最新高一下学期期中考试数学试题
江苏省徐州市2023-2024学年高一下学期期中学业水平质量监测数学试题
江苏省徐州市2023-2024学年高一下学期期中学业水平质量监测数学试题一、单选题1．cos14cos16cos76sin16︒︒-︒︒=（ ）A ．12B C ．12- D ．2．已知(1,2),5a a b =⋅=rr r ，若(2)b a b ⊥-r r r ，则向量a r 与向量b r 的夹角为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．3π43．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量(),p a c b =+r ，(),q b a c a =--r.若//p q r r，则角C 的大小为（ ）A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π34．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则AF =u u u r（ ）A ．3144AB AD +u u ur u u u rB ．1344AB AD +u u ur u u u rC ．12AB AD +u u ur u u u rD ．3142AB AD +u u ur u u u r5．函数1()sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间(0,2π)内的零点个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56．已知π1cos 63α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．79- B ．79 C ．23-D ．237．在ABC V 中，若1cos21cos2cos cos C Bc B b C--=⋅⋅，则ABC V 的形状为（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形8．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，若动点P 在以AB 为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则PC PD ⋅u u u r u u u r的取值范围为（ ）A ．()0,4B ．[]0,4C ．()0,2D ．[]0,2二、多选题9．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）A ．O 为点A ，B ，C 所在直线外一点，且0.4OC xOA OB =+u u u r u u u r u u u r，则0.6x =B ．已知非零向量(1,2),(1,1)a b ==r r，且a r 与a b λ+r r 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．已知向量(1,AB AC ==-u u u r u u u r ，则AB u u u r在AC u u u r 上的投影向量的坐标为D ．若点G 为ABC V 中线的交点，则0GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r r10．已知tan 2tan αβ=，则（ ）A ．π,0,2αβ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得2αβ=B ．若2sin cos 5αβ=，则()1sin 5αβ-=C ．若2sin cos 5αβ=，则()7cos 2225αβ+=-D ．若α，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()tan αβ-11．ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC V 的面积，且2,a AB AC =⋅=u u u r u u u r，下列选项正确的是（ ）A ．π6A =B．若b =ABC V 只有一解C ．若ABC V 为锐角三角形，则b的取值范围是 D ．若D 为BC 边上的中点，则AD的最大值为2三、填空题12．已知πsin 2sin(π)2αα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭．13．圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣·索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB ，高约为36m ，在它们之间的地面上的点M （B ，M ，D 三点共线）处测得建筑物顶A 、教堂顶C 的仰角分别是45︒和60︒，在建筑物顶A 处测得教堂顶C 的仰角为15︒，则可估算圣·索菲亚教堂的高度CD 约为.14．ABC V 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，点P 是ABC V 所在平面内的动点，满足(0)||||λλ⎛⎫=++> ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r BC BA OP OB BC BA ．射线BP 与边AC 交于点D ．若sin sin sin sin a A c C b B a C +-=，2BD =，则角B 的值为 ，ABC V 面积的最小值为 ．四、解答题15．如图所示，在ABCD Y 中，已知=3AB ，=2AD ,=120BAD ∠︒. （1）求AC u u u v的模；（2）若13AE AB =u u u v u u u v ，12BF BC =u u u v u u u v ，求AF DE ⋅u u u v u u u v的值.16．已知向量2sin cos sin ,cos ,sin cos 222222x x x x x x m n ⎛⎫⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭r r ，且函数()f x m n =⋅r r ．(1)若π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且2()3f x =，求sin x 的值；(2)若将函数()f x 的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12，再将所得图像向左平移π4个单位，得到()g x 的图像，求函数()g x 单调增区间．17．记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin cos b A B =. (1)求A ； (2)求2b ca+的最大值. 18．在直角梯形ABCD 中，已知AB DC P ，AD AB ⊥，1CD =，2AD =，3AB =，动点E 、F 分别在线段BC 和DC 上，AE 和BD 交于点M ，且B E B Cλ=u u u r u u ur ，()1DF DC λ=-u u u r u u u r ，R λ∈．(1)当0AE BC ⋅=u u u r u u u r时，求λ的值； (2)当23λ=时，求DM MB 的值； (3)求12AF AE +u u u r u u u r 的取值范围．19．定义函数()sin cos f x m x n x =+的“源向量”为(),OM m n =u u u u r ，非零向量(),OM m n =u u u u r的“伴随函数”为()sin cos f x m x n x =+，其中O 为坐标原点．(1)若向量(OM =u u u u r的“伴随函数”为()f x ，求()f x 在[]0,πx ∈的值域；(2)若函数()()g x x α=+的“源向量”为OM u u u u r，且以O 为圆心，OM u u u u r 为半径的圆内切于正ABC V （顶点C 恰好在y 轴的正半轴上），求证：222MA MB MC ++u u u r u u u r u u u u r 为定值；(3)在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若函数()h x 的“源向量”为()0,1OM =u u u u r，且已知()38,5a h A ==，求AB AC AB AC +-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 的取值范围．。
人教版高一下学期期中考试数学试卷及答案解析(共五套)
人教版高一下学期期中考试数学试卷（一）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为312.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据共线向量的定义即可得结论．【解答】解：由题，点C是线段AB靠近点B的三等分点，＝3＝﹣3，所以选项A错误；＝2＝﹣2，所以选项B和选项C错误，选项D正确．故选：D．【知识点】平行向量（共线）、向量数乘和线性运算2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z（3+i）＝3+i2020，i2020＝（i2）1010＝（﹣1）1010＝1，∴z（3+i）＝4，∴z＝，∴＝，∴共轭复数的虚部为，故选：D．【知识点】复数的运算3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．【答案】C【分析】利用图形，求出数量积的向量，然后转化求解即可．【解答】解：由题意，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，可知＝+＝，＝﹣＝﹣2，所以•＝（）•（﹣2）＝﹣2﹣2＝1．故选：C．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i【答案】B【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及其复数的周期性即可得出．【解答】解：设S＝2i+3i2+4i3+ (2020i2019)∴iS＝2i2+3i3+ (2020i2020)则（1﹣i）S＝i+i+i2+i3+……+i2019﹣2020i2020．＝＝i+＝＝﹣2021+i，∴S＝＝．故选：B．【知识点】复数的运算5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【答案】B【分析】易知∠ABA1即为所求，再由△ABA1为等腰直角三角形，得解．【解答】解：因为AB∥CD，所以∠ABA1即为异面直线A1B与CD所成的角，因为△ABA1为等腰直角三角形，所以∠ABA1＝45°．故选：B．【知识点】异面直线及其所成的角6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合两角和公式与三角形的内角和定理，可推出sin B＝2sin A；然后利用三角形的面积公式、正弦定理，即可得解．【解答】解：由正弦定理知，＝＝，∵（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），∴（sin A﹣2sin B）cos C＝sin C（2cos B﹣cos A），即sin A cos C+sin C cos A＝2（sin B cos C+cos B sin C），∴sin（A+C）＝2sin（B+C），即sin B＝2sin A．∵△ABC的面积为a2sin，∴S＝bc sin A＝a2sin，根据正弦定理得，sin B•sin C•sin A＝sin2A•sin，化简得，sin B•sin cos＝sin A•cos，∵∈（0，），∴cos＞0，∴sin＝＝，∴＝，即C＝．故选：C．【知识点】正弦定理、余弦定理7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°【答案】B【分析】连接AB1，求出∠ACB1可判断选项A；连接B1D1，找出点B1在平面AD1C上的投影O，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，由cosθ＝可判断选项B；利用平移法找出选项C和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．【解答】解：连接AB1，∵△AB1C为等边三角形，∴∠ACB1＝60°，即直线B1C与AC所成的角为60°，故选项A正确；连接B1D1，∵AB1＝B1C＝CD1＝AD1，∴四面体AB1CD1是正四面体，∴点B1在平面AD1C上的投影为△AD1C的中心，设为点O，连接B1O，OC，则OC＝BC，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，则cosθ＝＝＝≠，故选项B错误；连接BC1，∵AD1∥BC1，且B1C⊥BC1，∴直线B1C与AD1所成的角为90°，故选项C正确；∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，即直线B1C与AB所成的角为90°，故选项D正确．故选：B．【知识点】直线与平面所成的角、异面直线及其所成的角8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π【答案】A【分析】由题意可得AC⊥面EFBD，可得V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD，再由多面体ABCDEF 的体积为，可得矩形EFBD的高与正方形ABCD的边长之间的关系，再由题意可得矩形EFBD的对角线的交点为外接球的球心，进而求出外接球的半径，再由均值不等式可得外接球的半径的最小值，进而求出外接球的表面积的最小值．【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，矩形BDEF的高为b，因为正方形ABCD，所以AC⊥BD，设AC∩BD＝O'，由因为平面ABCD与平面EFBD互相垂直，AC⊂面ABCD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以AC⊥面EFBD，所以V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD＝2•S EFBD•CO'＝•a•b•a ＝a2b，由题意可得V ABCDEF＝，所以a2b＝2；所以a2＝，矩形EFBD的对角线的交点O，连接OO'，可得OO'⊥BD，而OO'⊂面EFBD，而平面ABCD⊥平面EFBD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以OO'⊥面EFBD，可得OA＝OB＝OE＝OF都为外接球的半径R，所以R2＝（）2+（a）2＝+＝+＝++≥3＝3×，当且仅当＝即b＝时等号成立．所以外接球的表面积为S＝4πR2≥4π•3×＝6π．所以外接球的表面积最小值为6π．故选：A．【知识点】球的体积和表面积二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．【答案】BC【分析】由已知利用余弦定理整理可得cos A＝，对于A，若A＝，可得b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得b＝＞0，对于C，若A＝，可得b＝＞0，对于D，若A＝，可得c＝0，错误，即可得解．【解答】解：因为在△ABC中，a2＝b2+bc，又由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以b2+bc＝b2+c2﹣2bc cos A，整理可得：c＝b（1+2cos A），可得：cos A＝，对于A，若A＝，可得：﹣＝，整理可得：b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得：＝，整理可得：b＝＞0，对于C，若A＝，可得：cos＝＝，整理可得：b＝＞0，对于D，若A＝，可得：cos＝﹣＝，整理可得：c＝0，错误．故选：BC．【知识点】余弦定理10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】由向量的加减法法则、平面向量基本定理解决【解答】解：由，知A正确；由知B正确；由知C正确；由N为线段DC的中点知知D错误；故选：ABC．【知识点】向量数乘和线性运算、平面向量的基本定理11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为3【答案】BD【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可．【解答】解：当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；反例z1＝1，z2＝i，满足z12+z22＝0，所以C不正确；复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的几何意义，是复数的对应点到（0，﹣2）的距离，它的最大值为3，所以D正确；故选：BD．【知识点】复数的模、复数的运算、虚数单位i、复数、命题的真假判断与应用12.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°【答案】ABD【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，建立合适的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，根据空间向量的坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断即可．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），C （2，2，0），D（0，2，0），D1（0，2，2），所以，故，故选项A正确；又，又，所以，，则，故选项B正确；，所以，因此与的夹角为120°，故选项C错误；因为E，F分别是BC，A1C的中点，所以E（2，1，0），F（1，1，1），则，所以，又异面直线的夹角大于0°小于等于90°，所以异面直线EF与DD1所成的角为45°，故选项D正确；故选：ABD．【知识点】异面直线及其所成的角三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．【分析】根据向量的几何意义可得P为BC的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出．【解答】解：由＝（+），可得P为BC的中点，则|CP|＝1，∴|PD|＝＝，∴•＝•（+）＝﹣•（+）＝﹣2﹣•＝﹣1，故答案为：，﹣1．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．【答案】1【分析】设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R），根据两个复数相等的充要条件求出z1，z2，再由根与系数的关系求得p，q的值．【解答】解：由题意可知z1与z2为共轭复数，设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R 且b≠0），又，则a2﹣b2+2abi＝a﹣bi，∴（2a+b）+（a+2b）i＝1﹣i，∴，解得．∴z1＝+i，z2＝i，（或z2＝+i，z1＝i）．由根与系数的关系，得p＝﹣（z1+z2）＝1，q＝z1•z2＝1，∴pq＝1．故答案为：1．【知识点】复数的运算15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．【分析】由题意画出图形，找出三棱锥外接球的位置，求解三角形可得外接球的半径，再由棱锥体积公式求解．【解答】解：记BD的中点为M，连接A′M，CM，可得A′M2+CM2＝A′C2，则∠A′MC＝90°，则外接球的球心O在△A′MC的边A′C的中垂线上，且过正三角形BCD的中点F，且在与平面BCD垂直的直线m上，过点A′作A′E⊥m于点E，如图所示，设外接球的半径为R，则A′O＝OC＝R，，A′E＝1，在Rt△A′EO中，A′O2＝A′E2+OE2，解得R＝．故三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．故答案为：．【知识点】球的体积和表面积16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a的最大值．【解答】解：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P，球的半径为r，下底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图：则OA＝OB＝，因为SO＝，故可得：SA＝SB＝＝3，所以：三角形SAB为等边三角形，故P是△SAB的中心，连接BP，则BP平分∠SBA，所以∠PBO＝30°；所以tan30°＝，即r＝R＝×＝，即四面体的外接球的半径为r＝．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，截得它的正方体的棱长为a，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以2r＝AA1＝a＝a，所以a＝．即a的最大值为．故答案为：．【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．【分析】（1）直接利用余弦定理的应用求出结果；（2）利用余弦定理的应用建立等量关系式，进一步求出结果．【解答】解：（1）在四边形ABCD中，AD＝BD＝CD＝1．若AB＝，所以：cos∠ADB＝＝，由于AB∥CD，所以∠BDC＝∠ABD，即cos∠BDC＝cos∠ABD＝，所以BC2＝BD2+CD2﹣2•BD•CD•cos∠BDC＝＝，所以BC＝．（2）设BC＝x，则AB＝2BC＝2x，由余弦定理得：cos∠ADB＝＝，cos∠BDC＝＝＝，故，解得或﹣（负值舍去）．所以．【知识点】余弦定理18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．【分析】（1）把z1，z2代入=+，利用复数代数形式的乘除运算化简求出，进一步求出z；（2）设z=a+bi（a，b∈R），利用复数的运算及（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，可得，又ω==i，|ω|=5，可得，即可得出a，b，再代入可得ω．【解答】解：（1）由z1=1﹣2i，z2=3+4i，得=+==，则z=；（2）设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．又ω===i，|ω|=5，∴．把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．∴ω=±（i）=±（7﹣i）．【知识点】复数的运算19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围．【解答】解：（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD＝EF，设∠ACD＝α，∠BCD＝β，CD＝x，则θ＝α﹣β，在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα＝，tanβ＝，则tanθ＝tan（α﹣β）＝＝（x＞0），令u＝，则ux2﹣2x+1.25u＝0，∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤，即（tanθ）max＝，∵正切函数y＝tan x在（0，）上是增函数，∴视角θ同时取得最大值，此时，x＝＝，∴观察者离墙米远时，视角θ最大；（2）由（1）可知，tanθ＝＝＝，即x2﹣4x+4＝﹣a2+6a﹣4，∴（x﹣2）2＝﹣（a﹣3）2+5，∵1≤a≤2，∴1≤（x﹣2）2≤4，化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，又∵x＞1，∴3≤x≤4．【知识点】解三角形20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．【分析】（I）利用复数的几何意义、向量的坐标运算性质、平行四边形的性质即可得出．（II）利用向量垂直与数量积的关系、模的计算公式、矩形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）依题点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，得A（﹣1，0），＝（2，2），可得B（1，2）．又对应的复数为4﹣4i，得＝（4，﹣4），可得C（5，﹣2）．设D点对应的复数为x+yi，x，y∈R．得＝（x﹣5，y+2），＝（﹣2，﹣2）．∵ABCD为平行四边形，∴＝，解得x＝3，y＝﹣4，故D点对应的复数为3﹣4i．（Ⅱ）＝（2，2），＝（4，﹣4），可得：＝0，∴．又||＝2，＝4．故平行四边形ABCD的面积＝＝16．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．【分析】（1）推导出GC⊥BC，EC⊥BC，从而∠ECG＝60°．连接DG，推导出DG⊥EF，由BC⊥EF，BC⊥CG，得BC⊥平面DEG，从而DG⊥BC，进而DG⊥平面ABCE，DG是四棱锥G ﹣ABCE的高，由此能求出四棱锥G﹣ABCE的体积．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．由此能求出异面直线AE与BG所成角的大小．【解答】解：（1）由已知，有GC⊥BC，EC⊥BC，所以∠ECG＝60°．连接DG，由CD＝AB＝1，CG＝CF＝2，∠ECG＝60°，有DG⊥EF①，由BC⊥EF，BC⊥CG，有BC⊥平面DEG，所以，DG⊥BC②，由①②知，DG⊥平面ABCE，所以DG就是四棱锥G﹣ABCE的高，在Rt△CDG中，．故四棱锥G﹣ABCE的体积为：．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，故∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．在△BGH中，，，则．故异面直线AE与BG所成角的大小为．【知识点】异面直线及其所成的角、棱柱、棱锥、棱台的体积22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【分析】（1）点F为BC的中点，设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，取AC 的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，得DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，从而OF∥平面EAC，平面DOF∥平面EAC，由此能证明DF∥平面EAC．（2）连接OH，由OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【解答】解：（1）点F为BC的中点，理由如下：设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，∵AD＝CD，∴OA＝OC，∴在Rt△ABC中，O为AB的中点，取AC的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，又平面EAC⊥平面ABC，平面EAC∩平面ABC＝AC，∴EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，∴DO∥EH，∴DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，又OF⊄平面EAC，AC⊂平面EAC，∴OF∥平面EAC，∵DO∩OF＝O，∴平面DOF∥平面EAC，∵DF⊂平面DOF，∴DF∥平面EAC．（2）连接OH，由（1）可知OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则B（1，﹣1，0），A（﹣1，1，0），E（0，1，﹣），C（1，1，0），∴＝（2，﹣2，0），＝（0，2，0），＝（﹣1，2，﹣），设平面EBC的法向量＝（a，b，c），则，取a＝，则＝（，0，﹣1），设直线与平面EBC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线AB与平面EBC所成角的余弦值为cosθ＝＝．【知识点】直线与平面平行、直线与平面所成的角人教版高一下学期期中考试数学试卷（二）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．14.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．25.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．96.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R27.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π8.已知半球O与圆台OO'有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.下列有关向量命题，不正确的是（）A．若||＝||，则＝B．已知≠，且•＝•，则＝C．若＝，＝，则＝D．若＝，则||＝||且∥10.若复数z满足，则（）A．z＝﹣1+i B．z的实部为1 C．＝1+i D．z2＝2i11.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE＝G，则（）A．B．C．D．12.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为2，E为线段B1C上的动点，O为AC的中点，P 为棱CC1上的动点，Q为棱AA1的中点，则以下选项中正确的有（）A．AE⊥B1CB．直线B1D⊥平面A1BC1C．异面直线AD1与OC1所成角为D．若直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，则m∥平面B1D1Q三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知向量＝（m，1），＝（m﹣6，m﹣4），若∥，则m的值为．14.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积S＝．15.如图，已知有两个以O为圆心的同心圆，小圆的半径为1，大圆的半径为2，点A 为小圆上的动点，点P，Q是大圆上的两个动点，且•＝1，则||的最大值是．16.如图，在三棱锥A﹣BCD的平面展开图中，已知四边形BCED为菱形，BC＝1，BF＝，若二面角A﹣CD﹣B的余弦值为﹣，M为BD的中点，则CD＝，直线AD与直线CM所成角的余弦值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，．（1）若与同向，求；（2）若与的夹角为120°，求．18.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝4，b＝6，cos A＝﹣．（1）求c；（2）求cos2B的值．19.已知：复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1（1﹣i）＝z2（1+i）（i为虚数单位），|z1|＝．（Ⅰ）求z1的值；（Ⅱ）若z1的虚部大于零，且（m，n∈R），求m，n的值．20.（Ⅰ）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i＝（i为虚数单位）（Ⅱ）设z是虚数，ω＝z+是实数，且﹣1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设，求证：μ为纯虚数；（3）在（2）的条件下求ω﹣μ2的最小值．21.如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝1，，A1A＝4，点M为线段A1A 的中点．（1）求直三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积；（2）求异面直线BM与B1C1所成的角的大小．（结果用反三角表示）22.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点G在棱D1C1上，且D1G＝D1C1，点E、F、M分别是棱AA1、AB、BC的中点，P为线段B1D上一点，AB＝4．（Ⅰ）若平面EFP交平面DCC1D1于直线l，求证：l∥A1B；（Ⅱ）若直线B1D⊥平面EFP．（i）求三棱锥B1﹣EFP的表面积；（ii）试作出平面EGM与正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面EGM与棱A1D1交于点Q，求三棱锥Q﹣EFP的体积．答案解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】直接利用复数的运算和几何意义的应用求出该点所表示的位置．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），所以（2﹣i）（a+bi）＝2a+b+（2b﹣a）i，由于对应的点在虚轴的正半轴上，所以，即，所以a＜0，b＞0．故该点在第二象限．故选：B．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用平行四边形的性质以及向量相等的概念，再利用平面向量基本定理进行转化即可．【解答】解：因为ABCD为平行四边形，所以，故．故选：D．【知识点】平面向量的基本定理3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．1【答案】B【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t的值．【解答】解：向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），所以+＝（6t+3，11），﹣＝（4t+2，5）．又（+）∥（﹣），所以5（6t+3）﹣11（4t+2）＝0，解得t＝﹣．故选：B．【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示4.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．2【答案】D【分析】先根据M，N满足的条件，将（+）•＝0化成的表达式，从而判断出矩形ABCD为正方形；再将+＝x+y，左边用表示出来，结合x+y ＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值．【解答】解：当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝＝＝，所以AD＝AB，则矩形ABCD为正方形，设，，则＝．则x＝2﹣λ，y＝2﹣μ．又x+y＝3，所以λ+μ＝1．故NC+MC＝4，则MN＝＝（当且仅当MC＝NC＝2时取等号）．故线段MN的最短长度为2．故选：D．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算5.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】B【分析】由题意画出图形，再由复数模的几何意义，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+4i|≤2，得z在复平面内对应的点在以Q（﹣3，﹣4）为圆心，以2为半径的圆及其内部．如图：|z﹣1﹣i|的几何意义为区域内的动点与定点P得距离，则M＝|PQ|+2，m＝|PQ|﹣2，则M﹣m＝4．故选：B．【知识点】复数的运算6.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R2【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为r，求得圆锥的高，由球的截面性质，运用勾股定理可得r，由圆锥的表面积公式可得所求．【解答】解：如图，设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高为r，则R2＝r2+（r﹣R）2，解得r＝R，则圆锥的表面积为S＝πr2+πr•2r＝3πr2＝3π（R）2＝πR2，故选：B．【知识点】球内接多面体、旋转体（圆柱、圆锥、圆台）7.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π【答案】A【分析】先根据题意求得正四面体的体积，进而得到六面体的体积，再由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，设丸子的半径为R，则，由此求得R，进而得到答案．【解答】解：由题意可得每个三角形面积为，由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可得该四面体的高为，故四面体的体积为，∵该六面体的体积是正四面体的2倍，。
2023-2024学年湖北省高一下学期期中月考数学试题1(含答案)
2023-2024学年湖北省高一下册期中联考数学试题一、单选题1．若复数45i z =+，则23z -=（）A ．1015i --B ．1015i -+C ．1415i +D ．1415i-【正确答案】B【分析】先求出45i z =-，进而求出23z -.【详解】因为45i z =+，所以45i z =-，所以()232345i 1015i z -=--=-+故选：B2．如图，在ABC 中，D 是BC 上的点，则AB BC AD +-等于（）A ．ADB ．DBC ．DCD ．AB【正确答案】C【分析】由向量的加法和减法原则求解即可.【详解】AB BC AD AC AD DC +-=-=.故选：C.3．设角α的终边经过点(34)P -，，那么()()sin 2cos παα-+-等于（）A ．15B ．-15C ．25D ．-25【正确答案】D【分析】利用任意角三角函数的定义，分别计算sin α和cos α，再根据诱导公式对()()sin 2cos παα-+-化简，代入sin α和cos α的值，即可求出结果．【详解】∵角α的终边经过点(34)P -，，r PO =，∴4sin r α==45，33cos 5r α-==-，∴()()462sin 2cos sin 2cos 555παααα-+-=+=-=-.故选:D ．4．已知向量3(,sin )2a α= ，1(sin ,)6b α= ，若//a b ，则锐角α为（）A ．30°B ．60°C ．45°D ．75°【正确答案】A【分析】利用向量平行列方程，即可求出锐角α.【详解】因为//a b ，所以sin 2α311264=⨯=，∴sin α＝±12．又α为锐角，所以α＝30°．故选：A5．为了得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，可以将函数cos y x =的图像上（）A ．每个点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再向左平移π8个单位B ．每个点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再向右平移π8个单位C ．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移π8个单位D ．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移π8个单位【正确答案】B【分析】由函数图像的伸缩变换和平移变化规律求解.【详解】由πcos 228πcos 4y x x ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎛⎫= ⎝⎭-=⎪⎝⎭⎣⎦可知，函数cos y x =的图像每个点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，可得函数cos 2y x =的图像，再向右平移π8个单位，得函数πcos 24πcos 28y x x ⎛⎫==- ⎪⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎝⎭⎝⎣⎦⎭⎥的图像.故选：B6．在复平面内，点(cos ,sin ),(sin(),cos())A B θθθθ--分别对应复数12,z z ，则21z z =（）A ．1-B ．1C ．i-D ．i【正确答案】D【分析】根据复数几何意义，求得12,z z ，再结合复数的除法的运算法则，即可求解.【详解】由点(cos ,sin )A θθ和(sin(),cos())B θθ--分别对应复数12,z z ，可得1cos isin z θθ=+，2sin()i cos()sin i cos z θθθθ=-+-=-+，所以222221sin i cos (sin i cos )(cos isin )(sin cos )ii cos isin (cos isin )(cos isin )cos sin z z θθθθθθθθθθθθθθθθ-+-+-+====++-+.故选：D.7．八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =给出下列结论，其中正确的结论为（）A ．OA 与OH 的夹角为π3B ．OD OF OE+= C．OA OC -=D ．OA 在OD上的投影向量为2e （其中e 为与OD 同向的单位向量）【正确答案】C【分析】结合正八边形的性质以及向量的知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】2ππ84=，所以,OA OH 的夹角为π4，A 选项错误.由于四边形ODEF 不是平行四边形，所以OD OF OE +≠，AOC是等腰直角三角形，所以CA == ，2DH =，所以OA OC CA -==，C 选项正确.结合图像可知OA 在OD 上的投影向量与OD的方向相反，所以D 选项错误.故选：C8．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos cos a bA B=，222c a b ab =+-，则ABC ∆是（）A ．钝角三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【正确答案】B【分析】利用正余弦定理可确定边角关系，进而可判定三角形形状.【详解】在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin a bA B =，而cos cos a b A B=，∴sin sin cos cos A BA B=，即tan tan A B =，又∵A 、B 为ABC ∆的内角，∴A B =，又∵222c a b ab =+-，∴222ab a b c =+-，∴由余弦定理得：2221cos 22a b c C ab +-==，∴3C π=，∴ABC ∆为等边三角形.故选：B.二、多选题9．下列命题中，不正确的是（）A ．1()i a a -∈R 是一个复数B ．形如()i a b b +∈R 的数一定是虚数C ．两个复数一定不能比较大小D ．若a b >，则i ia b +>+【正确答案】BCD【分析】根据复数的概念逐项分析即得.【详解】由复数的定义可知A 命题正确；形如()i a b b +∈R 的数，当0b =时，它不是虚数，故B 命题错误；若两个复数全是实数，则可以比较大小，故C 命题错误；两个虚数不能比较大小，故D 命题错误．故选：BCD ．10．已知向量()2,1a =r ，2b a = ，且a b ⊥，则b = （）A ．()2,4-B ．()2,4--C ．()2,4-D ．()2,4【正确答案】AC【分析】设b的坐标，利用向量模的坐标公式及a b ⊥ 关系，建立方程组解出来即可.【详解】设(),b x y =，因为2b a = ，a b ⊥ ，所以2222420200b ax y x y a b ⎧=⎧+=⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎩⎩ ，解得24x y =⎧⎨=-⎩或24x y =-⎧⎨=⎩，故()2,4b =- 或()2,4b =-r．故选：AC.11．函数()()()cos 02f x x ωϕϕπ=+≤<的部分图像如图所示，则（）A ．3ω=B ．65ϕπ=C ．函数()f x 在314,55ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()f x 图像的对称轴方程为()315k x k ππ=-∈Z 【正确答案】AD【分析】利用图像判断周期，求出ω，即可判断选项A ；利用特殊点求出ϕ，即可判断选项B ；得到函数的解析式()cos 35f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，分别求出单调区间和对称轴方程，判断选项C 、D.【详解】由图像知函数的周期1322230103T ππππω⎛⎫=⨯-== ⎪⎝⎭，解得：3ω=，所以A 对；由五点对应法得()32102k k ππϕπ⋅+=+∈Z ，因为02ϕπ≤<，所以5πϕ=，所以B 错误，所以()cos 35f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．当()2325k x k k ππππ≤+≤+∈Z 时，函数()f x 单调递减.取1k =，得()f x 的一个单调递减区间为314,515ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以C 错，函数()f x 图像的对称轴方程为()35x k k ππ+=∈Z ，即()315k x k ππ=-∈Z ，所以D 对．故选：AD12．下列命题正确的是（）A ．若//,//a b b c ，则//a cB ．若,a b b c ==，则a c= C ．若//a b．则存在唯一实数λ，使得a bλ= D ．若点P 为ABC 所在平面上一点，若20PA PC PB ++=，则APB △面积与ABC 面积之比为1：4【正确答案】BD【分析】A 、C 注意零向量的情况；B 由相等向量传递性判断；D 由()PA PB PC PB +=-+确定P 的位置，进而判断面积关系.【详解】A ：当b 为零向量时//a c不一定成立，错误；B ：由条件知：a b c ==，正确；C ：,a b 为零向量时a b λ=中实数λ不唯一，错误；D ：由()PA PB PC PB +=-+，易知：P 为ABC 平行于AC 的中位线中点，则2ABC APC S S = 且APB BPC S S = ，故APB △面积与ABC 面积之比为1：4，正确.故选：BD 三、填空题13．已知弧长为πcm 3的弧所对圆周角为6π，则这条弧所在圆的半径为____________cm ．【正确答案】1【分析】由弧度制公式lrα=求解即可得出答案.【详解】已知弧长为πcm 3的弧所对圆周角为6π，则所对的圆心角为π3，lrα=，313l r ππα∴===，故1.14．已知tan 2,tan 3,,αβαβ==均为锐角，则αβ+=____________．【正确答案】34π/34π【分析】根据正切函数的和角公式，可得tan tan 23tan()11tan tan 123αβαβαβ+++===---⨯，由角的取值范围，可得答案.【详解】因为tan tan 23tan()11tan tan 123αβαβαβ+++===---⨯，,αβ锐角，0αβ<+<π，所以34αβπ+=．故答案为.34π15．兰州黄河楼，位于黄河兰州段大拐弯处，是一座讲述黄河故事的人文地标，是传承和记录兰州文化的精神产物，展现了甘肃浓厚的历史文化底蕴及黄河文化的独特魅力．某同学为了估算该楼的高度，采用了如图所示的方式来进行测量：在地面选取相距90米的C 、D 两观测点，且C 、D 与黄河楼底部B 在同一水平面上，在C 、D 两观测点处测得黄河楼顶部A 的仰角分别为45,30︒︒，并测得120BCD ∠=︒，则黄河楼AB 的估计高度为_____________米．【正确答案】90【分析】根据仰角分别得出BC AB =,BD =，在BCD △中由余弦定理求解即可.【详解】在Rt ABC △中，45ACB ∠=︒，所以BC AB =，在Rt △ABD ，30ADB ∠=︒，所以tan 30ABBD=︒，即BD ，在BCD △中，120BCD ∠=︒，90CD =，由余弦定理，2222cos120BD BC CD BC CD =+-⋅︒，即2221390290()2AB AB AB =+-⨯⋅-，解得90AB =或45AB =-（舍去），即黄河楼AB 的估计高度为90米.故9016．如图，在等边三角形ABC 中，2AB =，点N 为AC 的中点，点M 是边CB （包括端点）上的一个动点，则AM NM ⋅的最大值为___________.【正确答案】3【分析】以AB 中点为原点，AB 边所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，利用向量的坐标运算计算即可得到答案.【详解】以AB 中点为原点，AB 边所在的直线为x 轴，AB 边的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则(1,0)A -，(1,0)B ，(C ，AC 中点122N ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.设(,)M x y ，则(1,)AM x y =+，1,22NM x y ⎛=+- ⎝⎭1(1)2AM NM x x y y ⎛⎛⎫⋅=+++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭.∵(,)M x y在直线10:BC x y +-=上，∴1x =-，∴2342323AM NM y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⋅=--+-=-+ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∵0y ≤≤0y =时，·AM NM的最大值为3.故3.四、解答题17．已知复数22(1)i()z m m m m =+-+-∈R ，其中i 为虚数单位．(1)若z 是纯虚数，求实数m 的值；(2)若m ＝2，设ii(,)iz a b a b z +=+∈-R ，试求a ＋b 的值．【正确答案】(1)2-(2)75【分析】（1）由实部等于0得到实数m 的值；（2）把复数iiz z +-整理成i a b +的形式，根据复数相等的条件得到a b 、的值进而求出a b +．【详解】（1）由题意可得：220m m +-=，且10m -≠，2m ∴=-；（2）若m ＝2，则4i z =+，所以2i 42i 2i (2i)34ii i 42i 2i (2i)(2i)5z a b z +++++=====+----+，35a ∴=，45b =，75a b ∴+=.18．已知||6a = ，||4= b ，(2)(3)72a b a b -⋅+=-.（1）求向量a ，b的夹角θ；（2）求|3|a b +.【正确答案】（1）23πθ=（2）()1利用平面向量数量积的分配律求出a b ⋅,然后代入夹角公式求解即可;()2结合()1中a b ⋅的值,利用平面向量数量积的性质：()22222a ba ba ab b +=+=+⋅+ 进行运算，求出23a b + 的值,然后再开方即可.【详解】∵(2)(3)72a b a b -⋅+=-,∴22672a a b b +⋅-=- ，∵6a = ，4b = ,∴3661672a b +⋅-⨯=- ,解得12a b ⋅=-,由平面向量数量积的夹角公式得,∴121cos 642a b a b θ⋅-===-⨯,∵0θπ≤≤∴23πθ=.（2）因为222369a b a a b b +=+⋅+ ，所以()2336612916a b +=+⨯-+⨯ 108=∴3a b += 本题考查平面向量数量积的性质及其夹角公式;考查运算求解能力;属于中档题、常考题型.19．已知α，β为锐角，sin 7α=，11sin()14αβ-=-.(1)求3πsin()sin(π)2πcos()2ααα++-的值；(2)求sin β的值.【正确答案】(1)17(2)7198【分析】（1）已知sin α和sin()αβ-的值，可求cos α和cos()αβ-的值，诱导公式化简后求值；（2）()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦，展开后代入已知数据即可求值.【详解】（1）α，β为锐角，sin 7α=，∴1cos 7α==，11sin()14αβ-=-，∴π02αβ-<-<，则cos()14αβ-==，则()3πsin()sin(π)cos sin 12cos πsin 7cos()2ααααααα++-⋅-===-（2）()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ⎡⎤=--=---⎣⎦111174⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭=7198=20．如图，在菱形ABCD 中，1,22CF CD CE EB ==.(1)若EF xAB y AD =+ ，求23x y +的值；(2)若6,60AB BAD ∠== ，求AC EF ⋅ .【正确答案】(1)1(2)9【分析】（1）利用向量的线性运算求EF ，结合平面向量的基本定理求得,x y ，进而求得23x y +.（2）先求得AB AD ⋅ ，然后利用转化法求得AC EF ⋅ .【详解】（1）因为1122CF CD AB ==- ，2CE EB= 所以2233EC BC AD == ，所以21213232EF EC CF BC CD AD AB =+=+=- ，所以12,23x y =-=，故231x y +=.（2）AC AB AD =+ ，()221211223263AC EF AB AD AD AB AB AD AD ⎛⎫∴⋅=+⋅-+=-+⋅+ ⎪⎝⎭，ABCD 为菱形，||||6,60AD AB BAD ∠∴=== ，所以66cos6018AB AD ⋅=⨯⨯= ，2211261869263AC EF ∴⋅=-⨯+⨯+⨯= .21．如图，某地计划在一海滩处建造一个养殖场，射线,OA OB 为海岸线，23AOB π∠=，现用长度为1千米的网依托海岸线围成一个POQ的养殖场(1)已知4PQO π∠=，求OP 的长度(2)问如何选取点,P Q ，才能使得养殖场POQ 的面积最大，并求其最大面积【正确答案】(2)OP OQ ==OPQ S平方千米.【分析】（1）运用正弦定理可求出OP 的长度；（2）根据面积公式和余弦定理可求.【详解】（1）在OPQ 中，由正弦定理可得：sin sin PQ OPPOQ PQO =∠∠，代入数据得12ππsin sin 34OP =解之：OP =（2）在OPQ 中，由余弦定理可得2222πcos 32OP OQ PQ OP OQ+-=⋅令,OP a OQ b ==可得2213a b ab ab ab =++≥=，所以1.3ab ≤当且仅当3a b ==时取得又()21sin 2412OPQ S ab POQ ab km =∠=≤OP OQ ∴==OPQ S.22．已知向量33sin ,2ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭ m x，ω⎫=⎪⎪⎝⎭n x ，0ω>，函数()f x m n =⋅ ．(1)若13ω=，求()f x 在[]0,3π上的单调递减区间；(2)若关于x 的方程()32=-f x 在[]0,1上有3个解，求ω的取值范围．【正确答案】(1)[]2,3ππ(2)10π2π,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【分析】(1)化简得()1π3sin 36f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由正弦函数的性质可得函数()f x 的单调递减区间为()[2π6π,5π6π]Z k k k ++∈，进而可得在[]0,3π上的单调递减区间；(2)由题意可得π1sin 62x ω⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，从而可得4π2π10π4π,0,,,,,33x ωωωω=L L ，结合题意可得10π132π1ωω⎧>⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，求解即可.【详解】（1）解：依题意，()33sin ,2ωω⎫⎛⎫=⋅=-⋅⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭f x m n xx 13cos 2ωω⎫=-⎪⎪⎝⎭x x π3sin 6x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当13ω=时，()1π3sin 36f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．令()π1π3π2π2πZ 2362k x k k +≤-≤+∈，得()2π6π5π6πZ k x k k +≤≤+∈，当0k =时，2π5πx ≤≤，故()f x 在[]0,3π上的单调递减区间为[]2,3ππ；（2）解：依题意，π1sin 62x ω⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则()π7π2πZ 66x k k ω-=+∈或()π11π2πZ 66x k k ω-=+∈，则()4π2πZ 3k x k ωω=+∈或()2π2πZ k x k ω+=∈．则4π2π10π4π,0,,,,33x ωωωω=L L ，则10π132π1ωω⎧>⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得10π2π3ω≤<，即ω的取值范围为10π2π,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭．。
高一数学第二学期期中考试试卷含答案(共5套)
高一下学期期中考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．某质检人员从编号为1～100这100件产品中，依次抽出号码为3,13,23，…，93的产品进行检验，则这样的抽样方法是( )A ．简单随机抽样B ．系统抽样C ．分层抽样D ．以上都不对 2．将八进制数135(8)化为二进制数为( ) A ．1 110 101(2) B ．1 010 101(2) C ．1 111 001(2)D ．1 011 101(2)3．某产品在某零售摊位上的零售价x (元)与每天的销售量y (个)统计如下表：据上表可得回归直线方程a ˆx b ˆy ˆ+=中的b ˆ＝－4，据此模型预计零售价定为16元时，销售量为( )A ．48B ．45C ．50D ．514．一组数据的平均数是4.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( )A ．55.2,3.6B ．55.2,56.4C ．64.8,63.6D ．64.8,3.65．某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3 500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按1100的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为( )A ．8B ．11C ．16D ．106.如图是一算法的程序框图，若输出结果为S ＝720，则在判断框中应填入的条件是( )A ．k ≤6B ．k ≤7C ．k ≤8D ．k ≤97.两人的各科成绩如茎叶图所示，则下列说法不正确的是（ ）A ．甲、乙两人的各科平均分相同B ．甲的中位数是83，乙的中位数是85C ．甲各科成绩比乙各科成绩稳定D ．甲的众数是89，乙的众数为878.sin 2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值为( ) A ．1 B ．2sin 2α C ．0 D ．29.利用秦九韶算法求f (x )＝x 5＋x 3＋x 2＋x ＋1当x ＝3时的值为( ) A ．121 B ．283 C ．321 D ．23910．如图，矩形长为8，宽为3，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为依据可以估计椭圆的面积为( ) A ．7.68 B ．8.68 C ．16.32D ．17.3211.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,其中a,b ∈{1,2,3,4,5,6},若|a-b|≤1,就称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为( )A. 91B. 92C. 187D.9412.《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=21（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为32π，弦长为m 340的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米.（其中3≈π，73.13≈） A ． 15 B ． 16 C ． 17 D ． 18第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归方程：y ∧＝0.234x ＋0.521.由回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元． 14．已知sin(π4＋α)＝32，则sin(3π4－α)的值为________． 15.在抛掷一颗骰子的试验中，事件A 表示“不大于4的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则事件B A Y 发生的概率为________．(B 表示B 的对立事件)16．设函数y ＝f (x )在区间[0,1]上的图像是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f (x )≤1，可以用随机模拟方法近似计算由曲线y ＝f (x )及直线x ＝0，x ＝1，y ＝0所围成部分的面积S .先产生两组(每组N 个)区间[0,1]上的均匀随机数x 1，x 2，…，x N 和y 1，y 2，…，y N ，由此得到N 个点(x i ，y i )(i ＝1,2，…N )．再数出其中满足y i ≤f (x i )(i ＝1,2，…，N )的点数N 1，那么由随机模拟方法可得到S 的近似值为________． 二、解答题（17题10分，其余均12分）17.(10分) 已知|x|≤2，|y|≤2，点P 的坐标为(x ，y)，求当x ，y ∈R 时，P 满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的概率．18．(12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；(2)求出y 关于x 的线性回归方程a ˆx b ˆyˆ+= (3)试预测加工10个零件需要多少小时？(注：b ∧＝∑ni ＝1x i y i －n x － y －∑n i ＝1x i 2－n x －2，a ∧＝y －－b ∧ x －)零件的个数x(个)2345加工的时间y(小时) 2.5 3 4 4.519．(12分)已知α是第三象限角，f (α)＝()()()α-π-•α-π-α-•α-π•α-πsin tan tan )2cos()sin((1)化简f (α)；(2)若⎪⎭⎫ ⎝⎛π-α23cos ＝15，求f (α)的值；20．(12分)某校为了解高三年级学生的数学学习情况，在一次数学考试后随机抽取n 名学生的数学成绩，制成如下所示的频率分布表.(1)求a ，b ，n 的值；(2)若从第三、四、五组中用分层抽样的方法抽取6名学生，并在这6名学生中随机抽取2名与老师面谈，求第三组中至少有1名学生被抽到与老师面谈的概率．21．（12分）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.（1）从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m,将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，求n≥m+2的概率.22．（12分）在育民中学举行的电脑知识竞赛中，将九年级两个班参赛的学生成绩(得分均为整数)进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05，第二小组的频数是40.(1)求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)求这两个班参赛的学生人数是多少？(3)求这两个班参赛学生的成绩的中位数.高一下期期中考试数学试题答案一、选择题B D B D A B D D BCD B二、填空题13. 0.234 14.3215.32 16.N1N三、解答题（17题10分，其余均12分）17.解：如图，点P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界)，满足(x－2)2＋(y－2)2≤9的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)．∴所求的概率P1＝14π×224×4＝π16.18.解：(1)散点图如图．(2)由表中数据得∑4i＝1x i y i＝52.5，x －＝3.5，y －＝3.5，∑4i ＝1x i 2＝54. ∴b ∧＝0.7，∴a ∧＝1.05. ∴y ∧＝0.7x ＋1.05.(3)将x ＝10代入回归直线方程，得y ∧＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)． ∴预测加工10个零件需要8.05小时．19．解：(1)f (α)＝＝－sin α·cos α·tan α－tan α·sin α＝cos α.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－32π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝－sin α，又cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－32π＝15，∴sin α＝－15.又α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝－265.20.解：(1)由表中数据，得5n ＝0.05，a n ＝0.35，20n＝b ，解得n ＝100，a ＝35，b＝0.20.(2)由题意，得第三、四、五组分别抽取的学生人数为3060×6＝3，2060×6＝2，1060×6＝1.第三组的3名学生记为a 1，a 2，a 3，第四组的2名学生记为b 1，b 2，第五组的1名学生记为c ，则从6名学生中随机抽取2名，共有15种不同情况，分别为{a 1，a 2}，{a 1，a 3}，{a 1，b 1}，{a 1，b 2}，{a 1，c }，{a 2，a 3}，{a 2，b 1}，{a 2，b 2}，{a 2，c }，{a 3，b 1}，{a 3，b 2}，{a 3，c }，{b 1，b 2}，{b 1，c }，{b 2，c }．其中第三组的3名学生均未被抽到的情况共有3种，分别为{b 1，b 2}，{b 1，c }，{b 2，c }． 故第三组中至少有1名学生被抽到与老师面谈的概率为1－315＝45.21解：（1）p=3162(2)先从袋中随机取一个球，记下编号m,放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号n,可能的结果为（1,1）（1,2）（1,3）（1,4）（2,1）（2,2）（2,3）（2,4）（3,1）（3,2）（3,3）（3,4）（4,1）（4,2）（4,3）（4,4）共16个，满足条件的事件为（1,3）（1,4）（2,4）共3个所以n ≥m+2的概率为p=16322．解：(1)各小组的频率之和为 1.00，第一、三、四、五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05.∴第二小组的频率为：1．00－(0.30＋0.15＋0.10＋0.05)＝0.40. ∴落在59.5～69.5的第二小组的小长方形的高＝频率组距＝0.4010＝0.04.则补全的直方图如图所示．(2)设九年级两个班参赛的学生人数为x 人．∵第二小组的频数为40人，频率为0.40，∴40x＝0.40，解得x＝100(人)．所以九年级两个班参赛的学生人数为100人．(3)∵（0.03+0.04）×10>0.5所以九年级两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第二小组内．设中位数为x则0.03×10+（x-59.5）×0.04=0.5得x=64.5高一下学期期中数学考试试卷(时间：120分钟满分：150分)第Ⅰ卷 (选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合，，则( )A． B． C． D．2．( )A．0 B．1 C．2 D.43．若，则下列结论正确的是( )A． B．C． D．4．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A．B．C．D．5．函数的定义域是( )A． B． C． D．6．函数过定点( )A． B． C． D．7．已知，，，则＝( )A． B． C． D．8．已知函数为幂函数，则实数的值为( )A．或 B．或 C． D．9．已知函数，若，则实数等于( )A ．2 B. 45 C ．12 D ．910．若，则函数与的图象可能是下列四个选项中的( )11．已知是定义在上的奇函数，当时，,则当时，( )AB ．C ．D ．12．若函数是定义在上的偶函数，在上是增函数，且，则使得的的取值范围是( ) A ．B ． C. D ．第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上) 13．设集合，集合，若，则实数14．若，则＝15．如果函数，的增减性相同，则的取值范围是.16．已知是方程的两个根，则的值是.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)计算下列各式的值（式中字母都是正数）： （1）；（2）已知，求的值.18．(本小题满分12分)已知集合，．（1）若，求；（2）⊆，求的取值范围．19．(本小题满分12分)已知函数+2.（1）求在区间上的最大值和最小值；（2）若在上是单调函数，求的取值范围.20．(本小题满分12分)已知函数是R上的奇函数，(1)求的值；(2)先判断的单调性，再证明．21．(本小题满分12分)已知函数，．(1)求函数的定义域；(2)讨论不等式中的取值范围．22．(本小题满分12分)若二次函数满足且. （1）求的解析式；（2）若在区间上不等式恒成立，求实数的取值范围.高一下学期期中考试试卷数学时量：120分钟 总分：150分一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1．3x cos y =是( )A ．周期为π6的奇函数B ．周期为3π的奇函数C ．周期为π6的偶函数D ．周期为3π的偶函数2.已知sin α＝41，则cos 2α的值为( )A ．21B ．87- C.21- D.873．已知平面向量()()3,2,4,1==→→b a ，则向量=+→→b a 5251（ ）A ．()1,2B ．()5,3 C.()3,5 D.()2,14.已知平面向量a ＝(2，4)，b ＝(－4，m )，且a ⊥b ，则m ＝( )A ．4B ．2C ．－4D ．－25．为得到函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=33sin πx y 的图象，只需将函数y ＝sin 3x 的图象( )A ．向左平移9π个长度单位B ．向右平移9π个长度单位C ．向左平移3π个长度单位D ．向右平移3π个长度单位6.设a ＝(8，－2)，b ＝(－3,4)，c ＝(2,3)，则(a ＋2b )·c 等于( )A ．(4,18)B ．22C ．－6 D.(18,4)7.已知a ·b ＝122，|a |＝4，a 与b 的夹角为45°，则|b |为( )A ．12 A ．3 C ．6 D ．98.若－π2＜α＜0，则点P (sin α，cos α)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9.已知α∠的终边经过点()31P ，，则=αsin ( )A ．21 B ．10103C ．31D ．3310．若=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧>⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+2,32032sin ππππx x f x x ，，求)32(πf =（ ） A.0 B.23C.21 D.1 11．已知2tan -=α，则αααα22cos sin cos sin 3-的值是( ) A ．2- B ． 3 C ．2 D ．3- 12．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，则AB →·AC→等于( )A ．－3B ．－6C ．9D ．6 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知AB →＝(2，7)，AC →＝(－5,8)，则BC →＝__________________.14．函数()()()R x x x x f ∈-=cos sin 2的最小正周期为________，最大值为________． 15．设a ＝(5,-2)，b ＝(6,2)，则2|a |2－12a ·b ＝______________.16．已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝5，则tan β的值为________． 三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（10分）已知()ππθθ2,,53cos ∈=，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+6sin πθ以及⎪⎭⎫ ⎝⎛-4tan πθ的值．18.（10分）设函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6sin 2πωx x f ，0>ω，最小正周期为2π. (1)求()0f .(2)求()x f 的解析式.(3)求()x f 的单调递增区间．19.（12分）已知向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,3)，c ＝(5,2)．(1)求6a ＋b －2c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)若(a ＋k c )//(2b －a )，求实数k . 20. （12分）已知23παπ<<，211-tan tan -=αα.(1)求αtan 的值。
河南省焦作市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
河南省焦作市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．设21i (i i i z +=+为虚数单位)，则z =（ ） A ．i B ．i - C ．1i + D ．1i -- 2．下列命题正确的是（ ）A ．若直线//a b ，则a 平行于经过b 的任何平面B ．若直线a ，b 和平面α，β，满足a αβ⋂=，//b α，//b β，则//a bC ．若直线a ，b 和平面α满足//a α，//b α，则//a bD ．若直线a 和平面α满足//a α，则a 与α内任何直线平行3．如图，四边形ABCD 的斜二测画法直观图为等腰梯形A B C D ''''．已知4A B ''=，2C D ''=，则下列说法正确的是（ ）A ．2AB = B ．A D ''=C．四边形ABCD 的周长为4+D ．四边形ABCD 的面积为4．已知直角ABC V 斜边BC 的中点为O ，且OA AB =u u u r u u u r ，则向量CA u u u r 在向量CB u u u r 上的投影向量为（ ）A ．14CB u u u r B ．34CB u u u rC ．14CB -u u u rD ．34CB -u u u r 5．已知e r 为单位向量，向量a r 满足2a e ⋅=r r ，1a e λ-=r r ，则a r 的最大值为（ ）A ．4B ．2CD ．56．ABC V 中，a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 的对边，若222ABC a b c =+-V ，且()0||||AB AC BC AB AC +⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则ABC V 的形状是（ ） A ．等腰非直角三角形 B ．三边均不相等的直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形7．已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的表面上，若11,4AB AC AA ===，2π3BAC ∠=，则球O 的表面积为（ ） A ．16πB ．20πC ．28πD ．32π 8．在锐角ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos a b B =，且b c ≠，则下列命题正确的有（ ）个①2A B = ②角B 的取值范围是0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭③cos A 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭④a b 的取值范围是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、多选题9．已知复数z 满足11z z =-=，且复数z 对应的点在第一象限，则下列结论正确的是（ ）A ．复数z 的虚部为32B ．11z 2=C ．21z z =-D ．复数z 的共轭复数为12- 10．下列说法中正确的有（ ）A ．与()2,1a =-r 垂直的单位向量为⎝⎭B ．已知a r 在b r 上的投影向量为12b r 且5b =r ，则252a b ⋅=r r C ．若非零向量a r ，b r 满足a b a b ==-r r r r ，则a r 与a b +r r 的夹角是30︒D ．已知()1,2a =r ，()1,1b =r ，且a r 与a b λ+r r 夹角为锐角，则λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭11．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，已知M ，N ，P 分别是棱11C D ，1AA ，BC 的中点，点Q 满足1CQ CC λ=u u u r u u u u r ，[]0,1λ∈，下列说法正确的是（ ）A ．//PQ 平面11ADD AB ．若Q ，M ，N ，P 四点共面，则14λ=C ．若13λ=，点F 在侧面11BB C C 内，且1//A F 平面APQ ，则点FD ．若12λ=，由平面MNQ 分割该正方体所成的两个空间几何体为1Ω和2Ω，某球能够被整体放入1Ω或2Ω，则该球的表面积最大值为(12π-三、填空题12．如图，在平面五边形ABCDE 中， 1,2,AB DE BC CD AE =====90ABC BCD CDE ∠=∠=∠=︒，则五边形ABCDE 绕直线AB 旋转一周所成的几何体的体积为13．在ABC V 中，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，2π,43ABC BD ∠==，则ABC V 周长的最小值为． 14．已知非零向量a b r r ､，满足π2,1,,3a b a b ===r r r r ，且()()0c a c b -⋅-=r r r r ，则c r 的最大值为.四、解答题15．已知,,a b c r r r 是同一平面内的三个向量，其中()1,2a =r .(1)若c =r //c a r r ，求c r 向量；(2)若b =r 2a b +r r 与2a b -r r 垂直，求a r 与b r 的夹角的余弦值. 16．记ABC V 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin 2sin cos 2sin c A B A a A+=． (1)求B 的大小；(2)若b =ABC V 的面积为ABC V 的周长．17．如图，在几何体ABCDFE 中，四边形ABCD 为直角梯形，2,2DC AB GC FG ==，平面ABEF ⋂平面CDEF EF =(1)证明：AF //平面BDG(2)证明：//AB EF18．在ABC V 中，已知4AB =，10AC =，60BAC ∠=︒，BC 、AC 边上的两条中线AM 、BN 相交于点G.(1)求BN u u u r 、AM u u u u r ；(2)求CN u u u r 与GM u u u u r 夹角的余弦值.19．“但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等．某种植园准备将如图扇形空地AOB 分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为2π3，动点P 在扇形的弧上，点Q 在OB 上，且//PQ OA ．(1)求扇形空地AOB 的周长和面积；(2)当50OQ =米时，求PQ 的长；(3)综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区OPQ △的面积尽可能的大．设AOP θ∠=，求OPQ △面积的最大值．。
2023-2024学年广东省惠州中学高一(下)期中数学试卷(含答案)
2023-2024学年广东省惠州中学高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={−2,−1,0,1,2}，B ={x|lnx >0}，则A ∩B =( )A. {1}B. {2}C. {−2,2}D. {−1,0,1}2.已知α，β是平行四边形的两个内角，则“α=β”是“sinα=sinβ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知互相垂直的平面α，β交于直线l ，若直线m ，n 满足m//α，n ⊥β，则( )A. m//lB. m//nC. n ⊥lD. m ⊥n 4.如图，在△ABC 中，AN =12NC ，P 是BN 上的一点，若AP =(m +13)AB +19AC ，则实数m 的值为( )A. 19B. 29C. 23D. 135.若函数f(x)={x 2−2ax +1,x >1ax,x ≤1在其定义域内是一个单调递增函数，则实数a 的取值范围是( )A. (0,1]B. (0,23]C. [0,1]D. [0,23]6.已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积是底面积的2倍，则圆锥的体积为( )A. 6πB. 6 3πC. 9 3πD. 12π7.心理学家有时用函数L(t)=A(1−e −kt )测定在时间t(单位：min)内能够记忆的量L ，其中A 表示需要记忆的量，k 表示记忆率．假设一个学生需要记忆的量为200个单词，此时L 表示在时间t 内该生能够记忆的单词个数．已知该生在5min 内能够记忆20个单词，则k 的值约为( )(ln0.9≈−0.105,ln0.1≈−2.303)A. 0.021B. 0.221C. 0.461D. 0.6618.如图，O 是锐角三角形ABC 的外心，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A =π3，若cosB sinCAB +cosCsinB AC =2m AO ，则m =( )A. 12 B. 22C. 32D. 1二、多选题：本题共3小题，共18分。
高一数学期中考试题及答案
高一数学期中考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，为奇函数的是：A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = sin(x)2. 函数f(x) = x^2 - 2x + 1的零点是：A. 1B. -1C. 0D. 23. 集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∩B等于：A. {1}B. {2, 3}C. {4}D. {1, 2, 3, 4}4. 已知数列{a_n}的通项公式为a_n = 2n + 1，那么a_5等于：A. 11B. 9C. 13D. 155. 若函数f(x) = 3x - 5，则f(2)等于：A. 1B. -1C. 7D. 36. 直线y = 2x + 3与x轴的交点坐标是：A. (0, 3)B. (1, 5)C. (-3/2, 0)D. (3/2, 0)7. 圆的一般方程为x^2 + y^2 + 2x - 4y + 5 = 0，其圆心坐标是：A. (-1, 2)B. (1, -2)C. (-1, -2)D. (1, 2)8. 函数y = x^2 - 4x + 3的最小值是：A. -1B. 0C. 1D. 39. 已知三角形ABC的三边长分别为a, b, c，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么三角形ABC是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定10. 函数y = √(x - 2)的定义域是：A. x ≥ 2B. x > 2C. x < 2D. x ≠ 2二、填空题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3的最大值为2，则x的值为______。
2. 已知数列{a_n}满足a_1 = 1，a_n = 2a_{n-1} + 1，那么a_3等于______。
3. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1的对称轴方程是______。
4. 集合A = {x | x^2 - 5x + 6 = 0}，则A的元素个数为______。
浙南名校联盟2024年高一下学期4月期中联考数学试卷
2023学年第二学期浙南名校联盟期中联考高一年级数学学科 试题考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4．考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数z 满足()34i 43i z +=+，则z 的虚部为（ ） A ．4−B ．45−C ．4i −D ．4i 5−2．如图，直角梯形O A B C ′′′′满足O A O C ⊥′′′′，2O A A B ′′′′==，3O C ′′=，它是水平放置的平面图形的直观图，则该平面图形的周长是（ ）A ．7B ．5+C ．11+D ．3．已知函数()()ln ,01,31,1,x x f x f x x <≤ =−> 则103f等于（ ） A ．9ln3−B ．9ln3C ．27ln3−D ．27ln34．已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积为（ ）A ．2πBCD 5．在ABC △中，D 是AB 边上的一点，且CD 平分ACB ∠，若CA a = ，CB b = ，2b = ，1a =，则AD =（ ） A ．1324a b−+B ．1233a b+C ．1133a b−+D ．2133a b +6．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知1a c =−，1b c =+，若ABC △为钝角三角形，则c 的取值范围为（ ） A ．()2,4B ．()1,3C ．()0,3D ．()3,47．已知四边形ABCD 内接于圆O ，且满足1AB =，3AD =，2BC CD ==，则圆O 的半径为（ ） ABCD8．用一个内底面直径为3，高为20的圆柱体塑料桶去装直径为2的小球，最多能装下小球个数为（ ） A ．10B ．11C ．12D ．13二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。
2023-2024学年厦门市高一数学第二学期期中考试卷附答案解析
2023-2024学年厦门市高一数学第二学期期中考试卷（考试时间120分钟，满分150分）考试时间：2024年4月28日考试时长120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数2i i z =-，则z 对应的点Z 在复平面的（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知向量(2,1),(1,4)a b ==- ，则23a b -=（）A ．(7,10)-B ．(1,14)C ．(7,10)-D ．(7,6)3．下列命题中正确的是（）A ．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B ．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面C ．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形D ．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形4．在空间四边形ABCD 中，AC=BD ，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，顺次连接各边中点E ，F ，G ，H ，所得四边形EFGH 的形状是（）A ．梯形B ．矩形C ．正方形D ．菱形5．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15︒的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30︒，第一排和最后一排的距离为（如图所示），则旗杆的高度为（）A ．10mB ．30mC ．D ．6．在ABC 中，若sin 2sin cos C B B =，且64ππ,B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则c b 的范围为（）A ．B ．)2C ．()0,2D ．)27．如图，点A ，B ，C ，M ，N 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线//MN 平面ABC 的是（）A ．B ．C ．D ．8．已知AB AC ⊥ ，||AB t = ，1||AC t= ．若点P 是△ABC 所在平面内一点，且2||||AB ACAP AB AC =+，则PB PC ⋅ 的最大值为（）A ．13B ．5-C ．5-D ．10+二、多选题：本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．设复数12i1i z +=+，则（）A ．z 的实部为32B ．31i 22z =-C ．z 的虚部为1i2D ．1z =10．已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，下列说法正确的是（）A ．若sin :sin :sin 2:3:4ABC =，则ABC 是钝角三角形B ．若sin sin A B >，则a b>C ．若0AC AB ⋅>，则ABC 是锐角三角形D ．若45A =o ，2a =，b =，则ABC 只有一解11．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M 是ABC 内一点，BMC △，AMC ，AMB 的面积分别为A S ，B S ，C S ，且0A B C S MA S MB S MC ⋅+⋅+⋅=．以下命题正确的有（）A ．若::1:1:1ABC S S S =，则M 为AMC 的重心B ．若M 为ABC 的内心，则0BC MA AC MB AB MC ⋅+⋅+⋅=C ．若45BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒，M 为ABC 的外心，则::2:1A B C S S S =D ．若M 为ABC 的垂心，3450MA MB MC ++= ，则cos AMB ∠=三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12．在△ABC 中，B ＝135°，C ＝15°，a ＝5，则此三角形的最大边长为.13．将边长为2的正方形卷成一个圆柱的侧面，所得圆柱的体积为．14．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若a c =，sin 3,26sin 2A aB =≤≤，则ABC S - 的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin a B ．(1)若2b =，3c =，求a 的值：(2)若2a bc =，判断ABC 的形状．16．如图，在平行四边形ABCD 中，4AB =，2AD =，60BAD ︒∠=，E ，F 分别为AB ，BC 上的点，且2AE EB =，2=CF FB ．(1)若DE x AB y AD =+，求x ，y 的值；(2)求AB DE ⋅的值；(3)求cos BEF ∠．17．如右图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E 是棱BC 的中点．(1)求证：BD 1∥平面C 1DE ；(2)求三棱锥D －D 1BC 的体积18．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，且()3sin sin 32sin A B c bC a b--=+．(1)求sin A ；(2)若ABC①已知E 为BC 的中点，求ABC 底边BC 上中线AE 长的最小值；②求内角A 的角平分线AD 长的最大值．19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当ABC 的三个内角均小于120︒时，使得120AOB BOC COA ∠=∠=∠=︒的点O 即为费马点；当ABC 有一个内角大于或等于120︒时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且cos2cos2cos21B C A +-=(1)求A ；(2)若2bc =，设点P 为ABC 的费马点，求PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅；(3)设点P 为ABC 的费马点，PB PC t PA +=，求实数t 的最小值．1．C【分析】根据虚数单位的性质化简，再由实部、虚部符号确定复数对应点所在象限.【详解】因为2i i=1i z =---，所以z 对应的点Z 在复平面的第三象限，故选：C 2．A【分析】根据向量线性运算的坐标表示计算可得；【详解】解：因为(2,1),(1,4)a b ==-，所以()()()2322,131,47,10a b -=--=- ；故选：A 3．D【分析】根据题意，结合棱柱的几何结构特征，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，如图所示满足有两个面互相平行，其余各面都是四边形，但该几何体不是棱柱，故A 不正确；对于B 中，正六棱柱中有四对互相平行的面，但只有一对面为底面，所以B 不正确；对于C 中，长方体、正方体的底面都是平行四边形，故C 不正确；对于D 中，根据棱柱的几何结构特征，可得棱柱的侧棱都相等，且侧面都是平行四边形，所以D 正确.故选：D.4．D【分析】根据空间四边形中各点的位置，结合中位线的性质可得EFGH 是平行四边形，再由AC=BD 即可判断四边形EFGH 的形状.【详解】如图所示，空间四边形ABCD 中，连接AC ，BD 可得一个三棱锥，将四个中点连接，得到四边形EFGH ，由中位线的性质及基本性质4知，EH ∥FG ，EF ∥HG ；∴四边形EFGH 是平行四边形，又AC=BD ，∴HG=12AC=12BD=EH ，∴四边形EFGH 是菱形.故选：D 5．B【分析】先根据正弦定理求出BC ，再根据直角三角形三角函数关系即可求解.【详解】如图，由题可知：在ABC 中，45A =︒，105ABC ∠=︒，所以30ACB ∠=︒．sin 45BC=︒，所以22BC ==，在Rt CBD △中，3sin 6030(m)2CD BC ︒==⨯=．故选：B 6．A【分析】根据题意，利用正弦定理化简得到2cos c B b =，结合64ππ,B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和余弦函数的性质，即可求解.【详解】因为sin 2sin cos C B B =，由正弦定理得2cos c b B =，则2cos cB b=，又因为64ππ,B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos B <<2cos B <所以cb的范围为.故选：A.7．D【分析】对于A ，根据//MN AC 结合线面平行的判断定理即可判断；对于B,根据//MN BE 结合线面平行的判断定理即可判断；对于C ，根据//MN BD ，结合线面平行的判断定理即可判断；对于D ，根据四边形AMNB 是等腰梯形，AB 与MN 所在的直线相交，即可判断.【详解】对于A,如下图所示，易得//,//AC EF MN EF ,则//MN AC ，又MN ⊄平面ABC ,AC ⊂平面ABC ,则//MN 平面ABC ，故A 满足；对于B ，如下图所示，E 为所在棱的中点，连接,,EA EC EB ,易得,//AE BC AE BC =,则四边形ABCE 为平行四边形，,,,A B C E 四点共面，又易知//MN BE ，又MN ⊄平面ABC ,BE ⊂平面ABC ,则//MN 平面ABC ，故B 满足；对于C,如下图所示，点D 为所在棱的中点，连接,,DA DC DB ,易得四边形ABCD 为平行四边形，,,,A B C D 四点共面，且//MN BD ,又MN ⊄平面ABC ,BD ⊂平面ABC ,则//MN 平面ABC ，故C 满足；对于D ，连接,AM BN ,由条件及正方体的性质可知四边形AMNB 是等腰梯形，所以AB 与MN 所在的直线相交，故不能推出MN 与平面ABC 不平行，故D 不满足，故选：D.8．B【分析】以A 为原点，建立直角坐标系，利用向量的数量积的坐标运算，以及二次函数的性质，即可求解.【详解】以A 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设P （x ，y ）则1(,0),(0,0)B t C t t >，可得(1,0)AB AB = ，2(0,2)||AC AC = ，所以(1,2)AP = ，即(1,2)P ，故(1,2)PB t =-- ，11,2PC t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以221455PB PC t t t t ⎛⎫⋅=-+-=-+≤- ⎪⎝⎭ 2t t =即t 时等号成立．故选：B．9．AB【分析】根据复数除法求出z ，由复数的概念判断AC ，根据共轭复数判断B ，根据模的定义判断D.【详解】因为()()()()12i 1i 12i 122i i 31i 1i 1i 1i 222z +-+++-====+++-，所以z 的实部为32，虚部为12，31i 22z =-，102z =，故选：AB 10．ABD【分析】对于A ，利用正弦定理及大边对大角，结合余弦定理的推论即可求解；对于B ，利用正弦定理的角化边即可求解；对于C ，利用向量的数量积的定义即可求解；对于D ，利用正弦定理及三角函数的特殊值对应特殊角即可求解.【详解】对于A ，因为ABC 的三个角满足sin :sin :sin 2:3:4A B C =，所以由正弦定理化简得::2:3:4a b c =，设2,3,4a k b k c k ===，c 为最大边，由余弦定理得222222249163cos 02124a b c k k k C ab k +-+-===-<，所以C 为钝角，所以ABC 是钝角三角形，故A 正确；对于B ，由sin sin A B >及正弦定理，得22a b R R>,解得a b >，故B 正确；对于C ，因为0AC AB ⋅>，所以cos cos 0AC AB AC AB A bc A ⋅⋅==> ，所以cos 0A >，所以A 为锐角，但无法确定B 和C 是否为锐角，故C 错误；对于D ，由正弦定理得222sin 45sin B=，解得sin 1B =，因为0180B << ,所以90B = ，所以ABC 只有一解，故D 正确.故选：ABD.11．ABD【分析】A 选项，0MA MB MC ++=，作出辅助线，得到A ，M ，D 三点共线，同理可得M 为ABC 的重心；B 选项，设内切圆半径为r ，将面积公式代入得到0BC MA AC MB AB MC ⋅+⋅+⋅=；C 选项，设外接圆半径，由三角形面积公式求出三个三角形的面积，得到比值；D 选项，得到::3:4:5A B C S S S =，作出辅助线，由面积关系得到线段比，设MD m =，MF n =，5ME t =，表示出AM ，BM ，MC ，结合三角函数得到m ，m =，进而求出余弦值；【详解】对A 选项，因为::1:1:1A B C S S S =，所以0MA MB MC ++=，取BC 的中点D ，则2MB MC MD += ，所以2MD MA =-，故A ，M ，D 三点共线，且2MA MD =，同理，取AB 中点E ，AC 中点F ，可得B ，M ，F 三点共线，C ，M ，E 三点共线，所以M 为ABC 的重心，A 正确；对B 选项，若M 为ABC 的内心，可设内切圆半径为r ，则12A S BC r =⋅，12B S AC r =⋅，12C S AB r =⋅，所以1110222BC r MA AC r MB AB r MC ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= ，即0BC MA AC MB AB MC ⋅+⋅+⋅=，B 正确；对C 选项，若45BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒，M 为ABC 的外心，则75ACB ∠=︒，设ABC 的外接圆半径为R ，故290BMC BAC ∠=∠=︒，2120AMC ABC ∠=∠=︒，2150AMB ACB ∠=∠=︒，故2211sin 9022A S R R =︒=，221sin1202B S R R =︒，2211sin15024C S R R =︒=，所以::2A B C S S S =，C错误；对D 选项，若M 为ABC 的垂心，3450MA MB MC ++=，则::3:4:5A B C S S S =，如图，AD BC ⊥，CE AB ⊥，BF AC ⊥，相交于点M ，又ABC A B C S S S S =++ ，31124AABC S S == ，即:3:1AM MD =，41123BABC S S == ，即:1:2MF BM =，512CABC S S =，即:5:7ME MC =，设MD m =，MF n =，5ME t =，则3AM m =，2BM n =，7MC t =，因为CAD CBF ∠=∠，sin ,sin 32n mCAD CBF m n∠=∠=，所以32n m m n =，即3m =，3cos 22m BMD n n ∠===，则()cos cos πAMB BMD ∠=-∠=D 正确；故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查向量与四心关系应用，关键是利用三角形的几何关系及向量数量积及向量线性表示逐项判断.12．【详解】解：利用正弦定理可知，B 角对的边最大，因为05sin 230,51sin sin sin 2a b aBA b AB A =∴=∴===故答案为：13．2π【分析】先计算底面积，再计算体积.【详解】122R R ππ=∴=22122V R h ππππ=⨯=⨯⨯=故答案为2π【点睛】本题考查了圆柱的体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.14【分析】由正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式化简计算可得.【详解】222sin 37,23,,cos sin 229A a c b a b a c B B ac +-=∴==∴==，则sin B =2221922ABC S a a ⎫∴-=-⋅=+=-+⎪⎝⎭ []2,6,ABC a S ∈∴-V Q故答案为：922.15．(1)a =(2)等边三角形．【分析】（1）由正弦定理边化角，求出π3A =，再利用余弦定理可得答案；(2)由余弦定理得结合2a bc =得2220b c bc +-=，进而b c =，从而可得答案.【详解】（1）由正弦定理，33sin sin sin sin ,sin 022a B b A B B B =⇒≠ ，故ππsin 0,223A A A ⎛⎫=∈⇒= ⎪⎝⎭，再由余弦定理得，2222212cos 2322372a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=,从而a =（2）因为π3A =，所以由余弦定理得222a b c bc=+-结合2a bc =得2220b c bc +-=，进而22,b c a b a b c =⇒===，所以ABC 是等边三角形．16．(1)2,13x y ==-(2)203【分析】（1）由向量的运算法则求解（2）分解后由数量积的运算求解（3）由数量积的定义求夹角【详解】（1）23DE DA AE AB AD =+=- ，故2,13x y ==-（2）2220()1642cos 60333AB DE AB AB AD ⋅=⋅-=⨯-⨯⨯︒=（3）111,,333EB AB EF AB AD ==+4||3EB =，27||3EF =16499cos 14||||EB EFBEF EB EF +⋅∠==17．(1)见解析；(2)23.【分析】（1）利用三角形中位线的性质，证明线线平行，从而可得线面平行；（2）利用等体积11D D BC D DBC V V --=，即可求得三棱锥D ﹣D 1BC 的体积．【详解】（1）证明：连接D 1C 交DC 1于F ，连接EF ，在正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面四边形DCC 1D 1为矩形，∴F 为D 1C 的中点．又E 为BC 的中点，∴EF ∥D 1B ．∴BD 1∥平面C 1DE ．（2）解：连接BD ，11D D BC D DBCV V --=又△BCD 的面积为12222S =⨯⨯=．故三棱锥D ﹣D 1BC 的体积1111221333D DBC BCD V S D D -∆==⨯⨯=．【点睛】本题考查线面平行，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．(1)sin A =(2)AE，AD【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到1cos 3A =，进而求出sin A ；（2）由面积公式求出16bc =，进而根据向量的模长公式结合不等式即可求解AE 的最值，根据三角形面积公式，结合等面积法，利用基本不等式可求解AD 的最值.【详解】（1）由正弦定理，得3()32a b c b a b c --=+，即22223c b a bc +-=，故2221cos 23232bc c b a A bc bc +-===，因为cos 0A >，所以π(0,)2A ∈，所以22sin 3A ==；（2）①由（1）知sin 3A =，因为ABC1n si 2bc A =，解得16bc =，由于()12AE AB AC =+ ，所以()()2222222111212183222cos 2444343433AE AB AC AB AC c b bc A c b bc bc bc bc ⎛⎫⎛⎫=++⋅=++=++≥+=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当b c =时，等号取得到，所以2323AE AE ≥⇒ ②因为AD 为角A 的角平分线，所以1sin sin 2BAD CAD A ∠=∠=，由于ADB ADC ABC S S S += ，所以111sin sin sin sin cos 2222222A A A A AD c AD b bc A bc +==，由于sin02A ≠,所以()2cos 2A AD c b bc +=，由于2212cos 2cos 1cos cos 23232A A A A =-=⇒=⇒，又16bc =，所以()63262cos216233A AD c b bc +==⨯⨯由于8b c +≥，当且仅当b c =时，等号取得到，故()83AD c b AD =+≥=，故3AD ≤，19．(1)π2A =(2)(3)2+【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简cos2cos2cos21B C A +-=可得222a b c =+，即可求得答案；（2）利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案.（3）由（1）结论可得2π3APB BPC CPA ∠=∠=∠=，设||||||,||,||PB m PA PC n PA PA x ===，推出m n t +=，利用余弦定理以及勾股定理即可推出2m n mn ++=，再结合基本不等式即可求得答案.【详解】（1）由已知ABC 中cos2cos2cos21B C A +-=，即22212sin 12sin 12sin 1B C A -+--+=，故222sin sin sin A B C =+，由正弦定理可得222a b c =+，故ABC 直角三角形，即π2A =.（2）由（1）π2A =，所以三角形ABC 的三个角都小于120︒，则由费马点定义可知：120APB BPC APC ∠=∠=∠=︒，设,,PA x PB y PC z === ，由APB BPC APC ABC S S S S ++= 得：111122222xy yz xz +=⨯，整理得xy yz xz ++=，则PA PB PB PC PA PC⋅+⋅+⋅111142222233xy yz xz ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-+⋅-=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（3）点P 为ABC 的费马点，则2π3APB BPC CPA ∠=∠=∠=，设||||||||,||,00,,0,PB m PA PC n PA PA x m n x ===>>>，则由PB PC t PA +=得m n t +=；由余弦定理得()22222222π||2cos 13AB x m x mx m m x =+-=++，()22222222π||2cos 13AC x n x nx n n x =+-=++，()2222222222π||2cos 3BC m x n x mnx m n mn x =+-=++，故由222||||||AC AB BC +=得()()()222222211n n x m m x m n mn x +++++=++，即2m n mn ++=，而0,0m n >>，故22()2m n m n mn +++=≤，当且仅当m n =，结合2m n mn ++=，解得1m n ==又m n t +=，即有2480t t --≥，解得2t ≥+2t ≤-故实数t 的最小值为2+【点睛】关键点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，从而结合（1）的结论可解答第二问，解答第二问的关键在于设||||||,||,||PB m PA PC n PA PA x ===，推出m n t +=，结合费马点含义，利用余弦定理推出2m n mn ++=，然后利用基本不等式即可求解.。
人教版高一年级第二学期期中考试数学试卷与答案解析(共五套)
8．已知 ,且 ，则 （ ）
A．4B．3C． D．
9．在△ 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则
A． B．
C． D．
10．△ABC的内角A、B、C的对边分别为 、b、c.已知 ， ， ，则b=
A． B． C．2D．3
11．已知向量 ， 是不平行于 轴的单位向量，且 ，则 （ ）
解得 （ 舍去），故选D.
11．已知向量 ， 是不平行于 轴的单位向量，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，其中 ，则 .
由题意得 ，解得 ，即 .
故选：B.
12．若非零向量 满足 ，且 ，则 的夹角为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵ ，所以 ，即 ，
即 ，∴
，又 ，故 ，故选A.
A．3B．2C． D．
【答案】D
【解析】点 是 所在平面上一点，过 作 ，如下图所示：
由 ，
故 ，
所以 与 的面积之比为 ，
故选：D．
7．设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】题意， ，所以 .故选：C.
8．已知 ,且 ，则 （ ）
A．4B．3C． D．
（2）因为 为三角形内角，
所以 ，
，
由正弦定理得： ，
又∵ ．
，解得 或 （舍）．
．
22．在 中，角 所对的边分别为 ，已知 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）∵ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，∴ ，∴ ．
北京市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题含答案
北京2023—2024学年第二学期期中练习高一数学（答案在最后）2024.04说明：本试卷共4页，共120分.考试时长90分钟.一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.sin120︒的值等于（）A.12-B.12C.2D.2【答案】D 【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值得到2，从而可求解.【详解】由题意可得sin1202︒=，故D 正确.故选：D.2.若角α的终边过点()4,3，则πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.45B.45-C.35D.35-【答案】A 【解析】【分析】根据余弦函数定义结合诱导公式计算求解即可.【详解】因为角α的终边过点()4,3，所以4cos 5α==，所以π4sin cos 25αα⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故选：A3.已知扇形的弧长为4cm ，圆心角为2rad ，则此扇形的面积是（）A.22cmB.24cm C.26cm D.28cm 【答案】B【解析】【分析】由条件结合弧长公式l R α=求出圆的半径，然后结合扇形的面积公式12S lR =可得答案．【详解】因为扇形的圆心角2rad α=，它所对的弧长4cm l =，所以根据弧长公式l R α=可得，圆的半径2R =，所以扇形的面积211424cm 22S lR ==⨯⨯=；故选：B ．4.向量a ，b ，c在正方形网格中的位置如图所示，若向量c a b λ=+，则实数λ=（）A.2-B.1-C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】将3个向量的起点归于原点，根据题设得到它们的坐标，从而可求λ的值.【详解】如图，将,,a b c的起点平移到原点，则()()()1,1,0,1,2,1a b c ==-= ，由c a b λ=+可得()()()2,11,10,1λ=+-，解得2λ=，故选：D.5.下列四个函数中以π为最小正周期且为奇函数的是（）A.()cos2f x x =B.()tan2x f x =C.()()tan f x x =- D.()sin f x x=【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数的周期性和奇偶性对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A ，函数()cos2f x x =的最小正周期为π，因为()()()cos 2cos 2f x x x f x -=-==，所以()cos2f x x =为偶函数，A 错误，对于B ，函数()tan 2xf x =的最小正周期为2π，因为()()tan tan 22x x f x f x ⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭，所以函数()tan 2x f x =为奇函数，B 错误，对于C ，函数()()tan f x x =-的最小正周期为π，因为()()()tan tan f x x x f x -==--=-，所以函数()()tan f x x =-为奇函数，C 正确，对于D ，函数()sin f x x =的图象如下：所以函数()sin f x x =不是周期函数，且函数()sin f x x =为偶函数，D 错误，6.在ABC 中，4AB =，3AC =，且AB AC AB AC +=- ，则AB BC ⋅= （）A.16B.16- C.20D.20-【答案】B 【解析】【分析】将AB AC AB AC +=- 两边平方，即可得到0AB AC ⋅=，再由数量积的运算律计算可得.【详解】因为AB AC AB AC +=- ，所以()()22AB ACAB AC +=-，即222222AB AB AC AC AB AB AC AC +⋅+=-⋅+uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r ，所以0AB AC ⋅= ，即AB AC ⊥ ，所以()220416AB BC AB AC AB AB AC AB ⋅=⋅-=⋅-=-=- .故选：B7.函数cos tan y x x =⋅在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的图像为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】分别讨论x 在3,,[,)22ππππ⎛⎫⎪⎝⎭上tan x 的符号，然后切化弦将函数化简，作出图像即可.【详解】因为3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin ,,23sin ,.2x x y x x πππ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩故选：C.8.已知函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则“()ππ8k k α=+∈Z ”是“()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】【分析】首先求出()f x α+、()f x α-的解析式，再根据正弦函数的性质求出使()f x α+是偶函数且()f x α-是奇函数时α的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()sin 224f x x ααπ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，()sin 224f x x ααπ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，若()f x α-是奇函数，则112π,Z 4k k απ-+=∈，解得11π,Z 82k k απ=-∈，若()f x α+是偶函数，则222π,Z 42k k αππ+=+∈，解得22π,Z 82k k απ=+∈，所以若()f x α+是偶函数且()f x α-是奇函数，则π,Z 82k k απ=+∈，所以由()ππ8k k α=+∈Z 推得出()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数，故充分性成立；由()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数推不出()ππ8k k α=+∈Z ，故必要性不成立，所以“()ππ8k k α=+∈Z ”是“()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数”的充分不必要条件.故选：A9.已知向量,,a b c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅= ，则a b c ++ 的最大值是（）A.1+ B.C.D.1-【答案】A 【解析】【分析】根据题意，可设出向量,,a b c 的坐标，由于这三个向量都是单位向量，则向量,,a b c的终点都落在以坐标原点为圆心的单位圆上，作出示意图，由向量的性质可知，只有当c 与a b +同向时，a b c ++ 有最大值，求解即可.【详解】因为向量,,a b c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅= ，可设()1,0a =，()0,1b = ，(),c x y = ，如图，所以2a b += ，当c 与a b +同向时，此时a b c ++ 有最大值，为21+.故选：A .10.窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O ，四个半圆的圆心均为正方形ABCD 各边的中点（如图2），若P 为 BC 的中点，则()PO PA PB ⋅+=（）A .4B.6C.8D.10【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量的线性运算将()PO PA PB ⋅+ 化为OA 、OB 、OP表示，再根据平面向量数量积的运算律可求出结果.【详解】依题意得||||2OA OB ==，||2OP =，3π4AOP =Ð，π4BOP =Ð，所以3π2||||cos 22(242OA OP OA OP ⋅=⋅=⨯-=- ，π2||||cos 22242OB OP OB OP ⋅=⋅=⨯= ，所以()PO PA PB ⋅+= ()OP OA OP OB OP -⋅-+- 22||OA OP OB OP OP =-⋅-⋅+ 222228=-+⨯=.故选：C二､填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）11.写出一个与向量()3,4a =-共线的单位向量_____________.【答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（答案不唯一）【解析】【分析】先求出a r ，则aa±即为所求.【详解】5a ==所以与向量()3,4a =- 共线的单位向量为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（答案不唯一）12.已知函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图，则π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.【解析】【分析】根据图象可得函数()f x 的最大值，最小值，周期，由此可求,A ω，再由5π212f ⎛⎫=⎪⎝⎭求ϕ，由此求得的解析式，然后求得π3f ⎛⎫⎪⎝⎭.【详解】由图可知，函数()f x 的最大值为2，最小值为2-，35ππ3π41234T =+=，当5π12x =时，函数()f x 取最大值2，又()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭所以2A =，32π3π44ω⨯=，所以2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，又5π212f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以5π5π2sin 2126f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于πππ5π4π,22363ϕϕ-<<<+<，所以5πππ,623ϕϕ+==-，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ππ2sin 33f ⎛⎫== ⎪⎝⎭.13.已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则ϕ=__________.，若将函数()f x 图象仅向左平移π4个单位长度和仅向右平移π2个单位长度都能得到同一个函数的图象，则ω的最小值为__________.【答案】①.π6##1π6②.83##223【解析】【分析】由条件列方程求ϕ，再利用平移变换分别得到变换后的函数解析式，并根据相位差为2π,Z k k ∈求解；【详解】因为函数()()sin f x x ωϕ=+的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1sin 2ϕ=，又π2ϕ<，所以π6ϕ=，函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的图象仅向左平移π4个单位长度得到函数ππππsin sin 4646y x x ωωω⎡⎛⎫⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎦⎝⎭⎣的图象，函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的图象仅向右平移π2个单位长度得到ππππsin sin 2626y x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，则ππππ2π4626k ωω⎛⎫⎛⎫+--+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（Z k ∈），化简得3π2π4k ω=（Z k ∈），解得83k ω=（Z k ∈），由于0ω>，所以当1k =时，ω取得最小值83，故答案为：π8,63．14.已知边长为2的菱形ABCD 中，π3DAB ∠=，点E 满足3BE EC = ，点F 为线段BD 上一动点，则AF BE ⋅的最大值为______.【答案】3【解析】【分析】建立如图平面直角坐标系，设BF BD λ= ，利用平面向量线性运算与数量积的坐标表示可得AF BE⋅关于λ的表达式，从而得解.【详解】如图，以A为原点建立平面直角坐标系，则(0,0),(2,0),A B C D ，因为3BE EC =，所以(33333,4444BE BC ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭，由题意，设()01BF BD λλ=≤≤，则(()BF λλ=-=- ，则()()()2,02,AF AB BF λλ=+=+-=-，所以()3333324422AF BE λλ⋅=-+=+，因为01λ≤≤，所以当1λ=时，AF BE ⋅的最大值为3.故答案为：3.15.声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数sin y A t ω=.音有四要素，音调､响度､音长和音色.它们都与函数sin y A t ω=及其参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖锐.我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音对应的函数是111sin sin 2sin 3sin 4234y x x x x =++++⋯..给出下列四个结论：①函数1111sin sin 2sin 3sin 4sin1023410y x x x x x =++++⋯+不具有奇偶性；②函数()111sin sin2sin3sin4234f x x x x x =+++在区间ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；③若某声音甲对应的函数近似为()11sin sin 2sin 323g x x x x =++，则声音甲的响度一定比纯音()1sin22h x x =的响度小；④若某声音乙对应的函数近似为()1sin sin 22x x x ϕ=+，则声音乙一定比纯音()1sin22h x x =更低沉.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】②④【解析】【分析】对①，结合奇偶性的定义判断即可；对②，利用正弦型函数的单调性作出判断；对③，分别判断()(),g x h x 的振幅大小可得；对④，求出周期，可得频率，即可得出结论.【详解】对于①，令()1111sin sin2sin3sin4sin1023410F x x x x x x =++++⋯+，所以()()()()()()1111sin sin 2sin 3sin 4sin 1023410F x x x x x x -=-+-+-+-+⋯+-，所以()1111sin sin2sin3sin4sin1023410F x x x x x x -=-----⋅⋅⋅-，所以()()F x F x -=-，所以()F x 是奇函数，①错误；对于②，由ππ88x -≤≤可得，ππ244x -≤≤，3π3π388x -≤≤，ππ422x -≤≤，所以111sin ,sin2,sin3,234x x x x 都在ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()111sin sin2sin3sin4234f x x x x x =+++在ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以函数()f x 在区间ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，②正确；对于③．因为()11sin sin 2sin 323g x x x x =++，所以π223g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()max 23g x ≥，即()g x 的振幅比()1sin22h x x =的振幅大，所以声音甲的响度一定比纯音()1sin22h x x =的响度大，所以③错误；对于④，因为()()()()112πsin 2πsin 24πsin sin 222x x x x x x ϕϕ+=+++=+=，所以函数()x ϕ为周期函数，2π为其周期，若存在02πα<<，使()()x x ϕϕα=+恒成立，则必有()()0ϕϕα=，()()110sin 0sin 00sin sin 222ϕϕααα∴=+===+，()sin 1cos 0αα∴+=，因为02πα<<，πα∴=，又()()()11πsin πsin 2πsin sin 222x x x x x ϕ+=+++=-+与()1sin sin 22x x x ϕ=+不恒相等，所以函数()1sin sin22x x x ϕ=+的最小正周期是2π，所以频率1112πf T ==而()h x 的周期为π，频率21πf =，12f f <，所以声音乙一定比纯音()1sin22h x x =更低沉，所以④正确．故答案为：②④.三､解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.如图，在ABC 中，2BD DC = ，E 是AD 的中点，设AB a = ，AC b = .（1）试用a ，b 表示AD ，BE ；（2）若1a b == ，a 与b 的夹角为60︒，求AD BE ⋅ .【答案】（1）1233AD a b =+ ，5163BE a b =-+ （2）518-【解析】【分析】（1）利用向量加法减法的三角形法则及数乘运算即可求解；（2）根据（1）的结论，利用向量的数量积运算法则即可求解.【小问1详解】因为2BD DC = ，所以23BD BC = ，所以221)212(333333AB AC AB AB AC a b AD AB BD AB BC +-=+=+=+=+= .因为E 是AD 的中点，所以()11211()22323BE BA BD AB BC AB AC AB ⎛⎫=+=-+=-+- ⎪⎝⎭ 51516363AB AC a b =-+=-+ .【小问2详解】因为1a b == ，a 与b 的夹角为60︒，所以11cos ,1122a b a b a b ⋅==⨯⨯= ，由（1）知，1233AD a b =+ ，5163BE a b =-+ ，所以22125154233631899AD BE a b a b a a b b ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=--⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭541251892918=--⨯+=-.17.已知函数()π3sin 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）若函数()f x 在区间[]0,a 内只有一个零点，直接写出实数a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的最小正周期为π，（2）函数()f x 的单调递增区间是3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；（3）a 的取值范围为3π7π,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【解析】【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式求解即可；（2）利用正弦函数的单调区间结论求解；（3）求出()0f x =的解后可得a 的范围．【小问1详解】因为()π3sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==；【小问2详解】由πππ2π22π242k x k -≤+≤+，Z k ∈，可得3ππππ88k x k -≤≤+，Z k ∈，所以函数()f x 的单调递增区间是3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；【小问3详解】由π()3sin(204f x x =+=可得，π2π4x k +=，Z k ∈所以ππ28k x =-，Z k ∈，因为函数()f x 在区间[]0,a 上有且只有一个零点，所以3π7π88a ≤<，所以实数a 的取值范围为3π7π,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭.18.已知()()()4,0,0,4,cos ,sin ,(0π)A B C ααα<<.（1）若OA OC += （O 为坐标原点），求OB 与OC 的夹角；（2）若⊥ AC BC ，求sin cos αα-的值.【答案】（1）OB 与OC 的夹角为π6，（2）sin cos 4αα-=【解析】【分析】（1）根据向量模长以及夹角的坐标公式计算即可；（2）由向量垂直得到数量积为0，进而得到1sin cos 4αα+=，通过平方得到2sin cos αα，进而可得()2sin cos αα-，再根据α的范围确定正负，开方得解.【小问1详解】因为()()()4,0,0,4,cos ,sin A B C αα，所以()()()4,0,0,4,cos ,sin OA OB OC αα=== ，所以()4cos ,sin OA OC αα+=+ ，由OA OC += ()224+cos sin 21αα+=，所以1cos 2α=，又0πα<<，，所以π3α=，13,22C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设OB 与OC 的夹角为β()0πβ≤≤，则cos OB OC OB OC β⋅= 23342==,又0πβ≤≤，故OB 与OC 的夹角为π6，【小问2详解】由⊥ AC BC 得0AC BC ⋅= ，又()cos 4,sin AC αα=- ，()cos ,sin 4BC αα=- ，所以()()cos 4cos sin sin 40αααα-+-=，所以1sin cos 4αα+=，所以152sin cos 016αα-=<，又0πα<<，所以ππ2α<<,所以()21531sin cos 11616αα--=-=，所以sin cos 4αα-=.19.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭，且()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，再从条件①､条件②､条件③中选择两个作为一组已知条件.（1）确定()f x 的解析式；（2）设函数()π24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则是否存在实数m ，使得对于任意1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立？若存在，求实数m 的取值范围：若不存在，请说明理由.条件①：()f x 的最小值为2-；条件②：()f x 图像的一个对称中心为5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭；条件③：()f x 的图像经过点5π,16⎛⎫- ⎪⎝⎭.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）选①②，②③，①③答案都为()2sin(2)6f x x π=+，（2）存在m 满足条件，m 的取值范围为2,0⎤⎦.【解析】【分析】（1）先根据已知求出()f x 的最小正周期，即可求解ω，选条件①②：可得()f x 的最小值为A -，可求A ．根据对称中心可求ϕ，即可得解函数解析式；选条件①③：可得()f x 的最小值为A -，可求A ．根据函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫⎪⎝⎭，可求ϕ，可得函数解析式；选条件②③：根据对称中心可求ϕ，再根据函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫⎪⎝⎭，可求A 的值，即可得解函数解析式．（2）求出函数()f x ，()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域，再结合恒成立、能成立列式求解作答.【小问1详解】由于函数()f x 图像上两相邻对称轴之间的距离为π2，所以()f x 的最小正周期π2π2T =⨯=，所以2π2T ω==，此时()()sin 2f x A x ϕ=+.选条件①②：因为()f x 的最小值为A -，所以2A =．因为()f x 图象的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，所以5π2π(Z)12k k ϕ⨯+=∈，所以56k ϕπ=π-，()k ∈Z ，因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=，此时1k =，所以()2sin(2)6f x x π=+．选条件①③：因为()f x 的最小值为A -，所以2A =．因为函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫-⎪⎝⎭，则5π()16f =-，所以5π2sin()13ϕ+=-，即5π1sin()32ϕ+=-．因为||2ϕπ<，所以7π5π13π636ϕ<+<，所以5π11π36ϕ+=，所以π6ϕ=，所以()2sin(2)6f x x π=+．选条件②③：因为函数()f x 的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，所以5π2π(Z)12k k ϕ⨯+=∈，所以5ππ(Z)6k k ϕ=-∈．因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=，此时1k =．所以π()sin(26f x A x =+．因为函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫-⎪⎝⎭，所以5π(16f =-，所以5ππsin 136A ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，11πsin 16A =-，所以2A =，所以()2sin(2)6f x x π=+．综上，不论选哪两个条件，()2sin(2)6f x x π=+.【小问2详解】由（1）知，()2sin(2)6f x x π=+，由20,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得：2ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，2π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因此[]2()1,2f x ∈-，由10,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得：1ππ5π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1πsin 2,142x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，因此1()g x ⎡∈-⎣，从而1()1,g x m m m ⎡-∈---+⎣，由()()12m g x f x =-得：()()21f x g x m =-，假定存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立，即存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()21f x g x m =-成立，则[]1,1,2m m ⎡---+⊆-⎣，于是得112m m --≥-⎧⎪⎨-+≤⎪⎩，解得20m -≤≤，因此存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立，所以实数m的取值范围是2,0⎤⎦.20.对于定义在R 上的函数()f x 和正实数T 若对任意x ∈R ，有()()f x T f x T +-=，则()f x 为T -阶梯函数.（1）分别判断下列函数是否为1-阶梯函数（直接写出结论）：①()2f x x =；②()1f x x =+.（2）若()sin f x x x =+为T -阶梯函数，求T 的所有可能取值；（3）已知()f x 为T -阶梯函数，满足：()f x 在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且对任意x ∈R ，有()()2f T x f x T x --=-.若函数()()F x f x ax b =--有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为123,,,x x x ⋅⋅⋅；若1a =时，证明：存在b ∈R ，使得()F x 在[]0,2023T 上有4046个零点，且213240464045x x x x x x -=-=⋅⋅⋅=-.【答案】（1）①否；②是（2）2πT k =，*k ∈N （3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用T -阶梯函数的定义进行检验即可判断；（2）利用T -阶梯函数的定义，结合正弦函数的性质即可得解；（3）根据题意得到()()F x T F x +=，()()F T x F x -=，从而取3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合零点存在定理可知()F x 在(),1mT m T +⎡⎤⎣⎦上有且仅有两个零点：4T mT +，34T mT +，从而得解.【小问1详解】()2f x x =，则22(1)()(1)211f x f x x x x +-=+-=+≠；()1f x x =+，则(1)()11f x f x x x +-=+-=，故①否；②是.【小问2详解】因为()f x 为T -阶梯函数，所以对任意x ∈R 有：()()()()()sin sin sin sin f x T f x x T x T x x x T x T T +-=+++-+=+-+=⎡⎤⎣⎦.所以对任意x ∈R ，()sin sin x T x +=，因为sin y x =是最小正周期为2π的周期函数，又因为0T >，所以2πT k =，*k ∈N .【小问3详解】因为1a =，所以函数()()F x f x x b =--，则()()()()()()()F x T f x T x T b f x T x T b f x x b F x +=+-+-=+-+-=--=，()()()()()()()2F T x f T x T x b f x T x T x b f x x b F x -=----=+----=--=.取3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则有3330444TT T F f b ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，30444T T T F F T F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由于()f x 在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()()F x f x x b =--在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，结合()()F T x F x -=，则有()F x 在0,2T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点4T ，在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点34T .又由于()()F x T F x +=，则对任意k ∈Ζ，有044T T F kT F ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33044T T F kT F ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，对任意m ∈Z ，()F x 在(),1mT m T +⎡⎤⎣⎦上有且仅有两个零点：4T mT +，34T mT +.综上所述，存在3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，使得()F x 在[]0,2023T 上有4046个零点，且14T x =，234T x =，354T x =，474T x =，L ，404580894T x =，404680914T x =，其中，2132404640452T x x x x x x -=-=⋅⋅⋅=-=.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是充分理解新定义T -阶梯函数，从而在第3小问推得()()F x T F x +=，()()F T x F x -=，由此得解.。
2023-2024学年北京市北京交大附中高一(下)期中数学试卷(含答案)
2023-2024学年北京交大附中高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.sin120°的值为( )A. 32 B. 12C. − 32D. −122.若角α的终边过点(4,3)，则sin (α+π2)=( )A. 45B. −45C. 35D. −353.已知扇形的弧长为4cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为( )A. 4cm 2B. 6cm 2C. 8cm 2D. 16cm 24.向量a ,b ,c 正方形网格中的位置如图所示．若向量c =λa +b ，则实数λ=( )A. −2B. −1C. 1D. 25.下列四个函数中以π为最小正周期且为奇函数的是( )A. f(x)=cos2xB. f(x)=tan x 2C. f(x)=tan (−x)D. f(x)=sin |x|6.在△ABC 中，AB =4，AC =3，且|AB +AC |=|AB−AC |，则AB ⋅BC =( )A. 16B. −16C. 20D. −207.函数f(x)=cosx ⋅|tanx|在区间(π2,32π)上的图象为( )A. B.C. D.8.已知函数f(x)=sin (2x +π4)，则“α=π8+kπ(k ∈Z)”是“f(x +α)是偶函数，且f(x−α)是奇函数”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.已知向量a ，b ，c 共面，且均为单位向量，a ⋅b =0，则|a +b +c |的最大值是( )A. 2 B. 3 C. 2+1 D. 3+110.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，它是中国古老的传统民间艺术之一，在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花(如图1).已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O ，四个半圆的圆心均在正方形ABCD 各边的中点(如图2)，若点P 在BC 的中点，则(PA +PB )⋅PO =( )A. 2B. 4C. 6D. 8二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
北京市首都师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题(含简单答案)
首都师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学第Ⅰ卷（共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1. 下列函数中，既是偶函数又是周期为函数为（ ）．A. B. C. D.2. 已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（ ）．A. B. C.D. 3. 角的度量除了有角度制和弧度制之外，在军事上角的度量还有密位制，密位制的单位是密位．1密位等于周角的，即弧度密位．在密位制中，采用四个数字来记一个角的密位数．且在百位数字与十位数字之间画一条短线，例如3密位写成，123密位写成，设圆的半径为1，那么密位的圆心角所对的弧长为（ ）A.B.C.D.4. 已知点A （1，2），B （3，7），向量，则A. ，且与方向相同B. ，且与方向相同C. ，且与方向相反D. ，且与方向相反5. 关于函数，则下列结论中：①为该函数的一个周期；②该函数的图象关于直线对称；③将该函数的图象向左平移个单位长度得到的图象：④该函数在区间上单调递减.所有正确结论的序号是（ ）A. ①②B. ③④C. ①②④D. ①③④的πsin y x=cos y x=tan2y x=cos2y x=α(),6P x 3sin 5α=x =4-4±8-8±160002π3606000=︒=003-123-1000-π6π4π3π2(,1),//a x AB a =-25x =AB a25x =-AB a25x =AB a 25x =-AB a π3cos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭π-π3x =π63cos 2y x =ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6. 设，是两个不共线向量，则“与的夹角为钝角”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知函数，，其图象如下图所示.为得到函数图象，只需先将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再（ ）A. 向右平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向左平移个单位8. 若P 是内部或边上的一个动点，且，则的最大值是（ ）A.B.C. 1D. 29. 如图，质点在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，的角速度大小为，起点为射线与的交点．则当时，动点的纵坐标关于（单位：）的函数的单调递增区间是（ ）A. B. C. D. 10. 如图，圆M 为的外接圆，，，N 为边BC 的中点，则（ ）的a b a b()a ab ⊥+ 111()sin()f x A x ωϕ=+222()sin()g x A x ωϕ=+()g x ()f x 12π6π12π6π3ABC V AP xAB y AC =+xy 1412P O P 2rad /s 0P ()0y x x =-≥O e 012t ≤≤P y t s π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦7π11π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦11π15π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦3π11π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ABC V 4AB =6AC =AN AM ⋅=A. 5B. 10C. 13D. 26第Ⅱ卷（共80分）二、填空题（本大题共5小题，敏小题5分，共25分）11 _________.12. 已知是第四象限角，且，则______，______．13. 在正方形网格中的位置如图所示，则______，向量在向量上的投影的数量为______．14. 已知函数的图象关于直线对称，且在上单调，则的最大值为_____.15 已知函数，给出下列四个结论：①存在无数个零点；②在上有最大值；③若，则；④区间是的单调递减区间．其中所有正确结论的序号为__________．三、解答题（本大题共5小题，共55分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）16. 如图，在平行四边形ABCD 中，，．设，．..sin 330︒=α5tan 12α=-cos α=πcos()2α+=,a b ,a b 〈〉=a b ()()cos 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭1110x π=()f x ,6m π⎡⎤⎢⎥⎣⎦m ()2sin πxf x x x=-()f x ()f x ()1,+∞()2023.7f a =()2022.7f a -=1,12⎛⎫⎪⎝⎭()f x 2AE AB = 13DF DE = AB a =AD b =（1）用，表示，；（2）用向量的方法证明：A ，F ，C 三点共线．17. 已知函数，其中，且的图象过点．（1）求的值；（2）求的单调减区间和对称中心的坐标；（3）若，函数在区间上最小值为，求实数的取值范围．18. 在平面直角坐标系中，已知点，点是直线上的一个动点．（1）求的值；（2）若四边形是平行四边形，求点的坐标；（3）求的最小值．19. 在条件①对任意的，都有；条件②最小正周期为；条件③在上为增函数，这三个条件中选择两个，补充在下面的题目中，并解答．已知，若______，则唯一确定．（1）求的解析式；（2）设函数，对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．20. 设（为正整数），对任意的，，定义（1）当时，，，求；a b AC DE()sin(2)f x x ϕ=-π||2ϕ<()y f x =π(,0)12ϕ()f x 0m >()f x []0,m 12-m xOy ()()()3,3,5,1,2,1A B P M OP PA PB -APBQ Q MA MB ⋅x ∈R ()π6f x f x ⎛⎫-=⎪⎝⎭()f x π()f x 5ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()()()sin ,0,02πf x x ωϕωϕ=+>≤<,ωϕ()f x ()π216g x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ππ,612x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()()210g x mg x --≤m (){}{}12,,,0,1,1,2,,n niS x x x x i n =⋯∈=⋯n ()12,,,nx x x α=⋅⋅⋅()12,,,n y y y β=⋅⋅⋅1122n nx y x y x y αβ⋅=++⋅⋅⋅+3n =()1,1,0α=()1,0,1β=αβ⋅（2）当时，集合，对于任意，，均为偶数，求A 中元素个数的最大值；（3）集合，对于任意，，，均有，求A 中元素个数的最大值．3n =n A S ⊆αA β∈αβ⋅n A S ⊆αA β∈αβ≠0αβ⋅≠首都师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学 简要答案第Ⅰ卷（共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）【1题答案】【答案】D 【2题答案】【答案】C 【3题答案】【答案】C 【4题答案】【答案】D 【5题答案】【答案】C 【6题答案】【答案】B 【7题答案】【答案】A 【8题答案】【答案】A 【9题答案】【答案】B 【10题答案】【答案】C第Ⅱ卷（共80分）二、填空题（本大题共5小题，敏小题5分，共25分）【11题答案】【答案】【12题答案】12【答案】 ①.②.【13题答案】【答案】①②.【14题答案】【答案】【15题答案】【答案】①②③三、解答题（本大题共5小题，共55分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）【16题答案】【答案】（1），；（2）略【17题答案】【答案】（1）； （2），； （3）.【18题答案】【答案】（1）（2）； （3）.【19题答案】【答案】（1） （2）【20题答案】【答案】（1）1 （2）4（3）.12135133π43π5A C a b =+2DE a b =- π6ϕ=π5π[π,π](Z)36k k k ++∈()ππ,0Z 122k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭2π(0,3(6,3)2-()π()sin 32f x x +=8[,)3+∞12n -。
山东省德州市2023-2024学年高一下学期期中考试 数学含答案
高一数学试题（答案在最后）2024.4本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1-2页，第Ⅱ卷3-4页，共150分，测试时间120分钟．注意事项：选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上．第Ⅰ卷选择题（共58分）一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．设x ∈R ，向量(1,)a x =r ，(2,1)b =r，若a b ⊥r r ，则x =（）A ．2B ．12C ．12-D ．2-2．已知复数z 满足(14z +=（i 是虚数单位），则||z =（）A ．2B ．4C ．8D ．163．已知02παβ<<<，且5cos()13αβ-=，4cos 25β=，则cos()αβ+=（）A ．3365-B ．1665-C ．5665D ．63654．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a =，3A π=，sin 2sin C B =，则ABC △的面积是（）A ．32B ．2C ．94D ．45．若23||||||3a b a b b +=-=r r r r r ，则a b -r r 与b r 的夹角是（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π6．在Rt ABC △中，2AB AC ==，,BC AC 边上的两条中线AM ，BN 相交于点P ，则MPN ∠的余弦值是（）A ．105-B ．1010-C ．1010D ．1057，数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理，设点O ，G ，H 分别为三角形ABC 的外心，重心，垂心，则（）A ．1233AG AO AH=-uuu r uuu r uuu r B ．1233AG AO AH=+uuu r uuu r uuu rC ．2133AG AO AH=-uuu r uuu r uuu r D ．2133AG AO AH=+uuu r uuu r uuu r 8．在锐角ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3B π=，sin sin sin B C b A ac =2取值范围是（）A ．21,52⎛⎫⎪⎝⎭B ．21,52⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．22,53⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．22,53⎛⎫⎪⎝⎭二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9．设z 为非零复数（i 是虚数单位），下列命题正确的是（）A ．若||z z =，则z 为正实数B ．若2z ∈R ，则z ∈R C ．若210z +=，则iz =±D ．若0z z +=，则z 为纯虚数10．下列命题中正确的是（）A ．若,a b r r是单位向量，则a b=r r B ．若(0)a b b ≠∥r r r，则存在唯一的实数λ，使得a b λ=r rC ．若向量a r 和b r ，满足||1a =r ，||||2b a b =+=r r r ，则||a b -=r rD ．若向量(1,3)a =-r ，(3,0)b =r ，则a r 在b r 方向上投影的数量是10-11．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，以下命题中正确的是（）A ．若9a =，10b =，3A π=，则符合条件的三角形有两个B ．若22tan tan a b A B=，则ABC △为等腰或直角三角形C ．若2sin ABC S b B =△，则cos B 的最小值为54D ．若3A π=，BC =BC 边上的高为1，则符合条件的三角形有两个第Ⅱ卷非选择题（共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，2sin 2cos 21αα=-，则tan 2α=___________．13．若O 为ABC △的外心，且2BO BA BC =+uu u r uu r uu u r ，则AB BC ⋅=uu u r uu u r___________．14．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足(1cos )(2cos )a B b A +=-，sin cos sin B A C =，且16AB AC ⋅=uu u r uuu r ，则b =___________；若在线段AB 上存在动点P 使得2||||CA CBCP x y CA CB =+uu r uu ruu r uu r uu r ，则xy 的最大值为___________．（第一空2分，第二空3分）四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分13分）已知θ为三角形的一个内角，i 为虚数单位，复数cos isin z θθ=+，且2z z +在复平面上对应的点在实轴上．（1）求θ；（2）设2,i z z ，21z z ++在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，求ABC △的面积．16．（本小题满分15分）已知平面上三点A ，B ，C ，且(0,4)A ，(,3)B k -，(2,0)C ．（1）若A ，B ，C 不构成三角形，求实数k 应满足的条件；（2）若ABC △为针角三角形，求k 的取值范围．17．（本小题满分15分）已知函数()sin (sin )1f x x x x =+-，x ∈R ．（1）若31(),0,222f πθθ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，求tan θ的值；（2）若存在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使等式2[()]()0f x f x m ++=成立，求实数m 的取值范围．18．（本小题满分17分）如图所示，在扇形AOB 中，AOB ∠为锐角，四边形OMPN 是平行四边形，点P 在弧»AB 上，点M ，N分别在线段OA ，OB 上，OP =，6OA OB ⋅=uu r uu u r，记POB θ∠=．（1）当6πθ=时，求OP NB ⋅uu u r uu u r ；（2）请写出阴影部分的面积S 关于θ的函数关系式，并求当θ为何值时，S 取得最小值．19．（本小题满分17分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，sin sin cos cos cos cos sin C B B AB A C--=+．（1）若236ABC S c =△，求证：23c b =；（2）若2DC BD =uuu r uu u r ，求||||AD BD uuu ruu u r 的最大值．高一数学试题参考答案一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．D2．A3．C4．B5．D6．B7．D8．A二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9．ACD10．BC11．ABD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．4313．014．4，32四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15．解：（1）22(cos sin )cos 2sin 2z i i θθθθ=+=+Q ，2(cos 2cos )(sin 2sin )z z i θθθθ+=+++，因为2z z +在复平面上对应的点在实轴上，所以sin 2sin 2sin cos sin 0,(0,)θθθθθθπ+=+=∈，所以1cos 2θ=-，2;3πθ=（2）由（1）知：sin 2θ=，21z =-+，所以11i i i 2222z ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，213313i i 44222z =--=--所以2131311i i 02222z z ++=-+--=．在复平面上对应的点分别为(A -，31,22B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，(0,0)C ，所以2AC =，1BC =，1(022CA CB ⎛⎫⋅=-⋅-= ⎪⎝⎭uu r uu r 所以，CA CB ⊥uu r uu r ，所以，12112ABC S =⨯⨯=△．16．解：（1）由题可知，(2,3)BC k =-uu u r ，(2,4)AC =-uuu r，三点A ，B ，C 不构成三角形，得A ，B ，C 三点共线，所以4(2)230k ---⨯=，解得72k =．（注：利用AB uu u r求解，同样得分）（2）当C 为钝角时，0AC BC ⋅<uuu r uu u r，所以2(2)3(4)0k ⨯-+⨯-<，解得4k >-且72k ≠，当A 为钝角时，(,7)AB k =-uu u r ，(2,4)AC =-uuu r，0AB AC ⋅<uu u r uuu r，即(,7)(2,4)0k -⋅-<，2280k +<，所以14k <-．当B 为钝角时，(,7)BA k =-uu r ，(2,3)BC k =-uu u r，(,7)(2,3)0BA BC k k ⋅=-⋅-<uu r uu u r，22210k k -+<，无解．所以14k <-或4k >-且72k ≠．17．解：（1）()sin (sin )1f x x x x =+-2sin cos 1x x x =+-1cos 2212xx -=+-1sin 262x π⎛⎫=--⎪⎝⎭131()sin 26222f πθθ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，sin 262πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，02πθ<<，52666πππθ-<-<，所以263ππθ-=或23π，即4πθ=或512π，当4πθ=时，tan tan 14πθ==，当512πθ=时，tan tan46tan tan 2461tan tan 46ππππθππ+⎛⎫=+==+ ⎪⎝⎭-（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52666x πππ-≤-≤，则111sin 2622x π⎛⎫-≤--≤ ⎪⎝⎭，即11()2f x -≤≤，令()t f x =，112t -≤≤，关于t 的方程20t t m ++=在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有解，即2m t t -=+在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有解，当112t -≤≤时，21344t t -≤+≤，由1344m -≤-≤，得3144m -≤≤，即实数m 的取值范围是31,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．18．解：（1）根据题意，||||cos cos 6OA OB OA OB AOB AOB ⋅=∠=∠=uur uu u r uur uu u r，1cos 2AOB ∠=因为AOB ∠为锐角，所以，3AOB π∠=，6πθ=，四边形OMPN 是平行四边形，所以，OPM △为等腰三角形，OP =2OM ON ==，||||cos 2)662OP NB OP NB π⋅=⋅=-⨯=uu u r uu u r uu u r uu u r ．（2）由题可知，在PMO △中，OP =23PMO π∠=，MPO θ∠=，3MOP πθ∠=-，则由正弦定理sin sin sin OP OM PMPMO MPO MOP==∠∠∠，sin sin 3OM PMπθθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，故可得4sin OM θ=，4sin 3PM πθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，1sin 2PMO S OM MP PMO =⨯⨯⨯∠△14sin 4sin 232πθθ⎛⎫=⨯⨯-⨯ ⎪⎝⎭sin 3πθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭sin cos cos sin 33ππθθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭26πθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，03πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，所以，AOB OMPNS S S =-扇形平行四边形226ππθ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，03πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，当6πθ=时，sin 216πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，此时S取得最小值2π-．19．解：（1）sin sin cos cos cos cos sin C B B AB A C--=+(sin sin )sin (cos cos )(cos cos )C B C B A B A -=+-222sin sin sin cos cos C B C B A-=-()222sin sin sin 1sin 1sin C B C B A-=---由正弦定理得222c b a bc +-=，2221cos 22c b a A bc +-==，0A π<<，所以3A π=，21sin 26ABC S bc A c ==△，所以23c b =．（2）2DC BD =uuu r uuu r ，11()33BD BC AC AB ==-uu ur uu u r uuu r uu u r ，又2133AD AB BD AB AC =+=+uuu r uu u r uu u r uu u r uuu r ，所以1|2|||31||||3AB AC AD BD AC AB +==-uu u r uuu ruuu r uu u r uuu r uu u r ，令0bt c=>，所以||||AD BD ===uuu r uu u r ，1=≤==+．当且仅当1t =取等号，所以||||AD BD uuu r uu u r1+．。
浙江省余姚2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题含答案
余姚2023学年第二学期期中检测高一数学试卷（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知1i22i z -=+，则z z -=（）A .i- B.iC.0D.1【答案】A 【解析】【分析】根据复数的除法运算求出z ，再由共轭复数的概念得到z ，从而解出．【详解】因为()()()()1i 1i 1i 2i 1i 22i 21i 1i 42z ----====-++-，所以1i 2z =，即i z z -=-．故选：A ．2.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O A B C ''''，且//O A B C ''''，242O A B C A B '''''='==，，则该平面图形的高为（）A. B.2C.D.【答案】C 【解析】【分析】由题意计算可得O C ''，还原图形后可得原图形中各边长，即可得其高.【详解】在直角梯形O A B C ''''中，//O A B C ''''，24,2O A B C A B ''''='=='，则O C ==''直角梯形O A B C ''''对应的原平面图形为如图中直角梯形OABC ，则有//,,24,242BC OA OC OA OA BC OC O C ''⊥====，所以该平面图形的高为42.故选：C.3.在平行四边形ABCD 中，,AC BD 相交于点O ，点E 在线段BD 上，且3BE ED = ，则AE =（）A.1142AD AC + B.1124AD AC +C.3144AD AC +D.1344AD AC +【答案】B 【解析】【分析】利用平面向量基本定理即可得到答案.【详解】因为O 是AC 的中点，12AO AC ∴= ，又由3BE ED =可得E 是DO 的中点，11112224AE AD AO AD AC ∴=+=+ .故选：B.4.某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名学生去参加唱歌比赛，在下列各组事件中，是互斥事件的是（）A.恰有1名女生和恰有2名女生B.至少有1名男生和至少有1名女生C.至少有1名女生和全是女生D.至少有1名女生和至多有1名男生【答案】A 【解析】【分析】根据互斥事件的定义判断即可.【详解】依题意可能出现2名男生、1名男生1名女生、2名女生；对于A ：恰有1名女生即选出的两名学生中有一名男生一名女生和恰有2名女生，他们不可能同时发生，故是互斥事件，故A 正确；对于B ：当选出的两名学生中有一名男生一名女生，则至少有1名男生和至少有1名女生都发生了，故不是互斥事件，故B 错误；对于C ：至少有1名女生包含有一名男生一名女生与全是女生，所以当全是女生时，至少有1名女生和全是女生都发生了，故不是互斥事件，故C 错误；对于D ：至少有1名女生包含有一名男生一名女生与全是女生，至多有1名男生包含有一名男生一名女生与全是女生，故至少有1名女生和至多有1名男生是相等事件，故D 错误.故选：A5.已知点()1,1A ，()0,2B ，()1,1C --．则AB 在BC上的投影向量为（）A.10310,55⎛ ⎝⎭B.10310,55⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭C.13,55⎛⎫⎪⎝⎭ D.13,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】根据向量的坐标公式，结合投影向量的定义进行求解即可.【详解】因为()1,1A ，()0,2B ，()1,1C --．所以()1,1AB =-uu u r，()1,3BC =--，5cos ,5AB BC AB BC AB BC⋅〈〉==-⋅，所以向量AB 与BC的夹角为钝角，因此量AB 在BC上的投影向量与BC 方向相反，而cos ,55AB AB BC ⋅〈〉==，155BC == ，所以AB 在BC 上的投影向量为()11131,3,5555BC ⎛⎫-⋅=-⋅--= ⎪⎝⎭，故选：C6.秦九韶是我国南宋时期的著名数学家，他在著作《数书九章》中提出，已知三角形三边长计算三角形面积的一种方法“三斜求积术”，即在ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对应的边，其公式为：ABCS ==若22sin sin C c A =，3cos 5B =，a b c >>，则利用“三斜求积术”求ABC 的面积为（）A.54B.34 C.35D.45【答案】D 【解析】【分析】由正弦定理可得2ac =，由余弦定理可得222625a cb +-=，在结合已知“三斜求积术”即可求ABC 的面积.【详解】解：因为22sin sin C c A =，由正弦定理sin sin a c A C=得：22c c a =，则2ac =又由余弦定理2223cos 25a cb B ac +-==得：22236255a c b ac +-==则由“三斜求积术”得45ABC S == .故选：D.7.已知某样本的容量为50，平均数为36，方差为48，现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将24记录为34，另一个错将48记录为38.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则（）A.236,48s x =<B.236,48s x =>C.236,48s x ><D.236,48s x <>【答案】B 【解析】【分析】根据数据总和不变，则平均数不变，根据方差的定义得()()()2221248148363636850x x x ⎡⎤=-+-++-+⎣⎦ ，而()()()4221222813628843668035s x x x +⎡-⎤=-+>⎣⎦-+ .【详解】设收集的48个准确数据为1248,,x x x ，所以124834383650x x x +++++= ，所以12481728x x x +++= ，所以124824483650x x x x +++++== ，又()()()222221248148363636(3436)(3836)50x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦ ()()()22212481363636850x x x ⎡⎤=-+-++-+⎣⎦ ，()()()42222222183636(2436)(48136536)0s x x x ⎡⎤=-+⎣⎦-++-+-+- ()()()222281413628848365360x x x ⎡⎤=+-+-+->⎣⎦ ，故选：B.8.在ABC 中，π6A =，π2B =，1BC =，D 为AC 中点，若将BCD △沿着直线BD 翻折至BC D '△，使得四面体C ABD '-的外接球半径为1，则直线BC '与平面ABD 所成角的正弦值是（）A.3B.23C.3D.3【答案】D 【解析】【分析】由直角三角形性质和翻折关系可确定BC D '△为等边三角形，利用正弦定理可确定ABD △外接圆半径，由此可知ABD △外接圆圆心O 即为四面体C ABD '-外接球球心，由球的性质可知OG ⊥平面BC D '，利用C OBD O C BD V V ''--=可求得点C '到平面ABD 的距离，由此可求得线面角的正弦值.【详解】π6A =，π2B =，1BC =，2AC ∴=，又D 为AC 中点，1AD CD BD ∴===，则1BC C D BD ''===，即BC D '△为等边三角形，设BC D '△的外接圆圆心为G ，ABD △的外接圆圆心为O ，取BD 中点H ，连接,,,,,C H OH OG OB OC OD ''，π6A =，1BD =，112sin BDOB A∴=⋅=，即ABD △外接圆半径为1，又四面体C ABD '-的外接球半径为1，O ∴为四面体C ABD '-外接球的球心，由球的性质可知：OG ⊥平面BC D '，又C H '⊂平面BC D '，OG C H '∴⊥，22333C G CH '===，1OC '=，3OG ∴=；设点C '到平面ABD 的距离为d ，由C OBD O C BD V V ''--=得：1133OBD C BD S d S OG '⋅=⋅ ，又OBD 与C BD ' 均为边长为1的等边三角形，3d OG ∴==，直线BC '与平面ABD 所成角的正弦值为3d BC ='.故选：D.【点睛】关键点点睛；本题考查几何体的外接球、线面角问题的求解；本题求解线面角的关键是能够确定外接球球心的位置，结合球的性质，利用体积桥的方式构造方程求得点到面的距离，进而得到线面角的正弦值.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.数据1，2，3，3，4，5的平均数和中位数相同B.数据6，5，4，3，3，3，2，2，1的众数为3C.有甲、乙、丙三种个体按3:1:2的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30D.甲组数据的方差为4，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是乙组【答案】AB 【解析】【分析】根据已知条件，结合平均数、方差公式，众数、中位数的定义，以及分层抽样的定义，即可求解.【详解】对于A ，平均数为12334536+++++=，将数据从小到大排列为1,2,3,3,4,5，所以中位数为3332+=，A 正确；对于B ，数据6，5，4，3，3，3，2，2，1的众数为3，B 正确；对于C ，根据样本的抽样比等于各层的抽样比知，样本容量为3918312÷=++，C 错误；对于D ，乙数据的平均数为56910575++++=，乙数据的方差为()()()()()22222157679710757 4.445⎡⎤-+-+-+-+-=>⎣⎦，所以这两组数据中较稳定的是甲组，D 错误.故选：AB.10.在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别a 、b 、c ，22sin a bc A =，下列说法正确的是（）A.若1a =，则14ABC S =△B.ABC 外接圆的半径为bc aC.c b b c+取得最小值时，π3A =D.π4A =时，c b b c+值为【答案】ABD 【解析】【分析】对A ，由正弦定理化简2sin a b C =可得1sin 2C b=，再根据三角形面积公式判断即可；对B ，根据2sin a b C =结合正弦定理判断即可；对C ，根据正弦定理与余弦定理化简sin 2sin sin A B C =可得π4b c A c b ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再根据基本不等式与三角函数性质判断即可；对D ，根据三角函数值域求解即可.【详解】对A ，因为22sin a bc A =，由正弦定理可得sin 2sin sin a A b A C =，因为()0,πA ∈，则sin 0A >，则2sin a b C =，又因为1a =，故1sin 2C b =，故三角形面积为1111sin 12224ABC S ab C b b ==⨯⨯⨯=△，故A 正确；对B ，2sin a b C =，则sin 2aC b=，设ABC 外接圆的半径为R ，则2sin cR C=，故22c bc R a a b==⨯，故B 正确；对C ，因为22sin a bc A =，由余弦定理222sin 2cos b c c A b bc A =+-，即()222sin cos bc A A b c +=+，化简可得π4b c A c b⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，由基本不等式得2b c c b +≥=，当且仅当b c =时取等号，此时πsin 42A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故当π2A =，π4B C ==时，b c c b +取得最小值2，故C 错误；对D ，由C，π4b c A c b ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，当π4A =时，b c c b+的值为，故D 正确；故选：ABD.11.如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为棱,,AD AB BC 的中点，点P 为线段1D F 上的动点（包含端点），则（）A.存在点P ，使得1//C G 平面BEPB.对任意点P ，平面1FCC ⊥平面BEPC.两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为45︒D.点1B 到直线1D F 的距离为4【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项当P 与1D 重合时，用线面平行可得出11//C G D E ，进而可得；B 选项证明BE ⊥平面1FCC 即可得出；选项C 由正方体的性质和画图直接得出；选项D 由余弦定理确定1145B D F ∠=︒，之后求距离即可.【详解】A ：当P 与1D 重合时，由题可知，11111111//,,//,,//,EG DC EG DC D C DC D C DC EG D C EG D C ==∴=，四边形11EGC D 为平行四边形，故11//C G D E ，又1C G ⊄平面BEP ，1D E ⊂平面BEP ，则1//C G 平面BEP ，故A 正确；B ：连接CF ，1CC ⊥ 平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ，1CC BE ∴⊥，又,,,AE BF AB BC A CBF BAF CBF ==∠=∠∴ ≌，故90,AEB BFC EBA BFC CF BE ∠=∠⇒∠+∠=︒∴⊥，又11,,CF CC C CF CC =⊂ 平面1FCC ，BE ∴⊥平面1FCC ，又BE ⊂平面BEP ，故对任意点P ，平面1FCC ⊥平面BEP ，故B 正确；C：由正方体的结构特征可知11//BC AD ，异面直线1D C 和1BC 所成的角即为1AD 和1D C 所成的角，由图可知为60︒，故C 错误；D ：由正方体的特征可得1111B D FD B F =====，222222111111111116cos ,4522B D FD B FB D F B D F B D FD +-+-∴∠===∴∠=︒⋅，所以点1B 到直线1D F 的距离1111sin 42d B D B D F =∠==，故D 正确；故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.为培养学生“爱读书、读好书、普读书”的良好习惯，某校创建了人文社科类、文学类、自然科学类三个读书社团.甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则三人恰好参加同一个社团的概率为______.【答案】19【解析】【分析】根据题意，得到基本事件的总数为27n =，以及所求事件中包含的基本事件个数为3m =，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.【详解】由人文社科类、文学类、自然科学类三个读书社团，甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，基本事件的总数为3327n ==，三人恰好参加同一个社团包含的基本事件个数为3m =，则三人恰好参加同一个社团的概率为31279m P n ===.故答案为：19.13.如图，在ABC 中，π3BAC ∠=，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足()12AP mAC AB m =+∈R ，若2AC =，4AB =，则AP CD ⋅的值为______.【答案】3【解析】【分析】利用//CP CD ，结合已知条件可把m 求出，由平面向量基本定理把AP 、CD 用已知向量AB 、AC表示，再利用数量积的运算法则可求数量积．【详解】 2AD DB =，∴23AD AB = ，//CP CD，∴存在实数k ，使得CP kCD = ，即()AP AC k AD AC -=- ，又 12AP mAC AB =+ ，则()12123m AC AB k AB AC ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，∴11223m kk -=-⎧⎪⎨=⎪⎩，34k ∴=，14m =，则()112423AP CD AP AD AC AC AB AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-=+⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2221111611π242cos 33433433AB AC AB AC =--⋅=--⨯⨯ ，故答案为：3．14.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，动点P 在1AB C V 内，满足1D P =，则点P 的轨迹长度为______.【解析】【分析】确定正方体1111ABCD A B C D -对角线1BD 与1AB C V 的交点E ，求出EP 确定轨迹形状，再求出轨迹长度作答.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，如图，1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，则1DD AC ⊥，而BD AC ⊥，1DD BD D =I ，1DD ，BD ⊂平面1BDD ，于是AC ⊥平面1BDD ，又1BD ⊂平面1BDD ，则1AC BD ⊥，同理11⊥AB BD ，而1AC AB A ⋂=，AC ，1AB ⊂平面1AB C ，因此1BD ⊥平面1AB C ，令1BD 交平面1AB C 于点E ，由11B AB C B ABC V V --=，得111133AB C ABC S BE S BB ⋅=⋅ ，即)23142BE AB ⋅⋅=，解得BE AB ==而1BD ==1D E =，因为点P 在1AB C V 内，满足1D P =，则EP ==因此点P 的轨迹是以点E 为半径的圆在1AB C V 内的圆弧，而1AB C V 为正三角形，则三棱锥1B AB C -必为正三棱锥，E 为正1AB C V 的中心，于是正1AB C V 的内切圆半径111323232EH AB =⨯⨯=⨯=，则cos 2HEF ∠=，即π6HEF ∠=，π3FEG ∠=，所以圆在1AB C V 内的圆弧为圆周长的12，即点P 的轨迹长度为12π2⋅=【点睛】方法点睛：涉及立体图形中的轨迹问题，若动点在某个平面内，利用给定条件，借助线面、面面平行、垂直等性质，确定动点与所在平面内的定点或定直线关系，结合有关平面轨迹定义判断求解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知z 为复数，2i z +为实数，且(12i)z -为纯虚数，其中i 是虚数单位.（1）求||z ；（2）若复数2(i)z m +在复平面上对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围.【答案】（1）（2）()2,2-【解析】【分析】（1）设=+i ,R z a b a b ∈，，根据复数代数形式的乘法法则化简2i z +与(12i)z -，根据复数为实数和纯虚数的条件，即可求出a b ，，利用复数模长公式，即可求得到复数的模长；（2）由（1）知，求出复数的共轭复数，再根据复数代数形式的除法与乘方运算化简复数，再根据复数的几何意义得到不等式组，解得即可.【小问1详解】设=+i ,R z a b a b ∈，，()2i=2i z a b +++，因为2i z +为实数，所以20b +=，即2b =-所以(12i)(2i)(12i)42(1)i z a a a -=--=--+，又因为(12i)z -为纯虚数，所以40a -=即4a =，所以42z i =-，所以z ==.【小问2详解】由（1）知，42iz =+所以222(i)(42i i)16(2)8(2)i m m z m m +=++=-+++，又因为2(i)z m +在复平面上所对应的点在第一象限，所以216(2)08(2)0m m ⎧-+>⎨+>⎩，解得：22m -<<所以，实数m 的取值范围为()2,2-.16.某校为了提高学生对数学学习的兴趣，举办了一场数学趣味知识答题比赛活动，共有1000名学生参加了此次答题活动．为了解本次比赛的成绩，从中抽取100名学生的得分（得分均为整数，满分为100分）进行统计．所有学生的得分都不低于60分，将这100名学生的得分进行分组，第一组[)60,70，第二组[)70,80，第三组[)80,90，第四组[]90,100（单位：分），得到如下的频率分布直方图．（1）求图中m 的值，并估计此次答题活动学生得分的中位数；（2）根据频率分布直方图，估计此次答题活动得分的平均值．若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计参赛的学生中有多少名学生获奖．（以每组中点作为该组数据的代表）【答案】（1）0.01m =，中位数为82.5．（2）82x =，有520名学生获奖．【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中所有频率之和等于1和中位数左边和右边的直方图的面积应该相等即可求解；（2）利用频率分布直方图中平均数等于每个小矩形底边的中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和及不低于平均值的学生人数为总数500乘以不低于平均值的频率即可.【小问1详解】由频率分布直方图知：()0.030.040.02101m ++++⨯=，解得0.01m =，设此次竞赛活动学生得分的中位数为0x ，因数据落在[)60,80内的频率为0.4，落在[)60,90内的频率为0.8，从而可得08090x <<，由()0800.040.1x -⨯=，得082.5x =，所以估计此次竞赛活动学生得分的中位数为82.5．【小问2详解】由频率分布直方图及（1）知：数据落在[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100的频率分别为0.1，0.3，0.4，0.2，650.1750.3850.4950.282x =⨯+⨯+⨯+⨯=，此次竞赛活动学生得分不低于82的频率为90820.20.40.5210-+⨯=，则10000.52520⨯=，所以估计此次竞赛活动得分的平均值为82，在参赛的1000名学生中估计有520名学生获奖17.在①()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-；②2cos 0cos b a A c C--=；③向量()m c = 与(cos ,sin )n C B = 平行,这三个条件中任选一个,补充在下面题干中,然后解答问题.已知ABC 内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且满足______.（1）求角C ；（2）若ABC 为锐角三角形,且2c =,求ABC 周长的取值范围；（3）在（2）条件下,若AB 边中点为D ,求中线CD 的取值范围.（注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分）【答案】（1）条件选择见解析,3π（2）2,6]+（3）3CD <≤【解析】【分析】（1）选①根据正弦定理化简，然后转化成余弦值即可；选②根据正弦定理化简即可求到余弦值，然后求出角度；选③先根据向量条件得到等式，然后根据正弦定理即可求到正切值，最后求出角度.（2）根据（1）中结果和2c =，把ABC 周长转化成π4sin 26A ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，然后再求解范围.（3）根据中线公式和正弦定理，把CD 转化成三角函数求解即可.【小问1详解】选①：因为()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-，()()()a c a c b a b ∴+-=-,即222c a b ab =+-，1cos 2C ∴=，()0,πC ∈ ,π3C ∴=.选②：2cos 0cos b a A c C--=，2sin sin cos sin cos B A A C C-∴=,2sin cos sin cos sin cos B C A C C A ∴-=，1cos 2C ∴=,()0,πC ∈ ,π3C ∴=.选③：向量()m c = 与(cos ,sin )n C B =平行，sin cos c B C ∴=,sin sin cos C B B C ∴=,tan C ∴=()0,πC ∈ ,π3C ∴=.【小问2详解】π,23C c == ,sin sin sin a b c A B C==,23sin )2sin())2sin )232a b c A B A A A A π∴++=++=+-+=+4sin(26A π=++. ABC 为锐角三角形,π022ππ032A B A ⎧<<⎪⎪∴⎨⎪<=-<⎪⎩，ππ62A ∴<<，πsin ,162A ⎛⎤⎛⎫∴+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦.ABC ∴周长的取值范围为2,6]+.【小问3详解】224a b ab =+- ，又由中线公式可得222(2)42()2(4)CD a b ab +=+=+，21624442·sin sin 33CD B A A π⎛⎫∴=+=+- ⎪⎝⎭2161161142·sin cos sin 42·sin 23223426A A A A π⎛⎫⎡⎤⎛⎫=++=++- ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭.即254πsin 2336CD A ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， ABC 为锐角三角形，π022ππ032A B A ⎧<<⎪⎪∴⎨⎪<=-<⎪⎩，ππ62A ∴<<,ππ5π2666A ∴<-<.3CD <≤.18.三棱台111ABC A B C -中，若1A A ⊥面ABC ，ABAC ⊥，12AB AC AA ===，111A C =，M ，N 分别是BC ，BA 中点.（1）求1A N 与1CC 所成角的余弦值；（2）求平面1C MA 与平面11ACC A 所成成角的余弦值；（3）求1CC 与平面1C MA 所成角的正弦值.【答案】（1）45（2）23（3）15【解析】【分析】（1）根据题意，证得11//MN A C 和11//A N MC ，得到1CC M ∠为1A N 与1CC 所成角，在1CC M △中，利用余弦定理，即可求解；（2）过M 作ME AC ⊥，过E 作1EF AC ⊥，连接1,MF C E ，证得ME ⊥平面11ACC A ，进而证得1AC ⊥平面MEF ，得到平面1C MA 与11ACC A 所成角即MFE ∠，在直角MEF 中，即可求解；（3）过1C 作1C P AC ⊥，作1C Q AM ⊥，连接,PQ PM ，由1C P ⊥平面AMC ，得到1C P AM ⊥和1C Q AM ⊥，得到AM ⊥平面1C PQ 和PR ⊥平面1C MA ，在直角1C PQ 中，求得23PR =，求得C 到平面1C MA 的距离是43，进而求得1CC 与平面1C MA 所成角.【小问1详解】解：连接1,MN C A .由,M N 分别是,BC BA 的中点，根据中位线性质，得//MN AC ，且12AC MN ==，在三棱台111ABC A B C -中，可得11//A C AC ，所以11//MN A C ，由111MN A C ==，可得四边形11MNAC 是平行四边形，则11//A N MC ，所以1CC M ∠为1A N 与1CC 所成角，在1CC M △中，由111CC A N C M CM ====，可得14cos5CC M ∠=.【小问2详解】解：过M 作ME AC ⊥，垂足为E ，过E 作1EF AC ⊥，垂足为F ，连接1,MF C E .由ME ⊂面ABC ，1A A ⊥面ABC ，故1AA ME ⊥，又因为ME AC ⊥，1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂平面11ACC A ，则ME ⊥平面11ACC A .由1AC ⊂平面11ACC A ，故1ME AC ⊥，因为1EF AC ⊥，ME EF E ⋂=，且,ME EF ⊂平面MEF ，于是1AC ⊥平面MEF ，由MF ⊂平面MEF ，可得1AC MF ⊥，所以平面1C MA 与平面11ACC A 所成角即MFE ∠，又因为12AB ME ==，1cos CAC ∠=，则1sin CAC ∠=所以11sin EF CAC =⨯∠=，在直角MEF 中，90MEF ∠=，则MF ==2cos 3EF MFE MF ∠==.【小问3详解】解：过1C 作1C P AC ⊥，垂足为P ，作1C Q AM ⊥，垂足为Q ，连接,PQ PM ，过P 作1PR C Q ⊥，垂足为R ，由11C A C C ==，1C M ==12C Q ==，由1C P ⊥平面AMC ，AM ⊂平面AMC ，则1C P AM ⊥，因为1C Q AM ⊥，111C Q C P C = ，11,C Q C P ⊂平面1C PQ ，于是AM ⊥平面1C PQ ，又因为PR ⊂平面1C PQ ，则PR AM ⊥，因为1PR C Q ⊥，1C Q AM Q = ，1,C Q AM ⊂平面1C MA ，所以PR ⊥平面1C MA ，在直角1C PQ 中，1122223322PC PQ PR QC ⋅⋅==，因为2CA PA =，故点C 到平面1C MA 的距离是P 到平面1C MA 的距离的两倍，即点C 到平面1C MA 的距离是43，设所求角为θ，则43sin 15θ==.19.如图①，在矩形ABCD 中，2AB AD ==E 为CD 的中点，如图②，将AED △沿AE 折起，点M 在线段CD 上．（1）若2DM MC =，求证AD ∥平面MEB ；（2）若平面AED ⊥平面BCEA ，是否存在点M ，使得平面DEB 与平面MEB 垂直？若存在，求此时三棱锥B DEM -的体积，若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在，169【解析】【分析】（1）根据已知条件及平行线分线段成比例定理，结合线面平行的判定定理即可求解；（2）根据（1）的结论及矩形的性质，利用面面垂直的性质定理及线面垂直的性质定理，结合线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，再利用等体积法及棱锥的体积公式即可求解.【小问1详解】如图，连AC ，交EB 于G ，在矩形ABCD 中，E 为DC 中点，AB EC ∴∥，且2AB EC =，2AG GC ∴=，又2DM MC =，AD MG ∴∥，又MG ⊂平面MEB ，AD ⊄平面MEB ，AD ∴∥平面MEB ．【小问2详解】存在点M ，使得平面DEB 与平面MEB 垂直.在矩形ABCD 中，12DE DA AB ==，45DEA BEC ∴∠=∠=︒，90AEB ∴∠=︒，即AE EB ⊥，已知平面AED ⊥平面BCEA ，又平面AED 平面BCEA AE =，BE ∴⊥平面AED ，DE ⊂平面AED ，BE DE ∴⊥．①取AE 中点O ，则DO AE ⊥，平面AED ⊥平面BCEA ，平面AED 平面BCEA AE =，DO ∴⊥平面BCEA ，由（1）知当2DM MC =时，AD MG ∥，AD DE ⊥ ，MG DE ∴⊥．②而BE MG G ⋂=，,⊂BE MG 平面MEB ，DE ∴⊥平面MEB ，又DE ⊂平面DEB ，∴平面DEB ⊥平面MEB ．即当2DM MC =时，平面DEB 与平面MEB 垂直．依题意有DE AD ==4AE =，2DO =，(2222121116233333329B DEM B DEC D BEC BEC V V V DO S ---∴===⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△．。
北京市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷含答案
北京市2023-2024学年高一（下）期中数学试卷一、选择题（每题5分，共50分）（答案在最后）1.若复数2i z =-+，则复数z 在复平面内对应的点位于（）A .第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】运用复数的几何意义求解即可.【详解】复数2i z =-+，则复数z 在复平面内对应的点(2,1)-位于第二象限．故选：B .2.已知向量(2,1)a = ，(4,)b x = ，且a b∥，则x 的值为（）A.-2B.2C.-8D.8【答案】B 【解析】【分析】运用平面向量共线的坐标公式计算即可.【详解】(2,1)a =rQ ，(4,)b x =，且a b∥，240x ∴-=，即2x =．故选：B ．3.在三角形ABC 中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，若0120A ∠=，2a =，3b =，则B ＝（）A.3πB.56π C.566ππ或 D.6π【答案】D 【解析】【详解】试题分析：由于0120A ∠=为钝角，所以只有一解.由正弦定理得：21sin sin1203sin 2B B =⇒=，选D.考点：解三角形.4.已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积为（）A.B.πC.D.2π【答案】A 【解析】【分析】根据圆锥轴截面的定义结合正三角形的性质，可得圆锥底面半径长和高的大小，由此结合圆锥的体积公式，即可求解.【详解】由题知，如图，PAB 为圆锥的轴截面，边长均为2，则圆锥的高322PO =⨯=底面半径1212r =⨯=，故圆锥体积2211ππ1π333V r PO =⋅=⨯=.故选：A5.已知P 为ABC 所在平面内一点，2BC CP =uu u r uur，则（）A.1322AP AB AC =-+uu u r uu u r uuu r B.1233AP AB AC=+C.3122AP AB AC=-uu u r uu u r uuu r D.2133AP AB AC=+uu u r uu u r uuu r【答案】A 【解析】【分析】根据题意作出图形，利用向量线性运算即可得到答案.【详解】由题意作出图形,如图,则11()22AP AC CP AC BC AC AC AB =+=+=+- 1322AB AC =-+，故选：A.6.已知非零向量a ，b，则“a b b -= ”是“20a b -= ”成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合向量的模的定义，数量积的性质和运算律判断.【详解】若20a b -= ，则a b b -=，a b b -= ，所以“a b b -= ”是“20a b -=”成立的必要条件，若a b b -= ，则220a a b -⋅=，()20a a b ⋅-= ，当()1,0a = ，11,22b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，()20,1a b -= ，()20a a b ⋅-= 成立，但20a b -≠.所以，“a b b -= ”不是“20a b -=”成立的充分条件，所以“a b b -= ”是“20a b -= ”成立的必要不充分条件，故选：B.7.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2cos a B c =，则ABC 的形状一定是（）A.等边三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形【答案】B 【解析】【分析】由正弦定理可得2sin cos sin A B C =，再由()C A B π=-+，可得2sin cos sin()sin cos cos sin A B A B A B A B =+=+，从而可得in 0()s A B -=，进而可得结论【详解】解：因为2cos a B c =，所以由正弦定理可得2sin cos sin A B C =，因为A B C π++=，所以()C A B π=-+，所以()()sin sin sin C A B A B π⎡⎤=-+=+⎣⎦，所以2sin cos sin()sin cos cos sin A B A B A B A B =+=+，所以sin cos cos sin 0A B A B -=，所以in 0()s A B -=，因为A B ππ-<-<，所以0A B -=，所以A B =，所以ABC 为等腰三角形，故选：B8.对于非零向量,m n ，定义运算“⨯”：sin m n m n θ⨯=，其中θ为,m n 的夹角.设,,a b c 为非零向量，则下列说法错误．．的是A.a b b a⨯=⨯ B.()a b c a c b c+⨯=⨯+⨯C.若0a b ⨯=，则//a bD.()a b a b⨯=-⨯【答案】B 【解析】【详解】由运算定义，sin ,sin a b a b b a b a θθ⨯=⨯=，所以a b b a⨯=⨯正确；()sin ,sin sin a b c a b c a c b c a c b c θαβ+⨯=+⨯+⨯=+ ，所以()a b c a c b c +⨯≠⨯+⨯，故B错误；C 、sin 0a b a b θ⨯== ，则0,θπ=，所以//a b 正确；D 、()()sin ,sin sin a b a b a b a b a b θπθθ⨯=-⨯=--= ，所以()a b a b ⨯=-⨯正确．故选B ．点睛：本题考查向量的新定义运算，关键就是理解新定义．本题采取排除法，通过逐个验证，我们可以发现A 、C 、D 都是正确的，所以错误的就是B ．9.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，1,,AB BC AA AB P ⊥=为棱11A B 的中点，Q 为线段1AC 上的动点．以下结论中正确的是（）A.存在点Q ，使BQ AC ∥B.不存在点Q ，使11BQ B C ⊥C.对任意点Q ，都有1BQ AB ⊥D.存在点Q ，使BQ 平面1PCC 【答案】C 【解析】【分析】A 选项，根据异面直线的定义可以判断；B 选项，容易发现1,A Q 重合时符合题意；C 选项，利用线面垂直得到线面垂直；D 选项，先找出平面1PCC 的一条垂线，问题转化为判断这条垂线是否和BQ 垂直的问题.【详解】A 选项，由于BQ ⋂平面ABCB =，B AC ∉，AC ⊂平面ABC ，则,BQ AC 一定异面，A 选项错误；B 选项，根据直三棱柱性质，1BB ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，故1BB BC ⊥，又AB BC ⊥，1AB BB B Ç=，1,AB BB ⊂平面11ABB A ，故BC ⊥平面11ABB A ，又1BA ⊂平面11ABB A ，故1BC BA ⊥，显然11BC B C ∥，即111B C BA ⊥，故1,A Q 重合时，11BQ B C ⊥，B 选项错误；C 选项，直棱柱的侧面11ABB A 必是矩形，而1AA AB =，故矩形11ABB A 成为正方形，则11AB BA ⊥，B 选项已经分析过，BC ⊥平面11ABB A ，由1AB ⊂平面11ABB A ，故1AB BC ⊥，又1BC BA B ⋂=，1,BC BA ⊂平面1BCA ，故1AB ⊥平面1BCA ，又BQ ⊂平面1BCA ，则1BQ AB ⊥必然成立，C 选项正确；D 选项，取AB 中点M ，连接,CM PM ，根据棱柱性质可知，CM 和1C P 平行且相等，故平面1PCC 可扩展成平面1CMPC ，过B 作BN CM ⊥，垂足为N ，根据1BB ⊥平面ABC ，BN ⊂平面ABC ，故1BB BN ⊥，显然11BB CC ∥，故1BN CC ⊥，由BN CM ⊥，1CC CM C = ，1,CC CM ⊂平面1CMPC ，故BN ⊥平面1CMPC ，若BQ 平面1PCC ，则BQ BN ⊥，过Q 作QO //1BB ，交11A C 于O ，连接1B O ，于是1BQOB 共面，又1BQ BB B = ，1,BQ BB ⊂平面1BQOB ，故BN ⊥平面1BQOB ，由于1B O ⊂平面1BQOB ，故1BN B O ⊥，延长OQ 交AC 于J ，易得1B O //BJ ，则BJ BN ⊥，而J 在线段AC 上，这是不可能的，D 选项错误.故选：C10.圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即ABC ∠）为26.5 ，夏至正午太阳高度角（即ADC ∠）为73.5 ，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB 的长）为a ，则表高（即AC 的长）为（）A.sin532sin 47a ︒︒B.2sin 47sin53a ︒︒C.tan 26.5tan 73.5tan 47a ︒︒︒D.sin 26.5sin 73.5sin 47a ︒︒︒【答案】D 【解析】【分析】先求BAD ∠，在BAD 中利用正弦定理求AD ，在Rt ACD 中即可求AC .【详解】73.526.547BAD ∠=-= ，在BAD 中由正弦定理得：sin sin BD AD BAD ABD=∠∠，即sin 47sin 26.5a AD= ，所以sin 26.5sin 47a AD =，又因为在Rt ACD 中，sin sin 73.5ACADC AD=∠= ，所以sin 26.5sin 73.5sin 73.5sin 47a AC AD =⨯=,故选：D【点睛】本题主要考查了解三角形应用举例，考查了正弦定理，属于中档题.二、填空题（每题5分，共30分）11.已知复数i(1i)z =+，则z =________；||z =________．【答案】①.1i--②.【解析】【分析】运用共轭复数、复数乘法及复数的模的公式计算即可.【详解】因为i(1i)1i z =+=-+，则1i z =--，||z ==.故答案为：1i --.12.已知向量(1,1)a =-r ，(2,1)b =- ，则2a b += ________；向量a 在b上的投影向量的坐标为________．【答案】①.(0,1)-②.63(,)55-【解析】【分析】运用平面向量加法、向量数量积、向量的模、投影向量公式计算即可.【详解】解：(1,1)a =-r，(2,1)b =-，则2(2,2)(2,1)(0,1)a b +=-+-=-；()()12113a b ⋅=⨯-+-⨯=-，||b == 故向量a 在b上的投影向量的坐标为：363,555a b b b b b⋅⎛⎫⨯=-=- ⎪⎝⎭ .故答案为：(0,1)-；63(,55-.13.在正四面体A -BCD 中，二面角A -BC -D 的余弦值是_______.【答案】13【解析】【分析】根据二面角平面角的定义，结合正四面体的性质，找出该角，由余弦定理，可得答案.【详解】如图，取BC 的中点F ，连接AF，DF，则AF BC ⊥，DF BC ⊥，即AFD ∠为二面角A BC D --的平面角，设正四面体D ABC -的棱长为6，在正ABC中，sin 60AF AB ==sin 60DF BD ==由余弦定理2221cos 23FD FA AD AFD FD FA +-∠===⋅⋅.故答案为：13.14.已知点(0,0)O ，(1,2)A ，(,0)(0)B m m >，则cos ,OA OB <>=___________；若B 是以OA 为边的矩形的顶点，则m =___________.【答案】①.②.5【解析】【分析】①根据向量的夹角公式，直接求解即可；②根据已知可得0OA AB ⋅=，求出相应的坐标代入即可求出m 的值.【详解】①因为(0,0)O ，(1,2)A ，(,0)(0)B m m >，所以(1,2)OA = ，(,0)OB m =，所以5cos ,5||||OA OB OA OB OA OB ⋅<>===；②(1,2)AB m =-- ，若B 是以OA 为边的矩形的顶点，则0OA AB ⋅=,即140OA AB m ⋅=--=，所以5m =.故答案为：5；515.若ABC 的面积为2223()4a cb +-,且∠C 为钝角，则∠B =_________；c a 的取值范围是_________.【答案】①.60②.(2,)+∞【解析】【分析】根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得tan B =，可求得3B π∠=；再利用()sin sin C A B =+，将问题转化为求函数()f A 的取值范围问题.【详解】()2221sin 42ABC S a c b ac B ∆=+-=，2222a c b ac +-∴=，即cos B =，sin cos 3B B B π∴=∠=，则21sin cos sin sin 11322sin sin sin 2tan 2A A Ac C a A A A A π⎛⎫⎛⎫-⋅--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====⋅+，C ∴∠为钝角，,036B A ππ∠=∴<∠<，)1tan 0,,3tan A A ⎛∴∈∈+∞ ⎝⎭，故()2,ca∈+∞.故答案为3π，()2,∞+.【点睛】此题考查解三角形的综合应用，能够根据题干给出的信息选用合适的余弦定理公式是解题的第一个关键；根据三角形内角A B C π++=的隐含条件，结合诱导公式及正弦定理，将问题转化为求解含A ∠的表达式的最值问题是解题的第二个关键.16.如图矩形ABCD 中，22AB BC ==，E 为边AB 的中点，将ADE V 沿直线DE 翻转成1A DE △．若M 为线段1AC 的中点，则在ADE V 翻转过程中，下列叙述正确的有________（写出所有序号）．①BM 是定值；②一定存在某个位置，使1CE DA ⊥；③一定存在某个位置，使1DE A C ⊥；④一定存在某个位置，使1MB A DE 平面∥．【答案】①②④【解析】【分析】运用等角定理及余弦定理可判断①；运用勾股定理证得1A E CE ⊥、DE EC ⊥，结合线面垂直的判定定理及性质可判断②；运用反证法证及线面垂直判定定理证得DE ⊥平面1A EC ，结合线面垂直性质可得1DE A E ⊥得出矛盾可判断③；运用面面平行判定定理证得平面//MBF 平面1A DE ，结合面面平行性质可判断④.【详解】对于①，取CD 中点F ，连接MF ，BF ，如图所示，则1MF DA ∥，BF DE ，11122MF A D ==，FB DE ==由等角定理知，1π4A DE MFB ∠=∠=，所以由余弦定理可得22252cos 4MB MF FB MF FB MFB =+-⋅⋅∠=，所以52MB =是定值，故①正确；对于④，由①知，1MF DA ∥，BF DE ，又FB 、MF ⊄平面1A DE ，1DA 、DE ⊂平面1A DE ，所以//FB 平面1A DE ，//MF 平面1A DE ，又FB MF F = ，FB 、MF ⊂平面MBF ，所以平面//MBF 平面1A DE ，又因为MB ⊂平面MBF ，所以//MB 平面1A DE ，故④正确，对于②，连接EC ，如图所示，当1A C =时，因为11A E =，CE =22211A C A E CE =+，所以1A E CE ⊥，因为矩形ABCD 中，D E C E ==，2DC =，所以222DE CE DC +=，即DE EC ⊥，又因为1A E DE E ⋂=，1A E 、DE ⊂平面1A DE ，所以CE ⊥平面1A DE ，又1A D ⊂平面1A DE ，所以1CE DA ⊥，故②正确；对于③，假设③正确，即在某个位置，使1DE A C ⊥，又因为矩形ABCD 中，D E C E ==2DC =，所以222DE CE DC +=，即DE EC ⊥，又因为1A C EC C ⋂=，1AC 、EC ⊂平面1A EC ，所以DE ⊥平面1A EC ，又1A E ⊂平面1A EC ，所以1DE A E ⊥，这与1π4DEA ∠=矛盾，所以不存在某个位置，使1DE A C ⊥，故③错误．故答案为：①②④.三、解答题（每题14分，共70分）17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，E ，F 分别是AB ，PB 的中点．（1）求证：//EF 平面PAD ；（2）求证：EF CD ⊥．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由三角形中位线证得EF PA ∥，结合线面平行的判定定理证明即可.（2）由线面垂直性质可得PD CD ⊥，结合线面垂直判定定理可得CD ⊥平面PAD ，再结合线面垂直性质、线线垂直性质证明即可.【小问1详解】因为E ，F 分别是AB ，PB 的中点，所以EF PA ∥，又EF ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，所以//EF 平面PAD ；【小问2详解】因为PD ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PD CD ⊥，又因为底面ABCD 为正方形，CD AD ⊥，=PD AD D ⋂，PD 、AD ⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ，又PA ⊂平面PAD ，所以CD PA ⊥，由（1）知，EF PA ∥，所以EF CD ⊥．18.已知2()22cos f x x x =+．（1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值．【答案】（1）π，π2π[π,π]63k k ++，Z k ∈（2）max ()3f x =，min ()0f x =【解析】【分析】（1）结合二倍角公式及辅助角公式化简函数()f x ，结合sin y t =图象与性质求解即可.（2）先求出π26x +的范围，结合sin y t =图象与性质即可求得最值.【小问1详解】因为2π()22cos 2cos 212sin(216f x x x x x x =+=++=++，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==，令ππ3π2π22π262k x k +≤+≤，Z k ∈，解得π2πππ63k x k +≤≤+，Z k ∈，所以()f x 单调递减区间为π2π[π,π]63k k ++，Z k ∈．【小问2详解】因为π[0,]2x ∈，所以ππ7π2[,]666x +∈，所以由函数图象性质知，当ππ262x +=，即π6x =时，max ()3f x =；当π7π266x +=，即π2x =时，min ()0f x =．19.如图，四边形ABCD 是菱形，DE ⊥平面ABCD ，//AF DE ，3DE AF =．（1）求证：平面//BAF 平面CDE ；（2）求证：平面EAC ⊥平面EBD ；（3）设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得//AM 平面BEF ，并证明你的结论．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）13BM BD =，证明见解析【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理得到//AF 平面CDE ，//AB 平面CDE ，再利用面面平行的判定定理，即可证明结果；（2）根据条件得到AC ⊥平面EBD ，再由面面垂直的判定定理，即可证明结果；（3）构造平行四边形，利用线面平行的判定定理，即可证明结果.【小问1详解】因为//AF DE ，AF ⊄面CDE ，DE ⊂面CDE ，所以//AF 平面CDE ，同理，//AB 平面CDE ，又AF AB A ⋂=，,AF AB ⊂面BAF ,所以平面//BAF 平面CDE .【小问2详解】因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，DE ⊥ 平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，AC DE ∴⊥，BD DE D = ，,BD DE ⊂平面EBD ，AC ∴⊥平面EBD ，AC ⊂ 平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面EBD .【小问3详解】当13BM BD =时，//AM 平面BEF ，理由如下：作MN ED ∥，则MN 平行且等于13BD ，//AF DE ，3DE AF =，∴AF 平行且等于MN ，∴AMNF 是平行四边形，//AM FN ∴，AM ⊄ 平面BEF ，FN ⊂平面BEF ，//AM ∴平面BEF .20.在ABC ∆中，2sin sin sin A B C =.（Ⅰ）若π3A ∠=，求B ∠的大小；（Ⅱ）若1bc =，求ABC ∆的面积的最大值.【答案】（1）π3B ∠=，（2）．【解析】【详解】【分析】试题分析：（Ⅰ）因为2sin sin sin ,A B C =由正弦定理可得2a bc =，再利用余弦定理得所以22222122a b c bc b c bc =+-⨯=+-即b c =，所以为等边三角形．所以π3B ∠=（注：当然也可用化角来处理）；（Ⅱ）由已知可得21a bc ==．所以222221cos 22b c a b c A bc +-+-==21122bc -≥=，又sin (0,]2A ∈．所以11sin sin 224ABC S bc A A ∆==≤11sin sin 224ABC S bc A A ∆==≤试题解析：（Ⅰ）方法一：因为2sin sin sin ,A B C =且，所以2a bc =．又因为π3A ∠=，所以22222122a b c bc b c bc =+-⨯=+-．所以2()0b c -=．所以b c =．因为π3A ∠=，所以为等边三角形．所以π3B ∠=．方法二：因为πA BC ++=，所以sin sin()C A B =+．因为2sin sin sin B C A =，π3A ∠=，所以2ππsin sin()sin 33B B +=．所以13sin cos sin )224B B B +=．所以11cos 23sin 24224B B -+⨯=．所以12cos 2122B B -=．所以πsin(2)16B -=．因为(0,π)B ∈，所以ππ112(,π)666B -∈-．所以ππ262B -=，即π3B ∠=．（Ⅱ）因为2sin sin sin ,A B C =1bc =，且，所以21a bc ==．所以222221cos 22b c a b c A bc +-+-==21122bc -≥=（当且仅当时，等号成立）．因为(0,π)A ∈，所以π(0,]3A ∈．所以sin (0,]2A ∈．所以11sin sin 224ABC S bc A A ∆==≤．所以当是边长为1的等边三角形时，其面积取得最大值．考点：三角函数的性质与解三角形21.对于数集{}12,,1,n X x x x =- ，其中120n x x x <<<⋅⋅⋅<，2n ≥，定义向量集(){},,,Y a a s t s X t X ==∈∈ ，若对任意1a Y ∈ ，存在2a Y ∈ 使得120a a ⋅= ，则称X 具有性质P ．（1）判断{}1,1,2-是否具有性质P ；（2）若2x >，且{}1,1,2,X x =-具有性质P ，求x 的值；（3）若X 具有性质P ，求证：1X ∈且当1n x >时，11x =．【答案】（1）具有性质P（2）4（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据集合新定义判断即可；（2）在Y 中取()1,2a x = ，根据数量积的坐标表示，求出可能的2a ，再根据2x >求出符合条件的值即可；（3）取()111,a x x Y =∈ ，()2,a s t Y =∈ ，由120a a ⋅= ，化简可得0s t +=，所以,s t 异号，而1-是X 中的唯一的负数，所以,s t 中之一为1-，另一个为1，从而得到1X ∈，最后通过反证法得出1n x >时，11x =.【小问1详解】{}1,1,2-具有性质P .因为{}1,1,2X =-，所以()()()()()()()()(){}1,1,1,1,1,2,1,1,1,1,1,2,2,1,2,1,2,2Y =------，若对任意1a Y ∈ ，存在2a Y ∈ 使得120a a ⋅= ，所以X 具有性质P .【小问2详解】因为2x >，且{}1,1,2,X x =-具有性质P ，所以可取()1,2a x = ，又Y 中与()1,2a x = 垂直的元素必有形式()()()1,1,1,2,1,x ---中的一个，当()21,1a =- 时，由120a a ⋅= ，可得202x x -+=Þ=，不符合题意；当()21,2a =- 时，由120a a ⋅= ，可得404x x -+=Þ=，符合题意；当()21,a x =- 时，由120a a ⋅= ，可得200x x x -+=Þ=，不符合题意；所以4x =.【小问3详解】证明：取()111,a x x Y =∈ ，设()2,a s t Y =∈ ，满足120a a ⋅= ，所以()100s t x s t +=⇒+=，所以,s t 异号，因为1-是X 中的唯一的负数，所以,s t 中之一为1-，另一个为1，所以1X ∈，假设1k x =，其中1k n <<，则101n x x <<<，选取()11,n b x x = ，并设()2,b p q = ，满足120b b ⋅= ，所以10n px qx +=，则,p q 异号，从而,p q 之中恰有一个为1-，若1p =-，则1n x qx =，显然矛盾；若1q =-，则1n n x px p x =<<，矛盾，所以当1n x >时，11x =，综上，得证.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于理解集合的新定义，并用向量的数量积为零时坐标表示出所求的参数值.。
2024高一数学期中试卷及答案
2024高一数学期中试卷及答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 设集合A = {x | x = 2k, k ∈ Z}，B = {x | x = 3k, k ∈ Z}，则A∩B =____。
A. {x | x = 6k, k ∈ Z}B. {x | x = 2k, k ∈ Z}C. {x | x = 3k, k ∈Z}D. ∅2. 若f(x) = x² - 4x + 3，则f(2 - x) =____。
A. x² - 4x + 3B. 4 - xC. x² + 4x - 3D. 4 - x²3. 已知等差数列{an}的前5项和为25，第5项为15，则该数列的首项为____。
A. 1B. 3C. 5D. 94. 设函数f(x) = 2x + 1，若f(a) + f(b) = 3，则a + b =____。
A. 0B. 1C. -1D. 25. 下列函数在区间(-∞, 1)上单调递减的是____。
A. y = x²B. y = -x²C. y = 2xD. y = 1/x二、填空题（每题5分，共25分）6. 若|x - 2| ≤ 3，则____ ≤ x ≤ ____。
7. 已知log₂(x - 1) = 3，则x - 1 =____，x =____。
8. 函数f(x) = 2x + 1的反函数为____。
9. 若向量a = (1, 2)，向量b = (-2, 3)，则向量a + b =____，向量a - b =____。
10. 若矩阵A = \(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)，矩阵B = \(\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}\)，则矩阵A + B =____。
三、解答题（共50分）11. （10分）已知函数f(x) = 2x + 1，求f(f(x))的表达式。
北京市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题含答案
2023—2024学年度第二学期北京市高一数学期中考试试卷（答案在最后）一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.11πsin3的值为（）A.2B.2-C.2D.2【答案】A 【解析】【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得.【详解】11πππsin sin 4πsin 3332⎛⎫=-=-=-⎪⎝⎭.故选：A2.下列函数中，最小正周期为π且是偶函数的是（）A.πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.tan y x =C.cos 2y x =D.sin 2y x=【答案】C 【解析】【分析】由三角函数的最小正周期公式和函数奇偶性对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A ，πsin 4y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为：2π2π1T ==，故A 不正确；对于B ，tan y x =的最小正周期为：ππ1T ==，tan y x =的定义域为ππ,Z 2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，关于原点对称，令()tan f x x =，则()()()tan tan f x x x f x -=-=-=-，所以tan y x =为奇函数，故B 不正确；对于C ，cos 2y x =的最小正周期为：2ππ2T ==，令()cos 2g x x =的定义域为R 关于原点对称，则()()()cos 2cos 2g x x x g x -=-==，所以cos 2y x =为偶函数，故C 正确；对于D ，sin 2y x =的最小正周期为：2ππ2T ==，sin 2y x =的定义域为R ，关于原点对称，令()sin 2h x x =，则()()()sin 2sin 2h x x x h x -=-=-=-，所以sin 2y x =为奇函数，故D 不正确.故选：C .3.设向量()()3,4,1,2a b ==- ，则cos ,a b 〈〉=（）A.5-B.5C.5-D.5【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用向量夹角的坐标表示求解即得.【详解】向量()()3,4,1,2a b ==-，则cos ,5||||a b a b a b ⋅〈〉==.故选：D4.在△ABC 中，已知1cos 3A =，a =，3b =，则c =（）A.1B.C.2D.3【答案】D 【解析】【分析】直接利用余弦定理求解即可【详解】因为在△ABC 中，1cos 3A =，a =，3b =，所以由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，2112963c c =+-⨯，得2230c c --=，解得3c =，或1c =-（舍去），故选：D5.函数()()sin f x A x =+ωϕ(其中0A >，0ω>，0ϕπ<<)的图像的一部分如图所示，则此函数的解析式是（）A.()3sin 42f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B.3()3sin 44f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭C.()3sin 84f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D.3()3sin 84f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】根据图象可以求出最大值，结合函数的零点，根据正弦型函数的最小正周期公式，结合特殊值法进行求解即可.【详解】由函数图象可知函数的最大值为3，所以3A =，由函数图象可知函数的最小正周期为4(62)16⨯-=，因为0ω>，所以24(62)168ππωω⨯-==⇒=，所以()3sin 8f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由图象可知：(2)3f =，即3sin 32()2()4424k k Z k k Z ππππϕϕπϕπ⎛⎫+=⇒+=+∈⇒=+∈ ⎪⎝⎭，因为0ϕπ<<，所以令0k =，所以4πϕ=，因此()3sin 84f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选：C6.函数ππ()sin(2),[0,]62f x x x =+∈的最大值和最小值分别为（）A.11,2-B.31,2-C.1,12- D.1,1-【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，求出相位的范围，再利用正弦函数的性质求解即得.【详解】由π[0,2x ∈，得ππ7π2[,666x +∈，则当ππ262x +=，即π6x =时，max ()1f x =，当π7π266x +=，即π2x =时，min 1()2f x =-，所以所求最大值、最小值分别为11,2-.故选：A7.已知向量,,a b c在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则()a b c +⋅= （）A.2B.2- C.1 D.1-【答案】B 【解析】【分析】根据给定信息，利用向量数量的运算律，结合数量积的定义计算得解.【详解】依题意，π3π|||2,||2,,,,,44a b c a b b c a c ===〈〉=⊥〈〉= ，因此3π||||cos2(242a c a c ⋅==⨯-=-，0b c ⋅= ，所以()2a b c a c b c +⋅=⋅+⋅=-.故选：B8.在ABC 中，已知cos cos 2cos a B b A c A +=，则A =（）A.π6B.π4C.π3 D.π2【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再逆用和角的正弦求出即得.【详解】在ABC 中，由cos cos 2cos a B b A c A +=及正弦定理，得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=，则sin()2sin cos A B C A +=，即sin 2sin cos C C A =，而sin 0C >，因此1cos 2A =，而0πA <<，所以π3A =.故选：C9.已知函数()()π2sin 03⎛⎫=+> ⎪⎝⎭f x x ωω，则“()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上既不是增函数也不是减函数”是“1ω>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】以π3x ω+为整体结合正弦函数的性质可得12ω>，进而根据充分、必要条件分析判断.【详解】因为π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦且0ω>，则ππππ,3333x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，若()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎣⎦上既不是增函数也不是减函数，则2πππ33ω+>，解得12ω>，又因为()1,+∞1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，所以“()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上既不是增函数也不是减函数”是“1ω>”的必要不充分条件.故选：B.10.如图，正方形ABCD 的边长为2，P 为正方形ABCD 四条边上的一个动点，则PA PB ⋅的取值范围是（）A.[]1,2-B.[]0,2 C.[]0,4 D.[]1,4-【答案】D 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，分点P 在CD 上，点P 在BC 上，点P 在AB 上，点P 在AD 上，利用数量积的坐标运算求解.【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系：则()()0,2,2,2A B ，当点P 在CD 上时，设()(),002Px x ≤≤，则()(),2,2,2PA x PB x =-=--，所以()()224133,4PA PB x x x ⎡⎤⋅=-+=-+∈⎣⎦ ；当点P 在BC 上时，设()()2,02P yy ≤≤，则()()2,2,0,2PA y PB y =-=-，所以()220,4PA PB y ⎡⎤⋅=-∈⎣⎦ ；当点P 在AB 上时，设()(),202Px x ≤≤，则()(),0,2,0PA x PB x ==-，所以()()22111,0PA PB x x x ⎡⎤⋅=-=--∈-⎣⎦ ；当点P 在AD 上时，设()()0,02P y y ≤≤，则()()0,2,2,2PA y PB y=-=--，所以()220,4PA PB y ⎡⎤⋅=-∈⎣⎦ ；综上：PA PB ⋅的取值范围是[]1,4-.故选：D二､填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.已知圆的半径为2，则60 的圆心角的弧度数为__________；所对的弧长为__________.【答案】①.π3##1π3②.2π3##2π3【解析】【分析】利用度与弧度的互化关系，弧长计算公式求解即可.【详解】60 的圆心角的弧度数为ππ601803⨯=；所对的弧长为π2π233⨯=.故答案为：π3；2π312.已知向量()2,3a =- ，(),6b x =- .若//a b ，则a =r __________，x =__________.【答案】①.②.4【解析】【分析】利用坐标法求出向量的模，再根据向量共线的坐标表示求出x .【详解】因为向量()2,3a =- ，所以a == ，又(),6b x =- 且//a b ，所以()326x =-⨯-，解得4x =.；4.13.若函数()sin f x A x x =的一个零点为π3，则A =__________；将函数()f x 的图象向左至少平移__________个单位，得到函数2sin y x =的图象.【答案】①.1②.π3##1π3【解析】【分析】利用零点的意义求出A ；利用辅助角公式化简函数()f x ，再借助平移变换求解即得.【详解】函数()sin f x A x x =的一个零点为π3，得ππsin 033A =，解得1A =；则π()sin 2sin()3f x x x x =-=-，显然πππ(2sin[()]2sin 333f x x x +=+-=，所以()f x 的图象向左至少平移π3个单位，得到函数2sin y x =的图象.故答案为：1；π314.设平面向量,,a b c 为非零向量，且(1,0)a = .能够说明“若a b a c ⋅=⋅ ，则b c = ”是假命题的一组向量,b c的坐标依次为__________.【答案】(0,1),(0,1)-（答案不唯一）【解析】【分析】令向量,b c 与向量a 都垂直，且b c ≠即可得解.【详解】令(0,1),(0,1)b c ==- ，显然0a b a c ⋅==⋅，而b c ≠ ，因此(0,1),(0,1)b c ==- 能说明“若a b a c ⋅=⋅ ，则b c = ”是假命题，所以向量,b c的坐标依次为(0,1),(0,1)-.故答案为：(0,1),(0,1)-15.已知函数()2cosπ1xf x x =+，给出下列四个结论：①函数()f x 是奇函数；②函数()f x 有无数个零点；③函数()f x 的最大值为1；④函数()f x 没有最小值.其中，所有正确结论的序号为__________.【答案】②③【解析】【分析】根据偶函数的定义判断①，令()0f x =求出函数的零点，即可判断②，求出函数的最大值即可判断③，根据函数值的特征判断④.【详解】函数()2cosπ1xf x x =+的定义域为R ，又22cos(π)cos π()()()11x x f x f x x x --===-++，所以()2cosπ1xf x x =+为偶函数，故①错误；令2cos ππ1()0cos π0ππ(Z)(Z)122x f x x x k k x k k x ==⇒=⇒=+∈⇒=+∈+，所以函数()f x 有无数个零点，故②正确；因为cos π1x ≤，当ππ(Z)x k k =∈，即(Z)x k k =∈时取等号，又因为211x +≥，当且仅当0x =时取等号，所以有21011x <≤+，当且仅当0x =时取等号，所以有2cos π11x x ≤+，当且仅当0x =时取等号，因此有()2cos π11xf x x =≤+，即()()max 01f x f ==，故③正确；因为()2cosπ1xf x x =+为偶函数，函数图象关于y 轴对称，只需研究函数在()0,∞+上的情况即可，当x →+∞时2101x →+，又1cosπ1x -≤≤，所以当x →+∞时()0f x →，又()()max 01f x f ==，当102x <<时cos π0x >，210x +>，所以()0f x >，当1322x <<时1cos π0x -≤<，210x +>，所以()0f x <，当1x >时212x +>，0cos π1x ≤≤，所以()12f x <，又()112f =-，102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，302f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 为连续函数，所以()f x 存在最小值，事实上()f x 的图象如下所示：由图可知()f x 存在最小值，故④错误.故答案为：②③三､解答题（本大题共6小题，共85分）16.在平面直角坐标系xOy 中，角θ以Ox 为始边，终边经过点()1,2--.（1）求tan θ，tan2θ的值；（2）求πsin ,cos ,cos 4θθθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值.【答案】（1）tan 2θ=，4tan 23θ=-（2）sin 5θ-=，cos 5θ=，π10cos 410θ⎛⎫+=⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由三角函数的定义求出tan θ，再由二倍角正切公式求出tan 2θ；（2）由三角函数的定义求出sin θ，cos θ，再由两角和的余弦公式计算可得.【小问1详解】因为角θ以Ox 为始边，终边经过点()1,2--，所以2tan 21θ-==-，则222tan 224tan 21tan 123θθθ⨯===---.【小问2详解】因为角θ以Ox 为始边，终边经过点()1,2--，所以sin 5θ-==，cos 5θ==，所以πππcos cos cos sin sin 444θθθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭2520555210221⎛⎫- =⨯-⨯=⎪ ⎪⎝⎭.17.已知平面向量,,2,3,a b a b a == 与b的夹角为60 ，（1）求22,,a b a b ⋅；（2）求(2)(3)a b a b -⋅+的值：（3）当x 为何值时，xa b -与3a b +rr 垂直.【答案】（1）4，9，3；（2）4-；（3）3013x =.【解析】【分析】（1）利用数量积的定义计算即得.（2）利用数量积的运算律计算即得.（3）利用垂直关系的向量表示，数量积的运算律求解即得.【小问1详解】向量,,2,3,a b a b a == 与b 的夹角为60 ，所以2222|4,|9,3||||c |os 0|6a a b b a b a b ===⋅=== .【小问2详解】依题意，2222(2)(3)2352233534a b a b a b a b -⋅+=-+⋅=⨯-⨯+⨯=- .【小问3详解】由()(3)0xa b a b -⋅+= ，得223(31)4273(31)13300xa b x a b x x x -+-⋅=-+-=-= ，解得3013x =，所以当3013x =时，xa b - 与3a b +r r 垂直.18.已知函数()sin2cos2f x x x =+.（1）求(0)f ；（2）求函数()f x 的最小正周期及对称轴方程；（3）求函数()f x 的单调递增区间.【答案】（1）1；（2）π，ππ,Z 82k x k =+∈；（3）()3πππ,πZ 88k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】（1）代入计算求出函数值.（2）（3）利用辅助角公式化简函数()f x ，再结合正弦函数的图象与性质求解即得.【小问1详解】函数()sin2cos2f x x x =+，所以(0)sin0cos01f =+=.【小问2详解】函数π())4f x x =+，所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==；由ππ2π,Z 42x k k +=+∈，解得ππ,Z 82k x k =+∈，所以函数()f x 图象的对称轴方程为ππ,Z 82k x k =+∈.【小问3详解】由πππ2π22π,Z 242k x k k -+≤+≤+∈，得3ππππ,Z 88k x k k -+≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递增区间是()3πππ,πZ 88k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.19.在△ABC 中，7a =，8b =，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．（1）求A ∠；（2）求ABC 的面积．条件①：3c =；条件②：1cos 7B =-．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）选①②答案相同，3A π∠=；（2）选①②答案相同，ABC 的面积为【解析】【分析】（1）选①，用余弦定理得到cos A ，从而得到答案；选②：先用余弦定理求出3c =，再用余弦定理求出cos A ，得到答案；（2）选①，先求出sin 2A =，使用面积公式即可；选②：先用sin sin()C A B =+求出sin C ，再使用面积公式即可.【小问1详解】选条件①：3c =．在△ABC 中，因为7a =，8b =，3c =，由余弦定理，得222cos 2b c a A bc+-=64949283+-=⨯⨯12=．因为()0,πA ∈，所以π3A ∠=；选条件②：1cos 7B =-由余弦定理得：222249641cos 2147a cbc B ac c +-+-===-，解得：3c =或5-（舍去）由余弦定理，得222cos 2b c a A bc+-=64949283+-=⨯⨯12=．因为()0,πA ∈，所以π3A ∠=；【小问2详解】选条件①：3c =由（1）可得sin 2A =．所以ABC 的面积11sin 8322S bc A ==⨯⨯=选条件②：1cos 7B =-．由（1）可得1cos 2A =．因为sin sin[()]C A B =π-+sin()A B =+sin cos cos sin A B A B=+11()72=-+⨯3314=，所以ABC 的面积11sin 7822S ab C ==⨯⨯=．．20.已知函数()2π2cos cos 213f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭.（1）求π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；（2）求函数()f x 的在[]0,π上单调递减区间；（3）若函数()f x 在区间[]0,m 上有且只有两个零点，求m 的取值范围.【答案】（1）32（2）π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦（3）3564π,π⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及和差角公式化简函数解析式，再代入计算可得；（2）由x 的取值范围求出π23x +的范围，再根据正弦函数的性质得到ππ3π2232x ≤+≤，解得即可；（3）由x 的取值范围求出π23x +的范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得即可.【小问1详解】因为()2π2cos cos 213f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭ππcos2cos2cossin 2sin 33x x x =++3cos2sin 222x x =+1cos2sin 222x x ⎫=+⎪⎪⎭π23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以πππ2π3266332f ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【小问2详解】当[]0,πx ∈时ππ7π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，令ππ3π2232x ≤+≤，解得π7π1212x ≤≤，所以函数()f x 的在[]0,π上的单调递减区间为π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【小问3详解】当[]0,x m ∈时，πππ2,2333x m ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，又函数()f x 在区间[]0,m 上有且只有两个零点，所以π2π23π3m ≤<+，解得5π4π63m ≤<，即m 的取值范围为3564π,π⎡⎫⎪⎢⎣⎭.21.某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为π3的一块扇形空置地（如图），现欲从中规划出一块三角形绿地PQR ，其中P 在 BC 上，PQ AB ⊥，垂足为Q ，PR AC ⊥，垂足为R ，设π0,3PAB α⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭；（1）求PQ ，PR （用α表示）；（2）当P 在BC 上运动时，这块三角形绿地的最大面积，以及取到最大面积时α的值.【答案】（1）60sin PQ α=，π60sin 3PR α⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）三角形绿地的最大面积是平方米，此时π6α=【解析】【分析】（1）利用锐角三角函数表示出PQ 、PR ；（2）依题意可得2π3QPR ∠=，则1sin 2PQR S PQ PR QPR =⋅⋅⋅∠ ，利用三角恒等变换公式化简，再结合正弦函数的性质求出最大值.【小问1详解】在Rt PAQ 中，π0,3PAB ∠α⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，60AP =，∴sin 60sin PQ AP αα==（米），又π3BAC ∠=，所以π3PAR α∠=-，在Rt PAR 中，可得πsin 60sin 3PR PAR AP α⎛⎫==-⎪⎝⎭∠（米）.【小问2详解】由题可知2π3QPR ∠=，∴PQR 的面积1sin 2PQR S PQ PR QPR =⋅⋅⋅∠1π2π60sin 60sin sin 233αα⎛⎫=⨯⨯-⨯ ⎪⎝⎭πsin3αα⎛⎫=- ⎪⎝⎭ππsin cos cos sin 33ααα⎛⎫=- ⎪⎝⎭112cos 222αα⎫=+-⎪⎪⎭π1sin 262α⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，又π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，526πππ,66α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴当ππ262α+=，即π6α=时，PQR 的面积有最大值即三角形绿地的最大面积是π6α=.。
重庆市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷含答案
重庆市2023-2024学年高一（下）期中数学试卷（答案在最后）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知复数，则的虚部是（）A．﹣i B．﹣1C．i D．12．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，m∥α，则n∥αB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n3．（5分）在△ABC中，b＝6，c＝3，A＝60°，则此三角形外接圆面积为（）A．9B．9πC．36D．36π4．（5分）已知向量满足，向量与的夹角为，则在方向上的投影向量为（）A．B．C．D．5．（5分）如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现，我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为（）A．B．2C．D．6．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E，F分别为BC，CD的中点，G为EF中点，则＝（）A．B．C．D．7．（5分）嵩岳寺塔位于河南郑州登封市嵩岳寺内，历经1400多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存最早的砖塔．如图，为测量塔的总高度AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD＝30°，∠BDC＝45°，CD＝32m，在C点测得塔顶A的仰角为60°，则塔的总高度为（）A．B．C．D．8．（5分）在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2A1B1＝4，侧棱，若P为B1C1的中点，则过B，D，P三点截面的面积为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
（多选）9．（3分）已知复数z＝2﹣3i，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是（）A．z的模等于13B．z在复平面内对应的点位于第四象限C．z的共轭复数为﹣2﹣3iD．若z（m+4i）是纯虚数，则m＝﹣6（多选）10．（3分）设向量，，则下列叙述错误的是（）A．若与的夹角为钝角，则k＜2且k≠﹣2B．的最小值为2C．与共线的单位向量只有一个为D．若，则或（多选）11．（3分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC＝2AB＝2BB1＝6，点E为棱BC上靠近点C的三等分点，点F是长方形ADD1A1内一动点（含边界），且直线B1F，EF与平面ADD1A1所成角的大小相等，则（）A．A1F∥平面BCC1B1B．三棱锥F﹣BB1E的体积为4C．存在点F，使得A1F∥B1ED．线段A1F的长度的取值范围为[，]三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
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一、填空题：本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分．1.已知是等差数列的前项和，若，则__________.【答案】【解析】【分析】由等差数列的性质，再利用等差数列的前项和公式即可得出．【详解】由等差数列的性质，，则故答案为21．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、前项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2.若的圆心角所对的弧长为，则扇形半径长为_________．【答案】【解析】【分析】根据弧长公式代入求解即可．【详解】∵，∴故答案为4．【点睛】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式，属基础题.。
3.方程的解集是__________．【答案】【解析】【分析】把，等价转化为，由此能求．【详解】∵，∴，∴．故答案为：【点睛】本题考查三角函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．4.设，则的值为__________．【答案】【解析】【分析】利用二倍角公式即可求得结论.【详解】利用二倍角公式.即答案为.【点睛】本题考查二倍角公式的应用，属基础题.5.函数的值域为___________．【答案】【解析】【分析】根据正弦函数的单调区间，函数在上是增函数，在上是减函数，利用函数的单调性求函数的值域．【详解】由正弦函数的单调区间知，函数在上是增函数，在[上是减函数，故时，y 有最大值是1，时，，时，，故函数的值域是【点睛】本题考查正弦函数的单调区间及单调性、正弦函数的值域，利用函数的单调性求函数的值域是一种常用的方法．6.设函数是R上的奇函数，当时，，则当时，的解析式为_______________.【答案】【解析】【分析】当0时，由已知求出，利用奇函数定义得到与的关系式，从而求出．【详解】当0时，，由已知得，因为是R上的奇函数，所以．故答案为：．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，解决本题的关键在于：当0时，求出，再寻求与的关系．7.若等比数列的前项和，则___________．【答案】【解析】【分析】根据求得数列的通项公式，进而求得，根据求得．【详解】∴，又，由通项得：，公比为3，∴，∴．故答案为-2．【点睛】本题主要考查等比数列的性质，以及等比数列的前n项和公式．解题的关键是求出数列的通项公式．8.如图所示，在直角坐标系中，角的顶角是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点，且.将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点.若点的横坐标为，则点的横坐标为________.【答案】【解析】【分析】设．由三角函数定义，得，由此利用同角三角函数的基本关系求得的值，再根据利用两角和的余弦公式求得结果．【详解】设．由三角函数定义，得，．因为，，所以．所以即答案为.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．9.已知函数，若将函数的图像向左平移个单位，所得图像关于轴对称，则实数的取值集合是__________________．【答案】【解析】【分析】根据函数图象平移法则得出平移后的函数解析式，再根据函数图象关于y轴对称求出的取值集合．【详解】函数的图象向左平移a个单位，得 |的图象，且函数的图象关于轴对称，又，或；∴实数的取值集合为．故答案为：．【点睛】本题考查了函数图象平移和化简的应用问题，是中档题．10.已知数列满足，为数列的前项和，则____________．【答案】【解析】【分析】由，令，求得的值，，得，两式相比，即得，从而求得数列的前项和．【详解】∵，令，求得，当时∴∴数列的奇数项成等比数列，偶数项成等比数列；则【点睛】考查由递推公式求数列中的性质，，解决方法，体现了分类讨论的思想方法，属基础题.11.已知数列满足，若对任意都有，则实数的取值范围是___________．【答案】【解析】【分析】由题若对于任意的都有，可得解出即可得出．【详解】∵，若对任意都有，∴．∴，解得．故答案为．【点睛】本题考查了数列与函数的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.已知函数的图像与直线的三个交点的横坐标分别为，那么的值是__________.【答案】【解析】【分析】通过正弦函数的对称轴方程，求出函数的对称轴方程分别为和，由题意可得，从而求出的值．【详解】函数的图象取得最值有2个x值，分别为和，由正弦函数图象的对称性可得．故，故答案为．【点睛】本题主要考查三角函数的对称性，考查计算能力．二、选择题：本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13.已知为数列的前项和，且满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据数列前前项和的性质可得由此可得结果.【详解】由题数列的前项和满足，则故选C.【点睛】本题考查数列前前项和的性质，属基础题.14.在中，角所对的边分别为，则“”是“”的 ( ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据“，得出，根据充分必要条件的定义可判断．【详解】∵中，角所对的边分别为，，或∴根据充分必要条件的定义可判断：“”是“”的充分不必要条件．故选A【点睛】本题考查了解三角形，充分必要条件的定义，属于中档题．15.有下列四个命题：①只有在区间上，正弦函数才有反函数；②与是同一函数；③若函数的最小正周期为，则；④函数的最小正周期为.其中正确的命题个数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】①②可根据反正弦函数的概念判断，③若函数的最小正周期为，则或，④函数的最小正周期为..【详解】①只有在区间上，正弦函数才有反函数；错误，在每一个单调区间上正弦函数都有反函数；②与是同一函数；，只有在区间上是同一函数；③若函数的最小正周期为，则或，错误；，④由图像可知函数的最小正周期为..【点睛】本题考查命题真假判断，属中档题.16.对于实数，表示不超过的最大整数. 已知正数数列满足，，其中为数列的前项和，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知数列递推式可得数列{S n2}是首项为1，公差为1的等差数列，求得．由此可求【详解】由，令得，∵，得．当时，即．因此，数列是首项为1，公差为1的等差数列，∴，即．则.故选B.【点睛】本题考查等差关系的确定，考查数列求和，属难题．三、解答题：本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17.设，求的值.【答案】【解析】【分析】根据两角和的正切公式可得.进而求出，则可求.【详解】，.【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简求值，属中档题.18.已知等比数列满足：公比，且.求数列的通项公式；（2）设点在函数的图像上，求数列的前项和的最大值，并求出此时的.【答案】（1）；（2） .【解析】【分析】（1）由题列出方程组，求得，根据进行取舍，可得列的通项公式；（2）由题意，，则，由此可求数列的前项和的最大值. 【详解】（1）由又，.（2）由题意，是等差数列，且.【点睛】本题考查等比数列的基本量计算，考查等差数列的前和公式，属中档题.19.已知函数为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为.求的值；（2）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先用两角和公式对函数的表达式化简得，利用偶函数的性质即求得，由函数图象的两相邻对称轴间的距离为求得，进而求出的表达式，把代入即可．（Ⅱ）根据三角函数图象的变化可得函数的解析式，再根据余弦函数的单调性求得函数的单调区间．【详解】（1）化简得：为偶函数，又，又函数图象的两相邻对称轴间的距离为，，因此.（2）由题意得令，即的单调递减区间为.【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换和三角函数图象的应用．属基础题．20.如图，公路围成的是一块角形耕地，其中顶角满足.在该土地中有一点，经测量它到公路的距离分别为.现要过点修建一条直线公路，将三条公路围成的区域建成一个工业区．（1）用来表示；（2）为尽量减少耕地占用，问等于多少时，使该工业区面积最小？并求出最小面积.【答案】（1）；（2）当时，面积最小值为..【解析】【分析】（1）由题，则由可得答案；（2）由正弦定理得故，由基本不等式可求面积最小值.【详解】（1），.（2）由正弦定理，得当且仅当，即时等号成立. 解得.答：当时，该工业区的面积最小值为.【点睛】本题考查解三角形在实际生活中的应用，考查正弦定理，基本不等式等，属中档题21.用部分自然数构造如图的数表：用表示第行第个数，使得，每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和，设第行中的各数之和为.已知，求的值；令，证明：是等比数列，并求出的通项公式；数列中是否存在不同的三项恰好成等差数列？若存在，求出的关系，若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）数列中不存在不同的三项恰好成等差数列.【解析】【分析】（1）利用数表，可求b1，b2，b3，b4，并且b n+1=a（n+1）1+a（n+1）2+…+a（n+1）（n+1）=2（a n1+a n2+…+a nn）+2=2b n+2．（2）由b n+1=2b n+2，可得b n+1+2=2（b n+2），从而{b n+2}是以b1+2=3为首项，2为公比的等比数列，即可求出{b n}的通项公式；（3）设p＞q＞r，{b n}是递增数列，2b q=b p+b r，由此能导出数列{b n}中不存在不同的三项b p，b q，b r恰好成等差数列．【详解】（1）.（2）证明：（常数）又是以为首项，为公比的等比数列. 故.（3）不妨设数列中存在不同的三项恰好成等差数列.即化简得：显然上式左边为偶数，右边为奇数，方程不成立.故数列中不存在不同的三项恰好成等差数列.【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的基本性质和数列的递推公式，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．。