上海市各区县2016届高三上学期期末考试数学理试题汇编圆锥曲线【教师版本】

【T】上海市各区县20XX届高三上学期期末考试数学理试题
汇编：圆锥曲线【教师版本】
上海市市重点中学讲义
圆锥曲线
一、填空题
x2y2
??1的两条渐近线1、（宝山区20XX届高三上学期期末）抛物线y??12x 的准线与双曲线932
所围成的三角形的面积等于．
2、（崇明县20XX届高三上学期期末）在△ABC中，AN
＝4，BC＝，∠CBA ＝
AB 为实轴，且过点C，则?的焦距为
3、（奉贤区20XX届高三上学期期末）若抛物线y2?2px(p?0)的准线经过双曲线x2?y2?1的一个焦点，则p?________
4、（虹口区20XX届高三上学期期末）如图，已知双曲线C的右焦点为过它的右顶点A 作实轴的垂线，与其一条渐近线相交于点B 的焦距为4，?OFB为等边三角形（O为坐标原点，即双曲线
C的中心），则双曲线C的方程为_________________.
5、（黄浦区20XX届高三上学期期末）已知k?Z，若曲线x2?y2?k2线xy?k无交点，则k? ．
（第7题图）
?，.若双曲线?以4
x2y2
??1的中心为顶点，且以该椭圆的右焦点为焦6、（金山区20XX届高三上学期期末）以椭圆2516
点的抛物线方程是
7、（静安区20XX届高三上学期期末）已知抛物线y?ax的准线方程是y??
21，则a?. 4
x2y2
?1(a?1)上运动，F1、F28、（闵行区20XX届高三上学期期末）点P、Q 均在椭圆?:2?2aa?1
?????????????是椭圆?的左、右焦点，则PF1?PF2?2PQ的最大值
为.
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x2y2
9、（普陀区20XX届高三上学期期末）设P是双曲线??1上的动点，若P到两条渐近线的距42
离分别为d1,d2，则d1?d2?_________.
10、（松江区20XX届高三上学期期末）已知抛物线C:y?4x的准线为l，过M(1,0)且斜率为k的2
?????????直线与l相交于点A，与抛物线C的一个交点为B．若AM?2MB，则k? ．
11、（杨浦区20XX届高三上学期期末）抛物线C的顶点为原点O，焦点F在x轴正半轴，过焦点且倾斜角为?的直线l交抛物线于点A,B，若AB 中点的横坐标为3，则抛物线C的方程为4
_______________.
二、选择题
1、（嘉定区20XX届高三上学期期末）已知圆M过定点(2,0)，圆心M 在抛物线y2?4x上运动，若y轴截圆M所得的弦为AB，则|AB|等于（）A．4 B．3 C．2 D．1
2、（青浦区20XX届高三上学期期末）已知抛物线y?2px(?p0与)双曲线2
x2y2
?2?1(a?0,b?0)有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF?x轴，若l为双曲2ab
线一、三象限的一条渐近线，则l的倾斜角所在的区间可能是………………………（）.
（A）?0,
???????????????,, （B）（C）（D）??????,? ?6??64??43??32?
x2y2
??1的右焦点与抛物线y2?12x的焦点3、（松江区20XX届高三上学期期末）已知双曲线m5
相同，则此双曲线的渐近线方程为
A.
y? B.
y?x C.
y? D
. y? 2 / 33
三、解答题
x2
?y2?1上两个不同的点A,B关于直线1、（宝山区20XX届高三上学期期末）已知椭圆2
1y?mx?(m?0)对称．2
（1）若已知C(0,)，M为椭圆上动点，证明：MC?
（2）求实数m的取值范围；
（3）求?AOB面积的最大值（O为坐标原点）．12；2
2、（奉贤区2016
其中?x,y?对应点的曲线方程是C．
(1)、求C的标准方程；2
(2)、直线l1:x?y?m?0与曲线C相交于不同两点M,N，且满足?MON为钝角，其中O为直角坐标原点，求出m的取值范围．
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3、（虹口区20XX届高三上学期期末）
x2y2
已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左焦点为F, 短轴的两个端点分别为A、B,
且
ab
AB?2,?ABF为等边三角形.
（第23题图）
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 如图，点M在椭圆C上且位于第一象限内，它关于坐标原点O 的对称点为N；过点M 作x 轴的垂线，垂足为H，直线NH与椭圆?????????
C交于另一点J，若HM?HN??1，试求以线段NJ为直径的圆的方程；
2
22
（3）已知l1、l2是过点A的两条互相垂直的直线，直线l1与圆O:x?y?4相交于P、Q两点，
直线l2与椭圆C交于另一点R；求?PQR面积取最大值时，直线l1的方程.
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x2y2
4、（黄浦区20XX届高三上学期期末）已知椭圆?：2?2?1（a?b?0），过原点的两条直线l1ab
和l2分别与?交于点A、B和C、D，得到平行四边形ACBD．
（1）当ACBD为正方形时，求该正方形的面积S．
2 （2）若直线l1和l2关于y轴对称，?上任意一点P到l1和l2
的距离分别为d1和d2，当d12?d2为
定值时，求此时直线l1和l2的斜率及该定值．
（3）当ACBD为菱形，且圆x2?y2?1内切于菱形ACBD时，求a，b 满足的关系式．
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5、（嘉定区20XX届高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy内，动点P 到定点F(?1,0)的距离与P到定直线x??4的距离之比为1． 2 （1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）若轨迹C上的动点N到定点M(m,0)（0?m?2）的距离的最小值为1，求m的值．
（3）设点A、B是轨迹C上两个动点，直线OA、OB与轨迹C的另一交点分别为A1、B1，且直线OA、OB的斜率之积等于?
3，问四边形ABA1B1的面积S是否为定值？请说明理由．4
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x2y2
7、（静安区20XX届高三上学期期末）设P1和P2是双曲线2?2?1上的两点，线段P1P2的中点ab为M，直线P1P2不经过坐标原点O.
b2
(1)若直线P1P2和直线OM的斜率都存在且分别为k1和k2，求
证:k1k2=2； a
(2)
若双曲线的焦点分别为F1(
、F2，点P1的坐标为(2，1) ，直线OM的斜率为3，求由四点P1、F1、P2、F2所围成四边形P1 F1P2F2的面积. 2
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8、（闵行区20XX届高三上学期期末）已知椭圆?的中心在坐标原点，且经过点(1,，它的一个焦点与抛物线?:y2?4x的焦点重合．
（1）求椭圆?的方程；
（2）斜率为k的直线l过点F?1,0?，且与抛物线?交于A、B两点，设点P(?1,k)，△PAB的面
积为k的值；
（3）若直线l过点M?0,m?（m?0），且与椭圆?交于C、D两点，点C 关于y轴的对称点为Q，直线QD的纵截距为n，证明：mn为定值.
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32
9、（浦东新区20XX届高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x0,y0)、直线l:ax
?by?c?0，我们称??为点P(x0,y0)到直线l:ax?by?c?0的方向距离。

x2
?y2?1上的任意一点P(x,y)到直线l1:x?2y?0,l2:x?2y?0的方向（1）设椭圆4
距离分别为?1、?2，求?1?2的取值范围。

（2）设点E(?t,0)、F(t,0)到直线l：xcos??2ysin??2?0的方向距离分别
为?1、?2，试问是否存在实数t，对任意的?都有?1?2?1成立？若存在，求出t的值；不存在，说明理由。

x2y2
（3）已知直线l：mx?y?n?0和椭圆E2?2?1（a?b?0），设椭圆E的两个焦点F1,F2ab
到直线l的方向距离分别为?1、且直线l与x轴的交点为A、与y轴的交点为B，?2满足?1?2?b2，
试比较AB的长与a?b的大小。

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x2y2
10、（普陀区20XX届高三上学期期末）如图，椭圆??1的左、右两个焦点分别为F1,F2，A为259
F7
12?arccos8.
11 / 33 椭圆的右顶点，点P在椭圆上且?PF（1）计算PF1的值；（2）求?PF1A的面积.
11、（青浦区20XX届高三上学期期末）已知椭圆M的对称轴为坐标轴，且抛物线y2?4x的焦点F是椭圆M的一个焦点，以F为圆心，以椭圆M的短半轴长为半径的圆与直
线
相切．l：x?y?2?0
（1）求椭圆M的方程；
????????????MMP（2）已知直线y?x?m与椭圆交于A、B两点，且椭圆上存在点满足OP?OA?OB，
求m的值．
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12、（松江区20XX届高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy中，O 为坐标原点，C、D两点的坐标为C(-1,0),D(1,0), 曲线E上的动点P 满足PC+PD=E上的点A、B满足OA?OB．
（1）求曲线E的方程；
（2）若点A
在第一象限，且OA?，求点A的坐标；（3）求证：原点到直线AB 的距离为定值．
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13、（徐汇区20XX届高三上学期期末）已知直线l1、l2与曲线
W:mx2?ny2?1?m?0,n?0?分别
相交于点A、B和C、D，我们将四边形ABCD称为曲线W的内接四边形．
（1）若直线l1:y?x?a和l2:y?x?b将单位圆W:x?y?1分成长度相等的四段弧，求22
a2?b2的值；
（2）
若直线l1:y?2xl2:y?2x与圆W:x?y?4分别交于点A、B和C、D，
求证：四边形ABCD为正方形；22
x2
?y2?1的内接正方形有且只有一个，并求该内接正方形的面积．（3）求证：椭圆W:2
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x2y2
14、（杨浦区20XX届高三上学期期末）如图，曲线?由两个椭圆T1：2?2?1?a?b?0?和ab
y2x2
椭圆T2：2?2?1?b?c?0?组成，当a,b,c成等比数列时，称曲线?为“猫眼曲线”. bc
（1）若猫眼曲线?
过点M0,，且a,b,c的公比为?2，求猫眼曲线?的方程；2
（2）对于题（1）中的求猫眼曲线?，任作斜率为k?k?0?且不过原点的直线与该曲线相交，交
椭圆T1所得弦的中点为M，交椭圆T2所得弦的中点为N，求证：kOM 为与k无关的定值；kON
（3）
l为椭圆T2的切线，且交椭圆T1于点A,B，N为椭圆T1上的任意一点（点
N与点A,B不重合），求?ABN面积的最大值.
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x
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参考答案：
填空题参考答案：
2y1
、2、8 3
、4、x??1 5、?1 32
6、y2=12x
7、1
8、2a
9、
11、y2?4x
4 10
、? 3
选择题参考答案：
1、A
2、D
3、A
解答题参考答案
x2
?y2?1, 于是1、解：（1）设M(x,y),则2
11MC?x2?(y?)2=2?2y2?(y?)2 22
??y2?y?9 --------------------------------------------------------2分4
?15?(y?)2? 22
因?1?y?1,
所以，当y??1时，MC.即MC? ----------------------------4分?max222 （2）由题意知m?0，可设直线AB的方程为y??1x?b.
------------------------------5分m
?x2
?y2?1,??2由?消去y，得
?y??1x?b,?m?
2?m2
22b2x?x?b?1?0. --------------------------------------------------------7分22mm 1x2
?y2?1有两个不同的交点，因为直线y??x?b与椭圆m2
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所以,???2b?2?
即b?1?224?0，m2 ①----------------------------8分2 2m
2mbm2b,2) --------------------------------------------------------9分将AB中点M(2m?2m?2
1m2?2代入直线方程y?mx?解得b?? 22m2
由①②得m??
②
或m? --------------------------------------------------------10分33
（3
）令t?31?(??(0,，即t2?(0,)，2m22
?2t4?2t2?
则AB?t2?1?32
1t?22 --------------------------------------------11分
1
-----------------------------------------------12分且O到直线AB
的距离为d?t2?
设?AOB的面积为S(t)，所以
S(t)?1112 --------------------------14分AB?d??2(t2?)2?2?2222
2当且仅当t?1时，等号成立. 2
故?
AOB . ---------------------------------------------------16分
?4 1分
所以点Px,y对应的曲线方程C是椭圆2分2、（1
2a?4,?a?2 ．3分c?1
4分
?a?2,c?1,b? 5分x2y2
??1 6分43
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?x?y?m?0?22
（2）、联立方程组?x2y2消去y，得7x?8mx?4m?12?0 7分?1??
?43
2
m2?28m42?12?33?6m48? ??64 0
8分
??
?m2?7
9分
设M(x1,y1),N(x2,y2)
得x4m2?12
1x2?7
方法一
可计算yy3m2?12
12?7
由?MON为钝角，则????OM?????ON?
?0，x1x2?y1y2?0
4m2?127?3m2?12
7
?0 所以m2 ?
24
7
?m? 方法二或者xxx2
1x2?y1y2?1x2??x1?m??x2?m??21x2?m?x1?x2??m ? 2?
24m?12
?7
?m8m?m
2
?7m2?24
7
7
?0 所以m2
?
24
7
??
7?m?7
?
2b?2,3、解：（1
）由题意，得??c?b, ?? b2?c2?a2, 19 / 33
10分
11分
12分13分
14分11分
12分
13分
14分(2分)
……
?a?2,x2??y2?1. ……(4分) 解得?b?1, 故椭圆C的方程为4??c?（2）设M(x0,y0),则由条件，知x0?0,y0?0,且
N(?x0,?y0),H(x0,0). ?????????从而HM?(0,y0),HN?(?x0,?y0).
?????????12于是由HM?HN?(0,y)?(?x,?y)??y??,及y?0,得y?
0000002x02?y02?1,求得x0?
再由点M在椭圆C
上，得4
所以M),N(),H0); ……(6分) 进而求得直线NH的方程:
x?4y?0.
?x?4y??0,求得J ……(8分)
由??x2?y2?1,?
?4
进而NJ?线段NJ的中点坐标为1532?(y2?. ……(10分)
50 因此以线段NJ
为直径的圆的方程为：(xll （3）当直线1的斜率不存在时，直线l2与椭圆C相切于点A，不合题意；当直线1的斜率为0
时，可以求得S?PQR? ……(12分)
当直线l1的斜率存在且不为0时，设其方程为y?kx?1(k?0),则点O到直线l
1的距离为d?从而由几何意义，得PQ??
由于l2?l1,故直线l2的方程为y??1x?1,可求得它与椭圆C的交点R的坐标为k
?8kk2?4?于是,?2AR?
??2?;k?4k?4??
故S?PQR1?PQ?AR? ……(15分)
232u32令
u??则S?PQR?2??u?13u?13u
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当且仅当u?即k?
时，上式取等号. l
故当k?时，?
S?PQR??此时直线1的方程为：max
y?x?1.（也可写成
?2y?2?0.）……(18分)
4、[解]（1）因为ACBD为正方形，所以直线l1和l2的方程为y?x和y??x．（1分）
?y?x,?点A、B的坐标(x1,y1)、(x2,y2)为方程组?x2y2的实数
解，??1?2b2?a
a2b2
22将y?x代入椭圆方程，解得x1?x2?2．a?b2
4a2b2
2根据对称性，可得正方形ACBD的面积S?4x1?2．（4分）a?b2
（2）由题设，不妨设直线l1的方程为y?kx（k?0），于是直线l2的方程为y??kx．
22x0y0设P(x0,y0)，于是有2?2?
1，又d1?d2?，（6分）ab
222?(kx0?y0)2(kx0?y0)22k2x0?2y0x022?d?d???，将代入上式，
y?b1??02?k2?1k2?1k2?1?a?2122
2?x02kx?2b?1?2?a2?得d12?d2k2?12202?2b2?22?k?2?x0?2b2a??，（8分）k2?1
b2b2对于任意x0?[?a,a]，上式为定值，必有k?2?0，即k??，（9分）aa 222abbb2?2因此，直线l1和l2的斜率分别为和?，此时d12?d2．（10分）a?b2aa
（3）设AC与圆x2?y2?1相切的切点坐标为(x0,y0)，于是切线AC的方程为x0x?y0y?1．????
?x0x?y0y?1?点A、C的坐标(x1,y1)、(x2,y2)为方程组?x2y2的实数解．?2?2?1b?a
①当x0?0或y0?0时，ACBD均为正方形，椭圆均过点(1,1)，于是有11?2?1．（11分）2ab
x2y21②当x0?0且y0?0时，将y?(1?x0x)代入2?2?1，aby0
2a2(1?b2y0)整理得(by?ax)x?2x0ax?a(1?by)?0，于是x1x2?22，（13分）2by0?a2x0220220222220
2b2(1?a2x0)同理可得y1y2?22．（15分）22by0?ax0????????ACBDAO?CO 因为为菱形，所以，得AO?CO?0，即x1x2?y1y2?0，（16分）
22a2(1?b2y0)b2(1?a2x0)2222??0，整理得a2?b2?a2b2(x0?y0)，由x0?y0?1，于是22222222by0?ax0by0?ax0
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得a2?b2?a2b2，即
1111b．（18分）综上，，满足的关系式为a??1?2?1．222abab
(x?1)2?y21?，……………………………（2分）5、（1）设P(x,y)，由题意，|x?4|2
化简得3x2?4y2?12，………………（3分）
x2y2
??1．………………………………（4分）所以，动点P的轨迹C 的方程为43
?x2?122?（2）设N(x,y)，则
|MN|?(x?m)?y?(x?m)?3?1??x?2mx?m?3 ??4?4?2222
1(x?4m)2?3(1?m2)，?2?x?2．………………………………（2分）4
1①当0?4m?2，即0?m?时，当x?4m时，|MN|2取最小值3(1?m2)?1，2?
解得m?2264，m?，此时x??2，故舍去．…………………（4分）333
1?m?2时，当x?2时，|MN|2取最小值m2?4m?4?1，2
解得m?1，或m?3（舍）．…………………………………………………（6分）综上，m?1．②当4m?2，即
（3）解法一：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则由kOA?kOB??3yy3，得12??，（1分）4x1x24
|AB|?(x1?x2)2?(y1?y2)2，
2?x12??x2?2???因为点A、B在椭圆C上，所以y?3?，，
1?y?31?2????4?4???21
22222所以，9x1x2?16y12y2?9(4?x12)(4?x2)，化简得
x12?x2?4．…………（2分）
y123①当x1?x2时，则四边形ABA，1B1为矩形，y2??y1，则2?x14 ??x12?32x12?322??x?31?y??由y?3?，得，解得，，
x?21?111????4424????21
S?|AB|?|A1B|?4|x1||y1|?4．……………………………………（3分）
?②当x1?x2时，直线AB的方向向量为d?(x2?x1,y2?y1)，直线AB的方程为
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(y2?y1)x?(x2?x1)y?x2y1?x1y2?0，原点O到直线AB的距离为
d?|x1y2?x2y1|
(x2?x1)?(y2?y1)22
所以，△AOB的面积S?AOB?11?|AB|?d?|x1y2?x2y1|，22根据椭圆的对称性，四边形ABA1B1的面积S?4S?AOB?2|x1y2?x2y1|，……（4分）2222所以，S2?4(x1y2?x2y1)2?4(x1y2?2x1x2y1y2?x2y1)
2?2??322x2x12??2?22?4?3x1??1?4???2x1x2?3x2??1?4????12(x1?x2)?48，所以S?43．??????
所以，四边形ABA1B1的面积为定值43．……………………………………（6分）
解法二：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则A1(?x1,?y1)，B1(?x2,?y2)，由kOA?kOB??3yy3，得12??，…………………………………………（1分）4x1x24
2
12?x12??x2?2???因为点A、B在椭圆C上，所以y?3?，，
1?y?31?2????4?4???
所以，9x1x2?16y1y2?9(4?x1)(4?x2)，化简得x1?x2?4．…………（2分）直线OA的方程为y1x?x1y?0，点B到直线OA的距离
d?22222222|x1y2?x2y1|
x?y2
121，
△ABA1的面积S?ABA1?1?|AA1|?d?|x1y2?x2y1|，……………………（3分）2
根据椭圆的对称性，四边形ABA?2|x1y2?x2y1|，……（4分）1B1的面积S?2S?ABA1所以，S?4(x1y2?x2y1)?4(x1y2?2x1x2y1y2?x2y1) 2?2??322x2x12??2?22????4?3x1?1??xx?3x1??12(x?x)?48，所以
S?43．?12212??2??44??????222222
所以，四边形ABA1B1的面积为定值43．………………………………（6分）解法三：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则A1(?x1,?y1)，B1(?x2,?y2)
23 / 33
由kOA?kOB??3yy3，得12??，…………………………………………（1分）4x1x24 2
12?x12??x2?2???因为点A、B在椭圆C上，所以y?3?，，
1?y?31?2????4?4???
22222所以，9x1x2?16y12y2?9(4?x12)(4?x2)，化简得
x12?x2?4．…………（2分）
△ABA1的面积
S?ABA1?1x22?x1x1y1y1?y111?|x1y2?x2y1|，……………………（3分）1 根据椭圆的对称性，四边形ABA?2|x1y2?x2y1|，……（4分）1B1的面积S?2S?ABA1
2222所以，所以，S2?4(x1y2?x2y1)2?4(x1y2?2x1x2y1y2?x2y1)
2?2??322x2x12??2?22????4?3x1?1??xx?3x1??12(x?x)?48，所以
S?43．?12212??2??44??????
所以，四边形ABA1B1的面积为定值43．……………………………………（6分）
6、解：(1)由题意得：圆R的半径为22，因为直线OP,OQ互相垂直，且与圆R相切，所以四边形OPRQ为正方形，故OR?222r?4，即x0?y0?16①………………3分
x2y2
7、(1)解法1：设不经过点O的直线P1P2方程为y?k1x?l，代入双曲线2?2?1方程得：ab(b2?a2k12)x2?2a2k1lx?a2b2?a2l2?0. 设P1坐标为
(x1,y1)，P2坐标为(x2,y2)，中点坐标为M (x,y),则x?x1?x2y?y2,y?1，22 2a2k1l，x1?x2?2b?a2k12
b2y1?y2b2?a2k12222222，所以，ak1k2?ak1?b?ak1，k1k2=2。

k2??k1?2ax1?x2ak1
?x12y12??1(1)x1?x2y1?y2??a2b2,y?另解：设P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，中点M (x,y),则x?且?2 222?x2?y2?1(2)??a2b2
（1）-（2）得：
(x1?x2)(x1?x2)(y1?y2)(y1?y2)??0。

22ab因为,直线P1P2和直线OM的斜率都存在,所以(x1+x2)(x1-x2)?0，等式两边同除以(x1+x2)(x1-x2)，得：1y1?y2y1?y21???2?0 2ax1?x2x1?x2b 即b2
k1k2=2。

…………6分a
?221x2?2?2?1,?y2?1，（2）由已知得?a,求得双曲线方程为
b2?a2?b2?3?
b231直线P1 P2斜率为2??，23a直线P1 P2方程为y?1?1(x?2), 3
10123代入双曲线方程可解得P2(?,?)(中点M坐标为(,). 7777 25 / 33
面积18F1F2?y1?y2?? 273x上.所以由中点M((x,y),可得点P2的坐标为2 2(2x?2)222?(3x?1)?1x?7x?2x?0,代入双曲线方程可得,即，解得
P(2x?2,3x?1)227另解: 线段P1 P2中点M在直线y?
（y? 183101FF?y?y??P(?,?
)），所以2。

面积121277727229?1??1xy?228、[解]（1）设椭圆的方程为2?2?1?a?b?0?，由题设得?a，…2分4bab?a2?b2?1?
?a2?4x2y2
??2??1 …………………………4分，?椭圆?的方程是43?b?3
?y?k(x?1),（2）设直线l:y?k(x?1)，由?得k2x2?2(k2?2)x?k2?0 2?y?4x, l与抛物线?有两个交点，k?0，??16(k2?1)?0，
4(k2?1)则AB? …………………………6分?k2
P(?1,k)到l
的距离d?
，又S△
PAB14(k2?1)? ???22k4k2?3k2?
3，故k?．………………………10分
（3）?C?x1,y1?,D?x2,y2?，点C关于y轴的对称点为Q(?x1,y1)，则直线CD:y?y1?
直线QD:y?y1?y2?y1x(y?y)xy?xy(x?x1)，设x?0得m?y1?121?2112
x2?x1x2?x1x2?x1y2?y1x(y?y)xy?xy(x?x1)，设x?0得n?y1?121?211214分
x2?x1x2?x1x2?x1
2222233x12y12x2y2x2y1?x12y22222?y?(4?x)y?(4?x2) ??1??1，又，，?mn?11222444343x2?x1
3232x2?(4?x12)?x12?(4?x2)xy?xy?mn???3．………………………16分22x?xx2?x1222122212122
x2x2
22?y?1上，所以y?1?9、解答：（1）由点P(x,y)在椭圆44
x2?4y22x2?4x?2yx?2y?由题意?1?、?2?，于是?1?2?………………2分55 26 / 33
44??1?2?…………………………………………4分55
442(x2?4y2)822?，再利用基本不等式易得???1?2?）（也可以先求出?1??2?55552又?2?x?2得0?x?4，即?
（2）假设存在实数t，满足题设，由题意?1??tcos??2
22cos??4sin?cos??4sin?
(tcos??2)(?tcos??2)?1………………………………………………6分
于是?1?2?cos2??4sin2?
4?t2cos2??cos2??4sin2??(3?t2)cos2??0对任意的?都成立
只要3?t?0即可，所以t??3
故存在实数t，t??3，对任意的?都有?1?2?1成立。

……………………………9分2?2?tcos??222，x2
?y2?1的切线，（学生通过联想，判断直线xcos??2ysin??2?0是椭圆又
证明?1?2?b2
4
从而得到t??3也给分）
222（3）设F1,F2的坐标分别为(?c,0)、(c,0)，于是c?a?b
n2?m2c2
?b2?n2?b2?m2a2 、?2?于是?1?2??1?21?m?m2?m2
nn2
22又A(?,0)，B(0,n)即|AB|?2?n……………………………………………12分mm
n2b2
22222222所以2?n?a?2?b?ma?a?b?2ab?(a?b) mm
综上
AB?a?b…………………………………………………………………………14分?mc?nmc?n
10、
27 / 33
11、解：（1）因为抛物线y?4x的焦点F是椭圆M的一个焦点，即F(1,0) 2
x2y2
22又椭圆M的对称轴为坐标轴，所以设椭圆方程为2?2?1,a?b?0,且a?b?1 ab
又以F为圆心，以椭圆M
的短半轴长为半径的圆与直线l：x??2?0相切
x2
?1,所以椭圆M的方程是?y2?1 即b?2（2）设A(x1,y1)，B(x2,y2) ??y?x?m 22?x?2y?2?3x2?4mx?2m2?2?0
??(4m)2?12(2m2?2)??8m2?
24?0?m?????????????4242?OP?OA?OB,?P(x1?x2,y1?y2)又
x1?x2??m,y1?y2?m，即P(?m,m)在椭3333x242?y2?1上,
即(?m)2?2(m)2?2?m?圆233 28 / 33
12、解（1）由CD?
2，PC+PD=>2知，曲线E是以C、D
为焦点，长轴
圆，………………1分x2y2
设其方程为2?2?
1，则有a?c?1，ab
x2y2
??1∴曲线E的方程为………………3分32
（2）设直线OA的方程为y?kx(k?0)，则直线OB的方程为y??1x(k?0) k ?2x2?3y2?662222x?2x?3kx?6由? 得，解得12?3k2.………………4分y?kx?
?2x2?3y2?66k2?2同理，由则?1 解得
x2?2k2?3. ………………5分
y??x?k?
22 知4OA?3OB，616k2
2?3(1?2)?2即4(1?k)?………………6分22?3kk2k?3
2解得k?6，因点A
在第一象限，故k?
………………7分由OA?
此时点A的坐标为………………8分（3）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
当直线AB平行于坐标轴时，由OA?OB知
A、B两点之一为y?
?x与椭圆的交点，
??x???2x2?3y2?6?由?解得?y??x?
?y???5 此时原点到直线AB的距离为d?…10分5
当直线AB不平行于坐标轴时，设直线AB的方程x?my?b，
?2x2?3y2?6222由?(2m?3)y?4bmy?2b?6?0 ………………12分
得?x?my?b
由x1x2?y1y2?0得(my1?b)(my2?b)?y1y2?0
即(m?1)y1y2?mb(y1?y2)?b?0
22 2 4bm2b?6,yy?因
y1?y2?? ………………14分122m2?32m2?3 2b2?64b2m2
2222?
?b?0代入得(m?1)
即5b?6(
m?1)……15分222m?32m?3
原点到直线AB的距离d? ………………16分??
29 / 33
13、解：（1）由于直线l1:y?x?a和l2:y?x?b将单位圆W:x?y?1分成长度相等的四段弧，所
以??
22
，在等腰直角?OAB中，圆心O?0,0?到直线l1:y?x?a的距离
为
d?
?
a?1，同理b?1，?a2?b2?2------------------------------------4分2
2
2
????????
（2）由题知，直线l1,l2关于原点对称，因为圆W:x?y?4的圆心为原点O，所以AB?DC，
故四边形ABCD为平行四边形.易知，O点在对角线AC,BD上.
22?6?x?y?42
联立?5x??6?
0，由x1?x2?x1x2?得
5??
y?2x????????
OA?OB?x1x2?y1y2?x1x2?2x12x2
?
?????????5x1x2?
x1?x2??10?6?10?0，所以OA?OB，
????????????????
于是AC?BD，因为AC?BD?4，所以四边形ABCD为正方形.----------------9分
x2
?y2?1存在内接正方形，其四个顶点为A,B,C,D. （3）证明：假设椭圆W:2
当直线AB的斜率不存在时，设直线AB、CD的方程为x?m,x?n，因为A,B,C,D在椭圆上，
?所以A?m,??
方形，易知，m?
?,Bm????,Cn,????,Dn,???，由四边形ABCD为正
n?x?，直线AB、CD
的方程为x?ABCD的
面积S?
8?.---------------------12分3
AB的斜率存在时，设直线AB、CD的方程分别为
当直线
lA:By?
k?x,
C
m:l?D
?y?，?kx?0?,nk0
m
?x22
??y?1
显然m?n.设A?x1,y1?,B?x2,y2?,C?x3,y3?,D?x4,y4?，联立?2得
??y?kx?m
4km2m2?2
?1?2k?x?4kmx?2m?2?0，所以x1?x2??1?2k2,x1x2?1?2k2
2
2
2
30 / 33
代人AB?1?k2?2x?x?????122?4x1x2?，得AB?8?1?k??，同理可得22??1?2k?22
22，因为ABCD为正方形，所以AB?CD解得m?n
222k2?m2?1CD?8?1?k??222k2?n2?1
?1?2k2?2
因为m?n，所以m??n，因此，直线AB与直线CD关于原点O对称，所以原点O为正方形的中
????????心（由m??n知AB?DC，四边形ABCD为平行四边形）
????????由ABCD为正方形知OA?OB，
????????即OA?OB?x1x2?y1y2??1?k2?x1x2?km?x1?x2??m2?0
2?k?1?3m2?2k2?22?0代人得，解得（注：此时四边形ABCD为菱形）
m?21?2k32
由ABCD为正方形知AB?AD，因为直线AB与直线CD
的距离为AD?m??n，故
4m2
AD??1?k224?2?k2?1?1?k2?8 3
221?k2??1?4k2??8?1?k??1?4k????1得，由22223?1?2k??1?2k?
22但AB?81?k2?2??2k2?m2?1?1?2k?224k4?5k2?1?4k4?4k2?1?k2?0即k?0，与k?0矛盾.所以AD?AB，这与AD?AB
矛盾.即当直线AB的斜率k?0存在时，椭圆内不存在正方形. 8x2
?y2?1的内接正方形有且只有一个，且其面积为S?.--18分综上所述，椭圆W:32
14、（1
）b??a?2,c?1，（2分）
x2y2y2
??1，?T2:?x2?1；（2分）?T1:422
（2）设斜率为k的直线交椭圆T1于点C?x1,y1?,D?x2,y2?，线段CD 中点M?x0,y0?
?x0?x1?x2y?y2,y0?1 22
31 / 33
?x12y12??1??x1?x2??x1?x2???y1?y2??y1?y2??0?42 由?2，得（2分）242 ?x2?y2?1?2?4
?k存在且k?0，?x1?x2，且x0?0
?1y1?y2y01??? ，即k?kOM??（2分）2
x1?x2x02
同理，k?kON??2
?kOM1? 得证（2分）kON4
?m （3）设直线l
的方程为y?
?y??m?22222222
?y2x2，?b?2cx?x?mc?bc?0
?2?2?1c?b?
?
? ??0，?m?b?2c
222
l1: y?? （2分）
?y??m?2222222222?b?2ax?x?ma?ba?0 ，?x y?2?2?1b?a?
?
? ??0，?m2?b2?2a2
l2: y?? （1分）两平行线间距离：d? （1分）
?AB?（1分）
1??
ABN的面积最大值为S?AB?d?2
注：若用第一小题结论，算得：
32 / 33
b2?2a2 （1分）
AB?
?
d??
1的面积最大值为S?2?得3分
33 / 33 ?ABN。