2019学年高中数学第一章三角函数6余弦函数的图像与性质学案北师大版必修4

答案
能，五个关键点分别是
(0 ，1) ，
π，0 2
， ( π ，－
1) ，
3π ，0
2
，( 2π，1) .
梳理 余弦函数 y＝ cos x( x∈ R) 的图像叫作余弦曲线 .
知识点二 余弦函数的性质
思考 1 余弦函数的最值是多少？取得最值时的 x 值是多少？
答案 对于余弦函数 y＝cos x，x∈ R 有： 当且仅当 x＝ 2kπ ， k∈Z 时，取得最大值 1；
答案 [2 kπ ，π ＋ 2kπ ]( k∈ Z)
解析 y＝ 3－ 2cos x 与 y＝ 3＋ 2cos x 的单调性相反， 由 y＝3＋ 2cos x 的递减区间为 [2 kπ ， π＋ 2kπ ]( k∈ Z) ，
∴ y＝ 3－ 2cos x 的递增区间为 [2 kπ ， π ＋ 2kπ ]( k∈ Z).
答案
能，根据
cos x＝ sin
x＋
π 2
，只需把
y＝ sin
x，x∈ R的图像向左平移
π 2 个单位长度，
即可得到 y＝ cos x， x∈R 的图像 .
思考 2 类比“五点法”作正弦函数图像， 那么余弦函数图像能否用“五点法”作图？若能， y＝ cos x， x∈[0 ， 2π ] 五个关键点分别是什么？
23
17
(2) 比较 cos － 5 π 与 cos － 4 π 的大小 .
考点 余弦函数的单调性
题点 利用单调性比较大小
23
7
7
解 cos － 5 π ＝ cos －6π ＋ 5π ＝ cos 5π ，
17
7
7
cos － 4 π ＝cos － 6π＋ 4π ＝cos 4π ，
77 ∵ π <5π <4π <2π ，
2
类型一 用“五点法”作余弦函数的图像 例 1 用“五点法”作函数 y＝ 1－cos x(0 ≤ x≤２π ) 的简图 .
考点 “五点法”作图的应用
题点 用“五点法”作余弦函数的图像
解 列表：
x
0π 2
π
3π 2
2π
cos x
1 0 －1
0
1
1－ cos x 0 1
2
1
0
描点并用光滑的曲线连接起来，如图所示 .
题点 用“五点法”作余弦函数的图像
解
∵x∈[0 ， 2π ] ，∴令
x＝
0，π2
，
π
，
3π 2
，
2π
，列表得：
x
π
0
2
π
3π
2
2π
cos x 1 0
－1
0
1
y
3 1 －1
1
3
描点，连线得：
类型二 余弦函数单调性的应用
例 2 (1) 函数 y＝ 3－ 2cos x 的递增区间为
.
3
考点 余弦函数的单调性 题点 求余弦函数的单调区间
答案 观察图像可知：
当 x∈[ － π ， 0] 时，曲线逐渐上升，是增函数， cos x 的值由－ 1 增大到 1；
当 x∈[0 ， π ] 时，曲线逐渐下降，是减函数， cos x 的值由 1 减小到－ 1.
推广到整个定义域可得
当 x∈[2 kπ －π ， 2kπ ] ， k∈ Z 时，余弦函数 y＝ cos x 是增函数，函数值由－ 1 增大到 1；
.(
用“ >”连接 )
考点 正弦函数、余弦函数的单调性 题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用
答案 cos 1>cos 2>cos 3
解析 由于 0<1<2<3<π，而 y＝cos x 在 [0 ， π ) 上是减少的， 所以 cos 1>cos 2>cos 3.
类型三 余弦函数的定义域和值域
例 3 (1) 求 f ( x) ＝ 2cos x－1的定义域 .
当且仅当 x＝ (2 k＋ 1) π， k∈ Z 时，取得最小值－ 1；
1
观察余弦函数 y＝ cos x， x∈[ － π ， π ] 的图像： 函数 y＝ cos x， x∈ [ －π ， π ] 的图像如图所示 .
思考 2 余弦函数在 [ －π ， π ] 上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？
§６ 余弦函数的图像与性质
学习目标 1. 会用“五点法”“图像变换法”作余弦函数的图像
.2. 理解余弦函数的性质，
会求 y＝ Acos x＋ B 的单调区间及最值 .3. 会利用余弦函数的单调性比较三角函数值的大小，
能根据图像解简单的三角不等式 .
知识点一 余弦函数的图像
思考 1 根据 y＝ sin x 和 y＝ cos x 的关系，你能利用 y＝ sin x， x∈R 的图像得到 y＝ cos x， x∈ R 的图像吗？
单调性
的；
当 x∈ [2 kπ， 2kπ ＋ π]( k∈Z) 时，函数是减少的
最大值与最小值
当 x＝ 2kπ ( k∈ Z) 时，最大值为 1； 当 x＝ 2kπ ＋π ( k∈ Z) 时，最小值为－ 1
1. 余弦函数 y＝cos x 的图像与 x 轴有无数个交点 .( √ ) 2. 余弦函数 y＝cos x 的图像与 y＝ sin x 的图像形状和位置都不一样 .( × ) 提示 函数 y＝cos x 的图像与 y＝ sin x 的图像形状一样，只是位置不同 . 3. 存在实数 x，使得 cos x＝ 2.( × ) 提示 余弦函数最大值为 1. 4. 余弦函数 y＝cos x 在区间 [0 ，π ] 上是减函数 .( √ ) 提示 由余弦函数的单调性可知正确 .
当 x∈[2 kπ ， (2 k＋ 1) π] ， k∈ Z 时，余弦函数 y＝ cos x 是减函数，函数值由 1 减小到－ 1.
梳理
函数
y＝ cos x
定义域
R
值域
[ － 1， 1]
奇偶性
偶函数
周期性
以 2kπ 为周期 ( k∈ Z， k≠0) ， 2π 为最小正周期
当 x∈[2 kπ ＋ π， 2kπ ＋2π ]( k∈Z) 时，函数是增加
7
7
∴cos 5π <cos 4π ，
23
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即 cos － 5 π <cos － 4 π .
反思与感悟 单调性是对一个函数的某个区间而言的，不同函数，不在同一单调区间内时，
应先用诱导公式进行适当转化，转化到同一单调区间内，再利用函数的单调性比较大小
.
跟踪训练 2 cos 1 ， cos 2 ， cos 3 的大小关系是
反思与感悟 作形如 y＝ acos x＋ b，x∈[0 ， 2π ] 的图像时， 可由“五点法”作出， 其步骤：
①列表，取
x＝0，
π 2
，
π
，
3π 2
，2π
；② y＝ 2cos x＋ 1， x∈[0 ， 2π] 的简图 . 考点 “五点法”作图的应用