利用空间向量解立体几何 完整版
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利用空间向量解立体几何问题2、例2 已知三角形的顶点是(1,1,1)A -，(2,1,1)B -，(1,1,2)C ---，试求这个三角形的面积。
分析：可用公式1||||sin 2S AB AC A =⋅⋅u u ur u u u r 来求面积解：∵(1,2,2)AB =-u u u r ，(2,0,3)AC =--u u u r，∴||3AB ==u u u r，||AC u u u r(1,2,2)(2,0,3)264AB AC ⋅=-⋅--=-+=u u u r u u u r，∴cos cos ,||||AB AC A AB AC AB AC ⋅=<>===⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u rsin sin ,A AB AC =<u u u r u u u r∴所以，1||||sin 2ABCS AB AC A ∆=⋅⋅=u u u r u u u r ． 1、综述（1）由于任意两个空间向量都可以转化为平面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和符号、两个空间向量的数量积等等，都与平面向量相同。
（2） 利用空间向量解题的方法有2类：（i ） 利用空间向量基本定理，结合向量的数量积运算； （ii ） 建立空间坐标系，转化为坐标运算；（3）利用空间向量解题常用到下列2个概念 （i ）直线的方向向量：把直线l 上的向量e 以及与e 平行的向量叫直线的方向向量，有2种方向，有无数个，（II ）平面的法向量：垂直于平面的方向向量，按方向分有2类，有无数个；如何求平面的法向量？1、设法向量为(,,)n x y z =r，为方便计算，可令其中一个坐标为1； 2、在平面内找出两个不共线的向量,a b r r 及其坐标；3、根据法向量与平面内两个不共线的向量数量积为零，列出方程组；4、解方程组得出法向量的坐标2、分类线面关系 线面角 二面角异面直线成角线面关系 目录设空间两条直线21,l l 的方向向量分别为21,e e ，两个平面21,αα的法向量分别为21,n n ，则由如下平 行垂 直AB CD EFxyzMNA 1 D 1B 1DC C 1yz EFA BC DE F x yzP1l 与2l 21//e e 21e e ⊥ 1l 与1α11n e ⊥ 11//n e 1α与2α21//n n21n n ⊥例4 如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点N M ,分别在对角线AE BD ,上，且AE AN BD BM 31,31==,求证：//MN 平面CDE 证明：建立如图所示空间坐标系，设AB,AD,AF 长分别为3a ,3b ,3c),0,2(c a BM -=++=又平面CDE 的一个法向量)0,3,0(b AD = 由0=⋅AD NM 得到AD NM ⊥ 因为MN 不在平面CDE 内 所以NM//平面CDE例1：如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，AD=PD ，E ，F 分别CD 、PB 的中点. （1） 求证：EF ⊥平面PAB ；（Ⅱ）设2BC ，求AC 与平面AEF 所成角的大小.（1）证明：建立空间直角坐标系（如图），设AD=PD=1，AB=2a （0a >），则E(a,0,0), C(2a,0,0), A(0,1,0), B(2a,1,0), P(0,0,1), 11(,,)22F a .得11(0,,)22EF =u u u v ，(2,1,1)PB a =-u u u v ，(2,0,0)AB a =u u u v . 由11(0,,)(2,0,0)022EF AB a ⋅=⋅=u u u v u u u v ，得EF AB ⊥u u u v u u u v ，即EF AB ⊥， 同理EF PB ⊥，又AB PB B =I ， 所以，EF ⊥平面PAB.2、例5在正方体1111D C B A ABCD -中,E,F 分别是BB 1,,CD 中点， 求证：D 1F ⊥平面ADE证明：设正方体棱长为1，建立如图所示坐标系D -xyz)0,0,1(=DA ,)21,,1,1(=DEABCDEPxyz F 因为)1,21,0(1-=D所以0,011=⋅=⋅D DD D ⊥⊥11,D DA DE =I所以⊥F D 1平面ADE 3、(2004年湖南高考理科试题)如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABCD 中, ︒=∠60ABC ，,2,a PD PB a AC PA ====点E 在PD 上,且PE :ED = 2: 1.(Ⅲ)在棱PC 上是否存在一点F, 使BF ∥平面AEC?证明你的结论.解：根据题设条件，结合图形容易得到：)3,32,0(,),,0(,)0,2,23(a a E a a D a a B - ),0,0(,)0,2,23(a P a a C),2,23(a aa --=假设存在点FCP CF λ=),2,23(a aa λλλ--=。
高中数学用空间向量解立体几何问题方法归纳
用空间向量解立体几何题型与方法平行垂直问题基础知识直线 l 的方向向量为 a ＝(a 1， b 1， c 1)．平面α，β的法向量u ＝(a 3， b 3， c 3)， v ＝(a4，b4，c4 )(1)线面平行： l∥α? a ⊥ u ? a · u ＝0? a 1 a 3＋ b 1b 3＋ c 1 c 3＝0(2)线面垂直： l⊥α? a ∥ u ? a ＝ ku ? a 1＝ ka 3， b 1＝ kb 3， c 1＝ kc 3(3)面面平行：α∥β?u∥v?u＝kv?a3＝ka4，b3＝kb4，c3＝kc4(4)面面垂直：α⊥β?u⊥v?u·v＝0?a3a4＋b3b4＋c3c4＝0例 1 、如图所示，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD 中， PA ⊥底面 ABCD ， E， F 分别是PC ， PD 的中点， PA＝ AB ＝1， BC＝2.(1)求证： EF∥平面 PAB；(2)求证：平面 PAD ⊥平面 PDC .[ 证明 ] 以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标11系如图所示，则 A (0,0,0)， B(1,0,0)， C (1,2,0)， D(0,2,0)， P(0,0,1)，所以 E 2， 1，2，11F0，1，2，EF＝－2，0，0 ，PB＝(1,0 ，－1) ，PD＝(0,2 ，－1) ，AP＝(0,0,1) ，AD＝ (0,2,0) ，DC＝ (1,0,0) ，AB＝ (1,0,0) ．1(1)因为 EF ＝－2 AB ，所以 EF ∥ AB ，即EF∥AB.又AB ?平面 PAB， EF?平面 PAB，所以 EF∥平面 PAB .(2) 因为AP·DC＝ (0,0,1) · (1,0,0) ＝ 0，AD·DC＝(0,2,0) · (1,0,0) ＝ 0 ，所以 AP ⊥ DC ， AD ⊥ DC ，即AP⊥DC，AD⊥DC.又AP∩ AD＝ A， AP?平面 PAD， AD ?平面 PAD，所以 DC ⊥平面 PAD .因为 DC ?平面 PDC ，所以平面 PAD ⊥平面 PDC .使用空间向量方法证明线面平行时，既可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的方向向量平行，然后根据线面平行的判定定理得到线面平行，也可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明面面垂直既可以证明线线垂直，然后使用判定定理进行判定，也可以证明两个平面的法向量垂直 .例 2、在直三棱柱ABC -A 1B1C 1中，∠ ABC ＝90°， BC＝2， CC 1＝4，点 E 在线段BB1上，且EB1＝1， D，F， G 分别为 CC 1，C 1 B1， C 1A 1的中点．求证： (1) B1D⊥平面ABD；(2) 平面EGF∥平面ABD.证明： (1) 以B为坐标原点，BA、BC、BB1所在的直线分别为x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B(0,0,0)， D(0,2,2)， B1(0,0,4)，设 BA ＝ a ，则 A (a, 0,0)，所以 BA ＝(a,0,0)， BD ＝(0,2,2)， B1D ＝(0,2，－2)，B1 D·BA0，B1D·BD＝04－40，即 B1D BA BD⊥BD.＝＋＝⊥ ，1又BA ∩BD＝ B，因此 B1 D⊥平面 ABD .a a(2) 由 (1) 知，E(0,0,3)， G2，1，4， F(0,1,4)，则EG＝2，1，1 ，EF＝(0,1,1) ，B1 D·EG＝02－20，B1 D·EF0 22＝，即 B1D⊥EG B D⊥EF.＋＝＝＋－， 1又 EG∩ EF＝ E，因此 B1 D⊥平面 EGF.结合 (1) 可知平面EGF∥平面ABD .利用空间向量求空间角基础知识(1) 向量法求异面直线所成的角：若异面直线 a ， b 的方向向量分别为 a ， b ，异面直线所成的角为θ，则cosθ＝|cos〈a ， b 〉||a ·b |.＝|a || b |(2) 向量法求线面所成的角：求出平面的法向量n ，直线的方向向量 a ，设线面所成的角为| n·a |θ，则sinθ＝|cos〈 n ， a 〉|＝|n||a |.(3)向量法求二面角：求出二面角α－l－β的两个半平面α与β的法向量n1，n2，| n1·n2 |若二面角α－l－β所成的角θ为锐角，则cosθ＝|cos〈n1，n 2〉|＝|n1||n2|；| n1·n2 |若二面角α－l－β所成的角θ为钝角，则cosθ＝－|cos〈 n 1， n 2〉|＝－|n1||n2|.例 1、如图，在直三棱柱A1 B1C 1- ABC 中， AB⊥ AC ， AB＝ AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是 BC 的中点．(1)求异面直线 A 1B 与 C 1D 所成角的余弦值；(2) 求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．[ 解 ] (1) 以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 A - xyz，则A(0,0,0)， B(2,0,0)， C (0,2,0)， D(1,1,0)， A 1(0，0,4)， C 1(0,2,4)，所以A1B＝(2,0 ，－ 4)， C 1D ＝(1 ，－ 1，－ 4)．因为 cos 〈 A 1 B ， C 1 D 〉＝A 1B ·C 1D183 10 A 1B || C 1D |＝＝ 10 ，|20× 183 10所以异面直线 A 1B 与 C 1 D 所成角的余弦值为10.(2) 设平面 ADC 1 的法向量为n 1 ＝ ( x ， y ， z )，因为 AD ＝ (1,1,0) ， AC 1 ＝ (0,2,4) ，所以n 1 · AD ＝ 0 ，n 1 · AC 1 ＝0 ，即 x ＋y ＝ 0 且 y ＋ 2z ＝ 0，取 z ＝ 1 ，得 x ＝ 2 ， y ＝－ 2，所以， n 1 ＝ (2 ，－ 2,1) 是平面 ADC 1 的一个法向量．取平面 ABA 1 的一个法向量为n 2 ＝(0,1,0) ．设平面 ADC 1 与平面 ABA 1 所成二面角的大小为θ.n 1· n 22 25由 |cos θ| ＝| n 1|| n 2 |＝ 9 × 1 ＝3 ，得 sin θ＝ 3 .因此，平面 ADC 1 与平面 ABA 1 所成二面角的正弦值为 53.例 2、如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1 中， CA ＝CB ， AB ＝AA 1，∠ BAA 1＝ 60 °.(1) 证明： AB ⊥ A 1C ；(2) 若平面 ABC ⊥平面 AA 1B 1 B ， AB ＝ CB ，求直线 A 1 C 与平面 BB 1C 1 C 所成角的正弦值．[解](1) 证明：取 AB 的中点 O ，连接 OC ， OA 1， A 1B .因为 CA ＝CB ，所以 OC ⊥AB .由于 AB ＝ AA 1 ，∠ BAA 1＝ 60°，故△ AA 1B 为等边三角形，所以OA 1 ⊥ AB .因为 OC ∩OA 1＝O ，所以 AB ⊥平面 OA 1C .又 A 1C ? 平面 OA 1C ，故 AB ⊥A 1C .(2) 由 (1) 知 OC ⊥ AB ， OA 1 ⊥AB .又平面 ABC ⊥平面 AA 1B 1 B ，交线为 AB ， 所以 OC ⊥平面 AA 1B 1B ，故 OA ， OA 1 ， OC 两两相互垂直．以 O 为坐标原点， OA 的方向为 x 轴的正方向， | OA | 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 O -xyz .由题设知 A (1,0,0) ，A 1(0， 3，0)，C (0,0 ， 3) ， B ( － 1,0,0) ．则 BC ＝(1,0 ，3)， BB 1 ＝ AA 1 ＝(－ 1， 3，0) ， A 1C ＝(0，－3， 3)．设 n ＝ (x ，y ， z ) 是平面 BB 1 C 1C 的法向量，n · BC ＝0，x ＋ 3 z ＝ 0 ，可取 n ＝ ( 3，1，－ 1)．则即－＋ 3y ＝ 0.n · BB 1 ＝ 0.xn · A 1C10故 cosn ， A 1C＝－.| n || A 1C |5所以 A 1 C 与平面 BB 1C 1C 所成角的正弦值为105.(1) 运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量坐标；④结合公式进行论证、计算；⑤转化为几何结论．(2) 求空间角应注意：①两条异面直线所成的角α不一定是直线的方向向量的夹角 β，即 cos α＝ |cos β|.②两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能两法向量夹角的补角为所求．例 3、如图，在四棱锥S -ABCD 中， AB ⊥ AD ，AB ∥ CD ， CD ＝3AB ＝ 3，平面 SAD ⊥平面 ABCD ， E 是线段 AD 上一点， AE ＝ ED ＝3 ， SE ⊥ AD .(1) 证明：平面 SBE ⊥平面 SEC ；(2) 若 SE ＝ 1，求直线 CE 与平面 SBC 所成角的正弦值．解： (1) 证明：∵平面SAD ⊥平面 ABCD ，平面 SAD ∩平面 ABCD ＝ AD ， ? 平面SESAD ，SE ⊥ AD ，∴ SE ⊥平面 ABCD .∵ BE ? 平面 ABCD ，∴ SE ⊥ BE . ∵ AB ⊥ AD ，AB∥CD ，CD ＝ 3AB ＝ 3， AE ＝ ED ＝ 3，∴∠ AEB ＝ 30 °，∠ CED ＝ 60 ° .∴∠ BEC ＝90 °，即 BE ⊥CE . 又 SE ∩CE ＝ E ，∴ BE ⊥平面 SEC . ∵ BE ? 平面 SBE ，∴平面 SBE ⊥平面 SEC .(2) 由 (1) 知，直线 ES ， EB ， EC 两两垂直．如图，以 E 为原点， EB 为 x 轴， EC 为 y轴，ES 为 z 轴，建立空间直角坐标系．则 E (0,0,0) ， C (0,2 3， 0) ， S (0,0,1) ，B (2,0,0) ，所以CE ＝(0 ，－ 2 3，0)， CB ＝(2，－ 2 3，0)， CS ＝(0，－ 2 3，1) ．设平面 SBC 的法向量为 n ＝ (x ， y ，z )，n · CB ＝ 0，2 x － 23 y ＝ 0， 则即令 y ＝ 1，得 x ＝ 3 ， z ＝ 2 3 ，n·CS 0.－ 2 3 y ＋ z ＝ 0.＝..........则平面 SBC 的一个法向量为n ＝ ( 3， 1,2 3) ．n · CE1 设直线 CE 与平面 SBC 所成角的大小为 θ，则 sin θ＝ | | ＝ ，| n | ·| CE |41故直线 CE 与平面 SBC 所成角的正弦值为 4 . 例 4、如图是多面体ABC -A 1B 1C 1 和它的三视图．(1) 线段 CC 1 上是否存在一点 E ，使 BE ⊥平面 A 1CC 1 ？若不存在，请说明理由，若存在，请找出并证明；(2) 求平面 C 1A 1C 与平面 A 1 CA 夹角的余弦值．解： (1) 由题意知AA 1，AB ，AC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0) ， A 1 (0,0,2) ，B ( － 2,0,0) ，C (0 ，－ 2,0) ， C 1(－ 1，－ 1,2) ，则 CC 1 ＝ (－ 1,1,2) ，A 1C 1 ＝ ( － 1，－ 1,0) ， A 1C ＝ (0 ，－ 2 ，－ 2) ．设 E ( x ， y ，z )，则 CE ＝ (x ， y ＋2， z )，EC 1 ＝ ( － 1 －x ，－ 1－ y,2－ z )．设 CEEC 1 (λ>0) ，＝ λ x ＝－ λ－ λx ，－ λ － 2－ λ 2 λ则 y ＋ 2＝－ λ－ λy ，则， 1＋ λ ， 1＋ λ，z ＝ 2 λ－ λz ，E1＋ λ2＋ λ － 2 －λ 2 λ， ， λ.BE＝1＋ λ 1＋λ1＋2 ＋ λ 2 ＋ λ BE · A 1C 1 ＝ 0，－ ＋ ＝ 0，1 ＋ λ 1 ＋ λ 解得 λ＝ 2，由BE · A 1C ＝0，得 － 2－ λ 2λ＋＝ 0，1＋ λ 1 ＋ λ所以线段 CC 1 上存在一点 E ， CE ＝ 2 EC 1 ，使 BE ⊥平面 A 1 CC 1 .(2) 设平面 C 1A 1Cm · A 1C 1 ＝ 0 ， 的 法 向 量 为 m ＝ (x ， y ， z ) ， 则 由得m · A 1C ＝ 0，－ x－ y＝0，－2 y－ 2 z＝0，取 x＝1，则 y＝－1， z＝1.故 m ＝(1，－1,1)，而平面A1 CA 的一个法向量为n ＝(1,0,0) ，m · n13则 cos 〈m，n〉＝|m || n|＝3＝3，故平面 C 1A1C 与平面 A1 CA 夹角的余弦值3为.3利用空间向量解决探索性问题例1、如图 1，正△ABC的边长为 4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将△ ABC 沿 CD 翻折成直二面角 A-DC -B(如图2)．(1)试判断直线 AB 与平面 DEF 的位置关系，并说明理由；(2)求二面角 E-DF- C 的余弦值；BP(3)在线段 BC 上是否存在一点 P，使 AP⊥ DE？如果存在，求出BC的值；如果不存在，请说明理由．[ 解] (1) 在△ABC中，由E，F分别是AC，BC中点，得EF∥AB .又 AB?平面 DEF，EF?平面 DEF，∴ AB∥平面 DEF.(2)以点 D 为坐标原点，以直线 DB， DC ， DA 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立空间直角坐标系，则 A (0,0,2)， B(2,0,0)，C (0，2 3，0)，E(0，3，1)，F(1，3，0)，DF ＝(1，3，0)， DE ＝(0，3， 1) ，DA＝ (0,0,2)．平面 CDF 的法向量为DA＝(0,0,2)．设平面 EDF 的法向量为 n＝( x， y， z)，DF ·n＝0，x＋3y ＝0，则即取 n ＝(3，－3，3)，DE ·n＝0， 3 y＋z＝ 0，cos 〈DA，n〉＝|DA ·n21E-DF-C 的余弦值为21 DA ||n |＝7，所以二面角7.(3) 存在．设P( s，t,0) ，有AP ＝(s，t，－2)，则AP · DE ＝3t－2＝0，∴t＝23，3又 BP ＝(s－2，t,0)， PC ＝(－s,23－t, 0) ，∵BP∥PC，∴ ( s－ 2)(2 3－t)＝－st，2 341∴3s＋t＝ 2 3. 把t＝3代入上式得s＝3，∴BP＝3BC，BP1∴在线段 BC 上存在点 P，使 AP⊥DE.此时，BC＝3.1论证、推理，只需通过坐标运算进行判断.2题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法.例 2、 .如图所示，在直三棱柱ABC -A1B1C 1中，∠ ACB ＝90°， AA 1＝BC＝2AC ＝2.(1)若 D 为 AA 1中点，求证：平面 B1 CD ⊥平面 B1C 1 D；(2)在 AA 1上是否存在一点 D，使得二面角 B1-CD -C 1的大小为60°？解： (1) 证明：如图所示，以点 C 为原点， CA ， CB， CC 1所在直线分别为x， y ，z 轴建立空间直角坐标系．则 C (0,0,0)， A (1,0,0)， B1(0,2,2)，C 1(0,0,2)， D(1,0,1)，即C1B1＝(0,2,0)， DC1＝(－1,0,1)，CD＝(1,0,1)．由C1B1·CD＝(0,2,0)·(1,0,1)＝0＋0＋0＝0，得 C1 B1⊥CD，即C1B1⊥CD.由DC1·CD＝(－1,0,1)·(1,0,1)＝－1＋0＋1＝0，得 DC1⊥CD，即DC1⊥CD.又 DC 1∩ C 1B1＝C 1，∴ CD ⊥平面 B1 C 1D.又 CD?平面 B1CD ，∴平面 B1CD ⊥平面 B1C 1 D.2(2)存在．当 AD ＝2 AA 1时，二面角 B1-CD -C 1的大小为60°.理由如下：设AD ＝ a，则 D 点坐标为(1,0， a )，CD＝(1,0， a )，CB1＝(0,2,2)，设平面 B1CD 的法向量为 m ＝( x， y，z)，m ·CB1＝02y＋2 z＝ 0，则?令 z＝－1，得 m ＝(a, 1，－1)．m ·CD＝0x＋ az＝0，| m·CB |11 a 2＋ 2 ＝ ，22解得 a ＝ 2( 负值舍去 )，故 AD ＝2＝2 AA 1.∴在 AA 1 上存在一点 D 满足题意．空间直角坐标系建立的创新问题空间向量在处理空间问题时具有很大的优越性，能把“非运算”问题“运算”化，即通过直线的方向向量和平面的法向量解决立体几何问题．解决的关键环节之一就是建立空间直角坐标系，因而建立空间直角坐标系问题成为近几年试题新的命题点．一、经典例题领悟好例 1、如图，四棱锥P -ABCD 中， PA ⊥底面 ABCD ， BC ＝ CD ＝ 2 ， AC ＝ 4 ，π∠ ACB ＝∠ ACD ＝ ， F 为 PC 的中点， AF ⊥ PB .3(1) 求 PA 的长；(2) 求二面角 B -AF -D 的正弦值．(1) 学审题——审条件之审视图形建系x ， yA ，B ，C ，D 坐标由条件知 AC ⊥ BD ――→ DB ， AC 分别为轴― →写出 PA ⊥面 ABCDPF ＝ CF AF ⊥ PB――――――――→ 设 P 坐标 ――→ 可得 F 坐标 ――→ AF · PB ＝ 0―→得 P 坐标并求 PA长．(2) 学审题由(1)― →AD，AF，AB 的坐 标向量 n 1 ， n 2分别为平面 FAD 、平面 FAB 的法向量且 n 1 · AF ＝ 0 ―→ 求 得―――――――――――――――――――→n 1 · AD ＝ 0n 1 · n 2 ―→求得夹角余弦．[ 解] (1) 如图，连接 BD 交 AC 于 O ，因为 BC ＝ CD ，即△ BCD 为等腰三角形，又 AC 平分∠ BCD ，故 AC ⊥ BD .以 O 为坐标原点， OB ， OC ， AP 的方向分别为 x 轴， y 轴，πz 轴的正方向，建立空间直角坐标系O -xyz ，则 OC ＝CD cos 3 ＝ 1.而 AC ＝ 4 ，得 AO ＝π3，故 A (0，－ 3,0) ， B ( 3， 0,0) ，C (0,1,0) ， D ( － 3，AC － OC ＝ 3.又 OD ＝ CD sin ＝3 0,0) ．z因 PA ⊥底面 ABCD ，可设 P (0 ，－ 3 ， z ) ．由 F 为 PC 边中点，知 F 0 ，－ 1，2.又AF...z z2＝ 0，2，2，PB＝(3， 3 ，－z)，AF⊥PB，故AF·PB＝ 0，即 6 －2＝ 0 ，z＝ 2 3 (舍去－ 2 3)，所以| PA | ＝2 3.(2) 由 (1)知 AD ＝(－3，3,0) ，AB＝ ( 3 ， 3,0) ，AF＝ (0,2 ， 3) ．设平面FAD 的法向量为n 1＝(x1， y1，z1)，平面 FAB 的法向量为n2＝(x2， y2， z2)，－3x1＋ 3y1＝ 0 ，由 n 1·AD＝0， n 1·AF＝0，得因此可取n 1＝(3，3，－2y1＋3z1＝ 0 ，2)．由 n 2·AB＝0，n 2·AF＝0，得3x2＋ 3y2＝ 0 ，故可取 n2＝(3，－3，2) ．2 y2＋ 3z2＝0 ，n 1· n21从而法向量 n1，n 2的夹角的余弦值为cos 〈n1，n2〉＝|n1|·|n2|＝8.37故二面角 B-AF-D 的正弦值为.8AC⊥BD若图中存在交于一点的三条直线两两垂直，则以该点为原点建立空间直角坐标系.在没有明显的垂直关系时，要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系，注意建立的空间直角坐标系是右手系，正确确定坐标轴的名称.例 2、如图，在空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝DA＝DC＝BE＝2.BE与平面 ABC 所成的角为60°，且点 E 在平面 ABC 内的射影落在∠ ABC 的平分线上．(1)求证： DE∥平面 ABC ；(2)求二面角 E-BC -A 的余弦值．解：证明： (1) 易知△ABC，△ACD都是边长为 2 的等边三角形，取AC 的中点 O ，连接 BO， DO ，则 BO⊥ AC ， DO ⊥ AC .∵平面 ACD ⊥平面 ABC ，∴DO ⊥平面 ABC .作EF⊥平面ABC，则EF∥ DO.根据题意，点 F 落在 BO 上，∴∠ EBF＝60°，易求得EF＝DO＝ 3 ，∴四边形DEFO 是平行四边形，DE∥OF.∵DE?平面 ABC ， OF?平面 ABC ，∴ DE∥平面 ABC .(2) 建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz，可求得平面ABC 的一个法向量为n1＝(0,0,1)．可得 C (－1,0,0)，B(0，3，0)，E(0，3－1，3) ，则CB＝(1，3，0) ，BE＝(0 ，－1， 3) ．设平面 BCE 的法向量为 n2＝(x， y， z)，则可得 n 2·CB＝0， n 2·BE＝0，即( x，y，z)· (1 ， 3，0) ＝ 0， ( x，y，z)· (0 ，－ 1， 3) ＝ 0，可取n2＝( － 3，3，1) ．n1·n 113故 cos〈n1，n2〉＝|n1|·| n2|＝13 . 又由图知，所求二面角的平面角是锐角，13故二面角 E-BC -A 的余弦值为.13专题训练1.如图所示，在多面体ABCD － A 1B1C 1 D1中，上、下两个底面A 1 B1 C 1 D1和 ABCD 互相平行，且都是正方形，DD 1⊥底面 ABCD ， AB ∥A 1 B1， AB＝2 A1 B1＝2 DD1＝2a .(1)求异面直线 AB 1与 DD 1所成角的余弦值；(2)已知 F 是 AD 的中点，求证： FB1⊥平面 BCC 1B1.解：以 D 为原点， DA ， DC ， DD1所在直线分别为x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A (2 a, 0,0)，B(2 a, 2 a, 0)，C (0,2 a, 0)， D1(0,0， a )， F(a, 0,0)， B1( a ，a ， a )， C1(0， a ，a )．(1)∵ AB1＝(－a，a，a)， DD1＝(0,0，a)，∴cos〈 AB1， DD1〉＝AB1· DD13＝，| AB1 | ·| DD1|3所以异面直线 AB1与 DD13所成角的余弦值为.3(2) 证明：∵BB1＝ ( －a，－a，a )，BC＝ (－ 2 a, 0,0) ，FB1＝ (0 ，a，a )，FB1· BB1＝0，∴∴ FB1⊥ BB1， FB1⊥ BC .FB1·BC＝0.∵BB1∩ BC＝ B，∴ FB1⊥平面 BCC 1 B1.2．如图，在三棱柱ABC -A 1 B1 C 1中， AA 1 C1 C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面AA 1C1C，AB＝3， BC＝5.(1)求证： AA 1⊥平面 ABC ；(2)求二面角 A1-BC1-B1的余弦值；BD(3)证明：在线段 BC 1上存在点 D，使得 AD ⊥ A 1B，并求BC1的值．解： (1) 证明：因为四边形AA 1 C 1C 为正方形，所以AA 1⊥AC .因为平面 ABC ⊥平面 AA 1 C 1C ，且 AA 1垂直于这两个平面的交线AC ，所以 AA 1⊥平面ABC .(2)由 (1) 知AA1⊥AC，AA1⊥AB. 由题知AB＝ 3，BC＝ 5，AC＝ 4，所以AB⊥AC .如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系 A -xyz，则 B(0,3,0)， A 1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)，A1 B ＝(0,3，－4)， A1C1＝ (4,0,0) ．设平面A1BC1的法向量为n＝ (x，y，z)，n·A1 B＝0，3y －4 ＝0，则即z令 z＝3，则 x＝0， y＝4，所以 n＝(0,4,3)．n·A1C1＝0.4x＝ 0.n· m同理可得，平面B1BC 1的一个法向量为m ＝(3,4,0)．所以cos〈 n ， m 〉＝|n||m|＝1625.16由题知二面角A1-BC 1-B1为锐角，所以二面角A1-BC 1-B1的余弦值为25.(3)证明：设 D(x，y ， z)是直线 BC 1上一点，且BD＝λBC1.所以 (x，y－ 3，z)＝λ(4 ，－ 3,4) ．解得x＝4 λ，y＝3 － 3 λ，z＝4 λ.所以 AD ＝(4λ，3－3λ，4λ)．由 AD ·A1B＝0，即9－25λ＝0，解得λ＝9 . 25因为9∈ [0,1] ，所以在线段BC1上存在点D，使得AD⊥.25 A 1 BBD9此时，BC1＝λ＝25.3．如图 (1) ，四边形ABCD 中， E 是 BC 的中点， DB＝2， DC ＝1， BC＝5，AB＝AD ＝ 2.将图 (1) 沿直线BD折起，使得二面角 A -BD-C 为60°，如图(2)．(2)求直线 AC 与平面 ABD 所成角的余弦值．1解： (1) 证明：取BD的中点F，连接EF，AF，则AF＝1 ，EF＝，∠AFE＝ 60 °.2由余弦定理知＝ 1 21213＋－ 2× 1× cos 60 °＝.AE222∵AE2＋ EF2＝AF2，∴ AE⊥EF.∵ AB＝AD ，F 为 BD 中点．∴ BD⊥ AF.又BD＝2，DC＝1，BC＝5，∴BD2＋DC2＝BC2，即BD⊥CD .又 E 为 BC 中点， EF∥ CD ，∴ BD⊥ EF.又 EF∩ AF＝F，∴ BD⊥平面 AEF.又 BD⊥ AE，∵ BD∩EF＝ F，∴ AE⊥平面 BDC .3(2) 以E为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则 A 0，0，，211C－1，，0 ，B 1，－，0 ，2211313D －1，－2，0， DB ＝(2,0,0)， DA ＝ 1 ，2，2，AC＝－1，2，－2.设平面 ABD 的法向量为 n ＝(x， y， z)，n ·DB＝02x＝0，取 z＝ 3 ，由得x 1y3＝ 0 ，n ·DA＝0＋＋22z则 y＝－3，又∵ n＝(0，－3，3)．n ·AC6∴ cos 〈n，AC〉＝|n||AC |＝－4.故直线 AC 与平面 ABD 所成角的余弦值为10 4.4．如图所示，在矩形ABCD 中， AB＝35，AD＝ 6，BD是对角线，过点A作AE⊥BD，垂足为 O ，交 CD 于 E，以 AE 为折痕将△ ADE 向上折起，使点 D 到点 P 的位置，且PB＝41.(2)求二面角 E-AP-B 的余弦值．解： (1) 证明：由已知得AB＝3 5 ，AD＝ 6，∴BD＝ 9.在矩形ABCD 中，∵ AE⊥BD，DO AD∴Rt△AOD∽ Rt△BAD，∴AD＝BD，∴DO＝ 4 ，∴BO＝ 5.在△ POB 中， PB＝41 ，PO＝ 4，BO＝ 5，∴PO2＋BO2＝PB2，∴PO⊥ OB.又 PO⊥ AE， AE∩ OB＝O ，∴ PO⊥平面 ABCE.(2)∵BO＝5，∴ AO ＝ AB2－OB2＝2 5.以 O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,4)， A (25， 0,0) ，B(0,5,0)，PA＝(25， 0，－ 4)，PB＝(0,5 ，－ 4)．设 n 1＝(x， y， z)为平面 APB 的法向量．则n 1·PA＝0， 2 5x－ 4 z＝ 0 ，即n 1·PB＝0， 5 y－4 z＝ 0.取 x＝2 5得 n 1＝(25， 4,5) ．又n2＝ (0,1,0) 为平面AEP的一个法向量，∴ cos 〈n1，n2〉＝|n 1·n 24461 n 1|·| n 2|＝61× 1＝61，461.故二面角 E-AP -B 的余弦值为615.如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝ 2，PA⊥PD，底面 ABCD 为直角梯形，其中BC∥AD ，AB⊥AD ，AB＝BC＝1，O 为 AD 中点．(1) 求直线PB与平面POC所成角的余弦值；(2) 求B点到平面PCD的距离；(3) 线段PD上是否存在一点Q，使得二面角Q -AC -D 的余弦值为63？若存在，求出PQQD 的值；若不存在，请说明理由．解： (1) 在△PAD中，PA＝PD，O为AD中点，所以 PO⊥ AD .又侧面 PAD⊥底面ABCD ，平面 PAD ∩平面 ABCD ＝ AD ， PO?平面 PAD ，所以 PO ⊥平面 ABCD .又在直角梯形 ABCD 中，连接 OC ，易得 OC ⊥ AD ，所以以 O 为坐标原点， OC ，OD ， OP 所在直线分别为x， y， z 轴建立空间直角坐标系，则P(0,0,1)，A (0，－1,0)，B (1 ，－ 1,0) ，C (1,0,0) ，D (0,1,0) ，∴ PB ＝ (1 ，－ 1 ，－ 1) ，易证 OA ⊥平面 POC ，∴ OA ＝ (0 ，－ 1,0) 是平面 POC 的法向量，PB ·OA3 6cos 〈 PB ， OA 〉＝＝ .∴直线 PB 与平面 POC 所成角的余弦值为.| PB || OA |33(2) PD ＝ (0,1 ，－ 1) ， CP ＝ ( － 1,0,1) ．设平面 PDC 的一个法向量为u ＝ (x ， y ，z )，u · CP ＝－ x ＋ z ＝ 0，d ＝则取 z ＝ 1，得 u ＝ (1,1,1) ．∴ B 点到平面 PCD 的距离为 u · PD ＝ y －z ＝ 0，| BP · u |3| u |＝ .3(3) 假设存在一点 Q ，则设 PQ ＝ λPD(0< λ<1) ．∵ PD ＝ (0,1 ，－ 1) ，∴ PQ ＝ (0 ， λ，－ λ)＝ OQ － OP ，∴ OQ ＝ (0 ， λ，1 － λ)，∴ Q (0 ， λ， 1－λ)．设平面 CAQ 的一个法向量为 m ＝ (x ， y ， z )，又 AC ＝ (1,1,0) ， AQ ＝ (0 ， λ＋ 1,1－ λ)，m · AC ＝ x ＋ y ＝ 0 ，取 z ＝ λ＋ 1，得 m ＝ (1 － λ， λ－1， λ＋ 1) ，则λ＋ 1 y1 － λ z ＝ 0.m · AQ又平面 CAD 的一个法向量为n ＝ (0,0,1) ，二面角 Q -AC -D 的余弦值为6 3 ，| m · n |621所以 |cos 〈m ， n 〉| ＝| m || n | ＝ 3 ，得 3 λ－ 10λ＋ 3＝ 0，解得 λ＝ 3 或 λ＝ 3( 舍 ) ，PQ 1所以存在点 Q ，且 QD ＝ 2 .6．如图，在四棱锥 S -ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，侧棱SA ⊥底面 ABCD ， AB垂直于 AD 和 BC ，SA ＝ AB ＝ BC ＝ 2，AD ＝1.M 是棱 SB 的中点．(1) 求证： AM ∥平面 SCD ；(2) 求平面 SCD 与平面 SAB 所成二面角的余弦值；(3) 设点 N 是直线 CD 上的动点， MN 与平面 SAB 所成的角为 θ，求 sin θ的最大值．解： (1) 以点 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0) ，B (0,2,0) ，C (2,2,0) ，D (1,0,0) ，S (0,0,2) ，M (0,1,1) ．所以 AM ＝ (0,1,1) ， SD ＝ (1,0 ，－ 2) ， CD ＝ ( － 1，－ 2,0) ．设平面 SCD 的法向量是n ＝ (x ， y ， z ) ，SD · n ＝ 0，x － 2 z ＝0 ，则即令 z ＝ 1 ，则 x ＝2 ， y ＝－ 1 ，CD · n ＝ 0，－ x － 2 y ＝ 0.于是 n ＝ (2 ，－ 1,1) ．∵ AM · n ＝ 0 ，∴ AM ⊥ n .又 AM ? 平面 SCD ， ∴ AM ∥平面 SCD .(2) 易知平面 SAB 的一个法向量为 n 1 ＝(1,0,0) ．设平面 SCD 与平面 SAB 所成的二面角为φ，n 1 ·n1，0，02，－ 1， 126则 |cosφ| ＝| n 1 | ·| n |＝1 · 6＝ 1· 6 ＝ 3 ，6即 cos φ＝ .36∴平面 SCD 与平面 SAB 所成二面角的余弦值为.3(3) 设 N ( x,2x － 2,0)( x ∈[1,2]) ，则 MN ＝ (x,2 x －3，－ 1) ． 又平面 SAB 的一个法向量为 n 1＝ (1,0,0) ，∴ sinx ，2 x －3，－ 1 1， 0，0xθ ＝2x － 31 ＝5x 2－ 12x ＋ 10＝x222·111 15 － 12· x ＋10 · x 21 1.＝11＝31710 x 2－ 12 x ＋ 5 10 x － 5 2 ＋ 51 3535当 x ＝5 ，即 x ＝3 时， (sin θ) max ＝ 7 .7、如图，四边形 ABEF 和四边形 ABCD 均是直角梯形，∠ FAB ＝∠ DAB ＝ 90°， AF＝AB ＝BC ＝2， AD ＝1，FA ⊥CD .(1) 证明：在平面 BCE 上，一定存在过点 C 的直线 l 与直线 DF 平行；(2) 求二面角 F -CD -A 的余弦值．解： (1) 证明：由已知得， BE ∥AF ， BC ∥ AD ， BE ∩ BC ＝ B ， AD ∩ AF ＝ A ，∴平面 BCE ∥平面 ADF .设平面 DFC ∩平面 BCE ＝ l ，则 l 过点 C .∵平面 BCE ∥平面 ADF ，平面 DFC ∩平面 BCE ＝l ，∴DF∥ l，即在平面 BCE 上一定存在过点 C 的直线 l，使得 DF∥ l.(2) ∵FA⊥AB，FA⊥CD，AB与CD相交，∴FA⊥平面ABCD .故以 A 为原点， AD ， AB， AF 分别为 x 轴， y 轴， z轴建立空间直角坐标系，如图．由已知得， D(1,0,0)， C (2,2,0)， F(0,0,2)，∴ DF ＝(－1,0,2)， DC ＝(1,2,0)．设平面 DFC 的一个法向量为n ＝( x， y ， z)，n ·DF＝0，x＝2 z，不妨设 z＝1.则?x＝－2 y，n ·DC＝0则 n＝(2，－1,1)，不妨设平面ABCD 的一个法向量为m ＝(0,0,1)．m · n16∴ cos 〈m，n〉＝|m||n |＝6＝6，由于二面角F-CD -A 为锐角，6∴二面角 F-CD -A 的余弦值为.68、 .如图，在四棱锥P-ABCD 中， PD⊥平面 ABCD ，四边形 ABCD 是菱形， AC ＝2， BD ＝2 3，E是PB上任意一点．(1) 求证：AC⊥DE；(2) 已知二面角A -PB-D的余弦值为15，若 E为 PB的中点，求 EC 与平面 PAB 所成角的正5弦值．解： (1) 证明：∵PD⊥平面ABCD，AC ? 平面ABCD，∴PD⊥AC，∵四边形ABCD 是菱形，∴ BD⊥ AC ，又 BD∩ PD＝ D，∴ AC ⊥平面 PBD，∵DE?平面 PBD，∴ AC ⊥ DE.(2)在△ PDB 中， EO∥ PD，∴ EO⊥平面 ABCD ，分别以 OA ， OB ， OE 所在直线为 x 轴， y 轴， z轴建立空间直角坐标系，设PD＝ t，则 A (1,0,0)，B(0，3， 0)，C (－ 1,0,0)，tE 0，0，2， P(0，－3， t)，AB＝(－1，3，0)，AP＝(－1，－3， t)．由 (1) 知，平面PBD的一个法向量为n1＝(1,0,0)，设平面 PAB 的法向量为 n2＝(x， y，z)，则根据n 2·AB＝0，－ x＋3y ＝0，令 y ＝1，得 n2＝2 3. n 2·AP＝0得－ x－3y＋tz＝ 0 ， 3 ，1，t15，则 |cos 〈n115，即∵二面角 A -PB-D 的余弦值为， n 2〉|＝55315＝，解得 t＝2 3 或t＝－ 2 3( 舍去 )，∴P(0 ，－ 3 ， 2 3) ．1254＋t2设 EC 与平面 PAB 所成的角为θ，∵EC＝(－1,0，－3)， n 2＝( 3，1,1)，则 sin θ＝ |cos 〈EC，n2〉| ＝2315，∴ EC 与平面 PAB 所成角的正弦值为2 ×5＝515.59、如图1，A，D分别是矩形A1BCD1上的点，AB＝ 2AA1＝ 2AD＝ 2，DC＝ 2DD1，把四边形1ADD 1 沿AD折叠，使其与平面ABCD垂直，如图 2 所示，连接 1 ，1C得A AB D几何体 ABA 1-DCD 1.(1) 当点E在棱AB上移动时，证明：D1 E⊥ A 1D；π(2) 在棱AB上是否存在点E，使二面角D1-EC -D 的平面角为？若存在，求出AE 的6长；若不存在，请说明理由．解： (1) 证明，如图，以点 D 为坐标原点， DA ， DC ， DD 1所在直线为x 轴， y轴， z 轴建立空间直角坐标系D-xyz，则D(0,0,0)， A (1,0,0)， C (0,2,0)，A 1(1,0,1)， D1(0,0,1)．设 E(1， t,0)，则D1 E ＝(1，t，－1)， A1D ＝(－1,0，－1)，∴ D1 E · A1D ＝1×(－1)＋t×0＋(－1)×(－1)＝0，∴D1E⊥A1D.(2) 假设存在符合条件的点E.设平面 D1EC 的法向量为n＝( x，y ， z)，由(1)知EC＝(－1,2－t, 0)，n·EC＝0，－ x2－t y＝ 0，11则得令 y＝，则 x＝1－ t， z＝1，n·D1E＝0x＋ ty－ z＝0，221 1∴n＝1－2t，2，1是平面 D1 EC 的一个法向量，显然平面 ECD 的一个法向量为DD1＝(0,0,1)，| n · DD 1 |1π 3则 cos 〈 n ， DD 1 〉＝＝1＝ cos ，解得 t ＝ 2－ (0 ≤ t ≤| n || DD 1 |12＋ ＋1 6 31 － t42 2) ．故存在点 E ，当 AE ＝2 －3π时，二面角 D 1 -EC -D 的平面角为 .36工程部维修工的岗位职责 1、 严格遵守公司员工守则和各项规章制度，服从领班安排，除完成日常维修任务外，有计划地承担其它工作任务 ; 2 、 努力学习技术，熟练掌握现有电气设备的原理及实际操作与维修 ; 3、 积极协调配电工的工作，出现事故时无条件地迅速返回机房，听从领班的指挥 ; 4、 招待执行所管辖设备的检修计划，按时按质按量地完成，并填好记录表格 ;5 、 严格执行设备管理制度，做好日夜班的交接班工作 ;6 、 交班时发生故障，上一班必须协同下一班排队故障后才能下班，配电设备发生事故时不得离岗 ;7 、 请假、补休需在一天前报告领班，并由领班安排合适的替班人 .欢迎您的光临， Word 文档下载后可修改编辑.双击可删除页眉页脚.谢谢！让我们共同学习共同进步！学无止境 .更上一层楼。
空间向量法解决立体几何问题全面总结
•
A(
a 2
,0,0),B(0,
3 2
a
,0)
A1(
a 2
,0,).
C(-
a 2
,0,
2 a)
• 设面ABB1A1的法向量为n=(x,y,z)
• 得 A B(a, 2
2 3a,0)A , 1A (0,0,
2a)
• •
a
x
3 ay0 0
由 ，解得 2 2
2az 0
取y= ,得n=(3, ,0)， 3
• 如图,设两条异面直线a、b的公 垂线的方向向量为n, 这时分别在
n a
A
a、b上任取A、B两点,则向量在n
上的正射影长就是两条异面直线
b
a、b的距离. ∴ d| AB n || ABn|,
•
|n| |n|
B
• 即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两 点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂 线的方向向量模的比值.
于平面α,称这个向量垂直于平面α,记作n⊥α, 这时向量n叫做平面α的法向量.
n
α
• 3.在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的 坐标呢?
• 如图,设a=( x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α内 的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直 的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,则n⊥α.换句话 说,若n·a = 0且n·b = 0,则n⊥ α.
∵n1 ·n2 = -2+0+2=0
∴平面AED⊥平面A1FD
2.求空间中的角
• (1)两异面直线的夹角 • 利用向量法求两异面直线所成的夹角,不用
再把这两条异面直线平移,求出两条异面直 线的方向向量,则两方向向量的夹角与两直 线的夹角相等或互补,我们仅取锐角或直角 就行了.
用空间向量解立体几何问题方法归纳
用空间向量解立体几何问题方法归纳(总16页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--用空间向量解立体几何题型与方法平行垂直问题基础知识直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)．平面α，β的法向量u ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4) (1)线面平行：l ∥α⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0⇔a 1a 3＋b 1b 3＋c 1c 3＝0 (2)线面垂直：l ⊥α⇔a ∥u ⇔a ＝k u ⇔a 1＝ka 3，b 1＝kb 3，c 1＝kc 3 (3)面面平行：α∥β⇔u ∥v ⇔u ＝k v ⇔a 3＝ka 4，b 3＝kb 4，c 3＝kc 4 (4)面面垂直：α⊥β⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0⇔a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0例1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，PA ＝AB ＝1，BC ＝2.(1)求证：EF ∥平面PAB ； (2)求证：平面PAD ⊥平面PDC .[证明] 以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系如图所示，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，EF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，0，PB ＝(1,0，－1)，PD ＝(0,2，－1)，AP ＝(0,0,1)，AD ＝(0,2,0)，DC ＝(1,0,0)，AB ＝(1,0,0)．(1)因为EF ＝－12AB ，所以EF ∥AB ，即EF ∥AB . 又AB ⊂平面PAB ，EF ⊄平面PAB ，所以EF ∥平面PAB .(2)因为AP ·DC ＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，AD ·DC ＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0， 所以AP ⊥DC ，AD ⊥DC ，即AP ⊥DC ，AD ⊥DC .又AP ∩AD ＝A ，AP ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以DC ⊥平面PAD .因为DC ⊂平面PDC ， 所以平面P AD ⊥平面PDC .使用空间向量方法证明线面平行时，既可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的方向向量平行，然后根据线面平行的判定定理得到线面平行，也可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明面面垂直既可以证明线线垂直，然后使用判定定理进行判定，也可以证明两个平面的法向量垂直.例2、在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上，且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点．求证：(1)B 1D ⊥平面ABD ； (2)平面EGF ∥平面ABD .证明：(1)以B 为坐标原点，BA 、BC 、BB 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B (0,0,0)，D (0,2,2)，B 1(0,0,4)，设BA ＝a ，则A (a,0,0)，所以BA ＝(a,0,0)，BD ＝(0,2,2)，1B D ＝(0,2，－2)，1B D ·BA ＝0，1B D ·BD ＝0＋4－4＝0，即B 1D ⊥BA ，B 1D ⊥BD . 又BA ∩BD ＝B ，因此B 1D ⊥平面ABD .(2)由(1)知，E (0,0,3)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，1，4，F (0,1,4)，则EG ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，1，1，EF ＝(0,1,1)，1B D ·EG ＝0＋2－2＝0，1B D ·EF ＝0＋2－2＝0，即B 1D ⊥EG ，B 1D ⊥EF . 又EG ∩EF ＝E ，因此B 1D ⊥平面EGF . 结合(1)可知平面EGF ∥平面ABD . 利用空间向量求空间角基础知识(1)向量法求异面直线所成的角：若异面直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，异面直线所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|＝|a·b ||a ||b |.(2)向量法求线面所成的角：求出平面的法向量n ，直线的方向向量a ，设线面所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，a 〉|＝|n·a ||n ||a |.(3)向量法求二面角：求出二面角α－l －β的两个半平面α与β的法向量n 1，n 2，若二面角α－l －β所成的角θ为锐角，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|；若二面角α－l －β所成的角θ为钝角，则cos θ＝－|cos 〈n 1，n 2〉|＝－|n 1·n 2||n 1||n 2|.例1、如图，在直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值； (2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．[解] (1)以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，D (1,1,0)，A 1(0，0,4)，C 1(0,2,4)，所以1A B ＝(2,0，－4)，1C D ＝(1，－1，－4)．因为cos 〈1A B ，1C D 〉＝1A B ·1C D| 1A B ||1C D |＝1820×18＝31010，所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010.(2)设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，因为AD ＝(1,1,0)，1AC ＝(0,2,4)，所以n 1·AD ＝0，n 1·1AC ＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以，n 1＝(2，－2,1)是平面ADC 1的一个法向量．取平面ABA 1的一个法向量为n 2＝(0,1,0)．设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.由|cos θ|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|＝29×1＝23，得sin θ＝53.因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为53.例2、如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°. (1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值． [解] (1)证明：取AB 的中点O ，连接OC ，OA 1，A 1B . 因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB .由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB . 因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C . 又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .(2)由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB .又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ， 所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，|OA |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz . 由题设知A (1,0,0)，A 1(0，3，0)，C (0,0，3)，B (－1,0,0)．则BC ＝(1,0，3)，1BB ＝1AA ＝(－1，3，0)，1A C ＝(0，－3，3)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC ＝0，n ·1BB ＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3z ＝0，－x ＋3y ＝0. 可取n ＝(3，1，－1)．故cosn ，1A C＝n ·1A C|n ||1A C |＝－105.所以A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为105.(1)运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量坐标；④结合公式进行论证、计算；⑤转化为几何结论． (2)求空间角应注意：①两条异面直线所成的角α不一定是直线的方向向量的夹角β，即cos α＝|cos β|. ②两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能两法向量夹角的补角为所求． 例3、如图，在四棱锥S -ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，CD ＝3AB ＝3，平面SAD ⊥平面ABCD ，E 是线段AD 上一点，AE ＝ED ＝3，SE ⊥AD . (1)证明：平面SBE ⊥平面SEC ；(2)若SE ＝1，求直线CE 与平面SBC 所成角的正弦值．解：(1)证明：∵平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD ∩平面ABCD ＝AD ，SE ⊂平面SAD ，SE ⊥AD ，∴SE ⊥平面ABCD . ∵BE ⊂平面ABCD ，∴SE ⊥BE . ∵AB ⊥AD ，AB ∥CD ， CD ＝3AB ＝3，AE ＝ED ＝3，∴∠AEB ＝30°，∠CED ＝60°. ∴∠BEC ＝90°， 即BE ⊥CE . 又SE ∩CE ＝E ，∴BE ⊥平面SEC . ∵BE ⊂平面SBE ， ∴平面SBE ⊥平面SEC .(2)由(1)知，直线ES ，EB ，EC 两两垂直．如图，以E 为原点，EB 为x 轴，EC 为y 轴，ES 为z 轴，建立空间直角坐标系．则E (0,0,0)，C (0,23，0)，S (0,0,1)，B (2,0,0)，所以CE ＝(0，－23，0)，CB ＝(2，－23，0)，CS ＝(0，－23，1)．设平面SBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·CB ＝0，n ·CS ＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧2x －23y ＝0，－23y ＋z ＝0.令y ＝1，得x ＝3，z ＝23， 则平面SBC 的一个法向量为n ＝(3，1,23)． 设直线CE 与平面SBC 所成角的大小为θ，则sin θ＝|n ·CE |n |·|CE ||＝14，故直线CE 与平面SBC 所成角的正弦值为14. 例4、如图是多面体ABC -A 1B 1C 1和它的三视图．(1)线段CC 1上是否存在一点E ，使BE ⊥平面A 1CC 1若不存在，请说明理由，若存在，请找出并证明；(2)求平面C 1A 1C 与平面A 1CA 夹角的余弦值．解：(1)由题意知AA 1，AB ，AC 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，A 1(0,0,2)，B (－2,0,0)，C (0，－2,0)，C 1(－1，－1,2)，则1CC ＝(－1,1,2)，11A C ＝(－1，－1,0)，1A C ＝(0，－2，－2)．设E (x ，y ，z )，则CE ＝(x ，y ＋2，z )，1EC ＝(－1－x ，－1－y,2－z )．设CE ＝λ1EC (λ>0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－λ－λx ，y ＋2＝－λ－λy ，z ＝2λ－λz ，则E ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－λ1＋λ，－2－λ1＋λ，2λ1＋λ， BE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2＋λ1＋λ，－2－λ1＋λ，2λ1＋λ.由⎩⎪⎨⎪⎧BE ·11A C ＝0， BE ·1A C ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2＋λ1＋λ＋2＋λ1＋λ＝0，－2－λ1＋λ＋2λ1＋λ＝0，解得λ＝2，所以线段CC 1上存在一点E ，CE ＝21EC ，使BE ⊥平面A 1CC 1.(2)设平面C 1A 1C 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧ m ·11A C ＝0，m ·1A C ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＝0，－2y －2z ＝0，取x ＝1，则y ＝－1，z ＝1.故m ＝(1，－1,1)，而平面A 1CA 的一个法向量为n ＝(1,0,0)， 则cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝13＝33，故平面C 1A 1C 与平面A 1CA 夹角的余弦值为33.利用空间向量解决探索性问题例1、如图1，正△ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，E ，F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A -DC -B (如图2)．(1)试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； (2)求二面角E -DF -C 的余弦值；(3)在线段BC 上是否存在一点P ，使AP ⊥DE 如果存在，求出BPBC 的值；如果不存在，请说明理由．[解] (1)在△ABC 中，由E ，F 分别是AC ，BC 中点，得EF ∥AB .又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，∴AB ∥平面DEF .(2)以点D 为坐标原点，以直线DB ，DC ，DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则A (0,0,2)，B (2,0,0)，C (0，23，0)，E (0，3，1)，F (1，3，0)，DF ＝(1，3，0)，DE ＝(0，3，1)，DA ＝(0,0,2)．平面CDF 的法向量为DA ＝(0,0,2)．设平面EDF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ DF ·n ＝0， DE ·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝0，3y ＋z ＝0，取n ＝(3，－3，3)， cos 〈DA ，n 〉＝DA ·n | DA ||n |＝217，所以二面角E -DF -C 的余弦值为217.(3)存在．设P (s ，t,0)，有AP ＝(s ，t ，－2)，则AP ·DE ＝3t －2＝0，∴t ＝233， 又BP ＝(s －2，t,0)，PC ＝(－s,23－t,0)，∵BP ∥PC ，∴(s －2)(23－t )＝－st ， ∴3s ＋t ＝2 3. 把t ＝233代入上式得s ＝43，∴BP ＝13BC ， ∴在线段BC 上存在点P ，使AP ⊥DE . 此时，BP BC ＝13.(1)空间向量法最适合于解决立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断.(2)解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法.例2、.如图所示，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AA 1＝BC ＝2AC ＝2.(1)若D 为AA 1中点，求证：平面B 1CD ⊥平面B 1C 1D ；(2)在AA 1上是否存在一点D ，使得二面角B 1-CD -C 1的大小为60°？解：(1)证明：如图所示，以点C 为原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．则C (0,0,0)，A (1,0,0)，B 1(0,2,2)，C 1(0,0,2)，D (1,0,1)， 即11C B ＝(0,2,0)，1DC ＝(－1,0,1)，CD ＝(1,0,1)．由11C B ·CD ＝(0,2,0)·(1,0,1)＝0＋0＋0＝0，得11C B ⊥CD ，即C 1B 1⊥CD . 由1DC ·CD ＝(－1,0,1)·(1,0,1)＝－1＋0＋1＝0，得1DC ⊥CD ，即DC 1⊥CD .又DC 1∩C 1B 1＝C 1，∴CD ⊥平面B 1C 1D .又CD ⊂平面B 1CD ，∴平面B 1CD ⊥平面B 1C 1D .(2)存在．当AD ＝22AA 1时，二面角B 1-CD -C 1的大小为60°.理由如下：设AD ＝a ，则D 点坐标为(1,0，a )，CD ＝(1,0，a )，1CB ＝(0,2,2)， 设平面B 1CD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·1CB ＝0m ·CD ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋2z ＝0，x ＋az ＝0，令z ＝－1，得m ＝(a,1，－1)．又∵CB ＝(0,2,0)为平面C 1CD 的一个法向量，则cos 60°＝|m ·CB ||m |·|CB |＝1a 2＋2＝12， 解得a ＝2(负值舍去)，故AD ＝2＝22AA 1.∴在AA 1上存在一点D 满足题意． 空间直角坐标系建立的创新问题空间向量在处理空间问题时具有很大的优越性，能把“非运算”问题“运算”化，即通过直线的方向向量和平面的法向量解决立体几何问题．解决的关键环节之一就是建立空间直角坐标系，因而建立空间直角坐标系问题成为近几年试题新的命题点．一、经典例题领悟好例1、如图，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，BC ＝CD ＝2，AC ＝4， ∠ACB ＝∠ACD ＝π3，F 为PC 的中点，AF ⊥PB . (1)求P A 的长；(2)求二面角B -AF -D 的正弦值． (1)学审题——审条件之审视图形由条件知AC ⊥BD ――→建系DB ，AC 分别为x ，y 轴―→写出A ，B ，C ，D 坐标――――――――→P A ⊥面ABCD 设P 坐标――→PF ＝CF 可得F 坐标――→AF ⊥PBAF ·PB ＝0―→得P 坐标并求P A 长． (2)学审题由(1)―→AD，AF ，AB 的坐标―――――――――――――――――――→向量n 1，n 2分别为平面F AD 、平面F AB 的法向量n 1·AD ＝0且n 1·AF ＝0―→求得n 1·n 2―→求得夹角余弦．[解] (1)如图，连接BD 交AC 于O ，因为BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形，又AC 平分∠BCD ，故AC ⊥BD .以O 为坐标原点，OB ，OC ，AP 的方向分别为x 轴，y轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O -xyz ，则OC ＝CD cos π3＝1.而AC ＝4，得AO ＝AC －OC ＝3.又OD ＝CD sin π3＝3，故A (0，－3,0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，D (－3，0,0)．因P A ⊥底面ABCD ，可设P (0，－3，z )．由F 为PC 边中点，知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1，z 2.又AF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2，z 2，PB ＝(3，3，－z )，AF ⊥PB ，故AF ·PB ＝0，即6－z 22＝0，z ＝23(舍去－23)，所以|PA |＝2 3.(2)由(1)知AD ＝(－3，3,0)，AB ＝(3，3,0)，AF ＝(0,2，3)．设平面F AD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面F AB 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，由n 1·AD ＝0，n 1·AF ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－3x 1＋3y 1＝0，2y 1＋3z 1＝0，因此可取n 1＝(3，3，－2)．由n 2·AB ＝0，n 2·AF ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋3y 2＝0，2y 2＋3z 2＝0，故可取n 2＝(3，－3，2)．从而法向量n 1，n 2的夹角的余弦值为cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝18.故二面角B -AF -D 的正弦值为378.建立空间直角坐标系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系(本题利用AC ⊥BD )，若图中存在交于一点的三条直线两两垂直，则以该点为原点建立空间直角坐标系.在没有明显的垂直关系时，要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系，注意建立的空间直角坐标系是右手系，正确确定坐标轴的名称.例2、如图，在空间几何体中，平面ACD ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝CA ＝DA ＝DC ＝BE ＝与平面ABC 所成的角为60°，且点E 在平面ABC 内的射影落在∠ABC 的平分线上．(1)求证：DE ∥平面ABC ； (2)求二面角E -BC -A 的余弦值．解：证明：(1)易知△ABC ，△ACD 都是边长为2的等边三角形，取AC 的中点O ，连接BO ，DO ，则BO ⊥AC ，DO ⊥AC . ∵平面ACD ⊥平面ABC ，∴DO ⊥平面ABC . 作EF ⊥平面ABC ，则EF ∥DO . 根据题意，点F 落在BO 上， ∴∠EBF ＝60°， 易求得EF ＝DO ＝3，∴四边形DEFO 是平行四边形，DE ∥OF . ∵DE ⊄平面ABC ，OF ⊂平面ABC ，∴DE ∥平面ABC .(2)建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz ，可求得平面ABC 的一个法向量为n 1＝(0,0,1)． 可得C (－1,0,0)，B (0，3，0)，E (0，3－1，3)，则CB ＝(1，3，0)，BE ＝(0，－1，3)．设平面BCE 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )，则可得n 2·CB ＝0，n 2·BE ＝0， 即(x ，y ，z )·(1，3，0)＝0，(x ，y ，z )·(0，－1，3)＝0，可取n 2＝(－3，3，1)． 故cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 1|n 1|·|n 2|＝1313. 又由图知，所求二面角的平面角是锐角，故二面角E -BC -A 的余弦值为1313.专题训练1.如图所示，在多面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，上、下两个底面A 1B 1C 1D 1和ABCD 互相平行，且都是正方形，DD 1⊥底面ABCD ，AB ∥A 1B 1，AB ＝2A 1B 1＝2DD 1＝2a .(1)求异面直线AB 1与DD 1所成角的余弦值； (2)已知F 是AD 的中点，求证：FB 1⊥平面BCC 1B 1.解：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2a,0,0)，B (2a,2a,0)，C (0,2a,0)，D 1(0,0，a )，F (a,0,0)，B 1(a ，a ，a )，C 1(0，a ，a )．(1)∵1AB ＝(－a ，a ，a )，1DD ＝(0,0，a )，∴cos 〈1AB ，1DD 〉＝1AB ·1DD |1AB |·|1DD |＝33，所以异面直线AB 1与DD 1所成角的余弦值为33.(2)证明：∵1BB ＝(－a ，－a ，a )，BC ＝(－2a,0,0)，1FB ＝(0，a ，a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧1FB ·1BB ＝0， 1FB ·BC ＝0.∴FB 1⊥BB 1，FB 1⊥BC . ∵BB 1∩BC ＝B ，∴FB 1⊥平面BCC 1B 1.2．如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5.(1)求证：AA 1⊥平面ABC ； (2)求二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值；(3)证明：在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，并求 BDBC 1的值．解：(1)证明：因为四边形AA 1C 1C 为正方形，所以AA 1⊥AC .因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，且AA 1垂直于这两个平面的交线AC ，所以AA 1⊥平面ABC . (2)由(1)知AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB . 由题知AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4，所以AB ⊥AC . 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A -xyz ，则B (0,3,0)，A 1(0,0,4)，B 1(0,3,4)，C 1(4,0,4)，1A B ＝(0,3，－4)，11A C ＝(4,0,0)．设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·1A B ＝0，n ·11A C ＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧3y －4z ＝0，4x ＝0.令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，所以n ＝(0,4,3)．同理可得，平面B 1BC 1的一个法向量为m ＝(3,4,0)．所以cos 〈 n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝1625. 由题知二面角A 1-BC 1-B 1为锐角，所以二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值为1625. (3)证明：设D (x ，y ，z )是直线BC 1上一点，且BD ＝λ1BC . 所以(x ，y －3，z )＝λ(4，－3,4)．解得x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ.所以AD ＝(4λ，3－3λ，4λ)．由AD ·1A B ＝0，即9－25λ＝0，解得λ＝925. 因为925∈[0,1]，所以在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B .此时，BD BC 1＝λ＝925.3．如图(1)，四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，DB ＝2，DC ＝1，BC ＝5，AB ＝AD ＝ 2.将图(1)沿直线BD 折起，使得二面角A -BD -C 为60°，如图(2)．(1)求证：AE ⊥平面BDC ；(2)求直线AC 与平面ABD 所成角的余弦值．解：(1)证明：取BD 的中点F ，连接EF ，AF ，则AF ＝1，EF ＝12，∠AFE ＝60°. 由余弦定理知AE ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－2×1×12cos 60°＝32.∵AE 2＋EF 2＝AF 2，∴AE ⊥EF .∵AB ＝AD ，F 为BD 中点．∴BD ⊥AF . 又BD ＝2，DC ＝1，BC ＝5，∴BD 2＋DC 2＝BC 2， 即BD ⊥CD .又E 为BC 中点，EF ∥CD ，∴BD ⊥EF .又EF ∩AF ＝F ， ∴BD ⊥平面AEF .又BD ⊥AE ，∵BD ∩EF ＝F ，∴AE ⊥平面BDC . (2)以E 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，0， D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12，0，DB ＝(2,0,0)，DA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，32，AC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，－32. 设平面ABD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB ＝0n ·DA ＝0得⎩⎨⎧2x ＝0，x ＋12y ＋32z ＝0，取z ＝3，则y ＝－3，又∵n ＝(0，－3，3)．∴cos 〈n ，AC 〉＝n ·AC |n ||AC |＝－64.故直线AC 与平面ABD 所成角的余弦值为104.4．如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝35，AD ＝6，BD 是对角线，过点A 作AE ⊥BD ，垂足为O ，交CD 于E ，以AE 为折痕将△ADE 向上折起，使点D 到点P 的位置，且PB ＝41.(1)求证：PO ⊥平面ABCE ； (2)求二面角E -AP -B 的余弦值．解：(1)证明：由已知得AB ＝35，AD ＝6，∴BD ＝9. 在矩形ABCD 中，∵AE ⊥BD ， ∴Rt △AOD ∽Rt △BAD ，∴DO AD ＝ADBD ，∴DO ＝4，∴BO ＝5. 在△POB 中，PB ＝41，PO ＝4，BO ＝5，∴PO 2＋BO 2＝PB 2， ∴PO ⊥OB .又PO ⊥AE ，AE ∩OB ＝O ，∴PO ⊥平面ABCE . (2)∵BO ＝5，∴AO ＝AB 2－OB 2＝2 5.以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P (0,0,4)，A (25，0,0)，B (0,5,0)，PA ＝(25，0，－4)，PB ＝(0,5，－4)．设n 1＝(x ，y ，z )为平面APB 的法向量．则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·PA ＝0，n 1·PB ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧25x －4z ＝0，5y －4z ＝0.取x ＝25得n 1＝(25，4,5)．又n 2＝(0,1,0)为平面AEP 的一个法向量， ∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝461×1＝46161， 故二面角E -AP -B 的余弦值为46161.5.如图，在四棱锥P -ABCD 中，侧面P AD ⊥底面ABCD ，侧棱P A ＝PD ＝2，P A ⊥PD ，底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AB ＝BC ＝1，O 为AD 中点．(1)求直线PB 与平面POC 所成角的余弦值； (2)求B 点到平面PCD 的距离；(3)线段PD 上是否存在一点Q ，使得二面角Q -AC -D 的余弦值为63若存在，求出PQQD 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)在△P AD 中，P A ＝PD ，O 为AD 中点，所以PO ⊥AD .又侧面P AD ⊥底面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面P AD ，所以PO ⊥平面ABCD .又在直角梯形ABCD 中，连接OC ，易得OC ⊥AD ，所以以O 为坐标原点，OC ，OD ，OP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则P (0,0,1)，A (0，－1,0)，B (1，－1,0)，C (1,0,0)，D (0,1,0)，∴PB ＝(1，－1，－1)，易证OA ⊥平面POC ，∴OA ＝(0，－1,0)是平面POC 的法向量， cos 〈PB ，OA 〉＝PB ·OA | PB ||OA |＝33. ∴直线PB 与平面POC 所成角的余弦值为63.(2) PD ＝(0,1，－1)，CP ＝(－1,0,1)．设平面PDC 的一个法向量为u ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧u ·CP ＝－x ＋z ＝0，u ·PD ＝y －z ＝0，取z ＝1，得u ＝(1,1,1)．∴B 点到平面PCD 的距离为d ＝|BP ·u ||u |＝33. (3)假设存在一点Q ，则设PQ ＝λPD (0<λ<1)．∵PD ＝(0,1，－1)， ∴PQ ＝(0，λ，－λ)＝OQ －OP ，∴OQ ＝(0，λ，1－λ)，∴Q (0，λ，1－λ)． 设平面CAQ 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，又AC ＝(1,1,0)，AQ ＝(0，λ＋1,1－λ)， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC ＝x ＋y ＝0，m ·AQ ＝(λ＋1)y ＋(1－λ)z ＝0.取z ＝λ＋1，得m ＝(1－λ，λ－1，λ＋1)， 又平面CAD 的一个法向量为n ＝(0,0,1)，二面角Q -AC -D 的余弦值为63，所以|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝63，得3λ2－10λ＋3＝0，解得λ＝13或λ＝3(舍)， 所以存在点Q ，且PQ QD ＝12.6．如图，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，侧棱SA ⊥底面ABCD ，AB 垂直于AD 和BC ，SA ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝是棱SB 的中点．(1)求证：AM ∥平面SCD ；(2)求平面SCD 与平面SAB 所成二面角的余弦值；(3)设点N 是直线CD 上的动点，MN 与平面SAB 所成的角为θ，求sin θ的最大值． 解：(1)以点A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (0,2,0)，C (2,2,0)，D (1,0,0)，S (0,0,2)，M (0,1,1)．所以AM ＝(0,1,1)，SD ＝(1,0，－2)，CD ＝(－1，－2,0)． 设平面SCD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ SD ·n ＝0，CD ·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2z ＝0，－x －2y ＝0.令z ＝1，则x ＝2，y ＝－1， 于是n ＝(2，－1,1)．∵AM ·n ＝0，∴AM ⊥n .又AM ⊄平面SCD ， ∴AM ∥平面SCD .(2)易知平面SAB 的一个法向量为n 1＝(1,0,0)．设平面SCD 与平面SAB 所成的二面角为φ， 则|cos φ|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n |n 1|·|n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(1，0，0)·(2，－1，1)1·6＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪21·6＝63，即cos φ＝63.∴平面SCD 与平面SAB 所成二面角的余弦值为63. (3)设N (x,2x －2,0)(x ∈[1,2])，则MN ＝(x,2x －3，－1)． 又平面SAB 的一个法向量为n 1＝(1,0,0)， ∴sin θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪(x ，2x －3，－1)·(1，0，0)x 2＋(2x －3)2＋(－1)2·1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x5x 2－12x ＋10＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪15－12·1x ＋10·1x 2＝110⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋5＝110⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －352＋75 .当1x ＝35，即x ＝53时，(sin θ)max ＝357.7、如图，四边形ABEF 和四边形ABCD 均是直角梯形，∠F AB ＝∠DAB ＝90°，AF ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝1，F A ⊥CD .(1)证明：在平面BCE 上，一定存在过点C 的直线l 与直线DF 平行； (2)求二面角F -CD -A 的余弦值．解：(1)证明：由已知得，BE ∥AF ，BC ∥AD ，BE ∩BC ＝B ，AD ∩AF ＝A ， ∴平面BCE ∥平面ADF . 设平面DFC ∩平面BCE ＝l ，则l 过点C . ∵平面BCE ∥平面ADF ，平面DFC ∩平面BCE ＝l ， 平面DFC ∩平面ADF ＝DF .∴DF ∥l ，即在平面BCE 上一定存在过点C 的直线l ，使得DF ∥l . (2)∵F A ⊥AB ，F A ⊥CD ，AB 与CD 相交，∴F A ⊥平面ABCD .故以A 为原点，AD ，AB ，AF 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图．由已知得，D (1,0,0)，C (2,2,0)，F (0,0,2)，∴DF ＝(－1,0,2)，DC ＝(1,2,0)．设平面DFC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·DF ＝0，n ·DC ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2z ，x ＝－2y ，不妨设z ＝1. 则n ＝(2，－1,1)，不妨设平面ABCD 的一个法向量为m ＝(0,0,1)． ∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝16＝66，由于二面角F -CD -A 为锐角，∴二面角F -CD -A 的余弦值为66.8、.如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，AC ＝2，BD ＝23，E 是PB 上任意一点． (1)求证：AC ⊥DE ；(2)已知二面角A -PB -D 的余弦值为155，若E 为PB 的中点，求EC 与平面P AB 所成角的正弦值．解：(1)证明：∵PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥AC ， ∵四边形ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC ，又BD ∩PD ＝D ，∴AC ⊥平面PBD ， ∵DE ⊂平面PBD ，∴AC ⊥DE .(2)在△PDB 中，EO ∥PD ，∴EO ⊥平面ABCD ，分别以OA ，OB ，OE 所在直线为x 轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系，设PD ＝t ，则A (1,0,0)，B (0，3，0)，C (－1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，t 2，P (0，－3，t )，AB ＝(－1，3，0)，AP ＝(－1，－3，t )． 由(1)知，平面PBD 的一个法向量为n 1＝(1,0,0)，设平面P AB 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )，则根据⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·AB ＝0，n 2·AP ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3y ＝0，－x －3y ＋tz ＝0，令y ＝1，得n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，1，23t . ∵二面角A -PB -D 的余弦值为155，则|cos 〈n 1，n 2〉|＝155，即 34＋12t 2＝155，解得t ＝23或t ＝－23(舍去)，∴P (0，－3，23)． 设EC 与平面P AB 所成的角为θ，∵EC ＝(－1,0，－3)，n 2＝(3，1,1)，则sin θ＝|cos 〈EC ，n 2〉|＝232×5＝155，∴EC 与平面P AB 所成角的正弦值为155.9、如图1，A ，D 分别是矩形A 1BCD 1上的点，AB ＝2AA 1＝2AD ＝2，DC ＝2DD 1，把四边形A 1ADD 1沿AD 折叠，使其与平面ABCD 垂直，如图2所示，连接A 1B ，D 1C 得几何体ABA 1-DCD 1.(1)当点E 在棱AB 上移动时，证明：D 1E ⊥A 1D ；(2)在棱AB 上是否存在点E ，使二面角D 1-EC -D 的平面角为π6若存在，求出AE 的长；若不存在，请说明理由．解：(1)证明，如图，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D -xyz ，则D (0,0,0)，A (1,0,0)，C (0,2,0)，A 1(1,0,1)，D 1(0,0,1)．设E (1，t,0)，则1D E ＝(1，t ，－1)，1A D ＝(－1,0，－1)，∴1D E ·1A D ＝1×(－1)＋t ×0＋(－1)×(－1)＝0， ∴D 1E ⊥A 1D .(2)假设存在符合条件的点E .设平面D 1EC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由(1)知EC ＝(－1,2－t,0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·EC ＝0，n ·1D E ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋(2－t )y ＝0，x ＋ty －z ＝0，令y ＝12，则x ＝1－12t ，z ＝1，∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12t ，12，1是平面D 1EC 的一个法向量，显然平面ECD 的一个法向量为1DD ＝(0,0,1)， 则cos 〈n ，1DD 〉＝|n ·1DD ||n ||1DD |＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12t 2＋14＋1＝cos π6，解得t ＝2－33(0≤t ≤2)．故存在点E ，当AE ＝2－33时，二面角D 1-EC -D 的平面角为π6.。
高中数学用空间向量解立体几何问题方法归纳
高中数学用空间向量解立体几何问题方法归纳IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】用空间向量解立体几何题型与方法平行垂直问题基础知识直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)．平面α，β的法向量u ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4)(1)线面平行：l ∥αa ⊥ua ·u ＝0a 1a 3＋b 1b 3＋c 1c 3＝0 (2)线面垂直：l ⊥αa ∥ua ＝k u a 1＝ka 3，b 1＝kb 3，c 1＝kc 3 (3)面面平行：α∥βu ∥vu ＝k v a 3＝ka 4，b 3＝kb 4，c 3＝kc 4 (4)面面垂直：α⊥βu ⊥vu ·v ＝0a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0例1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，PA ＝AB ＝1，BC ＝2.(1)求证：EF ∥平面PAB ； (2)求证：平面PAD ⊥平面PDC .[证明] 以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系如图所示，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，1，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，1，12，EF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，0，0，PB ＝(1,0，－1)，PD ＝(0,2，－1)，AP ＝(0,0,1)，AD ＝(0,2,0)，DC ＝(1,0,0)，AB ＝(1,0,0)．(1)因为EF ＝－12AB ，所以EF ∥AB ，即EF ∥AB .又AB 平面PAB ，EF 平面PAB ，所以EF ∥平面PAB .(2)因为AP ·DC ＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，AD ·DC ＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，所以AP ⊥DC ，AD ⊥DC ，即AP ⊥DC ，AD ⊥DC .又AP ∩AD ＝A ，AP 平面PAD ，AD 平面PAD ，所以DC ⊥平面PAD .因为DC 平面PDC ，所以平面PAD ⊥平面PDC .使用空间向量方法证明线面平行时，既可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的方向向量平行，然后根据线面平行的判定定理得到线面平行，也可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明面面垂直既可以证明线线垂直，然后使用判定定理进行判定，也可以证明两个平面的法向量垂直.例2、在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上，且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点． 求证：(1)B 1D ⊥平面ABD ； (2)平面EGF ∥平面ABD .证明：(1)以B 为坐标原点，BA 、BC 、BB 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B (0,0,0)，D (0,2,2)，B 1(0,0,4)，设BA ＝a ，则A (a,0,0)，所以BA ＝(a,0,0)，BD ＝(0,2,2)，1B D ＝(0,2，－2)，1B D ·BA ＝0，1B D ·BD ＝0＋4－4＝0，即B 1D ⊥BA ，B 1D ⊥BD . 又BA ∩BD ＝B ，因此B 1D ⊥平面ABD .(2)由(1)知，E (0,0,3)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2，1，4，F (0,1,4)，则EG ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2，1，1，EF ＝(0,1,1)，1B D ·EG ＝0＋2－2＝0，1B D ·EF ＝0＋2－2＝0，即B 1D ⊥EG ，B 1D ⊥EF . 又EG ∩EF ＝E ，因此B 1D ⊥平面EGF . 结合(1)可知平面EGF ∥平面ABD . 利用空间向量求空间角基础知识(1)向量法求异面直线所成的角：若异面直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，异面直线所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|＝|a ·b ||a ||b |.(2)向量法求线面所成的角：求出平面的法向量n ，直线的方向向量a ，设线面所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，a 〉|＝|n ·a ||n ||a |. (3)向量法求二面角：求出二面角α－l －β的两个半平面α与β的法向量n 1，n 2，若二面角α－l －β所成的角θ为锐角，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|；若二面角α－l －β所成的角θ为钝角，则cos θ＝－|cos 〈n 1，n 2〉|＝－|n 1·n 2||n 1||n 2|.例1、如图，在直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值； (2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．[解] (1)以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，D (1,1,0)，A 1(0，0,4)，C 1(0,2,4)，所以1A B ＝(2,0，－4)，1C D ＝(1，－1，－4)．因为cos 〈1A B ，1C D 〉＝1A B ·1C D | 1A B ||1C D |＝1820×18＝31010，所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010.(2)设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，因为AD ＝(1,1,0)，1AC ＝(0,2,4)，所以n 1·AD ＝0，n 1·1AC ＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以，n 1＝(2，－2,1)是平面ADC 1的一个法向量．取平面ABA 1的一个法向量为n 2＝(0,1,0)．设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.由|cos θ|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|＝29×1＝23，得sin θ＝53.因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为53.例2、如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°. (1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值．[解] (1)证明：取AB 的中点O ，连接OC ，OA 1，A 1B . 因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB .由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB . 因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C . 又A 1C 平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .(2)由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB .又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ， 所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，|OA |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz . 由题设知A (1,0,0)，A 1(0，3，0)，C (0,0，3)，B (－1,0,0)．则BC ＝(1,0，3)，1BB ＝1AA ＝(－1，3，0)，1A C ＝(0，－3，3)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC ＝0，n ·1BB ＝0.即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0，－x ＋3y ＝0.可取n ＝(3，1，－1)．故cosn ，1A C＝n ·1A C|n ||1A C |＝－105.所以A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为105.(1)运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量坐标；④结合公式进行论证、计算；⑤转化为几何结论． (2)求空间角应注意：①两条异面直线所成的角α不一定是直线的方向向量的夹角β，即cos α＝|cos β|. ②两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能两法向量夹角的补角为所求．例3、如图，在四棱锥S -ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，CD ＝3AB ＝3，平面SAD ⊥平面ABCD ，E 是线段AD 上一点，AE ＝ED ＝3，SE ⊥AD .(1)证明：平面SBE ⊥平面SEC ；(2)若SE ＝1，求直线CE 与平面SBC 所成角的正弦值．解：(1)证明：∵平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD ∩平面ABCD ＝AD ，SE 平面SAD ，SE ⊥AD ，∴SE ⊥平面ABCD . ∵BE 平面ABCD ，∴SE ⊥BE . ∵AB ⊥AD ，AB∥CD ，CD ＝3AB ＝3，AE ＝ED ＝3，∴∠AEB ＝30°，∠CED ＝60°. ∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CE . 又SE ∩CE ＝E ，∴BE ⊥平面SEC . ∵BE 平面SBE ， ∴平面SBE ⊥平面SEC .(2)由(1)知，直线ES ，EB ，EC 两两垂直．如图，以E 为原点，EB 为x 轴，EC 为y 轴，ES 为z 轴，建立空间直角坐标系．则E (0,0,0)，C (0,23，0)，S (0,0,1)，B (2,0,0)，所以CE ＝(0，－23，0)，CB ＝(2，－23，0)，CS ＝(0，－23，1)．设平面SBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CB ＝0，n ·CS ＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧2x －23y ＝0，－23y ＋z ＝0.令y ＝1，得x ＝3，z ＝23，则平面SBC 的一个法向量为n ＝(3，1,23)．设直线CE 与平面SBC 所成角的大小为θ，则sin θ＝|n ·CE |n |·|CE ||＝14，故直线CE 与平面SBC 所成角的正弦值为14.例4、如图是多面体ABC -A 1B 1C 1和它的三视图．(1)线段CC 1上是否存在一点E ，使BE ⊥平面A 1CC 1若不存在，请说明理由，若存在，请找出并证明；(2)求平面C 1A 1C 与平面A 1CA 夹角的余弦值．解：(1)由题意知AA 1，AB ，AC 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，A 1(0,0,2)，B (－2,0,0)，C (0，－2,0)，C 1(－1，－1,2)，则1CC ＝(－1,1,2)，11A C ＝(－1，－1,0)，1A C ＝(0，－2，－2)．设E (x ，y ，z )，则CE ＝(x ，y ＋2，z )，1EC ＝(－1－x ，－1－y,2－z )．设CE ＝λ1EC (λ>0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－λ－λx ，y ＋2＝－λ－λy ，z ＝2λ－λz ，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－λ1＋λ，－2－λ1＋λ，2λ1＋λ， BE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2＋λ1＋λ，－2－λ1＋λ，2λ1＋λ. 由⎩⎪⎨⎪⎧BE ·11A C ＝0，BE ·1A C ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2＋λ1＋λ＋2＋λ1＋λ＝0，－2－λ1＋λ＋2λ1＋λ＝0，解得λ＝2，所以线段CC 1上存在一点E ，CE ＝21EC ，使BE ⊥平面A 1CC 1.(2)设平面C 1A 1C 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧m ·11A C ＝0，m ·1A C ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＝0，－2y －2z ＝0，取x ＝1，则y ＝－1，z ＝1.故m ＝(1，－1,1)，而平面A 1CA 的一个法向量为n ＝(1,0,0)，则cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝13＝33，故平面C 1A 1C 与平面A 1CA 夹角的余弦值为33.利用空间向量解决探索性问题例1、如图1，正△ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，E ，F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A -DC -B (如图2)．(1)试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； (2)求二面角E -DF -C 的余弦值；(3)在线段BC 上是否存在一点P ，使AP ⊥DE 如果存在，求出BP BC的值；如果不存在，请说明理由．[解] (1)在△ABC 中，由E ，F 分别是AC ，BC 中点，得EF ∥AB .又AB 平面DEF ，EF 平面DEF ，∴AB ∥平面DEF .(2)以点D 为坐标原点，以直线DB ，DC ，DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则A (0,0,2)，B (2,0,0)，C (0，23，0)，E (0，3，1)，F (1，3，0)，DF ＝(1，3，0)，DE ＝(0，3，1)，DA ＝(0,0,2)．平面CDF 的法向量为DA ＝(0,0,2)．设平面EDF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧DF ·n ＝0， DE ·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝0，3y ＋z ＝0，取n ＝(3，－3，3)，cos 〈DA ，n 〉＝DA ·n| DA ||n |＝217，所以二面角E -DF -C 的余弦值为217.(3)存在．设P (s ，t,0)，有AP ＝(s ，t ，－2)，则AP ·DE ＝3t －2＝0，∴t ＝233，又BP ＝(s －2，t,0)，PC ＝(－s,23－t,0)，∵BP ∥PC ，∴(s －2)(23－t )＝－st ，∴3s ＋t ＝23. 把t ＝233代入上式得s ＝43，∴BP ＝13BC ， ∴在线段BC 上存在点P ，使AP ⊥DE . 此时，BP BC ＝13.1空间向量法最适合于解决立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断.2解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法.例2、.如图所示，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AA 1＝BC ＝2AC ＝2.(1)若D 为AA 1中点，求证：平面B 1CD ⊥平面B 1C 1D ；(2)在AA 1上是否存在一点D ，使得二面角B 1-CD -C 1的大小为60°解：(1)证明：如图所示，以点C 为原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．则C (0,0,0)，A (1,0,0)，B 1(0,2,2)，C 1(0,0,2)，D (1,0,1)，即11C B ＝(0,2,0)，1DC ＝(－1,0,1)，CD ＝(1,0,1)．由11C B ·CD ＝(0,2,0)·(1,0,1)＝0＋0＋0＝0，得11C B ⊥CD ，即C 1B 1⊥CD . 由1DC ·CD ＝(－1,0,1)·(1,0,1)＝－1＋0＋1＝0，得1DC ⊥CD ，即DC 1⊥CD . 又DC 1∩C 1B 1＝C 1，∴CD ⊥平面B 1C 1D .又CD 平面B 1CD ，∴平面B 1CD ⊥平面B 1C 1D .(2)存在．当AD ＝22AA 1时，二面角B 1-CD -C 1的大小为60°.理由如下：设AD ＝a ，则D 点坐标为(1,0，a )，CD ＝(1,0，a )，1CB ＝(0,2,2)， 设平面B 1CD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·1CB ＝0m ·CD ＝0⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋2z ＝0，x ＋az ＝0，令z ＝－1，得m ＝(a,1，－1)．又∵CB ＝(0,2,0)为平面C 1CD 的一个法向量，则cos 60°＝|m ·CB ||m |·|CB |＝1a 2＋2＝12，解得a ＝2(负值舍去)，故AD ＝2＝22AA 1.∴在AA 1上存在一点D 满足题意．空间直角坐标系建立的创新问题空间向量在处理空间问题时具有很大的优越性，能把“非运算”问题“运算”化，即通过直线的方向向量和平面的法向量解决立体几何问题．解决的关键环节之一就是建立空间直角坐标系，因而建立空间直角坐标系问题成为近几年试题新的命题点．一、经典例题领悟好例1、如图，四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，BC ＝CD ＝2，AC ＝4， ∠ACB ＝∠ACD ＝π3，F 为PC 的中点，AF ⊥PB .(1)求PA 的长；(2)求二面角B -AF -D 的正弦值． (1)学审题——审条件之审视图形由条件知AC ⊥BD ――→建系DB ，AC 分别为x ，y 轴―→写出A ，B ，C ，D 坐标――――――――→PA ⊥面ABCD 设P 坐标――→PF ＝CF 可得F 坐标――→AF ⊥PBAF ·PB ＝0―→得P 坐标并求PA长．(2)学审题 由(1)―→AD ，AF ，AB 的坐标―――――――――――――――――――→向量n 1，n 2分别为平面FAD 、平面FAB 的法向量n 1·AD ＝0且n 1·AF ＝0―→求得n 1·n 2―→求得夹角余弦．[解] (1)如图，连接BD 交AC 于O ，因为BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形，又AC 平分∠BCD ，故AC ⊥BD .以O 为坐标原点，OB ，OC ，AP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O -xyz ，则OC ＝CD cos π3＝1.而AC＝4，得AO ＝AC －OC ＝3.又OD ＝CD sin π3＝3，故A (0，－3,0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，D (－3，0,0)．因PA ⊥底面ABCD ，可设P (0，－3，z )．由F 为PC 边中点，知F ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，－1，z 2.又AF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，2，z 2，PB ＝(3，3，－z )，AF ⊥PB ，故AF ·PB ＝0，即6－z 22＝0，z ＝23(舍去－23)，所以|PA |＝23.(2)由(1)知AD ＝(－3，3,0)，AB ＝(3，3,0)，AF ＝(0,2，3)．设平面FAD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面FAB 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，由n 1·AD ＝0，n 1·AF ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－3x 1＋3y 1＝0，2y 1＋3z 1＝0，因此可取n 1＝(3，3，－2)．由n 2·AB ＝0，n 2·AF ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋3y 2＝0，2y 2＋3z 2＝0，故可取n 2＝(3，－3，2)．从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为cos〈n1，n2〉＝n1·n2|n1|·|n2|＝18.故二面角B-AF-D的正弦值为37 8.建立空间直角坐标系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系本题利用AC⊥BD，若图中存在交于一点的三条直线两两垂直，则以该点为原点建立空间直角坐标系.在没有明显的垂直关系时，要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系，注意建立的空间直角坐标系是右手系，正确确定坐标轴的名称.例2、如图，在空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝DA＝DC＝BE＝与平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC内的射影落在∠ABC的平分线上．(1)求证：DE∥平面ABC；(2)求二面角E-BC-A的余弦值．解：证明：(1)易知△ABC，△ACD都是边长为2的等边三角形，取AC的中点O，连接BO，DO，则BO⊥AC，DO⊥AC. ∵平面ACD⊥平面ABC，∴DO⊥平面ABC. 作EF⊥平面ABC，则EF∥DO. 根据题意，点F落在BO上，∴∠EBF＝60°，易求得EF＝DO＝3，∴四边形DEFO是平行四边形，DE∥OF.∵DE平面ABC，OF平面ABC，∴DE∥平面ABC.(2)建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，可求得平面ABC的一个法向量为n1＝(0,0,1)．可得C (－1,0,0)，B (0，3，0)，E (0，3－1，3)，则CB ＝(1，3，0)，BE＝(0，－1，3)．设平面BCE 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )，则可得n 2·CB ＝0，n 2·BE ＝0， 即(x ，y ，z )·(1，3，0)＝0，(x ，y ，z )·(0，－1，3)＝0，可取n 2＝(－3，3，1)．故cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 1|n 1|·|n 2|＝1313. 又由图知，所求二面角的平面角是锐角，故二面角E -BC -A 的余弦值为1313.专题训练1.如图所示，在多面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，上、下两个底面A 1B 1C 1D 1和ABCD 互相平行，且都是正方形，DD 1⊥底面ABCD ，AB ∥A 1B 1，AB ＝2A 1B 1＝2DD 1＝2a .(1)求异面直线AB 1与DD 1所成角的余弦值； (2)已知F 是AD 的中点，求证：FB 1⊥平面BCC 1B 1.解：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2a,0,0)，B (2a,2a,0)，C (0,2a,0)，D 1(0,0，a )，F (a,0,0)，B 1(a ，a ，a )，C 1(0，a ，a )．(1)∵1AB ＝(－a ，a ，a )，1DD ＝(0,0，a )，∴cos 〈1AB ，1DD 〉＝1AB ·1DD |1AB |·|1DD |＝33，所以异面直线AB 1与DD 1所成角的余弦值为33.(2)证明：∵1BB ＝(－a ，－a ，a )，BC ＝(－2a,0,0)，1FB ＝(0，a ，a )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1FB ·1BB ＝0， 1FB ·BC ＝0.∴FB 1⊥BB 1，FB 1⊥BC .∵BB 1∩BC ＝B ，∴FB 1⊥平面BCC 1B 1.2．如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5.(1)求证：AA 1⊥平面ABC ； (2)求二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值；(3)证明：在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，并求 BD BC 1的值．解：(1)证明：因为四边形AA 1C 1C 为正方形，所以AA 1⊥AC .因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，且AA 1垂直于这两个平面的交线AC ，所以AA 1⊥平面ABC .(2)由(1)知AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB . 由题知AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4，所以AB ⊥AC .如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A -xyz ，则B (0,3,0)，A 1(0,0,4)，B 1(0,3,4)，C 1(4,0,4)，1A B ＝(0,3，－4)，11A C ＝(4,0,0)．设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·1A B ＝0，n ·11A C ＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧3y －4z ＝0，4x ＝0.令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，所以n ＝(0,4,3)．同理可得，平面B 1BC 1的一个法向量为m ＝(3,4,0)．所以cos 〈 n ，m 〉＝n ·m|n ||m |＝1625. 由题知二面角A 1-BC 1-B 1为锐角，所以二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值为1625.(3)证明：设D (x ，y ，z )是直线BC 1上一点，且BD ＝λ1BC . 所以(x ，y －3，z )＝λ(4，－3,4)．解得x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ. 所以AD ＝(4λ，3－3λ，4λ)．由AD ·1A B ＝0，即9－25λ＝0，解得λ＝925. 因为925∈[0,1]，所以在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B .此时，BDBC 1＝λ＝925. 3．如图(1)，四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，DB ＝2，DC ＝1，BC ＝5，AB ＝AD ＝ 2.将图(1)沿直线BD 折起，使得二面角A -BD -C 为60°，如图(2)．(1)求证：AE ⊥平面BDC ；(2)求直线AC 与平面ABD 所成角的余弦值．解：(1)证明：取BD 的中点F ，连接EF ，AF ，则AF ＝1，EF ＝12，∠AFE ＝60°.由余弦定理知AE ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122－2×1×12cos 60°＝32. ∵AE 2＋EF 2＝AF 2，∴AE ⊥EF .∵AB ＝AD ，F 为BD 中点．∴BD ⊥AF . 又BD ＝2，DC ＝1，BC ＝5，∴BD 2＋DC 2＝BC 2，即BD ⊥CD .又E 为BC 中点，EF ∥CD ，∴BD ⊥EF .又EF ∩AF ＝F ， ∴BD ⊥平面AEF .又BD ⊥AE ，∵BD ∩EF ＝F ，∴AE ⊥平面BDC . (2)以E 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，0，32， C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，－12，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，－12，0，DB ＝(2,0,0)，DA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，12，32，AC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，12，－32. 设平面ABD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB ＝0n ·DA ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝0，x ＋12y ＋32z ＝0，取z ＝3，则y ＝－3，又∵n ＝(0，－3，3)． ∴cos 〈n ，AC 〉＝n ·AC|n ||AC |＝－64.故直线AC 与平面ABD 所成角的余弦值为104.4．如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝35，AD ＝6，BD 是对角线，过点A 作AE ⊥BD ，垂足为O ，交CD 于E ，以AE 为折痕将△ADE 向上折起，使点D 到点P 的位置，且PB ＝41.(1)求证：PO ⊥平面ABCE ； (2)求二面角E -AP -B 的余弦值． 解：(1)证明：由已知得AB ＝35，AD ＝6，∴BD ＝9. 在矩形ABCD 中，∵AE⊥BD ，∴Rt △AOD ∽Rt △BAD ，∴DO AD ＝AD BD，∴DO ＝4，∴BO ＝5.在△POB 中，PB ＝41，PO ＝4，BO ＝5，∴PO 2＋BO 2＝PB 2，∴PO ⊥OB .又PO ⊥AE ，AE ∩OB ＝O ，∴PO ⊥平面ABCE . (2)∵BO ＝5，∴AO ＝AB 2－OB 2＝2 5.以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P (0,0,4)，A (25，0,0)，B (0,5,0)，PA ＝(25，0，－4)，PB ＝(0,5，－4)．设n 1＝(x ，y ，z )为平面APB 的法向量．则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·PA ＝0，n 1·PB ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧25x －4z ＝0，5y －4z ＝0.取x＝25得n1＝(25，4,5)．又n2＝(0,1,0)为平面AEP的一个法向量，∴cos〈n1，n2〉＝n1·n2|n1|·|n2|＝461×1＝46161，故二面角E-AP-B的余弦值为461 61.5.如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝2，PA⊥PD，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1，O为AD中点．(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值；(2)求B点到平面PCD的距离；(3)线段PD上是否存在一点Q，使得二面角Q-AC-D的余弦值为63若存在，求出PQQD的值；若不存在，请说明理由．解：(1)在△PAD中，PA＝PD，O为AD中点，所以PO⊥AD.又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.又在直角梯形ABCD中，连接OC，易得OC⊥AD，所以以O为坐标原点，OC，OD，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P(0,0,1)，A(0，－1,0)，B(1，－1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)，∴PB＝(1，－1，－1)，易证OA⊥平面POC，∴OA＝(0，－1,0)是平面POC的法向量，cos 〈PB ，OA 〉＝PB ·OA| PB ||OA |＝33. ∴直线PB 与平面POC 所成角的余弦值为63.(2) PD ＝(0,1，－1)，CP ＝(－1,0,1)．设平面PDC 的一个法向量为u ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧u ·CP ＝－x ＋z ＝0，u ·PD ＝y －z ＝0，取z ＝1，得u ＝(1,1,1)．∴B 点到平面PCD 的距离为d ＝|BP ·u ||u |＝33. (3)假设存在一点Q ，则设PQ ＝λPD (0<λ<1)．∵PD ＝(0,1，－1)， ∴PQ ＝(0，λ，－λ)＝OQ －OP ，∴OQ ＝(0，λ，1－λ)，∴Q (0，λ，1－λ)． 设平面CAQ 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，又AC ＝(1,1,0)，AQ ＝(0，λ＋1,1－λ)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC ＝x ＋y ＝0，m ·AQ ＝λ＋1y ＋1－λz ＝0.取z ＝λ＋1，得m ＝(1－λ，λ－1，λ＋1)，又平面CAD 的一个法向量为n ＝(0,0,1)，二面角Q -AC -D 的余弦值为63，所以|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝63，得3λ2－10λ＋3＝0，解得λ＝13或λ＝3(舍)，所以存在点Q ，且PQQD ＝12.6．如图，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，侧棱SA ⊥底面ABCD ，AB 垂直于AD 和BC ，SA ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝是棱SB 的中点．(1)求证：AM ∥平面SCD ；(2)求平面SCD 与平面SAB 所成二面角的余弦值；(3)设点N 是直线CD 上的动点，MN 与平面SAB 所成的角为θ，求sin θ的最大值．解：(1)以点A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (0,2,0)，C (2,2,0)，D (1,0,0)，S (0,0,2)，M (0,1,1)．所以AM ＝(0,1,1)，SD ＝(1,0，－2)，CD ＝(－1，－2,0)．设平面SCD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧SD ·n ＝0，CD ·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2z ＝0，－x －2y ＝0.令z ＝1，则x ＝2，y ＝－1，于是n ＝(2，－1,1)．∵AM ·n ＝0，∴AM ⊥n .又AM 平面SCD ， ∴AM ∥平面SCD .(2)易知平面SAB 的一个法向量为n 1＝(1,0,0)．设平面SCD 与平面SAB 所成的二面角为φ，则|cos φ|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n |n 1|·|n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1，0，0·2，－1，11·6＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪21·6＝63，即cos φ＝63. ∴平面SCD 与平面SAB 所成二面角的余弦值为63.(3)设N (x,2x －2,0)(x ∈[1,2])，则MN ＝(x,2x －3，－1)．又平面SAB 的一个法向量为n 1＝(1,0,0)， ∴sin θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ，2x －3，－1·1，0，0x 2＋2x －32＋－12·1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x5x 2－12x ＋10＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪15－12·1x ＋10·1x 2＝110⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x 2－12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋5＝110⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x －352＋75.当1x ＝35，即x ＝53时，(sin θ)max ＝357. 7、如图，四边形ABEF 和四边形ABCD 均是直角梯形，∠FAB ＝∠DAB ＝90°，AF ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝1，FA ⊥CD .(1)证明：在平面BCE 上，一定存在过点C 的直线l 与直线DF 平行； (2)求二面角F -CD -A 的余弦值．解：(1)证明：由已知得，BE ∥AF ，BC ∥AD ，BE ∩BC ＝B ，AD ∩AF ＝A ， ∴平面BCE ∥平面ADF . 设平面DFC ∩平面BCE ＝l ，则l 过点C . ∵平面BCE ∥平面ADF ，平面DFC ∩平面BCE ＝l ， 平面DFC ∩平面ADF ＝DF .∴DF ∥l ，即在平面BCE 上一定存在过点C 的直线l ，使得DF ∥l . (2)∵FA ⊥AB ，FA ⊥CD ，AB 与CD 相交，∴FA ⊥平面ABCD .故以A 为原点，AD ，AB ，AF 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图．由已知得，D (1,0,0)，C (2,2,0)，F (0,0,2)，∴DF ＝(－1,0,2)，DC ＝(1,2,0)．设平面DFC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DF ＝0，n ·DC ＝0⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2z ，x ＝－2y ，不妨设z ＝1.则n ＝(2，－1,1)，不妨设平面ABCD 的一个法向量为m ＝(0,0,1)． ∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝16＝66，由于二面角F -CD -A 为锐角，∴二面角F -CD -A 的余弦值为66.8、.如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，AC ＝2，BD ＝23，E 是PB 上任意一点．(1)求证：AC ⊥DE ；(2)已知二面角A -PB -D 的余弦值为155，若E 为PB 的中点，求EC 与平面PAB 所成角的正弦值．解：(1)证明：∵PD ⊥平面ABCD ，AC 平面ABCD ，∴PD ⊥AC ， ∵四边形ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC ，又BD ∩PD ＝D ，∴AC ⊥平面PBD ， ∵DE 平面PBD ，∴AC ⊥DE .(2)在△PDB 中，EO ∥PD ，∴EO ⊥平面ABCD ，分别以OA ，OB ，OE 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设PD ＝t ，则A (1,0,0)，B (0，3，0)，C (－1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，0，t 2，P (0，－3，t )，AB ＝(－1，3，0)，AP ＝(－1，－3，t )．由(1)知，平面PBD 的一个法向量为n 1＝(1,0,0)，设平面PAB 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )，则根据⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AB ＝0，n 2·AP ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3y ＝0，－x －3y ＋tz ＝0，令y ＝1，得n 2＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫3，1，23t . ∵二面角A -PB -D 的余弦值为155，则|cos 〈n 1，n 2〉|＝155，即34＋12t 2＝155，解得t ＝23或t ＝－23(舍去)，∴P (0，－3，23)．设EC 与平面PAB 所成的角为θ，∵EC ＝(－1,0，－3)，n 2＝(3，1,1)，则sin θ＝|cos 〈EC ，n 2〉|＝232×5＝155，∴EC 与平面PAB 所成角的正弦值为155.9、如图1，A ，D 分别是矩形A 1BCD 1上的点，AB ＝2AA 1＝2AD ＝2，DC ＝2DD 1，把四边形A 1ADD 1沿AD 折叠，使其与平面ABCD 垂直，如图2所示，连接A 1B ，D 1C 得几何体ABA 1-DCD 1.(1)当点E 在棱AB 上移动时，证明：D 1E ⊥A 1D ；(2)在棱AB 上是否存在点E ，使二面角D 1-EC -D 的平面角为π6若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由．解：(1)证明，如图，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D -xyz ，则D (0,0,0)，A (1,0,0)，C (0,2,0)，A 1(1,0,1)，D 1(0,0,1)．设E (1，t,0)，则1D E ＝(1，t ，－1)，1A D ＝(－1,0，－1)，∴1D E ·1A D ＝1×(－1)＋t ×0＋(－1)×(－1)＝0， ∴D 1E ⊥A 1D .(2)假设存在符合条件的点E .设平面D 1EC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由(1)知EC ＝(－1,2－t,0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EC ＝0，n ·1D E ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2－ty ＝0，x ＋ty －z ＝0，令y ＝12，则x ＝1－12t ，z ＝1，∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12t ，12，1是平面D 1EC 的一个法向量，显然平面ECD 的一个法向量为1DD ＝(0,0,1)， 则cos 〈n ，1DD 〉＝|n ·1DD ||n ||1DD |＝1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12t 2＋14＋1＝cos π6，解得t ＝2－33(0≤t ≤2)．故存在点E ，当AE ＝2－33时，二面角D 1-EC -D 的平面角为π6.。
(完整版)用空间向量解立体几何问题方法归纳
用空间向量解立体几何题型与方法平行垂直问题基础知识直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)．平面α，β的法向量u ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4) (1)线面平行：l ∥α⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0⇔a 1a 3＋b 1b 3＋c 1c 3＝0 (2)线面垂直：l ⊥α⇔a ∥u ⇔a ＝k u ⇔a 1＝ka 3，b 1＝kb 3，c 1＝kc 3 (3)面面平行：α∥β⇔u ∥v ⇔u ＝k v ⇔a 3＝ka 4，b 3＝kb 4，c 3＝kc 4 (4)面面垂直：α⊥β⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0⇔a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0例1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，P A ＝AB ＝1，BC ＝2.(1)求证：EF ∥平面P AB ； (2)求证：平面P AD ⊥平面PDC .[证明] 以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系如图所示，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，EF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，0，PB ＝(1,0，－1)，PD ＝(0,2，－1)，AP ＝(0,0,1)，AD ＝(0,2,0)，DC ＝(1,0,0)，AB ＝(1,0,0)．(1)因为EF ＝－12AB ，所以EF ∥AB ，即EF ∥AB . 又AB ⊂平面P AB ，EF ⊄平面P AB ，所以EF ∥平面P AB .(2)因为AP ·DC ＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，AD ·DC ＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，所以AP ⊥DC ，AD ⊥DC ，即AP ⊥DC ，AD ⊥DC .又AP ∩AD ＝A ，AP ⊂平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，所以DC ⊥平面P AD .因为DC ⊂平面PDC ， 所以平面P AD ⊥平面PDC .使用空间向量方法证明线面平行时，既可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的方向向量平行，然后根据线面平行的判定定理得到线面平行，也可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明面面垂直既可以证明线线垂直，然后使用判定定理进行判定，也可以证明两个平面的法向量垂直.例2、在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上，且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点． 求证：(1)B 1D ⊥平面ABD ； (2)平面EGF ∥平面ABD .证明：(1)以B 为坐标原点，BA 、BC 、BB 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B (0,0,0)，D (0,2,2)，B 1(0,0,4)，设BA ＝a ，则A (a,0,0)，所以BA ＝(a,0,0)，BD ＝(0,2,2)，1B D ＝(0,2，－2)，1B D ·BA ＝0，1B D ·BD ＝0＋4－4＝0，即B 1D ⊥BA ，B 1D ⊥BD . 又BA ∩BD ＝B ，因此B 1D ⊥平面ABD .(2)由(1)知，E (0,0,3)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，1，4，F (0,1,4)，则EG ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，1，1，EF ＝(0,1,1)， 1B D ·EG ＝0＋2－2＝0，1B D ·EF ＝0＋2－2＝0，即B 1D ⊥EG ，B 1D ⊥EF . 又EG ∩EF ＝E ，因此B 1D ⊥平面EGF . 结合(1)可知平面EGF ∥平面ABD . 利用空间向量求空间角基础知识(1)向量法求异面直线所成的角：若异面直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，异面直线所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|＝|a·b ||a ||b |. (2)向量法求线面所成的角：求出平面的法向量n ，直线的方向向量a ，设线面所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，a 〉|＝|n·a ||n ||a |.(3)向量法求二面角：求出二面角α－l －β的两个半平面α与β的法向量n 1，n 2，若二面角α－l －β所成的角θ为锐角，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|；若二面角α－l －β所成的角θ为钝角，则cos θ＝－|cos 〈n 1，n 2〉|＝－|n 1·n 2||n 1||n 2|.例1、如图，在直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值； (2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．[解] (1)以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，D (1,1,0)，A 1(0，0,4)，C 1(0,2,4)，所以1A B＝(2,0，－4)，1C D ＝(1，－1，－4)．因为cos 〈1A B ，1C D 〉＝1A B ·1C D| 1A B ||1C D |＝1820×18＝31010，所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010. (2)设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，因为AD ＝(1,1,0)，1AC ＝(0,2,4)，所以n 1·AD ＝0，n 1·1AC ＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以，n 1＝(2，－2,1)是平面ADC 1的一个法向量．取平面ABA 1的一个法向量为n 2＝(0,1,0)．设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.由|cos θ|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|＝29×1＝23，得sin θ＝53.因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为53.例2、如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°. (1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值． [解] (1)证明：取AB 的中点O ，连接OC ，OA 1，A 1B . 因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB .由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB . 因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C . 又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .(2)由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB .又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ， 所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，|OA |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz . 由题设知A (1,0,0)，A 1(0，3，0)，C (0,0，3)，B (－1,0,0)．则BC ＝(1,0，3)，1BB ＝1AA ＝(－1，3，0)，1A C ＝(0，－3，3)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC ＝0，n ·1BB ＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3z ＝0，－x ＋3y ＝0. 可取n ＝(3，1，－1)．故cosn ，1A C＝n ·1A C|n ||1A C |＝－105.所以A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为105.(1)运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量坐标；④结合公式进行论证、计算；⑤转化为几何结论． (2)求空间角应注意：①两条异面直线所成的角α不一定是直线的方向向量的夹角β，即cos α＝|cos β|. ②两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能两法向量夹角的补角为所求． 例3、如图，在四棱锥S -ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，CD ＝3AB ＝3，平面SAD ⊥平面ABCD ，E 是线段AD 上一点，AE ＝ED ＝3，SE ⊥AD . (1)证明：平面SBE ⊥平面SEC ；(2)若SE ＝1，求直线CE 与平面SBC 所成角的正弦值．解：(1)证明：∵平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD ∩平面ABCD ＝AD ，SE ⊂平面SAD ，SE ⊥AD ，∴SE ⊥平面ABCD . ∵BE ⊂平面ABCD ，∴SE ⊥BE . ∵AB ⊥AD ，AB ∥CD ， CD ＝3AB ＝3，AE ＝ED ＝3，∴∠AEB ＝30°，∠CED ＝60°. ∴∠BEC ＝90°， 即BE ⊥CE . 又SE ∩CE ＝E ，∴BE ⊥平面SEC . ∵BE ⊂平面SBE ， ∴平面SBE ⊥平面SEC .(2)由(1)知，直线ES ，EB ，EC 两两垂直．如图，以E 为原点，EB 为x 轴，EC 为y 轴，ES 为z 轴，建立空间直角坐标系．则E (0,0,0)，C (0,23，0)，S (0,0,1)，B (2,0,0)，所以CE ＝(0，－23，0)，CB ＝(2，－23，0)，CS ＝(0，－23，1)．设平面SBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·CB ＝0，n ·CS ＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧2x －23y ＝0，－23y ＋z ＝0.令y ＝1，得x ＝3，z ＝23， 则平面SBC 的一个法向量为n ＝(3，1,23)． 设直线CE 与平面SBC 所成角的大小为θ，则sin θ＝|n ·CE |n |·|CE ||＝14，故直线CE 与平面SBC 所成角的正弦值为14. 例4、如图是多面体ABC -A 1B 1C 1和它的三视图．(1)线段CC 1上是否存在一点E ，使BE ⊥平面A 1CC 1？若不存在，请说明理由，若存在，请找出并证明；(2)求平面C 1A 1C 与平面A 1CA 夹角的余弦值．解：(1)由题意知AA 1，AB ，AC 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，A 1(0,0,2)，B (－2,0,0)，C (0，－2,0)，C 1(－1，－1,2)，则1CC ＝(－1,1,2)，11A C ＝(－1，－1,0)，1A C ＝(0，－2，－2)．设E (x ，y ，z )，则CE ＝(x ，y ＋2，z )，1EC ＝(－1－x ，－1－y,2－z )．设CE ＝λ1EC (λ>0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－λ－λx ，y ＋2＝－λ－λy ，z ＝2λ－λz ，则E ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－λ1＋λ，－2－λ1＋λ，2λ1＋λ， BE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2＋λ1＋λ，－2－λ1＋λ，2λ1＋λ.由⎩⎪⎨⎪⎧BE ·11A C ＝0， BE ·1A C ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2＋λ1＋λ＋2＋λ1＋λ＝0，－2－λ1＋λ＋2λ1＋λ＝0，解得λ＝2，所以线段CC 1上存在一点E ，CE ＝21EC ，使BE ⊥平面A 1CC 1.(2)设平面C 1A 1C 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧ m ·11A C ＝0，m ·1A C ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＝0，－2y －2z ＝0，取x ＝1，则y ＝－1，z ＝1.故m ＝(1，－1,1)，而平面A 1CA 的一个法向量为n ＝(1,0,0)， 则cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝13＝33，故平面C 1A 1C 与平面A 1CA 夹角的余弦值为33.利用空间向量解决探索性问题例1、如图1，正△ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，E ，F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A -DC -B (如图2)．(1)试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； (2)求二面角E -DF -C 的余弦值；(3)在线段BC 上是否存在一点P ，使AP ⊥DE ？如果存在，求出BPBC 的值；如果不存在，请说明理由．[解] (1)在△ABC 中，由E ，F 分别是AC ，BC 中点，得EF ∥AB .又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，∴AB ∥平面DEF .(2)以点D 为坐标原点，以直线DB ，DC ，DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则A (0,0,2)，B (2,0,0)，C (0，23，0)，E (0，3，1)，F (1，3，0)，DF ＝(1，3，0)，DE ＝(0，3，1)，DA ＝(0,0,2)．平面CDF 的法向量为DA ＝(0,0,2)．设平面EDF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ DF ·n ＝0， DE ·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝0，3y ＋z ＝0，取n ＝(3，－3，3)， cos 〈DA ，n 〉＝DA ·n | DA ||n |＝217，所以二面角E -DF -C 的余弦值为217.(3)存在．设P (s ，t,0)，有AP ＝(s ，t ，－2)，则AP ·DE ＝3t －2＝0，∴t ＝233， 又BP ＝(s －2，t,0)，PC ＝(－s,23－t,0)，∵BP ∥PC ，∴(s －2)(23－t )＝－st ， ∴3s ＋t ＝2 3. 把t ＝233代入上式得s ＝43，∴BP ＝13BC ， ∴在线段BC 上存在点P ，使AP ⊥DE . 此时，BP BC ＝13.(1)空间向量法最适合于解决立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断.(2)解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法.例2、.如图所示，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AA 1＝BC ＝2AC ＝2.(1)若D 为AA 1中点，求证：平面B 1CD ⊥平面B 1C 1D ；(2)在AA 1上是否存在一点D ，使得二面角B 1-CD -C 1的大小为60°？解：(1)证明：如图所示，以点C 为原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．则C (0,0,0)，A (1,0,0)，B 1(0,2,2)，C 1(0,0,2)，D (1,0,1)， 即11C B ＝(0,2,0)，1DC ＝(－1,0,1)，CD ＝(1,0,1)．由11C B ·CD ＝(0,2,0)·(1,0,1)＝0＋0＋0＝0，得11C B ⊥CD ，即C 1B 1⊥CD . 由1DC ·CD ＝(－1,0,1)·(1,0,1)＝－1＋0＋1＝0，得1DC ⊥CD ，即DC 1⊥CD .又DC 1∩C 1B 1＝C 1，∴CD ⊥平面B 1C 1D .又CD ⊂平面B 1CD ，∴平面B 1CD ⊥平面B 1C 1D .(2)存在．当AD ＝22AA 1时，二面角B 1-CD -C 1的大小为60°.理由如下： 设AD ＝a ，则D 点坐标为(1,0，a )，CD ＝(1,0，a )，1CB ＝(0,2,2)，设平面B 1CD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·1CB ＝0m ·CD ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋2z ＝0，x ＋az ＝0，令z ＝－1，得m ＝(a,1，－1)．又∵CB ＝(0,2,0)为平面C 1CD 的一个法向量，则cos 60°＝|m ·CB ||m |·|CB |＝1a 2＋2＝12， 解得a ＝2(负值舍去)，故AD ＝2＝22AA 1.∴在AA 1上存在一点D 满足题意． 空间直角坐标系建立的创新问题空间向量在处理空间问题时具有很大的优越性，能把“非运算”问题“运算”化，即通过直线的方向向量和平面的法向量解决立体几何问题．解决的关键环节之一就是建立空间直角坐标系，因而建立空间直角坐标系问题成为近几年试题新的命题点．一、经典例题领悟好例1、如图，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，BC ＝CD ＝2，AC ＝4， ∠ACB ＝∠ACD ＝π3，F 为PC 的中点，AF ⊥PB . (1)求P A 的长；(2)求二面角B -AF -D 的正弦值． (1)学审题——审条件之审视图形由条件知AC ⊥BD ――→建系 DB ，AC 分别为x ，y 轴―→写出A ，B ，C ，D 坐标――――――――→P A ⊥面ABCD设P 坐标――→PF ＝CF 可得F 坐标――→AF ⊥PB AF ·PB ＝0―→得P 坐标并求P A 长． (2)学审题 由(1)―→AD ，AF ，AB 的坐标―――――――――――――――――――→向量n 1，n 2分别为平面F AD 、平面F AB 的法向量n 1·AD ＝0且n 1·AF ＝0―→求得n 1·n 2―→求得夹角余弦．[解] (1)如图，连接BD 交AC 于O ，因为BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形，又AC 平分∠BCD ，故AC ⊥BD .以O 为坐标原点，OB ，OC ，AP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O -xyz ，则OC ＝CD cos π3＝1.而AC ＝4，得AO ＝AC －OC ＝3.又OD ＝CD sin π3＝3，故A (0，－3,0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，D (－3，0,0)．因P A ⊥底面ABCD ，可设P (0，－3，z )．由F 为PC 边中点，知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1，z 2.又AF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2，z 2，PB ＝(3，3，－z )，AF ⊥PB ，故AF ·PB ＝0，即6－z 22＝0，z ＝23(舍去－23)，所以|PA |＝2 3.(2)由(1)知AD ＝(－3，3,0)，AB ＝(3，3,0)，AF ＝(0,2，3)．设平面F AD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面F AB 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，由n 1·AD ＝0，n 1·AF ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－3x 1＋3y 1＝0，2y 1＋3z 1＝0，因此可取n 1＝(3，3，－2)． 由n 2·AB ＝0，n 2·AF ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋3y 2＝0，2y 2＋3z 2＝0，故可取n 2＝(3，－3，2)． 从而法向量n 1，n 2的夹角的余弦值为cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝18.故二面角B -AF -D 的正弦值为378.建立空间直角坐标系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系(本题利用AC ⊥BD )，若图中存在交于一点的三条直线两两垂直，则以该点为原点建立空间直角坐标系.在没有明显的垂直关系时，要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系，注意建立的空间直角坐标系是右手系，正确确定坐标轴的名称.例2、如图，在空间几何体中，平面ACD ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝CA ＝DA ＝DC ＝BE ＝2.BE 与平面ABC 所成的角为60°，且点E 在平面ABC 内的射影落在∠ABC 的平分线上．(1)求证：DE ∥平面ABC ； (2)求二面角E -BC -A 的余弦值．解：证明：(1)易知△ABC ，△ACD 都是边长为2的等边三角形，取AC 的中点O ，连接BO ，DO ，则BO ⊥AC ，DO ⊥AC . ∵平面ACD ⊥平面ABC ， ∴DO ⊥平面ABC . 作EF ⊥平面ABC ，则EF ∥DO . 根据题意，点F 落在BO 上， ∴∠EBF ＝60°， 易求得EF ＝DO ＝3，∴四边形DEFO 是平行四边形，DE ∥OF . ∵DE ⊄平面ABC ，OF ⊂平面ABC ，∴DE ∥平面ABC .(2)建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz ，可求得平面ABC 的一个法向量为n 1＝(0,0,1)． 可得C (－1,0,0)，B (0，3，0)，E (0，3－1，3)，则CB ＝(1，3，0)，BE ＝(0，－1，3)．设平面BCE 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )，则可得n 2·CB ＝0，n 2·BE ＝0，即(x ，y ，z )·(1，3，0)＝0，(x ，y ，z )·(0，－1，3)＝0，可取n 2＝(－3，3，1)． 故cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 1|n 1|·|n 2|＝1313. 又由图知，所求二面角的平面角是锐角，故二面角E -BC -A 的余弦值为1313.专题训练1.如图所示，在多面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，上、下两个底面A 1B 1C 1D 1和ABCD 互相平行，且都是正方形，DD 1⊥底面ABCD ，AB ∥A 1B 1，AB ＝2A 1B 1＝2DD 1＝2a .(1)求异面直线AB 1与DD 1所成角的余弦值； (2)已知F 是AD 的中点，求证：FB 1⊥平面BCC 1B 1.解：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2a,0,0)，B (2a,2a,0)，C (0,2a,0)，D 1(0,0，a )，F (a,0,0)，B 1(a ，a ，a )，C 1(0，a ，a )．(1)∵1AB ＝(－a ，a ，a )，1DD ＝(0,0，a )，∴cos 〈1AB ，1DD 〉＝1AB ·1DD |1AB |·|1DD |＝33，所以异面直线AB 1与DD 1所成角的余弦值为33.(2)证明：∵1BB ＝(－a ，－a ，a )，BC ＝(－2a,0,0)，1FB ＝(0，a ，a )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1FB ·1BB ＝0， 1FB ·BC ＝0.∴FB 1⊥BB 1，FB 1⊥BC . ∵BB 1∩BC ＝B ，∴FB 1⊥平面BCC 1B 1.2．如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ， AB ＝3，BC ＝5.(1)求证：AA 1⊥平面ABC ； (2)求二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值；(3)证明：在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，并求 BDBC 1的值．。
空间向量解决立体几何
1 空间直角坐标系构建三策略利用空间向量的方法解决立体几何问题，关键是依托图形建立空间直角坐标系，将其它向量用坐标表示，通过向量运算，判定或证明空间元素的位置关系，以及空间角、空间距离问题的探求．所以如何建立空间直角坐标系显得非常重要，下面简述空间建系的三种方法，希望同学们面对空间几何问题能做到有的放矢，化解自如．1．利用共顶点的互相垂直的三条棱例1 已知直四棱柱中，AA 1＝2，底面ABCD 是直角梯形，∠DAB 为直角，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝2，DC ＝1，试求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值．解 如图以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴，y轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，C 1(0,1,2)，B (2,4,0)，C (0,1,0)，所以BC 1→＝(－2，－3,2)，CD →＝(0，－1,0)．所以cos 〈BC 1→，CD →〉＝BC 1→·CD →|BC 1→||CD →|＝31717. 故异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值为31717. 点评 本例以直四棱柱为背景，求异面直线所成角．求解关键是从直四棱柱图形中的共点的三条棱互相垂直关系处着眼，建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标和相关向量的坐标，再求两异面直线的方向向量的夹角即可．2．利用线面垂直关系例2 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥面BB 1C 1C ，E 为棱C 1C 的中点，已知AB ＝2，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝π3.试建立合适的空间直角坐标系，求出图中所有点的坐标．解 过B 点作BP 垂直BB 1交C 1C 于P 点，因为AB ⊥面BB 1C 1C ，所以BP ⊥面ABB 1A 1，以B 为原点，分别以BP ，BB 1，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．因为AB ＝2，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝π3， 所以CP ＝12，C 1P ＝32，BP ＝32，则各点坐标分别为B (0，0,0)，A (0,0，2)，B 1(0,2,0)，C (32，－12，0)，C 1(32，32，0)，E (32，12，0)，A 1(0,2，2)．点评 空间直角坐标系的建立，要尽量地使尽可能多的点落在坐标轴上，这样建成的坐标系，既能迅速写出各点的坐标，又由于坐标轴上的点的坐标含有0，也为后续的运算带来了方便．本题已知条件中的垂直关系“AB ⊥面BB 1C 1C ”，可作为建系的突破口．3．利用面面垂直关系例3 如图1，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝2，∠ABC ＝60°，E 是BC 的中点．将△ABE 沿AE 折起，使平面BAE ⊥平面AEC (如图2)，连接BC ，BD .求平面ABE 与平面BCD 所成的锐角的大小．解 取AE 中点M ，连接BM ，DM .因为在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ，∠ABC ＝60°，E 是BC 的中点， 所以△ABE 与△ADE 都是等边三角形，所以BM ⊥AE ，DM ⊥AE .又平面BAE ⊥平面AEC ，所以BM ⊥MD .以M 为原点，分别以ME ，MD ，MB 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系Mxyz ，如图，则E (1,0,0)，B (0,0，3)，C (2，3，0)，D (0，3，0)，所以DC →＝(2,0,0)，BD →＝(0，3，－3)，设平面BCD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·DC →＝2x ＝0，m ·BD →＝3y －3z ＝0.取y ＝1，得m ＝(0,1,1)， 又因平面ABE 的一个法向量MD →＝(0，3，0)，所以cos 〈m ，MD →〉＝m ·MD →|m ||MD →|＝22， 所以平面ABE 与平面BCD 所成的锐角为45°.点评 本题求解关键是利用面面垂直关系，先证在两平面内共点的三线垂直，再构建空间直角坐标系，然后分别求出两个平面的法向量，求出两法向量夹角的余弦值，即可得所求的两平面所成的锐角的大小．用法向量的夹角求二面角时应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求出来的角度就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小．2 用向量法研究“动态”立体几何问题“动态”立体几何问题是在静态几何问题中渗透了一些“动态”的点、线、面等元素，同时由于“动态”的存在，使得问题的处理趋于灵活．本文介绍巧解“动态”立体几何问题的法宝——向量法，教你如何以静制动．1．求解、证明问题例1 在棱长为a 的正方体OABC —O 1A 1B 1C 1中，E 、F 分别是AB 、BC 上的动点，且AE ＝BF ，求证：A 1F ⊥C 1E .证明 以O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )．设AE ＝BF ＝x ，∴E (a ，x,0)，F (a －x ，a,0)．∴A 1F →＝(－x ，a ，－a )，C 1E →＝(a ，x －a ，－a )．∵A 1F →·C 1E →＝(－x ，a ，－a )·(a ，x －a ，－a )＝－ax ＋ax －a 2＋a 2＝0，∴A 1F →⊥C 1E →，即A 1F ⊥C 1E .2．定位问题例2 如图，已知四边形ABCD ，CDGF ，ADGE 均为正方形，且边长为1，在DG 上是否存在点M ，使得直线MB 与平面BEF 的夹角为45°？若存在，求出点M 的位置；若不存在，请说明理由．解题提示 假设存在点M ，设平面BEF 的法向量为n ，设BM 与平面BEF所成的角为θ，利用sin θ＝|BM →·n ||BM →||n |解出t ，若t 满足条件则存在． 解 因为四边形CDGF ，ADGE 均为正方形，所以GD ⊥DA ，GD ⊥DC .又DA ∩DC ＝D ，所以GD ⊥平面ABCD .又DA ⊥DC ，所以DA ，DG ，DC 两两互相垂直，如图，以D 为原点建立空间直角坐标系，则B (1,1,0)，E (1,0,1)，F (0,1,1)．因为点M 在DG 上，假设存在点M (0,0，t ) (0≤t ≤1)使得直线BM 与平面BEF 的夹角为45°.设平面BEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．因为BE →＝(0，－1,1)，BF →＝(－1,0,1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·BE →＝0，n ·BF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－y ＋z ＝0，－x ＋z ＝0，令z ＝1，得x ＝y ＝1， 所以n ＝(1,1,1)为平面BEF 的一个法向量．又BM →＝(－1，－1，t )，直线BM 与平面BEF 所成的角为45°，所以sin 45°＝|BM →·n ||BM →||n |＝|－2＋t |t 2＋2×3＝22， 解得t ＝－4±3 2.又0≤t ≤1，所以t ＝32－4.故在DG 上存在点M (0,0,32－4)，且DM ＝32－4时，直线MB 与平面BEF 所成的角为45°.点评 由于立体几何题中“动态”性的存在，使有些问题的结果变得不确定，这时我们要以不变应万变，抓住问题的实质，引入参量，利用空间垂直关系及数量积将几何问题代数化，达到以静制动的效果．3 向量与立体几何中的数学思想1．数形结合思想向量方法是解决问题的一种重要方法，坐标是研究向量问题的有效工具，利用空间向量的坐标表示可以把向量问题转化为代数运算，从而沟通了几何与代数的联系，体现了数形结合的重要思想．向量具有数形兼备的特点，因此，它能将几何中的“形”和代数中的“数”有机地结合在一起．例1 如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1A ⊥底面ABCD ，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，且A 1A ＝AB ＝AD ＝2BC ＝2，点E 在棱AB 上，平面A 1EC 与棱C 1D 1相交于点F .(1)证明：A 1F ∥平面B 1CE ；(2)若E 是棱AB 的中点，求二面角A 1－EC －D 的余弦值；(3)求三棱锥B 1－A 1EF 的体积的最大值．(1)证明 因为ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱柱，所以平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1.又因为平面ABCD ∩平面A 1ECF ＝EC ，平面A 1B 1C 1D 1∩平面A 1ECF ＝AF ，所以A 1F ∥EC .又因为A 1F ⊄平面B 1CE ，EC ⊂平面B 1CE ，所以A 1F ∥平面B 1CE .(2)解 因为AA 1⊥底面ABCD ，⊥BAD ＝90°，所以AA 1，AB ，AD 两两垂直，以A 为原点，以AB ，AD ，AA 1分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系．则A 1(0,0,2)，E (1,0,0)，C (2,1,0)，所以A 1E →＝(1,0，－2)，A 1C →＝(2,1，－2)．设平面A 1ECF 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，由A 1E →·m ＝0，A 1C →·m ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －2z ＝0，2x ＋y －2z ＝0. 令z ＝1，得m ＝(2，－2,1)．又因为平面DEC 的法向量为n ＝(0,0,1)，所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝13， 由图可知，二面角AA 1－EC －D 的平面角为锐角，所以二面角A 1－EC －D 的余弦值为13. (3)解 过点F 作FM ⊥A 1B 1于点M ，因为平面A 1ABB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，FM ⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以FM ⊥平面A 1ABB 1，所以VB 1－A 1EF ＝VF －B 1A 1E ＝13×S △A 1B 1E ×FM ＝13×2×22×FM ＝23FM . 因为当F 与点D 1重合时，FM 取到最大值2(此时点E 与点B 重合)，所以当F 与点D 1重合时，三棱锥B 1－A 1EF 的体积的最大值为43. 2．转化与化归思想空间向量的坐标及运算为解决立体几何中的夹角、距离、垂直、平行等问题提供了工具，因此我们要善于把这些问题转化为向量的夹角、模、垂直、平行等问题，利用向量方法解决．将几何问题化归为向量问题，然后利用向量的性质进行运算和论证，再将结果转化为几何问题．这种“从几何到向量，再从向量到几何”的思想方法，在本章尤为重要．例2 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2AD ＝2，E 为AB 的中点，F 为D 1E 上的一点，D 1F ＝2FE .(1)证明：平面DFC ⊥平面D 1EC ；(2)求二面角A －DF －C 的平面角的余弦值．分析 求二面角最常用的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．解 (1)以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (1,2,0)，C (0,2,0)，D 1(0,0,2)．∵E 为AB 的中点，∴E 点坐标为E (1,1,0)，∵D 1F ＝2FE ，∴D 1F →＝23D 1E →＝23(1,1，－2) ＝(23，23，－43)， ∴DF →＝DD 1→＋D 1F →＝(0,0,2)＋(23，23，－43) ＝(23，23，23)，设n ＝(x ，y ，z )是平面DFC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·DF →＝0，n ·DC →＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 23x ＋23y ＋23z ＝0，2y ＝0.取x ＝1得平面FDC 的一个法向量为n ＝(1,0，－1)．设p ＝(x ，y ，z )是平面ED 1C 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧p ·D 1F →＝0，p ·D 1C →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 23x ＋23y －43z ＝0，2y －2z ＝0，取y ＝1得平面D 1EC 的一个法向量p ＝(1,1,1)， ∵n ·p ＝(1,0，－1)·(1,1,1)＝0，∴平面DFC ⊥平面D 1EC .(3)设q ＝(x ，y ，z )是平面ADF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ q ·DF →＝0，q ·DA →＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧23x ＋23y ＋23z ＝0，x ＝0，取y ＝1得平面ADF 的一个法向量q ＝(0,1，－1)，设二面角A －DF －C 的平面角为θ，由题中条件可知θ∈(π2，π)，则cos θ＝|n ·q |n |·|q ||＝－0＋0＋12×2＝－12， ∴二面角A －DF －C 的平面角的余弦值为12. 3．函数思想例3 已知关于x 的方程x 2－(t －2)x ＋t 2＋3t ＋5＝0有两个实根，且c ＝a ＋t b ，a ＝(－1,1,3)，b ＝(1,0，－2)．问|c |能否取得最大值？若能，求出实数t 的值及对应的向量b 与c 夹角的余弦值；若不能，说明理由．分析 写出|c |关于t 的函数关系式，再利用函数观点求解．解 由题意知Δ≥0，得－4≤t ≤－43， 又c ＝(－1,1,3)＋t (1,0，－2)＝(－1＋t,1,3－2t )，∴|c |＝(－1＋t )2＋(3－2t )2＋1 ＝5⎝⎛⎭⎫t －752＋65. 当t ∈⎣⎡⎦⎤－4，－43时，f (t )＝5⎝⎛⎭⎫t －752＋65是单调递减函数，∴y max ＝f (－4)，即|c |的最大值存在， 此时c ＝(－5,1,11)．b·c ＝－27，|c |＝7 3.而|b |＝5，∴cos 〈b ，c 〉＝b·c |b||c |＝－275×73＝－91535. 点评 凡涉及向量中的最值问题，若可用向量坐标形式，一般可考虑写出函数关系式，利用函数思想求解．4．分类讨论思想例4 如图，矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a ，P A ⊥平面ABCD (点P 位于平面ABCD 上方)，问BC 边上是否存在点Q ，使PQ →⊥QD →？分析 由PQ →⊥QD →，得PQ ⊥QD ，所以平面ABCD 内，点Q 在以边AD为直径的圆上，若此圆与边BC 相切或相交，则BC 边上存在点Q ，否则不存在．解 假设存在点Q (Q 点在边BC 上)，使PQ →⊥QD →，即PQ ⊥QD ，连接AQ .∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥QD .又PQ →＝P A →＋AQ →且PQ →⊥QD →，∴PQ →·QD →＝0，即P A →·QD →＋AQ →·QD →＝0.又由P A →·QD →＝0，∴AQ →·QD →＝0，∴AQ →⊥QD →.即点Q 在以边AD 为直径的圆上，圆的半径为a 2. 又∵AB ＝1，由题图知，当a 2＝1，即a ＝2时，该圆与边BC 相切，存在1个点Q 满足题意； 当a 2>1，即a >2时，该圆与边BC 相交，存在2个点Q 满足题意； 当a 2<1，即a <2时，该圆与边BC 相离，不存在点Q 满足题意． 综上所述，当a ≥2时，存在点Q ；当0<a <2时，不存在点。
利用空间向量解立体几何(含综合题.docx
利用空间向量解立体几何问题一、基础知识（一）刻画直线与平面方向的向量1、直线：用直线的方向向量刻画直线的方向问题，而方向向量可由直线上的两个点来确定例如： A 2,4,6 , B 3,0,2，则直线 AB 的方向向量为AB1, 4,42、平面：用平面的法向量来刻画平面的倾斜程度，何为法向量？与平面垂直的直线称为平面的法线，法线的方向向量就是平面的法向量，如何求出指定平面的法向量呢？（ 1）所需条件：平面上的两条不平行的直线（ 2）求法：（先设再求）设平面的法向量为 n x, y, z ，若平面上所选两条直线的方向向量分别为a x1, y1 , z1,b x2 , y2 , z2，则可列出方程组：x1 x y1 y z1 z0解出 x, y, z 的比值即可x2 x y2 y z2 z0例如： a1,2,0, b2,1,3 ，求a, b所在平面的法向量解：设 n x, y, z ，则有x 2 y0，解得：x 2 y 2x y3z z yx : y : z 2 :1:1n2,1,1（二）空间向量可解决的立体几何问题（用a,b 表示直线a,b的方向向量，用 m, n 表示平面,的法向量）1、判定类（ 1）线面平行：a∥ b a∥b（ 2）线面垂直：a b a b（ 3）面面平行：∥m∥n（ 4）面面垂直：m n2、计算类：（ 1）两直线所成角：cos cosa b a, ba b（2）线面角：（3）二面角：a msin cos a, ma mcoscos m, nm ncos m, nm n或 cos（视平面角与法向m n m n量夹角关系而定）（ 4）点到平面距离：设 A 为平面外一点，P为平面上任意一点，则 A 到平面的距离AP n为 d A，即AP在法向量n上投影的绝对值。
n（三）点的存在性问题：在立体几何解答题中，最后一问往往涉及点的存在性问题，即是否在某条线上存在一点，使之满足某个条件，本讲主要介绍使用空间向量解决该问题时的方法与技巧1、理念：先设再求——先设出所求点的坐标x, y, z ，再想办法利用条件求出坐标2、解题关键：减少变量数量——x, y, z 可表示空间中的任一点，但题目中所求点往往是确定在某条线或者某个平面上的，所以使用三个变量比较“浪费”（变量多，条件少，无法求解），要考虑减少变量的个数，最终所使用变量的个数可根据如下条件判断：（1）直线（一维）上的点：用一个变量就可以表示出所求点的坐标（2）平面（二维）上的点：用两个变量可以表示所求点坐标规律：维度 =所用变量个数3、如何减少变量：（ 1）直线上的点（重点）：平面向量共线定理——若a∥b R, 使得 a b例：已知 A 1,3,4, P0,2,1，那么直线AP 上的某点 M x, y, z 坐标可用一个变量表示，方法如下： AM x1, y3,z 4 , AP1,1, 3 ——三点中取两点构成两个向量因为 M 在 AP 上，所以AM ∥AP AM AP——共线定理的应用（关键）x1x1y3y3，即 M 1,3,4 3——仅用一个变量表示z43z43（ 2）平面上的点：平面向量基本定理——若a, b不共线，则平面上任意一个向量 c ，均存在,R ，使得： c a b例：已知 A 1,3,4 , P 0,2,1 , Q 2,4,0 ，则平面APQ上的某点 M x, y, z 坐标可用两个变量 表 示 ， 方 法 如 下 ： AMx 1, y 3, z 4 , AP1, 1, 3 , PQ 2,2, 1 ， 故x 1 2 x 1 2 AMAPPQ ，即y 32 y32z 43z 4 3二、典型例题例 1：（ 2010 天津）在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1 中， E, F 分别是棱 BC, CC 1 上的点，CFAB 2 CE AB : AD : AA 1 1: 2 : 4，A 1D 1（ 1）求异面直线 EF , A 1D 所成角的余弦值B 1C 1（ 2）证明： AF 平面 A 1ED（ 3）求二面角 A 1 EDF 正弦值FAD解：由长方体 ABCDA 1B 1C 1D 1 得： AA 1 , AB, AD 两两垂直BEC以 AA 1 , AB, AD 为轴建立空间直角坐标系（ 1） E 1, 3,0 , F 1,2,1 , A 1 0,0,4 , D 0,2,02EF0, 1,1 , A 1D0,2, 42cos EF , A 1 DEF A 1D33EF A 1D55204cos35（ 2） AF1,2,1 ，设平面 A 1 ED 的法向量为 nx, y, zA D0,2, 4 , DE1,1,0122 y 4zx1 y 0x : y : z 1: 2 :1n1,2,12AF ∥nAF 平面 A 1ED（ 3）设平面EDF的法向量m x, y, zDE1,1,0, DF1,0,1 2x 1 y0x : y : z 1: 2 :1m 1,2, 1 2x z0n1,2,1m n42 cos m, n63m n5 sin3例 2：如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD PA AD4，，AB 2 ，若 MN 分别为棱 PD, PC 上的点， O 为 AC 中点，且AC 2OM2ON （1）求证：平面ABM平面PCD（2）求直线CD与平面ACM所成角的正弦值（ 3）求点N 到平面 ACM 的距离P解：PA平面 ABCDPA AB, PA AD矩形 ABCD AB AD M故PA, AB, AD 两两垂直以 PA, AB, AD 为轴建立空间直角坐标系A NDP 0,0,4, B 2,0,0 , C 2,4,0, D0,4,0 , O 1,2,0OAC2OM2ON OM ,ON，且分别为B CA M,C 的A中线NC PAN PC, AM PD设点 M x, y, z ，因为 P, M , D 三点共线MPM PD而 PM x, y, z 4 , PD0,4,4Nx0A DO PD0,4, 4y4B Cz44M0,4 ,44而 AM PD AM PD016 4 4401 2M0,2,2同理，设点 N x, y, z ，因为 P, N , C 三点共线PNPC 而 PNx, y, z 4 , PC2,4, 4x 2PD2 ,4 , 4y 4z44N 2 ,4 ,4 4 而 AN PC AN PC4+164 4 449N 8 ,16 , 209 9 9（ 1）设平面 ABM 的法向量为 n 1x, y, zAB 2,0,0 , AM 0,2,22x 0n 10,1, 12 y 2 z 0设平面 PCD 的法向量为 n 2 x, y, zPC2,4, 4 , DC 2,0,02x 4 y 4 z 0 n 20,1,12x 0n 1 n 2 0n 1 n 2平面 ABM平面 PCD（ 2）设平面 ACM 的法向量为 n x, y, zAC 2,4,0 , AM0,2,2 2x 4 y 0 2, 1,12 y 2z n而 CD2,0,0设直线 CD 与平面 ACM 所成角为CD n 4 6，则 sincos CD , nn2 63CD8 2 1612010 （ 3）AN n 9 99dN 平面 ACM66n27例 3：已知在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，且 AD 2, AB 1,PA 平面ABCD ， E, F 分别是线段 AB, BC 的中点（ 1）求证： PF FDP（ 2 ）在线段 PA 上是否存在点 G ，使得 EG ∥ 平面 PFD ，若存在，确定点 G 的位置；若不存在，请说明理由（ 3）若 PB 与平面 ABCD 所成的角为45 ，求二面角ADA PDF 的余弦值EBC解：因为 PA 平面 ABCD ，且四边形 ABCD 是矩形 F以 PA, AD, AB 为 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 设 PAhP 0,0, h , B 1,0,0 , D 0,2,0 ,C 1,2,0 , F 1,1,0 , E1,0,02（ ）PF 1,1, h , FD1,1,0P F F D 01PFFD（ 2）设 G0,0,aE G 1, 0 , a2设平面 PFD 的法向量为 nx, y, zP F1, 1, h ,F D1, 1, 0xy zh 0 x hy h nh, h, 2x yz2EG ∥ 平面 PFD E G nEG n1h 2a 0 解得 a1 h24存在点 G ，为 AP 的四等分点（靠近 A ）（ 3）PA 底面 ABCDPB 在底面 ABCD 的投影为 BAPBA 为 PB 与平面 ABCD 所成的角，即 PBA45PBA 为等腰直角三角形AP AB1即 h1平面 PFD 的法向量为 n1,1,2平面 APD 为yOz平面，所以平面APD 的法向量为 m 0,1,0设二面角 A PD F 的平面角为，可知为锐角cos cos m,n 16 66例 4 ：四棱锥P A B C PAB平面A B C，中，平面AD ∥ BC ,ABC90 , PA PB3, BC1, AB 2, AD3,O 是AB中点（1）求证：CD平面POC（2）求二面角C PD O的平面角的余弦值P（ 3）在侧棱PC上是否存在点M ，使得BM∥平面 POD ，若存在，求出CM的值；若不存在，请说明理由PC解：过 O 在平面 ABCD 作 AB 的垂线交 CD 于Q PA PB,O 为AB中点AD OB CPO AB平面 PAB平面ABCDPO 平面 ABCDPO OB, PO OQOQ AB以 PO, OB, OQ 为轴建立空间直角坐标系PO PA2OA2 2 2P 0,0,22, B 1,0,0, A 1,0,0,C 1,1,0 , D1,3,0（ 1）CD2,2,0设平面 POC 的法向量为 n x, y, zOP0,0,2 2 ,OC1,1,0OP n022z0n1, 1, 0 OC n0x y0CD∥ n CD平面 POC（ 2）设平面PCD的法向量为 n1 x, y, zPC 1,1, 2 2 ,CD2,2,0PC n 1xy2 2z 02 , 2 , 1n 1n 1CD 0 2x 2 y 0设平面PDO 的法向量为 n 2x, y, zOP0,0,2 2 ,OD1,3,0OP n 22 2zn 2 3 , 1, 0n 2OD 0 x 3y 0 cos n 1, n 2n 1 n 2 4n 1 n 25所以二面角 CPD O 的平面角的余弦值为45（ 3）设 M x, y, zC MC PCMx 1, y 1,z ,CP1, 1,22x 1y 1 M 1,1,2 2z2 2BM,1 ,2 2而平面 PDO 的法向量为 n 2 3,1,0 BM ∥ 平面 PODB M n3121 CM 14PC 4例 5：已知四棱锥 PABCD 中， PA 平面 ABCD ，底面 ABCD 是边长为 a 的菱形，BAD 120 ， PAbP（ 1）求证：平面 PBD 平面 PAC（ 2）设 AC 与 BD 交于点 O ， M 为 OC 中点，若二面角O PMD 的正切值是 2 6 ，求 a : b 的值ADPAPAABO建系思路一：由与底面垂直，从而以作为 z 轴，以 M的菱形性质可为 x 轴，由 120 得取 CD 中点 T ，连结 AT 则有 AT BCAB ，从而建立空间直角坐标D系解：取 CD 中点 T ，连结 AT ，可得 ATCDATAB AT PA 平面 ABCD以 PA, AB, AT 为轴建立空间直角坐标系1 3 1 3, P 0,0, b可得： B a,0,0 , C a,a,0 , Da, a,02222（ 1）设平面 PBD 的法向量为 mx, y, zPBa,0, b , BD3a,3a,022ax bzx b3 ax3 0y 3bm b,3b,a2 ayz a2设平面 PAC 的法向量为 nx, y, zAP0,0, b , AC1 3a,a,022z 0x313 0y 1n3,1,0axayz22m n0 平面 PBD 平面 PAC1 333 3 a,0（ 2） Oa,a,0 , Ma,448 8设平面 OPM 的法向量为 n 1x, y, zOP 1 3,OM1 3a,a,b a, a,0448 81ax3ay bz 0x344y1n 1 3,1,013z 0 axay88设平面 PMD 的法向量为 n 2x, y, zPD 1a,3 7 32 a, b , MD a, a,028 81ax3ay bz 0x3b2 2y 7bn 2 3b,7 b,3 3a73ax 0z33a8 ay8设二面角 OPMD 的平面角为，则 tan 2 6 ，可得 cos15coscos n 1 ,n 24b12 52b 227a 2510b52b227a2100b252b227a2a24816a b22794 : 3b建系思路二：由思路一可发现尽管建系思路简单，但是所涉及的点的坐标过于复杂，而导致后面的计算繁杂。
(完整版)高中数学用空间向量解立体几何问题方法归纳(2),推荐文档
( ) ( ) ( ) E
12，1，12
，F
0，1，12
，
EF
＝
－12，0，0
，
PB
＝(1,0，－1)，
PD
＝(0,2，－1)，
AP ＝(0,0,1)， AD ＝(0,2,0)， DC ＝(1,0,0)， AB ＝(1,0,0)．
1
(1)因为
EF
＝－2
AB
，所以
EF
∥
AB
，即
EF∥AB.
我去上人， 也就有人！为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙
..........
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且 EB1＝1，D，F，G 分别为 CC1，C1B1，C1A1 的中点． 求证：(1)B1D⊥平面 ABD； (2)平面 EGF∥平面 ABD.
建议收藏下载本文，以便随时学习！ 证明：(1)以 B 为坐标原点，BA、BC、BB1 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空 间直角坐标系，如图所示，则 B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，设 BA＝a，则 A(a,0,0)，
n1＝(2，－2,1)是平面 ADC1 的一个法向量．取平面 ABA1 的一个法向量为
n2＝(0,1,0)．设平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的大小为 θ.
| | n1·n2
2
2
5
由|cos θ|＝ |n1||n2| ＝ 9 × 1＝3，得 sin θ＝ 3 .
5 因此，平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的正弦值为 3 . 例 2、如图，三棱柱 ABCA1B1C1 中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°. (1)证明：AB⊥A1C； (2)若平面 ABC⊥平面 AA1B1B，AB＝CB，求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正
利用空间向量解立体几何(完整版)培训资料
利用空间向量解立体几何（完整版）向量法解立体几何引言立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。
教材上讲的比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，给老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分内容的题目造成一定的困难，下面主要就这几方面问题谈一下自己的想法，起到一个抛砖引玉的作用。
一、基本工具1. 数量积：a b a b cos2. 射影公式：向量a在b上的射影为a bl b3. 直线Ax By C 0的法向量为A,B，方向向量为B, A4. 平面的法向量（略）二、用向量法解空间位置关系1. 平行关系线线平行两线的方向向量平行线面平行线的方向向量与面的法向量垂直面面平行两面的法向量平行2. 垂直关系线线垂直（共面与异面） 两线的方向向量垂直 线面垂直 线与面的法向量平行面面垂直 两面的法向量垂直三、用向量法解空间距离 1•点点距离点P 为占仆乙与Q Xzyz 的 距离为 PQ 7（X 2 X\） （y Y i ） （Z 2 Z i ） 2•点线距离求点P X o ,y 。
到直线l : Ax By C 0的距离: 方法：在直线上取一点Q x, y ，即为点P 到l 的距离.3. 点面距离求点P X o ,y o 到平面的距离：方法：在平面 上去一点Q X,y ，得向量PQ计算平面的法向量n ，计算PQ 在 上的射影，即为点P 到面 的距离.四、用向量法解空间角 1. 线线夹角（共面与异面）线线夹角 两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2. 线面夹角求线面夹角的步骤:则向量PQ 在法向量nA,B 上的射影① 先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可, 若为钝角，则取其补角；② 再求其余角，即是线面的夹角. 3. 面面夹角(二面角)若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角； 法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角 .实例分析一、运用法向量求空间角向量法求空间两条异面直线a, b 所成角B,只要在两条异面直uuur uuurUJLT LULT线a, b 上各任取一个向量AA 和BB'，则角V AA',BB'>=B 或n - B,因为B 是锐角，所以uuur AA' uuurBB'LuurBB'1、运用法向量求直线和平面所成角设平面a 的法向量为n = (X, y, 1)，则 直线AB 和平面a 所成的角0的正弦值为uuu rsin 0 = cos( -- 0 ) = |cos< AB , n >| 二tutuT AB ? n2、运用法向量求二面角 COS 0 = 不需要用法向量uuu rABuu uuu 一 r ,,亠、eAE, BF )，及n 的定乂得解方程组可得n2、求点到面的距离设二面角的两个面的法向量为n ,n 2，则＜□,n 2 ＞或兀-＜ 0|,门2 ＞是所 求角。
利用空间向量解立体几何问题
2
]。
求法：①把两条异面直线中的一条放入一个平面，另一条与这个平面有交点，过这个交点在 平面内作第一条的平行线，则这两条直线所成的角为两条异面直线所成的角。然后解三角形得到。 ②运用向量：在直线 a 上取两点 A、B，在直线 b 上取两点 C、D，若直线 a 与 b 的夹角为 ， 则 cos | cos AB, CD | 。
令 z 1 ，得
x 2 ， n1 ( 2, 1,1) y 1
同理，可求得平面 ADF 的法向量 n2 ( 2, 1,1) 。 由 n1 n2 0 知，平面 ABF 与平面 ADF 垂直， 二面角 B-AF-D 的大小等于
M (0,2,2) ，
设平面 ABM 的一个法向量 n ( x, y, z) ，由 n AB, n AM 可得：
PC n 2 2 则 y 1 ，即 n (0,1, 1) .设所求角为 ，则 sin ， 3 PC n
PB PD, BO 2, PO 2 ，
由平面几何知识得： OD 1, PD 3, PB 6 （Ⅰ）过 D 做 DE // BC 交于 AB 于 E ，连结 PE ，则 PDE 或其补角为异面直线 PD 与 BC 所 成的角， 四边形 ABCD 是等腰梯形， OC OD 1, OB OA 2 ，
D(0, 1, 0) ， P(0,0, 2) （Ⅰ） PD (0, 1, 2) ， BC (1, 2,0) ，
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PD 3, BC 5, PD BC 2 。若 PD 与 BC 所成的角为 ，则 PD BC 2 15 2 15 。 故直线 PD 与 BC 所成的角的余弦值为 cos | cos PD, BC || | 15 15 PD BC
用空间向量解立体几何
用空间向量解立体几何平行垂直问题基础知识直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)．平面α，β的法向量u＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(1)线面平行：l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a3＋b1b3＋c1c3＝0(2)线面垂直：l⊥α⇔a∥u⇔a＝k u⇔a1＝ka3，b1＝kb3，c1＝kc3(3)面面平行：α∥β⇔u∥v⇔u＝k v⇔a3＝ka4，b3＝kb4，c3＝kc4(4)面面垂直：α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a3a4＋b3b4＋c3c4＝0例1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD 的中点，P A＝AB＝1，BC＝2.(1)求证：EF∥平面P AB；(2)求证：平面P AD⊥平面PDC.使用空间向量方法证明线面平行时，既可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的方向向量平行，然后根据线面平行的判定定理得到线面平行，也可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明面面垂直既可以证明线线垂直，然后使用判定定理进行判定，也可以证明两个平面的法向量垂直.利用空间向量求空间角基础知识(1)向量法求异面直线所成的角：若异面直线a，b的方向向量分别为a，b，异面直线所成的角为θ，则cos θ＝|cos〈a，b〉|＝|a·b| |a||b|.(2)向量法求线面所成的角：求出平面的法向量n，直线的方向向量a，设线面所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈n，a〉|＝|n·a| |n||a|.(3)向量法求二面角：求出二面角α－l－β的两个半平面α与β的法向量n1，n2，若二面角α－l－β所成的角θ为锐角，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝|n1·n2| |n1||n2|；若二面角α－l－β所成的角θ为钝角，则cos θ＝－|cos〈n1，n2〉|＝－|n1·n2| |n1||n2|.例1、如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．(1)运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量坐标；④结合公式进行论证、计算；⑤转化为几何结论．(2)求空间角应注意：①两条异面直线所成的角α不一定是直线的方向向量的夹角β，即cos α＝|cos β|.②两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能两法向量夹角的补角为所求．例3、如图，在四棱锥S-ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD＝3AB＝3，平面SAD⊥平面ABCD，E是线段AD上一点，AE＝ED＝3，SE⊥AD.(1)证明：平面SBE⊥平面SEC；(2)若SE＝1，求直线CE与平面SBC所成角的正弦值．利用空间向量解决探索性问题例1、如图1，正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B(如图2)．(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；(2)求二面角E-DF-C的余弦值；(3)在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？如果存在，求出BPBC的值；如果不存在，请说明理由．(1)空间向量法最适合于解决立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断.(2)解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法.例2、.如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝BC＝2AC＝2.(1)若D为AA1中点，求证：平面B1CD⊥平面B1C1D；(2)在AA1上是否存在一点D，使得二面角B1-CD-C1的大小为60°？空间直角坐标系建立的创新问题空间向量在处理空间问题时具有很大的优越性，能把“非运算”问题“运算”化，即通过直线的方向向量和平面的法向量解决立体几何问题．解决的关键环节之一就是建立空间直角坐标系，因而建立空间直角坐标系问题成为近几年试题新的命题点．一、经典例题领悟好例1、如图，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，BC ＝CD ＝2，AC ＝4，∠ACB ＝∠ACD ＝π3，F 为PC 的中点，AF ⊥PB .(1)求P A 的长；(2)求二面角B -AF -D 的正弦值．建立空间直角坐标系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系(本题利用AC ⊥BD )，若图中存在交于一点的三条直线两两垂直，则以该点为原点建立空间直角坐标系.在没有明显的垂直关系时，要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系，注意建立的空间直角坐标系是右手系，正确确定坐标轴的名称.专题训练1、如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝35，AD ＝6，BD 是对角线，过点A 作AE ⊥BD ，垂足为O ，交CD 于E ，以AE 为折痕将△ADE 向上折起，使点D 到点P 的位置，且PB ＝41.(1)求证：PO ⊥平面ABCE ；(2)求二面角E -AP -B 的余弦值．2.如图，在四棱锥P -ABCD 中，侧面P AD ⊥底面ABCD ，侧棱P A ＝PD ＝2，P A ⊥PD ，底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AB ＝BC ＝1，O 为AD 中点．(1)求直线PB 与平面POC 所成角的余弦值；(2)求B 点到平面PCD 的距离；(3)线段PD 上是否存在一点Q ，使得二面角Q -AC -D 的余弦值为63？若存在，求出PQ QD 的值；若不存在，请说明理由．3．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1.M是棱SB的中点．(1)求证：AM∥平面SCD；(2)求平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值；(3)设点N是直线CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为θ，求sin θ的最大值．。
利用空间向量解立体几何问题典例精讲
利用空间向量解立体几何问题典例精讲1.在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ,F 分别是棱BC ,CC 1上的点，CF =AB =2CE ，AB :AD :AA 1=1:2:4(1)求异面直线EF ,A 1D 所成角的余弦值(2)证明：AF ⊥平面A 1ED (3)求二面角A 1-ED -F 正弦值解：由长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1得：AA 1,AB ,AD 两两垂直∴以AA 1,AB ,AD 为轴建立空间直角坐标系(1)E 1,32,0 ,F 1,2,1 ,A 10,0,4 ,D 0,2,0∴EF =0,12,1 ,A 1D =0,2,-4∴cos EF ,A 1D =EF ⋅A 1DEF ⋅A 1D=-354⋅20=-35∴cos θ=35(2)AF =1,2,1 ，设平面A 1ED 的法向量为n =x ,y ,z A 1D =0,2,-4 ,DE =1,-12,0 ∴2y -4z =0x -12y =0⇒x :y :z =1:2:1∴n =1,2,1 ∴AF ∥n∴AF ⊥平面A 1ED(3)设平面EDF 的法向量m=x ,y ,z DE =1,-12,0 ,DF =1,0,1∴x -12y =0x +z =0⇒x :y :z =1:2:-1 ∴m =1,2,-1 ∵n =1,2,1 ∴cos m ,n =m ⋅n m n =46=23∴sin θ=532.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA⊥平面ABCD ，PA =AD =4，AB =2，若MN 分别为棱PD ,PC 上的点，O 为AC 中点，且AC =2OM =2ON (1)求证：平面ABM ⊥平面PCD(2)求直线CD 与平面ACM 所成角的正弦值(3)求点N 到平面ACM 的距离解：∵PA ⊥平面ABCD ∴PA ⊥AB ,PA ⊥AD ∵矩形ABCD∴AB ⊥AD故PA ,AB ,AD 两两垂直以PA ,AB ,AD 为轴建立空间直角坐标系P 0,0,4 ,B 2,0,0 ,C 2,4,0 ,D 0,4,0 ,O 1,2,0AC =2OM =2ON ，且OM ,ON 分别为△AMC ,△ANC 的中线∴AN ⊥PC ,AM ⊥PD设点M x ,y ,z ，因为P ,M ,D 三点共线∴PM =λPD 而PM =x ,y ,z -4 ,PD=0,4,-4 ∴λPD=0,4λ,-4λ∴x =0y =4λz -4=-4λ∴M 0,4λ,4-4λ 而AM ⊥PD ⇒AM ⋅PD=0∴16λ-44-4λ =0⇒λ=12∴M 0,2,2同理，设点N x ,y ,z ，因为P ,N ,C 三点共线∴PN =μPC 而PN =x ,y ,z -4 ,PC=2,4,-4∴μPD=2μ,4μ,-4μ∴x =2μy =4μz -4=-4μ∴N 2μ,4μ,4-4μ 而AN ⊥PC ⇒AN ⋅PC=0∴4μ+16μ-44-4μ =0⇒μ=49∴N 89,169,209(1)设平面ABM 的法向量为n 1=x ,y ,z AB =2,0,0 ,AM =0,2,2 ∴2x =02y +2z =0⇒n 1 =0,1,-1设平面PCD 的法向量为n 2=x ,y ,z PC =2,4,-4 ,DC=2,0,0∴2x +4y -4z =02x =0 ⇒n 2=0,1,1 ∴n 1 ⋅n 2 =0∴n 1 ⊥n 2 ∴平面ABM ⊥平面PCD(2)设平面ACM 的法向量为nx ,y ,z AC =2,4,0 ,AM=0,2,2 ∴2x +4y =02y +2z =0 ⇒n =2,-1,1 而CD=-2,0,0∴设直线CD 与平面ACM 所成角为θ，则sin θ=cos CD ,n=CD ⋅n CD ⋅n=42⋅6=63(3)d N -平面ACM =AN ⋅nn=89⋅2+169⋅-1 +2096=102763.已知在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，且AD =2,AB =1,PA ⊥平面ABCD ，E ,F 分别是线段AB ,BC 的中点(1)求证：PF ⊥FD(2)在线段PA 上是否存在点G ，使得EG ∥平面PFD ，若存在，确定点G 的位置；若不存在，请说明理由(3)若PB 与平面ABCD 所成的角为45°，求二面角A -PD -F 的余弦值解：因为PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 是矩形∴以PA ,AD ,AB 为轴建立空间直角坐标系，设PA =h∴P 0,0,h ,B 1,0,0 ,D 0,2,0 ,C 1,2,0 ,F 1,1,0 ,E 12,0,0 (1)∴PF =1,1,-h ,FD =-1,1,0 ∴PF ⋅FD =0∴PF ⊥FD(2)设G 0,0,a∴EG =-12,0,a 设平面PFD 的法向量为n=x ,y ,z ∵PF =1,1,-h ,FD=-1,1,0∴x +y -zh =0-x +y =0⇒x =hy =h z =2∴n =h ,h ,2 ∵EG ∥平面PFD ∴EG ⊥n∴EG ⋅n =-12h +2a =0解得a =14h∴存在点G ，为AP 的四等分点(靠近A )(3)∵PA ⊥底面ABCD ∴PB 在底面ABCD 的投影为BA∴∠PBA 为PB 与平面ABCD 所成的角，即∠PBA =45°∴△PBA 为等腰直角三角形∴AP =AB =1即h =1∴平面PFD 的法向量为n=1,1,2平面APD 为yOz 平面，所以平面APD 的法向量为m=0,1,0 设二面角A -PD -F 的平面角为θ，可知θ为锐角∴cos θ=cos m ,n =16=664.四棱锥P -ABCD 中，平面PAB ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ,∠ABC =90°,PA =PB =3,BC =1,AB =2,AD =3,O 是AB 中点(1)求证：CD ⊥平面POC(2)求二面角C -PD -O 的平面角的余弦值(3)在侧棱PC 上是否存在点M ，使得BM ∥平面POD ，若存在，求出CMPC的值；若不存在，请说明理由解：过O 在平面ABCD 作AB 的垂线交CD 于Q ∵PA =PB ,O 为AB 中点∴PO ⊥AB∵平面PAB ⊥平面ABCD ∴PO ⊥平面ABCD ∴PO ⊥OB ,PO ⊥OQ ∵OQ ⊥AB∴以PO ,OB ,OQ 为轴建立空间直角坐标系PO =PA 2-OA 2=22∴P 0,0,22 ,B 1,0,0 ,A -1,0,0 ,C 1,1,0 ,D -1,3,0(1)CD =-2,2,0 设平面POC 的法向量为n=x ,y ,z OP =0,0,22 ,OC=1,1,0∴OP ⋅n =0OC ⋅n =0⇒22z =0x +y =0 ∴n =-1,1,0 ∴CD ∥n∴CD ⊥平面POC(2)设平面PCD 的法向量为n 1=x ,y ,z PC =1,1,-22 ,CD=-2,2,0∴PC ⋅n 1=0CD ⋅n 1 =0 ⇒x +y -22z =0-2x +2y =0∴n 1 =2,2,1 设平面PDO 的法向量为n 2=x ,y ,z OP =0,0,22 ,OD=-1,3,0∴OP ⋅n 2=0OD ⋅n 2 =0 ⇒22z =0-x +3y =0∴n 2 =3,1,0 ∴cos n 1 ,n 2 =n 1 ⋅n 2n 1 ⋅n 2=45所以二面角C -PD -O 的平面角的余弦值为45(3)设M x ,y ,z CM =λCPCM =x -1,y -1,z ,CP=-1,-1,22∴x -1=-λy -1=-λz =22λ⇒M 1-λ,1-λ,22λ∴BM =-λ,1-λ,22λ 而平面PDO 的法向量为n 2=3,1,0∵BM ∥平面POD ∴BM ⋅n 2=0⇒-3λ+1-λ=0∴λ=14∴CM PC=145.已知四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为a 的菱形，∠BAD =120°，PA =b(1)求证：平面PBD ⊥平面PAC(2)设AC 与BD 交于点O ，M 为OC 中点，若二面角O -PM -D 的正切值是26，求a :b 的值建系思路一：由PA 与底面垂直，从而以PA 作为z 轴，以AB 为x 轴，由120°的菱形性质可得取CD 中点T ，连结AT 则有AT ⊥AB ，从而建立空间直角坐标系解：取CD 中点T ，连结AT ，可得AT ⊥CD ∴AB ⊥AT∵PA ⊥平面ABCD∴以PA ,AB ,AT 为轴建立空间直角坐标系可得：B a ,0,0 ,C 12a ,32a ,0 ,D -12a ,32a ,0 ,P 0,0,b(1)设平面PBD 的法向量为m=x ,y ,z ∵PB =a ,0,-b ,BD =-32a ,32a ,0 ∴ax -bz =0-32ax +32ay =0⇒x =b y =3b z =a∴m=b ,3b ,a 设平面PAC 的法向量为n =x ,y ,z ∵AP =0,0,b ,AC =12a ,32a ,0 ∴z =012ax +32ay =0⇒x =-3y =1z =0∴n=-3,1,0 ∴m ⋅n =0∴平面PBD ⊥平面PAC(2)O 14a ,34a ,0 ,M 38a ,338a ,0 设平面OPM 的法向量为n 1 =x ,y ,z ∵OP =-14a ,-34a ,b ,OM =18a ,38a ,0 ∴-14ax -34ay +bz =018ax +38ay =0⇒x =-3y =1z =0∴n 1 =-3,1,0设平面PMD 的法向量为n 2 =x ,y ,z ∵PD =-12a ,32a ,-b ,MD =-78a ,38a ,0 ∴-12ax +32ay -bz =0-78ax +38ay =0 ⇒x =3b y =7b z =33a∴n2 =3b ,7b ,33a设二面角O -PM -D 的平面角为θ，则tan θ=26，可得cos θ=15∴cos θ=cos n 1 ,n 2 =4b 252b 2+27a 2=1510b =52b 2+27a 2⇒100b 2=52b 2+27a 2∴a 2b2=4827=169∴a b =4:3建系思路二：由思路一可发现尽管建系思路简单，但是所涉及的点的坐标过于复杂，而导致后面的计算繁杂。
高中数学用空间向量解立体几何问题方法归纳
用空间向量解立体几何题型与方法平行垂直问题根底知识直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)．平面α，β的法向量u ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4)(1)线面平行：l ∥α⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0⇔a 1a 3＋b 1b 3＋c 1c 3＝0(2)线面垂直：l ⊥α⇔a ∥u ⇔a ＝k u ⇔a 1＝ka 3，b 1＝kb 3，c 1＝kc 3(3)面面平行：α∥β⇔u ∥v ⇔u ＝k v ⇔a 3＝ka 4，b 3＝kb 4，c 3＝kc 4(4)面面垂直：α⊥β⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0⇔a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0例1、如下列图，在底面是矩形的四棱锥P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，PA ＝AB ＝1，BC ＝2.(1)求证：EF ∥平面PAB ；(2)求证：平面PAD ⊥平面PDC .[证明] 以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系如下列图，那么A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，EF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，0，PB ＝(1,0，－1)，PD ＝(0,2，－1)，AP ＝(0,0,1)，AD ＝(0,2,0)，DC ＝(1,0,0)，AB ＝(1,0,0)．(1)因为EF ＝－12AB ，所以EF ∥AB ，即EF ∥AB . 又AB ⊂平面PAB ，EF ⊄平面PAB ，所以EF ∥平面PAB .(2)因为AP ·DC ＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，AD ·DC ＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，所以AP ⊥DC ，AD ⊥DC ，即AP ⊥DC ，AD ⊥DC .又AP ∩AD ＝A ，AP ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以DC ⊥平面PAD .因为DC ⊂平面PDC ，所以平面PAD ⊥平面PDC .使用空间向量方法证明线面平行时，既可以证明直线的方向向量和平面一条直线的方向向量平行，然后根据线面平行的判定定理得到线面平行，也可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明面面垂直既可以证明线线垂直，然后使用判定定理进展判定，也可以证明两个平面的法向量垂直.例2、在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上，且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点．求证：(1)B 1D ⊥平面ABD ；(2)平面EGF ∥平面ABD .证明：(1)以B 为坐标原点，BA 、BC 、BB 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如下列图，那么B (0,0,0)，D (0,2,2)，B 1(0,0,4)，设BA ＝a ，那么A (a,0,0)，所以BA ＝(a,0,0)，BD ＝(0,2,2)，1B D ＝(0,2，－2)，1B D ·BA ＝0，1B D ·BD ＝0＋4－4＝0，即B 1D ⊥BA ，B 1D ⊥BD .又BA ∩BD ＝B ，因此B 1D ⊥平面ABD .(2)由(1)知，E (0,0,3)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，1，4，F (0,1,4)，那么EG ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，1，1，EF ＝(0,1,1)， 1B D ·EG ＝0＋2－2＝0，1B D ·EF ＝0＋2－2＝0，即B 1D ⊥EG ，B 1D ⊥EF .又EG ∩EF ＝E ，因此B 1D ⊥平面EGF . 结合(1)可知平面EGF ∥平面ABD .利用空间向量求空间角根底知识(1)向量法求异面直线所成的角：假设异面直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，异面直线所成的角为θ，那么cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|＝|a ·b ||a ||b |. (2)向量法求线面所成的角：求出平面的法向量n ，直线的方向向量a ，设线面所成的角为θ，那么sin θ＝|cos 〈n ，a 〉|＝|n ·a ||n ||a |. (3)向量法求二面角：求出二面角α－l －β的两个半平面α与β的法向量n 1，n 2，假设二面角α－l －β所成的角θ为锐角，那么cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|； 假设二面角α－l －β所成的角θ为钝角，那么cos θ＝－|cos 〈n 1，n 2〉|＝－|n 1·n 2||n 1||n 2|. 例1、如图，在直三棱柱A 1B 1C 1ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值；(2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．[解] (1)以A 为坐标原点，建立如下列图的空间直角坐标系A xyz ，那么A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，D (1,1,0)，A 1(0，0,4)，C 1(0,2,4)，所以1A B ＝(2,0，－4)，1C D＝(1，－1，－4)．因为cos 〈1A B ，1C D 〉＝1A B ·1C D | 1A B ||1C D |＝1820×18＝31010， 所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010. (2)设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，因为AD ＝(1,1,0)，1AC ＝(0,2,4)，所以n 1·AD ＝0，n 1·1AC ＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以，n 1＝(2，－2,1)是平面ADC 1的一个法向量．取平面ABA 1的一个法向量为n 2＝(0,1,0)．设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.由|cos θ|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|＝29×1＝23，得sin θ＝53. 因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为53. 例2、如图，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)假设平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值．[解] (1)证明：取AB 的中点O ，连接OC ，OA 1，A 1B .因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB .由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C .又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .(2)由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB .又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，|OA |为单位长，建立如下列图的空间直角坐标系O xyz . 由题设知A (1,0,0)，A 1(0，3，0)，C (0,0，3)，B (－1,0,0)．那么BC ＝(1,0，3)，1BB ＝1AA ＝(－1，3，0)，1A C ＝(0，－3，3)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量，那么⎩⎪⎨⎪⎧ n ·BC ＝0，n ·1BB ＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3z ＝0，－x ＋3y ＝0. 可取n ＝(3，1，－1)．故cos n ，1A C ＝n ·1A C |n ||1A C |＝－105. 所以A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为105.(1)运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量坐标；④结合公式进展论证、计算；⑤转化为几何结论．(2)求空间角应注意：①两条异面直线所成的角α不一定是直线的方向向量的夹角β，即cos α＝|cos β|. ②两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能两法向量夹角的补角为所求．例3、如图，在四棱锥S ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，CD ＝3AB ＝3，平面SAD ⊥平面ABCD ，E 是线段AD 上一点，AE ＝ED ＝3，SE ⊥AD .(1)证明：平面SBE ⊥平面SEC ；(2)假设SE ＝1，求直线CE 与平面SBC 所成角的正弦值．解：(1)证明：∵平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD ∩平面ABCD ＝AD ，SE ⊂平面SAD ，SE ⊥AD ，∴SE ⊥平面ABCD . ∵BE ⊂平面ABCD ，∴SE ⊥BE . ∵AB ⊥AD ，AB∥CD ，CD ＝3AB ＝3，AE ＝ED ＝3，∴∠AEB ＝30°，∠CED ＝60°. ∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CE . 又SE ∩CE ＝E ，∴BE ⊥平面SEC . ∵BE ⊂平面SBE ，∴平面SBE ⊥平面SEC .(2)由(1)知，直线ES ，EB ，EC 两两垂直．如图，以E 为原点，EB 为x 轴，EC 为y 轴，ES 为z 轴，建立空间直角坐标系．那么E (0,0,0)，C (0,23，0)，S (0,0,1)，B (2,0,0)，所以CE ＝(0，－23，0)，CB ＝(2，－23，0)，CS ＝(0，－23，1)．设平面SBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，那么⎩⎪⎨⎪⎧ n ·CB ＝0，n ·CS ＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧2x －23y ＝0，－23y ＋z ＝0.令y ＝1，得x ＝3，z ＝23， 那么平面SBC 的一个法向量为n ＝(3，1,23)． 设直线CE 与平面SBC 所成角的大小为θ，那么sin θ＝|n ·CE |n |·|CE ||＝14， 故直线CE 与平面SBC 所成角的正弦值为14. 例4、如图是多面体ABC A 1B 1C 1和它的三视图．(1)线段CC 1上是否存在一点E ，使BE ⊥平面A 1CC 1？假设不存在，请说明理由，假设存在，请找出并证明；(2)求平面C 1A 1C 与平面A 1CA 夹角的余弦值．解：(1)由题意知AA 1，AB ，AC 两两垂直，建立如下列图的空间直角坐标系，那么A (0,0,0)，A 1(0,0,2)，B (－2,0,0)，C (0，－2,0)，C 1(－1，－1,2)，那么1CC ＝(－1,1,2)，11A C ＝(－1，－1,0)，1A C ＝(0，－2，－2)．设E (x ，y ，z )，那么CE ＝(x ，y ＋2，z )， 1EC ＝(－1－x ，－1－y,2－z )．设CE ＝λ1EC (λ>0)，那么⎩⎨⎧ x ＝－λ－λx ，y ＋2＝－λ－λy ，z ＝2λ－λz ，那么E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－λ1＋λ，－2－λ1＋λ，2λ1＋λ， BE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋λ1＋λ，－2－λ1＋λ，2λ1＋λ. 由⎩⎪⎨⎪⎧ BE ·11A C ＝0， BE ·1A C ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2＋λ1＋λ＋2＋λ1＋λ＝0，－2－λ1＋λ＋2λ1＋λ＝0，解得λ＝2，所以线段CC 1上存在一点E ，CE ＝21EC ，使BE ⊥平面A 1CC 1.(2)设平面C 1A 1C 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，那么由⎩⎪⎨⎪⎧ m ·11A C ＝0，m ·1A C ＝0，得⎩⎨⎧－x －y ＝0，－2y －2z ＝0， 取x ＝1，那么y ＝－1，z ＝1.故m ＝(1，－1,1)，而平面A 1CA 的一个法向量为n ＝(1,0,0)，那么cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝13＝33，故平面C 1A 1C 与平面A 1CA 夹角的余弦值为33. 利用空间向量解决探索性问题例1、如图1，正△ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，E ，F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A DC B (如图2)．(1)试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由；(2)求二面角E DF C 的余弦值；(3)在线段BC 上是否存在一点P ，使AP ⊥DE ？如果存在，求出BP BC的值；如果不存在，请说明理由．[解] (1)在△ABC 中，由E ，F 分别是AC ，BC 中点，得EF ∥AB .又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，∴AB ∥平面DEF .(2)以点D 为坐标原点，以直线DB ，DC ，DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，那么A (0,0,2)，B (2,0,0)，C (0，23，0)，E (0，3，1)，F (1，3，0)，DF ＝(1，3，0)，DE ＝(0，3，1)，DA ＝(0,0,2)．平面CDF 的法向量为DA ＝(0,0,2)．设平面EDF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，那么⎩⎪⎨⎪⎧ DF ·n ＝0， DE ·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝0，3y ＋z ＝0，取n ＝(3，－3，3)，cos 〈DA ，n 〉＝DA ·n | DA ||n |＝217，所以二面角E DF C 的余弦值为217. (3)存在．设P (s ，t,0)，有AP ＝(s ，t ，－2)，那么AP ·DE ＝3t －2＝0，∴t ＝233， 又BP ＝(s －2，t,0)，PC ＝(－s,23－t,0)，∵BP ∥PC ，∴(s －2)(23－t )＝－st ，∴3s ＋t ＝2 3. 把t ＝233代入上式得s ＝43，∴BP ＝13BC ， ∴在线段BC 上存在点P ，使AP ⊥DE . 此时，BP BC ＝13. 1空间向量法最适合于解决立体几何中的探索性问题，它无需进展复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进展判断.2解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在〞问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定围的解〞等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法.例2、.如下列图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AA 1＝BC ＝2AC ＝2.(1)假设D 为AA 1中点，求证：平面B 1CD ⊥平面B 1C 1D ；(2)在AA 1上是否存在一点D ，使得二面角B 1CD C 1的大小为60°？解：(1)证明：如下列图，以点C 为原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．那么C (0,0,0)，A (1,0,0)，B 1(0,2,2)，C 1(0,0,2)，D (1,0,1)，即11C B ＝(0,2,0)，1DC ＝(－1,0,1)，CD ＝(1,0,1)．由11C B ·CD ＝(0,2,0)·(1,0,1)＝0＋0＋0＝0，得11C B ⊥CD ，即C 1B 1⊥CD .由1DC ·CD ＝(－1,0,1)·(1,0,1)＝－1＋0＋1＝0，得1DC ⊥CD ，即DC 1⊥CD .又DC 1∩C 1B 1＝C 1，∴CD ⊥平面B 1C 1D .又CD ⊂平面B 1CD ，∴平面B 1CD ⊥平面B 1C 1D .(2)存在．当AD ＝22AA 1时，二面角B 1CD C 1的大小为60°.理由如下： 设AD ＝a ，那么D 点坐标为(1,0，a )，CD ＝(1,0，a )，1CB ＝(0,2,2)，设平面B 1CD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，那么⎩⎪⎨⎪⎧ m ·1CB ＝0m ·CD ＝0⇒⎩⎨⎧ 2y ＋2z ＝0，x ＋az ＝0，令z ＝－1，得m ＝(a,1，－1)．又∵CB ＝(0,2,0)为平面C 1CD 的一个法向量，那么cos 60°＝|m ·CB ||m |·|CB |＝1a 2＋2＝12，解得a ＝2(负值舍去)，故AD ＝2＝22AA 1.∴在AA 1上存在一点D 满足题意．空间直角坐标系建立的创新问题空间向量在处理空间问题时具有很大的优越性，能把“非运算〞问题“运算〞化，即通过直线的方向向量和平面的法向量解决立体几何问题．解决的关键环节之一就是建立空间直角坐标系，因而建立空间直角坐标系问题成为近几年试题新的命题点．一、经典例题领悟好例1、如图，四棱锥P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，BC ＝CD ＝2，AC ＝4，∠ACB ＝∠ACD ＝π3，F 为PC 的中点，AF ⊥PB .(1)求PA 的长；(2)求二面角B AF D 的正弦值．(1)学审题——审条件之审视图形由条件知AC ⊥BD ――→建系 DB ，AC 分别为x ，y 轴―→写出A ，B ，C ，D 坐标――――――――→PA ⊥面ABCD 设P 坐标――→PF ＝CF 可得F 坐标――→AF ⊥PBAF ·PB ＝0―→得P 坐标并求PA 长． (2)学审题 由(1)―→AD ，AF ，AB 的坐标―――――――――――――――――――→向量n 1，n 2分别为平面FAD 、平面FAB 的法向量n 1·AD ＝0且n 1·AF ＝0―→求得n 1·n 2―→求得夹角余弦．[解] (1)如图，连接BD 交AC 于O ，因为BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形，又AC 平分∠BCD ，故AC ⊥BD .以O 为坐标原点，OB ，OC ，AP 的方向分别为x 轴，y 轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz ，那么OC ＝CD cos π3＝1.而AC ＝4，得AO ＝AC －OC ＝3.又OD ＝CD sin π3＝3，故A (0，－3,0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，D (－3，0,0)． 因PA ⊥底面ABCD ，可设P (0，－3，z )．由F 为PC 边中点，知F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－1，z 2.又AF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2，z 2，PB ＝(3，3，－z )，AF ⊥PB ，故AF ·PB ＝0，即6－z 22＝0，z ＝23(舍去－23)，所以|PA |＝2 3.(2)由(1)知AD ＝(－3，3,0)，AB ＝(3，3,0)，AF ＝(0,2，3)．设平面FAD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面FAB 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，由n 1·AD ＝0，n 1·AF ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ －3x 1＋3y 1＝0，2y 1＋3z 1＝0，因此可取n 1＝(3，3，－2)． 由n 2·AB ＝0，n 2·AF ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x 2＋3y 2＝0，2y 2＋3z 2＝0，故可取n 2＝(3，－3，2)． 从而法向量n 1，n 2的夹角的余弦值为cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝18. 故二面角B AF D 的正弦值为378.建立空间直角坐标系的根本思想是寻找其中的线线垂直关系此题利用AC ⊥BD ，假设图中存在交于一点的三条直线两两垂直，那么以该点为原点建立空间直角坐标系.在没有明显的垂直关系时，要通过其他条件得到垂直关系，在此根底上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系，注意建立的空间直角坐标系是右手系，正确确定坐标轴的名称.例2、如图，在空间几何体中，平面ACD ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝CA ＝DA ＝DC ＝BE ＝2.BE 与平面ABC 所成的角为60°，且点E 在平面ABC 内的射影落在∠ABC 的平分线上．(1)求证：DE ∥平面ABC ；(2)求二面角E BC A 的余弦值．解：证明：(1)易知△ABC ，△ACD 都是边长为2的等边三角形，取AC 的中点O ，连接BO ，DO ，那么BO ⊥AC ，DO ⊥AC . ∵平面ACD ⊥平面ABC ， ∴DO ⊥平面ABC . 作EF ⊥平面ABC ，那么EF ∥DO . 根据题意，点F 落在BO 上， ∴∠EBF ＝60°， 易求得EF ＝DO ＝3，∴四边形DEFO 是平行四边形，DE ∥OF . ∵DE ⊄平面ABC ，OF ⊂平面ABC ，∴DE ∥平面ABC .(2)建立如下列图的空间直角坐标系O xyz ，可求得平面ABC 的一个法向量为n 1＝(0,0,1)． 可得C (－1,0,0)，B (0，3，0)，E (0，3－1，3)，那么CB ＝(1，3，0)，BE ＝(0，－1，3)．设平面BCE 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )，那么可得n 2·CB ＝0，n 2·BE ＝0，即(x ，y ，z )·(1，3，0)＝0，(x ，y ，z )·(0，－1，3)＝0，可取n 2＝(－3，3，1)．故cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 1|n 1|·|n 2|＝1313. 又由图知，所求二面角的平面角是锐角， 故二面角E BC A 的余弦值为1313. 专题训练1.如下列图，在多面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，上、下两个底面A 1B 1C 1D 1和ABCD 互相平行，且都是正方形，DD 1⊥底面ABCD ，AB ∥A 1B 1，AB ＝2A 1B 1＝2DD 1＝2a .(1)求异面直线AB 1与DD 1所成角的余弦值；(2)F 是AD 的中点，求证：FB 1⊥平面BCC 1B 1.解：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如下列图的空间直角坐标系，那么A (2a,0,0)，B (2a,2a,0)，C (0,2a,0)，D 1(0,0，a )，F (a,0,0)，B 1(a ，a ，a )，C 1(0，a ，a )．(1)∵1AB ＝(－a ，a ，a )，1DD ＝(0,0，a )，∴cos 〈1AB ，1DD 〉＝1AB ·1DD |1AB |·|1DD |＝33， 所以异面直线AB 1与DD 1所成角的余弦值为33. (2)证明：∵1BB ＝(－a ，－a ，a )，BC ＝(－2a,0,0)，1FB ＝(0，a ，a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧1FB ·1BB ＝0， 1FB ·BC ＝0.∴FB 1⊥BB 1，FB 1⊥BC . ∵BB 1∩BC ＝B ，∴FB 1⊥平面BCC 1B 1.2．如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5.(1)求证：AA 1⊥平面ABC ； (2)求二面角A 1BC 1B 1的余弦值；(3)证明：在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，并求 BD BC 1的值．解：(1)证明：因为四边形AA 1C 1C 为正方形，所以AA 1⊥AC .因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，且AA 1垂直于这两个平面的交线AC ，所以AA 1⊥平面ABC .(2)由(1)知AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB . 由题知AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4，所以AB ⊥AC . 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz ，那么B (0,3,0)，A 1(0,0,4)，B 1(0,3,4)，C 1(4,0,4)，1A B ＝(0,3，－4)，11A C ＝(4,0,0)．设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 那么⎩⎪⎨⎪⎧n ·1A B ＝0，n ·11A C ＝0.即⎩⎨⎧3y －4z ＝0，4x ＝0.令z ＝3，那么x ＝0，y ＝4，所以n ＝(0,4,3)．同理可得，平面B 1BC 1的一个法向量为m ＝(3,4,0)．所以cos 〈 n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝1625.由题知二面角A 1BC 1B 1为锐角，所以二面角A 1BC 1B 1的余弦值为1625.(3)证明：设D (x ，y ，z )是直线BC 1上一点，且BD ＝λ1BC . 所以(x ，y －3，z )＝λ(4，－3,4)．解得x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ.所以AD ＝(4λ，3－3λ，4λ)．由AD ·1A B ＝0，即9－25λ＝0，解得λ＝925.因为925∈[0,1]，所以在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B .此时，BD BC 1＝λ＝925. 3．如图(1)，四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，DB ＝2，DC ＝1，BC ＝5，AB ＝AD ＝ 2.将图(1)沿直线BD 折起，使得二面角A BD C 为60°，如图(2)．(1)求证：AE ⊥平面BDC ；(2)求直线AC 与平面ABD 所成角的余弦值．解：(1)证明：取BD 的中点F ，连接EF ，AF ，那么AF ＝1，EF ＝12，∠AFE ＝60°.由余弦定理知AE ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－2×1×12cos 60°＝32.∵AE 2＋EF 2＝AF 2，∴AE ⊥EF .∵AB ＝AD ，F 为BD 中点．∴BD ⊥AF . 又BD ＝2，DC ＝1，BC ＝5，∴BD 2＋DC 2＝BC 2，即BD ⊥CD .又E 为BC 中点，EF ∥CD ，∴BD ⊥EF .又EF ∩AF ＝F ， ∴BD ⊥平面AEF .又BD ⊥AE ，∵BD ∩EF ＝F ，∴AE ⊥平面BDC . (2)以E 为原点建立如下列图的空间直角坐标系，那么A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32， C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，0，B ⎝⎛⎭⎪⎫1，－12，0，D ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12，0，DB ＝(2,0,0)，DA ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，12，32，AC ＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，12，－32. 设平面ABD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB ＝0n ·DA ＝0得⎩⎨⎧2x ＝0，x ＋12y ＋32z ＝0，取z ＝3，那么y ＝－3，又∵n ＝(0，－3，3)．∴cos 〈n ，AC 〉＝n ·AC|n ||AC |＝－64.故直线AC 与平面ABD 所成角的余弦值为104.4．如下列图，在矩形ABCD 中，AB ＝35，AD ＝6，BD 是对角线，过点A 作AE ⊥BD ，垂足为O ，交CD 于E ，以AE 为折痕将△ADE 向上折起，使点D 到点P 的位置，且PB ＝41.(1)求证：PO ⊥平面ABCE ； (2)求二面角E AP B 的余弦值．解：(1)证明：由得AB ＝35，AD ＝6，∴BD ＝9. 在矩形ABCD 中，∵AE ⊥BD ，∴Rt △AOD ∽Rt △BAD ，∴DO AD ＝ADBD，∴DO ＝4，∴BO ＝5.在△POB 中，PB ＝41，PO ＝4，BO ＝5，∴PO 2＋BO 2＝PB 2， ∴PO ⊥OB .又PO ⊥AE ，AE ∩OB ＝O ，∴PO ⊥平面ABCE . (2)∵BO ＝5，∴AO ＝AB 2－OB 2＝2 5.以O 为原点，建立如下列图的空间直角坐标系，那么P (0,0,4)，A (25，0,0)，B (0,5,0)，PA ＝(25，0，－4)，PB ＝(0,5，－4)．设n 1＝(x ，y ，z )为平面APB 的法向量．那么⎩⎪⎨⎪⎧n 1·PA ＝0，n 1·PB ＝0，即⎩⎨⎧25x －4z ＝0，5y －4z ＝0.取x ＝25得n 1＝(25，4,5)．又n 2＝(0,1,0)为平面AEP 的一个法向量，∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝461×1＝46161，故二面角E AP B 的余弦值为46161.5.如图，在四棱锥P ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA ＝PD ＝2，PA ⊥PD ，底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AB ＝BC ＝1，O 为AD 中点．(1)求直线PB 与平面POC 所成角的余弦值； (2)求B 点到平面PCD 的距离；(3)线段PD 上是否存在一点Q ，使得二面角Q AC D 的余弦值为63？假设存在，求出PQQD的值；假设不存在，请说明理由． 解：(1)在△PAD 中，PA ＝PD ，O 为AD 中点，所以PO ⊥AD .又侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD .又在直角梯形ABCD 中，连接OC ，易得OC ⊥AD ，所以以O 为坐标原点，OC ，OD ，OP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，那么P (0,0,1)，A (0，－1,0)，B (1，－1,0)，C (1,0,0)，D (0,1,0)，∴PB ＝(1，－1，－1)，易证OA ⊥平面POC ，∴OA ＝(0，－1,0)是平面POC 的法向量， cos 〈PB ，OA 〉＝PB ·OA| PB ||OA |＝33. ∴直线PB 与平面POC 所成角的余弦值为63.(2) PD ＝(0,1，－1)，CP ＝(－1,0,1)．设平面PDC 的一个法向量为u ＝(x ，y ，z )，那么⎩⎪⎨⎪⎧u ·CP ＝－x ＋z ＝0，u ·PD ＝y －z ＝0，取z ＝1，得u ＝(1,1,1)．∴B 点到平面PCD 的距离为d ＝|BP ·u ||u |＝33. (3)假设存在一点Q ，那么设PQ ＝λPD (0<λ<1)．∵PD ＝(0,1，－1)， ∴PQ ＝(0，λ，－λ)＝OQ －OP ，∴OQ ＝(0，λ，1－λ)，∴Q (0，λ，1－λ)． 设平面CAQ 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，又AC ＝(1,1,0)，AQ ＝(0，λ＋1,1－λ)，那么⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC ＝x ＋y ＝0，m ·AQ ＝λ＋1y ＋1－λz ＝0.取z ＝λ＋1，得m ＝(1－λ，λ－1，λ＋1)，又平面CAD 的一个法向量为n ＝(0,0,1)，二面角Q AC D 的余弦值为63， 所以|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝63，得3λ2－10λ＋3＝0，解得λ＝13或λ＝3(舍)，所以存在点Q ，且PQ QD ＝12.6．如图，在四棱锥S ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，侧棱SA ⊥底面ABCD ，AB 垂直于AD 和BC ，SA ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝1.M 是棱SB 的中点．(1)求证：AM ∥平面SCD ；(2)求平面SCD 与平面SAB 所成二面角的余弦值；(3)设点N 是直线CD 上的动点，MN 与平面SAB 所成的角为θ，求sin θ的最大值． 解：(1)以点A 为原点建立如下列图的空间直角坐标系，那么A (0,0,0)，B (0,2,0)，C (2,2,0)，D (1,0,0)，S (0,0,2)，M (0,1,1)．所以AM ＝(0,1,1)，SD ＝(1,0，－2)，CD ＝(－1，－2,0)．设平面SCD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，那么⎩⎪⎨⎪⎧SD ·n ＝0，CD ·n ＝0，即⎩⎨⎧x －2z ＝0，－x －2y ＝0.令z ＝1，那么x ＝2，y ＝－1，于是n ＝(2，－1,1)．∵AM ·n ＝0，∴AM ⊥n .又AM ⊄平面SCD ， ∴AM ∥平面SCD .(2)易知平面SAB 的一个法向量为n 1＝(1,0,0)．设平面SCD 与平面SAB 所成的二面角为φ，那么|cos φ|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n |n 1|·|n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1，0，0·2，－1，11·6＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪21·6＝63，即cosφ＝63. ∴平面SCD 与平面SAB 所成二面角的余弦值为63. (3)设N (x,2x －2,0)(x ∈[1,2])，那么MN ＝(x,2x －3，－1)． 又平面SAB 的一个法向量为n 1＝(1,0,0)， ∴sin θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ，2x －3，－1·1，0，0x 2＋2x －32＋－12·1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 5x 2－12x ＋10＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪15－12·1x ＋10·1x 2＝110⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋5＝110⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －352＋75.当1x ＝35，即x ＝53时，(sin θ)max ＝357. 7、如图，四边形ABEF 和四边形ABCD 均是直角梯形，∠FAB ＝∠DAB ＝90°，AF ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝1，FA ⊥CD .(1)证明：在平面BCE 上，一定存在过点C 的直线l 与直线DF 平行； (2)求二面角F CD A 的余弦值．解：(1)证明：由得，BE ∥AF ，BC ∥AD ，BE ∩BC ＝B ，AD ∩AF ＝A ， ∴平面BCE ∥平面ADF . 设平面DFC ∩平面BCE ＝l ，那么l 过点C . ∵平面BCE ∥平面ADF ，平面DFC ∩平面BCE ＝l ， 平面DFC ∩平面ADF ＝DF .∴DF ∥l ，即在平面BCE 上一定存在过点C 的直线l ，使得DF ∥l . (2)∵FA ⊥AB ，FA ⊥CD ，AB 与CD 相交，∴FA ⊥平面ABCD .故以A 为原点，AD ，AB ，AF 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图．由得，D (1,0,0)，C (2,2,0)，F (0,0,2)，∴DF ＝(－1,0,2)，DC ＝(1,2,0)．设平面DFC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，那么⎩⎪⎨⎪⎧n ·DF ＝0，n ·DC ＝0⇒⎩⎨⎧x ＝2z ，x ＝－2y ，不妨设z ＝1.那么n ＝(2，－1,1)，不妨设平面ABCD 的一个法向量为m ＝(0,0,1)．∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝16＝66，由于二面角F CD A 为锐角，∴二面角F CD A 的余弦值为66. 8、.如图，在四棱锥P ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，AC ＝2，BD ＝23，E 是PB 上任意一点． (1)求证：AC ⊥DE ； (2)二面角A PB D 的余弦值为155，假设E 为PB 的中点，求EC 与平面PAB 所成角的正弦值．解：(1)证明：∵PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥AC ， ∵四边形ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC ，又BD ∩PD ＝D ，∴AC ⊥平面PBD ，∵DE ⊂平面PBD ，∴AC ⊥DE .(2)在△PDB 中，EO ∥PD ，∴EO ⊥平面ABCD ，分别以OA ，OB ，OE 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设PD ＝t ，那么A (1,0,0)，B (0，3，0)，C (－1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，t 2，P (0，－3，t )，AB ＝(－1，3，0)，AP ＝(－1，－3，t )．由(1)知，平面PBD 的一个法向量为n 1＝(1,0,0)，设平面PAB 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )，那么根据⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AB ＝0，n 2·AP ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3y ＝0，－x －3y ＋tz ＝0，令y ＝1，得n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，1，23t .∵二面角A PB D 的余弦值为155，那么|cos 〈n 1，n 2〉|＝155，即 34＋12t2＝155，解得t ＝23或t ＝－23(舍去)，∴P (0，－3，23)．设EC 与平面PAB 所成的角为θ，∵EC ＝(－1,0，－3)，n 2＝(3，1,1)，那么sin θ＝|cos 〈EC ，n 2〉|＝232×5＝155，∴EC 与平面PAB 所成角的正弦值为155. 9、如图1，A ，D 分别是矩形A 1BCD 1上的点，AB ＝2AA 1＝2AD ＝2，DC ＝2DD 1，把四边形A 1ADD 1沿AD 折叠，使其与平面ABCD 垂直，如图2所示，连接A 1B ，D 1C 得几何体ABA 1DCD 1.(1)当点E 在棱AB 上移动时，证明：D 1E ⊥A 1D ；(2)在棱AB 上是否存在点E ，使二面角D 1EC D 的平面角为π6？假设存在，求出AE 的长；假设不存在，请说明理由．解：(1)证明，如图，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz ，那么D (0,0,0)，A (1,0,0)，C (0,2,0)，A 1(1,0,1)，D 1(0,0,1)．设E (1，t,0)，那么1D E ＝(1，t ，－1)，1A D ＝(－1,0，－1)，∴1D E ·1A D ＝1×(－1)＋t ×0＋(－1)×(－1)＝0， ∴D 1E ⊥A 1D .(2)假设存在符合条件的点E .设平面D 1EC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由(1)知EC ＝(－1,2－t,0)，那么⎩⎪⎨⎪⎧n ·EC ＝0，n ·1D E ＝0得⎩⎨⎧－x ＋2－t y ＝0，x ＋ty －z ＝0，令y ＝12，那么x ＝1－12t ，z ＝1，∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12t ，12，1是平面D 1EC 的一个法向量，显然平面ECD 的一个法向量为1DD ＝(0,0,1)， 那么cos 〈n ，1DD 〉＝|n ·1DD ||n ||1DD |＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12t 2＋14＋1＝cos π6，解得t ＝2－33(0≤t ≤2)．故存在点E ，当AE ＝2－33时，二面角D 1EC D 的平面角为π6.。
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向量法解立体几何立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。
一、基本工具1.数量积： cos a b a b θ⋅=2.射影公式：向量a 在b 上的射影为a bb⋅ 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ，方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量（略） 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系线线平行⇔两线的方向向量平行线面平行⇔线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行⇔两面的法向量平行 2.垂直关系线线垂直（共面与异面）⇔两线的方向向量垂直 线面垂直⇔线与面的法向量平行 面面垂直⇔两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的距离为(PQ x =2.点线距离求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离： 方法：在直线上取一点(),Q x y ，则向量PQ 在法向量(),n A B =上的射影PQ n n⋅=即为点P 到l 的距离. 3.点面距离求点()00,P x y 到平面α的距离：方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ ，计算平面α的法向量n ，计算PQ 在α上的射影，即为点P 到面α的距离.四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面）线线夹角⇔两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角求线面夹角的步骤：① 先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角； ②再求其余角，即是线面的夹角. 3.面面夹角（二面角）若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.一、运用法向量求空间角向量法求空间两条异面直线a, b 所成角θ，只要在两条异面直线a, b 上各任取一个向量''AA BB 和，则角<','AA BB >=θ或π-θ，因为θ是锐角，所以cos θ=''''AA BB AA BB ⋅⋅, 不需要用法向量。
1、运用法向量求直线和平面所成角设平面α的法向量为n =（x, y, 1)，则直线AB 和平面α所成的角θ的正弦值为sin θ= cos(2π-θ) = |cos<AB , n >| =AB AB n n••2、运用法向量求二面角设二面角的两个面的法向量为12,n n ，则<12,n n >或π-<12,n n >是所求角。
这时要借助图形来判断所求角为锐角还是钝角，来决定<12,n n >是所求，还是π-<12,n n >是所求角。
二、运用法向量求空间距离1、求两条异面直线间的距离设异面直线a 、b 的公共法向量为(,,)n x y z =，在a 、b 上任取一点A 、B ，则异面直线a 、b 的距离d =AB ·cos ∠BAA＇=||||AB n n •略证：如图，EF 为a 、b 的公垂线段，a ＇为过F 与a 平行的直线，在a 、b 上任取一点A 、B ，过A 作AA＇//EF ，交a ＇于A＇，则¡¯//AA n ，所以∠BAA ＇=<,BA n >（或其补角）∴异面直线a 、b 的距离d =AB ·cos ∠BAA＇=||||AB n n • *其中，n 的坐标可利用a 、b 上的任一向量,a b （或图中的,AE BF ），及n 的定义得00n a n a n b n b ⎧⎧⊥•=⎪⎪⇒⎨⎨⊥•=⎪⎪⎩⎩ ① 解方程组可得n 。
2、求点到面的距离求A 点到平面α的距离，设平面α的法向量法为(,,1)n x y =，在α内任取一点B ，则A 点到平面α的距离为d =||||AB n n •，n 的坐标由n 与平面α内的两个不共线向量的垂直关系，得到方程组（类似于前面所述, 若方程组无解，则法向量与XOY 平面平行，此时可改设(1,,0)n y =，下同）。
3、求直线到与直线平行的平面的距离求直线a 到平面α的距离，设平面α的法向量法为(,,1)n x y =，在直线a 上任取一点A ，在平面α内任取一点B ，则直线a 到平面α的距离d =||||AB n n • 4、求两平行平面的距离设两个平行设平面α、β的公共法向量法为(,,1)n x y =，在平面α、β内各任取一点A 、B ，则平面α到平面β的距离 d =||||AB n n • 三、证明线面、面面的平行、垂直关系设平面外的直线a 和平面α、β，两个面α、β的法向量为12,n n ，则1a//a n α⇔⊥ 1a a//n α⊥⇔12////n n αβ⇔ 12n n αβ⊥⇔⊥四、应用举例：例1：如右下图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,已知AB= 4, AD =3, AA 1= 2. E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB= FB=1. (1) 求二面角C —DE —C 1的正切值; (2) 求直线EC 1与FD 1所成的余弦值.解：（I ）以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为x 轴，y 轴,z 轴的正向建立空间直角坐标系，则D(0,3,0)、D 1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C 1(4,3,2)于是，11(3,3,0),(1,3,2),(4,2,2)DE EC FD =-==- 设法向量(,,2)n x y =与平面C 1DE 垂直，则有13301320n DE x y x y x y z n EC ⊥-=⇒⇒==-++=⊥⎫⎫⎪⎬⎬⎭⎪⎭11111(1,1,2),(0,0,2),cos 3||||1tan 2n AA CDE n AA C DE C nAA n AA θθθ∴=--=∴--•-===⨯∴=向量与平面垂直与所成的角为二面角的平面角 （II ）设EC 1与FD 1所成角为β，则1111cos 14||||1EC FD EC FD β•===⨯例2：如图，已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是菱形，∠DAB=600，PD ⊥平面ABCD ，PD=AD ，点E 为AB 中点，点F 为PD 中点。
（1）证明平面PED ⊥平面PAB ； （2）求二面角P-AB-F 的平面角的余弦值 证明：（1）∵面ABCD是菱形，∠DAB=600，∴△ABD 是等边三角形，又E 是AB 中点，连结BD ∴∠EDB=300，∠BDC=600，∴∠EDC=900，如图建立坐标系D-ECP ，设AD=AB=1，则PF=FD=12，， ∴ P （0，0，1），E 0，0），B12，0） ∴PB =（2，12，-1），PE = （2，0，-1）， 平面PED 的一个法向量为DC =（0，1，0） ，设平面PAB 的法向量为n =（x, y, 1)由11(,,1),1)01022(,,1)1)010x y x y xn PBn PE yx y x⎧⎧•-=--=⎪⎧=⊥⎪⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨⊥⎪⎪⎪⎩=•-=-=⎩⎪⎩∴n=∵DC·n=0 即DC⊥n∴平面PED⊥平面PAB（2）解：由（1）知：平面PAB的法向量为n=0, 1), 设平面FAB的法向量为n1=（x, y, -1)，由（1）知：F（0，0，12），FB=，12，-12），FE =0，-12），由111111(,,1)(,)00222222110(,,1))0022x y x y xn FBn FE yx y x⎧⎧-•-=-+=⎪⎧=⊥⎪⎪⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨⊥⎪⎪⎪⎩=-•-=+=⎩⎪⎩∴n1=（, 0, -1)∴二面角P-AB-F的平面角的余弦值cosθ= |cos<n, n1>|=11n5714nnn•=•例3：在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1=4CP.(Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；(Ⅱ)设O 点在平面D 1AP 上的射影是H ，求证：D 1H ⊥AP ； (Ⅲ)求点P 到平面ABD 1的距离. 解: (Ⅰ)如图建立坐标系D-ACD 1, ∵棱长为4∴A （4，0，0），B （4，4，0），P （0，4，1） ∴AP = (-4, 4, 1) , 显然DC =（0，4，0）为平面BCC 1B 1的一个法向量∴直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角θ的正弦值sin θ= |cos<AP ,DC >|=22216433334414=++• ∵θ为锐角，∴直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角θ为arcsin 43333(Ⅲ) 设平面ABD 1的法向量为n =（x, y, 1)，∵AB =（0，4，0），1AD =（-4，0，4）由n ⊥AB ，n ⊥1AD 得0440y x =⎧⎨-+=⎩ ∴ n =（1, 0, 1)，∴点P 到平面ABD 1的距离 d =322AP n n•= 例4：在长、宽、高分别为2，2，3的长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 是底面中心，求A 1O 与B 1C 的距离。
解：如图，建立坐标系D-ACD 1，则O （1，1，0），A 1（2，2，3），C （0，2，0）1(1,1,3)AO=--1(2,0,3)B C=--11(0,2,0)A B =设A1O与B1C的公共法向量为(,,1)n x y=，则11(,,1)(1,1,3)030(,,1)(2,0,3)0230n AO x y x yx y xn B C⎧⊥•--=-+-=⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨•--=--=⊥⎩⎩⎪⎩∴33(,,1)22n=-∴ A1O与B1C的距离为d =(110,2,0||11||A B nn•===⎛例5：在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1、C1D1的中点，求A1到面BDFE的距离。
解：如图，建立坐标系D-ACD1，则B（1，1，0），A1（1，0，1），E（12，1，1）∴(1,1,0)BD=--1(,0,1)2BE=-1(0,1,1)A B=-设面BDFE的法向量为(,,1)n x y=，则(,,1)(1,1,0)0011(,,1)(,0,1)01022x y x yn BDx y xn BE•--=--=⎧⎧⎧⊥⎪⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨•-=-+=⊥⎩⎪⎪⎪⎩⎩⎩∴(2,2,1)n=-∴ A1到面BDFE的距离为d =(10,1,|||3|13||A B nn•-===。