大学物理-第十一章静磁学B

特方点向：：不垂改直q变q:于:υ(-大(υυ小,，BBB只))平改方方面变向向υ方向,
F
q
F
q
υ
B υ
B
不对q 做功。
40
2.带电粒子在磁场中的运动
设带电粒子以初速度
υ//
B
υ进入匀强磁场中，分三种情况
∵F=qBsin =0，∴作匀速直线运动。
B
在垂直于磁场平面内作匀速率圆周运动。
qB m 2
（3）环路定理的微分形式
B dl
l
o
I内 o S j dS
16
环路定理的微分形式
B dl
l
o
I内 o S j dS
由矢量分析中的斯托克斯公式：
B dl V ( B) dS
B 0 j
旋度
(4)安培环路定理揭示磁场是非保守场，是有旋场; 高斯定理反映稳恒磁场无源。
闭合圆形回路:
L
B
dl
L
Bdl
L
0I dl 2r
0I 2r
2r
0I
Ir
•
显然与 r 的大小无关
L
11
任意积分回路
B dl B cos dl
.I
0I 2r
cos dl
0I 2r
rd
0I 2
2
B • dl 0 I
θ B dl
B
d
r
θ
dl
12
电流在积分回路外
LBB
场；(2)通过斜线面积的磁通量。
I
解：(1)磁场分布具有轴对称性，
磁场方向为圆周切线方向，满足
右手螺旋关系。
2R
L
dB'
o dI•r dI•'
dB
P
l R
22
选半径r 的圆周为积分的闭合路径，
由安培环路定理：
l B
dl
B
2r
o
I内
B o I内
2r
r
R : B1
o Ir 2R 2
o jr
能否用数学公式来精确地表述上述磁感应线的特点呢？
3
1. 磁通量 磁场中通过任一给定曲面的磁力线总数，称为通过
该曲面的磁通量。
Φm
B dS
S
BdS cos
S
在SI制中, 单位：韦伯(wb)。
B
dS
S
对闭合曲面来说, 规定取向外的方向为法线的正方向
则：磁力线从封闭面内穿出时，磁通量为正； 磁力线从封闭面外穿入时，磁通量为负。
d dl l
B L1
B dcl os
dBl L2
dl
0I 2
(
d
d )
I.
L2
0
B • dl 0 I
d r
B
θ
dl
L1
在载流直导线的稳恒磁场中，磁感应强度沿闭合路径 的线积分，等于此闭合路径所包围的电流与真空磁导 率的乘积。
13
2.安培环路定理 在真空中，磁感应强度B的环量等于闭合
路径l 所包围的电流强度的代数和的o倍。
§11.3 磁场的高斯定理
静电场的电力线 总是始于正电荷，终于负电荷，它们 永远不会形成闭合曲线。 电力线的这些特点反映在两个基本定理中： 高斯定理 它是讨论任意闭合曲面上电通量与其中 电荷的关系的定理； 环路定理 表示为静电场沿任意闭合曲线的线积分等 于0，也就是说，静电场力作功与路径无关。
高斯定理和环路定理对分析静电场意义重大。
B 0 j
2
即无限大平面电流在每 一侧都产生匀强磁场， 且大小相等方向相反。
z
L
a
b
j x
d
c
29
例11-14一长直圆柱体内有一长直柱形空腔，两轴线平 行且相距a，柱体中的电流密度为J, 求空腔中的磁场 强度。 解 空腔柱体的磁场可看作是两个流有反向电流J 的实 心长直柱体的叠加。由例题11-10计算结果可知：
I1
I2
I3
l
I I
l
B dl l
μ0( I1 I2)
l B dl μ0( 2I I) oI
15
I2
I3
I1
l B dl o I内
l
B dl l
0( I1 I2
2I3)
(2)安培环路定理表达式中左端的 B应是空间所有电流
(闭合路径l内外的电流)产生的磁感应强度的矢量和。
o NI 2 r
•• • • •
•o
• •••
•
r
•
• • • • •
•
l
B
若螺绕环的半径R远大于环的横向
尺度，则
B
0 NI 2R
0nI
即环内为均匀磁场
25
B o I内
2r
管外任一点： 过该点作一与螺线环同轴的 圆周l1或l2为闭合路径，
这时I内=0，有
B=0 可见，螺线环的磁场集中在 环内，环外无磁场。
E
vB
q
运动电荷的电场线和磁感应线
37
场的描述基本完成：
一
场量
B
0
q er
4
dB
o
4
r2
Idl
er
r2
二 磁力线
三 通量—高斯定理 sB dS 0
四
环路---环路定理
B dl
l
o
I内
38
§11.6 磁场对运动电荷及电流的作用
1.洛伦兹力
F
B
q v
➢电荷的运动方向与磁场方向垂直时：
方向：
q,
q,
B与υ B与υ
er同向
er
反向
适用条件： c
er
r
θ
q
er
r
θ
q
P•
B
υ
B
υ
35
B
0 4
q
r2
er
研究运动电荷的磁场，在理论上就是研究 毕奥——沙伐尔定律的微观意义
36
若 c
E
q
40r 2
er
B
0
q er
4 r 2
0
0
q
4 0r
2
er
B
1 c2
E
若 c 则需考虑相对论效应
F F max Fmax Bqv
B F q
➢电荷的运动方向与磁场方向
z
F
y
B
成任意角 ：
N
x sin
q
v
y
cos
M
x
39
运动电荷受到的磁力：F Bqx Bq sin
根据矢量矢积定义：
F
q
B
即洛仑兹力
即为一个电荷q在磁场B中以速度 运动时，该电荷所
受的磁场力。
大小：F qBsin
o
a
o J
2
(r1
cos1
r2
cos2 )
o Ja
2
B
By
j
μ0 Ja 2
j
即空腔内是匀强磁场，磁场方向垂
B1 y
1 2 B2
P
x
r1
r2
直连线 oo向上。
o 1 a 2 o´ 31
本节要求大家掌握安培环路定理的内容，会 用安培环路定理求稳恒电流的磁场。
安培环路： 圆形闭合回路---电流均匀分布的圆柱体，圆柱 面,螺绕环 矩形闭合回路---长直螺线管，无限大电流均匀 分布导体平板
oIl oIl ln 2 4 2
I
dr 2R
r
l
R ds
24
例11-11 求载流螺绕环的磁场分布。 设螺绕环上均匀密绕N匝线圈, 线 圈中通有电流I, 如图。
解：由对称性知, 与螺绕环共轴的
圆周上各点磁感应强度的大小相等,
I
方向沿圆周为切线方向。
由安培环路定理：B o I内
2r
在环管内: B=
磁场的高斯定理得证。
8
高斯定理的微分形式
sB dS 0
由矢量分析中的高斯定理：
B dS V ( B)dV
B 0 散度
9
例边线11-所9 在在平匀面强的磁法场线方B 中向，的有单一位半矢径量为enr和的B半 的球夹面角S,为S
, 如图所示，则通过半球面S的磁通量为 -B r2cos
R
半径 R m
任意形状稳恒电流，安培环路定理都成立。
19
判断题：
l B dl o I内
(1)稳恒磁场中的任一闭合路径L，若有
则L上的 B 处处为零。×
B dl
l
0
(2)通过闭合路径L的环量，仅由L所包围的电流提供。√
(3)闭合路径L上的磁感应强度，仅由L所包围的电流提 供。 ×
20
3.安培环路定理的应用 —— 求解具有某些对称性的磁场分布
方向与圆弧相切。
穿过以z为轴的任一环形管内任意截面的磁通量为常 量，与截面在管中的位置及截面的取向无关。
Φm B dS S
7
对于任一封闭曲面S，上述环形管每穿过S一次，均会在S上切出 两个面元，如图中的 S1和S2，其磁通量大小相等，符号相反， 以至总磁通量为零。
不难看出，对于S上的任一面元，均可以通过它作一环形 管而找到S上的另一个面元与之对应，两个面元的磁通量恰好 互相抵消。于是穿过S的总磁通量恒为零。
l B dl μo I内
注意
----------真空中的安培环路定理
(1)I内—是闭合路径l 所包围的电流的代数和。 包围—穿过以闭合路径l为边界的任一曲面上的电流。
14Leabharlann Baidu
l B dl o I内
电流的正、负: 当闭合路径l 的方向与电流方向呈右 手螺旋关系时，电流I 就取正号; 反之, 取负号。
32
§11.5 运动电荷的磁场
从电流元所产生的磁场公式推导出运动电荷所产生 的磁场公式 . 有 积一为段S，粗在细其均上匀取的一直电导流线元，Id电l流强度为I，横截面面
Idl在空间某一点产d生B的 磁4o感I应dlr强2 度er为
33
导体内载流子数密度为n, 每个粒子带电量q，以速度
沿 Idl的方向作运动
B1
B2
J
r1
o
P
+
P J
r2o´
=
J B1 p B2
r1
o
r2
o
a
B1
o Jr1
2
B2
o Jr2
2
30
空腔中的场强: B B1 B2
Bx B1 sin1 B2 sin2
o J
2
(r1
sin1
r2
sin2 )
0
By B1 cos1 B2 cos2
B
JB1
o Jr
2o
r1
p B2 r2
4
2.磁场的高斯定理
通过任一闭合曲面的磁通量必为零, 亦即
sB dS 0
称为磁场的高斯定理。
和静电场的高斯定理有本质上的区别： 静电场中, 由于自然界有单独存在的正、负电荷,
因此通过一闭合曲面的电通量可以不为零, 这反映 了静电场的有源性。
磁场中, 磁力线是闭合的，表明像正、负电荷那 样的磁单极是不存在的, 磁场是无源场。
2
r R : B2
o I 2 r
磁场的方向由右手螺旋法则确定。
I
B r l R
23
r
R
:
B1
o Ir 2R 2
r
R
:
B2
o I 2r
(2)通过斜线面积的磁通量:
该面上各处磁场的方向均垂直于
面向里。
ΦΦmm
BBdS
ss
B1dS
B2dS
R o Ir 0 2R2
ldr
2R o I ldr R 2r
l B dl μo I内
求解步骤：
（1）分析磁场分布(电流分布)的对称性； （2）选择适当的闭合回路，使
l B dl l Bdl Bldl
（3）求出闭合回路所包围的电流的代数和。 （4）求出B并判断其方向。
21
例11-10 设无限长圆柱体半径为R, 电流I 沿轴线方向,
并且在横截面上是均匀分布的。求:(1)圆柱体内外的磁
解：将半球面和圆面组成一个闭
合面，则由磁场的高斯定理知，
通过此闭合面的磁通量为零。
S
即，通过半球面和通过圆面的磁通
量数值相等而符号相反：
Φm半球面 Φm底面
Φm底
B dS
s
Br 2cos
en
B
10
§11.4 安培环路定理 B的环量: 磁感应强度B 沿任何闭合路径的线积分。
1.载流长直导线的环量
17
比较
高斯定理
静电场
1
E dS
S
0
q内
有源场
SB
dS
0
稳恒 B 0
磁场 无源场
环路定理
LE dl 0
保守场、有势场
B dl
L
0
Ii
（穿过 L）
B 0 j
非保守场、无势场
（涡旋场）
18
（5）适用条件：安培环路定理仅仅适用于恒定电 流产生的恒定磁场，恒定电流本身总是闭合的， 因此安培环路定理仅仅适用于闭合的稳恒电流。
1
高斯定理可以帮助我们很方便地求出某些具有一定对 称性的带电体的电场分布； 环路定理（静电场力作功与路径无关）使我们有可能 引进电势的概念，它对于解决很多实际问题具有重要 的意义。
2
磁力线： 磁感应线都是闭合曲线，或两头伸向无穷远； 闭合的磁感应线和载流回路像锁链的各环那样互相 套连在一起； 磁感应线和电流的关系相互服从右手定则。
5
静电学中高斯定理可以从库仑定律出发加以严格证明
， 类似的，磁场的高斯定理也可以从毕奥—萨伐尔定律
出发加以证明。
在此我们d只B定性4地0 说Id明lr：2 er
dB
0 4
Idl sin
r2
e
6
dB
0 4
Idl sin
r2
e
若取电流元为坐标原点，z轴
沿电流元强度的方向，
在以z为轴的任意圆上，磁感 应强度的大小处处相等，其
I
l2
• • • •
•
•
••
•
l1
• •
• •
•
•
•
• •
26
例11-12 求载流长直密绕螺线管内外的场。设线圈中 通有电流I, 沿管长方向单位长度上的匝数为n。
解：线圈密绕 B外 0
管内磁场沿轴线方向。
B
作矩形安培环路，如图
l B dl Bcos ab Bab 0 I内 0nI ab
则 I = qnS
Idl
qnSdl
qnSdl
代入毕—萨公式中，
dB
o
4
Idl
er
r2
o 4
qnSdl
er
r2
电流元内载流子个数：N=nSdl 34
dB
o
qnSdl
er
4
r2
N=nSdl
所以一个运动电荷产生的磁场:
B
0 4
q
r2
er
大小： B μ0 qυ sin θ
4π r 2
B内 0nI
I12
B
b
a
c
d
27
28
例11-13 无限大导体平板, 通有电流，电流线密度j (垂
直于电流的单位长上的电流)。求磁场分布。
解：分析场的对称性
可见导体平板两侧的场平行于 平板且方向相反
作矩形 安培环路；
B dl L
2BL
0 jL
z
dB
P
rjjr
dB' x
o dI'odI x