黑龙江省双鸭山市第一中学2021届高三上学期第一次月考数学(文)试题 Word版含答案

双鸭山市第一中学2020-2021学年度上
学期高三数学（文）月考 试题
一．选择题 (每小题5分，满分60分) 1．函数
的定义域为( )
A ．
B ．
C ．
D ． 2.下列函数中是奇函数的为（ ） A ． B ． C
D ．
3．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝1
3，则sin B ＝( ) A ．15 B ．59 C ．5
3 D ．1
4．向量a ＝(2,3)，b ＝(－2,2)，则|a+b |＝（ ） A ．5 B ．3 C ．4 D ．-5
5．已知等差数列{a n }中，a 1＋a 4＝76，a 3＋a 6＝5
6，则公差d ＝( )
A ． 16
B ．112
C ．－16
D ．－1
12
6．若α△，且sin 2
α＋cos2α＝14，则tan α的值等于（ ）
A ．
22 B ．3
3
C ． 2
D ．3 7．九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据 明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一．”在某种玩法中，用a n 表示解下n (n ≤9，n △N *)个圆环所需的最少移动次数，数列{a n }满足a 1＝1，
且a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧2a n －1－1，n 为偶数，2a n －1＋2，n 为奇数，则解下4个环所需的最少移动次数a 4为( )
A ．7
B ．10
C ．12
D ．22
()1ln -=x ()+∞,0()+∞,1()1,0()0,∞-1y x =-2y x =y x =⎪⎭
⎫ ⎝⎛2,0π
8．已知f (x )＝1
4
x 2＋
cos x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则导函数 f ′(x )的图象大致为( )
9．在△ABC 中，若2sin B 2·cos B 2sin C ＝cos 2A
2
，则△ABC 是( )
A ．等边三角形
B ．等腰三角形
C ．非等腰三角形
D ．直角三角形 10．已知31)6sin(
=+απ
，则)23
2cos(απ
-=( ) A ． B ．
C ．
D ． 11．已知函数若方程有三个不同的实数根，
则实数的取值范围为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
12．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (1)＝4，且f (x )的导函数f ′(x )<3，则不等式
f (ln x )>3ln x ＋1的解集为( )
A ．(1，＋∞)
B ．(e ，＋∞)
C ．(0,1)
D ．(0，e)
二．填空题（每小题5分，满分20分）
513297-9
5()|21, 2 3,21
x x f x x x ⎧-<⎪
=⎨>⎪
-⎩()0f x a -=a ()
0,1()
0,2()0,3()1,3
13．已知向量，且，则m ＝________.
14．已知命题p ：；命题q ： 函数在R 上单调递增，
若为真，则的取值范围是________．
15．已知船在灯塔北偏东
且到的距离为
， 船在灯塔北偏西且到的距离为
，则
两船的距离为________．
16．在△ABC 中，已知，且最大角为120°，则该三角形的周长为________．
三．解答题 (共70分)
17．（10分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为2，且1a ，2S ，4S 成等比数列． （1）求1a ，2a ，3a ；
（2）设2n
n n b a =+，求数列{}n b 的前9项和．
18．（12分）已知函数
()()2,1,4,-==b m a b a //0322>-+a a ()()1,0≠>=a a a x f x q p ∧a 65b c a b a 2,4=+=-()x x x x f 2sin cos sin 3-=
（1）求函数的周期和单调递增区间； （2）当x △ ，求f (x )的最大值．
19．（12分）已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5，曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线方程
为y ＝3x ＋1.
（1）求a ，b 的值； （2）求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值．
20．(12分)已知数列{}n a 满足14a =，且当2n ≥时，()()
1122n n n a n a n --=+-.
（1）求证：数列n a n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列； （2）记2
21
n n
n b a +=
，求数列{}n b 的前n 项和n S .
()x f ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,0π
21. （12分）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且C abc c b a c a cos 2))(2(222=+--.
（1）求角B 的大小； （2）若0)2
3
(cos 31sin =+
-+C A ，求a b 的值.
22．（12分)已知函数(a 为常数，e 为自然对数的底数)是实数集R 上的奇函数．
（1）求实数a 的值； （2）讨论关于x 的方程＝x 2－2e x ＋m 的根的个数．
()()
a e x f x
+=ln ()
x f x ln
高三数学（文）答案
一、选择题
二、填空题
13. -2 14. 15. 16.30 三、解答题
17.（1）11a =，所以23a =，35a =； （2）.1103
18.（1） 增区间： （2）
19. （1） （2）13
20.（1）证明：当2n ≥时，()()1122n n n a n a n --=+-， 将上式两边都除以()1n n -，得
1221n n a a n n n -+-=-，即121
n n a a
n n --=-， 所以数列n a n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是以141a =为首项，2为公差的等差数列.
（2）解：由（1）得即
()42122n
a n n n
=+-=+，即()21n a n n =+， ()+∞,1km 13π=T ()z k k k ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++-
,6,3ππππ214,2-=
=b a
所以()22
22111141n n n b a n n ⎡⎤
+==-⎢⎥+⎢⎥⎣⎦
. 所以()2
2222111111142231n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+⎢⎥⎝⎭⎣⎦
()()22211214141n n
n n ⎡⎤+=-=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦.
21. 解：（1）∵角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且C abc c b a c a cos 2))(2(222=+--
∴C b ac
b c a c a cos 2)
)(2(222=-+- ∴C B c a b C b B c a cos cos 2,cos cos )2(=-∴
=- ∴C B B C B A cos sin cos sin cos sin 2=-
∴A B C B C B C B A sin )sin(sin cos cos sin cos sin 2=+=+=，
∵0sin ≠A ，∴2
1
cos =
∵00060),180,0(=∴∈B B ， （2）∵0)2
3
(cos 31sin =+
-+C A ，∴023cos 31sin =--+C A ，
∴2
1
cos 3sin =
-C A ，∵060=B ，∴A C --=0060180，∴A C -=0120， ∴21)120cos(3sin 0=--A A ，∴2
1
)sin 120sin cos 120(cos 3sin 00=+-A A A
∴21sin 23cos )2
1(3sin =-
-⨯-A A A ,∴2
1sin 21cos 23=-A A ∴2
1
)30cos(0
=
+A ,∵001200<<A ，∴0001503030<+<A ∴030=A ∴32
323
30
sin 60sin sin sin 0
====A B a b
22.解 (1)∵f (x )＝ln (e x ＋a )是奇函数，∵f (－x )＝－f (x )，即ln (e －
x ＋a )＝－ln (e x ＋a )恒成立， ∵(e －
x ＋a )(e x ＋a )＝1，∵1＋a e －
x ＋a e x ＋a 2＝1，即a (e x ＋e －
x ＋a )＝0恒成立，故a ＝0. (2)由(1)知方程ln x f x ＝x 2－2e x ＋m ，即ln x
x ＝x 2－2e x ＋m .
令f 1(x )＝ln x
x ，f 2(x )＝x 2－2e x ＋m ，
则f 1′(x )＝
1－ln x
x 2
，当x ∵(0，e]时，f 1′(x )≥0，∵y ＝f 1(x )在(0，e]上为增函数； 当x ∵(e ，＋∞)时，f 1′(x )<0，∵y ＝f 1(x )在(e ，＋∞)上为减函数， ∵当x ＝e 时，f 1(x )max ＝1
e
.
而f 2(x )＝x 2－2e x ＋m ＝(x －e)2＋m －e 2， 当x ∵(0，e]时，y ＝f 2(x )是减函数；
当x ∵[e ，＋∞)时，y ＝f 2(x )是增函数，∵当x ＝e 时，f 2(x )min ＝m －e 2.
故当m －e 2>1e ，即m >e 2＋1e 时，方程无实根；当m －e 2＝1e ，即m ＝e 2＋1
e 时，方程有一个根；
当m －e 2<1e ，即m <e 2＋1
e 时，方程有两个根．。