微分方程构造函数(1)

专题:微分方程构造函数

总括:

①我们把这类方程称为一阶线性齐次微分方程.

②我们把这类方程称为一阶线性非齐次微分方程

在高中数学以及大学考研中,用微分方程构造题目函数不等式是非常凑效的方法.

注意

例题一:定义在上的可导函数满足恒成立,问与的大

小关系.(选择题)

方法一:令满足恒成立,故

方法二:解微分方程

构造

例题二(某市模拟题):定义在上的函数是它的导函数且恒有成立,则( )

方法一:从B选项看出和比较关系,从A选项看出和比较关系.然后猜

测需要构造

方法二:解微分方程

构造函数

注意到故

,选项A错误

,选项B错误

,选项C错误

,选项D正确

例题三:定义在上的可导函数的图像连续,当时,则函数

的零点的个数为

方法一:考察零点个数转化为

的解的个数

构造

故无解,即零点个数为零

方法二:解微分方程

构造函数

有

注意到中故无零点

评价:虽然看上去方法一较方法二简便,但这样做是不是太靠运气了呢?毕竟不一定构造

函数那么简单就可以看出来的.总的来说,解微分方程是最佳的最保险最万能的方法.

例题四(自编题):定义在上的可导连续函数满足时,恒有

且已知函数.则函数

的零点个数为

解:先解微分方程

构造函数

故当时,当时

有无零点

例题五(坏坏悦子寒假做过滴):定义在上的可导连续函数满足

恒成立.请问与零的大小关系

解:

解微分方程

构造

而恒成立

故

特别地,当时代入得

综上有

例题六(高中数学吧):定义在上的可导函数满足:对任意有,且在

有.若求实数范围.

解:陷阱是看到转化为

于是构造,之后就会解题失败….

坏坏悦子只需记住一点,这类函数题,出现函数与导数的不等式,那么就是要解这个微分方程.其他条件先不管它,我们先把构造函数求出来

先解微分方程

构造函数

当时有

[注意到题目有个条件]

从而为奇函数,故在上单调递增

由于即

评价:这题出题人挺阴险的…

接下来是一阶线性非齐次微分方程的题目

首先坏坏悦子要记住一个很长很长的公式((>_<),加油!坏坏悦子最聪明啦)

的解为

……..其中表示对积分…例如

后面的题目坏坏悦子有兴趣的话就看看哇…四川可能不会考,但说不准,毕竟新课改什么情况都有可能发生….

例题七(某地区模拟):定义在上的可导连续奇函数满足当时恒成

立.试比较与大小关系.

方法一:注意到和

方法二:解微分方程

代入公式得到

构造函数

注意分子大于零

那么再注意到

比较与大小关系即比较与

大小关系

显然由单调性知即

例题八(自编题):设为可导连续函数且对

都有则下列说法中一定正确的是________

①

②

③

④

解:先解微分方程

代入公式得

注意到分子小于零,分母大于零,有

逐一验证可知①③④正确

对于②仅由这些条件是不足以推出②的