第五版大学物理答案(马文蔚)

第五章 静 电 场

5 －1 电荷面密度均为＋σ的两块“无限大”均匀带电的平行平板如图(A)放置，其周围空间各点电场强度E (设电场强度方向向右为正、向左为负)随位置坐标x 变化的关系曲线为图(B)中的( )

分析与解 “无限大”均匀带电平板激发的电场强度为0

2εσ，方向沿带电平板法向向外，依照电场叠加原理可以求得各区域电场强度的大小和方向.因而正确答案为(B).

5 －2 下列说确的是( )

(A)闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面一定没有电荷

(B)闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面电荷的代数和必定为零

(C)闭合曲面的电通量为零时，曲面上各点的电场强度必定为零

(D)闭合曲面的电通量不为零时，曲面上任意一点的电场强度都不可能为零 分析与解 依照静电场中的高斯定理，闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面电荷的代数和必定为零，但不能肯定曲面一定没有电荷；闭合曲面的电通量为零时，表示穿入闭合曲面的电场线数等于穿出闭合曲面的电场线数或没有电场线穿过闭合曲面，不能确定曲面上各点的电场强度必定为零；同理闭合曲面的电通量不为零，也不能推断曲面上任意一点的电场强度都不可能为零，因而正确答案为(B).

5 －3 下列说确的是( )

(A) 电场强度为零的点，电势也一定为零

(B) 电场强度不为零的点，电势也一定不为零

(C) 电势为零的点，电场强度也一定为零

(D) 电势在某一区域为常量，则电场强度在该区域必定为零

分析与解 电场强度与电势是描述电场的两个不同物理量，电场强度为零表示试验电荷在该点受到的电场力为零，电势为零表示将试验电荷从该点移到参考零电势点时，电场力作功为零.电场中一点的电势等于单位正电荷从该点沿任意路径到参考零电势点电场力所作的功；电场强度等于负电势梯度.因而正确答案为(D).

5 －9 若电荷Q 均匀地分布在长为L 的细棒上.求证：(1) 在棒的延长线，且离棒中心为r 处的电场强度为 2204π1L r Q εE -= (2) 在棒的垂直平分线上，离棒为r 处的电场强度为

2204π21L

r r Q εE += 若棒为无限长(即L →∞)，试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较.

分析 这是计算连续分布电荷的电场强度.此时棒的长度不能忽略，因而不能将棒当作点电荷处理.但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直

线上.如图所示，在长直线上任意取一线元d x ，其电荷为d q ＝Q d x /L ，它在点P 的电场强度为

r r q εe E 20d π41d '

=

整个带电体在点P 的电场强度 ⎰=E E d

接着针对具体问题来处理这个矢量积分.

(1) 若点P 在棒的延长线上，带电棒上各电荷元在点P 的电场强度方向相同，

⎰=L

E i E d (2) 若点P 在棒的垂直平分线上，如图(A)所示，则电场强度E 沿x 轴方向的分量因对称性叠加为零，因此，点P 的电场强度就是

⎰⎰==L

y E αE j j E d sin d 证 (1) 延长线上一点P 的电场强度⎰'=L r πεq E 202d ，利用几何关系 r ′＝r －x 统一积分变量，则

()220022

204π12/12/1π4d π41L r Q εL r L r L εQ x r L x Q εE L/-L/P -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=-=⎰电场强度的方向沿x 轴.

(2) 根据以上分析，中垂线上一点P 的电场强度E 的方向沿y 轴，大小为

E r εq αE L d π4d sin 2

⎰'= 利用几何关系 sin α＝r /r ′，22x r r +=' 统一积分变量，则

()2203/22222041π2d π41L r r εQ r x L x

rQ εE L/-L/+=+=⎰

当棒长L →∞时，若棒单位长度所带电荷λ为常量，则P 点电场强度

r

ελ

L r L Q r εE l 02

20π2 /41/π21lim =+=∞→

此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同［图(B)］.这说明只要满足r 2/L 2

＜＜1，带电长直细棒可视为无限长带电直线.

5 －13 如图为电四极子，电四极子是由两个大小相等、方向相反的电偶极子组成.试求在两个电偶极子延长线上距中心为z 的一点P 的电场强度(假设z ＞＞d ). 分析 根据点电荷电场的叠加求P 点的电场强度.

解 由点电荷电场公式，得

()()

k k k E 202020π41π412π41d z q εd z q εz q ε++-+= 考虑到z ＞＞d ，简化上式得

()()k k k E 4

2

02

2220222206π4...321...32112π4/11/1112π4z qd εq z d z d z d z d z z εq z d z d z z εq =⎭

⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+++++-=⎭

⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-= 通常将Q ＝2qd 2

称作电四极矩，代入得P 点的电场强度 k E 403π41z

Q ε= 5 －14 设匀强电场的电场强度E 与半径为R 的半球面的对称轴平行，试计

算通过此半球面的电场强度通量.

分析 方法1：由电场强度通量的定义，对半球面S 求积分，即

⎰⋅=S

S d s E Φ 方法2：作半径为R 的平面S ′与半球面S 一起可构成闭合曲面，由于闭合面无电荷，由高斯定理

∑⎰==⋅01d 0

q εS S E 这表明穿过闭合曲面的净通量为零，穿入平面S ′的电场强度通量在数值上等于穿出半球面S 的电场强度通量.因而

⎰⎰'

⋅-=⋅=S S S E S E Φd d 解1 由于闭合曲面无电荷分布，根据高斯定理，有

⎰⎰'

⋅-=⋅=S S S E S E Φd d 依照约定取闭合曲面的外法线方向为面元d S 的方向，

E R πR E 22πcos π=⋅⋅-=Φ

解2 取球坐标系，电场强度矢量和面元在球坐标系中可表示为①

()r θθθE e e e E sin sin cos sin cos ++=

r θθR e S d d sin d 2=