数学-江苏省淮安市清江中学2017-2018学年高一下学期期中考试试题

江苏省淮安市清江中学2017-2018学年高一下学期期中考试
数学试题
一、填空题：共70分，每小题5分. 1.已知tan α=4,tan β=3,那么tan(α+β)= . 2.在等差数列{}n a 中,若255,2a a ==,则7a = .
3.在△ABC 中，已知a =3，b =4，sin B =，则sin A = ．
4.已知1
tan 2
α=
，则sin 2α= ． 5.不等式的解集为 ．（用区间表示） 6.求值:cos36°cos72°= .
7. 化简
:= .
8.直线l :x tan 5π
+y +1=0的倾斜角α= .
9.在△ABC 中,已知(a +b +c ) (b +c -a )=3bc ,那么A = .
10.过点()13 ，且在两坐标轴上截距相等的直线的方程为 ． 11.若方程cos2x
-2x ²cos x =k 有解,则k ∈ .
12．如图，有一斜坡AB ，它的坡角为45°，其中BC =a 米的，现保持坡高AC 不变，将坡角改为30°，则斜坡AD 的长为 米．
13. 如图,已知∠A 为定角α,点P ,Q 分别在∠A 的两边上,PQ 为定长a ,则△APB 的面积最大值为 .
14. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有11a =，12n n S a +=-3，则n S = ．
二、解答题：共90分.
15．（本小题14分）求下列各式的值： （1）5ππ5ππsin
sin sin sin 12121212⎛
⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
；
（2）(tan10sin40
.
16．（本小题14分）求分别满足下列条件的直线l 的方程： (1)斜率是
3
4
，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6； (2)经过点(4，－3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等．
17．（本小题14分）已知函数2
()=-(3+1)+2(+1),.f x ax a x a a ∈R
（1）若0)(>x f 的解集是{}21|<<-x x ，求a 的值． （2）当0>a 时，解不等式0)(>x f ．
18．（本小题16分）已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，a ＝2b cos B ，b ≠c .
(1)证明：A ＝2B ；
(2)若a 2＋c 2＝b 2＋2ac sin C ，求A .
19.（本小题16分）（本题15分）如图，ABCD 是块边长为100m 的正方形地皮，其中AST 是一半径为90m 的扇形小山，其余部分都是平地，一开发商想在平地上建一个矩形停车场，
使矩形的一个顶点P 在弧ST 上，相邻两边CQ 、CR 落在正方形的边BC 、CD 上，求矩形停车场PQCR 面积的最大值和最小值
.
20．（本小题16分）设{}n a 是公差不为零的等差数列，满足2222
623455,,a a a a a =+=+数列
{}n b 的通项公式为311n b n =-
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）将数列{}n a ,{}4n b +中的公共项按从小到大的顺序构成数列{}n C ，请直接写出数列
{}n C 的通项公式；
（3）记n
n n
b d a =
，是否存在正整数,m n ()5m n ≠≠，使得5,,m n d d d 成等差数列？若存在，求出,m n 的值；若不存在，请说明理由．
【参考答案】
一、填空题
1. -7
11 2. 0
3. 1
2 4.
54 5. ），（14- 6. 41 7. 3
8. 54π 9. 3π
10. 0431=-+=y x x y 或
11. [-2,2] 12. a 2 13. 24(1-)a sin cos α
α 14.32341
-n -⎪⎭⎫
⎝⎛⨯
二、解答题
15．解：（1）
原式22πππππππcos
sin cos sin cos sin cos 1212121212126⎛
⎫⎛⎫=-+=-==
⎪⎪⎝
⎭⎝⎭
原式sin102sin50cos50sin100cos10sin401cos10cos10cos10cos10---=====-
.
16．解：(1)设直线l 的方程为y ＝x ＋b .
令y ＝0，得x ＝－b ，∴|b ²(－b )|＝6，b ＝±3. ∴直线l 的方程为y ＝x ±3.
(2)设l 在x 轴、y 轴上的截距分别为a 、b . 当a ≠0，b ≠0时，l 的方程为＋＝1； ∵直线过P (4，－3)，∴－＝1.
又∵|a |＝|b |，∴，解得，或.
当a ＝b ＝0时，直线过原点且过(4，－3)， ∴l 的方程为y ＝－x .
综上所述，直线l 的方程为x ＋y ＝1或＋＝1或y ＝－x .
17．解:（）若的解集是
， 则
，是方程
的两根，
由韦达定理得
，
解得．
（），
．
令，解得或
．
①当时，即当时，解得． ②当即时，解得
或．
③当
即
时，解得
或
．
综上所述，当时，不等式的解集为
或
；
当时，不等式的解集是； 当
时，不等式的解集是
或
．
18．解：(1)∵a ＝2b cos B ，且
sin sin a b A B
=，∴sin A ＝2sin B cos B ＝sin2B ， ∵0<A <π，0<B <π，∴sin A ＝sin2B >0，∴0<2B <π，∴A ＝2B 或A ＋2B ＝π. 若A ＋2B ＝π，则B ＝C ，b ＝c ，这与“b ≠c ”矛盾，∴A ＋2B ≠π，∴A ＝2B .
(2)∵a 2
＋c 2
＝b 2
＋2ac sin C ，∴222
2a c b ac
+-＝sin C ，由余弦定理得cos B ＝sin C ，
∵0<B <π，0<C <π，∴C ＝π2－B 或C ＝π
2
＋B . ①当C ＝π2－B 时，由A ＝2B 且A ＋B ＋C ＝π，得A ＝π2，B ＝C ＝π
4
，这与“b ≠c ”矛看，∴A ≠
π2； ②当C ＝π2＋B 时，由A ＝2B 且A ＋B ＋C ＝A ＋2B ＋π2＝2A ＋π2＝π，得A ＝π4，B ＝π
8，
C ＝5π8，∴A ＝π4
.
19．解：设),900(︒≤≤︒=∠θθPAB
延长RT 交AB 于M ，θθsin 90,cos 90==MP AM ，
.cos 90100θ-==∴MB PQ θsin 90100-=-=MP MR PR ，
)sin 90100)(cos 90100(θθ--=⋅=∴PR PQ S PQ RC 矩形
θ
θθθcos sin 8100)cos (sin 900010000++-=),900(︒≤≤︒θ
令21
cos sin ),21(cos sin 2-=≤≤+=t t t θθθθ，
950)9
10
(405021810090001000022+-=-⋅+-=t t t S PQRC
矩形，
故当9
10=
t 时，S 的最小值为2950m ,当2=t 时S 的2
. 20．解:（1）设公差为d ，则2222
2543
a a a a -=-，由性质得()()
43433d a a d a a -+=+，因为0d ≠，所以430a a +=，即1250a d +=，又由65a =得155a d +=，解得15a =-，
2d =所以{}n a 的通项公式为27n a n =-.
(2) 61n C n =+.
(3)假设存在正整数m 、n ，使得d 5，d m ，d n 成等差数列，则d 5＋d n ＝2d m ．311
27
n n d n -=-
所以
43＋31127n n --＝311227m m -⨯-，化简得：2m ＝13－92
n -． 当n －2＝－1，即n ＝1时，m ＝11，符合题意； 当n －2＝1，即n ＝3时，m ＝2，符合题意 当n －2＝3，即n ＝5时，m ＝5(舍去) ； 当n －2＝9，即n ＝11时，m ＝6，符合题意．
所以存在正整数m ＝11，n ＝1；m ＝2，n ＝3；m ＝6，n ＝11 使得b 2，b m ，b n 成等差数列．。