第十一章 卡方检验
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33.3% 80
80.0 100.0%
33.3% 80
80.0 100.0%
33.3% 240
240.0 100.0% 100.0%
χ2检验结果：
ห้องสมุดไป่ตู้
Chi-Square Tests
Pearson Chi-Square
Value 13.868a
df 2
Asymp. Sig. (2-sided) .001
H0：π1 = π2
两种药物治疗小儿上消化道出血的有效率相 同，两样本有效率的差别仅由抽样误差所致
此时总体情况未知，故用样本合计有效率对总体率进 行估计，即H0为 π1 = π 2 = 74.44，% 在此基础上，推算出 每个格子的期望频数（理论频数T）
一、 χ2检验的基本思想
表11.2 两独立样本率比较的四格表
b. 0 cells (.0%) have expected count less than 5. The minimum expected count is 11. 50.
例11.2
见教材：137页
注意：该资料的T有小于5的格子，总n>40， 故应该用连续校正
步骤同前
组别 1 2
Total
65.0 100.0% 100.0%
连续性校正
Chi-Square Tests
Pearson Chi-Square Continuity Correctioan
Value 4.477b
3.140
df 1 1
Asymp. Sig. (2-sided) .034
.076
Exact Sig. (2-sided)
拟合优度检验：根据样本的频率分布检 验其总体分布是否等于某给定的理论分 布
变量间关联性分析
将在第十三章双变量关联性分 析中再讲解
主要内容
独立样本列联表资料的χ2检验
配对设计资料的χ2检验 线性性趋势χ2检验 四格表的Fisher确切概率法
第一节 独立样本列联表资料的χ2检验
1. χ2检验的基本思想
根据前面所学知识，可知，两组的有效率不同可 能有以下两种可能：
两药的总体有效率无差别 两种药的有效率确实不同
分析
这样的资料可能用前面介绍的两样本率比较的Z 检验，即二项分布近似正态分布来处理
也可采用χ2检验
χ2检验基本思想
假设两种药治疗小儿上消化道出血的疗效相同，则两 种药物的有效率相同，即认为两总体率的差别由抽 样误差所致，而非药物本身的疗效不同所致，那么 则以本资料的总平均率作为两人群共同的有效率， 从而推算出在该假设下对应的频数，这就是理论频 数(T)，这样可以推算出每个格子的理论频数(T) ， 比较实际频数(A)与理论频数(T)的吻合程度。
SPSS操作步骤
同四格表
方案 1 2 3
Total
方案 * 疗效 Crosstabulation
Count Expected Count % within 方案 % within 疗效 Count Expected Count % within 方案 % within 疗效 Count Expected Count % within 方案 % within 疗效 Count Expected Count % within 方案 % within 疗效
关，还与格子数有关，即与自由度有关。
四格表自由度：
ν = (R -1)(C -1) ν =1
χ2分布
分布
ν
ν ν ν
3
χ 2 分布界值
χα2 (n)
二、2 × 2列联表资料的χ2检验
例11.1 1.建立假设，确定检验水准 H0：两种人群耐药率相同，即 H1：两种人群耐药率不相同，即
b. 1 cells (25.0%) have expected count less than 5. The minimum expected count is 4 92.
α
三、R× C列联表资料的χ2检验
形式： 四格表，最简单的一种
× R 2，即多个样本率的比较
2 ×C或R × C列联表，即两个或多个构成比的
(a) T11
(b) T12
(c) T21
(d) T22
T RC
= n Rnc n
R：第R行 C：第C行
T11 = 67 = 74.44% 45 90
T12 = 23 = 25.56% 45 90
T21 = 67 = 74.44% T22 = 23 = 25.56%
45 90
45 90
χ2检验的基本公式
2. 2 × 2列联表资料的χ2检验 3. R × C列联表资料的χ2检验
例11.1
某研究者欲比较甲、乙两药治疗小儿消化道 出血的效果，将90名患儿随机分为 两组，一 组采用甲药治疗，另一级采用乙药治疗，一 个疗程后观察结果，见下表。问两药治疗小 儿上消化道出血的有效率是否有差别？
1
一、 χ2检验的基本思想
注意：两样本率比较的Z检验
结果得Z=3.1421，可见两统计量的关系
为：Z 2 = χ2
两种方法是完全等价的
见各公式的特点与适用范围
四格表χ2公式
四格表专用公式 四格表连续性校正
四格表χ2检验的实际应用公式**
名称
公式
应用条件
基本公式
∑ χ 2 =
(A - T) 2 T
专用公式 连续性校正
α = 0.05
π1 = π2 π1 ≠ π2
2.计算检验统计量
∑ χ 2 = (A - T)2 = 9.870 T
3.确定P值，做出结论： 查χ2界值表，得χ20.05，1界值=3.84， χ2 >χ20.05，1
界值，P<0.05，按 α = 0.05 水准，不拒绝H0，差 别有统计学意义，可以认为两种药物治疗小儿上 消道出血的有效率不同，乙药的有效率高于甲 药。
疗效
1 74
2 6
67.7
12.3
92.5%
7.5%
36.5%
16.2%
58
22
67.7
12.3
72.5%
27.5%
28.6%
59.5%
71
9
67.7
12.3
88.8%
11.3%
35.0%
24.3%
203
37
203.0
37.0
84.6%
15.4%
100.0% 100.0%
Total 80
80.0 100.0%
χ2 =
(ad - bc)2
(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)
∑ χ2 = ( A - T - 0.5)2 T
χ2 =
( ad - bc - n 2)2 n
(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)
n ≥ 40，且T ≥ 5时， n ≥ 40,且1 ≤ T < 5
χ2检验(chi-square test)是英国统计学家pearson于1900 年提出。
其基本公式：
∑ χ2 = (A - T)2
T
χ2值反映了实际频数与理论频数吻合的程度
理 解χ2值
∑ A与T相差越小，则 (A - T)2 值越小，反之越大。
将四个格子的值相加。 若H0成立，则这个和不应该很大
90.0 100.0% 100.0%
5
Chi-Square: χ2
Chi-Square Tests
Pearson Chi-Square Continuity Correctiona
Value 9.870b
8.410
df 1 1
Asymp. Sig. (2-sided) .002
.004
Exact Sig. (2-sided)
四格表确切 略 概率计算
n < 40，或T < 1时， 或在用前面非连续性校 正公式时，若P ≈ α
4
SPSS软件操作
数据库结构：
频数表资料 首先应该对n加
权
Weight case
如下图
Crosstabs:
点击1 点击2
1
2
点击1：
点击2
注：
Expected为期望 频数即为教材上的 理论频数
组别 有效
无效
合计
甲
a(T11)
b(T12)
a+b
乙 合计
C(T21) a+b
d(T22)
c+d
b+d
n
2
理论频数(theoretical frequency)
理论频数的计算方法：
在H0成立的情况下，即两种人群对该抗生素的耐 药率相同。则理论上两种人群有相同的耐药率 74.44%，这时计算出其相应的各个格子的频 数。
疗效
1 24
2 8
27.1
4.9
75.0%
25.0%
43.6%
80.0%
31
2
27.9
5.1
93.9%
6.1%
56.4%
20.0%
55
10
55.0
10.0
84.6%
15.4%
100.0% 100.0%
理论频数<5
Total 32
32.0 100.0%
49.2% 33
33.0 100.0%
50.8% 65
疗效
1 27
2 18
33.5
11.5
60.0%
40.0%
40.3%
78.3%
40
5
33.5
11.5
88.9%
11.1%
59.7%
21.7%
67
23
67.0
23.0
74.4%
25.6%
100.0% 100.0%
Total 45
45.0 100.0%
50.0% 45
45.0 100.0%
50.0% 90
即H0成立时， χ2值不应很大。
反之，若χ2值较大，则A与T相差较大，若A与T相差太 大，则H0正确的概率就小，因而怀疑并拒绝H0 ，接受 H1 。
这个界值则需要查去χ2界值表(附表9)
四格表的自由度
由公式可知，由于每个格子
(A - T)2 T
≥0
，格子越
多，则χ2值也会越大，即χ2值除于A与T的差别有
Exact Sig. (1-sided)
Likelihood Ratio
10.338
1
.001
Fisher's Exact Test
.003
.002
Linear-by-Linear
Association
9.761
1
.002
N of Valid Cases
90
a. Computed only for a 2x2 table
Exact Sig. (1-sided)
Likelihood Ratio
4.733
1
.030
Fisher's Exact Test
.044
.037
Linear-by-Linear
Association
4.408
1
.036
N of Valid Cases
65
a. Computed only for a 2x2 table
Likelihood Ratio
13.335
2
.001
Linear-by-Linear Association
.430
1
.512
N of Valid Cases
240
a. 0 cells (.0%) have expected count less than 5. The minimum expected count is 12.33.
比较
× 三、R C列联表资料的χ2检验
公式：
∑ χ 2 = n⎜⎜⎝⎛
A2 nRnC
−1⎟⎟⎠⎞
6
（一）多个样本率的比较
书138，例11.3 某研究者欲比较A、B、C三种方案治疗轻、中
度高血压的疗效，将年龄在50-70岁的240例 轻、中度高血压患者随机等分为3组，分别采用 三种方案治疗。一个疗程后观察疗效，结果见 表，问三种方案治疗轻、中度高血压的有效率 有无差别？
组别 * 疗效 Crosstabulation
Count
Expected Count % within 组别 % within 疗效
Count
Expected Count % within 组别 % within 疗效
Count
Expected Count % within 组别 % within 疗效
结果：
请认真弄清结果中的各 值含义
组别 1 2
Total
组别 * 疗效 Crosstabulation
Count Expected Count % within 组别 % within 疗效 Count Expected Count % within 组别 % within 疗效 Count Expected Count % within 组别 % within 疗效
表11.1 甲乙两药治疗小儿上消化道出血的效果
组别 甲
有效
27(33.5)
无效
18(11.5)
合计 有效率 %
45 60.00
乙 合计
40(33.5) 67
5(11.5) 45
23
90
88.89 74.44
分析
对于甲药组有效率60.00%和乙药有效率 88.89%，仅是样本观察的结果，存在抽样误 差，不能通过直接比较得到关于两药治疗小 儿上消化道出血的有效率有无差别的结论。
第十一章 χ2检验
要求掌握： 1. χ2检验的基本思想 2.成组和配对设计的两个样本率比较 3.多个样本率或构成比的比较 熟悉： 1.四格表的确切概率检验法 2.行列表的分割
χ2检验的应用
推断两个及两个以上总体率或构成 比是否有差别
Fisher确切概率法 线性趋势χ2检验
χ2检验的其他应用
80.0 100.0%
33.3% 80
80.0 100.0%
33.3% 240
240.0 100.0% 100.0%
χ2检验结果：
ห้องสมุดไป่ตู้
Chi-Square Tests
Pearson Chi-Square
Value 13.868a
df 2
Asymp. Sig. (2-sided) .001
H0：π1 = π2
两种药物治疗小儿上消化道出血的有效率相 同，两样本有效率的差别仅由抽样误差所致
此时总体情况未知，故用样本合计有效率对总体率进 行估计，即H0为 π1 = π 2 = 74.44，% 在此基础上，推算出 每个格子的期望频数（理论频数T）
一、 χ2检验的基本思想
表11.2 两独立样本率比较的四格表
b. 0 cells (.0%) have expected count less than 5. The minimum expected count is 11. 50.
例11.2
见教材：137页
注意：该资料的T有小于5的格子，总n>40， 故应该用连续校正
步骤同前
组别 1 2
Total
65.0 100.0% 100.0%
连续性校正
Chi-Square Tests
Pearson Chi-Square Continuity Correctioan
Value 4.477b
3.140
df 1 1
Asymp. Sig. (2-sided) .034
.076
Exact Sig. (2-sided)
拟合优度检验：根据样本的频率分布检 验其总体分布是否等于某给定的理论分 布
变量间关联性分析
将在第十三章双变量关联性分 析中再讲解
主要内容
独立样本列联表资料的χ2检验
配对设计资料的χ2检验 线性性趋势χ2检验 四格表的Fisher确切概率法
第一节 独立样本列联表资料的χ2检验
1. χ2检验的基本思想
根据前面所学知识，可知，两组的有效率不同可 能有以下两种可能：
两药的总体有效率无差别 两种药的有效率确实不同
分析
这样的资料可能用前面介绍的两样本率比较的Z 检验，即二项分布近似正态分布来处理
也可采用χ2检验
χ2检验基本思想
假设两种药治疗小儿上消化道出血的疗效相同，则两 种药物的有效率相同，即认为两总体率的差别由抽 样误差所致，而非药物本身的疗效不同所致，那么 则以本资料的总平均率作为两人群共同的有效率， 从而推算出在该假设下对应的频数，这就是理论频 数(T)，这样可以推算出每个格子的理论频数(T) ， 比较实际频数(A)与理论频数(T)的吻合程度。
SPSS操作步骤
同四格表
方案 1 2 3
Total
方案 * 疗效 Crosstabulation
Count Expected Count % within 方案 % within 疗效 Count Expected Count % within 方案 % within 疗效 Count Expected Count % within 方案 % within 疗效 Count Expected Count % within 方案 % within 疗效
关，还与格子数有关，即与自由度有关。
四格表自由度：
ν = (R -1)(C -1) ν =1
χ2分布
分布
ν
ν ν ν
3
χ 2 分布界值
χα2 (n)
二、2 × 2列联表资料的χ2检验
例11.1 1.建立假设，确定检验水准 H0：两种人群耐药率相同，即 H1：两种人群耐药率不相同，即
b. 1 cells (25.0%) have expected count less than 5. The minimum expected count is 4 92.
α
三、R× C列联表资料的χ2检验
形式： 四格表，最简单的一种
× R 2，即多个样本率的比较
2 ×C或R × C列联表，即两个或多个构成比的
(a) T11
(b) T12
(c) T21
(d) T22
T RC
= n Rnc n
R：第R行 C：第C行
T11 = 67 = 74.44% 45 90
T12 = 23 = 25.56% 45 90
T21 = 67 = 74.44% T22 = 23 = 25.56%
45 90
45 90
χ2检验的基本公式
2. 2 × 2列联表资料的χ2检验 3. R × C列联表资料的χ2检验
例11.1
某研究者欲比较甲、乙两药治疗小儿消化道 出血的效果，将90名患儿随机分为 两组，一 组采用甲药治疗，另一级采用乙药治疗，一 个疗程后观察结果，见下表。问两药治疗小 儿上消化道出血的有效率是否有差别？
1
一、 χ2检验的基本思想
注意：两样本率比较的Z检验
结果得Z=3.1421，可见两统计量的关系
为：Z 2 = χ2
两种方法是完全等价的
见各公式的特点与适用范围
四格表χ2公式
四格表专用公式 四格表连续性校正
四格表χ2检验的实际应用公式**
名称
公式
应用条件
基本公式
∑ χ 2 =
(A - T) 2 T
专用公式 连续性校正
α = 0.05
π1 = π2 π1 ≠ π2
2.计算检验统计量
∑ χ 2 = (A - T)2 = 9.870 T
3.确定P值，做出结论： 查χ2界值表，得χ20.05，1界值=3.84， χ2 >χ20.05，1
界值，P<0.05，按 α = 0.05 水准，不拒绝H0，差 别有统计学意义，可以认为两种药物治疗小儿上 消道出血的有效率不同，乙药的有效率高于甲 药。
疗效
1 74
2 6
67.7
12.3
92.5%
7.5%
36.5%
16.2%
58
22
67.7
12.3
72.5%
27.5%
28.6%
59.5%
71
9
67.7
12.3
88.8%
11.3%
35.0%
24.3%
203
37
203.0
37.0
84.6%
15.4%
100.0% 100.0%
Total 80
80.0 100.0%
χ2 =
(ad - bc)2
(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)
∑ χ2 = ( A - T - 0.5)2 T
χ2 =
( ad - bc - n 2)2 n
(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)
n ≥ 40，且T ≥ 5时， n ≥ 40,且1 ≤ T < 5
χ2检验(chi-square test)是英国统计学家pearson于1900 年提出。
其基本公式：
∑ χ2 = (A - T)2
T
χ2值反映了实际频数与理论频数吻合的程度
理 解χ2值
∑ A与T相差越小，则 (A - T)2 值越小，反之越大。
将四个格子的值相加。 若H0成立，则这个和不应该很大
90.0 100.0% 100.0%
5
Chi-Square: χ2
Chi-Square Tests
Pearson Chi-Square Continuity Correctiona
Value 9.870b
8.410
df 1 1
Asymp. Sig. (2-sided) .002
.004
Exact Sig. (2-sided)
四格表确切 略 概率计算
n < 40，或T < 1时， 或在用前面非连续性校 正公式时，若P ≈ α
4
SPSS软件操作
数据库结构：
频数表资料 首先应该对n加
权
Weight case
如下图
Crosstabs:
点击1 点击2
1
2
点击1：
点击2
注：
Expected为期望 频数即为教材上的 理论频数
组别 有效
无效
合计
甲
a(T11)
b(T12)
a+b
乙 合计
C(T21) a+b
d(T22)
c+d
b+d
n
2
理论频数(theoretical frequency)
理论频数的计算方法：
在H0成立的情况下，即两种人群对该抗生素的耐 药率相同。则理论上两种人群有相同的耐药率 74.44%，这时计算出其相应的各个格子的频 数。
疗效
1 24
2 8
27.1
4.9
75.0%
25.0%
43.6%
80.0%
31
2
27.9
5.1
93.9%
6.1%
56.4%
20.0%
55
10
55.0
10.0
84.6%
15.4%
100.0% 100.0%
理论频数<5
Total 32
32.0 100.0%
49.2% 33
33.0 100.0%
50.8% 65
疗效
1 27
2 18
33.5
11.5
60.0%
40.0%
40.3%
78.3%
40
5
33.5
11.5
88.9%
11.1%
59.7%
21.7%
67
23
67.0
23.0
74.4%
25.6%
100.0% 100.0%
Total 45
45.0 100.0%
50.0% 45
45.0 100.0%
50.0% 90
即H0成立时， χ2值不应很大。
反之，若χ2值较大，则A与T相差较大，若A与T相差太 大，则H0正确的概率就小，因而怀疑并拒绝H0 ，接受 H1 。
这个界值则需要查去χ2界值表(附表9)
四格表的自由度
由公式可知，由于每个格子
(A - T)2 T
≥0
，格子越
多，则χ2值也会越大，即χ2值除于A与T的差别有
Exact Sig. (1-sided)
Likelihood Ratio
10.338
1
.001
Fisher's Exact Test
.003
.002
Linear-by-Linear
Association
9.761
1
.002
N of Valid Cases
90
a. Computed only for a 2x2 table
Exact Sig. (1-sided)
Likelihood Ratio
4.733
1
.030
Fisher's Exact Test
.044
.037
Linear-by-Linear
Association
4.408
1
.036
N of Valid Cases
65
a. Computed only for a 2x2 table
Likelihood Ratio
13.335
2
.001
Linear-by-Linear Association
.430
1
.512
N of Valid Cases
240
a. 0 cells (.0%) have expected count less than 5. The minimum expected count is 12.33.
比较
× 三、R C列联表资料的χ2检验
公式：
∑ χ 2 = n⎜⎜⎝⎛
A2 nRnC
−1⎟⎟⎠⎞
6
（一）多个样本率的比较
书138，例11.3 某研究者欲比较A、B、C三种方案治疗轻、中
度高血压的疗效，将年龄在50-70岁的240例 轻、中度高血压患者随机等分为3组，分别采用 三种方案治疗。一个疗程后观察疗效，结果见 表，问三种方案治疗轻、中度高血压的有效率 有无差别？
组别 * 疗效 Crosstabulation
Count
Expected Count % within 组别 % within 疗效
Count
Expected Count % within 组别 % within 疗效
Count
Expected Count % within 组别 % within 疗效
结果：
请认真弄清结果中的各 值含义
组别 1 2
Total
组别 * 疗效 Crosstabulation
Count Expected Count % within 组别 % within 疗效 Count Expected Count % within 组别 % within 疗效 Count Expected Count % within 组别 % within 疗效
表11.1 甲乙两药治疗小儿上消化道出血的效果
组别 甲
有效
27(33.5)
无效
18(11.5)
合计 有效率 %
45 60.00
乙 合计
40(33.5) 67
5(11.5) 45
23
90
88.89 74.44
分析
对于甲药组有效率60.00%和乙药有效率 88.89%，仅是样本观察的结果，存在抽样误 差，不能通过直接比较得到关于两药治疗小 儿上消化道出血的有效率有无差别的结论。
第十一章 χ2检验
要求掌握： 1. χ2检验的基本思想 2.成组和配对设计的两个样本率比较 3.多个样本率或构成比的比较 熟悉： 1.四格表的确切概率检验法 2.行列表的分割
χ2检验的应用
推断两个及两个以上总体率或构成 比是否有差别
Fisher确切概率法 线性趋势χ2检验
χ2检验的其他应用