两个零点,矛盾;当a<0时,由于y=4x-x2在(-∞,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,且y=a(10x-2+10-x+2)在(-∞,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,所以函数y=4x-x2的图象的最高点为A(2,4),y=a(10x-2+10-x+2)的图象的最高点为B(2,2a),由于2a<0<4,所以此时函数y=4x-x2的图象与y=a(10x-2+10-x+2)的图象不可能只有1个交点,矛盾;当a>0时,由于y=4x-x2在(-∞,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,且y=a(10x-2+10-x+2)在(-∞,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以函数y=4x-x2的图象的最高点为A(2,4),y=a(10x-2+10-x+2)的图象的最低点为B(2,2a),由题意可知点A与点B重合时满足条件,即2a=4,解得a=2,符合条件.故选C.答案▶ C(五)考查导数的几何意义及简单的导数计算.导数的几何意义一直是高考的热点和重点,试题综合考查导数的计算及直线方程的知识,难度较小. 8.(2018·全国Ⅰ卷·理T5改编)设函数f(x)=x3+(a+1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为.解析▶因为函数f(x)是奇函数,所以a+1=0,解得a=-1,所以f(x)=x3-x,f'(x)=3x2-1,所以f'(0)=-1,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=-x.答案▶y=-x二、解答题的命题特点在全国卷中,函数与导数的综合试题一般为第21题,是全卷的压轴题.试题难度较大,综合性强,主要考查函数单调性的判断,函数零点个数的判断,极(最)值的应用,恒成立问题,不等式的证明等.1.(2018·全国Ⅰ卷·文T21改编)已知函数f(x)=a e x+ln x+1.(1)设x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间;(2)证明:当a≤-时,f(x)≤0.解析▶(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ea x+.由题设知,f'(2)=0,所以a=-.从而f(x)=-e x+ln x+1,则f'(x)=-e x+.当0<x<2时,f'(x)>0;当x>2时,f'(x)<0.所以f(x)在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减.(2)当a≤-时,f(x)≤-+ln x+1.设g(x)=-+ln x+1,则g'(x)=-+.当0<x<1时,g'(x)>0;当x>1时,g'(x)<0.所以x=1是g(x)的最大值点.故当x>0时,g(x)≤g(1)=0.因此,当a≤-时,f(x)≤0.2.(2017·全国Ⅰ卷·文T21改编)已知函数f(x)=e x(e x-a)-a2x,其中参数a≤0.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)≥0,求a的取值范围.解析▶(1)f'(x)=e22x-ea x-a2=(e2x+a)e(x-a).①若a=0,则f(x)=e2x,其在R上单调递增.②若a<0,则由f'(x)=0,得x=ln.当x∈时,f'(x)<0;当x∈时,f'(x)>0.故f(x)在上单调递减,在上单调递增.(2)①当a=0时,f(x)=e2x≥0恒成立.②若a<0,则由(1)得,当x=ln时,f(x)取得最小值,最小值为f=a2,故当且仅当a2≥0,即a≥-2时,f(x)≥0.综上,a的取值范围是[-2,0].1.识别函数图象的常用方法:(1)直接法:直接求出函数的解析式并画出其图象.(2)特例排除法,例如,根据已知函数的图象或已知函数的解析式,取特殊点,判断各选项的图象是否经过该特殊点.(3)性质(单调性、奇偶性、过定点等)验证法.(4)较复杂函数的图象,常借助导数这一工具,先对原函数进行求导,再利用导数判断函数的单调性、极值或最值,从而对选项进行筛选.2.函数性质综合问题的常见类型及解题策略:(1)单调性与奇偶性结合.解决此类问题要注意函数单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图象的对称性.(2)周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值,常利用奇偶性及周期性进行交换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.(3)周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解.3.对于函数零点(方程的根)的确定问题,高考常从以下几个方面进行考查:(1)函数零点值大致所在区间的确定;(2)零点个数的确定;(3)两个函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定.解决此类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法,尤其是方程两边对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解.4.利用导数的几何意义解题主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来转化,关键是求出切点的坐标.5.利用导数研究函数的单调性:(1)已知函数解析式求单调区间,实质上是求f'(x)>0,f'(x)<0的解集,求单调区间应遵循定义域优先的原则;(2)含参函数的单调性要分类讨论,通过确定导数的符号判断函数的单调性;(3)注意两种表述“函数f(x)在(a,b)上为减函数”与“函数f(x)的减区间为(a,b)”的区别.6.利用导数研究函数极值、最值的方法:(1)若求极值,则先求方程f'(x)=0的根,再检查f'(x)在方程根的左右函数值的符号;(2)若已知极值大小或存在情况,则转化为已知方程f'(x)=0根的大小或存在情况来求解;(3)求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值f(a),f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.。
2019届高考数学二轮复习 第二部分专项二 专题一 2 第2讲 专题强化训练 Word版含解析
一、选择题．函数＝的定义域为( )．(，＋∞) ∪(，＋∞)解析：选.要使函数有意义需满足解得<<.．已知函数()＝(－－)是幂函数，且在∈(，＋∞)时为增函数，则实数的值是( )．－．．．－或解析：选()＝(－－)是幂函数⇒－－＝⇒＝－或＝.又在∈(，＋∞)上是增函数，所以＝.．若＝，＝，＝，则( )．>>．>>．>>．>>解析：选.因为<<<，所以＝>>，所以<<，因为＝>＝，所以>.因为<<，所以<＝，所以<.故>>，选.．函数()＝则不等式()>的解集为( )．(－，) ．(－，－)∪(－，)．(，)∪(，＋∞) ．(，＋∞)解析：选.令－>(<)，解得<<；令(－)>(≥)，解得>.故不等式()>的解集为(，)∪(，＋∞)．．若函数＝(>且≠)的值域为{<≤}，则函数＝的图象大致是( )解析：选.若函数＝(>且≠)的值域为{<≤}，则<<，故是偶函数且在(，＋∞)上单调递减，由此可知＝的图象大致为.．(·贵阳模拟)世纪年代，为了防范地震带来的灾害，里克特()制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级，其计算公式为＝－，其中是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅．已知级地震给人的震感已经比较明显，则级地震的最大振幅是级地震的最大振幅的( )．倍．倍．倍．倍解析：选.根据题意有＝＋＝(·)．所以＝·，则＝.故选.．函数＝的图象大致是( )解析：选.易知函数＝是偶函数，可排除，当>时，＝，′＝＋，令′>，得>－，所以当>时，函数在(－，＋∞)上单调递增，结合图象可知正确，故选.．设，，为正数，且＝＝，则( )．<<．<<．<<．<<解析：选.设＝＝＝(>)，则＝，＝，＝，所以＝＝·＝＝>，即>.①＝＝·＝＝<，所以<.②由①②得<<.．(·高考全国卷Ⅲ)设＝，＝，则( )．＋＜＜．＜＋＜．＋＜＜．＜＜＋解析：选.由＝得＝，由＝得＝，所以＋＝＋＝，所以＜＋＜，得＜＜.又＞，＜，所以＜，所以＜＋＜.．已知()是定义在上的奇函数，且>时，()＝－＋，则函数()＝()－(为自然对数的底数)的零点个数是( )．．．．解析：选.当>时，()＝－＋，′()＝－＝，所以∈(，)时′()>，此时()单调递增；∈(，＋∞)时，′()<，此时()单调递减．因此，当>时，()＝()＝－＋＝.根据函数()是定义在上的奇函数作出函数＝()与＝的大致图象如图所示，观察到函数＝()与＝的图象有两个交点，所以函数()＝()－(为自然对数的底数)有个零点．．已知函数()是定义在上的奇函数，且在区间[，＋∞)上单调递增，若<()，则的取值范围是( )．(，)．(，＋∞)解析：选.因为函数()是定义在上的奇函数，所以()－＝()－(－)＝()＋()＝()，所以<()等价于()<()，又()在区间[，＋∞)上单调递增，所以－<<，解得<<.．(·沈阳教学质量监测)设函数()是定义在上的偶函数，且(＋)＝(－)，当∈[－，]时，()＝－，若关于的方程()－(＋)＝(>且≠)在区间(－，)内有且只有个不同的实根，则实数的取值范围是( )．(，)．(，) ．(，＋∞)解析：选.因为()为偶函数，且(＋)＝(－)，所以(＋)＝(－)＝()，所以()为偶函数且周期为，又当－≤≤时，()＝－，画出()在(－，)上的大致图象，如图所示．若()－(＋)＝(>且≠)在(－，)内有个不同的实根，则＝()的图象与＝(＋)的图象在(－，)内有个不同的交点．所以所以>，故选.二、填空题．计算：－＋－(π－)＝．解析：－＋－(π－)＝×－＋()－＝＋－＝＋－＝.答案：．有四个函数：①＝；②＝－；③＝(＋)；④＝－.其中在区间(，)内单调递减的函数的序号是．解析：分析题意可知①③显然不满足题意，画出②④中的函数图象(图略)，易知②④中的函数满足在(，)内单调递减．答案：②④．(·高考全国卷Ⅲ)已知函数()＝(－)＋, ()＝，则(－)＝.解析：由()＝(－)＋＝，得(－)＝，所以(－)＝(＋)＋＝－＋＝－(－)＋＝－＋＝－.答案：－．某食品的保鲜时间(单位：小时)与储藏温度(单位：℃)满足函数关系式＝且该食品在℃时的保鲜时间是小时．已知甲在某日时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间的变化如图所示．给出以下四个结论：①该食品在℃的保鲜时间是小时；②当∈[－，]时，该食品的保鲜时间随着的增大而逐渐减少；③到了此日时，甲所购买的食品还在保鲜时间内； ④到了此日时，甲所购买的食品已过了保鲜时间．其中，所有正确结论的序号是．解析：因为某食品的保鲜时间(单位：小时)与储藏温度(单位：℃)满足函数关系式＝且该食品在℃时的保鲜时间是小时，所以＋＝，即＋＝，解得＝－，所以＝＋，>.))①当＝时，＝，故①正确；①当＝时，＝，故①正确；②当∈[－，]时，保鲜时间恒为小时，当∈(，]时，该食品的保鲜时间随着的增大而逐渐减少，故②错误；③此日时，温度为℃，此时保鲜时间为小时，而随着时间的推移，到时，温度为℃，此时的保鲜时间＝－×＋＝≈小时，到时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，故③错误；④由③可知，到了此日时，甲所购买的食品已过了保鲜时间，故④正确．所以正确结论的序号为①④.答案：①④。
2019年高考数学(理科)二轮专题复习：第二部分 函数的图象与性质
π4 ＝
2 2.
(2)因为f(x)＋f(－x)＝ln( 1＋x2 －x)＋1＋ln( 1＋x2 ＋x)＋1＝ln(1＋x2－x2)＋2＝2，
所以f(a)＋f(－a)＝2，所以f(－a)＝－2.
答案：(1)
2 2
(2)－2
命题视角 函数的单调性与最值
【例 3－2】 (1)(2018·河南六市一模)若函数 f(x)＝
因此M＝3116，m＝0，所以M－m＝3116.
(2)因为f(x)在R上是偶函数，且在(－∞，0)上是增 函数，
所以f(x)在(0，＋∞)上是减函数， 由f(32a－1)≥f(－ 3)＝f( 3)， 所以32a－1≤ 3，则2a－1≤12，所以a≤34. 故a的最大值是34. 答案：(1)A (2)D
热点3 函数的性质及应用(高频考点) 1．函数的单调性 单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同的 区间上可以有不同的单调性，判断函数单调性常用定义 法、图象法及导数法． 温馨提醒：函数的多个单调区间若不连续，不能用 符号“∪”连接，可用“和”或“，”连接．
2．函数的奇偶性 函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性质，偶函 数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义区间 上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对 称，在关于坐标原点对称的定义区间上具有相同的单调 性．
|x|－x12在{x|1≤|x|≤4，x∈R}上的最大值为 M，最小值
为 m，则 M－m＝( )
31 A.16
B．2
9 C.4
11 D. 4
(2)(2018·佛山调研)已知函数f(x)是定义在R上的偶函
数，且在区间(－∞ ，0)上单调递增．若实数a满足f(32a－1)
≥f(－ 3)，则a的最大值是( )
(广东专版)2019高考数学二轮复习-第二部分 专题一 函数与导数、不等式 第4讲 导数与函数的单调性、极值与
2)，(－2，－2)，作出草图如图．
设曲线y＝x3－3x与直线y＝x围成图形的面积为S. 则S＝2∫20[x－(x3－3x)]dx ＝2∫20(4x－x3)dx ＝22x2－14x4|20 ＝2(8－4)＝8. 答案：(1)D (2)8
[规律方法] 1．利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切 点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．其中关键是 确定切点的坐标． 2．利用定积分求平面图形的面积的两个关键点． (1)正确画出几何图形，结合图形位置，准确确定积 分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再 利用微积分基本定理求出积分值． (2)根据图形的特征，选择合适的积分变量．
＝aln
xx12－x1＋x2
＝－a(x12＋2ln x2－x2) 设φ(x)＝1x－x＋2ln x，x＞1， 由第(1)问知，φ(x)在(1，＋∞)单调递减，且φ(1)＝ 0， 从而当x∈(1，＋∞)时，φ(x)＜0， 所以x12＋2ln x2－x2＜0，故t＞0.
从近年高考命题看，本讲主要考查利用导数研究函 数的性质，主要以指数式、对数式为载体求函数的单调 性、极值、最值；综合考查学生的思维能力，突出分类 讨论、转化思想方法、题型全面、能力要求高．
则f′(－2)＝[4－2(a＋2)＋a－1]·e－3＝0⇒a＝－1，
则f(x)＝(x2－x－1)·ex－1，f′(x)＝(x2＋x－2)·ex－1，
又ex－1＞0恒成立，
令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝1，
当x＜－2或x＞1时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f ′(x)＜0.所以x＝1是函数f(x)的极小值点．
命题视角 根据函数的单调性求参数的取值范围 【例 2－2】 已知 a∈R，函数 f(x)＝(－x2＋ax)ex(x ∈R，e 为自然对数的底数)． (1)当 a＝2 时，求函数 f(x)的单调递增区间； (2)若函数 f(x)在(－1，1)上单调递增，求 a 的取值范 围． 解：(1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)·ex， 所以f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex ＝(－x2＋2)ex. 令f′(x)＞0，即(－x2＋2)ex＞0，
2019年高考数学(文科)二轮复习专题透析1函数、导数与不等式
续表
2015 年 考点分类 零点 导数的几 何意义 导数及其 应用 解简单的 不等式 线性规划 Ⅰ卷 第 21 题 2016 年 2017 年 合计 Ⅰ(乙) Ⅱ(甲) Ⅲ(丙) Ⅰ(乙) Ⅱ(甲) Ⅲ(丙) Ⅱ卷 卷 卷 卷 卷 卷 卷 第 21 题 第 12 题 3 年 3 考 第 20 题 第 16 题 第 14 题 3年5考
函数. (ⅱ)单调性的常见判定方法:①定义法;②图象法;③复合函 数的单调性判定方法(同增异减);④导数法.
(ⅲ)函数的单调性可用来比较大小,求函数的最值,解不等式 和证明方程根的唯一性. (2)奇偶性 (ⅰ)奇偶性的定义:f(x)为奇函数⇔f(-x)=-f(x)⇔f(x)+f(x)=0;f(x)为偶函数⇔f(x)=f(-x)=f(|x|)⇔f(x)-f(-x)=0. (ⅱ)奇偶性的性质及常用结论: ①若 f(x)是奇函数,且 0 在其定义域内,则 f(0)=0. ②f(x)是偶函数⇔f(x)的图象关于 y 轴对称;f(x)是奇函数 ⇔f(x)的图象关于原点对称. ③奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对 称的单调区间内有相反的单调性. ④若 f(x+a)为奇函数,则 f(x)的图象关于点(a,0)中心对称; 若 f(x+a)为偶函数,则 f(x)的图象关于直线 x=a 对称.
5.不等式 (1)不等式的证明:不等式的证明要注意和不等式的性质结合 起来,常用的方法有比较法、作差法、作商法(要注意讨论分母)、 分析法、综合法、反证法,还要结合放缩和换元的技巧. (2)不等式的恒成立、能成立问题: ①f(x)>g(x)对一切 x∈[a,b]恒成立⇔[a,b]是 f(x)>g(x)的 解集的子集⇔[f(x)-g(x)]min>0(x∈[a,b]); ②f(x)>g(x)对 x∈[a,b]能成立⇔[a,b]与 f(x)>g(x)的解集 的交集不是空集⇔[f(x)-g(x)]max>0(x∈[a,b]); ③对∀x1,x2∈[a,b]使 f(x1)≤g(x2)⇔f(x)max≤g(x)min; ④对∀x1∈[a,b],∃x2∈[a,b]使 f(x1)≥g(x2)⇔f(x)min≥ g(x)min.
2019届高考数学二轮专题复习精品资料专题二 第1讲 三角函数
第1讲三角函数1．三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查； 2．利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查；3．三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具，三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心．1．常用三种函数的图象性质(下表中k ∈Z )2(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋2π(k ∈Z )时为偶函数； 对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋2π(k ∈Z )求得． (2)y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋2π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数； 对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得． (3)y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数． 3．三角函数的两种常见变换(1)y ＝sin x ()()00ϕϕϕ><−−−−−−−−−−−→向左或向右平移个单位y ＝sin(ωx ＋φ)A −−−−−−−−−−−→纵坐标变为原来的倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)．y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)． 4．三角函数公式(1)同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin tan cos ααα=． (2)诱导公式：对于“2k απ±，k ∈Z 的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆： 奇变偶不变，符号看象限．(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±； ()cos cos cos sin sin αβαβαβ±=；()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±=．(4)二倍角公式：sin 22sin cos ααα=，2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-． (5)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan b aϕ=．热点一 三角函数的图象【例1】(1) (2018·清流一中)（1）用“五点法”作出这个函数在一个周期内的图象；（2）函数x y cos =图象经过怎样的变换可以得到 (2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)0,0,2A ωϕπ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()2sin 212f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭(1)解 (1)列表【注：列表每行1分，该行必须全对才得分；图象五点对得1分，图象趋势错扣1分】（2）把x y cos =的图象向左平移变，横坐标变为原来的2变为原来的2(2)由(1)知()5sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据图象平移变换，得()5sin 226g x x θπ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．因为y ＝sin x 的对称中心为()π,0k ，k ∈Z ． 令2x ＋2θ－6π＝k π，k ∈Z ，解得212k x θππ=+-，k ∈Z ． 由于函数y ＝g (x )的图象关于点,0125π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，令521212k θπππ+-=，k ∈Z ，解得23k θππ=-，k ∈Z ．由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值6π． (2)解析 (1)由题意知A ＝2，54126T ππ⎛⎫=-=π ⎪⎝⎭，ω＝2，因为当512x π=时取得最大值2，所以522sin 212ϕπ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭， 所以522122k ϕππ⨯+=π+，k ∈Z ，解得π32k ϕ=-π，k ∈Z ， 因为|φ|<2π，得3ϕ=-π，因此函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．探究提高 1．“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得．2．在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．3．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．【训练1】(1) (2018·孝感期末)已知函数()()1sin 20,022πf x A x A ϕϕ⎛⎫=+-><< ⎪⎝⎭，()333xxm g x -⋅=，()f x 的图像在y 轴上的截距为1，且关于直线12πx =对称．若对于任意的[]11,2x ∈-，存在20,6πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 使得()()12g x f x ≥，则实数m 的取值范围为______．(2)(2017·贵阳调研)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(0A >，0ω>，π2ϕ<)的部分图象如图所示．①求函数f (x )的解析式；②将函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12倍，再把所得的函数图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上的最小值． 解析(1)因为()f x 的图像在y 轴上的截距为1，且关于直线12πx =对称， 所以()10sin 12f A ϕ=-=，sin 21π12ϕ⎛⎫⨯+=± ⎪⎝⎭，又0A >，0π2ϕ<<，所以π3ϕ=，A =所以()π1232f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，6π0,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2π2,33ππ3x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，sin 23πx ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，()12f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()min 1f x =， 因为()33333x x x m g x m -⋅==-，[]1,2x ∈-，所以()min13g x m =-， 若对于任意的[]11,2x ∈-，存在20,6πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12g x f x ≥，则()()12min min g x f x ≥，所以113m -≥，解得23m ≤-，所以实数 的取值范围为2,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，答案为2,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．答案2,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦(2)解 ①设函数f (x )的最小正周期为T ，由题图可知A ＝1，T 2＝2π3－π6＝π2，即T ＝π，所以π＝2πω，解得ω＝2，故f (x )＝sin(2x ＋φ)．由0＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ可得π3＋φ＝2k π，k ∈Z ， 则φ＝2k π－π3，k ∈Z ，因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3，故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3． ②根据条件得g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π8时，4x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，5π6， 所以当x ＝π8时，g (x )取得最小值，且g (x )min ＝12．热点二 三角函数的性质【例2】(2018·哈尔滨三中)已知函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象与y 轴的交点为(0,，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为()0,2x 和0,2π2x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭．（1）求()f x 解析式及0x 的值； （2）求()f x 的单调增区间；（3）若2π0,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()21g x f x m =++有两个零点，求实数m 的取值范围．解（1）由题意知，2A =，π22T =，∴πT =，∴2π2Tω==；又∵图象过点(0,，∴2sin ϕ=sin ϕ=； 又∵π2ϕ<，∴3πϕ=-；∴()2sin 2π3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；又∵()02,x 是()f x 在y 轴右侧的第1个最高点，∴0π2π23x -=，解得05π12x =． （2）由()2π22π23ππ2πk x k k -≤-≤+∈Z ，得()5πππ1212πk x k k -≤≤+∈Z ， ∴()f x 的单调增区间为()π5ππ,π1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（3）∵在2π0,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()21g x f x m =++有两个零点，∴()0g x =有两个实数根，即函数图象有两个交点． ∴π1sin 234m x --⎛⎫-= ⎪⎝⎭在0,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个根，∵2π0,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴2π2,π33π3x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，∴结合函数图象，函数()()21g x f x m =++有两个零点的范围是(5,1⎤--⎦．∴(5,1m ⎤∈--⎦．探究提高 1．讨论三角函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数．2．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间，是将ωx ＋φ作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为y ＝A sin(ωx ＋φ)的增区间(或减区间)，但是当A ＞0，ω＜0时，需先利用诱导公式变形为y ＝－A sin(－ωx －φ)，则y ＝A sin(－ωx －φ)的增区间即为原函数的减区间，减区间即为原函数的增区间． 【训练2】(2017·浙江卷)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间．解 (1)f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x ＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 则f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－2sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋π6＝2． (2)f (x )的最小正周期为π．由正弦函数的性质，令2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ．所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z ．热点三 三角函数图象与性质的综合应用【例3】(2017·西安调研)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω>0)的最小正周期为π． (1)求函数f (x )的单调递增区间．(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上至少含有10个零点，求b 的最小值．解 (1)f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋3(2sin 2ωx －1)＝sin 2ωx －3cos 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3． 由最小正周期为π，得ω＝1，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，整理得k π－π12≤x ≤kx ＋5π12，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ． (2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到y ＝2sin 2x ＋1的图象；所以g (x )＝2sin 2x ＋1．令g (x )＝0，得x ＝k π＋7π12或x ＝k π＋11π12(k ∈Z )，所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y ＝g (x )在[0，b ]上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可．所以b 的最小值为4π＋11π12＝59π12．探究提高 1．研究三角函数的图象与性质，关键是将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B )的形式，利用正余弦函数与复合函数的性质求解．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|．应特别注意y ＝|A sin(ωx ＋φ)|的最小正周期为T ＝π|ω|．【训练3】函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等，请选择适当的探究顺序，研究函数()f x 的性质，并在此基础上填写下表，作出()f x 在区间[]π,2π-上的图象．解∵1-sinx≥0且1+sinx≥0，在R 上恒成立，∴函数的定义域为R ； ∵()2222cos fx x ==+，∴由|cosx|∈[0，1]，f 2（x ）∈[2，4]，可得函数的值域为[ ，2]； ∵()()πf x f x +，∴函数的最小正周期为π，∵当2π0,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2cos 2xf x ，在0,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，当π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2sin 2xf x ==，在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，∴()f x 在ππ,π2k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，在π,π2πk k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上递减()k ∈Z ， ∵()()f x f x -=，且2π2πf x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()f x 在其定义域上为偶函数，结合周期为π得到图象关于直线π2k x =对称， 因此，可得如下表格：热点四 三角恒等变换及应用【例4】(1)(2015·重庆卷)若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan αtan π5＋1tan αtan π5－1＝2＋12－1＝3．答案C ．探究提高1．三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值． 2．解决条件求值问题的三个关注点(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角． (2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示．(3)解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围， 求出角的大小．【训练4】 (1) (2018·泰安一中)平面直角坐标系xOy 中，点()00,P x y 在单位圆O 上，设xOP α∠=， 若5π,36πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3sin 5π6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则0x 的值为_________．(2)(2017·石家庄质检)若cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝437，0<β<π4<α<π2，则α＋β的值为________．解析(1)∵点()00,P x y 在单位圆O 上，且xOP α∠=，∴cos ＝ 0，sin ＝ 0， 又5π,36πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3sin 5π6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则4cos 5π6α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴ 0＝cosα＝cos[（α）]＝cos （α）cossin （α）sin431655π2=-+⨯=． (2)因为cos(2α－β)＝－1114且π4<2α－β<π，所以sin(2α－β)＝5314．因为sin(α－2β)＝437且－π4<α－2β<π2，所以cos(α－2β)＝17．所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)·cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)＝－1114×17＋5314×437＝12．因为π4<α＋β<3π4，所以α＋β＝π3．答案(1)－79；(2)π3．1．(2018·全国I 卷)已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则（） A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3 B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4 C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3 D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为42．(2018·全国II 卷)若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是（） A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π3．(2018·全国III 卷)函数()2tan 1tan xf x x=+的最小正周期为（）A ．π4B ．π2C ．πD ．2π4．(2018·全国III 卷)函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0,π的零点个数为________．5．(2018·全国II 卷)已知，则 __________．1．(2018·余江一中)时有极大值，且()f x β-为奇函数，则α，β的一组 可能值依次为（） （A ）π6，π12-（B ）π6，π12（C ）π3，π6-（D ）π3，π62．(2018·湖师附中)若函数 ＝ ＋ ( ， )的图象的一条对称轴方程是， 函数 的图象的一个对称中心是， ，则 的最小正周期是（） A ．B ．C ．D ．3．(2017·全国Ⅰ卷)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是() 高频易错题经典常规题（45分钟）A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 24．(2017·长沙一中调研)已知f (x )＝a sin x －b cos x ，若f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为（） A ．π4B ．π3C ．2π3D ．3π45．(2018·潍坊期中)已知 ， 为第二象限的角，，，则 的值为（）A ．B ．C ．D ．1．(2018·长春外国语)定义行列式运算，已知函数，满足： ， ，且 的最小值为，则 的值为（） A ．B ．C ．D ．2．(2018·滨州期末)已知函数 ，的图象如图所示，为了得到函数的图象，只需把 上所有的点（）A ．向右平移个单位长度 B ．向右平移个单位长度 C ．向左平移 个单位长度D ．向左平移个单位长度3．(2017·池州模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝13⎝⎛⎭⎫0<α<π2，则sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝________．精准预测题4．(2018·烟台期中)已知函数 的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为．（1）求函数f （x ）的对称轴方程及单调递增区间；（2）将函数y=f （x ）的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y=g （x ）的图象，当x ∈（ ，）时，求函数g （x ）的值域．5．(2017·西安模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32． (1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值．参考答案1．【解题思路】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为()35cos222f x x =+， 之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项． 【答案】根据题意有()1cos2x 35cos212cos2222f x x x -=+-+=+， 所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，且最大值为()max 35422f x =+=，故选B ． 2．【解题思路】先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定a 的最大值， 【答案】因为()πcos sin 4f x x x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，所以由()π02ππ2π,4k x k k +≤+≤+∈Z ，得()3ππ2π2π,44k x k k -+≤≤+∈Z ， 因此 ， π，3π， π，3ππ，从而 的最大值为π4，故选A ．点睛：函数 ， 的性质： (1) + ， ． (2)周期．(3)由 ππ 求对称轴，经典常规题(4)由 ππ ππ 求增区间；由ππ3ππ 求减区间．3．【解题思路】将函数()2tan 1tan xf x x=+进行化简即可【答案】由已知得()22sin tan 1cos sin cos sin 21tan 2sin 1cos xx x f x x x x x x x ====+⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ()f x 的最小正周期2ππ2T ==，故选C ． 4．【解题思路】求出的范围，再由函数值为零，得到的取值可得零点个数． 【答案】0πx ≤≤，ππ19π3666x ∴≤+≤，由题可知 ， ，或 ，解得，，或，故有3个零点．5．【解题思路】利用两角差的正切公式展开，解方程可得． 【答案】，解方程得．1．【解题思路】由极值点的导数为0确定α，由奇函数确定β． 【答案】()()2cos 2f x x α'=+，因为当，k ∈Z ，当0k =k ∈Z ，当0k =D ． 2．【解题思路】根据题意得到，得 ，得出， 即可求解函数的最小正周期，得到答案．【答案】由题设，有，即，得 ，又，所以，从而，所以， ，即 ， ， 又由 ，所以 ，于是，故 的最小正周期是 ．故选B ．3．【解题思路】先把y ＝cos x 用诱导公式化为正弦形式，再根据平移伸缩原则确定答案．高频易错题【答案】易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2，因此D 项正确．故选D ． 4．【解题思路】由f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ，可得x ＝π4是其对称轴，再根据特殊值确定a ，b 的关系． 【答案】 在f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x 中，令x ＝π4，得f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π2，即－b ＝a ， ∴直线ax －by ＋c ＝0的斜率k ＝a b ＝－1，因此直线的倾斜角为34π．故选D ．5．【解题思路】先利用同角三角函数的基本关系求得4πsin α⎛-⎫ ⎪⎝⎭和πcos 4β⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再利用两角和的正弦公式求得()ππsin sin 44αβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的值．【答案】∵α，β为第二象限的角，cos （ ）= ，sin （β+ ）=， ∴sin （）==，cos （β+）=﹣=﹣，则()πππππ41235sin sin sin cos cos cos 444444513513παβαβαβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++=-++--=⋅-+-⋅⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦6365=-，故选B ．1．【解题思路】先求出函数 的解析式，然后由 的最小值为可以求出周期 ，进而求出 ． 【答案】由题意得， （）， ，因为 的最小值为，所以 ，则由得 ．2．【解题思路】由函数的最值求出 ，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，可得函数 的解析式， 再利用 的图象变換规律，得出结论．【答案】由函数 (其中 ，的部分图象可得 ，，求得 ，再根据五点法作图可得，，， 故把的图象向右平移个长度单位，精准预测题可得的图象，故选A ．3．【解题思路】已知角度与所求角度互余．【答案】∵sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝13，∴cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝13； 又0<α<π2，∴π6<π6＋α<2π3，∴sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫π6＋α＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223．故填223． 4．【解题思路】（1）根据题意得到=，从而得到ω 1，f （x ）=sin （2x+）+，令2x+kπ+，求得x=+，即对称轴；（2）根据图像的变换得到g （x ）=sin （4x ﹣）+，当x ∈（，）时，4x ﹣∈（﹣，），结合函数的性质得到值域．【答案】（1）∵函数sin2ωx+ =sin （2ωx+ ）+ 的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为=，∴ω 1，f （x ）=sin （2x+ ）+． 令2x+kπ+，求得x= +， 故函数f （x ）的对称轴方程为得ππ26k x =+，k ∈Z ． （2）将函数()y f x =的图象向右平移π6个单位后， 可得y=sin （2x ﹣ +）+=sin （2x ﹣）+的图象；再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到函数y=g （x ）=sin （4x ﹣）+的图象．当x ∈（，）时，4x ﹣∈（﹣，），∴sin （4x ﹣）∈（﹣1，1]，故函数()g x 的值域为13,22⎛⎤- ⎥⎝⎦．5．【解题思路】利用二倍角公式，辅助角公式把f (x )化为()sin y A x ωϕ=+形式．【答案】解 (1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1)＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3． 当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1．(2)由(1)知，函数f (x )图象的对称轴为5=+122kx ππ，k ∈Z ， ∴当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π，1112π．又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2．结合图象可知，∴x 1＋x 2＝56π，则x 1＝56π－x 2，∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝⎛⎭⎫56π－2x 2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x 2－π3， 又f (x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x 2－π3＝23，故cos(x 1－x 2)＝23．。
2019届高考数学二轮复习课件： 第二部分专项二 专题二 1 第1讲 三角函数的图象与性质
所以 2x1＋π6＋2x2＋π6＝π，所以 x1＋x2＝π3，所以 f(x1＋x2)＝ 2sin 56π＝1，故选 B. 法二：由 f(x)＝2sinωx＋φ，x∈－1π2，23π的图象，得最小正 周期 T＝2ωπ＝4323π＋1π2＝π，所以 ω＝2，所以 f(x)＝2sin(2x＋φ)， 将点23π，－2代入，得 sin43π＋φ＝－1，又 φ∈0，π2，解得 φ
＝π6，所以 f(x)＝2sin(2x＋π6)x∈－1π2，23π，因为 f(x1)＝f(x2) 且 x1≠x2，由图象得 x1＋x2＝π3，所以 f(x1＋x2)＝2sin56π＝1，故 选 B. 【答案】 B
由“图”定“式”找“对应” 由三角函数的图象求解析式 y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中 参数的值，关键是把握函数图象的特征与参数之间的对应关系， 其基本依据就是“五点法”作图． (1)最值定 A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为 M，最小值为 m，则 M＝A＋B，m＝－A＋B，解得 B＝M＋2 m， A＝M－2 m.
[注意] “奇变偶不变，符号看象限”．
基本关系
sin2x＋cos2x＝1，tan
x＝csions
x x.
[考法全练]
1．若 sinπ2＋α＝－35，且 α∈π2，π，则 tan(π－α)＝(
)
A．43
B．23
C．－23
D．－43
解析：选 A.由 sinπ2＋α＝cos α＝－35，且 α∈π2，π， 得 sin α＝ 1－cos2 α＝45， 所以 tan(π－α)＝－tan α
(2)函数 y＝cosωx＋π3的图象向右平移π3个单位长度后，所得函 数图象对应的解析式为 y＝cosωx－π3＋π3＝cosωx－ω3π＋π3， 其图象与函数 y＝sin ωx＝cosωx－π2＋2kπ，k∈Z 的图象重合， 所以－π2＋2kπ＝－ω3π＋π3，k∈Z，所以 ω＝－6k＋52，k∈Z， 又 ω>0，所以 ω 的最小值为52，故选 B. 【答案】 (1)B (2)B
江苏2019高考数学二轮专项练习：第2讲函数、图象及性质
江苏 2019 高考数学二轮专项练习：第 2 讲函数、图象及性质1. 函数在高考取的题型设置有小题也有大题，此中大题有简单的函数应用题、函数与其余知识综合题，也有复杂的代数推理题，可以说函数性质的应用是高考考察的重要着力点之一、2. 要点：①函数的奇偶性、单一性和周期性；②函数与不等式联合；③函数与方程的综合；④函数与数列的综合；⑤函数与向量的综合；⑥利用导数来刻画函数、3.难点：①新定义的函数问题；②代数推理问题，常作为高考压轴题、1.f(x)是二次函数，且f(0) ＝ 0，f(x ＋ 1)＝f(x) ＋ x＋ 1，那么 f(x)＝ ________.x＋ 102.函数 f(x)＝|x|－x的定义域为 ________ 、13.函数 f(x)的定义域是 R，其图象对于直线x＝ 1 和点 (2,0) 都对称， f －2＝ 2，那么12009f 2＋ f2＝ ________.4.函数 f(x)＝ x2－ 2x，g(x) ＝ mx＋ 2x1∈ [ － 1,2]x0∈[ － 1,2]，使 g(x 1) ＝ f(x 0) ，那么实数 m的取值范围是 ________、【例 1】f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0,5)，且f(x)在区间[－1,4]上的最大值是12.(1) 求 f(x)的分析式；37(2)能否存在整数 m使得方程 f(x) ＋x＝ 0 在区间 (m，m＋ 1) 内有且只有两个不等的实数根？假定存在，求出m值；假定不存在，说明原因、a【例 2】函数 f(x) ＝ x2＋x(x ≠ 0，常数 a∈ R) 、(1)议论函数 f(x) 的奇偶性，并说明原因；(2) 假定函数f(x) 在 x∈ [2 ，＋∞ ) 上为增函数，求 a 的取值范围、2【例 3】设函数f(x)＝x＋|2x－a|(x∈ R，常数a为实数)、(1)假定 f(x) 为偶函数，务实数 a 的值；(2)设 a>2，求函数 f(x) 的最小值 .【例 4】 (2017 ·苏锡常镇模拟) 函数 f(x)＝x＋ a＋ a|x| ， a 为实数、(1)当 a＝ 1， x∈ [ － 1,1] 时，求函数 f(x) 的值域；(2)设 m、n 是两个实数，知足 m＜n，假定函数 f(x) 的单一减区间为 (m， n) ，且 n－m≤3116，求 a 的取值范围、1.(2017·辽宁 ) 假定函数 f(x) ＝2x＋1xa＝________.x－ a为奇函数，那么2.(2017·湖北 ) 假定定义在 R 上的偶函数f(x) 和奇函数 g(x) 知足 f(x) ＋ g(x) ＝e x，那么 g(x) ＝ ________.3.(2017·上海 ) 设 g(x) 是定义在 R 上、以 1 为周期的函数，假定 f(x) ＝ x＋ g(x) 在[0,1]上的值域为 [ － 2,5] ，那么 f(x)在区间 [0,3] 上的值域为 ____________、4.(2017·北京 ) 点 A(0,2)， B(2,0) ，假定点 C 在函数 y＝x2的图象上，那么使得△ ABC 的面积为 2 的点 C 的个数为 ________、5.(2017·上海 ) 函数 f(x)＝ a· 2x＋ b· 3x，此中常数 a，b 知足 ab≠ 0.(1)假定 ab>0，判断函数 f(x) 的单一性；(2)假定 ab<0，求 f(x ＋ 1)>f(x) 时 x 的取值范围、6.(2017 ·湖北 ) 提升过江大桥的车辆通行能力可改良整个城市的交通状况、在一般状况下，大桥上的车流速度v( 单位：千米 / 小时 ) 是车流密度x( 单位：辆 / 千米 ) 的函数、当桥上的车流密度达到200 辆 / 千米时，造成拥塞，现在车流速度为0；当车流密度不超出20 辆 /千米时，车流速度为60 千米 / 小时、研究说明：当20≤ x≤ 200 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数、(1) 当 0≤ x≤ 200 时，求函数v(x) 的表达式；(2) 当车流密度x 为多大时，车流量 ( 单位时间内经过桥上某观察点的车辆数，单位：辆/ 小时 )f(x)＝x· v(x)可以达到最大，并求出最大值、( 精准到 1 辆 / 小时 )(2017 ·镇江一模 )( 本小题总分值14 分 ) 函数 f(x)＝3－ 2log 2x， g(x) ＝ log 2x.(1)若是 x∈ [1,4]，求函数 h(x)＝ (f(x) ＋ 1)g(x)的值域；(2)求函数 M(x) ＝f x ＋ g x － |f x － g x |2的最大值；(3)若是对不等式f(x2)f( x) ＞ kg(x)中的随意 x∈ [1,4] ，不等式恒建立，务实数k 的取值范围、解：令 t ＝ log 2x，(1分 )(1)h(x) ＝ (4 － 2log 2x) · log 2x＝－ 2(t－1) 2＋2，(2 分 )∵x∈ [1,4] ，∴ t ∈ [0,2] ， (3 分 )∴h(x) 的值域为 [0,2] 、 (4 分 )(2)f(x) － g(x) ＝ 3(1 － log 2x) ，当 0＜x≤ 2 时， f(x)≥ g(x) ；当 x＞ 2时， f(x)＜ g(x) ， (5 分)g x， f x≥ g x，log x，0<x≤ 2，2∴ M(x) ＝f x， f x＜ g x，M(x)＝3－ 2log 2x， x>2，(6 分)当 0＜x≤ 2 时， M(x) 最大值为 1； (7 分 )当 x＞2 时， M(x) ＜ 1.(8 分 )综上：当 x＝ 2 时， M(x) 取到最大值为 1.(9 分 )(3) 由 f(x 2)f(x) ＞ kg(x) ，得 (3 －4log 2x)(3 －log 2x) ＞ k·log 2x，∵x∈ [1,4] ，∴ t ∈ [0,2] ，∴(3 －4t)(3 － t) ＞ kt 对全部 t ∈ [0,2] 恒建立， (10 分 )①当 t ＝ 0 时， k∈ R； (11 分 )3－ 4t3－t 9② t ∈ (0,2] 时， k ＜t 恒建立，即 k ＜ 4t ＋ t －15， (12 分 ) 993∵ 4t ＋ t ≥ 12，当且仅当 4t ＝ t ，即 t ＝ 2 时取等号、 (13 分 )9∴ 4t ＋ t － 15 的最小值为－ 3.综上： k ＜－ 3.(14分 )第 2 讲函数、图象及性质5－ 1＝ a x ，假定实数 m 、 n 知足 f(m) ＞ f(n)1.a ＝ 2 ，函数 f(x)，那么 m 、 n 的大小关系为________、【答案】 m ＜ n 分析：考察指数函数的单一性5－ 1＝a x 在 R 上递减、由 f(m) ＞ f(n)a ＝ 2 ∈ (0,1) ，函数 f(x) 得： m<n. 2. 设 a 为实数，函数 f(x) ＝ 2x 2＋ (x － a)|x － a|.(1) 假定 f(0) ≥1，求 a 的取值范围；(2) 求 f(x) 的最小值；(3) 设函数 h(x) ＝ f(x) ，x ∈ (a ，＋∞ ) ，斩钉截铁写出 ( 不需给出演算步骤 ) 不等式 h(x)≥ 1 的解集、点拨： 本小题重要考察函数的观点、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考察灵巧运用数形联合、分类议论的思想方法进行研究、剖析与解决问题的综合能力、a ＜ 0，解： (1) 假定 f(0) ≥ 1，那么－ a|a| ≥ 12≥ 1a ≤－ 1.a ∴ a 的取值范围是 ( －∞，－ 1](2) 当 x ≥ a 时， f(x) ＝ 3x 2－ 2ax ＋ a 2，f a ， a ≥ 0，2a 2， a ≥0，f(x) min ＝a＝ 2a2f 3 ， a ＜ 03 ， a ＜0，22f － a ， a ≥ 0，－ 2a 2， a ≥ 0，＝ f a ， a ＜ 0＝ 2a ， a ＜ 0，当 x ≤a 时， f(x) ＝ x ＋ 2ax－ a ， f(x)min2－ 2a 2，a ≥ 0，2综上 f(x) min ＝2a3 ， a ＜ 0.(3)x ∈(a ，＋∞ ) 时， h(x) ≥ 1 得 3x 2－ 2ax ＋ a 2－ 1≥ 0， ＝ 4a 2－ 12(a 2－ 1) ＝ 12－ 8a 2.66当 a ≤－ 2 或 a ≥ 2 时，≤ 0， x ∈ (a ，＋∞ ) ；6 6a － 3－ 2a 2 a ＋ 3－ 2a 2≥ 0， ＞ 0，得：x － 3 x － 3当－ 2 ＜ a ＜ 2 时，x ＞ a ，议论得：当 a∈26时，解集为 (a ，＋∞ ) ；2，262a－ 3－ 2a2a＋ 3－ 2a2当 a∈ －2，－2时，解集为 a，3∪3，＋∞222a＋ 3－ 2a当 a∈ －2，2时，解集为3，＋∞ .6222综上，当 a∈ －∞，－2∪2，＋∞ 时，解集为 (a ，＋∞ ) ，当 a∈ －2，2时，a＋ 3－2a262a－ 3－2a2解集为3，＋∞，当 a ∈ －2，－2时，解集为 a，3∪2a＋3－ 2a3，＋∞ .基础训练111.2x2＋2x2.(－∞，－ 1) ∪ ( － 1,0)x＋ 1≠ 0，x＜ 0， x≠－ 1.分析：|x|－ x＞ 03. － 4 分析：函数图象对于直线x＝1对称，那么 f(x) ＝ f(2 － x) ，函数图象对于点 (2,0)对称，那么 f(x)＝－ f(4 － x) ，∴ f(x＋ 2) ＝－ f(x) ，∴ f(x ＋ 4) ＝ f(x) ，2 0091111∴ f2＝ f 1 004＋2＝f2，又 f－2＝－ f 4＋2＝11 2 00911－ f 2， f2＋ f2＝ 2f2＝－ 2f－2＝－ 4.14.－ 1，2分析： x∈ [ － 1,2]时， f(x)∈[ －1,3]、 m≥ 0， x∈ [ － 1,2] 时， g(x) ∈ [2 －m,2＋ 2m]；m＜ 0， x∈ [ － 1,2]时， g(x) ∈ [2 ＋ 2m,2－ m]、m≥ 0， [2 － m， 2＋2m][ －1,3]；11m＜ 0， [2 ＋2m,2－ m][ － 1,3] 得 0≤ m≤2或－ 1≤ m<0，故实数 m的取值范围是－ 1，2 .例题选讲例 1 解： (1) ∵ f(x)是二次函数，且 f(x)＜0 的解集是 (0,5),∴可设 f(x) ＝ ax(x － 5)(a ＞0) 、∴ f(x) 在区间 [ － 1,4]上的最大值是f( － 1) ＝ 6a.由得 6a＝ 12, ∴a＝ 2, ∴ f(x) ＝ 2x(x － 5) ＝ 2x2－ 10x(x ∈ R) 、372x3－ 10x 2＋ 37＝ 0. 设 h(x)＝ 2x3－10x 2＋ 37，那么 h′(2) 方程 f(x) ＋x＝ 0等价于方程(x) ＝ 6x2－ 20x＝ 2x(3x － 10) 、1010当 x∈ 0，3时， h′ (x)＜ 0，h(x) 是减函数；当x∈3，＋∞ 时， h′ (x)＞0，h(x)是增函数、1011010∵ h(3) ＝ 1＞ 0，h3＝－27＜ 0，h(4) ＝5＞ 0，∴方程 h(x) ＝ 0 在区间 3，3，3，4内分别有独一实数根，而在区间(0,3) ，(4 ，＋∞ ) 内没有实数根，所以存在独一的自然数m37＝3，使得方程f(x)＋ x ＝ 0 在区间(m ，m ＋ 1) 内有且只有两个不一样的实数根、变式训练函数 y ＝ f(x) 是定义在 R 上的周期函数，周期 T ＝ 5，函数 y ＝f(x)( －1≤ x ≤1) 的图象对于原点对称、又知 y ＝ f(x) 在 [0,1] 上是一次函数，在 [1,4] 上是二次函数，且在x ＝ 2 时函数获得最小值－ 5.(1) 证明： f(1) ＋ f(4) ＝ 0；(2) 求 y ＝ f(x) ， x ∈ [1,4] 的分析式；(3) 求 y ＝ f(x) 在 [4,9] 上的分析式、(1) 证明：∵ f(x) 是以 5 为周期的周期函数，∴ f(4) ＝ f(4 － 5) ＝ f( － 1) ，又∵ y ＝ f(x)( －1≤ x ≤ 1) 对于原点对称，∴ f(1) ＝－ f( － 1) ＝－ f(4), ∴ f(1) ＋ f(4) ＝0.2(2) 解：当 x ∈ [1,4] 时，由题意可设 f(x) ＝ a(x － 2) － 5(a ＞ 0) ， 由 f(1) ＋ f(4) ＝ 0 得 a(1 － 2) 2－ 5＋ a(4 － 2) 2－ 5＝ 0，∴ a ＝ 2，∴ f(x) ＝ 2(x － 2) 2－ 5(1 ≤x ≤ 4) 、(3) 解：∵ y ＝ f(x)( － 1≤ x ≤1) 是奇函数，∴f(0) ＝ 0，又知 y ＝ f(x) 在[0,1] 上是一次函数，∴可设 f(x) ＝ kx(0 ≤ x ≤ 1) ，而 f(1)＝ 2(1 － 2) 2 －5＝－ 3，∴ k ＝－ 3，∴当 0≤ x ≤ 1时， f(x) ＝－ 3x ，进而当－ 1≤ x ＜ 0 时， f(x) ＝－ f( － x) ＝－ 3x ，故－ 1≤ x ≤ 1 时， f(x)＝－ 3x ，∴当 4≤ x ≤ 6 时，有－ 1≤ x － 5≤ 1，∴ f(x) ＝ f(x － 5) ＝－ 3(x － 5) ＝－ 3x ＋ 15，当 6＜ x ≤9 时， 1＜ x － 5≤ 4，∴ f(x) ＝f(x － 5) ＝2[(x － 5) － 2] 2－ 5＝ 2(x － 7) 2－5，∴－ 3x ＋ 15，4≤ x ≤ 6，f(x)＝2 x － 7 2－5， 6＜ x ≤9.评论：紧抓函数几个性质，将未知的转变为的，注意函数图象及端点值、例 2 解：(1) 当 a ＝ 0 时， f(x) ＝ x 2，对随意 x ∈ ( －∞， 0) ∪(0 ，＋∞ ) ，f( － x) ＝ ( － x) 2＝ x 2＝ f(x), ∴f(x) 为偶函数、a当 a ≠0 时， f(x) ＝ x 2＋ x (a ≠ 0， x ≠0) ，取 x ＝± 1，得 f( － 1) ＋ f(1) ＝ 2≠0， f( －1) － f(1) ＝－ 2a ≠ 0， ∴ f( －1) ≠－ f(1) ， f( －1) ≠ f(1) ， ∴函数 f(x) 既不是奇函数，也不是偶函数、(2)( 解法 1) 设 2≤ x 1＜ x 2，a a x －x222 1f(xx 1x 2[x x(x ＋ x ) － a] ，1) － f(x ) ＝ x ＋x 1－x －x 2＝2121 212 要使函数 f(x)在 x ∈ [2 ，＋∞ ) 上为增函数，一定 f(x 1) － f(x ) ＜ 0 恒建立、2∵ x 1－ x 2＜0， x 1x 2＞ 4，即 a ＜ x 1x 2(x 1＋ x 2) 恒建立、又∵ x 1＋x 2＞ 4, ∴ x 1x 2(x 1＋ x 2) ＞ 16. ∴ a 的取值范围是 ( －∞， 16] 、( 解法 2) 当 a ＝0 时， f(x) ＝ x 2，明显在 [2 ，＋∞ ) 为增函数、a当 a ＜0 时，反比率函数 x 在 [2 ，＋∞ ) 为增函数，a∴ f(x) ＝ x 2＋ x 在 [2 ，＋∞ ) 为增函数、当 a ＞0 时，同解法 1.a( 解法 3)f ′ (x) ＝ 2x －x2≥ 0，对 x∈ [2 ，＋∞ ) 恒建立、∴ a≤ 2x3而 y≤ 2x3. 在[2 ，＋∞ ) 上单一增，最小值为 16，∴ a≤ 16.评论：本题重要考察函数奇偶性、单一性及分类议论办理含参数问题、例 3 解： (1) 由 f( － x) ＝f(x) ，即 |2x － a| ＝|2x ＋ a| ，解得 a＝0.1x2＋ 2x－ a， x≥2a，(2)f(x) ＝1x2－2x＋ a，x＜2a，1当 x≥2a 时， f(x) ＝ x2＋ 2x－ a＝ (x ＋1) 2－ (a ＋1) ，1由 a＞2， x≥2a，得 x＞ 1，进而 x＞－ 1，又 f ′ (x) ＝ 2(x ＋ 1) ，1a a2故 f(x)在 x≥2a 时单一递加， f(x)的最小值为 f 2＝4；1当 x＜2a 时， f(x) ＝ x2－ 2x＋ a＝ (x －1) 2＋ (a －1) ，a故当 1＜ x＜2时，f(x)单一递加，当 x＜ 1 时， f(x) 单一递减，那么 f(x) 的最小值为f(1) ＝ a－ 1；a2a－ 22由4－ (a － 1) ＝4＞ 0，知 f(x)的最小值为 a－ 1.评论：本题考察二次函数含参数最值的议论方法、变式训练函数f(x)＝ x|x － 2|.设 a＞ 0，求 f(x) 在 [0 ， a] 上的最大值、x2－ 2x＝ x－ 12－ 1， x≥ 2，解： f(x) ＝ x|x － 2| ＝－x2＋2x＝－x－ 12＋ 1， x＜2.∴ f(x) 的单一递加区间是( －∞， 1] 和 [2 ，＋∞ );单一递减区间是 [1,2]、①当 0＜a≤ 1时， f(x)是 [0 ， a] 上的增函数，现在f(x) 在 [0 ， a] 上的最大值是 f(a)＝a(2 － a) ；②当 1＜ a≤ 2时， f(x)在 [0,1]上是增函数，在 [1 ，a] 上是减函数，现在f(x)在 [0 ， a]上的最大值是 f(1)＝ 1；③当 a＞ 2 时，令 f(a)－f(1)＝ a(a － 2) － 1＝ a2－ 2a－ 1＞ 0, 解得 a＞ 1＋ 2.假定 2＜ a≤ 1＋ 2，那么 f(a)≤f(1) ， f(x)在 [0 ，a] 上的最大值是f(1)＝ 1；假定 a＞ 1＋2，那么 f(a)＞ f(1) ， f(x) 在[0 ， a] 上的最大值是 f(a)＝a(a － 2) 、综上，当 0＜ a＜ 1 时， f(x)在[0 ，a] 上的最大值是a(2 － a) ；当 1≤ a≤1＋2时， f(x)在[0 ， a] 上的最大值是1；当 a＞ 1＋ 2时， f(x)在 [0，a] 上的最大值是a(a － 2)、例 4 解：设 y＝f(x) ，(1)a ＝1 时， f(x) ＝x＋ 1＋ |x| ，当 x∈(0,1] 时， f(x)＝x＋ 1＋x 为增函数， y 的取值范围为 (1,1＋2] 、当 x∈[ － 1,0] 时， f(x)＝x＋ 1－ x，令 t ＝ x＋ 1， 0≤ t ≤ 1，155那么 x＝ t 2－ 1， y＝－ t －22＋4， 0≤ t ≤ 1， y 的取值范围为 1，4 .5∵4＜1＋ 2，∴x∈ [1,1] 时，函数 f(x) 的值域为 [1,1 ＋ 2] 、(2) 令 t ＝ x＋a，那么 x＝ t 2－ a， t ≥ 0， y＝ g(t)＝ t ＋ a|t 2－ a|.① a＝0 时， f(x) ＝x 无单一减区间；1② a ＜ 0 时， y ＝ g(t) ＝ at 2＋ t － a2，在－2a，＋∞上 g(t)是减函数，那么在14a2－ a，＋∞ 上 f(x) 是减函数、∴ a＜ 0 不建立、－ at 2＋ t ＋a2，0≤ t ≤ a，③ a＞0 时， y＝g(t)＝at 2＋ t － a2，t ＞ a.1a，即 a＞31仅当2a＜2时，11在 t ∈2a ，a 时， g(t) 是减函数，即x∈4a2－ a， 0 时， f(x)是减函数、131∴n－ m＝ a－4a2≤16，即 (a － 2)(16a 2＋ a＋ 2) ≤0. ∴ a≤ 2.31故 a 的取值范围是4，2.高考回想11.2分析： f( － x) ＝－ f(x) 恒建立或从定义域可斩钉截铁获得、e x＋ e－x2.g(x) ＝2分析：由于函数 f(x)是偶函数， g(x) 是奇函数，所以 f( － x) ＋ g( － x)＝f(x) － g(x)＝ e－x.又由于 f(x) ＋ g(x) ＝ e x，所以 g(x) ＝e x＋ e－x2.3.[－ 2,7]分析：设 x1∈ [0,1] ，那么 f(x 1) ＝ x1＋ g(x 1) ∈ [ － 2,5] ，∵ g(x) 是定义域为 R 周期为 1 的函数，∴当 x2∈[1,2]时，f(x 2) ＝ x1＋ 1＋ g(x 1＋ 1) ＝1＋ x1＋ g(x 1 ) ＝ 1＋ f(x 1) ∈ [ －1,6] ，当 x2∈ [2,3] 时， f(x2)＝x1＋2＋g(x 1＋2)＝2＋x1＋g(x 1)＝2＋f(x 1)∈[0,7]，∴f(x)在区间 [0,3] 上的值域为 [ － 2,7]、4.4分析： AB＝ 22，直线 AB的方程为 x＋y＝ 2，在 y＝ x2上取点 C(x ，y) ，点 C(x， y)|x ＋y－ 2|到直线 AB的距离为2，2＝ 2， |x ＋ x2－ 2| ＝ 2，此方程有四个解、5.解： (1) 当 a＞ 0， b＞ 0 时，随意 x1， x2∈ R， x1＜ x2，那么 f(x 1) － f(x 2) ＝a(2x 1－ 2x 2) ＋ b(3x 1－ 3x2 ) ，∵ 2x1＜ 2x2， a＞ 0a(2x 1－ 2x2) ＜ 0,3x 1＜ 3x2，b＞ 0b(3x 1－ 3x2) ＜0，∴f(x 1) －f(x 2) ＜ 0，函数 f(x) 在 R 上是增函数、当 a＜0， b＜ 0 时，同理函数 f(x) 在 R 上是减函数、3a(2)f(x＋ 1) － f(x)＝ a· 2x＋ 2b· 3x＞0，当a＜0， b＞ 0 时， 2 x＞－ 2b，那么a3a ax＞ log 1.5－ 2b ；当 a＞ 0， b＜ 0 时， 2x＜－2b，那么 x＜ log 1.5－ 2b .6. 解： (1)由题意：当 0≤x≤ 20 时， v(x) ＝60；当 20≤ x≤ 200 时，设 v(x) ＝ ax＋ b，1200a＋ b＝ 0，a＝－3，明显 v(x)＝ ax＋ b 在 [20,200]是减函数，由得20a＋ b＝ 60，解得200b＝3 .60， 0≤ x≤ 20，故函数 v(x) 的表达式为 v(x) ＝1200－ x，20<x≤ 200.360x， 0≤ x≤ 20，(2)依题意并由 (1) 可得 f(x) ＝13x 200－ x， 20<x≤ 200.当 0≤x≤ 20 时， f(x)为增函数，故当 x＝ 20 时，其最大值为60× 20＝ 1200；1 1 x＋200－ x10 000当 20<x≤ 200 时， f(x)＝3x(200 －x) ≤322＝3，当且仅当 x＝ 200－ x，即 x＝ 100 时，等号建立、10 000所以，当 x＝ 100 时， f(x)在区间 [20,200]上获得最大值3.综上，当 x＝ 100 时， f(x)在区间 [0,200]上获得最大值10 000≈ 3333，3即当车流密度为 100 辆 / 千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333 辆 / 小时、。
2019年高考数学大二轮专题复习与测试课件：1.2.1函数的图象与性质
1 当 a>0 时，2 ＝－4，a 不存在， 5 ∴a 的值为－4.
2．本例(2)中函数 f(x)不变，则满足 f(a＋2)<f(2a)的 a 的取值范围． 解析： 函数
x＋1，x≤0， f(x)＝ x 2 ，x>0，
的图象如图所示， 则 f(x)
为增函数，由 f(a＋2)<f(2a)，∴a＋2<2a，∴a>2， ∴a 的取值范围为(2，＋∞)．
x－2，x∈[－2，1] f(x)＝ 3 x －2，x∈1，2]
.当 x∈[－2,1]时，f(x)∈[－4，－
1]；当 x∈(1,2]时， f(x)∈(－1,6)，∴当 x∈[－2,2]时，f(x)∈[－4,6]． 答案： [－4,6]
题型二
题型二
函数的图象
作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有 平移变换、伸缩变换、对称变换． (1)(2018· 全国卷Ⅱ)函数 y＝－x4＋x2＋2 的图象大致为( )
－ －
log3x，x>0， 1 结合 0<a<1，得 a＝ ，b＝1，所以 f(x)＝1x 2 ＋1，x≤0， 2 则
1－3 f(－3)＝2 ＋1＝9，f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2.故选
B.
答案： B
2．在实数的原有运算中，我们定义新运算“⊕”如下：当 a≥b 时，a⊕b＝a； 当 a<b 时，a⊕b＝b2.设函数 f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2,2]，则函数 f(x)的值域 为________． 解析： 由题意知
x＋1，x≤0， (2)(2017· 全国卷Ⅲ)设函数 f(x)＝ x 2 ，x＞0，
取值范围是________．
2019届高考数学二轮复习 第二部分专项二 专题一 1 第1讲 函数的图象与性质 学案 Word版含解析
专题一 函数与导数第1讲 函数的图象与性质年份卷别考查内容及考题位置命题分析卷Ⅰ利用图象研究零点问题·T 9图象的识别·T 3卷Ⅱ函数性质与求值·T 112018卷Ⅲ图象的识别·T 7卷Ⅰ利用函数的单调性、奇偶性求解不等式·T 52017卷Ⅲ分段函数与不等式的解法·T 152016卷Ⅰ函数图象的判断·T 71.高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面，多以选择、填空题形式考查，一般出现在第5～10题或第13～15题的位置上，难度一般．主要考查函数的定义域，分段函数求值或分段函数中参数的求解及函数图象的判断.2.此部分内容有时出现在选择、填空题压轴题的位置，多与导数、不等式、创新型问题结合命题，难度较大.函数及其表示(基础型)分段函数问题的5种常见类型及解题策略(1)求函数值：弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算．(2)求函数最值：分别求出每个区间上的最值，然后比较大小．(3)解不等式：根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围是大前提．(4)求参数：“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程．(5)奇偶性：利用奇函数(偶函数)的定义判断．[考法全练]1．函数f (x )＝是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是{ax 2＋x －1，x >2，ax －1，x ≤2)( )A ．－≤a <0 B ．a ≤－1414C ．－1≤a ≤－D ．a ≤－114解析：选D.因为f (x )＝是R 上的单调递减函{ax 2＋x －1，x >2，ax －1，x ≤2)数，所以其图象如图所示，则解得a ≤－1，故选{a <0，－12a≤2，2a －1≥4a ＋2－1，)D.2．若函数f (x )＝的最小值为f (0)，则实数a 的取值范围是( ){(x －a )2，x ≤0，x ＋1x＋a ，x >0)A ．[－1，2]B ．[－1，0]C ．[1，2]D ．[0，2]解析：选D.当x ≤0时，因为f (x )min ＝f (0)，所以f (x )＝(x －a )2在(－∞，0]上单调递减，故a ≥0.当x >0时，f (x )＝x ＋＋a ≥2＋a (当且仅当x ＝1时取等号)，因为f (x )min ＝f (0)，所以2＋1xa ≥f (0)＝a 2，解得－1≤a ≤2.综上可知，0≤a ≤2.故选D.3．已知函数f (x )＝若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( ){x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0.)A ．[－1，0)B ．[0，1]C ．[－1，1]D ．[－2，2]解析：选C.函数y ＝f (x )的图象如图所示，由图可知f (x )为偶函数，所以f (－a )＝f (a )，则不等式f (－a )＋f (a )≤2f (1)等价为2f (a )≤2f (1)，即f (a )≤f (1)，再由图象可得|a |≤1，即－1≤a ≤1.故选C.4．已知函数f (x )＝若f [f (0)]＝4a ，则实数a ＝________．{2x ＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，)解析：由题意知，f (0)＝20＋1＝2，则f [f (0)]＝f (2)＝4＋2a ，即4＋2a ＝4a ，所以a ＝2.答案：25．已知函数f (x )＝则不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1的解集是________．{－x ＋1，x <0x －1，x ≥0，)解析：当x ＋1<0，即x <－1时，f (x ＋1)＝－(x ＋1)＋1＝－x ，不等式变为x －x (x ＋1)≤1，即－x 2≤1，解得x ∈R ，故x ∈(－∞，－1)．当x ＋1≥0，即x ≥－1时，f (x ＋1)＝x ＋1－1＝x ，不等式变为x ＋x (x ＋1)≤1，即x 2＋2x－1≤0，解得－1－≤x ≤－1＋，故x ∈[－1，－1＋ ]．222综上可知，所求不等式的解集为(－∞，－1＋ ]．2答案：(－∞，－1＋ ]2函数的图象及应用(综合型)函数图象变换的4种形式(1)平移变换(上加下减，左加右减)y ＝f (x )的图象y ＝f (x ＋a )(y ＝f (x －a ))的图象；――――――――――――――→向左(右)平移a (a >0)个单位长度y ＝f (x )的图象y ＝f (x )＋a (y ＝f (x )－a )的图象．――――――――――――――→向上(下)平移a (a >0)个单位长度 (2)伸缩变换y ＝f (x )的图象y ＝kf (x )的图象；―――――――――――――→x 不变，y 变为原来的k 倍y ＝f (x )的图象Error!y ＝f (kx )的图象．(3)对称变换y ＝f (x )的图象y ＝f (－x )的图象；――――――→关于y 轴对称y ＝f (x )的图象y ＝－f (x )的图象；――――――→关于x 轴对称 y ＝f (x )的图象y ＝－f (－x )的图象；――――――→关于原点对称 y ＝f (x )的图象y ＝f (2a －x )的图象．――――――――→关于直线x ＝a 对称 (4)翻折变换y ＝f (x )的图象y ＝|f (x )|的图象，――――――――――→x 轴下方的部分翻折到上方 y ＝f (x )的图象y ＝f (|x |)的图象．―――――――――――→y 轴右侧的部分翻折到左侧[典型例题]命题角度一 函数图象的识别(1)(2018·高考全国卷Ⅱ)函数f (x )＝的图象大致为( )e x －e －xx2(2)已知定义域为[0，1]的函数f (x )的图象如图所示，则函数f (－x ＋1)的图象可能是( )(3)(一题多解)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为关于x 的函数f (x )，则f (x )的图象大致为( )【解析】 (1)当x <0时，因为e x －e －x <0，所以此时f (x )＝<0，故排除A 、D ；e x －e －xx2又f (1)＝e －>2，故排除C ，选B.1e(2)因为f (－x ＋1)＝f [－(x －1)]，先将f (x )的图象沿y 轴翻折，y 轴左侧的图象即为f (－x )的图象，再将所得图象向右平移1个单位长度就得到函数f (－x ＋1)的图象，故选B.(3)法一：当点P 位于边BC 上时，∠BOP ＝x ，0≤x ≤，则＝tan x ，所以BP ＝tan π4BPOBx ，所以AP ＝，4＋tan 2x 所以f (x )＝tan x ＋，4＋tan 2x (0≤x ≤π4)可见y ＝f (x )图象的变化不可能是一条直线或线段，排除A ，C.当点P 位于边CD 上时，∠BOP ＝x ，≤x ≤，π43π4则BP ＋AP＝＋BC 2＋CP 2AD 2＋DP 2＝＋.1＋(1－1tan x )2 1＋(1＋1tan x )2当点P 位于边AD 上时，∠BOP ＝x ，≤x ≤π，3π4则＝tan(π－x )＝－tan x ，APOA所以AP ＝－tan x ，所以BP ＝，4＋tan 2x 所以f (x )＝－tan x ＋，根据函数的解析式可排除D ，故选B.4＋tan 2x(3π4≤x ≤π)法二：当点P 位于点C 时，x ＝，此时AP ＋BP ＝AC ＋BC ＝1＋，当点P 位于CD π45的中点时，x ＝，此时AP ＋BP ＝2<1＋，故可排除C ，D ，当点P 位于点D 时，x ＝，π2253π4此时AP ＋BP ＝AD ＋BD ＝1＋，而在变化过程中不可能以直线的形式变化排除A ，故选B.5【答案】 (1)B (2)B (3)B(1)由函数解析式识别函数图象的策略(2)根据动点变化过程确定其函数图象的策略①先根据已知条件求出函数解析式后再判断其对应的函数的图象．②采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考查图象的变化特征，从而做出选择．③根据动点中变量变化时，对因变量变化的影响，结合选项中图象的变化趋势做出判断． 命题角度二 函数图象的应用若关于x 的不等式2－x 2>|x －a |至少有一个负数解，则实数a 的取值范围是________．【解析】 在同一坐标系中画出函数f (x )＝2－x 2，g (x )＝|x －a |的图象，如图所示，若a ≤0，则其临界情况为折线g (x )＝|x －a |与抛物线f (x )＝2－x 2相切．由2－x 2＝x －a 可得x 2＋x －a －2＝0，由Δ＝1＋4·(a ＋2)＝0，解得a ＝－；若a >0，则其临界情况为两函数图象的交94点为(0，2)，此时a ＝2.结合图象可知，实数a 的取值范围是.(－94，2)【答案】 (－94，2)对于一些函数与方程、不等式等问题，可通过转化为相应函数，再借助函数图象的特点和变化规律求解有关问题，这样非常直观简洁，也是数形结合思想的充分体现． [对点训练]1．(2018·湖南湘东五校联考)函数f (x )＝cos x 的图象的大致形状是( )(21＋e x－1)解析：选B.因为f (x )＝cos x ，所以f (－x )＝cos(－x )＝－(21＋e x －1)(21＋e －x －1)(21＋e x－1)cos x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项A ，C ，又当x ∈时，e x >e 0＝1，－1<0，cos x >0，所以f (x )<0，可排除选项D ，故选B.(0，π2)21＋e x 2．(2018·高考全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范{2－x ，x ≤01， x >0)围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1，0)D ．(－∞，0)解析：选D.当x ≤0时，函数f (x )＝2－x 是减函数，则f (x )≥f (0)＝1.作出f (x )的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f (x ＋1)<f (2x )，则需或所以x <0，故选D.{x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1){x ＋1≥0，2x <0)3.某地一年的气温Q (t )(单位：℃)与时间t (月份)之间的关系如图所示．已知该年的平均气温为10 ℃，令C (t )表示时间段[0，t ]的平均气温，下列四个函数图象中，最能表示C (t )与t 之间的函数关系的是( )解析：选A.若增加的数大于当前的平均数，则平均数增大；若增加的数小于当前的平均数，则平均数减小．因为12个月的平均气温为10 ℃，所以当t ＝12时，平均气温应该为10 ℃，故排除B ；因为在靠近12月份时其温度小于10 ℃，因此12月份前的一小段时间内的平均气温应该大于10 ℃，排除C ；6月份以后增加的温度先大于平均值后小于平均值，故平均气温不可能出现先减小后增加的情况，故排除D ，故选A.4．若不等式(x －1)2<log a x 在x ∈(1，2)内恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：要使当x ∈(1，2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需函数y ＝(x －1)2在(1，2)上的图象在y ＝log a x 的图象的下方即可．当0<a <1时，显然不成立；当a >1时，如图，要使x ∈(1，2)时y ＝(x －1)2的图象在y ＝log a x 的图象的下方，只需(2－1)2≤log a 2，即log a 2≥1，解得1<a ≤2，故实数a 的取值范围是(1，2]．答案：(1，2]函数的性质及应用(综合型)与函数周期性有关的5条结论(1)若f (x ＋T )＝f (x )，则T 是f (x )的一个周期．(2)若f (x ＋T )＝，则2T 是f (x )的一个周期．1f (x )(3)若f (x ＋T )＝－，则2T 是f (x )的一个周期．1f (x )(4)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )，且f (2b －x )＝f (x )(其中a <b )，则y ＝f (x )是以2(b－a )为周期的周期函数．(5)若对于定义域内的任意x 都有f (x ＋a )＝f (x ＋b )(a ≠b )，则函数f (x )是周期函数，其中一个周期为T ＝2|a －b |.与函数对称性有关的3条结论(1)函数y ＝f (x )关于x ＝a 对称⇔f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (x )＝f (2a －x )．(2)函数y ＝f (x )关于x ＝对称⇔f (a ＋x )＝f (b －x )⇔f (x )＝f (b ＋a －x )．a ＋b2(3)y ＝f (x ＋a )是偶函数⇔函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．[典型例题]命题角度一 函数单调性的应用(1)函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意两个正数x 1，x 2(x 1<x 2)，都有x 2f (x 1)>x 1f (x 2)，记a ＝f (2)，b ＝f (1)，c ＝－f (－3)，则a ，b ，c 之间的大小关系为( )1213A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．a >c >b(2)已知函数f (x )＝(a －2)a x (a >0且a ≠1)，若对任意x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，都有>0，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2则a 的取值范围是________．【解析】 (1)因为对任意两个正数x 1，x 2(x 1<x 2)，都有x 2f (x 1)>x 1f (x 2)，所以>，f (x 1)x 1f (x 2)x 2得函数g (x )＝在(0，＋∞)上是减函数，又c ＝－f (－3)＝f (3)，所以g (1)>g (2)>g (3)，即f (x )x 1313b >a >c ，故选B.(2)当0<a <1时，a －2<0，y ＝a x 单调递减，所以f (x )单调递增；当1<a <2时，a －2<0，y ＝a x 单调递增，所以f (x )单调递减；当a ＝2时，f (x )＝0；当a >2时，a －2>0，y ＝a x 单调递增，所以f (x )单调递增．又由题意知f (x )单调递增，故a 的取值范围是(0，1)∪(2，＋∞)．【答案】 (1)B (2)(0，1)∪(2，＋∞)(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)对于x 1，x 2∈[a ，b ]，x 1≠x 2，若(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0或>0，则f (x )在闭f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2区间[a ，b ]上是增函数．(3)若函数f (x )在定义域(或某一区间)上是增函数，则f (x 1)<f (x 2)⇔x 1<x 2，利用上式，可以去掉抽象函数的符号，将函数不等式转化为一般不等式． 命题角度二 函数的奇偶性与周期性(1)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )A ．－50B ．0C ．2D ．50(2)已知函数f (x )＝的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m 等于( )2|x |＋1＋x 3＋22|x |＋1A ．0 B ．2C ．4D ．8【解析】 (1)因为f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，且f (0)＝0.因为f (1－x )＝f (1＋x )，所以f (x )＝f (2－x )，f (－x )＝f (2＋x )，所以f (2＋x )＝－f (x )，所以f (4＋x )＝－f (2＋x )＝f (x )，所以f (x )是周期函数，且一个周期为4，所以f (4)＝f (0)＝0，f (2)＝f (1＋1)＝f (1－1)＝f (0)＝0，f (3)＝f (1＋2)＝f (1－2)＝－f (1)＝－2，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (50)＝12×0＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2，故选C.(2)f (x )＝＝2＋，设g (x )＝，2·(2|x |＋1)＋x 32|x |＋1x 32|x |＋1x 32|x |＋1因为g (－x )＝－g (x )，所以g (x )为奇函数，所以g (x )max ＋g (x )min ＝0.因为M ＝f (x )max ＝2＋g (x )max ，m ＝f (x )min ＝2＋g (x )min ，所以M ＋m ＝2＋g (x )max ＋2＋g (x )min ＝4.【答案】 (1)C (2)C(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上．尤其注意偶函数f (x )的性质f (|x |)＝f (x )．(2)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解． [对点训练]1．定义在R 上的函数f (x )对任意0<x 2<x 1都有<1，且函数y ＝f (x )的图象关于f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2原点对称，若f (2)＝2，则不等式f (x )－x >0的解集是( )A ．(－2，0)∪(0，2)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(0，2)D ．(－2，0)∪(2，＋∞)解析：选C.由<1，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2可得<0.[f (x 1)－x 1]－[f (x 2)－x 2]x 1－x 2令F (x )＝f (x )－x ，由题意知F (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，且是奇函数，F (2)＝0，F (－2)＝0，所以结合图象，令F (x )>0，得x <－2或0<x <2.故选C.2．(2018·惠州第一次调研)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，且满足下列三个条件：①对任意的x 1，x 2∈[4，8]，当x 1<x 2时，都有>0恒成立；f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2②f (x ＋4)＝－f (x )；③y ＝f (x ＋4)是偶函数．若a ＝f (6)，b ＝f (11)，c ＝f (2 017)，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( )A ．a <b <c B ．b <a <c C ．a <c <bD ．c <b <a解析：选B.由①知函数f (x )在区间[4，8]上为单调递增函数；由②知f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )的周期为8，所以c ＝f (2 017)＝f (252×8＋1)＝f (1)，b ＝f (11)＝f (3)；由③可知函数f (x )的图象关于直线x ＝4对称，所以b ＝f (3)＝f (5)，c ＝f (1)＝f (7)．因为函数f (x )在区间[4，8]上为单调递增函数，所以f (5)<f (6)<f (7)，即b <a <c .3．(2018·山西八校第一次联考)已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－，1f (x )当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f ＝________．(－112)解析：因为f (x ＋2)＝－，所以f (x ＋4)＝f (x )，所以f ＝f ，又2≤x ≤3时，f (x )＝x ，1f (x )(－112)(52)所以f＝，所以f ＝.(52)52(－112)52答案：52新定义函数(创新型)新定义函数问题主要包括两类：(1)概念型，即基于函数概念背景的新定义问题，此类问题常以函数的三要素(定义域、对应法则、值域)作为重点，考查考生对函数概念的深入理解；(2)性质型，即基于函数性质背景的新定义问题，主要涉及函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性、对称性等性质及有关性质的延伸，旨在考查学生灵活应用函数性质的能力．[典型例题](2018·洛阳第一次统考)若函数f (x )同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：(1)∀x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0；(2)∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，都有<0.f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2①f (x )＝sin x ；②f (x )＝－2x 3；③f (x )＝1－x ；④f (x )＝ln(＋x )．x 2＋1以上四个函数中，“优美函数”的个数是( )A ．0 B ．1C ．2D ．3【解析】 由条件(1)，得f (x )是奇函数，由条件(2)，得f (x )是R 上的单调减函数．对于①，f (x )＝sin x 在R 上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f (x )＝－2x 3既是奇函数，又在R 上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f (x )＝1－x 不是奇函数，故不是“优美函数”；对于④，易知f (x )在R 上单调递增，故不是“优美函数”．故选B.【答案】 B解决此类新定义问题首先要准确理解给出的新定义，然后把其转化为熟悉的数学问题求解．如本例通过对“优美函数”的理解，将问题转化为判定函数是否满足条件． [对点训练]1．若函数e x f (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是( )A ．f (x )＝2－xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝3－xD ．f (x )＝cos x解析：选A.对于选项A ，f (x )＝2－x ＝，则e x f (x )＝e x ·＝，因为>1，所以e x f (x )(12)x (12)x (e 2)x e2在R 上单调递增，所以f (x )＝2－x 具有M 性质．对于选项B ，f (x )＝x 2，e x f (x )＝e x x 2，[e x f (x )]′＝e x (x 2＋2x )，令e x (x 2＋2x )>0，得x >0或x <－2；令e x (x 2＋2x )<0，得－2<x <0，所以函数e x f (x )在(－∞，－2)和(0，＋∞)上单调递增，在(－2，0)上单调递减，所以f (x )＝x 2不具有M 性质．对于选项C ，f (x )＝3－x ＝，则e x f (x )＝e x ·＝，因为<1，所以y ＝在R 上单调递减，所以f (x )＝3－x(13)x (13)x (e 3)x e 3(e 3)x不具有M 性质．对于选项D ，f (x )＝cos x ，e x f (x )＝e x cos x ，则[e x f (x )]′＝e x (cos x －sin x )≥0在R 上不恒成立，故e x f (x )＝e x cos x 在R 上不是单调递增的，所以f (x )＝cos x 不具有M 性质．2．(2018·西安模拟)对于使f (x )≤M 成立的所有常数M ，我们把M 的最小值称为f (x )的上确界，若a ，b ∈(0，＋∞)且a ＋b ＝1，则－－的上确界为( )12a 2b A ．－B ．9292C ．D ．－414解析：选A.因为a ＋b ＝1，所以－－＝－－＝－－，因为a >0，12a 2b a ＋b 2a 2a ＋2bb52(b 2a ＋2a b )b >0，所以＋≥2，当且仅当b ＝2a 时取等号，所以－－≤－－2＝－，所以－－b 2a 2a b 12a 2b 529212a 2b的上确界为－，故选A.92一、选择题1．已知函数f (x )＝则满足f (a )≥2的实数a 的取值范围是( ){2－2x ，x ≤－1，2x ＋2，x >－1，)A ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)B ．(－1，0)C ．(－2，0)D ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)解析：选D.因为函数f (x )＝且f (a )≥2，所以或{2－2x ，x ≤－1，2x ＋2，x >－1，){a ≤－1，2－2a ≥2)，解得a ≤－1或a ≥0.{a >－12a ＋2≥2)2．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )A ．y ＝ B ．y ＝|x |－11xC ．y ＝lg xD ．y ＝(12)|x |解析：选B.A 中函数y ＝不是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，故A 错误；B 中函数1x满足题意，故B 正确；C 中函数不是偶函数，故C 错误；D 中函数不满足在(0，＋∞)上单调递增，故选B.3．已知函数f (x )＝的图象关于原点对称，g (x )＝ln(e x ＋1)－bx 是偶函数，则2×4x －a2x log a b ＝( )A ．1B ．－1C ．－D.1214解析：选B.由题意得f (0)＝0，所以a ＝2.因为g (1)＝g (－1)，所以ln(e ＋1)－b ＝ln ＋b ，(1e ＋1)所以b ＝，所以log a b ＝log 2＝－1.12124．(2018·高考全国卷Ⅲ)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为( )解析：选D.当x ＝0时，y ＝2，排除A ，B.由y ′＝－4x 3＋2x ＝0，得x ＝0或x ＝±，22结合三次函数的图象特征，知原函数在(－1，1)上有三个极值点，所以排除C ，故选D.5.若函数f (x )＝的图象如图所示，则f (－3)等于{ax ＋b ，x <－1ln (x ＋a )，x ≥－1)( )A ．－B ．－1254C ．－1D ．－2解析：选C.由图象可得a (－1)＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，所以a ＝2，b ＝5，所以f (x )＝{2x ＋5，x <－1，ln (x ＋2)，x ≥－1，)故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1.6．(2018·开封模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋2)，当x ∈(0，2]时，f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (2 015)＝( )A ．5 B.12C ．2D ．－2解析：选D.由f (x )＝－f (x ＋2)，得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数，所以f (2 015)＝f (503×4＋3)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－(2＋0)＝－2，故选D.7．(2018·石家庄质量检测(一))已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )单调递增，且f (1)＝0，若f (x －1)>0，则x 的取值范围为( )A ．{x |0<x <1或x >2}B ．{x |x <0或x >2}C ．{x |x <0或x >3}D ．{x |x <－1或x >1}解析：选A.由于函数f (x )是奇函数，且当x >0时f (x )单调递增，f (1)＝0，故由f (x －1)>0，得－1<x －1<0或x －1>1，所以0<x <1或x >2，故选A.8．(2018·高考全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( )A ．y ＝ln(1－x )B ．y ＝ln(2－x )C ．y ＝ln(1＋x )D ．y ＝ln(2＋x )解析：选B.法一：设所求函数图象上任一点的坐标为(x ，y )，则其关于直线x ＝1的对称点的坐标为(2－x ，y )，由对称性知点(2－x ，y )在函数f (x )＝ln x 的图象上，所以y ＝ln(2－x )．故选B.法二：由题意知，对称轴上的点(1，0)既在函数y ＝ln x 的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A ，C ，D ，选B.9.如图，动点P 在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的体对角线BD 1上．过点P作垂直于平面BB 1D 1D 的直线，与正方体的表面相交于M ，N 两点．设BP ＝x ，MN ＝y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )解析：选B.设正方体的棱长为1，显然，当P 移动到体对角线BD 1的中点E 时，函数y ＝MN ＝AC ＝取得唯一的最大值，所以排除A 、C ；当P 在BE 上时，分别过M ，N ，P 作底面2的垂线，垂足分别为M 1，N 1，P 1，则y ＝MN ＝M 1N 1＝2BP 1＝2x cos ∠D 1BD ＝x ，是一次263函数，所以排除D.故选B.10．(2018·太原模拟)已知函数f (x )是偶函数，f (x ＋1)是奇函数，且对于任意x 1，x 2∈[0，1]，且x 1≠x 2，都有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0，设a ＝f ，b ＝－f ，c ＝f ，则下列结论正确(8211)(509)(247)的是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．b >c >aD ．c >a >b解析：选B.因为函数f (x )是偶函数，f (x ＋1)是奇函数，所以f (－x )＝f (x )，f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，所以f (x －1)＝－f (x ＋1)，所以f (x )＝－f (x ＋2)，所以f (x )＝f (x ＋4)，所以a ＝f＝f ＝f (8211)(－611)，b ＝－f ＝f ，c ＝f ＝f ，又对于任意x 1，x 2∈[0，1]，且x 1≠x 2，都有(x 1－x 2)[f (x 1)－(611)(509)(49)(247)(47)f (x 2)]<0，所以f (x )在[0，1]上是减函数，因为<<，所以b >a >c ，故选B.496114711．(2018·唐山模拟)已知奇函数f (x )，偶函数g (x )的图象分别如图(1)，(2)所示，若函数f (g (x ))，g (f (x ))的零点个数分别为m ，n ，则m ＋n ＝( )A ．3B ．7C ．10D ．14解析：选C.由题中函数图象知f (±1)＝0，f (0)＝0，g ＝0，g (0)＝0，g (±2)＝1，g (±1)＝(±32)－1，所以f (g (±2))＝f (1)＝0，f (g (±1))＝f (－1)＝0，f ＝f (0)＝0，f (g (0))＝f (0)＝0，所(g (±32))以f (g (x ))有7个零点，即m ＝7.又g (f (0))＝g (0)＝0，g (f (±1))＝g (0)＝0，所以g (f (x ))有3个零点，即n ＝3.所以m ＋n ＝10，选择C.12．已知函数f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当h (x )<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( )A ．有最小值－1，最大值1B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值－1，无最大值D ．有最大值－1，无最小值解析：选C.作出函数g (x )＝1－x 2和函数|f (x )|＝|2x －1|的图象如图①所示，得到函数h (x )的图象如图②所示，由图象得函数h (x )有最小值－1，无最大值．二、填空题13．已知函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，若f (x ＋2 017)＝则f{2sin x ，x ≥0，lg (－x )，x <0，)·f (－7 983)＝________．(2 017＋π4)解析：由题意得，f ＝sin ＝1，(2 017＋π4)2π4f (－7 983)＝f (2 017－10 000)＝lg 10 000＝4，所以f ·f (－7 983)＝4.(2 017＋π4)答案：414．定义在R 上的函数f (x )，满足f (x ＋5)＝f (x )，当x ∈(－3，0]时，f (x )＝－x －1，当x ∈(0，2]时，f (x )＝log 2x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)的值等于________．解析：定义在R 上的函数f (x )，满足f (x ＋5)＝f (x )，即函数f (x )的周期为5.又当x ∈(0，2]时，f (x )＝log 2x ，所以f (1)＝log 21＝0，f (2)＝log 22＝1.当x ∈(－3，0]时，f (x )＝－x －1，所以f (3)＝f (－2)＝1，f (4)＝f (－1)＝0，f (5)＝f (0)＝－1.f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝403×[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)]＋f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)＝403×1＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝403＋0＋1＋1＝405.答案：40515．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于________．解析：由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.因为f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数．所以f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.答案：616．已知函数f (x )＝的图象上有两对关于y 轴对称的点，则实数k 的{kx －3，x ≥0ln (－2x )，x <0)取值范围是________．解析：将函数y ＝ln(－2x )(x <0)的图象沿y 轴翻折，得函数g (x )＝ln(2x )(x >0)的图象，由题意可得g (x )的图象和y ＝kx －3(x ≥0)的图象有两个交点．设y ＝kx －3(x ≥0)的图象与曲线y ＝g (x )相切的切点为(m ，ln(2m ))，由g ′(x )＝，得k ＝.又ln(2m )＝km －3，解得m ＝，则k ＝2e 2.1x 1m 12e 2由图象可得0<k <2e 2时，g (x )的图象和y ＝kx －3(x ≥0)的图象有两个交点．答案：(0，2e 2)。
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一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2x ，x ≤－1，2x ＋2，x >－1，则满足f (a )≥2的实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)B ．(－1，0)C ．(－2，0)D ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)详细分析：选 D.因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2x，x ≤－1，2x ＋2，x >－1，且f (a )≥2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，2－2a ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧a >－12a ＋2≥2，解得a ≤－1或a ≥0. 2．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝|x |－1C ．y ＝lg xD ．y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |详细分析：选B.A 中函数y ＝1x 不是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，故A 错误；B 中函数满足题意，故B 正确；C 中函数不是偶函数，故C 错误；D 中函数不满足在(0，＋∞)上单调递增，故选B.3．已知函数f (x )＝2×4x －a2x的图象关于原点对称，g (x )＝ln(e x ＋1)－bx 是偶函数，则log a b ＝( )A ．1B ．－1C ．－12D.14详细分析：选B.由题意得f (0)＝0，所以a ＝2. 因为g (1)＝g (－1)，所以ln(e ＋1)－b ＝ln ⎝⎛⎭⎫1e ＋1＋b ， 所以b ＝12，所以log a b ＝log 212＝－1.4．(2018·高考全国卷Ⅲ)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为( )详细分析：选D.当x ＝0时，y ＝2，排除A ，B.由y ′＝－4x 3＋2x ＝0，得x ＝0或x ＝±22，结合三次函数的图象特征，知原函数在(－1，1)上有三个极值点，所以排除C ，故选D.5.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <－1ln(x ＋a )，x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)等于( )A ．－12B ．－54C ．－1D ．－2详细分析：选C.由图象可得a (－1)＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，所以a ＝2，b ＝5，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x <－1，ln(x ＋2)，x ≥－1，故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1.6．(2018·开封模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋2)，当x ∈(0，2]时，f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (2 015)＝( )A ．5 B.12 C ．2D ．－2详细分析：选D.由f (x )＝－f (x ＋2)，得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数，所以f (2 015)＝f (503×4＋3)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－(2＋0)＝－2，故选D.7．(2018·石家庄质量检测(一))已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )单调递增，且f (1)＝0，若f (x －1)>0，则x 的取值范围为( )A ．{x |0<x <1或x >2}B ．{x |x <0或x >2}C ．{x |x <0或x >3}D ．{x |x <－1或x >1}详细分析：选A.由于函数f (x )是奇函数，且当x >0时f (x )单调递增，f (1)＝0，故由f (x －1)>0，得－1<x －1<0或x －1>1，所以0<x <1或x >2，故选A.8．(2018·高考全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( )A ．y ＝ln(1－x )B ．y ＝ln(2－x )C ．y ＝ln(1＋x )D ．y ＝ln(2＋x )详细分析：选B.法一：设所求函数图象上任一点的坐标为(x ，y )，则其关于直线x ＝1的对称点的坐标为(2－x ，y )，由对称性知点(2－x ，y )在函数f (x )＝ln x 的图象上，所以y ＝ln(2－x )．故选B.法二：由题意知，对称轴上的点(1，0)既在函数y ＝ln x 的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A ，C ，D ，选B.9.如图，动点P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体对角线BD 1上．过点P作垂直于平面BB 1D 1D 的直线，与正方体的表面相交于M ，N 两点．设BP ＝x ，MN ＝y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )详细分析：选B.设正方体的棱长为1，显然，当P 移动到体对角线BD 1的中点E 时，函数y ＝MN ＝AC ＝2取得唯一的最大值，所以排除A 、C ；当P 在BE 上时，分别过M ，N ，P 作底面的垂线，垂足分别为M 1，N 1，P 1，则y ＝MN ＝M 1N 1＝2BP 1＝2x cos ∠D 1BD ＝263x ，是一次函数，所以排除D.故选B.10．(2018·太原模拟)已知函数f (x )是偶函数，f (x ＋1)是奇函数，且对于任意x 1，x 2∈[0，1]，且x 1≠x 2，都有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫8211，b ＝－f ⎝⎛⎭⎫509，c ＝f ⎝⎛⎭⎫247，则下列结论正确的是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．b >c >aD ．c >a >b详细分析：选B.因为函数f (x )是偶函数，f (x ＋1)是奇函数，所以f (－x )＝f (x )，f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，所以f (x －1)＝－f (x ＋1)，所以f (x )＝－f (x ＋2)，所以f (x )＝f (x ＋4)，所以a ＝f ⎝⎛⎭⎫8211＝f ⎝⎛⎭⎫－611＝f ⎝⎛⎭⎫611，b ＝－f ⎝⎛⎭⎫509＝f ⎝⎛⎭⎫49，c ＝f ⎝⎛⎭⎫247＝f ⎝⎛⎭⎫47，又对于任意x 1，x 2∈[0，1]，且x 1≠x 2，都有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0，所以f (x )在[0，1]上是减函数，因为49<611<47，所以b >a >c ，故选B.11．(2018·唐山模拟)已知奇函数f (x )，偶函数g (x )的图象分别如图(1)，(2)所示，若函数f (g (x ))，g (f (x ))的零点个数分别为m ，n ，则m ＋n ＝( )A ．3B ．7C ．10D ．14详细分析：选C.由题中函数图象知f (±1)＝0，f (0)＝0，g ⎝⎛⎭⎫±32＝0，g (0)＝0，g (±2)＝1，g (±1)＝－1，所以f (g (±2))＝f (1)＝0，f (g (±1))＝f (－1)＝0，f ⎝⎛⎭⎫g ⎝⎛⎭⎫±32＝f (0)＝0，f (g (0))＝f (0)＝0，所以f (g (x ))有7个零点，即m ＝7.又g (f (0))＝g (0)＝0，g (f (±1))＝g (0)＝0，所以g (f (x ))有3个零点，即n ＝3.所以m ＋n ＝10，选择C.12．已知函数f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当h (x )<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( )A ．有最小值－1，最大值1B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值－1，无最大值D ．有最大值－1，无最小值详细分析：选C.作出函数g (x )＝1－x 2和函数|f (x )|＝|2x －1|的图象如图①所示，得到函数h (x )的图象如图②所示，由图象得函数h (x )有最小值－1，无最大值．二、填空题13．已知函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，若f (x ＋2 017)＝⎩⎨⎧2sin x ，x ≥0，lg(－x )，x <0，则f ⎝⎛⎭⎫2 017＋π4·f (－7 983)＝________．详细分析：由题意得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 017＋π4＝2sin π4＝1，f (－7 983)＝f (2 017－10 000)＝lg 10 000＝4， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 017＋π4·f (－7 983)＝4.答案：414．定义在R 上的函数f (x )，满足f (x ＋5)＝f (x )，当x ∈(－3，0]时，f (x )＝－x －1，当x ∈(0，2]时，f (x )＝log 2x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)的值等于________．详细分析：定义在R 上的函数f (x )，满足f (x ＋5)＝f (x )，即函数f (x )的周期为5.又当x ∈(0，2]时，f (x )＝log 2x ，所以f (1)＝log 21＝0，f (2)＝log 22＝1.当x ∈(－3，0]时，f (x )＝－x －1，所以f (3)＝f (－2)＝1，f (4)＝f (－1)＝0，f (5)＝f (0)＝－1.f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝403×[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)]＋f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)＝403×1＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝403＋0＋1＋1＝405.答案：40515．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于________．详细分析：由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.因为f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． 所以f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6. 答案：616．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx －3，x ≥0ln(－2x )，x <0的图象上有两对关于y 轴对称的点，则实数k 的取值范围是________．详细分析：将函数y ＝ln(－2x )(x <0)的图象沿y 轴翻折，得函数g (x )＝ln(2x )(x >0)的图象，由题意可得g (x )的图象和y ＝kx －3(x ≥0)的图象有两个交点．设y ＝kx －3(x ≥0)的图象与曲线y＝g(x)相切的切点为(m，ln(2m))，由g′(x)＝1x ，得k＝1m.又ln(2m)＝km－3，解得m＝12e2，则k＝2e2.由图象可得0<k<2e2时，g(x)的图象和y＝kx－3(x≥0)的图象有两个交点．答案：(0，2e2)。