空间角

又∵ME⊂平面ACM，SB⊄平面ACM，∴SB∥平面ACM.
(2)法一：取AD的中点F，则MF∥SA.
作FQ⊥AC于Q，连结MQ.
∵SA⊥底面ABCD，∴MF⊥底面ABCD. ∴FQ为MQ在平面ABCD内的射影. ∵FQ⊥AC，∴MQ⊥AC. ∴∠FQM为二面角D－AC－M的平面角.
设SA＝AB＝a，
(2)连结SM、CM，则SM⊥AB. ∵SC⊥AB.∴AB⊥平面SCM，
作SH⊥CM于H，则AB⊥SH，故SH⊥平面ABC，
所以∠SCH为SC与平面ABC所成的角.易求出其正弦值为
3.如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，
AB＝AC＝a，AA1＝2a，D为BC
的中点，E为CC1上的点，且CE＝ (1)求证：BE⊥平面ADB1； (2)求二面角B－AB1－D的大小. CC1.
法一：(1)可以作出异面直线所成的角； (2)作B1D中点G，证EG⊥平面B1CD即可.
法二：(1)建系，写出
式求cos (2)由
和
的坐标，再利用数量积公
＝0可证EF⊥平面B1CD1然后再
证得结论.
【解】
法一：
(1)连结A1D，则由A1D∥B1C知， B1C与DE所成角即为A1D与DE所成角. 连结A1E，由正方体ABCD－A1B1C1D1， 可设其棱长为a，
∴AM⊥平面SDC.∴SC⊥AM.
由已知SC⊥AN，∴SC⊥平面AMN. 又SC⊂平面SAC，∴平面SAC⊥平面AMN.
1.如图所示，A1B1C1－ABC是直三棱柱， ∠BCA＝90°，点D1、F1分别是 A1B1和A1C1的中点，若BC＝CA＝CC1， 求BD1与AF1所成角的余弦值.
解：法一：如图所示，连结D1F1， 取BC中点M，连结MF1、MA，
(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角. (3)计算：通常在垂线段，斜线段和射影所组成的直角
三角形中计算.
【注意】 “线线角抓平移，线面角定射影”，求直线和
平面所成的角，关键是确定直线在平面内的射影.为此， 必须在这条斜线上的某一点处作一条(或找一条)平面的垂 线，然后放在直角三角形中求解.
4、直线与平面所成角的向量公式 设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平 面α所成的角为θ， 则sinθ＝ |cos〈a，n〉| ＝
二、二面角的定义 1.半平面的定义
一个平面内的一条直线，把这个平面分成
两部分 其中的每一部分都叫做半平面. 2.二面角的定义
，
从一条直线出发的两个 半平面所组成的图形叫做二
设平面ACM的法向量为n＝(x，y，z)，
＝( 则 令x＝1，则n＝(1，－1，－1). ∴cos〈 ，n〉＝ ，0， )，
＝(1,1,0)，
∴二面角D－AC－M的平面角为arccos
(3)证明：由条件DC⊥SA，DC⊥DA， ∴DC⊥平面SAD， ∴AM⊥DC. 又∵SA＝AD，M是SD的中点，∴AM⊥SD.
2.空间向量法求斜线和平面所成的角
在用向量法求直线OP与α所成的角时一般有两种途径： 一是直接求 ，其中OP′为斜线OP在平面α内 〉进而转化求解，
的射影；二是通过求 〈n，
其中n为平面α的法向量，此时应特别注意OP与平面α
所成角θ与〈n，
最后应完成转化.
〉的关系，它们互为余角，注意
如图，正方形ABCD所在平面
设BC＝CA＝CC1＝2，
∴A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，
A1(2,0,2)，B1(0,2,2). ∵D1、F1为A1B1、A1C1的中点， ∴D1(1,1,2)，F1(1,0,2)， ∴ ＝(1，－1,2)， ＝(－1,0,2)，
∴
＝(1，－1,2)· (－1,0,2)＝3，
又ABEF为正方形，∴AB⊥BE，∴AB⊥平面ECB.
又∵CD∥AB，∴CD⊥平面ECB，
而CD⊂平面EFDC，∴平面EFDC⊥平面ECB.
(2)过点N作NH⊥DF于点H，连结MH. ∵AF∥BE，AD∥BC，∴平面ADF∥平面BCE， ∴平面ADF⊥平面EFDC，
∴NH⊥平面EFDC，∴∠NMH即为所求.
BE，∴四边形BFGE是平行四边形，
∴BF∥GE，∴GE⊥平面B1CD.
∵GE⊂平面EB1D， ∴平面EB1D⊥面B1CD. 法二：如图所示建立 空间直角坐标系D－xyz， 设D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)， C(0,2,0)，B1(2,2,2)，则E(2,1,0).
(1)∵
(1)若AB、CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的异 面直线，则二面角的大小就是向量 夹角(如图①).
向量
与 的
(2)设n1，n2分别是二面角α－l－β的两个面α，β的法向量， 则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是 二面角的平面 角的大小 (如图②③).
1.求两条异面直线所成的角的大小的一般方法，是通过平行 移动直线，把异面直线问题转化为平面问题来解决. 【注意】 异面直线所成角范围是(0， ]，若用余弦定
在Rt△MFQ中，MF＝ ∴tanFQM＝ ∴二面角D－AC－M的大小为arctan SA＝ FQ＝ DE＝
法二：如图所示，以A为坐标
原点，建立空间直线坐标系A－xyz， 由SA＝AB，故设AB＝AD＝AS＝1， 则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)， D(1,0,0)，S(0,0,1)，M( ∵SA⊥底面ABCD， ∴ 是平面ABCD的法向量， ＝(0,0,1). ，0， ).
又设所求线面角为θ， ∴sinθ＝|cos
∴直线MN与面EFDC所成的角为arcsin
1.确定二面角的平面角的方法常用的有以下几种：
(1)定义法：在棱上任取一点，过这点在两个半平面内分 别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平 面角. (2)三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个半平面上一 点A(不在棱上)向另一半平面所在平面引垂线，再由垂足 B(垂足在棱上则二面角为直二面角)向棱作垂线得到棱上
(3)计算(一般是归到某一三角形中).简称为：一作二证三 计算. 空间角有关内容常常需要推理、证明，与计算并重，也 就是所谓的“一半证明，一半计算”，切记：推理、证明
必不可少.
3、向量法求二面角 (1)设n1、n2是二面角α－l－β的两个半平面α与β的法向量， θ是二面角α－l－β的平面角. 则|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|＝
理求得cosα＜0时，则异面直线所成的角应为π－α.
2.利用向量的夹角来求异面直线所成的角时，注意当异 面直线的向量所成的角为钝角时，其补角才是异面直线 所成的角.
如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中 点.
(1)求直线B1C与DE所成角的余弦值；
(2)求证：平面EB1D⊥平面B1CD.
的点C，连结AC，则∠ACB(或其补角)即为二面角的平面角.
(3)作棱的垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二
面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的影公式：cosθ＝
(适用于锐二面角).
2.求空间各种角的大小，一般都转化为平面角来计算，总是 先定其位，后算其值.其步骤一般为： (1)找出或作出有关空间角的平面角； (2)确认(推理证明)上述角为所求角；
＝
cos 即BD1与AF1所成的角的余弦值为
2.四面体A－BCS中，SB、SA、SC两两垂直，∠SBA＝45°，
∠SBC＝60°，M为AB的中点， 求： (1)BC与平面SAB所成的角； (2)SC与平面ABC所成角的正弦值.
解：(1)∵SC⊥SB，SC⊥SA，
∴SC⊥平面SAB，故SB是斜线BC在平面SAB上的射影， ∴∠SBC是直线BC与平面SAB所成的角，大小为60°.
则D1F1∥B1C1∥BM.
又∵D1F1＝ ∴MF1∥BD1， ∴∠MF1A是异面直线BD1和AF1所成的角. B1C1＝BM， ∴BMF1D1是平行四边形，
设BC＝CA＝CC1＝1，
则AM2＝1＋
＝1＋ ＝1＋
cosMF1A＝ 即BD1与AF1所成角的余弦值为
法二：建立如图所示的空间直角坐标系，
则A1D＝
a，A1E＝DE＝
a，
∴cosA1DE＝ ∴直线B1C与DE所成角的余弦值是
(2)取B1C的中点F，B1D的中点G，连结BF，EG，GF.
∵CD⊥平面BCC1B1，
且BF⊂平面BCC1B1，∴DC⊥BF. 又∵BF⊥B1C，CD∩B1C＝C，∴BF⊥平面B1CD. 又∵GF ∴GF CD，BE CD，
一、直线和平面所成的角 直线和平面所成的角，应分三种情况： 1.直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指这条直线和 它在平面上的射影所成的 锐角 ； 2.直线和平面垂直时，直线和平面所成角的大小为 90° ；
3.直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成角的大小 为 0° . 显然，直线和平面所成的角的范围为[0， ].
面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二
面角的面.
3.二面角的平面角的定义
(1)定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分
别作 垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做
二面角的平面角. 平面角是直角的二面角叫做 直二面角 .
[0，π] (2)范围：
4. 平面与平面所成角的向量公式
∴平面EB1D⊥平面B1CD.
1.求一条直线与平面所成的角，要过直线上一点向平面作垂 线，关键是要找垂足落在何处，才好求出直线和平面所成 的角.具体步骤如下： (1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，将空间角(斜线
与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角)，
作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足(有 时可以是两垂足)作直线.注意斜线上点的选取以及垂足的 位置要与问题中已知量有关，才能便于计算.