求轨迹方程

求轨迹方程的十种技法
1直接法
根据公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。

例1 已知动点M 到定点A （1，0）与到定直线L ：x=3的距离之和等于4，求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？
解设M （x,y ）是轨迹上任意一点，作MN ⊥L 于
由 ｜MA ｜＋｜MN ｜＝4，得|3|22)1(=-++-x y x 当x ≧3时上式化简为 y 2=－12(x-4) 当x ≦3时上式化简为 y 2=4x
所以点M 的轨迹方程为 y 2=－12(x-4) (3≦x ≦4) 和y 2=4x (0≦x ≦3). 其轨迹是两条抛物线弧。

2定义法
圆锥曲线是解析几何中研究曲线和方程的典型问题，当动点符合圆锥曲线定义时，可直接写出其轨迹方程。

例2 在相距离1400米的A 、B 两哨所上，哨兵听到炮弹爆炸声的时间相差3秒，已知声速是340米/秒，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上？
解 因为炮弹爆炸点到A 、B 两哨所的距离差为3×340=1020米，若以A 、B 两点所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴,建立直角坐标系，由双曲线的定义知
炮弹爆炸点在双曲线 12510
2700225102=--y x 上． 3 转移法
若轨迹点P （x ,y ）依赖于某一已知曲线上的动点Q （x 0, y 0），则可先列出关于x 、y, x 0、y 0的方程组，利用x 、y 表示出x 0、y 0，把x 0、y 0 代入已知曲线方程便得动点P 的轨迹方程。

例3 已知P 是以F 1、F 2为焦点的双曲线19
2
162=-y x 上的动点，求ΔF 1F 2P 的重心
G 的轨迹方程。

解 设 重心G （x, y ）, 点 P （x 0, y 0）， 因为F 1（-4，0），F 2（4，0）
则有 , ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
++=++-=30003044y y x x ， 故⎩⎨⎧==y y x
x 30
30代入
19
2
01620=-y x 得所求轨迹方程 1216
2
9=-y x （y ≠0） 4点差法
圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点A （x 1,y 1），B （x 2,y 2）的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得x 1+x 2, y 1+y 2, x 1-x 2, y 1-y 2 等关系式，由于弦AB 的中点P （x, y ）的坐
标满足2x= x 1+x 2, 2y= y 1+y 2且直线AB 的斜率为1
212x x y
y --，由此可求得弦AB 的
中点的轨迹方程。

例4 已知以P （2，2）为圆心的圆与椭圆x 2+2y 2=m 交于A 、B 两点，求弦AB 的中点M 的轨迹方程。

解 设M （x, y ），A （x 1, y 1），B （x 2, y 2）
则x 1+x 2=2x , y 1+y 2 = 2y 由m y x =+21221，
x +222两式相减并同除以（x 1-x 2）得
y
x
y y x x x x y y 2121212
1
2121-
=++-
=-- , 而k AB = 2
12
1x x y y -- k PM =2
2--x y , 又因为PM ⊥AB 所以k AB ×k PM =－1
故 12
2
21-=--∙-
x y y x 化简得点M 的轨迹方程xy +2x- 4y=0
5几何法
运用平面几何的知识如平几中的5个基本轨迹、角平分线性质、圆中垂径定理等分析轨迹形成的条件，求得轨迹方程。

例5如图，给出定点A （a,0）(a>0)和直线L ：x=－1, B 是直线L 上的动点，∠BOA 的平分线交AB 于点C ，求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线 类型与a 值的关系。

解 设B （-1，b ），则直线OA 和OB 的方程
分别为y=0和y=－bx , 设C （x,y ），由点C 到
OA ，OB 的距离相等，得|y|=
2
1b y bx ++ ①
又点C 在直线AB 上，故有y=)(1a x a
b
-+- 由x-a ≠0得b=－
a
x y a -+)1( 代入① 化简整理得 y 2[(1-a)x 2-2ax+(1+a)y 2]=0
若y ≠0, 则 (1-a)x 2-2ax+(1+a)y 2=0 (0<x<a)
若y=0, 则 b=0,∠AOB=π得C （0，0）满足上式 ，综合得点C 的轨迹方程为 (1-a)x 2-2ax+(1+a)y 2=0 (0≤x<a) 以下对a 分类讨论略 6交轨法
若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交点的方程，也可以解方程组先求出交点的参数方程，再化为普通方程。

例6已知
MN 是椭圆12222=+b
y a x 中垂直于长轴的动弦，A 、B 是椭圆长轴的两个端点，求直线 MA 和NB 的交点P 解1:(利用点的坐标作参数) 令M(x 1,y 1 ) ，则N(x 1,-y 1)
而A(-a,0),B(a,0) .设AM 与NB 的交点为因为A, M, P 共线. 所以a
x y a x y
+=
+11
因为N, B,P 共线. 所以
a
x y a x y
--=-11
两式相乘得
2
2121222
a x y a x y --
=-①， 而
1221221=+b
y a x 即2)212(221a x a b y -=
代入①
得
2
2
222
a b a x x =
-， 即交点P 的轨迹方程为
122
22=-b
y a x 解2: (利用角作参数)
设M(acos θ,bsin θ) 则N(acos θ,-bsin θ) 所以
a
a b a x y +=
+θθ
cos sin ,
a
a b a x y --
=-θθ
cos sin 两式相乘消去θ 即可得所求的P 点的轨迹方程为 122
22=-b
y a x 7参数法
根据给定的轨迹条件,恰当地选择参数,建立曲线的参数方程,然后消去参数,得到轨迹的普通方程.常用的参数有点参数，角(θ)参数,斜率(k)参数,定比(λ)参数,用此法要注意参数的实际意义.
例7如图,设点A 和B 为抛物线y 2= 4px (p>0)上原点O 以外的两个动点, 且OA ⊥OB,过O 作OM ⊥AB 于M ，求点M 的轨迹方程. 解1 (常规设参)设M(x,y)，A(x 1,y 1), B(x 2,y
⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪
⎨⎧-=∙---=∙==x py y y p y y x
y x x y y x y x y px
y px
y 42
12162
112121
1221124221421
（※） 由
A,M B 共线得)421(2141p y x y y p y y -+=- 则2
12
1214y y y y x y y p y +++=
把（※）代入上式得y
px
y x y 42+
-=化简得M 的轨迹方程为x 2+y 2-4px=0(x ≠0)
解2 (变换方向) 设OA 的方程为y=kx (k ≠0) 则OB 的方程为x k
y 1
-=
由⎩
⎨⎧==px y kx y 22
得 A(
k p
k
p 2,22) ，
由⎪⎩⎪⎨⎧
=-=px y x k y 221 得 B (2pk 2,-2pk)
所以直线AB 的方程为 )2(2
1p x k k y --=
①
因为OM ⊥AB,所以直线OM 的方程为x k
k y 2
1--= ②
①×②即得M 的轨迹方程: x 2+y 2-2px=0(x ≠0)
解3 (转换观点) 视点M 为定点,令M( x 0,y 0), 由OM ⊥AB 可得直线AB 的方
程为)0(0
00x x y x
y y --=-, 与抛物线y 2=4px 联立消去y 得
0)202
(040042=+-+
y x x p y x py y ,设A(x 1,y 1), B(x 2,y 2) 则)202
(0421y x x p y y +-
=
又因为OA ⊥OB 所以21621p y y -= 故)2020(0
4y x x p +-
=216p -即0042020=-+px y x 所以M 点的轨迹方程为 )0(0422≠=-+x px y x 8韦达定理法
例8 过抛物线y=x 2的顶点 O,任作两条互相垂直的弦OA,OB, 若分别以OA,OB 为直径作圆, 求两圆的另一交点C 的轨迹方程．
解：设A,B 两点的坐标分别为 (21,1t t ), (22
,2t t ) , 则由OA ⊥OB 得 t 1t 2=－1 因为以OA 为直径的圆方程为
021*******=--+⇒-=∙--y t x t y x x
y
t x t y ①
同理以OB 为直径的圆方程为 022
222=--+y t x t y x ② 而点C(x,y)满足①② ,由①②知t 1,t 2是关于t 的二次方程yt 2 + xt- x 2- y 2= 0的两根,根据t 1t 2=－1及韦达定理得y
y x t t 2
2211+-
==- , 即有x 2 + y 2 - y =0(y ≠0)
9 复数法
将直角坐标平面看成复平面,利用复数的几何意义求解动点轨迹方程. 例9 边长为m 的正三角形ABC 的两顶点A,B 分别在x 轴,y 轴上滑动, A .B .C
三点按顺时针顺序排列，求点C 的轨迹方程. 解: 视xoy 为复平面,设 C(x,y), A(a,0) , B(0,b)
则向量→
OC
表示的复数为
x+yi,向量→
OA
表示的复数为
a,向量→
AB
表示复数 –a+bi,
把向量→AB 按顺时针方向旋转3
π
就得到向量→AC ,所以向量→AC 表示的复数为
)3sin 3)(cos (ππi bi a -+-,由→+→=→AC OA OC 得)3sin 3)(cos (π
πi bi a a yi x -+-+=+
由复数相等的条件得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=⇒⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
+=+=y x b x y a a b y b
a
x 332
32
232 而a 2+b 2=m 2 所以点
C 的轨迹方程为4
2322m xy y x =-+
10 极坐标法
某些动点按照一定的规律运动时,如果与角度和长度有关,则可通过建立极坐系较为方便地求得轨迹方程.
例10已知椭圆
1162242=+y x 与直线L:
8
12+y x P 为直线L 上的任一点,OP 交椭圆于点R, Q 是OP 上一点,且满足 |OP||OQ|=|OR|2 求动点Q 的轨迹方程并指出轨迹的曲线.
解 以原点为极点,ox 轴正方向为极轴建立极坐标系 则椭圆的极坐标方程为
116
2sin 224
2cos 2=+
θρθ
ρ,直线L 的极坐标方程
18
sin 12
cos =+
θ
ρθ
ρ,则θ
θρ2sin 32cos 248
22||+==R
OR ,θ
θρsin 3cos 224
||+=
=P OP 设点Q(ρ,θ), 由|OQ||OP|=|OR|2得 θ
θθθρ2sin 32cos 248
sin 3cos 224+=
+⨯
整理得 θρθρθρθρsin 6cos 42sin 232cos 22+=+即2x 2+3y 2=4x+6y(x,y 不同为0)
故Q 点的轨迹方程为13
52
)1(252)1(=-+-y x (x,y 不同为
0),其轨迹是去掉原点的一个
椭圆.
二、运用两非零向量共线的充要条件求轨迹方程。

例1：已知定点A(2,0)，点P 在曲线x2+y2=1(x≠1)上运动，∠AOP 的平分线交PA 于Q ，其中O 为原点，求点Q 的轨程。

三、运用两非零向量垂直的充要条件是求轨迹方程。

例1：如图，过定点A(a,b)任意作相互垂直的直线l1与l2，且l1与x 轴相交于M 点，l2与y 轴相交于N 点，求线段
MN 中点P 的轨迹方程。

即所求点P 的轨迹方程为2ax+2by=a2+b2
例2：过抛物线y2=8x 的焦点F 的直线交抛物线于A,B 两点，过原点O 作OM⊥AB ，垂足M ，求点M 的轨迹方程。

解：设M(x,y), OM⊥AB ，F(2,0)
∵-²■=0且-=(x,y),-=(2-x,-y)
∴x(2-x)-y2=0，即：x2+y2-2x=0 ∴点M 的轨迹方程为x2+y2-2x=0
类型一：直接法
1. 已知两定点
、
，且
，动点
到
与到
的距离比为常数
，求点的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线.
∴点M的轨迹方程是
点M的轨迹是以为圆心，为半径的圆.
【变式1】已知两定点、，且，动点满足：,求点的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线.
【答案】点M的轨迹是圆.
【变式2】已知两定点、，且，动点满足：直线与的斜率之积为常数,求点的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线.
【答案】点M的轨迹是除去顶点的椭圆.
【变式3】如图所示，已知P(4，0)和圆，A、B是圆上两动点，求矩形APBQ的对角线的交点R的轨迹方程.
【答案】设点R的坐标为(x,y)，
在Rt△ABP中，|AR|=|PR|=；
又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：
在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2
即|PR|2=|AO|2－|OR|2＝36－(x2+y2)
所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即
x2+y2－4x－10=0
故点R的轨迹方程：x2+y2－4x－10=0.
【变式4】已知动点P到定点F（1，0）和直线x=3的距离之和等于4，求点P的轨迹方程。

【答案】
故所求的点P的轨迹方程是或。

类型二：定义法
2. 如图所示，已知直线于点M，点，曲线段AB上的任一点到的距离与到点N的距离相等，若,,,,,求曲线
段AB的方程.
解析：以MN中点O为原点,MN所在直线方程为x轴建立直角坐标系,
由题意确定所求曲线段是以N为焦点，为准线的抛物线的一部分
设曲线方程为,点、
,
则,,
由得，
中，由得
∴
解得，
又，，
故所求曲线方程为:
【变式1】已知中，，的周长为6，求顶点的轨迹方程.
【答案】
因此点的轨迹方程是：().
【变式2】已知圆的圆心为M1，圆的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。

【答案】故所求轨迹方程为。

类型三：相关点代入法
3．已知点P(4，0)和圆x2+y2－4x－10=0上一个动点R，动点Q满足：点
R是线段PQ的中点，求点Q的轨迹方程.
解析：设Q(x,y)，R(x1,y1)，则
因为R是PQ的中点，所以x1=,
代入方程x2+y2－4x－10=0,得
整理得：x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程.
【变式1】求经过定点M（1，2），以y轴为准线，离心率为的椭圆左顶点的轨迹方程.
【答案】设椭圆左顶点A(x,y),左焦点F(x＇,y＇),
则，∴，
又∵，代入上式得为所求.
【变式2】P是椭圆上的动点, 作PD⊥y轴, D为垂足, 则PD中点的轨迹方程为( ).
A．B．C．
D．
【答案】D；
解析：设PD中点为M(x, y),则P点坐标为(2x, y),
代入方程, 即得.
【变式3】已知椭圆上的动点 A和左焦点F,求线段AF的中点M的轨迹方程.
【答案】由题意知点F(-4,0),设A(x1, y1),线段AF的中点 M(x, y),则
，，且，
整理得
故点M的轨迹方程：.
【变式4】已知抛物线C：y2=4x.
(1)若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线C的焦点F及准线分别重合，试求椭圆短轴端点B与焦点F连线中
点P的轨迹方程；
(2)若M(m,0)是x轴上的一定点，Q是(1)所求轨迹上任一点，试问|MQ|有无最小值？若有，求出其值；
若没有，说明理由.
【答案】由抛物线y2=4x,得焦点F(1,0),准线：x=－1
(1)设P(x,y)，则B(2x－1,2y),椭圆中心O′,
则|FO′|∶|BF|=e,
又设点B到的距离为d,则
|BF|∶d=e,∴|FO′|∶|BF|=|BF|∶d,
即(2x－2)2+(2y)2=2x(2x－2),
化简得P点轨迹方程为y2=x－1(x＞1)
(2)设Q(x,y),则
|MQ|=
(ⅰ)当,即时，函数在(1，+∞)上递增，
故t无最小值，亦即|MQ|无最小值；
(ⅱ)当,即时，
函数在处有最小值,
∴.
类型四：参数法
4．过原点的直线与曲线y=x2-2x+2交于A，B两点，求弦AB中点的轨迹.
解析：设AB的中点M(x,y), A(x1,y1), B(x2,y2),
依题意，直线的斜率必须存，设为k, 又直线过原点，
∴直线的方程为：y=kx,
将此式代入y=x2-2x+2
整理得：x2-(2+k)x +2=0
∴x1+x2=2+k,
∴
由消去k，得。

又由于直线与曲线有两交点，故(1)式中的判别式Δ>0,
∴(2+k)2-8>0, 解得或
∵,∴或
∴所求的轨迹是抛物线y=2x2-2x(或)部分。

总结升华：
①在处理涉及直线和二次曲线交点的轨迹问题时，直线的斜率是常用的参数,即“k参数”，此时要考
虑直线的斜率不存在这一特殊情况.
②处理涉及直线和二次曲线交点问题时，一般设出交点坐标，但不求交点坐标，而是用韦达定理作整
体运算（把x1+x2或x1x2看作一个整体），即所谓“设而不求”.
③处理涉及直线和二次曲线交点问题时，要注意相交条件( Δ>0).
④参数的选择多种多样，应视具体情况而定常见的参数有k参数、点参数，也可以选有几何意义的量如
角参数、参数a,b,c等。

恰当选择参数，可以简化解题过程.
⑤解题时应先对动点的形成过程进行分析，确定参数，探求几何关系，建立参数方程.
⑥对参数方程化简以后，要重视检验工作，确定变量的范围.
【变式1】设双曲线的两个焦点分别是F1和F2, A 、B分别是双曲线两条渐进线上的动点, 且, 求线段AB中点的轨迹方程.
【答案】设A点在渐进线上, B点在渐进线上,
A(x1, y1), B(x2, y2),线段AB中点 M(x, y),
∵,
∴
由=30,得,
∴, 化简得.
【变式2】设直线x-y=4a与抛物线y2=4ax 交于两点A，B (a为定值)，C为抛物线上任意一点，求ΔABC的重心的轨迹方程.
【答案】设ΔABC的重心为G(x,y) ,点C的坐标为C(x0,y0),A(x1,y1), B(x2,y2)
由方程组消去y并整理得：x2-12ax+16a2=0
∴x1+x2=12a, y1+y2=(x1-4a)+(x2-4a)=(x1+x2)-8a=4a
由于G(x,y)为ΔABC的重心,
∴,
∴, 又点C(x0,y0)在抛物线上，
∴将点C的坐标代入抛物线的方程得：
(3y-4a)2=4a(3x-12a), 即
又点C与A，B不重合，∴。

【变式3】以抛物线的弦AB为直径的圆经过原点O, 过点O作OM⊥AB, M为垂足, 求点M的轨迹方程.
【答案】设直线OA方程为, 代入得A点坐标为,
，∴,
同理可得B(),
∴直线AB方程为,
即: ①
直线OM方程为②
①②,得: ,
即为所求点M的轨迹方程.
【变式4】如图, 矩形ABCD中, , 以AB边所在的直线为x轴, AB的中点为原点建立直角坐标系, P是x轴上方一点, 使PC、PD与线段AB分别交于
、两点, 且成等比数列, 求动点P的轨迹方程.
【答案】显然有,
设,
三点共线,
,,
又三点共线,
, ,
,即
,
,
化简得动点P的轨迹方程为.
1.已知A(-1,0),B(2,4), ABC的面积为10,则动点C的轨迹方程为( )
A.4x-3y-16=0或4x-3y+16=0
B. 4x-3y-16=0或4x-3y+24=0
C. 4x-3y+16=0或4x-3y+24=0
D. 4x-3y+16=0或4x-3y-24=0
2.动点P到直线x+4=0的距离减去它到M(2,0)的距离之差为2,则点P的轨迹为( )
A. 直线
B. 椭圆
C. 双曲线
D. 抛物线
3.P 是椭圆5x 2+9y 2=45上的动点,过P 作椭圆长轴的垂线,垂足为M,则PM 中点的轨迹方程为( )
A. 20x 2+9y 2=45
B. 5x 2+36y 2=45
C. 20x 2+9y 2=180
D. 5x 2+36y 2=180
4.方程0)4)(4(22=-+--y x x y 表示的图形是( ) A. 双曲线的一部分 B. 圆的一部分 C. 两个圆 D. 椭圆的一部分
5.若曲线C 与抛物线342-=x y 关于直线0=+y x 对称,则曲线C 的方程为 .
6.经过抛物线y 2=4x 的焦点的弦的中点的轨迹方程为 . 三典型例题 (一)直接法
例1.动点P 与两定点为F 1,F 2的连线的斜率之积为定值k,试求动点P 的轨迹方程,并判断轨迹的形状 定义法
例2.已知圆C 1:(x+3)2+y 2=1和圆C 2:(x-3)2+y 2=9,动圆M 同时与圆C 1和C 2相外切,求动圆圆心M 的轨迹方程.
练习:已圆C:(x+3)2+y 2=16内部一点A(3,0)与圆周上的动点Q 的连线AQ 的中垂线交CQ 于P,求点P 的轨迹方程. (三)代入法
例3.设动点P 是抛物线y=2x 2+1上任意一点,定点A(0,-1),点M 满足MA PM 2=,求点M 的轨迹方程.
练习:设动直线l 垂直于x 轴,且与椭圆x 2+2y 2=4交于A,B 两点,P 是l 上满足
1=⋅的点,求点P 的轨迹方程.
四强化练习
1.过圆外一定点并且与该圆外切的动圆圆心的轨迹方程为( ) A. 直线 B. 椭圆 C. 双曲线的一支 D. 圆
2.平面α的斜线AB 交α于点B,过定点A 的动直线与AB 垂直,且交α于点C,则动点C 的轨迹为( )
A. 一条直线
B. 一个椭圆
C. 双曲线的一支
D. 一个圆
3.点P 在以F 1,F 2为焦点的双曲线9x 2-16y 2=144上运动,则∆F 1F 2P 的重心G 的轨迹方程为 .
4.已知)3()3(),,1(),0,(b a b a y b x a
-⊥+==,则点P(x,y)的轨迹方程为 .
5.已知椭圆的方程为4x 2+y 2=4,过点M(0,1)的直线l 交椭圆于A,B 两点,O 为坐标原点,点P 满足2OB OA OP +=,当l 绕点M 旋转时求动点P 的轨迹方程.
6.已知抛物线y 2=4px(p>0),O 为坐标原点,A,B 为抛物线上两动点,且OA ⊥OB,如果OM ⊥AB 于M 点,求M 点的轨迹方程.
1.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P 满足|PA|=2|PB|,则点P 的轨迹所包围的图形的面积为( )
A. π
B. 4π
C. 8π
D. 9π
2.已知点P(x,y)在以原点为圆心的单位圆上运动,则Q(x+y,xy)轨迹是( ) A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
3.倾斜角为4
π
的直线交椭圆x 2+4y 2=4于AB 两点,则线段AB 的中点的轨迹方程为 .
4.高5m 和3m 的两根旗杆竖在水平地面上,且相距10m,如果两旗杆底部的坐标分别为A(-5,0),B(5,0),则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程为 .
5.已知∆ABC 中,∠A, ∠B, ∠C 所对的边分别为a,b,c,且a>c>b 成等差数列,|AB|=2,求顶点C 的轨迹方程.
6.设函数f(x)=-x 3+3x+2分别在x 1,x 2处取得极小值,极大值,xoy 平面上点A,B 的坐标分别为(x 1,f(x 1)),(x 2,f(x 2)),该平面上的动点P 满足4=⋅PB PA ,点Q 是点P 关于直线y=2(x-4)对称点.
求:(1)点A,B 的坐标;(2)动点Q 的轨迹方程.
一．直接法：
例1、双曲线的两焦点分别是1F 、2F ，其中1F 是抛物线1)1(4
1
2++-
=x y 的焦点，A （-3，2）、B （1，2）都在该双曲线上．
（1）求点1F 的坐标； （2）求点2F 的轨迹方程，并指出其轨迹表示的曲线．
二．定义法：
例2、已知ΔABC 中，∠A,∠B,∠C 所对应的边为a,b,c,且a>c>b,a,c,b 成等差数列，|AB|=2,求顶点C 的轨迹方程
◎◎一动圆与圆2
2650x
y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，求动圆圆心
M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。

三、相关点法：
例3、已知抛物线y 2=x+1，定点A(3，1)，B 为抛物线上任意一点，点P 为线段AB 中点，当B 点在
抛物线上变动时，求点P 的轨迹方程．
◎◎双曲线2
219
x y -=有动点P ，12,F F 是曲线的两个焦点，求12PF F ∆的重心M 的轨迹方程。

四、参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量
（参数），使x,y 之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。

用什么变量
为参数，要看动点随什么量的变化而变化，常见的参数有：斜率、截距、定比、角、点的坐标等
例4、设点A 和B 为抛物线 y 2=4px (p ＞0)上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB ，求点M
的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。

解法一 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x ,y ) (x ≠0) ，直线AB 的方程为x =my +a
由OM ⊥AB ，得m =－
y x
，由y 2=4px 及x =my +a ，消去x ,得y 2－4p my －4pa =0
所以y 1y 2=－4pa , x 1x 2=
2
2122
()(4)
y y a p =。

所以，由OA ⊥OB ，得x 1x 2 =－y 1y 2， 所以
244a pa a p =⇒=
故x =my +4p ,用m =－
y x
代入，得x 2+y 2－4px =0(x ≠0)
解法二 设OA 的方程为
y kx =，代入y 2=4px 得222(
,)p p A k k 。

则OB 的方程为1
y x k
=-，代
入y 2=4px 得2
(2,2)B pk
pk -
∴AB 的方程为
2
(2)1k
y x p k =
--，过定点(2,0)N p ，
由OM ⊥AB ，得M 在以ON 为直径的圆上（O 点除外）
故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点
解法三 设M (x ,y ) (x ≠0)，OA 的方程为
y kx =， 代入y 2=4px 得222(
,)p p A k k
则OB 的方程为
1
y x k
=-
，代入y 2=4px 得2(2,2)B pk pk - 由OM ⊥AB ，得 ： M 既在以OA 为直径的圆： 2
22220p p x y x y k k
+-
-=……①上， 又在以OB 为直径的圆 2
22220x
y pk x pky +-+=……②上（O 点除外）
， ①2
k ⨯+②得 x 2+y 2－4px =0(x ≠0)
◎◎过点A （－1，0），斜率为k 的直线l 与抛物线C ：y 2=4x 交于P ，Q 两点.若曲线C 的焦点F 与P ，R ，
Q 三点按顺时针顺序构成平行四边形PFQR ，求点R 的轨迹方程。

注意到点R 的运动是由直线l 的运动所引起的，因此可以探求点R 的横、纵坐标与直线l 的斜率k 的关系．然而，点R 与直线l
并无直接联系．与l 有直接联系的是点P 、Q ，通过平行四边形将P 、Q 、R 这三点联系起来就成为解题的关键．
由已知:(1)l y k x =+，代入抛物线C ：y 2=4x 的方程，消x 得：
2
04
k y y k -+= ∵ C l P 直线交抛物线于两点、Q ， ∴ 20
410k k ⎧≠⎪⎨⎪∆=->⎩
解得1001k k -<<<<或，设1122(,),(,),(,)P x y Q x y R x y ，M 是PQ 的中点，则由韦达
定理可知：
122,2M
y y y k +== 将其代入直线l 的方程，得2212
M M x k y k ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∵ 四边形PFQR 是平行四边形，∴ RF 中点也是PQ 中点M .∴24234
2M F M
x x x k y y k ⎧
=-=-⎪⎪⎨
⎪==⎪⎩
又(1,0)(0,1)k ∈-⋃ ∴ (1,)M
x ∈+∞．∴ 点R 的轨迹方程为.1),3(42>+=x x y
五、交轨法：
例5 、抛物线
)0(42>=p px y 的顶点作互相垂直的两弦OA 、OB ，求抛物线的顶点O 在直线AB
上的射影M 的轨迹。

六、向量法：
例6 、设,x y R ∈,,
i j 为直角坐标平面内,x y 轴正方向上的单位向量,若向量(2)a xi y j =++ ,
(2)b xi y j =+- ,且||||8a b +=
.
（1）求点(,)M x y 的轨迹C 的方程;
（2）过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于,A B 两点,设OP OA OB =+
,是否存在这样的直线l ,使得四
边形OAPB 是矩形?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,试说明理由。

◎◎设F （1，0），M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且PF PM MP MN ⊥,2=。

（I ）当点P 在y 轴上运动时，求N 点的轨迹C 的方程；
（II ）设A x y B x y D x y ()()()112233，，，，，是曲线C 成等差
数列，当AD 的垂直平分线与x 轴交于点E （3，0）时，求B 点的坐标。

已知A 、B 为两定点，动点M 到A 与到B 的距离比为常数λ,求点M 的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线.
案例探究
［例1］如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.
命题意图：本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程，属★★★★★级题目.
知识依托：利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段AB 中点的轨迹方程.
错解分析：欲求Q 的轨迹方程，应先求R 的轨迹方程，若学生思考不深刻，发现不了问题的实质，很难解决此题.
技巧与方法：对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程.
解：设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |.
又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2)
又|AR |=|PR |=22)4(y x +-
所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0
因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2
,241+=
+y y x , 代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得
2
4
4)2()24(
22+⋅
-++x y x －10=0 整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程.
［例2］设点A 和B 为抛物线 y 2=4px (p ＞0)上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB ，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.(2000年北京、安徽春招)
命题意图：本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程，属★★★★★级题目. 知识依托：直线与抛物线的位置关系.
错解分析：当设A 、B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)时，注意对“x 1=x 2”的讨论. 技巧与方法：将动点的坐标x 、y 用其他相关的量表示出来，然后再消掉这些量，从而就建立了关于x 、y 的关系.
解法一：设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x ,y )依题意，有
⎪
⎪⎪
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧--=---=--⋅
-=⋅
==11
21
21212
12
2
1122
212
11144x x y y x x y y x x y y x y x y x y px y px y ①－②得(y 1－y 2)(y 1+y 2)=4p (x 1－x 2) 若x 1≠x 2,则有2
121214y y p
x x y y +=--
⑥
①³②,得y 12²y 22=16p 2x 1x 2 ③代入上式有y 1y 2=－16p 2
⑦
① ② ③ ④
⑥代入④，得y
x
y y p -=+214
⑧
⑥代入⑤，得
p
y x y y x x y y y y p
442
1
11121-
-=--=+ 所以
2
1
1214)(44y px y y p y y p
--=+ 即4px －y 12=y (y 1+y 2)－y 12－y 1y 2
⑦、⑧代入上式，得x 2+y 2－4px =0(x ≠0) 当x 1=x 2时，AB ⊥x 轴，易得M (4p ,0)仍满足方程.
故点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点.
解法二：设M (x ,y )，直线AB 的方程为y =kx +b 由OM ⊥AB ，得k =－
y
x
由y 2=4px 及y =kx +b ，消去y ,得k 2x 2+(2kb －4p )x +b 2=0
所以x 1x 2=22
k
b ,消x ,得ky 2－4py +4pb =0
所以y 1y 2=
k
pb
4，由OA ⊥OB ，得y 1y 2=－x 1x 2 所以k pk
4=－22k
b ,b =－4kp
故y =kx +b =k (x －4p ),用k =－
y
x
代入，得x 2+y 2－4px =0(x ≠0) 故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点.
［例3］某检验员通常用一个直径为2 cm 和一个直径为1 cm 的标准圆柱，检测一个直径为3 cm 的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？
命题意图：本题考查“定义法”求曲线的轨迹方程，及将实际问题转化为数学问题的能力，属★★★★★级题目.
知识依托：圆锥曲线的定义，求两曲线的交点.
错解分析：正确理解题意及正确地将此实际问题转化为数学问题是顺利解答此题的关键.
技巧与方法：研究所给圆柱的截面，建立恰当的坐标系，找到动圆圆心的轨迹方程.
解：设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O 、A 、B
，问题转化为求
两等圆P 、Q ,使它们与⊙O 相内切，与⊙A 、⊙B 相外切.
建立如图所示的坐标系，并设⊙P 的半径为r ,则 |P A |+|PO |=1+r +1.5－r =2.5
∴点P 在以A 、O 为焦点，长轴长2.5的椭圆上，其方程为
3
225)41(162
2y x ++=1 ① 同理P 也在以O 、B 为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为 (x －
21)2+3
4y 2
=1 ② 由①、②可解得)14
12
,149(),1412,149(
-Q P ，∴r =73)1412()149(2322=+-
故所求圆柱的直径为7
6
cm. ●锦囊妙计
求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法.
(1)直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程.
(2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求.
(3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程.
(4)参数法 若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程.
求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.
●歼灭难点训练 一、选择题
1.(★★★★)已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )
A.圆
B.
椭圆
C.双曲线的一支
D.抛物线
2.(★★★★)设A 1、A 2是椭圆4
92
2y x +
=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( )
A.14
92
2=+y x
B.14
92
2=+x y
C.14
922=-y x
D.14
92
2=-x y
二、填空题
3.(★★★★)△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B (－2a ,0),C (2
a
,0)，且满足条件sin C －sin B =
2
1
sin A ,则动点A 的轨迹方程为_________. 4.(★★★★)高为5 m 和3 m 的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m ，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A (－5，0)、B (5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________.
三、解答题
5.(★★★★)已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB |=|BC |=6，⊙O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.
6.(★★★★)双曲线22
22b
y a x -=1的实轴为A 1A 2，点P 是双曲线上的一个动点，引A 1Q
⊥A 1P ，A 2Q ⊥A 2P ，A 1Q 与A 2Q 的交点为Q ，求Q 点的轨迹方程.
7.(★★★★★)已知双曲线22
22n
y m x -=1(m ＞0,n ＞0)的顶点为A 1、A 2，与y 轴平行的直
线l 交双曲线于点P 、Q .
(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹方程；
(2)当m ≠n 时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.
8.(★★★★★)已知椭圆22
22b
y a x +=1(a ＞b ＞0),点P 为其上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，
∠F 1PF 2的外角平分线为l ，点F 2关于l 的对称点为Q ，F 2Q 交l 于点R .
(1)当P 点在椭圆上运动时，求R 形成的轨迹方程；
(2)设点R 形成的曲线为C ，直线l ：y =k (x +2a )与曲线C 相交于A 、B 两点，当△AOB 的面积取得最大值时，求k 的值.
参考答案
难点磁场
解：建立坐标系如图所示， 设|AB |=2a ,则A (－a ,0）,B (a ,0). 设M (x ,y ）是轨迹上任意一点.
则由题设，得|||
|MB MA =λ,坐标代入，得
2
222)()(y a x y a x +-++=λ,化简得
(1－λ2)x 2+(1－λ2)y 2+2a (1+λ2)x +(1－λ2)a 2=0
(1)当λ=1时，即|M A|=|M B|时，点M 的轨迹方程是x =0，点M 的轨迹是直线(y 轴).
(2)当λ≠1时，点M 的轨迹方程是x 2
+y 2
+2
21)1(2λ
-λ+a x +a 2
=0.点M 的轨迹是以 (－221)1(λ-λ+a ，0）为圆心，|
1|22
λ-λa 为半径的圆. 歼灭难点训练
一、1.解析：∵|PF 1|+|PF 2|=2a ,|PQ |=|PF 2|, ∴|PF 1|+|PF 2|=|PF 1|+|PQ |=2a ,
即|F 1Q |=2a ,∴动点Q 到定点F 1的距离等于定长2a ,故动点Q 的轨迹是圆. 答案：A
2.解析：设交点P (x ,y ）,A 1(－3,0),A 2(3,0),P 1(x 0,y 0),P 2(x 0,－y 0) ∵A 1、P 1、P 共线，∴300+=--x y
x x y y ∵A 2、P 2、P 共线，∴
3
00-=-+x y
x x y y 解得x 0=14
9,149,3,92
22
02
00=-=-=y x y x x y y x 即代入得
答案：C
二、3.解析：由sin C －sin B =
21sin A ,得c －b =2
1
a , ∴应为双曲线一支，且实轴长为2a
,故方程为)4(1316162222a x a y a x >=-
. 答案：)4(1316162
222a
x a y a x >=-
4.解析：设P (x ,y ），依题意有2
2
2
2
)5(3)5(5y
x y
x +-=
++,化简得P 点轨迹方程为
4x 2+4y 2－85x +100=0.
答案：4x 2+4y 2－85x +100=0
三、5.解：设过B 、C 异于l 的两切线分别切⊙O ′于D 、E 两点，两切线交于点P .由切
线
的
性
质
知
：
|BA |=|BD |
，
|PD |=|PE |
，
|CA |=|CE |
，
故
|PB |+|PC |=|BD |+|PD |+|PC |=|BA |+|PE |+|PC |
=|BA |+|CE |=|AB |+|CA |=6+12=18＞6=|BC |，故由椭圆定义知，点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆，以l 所在的直线为x 轴，以BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P 的轨
迹方程为72
812
2y x +
=1(y ≠0) 6.解：设P (x 0,y 0）(x ≠±a ),Q (x ,y ). ∵A 1(－a ,0),A 2(a ,0).
由条件⎪⎩⎪⎨⎧-=±≠-=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=-⋅--=+⋅+y a x y a x x x a x y a x y a x y a x y 2
2000000
0)( 11得 而点P (x 0,y 0)在双曲线上，∴b 2x 02－a 2y 02=a 2b 2.
即b 2
(－x 2
)－a 2
(y
a x 22-)2=a 2
b 2
化简得Q 点的轨迹方程为：a 2x 2－b 2y 2=a 4(x ≠±a ).
7.解：(1)设P 点的坐标为(x 1,y 1)，则Q 点坐标为(x 1,－y 1),又有A 1(－m ,0),A 2(m ,0), 则A 1P 的方程为：y =)(11
m x m
x y ++
①
A 2Q 的方程为：y =－)(11
m x m
x y --
②
①³②得：y 2
=－)(222
2
12
1
m x m
x y --
③
又因点P 在双曲线上，故).(,122
1222122
122
1m x m n y n y m x -==-即
代入③并整理得22
22n
y m x +=1.此即为M 的轨迹方程.
(2)当m ≠n 时，M 的轨迹方程是椭圆.
(ⅰ)当m ＞n 时，焦点坐标为(±2
2
n m -,0)，准线方程为x =±
2
2
2n
m m -,离心率e =
m
n m 2
2-； (ⅱ)当m ＜n 时，焦点坐标为(0,±2
2
n m -),准线方程为y =±
2
2
2m
n n -,离心率e =
n
m n 2
2-. 8.解：(1)∵点F 2关于l 的对称点为Q ，连接PQ ， ∴∠F 2PR =∠QPR ，|F 2R |=|QR |，|PQ |=|PF 2|
又因为l 为∠F 1PF 2外角的平分线，故点F 1、P 、Q 在同一直线上，设存在R (x 0,y 0）,Q (x 1,y 1),F 1(－c ,0),F 2(c ,0).
|F 1Q |=|F 2P |+|PQ |=|F 1P |+|PF 2|=2a ,则(x 1+c )2+y 12=(2a )2.
又⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=+=221
010y y c x x 得x 1=2x 0－c ,y 1=2y 0.
∴(2x 0)2+(2y 0)2=(2a )2，∴x 02+y 02=a 2. 故R 的轨迹方程为：x 2+y 2=a 2(y ≠0)
(2)如右图，∵S △AOB =2
1|OA |²|OB |²sin AOB =22
a sin AOB
当∠AOB =90°时，S △AOB 最大值为2
1a 2
. 此时弦心距|OC |=
2
1|2|k
ak +.
在Rt △AOC 中，∠AOC =45°，
.3
3
,2245cos 1|2|||||2±=∴=︒=+=∴
k k a ak OA OC。