高中数学(新课导入+课堂探究+课堂训练)1.2.1 函数的概念 第2课时 函数概念的综合应用课件 新人教A版必修1
高中数学第一章1.2.1函数的概念导学案2新人教版必修1
§1.2.1 函数的概念（2）1. 会求一些简单函数的概念域与值域，并能用“区间”的符号表示；2. 掌握判别两个函数是不是相同的方式.1819温习1：函数的三要素是 、 、 .函数23x y x=与y ＝3x 是不是同一个函数？为何？温习2：用区间表示函数y ＝kx ＋b 、y ＝ax 2＋bx ＋c 、y ＝k x的概念域与值域，其中0k ≠，0a ≠.二、新课导学※ 学习探讨探讨任务：函数相同的判别讨论：函数y =x 、y 2、y =32x x、y y 有何关系？试试：判断下列函数()f x 与()g x 是不是表示同一个函数，说明理由？① ()f x = 0(1)x -；()g x = 1.② ()f x = x ； ()g x ③()f x = x 2；()g x = 2(1)x +.④ ()f x = | x | ；()g x小结：① 若是两个函数的概念域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）；②两个函数相等当且仅当它们的概念域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关.※ 典型例题例1 求下列函数的概念域 （用区间表示）.（1）23()2x f x x -=-；（2）()f x =（3）1()2f x x =-.试试：求下列函数的概念域 （用区间表示）.（1）2()3x f x x -=-（2）()f x .小结：（1）概念域求法（分式、根式、组合式）；（2）求概念域步骤：列不等式（组） → 解不等式（组）.例2求下列函数的值域（用区间表示）：（1）y ＝x 2－3x ＋4； （2）()f x =；（3）y ＝53x -+； （4）2()3x f x x -=+.变式：求函数(0)ax b y ac cx d+=≠+的值域.小结：求函数值域的常常利用方式有：观察法、配方式、拆分法、大体函数法.※ 动手试试练1. 若2(1)21f x x +=+，求()f x .练2. 一次函数()f x 知足[()]12f f x x =+，求()f x .三、总结提升※ 学习小结1. 概念域的求法及步骤；2.判断同一个函数的方式；3. 求函数值域的常常利用方式.※ 知识拓展对于两个函数()y f u =和()u g x =，通过中间变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称它为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作(())y f g x =. 例如y =y =与2）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 函数()1f x =的概念域是（ ）.A. [3,1]-B. (3,1)-C. RD. ∅ 2. 函数2132x y x -=+的值域是（ ）. A. 11(,)(,)33-∞--+∞ B. 22(,)(,)33-∞+∞ C. 11(,)(,)22-∞--+∞ D. R 3. 下列各组函数()()f x g x 与的图象相同的是（ ）A.2(),()f x x g x ==B.22(),()(1)f x x g x x ==+C.0()1,()f x g x x ==D.()||,()x f x x g x x ⎧==⎨-⎩(0)(0)x x ≥<4. 函数f (x +12x-的概念域用区间表示是 . 5. 若2(1)1f x x -=-，则()f x = .1. 设一个矩形周长为80，其中一边长为x ，求它的面积y 关于x 的函数的解析式，并写出概念域.2. 已知二次函数f (x )=ax 2+bx （a ，b 为常数，且a ≠0）知足条件f (x －1)=f (3－x )且方程f (x )=2x 有等根，求f (x )的解析式.。
新授课1.2.1函数的概念教案
1.2.1函数的概念教材分析函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想．函数是数学中最主要的概念之一.函数的概念贯穿中学数学始终，概念性强是函数理论的一个显著特点，只有对概念作深刻理解，才能正确灵活地加以应用，学生对函数概念理解程度会直接影响整个高中数学的学习，因此本节课非常重要.课时分配 函数概念需要1课时 教学目标重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数.难点：符号(),y f x x A =∈的含义，函数定义域和值域的区间表示.知识点：函数概念；构成函数的要素；函数相同的判别方法，求一些简单函数的定义域和值域.能力点:抽象概括能力的应用.教育点:体会探究的乐趣，激发学习的热情.自主探究点: 函数概念，构成函数的要素.考试点: 求一些简单函数的定义域和值域.易错易混点: 对应关系在刻画函数概念中的作用.拓展点： 函数概念发展历程.教具准备 多媒体课件和三角板课堂模式 学案导学一、引入新课:1、 回顾、实例引入（１）在一个变化过程中，有两个变量x 和y ,如果给定了一个x 值,相应地就确定唯一的一个y 值，那么我们称y 是x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变量.（2）请同学们回顾一下我们在初中学习了哪些函数？（板书）c bx ax y xk y b kx y kx y ++==+==2,,, 请同学们再次回顾在初中物理及日常生活中见到哪些符合上述函数的实例？（对应板书）【师生活动】学生回答【设计意图】通过学生的回顾，再现初中变量观点描述函数的概念，为后面用集合和对应的观点来定义函数奠定基础.（3）在加油站为汽车加油，油价为每升7.2元，启动加油机开关后表示加油量和金额的两个窗口的数字不停地跳动直到加油量为38升时停止，问金额y 元与加油量x 升之间的关系式是什么？【师生活动】学生回答【设计意图】通过实例使学生进一步认识生活中充满变量间的依赖关系；激发学生学习数学的兴趣，提高发散思维能力.二、探究新知(一)思考：（课本P 15）给出三个实例：１．一枚炮弹发射，经26s 后落地击中目标，射高为845m ，且炮弹距地面高度h （单位:m ）与时间t （秒）的变化规律是21305h t t =-.２．近几十年来，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况.（见课本P 15图）３．国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。
高中数学 1.2.1.2函数的概念的应用课件 新人教版必修1
【解】 (1)(观察法)因为x∈{1,2,3,4,5}，分别代入求 值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．
(2)(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再 结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．①
(3)(分离常数法)y＝2xx－＋31＝2x－x－33＋7＝2＋x－7 3，② 显然x－7 3≠0，所以y≠2.故函数的值域为(－∞，2)∪ (2，＋∞)．
【例2】 求下列函数的值域： (1)y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}； (2)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)； (3)y＝2xx－＋31.
【解析】
(1)
分别求x为1，2，3，4， 5时相应的y值
→
y的所有取 值即为值域
(2) 对二次函数进行配方 → 结合图象求值域
将函数式进 利用反比例函数 (3) 行等价变形 → 的图象求值域
2．研究函数问题必须树立“定义域优先”原则．求函 数定义域一般有三种类型：(1)函数来自实际问题的定义 域；(2)已知函数解析式求定义域；(3)抽象函数求定义域．
3．求值域的方法有：(1)观察法：根据定义域和对应关 系求出；(2)数形结合法：作出函数的图象，然后求解；(3) 配方法：配方求解；(4)分离常数法：添一项、减一项，分 离出常数再求解；(5)换元法：可以将无理函数转换成有理 函数再求解.
通法提炼 当函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域就确 定了，求值域常用的方法有观察法、换元法、分离常数 法、配方法、图象法等.
求下列函数的值域： (1)y＝2x＋1，x∈{0,1,3,4}； (2)y＝x＋x 1； (3)y＝x2－4x＋6，x∈[1,5)．
解：(1)∵y＝2x＋1，x∈{0,1,3,4}， ∴y∈{1,3,7,9}． (2)∵y＝x＋x 1＝x＋x＋11－1＝1－x＋1 1，且x＋1 1≠0， ∴函数y＝x＋x 1的值域为{y|y≠1}． (3)配方，得y＝(x－2)2＋2.∵x∈[1,5)，∴结合函数的图 象可知，函数的值域为{y|2≤y<11}．
3.1.1 函数的概念第二课时-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册导学案
§3．1．1 函数的概念（第二课时）导学目标：1．了解构成函数的三要素，能求具体函数及抽象函数的定义域． 2．了解构成函数的三要素，理解函数值域的含义，能求简单函数的值域．（预习教材P 62~ P 63，回答下列问题） 回忆：函数的三要素是什么？ 问题：已知函数()f x x =（1）求函数的定义域；（2）求()1f x -的表达式？你能求()1f x -的定义域吗？ （3）你能直接求出()21f x +的定义域吗？【知识点一】函数定义域的求法 （1）具体函数的定义域求法 ①1x出现时要求0x ≠；②x 出现时要求0x ≥；③0x 出现时要求0x ≠． 自我检测1：求函数0()5(1)4f x x x x =++++的定义域；（2）抽象函数的定义域求法形如()1f x -、()21f x +、()()()211F x f x f x =++-这类函数而言，未直接给出对应法则f 对所施加对象作用后的具体表达形式，我们称之为抽象函数．第三章 函数的概念与性质- 2 -通过观察，若函数()f x =()1f x -=①函数()f x 与()1f x -的自变量都是自身表达式中的x （定义域是自变量的取值集合）； ②在同一题中，对应法则f 的含义一致（即法则f 对施加对象的约束条件相同）． 自我检测2：若函数()f x 的定义域为[)0,+∞，则函数()1f x -的定义域是 ．（3）实际问题中的自变量还要考虑实际要求：自我检测3：某种笔记本的单价为3元，小明手里有100元钱，设小明一共买了x 个该笔记本，花费为y 元，你能正确写出该问题中自变量x 的约束条件吗？【知识点二】函数值域的求法函数()y f x =的值域即为函数值y 的取值集合，其取值范围受自变量x 的取值范围和对应法则f 共同决定，所以在求值域时，一定要注意定义域以及函数的结构． 常用的求值域的方法有：①图像法（如一次函数、二次函数、反比例函数等已知图像的函数） ②换元法（利用整体换元的思想，将未知函数结构转化成已知函数结构求解）自我检测4：你能将四次函数()4223f x x x =--转化成二次函数模型吗？前后函数自变量有何改变？题型一 函数的定义【例1-1】求下列函数的定义域 （1）求函数221()121f x x x x x =+--+的定义域． （2）求函数21()x f x --=的定义域．【例1-2】求下列函数的定义域（1）已知函数()y f x =定义域是[]1,3-，求()1y f x =-的定义域． （2）已知函数(1)y f x =-定义域是[]1,3-，求()y f x =的定义域． （3）已知函数(1)=-y f x 定义域是[]1,3-，求()21y f x =+的定义域．第三章 函数的概念与性质- 4 -【例1-3】求下列函数的定义域（1）已知函数()f x 的定义域为[1,2]-，求()()()g x f x f x =+-的定义域． （2）已知函数()f x 的定义域[]4,2-,求()()21f xg x x =+的定义域．【例1-4】求下列函数的定义域一枚炮弹发射后，经过26s 落地后击中目标．炮弹的射高为845m ，且炮弹距地面高度h （单位：m ）与时间t （单位：s ）的关系为21305h t t =-． 则该函数的定义域为 ．题型二 函数的值域【例2-1】求下列函数的值域（1）函数(){}1,1,1,2f x x x =+∈- ； （2）函数()223f x x x =-+，x R ∈ ；（若将定义域改为{1,0,1,2}x ∈-、[)1,4x ∈-，又将如何？） （3）函数()1f x x =，11,2x ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭ ．【例2-2】求下列函数的值域 已知函数()af x x x=+，()0a >的图像如右图所示，请回答： （1）当1a =，(0,)x ∈+∞时，求此函数()f x 的值域； （2）当4a =，[1,3]x ∈时，求此函数()f x 的值域．【例2-3】求下列函数的值域（1）函数()4223f x x x =--，()0,2x ∈的值域为_________________．（2）函数()12g x x x =--的值域为_________________．（3）函数2()(1)1x h x x x =>-的值域为_________________．第三章 函数的概念与性质- 6 -1．已知函数1()f x x x=+，则（ ） A ．函数()f x 的定义域为{|0}x x ≠，值域为{|2}y y ≥ B ．函数()f x 的定义域为{|0}x x ≠，值域为{|22}y y y ≥≤-或 C ．函数()f x 的定义域为{|0}x x ≠，值域为R D ．函数()f x 的定义域为R ，值域为R2．已知函数()f x 的定义域为[]1,4，求12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的定义域．3．已知函数()f x 的定义域是[0,2]，求11()22g x f x f x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的定义域．4．求下列函数的值域（1）函数()242f x x x =-+-，[)0,3x ∈的值域是___________．（2）求函数()63f x x x =-在区间[]2,4上的值域．§3．1．1 函数的概念（第二课时）参考答案（预习教材P 62~ P 63，回答下列问题） 回忆：函数的三要素是什么？ 问题：已知函数()f x x =（1）求函数的定义域；（2）求()1f x -的表达式？你能求()1f x -的定义域吗？ （3）你能直接求出()21f x +的定义域吗？ 【答案】（1）[)0,+∞（2）()1f x x =-，[)1,+∞（3）1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【知识点一】函数定义域的求法 （1）具体函数的定义域求法 ①1x出现时要求0x ≠；②x 出现时要求0x ≥；③0x 出现时要求0x ≠． 自我检测1：求函数0()5(1)4f x x x x =++++的定义域； 【答案】要使函数有意义，应有504010x x x +≥⎧⎪+≠⎪⎨⎪⎪+≠⎩即541x x x ≥-⎧⎪≠-⎨⎪≠-⎩所以函数的定义域是[)()()54411-----+∞，，,．（2）抽象函数的定义域求法形如()1f x -、()21f x +、()()()211F x f x f x =++-这类函数而言，未直接给出对应法则f 对所施加对象作用后的具体表达形式，我们称之为抽象函数．第三章 函数的概念与性质- 8 -通过观察，若函数()f x x =，则函数()11f x x -=-，我们可有如下结论：①函数()f x 与()1f x -的自变量都是自身表达式中的x （定义域是自变量的取值集合）； ②在同一题中，对应法则f 的含义一致（即法则f 对施加对象的约束条件相同）． 自我检测2：若函数()f x 的定义域为[)0,+∞，则函数()1f x -的定义域是 ． 【答案】[)1,+∞（3）实际问题中的自变量还要考虑实际要求：自我检测3：某种笔记本的单价为3元，小明手里有100元钱，设小明一共买了x 个该笔记本，花费为y 元，你能正确写出该问题中自变量x 的约束条件吗？ 【答案】{}033x x x N ≤≤∈且 【知识点二】函数值域的求法函数()y f x =的值域即为函数值y 的取值集合，其取值范围受自变量x 的取值范围和对应法则f 共同决定，所以在求值域时，一定要注意定义域以及函数的结构． 常用的求值域的方法有：①图像法（如一次函数、二次函数、反比例函数等已知图像的函数） ②换元法（利用整体换元的思想，将未知函数结构转化成已知函数结构求解）自我检测4：你能将四次函数()4223f x x x =--转化成二次函数模型吗？前后函数自变量有何改变？【答案】 令2t x =，由x R ∈，可得0t ≥，223y t t =--，0t ≥；前后函数自变量改变，相应的取值范围也改变．题型一 函数的定义【例1-1】求下列函数的定义域 （1）求函数221()121f x x x x x =+--+的定义域．（2）求函数()f x =的定义域．【答案】（1）11|22x x x ⎧+⎪<->⎨⎪⎪⎩⎭；（2）{}|13x x x <>或；【例1-2】求下列函数的定义域（1）已知函数()y f x =定义域是[]1,3-，求()1y f x =-的定义域． （2）已知函数(1)y f x =-定义域是[]1,3-，求()y f x =的定义域． （3）已知函数(1)=-y f x 定义域是[]1,3-，求()21y f x =+的定义域． 【答案】（1）[]0,4 （2）[]2,2- （3）31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（3）13,212x x -≤≤∴-≤-≤，故()f x 的定义域为[2,2]-， 所以令2212x -≤+≤，解得3122x -≤≤， 故()21y f x =+的定义域是31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【例1-3】求下列函数的定义域（1）已知函数()f x 的定义域为[1,2]-，求()()()g x f x f x =+-的定义域． 【答案】[1,1]-由题意，函数()f x 的定义域为[1,2]-，第三章 函数的概念与性质- 10 -则函数()()()g x f x f x =+-满足1212x x -≤≤⎧⎨-≤-≤⎩，解得1221x x -≤≤⎧⎨-≤≤⎩，即11x -≤≤，即函数()g x 的定义域为[1,1]-．（2）已知函数()f x 的定义域[]4,2-,求()()21f xg x x =+的定义域． 【答案】[)(]2,11,1---；函数()f x 的定义域[]4,2-,即422x -≤≤,可得21x -≤≤ 又分母10x +≠,可得1x ≠-． ∴()()21f xg x x =+的定义域为[)(]2,11,1---．【例1-4】求下列函数的定义域一枚炮弹发射后，经过26s 落地后击中目标．炮弹的射高为845m ，且炮弹距地面高度h （单位：m ）与时间t （单位：s ）的关系为21305h t t =-． 则该函数的定义域为 ．【答案】{}026t t ≤≤题型二 函数的值域【例2-1】求下列函数的值域（1）函数(){}1,1,1,2f x x x =+∈- ； （2）函数()223f x x x =-+，x R ∈ ；（若将定义域改为{1,0,1,2}x ∈-、[)1,4x ∈-，又将如何？） （3）函数()1f x x =，11,2x ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭ ．【答案】（1）{}0,2,3（2）[)2,+∞，{}6,3,2，[)2,11（3）(]2,1--【例2-2】求下列函数的值域 已知函数()af x x x=+，()0a >的图像如右图所示，请回答： （1）当1a =，(0,)x ∈+∞时，求此函数()f x 的值域； （2）当4a =，[1,3]x ∈时，求此函数()f x 的值域． 【答案】（1）[)2,+∞；（2）[]4,5【例2-3】求下列函数的值域（1）函数()4223f x x x =--，()0,2x ∈的值域为_________________．（2）函数()12g x x x =--的值域为_________________．（3）函数2()(1)1x h x x x =>-的值域为_________________．【答案】（1）[)4,5- （2）1(,]2-∞ （3）[4,)+∞（2）()()224321f x x x x =-+=--，因为1-≤x ≤1，所以3-≤x −2≤1-，所以1≤(x −2)2≤9，则0≤(x −2)21-≤8．故函数()[]243,1,1f x x x x =-+∈-的值域为[0，8]．函数()g x 的定义域为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，令()2112,02t t x x t -=-=≥，得21122y t t =--+，故1,2y ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，所以函数()12g x x x =--的值域为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．（3）()()()2212111124111x x x h x x x x x -+-+===-++≥---．当且仅当x ＝2时“＝”第三章 函数的概念与性质- 12 -成立，故函数()2(1)1x h x x x =>-的值域为[)4,+∞．1．已知函数1()f x x x=+，则（ ） A ．函数()f x 的定义域为{|0}x x ≠，值域为{|2}y y ≥ B ．函数()f x 的定义域为{|0}x x ≠，值域为{|22}y y y ≥≤-或 C ．函数()f x 的定义域为{|0}x x ≠，值域为R D ．函数()f x 的定义域为R ，值域为R 【答案】B2．已知函数()f x 的定义域为[]1,4，求12f x ⎛⎫+⎪⎝⎭的定义域． 【答案】(,1]-∞-∪1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．由1124x ≤+≤，得112x -≤≤，即110x -≤<或102x<≤， 解得x ≤ 1-，或12x ≥．∴函数的定义域为(-∞，1-]∪[12，+∞)．3．已知函数()f x 的定义域是[0,2]，求11()22g x f x f x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的定义域．【答案】13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦．()f x 的定义域是[0,2]，且11()22g x f x f x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，102,2102,2x x ⎧+⎪⎪∴⎨⎪-⎪⎩则13,2215,22x x ⎧-≤≤⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩ 即1322x ．()g x ∴的定义域为13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 4．求下列函数的值域（1）函数()242f x x x =-+-，[)0,3x ∈的值域是___________．【答案】 [2,2]-（2）求函数()3f x x =在区间[]2,4上的值域．【答案】12,4⎤-⎦t =,则26x t =- ∵[]2,4x ∈,2t ≤≤那么函数()f x 转化为()22()36318g t t t t t =--=+-其对称轴16t =-, 故得()f x 的值域为12,4⎤-⎦．。
高中数学第二章函数概念与基本初等函数I函数的概念互动课堂学案苏教版
2．2．1 函数的单调性互动课堂疏导引导2。
1.1 函数的概念和图象 1.函数的概念一般地，设A 、B 是两个非空的数集,如果按某种对应法则f ,对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，这样对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为y =f (x )，x ∈A .其中所有的输入值x 组成的集合A 叫做函数y =f (x ）的定义域。
疑难疏引（1)构成函数的三要素：定义域，对应法则f ,值域.其中核心是对应法则f ，它是联系x 和y 的纽带,是对应得以实现的关键，对应法则可以由多种形式给出,可以是解析法，可以是列表法和图象法，不管是哪种形式,都必须是确定的,且使集合A 中的每一个元素在B 中都有唯一的元素与之对应。
当一个函数的定义域和对应法则确定之后，值域也就唯一的确定了,所以值域是定义域这个“原材料”通过对应法则“加工"而成的“产品”。
因此,要确定一个函数,只要定义域与对应法则确定即可。
在函数符号y =f (x )中，f 是表示函数的对应关系，等式y =f （x )表明，对于定义域中的任意x ，在对应关系f 的作用下,可得到y ，因此，f 是使“对应”得以实现的方法和途径.函数符号y =f （x )是“y 是x 的函数”这句话的数学表示,它不表示“y 等于f 与x 的乘积”。
f （x ）可以是解析式，也可以是图象或数表.符号f （a ）与f (x ）既有区别又有联系.f （a ）表示当自变量x =a 时函数f (x )的值,是一个常量;而f （x )是自变量x 的函数，在一般情况下,它是一个变量.f （a ）是f （x ）的一个特殊值.值域是全体函数值所组成的集合。
在多数情况下，一旦定义域和对应关系确定，函数的值域也就随之确定。
(2)关于函数的两个定义实质上是一致的.初中定义的出发点是运动变化的观点,而高中定义却是从集合、对应的观点出发.初中阶段学习的函数的概念的优点是:直观,生动.高中阶段学习的函数的概念的优点:更具一般性。
高一数学：1.2.1《函数的概念》课件
课题: 函数的概念
问题提出
1.在初中我们学习了哪几种基本函数？其函数解析 式分别是什么？
一次函数：y＝kx＋b (k≠0)； 二次函数：y＝ax2＋bx＋c (a≠0)；
反比例函数：
(k≠0).
2.初中对函数概念是怎样定义的？
在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且 对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与 其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
思考2：时间变量t与恩格尔系数r之间的对应关系 是否为函数？
知识探究（四）
思考1：从集合与对应的观点分析，上述三个实例 中变量之间的关系都可以怎样描述？
对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f， 在数集B中都有唯一确定的y和它对应，记作 f： A→B.
思考2：上述三个实例中变量之间的关系都是函数， 那么从集合与对应的观点分析，函数还可以怎样 定义？
（年）
恩格尔 系数
（%）
53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9
思考1：用t表示时间，r表示恩格尔系数，那么t和
r的变化范围分别是什么？
A={1991，1992，…，2001}，B={53.8，52.9，
50.1，49.9，48.6，46.4，44.5，41.9，39.2，37.9}
3.我们如何从集合的观点认识函数？
知识探究（一）
一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标.炮 弹的射高为845m，且炮弹距离地面的高度h（单位： m）随时间t（单位：s）变化的规律是：
h＝130t-5t2.
思考1：这里的变量t的变化范围是什么？变量h的 变化范围是什么？试用集合表示？
高中数学人教版必修1 1.2.1函数的概念 教案(系列二)
1.2.1 函数的概念课前预习·预习案【学习目标】1．通过实例,体会函数是描绘变量之间对应关系的重要数学模型.2．体会对应关系在刻画函数概念中的作用.3．了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域.4．理解函数的三要素及函数符号的深刻含义.5．会求一些简单函数的定义域和值域.6．能够正确使用区间表示数集.【学习重点】1．体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，正确理解函数的概念。
2．理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。
【学习难点】符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示【自主学习】1．函数的概念(1)前提：A,B是非空的.(2)对应：集合A中的一个数,在集合B中都有的数和它对应.(3)结论：f:A称为的一个函数.(4)表示：.(5)相关概念：①自变量；②定义域：的取值范围A;③函数值：与的值相对应的；④值域：函数值的集合；⑤函数的三要素：定义域、对应关系和.2．函数相等由于函数的值域是由和决定的,所以,如果两个函数的相同,并且完全一致,就称这两个函数相等.3．区间的有关概念根据提示完成下表( 为实数，且).4．无穷大的概念(1)实数集R用区间表示为.“ ”读作，“ ”读作，“ ”读作.(2)无穷区间的几种表示：【预习评价】1．下列式子中不能表示函数的是A. B.C. D.2．函数的值域为A. B. C. D.R3．已知,,则 .4．集合用区间可表示为 .5．与函为相同函数的是(填序号).①；②；③.知识拓展·探究案【合作探究】1．函数的概念根据给出的两个对应,回答下面的问题：①,这里②,这里(1)判断当取某一值时,是否都有唯一的值与其对应？(2)根据函数的概念,判断这两个对应是否为的函数？并说明理由. 2．构成函数的要素若将函数的定义域改为,所得的函数与函数相同吗？3．区间的概念观察集合的区间表示法如,思考下面的问题：区间是不是一个集合？区间与区间之间可不可以用集合的运算符号连接？4．函数的值域根据函数的概念“当A,B是非空数集时，对应f:A称为从集合A到集合B的函数”，探究下面的问题：(1)给定一个函数，函数的值域是函数值的集合吗？(2)集合B与函数的值域存在怎样的关系？【教师点拨】1．对函数相等的三点说明(1当两函数的定义域和值域分别相同时,若对应关系不同,两函数不相等。
函数的概念(第2课时)(教学设计)高一数学系列(人教A版2019)
重点：理解函数的三要素：定义域、对应法则及值域，会求函数的定义域与函数值，在此过程中培养学生的逻辑推理、数据分析、数学运算的素养。
难点：进一步理解函数的对应关系f，体会函数相等的概念。
学生在第一课时已经学习过函数的概念，并对函数的概念有了深刻的理解。
在此基础上让学生理解函数的三要素、判断两个函数相等，求函数的定义域及值域相对好理解，但是抽象函数的定义域对学生是一个考验。
注意：1、区间是集合的另一种表示形
式，注意与不等式的区别。
如：x ≥－1与[－1，＋∞)是完全不同的 2、写区间的端点时，一定注意书写准确
根据具体实例结合数形结合让学
生加深对区间的
理解，使实例成
为理解概念的一
种思维载体。
【练一练】 (1)用区间表示{x |x ≥0且x ≠2}注意区间左端点
【例1】 把下列数集用区间表示： (1){x |x ≥－1}； (2){x |x <0}；
(3){x |－1<x <1}； (4){x |0<x <1或2≤x ≤4}.
；
量的值求对应的
函数值，提高学
生数学运算的核
心素养，为求函
数的值域打好基．
础。
通过函数的定义，学生自主归纳出两个函数是同一个函数的概念，培养学生数学抽象的核心素养。
通过具体的例子，使学生掌握同一函数的判断方法.
通过课堂练习，巩固本节学习的内容。
函数的概念(第二课时)教案(人教A版)
1.2.1 函数的概念第二课时 函数概念的应用A 【教学目标】1．进一步加深对函数概念的理解，掌握同一函数的标准；2．了解函数值域的概念并能熟练求解常见函数的定义域和值域．3．经历求函数定义域及值域的过程，培养学生良好的数学学习品质。
B 【教学重难点】教学重点能熟练求解常见函数的定义域和值域．教学难点对同一函数标准的理解，尤其对函数的对应法则相同的理解．C 【教学过程】1、创设情境下列函数f (x )与g(x )是否表示同一个函数？为什么？（1）f (x )＝ (x －1) 0；g(x )＝1 ； （2） f (x )＝x ；g(x )＝x 2；（3）f (x )＝x 2；g(x )＝(x + 1) 2 ； 、 （4） f (x ) ＝|x |；g(x )＝x 2．2、讲解新课总结同一函数的标准：定义域相同、对应法则相同3、典例例1 求下列函数的定义域：（1）11+⋅-=x x y ； （2）232531x x y -+-=；分析： 一般来说，如果函数由解析式给出，则其定义域就是使解析式有意义的自变量的取值范围．当一个函数是由两个以上的数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合．解 ： （1）由⎩⎨⎧≥+≥-,01,01x x 得⎩⎨⎧-≥≥,1,1x x 即1≥x ，故函数11+⋅-=x x y 的定义域是1[，)∞+．（2）由⎪⎩⎪⎨⎧≥-≠-,05,0322x x 得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-±≠,55,3x x 即5-≤x ≤5且x ≠±3， 故函数的定义域是{x|5-≤x ≤5且x ≠±3}．点评： 求函数的定义域，其实质就是求使解析式各部分有意义的x 的取值范围，列出不等式（组），然后求出它们的解集．其准则一般来说有以下几个：① 分式中，分母不等于零．② 偶次根式中，被开方数为非负数．③ 对于0x y =中，要求 x ≠0．变式练习1求下列函数的定义域： （1）x x x y -+=||)1(0；（2）x x x y 12132+--+=．解 （2）由⎩⎨⎧>-≠+,0||,01x x x 得⎩⎨⎧<-≠,0,1x x 故函数x x x y -+=||)1(0是{x |x <0，且x ≠1-}． （4）由⎪⎩⎪⎨⎧≠>-≥+,0,02,032x x x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠<-≥0,2,23x x x ∴23-≤x ＜2，且x ≠0， 故函数的定义域是{x |23-≤x ＜2，且x ≠0}．说明：若A 是函数)(x f y =的定义域，则对于A 中的每一个x ，在集合B 都有一个值输出值y 与之对应．我们将所有的输出值y 组成的集合称为函数的值域．因此我们可以知道：对于函数f ：AB 而言，如果如果值域是C ，那么B C ⊆，因此不能将集合B当成是函数的值域．我们把函数的定义域、对应法则、值域称为函数的三要素．如果函数的对应法则与定义域都确定了，那么函数的值域也就确定了．例2．求下列两个函数的定义域与值域：（1）f (x )=(x -1)2+1，x ∈{-1，0，1，2，3}；（2）f (x )=( x -1)2+1．解：（1）函数的定义域为{-1，0，1，2，3}，f (-1)= 5，f (0)=2，f (1)=1，f (2)=2，f (3)=5，所以这个函数的值域为{1，2，5}．（2）函数的定义域为R ，因为(x -1)2+1≥1，所以这个函数的值域为{y ∣y ≥1}点评： 通过对函数的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，来求出函数的值域的方法我们称为观察法．变式练习2 求下列函数的值域：（1）642+-=x x y ，1[∈x ，)5； （2）113+-=x x y ；解：（1）2)2(2+-=x y ． 作出函数642+-=x x y ，1[∈x ，)5的图象，由图观察得函数的值域为2|{y ≤y ＜}11．（2）解法一：14)1(3+-+=x x y 143+-=x ，显然14+x 可取0以外的一切实数，即所求函数的值域为｛y |y ≠3｝． 解法二：把113+-=x x y 看成关于x 的方程，变形得(y －3)x ＋(y ＋1)＝0，该方程在原函数定义域｛x |x ≠－1｝内有解的条件是⎩⎪⎨⎪⎧y －3≠0，－y ＋1y －3≠－1，解得y ≠3，即即所求函数的值域为｛y |y ≠3｝． 点评：（1）求函数值域是一个难点，应熟练掌握一些基本函数的值域和求值域的一些常用方法；（2）求二次函数在区间上的值域问题，一般先配方，找出对称轴，在对照图象观察．4、 课堂小结（1）同一函数的标准：定义域相同、对应法则相同（2）求解函数值域问题主要有两种方法：一是根据函数的图象和性质（或借助基本的函数的值域）由定义域直接推算；二是对于分式函数，利用分离常数法得到y 的取值范围．。
人教版高中数学必修1第1章1.2.1 函数的概念教案
1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念教学目标分析：知识目标：理解函数的概念，能用集合与对应的语言刻画函数，了解构成函数的三要素。
过程与方法：1、通过丰富实例，建立函数概念的背景，体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。
2、体会对应关系在刻画函数概念中的作用。
情感目标：通过从实际问题中抽象概括函数概念的活动，培养学生的抽象思维能力。
重难点分析：重点：体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，正确理解函数的概念。
难点：函数概念及符号的理解。
互动探究：一、课堂探究： 1、复习引人探究一、初中学习的函数概念是什么？设在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有惟一的值与它对应，则称x 是自变量，y 是x 的函数；其中自变量x 的取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x 的值对应的y 的值叫做函数的值域。
探究二、（1）1y =是函数吗？（2）y x =与2x y x=是同一个函数吗？显然，仅用初中函数的概念很难回答这些问题。
因此，需要从新的高度认识函数。
请同学们学习教材第15页引例1，做出高度h 的函数图像，并尝试用集合语言描述两个变量之间的依赖关系？引例1、（炮弹发射）一枚炮弹发射后，经过26s 落到地面击中目标。
炮弹的射高为845m ，且炮弹距地面的高度h （单位：m ）随时间t （单位：s ）变化的规律是：25130t t h -=（*）。
炮弹飞行时间t 的变化范围是数集A = {t |0 ≤ t ≤ 26}，炮弹距地面的高度h 的变化范围是数集B = {h | 0 ≤ h ≤ 845}。
从问题的实际意义可知，对于数集A 中的任意一个时间t ，按照对应关系（*），在数集B 中都有惟一的高度h 和它对应。
引例2、（南极臭氧空洞）近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题，如图的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979 ~ 2001年的变化情况：根据可图中的曲线可知，时间t 的变化范围是数集A = {t | 1979 ≤ t ≤ 2001}，臭氧层空洞面积S 的变化范围是数集B = {S |0 ≤ S ≤26}。
高一数学最新课件-新课标《函数的概念》整堂课人教版[原创] 精品
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例一：求下列函数的定义域：
1) f (x) 1 ２）f (x) x 3 x2
3) f(x)= x 3 + 1 x2
求函数的定义域依据：
练习: 课本P21 1
若f (x)是整式，则x R
对于式子 f (x) ,应使g(x) 0 g(x)
对于式子 f (x),应使f (x) 0
定义
名称
符号
数轴表示
{x|axb} 闭 区 间
[a,b]
x|a<x<b 开 区 间
(a,b)
x|ax<b 半 开 闭 区 间 [a,b)
x|a<x b 半 开 闭 区 间 (a,b]
a
b
x
a
b
x
a
b
x
a
b
x
实数集R可以用区间表示为（- ，+）.“”读作无穷大，“-”读作“负无穷大”， “+”读作“正无穷大”.
问题3：观察下列对应：
乖2
A
B
求平方
A
B
1
1
2
2
3
4
3
5
6
1
1
-1
2
4
-2
3
9
-3
(1)
(2)
求倒数
A
B
1
1
1
2
2
3
1
3
4
1
4
(3)
求倒数
A
B
1
1
1
2
2
3
1
3
4
1
0
4
A 开平方B
4
2
0
-2 0
高中数学 1.2.1函数的概念(第2课时)课件 新人教A版必
前后整体范围一致
f (x 1)的定义域为 (0,2]
定义域就是指x的取值范围
题型三：
抽象函数的定义域
已知f (g(x))的定义域,求f ((x))的定义域
2.已知函数f (x2 2)的定义域为[1, ) 求f ( x )的定义域
2
f ( x )的定义域为[2,) 2
本课小结
• 复习并巩固了函数的概念
下列函数的定义域。
(1) f (2x 1) (2) f (1 x) f (x)
(1)[1,0] (2)[0,1]
可简要概括为：
１.定义域仅指x的取值；
２.对同一对应法则括号里的
整体范围一致
题型二：
抽象函数的定义域
已知f (g(x))的定义域,求f (x)的定义域
例2.已知f (x 1)的定义域为[1,1],
求f ( x )的定义域 2
题型三：
抽象函数的定义域
已知f (g(x))的定义域,求f ((x))的定义域
练习 : 1.已知函数f (2x 1)的定义域 0,1 ,
求f ( x 1)的定义域
解：f (2x 1)中0 x 1
定义域就是指x的取值范围
1 2x 11
f (x 1)中1 x 1 1 0 x 2
练：已知f ( x 3)的定义域为[4,9], 求函数f (x)的定义域。
f (x)的定义域为：[1,0]
题型三：
抽象函数的定义域
已知f (g(x))的定义域,求f ((x))的定义域
练习 : 1.已知函数f (2x 1)的定义域 0,1 ,
求f ( x 1)的定义域
2.已知函数f (x2 2)的定义域为[1, )
函数的概念
《函数的概念及其表示》教案完美版
《函数的概念及其表示》教案第一课时： 1.2.1 函数的概念（一）教学要求：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素；能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。
教学重点、难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。
教学过程：一、复习准备：1. 讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？2 .回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是自变量，y 是因变量. 表示方法有：解析法、列表法、图象法.二、讲授新课：1.教学函数模型思想及函数概念：①给出三个实例：A .一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h （米）与时间t （秒）的变化规律是21305h t t =-.B .近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况.（见书P16页图）C .国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。
“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表. （见书P17页表）②讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集A 中的每一个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都与唯一确定的y 和它对应，记作：:f A B →③定义：设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：(),y f x x A =∈.其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）.④讨论：值域与B 的关系？构成函数的三要素？一次函数(0)y ax b a =+≠、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的定义域与值域？ ⑤练习：2()23f x x x =-+，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。
高中数学必修一教案§1.2.1函数的概念
课题：函数的概念一．课题：1.2.1函数的概念.（人教版必修一）.二．教学目标1.知识目标：理解函数的概念，明确函数是两个变量之间的一种依赖关系；掌握求定义域、函数值的方法；理解函数的三要素及符号)y .f(x2.能力目标：会求分式型和偶次根式型函数的定义域；通过给定的自变量x值，能求出函数值；能利用函数的思想辩证法考虑实际问题.3.情感目标：通过学习函数概念，培养学生观察问题、提出问题的探究能力，进一步培养学生学习数学的兴趣和抽象概括能力；通过课堂活动培养学生团队意识，明确团队的力量依赖于每一个人的智慧，揭示函数之间的依赖关系；在函数概念深化的过程中，体会数学形成和发展的一般规律，由函数所揭示的因果关系，培养学生的辨证思想.三．教材分析1.教学重点：正确理解函数的概念.2.教学难点：函数定义域和值域的求法以及用区间表示.3.关键：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言来刻画函数，函数的思想方法将贯穿于高中数学课程的始终.四．课型与教法1.课型：讲授课.2.教法：通过学生熟悉的函数知识引入课题，为概念学习创设情境，拉近未知与已知的距离，通过搭建新概念与学生原有认识结构间的桥梁，使学生心理上得到认同，建立新的认识结构. 五．教学过程1.创设情景，揭示课题.在初中我们已经学习过函数的概念，并且知道可以用函数描述变量之间的依赖关系.初中学过的函数的传统定义是什么？初中学过哪些函数？设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于每一个x值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.并将自变量x 取值范围的集合叫做函数的定义域，和自变量x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义.初中已经学过的函数：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等. 2.互动交流，研讨新知.（1）一枚炮弹发射后，经过s 26落到地面击中目标.炮弹的射高（指斜抛运动中物 体飞行轨迹最高点的高度）为m 845，且炮弹距地面的高度h （单位m ）随时间t （单位s ）变化的规律是25130t t h -=.提出问题：你能得出炮弹飞行s 5、s 10、s 20时距地面多高吗？其中，时间t 的变化范围是什么？炮弹距离地面高度h 的变化范围是什么？s 5时距地面高度为m 525，s 10时距地面高度为m 800，s 20时距地面高度为m 600，根据题意可知炮弹飞行时间t 的变化范围是数集}260{≤≤=t t A ，炮弹距地面的高度h 的变化范围是数集}8450{≤≤=h h B .从问题的实际意义可知，对于数集A 中的任意一个时间t ，按照对应关系25130t t h -=,在数集B 中都有唯一确定的高度h 和它对应，满足函数定义，应为函数，发现解析式可以用来刻画函数.1中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年的变化情况.提出问题：观察分20 25 5 10 15 30 图126 25 tS O1979 1981 19831985 1987198919911993 1995 19971999 2001析图中曲线，时间t 的变化范围是多少？臭氧层空洞面积s 的变化范围是多少？尝试用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系.根据图中曲线可知，时间t 的变化范围是数集}20011979{≤≤=t t A ，臭氧层空洞面积s 的变化范围是数集}260{≤≤=S S B .引导学生看图启发，从图中明显得知，对于数集A 中的每一个时刻t 在数集B 中都有唯一确定的臭氧层空洞面积s 与之对应，满足函数定义，也应为函数，发现图像也可以来刻画函数.（3）国际上常用恩格尔系数（食物支出金额/总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.表11-中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化.时间(年) 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001城镇居民家庭 恩格尔系数(%)表11-提出问题：恩格尔系数与时间（年）之间的关系是否和前两个实例中的两个变量之间的关系相似？如何用集合与对应的语言来描述这个关系？请仿照（1）（2）描述表中恩格尔系数和时间（年）的关系.根据上表，可知时间t 的变化范围是数集},20011991{*∈≤≤=N t t t A ，恩格尔系数y 的变化范围是数集}8.539.37{≤≤=y y B .引导学生探讨交流发现，对于表格中的任意一个时间t 都有唯一确定的恩格尔系数与之对应，即在数集A 中的任意一个时间t 在数集B 中都有唯一确定的恩格尔系数与之对应，满足函数定义，应为函数，发现表格也可以用来刻画函数. 3．问题探讨，归纳概括.（1）以上三个实例有什么不同点和共同点？归纳以上三个实例，可看出其不同点是：实例（1）是用解析式刻画变量之间的对应关系，实例（2）是用图像刻画变量之间的对应关系，实例（3）是用表格刻画变量之间的对应关系.其共同点是：①都有两个非空数集A ，B ；②两个数集之间都有一种确定的对应关系；③对于数集A 中的每一个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都有唯一确定的y 值和它对应. 记作B A f →:.引导学生思考：在三个实例中，大家用集合与对应的语言分别描述了两个变量之间的依赖关系，其中一个变量都是另一个变量的函数，你能否用集合与对应的语言来刻画函数，抽象概括出函数的概念呢？ （2）函数的概念.一般地，设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作A x x f y ∈=),(.其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合})({A x x f ∈叫做函数的值域.显然，值域是集合B 的子集. （3）我们所熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数的定义域、值域、对应关系分别是什么？①．一次函数b ax x f +=)()0(≠a :定义域R, 值域R ； ②．反比例函xkx f =)()0(≠k :定义域{}0|≠x x , 值域{}0|≠x x ； ③．二次函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a :定义域R ，值域：当0>a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2；当0<a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 44|2.（4）设a ，b 是两个实数，而且b a <.我们规定：①满足不等式b x a ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为],[b a ； ②满足不等式b x a <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为),(b a ；③满足不等式b x a <≤或b x a ≤<的实数x 的集合叫做半开半闭区间，表示为),[b a ，],(b a .这里的实数a 与b 都叫做相应区间的端点.用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点.实数集R 可以用区间表示为),(+∞-∞，“∞”读作“无穷大”，“∞-”读作“负无穷大”，“∞+”读作“正无穷大”.我们可以把满足a x ≥，a x >，b x ≤，b x <的实数集合分别表示为),[+∞a ，),(+∞a ，],(b -∞，),(b -∞.定义域和值域可以用集合表示，也可以用区间表示. 4.质疑答辩，排难解惑.213)(+++=x x x f ， （1）求函数的定义域；（2）求)3(-f ，)32(f 的值；（3）当0>a 时，求)(a f ，)1(-a f 的值. 解：（1）定义域：能使函数式有意义的实数x 3+x 有意义的实数x 的集合是}{3-≥x x ，使分式21+x 有意义的实数x 的集合是}{2-≠x x .所以，这个函数的定义域就是 }{}{23-≠-≥x x x x {3-≥=x x ，且}2-≠x . （2）123133)3(-=+-++-=-f ； 333832321332)32(+=+++=f . （3）因为0>a ，所以)(a f ，)1(-a f 有意义. 213)(+++=a a a f ；11221131)1(+++=+-++-=-a a a a a f . 由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，对应关系完全一致，我们就称两个函数相等.x y =相等？（1）2)(x y =； （2）33x y =；（3）2x y =； （4）xx y 2=.解：（1）)0()(2≥==x x x y ，这个函数与函数)(R x x y ∈=虽然对应关系相同，但是定义域不相同.所以，这个函数与函数)(R x x y ∈=不相等.（2）)(33R x x x y ∈==，这个函数与函数)(R x x y ∈=不仅对应关系相同，而且定义域相同.所以，这个函数与函数)(R x x y ∈=相等.（3）⎩⎨⎧<-≥===.0,,0,2x x x x x x y 这个函数与函数)(R x x y ∈=的定义域都是实数集R ，但是当0<x 时，它的对应关系与函数)(R x x y ∈=不相同.所以，这个函数与函数)(R x x y ∈=不相等.（4）xx y 2=的定义域是}{0≠x x ，与函数)(R x x y ∈=)(R x x y ∈=不相等.小结：函数的概念是一般地，设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作A x x f y ∈=),(.定义域和值域是x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合})({A x x f ∈叫做函数的值域.区间是①满足不等式b x a ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为],[b a ；②满足不等式b x a <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为),(b a ；③满足不等式b x a <≤或b x a ≤<的实数x 的集合叫做半开半闭区间，表示为),[b a ，],(b a .5.布置作业.（1）举出生活中函数的例子（三个以上），并用集合与对应的语言来描述函数，同时说出函数的定义域、对应关系和值域.P习题1、2、3（2）课本19六．板书设计。
高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2.1 函数的概念(第2课时)教案 新人教A版必修1(202
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1。
2.1函数的概念（第二课时)课 型:新授课教学目标：（1）会求一些简单函数的定义域与值域，并能用“区间”的符号表示；（2）掌握复合函数定义域的求法;（3）掌握判别两个函数是否相同的方法.教学重点:会求一些简单函数的定义域与值域。
教学难点:复合函数定义域的求法。
教学过程：一、问题链接：1。
提问：什么叫函数？其三要素是什么？函数y ＝xx 2与y ＝x 是不是同一个函数？为什么？ 2. 用区间表示函数y ＝ax ＋b （a ≠0）、y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）、y ＝x k （k ≠0)的定义域与值域。
二、合作探究展示：探究一：函数定义域的求法：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果只给出解析式y=f(x ），而没有指明它的定义域,那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合.例1：求下列函数的定义域① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -++=211)(。
解：①∵x-2=0，即x=2时，分式21-x 无意义， 而2≠x 时,分式21-x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x 。
人教A版高一数学《1.2.1函数的概念(2)》课件.pptx
x≥a，x＞a，x≤b，x＜b的实数x的集合分别表示为
[a，+∞），（a，+∞），（－∞，b]，（－∞，b）.
练习：用区间表示下列集合：
(1){ x | 1 x 2} [1 , 2) (2){x | x 3} (3 , ) (3){x | 1 x 2,或x 3} (1 , 2] (3 , ) (4){x | x 0,且x 2} ( , 2) (2 , 0)
例2
解:
f
(
3) 4
2(
3 4
)
2
1 2
，
f [ f ( 43)]
f
(
1 2
)
1 2
1 2
1 4
，
f
(
1 4
)
2(
1 4
)
2
3 2
，
[1，00))((00，，2）) .[2， ) .
例3.求下列函数的值域：
(1) f (x) x 2 x {1,2,3,4,5} (2) f (x) x2 x 1 x R (3) f (x) 2 (x 0)
x
课后作业
1.P24习题1.2A组1、3题
2.同步练习1.2.1第二课时
例1.求下列函数的定义域
(1) f ( x) 1 x2 ; (2) f ( x) 4x 1 (4x 1)0 ;
x3 3
9 x2
1 x 1
解: （1）由
1
x2
0
x
0且x
6
x 3 3 0
得函数的定义域为 {[x1| ，10)x(0，11且] . x 0} .
4x 1 0
( { f ( x) | x A} B )
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（2）y x 2x 1
解：设u 2x 1, 则u 0,
1 u2 1 u2 且x , 于是 y u, 3 2 2 0, y 1. x 3 1 2 即y u 1 . 2 ∴函数的值域为 y y 1 . 故函数y x 2x 1的值域 1 为[ , ). 2
解：由题意知: 1 x 5,
3 2x 1 9,
f (x)的定义域为 3,9.
探究点2 函数的值域 例4 求下列函数的值域.
(1)y x 1
解: x 0
观察 法
(2)y x 4x 6, x [1,5]
2
解：配方，得y (x 2) 2 2 x 1,5 2 y 11
第2课时 函数概念的综合应用
学 习 不 可 浅 尝 辄 止 哦 ！
上节课我们学习了函数，都学习了哪些知识？你都理 解了吗？
1.构成函数的三要素. 2.函数的定义域、值域的概念. 3.函数的对应关系. 4.相等函数的判断.
5.区间的概念.
1.掌握简单函数的定义域的求法.(重点） 2.会求简单函数的值域.（难点） 3.掌握换元法求函数的对应关系.（难点）
5x 4 （2）y x 1
y y 5
15 (3)y 2x x 1 , 8
回顾本节课你有什么收获? 1.求函数的定义域 （1）简单函数的定义域. （2）复杂函数的定义域. （3）复合函数的定义域. 2.简单函数的值域.
人生就是攀登！让我们背负着命运给予的 重载，艰苦跋涉，攀登上一个又一个品德、情 操、知识的高峰吧！
探究点1 函数的定义域的求法
（一）简单函数的定义域
例1 求下列函数的定义域：
1 (1) f (x) x2
解：要使函数有意义，则 x 2 0, 即 x
2，
所以函数的定义域为 x x 2 .
(2) f (x)
5x 3
解：要使函数有意义，则 5x 3 0 ， 3 即x ， 5 . 所以函数的定义域为 3， 5 注意
x 1 1 y x 1的值域 是[1, ).
配方法
函数的值域是{y | 2 y 11}
注意
求函数的值域，应先确定定义域，遵循定义域 优先原则，再根据具体情况求y的取值范围.
你能求出下列函数的值域吗？
x （1）y x 3
（x 3) 3 3 解： y 1 x 3 x 3
解: 由题意知: 0 2x 1 2
1 3 x 2 2
1 3 故 : f (2x 1)的定义域是{x x }. 2 2 特别提醒：对于抽象函数的定义域，在同一对应关
系f下，括号内整体的取值范围相同.
【变式练习】
已知f 2 x 1的定义域为(1, 5], 求f ( x)的定义域.
定义域的表示方法：集合、区间.
【提升总结】 求函数的定义域时常有的几种情况: ①若f(x)是整式，则函数的定义域是: 实数集R； ②若f(x)是分式，则函数的定义域是:
使分母不等于0的实数集；
③若f(x)是偶次根式，则函数的定义域是: 使根号内的式子大于等于0的实数集.
④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，
则函数的定义域是使各部分式子都有意义的
实数集合.
⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数,则函 数的定义域应符合实际问题．
使各个式子都有意义 的实数集合.
（二）复杂函数的定义域 例2 求函数 f (x) 3x 2 1
x2
的定义域.
定义域是一个集合，要 用集合或区间表示．
解：要使函数有意义，
3x 2 0 则 ，即 x 2 且x 2 3 x 2 0
3
.
所以函数的定义域为 x x 2 ,且x 2 .
【变式练习】
求下列函数的定义域：
x＋ 1 (1) y＝ x－1＋ 1－x.(2) y＝ 2 . x －1
[分析] 求函数的定义域，即是求使函数有意义的那
[易错警示] 求函数的定义域时，不能对解析式变形．题(2)
x＋ 1 1 易出现这样的错误：y＝ 2 ＝ ，使得函数有意义的 x 满足 x x －1 x － 1
－1≠0，即 x≠1，故函数的定义域为{x|x≠1，x∈R}．
（三）复合函数的定义域 例3 已知f x 的定义域为 0, 2 , 求f (2x 1)的定义域.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
分离常数 法
换元法
探究点3 函数对应关系 例5 已知f(x+1)=2x+3，你能求出f(-1)吗？ 解： 令t x 1, 则x t 1,
f (t) 2(t 1) 3 2t 1.
∴f(x)=2x+1 f (1) 2 (1) 1 1. 注意
2或-3 则x=______. 3．函数f(x)的定义域为{-1,2}，则y=f(x)的图 1 象与直线x=2的交点个数为_____. 【解析】根据函数的定义，给x一个值，y有唯一 的值与之对应，由于2∈{-1,2}，所以交点个数 只有一个．
4.求下列函数的值域
(1)y x 2 2x 3, x R 2,
些自变量 x 的取值集合．
[解析]
x－ 1 ≥0 (1)要使函数有意义，则 1－ x ≥0
x≥ 1 ，即 x≤ 1
，
所以 x＝1，从而函数的定义域为{x|x＝1}．
x＋ 1 (2)因为当 x －1≠0，即 x≠±1 时， 2 有意义，所以 x －1
2
原函数的定义域是{x|x≠±1，x∈R}．
换元法求 解析式
换元的等价性，即要求出t的取值范围
1.（2012·广东高考)函数 {x|x≥-1,且x≠0} ____________________
y
x 1 x
的定义域为
x 1 0， 【解析】由 得函数的定义域为{x|x≥-1, x 0
且x≠0}.
5 ，若f(x)=5， 2．已知函数f(x)=x2+x-1.则f(2)=__