高中数学选修本(理科)1.5正态分布(一)

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高中数学《正态分布(一)》课件

2
y
y
y
μ= -1
μ=1
σ=0.5
μ=0
σ=1
σ=2
x x -3 -2 -1 0 1 2
-3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
具有两头低、中间高、左右对称
y
1
( x )2
e 2 2
2 y
μ= -1
新课探究
我们以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽的频率值为纵坐标，可以画出频率分布直方图
频率组距
思考：球槽数增加，重复次数增加，频率分布直方图怎么变化？
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
球槽编号
试验
新课探究
频率组距
随着重复次数的增加，球槽数增加直方图的形状会越来越像一条“钟形”曲线
上述结果可用图2.4 7表示
μa μ μa
图2.4 6
68.26%
μ
2σ
95.44%
μ
4σ
图2.4 7
99.74%
μ
6σ
P( X ) 0.6826, P( 2 X 2 ) 0.9544, P( 3 X 3 ) 0.9974.
（4）曲线与x轴之间的面积为1
方差相等、均数不等的正态分布图示
σ=0.5
μ=0 μ= -1
μ= 1
若固定,
随值
的变化而
沿x轴平
移, 故
称为位置
参数；
3 1 2
均值相等、方差不等的正态分布图示
μ=0
=0.5 =1
若固定, 大
时, 曲线矮而胖；
小时, 曲线瘦

【精品】高三数学 1.5正态分布(第一课时)大纲人教版选修

§ 1.5 正态分布课时安排 2课时从容说课正态分布是很抽象的概念,如何使学生从抽象转化到具体、直观中的问题里来,是我们教学的一个重点和难点.要借助具体实例及多媒体课件演示,有条件的让学生也上机进行实习,通过实验了解一些概念的形成过程.具体的方法是：利用直方图来引进正态曲线与正态分布.具体的步骤如下：①先作出二项分布B (n ,0.5)的直方图(n =10).对n 进行变化;②如果用一条平滑的曲线把每个长方形的中点联结起来,就能得到一条钟形曲线(演示图形的形成过程),称为正态曲线;③给出其函数解析式为σμπσ2)(21)(--=x ex f x ∈R,其中μ=np ,σ=npq ,e≈2.71828.对于正态曲线,如果规定,试验的观察值x 落在区间(a ,b )内的概率P (a ＜x ＜b )就是由这条曲线、x 轴、直线x =a 及x =b 所围成的图形的面积,那么称这种概率分布为正态分布.一个平均数为μ,标准差为b 的正态分布可以用公式σμ-=x z 将它变换成平均数为0,标准差为1的正态分布.平均数为0,标准差为1的正态分布称为标准正态分布(利用投影或多媒体,将其图象描绘出来),公式为22121)(z e z -=Φπ,其中R x z ∈-=σμ.一般的正态分布问题,能转化成标准正态分布问题来处理,即将正态分布中观察值x 的概率P (a ＜x ＜b )表示成标准正态分布中的P (z 1≤z≤z 2),其中σμ-=a z 1,σμ-=b z 2.在教学中应多用多媒体进行教学,增强动态感觉.第九课时课题§ 1.5.1 正态分布(一) 教学目标一、教学知识点1.深刻理解并掌握正态分布和正态曲线的概念、意义及性质.2.理解和掌握标准正态总体、标准正态曲线的概念、意义及性质. 二、能力训练要求1.能用正态分布、正态曲线研究有关随机变量分布的规律.2.会画有关正态分布的正态曲线和标准正态曲线.3.会用函数的概念、性质解决有关正态分布的问题. 三、德育渗透目标1.培养学生数形结合、函数与方程、分类讨论、等价转化等数学思想方法.2.培养学生辩证唯物主义的观点(运动观、静止观).3.培养学生的动手操作能力和概括归纳能力,让学生真正地学会学习,也就是让学生主动建构式地学习,真正掌握学习方法.教学重点正态分布的意义、正态分布的主要性质是本节课的教学重点.通过具体实例,结合研究函数的方法来研究正态分布的意义和性质.正态分布之所以成为概率统计中最重要的一种分布的原因有两方面：一方面,正态分布是自然界最常见的一种分布,若影响某一数量指标的随机因素很多,而每个因素所起的作用都不太大,则这个指标服从正态分布；另一方面,正态分布具有许多良好的性质,许多分布可以用正态分布来近似描述,另外一些分布又可以通过正态分布来推导.教学难点正态分布的意义及性质、标准正态总体、标准正态曲线的概念教学是难点,正态分布的性质的抽象与概括是难点,要利用函数的观点、函数与方程的思想方法研究正态曲线的五条性质.教学方法建构主义观点在高中数学课堂教学中的实践的教学方法.在学生已经掌握总体密度曲线、累积分布曲线的基础上,让学生通过函数观点主动建构出正态分布、正态曲线、标准正态曲线.利用函数的性质(定义域、值域、对称轴、奇偶性、单调性等等).教具准备实物投影仪(或幻灯机、幻灯片).幻灯片记作§ 1.5.1 A例1.设ξ~N(0,1)借助于标准正态分布的函数表计算：(1)P(ξ>1.24);(2)P(ξ<-1.24);(3)P(|ξ|<1).幻灯片记作§ 1.5.1 B例2.某城市从南郊某地乘公共汽车前往北区火车站有两条路线,可是,第一条路线穿过市区,路线较短,但交通拥挤,所需时间(单位：mi n)服从正态分布N(50,102)；第二条路线沿环城公路走,路程较长,但交通阻塞较少,所需时间服从正态分布N(60,42).(1)若只有70 mi n可用,问应走哪条路线？(2)若只有65 mi n可用,又应走哪条路线？幻灯片记作§ 1.5.1 C例3.某市210名高中学生参加全国高中数学联赛预赛,随机调阅了60名学生的答卷,成绩列下表：成绩1分2分3分4分5分人数分布0 0 0 6 15成绩6分7分8分9分10分人数分布21 12 3 3 0(1)(2)若总体服从正态分布,求正态曲线的近似方程;(3)若规定,预赛成绩在7分或7分以上的学生参加复赛,试估计有多少个学生可以进入复赛?教学过程Ⅰ.课题导入在上节课,我们作出了100个产品尺寸的频率分布直方图,并指出了当样本容量无限增大时,这个频率分布直方图无限接近于如图1－11所示的一条总体密度曲线.图1－11产品尺寸是一类典型的总体,对于成批生产的产品,如果生产条件正常并稳定,即工艺、设备、技术、操作、原料、环境等条件都相对稳定,而且不存在生产系统误差的明显因素,那么,产品尺寸的总体密度曲线就可以用一个函数y=f (x )图象来拟合.这个函数的图象叫做正态曲线.这节课我们将来学习正态分布(一).(板书课题)Ⅱ．讲授新课［师］总体密度曲线可以用一个函数y=f (x )的图象来拟合,我们选用什么样的函数呢？换句话讲,由这个曲线,我们可以想到哪类函数图象与它相近似？［生甲］可以用二次函数y=a (x -m)2+n (a <0)的图象来拟合. ［师］这个二次函数定义域和值域如何确定呢？［生甲］定义域为{x |x >0},值域为{y|y>0}.［师］你规定的定义域和值域是否符合函数组成的三要素呢？［生乙］他的这种规定是无道理的,也是不符合构成函数的三要素的.我认为可以用二次函数与指数函数复合以后的函数图象来拟合,即f (x )=a p (x -m)2+n ,这样就符合题设的条件.由图形和实际可以知道,函数的值域是正实数组成的.函数图象也是一对称曲线,关于直线x =x 0对称,所以联想到二次函数y=p (x -m)2+q 和指数函数y=a x 进行复合以后再拟合.［师］太好了！太好了！(这时教室里报以热烈的掌声和赞叹声,同学们都投以敬佩的目光,这位同学在大家的目光中,显得十分自豪但又很谦逊)［生乙］感谢生甲的提醒和老师的帮助,更要感谢同学们的鼓励,我的设想是与广大同学们的合作研究分不开的.(建构主义观点的教学模式所倡导的就是要广大同学有合作精神、参与意识,要求每一位同学都要有智力参与,这也正是数学新课程标准所要求的：数学文化和人文精神)［师］学生甲和乙给出了我们一条曲线的拟合函数的大致设想,经过研究和计算我们得到：总体密度曲线就是或近似地是函数222)(21)(σμπσ--⋅=x ex f ,x ∈(-∞,+∞)的图象,式中的实数μ、σ(σ>0)是参数,分别表示总体的平均数和标准差(总体标准差是衡量总体波动大小的特征数,常用样本标准差去估计).这个总体是有无限容量的抽象总体,其分布叫做正态分布.正态分布由参数μ、σ唯一确定.因此,正态分布常记作N(μ,σ2).函数222)(21)(σμπσ--=x ex f ,x ∈(-∞,+∞)的图象被称为正态曲线.［师］找三位同学分别画出下列正态曲线： (1)μ=-1,σ=0.5; (2)μ=0,σ=1; (3)μ=1,σ=2.［生］三位学生画的图如图1－12所示：图1－12［师］从正态曲线上看,你们直观上可以得出正态曲线具有什么特征？［生］正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征. ［师］在实际中遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布.例如：生产中,在对正常生产条件下各种产品的质量指标(如电子管的使用寿命、电容器的电容量、零件的尺寸、铁水的含碳量、纤维的纤度……)测量的误差；炮弹落点的分布；人的生理特征的尺寸：身高、体重等；农作物的收获量；工厂产品的尺寸：直径、长度、宽度、高度……都近似服从正态分布.一般说来,若影响某一数量指标的随机因素很多,而每个因素所起的作用都不太大,则这个指标服从正态分布.［师］在测量中,测量结果一般可以表示为ξ=a +η,其中a 表示测量的量的真值(未知常数),η表示测量的随机误差,ξ和η一般都服从正态分布.你们能再举一些实例吗？［生］在生物学中,同一群体的某种特征(如某一地区同年龄组青少年特征,如身高、体重、肺活量、胸围等),在一定条件下生产的小麦的株高、穗长、单位面积产量等,一般也服从正态分布.在气象中,某地每年七月份的平均气温、平均湿度以及降雨量等,水文中的水位,也都服从或近似服从正态分布.［师］由此看来：正态分布广泛存在于自然现象、生产及科学技术的许多领域中,正态分布在概率和统计中占有重要地位.对于μ=0,σ=1时,正态总体称为标准正态总体,这时相应的函数表示式是：2221)(x ex f -=π,x ∈(-∞,+∞),相应的曲线称为标准正态曲线,如上图(2)所示.［师］从上述三张图中,你们能总结出正态曲线具有哪些性质？［生1］函数的定义域为一切实数,值域为正的实数集的子集,对应的曲线在x 轴的上方,与x 轴不相交.这是因为：由函数的性质有e u >0,∴]1,0(2)(22∈--σμx e ,∴021222)(>⋅--σμπσx e.故曲线与x 轴不相交,在x 轴上方.［生2］曲线222)(21)(σμπσ--=x ex f 关于直线x =μ对称：证明如下(口述证明过程)：在曲线y=f (x )上任取一点A (x 0,y 0),关于直线x =μ的对称点为A ′(x ′,y′),∴y′=y 0且x ′=2μ-x 0.∴x 0=2μ-x ′,y 0=y′.又∵A 在曲线上,∴222)(021σμπσ--=x ey .由反代法知,222)2(21σμμπσ-'--='x ey ,即222)(21σμπσx ey --=',∴有222)(21σμπσ-'-=x ey .也就是点A ′在曲线上,由A 点的任意性.∴曲线y=f (x )关于直线x =μ对称.［生3］函数有最大值,因为当x =μ时,222)(σμ--x 有最大值0,所以y=f (x )有最大值πσπσ21210=e ,也就是曲线在x =μ时位于最高点.［生4］函数在x ∈(-∞,μ］上单调递增；在［μ,+∞)上单调递减.这是因为：由指数函数y=e v是单调递增函数,222)()(σμ--=x x v 在x ∈(-∞,μ］上是增函数,在x ∈［μ,+∞)上是单调递减函数,由复合函数单调性可知,“同性增、异性减”,所以f (x )在x ∈(-∞,μ］上是增函数,在x ∈［μ,+∞)上是减函数.故当x <μ时,曲线上升；当x >μ时,曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x 轴为渐近线,向它无限靠近.［师］刚才四位同学不仅总结出性质,而且给予了详细的证明,现将性质总结如下： (1)曲线在x 轴的上方,与x 轴不相交; (2)曲线关于直线x =μ对称; (3)曲线在x =μ时位于最高点;(4)当x <μ时,曲线上升；当x >μ时,曲线下降,并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x 轴为渐近线,向它无限靠近.现将上面的三幅图对称轴重叠在一起即x =0时,如图1－13所示,你们能总结出什么性质？图1－13［生5］当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散；σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中.［师］以上就是我们总结的正态曲线五条性质.由于标准正态总体N(0,1),在正态总体的研究中有非常重要的地位,为了便于应用,已专门制作了“标准正态分布表”.在这个表中,相应于x 0的值Φ(x 0)是指总体取值小于x 0的概率,即Φ(x 0)=P (x <x 0)如图中左边阴影部分所示.图1－14由于标准正态曲线关于y 轴对称,表中给出了x 0≥0时的函数值Φ(x 0). 如果x 0<0时,Φ(x 0)的值又如何求呢？［生］由对称性知图(2)中两个阴影部分的面积是相等的,Φ(x 0)=1-Φ(-x 0).这一点也可以从对立事件角度来解释.［师］利用这个表,可求出标准正态总体在任一区间(x 1,x 2)内取值的概率P =Φ(x 2)-Φ(x 1).请同学们求出它在(-1,2)内取值的概率.［生］所求概率为P =Φ(2)-Φ(-1)=Φ(2)-{1-Φ［-(-1)］}=Φ(2)+Φ(1)-1=0.9772+0.8413-1=0.8185.［师］一般的正态总体N(μ,σ2)均可以化成标准正态总体N(0,1)来进行研究.事实上,可以证明：对于任一正态总体N(μ,σ2)来说,取值小于x 的概率)()(σμ-Φ=x x F .事实上,标准正态总体,对应的函数表达式为2221)(x ex f -=πσ,将x 变化为σμ-x 即可.例如对于正态总体N(1,4)来说,取值小于3的概率P 是什么？［生］P =F(3)=Φ(213-)=Φ(1).查表知Φ(1)=0.8413. 精典例题［师］(打出幻灯片§ 1.5.1 A ) ［生］(1)P (ξ>1.24)=1-P (ξ≤1.24) =1-P (ξ<1.24) =1-Φ(1.24) =1-0.8925 =0.1075.(2)P (ξ<-1.24)=P (ξ>1.24) =1-Φ(1.24) =0.1075.(3)P (|ξ|<1)=P (-1<ξ<1) =Φ(1)-Φ(-1)=Φ(1)-［1-Φ(1)］ =2Φ(1)-1 =2×0.8431-1 =0.6826.［师生共析］①若ξ~N(0,1),则ξ的概率密度函数关于y 轴对称, ∴P (ξ≤-x 0)=P (ξ≥x 0).②若ξ~N(0,1),Φ(x )=P (ξ<x ), 则P (|ξ|≤x )=P (-x ≤ξ≤x )=2Φ(x )-1, P (a <ξ≤b )=Φ(b )-Φ(a ).［师］(打出幻灯片§ 1.5.1 B )［生析］最佳路线是在允许的时间内有较大概率及时赶到火车站的那条路线. ［生］解：设ξ为行车时间.(1)走第一条路线,及时赶到的概率为 P (0<ξ≤70)=Φ(105070-)-Φ(10500-) ≈Φ(105070-)=Φ(2)=0.9772, 走第二条路线及时赶到的概率为 P (0<ξ≤70)≈Φ(46070-) =Φ(2.5) =0.9938,因此在这种情况下应走第二条路线.(2)走第一条路线及时赶到的概率为 P (0<ξ≤65)≈Φ(105065-) =Φ(1.5)=0.9332,走第二条路线及时赶到的概率为 P (0<ξ≤65)≈Φ(46065-) =Φ(1.25)=0.8944,因此在这种情况下应走第一条路线. ［师］(打出幻灯片§ 1.5.1 C ) ［生］解：(1)x =601(4×6+5×15+6×21+7×12+8×3+9×3)=6. s 2=601［6(4-6)2+15(5-6)2+21(6-6)2+12(7-6)2+3(8-6)2+3(9-6)2］=1.5. ∴s≈1.22.答：样本的数学平均成绩为6分,标准差为1.22.(2)以x =6,s≈1.22作为总体数学平均成绩和标准差的估计值,即μ=6,σ≈1.22,则总体服从正态分布N(6,1.222).正态曲线的近似方程为5.12)6(2222.11⨯--≈x ey π.(3)F(7)=Φ(22.167-)≈Φ(0.8)≈0.7881. 1-F(7)≈1-0.7881=0.2119. 210×0.2119=45.根据规定,大约有45名学生可以参加复赛. Ⅲ.课堂练习(一)课本P 35练习题1、2. (二)补充练习1.(2005年长沙市重点中学模拟题)若随机变量ξ~N(3,1)(服从正态分布),则P (-1<ξ≤1)等于( )A.2Φ(1)-1B.Φ(4)-Φ(2)C.Φ(-4)-Φ(-2)D.Φ(2)-Φ(4) 解析：P (-1<ξ≤1)=F(1)-F(-1),又∵F(1)=Φ(131-)=Φ(-2)=1-Φ(2), F(-1)=Φ(131--)=Φ(-4)=1-Φ(4).代入得P (-1<ξ≤1)=Φ(4)-Φ(2). 故选B. 答案：B2.设随机变量ξ服从正态N(0,1)分布,记Φ(x )=P (ξ<x ),若a >0,则下列结论错误的是( ) A.Φ(0)=0.5B.Φ(x )=1-Φ(-x )C.P (|ξ|>a )=1-Φ(a )D.P (ξ=0)=0解析：P (|ξ|>a )=P (ξ>a )+P (ξ<-a ) =［1-P (ξ<a )］+［1-P (ξ<a )］ =2-2Φ(a ).∴C 是错误的,应选C. 答案：C Ⅳ.课时小结本节课我们学习了正态分布、正态曲线、标准正态总体、标准正态曲线等基本概念,以及函数关系式及曲线的性质.(请同学们总结概括)［师］从这节课中,我们用到或学到哪些数学思想方法？［生］我们学到了函数与方程、数形结合、分类讨论、等价转化等数学思想,还学到了配方法、对称法、直觉类比法、猜想法、由特殊到一般等数学基本方法.(学生总结,教师板书)Ⅴ．课后作业课本P 35习题1.5 1、2、3. 板书设计§ 1.5.1 正态分布(一)一、正态分布的定义：222)(21)(σμπσ--=x ex f二、正态曲线定义：三、标准正态总体：N(0,1) 四、标准正态曲线五、正态曲线性质1.曲线在x 轴的上方,与x 轴不相交.2.曲线关于直线x =μ对称.3.曲线在x =μ时位于最高点.4.当x <μ时,曲线上升,当x >μ时,曲线下降.5.当μ一定时,曲线的形状由σ确定.六、标准正态N(0,1)表,相应于x 0的值Φ(x 0)是指总体取值小于x 0的概率,Φ(x 0)=P (x <x 0)(x 0≥0),当x 0<0时,Φ(x 0)=1-Φ(-x 0).在(x 1,x 2)内取值的概率为P =Φ(x 2)-Φ(x 1). 例题1.2(交通路线问题) 3(成绩统计问题)小结：数学思想：数学方法：。

高中数学目录(选修)

必修五第一章解三角形1．1 正弦定理和余弦定理1．2 应用举例1．3 实习作业第二章数列2．1 数列的概念与简单表示法2．2 等差数列2．3 等差数列的前n项和2．4 等比数列2．5 等比数列前n项和第三章不等式3．1 不等关系与不等式3．2 一元二次不等式及其解法3．3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3．4 基本不等式选修1－1 文科第一章常用逻辑用语1．1 命题及其关系1．2 充分条件与必要条件1．3 简单的逻辑联结词1．4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2．1 椭圆 2．2 双曲线 2．3 抛物线第三章导数及其应用3．1 变化率与导数 3．2 导数的计算3．3 导数在研究函数中的应用 3．4 生活中的优化问题举例选修1－2第一章统计案例1．1回归分析的基本思想及其初步应用1．2独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2．1 合情推理与演绎证明2．2 直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3．1 数系的扩充和复数的概念3．2 复数代数形式的四则运算第四章框图4．1 流程图4．2 结构图选修2-1理科第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系 1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词 1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.2 椭圆2.3 双曲线2.4 抛物线第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.2 立体几何中的向量方法选修2-2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算选修 2-3第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.2 排列与组合1.3 二项式定理第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2 二项分布及其应用2.3离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用3.2独立性检验的基本思想及其初步应用。

高三数学 1.5正态分布

我们从上表看到，正态总体在(μ－2σ, μ+2σ)以外取值的概率只有4.6％，在(μ－3σ, μ+3σ)以外取值的概率只有0.3％，由于这些概率值很小，通常称这些情况发生为小概率事件．也就是说，通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的．
查表求下列各值
(0.5)、(2.3)、(1.45) (0.5)=1-Φ(0.5)=1-0.6915=0.3085 (2.3)=0.9893
=0，=1
(2) f ( x )
1 2 2

( x 1 ) 8
2
e
, x ( , )
=1，=2
正态曲线的性质
观察：
性质：（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交
（2）曲线关于直线x=μ对称（3）曲线在x=μ时位于最高点。
（4）当x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降。并且当曲线
即，可用如图的蓝色阴影部分表示。
由于标准正态曲线关于 y 轴对称，表中仅给出了对应与非负值 x 的值 x 0 。
0
如果 x 0 0 ，那么由下图中两个阴影部分面积相等知：
x 0 1 x 0 .
例1.求标准正态总体在(1,2)内取值的概率．解：利用等式P=(x2) (x1)有
1.5正态分布
一、复习
由于总体分布通常不易知道，我们往往是用样本的频率分布（例如频率分布直方图）去估计总体分布。一般样本容量越大,这种估计就越精确。从上一节得出的100个产品尺寸的频率分布直方图可以看出，当样本容量无限大，分组的组距无限缩小时，这个频率直方图就会无限接近于一条光滑曲线---- 总体密度曲线。
F(μ+3σ)－F(μ－3σ)=Ф(3)－Ф(－3) ≈0.997；

高中数学正态分布

指数分布与正态分布关系
指数分布是一种连续型概率分布，用于描述两个连续事件之间的时间间隔。
在某些情况下，指数分布可以近似为正态分布。具体来说，当指数分布的参数 $lambda$ 足够大时，指数分布 $Exp(lambda)$ 可以用正态分布 $N(frac{1}{lambda}, frac{1}{lambdasqrt{2}})$ 来近似。然而，这种近似通常不如二项分布和泊松分布逼近正态分布那样准确。
多元正态分布的定义
多元正态分布是指多个随机变量组成的向量服从正态分布的情况。
多元正态分布的性质
多元正态分布具有一些重要的性质，如联合分布、边缘分布、条件分布和独立性等。
多元正态分布在统计学中的应用
多元正态分布广泛应用于多元统计分析中，如多元线性回归、主成分分析、因子分析等。
多元正态分布的参数估计和假设检验
对于多元正态分布的参数估计和假设检验，可以使用最大似然估计、协方差矩阵的估计和多元t检验等方法进行。
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THANKS
对两个正态总体均值或方差进行比较的假设检验，如t检验和F检验的两样本版本。
置信区间构建
利用样本数据构造总体均值的置信区间，以估计总体均值可能落入的范围。
01
02
单样本假设检验
对单个正态总体均值或方差进行假设检验，如t检验和F检验。
03
04
配对样本假设检验
对配对观测值之差的均值进行假设检验，如配对t检验。
智商分布
智商测试的结果也符合正态分布，大部分人的智商处于中等水平，极高和极低的智商相对较少。
生产过程中质量控制
产品质量分布
在生产线上，产品质量往往呈现正态分布，大部分产品符合质量标准，极少数产品存在严重缺陷

人教版高中数学(理科)选修正态分布教案

正态分布2目的要求1．利用标准正态分布表求得标准正态总体在某一区间内取值的概率。

2．掌握正态分布与标准正态分布的转换。

3．了解正态总体的分布情况，简化正态总体的研究问题。

内容分析1．标准正态分布是正态分布研究的重点，各式各样的正态分布可以通过)()(σμ-Φ=x x F 转换成标准正态曲线，转换后正态分布的各项性质保持不变，而标准正态分布的概率又可以通过查表求得，因而标准正态分布表的使用是本节课的重点之一。

2．介绍《标准正态分布表》的查法。

表中每一项有三个相关的量：x 、y 、P ，x 是正态曲线横轴的取值，y 是曲线的高度，P 是阴影部分的面积。

即)()(00x x P x <=Φ。

3．标准正态曲线关于y 轴对称。

因为当00>x 时，)()(00x x P x <=Φ；而当00<x 时，根据正态曲线的性质可得：)(1)(00x x -Φ-=Φ，并且可以求得在任一区间),(21x x 内取值的概率。

)()()(1221x x x x x P Φ-Φ=<<。

4．由例2、例3的讲授，对于任一正态总体),(2σμN 都可以通过)()(σμ-Φ=x x F ，求得其在某一区间内取值的概率。

5．从下列三组数据不难看出，正态总体在（μ-3σ，μ+3σ）以外的概率只有万分之二十六，这是一个很小的概率。

这样，就简化了正态总体中研究的问题。

F （μ-σ，μ+σ）≈0.683，F （μ-2σ，μ+2σ）≈0.954，F （μ-3σ，μ+3σ）≈0.997。

教学过程1．复习提问（1）借助于正态曲线图形，回忆正态曲线的性质。

（2）运用正态曲线的性质，解决实际问题。

2．标准正态总体的概率问题，只要有标准正态分布表即可解决，如何查表是必须解决的问题。

3．对于标准正态总体N （0，1），)(0x Φ是总体取值小于0x 的概率，即：)()(00x x P x <=Φ，其中00>x ，图中阴影部分的面积表示为概率。

高中数学人教版选修正态分布课件系列一

2. 正态分布密度函数的性质
正态分布密度函数满足以下性质：
(1)函数图像关于直线x＝μ对称
；
(2) σ(σ>0)的大小决定函数图像的“胖”“瘦”；
(3)如下图所示，
P(μ－σ<X<μ＋σ)＝68.3%， P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝95.4%， P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝99.7%.
(4)在分布密度函数图像下方和x轴上方范围内的区域面积为
的.
课前自主学习
1. 正态分布
如果一个连续型随机变量X的分布密度函数为
f(x)＝σ 12πexp{－x－2σμ2 2}，－∞<x<＋∞
，
其中exp{g(x)}＝eg(x)，那么称X服从参数为μ和σ2的正态分布，通常记作 X～N(μ，σ2) ．
正态分布的两个重要参数：均值μ和方差σ2(σ>0)．当μ和σ2 给定后，就是一个具体的正态分布．不同的μ和σ对应着不同的分布密度曲线，如下图所示．
[思路分析] 由正态曲线的图像可知，该曲线的对称轴为x
＝20，最大值为2
1
π，因此，μ＝20，由2
1
＝ πσ
12π可求得σ的
值．
[完美作答] 从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直
线x＝20对称，最大值是2 1 π，所以μ＝20.
由 σ
1 ＝1 2π 2
π，解得σ＝
2.
于是概率密度函数的解析式是P(x)＝2 1 πexp{－
人教版必修2-3
第二章随机变量及其分布 2.4 正态分布
课标要求
学法指导
1.利用实际问题的直方图，了解正态分 1.正态分布的小概率事件是一个重要的概

高考高中数学正态分布

高考高中数学正态分布在高考的数学领域中，正态分布是一个颇为重要的知识点。

对于许多同学来说，它可能一开始会让人感到有些困惑，但只要我们深入理解，就会发现其中的规律和魅力。

首先，让我们来了解一下正态分布到底是什么。

简单来说，正态分布是一种常见的概率分布。

想象一下，我们对某个群体进行测量，比如学生的身高、考试成绩、零件的尺寸等等，得到的数据往往会呈现出一种特定的分布形态，这就是正态分布。

正态分布的特点非常显著。

它是一个对称的“钟形曲线”，曲线的最高点在均值处，也就是数据的平均水平。

而且，大部分的数据会集中在均值附近，离均值越远，数据出现的频率就越低。

这就像是大多数学生的成绩会集中在平均分附近，特别高和特别低的分数相对较少。

那么，正态分布在高考数学中有哪些具体的应用呢？一个重要的方面是概率计算。

给定一个正态分布的参数，比如均值和标准差，我们可以计算某个区间内数据出现的概率。

比如说，已知某班级考试成绩服从正态分布，均值是 80 分，标准差是 10 分，我们就可以计算出成绩在 70 分到 90 分之间的学生所占的比例。

在解题过程中，我们常常需要将给定的数值标准化。

这是因为正态分布表中给出的是标准正态分布（均值为 0，标准差为 1）的概率值。

通过标准化公式，将原始数据转化为标准正态分布中的数值，然后就可以利用正态分布表来查找相应的概率。

举个例子，假设某地区高考数学成绩服从正态分布，均值为100 分，标准差为 15 分。

现在要计算成绩大于 120 分的考生比例。

我们首先将120 分标准化：（120 100) ／15 ≈ 133 。

然后，在标准正态分布表中查找大于 133 的概率，就能得到成绩大于 120 分的考生比例。

对于正态分布的理解，还需要注意几个要点。

其一，标准差反映了数据的离散程度。

标准差越大，数据越分散；标准差越小，数据越集中。

其二，正态分布在实际生活中的应用非常广泛。

除了前面提到的成绩、身高、尺寸等，还包括产品质量控制、医学中的生理指标、经济数据等等。

新课标A版高中数学选修2-3课件：正态分布(一)

①
②
题型一
例1
正态分布密度函数的概念
)
下列函数是正态分布密度函数的是(
x －μ 1 －【思路】仔细对照正态分布密度函数 f(x)＝ · e 2σ (x 2πσ
2 2
∈R)，注意指数 σ 和系数的分母上的 σ 要一致，以及指数部分是一个负数．
【解析】 A 错在正确的函数的系数分母部分的二次根式不包含 σ 的，而且指数部分的符号应当是负的． 1 C 从系数看 σ＝2，但从指数看 σ＝ 2，不正确． 2πσ D 错在指数部分缺少一个负号．
(4)曲线与 x 轴之间的面积为 1； (5)当 σ 一定时，曲线的位置由 μ 决定，曲线随着 μ 的变化而沿 x 轴左右平移，实际上 E(X)＝μ；如下图① (6)当 μ 一定时，曲线的形状由 σ 确定， σ 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．实际上，σ 的大小刻画了总体分布的集中与分散程度，且 D(X)＝σ2，如下图②.
正态分布
（一）正态分布的概念
1.正态曲线
μ 1 －x－函数 φμ，σ(x)＝ e 2σ ，x∈(－∞，＋∞)，其中实数 μ 和 σ 2π· σ 为参数．我们称 φ (x)的图像为正态分布密度曲线，简称
2 2
μ，σ
正态曲线．如图所示：
2．正态分布如果对于任何实数 a<b，随机变量 X 满足那么称 X 的分布为正态分布．
【答案】 B
探究 1
一定要小心识别各种函数是不是正态分布密度函
数，不能看着相似就认定必定是正态分布密度函数．
【答案】 C
题型二
例2
正态曲线的性质
关于正态曲线性质的叙述：

数学：1.5《正态分布》课件

例题6.(1). 设离散型随机变量 ~ N(0,1)，则P( 0) P( 2 2)
例6.( 2).设 ~ N (0,1), 借助于标准正态分布的函数表计算: (1) p( > 1.24); (2) p( < -1.24); (3) p( < 1).
ex : 一批灯泡的使用时间 (单位 : 小时)服从正态分布N， (10000 ,4002 )则这批灯泡中使用时间超过10800 小时的灯泡的概率为
解： (1). ~ N(0,2.5), 0, 2 2.5 又 f (x) 1 2 e
( x ) 2 22
的概率密度函数为f(x)
1 5
e
x2 5
(x R )
解： (2).设表示5件产品中的合格品数. ~ B(5, P)(p p(| | 3)),
P(| | 3) ( 3 2.5 2.5 (1.90) ( 1.90) ) ( 3 )
(1.90) [1 (1.90)] 2(1.90) 1 0.9426 P( 5 0.8) P( 4)
C 5 (0.9426) 0.0574 (0.9426)
解：设检验出的钢筋长度为a，则a 2. 8, 2,| a | 3 这说明这一钢筋的长度出现在区间（ 3， 3）之外，理应拒绝假设. 所以质检员应马上让钢筋工停止生产，立即检修钢筋切割机.
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留下任何后遗症。至于小青，她原本就是一个通情达理的人，也理解耿正拒绝自己的原因。当她接受了东伢子的爱之后，情绪很快就平静下来了。那天下午，乘着东伢子回去拿白酒的空档，耿英又进西屋里给她讲了自己与大壮的事。告诉她，那天在门口遇到东伢子时，弟弟所提到的那个他很喜欢的大壮哥哥，实际上就是耿英自己倾心爱着的人。而她那天在小树林里所以问小青附近有没有一条小河，也是因为她和大壮小的时候经常在故乡的那条小河边上玩儿，大壮经常给她捉鱼。说到离家的前夜，她和大壮还坐在小河边的大石头上一起看月亮时，耿英思念的泪水滚滚而下。小青呢，从内心里非常感激耿英，知道她是一片真心为自己好，是希望自己以后能够真心实意地回爱东伢子。小青现在回想一下，这东伢子也实在是没有什么不好的地方。于是，小青暗下决心，今后一定要好好珍惜东伢子对自己的这一份真情！在家里，自己一定要当个好姐姐，不能再像耿英说的那样，没有一个当姐姐的样子了。然而，当所有的一切终于完全平息下来后，耿老爹却不想在白家继续住下去了，甚至有了离开武昌镇的想法。103第三十九回耿正无辜吃重拳|（东伢子不解内中情，耿正无辜吃重拳；东伢子羞愧众人怨，耿英出面劝小青。）眼看着小青跌跌撞撞地哭着向树林外边跑去了，耿正来不及多想，赶快拔腿往前追去。但他刚跑出十来步远，冷不防旁边的树丛里突然之间“刺溜”蹿出来一个壮汉，照准他的左肩膀就是狠狠的一拳。这一拳打得实在够重，耿正只感觉半边身子发麻，左肩膀就好像给整个儿卸下来了一样，一个趔趄站立不稳，“扑通”一声重重地跌倒了。耿正好生奇怪，自己来到这武昌镇上以后，并不曾得罪过任何人啊，这人为何下如此狠手！就在倒地的一瞬间，耿正扭头看到，打自己这一拳的并非旁人，而是那个特别憨厚壮实的东伢子！只见他正愤怒地瞪着两只眼睛呼呼直喘，好像这一拳下来还不够解气，还想继续动手的样子。耿正到底年轻，顺势往旁边一滚，一个鲤鱼打挺站了起来，万分不解又很生气地对愤怒不已的东伢子说：“东伢子你为什么打我？我惹着你什么啦！”没有想到，耿正这句话更加激怒了东伢子，他就像一头愤怒的狮子一样再一次举起了巨大的拳头吼道： “你没有惹我什么？你惹了小青就是惹了我啦！我揍的就是你！”耿正眼快，赶快躲过这一拳，对东伢子说：“你不要这样好不好？你听我解释！”不明究里的东伢子呼呼地喘着粗气很不耐烦地说：“你有什么可解释的？小青她既然喜欢你，你可以娶她，但是我绝不允许你欺负她！”此时耿正终于明白，这个特别憨厚的东伢子为什么会如此愤怒地对自己动粗了。然而，明白过来的耿正实在是有些哭笑不得了。他咧嘴

高中数学课程内容

高中数学课程内容必修课程由5个模块组成:必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数）必修2：立体几何初步、平面解析几何初步必修3：算法初步、统计、概率。

必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。

必修5：解三角形、数列、不等式。

以上是每一个高中学生所必须学习的。

选修课程由4个系列：系列1：由2个模块组成。

选修1--1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。

选修1---2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图。

系列2：由3个模块组成。

选修2--1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。

选修2--2：导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数。

选修2--3：计数原理、随机变量及其分布列、统计案例。

系列3：由6个专题组成。

选修3--1：................................................................................................................................................... .............................................................................................................................................................. ......................................................................................................................................................重难点及考点：重点：函数、数列、三角函数、平面向量、圆锥曲线、立体几何、导数难点：函数、圆锥曲线。

人教版高中数学课件-正态分布

高考总复习数学
第十六章概率与统计（选修·理科）
高考总复习数学
第十六章概率与统计（选修·理科）
(2)P(－4＜X≤4)＝P(0－4＜X≤0＋4) ＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6. [點評與警示] 要確定一個正態分佈的概率密度函數的解析式，關鍵是求解析式中的兩個參數μ，σ的值，其中μ決定曲線的對稱軸的位置，σ則與曲線的形狀和最大值有關．
第十六章概率与统计（选修·理科）
高考总复习数学
第十六章概率与统计（选修·理科）
高考总复习数学
第十六章概率与统计（选修·理科）
1．正態曲線與正態分佈
(1)函數，
其中實數μ和σ(σ>0)為參數．我們稱φμ，σ(x)的圖象為正態分佈密
度曲線，簡稱
正態曲線．
高考总复习数学
第十六章概率与统计（选修·理科）
3．(1)正態總體在三個特殊區間內取值的概率值．
P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝
0.68；26P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝
；P(0μ.－9534σ4<X≤μ＋3σ)＝
0.9974.
高考总复习数学
第十六章概率与统计（选修·理科）
(2)3σ原則
服從於正態分佈 N(μ ， σ2) 的隨機變數 X 只取
∴P(－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954，故選C.
[答案] C
高考总复习数学
第十六章概率与统计（选修·理科） 3．(2011·深圳一模)設隨機變數X～N(1,32)，且P(X≤0)＝ P(X＞a－6)，則實數a的值為________．
[答案] 8
高考总复习数学
第十六章概率与统计（选修·理科）

高中数学：2.6.正态分布(一)教案(北师大选修2-3)

2.6. 正态散布教课目的：知识与技术：掌握正态散布在实质生活中的意义和作用。

过程与方法：联合正态曲线，加深对正态密度函数的理理。

感情、态度与价值观：经过正态散布的图形特点，概括正态曲线的性质教课要点：正态散布曲线的性质、标准正态曲线N(0 ， 1)。

教课难点：经过正态散布的图形特点，概括正态曲线的性质。

教课课时： 3 课时教具准备：多媒体、实物投影仪。

教课假想：在整体散布研究中我们选择正态散布作为研究的打破口，正态散布在统计学中是最基本、最重要的一种散布。

内容剖析：1．在实质碰到的很多随机现象都听从或近似听从正态散布在上一节课我们研究了当样本容量无穷增大时，频次散布直方图就无穷凑近于一条整体密度曲线，整体密度曲线较科学地反应了整体散布但整体密度曲线的有关知识较为抽象，学生不易理解，所以在整体散布研究中我们选择正态散布作为研究的打破口正态散布在统计学中是最基本、最重要的一种散布2．正态散布是能够用函数形式来表述的其密度函数可写成：1( x) 2e 22（σ＞ 0）f (x), x ( , ) ，2因而可知，正态散布是由它的均匀数μ和标准差σ独一决定的常把它记为 N ( , 2 ) 3．从形态上看，正态散布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在 x=μ时取最大值从 x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延长，不停迫近x 轴，但永不与 x 轴订交，所以说曲线在正负两个方向都是以x 轴为渐近线的4．经过三组正态散布的曲线，可知正态曲线拥有两端低、中间高、左右对称的基本特点5．因为正态散布是由其均匀数μ和标准差σ独一决定的，所以从某种意义上说，正态散布就有好多好多，这给我们深入研究带来必定的困难但我们也发现，很多正态散布中，要点研究N（ 0， 1），其余的正态散布都能够经过F ( x)( x) 转变为N（0，1），我们把N（0，1）称为标准正态散布，其密度函数为F ( x)11x2e 2， x∈（ - ∞， +∞），进而使正态散布的2研究得以简化6．联合正态曲线的图形特点，概括正态曲线的性质正态曲线的作图较难，教科书没做要求，授课时能够借助几何画板作图，学生只需认识大概的情况就行了，要点是能经过正态曲线，指引学生概括其性质教课过程：学生研究过程：复习引入：整体密度曲线: 样本容量越大，所分组数越多，各组的频次就越凑近于整体在相应各组取值的概率．假想样本容量无穷增大，分组的组距无穷减小，那么频次散布直方图就会无穷凑近于一条圆滑曲线 , 这条曲线叫做整体密度曲线．频次 /组距O 整体密度曲线单位a b它反应了整体在各个范围内取值的概率．依据这条曲线，可求出整体在区间( a，b) 内取值的概率等于整体密度曲线，直线x=a， x=b 及 x 轴所围图形的面积．察看整体密度曲线的形状，它拥有“两端低，中间高，左右对称”的特点，具有这类特点的整体密度曲线一般可用下边函数的图象来表示或近似表示：1( x)22, ( x)e2, x( , )2式中的实数、(0) 是参数，分别表示整体的均匀数与标准差，, ( x)的图象为正态散布密度曲线, 简称正态曲线．解说新课：一般地，假如对于任何实数 a b ，随机变量X知足P(a X B)b, ( x)dx , a则称 X 的散布为正态散布（ normal distribution) ．正态散布完整由参数和确立，所以正态散布常记作N( , 2)．假如随机变量X听从正态散布，则记为X～N(,2 ) .经验表示，一个随机变量假如是众多的、互不相关的、不分主次的有时要素作用结果之和，它就听从或近似听从正态散布．比如，高尔顿板试验中，小球在着落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右着落，所以小球第 1 次与高尔顿板底部接触时的坐标 X 是众多随机碰撞的结果，所以它近似听从正态散布．在现实生活中，好多随机变量都听从或近似地听从正态散布．比如长度丈量偏差；某一地域同年纪人群的身高、体重、肺活量等；必定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各样产品的质量指标（如部件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的均匀气温、均匀湿度、降雨量等；一般都听从正态散布．所以，正态散布宽泛存在于自然现象、生产和生活实质之中．正态散布在概率和统计中据有重要的地位．说明 :1 参数是反应随机变量取值的均匀水平的特点数，能够用样本均值去佑计；是权衡随机变量整体颠簸大小的特点数，能够用样本标准差去预计．2.早在 1733 年，法国数学家棣莫弗就用 n！的近似公式获得了正态散布．以后，德国数学家高斯在研究丈量偏差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，所以，人们也称正态散布为高斯散布．2．正态散布N ( , 2 )）是由均值μ和标准差σ独一决定的散布经过固定此中一个值，议论均值与标准差对于正态曲线的影响3．经过对三组正态曲线剖析，得出正态曲线拥有的基本特点是两端底、中间高、左右对称正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不用补上授课时教师能够应用几何画板，形象、雅观地画出三条正态曲线的图形，联合前方均值与标准差对图形的影响，指引学生察看总结正态曲线的性质4．正态曲线的性质：（1）曲线在 x 轴的上方，与 x 轴不订交（2）曲线对于直线 x=μ对称（3）当 x= μ时，曲线位于最高点（4）当 x＜μ时，曲线上涨（增函数）；当x＞μ时，曲线降落（减函数）并且当曲线向左、右两边无穷延长时，以x 轴为渐近线，向它无穷凑近（5）μ一准时，曲线的形状由σ确立σ越大，曲线越“矮胖” ，整体散布越分别；σ越小．曲线越“瘦高” ．整体散布越集中：五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，所以在解说时应运用数形联合的原则，采纳对照教课5．标准正态曲线: 当μ =0、σ =l时，正态整体称为标准正态整体，其相应的函数表示式1x2是 f ( x) e 2，（-∞＜x＜+∞）2其相应的曲线称为标准正态曲线标准正态整体N（ 0， 1）在正态整体的研究中据有重要的地位任何正态散布的概率问题均可转变成标准正态散布的概率问题解说典范：例 1．给出以下三个正态整体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ（１）（２）1x2f ( x) e 2 , x(,)21( x 1)2f ( x)e8, x(, )22（３） f ( x)2e 2( x 1)2, x ( , )2答案： (1)0 ， 1；(2)1 ， 2； (3)-1 ， 0.5例 2 求标准正态整体在（-1 ， 2）内取值的概率．解：利用等式p( x2 )( x1 ) 有p(2)( 1)(2)11= (2)(1)1 =0.9772＋ 0.8413－ 1=0.8151 ．1.标准正态整体的概率问题 :yx对于标准正态整体N（ 0， 1），( x0 ) 是整体取值小于x0的概率，即( x0 ) P(x x0 ) ，此中 x0 0 ，图中暗影部分的面积表示为概率P(x x0 )只需有标准正态散布表即可查表解决 . 从图中不难发现 : 当x00 时， ( x0 ) 1(x0 )；而当 x0 0 时，Φ（0）=0.52.标准正态散布表标准正态整体 N(0,1)在正态整体的研究中有特别重要的地位，为此特意制作了“标准正态散布表”．在这个表中，对应于x0的值(x0 ) 是指整体取值小于x0的概率，即(x0 ) P( x x0 ) ， ( x00) ．若 x00 ，则 ( x0 ) 1( x0 ) ．利用标准正态散布表，能够求出标准正态整体在随意区间( x1 , x2 ) 内取值的概率，即直线 x x1， x x2与正态曲线、 x 轴所围成的曲边梯形的面积P(x1 x x2 )(x2 )(x1) ．3．非标准正态整体在某区间内取值的概率: 能够经过F (x)( x) 转变成标准正态整体，而后查标准正态散布表即可在这里要点掌握怎样转变第一要掌握正态整体的均值和标准差，而后进行相应的转变4. 小概率事件的含义发生概率一般不超出5％的事件，即事件在一次试验中几乎不行能发生假定查验方法的基本思想 : 第一，假定整体应是或近似为正态整体，而后，依据小概率事件几乎不行能在一次试验中发生的原理对试验结果进行剖析假定查验方法的操作程序，即“三步曲”一是提出统计假定，教科书中的统计假定整体是正态整体；二是确立一次试验中的 a 值能否落入 ( μ -3 σ，μ +3σ ) ；三是作出判断解说典范：例 1. 若 x ～ N (0,1), 求 (l) P (-2.32< x <1.2) ； (2) P ( x >2).解： (1) (-2.32< x <1.2)= (1.2)-(-2.32)P= (1.2)-[1- (2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.(2)P ( x >2)=1- P ( x <2)=1- (2)=l-0.9772=0.0228.例 2．利用标准正态散布表，求标准正态整体在下边区间取值的概率：(1) 在 N(1,4) 下，求 F (3)（ 2）在 N （μ，σ 2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）；Ｆ（μ－ 1.84 σ，μ＋ 1.84 σ）；Ｆ（μ－ 2σ，μ＋ 2σ）；Ｆ（μ－ 3σ，μ＋ 3σ）解：（１） F (3) ＝(31) ＝Φ（ 1）＝ 0.84132（２）Ｆ（μ＋σ）＝ () ＝Φ（ 1）＝ 0.8413Ｆ（μ－σ）＝ () ＝Φ（－ 1）＝１－Φ（ 1）＝１－ 0.8413 ＝0.1587Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413 － 0.1587 ＝ 0.6826Ｆ（μ－ 1.84 σ，μ＋ 1.84 σ）＝Ｆ（μ＋ 1.84 σ）－Ｆ（μ－ 1.84 σ）＝ 0.9342 Ｆ（μ－ 2σ，μ＋ 2σ）＝Ｆ（μ＋ 2σ）－Ｆ（μ－ 2σ）＝ 0.954Ｆ（μ－ 3σ，μ＋ 3σ）＝Ｆ（μ＋ 3σ）－Ｆ（μ－ 3σ）＝ 0.997 对于正态整体 N ( , 2 ) 取值的概率：68.3%x95.4%99.7%xx2 σ4 σ6σ在区间（μ - σ，μ +σ）、（μ -2 σ，μ +2σ）、（μ -3 σ，μ +3σ）内取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7% 所以我们经常只在区间（μ-3 σ，μ +3σ）内研究正态整体散布状况，而忽视此中很小的一部分例 3．某正态整体函数的概率密度函数是偶函数，并且该函数的最大值为1 ，求整体2落入区间（－ 1.2 ， 0.2 ）之间的概率1(x)2解：正态散布的概率密度函数是f ( x)2e2, x ( , ) ，它是偶函数，说21明μ＝ 0，f ( x)的最大值为 f ( ) ＝，所以σ＝1，这个正态散布就是标准正态散布2P( 1.2 x 0.2)(0.2)( 1.2)(0.2)[1 (1.2)](0.2)(1.2) 1稳固练习：书籍第74 页 1,2,3课后作业：书籍第 75页习题 2.4A组1,2B组 1,2教课反省：1．在实质碰到的很多随机现象都听从或近似听从正态散布在上一节课我们研究了当样本容量无穷增大时，频次散布直方图就无穷凑近于一条整体密度曲线，整体密度曲线较科学地反应了整体散布但整体密度曲线的有关知识较为抽象，学生不易理解，所以在整体散布研究中我们选择正态散布作为研究的打破口正态散布在统计学中是最基本、最重要的一种散布2．正态散布是能够用函数形式来表述的其密度函数可写成：1( x) 2e 22,) ，（σ＞ 0）f (x), x (2因而可知，正态散布是由它的均匀数μ和标准差σ独一决定的常把它记为 N ( , 2 ) 3．从形态上看，正态散布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在 x=μ时取最大值从 x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延长，不停迫近x轴，但永不与 x 轴订交，所以说曲线在正负两个方向都是以x 轴为渐近线的4．经过三组正态散布的曲线，可知正态曲线拥有两端低、中间高、左右对称的基本特点。