导数有关的构造函数

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必须掌握的7种构造函数方法——合理构造函数,巧解导数难题2

必须掌握的7种构造函数方法——合理构造函数，巧解导数难题近几年高考数学压轴题，多以导数为工具来证明不等式或求参数的范围，这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解导数问题的最基本方法，但在平时的教学和考试中，发现很多学生不会合理构造函数，结果往往求解非常复杂甚至是无果而终．因此笔者认为解决此类问题的关键就是怎样合理构造函数，本文以近几年的高考题和模考题为例，对在处理导数问题时构造函数的方法进行归类和总结，供大家参考．一、作差构造法1．直接作差构造评注：本题采用直接作差法构造函数，通过特殊值缩小参数范围后，再对参数进行分类讨论来求解．2．变形作差构造二、分离参数构造法分离参数是指对已知恒成立的不等式在能够判断出参数系数正负的情况下，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量的不等式，只要研究变量不等式的最值就可以解决问题．三、局部构造法1．化和局部构造2．化积局部构造四、换元构造法换元构造法在处理多变元函数问题中应用较多，就是用新元去代替该函数中的部分（或全部）变元．通过换元可以使变量化多元为少元，即达到减元的目的．换元构造法是求解多变元导数压轴题的常用方法．评注：本题的两种解法通过将待解决的式子进行恰当的变形，将二元字母变出统一的一种结构，然后用辅助元将其代替，从而将两个变元问题转化一个变元问题，再以辅助元为自变量构造函数，利用导数来来求解。

其中解法1、解法2还分别体现了化积局部构造法和变形作差构造法．五、主元构造法主元构造法，就是将多变元函数中的某一个变元看作主元（即自变量），将其它变元看作常数，来构造函数，然后用函数、方程、不等式的相关知识来解决问题的方法.六、特征构造法1．根据条件特征构造2．根据结论特征构造七、放缩构造法1．由基本不等式放缩构造2．由已证不等式放缩构造评注：本题第二问是一道典型且难度比较大的求参问题，这类题目很容易让考生想到用分离参数的方法，但分离参数后利用高中所学知识无法解决，笔者研究发现不能解决的原因是分离参数后，出现了“0/0型”的式子，解决这类问题的有效方法就是高等数学中的洛必达法则；若直接构造函数，里面涉及到指数函数、三角函数及高次函数，处理起来难度很大．本题解法中两次巧妙利用第一问的结论，通过分类讨论和假设反正，使问题得到解决，本题也让我们再次体会了化积局部构造法的独特魅力．。

必须掌握的7种构造函数方法——合理构造函数，巧解导数难题

近几年高考数学压轴题，多以导数为工具来证明不等式或求参数的范围，这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解导数问题的最基本方法，但在平时的教学和考试中，发现很多学生不会合理构造函数，结果往往求解非常复杂甚至是无果而终．因此笔者认为解决此类问题的关键就是怎样合理构造函数，本文以近几年的高考题和模考题为例，对在处理导数问题时构造函数的方法进行归类和总结，供大家参考．一、作差构造法1．直接作差构造评注：本题采用直接作差法构造函数，通过特殊值缩小参数范围后，再对参数进行分类讨论来求解．2．变形作差构造二、分离参数构造法分离参数是指对已知恒成立的不等式在能够判断出参数系数正负的情况下，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量的不等式，只要研究变量不等式的最值就可以解决问题．三、局部构造法1．化和局部构造2．化积局部构造四、换元构造法换元构造法在处理多变元函数问题中应用较多，就是用新元去代替该函数中的部分（或全部）变元．通过换元可以使变量化多元为少元，即达到减元的目的．换元构造法是求解多变元导数压轴题的常用方法．评注：本题的两种解法通过将待解决的式子进行恰当的变形，将二元字母变出统一的一种结构，然后用辅助元将其代替，从而将两个变元问题转化一个变元问题，再以辅助元为自变量构造函数，利用导数来来求解。

导数构造函数

导数构造函数题型一、出现导函数，结构明显，模式固定。

常用模型如下：(1)条件：f ′(x )>a (a ≠0)：构造函数：h (x )＝f (x )－ax .(2)条件：f ′(x )±g ′(x )>0：构造函数：h (x )＝f (x )±g (x )．(3)条件：f ′(x )＋f (x )>0：构造函数：h (x )＝e x f (x )．(4)条件：f ′(x )－f (x )>0：构造函数：h (x )＝f x e x .(5)条件：xf ′(x )＋f (x )>0：构造函数：h (x )＝xf (x )．(6)条件：xf ′(x )－f (x )>0：构造函数：h (x )＝f x x. 例1、已知()f x '是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()()()23x f x e x f x '=++，()01f =，则不等式()5x f x e <的解集为（）A ．()4,1- B ．(1,4)- C ．(,4)(1,)-∞-+∞U D ．(,1)(4,)-∞-+∞U解：令()()x f x G x e =，则()()()23x f x f x G x x e'-'==+，可设2()3G x x x c =++(0)(0)1G f ==Q ，1c ∴= 所以2()()31x f x G x x x e ==++解不等式()5x f x e <，即()5x f x e <，解得41x -<<，所以不等式的解集为()4,1-例2、已知函数()f x 满足()()f x f x =-，且当(],0x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<成立，若()()0.60.622a f =⋅，()()ln2ln2b f =⋅，118822log log c f ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( )。

2023届高考数学一轮复习导数中的构造函数

,c=
,因此设函数 f(x)=
,则
e
e
3
5

-ln
-ln
f'(x)= 2 ,当 x>1 时,f'(x)= 2 <0,所以函数 f(x)在(1,+∞)上单调递减,又因为

1<e<3<5,所以 f(e)>f(3)>f(5),即 a>b>c,故选 A.
1
ln3
ln4
对点训练 1(2021 重庆二十九中高三月考)已知实数 a= ,b= ,c= ,则 a,b,c
()
③对于f'(x)cos x+f(x)sin x>0(或<0),构造函数F(x)= cos ;
④对于f'(x)cos x-f(x)sin x>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)cos x.
π
例 6.(多选)(2021 广东惠州高三期中)已知定义在 0, 2 上的函数 f(x)的导函数
x>0 时,g'(x)<0,则函数
a>b,则必有
'()-()
g'(x)= 2 ,因为当
x>0 时,xf'(x)-f(x)<0,所以当
()
g(x)= 在(0,+∞)上单调递减,所以对任意正数
()
()
g(a)= <g(b)= ,即

bf(a)<af(b),故选 B.
a,b,若
A.(-∞,- 2)∪( 2,+∞) B.(- 2, 2)
C.(-∞,- 2) D.( 2,+∞)
解析设F(x)=x2f(x),F'(x)=x2f'(x)+2xf(x)=x(xf'(x)+2f(x)),因为当x>0

专题一微重点导数中的函数构造问题

微重点3 导数中的函数构造问题导数中的函数构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也常在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题．考点一导数型构造函数考向1 利用f (x )与x 构造例1 (2022·苏州质检)已知函数f (x )满足f (x )＝f (－x )，且当x ∈(－∞，0]时，f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a ＝20.6·f (20.6)，b ＝ln 2·f (ln 2)，c ＝log 218·f ⎝⎛⎭⎫log 218，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >cB ．c >b >aC ．a >c >bD ．c >a >b答案 B解析因为f (x )＝f (－x )，所以函数f (x )是偶函数，令g (x )＝x ·f (x )，则g (x )是奇函数，g ′(x )＝f (x )＋x ·f ′(x )，当x ∈(－∞，0]时，f (x )＋xf ′(x )<0成立，所以g (x )在x ∈(－∞，0]上单调递减，又g (x )在R 上是连续函数，且是奇函数，所以g (x )在R 上单调递减，则a ＝g (20.6)，b ＝g (ln 2)，c ＝g ⎝⎛⎭⎫log 218，因为20.6>1,0<ln 2<1，log 218＝－3<0，所以log 218<0<ln 2<1<20.6，所以c >b >a .规律方法 (1)出现nf (x )＋xf ′(x )的形式，构造函数F (x )＝x n f (x )；(2)出现xf ′(x )－nf (x )的形式，构造函数F (x )＝ f (x )x n . 跟踪演练1 已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ′(x )－f (x )x －3>0，且f (1)＝0，则不等式f (e x )－3x e x >0的解集为( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(e ，＋∞)答案 C解析设g (x )＝f (x )x－3ln x ，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2－3x＝xf ′(x )－f (x )－3x x 2. 因为f ′(x )－f (x )x－3>0，x >0，所以xf ′(x )－f (x )－3x >0，所以g ′(x )>0，即g (x )在(0，＋∞)上单调递增．不等式f (e x )－3x e x >0可转化为f (e x )e x －3ln e x >0，又g (e x)＝f (e x )e x －3ln e x ，且g (1)＝f (1)1－3ln 1＝0，即g (e x )>g (1)，所以e x >1，解得x >0.考向2 利用f (x )与e x 构造例2 (2022·枣庄质检)已知f (x )为定义在R 上的可导函数，f ′(x )为其导函数，且f (x )<f ′(x )恒成立，其中e 是自然对数的底数，则( )A ．f (2 022)<e f (2 023)B ．e f (2 022)<f (2 023)C ．e f (2 022)＝f (2 023)D ．e f (2 022)>f (2 023)答案 B解析设函数g (x )＝f (x )e x ，可得g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x，由f (x )<f ′(x )，可得f ′(x )－f (x )>0，所以g ′(x )>0，所以g (x )单调递增，则f (2 022)e 2 022< f (2 023)e 2 023，即e f (2 022)<f (2 023)．规律方法 (1)出现f ′(x )＋nf (x )的形式，构造函数F (x )＝e nx f (x )；(2)出现f ′(x )－nf (x )的形式，构造函数F (x )＝f (x )e nx . 跟踪演练2 (2022·成都模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f ′(x )>0，且f (3)＝3，则f (x )>3e 3－x 的解集为________．答案 (3，＋∞)解析设F (x )＝f (x )·e x ，则F ′(x )＝f ′(x )·e x ＋f (x )·e x＝e x [f (x )＋f ′(x )]>0，∴F (x )在R 上单调递增．又f (3)＝3，则F (3)＝f (3)·e 3＝3e 3.∵f (x )>3e 3－x 等价于f (x )·e x >3e 3，即F (x )>F (3)，∴x >3，即所求不等式的解集为(3，＋∞)．考向3 利用f (x )与sin x ，cos x 构造例3 偶函数f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫－π2，π2，其导函数为f ′(x )，若对任意的x ∈⎣⎡⎭⎫0，π2，有f ′(x )·cos x <f (x )sin x 成立，则关于x 的不等式2f (x )<f ⎝⎛⎭⎫π3cos x的解集为__________________．答案 ⎝⎛⎭⎫－π2，－π3∪⎝⎛⎭⎫π3，π2 解析令g (x )＝f (x )cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， ∴g (－x )＝f (－x )cos(－x )＝f (x )cos x ＝g (x )，∴g (x )为偶函数，又g ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )sin x ，∴当x ∈⎣⎡⎭⎫0，π2时，g ′(x )<0，即g (x )在⎣⎡⎭⎫0，π2上单调递减，又g (x )为偶函数，∴g (x )在⎝⎛⎦⎤－π2，0上单调递增，不等式2f (x )<f ⎝⎛⎭⎫π3cos x 可化为f (x )cos x <f ⎝⎛⎭⎫π3cos π3，即g (x )<g ⎝⎛⎭⎫π3，则⎩⎨⎧ |x |>π3，－π2<x <π2，解得－π2<x <－π3或π3<x <π2. 规律方法函数f (x )与sin x ，cos x 相结合构造可导函数的几种常见形式(1)F (x )＝f (x )sin x ，F ′(x )＝f ′(x )sin x ＋f (x )cos x ；(2)F (x )＝f (x )sin x， F ′(x )＝f ′(x )sin x －f (x )cos x sin 2x； (3)F (x )＝f (x )cos x ，F ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )sin x ；(4)F (x )＝f (x )cos x， F ′(x )＝f ′(x )cos x ＋f (x )sin x cos 2x. 跟踪演练3 已知奇函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上恒有f (x )sin x < f ′(x )cos x成立，则下列不等式成立的是( ) A.2f ⎝⎛⎭⎫π6>f ⎝⎛⎭⎫π4B ．f ⎝⎛⎭⎫－π3<3f ⎝⎛⎭⎫－π6C.3f ⎝⎛⎭⎫－π4<2f ⎝⎛⎭⎫－π3 D.2f ⎝⎛⎭⎫π3<3f ⎝⎛⎭⎫π4 答案 B解析构造函数F (x )＝f (x )sin x，由f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上恒有f (x )sin x < f ′(x )cos x成立，即f ′(x )sin x －f (x )cos x >0，∴F ′(x )＝f ′(x )sin x －f (x )cos x (sin x )2>0， ∴F (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，又F (－x )＝f (－x )sin (－x )＝－f (x )－sin x＝F (x )， ∴F (x )为偶函数，∵π6<π4， ∴F ⎝⎛⎭⎫π6<F ⎝⎛⎭⎫π4，∴f ⎝⎛⎭⎫π6sin π6<f ⎝⎛⎭⎫π4sin π4， ∴2f ⎝⎛⎭⎫π6<f ⎝⎛⎭⎫π4，故A 错误；∵偶函数F (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增， ∴F (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，0上单调递减， ∵－π3<－π6，∴F ⎝⎛⎭⎫－π3>F ⎝⎛⎭⎫－π6， ∴f ⎝⎛⎭⎫－π3sin ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫－π6sin ⎝⎛⎭⎫－π6，∴－f ⎝⎛⎭⎫－π3>－3f ⎝⎛⎭⎫－π6， ∴f ⎝⎛⎭⎫－π3<3f ⎝⎛⎭⎫－π6，故B 正确； F ⎝⎛⎭⎫－π4<F ⎝⎛⎭⎫－π3，∴f ⎝⎛⎭⎫－π4sin ⎝⎛⎭⎫－π4<f ⎝⎛⎭⎫－π3sin ⎝⎛⎭⎫－π3，∴－3f ⎝⎛⎭⎫－π4<－2f ⎝⎛⎭⎫－π3， ∴3f ⎝⎛⎭⎫－π4>2f ⎝⎛⎭⎫－π3，故C 错误； ∵π3>π4，∴F ⎝⎛⎭⎫π3>F ⎝⎛⎭⎫π4，∴f ⎝⎛⎭⎫π3sin π3>f ⎝⎛⎭⎫π4sin π4， ∴2f ⎝⎛⎭⎫π3>3f ⎝⎛⎭⎫π4，故D 错误．考点二同构法构造函数例4 已知a >0，若在(1，＋∞)上存在x 使得不等式e x －x ≤x a －a ln x 成立，则a 的最小值为________．答案 e解析 ∵x a ＝ln ln e e a x a x ＝，∴不等式即为e x －x ≤e a ln x －a ln x .由a >0且x >1得a ln x >0，设y ＝e x －x ，则y ′＝e x －1>0，故y ＝e x －x 在(1，＋∞)上单调递增，∴x ≤a ln x ，即a ≥x ln x，即存在x ∈(1，＋∞)，使a ≥x ln x， ∴a ≥⎝⎛⎭⎫x ln x min ，设f (x )＝x ln x(x >1)，则f ′(x )＝ln x －1ln 2x，当x ∈(1，e)时，f ′(x )<0；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0；∴f (x )在(1，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增，∴f (x )min ＝f (e)＝e ，∴a ≥e.故a 的最小值为e.规律方法指对同构，经常使用的变换形式有两种，一种是将x 变成ln e x ，然后构造函数；另一种是将x 变成e ln x ，然后构造函数．跟踪演练4 已知a >0，b >0，且(a ＋1)b ＋1＝(b ＋3)a ，则( )A ．a >b ＋1B ．a b －1 答案 B解析因为(a ＋1)b ＋1＝(b ＋3)a ，a >0，b >0，所以ln (a ＋1)a ＝ln (b ＋3)b ＋1>ln (b ＋2)b ＋1. 设f (x )＝ln (x ＋1)x(x >0)，则f ′(x )＝x x ＋1－ln (x ＋1)x 2. 设g (x )＝x x ＋1－ln(x ＋1)(x >0)，则g ′(x )＝1(x ＋1)2－1x ＋1＝－x (x ＋1)2<0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减．当x →0时，g (x )→0，所以g (x )<0，即f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减．因为f (a )>f (b ＋1)，所以a <b ＋1. 专题强化练1．(2022·咸阳模拟)已知a ＝1e 2，b ＝ln 24，c ＝ln 39，则( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．c <b <a答案 B 解析设f (x )＝ln x x 2，则a ＝f (e)，b ＝f (2)， c ＝f (3)，又f ′(x )＝1－2ln x x 3，当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )<0，故f (x )＝ln x x 2在(e ，＋∞)上单调递减，注意到e<4＝2<e<3，则有f (3)<f (e)<f (2)，即c <a 0，且f (1)＝3，则f (x )>x 2＋2的解集是( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(0,1)答案 B解析令g (x )＝f (x )－x 2，则g (－x )＝f (－x )－(－x )2＝g (x )，所以函数g (x )也是偶函数，g ′(x )＝f ′(x )－2x ，因为当x ≥0时，f ′(x )－2x >0，所以当x ≥0时，g ′(x )＝f ′(x )－2x >0，所以函数g (x )在[0，＋∞)上单调递增，不等式f (x )>x 2＋2即为不等式g (x )>2，由f (1)＝3，得g (1)＝2，所以g (x )>g (1)，所以|x |>1，解得x <－1或x >1，所以f (x )>x 2＋2的解集是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．3．(2022·南京质检)设a ，b 都为正数，e 为自然对数的底数，若a e a eB ．b >e aC ．ab <eD ．b <e a解析由已知a e a 0，∴e a >1，∵b >0，b ln b >a e a >0，∴b >1.当x >1时，f ′(x )＝ln x ＋1>0，则f (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以e a 0时，f ′(x )sin x ＋f (x )cos x >0，则下列说法正确的是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫5π6<－f ⎝⎛⎭⎫7π6<－f ⎝⎛⎭⎫－π6 B ．－f ⎝⎛⎭⎫7π6<f ⎝⎛⎭⎫5π6<－f ⎝⎛⎭⎫－π6 C ．－f ⎝⎛⎭⎫－π6<－f ⎝⎛⎭⎫7π6<f ⎝⎛⎭⎫5π6 D ．－f ⎝⎛⎭⎫－π6<f ⎝⎛⎭⎫5π6<－f ⎝⎛⎭⎫7π6 答案 D解析令g (x )＝f (x )sin x ，因为f (x )为奇函数，则g (x )为偶函数，又当x >0时，f ′(x )sin x ＋f (x )cos x >0，即g ′(x )>0，则g (x )在(0，＋∞)上单调递增，则有g ⎝⎛⎭⎫－π6＝g ⎝⎛⎭⎫π6<g ⎝⎛⎭⎫5π6<g ⎝⎛⎭⎫7π6，即－12 f ⎝⎛⎭⎫－π6<12 f ⎝⎛⎭⎫5π6<－12 f ⎝⎛⎭⎫7π6，即－f ⎝⎛⎭⎫－π6<f ⎝⎛⎭⎫5π6<－f ⎝⎛⎭⎫7π6. 5．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x f (x )>e x ＋1的解集为( )A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x <－1或0<x <1}解析构造函数g (x )＝e x f (x )－e x ，因为g ′(x )＝e x f (x )＋e x f ′(x )－e x＝e x [f (x )＋f ′(x )]－e x >e x －e x ＝0，所以g (x )＝e x f (x )－e x 在R 上单调递增．又因为g (0)＝e 0f (0)－e 0＝1，所以原不等式转化为e x f (x )－e x >1，即g (x )>g (0)，解得x >0.所以原不等式的解集为{x |x >0}．6．(多选)(2022·渭南模拟)设实数λ>0，对任意的x >1，不等式λe λx ≥ln x 恒成立，则λ的取值可能是( )A ．e B.12e C.1e D.2e答案 ACD解析由题设，e λx ·λx ≥x ln x ＝e ln x ·ln x ，令f (t )＝t ·e t (t >0)，则f ′(t )＝(t ＋1)·e t >0，所以f (t )单调递增，又f (λx )≥f (ln x )，即当x ∈(1，＋∞)时，λx ≥ln x ，即λ≥ln x x 恒成立，令g (x )＝ln x x，x ∈(1，＋∞)，则g ′(x )＝1－ln x x 2，所以在(1，e)上，g ′(x )>0，即g (x )单调递增；在(e ，＋∞)上，g ′(x )<0，即g (x )单调递减，则g (x )≤g (e)＝1e ，故λ≥1e. 7．已知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，且满足f (x )<－xf ′(x )，则不等式f (x ＋1)>(x －1)f (x 2－1)的解集是________．答案 (2，＋∞)解析根据题意，构造函数y＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，则y′＝f(x)＋xf′(x)<0，所以函数y＝xf(x)的图象在(0，＋∞)上单调递减．又因为f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)，所以(x＋1)f(x＋1)>(x2－1)f(x2－1)，所以0<x＋1<x2－1，解得x>2.所以不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－1)的解集是(2，＋∞)．8．(2022·龙岩质检)已知m>0，n∈R，若log2m＋2m＝6,2n＋1＋n＝6，则m2n＝________. 答案 1解析由题意得log2m＋2m＝2n＋1＋n，log2m＋2m＝2×2n＋n，令g(x)＝log2x＋2x(x>0)，则g′(x)＝1x ln 2＋2>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为g(m)＝g(2n)，所以m＝2n，所以m2n＝1.。

高考数学导数构造秒杀技巧

导数构造一、基础知识常见导数结构1. 对于不等式)0(,)(≠>'k k x f ，构造函数b kx x f x g +−=)()(2. 对于不等式,0)()(>+'x f x f x ，构造函数)()(x xf x g =3. 对于不等式,0)()(>−'x f x f x ，构造函数xx f x g )()(=4. 对于不等式,0)()(>+'x nf x f x ，构造函数)()(x f x x g n= 5. 对于不等式,0)()(>−'x nf x f x ，构造函数n)()(x x f x g =6. 对于不等式,0)()(>+'x f x f ，构造函数)()(x f e x g x= 7. 对于不等式,0)()(>−'x f x f ，构造函数xe xf xg )()(=8. 对于不等式,0)()(>+'x kf x f ，构造函数)()(x f e x g kx= 9. 对于不等式,0)(2)(>+'x xf x f ，构造函数)()(2x f ex g x =10. 对于不等式,0)(ln )(>⋅+'x f a x f ，构造函数)()(x f a x g x= 11. 对于不等式,0tan )()(>⋅'+x x f x f ，构造函数)(sin )(x f x x g ⋅= 12. 对于不等式,0)(tan )(>⋅−'x f x x f ，构造函数)(cos )(x f x x g ⋅=13. 对于不等式,0)()(>'x f x f ，构造函数)(ln )(x f x g = 14. 对于不等式,0)(ln )(>+'xx f x x f ，构造函数)(ln )(x f x x g ⋅=二、课堂练习 1. 加减构造法例1.已知函数21()2f x x alnx =+，若对任意两个不相等的正数1x ，2x ，都有1212()()4f x f x x x −>−恒成立，则a 的取值范围为( ) A ．[4，)+∞B ．(4,)+∞C ．(−∞，4]D ．(,4)−∞变式1.已知函数()2x f x e ax =+−，其中a R ∈，若对于任意的1x ，2[1x ∈，)+∞，且12x x <，都有211212()()()x f x x f x a x x −<−成立，则a 的取值范围是( ) A ．[1，)+∞ B ．[2，)+∞C ．(−∞，1]D ．(−∞，2]2．指数乘除法构造例1. 已知()f x 为R 上的可导函数，且x R ∀∈，均有()()f x f x >'，则以下判断正确的是（） A ．2019(2019)(0)f e f > B ．2019(2019)(0)f e f < C ．2019(2019)(0)f e f =D ．(2019)f 与2019(0)e f 大小无法确定变式1.函数()y f x =的导函数为()f x '，满足x R ∀∈，()()f x f x '>且f （1）e =，则不等式()f lnx x >的解集为( )A ．(,)e +∞B ．(1,)+∞C ．(0,)eD ．(0,1)变式2.定义在[0，)+∞上的可导函数，且()()x f x f x '+<，则对任意正实数a ，下列式子恒成立的是( )A ．f （a ）(0)a e f C ．a e f （a ）(0)f <D ．a e f （a ）(0)f > 3.指数升级构造法例1.对定义在R 上的可导函数()f x 恒有(4)()()0x f x xf x −+'>，则()(f x ) A ．恒大于等于0 B ．恒小于0C ．恒大于0D ．和0的大小关系不能确定变式1.设()f x '是函数()f x 的导函数，且()2()()f x f x x R '>∈，1()(2f e e =为自然对数的底数），则不等式2()f lnx x <的解集为( )A ．(0,)2eB ．C ．1(e ，)2eD ．(2e4.幂函数乘除法构造例题1．已知函数()y f x =对任意的(0,)x ∈+∞满足()()f x xf x >'（其中()f x '为函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是( )A ．1()22f f >（1）B ．1()22f f <（1）C ．12()(12f f <D ．12()2f f >（1）变式1．已知定义在R 上的偶函数()y f x =的导函数为()f x '，函数()f x 满足：当0x >时，()()1x f x f x '+>，且f （1）2018=．则不等式2017()1||f x x <+的解集是( ) A ．(1,1)−B ．(,1)−∞C ．(1−，0)(0⋃，1)D ．(−∞，1)(1−⋃，)+∞5．对数乘除法构造例1.已知定义在[e ，)+∞上的函数()f x 满足()()0f x xf x lnx '+<且f （4）0=，其中()f x '是函数()f x 的导函数，e 是自然对数的底数，则不等式()0f x >的解集为( ) A ．[e ，4)B ．(4,)+∞C ．(,4)eD ．[e ，1)e +变式1.已知定义在[e ，)+∞上的函数()f x 满足()()0f x xf x lnx '+<且f （4）0=，其中()f x '是函数()f x 的导函数，e 是自然对数的底数，则不等式()0f x >的解集为( )A ．[e ，4)B ．(4,)+∞C ．(,4)eD ．[e ，1)e +6.对数升级构造法例1．已知函数()f x 的导函数为()f x '，e 为自然对数的底数，若函数()f x 满足()()lnxxf x f x x '+=，且f （e ）1e=，则不等式(1)(1)f x f e x e +−+>−的解集是( ) A ．(0,)e B ．(0,1)e + C ．(1,)e − D ．(1,1)e −+变式1．设()f x 是R 上的连续可导函数，当0x ≠时，()()0f x f x x '+>，则函数1()()g x f x x=+的零点个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．37.三角函数乘除构造法例1.定义在(0,)2π上的函数()f x ，()f x '是它的导函数，且恒有()()tan 0f x f x x +'<成立，则下列结论一定正确的是( )A(1)()4f f π>B．()()63f ππ>C()()46f ππ>D()()34ππ>变式1.定义在(0,)2π上的函数()f x ，()f x '是它的导函数，且恒有()()tan f x f x x '<−成立，则( )A()()36f ππ>B()()36f ππ<Cf （1）cos1()4f π> D()()64ππ<例2定义在(0,)2π上的函数()f x ，()f x '是它的导函数，且恒有()()tan f x f x x <'成立，则（）A()()43ππ>B ．f （1）2()sin16f π>C ()()64f ππ>D ()()63f ππ>变式1.定义在(0,)2π上的函数()f x ，已知()f x '是它的导函数，且恒有cos ()sin ()0x f x x f x '+<成立，则有( )A ．()()64f ππ>B ()()63f ππ>C ．()()63f ππ>D ．()()64f ππ>二、课后练习1．已知()f x '为函数()f x 的导函数，当0x >时，有()()0f x xf x '−>恒成立，则下列不等式成立的是( ) A ．1()2(1)2f f >B ．1()2(1)2f f <C ．12()(1)2f f <D ．12()(1)2f f >2．已知()f x '是函数()(f x x R ∈且0)x ≠的导函数，当0x >时，()()0xf x f x '−<，记0.2220.222(log 5)(2)(0.2),,20.2log 5f f f a b c ===，则( ) A ．a b c <时，()()0f x x f x +'>（其中()f x '是()f x 的导函数）恒成立．若2211()()a ln f ln e e =，2(2)b f =，5(5)c lg f lg =，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a b c >>B ．c a b >>C ．c b a >>D ．a c b >>4．已知函数()f x 的定义域为R ，()f x '为函数()f x 的导函数，当[0x ∈，)+∞时，2sin cos ()0x x f x −'>且x R ∀∈，()()cos21f x f x x −++=．则下列说法一定正确的是（） A ．1532()()4643f f ππ−−>−− B ．1534()()4643f f ππ−−>−− C ．313()()4324f f ππ−>− D ．133()()2443f f ππ−−>− 5．已知偶函数()f x 是定义在{|0}x R x ∈≠上的可导函数，其导函数为()f x '．当0x <时，()()f x f x x '<恒成立．设1m >，记4(1)1mf m a m +=+，b =，4(1)()1mc m f m =++，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a b c <>C ．b a c <<D ．b a c >>6．已知定义在R 上的奇函数()f x 的导函数为()f x '，当0x <时，()f x 满足2()()f x xf x x +'<，则()f x 在R 上的零点个数为( ) A ．1B ．3C ．5D ．1或37．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，1()()lnx f x f x x'<−，则使得2(1)()0x f x −>成立的x 的取值范围是( )A ．(1−，0)(0⋃，1)B ．(−∞，1)(1−⋃，)+∞C ．(1−，0)(1⋃，)+∞D ．(−∞，1)(0−⋃，1)8．已知偶函数()f x 是定义在{|0}x R x ∈≠上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x <时，()()f x f x x '>恒成立，设1m >，记4(1)1m f m a m +=+，2(2)b m f m =，4(1)()1mc m f m =++，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a b c <>C ．b a c <<D ．b a c >> 9．已知()y f x =为R 上的可导函数，当0x ≠时，()()0f x f x x'+>，则关于的函数2()()g x f x x=+的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．0或 210．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，()()0f x xlnx f x '+<，则使得2(1)()0x f x −<成立的x 的取值范围是( )A ．(−∞，1)(1−⋃，)+∞B ．(−∞，1)(0−⋃，1)C ．(1−，0)(0⋃，1)D ．(1−，0)(1⋃，)+∞11．已知()f x 的导函数为()f x '，当0x >时，2()()f x xf x >'，且f （1）1=，若存在x R +∈，使2()f x x =，则x 的值为．12．设函数()f x '是函数()()f x x R ∈的导函数，(0)1f =，且3()()3f x f x '=−，则6()()f x f x '>的解集为( ) A ．(0,)+∞B ．(1,)+∞C ．(,)e +∞D ．(,)3e+∞13．知函数()f x 的定义域为R ，(2)2021f −=，对任意(,)x ∈−∞+∞，都有()2f x x '>成立，则不等式2()2017f x x >+的解集为( ) A ．(2,)−+∞B ．(2,2)−C ．(,2)−∞−D ．(,)−∞+∞14．已知定义在R 上的函数()y f x =可导函数，满足当0x ≠时，()()0f x f x x'+>，则关于x 的函数2()()g x f x x=−的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．不确定15．定义在R 上的函数()f x ，()f x '是其导函数，且满足()()2f x f x +'>，f （1）42e=+，则不等式()42x x e f x e >+的解集为( ) A ．(,1)−∞B ．(1,)+∞C ．(,2)−∞D ．(2,)+∞16．已知函数()f x 在(0,)2π上单调递减，()f x '为其导函数，若对任意(0,)2x π∈都有()()tan f x f x x <'，则下列不等式一定成立的是( )A ．()()36f ππ>B ．()()46f f ππ>C ．()()326f f ππ>D ．()()46f ππ>16．已知函数()f x 是R 上的可导函数，且()f x 的图象是连续不断的，当0x ≠时，有()()0f x f x x '=>，则函数1()()F x xf x x=+的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．317．设函数()f x '是函数()()f x x R ∈的导函数，(0)1f =，且3()()3f x f x ='−，则4()()f x f x >'的解集为( )A ．4(3ln ，)+∞ B ．2(3ln ，)+∞ C ．(2，)+∞ D ．(3，)+∞ 18．设函数()f x '是函数()()f x x R ∈的导函数，(0)1f =，且3()()3f x f x ='−，则4()()f x f x >'的解集为( )A ．4(3ln ，)+∞ B ．2(3ln ，)+∞ C ．，)+∞ D ．，)+∞ 19．已知()f x '是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()(23)()x f x e x f x '=++，(0)1f =，则不等式()5x f x e <的解集为( )A ．(4,1)−B ．(1,4)−C ．(−∞，4)(1−⋃，)+∞D ．(−∞，1)(4−⋃，)+∞20．设函数()f x '是函数()()f x x R ∈的导函数，e 为自然对数的底数，若函数()f x 满足()()lnx xf x f x x '+=，且1()f e e =，则不等式1()x x f e e e e>−+的解集为( ) A ．(,1)−∞ B ．(0,1) C ．(1,)+∞ D ．(,0)−∞21．定义域为R 的可导函数()y f x =的导函数为()f x '，满足()()f x f x >'，且(0)3f =，则不等式()3x f x e <的解集为( ) A ．(,0)−∞B ．(,2)−∞C ．(0,)+∞D ．(2,)+∞22．若对定义在R 上的可导函数()f x ，恒有(4)(2)2(2)0x f x xf x −+'>，（其中(2)f x '表示函数()f x 的导函数()f x '在2x 的值），则()(f x ) A ．恒大于等于0 B ．恒小于0C ．恒大于0D ．和0的大小关系不确定23．已知定义在R 上的连续奇函数()f x 的导函数为()f x '，当0x >时，()()0f x f x x'+>，则使得2(2)(13)(31)0xf x x f x +−−>成立的x 的取值范围是( ) A ．(1,)+∞ B ．1(1,)(1,)5−+∞C ．1(,1)5D ．(,1)−∞24．设函数()f x 满足()2()xe xf x f x x'+=，2(2)4e f =，则0x >时()(f x )A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值25．定义在(0,)2π上的函数()f x ，()f x '是它的导函数，且恒有cos ()sin ()0x f x x f x '+<成立，则有( )A ()2()64f ππ>B ()()63f ππ>C ．()()63f ππ>D ()()64ππ>26．设()f x '是函数()f x 的导函数，且()2()()f x f x x R '>∈，1()(2f e e =为自然对数的底数），则不等式2()f lnx x <的解集为．27．已知()f x 是定义在R 上的函数，()f x '是()f x 的导函数．给出如下四个结论：①若()()0f x f x x'+>，且(0)f e =，则函数()xf x 有极小值0； ②若()2()0xf x f x '+>，则14(2)(2)n n f f +<，*n N ∈；③若()()0f x f x '−>，则(2017)(2016)f ef >；④若()()0f x f x '+>，且(0)1f =，则不等式()x f x e −<的解集为(0,)+∞．所有正确结论的序号是．28．已知函数()f x 的导函数为()f x '，e 为自然对数的底数，若函数()f x 满足()()lnxxf x f x x'+=，且f （e ）1e =，则不等式(1)(1)f x f e x e +−+>−的解集是．29．已知函数()f x 的导函数为()f x '，e 为自然对数的底数，若函数()f x 满足()()lnxxf x f x x'+=，且f （e ）1e =，则不等式1()f x x e e −>−的解集是．。

导数中的构造函数(最全精编)

导数中的构造函数(最全精编)导数小题中构造函数的技巧函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想。

在导数题型中，构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现。

下面我将分享导数小题中构造函数的技巧。

一）利用 $f(x)$ 进行抽象函数构造1、利用 $f(x)$ 与 $x$ 构造；常用构造形式有 $xf(x)$ 和$\frac{f(x)}{x}$。

在数导数计算的推广及应用中，我们对 $u\cdot v$ 的导函数观察可得，$u\cdot v$ 型导函数中体现的是“加法”，$\frac{u}{v}$ 型导函数中体现的是“除法”。

由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“加法”形式时，优先考虑构造$u\cdot v$ 型；当导函数形式出现的是“除法”形式时，优先考虑构造 $\frac{u}{v}$ 型。

我们根据得出的“优先”原则，看一看例1和例2.例1】$f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的偶函数，当$x0$ 的解集为？思路点拨：出现“加法”形式，优先构造 $F(x)=xf(x)$，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可。

解析】构造 $F(x)=xf(x)$，则 $F'(x)=f(x)+xf'(x)$。

当$x0$ 的解集为 $(-\infty,-4)\cup(0,4)$。

例2】设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的偶函数，且$f(1)=2$。

当 $x0$ 恒成立。

则不等式 $f(x)>0$ 的解集为？思路点拨：出现“除法”形式，优先构造$F(x)=\frac{f(x)}{x-f(x)}$，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可。

解析】构造 $F(x)=\frac{f(x)}{x-f(x)}$，则$F'(x)=\frac{xf'(x)-2f(x)}{(x-f(x))^2}$。

因为 $xf'(x)-f(x)>0$，所以 $F'(x)>0$，$F(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上单调递增。

利用求导法则构造函数

利用求导法则构造函数近年高考试卷中常出现一种客观题，考查导数运算法则的逆用、变形应用能力。

这种题目的背景、题设条件或所求结论中具有“f(x)±g(x)、f(x)g(x)、f(x)/g(x)”等特征式，旨在考查学生对导数运算法则的掌握程度。

解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题。

本文结合实例介绍此类问题的几种常见形式及相应解法。

常用的构造函数有：1.和与积联系：如f(x)+xf'(x)，构造xf(x)；2xf(x)+x^2f'(x)，构造x^2f(x)；3f(x)+xf'(x)，同样构造x^2f(x)；3f(x)+xf'(x)，构造x^3f(x)；………；nf(x)+xf'(x)，构造x^n f(x)；f'(x)+f(x)，构造e^xf(x)等等。

2.减法与商联系：如xf'(x)-f(x)>0，构造F(x)=f(x)/x；x^2f'(x)-2f(x)>0，构造F(x)=f(x)/x^2；xf'(x)-nf(x)>0，构造F(x)=f(x)/x^n；f'(x)-f(x)，构造F(x)=f(x)/e^x；2xe^xf'(x)-2f(x)，构造F(x)=f(x)/(2xe^x)等等。

在构造函数时，有时候不唯一，关键是要合理构造函数。

给出导函数，构造原函数，本质上离不开积分知识。

一种常见形式是巧设“y=f(x)±g(x)”型可导函数。

当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f'(x)±g'(x)”时，不妨联想、逆用“f'(x)±g'(x)=[f(x)±g(x)]'”，构造可导函数y=f(x)±g(x)，然后利用该函数的性质巧妙地解决问题。

高中数学导数构造函数

高中数学导数构造函数导数是高中数学中的重要概念，它用于描述函数某一点处的变化率。

在学习导数的过程中，学生们会接触到很多不同类型的函数，其中涉及到构造导数函数的问题。

本文将介绍高中数学中如何构造导数函数，帮助学生们更好地理解和掌握这一概念。

一、导数的概念回顾在构造导数函数之前，我们先来回顾一下导数的概念。

在数学中，对于一个函数f(x)，它在一点x_0处的导数记作f'(x_0)，表示函数在该点处的变化率。

导数可以用以下的极限定义来表示：f'(x_0) = lim_{h->0} [(f(x_0+h) - f(x_0))/h]可以理解为当自变量x的偏移量h无限趋近于0时，函数f(x)在点x_0处的平均变化率无限趋近于f'(x_0)。

这里的导数实际上就是函数在某一点的斜率，它的值可以正负，表示函数上升和下降的趋势。

二、构造导数函数的方法1. 常数函数的导数对于一个常数函数f(x) = c，其中c为常数，它的导数恒为0。

这是因为常数函数的图像是一条水平直线，斜率恒为零。

2. 幂函数的导数对于幂函数f(x) = x^n，其中n为正整数，它的导数为f'(x) =nx^(n-1)。

这里的n-1就是幂函数次数减1。

3. 一次函数的导数对于一次函数f(x) = ax + b，其中a不等于零，它的导数为f'(x) = a。

一次函数的导数恒为一个常数，表示其变化率恒定。

也可以说一次函数的导数是其斜率。

4. 指数函数的导数对于指数函数f(x) = a^x，其中a为正实数且不等于1，它的导数为f'(x) = ln(a) * a^x。

这里的ln(a)是自然对数函数的常数。

5. 对数函数的导数对于对数函数f(x) = log_a(x)，其中a为正实数且不等于1，它的导数为f'(x) = 1 / (x * ln(a))。

对数函数的导数可以通过换底公式以及求导法则求出来。

解导数题的几种构造妙招

高二数学2021年4月解导数题的几种构造妙招■河南省商丘市应天高中在解导数有关问题时，常常需要构造一个辅助函数，然后利用导数解决问题，怎样构造函数就成了解决问题的关键，本文给出几种常用的构造方法，以抛砖引玉。

一.联想构造侧f函数于(工)在其定义域内满足鼻才(鼻)+于(鼻)=eS且/(I)=e,则函数于(刃()。

A.有极大值，无极小值张振继(特级教师)解：令(鼻)=e"—In鼻，则f(h)=e"——=——。

令fj)=o,则鼻云一1=0。

oc JC根据y=e"与y=丄的图像可得，两个图像交点的横坐标^O e(o,i),所以力(鼻)在(o, 1)上不单调，无法判断于(口)与于(％)的大小，A、B不正确。

同理，构造函数g(工)=兰，可证g(鼻)在(0,1)上单调递减，所以3C.B.有极小值，无极大值C.既有极大值，又有极小值D.既无极大值，又无极小值分析：联想导数的运算法则,(/(x)・/(rc),于是构造函数g(x)=^/(x)o其导数已知，所以±/(h)=X+C，确定常数C,求得fS=兰JC°解：设g(鼻)=xf(h),则g'(rc)=広f Gr)+_/'Q)=eJ可设ga)=e’+C，即•x/*a)=b+C(C为常数)。

令h=1,则1・/(l)=e+C o又/'(1) =e，故C=0,g(rc)=e",即讨(rc)=e"。

q"(qr-[)所以fS=—,f'S=―。

工rc/(乂)在(一*,0),(0,1)上单调递减，在(1,+*)上单调递增。

所以/(工)有极小值，无极大值，选B。

二、同构构造侧2【2014年湖南卷】若0Vm<Z j^2 VI,则()。

A.e2—e1>ln rc2—In鼻】B.e2—e1Vln孔—In rrjC.rr2e1>5e2D.jr2e1<C je!e2分析：将等式或不等式的两边化为相同结构形式，可以根据结构形式构造辅助函数解题。

导数中的函数构造问题

2021年新高考数学总复习第三章《导数及其应用》导数中的函数构造问题一、利用f (x )进行抽象函数构造(一)利用f (x )与x 构造1．常用构造形式有xf (x )，f (x )x，这类形式是对u ·v ，u v 型函数导数计算的推广及应用．我们对u ·v ，u v 的导函数观察可得知，u ·v 型导函数中体现的是“＋”法，u v 型导函数中体现的是“－”法，由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“＋”法形式时，优先考虑构造u ·v 型，当导函数形式出现的是“－”法形式时，优先考虑构造u v .例1 设f (x )是定义在R 上的偶函数，当x <0时，f (x )＋xf ′(x )<0，且f (－4)＝0，则不等式xf (x )>0的解集为________．思路点拨出现“＋”形式，优先构造F (x )＝xf (x )，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可．答案 (－∞，－4)∪(0,4)解析构造F (x )＝xf (x )，则F ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，当x <0时，f (x )＋xf ′(x )<0，可以推出当x <0时，F ′(x )<0，∴F (x )在(－∞，0)上单调递减．∵f (x )为偶函数，x 为奇函数，所以F (x )为奇函数，∴F (x )在(0，＋∞)上也单调递减．根据f (－4)＝0可得F (－4)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象，根据图象可知xf (x )>0的解集为(－∞，－4)∪(0,4)．例2 设f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (1)＝0，当x <0时，有xf ′(x )－f (x )>0恒成立，则不等式f (x )>0的解集为________．思路点拨出现“－”形式，优先构造F (x )＝f (x )x，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可．答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)解析构造F (x )＝f (x )x ，则F ′(x )＝f ′(x )·x －f (x )x 2，当x <0时，xf ′(x )－f (x )>0，可以推出当x <0时，F ′(x )>0，F (x )在(－∞，0)上单调递增．∵f (x )为偶函数，x 为奇函数，所以F (x )为奇函数，∴F (x )在(0，＋∞)上也单调递增．根据f (1)＝0可得F (1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象，根据图象可知f (x )>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．2．xf (x )，f (x )x是比较简单常见的f (x )与x 之间的函数关系式，如果碰见复杂的，不易想的我们该如何处理，由此我们可以思考形如此类函数的一般形式．F (x )＝x n f (x )，F ′(x )＝nx n －1f (x )＋x n f ′(x )＝x n －1[nf (x )＋xf ′(x )]；F (x )＝f (x )x n ， F ′(x )＝f ′(x )·x n －nx n －1f (x )x 2n ＝xf ′(x )－nf (x )x n ＋1；结论：(1)出现nf (x )＋xf ′(x )形式，构造函数F (x )＝x n f (x )；(2)出现xf ′(x )－nf (x )形式，构造函数F (x )＝f (x )x n . 我们根据得出的结论去解决例3.例3 已知偶函数f (x )(x ≠0)的导函数为f ′(x )，且满足f (－1)＝0，当x >0时，2f (x )>xf ′(x )，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是________．思路点拨满足“xf ′(x )－nf (x )”形式，优先构造F (x )＝f (x )x n ，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可．答案 (－1,0)∪(0,1)解析构造F (x )＝f (x )x 2，则F ′(x )＝f ′(x )·x －2f (x )x 3，当x >0时，xf ′(x )－2f (x )<0，可以推出当x >0时，F ′(x )<0，F (x )在(0，＋∞)上单调递减．∵f (x )为偶函数，x 2为偶函数，所以F (x )为偶函数，∴F (x )在(－∞，0)上单调递增．根据f (－1)＝0可得F (－1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象，根据图象可知f (x )>0的解集为(－1,0)∪(0,1)．(二)利用f (x )与e x 构造1．f (x )与e x 构造，一方面是对u ·v ，u v 函数形式的考察，另外一方面是对(e x )′＝e x 的考察．所以对于f (x )±f ′(x )类型，我们可以等同xf (x )，f (x )x的类型处理，“＋”法优先考虑构造F (x )＝f (x )·e x ，“－”法优先考虑构造F (x )＝f (x )e x . 例4 已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的函数，导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (2)>e 2f (0)，f (2 019)>e 2 019f (0)B ．f (2)<e 2f (0)，f (2 019)>e 2 019f (0)C ．f (2)>e 2f (0)，f (2 019)<e 2 019f (0)D ．f (2)<e 2f (0)，f (2 019)<e 2 019f (0)思路点拨满足“f ′(x )－f (x )<0”形式，优先构造F (x )＝f (x )e x ，然后利用函数的单调性和数。

导数中的函数构造问题

导数中的函数构造问题[解题技法]函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现．一、利用f (x )进行抽象函数构造(一)利用f (x )与x 构造1．常用构造形式有xf (x )，f (x )x，这类形式是对u ·v ，u v 型函数导数计算的推广及应用．我们对u ·v ，u v 的导函数观察可得知，u ·v 型导函数中体现的是“＋”法，u v 型导函数中体现的是“－”法，由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“＋”法形式时，优先考虑构造u ·v 型，当导函数形式出现的是“－”法形式时，优先考虑构造u v .例1 设f (x )是定义在R 上的偶函数，当x <0时，f (x )＋xf ′(x )<0，且f (－4)＝0，则不等式xf (x )>0的解集为________．思路点拨出现“＋”法形式，优先构造F (x )＝xf (x )，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可．答案 (－∞，－4)∪(0,4)解析构造F (x )＝xf (x )，则F ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，当x <0时，f (x )＋xf ′(x )<0，可以推出当x <0时，F ′(x )<0，∴F (x )在(－∞，0)上单调递减．∵f (x )为偶函数，x 为奇函数，∴F (x )为奇函数，∴F (x )在(0，＋∞)上也单调递减．根据f (－4)＝0可得F (－4)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略)，根据图象可知xf (x )>0的解集为(－∞，－4)∪(0,4)．例2 设f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (1)＝0，当x <0时，有xf ′(x )－f (x )>0恒成立，则不等式f (x )>0的解集为________．思路点拨出现“－”法形式，优先构造F (x )＝f (x )x，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可．答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)解析构造F (x )＝f (x )x ，则F ′(x )＝f ′(x )·x －f (x )x 2，当x <0时，xf ′(x )－f (x )>0，可以推出当x <0时，F ′(x )>0，F (x )在(－∞，0)上单调递增．∵f (x )为偶函数，x 为奇函数，∴F (x )为奇函数，∴F (x )在(0，＋∞)上也单调递增．根据f (1)＝0可得F (1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略)，根据图象可知f (x )>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．2．xf (x )，f (x )x是比较简单常见的f (x )与x 之间的函数关系式，如果碰见复杂的，不易想的我们该如何处理，由此我们可以思考形如此类函数的一般形式．F (x )＝x n f (x )，F ′(x )＝nx n －1f (x )＋x n f ′(x )＝x n －1[nf (x )＋xf ′(x )]；F (x )＝f (x )x n ，F ′(x )＝f ′(x )·x n －nx n －1f (x )x 2n ＝xf ′(x )－nf (x )x n ＋1；结论：(1)出现nf (x )＋xf ′(x )形式，构造函数F (x )＝x n f (x )；(2)出现xf ′(x )－nf (x )形式，构造函数F (x )＝f (x )x n . 我们根据得出的结论去解决例3.例3 已知偶函数f (x )(x ≠0)的导函数为f ′(x )，且满足f (－1)＝0，当x >0时，2f (x )>xf ′(x )，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是________．思路点拨满足“xf ′(x )－nf (x )”形式，优先构造F (x )＝f (x )x n ，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可．解析构造F (x )＝f (x )x 2，则F ′(x )＝f ′(x )·x －2f (x )x 3，当x >0时，xf ′(x )－2f (x )<0，可以推出当x >0时，F ′(x )<0，F (x )在(0，＋∞)上单调递减．∵f (x )为偶函数，x 2为偶函数，∴F (x )为偶函数，∴F (x )在(－∞，0)上单调递增．根据f (－1)＝0可得F (－1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略)，根据图象可知f (x )>0的解集为(－1,0)∪(0,1)．(二)利用f (x )与e x 构造1．f (x )与e x 构造，一方面是对u ·v ，u v 函数形式的考察，另外一方面是对(e x )′＝e x 的考察．所以对于f (x )±f ′(x )类型，我们可以等同xf (x )，f (x )x的类型处理，“＋”法优先考虑构造F (x )＝f (x )·e x ，“－”法优先考虑构造F (x )＝f (x )e x . 例4 已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的函数，导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (2)>e 2f (0)，f (2 019)>e 2 019f (0)B ．f (2)<e 2f (0)，f (2 019)>e 2 019f (0)C ．f (2)>e 2f (0)，f (2 019)<e 2 019f (0)D f (2)<e 2f (0)，f (2 019)<e 2 019f (0)思路点拨满足“f ′(x )－f (x )<0”形式，优先构造 F (x )＝f (x )e x，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．注意选项的转化．2．同样e x f (x )，f (x )e x 是比较简单常见的f (x )与e x 之间的函数关系式，如果碰见复杂的，我们是否也能找出此类函数的一般形式呢？F (x )＝e nx f (x )，F ′(x )＝n ·e nx f (x )＋e nx f ′(x )＝e nx [f ′(x )＋nf (x )]；F (x )＝f (x )e nx ，F ′(x )＝f ′(x )e nx －n e nx f (x )e 2nx ＝f ′(x )－nf (x )e nx；结论：(1)出现f ′(x )＋nf (x )形式，构造函数F (x )＝e nx f (x )；(2)出现f ′(x )－nf (x )形式，构造函数F (x )＝f (x )e nx . 我们根据得出的结论去解决例5，例6.例5 若定义在R 上的函数f (x )满足f ′(x )－2f (x )>0，f (0)＝1，则不等式f (x )>e 2x 的解集为________．思路点拨满足“f ′(x )－2f (x )>0”形式，优先构造F (x )＝f (x )e2x ，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．注意选项的转化．答案 {x |x >0}解析构造F (x )＝f (x )e 2x 形式，则F ′(x )＝e 2x f ′(x )－2e 2x f (x )e 4x ＝f ′(x )－2f (x )e 2x，函数f (x )满足f ′(x )－2f (x )>0，则F ′(x )>0，F (x )在R 上单调递增．又∵f (0)＝1，则F (0)＝1，f (x )>e 2x ⇔f (x )e2x >1⇔F (x )>F (0)，根据单调性得x >0. 例6 已知函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，若f (x )满足：(x －1)[f ′(x )－f (x )]>0，f (2－x )＝f (x )·e 2－2x ，则下列判断一定正确的是( )A ．f (1)<f (0)B ．f (2)>e 2f (0)C f (3)>e 3f (0)D ．f (4)<e 4f (0)思路点拨满足“f ′(x )－f (x )”形式，优先构造F (x )＝f (x )e x ，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．注意选项的转化．解析构造F (x )＝f (x )e x 形式，则F ′(x )＝e x f ′(x )－e x f (x )e 2x ＝f ′(x )－f (x )e x，导函数f ′(x )满足(x －1)[f ′(x )－f (x )]>0，则x ≥1时F ′(x )≥0，F (x )在[1，＋∞)上单调递增．当x <1时F ′(x )<0，F (x )在(－∞，1]上单调递减．又由f (2－x )＝f (x )e 2－2x ⇔F (2－x )＝F (x )⇒F (x )关于x ＝1对称，根据单调性和图象，可知选C.(三)利用f (x )与sin x ，cos x 构造sin x ，cos x 因为导函数存在一定的特殊性，所以也是重点考察的范畴，我们一起看看常考的几种形式．F (x )＝f (x )sin x ，F ′(x )＝f ′(x )sin x ＋f (x )cos x ；F (x )＝f (x )sin x ，F ′(x )＝f ′(x )sin x －f (x )cos x sin 2x； F (x )＝f (x )cos x ，F ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )sin x ； F (x )＝f (x )cos x ，F ′(x )＝f ′(x )cos x ＋f (x )sin x cos 2x. 根据得出的关系式，我们来看一下例7.例7 已知函数y ＝f (x )对于任意的x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，则下列不等式不成立的是( ) A 2f ⎝⎛⎭⎫π3<f ⎝⎛⎭⎫π4 B.2f ⎝⎛⎭⎫－π3<f ⎝⎛⎭⎫－π4 C ．f (0)<2f ⎝⎛⎭⎫π4 D ．f (0)<2f ⎝⎛⎭⎫π3 思路点拨满足“f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0”形式，优先构造F (x )＝f (x )cos x，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．注意选项的转化．解析构造F (x )＝f (x )cos x 形式，则F ′(x )＝f ′(x )cos x ＋f (x )sin x cos 2x，导函数f ′(x )满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0，则F ′(x )>0，F (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增．把选项转化后可知选A. 二、具体函数关系式构造这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去解决不等式及求值问题．例8 已知α，β∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，且αsin α－βsin β>0，则下列结论正确的是( ) A ．α>β B α2>β2 C ．α<β D ．α＋β>0思路点拨构造函数f (x )＝x sin x ，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．解析构造 f (x )＝x sin x 形式，则f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时导函数f ′(x )≥0，f (x )单调递增；x ∈⎣⎡⎭⎫－π2，0时导函数f ′(x )<0，f (x )单调递减．又∵f (x )为偶函数，根据单调性和图象可知选B. 例9 已知实数a ，b ，c 满足a －2e a b ＝1－c d －1＝1，其中e 是自然对数的底数，那么(a －c )2＋(b －d )2的最小值为( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．18思路点拨把(a －c )2＋(b －d )2看成两点距离的平方，然后利用数形结合以及点到直线的距离即可．解析由a －2e a b ＝1⇒b ＝a －2e a 进而⇒f (x )＝x －2e x ；又由1－c d －1＝1⇒d ＝2－c ⇒g (x )＝2－x ；由f ′(x )＝1－2e x ＝－1，得x ＝0，所以切点坐标为(0，－2)，所以(a －c )2＋(b －d )2的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－2－2|1＋12＝8.。

在导数应用中如何构造函数

在导数应用中如何构造函数在有关导数的应用中,无论是求函数的单调性、求极值最值,证明不等式、求参数的范围,还是讨论函数的零点,都需要从给定的已知条件中构造出一个或两个函数进行研究,构造的得当能降低难度,减少运算量,下面对如何构造函数给出归类和总结.1.作差直接构造法【例1】函数f(x)=(x -2)e x +21ax 2-ax.设a=1,当x ≥0时,f(x)≥kx -2,求k 的取值范围. 分析：由f(x)≥kx -2,令g(x)=f(x)-kx+2=(x -2)e x +21x 2-x -kx+2. 2.局部构造法【例2】已知5函数f(x)=1ln -x x ax .当a=1时，判断f(x)有没有极值点. 分析：当a=1时，f(x)=1ln -x x ax ，则2)1(1ln )('---=x x x x f ，令g(x)=x -lnx -1. 【例3】已知函数f(x)=xa x )ln(-,若a=-1，证明：函数f(x)是(0,+∞)上的减函数. 分析：当a=-1时，函数f(x)的定义域是（-1,0）∪(0,+∞)，所以2)1ln(1)('xx x x x f +-+=，令g(x)=1+x x -ln(x+1). 3.作差局部构造法【例4】已知函数f(x)=ln x -a(x -1),a ∈R.当x ≥1时,f(x)≤1lnx +x 恒成立,求a 的取值. 分析：1)1(ln 1ln )(2+--=+-x x a x x x x x f ，令g(x)=xlnx -a(x 2-1)(x ≥1). 4. 分离参数构造法【例5】在【例4】中，当x≥1时，f(x)≤1lnx +x 恒成立等价于lnx -1lnx +x ≤a(x -1). 分析：(1)当x=1时，显然恒成立，所以R a ∈. (2)当x ＞1时，上式等价于a x x x x a x x x x ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⇔≤-+-max221ln 1ln 1ln 1ln ，令1ln 1ln )(2-+-=x x x x x F . 【例6】已知函数f(x)=ax -xx ln ,a ∈R.若f(x)≥0，求a 的取值范围. 分析：函数的定义域为(0,+∞)，由f(x)≥0得ax -x x ln ≥0，即a ≥2ln x x .令g(x)=2ln x x .5.特征构造法【例7】若x>0,证明：1)1ln(->+x e x x x . 分析：因为1)11ln(1ln 1-+-=-=-x x x x x e e e e e x ，故原不等式等价于1)11ln()1ln(-+->+x x e e x x ，令x x x f )1ln()(+=，由例3知xx x f )1ln()(+=是(0,+∞)上的减函数，故要证原不等式成立，只需证明当x>0时，x<e x -1,令h(x)=e x -x -1.注：例6的解决过程用到了二次构造函数.【例8】已知函数f(x)=xx e -ax,x ∈(0,+∞),当x 2>x 1时，不等式0)()(1221<-x x f x x f 恒成立，求实数a 范围. 分析：不等式0)()(1221<-x x f x x f ，即0)()(212211<-x x x f x x f x ，结合x 2>x 1>0可得x 1f(x 1)-x 2f(x 2)<0恒成立,即x 2f(x 2)>x 1f(x 1)恒成立,构造函数g(x)=xf(x)=e x -ax 2.6.变形、化简后构造【例9】求证：当x ∈(0,+∞)时，21ln x x e x >-. 分析：当x ∈(0,+∞)时，要证21ln x x e x >-，只需证21e x x xe >-，令F(x)=2-1-e x x xe ,则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=21)('22x e e x F x x ，由e x >x+1可得，212x e x +>，则x ∈(0,+∞)时，F’(x)>0恒成立，即F(x)在(0,+∞)上单调递增，所以F(x)>F(0)=0,即21e x x xe >-，所以21ln x x e x >-. 7.换元后构造【例10】已知函数f(x)=ln x -kx,其中k ∈R 为常数.若f(x)有两个相异零点x 1,x 2(x 1<x 2), 求证：2)(ln ln 121212>+--x x x x x x . 分析：证2)(ln ln 121212>+--x x x x x x ，即证lnx 2-lnx 1>1212)(2x x x x +-,只要证121212)(2ln x x x x x x +->，设)1(12>=t x x t ，则只要证).1(1)1(2ln >+->t t t t 令g(t)=lnt -1)1(2+-t t .8. 放缩后局部构造【例11】已知函数xe x ax xf 1)(2-+=.证明：当1≥a 时，f(x)+e≥0. 分析：当1≥a 时，x x x x e e x x e ex x e e x ax e x f -++-+=+-+≥+-+=+)1(11)(1222.设g(x)=x 2+x -1+e x+1, 则g’(x)=2x+1+e x+1.9.作差与分离变量的综合构造法【例12】已知函数f(x)=x 2-(2a+1)x+aln x(a ∈R),g(x)=(1-a)x,若∃x 0∈[1,e]使得f(x 0)≥g(x 0)成立,求实数a 的取值范围.分析:不等式f(x)≥g(x)在区间[1,e]上有解,即x 2-2x+a(ln x -x)≥0在区间[1,e]上有解.因为当x ∈[1,e]时,ln x ≤1≤x(不同时取等号),x -ln x>0,所以x x x x a ln 22--≤在区间[1,e]上有解.令xx x x x h ln 2)(2--=. 10.主元构造法主元构造法,就是将多变元函数中的某一个变元看作主元(即自变量),将其他变元看作常数,来构造函数,然后用函数、方程、不等式的相关知识来解决问题的方法.【例13】已知函数g(x)=xlnx,设0<a<b,证明：0<g(a)+g(b)-⎪⎭⎫ ⎝⎛+22b a g <(b -a)ln2. 分析：对g(x)=xlnx 求导，g’(x)=lnx+1.在g(a)+g(b)-⎪⎭⎫ ⎝⎛+22b a g 中以b 为主元构造函数，设F(x)=g(a)+g(x)-⎪⎭⎫ ⎝⎛+22x a g ,则2ln ln '22)(')('x a x x a g x g x F +-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=. 当0<x<a 时,F'(x)<0,因此F(x)在(0,a)上单调递减,当x>a 时,F'(x)>0,因此F(x)在(a,+∞)上为增函数,从而当x=a 时,F(x)有极小值F(a).因为F(a)=0,b>a,所以F(b)>0,即g(a)+g(b)-⎪⎭⎫⎝⎛+22b a g >0. 设G(x)=F(x)-(x -a)ln2,则G’(x)=lnx -2ln a x +-ln2=lnx -ln(x+a), 当x>0时，G’(x)<0.因此G(x)在(0,+∞)上为减函数. 因为G(a)=0,b>a,所以G(b)<0,即g(a)+g(b)-⎪⎭⎫⎝⎛+22b a g <(b -a)ln2. 注：本题以b 为主元构造函数，当然也可以以a 为主元构造函数.。

导数构造函数

导数构造函数
导数构造函数是用一条曲线的导数来创建一个新的函数的过程。

该函数称为原函数或反导函数。

导数构造函数可以帮助人们确定原函数，因为导数是原函数的斜率。

一些常见的导数构造函数如下：
1. 积分法：积分法可以使用原函数的定义来构造导数函数。

2. 等价关系法：如果一个导数函数f(x)的绝对值小于或等于一
个常量，那么f(x)就是某个函数g(x)的导数。

3. 微分方程法：微分方程法通过解决微分方程来构造导数函数。

4. 反演法：反演法是一种将导数和原函数相互转换的方法。

5. 逆运算法：逆运算法使用逆函数（如果存在）来构造导数函数。

这些方法都可以用来构造导数函数，但是不同的方法适用于不同的函数。

因此，在选择方法时需要谨慎选择。

利用导数运算法则构造函数含详解

利用导数运算法则构造函数✬导数的常见构造类型1. 对于()()x g x f ''>，可构造()()()x g x f x h -=注：遇到()()0'≠>a a x f 导函数大于某种非零常数（若0=a 则无需构造），则可构造()()ax x f x h -=2. 对于()()0''>+x g x f ，可构造()()()x g x f x h +=3. 对于()()0'>+x f x f ，可构造()()x f e x h x =4. 对于()()x f x f >'（或()()0'>-x f x f ），可构造()()xex f x h = 5. 对于()()0'>+x f x xf ，可构造()()x xf x h = 6. 对于()()0'>-x f x xf ，可构造()()x x f x h =7. 对于()()x nf x f +'形式，可构造()()x f e x F nx = 8. 对于()()x nf x f -'形式，可构造()()nx ex f x F =✬典型例题：类型1：和差导数公式逆用：例1. 设函数()f x ，()g x 在[],a b 上均可导，且()()f x g x '>'，则当a x b <<时，有.A ()()f x g x > .B ()()f x g x <.C ()()()()f x g a g x f a +>+ .D ()()()()f x g b g x f b +>+解：构造)()()(x g x f x F -=，0)()()(>'-'='x g x f x F ， )(x F 为增函数，)()()(b F x F a F << )()()()()()(b g b f x g x f a g a f -<-<-， ∴()()()()f x g b g x f b +>+，选D 类型2，积的导数公式逆用：例 2.设函数()f x 是定义在(),0-∞上的可导函数，其导函数为()f x '，且有x x f x x f <'+)()(，则不等式0)2(2)2014()2014(>-+++f x f x 的解集为（）A ．(),2012-∞-B ．()20120-，C ．(),2016-∞-D ．()20160-，解：由()()f x xf x x '+<，0x <得： [()]0xf x x '<<，令()()F x xf x =，则当0x <时，()0F x '<，即()F x 在(,0)-∞是减函数，(2014)+=F x (2014)(2014)x f x ++ ，(2)(2)(2)F f -=--，由题意：(2014)F x +＞(2)F -又()F x 在(,0)-∞是减函数，∴20142x +<-，即2016x <-，故选C类型3，商的导数公式逆用：当出现导数差的形式是，可以考虑商的导数例3．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，0)1(=f ，当0x >时，有2()()0xf x f x x'->成立，则不等式0)(>x f 的解集是 A ．(1,0)(1,)-+∞ B ．(1,0)- C ．(1,)+∞ D ．(,1)(1,)-∞-+∞解：由当0x >时，有2()()0xf x f x x '->成立, 知函数x x f x F )()(=的导函数0)()()(2>-'='x x f x f x x F 在),0(+∞上恒成立, 所以函数xx f x F )()(=在),0(+∞上是增函数,又因为函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,所以函数xx f x F )()(=是定义域上的偶函数,且由0)1(=f 得0)1()1(==-F F ,由此可得函数xx f x F )()(=的大致图象为:由图可知不等式0)(>x f 的解集是),1()0,1(+∞⋃-. 故选A.例4．若定义在R 上的函数f(x)的导函数为()f x '，且满足()()f x f x '>，则(2011)f 与2(2009)f e 的大小关系为（）.A 、(2011)f <2(2009)f eB 、(2011)f =2(2009)f eC 、(2011)f >2(2009)f eD 、不能确定【答案】C解：构造函数x ex f x g )()(=，则x e x f x f x g )()()(''-=，因为()()f x f x '>，所以0)('>x g ；即函数)(x g 在R 上为增函数，则20092011)2009()2011(ef e f >，即2)2009()2011(e f f >. 类型4，构造组合函数形式例 5. 定义在上R 上的可导函数)(x f ，满足2)()(x x f x f =+-，当0<x 时，x x f <')(，则不等式x x f x f +-≥+)1(21)(的解集为_________解：221)()(x x f x g -=，0)()(=-+x g x g ，)(x g 为奇函数，当0<x 时，0)()(<-'='x x f x g ，)(x g 为减函数，，x x f x f +-≥+)1(21)(，可得22)1(21)1(21)(x x f x x f ---≥-，即)1()(x g x g -≥∴x x -≤1，即21≤x ✬好题训练一、单选题1．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()102f x f x '+>，且有()112f =，则()122x f x e->的解集为（）A ．(),2-∞B ．()1,+∞C ．(),1-∞D ．()2,+∞2．若定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '+>，(0)4f =，则不等式()3x x e f x e ⋅>+ (其中e 为自然对数的底数)的解集为（）A ．(,0)(0,)-∞+∞B ．(,0)(3,)-∞⋃+∞C ．(0,)+∞D ．(3,)+∞3．已知函数()f x 是(0,)+∞上的可导函数，且()()0f x f x x'+>，则（） A ．(3)(2)f f > B ．(3)(2)f f < C ．3(3)2(2)f f >D ．3(3)2(2)f f <4．已知定义在R 上的可导函数()f x ，对x R ∀∈，都有()()2xf x e f x -=，当0x >时()()0f x f x '+<，若()()211211a a e f a e f a -+-≤+，则实数a 的取值范围是（）A ．[]0,2B ．(][),12,-∞-⋃+∞C ．(][),02,-∞⋃+∞D ．[]1,2-5．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，其导函数为()f x '，若()()f x f x '<，且()2f x +是偶函数，()20174f =，则不等式()40xef x e ->的解集为（）A ．(),1-∞B ．(),e -∞C ．()0,+∞D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭6．已知函数()f x 为R 上的可导函数，且x R ∀∈，均有()()f x f x '<，则有（） A ．2021e (2021)(0)f f -<，2021(2021)e (0)f f C ．2021e (2021)(0)f f ->，2021(2021)e (0)f f >D ．2021e (2021)(0)f f ->，2021(2021)e (0)f f <7．已知可导函数()f x 的导函数为()'f x ，若对任意的x R ∈，都有()()1f x f x '->．且()2022f x -为奇函数，则不等式()2021e 1x f x ->的解集为（） A ．(),0-∞B ．()0,+∞C ．(),e -∞D ．()e,+∞8．函数()f x 的定义域是R ，()02f =，对任意R x ∈，()()1f x f x +'>，则不等式()e e 1x xf x >+⋅的解集为（）A ．{} |0x x >B ．{}|0x x <C ．{|1x x <-或}1x >D ．{|1x x <-或}01x <<9．已知函数()f x 满足()11f =，且()f x 的导函数()13f x '<，则()233x f x <+的解集为（） A ．{}1x x <-B ．{1x x <-或}1x >C ．{}1x x >D ．{}0x x <10．定义在R 上的奇函数()f x 的图象光滑连续不断，其导函数为()f x '，对任意正实数x 恒有()()2xf x f x >-'，若()()2g x x f x =，则不等式()()23log 110g x g ⎡⎤-+-<⎣⎦的解集是（）A ．()0,2B ．()2,2-C ．()3,2-D ．()()2,11,2--⋃11．已知函数()f x 满足()()0f x f x +-=，且当(,0)x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<成立，若()()0.60.622a f =⋅，(ln 2)(ln 2)b f =⋅，2211loglog 88c f ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a b c >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．c a b >>12．已知偶函数()f x 的定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其导函数为()f x '，当02x π<<时，有()cos ()sin 0f x x f x x '+<成立，则关于x 的不等式()2cos 3f x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为（）A ．,,2332ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．,23ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭13．已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()'f x ，当0x ≥时，有22()()f x xf x x +'>，则不等式()()()220182018420x f x f +++-<的解集为（） A ．(),2016-∞-B ．()2016,2012--C ．(),2018-∞-D ．()2016,0-14．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，(2)0f =，当0x ≠时，2()()f x f x x '>，则不等式()0f x <的解集为（） A ．(,2)(0,2)-∞-⋃ B ．(2,0)(2,)-+∞ C ．(,2)(2,)-∞-+∞D ．(2,0)(0,2)-15．已知()f x 是定(,0)(0,)-∞+∞的奇函数，()'f x 是()f x 的导函数，(1)0f <，且满足：()()ln 0f x f x x x+'⋅<，则不等式(1)()0x f x -⋅<的解集为（） A ．(1,)+∞B ．(,1)(0,1)-∞-C ．(,1)-∞D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞ 16．已知定义在R 上的可导函数()f x ，对任意的实数x ，都有()()4f x f x x --=，且当()0,x ∈+∞时，()2f x '>恒成立，若不等式()()()1221f a f a a --≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭17．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x ≠时，()()0f x f x x '+<，若2211(),2(2),ln (ln )3333a fb fc f ==--=，则,,a b c 的大小关系正确的是（） A ．a b c <的解集是（） A ．(),1-∞ B ．(),2-∞ C ．()1,+∞D ．()2,+∞19．已知定义在R 上的函数()f x 满足1()()02f x f x '+>且有1(2)f e=，则()f x >）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．(2,)+∞20．已知()f x 是定义在R 上的函数，()'f x 是()f x 的导函数，满足：()(1)()0x x e f x e f x ++'>，且1(1)2f =，则不等式1()2(1)x e f x e +>+的解集为（） A ．()1,1-B ．()(),11,-∞-+∞C ．(),1-∞-D ．()1,+∞21．设函数()f x 在R 上的导函数为()f x '，若()()1x f f x '+>，()()6f x f x ''=-，()31f =，()65f =，则不等式()ln 210f x x ++<的解集为（）A ．()0,1B ．()0,3C ．()1,3D ．()3,622．设函数()f x 在R 上的导函数为()'f x ，若()()1f x f x '>+，()(6)2f x f x +-=，(6)5f =，则不等式()210x f x e ++<的解集为（）A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．(0,3)D ．(3,6)23．已知函数()y f x =对于任意的,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（）A ．()04f π⎛⎫> ⎪⎝⎭B 34f ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C 34f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()023f f π⎛⎫> ⎪⎝⎭24．已知定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数()f x 的导函数为()f x '，且()tan ()0f x x f x '+⋅>，则（）A 063ππ⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 063ππ⎛⎫⎛⎫-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C 064ππ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 046ππ⎛⎫⎛⎫-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭25．已知在定义在R 上的函数()f x 满足()()62sin 0f x f x x x ---+=，且0x ≥时，()3cos f x x '≥-恒成立，则不等式()π3ππ6224f x f x x x ⎛⎫⎛⎫≥--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解集为（） A ．π0,4⎛⎤⎥⎝⎦B ．,4π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．,6π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．,6π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭26．已知函数()y f x =对任意的(0,)x π∈满足()cos ()sin f x x f x x '>（其中()f x '为函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（）A ．63f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C 63f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 63f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭27．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，'()()ln 20f x f x +<，则下列不等关系成立的是（） A ．2(1)(0)f f > B ．2(2)(1)f f > C ．2(0)(1)f f >-D ．()23log 32(1)f f <28．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()0f x f x '->，2022(2022)e 0f -=，则不等式1ln 4f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭）A ．()6063e,+∞ B ．()20220,eC ．()8088e,+∞ D ．()80880,e29．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当(),0x ∈-∞时，不等式()()0f x xf x '+>恒成立，若()0.30.322a f =，()()log 2log 2b f ππ=，2211log log 44c f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a c b >>30．已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()'f x ，当0x >时，有22()()f x xf x x '+>，则不等式2(2021)(2021)4(2)0x f x f +++-<的解集为（） A ．(,2019)-∞- B ．(2023,2019)-- C ．(2023)-∞-, D ．(2019,0)-二、多选题31．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，()10f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（）A ．(),1-∞-B ．()0,1C ．()1,0-D ．()1,+∞32．已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，其导函数为()f x '，对于任意,()0x ∈+∞，都有()ln ()0x xf x f x '+>，则使不等式1()ln 1f x x x+>成立的x 的值可以为（） A ．12B ．1C ．2D ．333．定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()2(32)()x x f x x f x '+<+恒成立，则必有（） A ．(3)20(1)f f >B ．(2)6(1)f f <C ．13(1)162f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭D ．(3)3(2)f f <34．已知函数()f x 的导函数为()f x '，若()()()2f x xf x f x x <<-′对()0,x ∈+∞恒成立，则下列不等式中，一定成立的是（） A ．()()1f f ππ C ．()()21142f f <+ D ．()()21142f f +< 35．已知函数()f x 的定义域、值域都是()0,∞+，且满足()()12f x f x '<，则下列结论一定正确的是（） A ．若()1e f =，则()322e f > B ．()()23f f <C ．()()3224f f >D ．181176e 43f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、双空题36．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()1f x f x '>-，()06f =，则函数()()5x xg x e f x e =--在R 上单调递_______（填“增”或“减”)；不等式()5x xe f x e >+(其中e 为自然对数的底数）的解集是_______.37．设()f x '是奇函数()f x 的导函数，()23f -=-，且对任意x ∈R 都有()2f x '<，则()2f =_________，使得()e 2e 1x xf <-成立的x 的取值范围是_________．四、填空题38．已知函数()f x 是定义在R 上的函数，且满足()()0f x f x +'>其中()f x '是()f x 的导函数，设()0a f =，()2ln2b f =，()e 1c f =，,,a b c 的大小关系是________．39．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足()()xf x f x '<，若(ln 4)(3)(1),,ln 43f f a f b c ===，则,,a b c 的大小关系为_________． 40．已知定义在()0,∞+的函数()f x 满足()()0xf x f x '-<，则不等式()210x f f x x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的解集为___________. 41．已知定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()'f x ，当0x >时，有()()0f x xf x '+>，且(1)0f =，则使得()0f x <成立的x 的取值范围是___________. 42．若定义在R 上的函数()f x 满足()()30f x f x '->，13f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()3x f x e >的解集为________________．43．若()f x 是定义在R 上函数，且(2)y f x =-的图形关于直线2x =对称，当0x <时，()()0f x xf x '+<，且(3)0f -=，则不等式()0f x >的解集为___________.答案第1页，共24页参考答案1．B 【分析】构造函数()()2xF x f x e =⋅，利用导数，结合已知条件判断()F x 的单调性，由此化简不等式()122xf x e ->并求得其解集. 【详解】设()()2x F x f x e =⋅，则()()()()()222110 22x x xF x f x e f x e e f x f x ⎡⎤'''=⋅+⋅=+>⎢⎥⎣⎦，所以函数()F x 在R 上单调递增，又()112f =，所以()()11221112F f e e =⋅=．又()122xf x e->等价于()12212x f x e e ⋅>，即()()1F x F >，所以1x >，即所求不等式的解集为()1,+∞．故选：B 2．C 【分析】构造函数()()3x x g x e f x e =⋅--，求导结合题干条件可证明()g x 在R 上单调递增，又(0)0g =，故()0(0)0g x g x >=⇒>，即得解【详解】令()()3x x g x e f x e =⋅--，则()()()[()()1]0x x x x g x e f x e f x e e f x f x '''=⋅+⋅-=+-> 所以()g x 在R 上单调递增，又因为00(0)(0)30g e f e =⋅--=，所以()0(0)0g x g x >=⇒>，即不等式的解集是(0,)+∞ 故选：C 3．C 【分析】由已知构造函数()()g x xf x =，求导，由导函数的符号得出所令函数的单调性，从而可得选项. 【详解】解：因为()()0f x f x x'+>，所以当0x >时，有()()0xf x f x '+>，令()()g x xf x =，则当0x >时，()'()()>0g x xf x f x '=+，所以()g x 在()0+∞，上单调递增，所以()()3>2g g ，即3(3)2(2)f f >，故选：C. 4．C 【分析】令()()x g x e f x =，由已知得()()xg x e f x =在区间()0,∞+单调递减， ()g x 为偶函数，且在区间(),0∞-单调递增，由此可将不等式等价转化为211a a -≥+，求解即可. 【详解】解：令()()x g x e f x =，则当0x >时，()()()0x g x e f x f x ''=+<⎡⎤⎣⎦，所以()()x g x e f x =在区间()0,∞+单调递减，又()()()()()()2x x x xg x e f x e e f x e f x g x ---=-===，所以()g x 为偶函数，且在区间(),0∞-单调递增，又()()211211a a ef a e f a -+-≤+，即()()211g a g a -≤+，所以211a a -≥+，即()()22211a a -≥+，得0a ≤或2a ≥，故选：C. 5．A 【分析】由函数()f x 是定义在R 上的偶函数，()2f x +是偶函数可得()f x 是周期为4的周期函数，令()()x f x g x e=，然后利用()g x 的单调性可解出不等式. 【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，()2f x +是偶函数，所以()()()4f x f x f x +=-=，即()f x 是周期为4的周期函数，所以()()201714f f ==，令()()xf xg x e=，则()()()x f x f x g x e '-'=，因为()()f x f x '<，所以()0g x '<，所以()g x 在R 上单调递减，由()40xef x e ->可得()4x f x ee>，即()()41g x g e>=，所以1x <，故选：A. 6．B 【分析】令()()e xf xg x =，x ∈R 并求导函数，根据已知可得函数()g x 的单调性，进而得出结论．【详解】令()()e x f x g x =，x ∈R ，则()()()e xf x f xg x ''-=，x R ∀∈，均有()()f x f x '<，()g x ∴在R 上单调递增，(2021)(0)(2021)g g g ∴-<<，可得：2021e (2021)(0)f f -<，2021(2021)e (0)f f >．故选：B. 7．A 【分析】根据题意构造()()1e xf x F x -=，结合已知条件，讨论其单调性，再将不等式()2021e 1x f x ->转化为()F x 的不等式，即可利用单调性求解.【详解】根据题意，构造()()1exf x F x -=，则()()1xf x F x e =+，且''()()1()0exf x f x F x -+=<，故()F x 在R 上单调递减；又()2022f x -为R 上的奇函数，故可得()020220f -=，即()02022f =，则()02021F =.则不等式()2021e 1x f x ->等价于()()20210F x F >=，又因为()F x 是R 上的单调减函数，故解得0x <. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查构造函数法，涉及利用导数研究函数的单调性以及利用函数单调性求解不等式；本题中，根据()()1f x f x '->以及题意，构造()()1e xf x F x -=是解决问题的关键，属中等偏上题. 8．A 【分析】构造函数()()e e x xg x f x =⋅-，结合已知条件可得()0g x '>恒成立，可得()g x 为R 上的减函数，再由()01g =，从而将不等式转换为()()0g x g >，根据单调性即可求解. 【详解】构造函数()()e e x xg x f x =⋅-，因为()()()e e e x x xx f x f x g '=⋅+-'⋅()()e e e e 0x x x x f x f x +--=⎡⎤⎣⎦='>，所以()()e e x xg x f x =⋅-为R 上的增函数．又因为()()000e 0e 1g f -⋅==，所以原不等式转化为()e e 1x xf x ->，即()()0g x g >，解得0x >.所以原不等式的解集为{}|0x x >，故选：A. 9．C 【分析】构造函数()()233x g x f x =--，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论. 【详解】解：设()()233x g x f x =--，则函数()g x 的导函数()()13g x f x ''=-，f x 的导函数()13f x '<，()()103g x f x ''∴=-<，则函数()g x 单调递减，()11f =，()()1211033g f ∴=--=，则不等式()233x f x <+，等价为()0g x <，即()()1g x g <，则1x >，即()233x f x <+的解集为{}1x x >，故选：C. 10．D 【分析】分析函数()g x 的奇偶性，利用导数分析函数()g x 在R 上的单调性，将所求不等式变形为()()23log 11g x g ⎡⎤-<⎣⎦，可得出()23log 11x -<，解此不等式即可. 【详解】因为函数()f x 为R 上的奇函数，则()()2g x x f x =的定义域为R ，且()()()()22g x x f x x f x g x -=-=-=-，所以，函数()g x 为奇函数，且()00g =，对任意正实数x 恒有()()()22xf x f x f x >-=-'，即()()20xf x f x '+>，则()()()()()2220g x xf x x f x x xf x f x '''=+=+>⎡⎤⎣⎦，所以，函数()g x 在()0,∞+上为增函数，故函数()g x 在(),0∞-上也为增函数，因为函数()g x 在R 上连续，故函数()g x 在R 上为增函数，由()()23log 110g x g ⎡⎤-+-<⎣⎦得()()()23log 111g x g g ⎡⎤-<--=⎣⎦，所以，()23log 11x -<，故有2013x <-<，解得21x -<<-或12x <<.故选：D. 11．D 【分析】构造函数()()g x x f x =⋅，利用奇函数的定义得函数()g x 是偶函数，再利用导数研究函数的单调性，结合0.621ln 212log 8<-<<，再利用单调性比较大小得结论. 【详解】解：因为函数()f x 满足()()0f x f x +-=，即()()f x f x =--，且在R 上是连续函数，所以函数()f x 是奇函数，不妨令()()g x x f x =⋅，则()()()()g x x f x x f x g x -=-⋅-=⋅=，所以()g x 是偶函数，则''()()()g x f x x f x =+⋅，因为当(,0)x ∈-∞时，()'()0f x xf x +<成立，所以()g x 在(,0)x ∈-∞上单调递减，又因为()g x 在R 上是连续函数，且是偶函数，所以()g x 在()0+∞，上单调递增，则()0.62a g =，(ln 2)b g =，2211loglog 88c g g ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0.621>，0ln 21<<，()21log 33>08-=--=，所以0.621ln 212log 8<-<<，所以c a b >>，故选：D. 12．A 【分析】先构造函数()()cos f x g x x=，进而根据题意判断出函数的奇偶性和单调性，进而解出不等式. 【详解】因为偶函数()f x 的定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()()cos f x g x x=，则()()()()cos cos f x f x g x x x--==-，即()g x 也是偶函数.当02x π<<时，根据题意()()()2cos sin 0cos f x x f x xg x x'+'=<，则()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，而函数为偶函数，则()g x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数.于是，()()3()2cos 3cos 3cos 3f f x f x f xg x g x ππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭<⇔<⇔< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3,,233222x x x πππππππ⎧>⎪⎪⎛⎫⎛⎫⇒∈--⋃⎨⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪-<<⎪⎩. 故选：A. 13．A 【分析】利用22(()0)f xf x x x '>+≥，构造出()()2g x x f x =，会得到()g x 在R 上单调递增，再将待解不等式的形式变成和()g x 相关的形式即可. 【详解】设()()2g x x f x =，因为()f x 为R 上奇函数，所以()()()()22g x x f x x f x -=--=-，即()g x 为R 上奇函数对()g x 求导，得[]()2()()g x f x x x xf '=+'，而当0x >时，有()()220f x xf x x '>+≥，故0x >时，()0g x '>，即()g x 单调递增，所以()g x 在R 上单调递增不等式()()()22018+2018420x f x f ++-<()()()22018+201842x f x f +<--，又()f x 是奇函数，则()()()22018+201842x f x f +<，即()()20182g x g +<所以20182x +<，解得2016x <-，即(,2016)x ∈-∞-. 故选：A. 14．A 【分析】根据题意，构造出函数()()2f x g x x=，则()0()0f x g x <⇔<，进而结合题意求得答案.【详解】设()()2f x g x x=，则()0()0f x g x <⇔<，()()()()()24322f x x xf x xf x f x g x x x ''⋅--'==，若x >0，由2()()()2()0f x f x xf x f x x ''>⇒->，则()0g x '>，即()()2f x g x x =在()0,∞+上单调递增.因为()f x 是R 上的奇函数，(2)0f =，容易判断，()()2f x g x x =在R 上是奇函数，且(2)0=g ，则函数()g x 在(),0-∞上单调递增，且(2)0g -=，所以()0<g x 的解集为：(,2)(0,2)-∞-⋃.于是()0f x <的解集为：(,2)(0,2)-∞-⋃. 故选：A. 15．D 【分析】令()()g x lnxf x =对函数求导可得到函数()g x 单调递减，再结合()10g =，和()f x 的奇偶性，通过分析得到当0x >，()0f x <，0x <，()0f x >，故不等式(1)()0x f x -⋅<等价于()10x f x >⎧⎨<⎩或()10x f x <⎧⎨>⎩，求解即可.【详解】令()()g x lnxf x =，则1()()()0g x f x lnx f x x'=+'<，故函数()g x 单调递减，定义域为()0,∞+，g （1）0=，01x ∴<<时，()0>g x ；1x <时，()0<g x ．01x <<时，0lnx <；1x >时，0lnx >．∴当0x >，1x ≠时，()0f x <，又f（1）0<．∴当0x >，()0f x <，又()f x 为奇函数， ∴当0x <，()0f x >．不等式(1)()0x f x -⋅<等价于()10x f x >⎧⎨<⎩或()10x f x <⎧⎨>⎩解得1x >或者0x < 故答案为：D.【分析】由题意可得()()()f x x f x x -=---，令()()2F x f x x =-，根据奇偶性的定义，可得()F x 为偶函数，利用导数可得()F x 的单调性，将题干条件化简可得()2(1)2(1)f a a f a a -≥---，即()(1)F a F a ≥-，根据()F x 的单调性和奇偶性，计算求解，即可得答案. 【详解】由()()4f x f x x --=，得()2()2()f x x f x x -=---，记()()2F x f x x =-，则有()()F x F x =-，即()F x 为偶函数，又当(0,)x ∈+∞时，()()20F x f x ''=->恒成立，所以()F x 在(0,)+∞上单调递增，所以由()()()1221f a f a a --≥-，得()2(1)2(1)f a a f a a -≥---，即()(1)F a F a ≥-(||)(|1|)F a F a ⇔-，所以|||1|a a -，即2212a a a ≥+-，解得12a，故选：D. 17．B 【分析】根据()()0f x f x x'+<构造函数()()g x xf x =，利用函数()g x 的奇偶性、单调性比较大小．【详解】解：令函数()()g x xf x =，因为定义域为R 的()y f x =是奇函数，所以函数()g x 为偶函数；()()()g x f x xf x ''=+，当0x >时，因为()()0f x f x x '+<，所以()()0xf x f x x'+<，所以()()0xf x f x '+<，即()0g x '<，所以()g x 在(0,)+∞上为减函数，()()()()222111(),2(2)22,ln (ln )ln ln 3ln 3333333a f g b f g g c f g g g ⎛⎫⎛⎫===--=-====-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为2ln 323<<，所以()()2ln 323g g g ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，即a c b >>.18．A 【分析】构造函数()()g x xf x =，利用导数法结合条件，得到()g x 在R 上单调递减,利用单调性可得答案. 【详解】设()()g x xf x =，则()()()0g x f x xf x =+'<' 所以()g x 在R 上单调递减，又()()2222g f == 由()()112x f x ++>，即()()12g x g +>，所以12x +< 所以1x < 故选：A 19．D 【分析】构造函数2()e ()x g x f x =，求导后确定其单调性，原不等式转化为关于()g x 的不等式，再利用单调性得解集．【详解】设2()e ()x g x f x =，则221()e ()()2x x g x f x e f x ''=+，因为1()()02f x f x '+>，所以()0g x '>，所以()g x 是R 上的增函数，(2)e (2)1g f ==，不等式()f x >2e ()1xf x >，即()(2)g x g >，所以2x >，故选：D ． 20．D 【分析】构造函数()()1()xg x e f x =+，利用导数求得()g x 的单调性，由此求得不等式1()2(1)x e f x e +>+的解集. 【详解】令()()1()x g x e f x =+，则()()()1()0x xg x e f x e f x =+'+>'，所以()g x 在R 上单调递增，不等式()1()21x e f x e +>+可化为()11()2x e e f x ++>，而1(1)2f =，则1(1)(1)(1)2e g ef +=+=，即()()1g x g >，所以1x >，即不等式解集为(1,)+∞. 故选：D 21．A 【分析】构造函数()1(),xf xg x e+=得到()g x 也是R 上的单调递增函数.，分析得到函数()f x 关于点(3,1)对称.由()ln 210f x x ++<得到(ln )(0)g x g <，即得解. 【详解】构造函数()1()()1(),()0x xf x f x f xg x g x e e '+--'==>，所以()g x 也是R 上的单调递增函数.因为()()6f x f x ''=-，所以()'f x 关于直线3x =对称，所以12()(6),()(6)f x dx f x dx f x c f x c ''=-∴+=--+⎰⎰，（12,c c 为常数），21()(6)f x f x c c ∴+-=-，令3x =，所以21212(3),(3)2c c f c c f -=-∴=. 因为()31f =，所以212,c c -=所以()(6)2f x f x +-=，所以函数()f x 关于点(3,1)对称. 由(3)1,(6)5f f ==得到(0)3f =-，因为()()ln ln 210ln 122x f x x f x x e ++<∴+<-=-，，所以()ln ln 12xf x e +<-，所以031(ln )2(0)g x g e -+<-==，所以(ln )(0)g x g <，所以ln 0,01x x <∴<<. 故选：A22．A 【分析】令()()1xf xg x e +=，根据因为()()1f x f x '>+，得到()0g x '>，得出函数()g x 为R 上的单调递增函数，由题设条件，令0x =，求得()02g =-，把不等式转化为()()0g x g <，结合单调性，即可求解. 【详解】令()()1x f x g x e +=，可得()()()()11x xf x f x f xg x e e ''+--⎛⎫'== ⎪⎝⎭，因为()()1f x f x '>+，可得()()10f x f x '-->，所以()0g x '>，所以函数()g x 为R 上的单调递增函数，由不等式()210x f x e ++<，可得()12x f x e +<-，所以()12xf x e +<-，即()2g x <- 因为()(6)2f x f x +-=，令0x =，可得(0)(6)2f f +=，又因为(6)5f =，可得(0)3f =-，所以()()00102f g e+==- 所以不等式等价于()()0g x g <，由函数()g x 为R 上的单调递增函数，所以0x <，即不等式的解集为(,0)-∞. 故选：A. 23．C 【分析】可构造函数()()cos f x g x x=，由已知可证()g x 在,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭单增，再分别代值检验选项合理性即可【详解】设()()cos f x g x x=，则()()()2cos sin 0cos f x x f g x x xx'+='>，则()g x 在,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭单增，对A ，()04cos0cos 4f f ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭<，化简得()04f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，故A 错；对B ，34cos cos 34f f ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭34f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错；对C ，43cos cos 43f f ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭34f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；对D ，()03cos0cos 3f f ππ⎛⎫⎪⎝⎭<⎛⎫⎪⎝⎭，化简得()023f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，故D 错，故选：C 24．B 【分析】令()()cos f x g x x =，,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，得到()g x 是奇函数，单调递增，再利用函数的单调性和奇偶性分析判断得解. 【详解】因为()tan ()0f x x f x '+⋅>，所以()sin ()0,cos xf x f x x'+⋅> cos ()sin ()0x f x x f x '∴⋅+⋅>，令()()cos f x g x x =，,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()2cos ()sin ()0cos f x x f x x g x x'⋅+⋅'=>，所以()g x 单调递增，所以()()()()cos()cos f x f x g x g x x x---===--，所以()g x 为奇函数，(0)0g =，所以6430cos cos cos643f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭<<<，即0643πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以A ，C 错误；63ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以063ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为()f x 为奇函数，所以063ππ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以B 正确；64ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭064ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．又因为()f x 为奇函数，所以046ππ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 错误．故选：B 25．B 【分析】结合已知不等式，构造新函数()()3sin g x f x x x =-+，结合单调性及奇偶性，列出不等式，即可求解. 【详解】由题意，当0x ≥时，()3cos f x x '≥-恒成立，即()3cos 0f x x '-+≥恒成立，又由()()62sin 0f x f x x x ---+=，可得()3sin ()3sin f x x x f x x x -+=-+-，令()()3sin g x f x x x =-+，可得()()g x g x -=-，则函数()g x 为偶函数，且当0x ≥时，()g x 单调递增，结合偶函数的对称性可得()g x 在(,0)-∞上单调递减，由()36224f x f x x x πππ⎛⎫⎛⎫≥--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得到()3sin 3()sin()222f x x x f x x x πππ⎛⎫-+≥---+- ⎪⎝⎭，即()()2g x g x π≥-，所以2x x π≥-，解得4x π≥，即不等式的解集为,4π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选：B. 26．D 【分析】令()()cos g x f x x =，求出函数的导数，根据函数的单调性判断即可．【详解】解：令()()cos g x f x x =，(0,)x π∈ 故()()cos ()sin 0g x f x x f x x ''=->，故()g x 在(0,)π递增，所以()()36g g ππ>，可得1()()236f f ππ63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 正确；故选：D ． 27．D 【分析】根据题意构造函数()()2x h x f x =，利用导数研究函数的单调性，根据单调性结合2log 31>即可求解.【详解】设()()2x h x f x =，则()()()()()22ln 22ln 2xx x h x f x f x f x f x '''=+=+⎡⎤⎣⎦，又()()ln 20f x f x '+<，20x >，所以()0h x '<，所以()h x 在(),-∞+∞上单调递减，由10>可得2(1)(0)f f >，故A 错；由21>可得22(2)2(1)f f <，即2(2)(1)f f <，故B 错；由01>-可得012(0)2(1)f f -<-，即2(0)(1)f f <-，故C 错；因为2log 31>，所以()()2log 31h h <，得()()23log 321f f <，故D 正确. 故选：D 28．D 【分析】由题设()()xf x F x e =，由已知得函数()F x 在R 上单调递增，且1ln 1(2022)4F x F ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，根据函数的单调性建立不等式可得选项. 【详解】由题可设()()ex f x F x =，因为()()0f x f x '->，则2()e ()e ()()()0e e x x x xf x f x f x f x F x ''--'==>，所以函数()F x 在R 上单调递增，又2022(2022)(2022)1e f F ==，不等式1ln 4f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭1ln 41ln 41e x f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭<， ∴1ln 1(2022)4F x F ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，所以1ln 20224x <，解得80880e x <<，所以不等式1ln 4f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭()80880,e ．故选：D. 29．C 【分析】设()()g x xf x =，由奇偶性定义知()g x 为偶函数，结合导数和偶函数性质可确定()g x 在()0,∞+上单调递减，由指数和对数函数单调性可确定0.32log 42log 20π>>>，结合偶函数性质和单调性可得()()0.321log 22log4g g g π⎛⎫>> ⎪⎝⎭，由此可得大小关系. 【详解】设()()g x xf x =，则()()()()g x xf x xf x g x -=--==，()g x ∴为定义在R 上的偶函数；当(),0x ∈-∞时，()()()0g x f x xf x ''=+>，()g x ∴在(),0-∞上单调递增，由偶函数性质可知：()g x 在()0,∞+上单调递减，0.32log 4221log 20π=>>>>，()()()0.32log 22log 4g g g π∴>>，又()()2221log 4log 4log 4g g g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，()()0.321log 22log4g g g π⎛⎫∴>> ⎪⎝⎭，即b a c >>. 故选：C. 30．A 【分析】构造函数2()()g x x f x =，然后结合已知可判断()g x 的单调性及奇偶性，从而可求．【详解】解：设2()()g x x f x =，由()f x 为奇函数，可得22()()()()()g x x f x x f x g x -=--=-=-，故()g x 为R 上的奇函数，当0x >时，202()()f x xf x x '>>+，()[2()()]0g x x f x xf x ''∴=+>，()g x 单调递增，根据奇函数的对称性可知，()g x 在R 上单调递增，则不等式2(2021)(2021)4(2)0x f x f +++-<可转化为()2(2021)(2021)4(2)42x f x f f ++<--=，即()()20212g x g +<，20212x ∴+<即2019x <-，即(),2019x ∈-∞-．故选：A 31．AB 【分析】首先根据已知条件构造函数()()f xg x x=，利用其导数得到()g x 的单调性，然后结合()f x 奇函数，将不等式()0f x >转化为()·0x g x >求解. 【详解】解：设()()f xg x x=，则()()()2''xf x f x g x x -=，当0x >时总有()()'xf x f x <成立，即当0x >时， ()'g x <0恒成立，∴当0x >时，函数()()f xg x x =为减函数，又()()()()f x f x g x g x xx---===--，∴函数()g x 为定义域上的偶函数，又()()1101f g --==-，所以不等式()0f x >等价于()·0x g x >，即()00x g x >⎧⎨>⎩或()0x g x <⎧⎨<⎩，即01x <<或1x <-，所以()0f x > 成立的x 的取值范围是()(),10,1-∞-⋃．故选：AB ． 32．CD 【分析】构造函数1()()ln 1g x f x x x=+-，由导数确定其单调性，再由单调性解不等式，确定正确选项．【详解】令1()()ln 1g x f x x x=+-，所以()2()1()ln f x g x f x x x x''=++，因为()ln ()0xf x x f x x'+>，210x >，所以()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，又(1)0g =，可得()0>g x 的解集为(1,)+∞. 故选：CD. 33．BD 【分析】首先根据条件构造函数()()32f x g x x x=+，0x >，根据()()()()()()322232320f x x x f x x x g x xx+-'+'+=<得到()g x 在()0,∞+上单调递减，从而得到()()()11232g g g g ⎛⎫>>> ⎪⎝⎭，再化简即可得到答案. 【详解】由()()()()232x x f x x f x +'+<及0x >，得()()()()32232x x f x x x f x +'+<.设函数()()32f xg x x x =+，0x >，则()()()()()()322232320f x x x f x x x g x xx+-'+'+=<，所以()g x 在()0,∞+上单调递减，从而()()()11232g g g g ⎛⎫>>> ⎪⎝⎭，即()()()112323212368f f f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭>>>，所以()()3181f f <，()()261f f <，()131162f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()()332f f <.故选：BD 34．AD 【分析】。

导数应用中的函数构造技巧

C.e2f(2)≥e3f(3)
D.e2f(2)≤e3f(3)
答案 A
解析令g(x)=exf(x),则g'(x)=ex(f(x)+f'(x))<0,因此函数g(x)在R上单调递减,所
以g(2)>g(3),即e2f(2)>e3f(3).故选A.
[例2-4]若定义在R上的函数f(x)满足f'(x)-2f(x)>0,f(0)=1,则不等式f(x)>e2x的
又f(2)=0,则F(-2)=F(2)=0,于是xf(x)>0可化为F(x)>F(-2)或F(x)>F(2),
则x<-2或0<x<2.故选D.
[例2-2](2021·河北正定一中模拟)设f'(x)是函数f(x)(x∈R)的导函数,且满足
xf'(x)-2f(x)>0,若△ABC是锐角三角形,则(
A.f(sin A)sin2B>f(sin B)sin2A
a
ln ln4
, 4

=
设函数
3
ln ln5
, 5

b
=
ln
f(x)= ,则
4
c
5
ln3
c,因此 3
=
ln
.

f(3)=f(a),f(4)=f(b),f(5)=f(c),由于
1-ln
f'(x)= 2 ,令
f'(x)=0,得
x=e,所以f(x)在区间(0,e)上单调递增,在区间(e,+∞)上单调递减,因为
π
3
<
,即
6
π

3
4
,f

导数构造函数

导数构造函数导数构造函数常用的导数构造函数模型如下：1) 条件：f′(x)>a(a≠0)。

构造函数：h(x)＝f(x)－ax。

2) 条件：f′(x)±g′(x)>0.构造函数：h(x)＝f(x)±g(x)。

3) 条件：f′(x)＋f(x)>0.构造函数：h(x)＝exf(x)。

4) 条件：f′(x)－f(x)>0.构造函数：h(x)＝fx/ex。

5) 条件：xf′(x)＋f(x)>0.构造函数：h(x)＝xf(x)/fx。

6) 条件：xf′(x)－f(x)>0.构造函数：h(x)＝x/fx。

例1：已知f(x)的导函数为f′(x)=ex(2x+3)+f(x)，且f(x)/x<5e。

求不等式的解集。

解：由f′(x)-f(x)=2x+3ex>0，可得G(x)=f(x)/ex单调递增。

设G(x)=x+3/(x+c)，则G(0)=f(0)=1，解得c=1.所以f(x)=x2+3x+1.代入不等式得e<5，解得-4<x<1.所以不等式的解集为(-4,1)。

例2：已知函数f(x)满足f(x)=f(-x)，且当x∈(-∞,0]时，f(x)+xf′(x)<1/(8log2)(2f(2ln2))，若f(log2)=1/(8log2)(2f(2))，则a，b，c的大小关系是()。

解：令h(x)=xf(x)，则h(x)为奇函数。

当x∈(-∞,0]时，h′(x)=f(x)+xf′(x)<0，所以h(x)在(-∞,0]上为减函数，又由函数h(x)为奇函数，则h(x)在(-∞,+∞)上为减函数。

所以a=(2/0.6)·f(2/0.6)=h(2/0.6)，b=ln2·f(ln2)=h(ln2)，c=(1/log2(8))·f(log2(8))=h(8)=h(-3)·f(-3)·log2(111)<h(log2(2))·f(log2(2))·log2(28)，所以c<a<b。

导数有关的构造函数

导数有关的构造函数、几种导数的常见构造1、对于f (x) g (X),构造h(x) = f(X)- g(x)；若遇到f(x) .a(a = O),则可构造h(x) = f(x)-ax2、对于f (x) g (x) 0 ,构造h(x) = f(X)g(x)' X3、对于f (X) f(x) 0 ,构造h(x) =e f (x)4、对于f (X) - f (X) 0 ,构造h(x) =e5、对于Xf (x) f (x) 0 ,构造h(x) = Xf (x)' f ( X )6、对于Xf (X) - f (X) 0 ,构造h(x)=Xn7、对于Xf (X) ∙ nf(x) _0,构造h(x) =x f(x)(注意对X的符号进行讨论)&对于Xf'(X) - nf(x) _0 ,构造h(x)二丄単(注意对X的符号进行讨论)X' f ( x)9、对于xln Xf (X) - f (X) 一0 ,构造h(x)=ln X10、对于f (X)0,构造h(x) = ln | f (x) |f(x)二、典型例题1例题1、定义在R上的函数X f (X)满足f(1) =1 ,且对于任意x∙ R都有f (X)::：-,则2 2x2+1不等式f(x ) 的解集是( )A. (1,2)B. (0,1)C. (1,二)D. (-1,1)1 X 1练习1、已知函数X f(x)(x∙ R)满足f (1) =1，且满足f'(x)::：,则f(x)::：的解2 2 2集是( )A. {x | T ：：：X ：：1}B. {X| X “ T}C. {XIX T或X 1}D. {x| x 1}例题2、已知函数y = f (x)为R上的可导函数，满足 f (x) ∙f'(x),则有( )A. e2015f(-2015) ：： f(0), f(2015 e2015f(0)B. e 2015f (-2015) ：： f(0), f (2015 ：： e 2015f(0)C. e 2015f (-2015) f(0), f (2015) e 2015f(0)D. e 2015f (-2015)f(0), f(2015 < e 2015f(0)1 1且当 X (- ：： ,0)时，f (χ) Xf (χ) ：：： 0成立。

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