散粒体临界状态下的变形规律_计三有

第22卷　第6期1998年12月
武汉交通科技大学学报
Journal of Wuhan Tra nspo rtation Univ ersity
V o l.22　No.6
Decem be r1998散粒体临界状态下的变形规律*
计三有1)　孙国正1)　沈成武2)　蒋琼珠1)
(武汉交通科技大学港口机械工程系1)　土木建筑工程系2)　武汉　430063)
摘要:分析了散粒体临界状态下的变形特征,应用能量平衡原理导出了临界状态下的变形规律.指出散粒体临界状态下的主应变率与主应力共轴,而与临界应力面形状无关.给出了临界状态下的能量平衡方程及塑性功与临界应力面的关系.当散粒体的塑性功与静水压力成正比,则临界应力面在主应力空间是以原点为锥顶的锥面;反之亦然.
关键词:散粒体;临界状态;变形规律
中图法分类号:O343.7
0　引 言
在近几十年来,描述散粒体力学特性的本构模型的研究有了很大的进展.在散体材料宏观本构关系的研究中引入各种各样的概念,如双屈服面、边界面、各向异性的硬化规则、内蕴时间等等[1～7].近十多年来,还出现了以本构方程的张量函数表示理论为框架的亚弹性、亚塑性模型来描述散粒体的力学特性[8～15].另外还有一些散粒体的细观力学研究,有助于我们对散粒体变形机理的深入理解[16,17].
尽管这些模型的形式差异较大,但其主要目的都是为了反映散粒体的主要力学特性,如非线性、非弹性、剪胀性、硬化与软化特性等.对有关文献的分析表明:散粒体的临界状态是散粒体的一个重要特征,常被引入到本构模型的研究中[5～7,12,15,18～20].临界状态最先是由Casag rade (1936年)提出,然后由Roscoe等在1958年所发展,并联系到本构模型中.所谓临界状态,即在常应力状态下散粒体能够发生稳定的变形或流动且体积不变;其孔隙比e与应力状态之间存在着唯一的关系[6,17,20].前者说明了临界状态下的变形特征;后者说明了临界状态所需具备的条件.对散粒体临界状态下的变形或流动规律的研究与探讨,有重要的理论意义和实际意义,它是散粒体临界状态理论的扩展,也是散粒体本构模型研究的内容之一,同时,临界状态是散粒体的一种极限状态,它可作为散粒体的一种变形关系,补充到极限平衡的分析中.
2　临界状态的变形特征及定义
散粒体力学特性的试验研究有大量的文献报道,对这些文献的研究分析表明:散粒体的应力应变曲线可大致归结为两种典型的形式[6,9,13,19].如图1所示,曲线①,②分别代表起始状态疏松、紧密的两种情况.
对初始状态疏松的散粒体,见应力应变曲线①.在剪切过程中,随着剪应力的逐渐增加,散粒体的体积逐渐减小,到达C点后,随着轴向变形的继续增加,剪应力和体积应变逐渐稳定并接近一条水平直线,即体积应变率为零,应力率也为零.
对初始状态紧密的散粒体,如应力应变曲线②所示,在剪切过程中,随着轴向变形X1逐渐增加,剪应力逐渐增加,到达P点后,体积变形保持继续膨胀的趋势,剪应力出现一个峰值并逐渐减
①收稿日期:19981016
计三有:男,35岁,副教授
*交通部重点科研项目,交通部博士生论文项目(95-07-01-03)
少,且逼近于曲线①的C 点.到达C 点后,剪应力和体积变化逐渐稳定并接近于一条水平线
.
图1　相同围压力下两种典型
的应力应变曲线
①-初始状态疏散;②-初始状态紧密
试验曲线中的P 点,常被称为峰值点,对应
的抗剪能力称为峰值强度,它与初始的密实程度和加载路径有关.在同一加载方式下,初始的密度不同,其峰值剪应力也不同.曲线中的C 点,称为临界状态点,对应的抗剪能力称为残余强度.试验发现,散粒体的临界状态与加载路径无关、与初始密度无关.当散粒体达到临界状态时,如果没有周围的约束,剪应变可以持续增加而散粒体的体积不变.按这一试验结果,剪应力与静水压力,孔隙比与应力状态之间存在唯一的关系.由此,可将三轴试验的结果理想化并推广到一般情况,并建立相应概念与定义.
参照散粒体的运动到一个固定的直角坐标系下,且散粒体在参照坐标系下的坐标为x .假定散粒介质的运动能够用x =x (x ,t )来描述.在本文中,采用张量的不变性记法,除非额外的说明,粗斜体的小写用来表示矢量,粗斜体的大写来表示张量,上面加点表示对时间求导.遵守散粒体的符号习惯,压应力与应变取为正.
在本文中所使用的状态量和运动量如下:柯西应力张量T ,伸长张量D ,旋转张量W ,Jaumann
应力率T ,空隙比e (空隙体积/固体体积).伸长张量和旋转张量与速度梯度的关系如下:
D =-12[( x )+( x )T ](1)W =-12
[( x )-( x )T ](2)Jauma nn 应力率定义如下:
T
=T +TW -WT (3)
在散粒体的基本颗粒是不可压的假定下,孔
隙比的变化率e 可表示为[12,15]
:
e =-(1+e )tr D
(4)
式中:tr 为二阶张量的迹.
在此,我们可定义散粒体的一些基本概念.众所周知,散粒体是随着剪切变形的增加而破坏,也就是说剪切强度耗尽.必然地破坏状态(或极限状态)应该被定义.
定义1[15]:一个材料元破坏,如果对一个给定的应力状态T ∈
L , D 使得:
T =0,且D ≠0(5)
如果应力状态T ∈L ={T |T
=0∩D ≠0}的全体集合在应力空间形成一个面,则称此面为破坏面,
这时对任何一个T ∈L ,都会伴随着一个伸长张
量D ∈K
={D |T =0}.因此,破坏可通过一对参数(T ,D )来特征化,在破坏面上存在一个流动方向D 使得应力率T
=0.从图1可以看出:峰值状态和临界状态都是
一种破坏状态.相对于峰值状态,临界状态还同时具有体积保持不变或体积应变率为零的特征.因此可以定义临界状态如下:
定义2[15]:一个材料元处于临界状态,如果对于一个给定的应力状态T ∈M , D 使得:
T
=0,　且tr D =0,D *≠0(6)
式中:D *
为D 的偏张量同样,如果满足T ∈
M
={T |T =0∩tr D =0∩D *≠0}的全体集合在应力空间形成一个面,则称此面为临界应力面.从定义可以看出:临界状态与峰值状态的区别在于散粒体破坏时流动变形的体积应变率tr D 是否为
零,当T
=0而tr D 不为零时,散粒体处于峰值状态;当T
=0且tr D 同时为零时,散粒体处于临界状态.临界孔隙比e cr 与应力状态之间的关系可写
成:
e cr =
f (tr T )
(7)同样,临界应力面可采用下面表达形式:
‖T *
‖=g (tr T ,θ,h cr )
(8)
式中θ为Lo de 角;‖T *‖=tr (T *2),T *为张
量T 的偏张量;φcr 为材料的临界内摩擦角;g (·)为标量函数.
2　临界状态下的变形规律
从试验现象和定义我们知道了散粒体临界状态下的变形特征.当散粒体达到临界状态时,即式(7)、式(8)同时满足,这时存在一个(变形)流动方向D ,使散粒体在剪应力的作用下,剪切应变可以
·
584·武汉交通科技大学学报
1998年　第22卷
持续地增加,而体积保持不变,即散粒体处于完全塑性流动状态.式(7)、(8)给出了散粒体临界状态下状态量T和e所满足的条件.式(6)给出了临界状态运动量的一个特征,即体积应变率为零,而剪切应变或应变偏量是不定的.尽管如此,但其应变率或流动方向是确定的,不妨假定为:
D=F(T,e)(9)将D分解为偏张量D*和球张量之和:
D=D*+1
3
(tr D)1(10)
由式(4)、式(6)可知:临界状态下的体积应变率tr D与孔隙比变化率e为零,即e=const,代入式(10)并改写式(9)为:
tr D=0(11)
D*=F(T)(12)本文所研究和探讨的内容就是确定散粒体临界状态下的应变率或流动方向D与应力状态T 之间的关系,即式(12)的具体表达式.在分析之前,根据试验结果给出两个基本假定.
假定1　在临界状态时,散粒体的变形(流动)是完全的塑性变形(流动)[1],即散粒体的弹性应变率为零,弹性能增量d E e为零.
d E e=0(13)
假定2　在临界状态时,单位体积散粒体的塑性能增量dE P与偏应变率的幅值‖D*‖成正比[1,2,6,7],即:
d E p=a‖D*‖d t(14)
式中‖D*‖=tr(D*2
)
假定1是说明在临界状态下,当单元体的客观应力率T=0时,散粒体的变形为完全塑性变形,而弹性应变率D e为零.不失一般性,其弹性应变率D e可用亚弹性方程T=H(T)D e来描述,T 是关于D e是线性的,由于T=0,在刚度张量H (T)≠0的条件下并考虑一般性给出D e=0的假定是合理的.
假定2是关于塑性能(外力所作的功不能储存而消耗的那一部分能量)所作的假定,如果为‖D*‖d t理解为散粒体单元的等效偏应变增量,则塑性功与应变增量成正比的假定是符合物理原理的.同时该假设与文献[1,2,6,7]中塑性能假定是一致的,且更具有一般性.
对临界状态下的单元体积散粒体,在应力作用下,由于应变D d t的增加而做的功d W,可表示如下:
d W=T i j D ij d t(15)
式中T ij,D ij是张量T,D的分量表示形式,由于T、D都是二阶对称张量,即T ij=T ji,D ij=D ji,因此:
d W=T ij D ji d t=tr(TD)d t(16)
把应力张量T分解为偏张量T*和球张量之和
T=T*+
1
3
(tr T)1(17)式(10)和式(17)代入式(16)得:
d W=tr(T*D*)d t+
1
3(tr T)(tr D)d t(18)能量原理:对于单位体积的散粒体,在应力T 的作用下,如产生应变增量D d t,则应力所做的功应等于储存在散粒体的弹性能和消耗的塑性能之和,即:
d W(功)=d E e(弹性能)+d E p(塑性能)(19)
式(13)、(14)、(18)代入式(19)得:
tr(T*D*)+
1
3
(tr T)(tr D)=a‖D*‖(20)式(11)代入式(20)得:
tr(T*D*)=a‖D*‖(21)式(21)表示散粒体临界状态下的塑性流动方向所需满足的条件.我们把偏应力张量T*作为六维应力空间中的一个向量t*,将应变率空间与应力空间重叠,可将偏应变率D*在应力空间看作一个向量d*,tr(T*D*)则可表示为相应向量t*与d*的点积,即:
tr(T*D*)=t*·d*(22)由点积的定义,可以写成如下关系式:
t*·d*=|t*||d*|cosψ(23)式中j为向量t*与d*之间的夹角,|t*|与|d*|为向量t*与d*的长度,并与张量T*、D*的幅值等价.即
|t*|=‖T*‖(24)
|d*|=‖D*‖(25)式(22)、(23)、(24)、(25)代入式(21)中得:
‖T*‖‖D*‖cos j=a‖D*‖(26)由于‖D*‖≠0,故由式(26)可以得出:
‖T*‖cos j=a(27)由于塑性功d E p>0,由式(14)及co s j≤1可知:
0<a≤‖T*‖(28)若式(27)成立,则j必须小于
c
2
,即:
0<cos j≤1(29)对式(28),在0<a<‖T*‖条件下,分两种
·
585
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　第6期计三有等:散粒体临界状态下的变形规律
情况进行讨论分析:情况1　在0<a <‖T *‖条件下,若式(27)成立,则:
0<co s j =a
‖T *‖
<1
(30)
即散粒体在临界状态下的流动方向与偏应力的夹角成锐角,即d *
与t *
不同向;主应变率与主应力不共轴.
对于常规的三轴试验,主应变率与主应力共轴,偏应变率d *与偏应力t *同向,在临界状态下,其偏应变率(或流动方向)向量d *与偏应力向量t *
的夹角j 满足co s j = 1.即式(30)所给定的流动方向与三轴试验的结果矛盾.
情况2　在0<a <‖T *‖条件,若式(27)不成立,则:
0<co s j ≤1,但co s j ≠
a
‖T *
‖
(31)把式(22)、(23)、(24)、(25)代入式(20)得:tr D =3(a -‖T *
‖co s ψ)‖D *
‖/tr T ≠0
(32)
与临界状态下tr D =0的条件矛盾.综合情况1、2可知,在临界状态下,0<a <‖T *‖的取值是不可行的.由式(28)得式(27)成立的唯一解是:
a =‖T *
‖
(33)cos j
=1(34)即d *与t *
同向,可表示为:
d *=λt *
(λ>0)(35)
写成张量形式为:
D *=λT *
(λ
>0)(36)式(36)表示散粒体临界状态下,偏斜应变率
与应力状态之间的关系,是式(12)的具体表现形式,综合式(11)与式(36),可得出散粒体临界状态下的变形规律(流动方向):
D *
=λT *
,　且tr D =0
(37)
从上式还可得出:散粒体临界状态下的主应
变率与主应力共轴.这与许多试验观察的结果一致
[6,15]
.
值得说明的是:散粒体的主应变率与主应力
共轴是散粒体在临界状态点或破坏时的变形特征,且散粒体临界状态下的流动方向不依赖于临界应力面的形状和流动法则.
另一个值得注意的是散粒体临界状态的能量平衡方程(21).从式(21)和式(33)可知它依赖于临界应力面的具体表达式(8).许多试验表
明
[6,19,20]
,在中低压情况下,散粒体的临界应力面
在主应力空间内可近似为以原点为锥顶的一个锥面.即式(8)可写成:
‖T *
‖=M tr T
(38)
式中,M 是关于散粒材料临界内摩擦角h cr 和偏应力方向Lode 角θ的函数,是一个量纲的量.当M 为常数时,在偏平面的曲线是一个与Drucker -Prager 破坏准则一致的圆.
由式(21)、式(33)与式(38)得散粒体临界状态下的能量平衡方程:
tr (T *D *)=‖T *‖‖D *‖
(39)
tr (T *D *)=M tr T ‖D *
‖
(40)式(40)说明:如果散粒体的临界应力面在主
应力空间是以原点为锥顶的锥面,则散粒体在临界状态下的塑性功与静水压力成正比.与Ro scoe 等的试验观测和假定一致
[6,7,15]
.
反之,如果临界状态下的塑性功与静水压力
成正比,则其临界应力面在主应力空间是以原点为锥顶的锥面.
3　小 结
通过对散粒体临界状态下的变形特征及能量平衡的分析与研究,可总结出关于散粒体临界状态变形特征和规律的几点结论.
1)在临界状态下,有D *=λT *且tr D =0.该式说明散粒体临界状态下的主应变率与主应力共轴,与临界应力面的形状无关.
2)在临界状态下,如果散粒体的塑性功与静水压力成正比,则临界应力面在主应力空间是以原点为锥顶的锥面,反之亦然;且临界状态下的能量平衡方程为:tr(T *D *)=M tr T ‖D *‖.
3)上述两个方面的研究是对临界状态理论的一个扩展,对具有临界状态的散粒体本构模型的研究、剪胀耦合机理的研究、以及以临界状态作为破坏准则的极限分析等具有理论意义和实际意义.
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Ji Sanyou 1)　Sun Guozheng 1)　Shen C hengwu 2)　Jiang Qiongzhu
1)
(Deparment of Port Machiney Engineering 1),Deparment of Civil Engineering 2)W TU )
Abstract
This paper analy ses the deforma tio n cha racteristics of g ranular materials at critical sta te,a nd the de-forma tion reg ula tion is deriv ed on the principle of energ y equilibrium .It points out tha t the principal strain rate is coax ial with the principal stress a t critical state and is independent of the critical stress surface shape.The energ y equilibrium equa tion and the relation betw een plastic w ork and the critical stress surface a re given.The relation sho w s that the critical stress surface is a co ne with its apex at the o rigin in the principal stress space when plastic w ork is proportional to the hydrostatic stress ,a nd vice versa.
key words :g ra nular ma terial;critical state;deform atio n reg ula tion
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587·　第6期
计三有等:散粒体临界状态下的变形规律。