高考数学一轮总复习课件第二章 函数、导数及其应用 2.9精选ppt版本

【当解 x=析25】时(1,有)依3题0×意2可5-设50变0-动k成本=0y1⇒=kk=2 55 (0k,>0),
1, 8


b

5, 2
解得
所以v＝ 1 x＋ 5， 82
v＝2，0＜x 4,
故函数

1 8
x

5,4＜x 2

20.
2x,0＜x 4,

18
x2

5 2
x,
4＜x

20，
(2)设年生长量为f(x)千克/立方米,依题意并由(1)可得
f(x)=
当4x20时，fx＝1x2＋5x＝1 x220x 82 8
(1-
)=1600.故此时羊群的年增长量为1600只.
20a b 0, 4a b 2,
【规律方法】一次函数、二次函数模型问题的常见类 型及解题策略 (1)单一考查一次函数或二次函数模型.解决此类问题 应注意三点: ①二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解 决,但一定要密切注意函数的定义域,否则极易出错;
8 000 10 000
2.若本例(2)牧场中羊群的最大蓄养量为10000只,实际 蓄养量为8000只,比例系数为k=1,则此时的年增长量为 多少?
【解析】由题意,可知y=kx(1- k . )(0<x<m),此时 m=10000,x=8000,k=1,代入计算x(1可 mx ) 得y=1×8000×
B.y=log2x D.y=2.61cosx
6.12 2.61
【解析】选B.由表格知当x=3时,y=1.59,而A中y=23=8, 不合要求,B中y=log23∈(1,2),C中y= (32-1)=4,不合 要求,D中y=2.61cos3<0,不合要求,故选B.
2.(必修1P107习题3.2A组T4改编)有一批材料可以建成
y=logax(a>1) 单调_递__增__ 越来越_慢__
y=xn(n>0) 单调递增 相对平稳
函数 y=ax(a>1)
性质
y=logax(a>1)
y=xn(n>0)
图象的 变化
随x的增大 随x的增大逐渐 随n值变化
逐渐表现为 表现为与_x_轴__平 而各有不
与_y_轴__平行 行
同
值的比较 存在一个x0,当x>x0时,有logax<xn<ax
②确定一次函数模型时,一般是借助两个点来确定,常 用待定系数法; ③解决函数应用问题时,最后要还原到实际问题.
(2)以分段函数的形式考查.解决此类问题应关注以下 三点: ①实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式 给出,而是由几个不同的关系式构成,如出租车票价与 路程之间的关系,应构建分段函数模型求解;
感悟考题 试一试
3.(2016·德州模拟,则这2年内第2年某月的产值比第1
年相应月产值的增长率为 ( )
A.a12-1 B.(1+a)12-1
C.a
D.a-1
【解析】选B.不妨设第1年8月份的产值为b,则9月份的
产值为b(1+a),10月份的产值为b(1+a)2,以此类推,到
＝1x102＋25，
8
2
fx ＝f10＝12.5.
当0<x≤4时max ,f(x)为增函数,故f(x)max=f(4)=4×2=8;
所以当0<x≤20时,f(x)的最大值为12.5. 即当养殖密度为10尾/立方米时,鱼的年生长量可以达 到最大,最大值为12.5千克/立方米.
【加固训练】1.(2016·广州模拟)某厂有许多形状为 直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现 要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用, 当截取的矩形面积最大时,矩形两边长x,y应为 ( ) A.x=15,y=12 B.x=12,y=15 C.x=14,y=10 D.x=10,y=14
3.解函数应用问题的步骤 (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初 步选择数学模型. (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化 为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型.
(3)解模:求解数学模型,得出数学结论. (4)还原:将数学问题还原为实际问题. 以上过程用框图表示如下:
②构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段合理、 不重不漏; ③分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大 (或最小)值.
提醒:1.构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域. 2.对构建的较复杂的函数模型,要适时地用换元法转化 为熟悉的函数问题求解.
【变式训练】(2016·日照模拟)“活水围网”养鱼技 术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明: “活水围网”养鱼时,某种鱼在一定的条件下,每尾鱼 的平均生长速度v(单位:千克/年)是养殖密度x(单位: 尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时,v的值为 2千克/年;当4<x≤20时,v是x的一次函数,当x达到20 尾/立方米时,因缺氧等原因,v的值为0千克/年.
x
给出以下3个论断:①0点到3点只进水不出水;②3点到4
点不进水只出水;③4点到6点不进水不出水.其中一定
正确的论断序号是
.
【解析】从0点到3点,两个进水口的进水量为9,故①正 确;由排水速度知②正确;4点到6点可以是不进水,不出 水,也可以是开一个进水口(速度快的)、一个排水口, 故③不正确. 答案:①②
24y x ， 248 20
【解析】选A.由三角形相似得 5 得x= (24-y),所以S=xy=- (y-142)2+180, 所以当y=12时,S有最大值,此5 时x=15.
4
2.(2016·潍坊模拟)一水池有2个进水口,1个出水口,两 个进水口的进水速度如图甲、乙所示,出水口的排水速 度如图丙所示,某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丁 所示.
3.(2016·淮安模拟)设某旅游景点每天的固定成本为 500元,门票每张为30元,变动成本与购票进入旅游景点 的人数的算术平方根成正比.一天购票人数为25人时, 该旅游景点收支平衡;一天购票人数超过100人时,该旅 游景点需另交保险费200元.设每天的购票人数为x人, 赢利额为y元.
(1)求y与x之间的函数关系. (2)该旅游景点希望在人数达到20人时不出现亏损,若 用提高门票价格的措施,则每张门票至少要多少元(取 整数)?
a x
【特别提醒】
“f(x)=x+ a (a>0)”型函数模型
a 形如f(x)=x+ (a>0)的函数模型称为“对勾”函
数模型:(1)该函数在(-∞,-
a
]和[ 1 2
,+∞)上单调递
增,在[- 1 ,0)和(0, 1 ]上单调递减.
2
2
(2)当x>0时,x= 1 时取最小值2 1 ,
2
2
当x<0时,x=- 1 时取最大值-2 1 .
第2年8月份是第1年8月份后的第12个月,即一个时间间
隔是1个月,这里跨过了12个月,故第2年8月份产值是
b(1+a)12.又由增长率的概念知,这2年内的第2年某月
的产值比第1年相应月产值的增长率为:
0.5x,0 x 100, 0.4x10,x 100.
=(1+a)12-1.
4.(2016·济宁模拟)某商品价格前两年每年递增20%,后 两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格比较,变 化的情况是 ( ) A.减少7.84% B.增加7.84% C.减少9.5% D.不增不减
函数解析式 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0 且a≠1) f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,b≠0, a>0且a≠1)
f(x)=axn+b(a,b为常数,a≠0)
2.三种函数模型的性质
性质 函数 y=ax(a>1)
在(0,+∞) 单调 上的增减性 _递__增__
增长速度 越来越_快_
x m
(2)牧场中羊群的最大蓄养量为m只,为保证羊群的生长 空间,实际蓄养量不能达到最大蓄养量,必须留出适当 的空闲量.已知羊群的年增长量y只和实际蓄养量x只与 空闲率的乘积成正比,比例系数为k(k>0).
①写出y关于x的函数关系式,并指出这个函数的定义域; ②求羊群年增长量的最大值; ③当羊群的年增长量达到最大值时,求k的取值范围.
2
2
【小题快练】 链接教材 练一练 1.(必修1P107习题3.2A组T1改编)在某种新型材料的研 制中,实验人员获得了下列一组实验数据.现准备用下 列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中 最接近的一个是 ( )
x 1.95 y 0.97
A.y=2x C.y= (x2-1)
1 2
3.00 3.94 5.10 1.59 1.98 2.35
节 函数模型及其应用
k x
【知识梳理】 1.几类常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)
反比例函数模型 f(x)= +b(k,b为常数且k≠0)
二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
函数模型 指数函数模型
对数函数模型 幂函数模型
4
m
km x
4m
【母题变式】 1.若将本例(2)“与空闲率的乘积成正比”改为“与空 闲率的乘积成反比”,又如何表示出y关于x的函数解析 式?
【解析】根据题意,由于最大蓄养量为m只,实际蓄养量 为x只,则蓄养率为 ,故空闲率为1- ,因为羊群的年 增此长可量得yy=只和实际蓄x(1k养mx ). 量x只与空闲率x(1的k mx ). 乘积成反比,由
(1)当0<x≤20时,求函数v关于x的函数解析式. (2)当养殖密度x为多大时,鱼的年生长量(单位: 千克/立方米)可以达到最大?并求出最大值.
【解析】(1)由题意得当0<x≤4时,v=2; 当4<x≤20时,设v=ax+b, 显然v=ax+b在(4,20]内是减函数, 由已知得

a


【解析】选A.设某商品价格为a,依题意得: a(1+0.2)2(1-0.2)2=a×1.22×0.82=0.9216a, 所以四年后的价格与原来价格比较, (0.9216-1)a=-0.0784a, 即减少7.84%.
5.(2016·淄博模拟)某城市客运公司确定客票价格的方
法是:如果行程不超过100km,票价是0.5元/km,如果超
过100km,超过100km的部分按0.4元/km定价,则客运票
价y(元)与行驶千米数x(km)之间的函数关系式
是
.
【解析】由题意可得
y= 0.5x,0 x 100,
0.4x10,x 100
答案:y=
考向一 一次函数、二次函数模型 【典例1】(1)(2016·济宁模拟)某人根据经验绘制了 2015年春节前后,从12月21日至1月8日自己种植的西红 柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象,如图 所示,则此人在12月26日大约卖出了西红柿__________ 千克.
200m长的围墙,如果用此材料在一边靠墙的地方围成一
块矩形场地,中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩
形(如图所示),则围成的矩形最大面积为
.(围
墙厚度不计)
200 x 4
【解析】设矩形的长为xm,宽为2 0 0 mx , 则S=x· = (-x2+200x). 4 当x=1001时,Smaxb1a=12b 2500m2. 答案:25040m2 b
k
即当m x= 时,y取得最大值 ;
k(xm)2km. m24 m
2
km
x
4
m
③由题意知为给羊群留有一定的生长空间,则有实际蓄
养量与年增长量的和小于最大蓄养量,即0<x+y<m.
因为当x= 时,ymax= , 所以0< + <m,解得-2<k<2.
又因为k>0k m ,所以0<k<x 2.
解得
则当x=6时,y= .
答k20，案b70:，所以y20x70， 1 9 9 99
9
0
9
190
9 x
m
(2)①根据题意,由于最大蓄养量为m只,实际蓄养量为x 只,则蓄养率为 ,故空闲率为1- ,由此可得y=
kx (0<x<mx ); ②对原二次函数m 配方,得y=-
(x2-(1 mmx ) x)
【解题导引】(1)根据图象信息,确定函数解析式.
(2)由于最大蓄养量为m只,实际蓄养量为x只,则蓄养率
为 ,故空闲率为1- .建立函数模型后,利用函数的
最值求羊群年增长量的最大值.
10kb,
x
3010kb,
m
【规范解答】(1)前10天满足一次函数关系,设为y=
kx+b,将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得