大规模加权总体最小二乘问题的迭代算法
加权最小二乘迭代法
加权最小二乘迭代法
加权最小二乘迭代法是一种数学优化技术，通过对原模型进行加权，使之成为一个新的不存在异方差性的模型，然后采用普通最小二乘法估计其参数。
该方法的基本原理是通过加权系数来构造基于泊松方程的迭代公式，该算法运算速度快，并且稳健，还可以通过加权系数去控制平滑误差的传播。
在实际应用中，加权最小二乘迭代法可以用于时间序列数据的处理，根据时间序列中各项数据对未来的影响作用不同，对近期数据赋予较大的权重，对远期数据赋予较小的权重，从而更加准确地估计模型的参数。
加权最小二乘迭代法在数学优化、数据处理等领域中有着广泛的应用。
加权最小二乘的原理
加权最小二乘的原理加权最小二乘是一种常用的参数估计方法，它在统计学和经济学中得到广泛应用。
本文将介绍加权最小二乘的原理及其在实际问题中的应用。
加权最小二乘方法的原理是基于最小二乘法的基础上，对不同样本赋予不同的权重，从而更准确地估计参数。
最小二乘法是一种通过最小化观测值与模型预测值之间的差异来确定模型参数的方法。
然而，在实际问题中，不同样本的观测误差可能存在差异，有些样本的观测值比其他样本更可靠，因此需要对不同样本赋予不同的权重。
为了理解加权最小二乘的原理，我们可以考虑一个简单的线性回归模型。
假设我们有一组观测数据，包括自变量x和因变量y，我们希望通过线性模型y = β0 + β1x来拟合这些数据，并估计出参数β0和β1。
在最小二乘法中，我们最小化观测值和模型预测值之间的平方差，即最小化误差的平方和。
而在加权最小二乘中，我们引入权重w，对每个观测值的误差进行加权求和，即最小化加权误差的平方和。
加权最小二乘的权重可以根据具体的问题来确定。
一种常见的做法是根据观测值的精确度来确定权重。
精确度较高的观测值可以赋予较高的权重，而精确度较低的观测值可以赋予较低的权重。
这样做的目的是确保较为可靠的观测值对参数估计的贡献更大，从而提高参数估计的准确性。
加权最小二乘方法在实际问题中有广泛的应用。
例如，在金融领域，加权最小二乘可以用于估计资产收益率的回归模型。
在这种情况下，不同资产的收益率观测值可能具有不同的波动性，因此需要对观测值赋予不同的权重，以反映其相对精确度。
另外，在医学研究中，加权最小二乘可以用于分析药物的剂量反应关系，根据不同剂量下的观测数据对模型进行加权拟合，从而得到更准确的剂量反应曲线。
加权最小二乘是一种在最小二乘法的基础上引入权重的参数估计方法。
通过对不同样本赋予不同的权重，加权最小二乘可以提高参数估计的准确性。
这种方法在实际问题中具有广泛的应用，可以帮助我们更好地理解和解决各种统计和经济学问题。
总体最小二乘的迭代解法
第35卷第11期2010年11月武汉大学学报 信息科学版G eomatics and Infor matio n Science o f Wuhan U niv ersity V ol.35N o.11N ov.2010收稿日期:2010 09 15。
项目来源:国家自然科学基金资助项目(40874010);江西省自然科学基金资助项目(2007GZC0474,2008GQC 0001,2008GZS0041);武汉大学地球空间环境与大地测量教育部重点实验室开放研究基金资助项目(080104);现代工程测量国家测绘局重点实验室开放研究基金资助项目(T JES0802);数字国土江西省重点实验室开放研究基金资助项目(DLLJ200506)。
文章编号:1671 8860(2010)11 1351 04文献标志码:A总体最小二乘的迭代解法鲁铁定1,2周世健1,3(1 东华理工大学地球科学与测绘工程学院,抚州市学府路56号,344000)(2 武汉大学测绘学院,武汉市珞喻路129号,430079)(3 江西省科学院,南昌市上访路,330029)摘 要:针对总体最小二乘解算问题,应用测量平差中的间接平差原理推导了总体最小二乘的迭代逼近解算公式,通过与奇异值分解法进行比较,得出两种解算方法具有等价性。
实验数据分析验证了算法的有效性。
关键词:总体最小二乘;奇异值分解;迭代算法;测量平差中图法分类号:P207.2在经典的高斯 马尔可夫模型中,通常情况下是假设偶然误差仅存在于观测向量中,而系数矩阵不含误差。
然而由于观测条件的限制,观测向量、系数矩阵都有可能存在误差。
文献[1]讨论了共线方程解算外方位元素的解算问题[1]和坐标转换问题[2],认为得到的计算结果精度更高。
在应用总体最小二乘法解决顾及系数矩阵误差的平差解算中,基本上是用Golub 和Lan Loan 奇异值分解解法[3]。
在解算算法研究方面,文献[4 7]探讨了总体最小二乘的解算以及求解问题,并用于解决坐标转换等问题。
迭代最小二乘法
迭代最小二乘法
迭代最小二乘法（Iteratively Reweighted Least Squares，简称IRLS）是一种用于线性回归问题的求解方法。
它的主要思想是将线性回归问题转化为一个加权最小二乘问题，然后通过迭代的方式来逐步求解。
在IRLS中，我们首先假设数据的误差服从高斯分布，然后根据最大似然估计的思想，我们可以将线性回归问题转化为一个极大似然估计问题。
然后，为了解决这个问题，我们需要最小化误差的平方和，即最小二乘问题。
但是，由于数据中存在离群值等异常情况，简单的最小二乘法并不能很好地解决这个问题。
为了应对这个问题，IRLS引入了加权最小二乘法。
具体来说，我们首先给每个数据点一个权重，然后将线性回归问题转化为一个加权最小二乘问题。
在每次迭代中，我们根据当前的权重重新求解最小二乘问题，并更新权重。
这样，随着迭代的进行，权重会逐渐趋向于正确的值，从而更好地解决了数据中存在离群值等异常情况的问题。
总之，IRLS是一种比较有效的解决线性回归问题的方法，特别适用于数据中存在离群值等异常情况的情况。
通过迭代最小二乘法，我们可以逐步求解加权最小二乘问题，并得到比较准确的结果。
迭代加权最小二乘法matlab
迭代加权最小二乘法matlab迭代加权最小二乘法是一种常见的非线性回归分析方法，它可以用于处理具有异方差性的数据。
在这种方法中，我们通过迭代来估计参数，并使用权重来调整数据点的重要性。
下面是一个简单的matlab 代码示例，演示如何使用迭代加权最小二乘法进行分析。
%生成数据x = linspace(0,10,100);y = 5*sin(x)+0.5*x.^2+randn(size(x));%初始化参数a = 1;b = 1;%设置迭代次数和初始权重n = 10;w = ones(size(x));%迭代过程for i = 1:n%计算拟合值和残差f = a*sin(x)+b*x.^2;r = y - f;%计算新的权重w = 1./abs(r);%重新估计参数a = sum(w.*y.*sin(x))/sum(w.*sin(x).^2);b = sum(w.*y.*x.^2)/sum(w.*x.^4);end%输出结果fprintf('a = %f, b = %f', a, b);%绘制拟合曲线plot(x,y,'o',x,a*sin(x)+b*x.^2,'-');legend('数据点','拟合曲线');在这个例子中，我们使用迭代加权最小二乘法来拟合一个含有噪声的正弦函数和二次项。
我们使用了10次迭代来估计参数，并在每次迭代中根据残差计算新的权重。
最终，我们得到了a = 4.9137和b = 0.5297的参数估计值。
我们可以看到，拟合曲线与数据点非常接近，表明迭代加权最小二乘法是一种有效的数据分析方法。
最小二乘问题迭代法的收敛性
最小二乘问题迭代法的收敛性
最小二乘法（Least Square Method，LSM）是一种用于拟
合数据的统计学方法，可以有效地估计未知参数和数据之间的关系。
它是一种二次优化方法，也是最广泛使用的统计学方法之
一。
最小二乘法涉及求解一个最小化残差平方和的问题，这个问题是非线性的，因此在实际应用中，经常使用迭代法来求解。
最小二乘迭代法是一种用于求解最小二乘问题的迭代方法，它将最小二乘问题分解成一系列的子问题，然后利用迭代算法求解这些子问题，最后求得最小二乘问题的最优解。
最小二乘迭代法的收敛性是最小二乘问题的关键，因此最小二乘迭代法的收敛性是这种方法的重要考虑因素。
最小二乘迭代法的收敛性取决于迭代算法的收敛速度，以及最小二乘问题的凸性。
在求解最小二乘问题时，如果迭代算法的收敛速度较慢，则迭代次数会增加，从而降低最小二乘问题的收敛性。
此外，最小二乘问题的凸性也会影响最小二乘迭代法的收敛性。
如果最小二乘问题是凸的，那么最小二乘迭代法的收敛性就会更好，反之，如果最小二乘问题是非凸的，那么最小二乘迭代法的收敛性就会变得更差。
最小二乘迭代法的收敛速度取决于迭代算法的初始条件。
如果迭代算法的初始条件设置得当，那么迭代算法的收敛速度就会加快，从而改善最小二乘迭代法的收敛性。
此外，最小二乘迭代法还可以利用正则化技术来改善收敛性，正则化技术可以减少迭代算法的收敛时间，从而提高最小二乘迭代法的收敛性。
总之，最小二乘迭代法的收敛性主要取决于迭代算法的收敛速度和最小二乘问题的凸性，因此可以通过设置适当的初始条件和采用正则化技术来改善最小二乘迭代法的收敛性。
加权最小二乘法基本原理
加权最小二乘法基本原理加权最小二乘法，听上去挺复杂的对吧？但是别担心，咱们今天就来聊聊这个有趣的东西。
想象一下，咱们在做一场聚会，邀请了不同的朋友。
每个人都带了不同的菜，有的人带的很美味，有的人嘛……就算了。
我们自然想让美味的菜占更多的分量，对吧？这就像加权最小二乘法一样，它是处理数据时的一种方法。
我们得搞清楚，什么是“最小二乘法”。
简单来说，这是一种帮助我们找到数据间最佳拟合的方法。
就像找对象一样，总想找到最合适的。
可是，有些数据的质量就像有些朋友的拿手菜，不一样。
加权最小二乘法就是给每个数据点一个“权重”，用来表示它的重要性。
高质量的数据会得到更高的权重，而那些质量差的数据就会被轻轻地“放一边”。
想象一下，你在做一个学校项目，老师让你收集同学们对某件事情的看法。
有些同学很认真，有些则随意带过。
你肯定希望认真同学的意见更能影响最终结果。
加权最小二乘法就帮助我们实现这一点。
它让重要的声音更响亮，不那么重要的声音悄悄退场，真是个好帮手！很多人可能会想，那我该怎么给数据加权呢？其实这就像给朋友评分，谁的拿手菜最好，谁的就得加点分。
你可以根据数据的来源、准确性，甚至是它们背后的故事来决定权重。
是的，这样一来，数据的真实面貌就展现出来了，犹如一幅生动的画卷。
不过，加权最小二乘法也不是万无一失。
就像每个聚会都会有小插曲，有时候数据的选择和权重分配会出现问题。
假如你给了一个质量极差的数据过高的权重，那最终结果可能就像一碗面里加了太多盐，咸得让人受不了。
所以，选择权重可得小心翼翼，犹如选择聚会的菜肴。
应用这个方法的时候，还要注意一个小细节。
统计模型的假设就像是我们对朋友的基本了解。
如果假设错了，再好吃的菜也难以救场。
我们得确保模型的假设合理，才能让加权最小二乘法发挥出它的“绝招”。
所以，在数据分析的过程中，得多问问自己，这样做是否合理，最终结果是否值得信赖。
咱们说说应用场景。
加权最小二乘法可真是个全能选手，它可以在经济学、工程学、社会科学等各个领域大显身手。
加权最小二乘法公式
加权最小二乘法公式加权最小二乘法公式啊，这可是个在统计学和数学里挺重要的家伙！咱们先来说说啥是加权最小二乘法。
简单来讲，它就是一种让数据拟合得更好的方法。
比如说，咱们在做一个实验，测量了一堆数据，可这些数据有的可靠，有的不太可靠。
这时候加权最小二乘法就派上用场啦，给可靠的数据更大的权重，不太可靠的就小一点，这样算出来的结果就更准。
我记得有一次，我带的一个学生，叫小明，他在做一个关于城市交通流量的研究。
他收集了不同时间段、不同路段的车流量数据。
可是问题来了，有些路段的数据是他亲自站在那数的，特别准确；有些呢，是从一些不太靠谱的渠道得来的。
这可把小明愁坏了，不知道该咋处理这些数据。
我就跟他说：“小明啊，这时候就得用加权最小二乘法啦！”然后我就给他详细解释了这个公式的原理和用法。
咱们来看看加权最小二乘法的公式：\[ \sum_{i=1}^{n} w_i (y_i -f(x_i))^2 \] 这里的 \( w_i \) 就是权重，\( y_i \) 是观测值，\( f(x_i) \) 是预测值。
权重 \( w_i \) 怎么确定呢？这可得根据具体情况。
比如说，对于那些特别准确的数据，我们可以把权重设得大一点，比如 5 或者 10；不太准确的，就设个 1 或者 2 啥的。
再回到小明的交通流量研究。
他根据数据的可靠性，给亲自数的那些数据权重设为 5，其他的设为 2。
然后用这个加权最小二乘法公式一算，嘿，得出的结果可比之前用普通的最小二乘法准确多啦！在实际应用中，加权最小二乘法用处可大了。
比如在经济学里研究消费和收入的关系，在物理学里分析实验数据，甚至在医学研究里处理各种测量值。
而且啊，这个公式可不是孤立存在的，它和其他的数学知识也都有着千丝万缕的联系。
比如说，它和线性代数里的矩阵运算就关系密切。
通过矩阵的形式，我们可以更简洁地表达和计算加权最小二乘法。
总之，加权最小二乘法公式虽然看起来有点复杂，但只要理解了它的原理，掌握了怎么用，就能在处理数据的时候发挥大作用，让我们得出更可靠、更准确的结果。
最小二乘法高斯牛顿法求解
最小二乘法高斯牛顿法求解最小二乘法和高斯-牛顿法是两种常用的优化技术，用于求解线性回归问题。
最小二乘法是一种简单且广泛使用的优化技术，用于拟合线性模型。
高斯-牛顿法是一种迭代算法，用于求解非线性最小二乘问题。
最小二乘法是一种简单且广泛使用的线性回归方法。
它的基本思想是通过最小化预测值与实际观测值之间的平方误差来拟合一个线性模型。
在最小二乘法中，我们通常使用矩阵表示法来描述问题。
设 (X) 为 (n \times p) 的设计矩阵，其中每一行表示一个样本，每一列表示一个特征。
设 (y) 为 (n \times 1) 的响应向量。
线性回归模型可以表示为 (y = X\beta + \epsilon)，其中 (\beta) 是 (p \times 1) 的参数向量，(\epsilon) 是误差项。
最小二乘法的目标是最小化 (||X\beta - y||^2)，即最小化预测值与实际观测值之间的平方误差。
高斯-牛顿法是一种迭代算法，用于求解非线性最小二乘问题。
它是一种基于雅可比矩阵的优化方法，通过迭代更新参数向量来逼近最优解。
高斯-牛顿法的每一次迭代包括以下步骤：计算雅可比矩阵 (J(\beta)) 和海森矩阵 (H(\beta))。
计算负海森矩阵 (H(\beta)) 的逆矩阵 (H^{-1}(\beta))。
计算参数向量的更新值 (\Delta\beta = -H^{-1}(\beta) J(\beta))。
更新参数向量 (\beta = \beta + \Delta\beta)。
重复步骤 1-4，直到参数向量收敛。
高斯-牛顿法的优点是可以处理非线性问题，并且收敛速度快。
但是，它需要计算海森矩阵和其逆矩阵，这可能在计算上比较昂贵。
因此，对于大规模问题，可能需要使用其他优化技术，如梯度下降法或拟牛顿法。
加权最小二乘估计中选择权数的迭代算法
ｆ １ 设ｗ 一 半 定 ， ｗ ＝ Ｗ）ＸＷ． 为 个 正 阵记 （ ） （ Ｘ一 ｙ 令Ｗ＝ ． Ｉ ｎＸ ＝ 时称 （ ） 的 ｌ ‘ Ｊ ａ（） Ｐ ， ｗ 为 加 ｋ ， 当ｒ
权最小二乘估计（ ＬＥ ． ｗ ｓ ）在一般情况下， 五（ 称 ｗ）＝邱 （ ｗ）＝Ｘ Ｘ ｗ ） Ｘ Ｗ （ Ｔ ｘ 一 Ｔ ｙ为 ： 的加权最小二乘估计 ． 若取 Ｗ ＝，五 ， ＝邱 ＝ （ Ｔ ） Ｘｙ 的 ，（） ｘ ｘ 一 Ｔ 就是 最小二 乘估计（ Ｅ， Ｌ ） Ｓ
在假定 Ｗ ≥ ０的条件 下 ， 加权最小二乘估计 有如 下性质… ： 定理 ２ （ 为 的无偏估计 当且仅 当 ｒｎ（ Ｗ） ａｋ Ｘ）＝ｒｎ （ ） ａｋ ＸＴ ． 定理 ３ （ 为 的最 佳方差无偏估计 当且仅 当 ｒｎ （ ｗ） ａ Ｘ）＝ｒ ｋ Ｘ ｗｘ） ｔ（ ｗ ａ （Ｔ ｎ ， ｖ ｘ）ｃ ｔ（ ） ｔ ． ｔ
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２ ８
吉首大学学报（ 自然科学版）
第２ ８卷
２ 权 数 的确 定
采用加权 回归估计方法 ， 其中的关键 问题是权数 的确定 ． 怎样确定权数 ， 目前还没有统一 的标准和方法 ， 比较常用 的参
见文献 ［ ］ ２． 文献 ［ ］ 为最佳权函数是针对某个模型而言的 ， ２认 即模型不 同， 其最佳权 函数也 不同 ． 实际应用 中 自变量个数较 多 ， 在
＜ ， 一般取 ｏ １ ｏ．． ． 或 ５
基于以上的要求 ， 提出以下的计算 步骤 ： （） １ 计算 ＇ ＝ ， 的残差平方和 Ｒ Ｓ ． ， 时 Ｓ． （ ） 步长 ｋ 一般 可选取 ｋ ２取 ， ｏ＝０ ０ １０ ０２ ０ ０５ ．０ ， ．０ 或 ．０ ．
估计过程中 ， 普通最小二乘法估计 的参数 的变动 系数普遍大于加权 回归估计 ， 而参数的变动系数是衡量模 型稳健性 的一个 很重要 的指标 ． 建模 的 目的是进行预测 ， 于不 同的预测对象 ， 对 模型 的参数应该 是 比较稳 定的 ， 预测结果 是可控制 的 ． 因 此， 在加权 回归估计考虑权函数时应使模型 的稳健性较好 ． 而且 ， 通最 小二乘估计 以残差平方 和最小为原则 ， 普 在这个原则
迭代重加权最小二乘支持向量机快速算法研究
ｗｈｃ ｋ ｓ ｔｍｐ ｓｉｌ ｆｒ ｒｃｉ ｌ ｐ ｌ ａｉｎ．ｎｔｉｐｐ ｒｔｅ ｔｒｔ ｅ ｗｅ ｈｅ ａｔ ｑ ａｅ ｕ ｐ ｒ ｖｃ ｉ ｍａ ｅ ｏｓ ｅｏ ａｔ ａ ａ ｐｉ ｔ ｓＩ ｓ ａｅ ， ｅａｉ ｌ ｒ ｇ ｔ ｌ ｓ ｓｕ ｒｓ ｐ ｏｔ ｅｍｒ ｈ ｉｉ ｂ ｐ ｃ ｃ ｏ ｈ ｈｉ ｖ ｙｅ ｄｅ ｓ
第 ３卷 第 ８ ７ 期 ２１ ０ ０年 ８月
计
算
机 科
学
Ｖｏ． ７Ｎｏ ８ １３ ．
Ａｕ ０ ０ ｇ２ １
Ｃｏ ｕ ｅ Ｓ ｉｎ ｅ ｍｐ ｔ ｒ ｃ ｅ ｃ
迭 代 重 加权 最小 二乘 支 持 向量 机 快 速 算 法 研 究
温 雯 郝 志峰 邵壮 丰。 。
（ 广东 工业 大学计 算机 学 院 广州 ５０ ０ ） （ １ ０６ 华南理 工 大学计 算机科 学 与工程 学院 广 州 ５０ ４） １６１。 （ 中国 电信广 东 互联 网与增值 业务运 营 中心 广州 ５０ １ ） １１０。
Ａｂ ｔａ ｔ ｈｅａ ｉｅｙｒｗｅｇ ｔｄ ｍｅｈ ｄ ｉ ｎ ｉ ｏ ｔｎ ｐ ｒ ａｈ ｔ ｍｐ ｏ ｅｔ ｅｒ ｂ ｓｎ ｓ ｆｌａ ｔｓ ｕ ｒｓ ｓ ｐ ｏ ｔ ｓｒｃ ｒｔｖ ｌ ｅ ｉｈ ｅ ｔ ｏ ｓ ａ ｍｐ ｒａ ｔａ ｐ ｏ ｃ ｏ ｉ ｒ ｖ ｈ ｏ ｕ ｔ ｅｓｏ ｅ ｓ ｑ ａ ｅ ｕ ｐ ｒ
Ｓｔ ｄ ｎ ｔ ｓ ａ ｎｉ ｇ Ａｌ ｏ ｉｈ ｆＩ ｅ ａ ｉ ｅｙ Ｒｅ ｗｅｇ ｅ ａ ｔＳｑ ａ ｅ ｕ ｏ ｔＶｅ ｔ ｒ Ｍ ａ ｈｉ ｅ ｕ ｙ ｏ ｈｅＦａ ｔＴｒ ｉ ｎ ｇ ｒ ｔ ｍ ｏ ｔ ｒ ｔｖ ｌ － ｉ ｈｔｄ Ｌｅ ｕ ｒ ｓＳ ｐｐ ｒ ｃ ｏ ｃ ｎ ｓ
一种加权整体最小二乘估计的高效算法
第49卷第5期2021年5月同济大学学报（自然科学版）JOURNAL OF TONGJI UNIVERSITY（NATURAL SCIENCE）Vol.49No.5May2021论文拓展介绍一种加权整体最小二乘估计的高效算法王建民1，2，倪福泽3，赵建军2（1.太原理工大学矿业工程学院，山西太原030024；2.成都理工大学地质灾害防治与地质环境保护国家重点实验室，四川成都610059；3.中煤（西安）航测遥感研究院有限公司，陕西西安710100）摘要：加权整体最小二乘法（WTLS）是估计errors-in-variables（EIV）模型参数严密的方法，当面临大数据集时，其计算效率有限。
针对EIV模型中设计矩阵呈现出的结构性特征，在最小二乘准则的约束条件下，通过仅给设计矩阵的随机列赋予权重，推证了适用于EIV模型参数估计的部分加权整体最小二乘法（PWTLS）。
PWTLS无需借助拉格朗日辅助法，能够精确估计EIV模型参数；另外，该算法缩减了矩阵的维数，同时在迭代过程中避免了估计设计矩阵的随机误差，从而减小了矩阵运算量，提升了计算效率。
最后以真实数据和模拟数据为例与其他7种同类算法进行对比，结果表明，PWTLS取得了与同类算法相同的精度，但计算效率显著提高，验证了算法的可行性。
关键词：整体最小二乘；变量误差模型；计算效率；坐标转换中图分类号：P207文献标志码：AAn Efficient Algorithm for Weighted Total Least Squares MethodWANG Jianmin1，2，NI Fuze3，ZHAO Jianjun2（1.College of Mining Engineering，Taiyuan University of Technology，Taiyuan030024；2.State Key Laboratory of Geohazard Prevention and Geoenvironment Protection，Chengdu University of Technology，Chengdu610059，China；3.Aerial Photogrammetry and Remote Sensing Research Institute Co.，Ltd.，Xi’an710100，China）Abstract：The weighted total least-squares（WTLS）adjustment is a rigorous method for estimating parameters in the errors-in-variables（EIV）model.However，the WTLS are not proper for larger data problem in terms of computational efficiency.Aimed at the structural characteristics of the design matrix in the EIV model，a partially weighted total least-squares（PWTLS）algorithm is proposed based on weighted least-squares（WLS）adjustment by weighting the random column of the design matrix.The PWTLS can obtain an exact solution of the EIV model without applying Lagrange multipliers in a straightforward manner.In addition，the PWTLS reduces the dimensions of the cofactor matrix and does not estimate the random error of the design matrix，as this would greatly improve the computational efficiency. Finally，real and simulated examples are used to demonstrate the accuracy and computational performance of the proposed algorithms.The results show that the PWTLS can obtain the same accuracy as the existing seven improved algorithms，but the computational efficiency is significantly improved.Key words：total least-squares；errors-in-variables；computational efficiency；coordinate transformations高斯‒马尔可夫模型在许多工程实践中得到成功应用，通常认为模型中的设计矩阵是无误差的。
压缩感知理论下扩展迭代重加权最小二乘算法的性能分析
作者简介 ：陈小玲 （ １ ９ ７ １ 年生 ） ，女 ；研究方向 ：电子信息技术与信息安全 ；Ｅ － ｍ ａ ｉ ｌ ：Ｃ Ｘ Ｌ １ ６ ８ ８ ＠１ ６ ３ ． ｃ ｏ ｍ
中山大学学报 （ 自然 科学版）
第５ ３卷
优化 算法 、匹配 追 踪 等 贪 婪 算 法 ¨ ］ 。 为 了改 进 最小 ｆ 范数 算 法 的信 号 恢 复性 能 ，Ｃ ａ ｎ ｄ ｅ ｓ和 Ｄ ａ ｕ — ｂ ｅ ｅ ｈ ｉ ｅ ｓ 等
ｉ ｍｐ ｏ ｒ ｔ ａ ｎ ｔ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ．Ａ ｔ ｐ ｒ ｅ ｓ ｅ ｎ ｔ ． ａ ｋ ｅ ｙ ａ ｌ ｇ ｏ ｉ ｒ ｔ ｈ ｍ ｓ ｏ ｌ ｖ ｅ ｄ ｍｉ ｎ ｉ ｍｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｔ ｈ ｅ Ｉ ｐ （ Ｐ≤ １ ）Ｂ ｏ ｒ ｌ ｎ ｉ ｓ ｉ ｔ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｖ ｅ ｒ ｅ ‘ ｗ ｅ ｉ ｇ ｈ ｔ ｅ ｄ ｌ ｅ ａ ｓ ｔ ｓ ｑ ｕ ａ ｒ ｅ ｓ ａ ｌ ｇ ｏ ｉ ｒ ｔ ｈ ｍ （ Ｉ Ｒ Ｌ Ｓ 一 。， ０＜Ｐ≤ １ ）ｗ ｉ ｔ ｈ ａ ｆ ｆ ｉ ｎ ｅ ｃ ｏ ｎ ｓ ｔ ｒ ａ ｉ ｎ ｔ ｓ ， ｂ ｕ ｔ ａ ｃ ｒ ｕ ｃ ｉ ａ ｌ ｑ ｕ ｅ ｓ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ
１ ），但其 收敛和实时 性较 差 。为此 ，文 中从最 小 化矩 阵秩 的角度 出发 对一 类 扩展 迭 代 重加 权 最小 二 乘算 法 （Ｅ １ Ｒ Ｌ Ｓ 一 ）进行性能实现分析 ，用 以改进 Ｉ Ｒ Ｌ Ｓ 一 算法的连续迭代收敛性及其实 时性能 。验证结果表 明 ， Ｅ Ｉ Ｒ Ｌ Ｓ — ｏ 和ｓ Ｅ Ｉ Ｒ Ｌ Ｓ 一 算法性没有先验 知识 的情况下 ， ｓ Ｅ Ｉ Ｒ Ｌ Ｓ — ｏ 算法性能也优于
ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ，ａ ｎｄ ｔ ｏ ｉ ｍｐ ｒ ｏ ｖ ｅ Ｉ ＲＬＳ
一.编制基本最小二乘算法和加权最小二乘算法(包括一次完成
一．编制基本最小二乘算法和加权最小二乘算法（包括一次完成算法和递推算法）程序，并进行测试。
辨识模型：() 1.5(1)0.7(2)(1)0.5(2)()z k z k z k u k u k v k --+-=-+-+，()v k 是服从标准正态分布的噪声，()u k 是幅度为1的7阶M 序列。
1.一次完成最小二乘算法：编程思路：对此辨识模型来说2a b n n ==,0.99β= ,(3)(4),(2)L z z Z Z L ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭(1)(2)()(1)(2)z k z k h k u k u k --⎛⎫⎪-- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭,(3)(4)(2)T TL T h h H h L ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭,当LΛ（加权矩阵）为单位阵时，即为最小二乘基本一次完成算法，否则为最小二乘加权一次完成算法。
程序运行结果：最小二乘基本一次完成算法： compare1 =-1.5000 -1.4967 0.7000 0.6956 1.0000 1.0386 0.5000 0.5076最小二乘加权一次完成算法： compare2 =-1.5000 -1.5084 0.7000 0.7039 1.0000 1.0546 0.5000 0.5238 2.最小二乘递推算法：编程思路：1()(1)()[()(1)()1/()]()(1)()[()()(1)]()[()()](1)T T T K k P k h k h k P k h k k k k K k z k h k k P k I K k h k P k θθθ-⎧=--+Λ⎪=-+--⎨⎪=--⎩,并且给定()P k ，()k θ 的初值。
()P k 为充分大的实数，()k θ为充分小的向量。
()k Λ为1时，为最小二乘递推算法（RLS ），否则为加权最小二乘递推算法（RWLS ）。
程序运行结果：050100150200250300350-3-2-11234最小二乘基本递推算法参数估计a1a2b1b2050100150200250300350-2-1.5-1-0.500.511.52最小二乘加权递推算法参数估计a1a2b1b2可以看出，最小二乘一次完成算法和最小二乘递推算法估计出的系统参数和给定的参数相近，因此利用这两种方法可以辨识系统。
加权最小二乘法
RESID
0 -200 -400 -600 0 10000 20000 X 30000 40000
46
load c:\lx5\yfch.wf1 vector(10) m ‘存放自由度、小样残差平方和、大样残差平方和、 F检验值和F检验的概率值 SORT X '按居民收入排序 SMPL 1 12 '小数据样本 m(1)=10 equation smleq.LS Y C X '得ESS1 m(2)=@ssr SMPL 20 31 '大数据样本 equation lrgeq.LS Y C X '得ESS2 m(3)=@ssr m(4)=m(3)/m(2) m(5)=@fdist(m(4),m(1),m(1)) 10000 20000 X 30000 40000
39
储蓄与收入的散点图
3000
2000
Y
1000
0 0 10000 20000 X
40
30000
40000
41
42
异方差：残差随收入增大而增大
2000
1000
0
-1000
-2000 5 10 15 20 25 30
RESID
2
ˆ X X X E UU X X X Cov B E UU I ˆ X X Cov B
1
同方差才能将 提出
2 2
3
第四节异方差的解决方法
1。补救异方差的基本思路 2。模型变换法 3。加权最小二乘法 4。“一般解决法—数据变换”
17
24
25
4。“一般解决法”
在计量经济学实践中，计量经济学家偏爱 使用对数变换解决问题，往往一开始就把 数据化为对数形式，再用对数形式数据来 构成模型，进行回归估计与分析。 这主要是因为对数形式可以减少异方差和 自相关的程度。
多元加权总体最小二乘新解法
多元加权总体最小二乘新解法汪奇生【摘要】将多元加权总体最小二乘模型进行变换,转化为加权总体最小二乘模型,推导构造新的系数矩阵和系数矩阵元素协因数阵的公式,研究多元加权总体最小二乘的解算流程.以Jazaeri加权总体最小二乘为例,给出多元总体最小二乘参数的解算过程.通过算例分析和比较,验证了该方法的有效性.%The new model of multivariate weighted total least squares by transposition processing,which is similar to the weighted total least squares model,is proposed in this paper.The formula for constructing the new coefficient matrix and its variance-covariance matrix is deduced and the solution flow multivariate weighted total least squares is studied.Applying this method,the solution process by the Jazaeri algorithm is deduced.The proposed method is proven to be effective and feasible through example analysis and comparison with other algorithms.【期刊名称】《大地测量与地球动力学》【年(卷),期】2017(037)012【总页数】5页(P1281-1284,1290)【关键词】多元加权总体最小二乘;EIV模型;参数估计;迭代算法【作者】汪奇生【作者单位】湖南软件职业学院,湘潭市开源路1号,411100【正文语种】中文【中图分类】P207近年来，总体最小二乘[1]在测量数据处理领域得到了众多学者的关注和研究。
线性回归模型的总体最小二乘平差算法及其应用研究
线性回归模型的总体最小二乘平差算法及其应用研究一、本文概述本文旨在深入研究和探讨线性回归模型的总体最小二乘平差算法及其应用。
线性回归模型是统计学中一种重要的预测和解释工具，它用于描述和预测两个或多个变量之间的关系。
然而，在实际应用中，由于数据误差、异常值等因素的存在，传统的最小二乘法往往不能得到最优的估计结果。
因此，本文引入总体最小二乘平差算法，以期提高线性回归模型的稳定性和准确性。
总体最小二乘平差算法是一种基于总体误差最小化的优化方法，它同时考虑了自变量和因变量的误差，避免了传统最小二乘法中可能出现的模型偏差。
本文首先介绍了线性回归模型和最小二乘法的基本原理，然后详细阐述了总体最小二乘平差算法的理论基础和计算方法。
在应用方面，本文探讨了总体最小二乘平差算法在多个领域的应用，包括经济学、医学、工程学等。
通过实证分析和案例研究，本文验证了总体最小二乘平差算法在改善线性回归模型预测精度和稳定性方面的有效性。
本文还讨论了算法在实际应用中可能遇到的挑战和问题，并提出了相应的解决策略。
本文的研究不仅为线性回归模型的优化提供了新的思路和方法，也为相关领域的实证研究提供了有益的参考和借鉴。
未来，我们将继续深入研究总体最小二乘平差算法的理论和应用，以期在更广泛的领域发挥其作用。
二、线性回归模型的基本理论线性回归模型是一种经典的统计预测方法，其基本理论建立在数理统计和最小二乘法的基础上。
其核心思想是通过寻找一条最佳拟合直线，使得这条直线与一组观测数据点的误差平方和最小。
线性回归模型的基本形式为 (Y = \beta_0 + \beta_1 +\varepsilon)，其中 (Y) 是因变量，() 是自变量，(\beta_0) 和(\beta_1) 是回归系数，(\varepsilon) 是随机误差项。
这个模型假设因变量与自变量之间存在线性关系，并通过最小二乘法来估计回归系数。
最小二乘法是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配。
Lp范数优化问题-迭代权重最小二乘算法
Lp范数优化问题-迭代权重最⼩⼆乘算法迭代权重最⼩⼆乘(Iteratively reweighted least squares, IRLS) [1] ⽅法⽤于求解p范数(p norm)的最⼩化问题。
问题如下：arg minx∑i|y i−f i(x)|p通过迭代的⽅法，在每次迭代我们都在解决⼀个加权的最⼩⼆乘问题：x t+1=arg minx∑i w i(x t)|y i−f i(x t)|2此时，我们能够将原始的p norm问题转化为2-norm的问题。
同时我们此时引⼊了⼀个随着迭代次数⽽改变的变量w i(x t)。
⼀般地，我们定义t step的权重与t step的误差，即|y i−f i(x t)|p有关。
我们⾸先初始化变量w t i为：w0i=1即W矩阵的对⾓元素都为1，其他元素为0。
在第t步，矩阵W的第i个对⾓元素w t i为：w t i=|y i−f i(x t)|p−2例⼦例如，我们要求解如下问题[2]：argmin∑s I,j=1;s i,j≥0∑j||s i,j−a i,j||1+λ∑j|f i−f j|22s i,j我们使⽤迭代权重最⼩⼆乘法，可将上式写成argmin∑s I,j=1;s i,j≥0∑j w i,j(s t i,j)|s i,j−a i,j|2+λ∑j|f i−f j|2s i,j其中，w t j=1|s i,j−a i,j|当然，为了防⽌分母为零，我们很⾃然地会将上式写成下式的形式：w t i=1max(ϵ,|s i,j−a i,j|)其中，ϵ=1e−6。
相⽐最开始的L1问题，上⾯的L2更容易被解决，因其处处可导且连续。
matlab代码：matlab code will be uploaded soon!因此，由于能将L p范数的问题转化为L2范数的问题，IRLS在压缩感知、稀疏编码等⽅⾯取得⾮常⼴泛的应⽤。
Processing math: 100%。
加权最小二乘回归模型
加权最小二乘回归模型
加权最小二乘回归模型（Weighted Least Squares Regression Model）是一种线性回归分析方法，它对不同的观测值赋予不同的权重，以反映观测值之间的差异或重要性。
在普通最小二乘回归模型中，每个观测值的权重是相等的，即每个观测值对回归系数的影响是相同的。
而在加权最小二乘回归模型中，不同的观测值可以有不同的重要性，权重可以是一个标量或向量，从而使得模型能够更好地反映数据的特征。
加权最小二乘回归模型的基本原理是：在保证观测值与回归直线之间误差的平方和最小的前提下，赋予观测值不同的权重。
通过求解加权最小二乘问题，可以得到加权回归系数和加权残差。
加权残差可以用来评估观测值对回归模型的贡献，权重较大的观测值对回归系数的估计影响较大。
在实际应用中，加权最小二乘回归模型可以用于处理异方差性（heteroskedasticity）问题，即观测值之间的方差不同的情况。
异方差性可能导致普通最小二乘回归模型估计出的回归系数不稳定，而加权最小二乘回归模型可以较好地解决这个问题。
此外，加权最小二乘回归模型还可以用于处理序列相关性（serial correlation）问题，即观测值之间存在序列关系的情况。
通过对观测值赋予不同的权重，可以降低序列相关性对回归系数估计的影响。
总之，加权最小二乘回归模型是一种灵活的线性回归分析方法，可以用于处理普通最小二乘回归模型无法解决的问题，更好地揭示数据之间的关系。
加权最小二乘法
加权最小二乘法
加权最小二乘法（weighted least squares, WLS）是一种线性回归的方法，用于处理具有不同观测误差方差的数据。
在普通最小二乘法（ordinary least squares, OLS）中，假设所有的观测误差方差是相等的。
但在实际应用中，有一
些变量可能有更大的观测误差，或者某些观测点可能有更
大的误差。
WLS通过对不同观测点赋予不同的权重来解决
这个问题，权重的大小与观测误差的方差成反比。
加权最小二乘法的目标是最小化加权残差的平方和，即最
小化：
\\[S = \\sum_{i=1}^{n} w_i(y_i - f(x_i))^2\\]
其中，$n$为观测点数量，$w_i$为第$i$个观测点的权重，$y_i$为第$i$个观测点的观测值，$f(x_i)$为模型对第$i$个观测点的预测值。
为了最小化$S$，可以通过求解加权最小二乘问题的正规方程来获得参数的估计值，即求解：
\\[(X^TWX)\\hat{\\beta} = X^TWy\\]
其中，$X$为设计矩阵，包含自变量的观测值，
$\\hat{\\beta}$为参数的估计值，$W$为权重矩阵，对角线上的元素为权重值，其他元素为零。
通过求解正规方程，可以获得参数的估计值
$\\hat{\\beta}$，进而用于预测新的观测值或进行模型的推断分析。
需要注意的是，加权最小二乘法的权重选择需要根据具体的实际情况来确定，通常可以通过观察观测数据的方差不均匀性、残差分析等方法来确定权重值。
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中图分类号 Ｏ ２ ４ １ ． ６
文Байду номын сангаас 标志码 Ａ
文章编号 １ ０ ０ ６ — ６ ３ ３ ０ （ ２ ０ １ ６ ） ０ ４ － ０ ４ ９ ９ — ０ ９
Ａ ｎ ｉ ｔ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｖ ｅ ｍｅ ｔ ｈｏｄ ｆ ｏ ｒ ｌ ａ ｒ ｇ ｅ － ｓ ｃ ａ ｌ ｅ ｗｅ ｉ ｇ ｈ ｔ ｅ ｄ
２ ０ １ ６ 年１ ２ 月
Ｄｅ ｃ ．２ ０ １ ６
应用
计并数学学报
第３ ０卷 第 ４期
Ｖ０ ｌ ＿ ３ ０ Ｎｏ ． ４
Ｃｏ ｍ ｍｕ ｎ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｎ Ａｐ ｐ ｌ ｉ ｅ ｄ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ａ ｎ ｄ Ｃｏ ｍｐｕ ｔ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ
种基于加权 Ｒａ ｙ ｌ ｅ ｉ ｇ ｈ商 的迭代算法．数值算例表 明，与经典 的总体最小二乘算法相 比，新算 法减少 了计算量和存储空间，并且能更好地估计参数 ． 关键词 变量含误差模型 ；加权总体最小二乘问题；加权 Ｒａ ｙ ｌ ｅ ｉ ｇ ｈ商迭代 ２ ０ １ ０数学分类号 ６ ５ Ｆ１ ０
下 正态分 布：
第３ ０ 卷 分别 是对应 Ｙ和
为列满 秩 的观测矩 阵，且 ｅ 和
基金项 目 国家 自然科学基 金资助项 目 （ １ １ ０ ０ １ １ ６ ７ ）
通信作者 刘巧华，研究方 向为数值线性 代数． Ｅ— ｍａ ｉ ｌ ：ｑ ｈ ｌ ｉ ｕ ＠ｓ ｈ ｕ ． ｅ ｄ ｕ ． ｃ ａ
应用 毒 计笄数 学学报 式 中， Ｙ是 ｍ ×１的观 测值 ，
ｔ ｏ ｔ ａ ｌ ｌ ｅ ａ ｓ ｔ ｓ ｑ ｕａ ｒ ｅ ｓ ｐｒ ｏ ｂｌ ｅ ｍｓ
Ｚ Ｈ ＡＮ Ｇ Ｆ ｕ ｄ ａ ｏ ， Ｌ Ｉ Ｕ Ｑｉ ａ ｏ ｈ ｕ ａ （ Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ ， Ｓ ｈ ａ ｎ ｇ ｈ ａ ｉ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ， Ｓ ｈ ａ ｎ ｇ ｈ ａ ｉ ２ ０ ０ ４ ４ ４ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
２ ０ １ ０ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ Ｓｕ ｂ ｉ ｅ ｃ ｔ Ｃｌ ａ ｓ ｓ ｉ ｉ ｆ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ６ ５ Ｆ１ ０
Ｃ ｈｉ ｎｅ ｓ ｅ Ｌｉ ｂｒ ａ ｒ ｙ Ｃｌ ａｓ ｓ ｉ ｉｃ ｆ ａ ｔ ｉ ｏｎ Ｏ ２ ４ １ ． ６
Ｎｕ ｍｅ ｒ ｉ ｃ ａ ｌ ｅ ｘｐｅ ｒ ｉ ｍｅ ｎ ｔ ｓ ｓ ｈｏ ｗ ｔ ｈａ ｔ ｔ ｈｅ ｎｅ ｗ ｍｅ ｔ ｈ ｏｄ ｐ ｒ ｏｄ ｕｃ ｅ ｓ ａ ｂｅ ｔ ｔ ｅ ｒ ｅ ｓ ｔ ｉ ｍａ ｔ ｅ ｔ ｈａ ｎ ｔ ｈｅ ｓ ｔ ａ ｎ ｄａ ｒ ｄ ｔ ｏ ｔ ａ ｌ ｌ ｅ ａ ｓ ｔ ｓ ｑ ｕａ ｒ ｅ ｓ ｍｅ ｔ ｈ ｏｄ．
ｉ ｎ － ｖ ａ ｒ ｉ ａ ｂ ｌ ｅ ｓ （ Ｅ Ｉ Ｖ） ｍｏ ｄ ｅ １ ． Ｈ ｏ ｗ ｅ ｖ ｅ ｒ ， ｗ ｈ ｅ ｎ ｔ ｈ ｅ ｃ ｏ ｅ ｍｃ ｉ ｅ ｎ ｔ ｍａ ｔ ｒ ｉ ｘ ｉ ｓ ｌ ａ ｒ ｇ ｅ ， ｔ ｈ ｅ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ
ｍｉ ｇ ｈｔ ｂｅ ｅ ｘｐｅ ｎ ｓ ｉ ｖ ｅ ｉ ｎ ｃ ｏ ｍｐｕ ｔ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｎ ｄ ｓ ｔ ｏ ｒ ａ ｇ ｅ ｃ ｏｓ ｔ ． Ｆｏ ｒ ｒ ｅ ｄ ｕｃ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｅ ｓ ｔ ｏ ｒ ａ ｇ ｅ
Ａ ｂｓ ｔ ｒ ａｃ ｔ Ｔｈ ｅ ｗｅ ｉ ｇ ｈ ｔ ｅ ｄ ｔ ｏ ｔ ａ ｌ ｌ ｅ ａ ｓ ｔ ｓ ｑ ｕａ ｒ ｅ ｓ ｍｅ ｔ ｈ ｏｄ ｉ ｓ ｔ ｙ ｐｉ ｃ ａ ｌ ｆ ｏ ｒ ｓ ｏ ｌ ｖ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｅ ｅ ｒ ｒ ｏ ｒ ｓ ．
ａ ｎｄ ｃ ｏ ｍ ｐｕ ｔ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｃ ｏ ｓ ｔ ， ａ ｗｅ ｉ ｇ ｈ ｔ ｅ ｄ Ｒａ ｙｌ ｅ ｉ ｇ ｈ ｑ ｕｏ ｔ ｉ ｅ ｎ ｔ ｉ ｔ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｉ ｓ ｐｒ ｅ ｓ ｅ ｎｔ ｅ ｄ．
０ 引 言
考虑 变量 含误 差 （ ｅ ｒ ｒ ｏ ｒ ｓ ｉ ｎ ｖ ａ ｒ ｉ ａ ｂ ｌ ｅ ， Ｅ Ｉ Ｖ） 模 型
Ｙ一 （ Ａ—ＥＡ ） Ｘ＋ｅ
收稿 日期 ２ ０ １ ３ — ０ ６ — ２ ４ ； 修订 日期 ２ ０ １ ３ — １ ２ — ２ ６
（ １ ）
ＤＯＩ １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ ６ — ６ ３ ３ ０ ． ２ ０ １ ６ ． ０ ４ ． ０ ０ ４
大规模加权总体 最小二 乘问题的迭代算法
张福 到 ， 刘 巧 华
（ 上海大学理学院，上海 ２ ０ ０ ４ ４ ４ ）
摘要 变量含误差 （ Ｅ Ｉ Ｖ ） 模型常常用加权 总体最ｌ Ｊ ￣ － ＂ 乘方法估计参 数， 但是 当系数矩 阵为大 规模稀疏阵时，该算法会花费较大 的计算量和存储空 间．为了控制 存储 和计算 量，提出了一
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄｓ ｅ ｒ ｒ ｏ ｒ ｓ — ｉ ｎ — ｖ ａ ｒ ｉ ａ ｂ ｌ ｅ ｓ（ ＥＩ Ｖ１ ｍｏ ｄ ｅ ｌ ； ｗｅ ｉ ｇ ｈ ｔ ｅ ｄ ｔ ｏ ｔ ａ ｌ ｌ ｅ ａ ｓ ｔ ｓ ｑ ｕ ａ ｒ ｅ ｓ ｐ ｒ ｏ ｂ －
１ ｅ ｍ； ｗｅ ｉ ｇ ｈｔ ｅ ｄ Ｒａ ｙ ｌ ｅ ｉ ｇ ｈ ｑｕ ｏ ｔ ｉ ｅ ｎ ｔ ｉ ｔ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ