数学动点问题练习(含答案)
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动态问题
所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.
关键:动中求静.
数学思想:分类思想数形结合思想转化思想
1、如图1,梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点
P从A开始沿AD边以1cm/秒的速度移动,点Q从C开始沿CB向点B以2cm/秒的速度
移动,如果P,Q分别从A,C同时出发,设移动时间为t秒。
当t= 时,四边形是平行四边形;6
当t=时,四边形是等腰梯形. 8
2、如图2,正方形ABCD的边长为4,点M在边DC上,且DM=1,N为对角线AC上任意一点,
则DN+MN的最小值为 5
3、如图,在Rt ABC
△中,9060
ACB B
∠=∠=
°,°,2
BC=.点O是AC的中点,过点O
的直线l从与AC重合的位置开始,绕点O作逆时针旋转,交AB边于点D.过点C作
CE AB
∥交直线l于点E,设直线l的旋转角为α.
(1)①当α=度时,四边形EDBC是等腰梯形,此时AD的长为;
②当α=度时,四边形EDBC是直角梯形,此时AD的长为;
(2)当90
α=°时,判断四边形EDBC是否为菱形,并说明理由.
解:(1)①30,1;②60,1.5;
(2)当∠α=900时,四边形EDBC是菱形.
∵∠α=∠ACB=900,∴BC//ED.∵CE//AB, ∴四边形EDBC是平行四边形
在Rt△ABC中,∠ACB=900,∠B=600,BC=2, ∴∠A=300.
∴AB=4,AC=23. ∴AO=
1
2
AC
=3.在Rt△AOD中,∠A=300,∴AD=2.
∴BD=2. ∴BD=BC. 又∵四边形EDBC是平行四边形,
∴四边形EDBC是菱形
O
E C
D
A
α
l
O
C
A
(备用图)
4、在△AB C中,∠ACB=90°,AC =BC ,直线M N经过点C ,且AD ⊥MN 于D ,BE⊥MN 于E.
(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时,求证:①△ADC ≌△C EB;②DE=AD+BE ; (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时,求证:DE=AD-BE ;
(3)当直线M N绕点C 旋转到图3的位置时,试问DE 、AD 、B E具有怎样的等量关系?请写出这个等量关系,并加以证明.
解:(1)① ∵∠ACD =∠ACB=90° ∴∠CAD +∠ACD=90° ∴∠B CE+∠ACD=90° ∴∠CAD=∠BC E ∵AC=BC ∴△A DC ≌△CEB
② ∵△ADC ≌△CE B ∴C E=AD,CD =BE ∴D E=CE+CD=AD+B E (2) ∵∠ADC=∠CEB =∠A CB=90° ∴∠A CD=∠CBE 又∵AC =BC ∴△AC D≌△CBE ∴CE=AD ,C D=BE ∴DE=C E-CD=AD -B E
(3) 当M N旋转到图3的位置时,DE=BE-AD(或A D=BE-D E,BE=AD +DE 等) ∵∠A DC=∠C EB=∠ACB =90° ∴∠ACD=∠C BE , 又∵AC=BC,
∴△ACD ≌△CBE , ∴AD=CE ,CD=B E, ∴DE=CD-CE=BE-AD.
5、数学课上,张老师出示了问题:如图1,四边形ABCD 是正方形,点E 是边BC 的中点.90AEF ∠=,且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F,求证:AE =E F.
经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:取AB 的中点M,连接M E,则AM=EC ,易证
AME ECF △≌△,所以AE EF =.
在此基础上,同学们作了进一步的研究:
(1)小颖提出:如图2,如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上(除B ,C 外)的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE =EF ”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由;
(2)小华提出:如图3,点E 是BC 的延长线上(除C 点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE =E F”仍然成立.你认为小华的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由. 解:(1)正确. 证明:在AB 上取一点M ,使AM EC =,连接ME . BM BE ∴=.45BME ∴∠=°,135AME ∴∠=°. CF 是外角平分线,45DCF ∴∠=°,135ECF ∴∠=°. AME ECF ∴∠=∠. 90AEB BAE ∠+∠=°,90AEB CEF ∠+∠=°, ∴BAE CEF ∠=∠. AME BCF ∴△≌△(A SA ). AE EF ∴=.
(2)正确.
证明:在BA 的延长线上取一点N .使AN CE =,连接NE .
BN BE ∴=. 45N PCE ∴∠=∠=°. 四边形ABCD 是正方形, AD BE ∴∥. DAE BEA ∴∠=∠. NAE CEF ∴∠=∠. ANE ECF ∴△≌△(A SA).
A
D F
C G B 图1 A
D F
B
A D F
C G
B 图2
A D F C G E
B M A D F
G
E B
N C B A
E D 图1 N M A B C D E M N 图2
A C
B E D N M 图3