微分方程构造函数(1)
高中数学知识点微分方程
高中数学知识点微分方程高中数学知识点——微分方程微分方程（Differential Equation）是高中数学中的一个重要内容，也是数学与自然科学交叉研究时最为常用的工具之一。
微分方程在电子工程、物理学、化学等领域有广泛的应用。
概念及基本要素微分方程指的是关于一个或多个未知函数的导数与该函数自身的表达式，一般形式为$F(y,y',y'',...,y^{(n)})=0$。
其中，$y$是未知函数，$y',y'',...,y^{(n)}$是它的各阶导数。
微分方程的解数就是函数$y$在特定条件下的解集。
微分方程的基本要素是：微分方程的阶数与次数。
微分方程的阶数指方程中最高导数的阶数；微分方程的次数指方程中最高导数的幂次。
常见微分方程一阶微分方程：${\rm d}y/{\rm d}x=f(x,y)$其中，$y$为未知函数，$x$为自变量，$f(x,y)$为已知函数。
它的解可以用分离变量法、齐次方程法、一阶线性微分方程法等方法求出。
二阶微分方程：$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$其中，$p(x)$、$q(x)$、$f(x)$为已知函数，$y$为未知函数，它的解可以用齐次方程法和非齐次方程法求解。
齐次方程法是指将非齐次方程化为对应的齐次方程，而非齐次方程法是指先找到齐次方程的通解，再根据非齐次项的特殊形式，找到一个可以使齐次通解中包含非齐次项的特解。
高阶微分方程：可以用多种方法求解，如常系数高阶微分方程可以用特征方程法求解，非齐次线性方程可以用未定系数法和待定系数法求解，变系数非齐次线性方程可以用变换求解。
微分方程在自然科学中的应用微分方程在自然科学中的应用非常广泛，它的主要作用是将问题转化为一个数学问题，通过求解微分方程得到某些物理量的函数关系式。
以牛顿第二定律为例，如果一个物体受到的力为$F(t)$，质量为$m$，则它的加速度$a(t)$与受力之间的关系可以用微分方程来表示：$m{\rm d}^2x/{\rm d}t^2=F(t)$。
罗尔定理构造辅助函数微分方程法
构造辅助函数时(这种情况适用于所有一阶齐次微分方程的情况→即f(x)与f~(x)只差一阶导时)，先把方程写成一阶齐次微分方程的形式:f~(∮)+g(∮)f(∮)=0，再把∮改成x，最后两端同乘e~(∫g(x)dx)，即可得到辅助函数。
罗尔（Rolle）中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他两个分别为：拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理。
罗尔定理描述如下：
如果 R 上的函数 f(x) 满足以下条件：
（1）在闭区间 [a,b] 上连续。
（2）在开区间 (a,b) 内可导。
（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。
证明：
因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 M 和 m 表示，分两种情况讨论：
1. 若 M=m，则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数，结论显然成立。
2. 若 M>m，则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得，f(x) 在ξ处取得极值，由费马引理，可导的极值点一定是驻点，推知：f'(ξ)=0。
另证：若 M>m ，不妨设f(ξ)=M，ξ∈(a,b)，由可导条件知，f'(ξ+)<=0，f'(ξ-)>=0，又由极限存在定理知左右极限均为 0，得证。
微分方程基本概念介绍
微分方程基本概念介绍微分方程（Differential equation）是数学中研究函数与其导数（或称微商）之间的关系的方程。
它在物理学、工程学、经济学等领域有广泛的应用。
本文将就微分方程的基本概念进行介绍。
一、微分方程的定义微分方程是一个含有未知函数及其导数的方程。
一般形式为F(x, y, y', y'', ...) = 0，其中x是自变量，y是未知函数，y'、y''分别表示一阶、二阶导数。
二、微分方程的类型1.第一阶微分方程：形式为dy/dx = f(x)的微分方程，它包含一阶导数，最高阶数为1；2.第二阶微分方程：形式为d²y/dx² = f(x)的微分方程，它包含二阶导数，最高阶数为2；3.常系数微分方程：系数与自变量无关的微分方程，如dy/dx + ay = 0；4.线性微分方程：未知函数及其导数只有一次项且可相加，如y''+ p(x)y' + q(x)y = f(x)；5.非线性微分方程：未知函数及其导数有非线性项的微分方程，如y' = y²。
三、解微分方程的方法1.可分离变量法：将方程重写成形式dy/f(y) = g(x)dx，然后分别对x和y积分；2.齐次微分方程法：将微分方程转化为全微分形式dz = P(x, y)dx + Q(x, y)dy，其中P和Q为关于x和y的函数，然后求z的通解；3.一阶线性微分方程法：利用一阶线性微分方程的特性，找到形如y = u(x)v(x)的通解；4.常系数线性微分方程法：对于常系数微分方程，可通过特征方程求得特解；5.变量代换法：通过变量代换将微分方程转化为更简单的形式，再进行求解；6.数值解法：对于无法解析求得的微分方程，可以通过数值计算方法求得近似解。
四、微分方程的应用微分方程广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
它可用于描述动力学系统、电路网络、人口变化、物质传输等各类问题。
微分学中构造函数的新方法
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大 学 数 学
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微 分 学 中构造 函数 的新 方法
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高考数学构造函数知识点
高考数学构造函数知识点高考数学中，构造函数是一个重要的知识点，并且在解决实际问题时有着广泛的应用。
构造函数是指通过给定的条件、方法和规则，将一组数值映射到另一组数值的数学表达式。
在学习构造函数这一知识点时，我们需要了解它的定义、特征以及具体应用。
首先，构造函数可以通过给定的条件和方法，将自变量（输入）映射到因变量（输出）。
考虑一个简单的例子，如果我们想要构造一个可以计算x的平方的函数，我们可以定义一个函数f(x) = x^2。
这里，x 是自变量，f(x)是因变量。
通过这个函数，我们可以将任意一个实数x映射到f(x)。
其次，构造函数还具有一些特征，例如定义域、值域和可逆性。
定义域是指构造函数能够接受的自变量的取值范围，而值域则是构造函数能够得到的因变量的取值范围。
在上述例子中，定义域是所有实数，值域是所有非负实数。
另外，构造函数还可能具有可逆性，即给定一个因变量，我们可以通过构造函数的逆映射求得对应的自变量。
在这个例子中，函数f(x) = x^2是不可逆的，因为给定一个非负实数y，我们无法唯一地确定一个实数x使得f(x) = y。
构造函数在解决实际问题时也有着广泛的应用。
例如，在经济学中，我们可以利用构造函数来描述供求关系或者生产函数。
在物理学中，构造函数可以用来描述物体的运动轨迹或者力学关系。
通过利用构造函数的定义和特征，我们可以对这些实际问题进行数学建模，并通过构造函数来求解。
这不仅能够帮助我们理解实际问题，还能够提高我们的数学能力和解决问题的能力。
此外，构造函数还可以通过一些变换来进行组合。
例如，我们可以通过平移、缩放和倒置等变换，将已知的函数进行组合形成新的构造函数。
这使得我们能够构造出更加复杂的函数，并且应用于不同的实际问题中。
同时，构造函数也可以通过求导、积分等运算进行操作，从而得到函数的导数、积分和微分方程等相关信息。
这些操作为我们解决实际问题提供了更多的途径和工具。
总结起来，高考数学中的构造函数是一个重要的知识点，它不仅具有理论价值，还有着广泛的应用。
微分方程公式总结
微分方程公式总结微分方程是数学中的一个重要分支，用于描述变量之间的关系以及其随时间或空间的变化规律。
微分方程广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域，在实际问题的建模与求解中起到重要的作用。
本文将对微分方程的基本概念、常见的分类、常见的解法以及应用进行总结，以帮助读者更好地理解和应用微分方程。
一、微分方程的基本概念微分方程是描述函数与其导数之间关系的方程。
一般形式为：F(x,y,y',y'',...,y^(n))=0其中x是自变量，y是未知函数，y'、y''...y^(n)代表y对x的一阶、二阶...n阶导数。
常见的微分方程类型有：常微分方程和偏微分方程。
常微分方程中只含有一变量的导数，常见的类型有一阶、二阶和高阶常微分方程；偏微分方程中含有多个变量的偏导数，常见的类型有泊松方程、热方程和波动方程等。
二、常见的微分方程分类及解法1.一阶常微分方程一阶常微分方程形式为：dy/dx = f(x, y)解法：分离变量法、齐次方程法、一阶线性微分方程法等。
2.高阶常微分方程高阶常微分方程形式为：y''+p(x)y'+q(x)y=g(x)解法：齐次线性微分方程的解法、常系数线性微分方程的解法、变系数线性微分方程的解法等。
3.一阶偏微分方程一阶偏微分方程形式为：F(x,y,u,p,q)=0其中u=u(x,y)是未知函数，p=∂u/∂x，q=∂u/∂y为一阶偏导数。
解法：变量分离法、特征线法、线性方程法等。
4.二阶偏微分方程二阶偏微分方程形式为：Au_xx + 2Bu_xy + Cu_yy + Du_x + Eu_y + Fu = 0其中A、B、C、D、E、F为已知函数，A、B、C不同时为零。
解法：分离变量法、特征线法、变换法等。
三、微分方程的应用微分方程是物理学、工程学、经济学等实际问题的重要工具，应用领域广泛。
1.物理学应用微分方程可以描述物体的运动、电磁场的分布等物理现象。
微分中值定理(怎样构造辅助函数)
怎样在微分中值定理中构造辅助函数成了解这类题的主要关键，下面介绍怎样构造的方法，还有附带几个经典例题，希望对广大高数考生有所帮助。
先看这一题，已知f(x)连续，且f(a)=f(b)=0,求证在（a ，b ）中存在ε使f ’(ε)=f(ε)证明过程： f ’(ε)=f(ε), 所以f ’(x)=f(x), 让f(x)=y,所以 y dx dy =,即dx dy y =1，所以对两边简单积分，即⎰⎰=dx dy y11，所以解出来（真的是不定积分的话后面还要加个常数C ，但这只是我的经验方法，所以不加）就是x y =ln ，也就是x e y =，这里就到了最关键的一步，要使等式一边为1！，所以把x e 除下来，就是1=x ey ，所以左边就是构造函数，也就是x e y -⋅，而y 就是f(x)，所以构造函数就是x e x f -)(，你用罗尔定理带进去看是不是。
再给大家举几个例子。
二、已知f(x)连续，且f(a)=f(b)=0,求证：在（a ，b ）中存在ε使f ’(ε)+2εf(ε)=0 证：一样的，xy dx dy 2-=，把x,y 移到两边，就是xdx dy y21-=，所以积分出来就是2ln x y -=，注意y 一定要单独出来，不能带ln ，所以就是=y 2x e -，移出1就是,12=x ye 所以构造函数就是2)(x e x f ，再用罗尔定理就出来了。
三、已知f(x)连续，且f(a)=f(-a),求证在（-a ，a ）中存在ε使f ’(ε) ε+2f(ε)=0.证：02=+y x dx dy ，移项就是dx x dy y 121-=，所以x y ln 2ln -=，所以就是21x y =，移项就是12=⋅x y ，所以构造的函数就是2)(x x f ⋅，再用罗尔定理就可以了。
注：这种方法不是万能的，结合下面例题尝试做下。
微分中值定理的证明题1. 若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，()()0f a f b ==，证明：R λ∀∈，(,)a b ξ∃∈使得：()()0f f ξλξ'+=。
微分方程的公式
微分方程的基本公式和应用微分方程是数学中一个重要且广泛应用的分支，它在物理、工程、经济和其他科学领域中都有着广泛的应用。
在微分方程中，我们经常会遇到一些基本公式，这些公式不仅在理论上有着非常重要的意义，同时在实际应用中也有着广泛的价值。
一、一阶常微分方程的基本公式一阶常微分方程的一般形式为：y' = f(x,y)，其中 y' 表示 y关于 x 的导数，f(x,y) 是一个已知的函数。
1. 可分离变量的一阶常微分方程如果一阶常微分方程可以写成下面的形式：dy/dx = g(x)h(y)其中 g(x) 和 h(y) 都是已知函数，则这个方程可以通过分离变量的方法来求解。
2. 齐次一阶常微分方程如果一阶常微分方程可以写成下面的形式：dy/dx = F(y/x)其中 F(z) 是关于 z 的已知函数，则这个方程可以通过齐次化的方法来解决。
3. 一阶线性常微分方程如果一阶常微分方程可以写成下面的形式：dy/dx + P(x)y = Q(x)其中 P(x) 和 Q(x) 都是关于 x 的已知函数，则这个方程可以通过积分因子的方法来解决。
4. 其他一阶常微分方程还有一些一阶常微分方程没有特殊的形式，这些方程可以通过变量代换、替换或其他方法来求解。
二、高阶常微分方程的基本公式除了一阶常微分方程，还有二阶甚至更高阶的微分方程需要求解。
1. 二阶常微分方程的基本公式二阶常微分方程的一般形式为：y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)，其中 y'' 表示 y 对 x 的二阶导数。
2. 高阶常微分方程的基本公式高阶常微分方程的一般形式为：y^(n) + p1(x)y^(n-1) + ... + pn(x)y = f(x)，其中 y^(k) 表示 y 对 x 的第 k 阶导数。
三、微分方程的应用微分方程不仅在理论上有着非常重要的意义，同时在实际应用中也有着广泛的价值，主要体现在以下几个方面：1. 物理问题的模拟微分方程可以用来模拟物理问题，如弹性碰撞问题、自由落体问题等。
导数中的构造函数
导数中的构造函数导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数在其中一点处的变化率。
在数学中，导数通常用构造函数的方式定义。
一个函数的导数构造函数是该函数在给定点处的变化率。
本文将详细介绍导数中的构造函数，包括定义、性质和应用等方面。
一、导数的定义1.构造函数的定义设函数y=f(x)，在点x处有定义。
如果用x的变化量Δx去近似表示介于x和x+Δx之间的x的变化量，那么函数f在点x处的近似导数（记作f'(x)）就是当Δx趋近于0时，函数值的变化与自变量变化比值的极限。
用数学表示可以写作：f'(x) = lim(Δx→0) [f(x+Δx) - f(x)] / Δx这个极限就是函数f在点x处的导数。
2.导数的几何意义几何上，一个函数在其中一点处的导数等于其曲线在该点处的切线的斜率，也即切线的斜率是函数在此点处的近似变化率。
二、导数的性质导数具有一些重要的性质，以下列举几个常用性质：1.基本导数(1)常数函数的导数为0，即对于常数C，有C'=0。
(2) 幂函数的导数。
对于幂函数y=x^n（其中n为常数），其导数为y'=nx^(n-1)。
(3) 对数函数的导数。
对数函数y=log_a(x)（其中a为常数且a>0），其导数为y'=1/(xlna)。
(4) 指数函数的导数。
指数函数y=a^x（其中a>0且a≠1），其导数为y'=a^xlna。
2.导数的四则运算(1)求和差的导数。
若f(x)和g(x)在点x处可导，则（f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
(2) 函数乘以常数的导数。
若f(x)在点x处可导，k为常数，则(kf(x))' = kf'(x)。
(3)乘法法则。
若f(x)和g(x)在点x处可导，则(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
微分方程有关的构造函数
微分方程有关的构造函数摘要本文将介绍微分方程的相关概念和构造函数，旨在帮助读者深入理解微分方程的含义和解法。
微分方程的概念微分方程是描述自然界各种现象和问题的数学语言，通常表示为含有未知函数、未知函数的导数和自变量的方程式。
微分方程在物理学、经济学、生物学等领域都有广泛的应用。
构造函数构造函数是指通过已知的一些函数和已知的微分方程，构造出未知函数的特解。
常用的构造函数包括特征方程法、欧拉公式法、常数变易法等。
特征方程法对于形如 $ay''+by'+cy=0$ 的二阶常系数齐次线性微分方程，可以通过特征方程（即其通解为 $y=e^{rt}$ 的方程）求得其解。
例如，对于方程 $y''+y=0$，其特征方程为 $r^2+1=0$，解得$r_1=i$ 和 $r_2=-i$。
因此其通解为 $y=c_1\cos t+c_2\sin t$，其中$c_1$ 和 $c_2$ 为任意常数。
欧拉公式法对于形如 $ax^2y''+bxy'+cy=0$ 的二阶常系数齐次线性微分方程，可以通过欧拉公式 $x=e^t$ 将其转化为常系数齐次线性微分方程求解。
例如，对于方程 $x^2y''+3xy'+y=0$，令 $x=e^t$，则原方程变为 $y''+2y'+y=0$。
而该方程与上述特征方程类似，解得其通解为$y=c_1e^{-t}+c_2e^{-t}t$。
常数变易法对于形如 $y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)$ 的二阶常系数非齐次线性微分方程，可以通过常数变易法将其转化为对应的齐次线性微分方程求解。
例如，对于方程 $y''+y=x$，其对应的齐次线性微分方程为$y''+y=0$，其通解为 $y=c_1\cos x+c_2\sin x$。
而其特解则可通过常数变易法得到，令 $y^*=Ax$，代入方程可得 $A=0$ 和$A=\frac{1}{2}$，因此其特解为 $y^*=\frac{1}{2}x$。
微分方程知识点
微分方程知识点微分方程是数学中的一种重要工具，用于描述自然界中许多现象的变化规律。
它是关于未知函数及其导数之间的关系式。
在物理、工程、经济等领域中，微分方程广泛应用。
本文将介绍微分方程的基本概念和常见类型，帮助读者对微分方程有更深入的了解。
一、微分方程的定义微分方程是包含一个或多个未知函数及其导数的方程。
一般形式为：F(x, y, y', ..., y^(n)) = 0其中，x 是自变量，y 是未知函数，y' 是 y 对 x 的导数，y^(n) 是 y 的 n 阶导数（n 为正整数）。
二、常见的微分方程类型1. 一阶微分方程一阶微分方程是只包含一阶导数的微分方程。
常见的一阶微分方程类型包括：（1）可分离变量型dy/dx = f(x)g(y)这类微分方程可以通过变量分离的方法求解。
（2）齐次型dy/dx = f(y/x)这类微分方程可以通过令 y = ux 来化简，得到一阶线性微分方程。
（3）一阶线性微分方程dy/dx + P(x)y = Q(x)其中 P(x) 和 Q(x) 是已知函数。
该类型的一阶微分方程可以通过积分因子法求解。
2. 二阶线性微分方程二阶线性微分方程是包含二阶导数的微分方程。
一般形式为：a(d^2y/dx^2) + b(dy/dx) + cy = f(x)其中 a、b、c 是常数，f(x) 是已知函数。
这类微分方程可以通过特征方程的根的情况来分类，并利用特解和齐次解的线性叠加原理求解。
3. 高阶线性微分方程和常系数线性微分方程除了二阶线性微分方程，还存在高阶线性微分方程。
当系数为常数时，称之为常系数线性微分方程。
求解方法与二阶线性微分方程类似，但需要考虑更多的特征方程根的情况。
4. 线性微分方程组线性微分方程组是多个未知函数相互依赖的微分方程的集合。
一般形式为：dy1/dx = a11y1 + a12y2 + ... + a1ny_n + F1(x)dy2/dx = a21y1 + a22y2 + ... + a2ny_n + F2(x)...dyn/dx = an1y1 + an2y2 + ... + anny_n + Fn(x)其中，a_ij 和 F_i(x) 是已知函数。
几种高等数学中的构造函数法1汇总
编号几种高等数学中的构造函数法摘要构造函数法在高等数学中是一种重要的思想方法,它体现了数学发现、类比、化归、猜想、实验和归纳等思想,对于开阔思路,培养分析问题、解决问题和创新的能力是有益的.本文结合实例简单的介绍这一方法及其应用.关键词构造;分析;数形结合法;作差法;观察法中图分类号 O172The constructor of higher mathematicsChengyan Instructor Wang Renhu(N. O. 06, Class 1 of 2009. Specialty of Mathematics and Applied Mathematics, Department ofMathematics, Hexi University, Zhangye, Gansu, 734000, China)Abstract The constructor method in higher mathematics is an important way of thinking,Study found, analogy, and guess, experiment and induction, etc,To widen, training analysis problem, problem-solving ability and the innovation is beneficial.This paper briefly introduced the method and its application.Key words tectonic;analysis;Several form combination;For poor method;observation 1 分析法分析法即从结论出发,从后向前一步一步的进行分析,通过对条件和结论的分析,构造出辅助函数,架起一座连接条件和结论的桥梁,最后获得证明.例1.1[1] 拉格朗日中值定理如果函数f(x)在闭区间上连续,在开区间内可导,那么在内至少有一点使等式成立.分析由于罗尔定理是这一定理的特例,于是定理的证明归结为利用罗尔定理.这里关键是要引进一个满足罗尔定理条件的新的函数F(x).欲证需证f(ξ)-'f(b)-f(a)b-af(b)-f(a)⎡=0,而等式左边可转化为⎢f(x)-b-a⎣⋅x⎤,于是,可取函数x⎥⎦x=ξ'F(x)=f(x)-f(b)-f(a)b-a,容易验证F(x)满足罗尔定理的条件,顺此思路,即可证本定理.例1.2[3] 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,又f(x)不是线性函数,且f(b)>f(a).试证ξ∈(a,b),使得f'(ξ)>f(b)-f(a)b-a.f(b)-f(a)b-a(x-a)分析过点(a,f(a))与(b,f(b))的线性函数为y=f(a)+是线性函数,则F(x)≡f(x)-f(a)-f(b)-f(a)b-a,因f(x)不(x-a)≠0,只要证明F'(ξ)=f'(ξ)-f(b)-f(a)b-a>0即可.f(b)-f(a)b-a(x-a)证明设辅助函数F(x)=f(x)-f(a)-,则F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,F(a)=F(b).由于F(x)≠0,存在x0∈(a,b),使F(x0)≠0.当F(x0)>0时,由Lagrange中值定理,∃ξ∈(a,x0)使F'(ξ)=即f'(ξ)>F(b)-F(a)b-aF(x0)-F(a)x0-a>0,.F(b)-F(x0)b-x0>0,即f(ξ)>'当F(x0)<0时,同理, ∃ξ∈(x0,b),使F'(ξ)=F(b)-F(a)b-a.例1.3[5] 计算n阶行列式a+x1D=a+x1a+x1na+x2a+x2a+x2na+xna+xna+xnn.分析该题直接利用行列式“两项和性质”显然无法实现,如果后一列乘(-1)加到前一列,虽然每一列有公因式可提,但行列式中的元素却变得更复杂,无法进行计算.但从行列式D中可以捕捉到“范德蒙行列式的影子”,所以,应想办法构造一个行列式,既让它等于D,又能转化为范德蒙行列式.于是,有下列解法.解构造行列式,即先将原n阶行列式D加边成一个n+1阶行列式,100 0n21a+x1a+x1a+x1n2221a+x2a+x2a+x2n221a+xna+xn, a+xn2n2然后将此n+1阶行列式第一行乘-ai(i=1,2,…,n)加到第i+1行,再将所得行列式按第一列拆成两个n+1阶行列式相减,并根据范德蒙行列式可得,1-a1x1x1x11x1x1x1221x2x2x21x2x2x2221xn21xnxn xnn2D=-a2-a20nnn1a21x1x1x121x2x2x221xnxn xnn2=0xn--a xnnnnannn=2x1x2 xn∏(x1≤i≤j≤ni-xj)-∏(xi-a)⋅i=1n∏(x1≤i≤j≤ni-xj)n⎡⎤=∏(xi-xj)⎢2x1x2 xn-∏(xi-a)⎥.1≤i≤j≤ni=1⎣⎦2 数形结合法建立在数形结合基础上的几何图像常能引导人们去获得解决问题的方法,通过对几何图像的观察,构造出符合条件的辅助函数,使问题得以解决.例2.1[2] 设f(x)在[a,+∞)内连续、可导,且当x>a时f'(x)>k>0(k为常数),如果f(a)⎤⎡f(a)<0,则方程f(x)=0在⎢a,a-k⎥⎣⎦内有且仅有一个根,如图2.线段AB的斜率刚好为k,y=f(x)在AB的上方,因此很容易找到辅助函数(曲线与直线之差)证明 (1)存在性.作辅助函数F(x)=f(x)-[k(x-a)+f(a)],则F(a)=0,f(a)⎤f(a)⎤⎡⎡, F⎢a-=fa-⎥⎢⎥kk⎣⎦⎣⎦因为F'(x)=f'(x)-k>0,所以F(x)单调增加,故f(a)⎤f(a)⎤⎡⎡F⎢a-=fa->F(a)=0, ⎥⎢⎥k⎦k⎦⎣⎣因此,由f(a)<0,f⎢a-⎣根.(2)唯一性. ⎡f(a)⎤>0k⎥⎦及连续函数的性质,f(x)在⎢a,a-⎣⎡f(a)⎤k⎥⎦内至少有一个由f'(x)>0,f(x)单调增加,所以f(x)在⎢a,a-⎣⎡f(x)⎤k⎥⎦内至少有一个根,问题得证.例2.2[4] 某人身高1.5米,站立在离河岸3米处往水中看去恰好看到对岸河边一根电线杆在水中的倒影,已知水面低于河岸0.5米,河宽15米,求电线杆的高度.解我们如下构造图形,河宽为FD,离河岸CB处身高为AB的人从A点往河中看,正好看到电线杆GH在水中整个倒影FM.F,E,D点在水面所处的直线上, H,C,B在河岸所处的直线上. 其中AB=1.5m,BC=3m,FE+ED=15m,HF=CD=0.5m,求GH.易证∆ABC∽∆CDE,∆ABC∽∆GEF.因此 EDCD=BCAB⇒ED=1m,GH+HFEF=ABBC⇒GH=6.5m,即电线杆的高为6.5m.例2.3[4] 设x,y,z都在(0,1)内,求证:x(1-y)+y(l-z)+z(1-x)<1.分析证明代数不等式,直接从条件人手难达目的,注意结论并考虑条件可知:x,y,z,1-y,1-z,1-x均为正数,且似两线段积之和,给每个正数赋予线性形象,从线性联想三角形面积公式S=12absinc构造一边长为1的正三角形ABC.在AB,BC,CD上各取一点P,Q,E使得AP=x,BQ=z,CD=y,则BP=1-x,CQ=1-z,AE=1-y,由图易知S∆ABC=S∆APE+S∆BPQ+S∆CQE不等式成立.3 作差法通过作差的方法构造辅助函数对于形如f(x)>g(x)(或f(x)<g(x))的函数不等式,常构造辅助函数F(x)=f(x)-g(x)(或F(x)=g(x)-f(x))用单调性证之,其步骤为:1.构造函数F(x)=f(x)-g(x);2.证F'(x)>0(或<0)得出单调性;3.求出f(x)在区间端点之一处的函数值或极限值;4.最后根据函数单调性及区间端点的函数值得出所证的不等式. 例3.1[2] 证明当x>0时,x>ln(1+x).证明令F(x)=x-ln(1+x), x≥0,当x>0时F'(x)=1-11+x=x1+x>0,所以F(x)在(0,∞)上单调递增.又x>ln(1+x).F(0)=0,故当x>0时,F(x)>F(0)=0,即x-ln(1+x)>0,所以例3.2[2] 设f(x)在[a,b]上连续且单调增加,求证⎰baxf(x)dx≥a+b2⎰baf(x)dx分析将要证明的不等式中的b换成x,构造变上限定积分F(x)=⎰xatf(t)dt-a+x2⎰xaf(t)dt,然后证明F(b)≥0.证明令F(x)=F(x)=xf(x)-'⎰xatf(t)dt-a+x2a+x2⎰xaf(t)dt,则F(a)≥0,且对任意的x∈[a,b],有1212⎰xaf(t)dt-f(x)=x-a2f(x)-⎰xaf(t)dt=12⎰[f(x)-axf(t)]dt≥0因此,f(x)在[a,b]上单调递增,又a≤t≤x,所以f(x)≥f(t). 可见F(x)单调递增,从而F(b)≥F(x)=0,即得⎰xf(x)dx≥aba+b2⎰baf(x)dx.例3.3[3] 设f(x)在[a,b]上连续且a<b<c<d,证明在(a,b)内至少存在一点ξ使得pf(c)+qf(d)=(p+q)f(ξ)（p,q）为正常数.证明作辅助函数F(x)=(p+q)f(x)-pf(c)-qf(d),因为F(x)在[c,d]⊂[a,b]上连续,又F(c)=q[f(c)-f(d)],F(d)=p[f(d)-f(c)], 且p,q为正常数,所以F(c)⋅F(d)=-pq[f(c)-f(d)]≤0.2(1)当f(c)=f(d)时，F(c)=F(d)=0,则当ξ取c或d时,F(ξ)=0. 即pf(c)+qf(d)=(p+q)f(ξ).(2)当f(c)≠f(d)时，F(c)⋅F(d)<0,由零点定理,至少存在一点ξ∈(c,d)⊂(a,b),使F(ξ)=0,即pf(c)+qf(d)=(p+q)f(ξ)此方法在证明函数单调性、证明不等式等等证明题中经常用到.4 观察法将欲证结果适当等价变形;替换;找原函数;作辅助函数.关键是适当"等价变形". 例4.1[2] 设f(x)在[a,b](0<a<b)上连续在(a,b)内可导,且f'(x)>0(a<x<b), af(b)-bf(a)=0,证明在(a,b)内至少存在一点ξ,使'f(ξ)f(ξ)'=ξ.分析 (1)变形f(ξ)f(ξ)''=ξ,ξf(ξ)-f(ξ)=0,'ξf(ξ)-f(ξ)ξ2=0,(2)替换 xf(x)-f(x)x2=0,⎡f(x)⎤ (3)找原函数⎢=0, ⎥⎣x⎦'(4)作辅助函数 F(x)=证明作辅助函数F(x)=F(a)=f(a)a,F(b)=f(b)bf(x)x. ,因为F(x)在[a,b]上连续,在（a,b）内可导,又f(x)x,且af(b)-bf(a)=0,所以F(a)=F(b),F(x)满足罗尔定理,可得存在ξ∈(a,b),使F'(ξ)=0.因此F(ξ)='ξf(ξ)-f(ξ)'ξ2=0,即ξf(ξ)-f(ξ)=0,所以'f(ξ)f(ξ)'=ξ.例4.2[3] 设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1,试证对任意的λ∈R,必存在ξ∈(0,1),使得f'(ξ)-λ(f(ξ)-ξ)=1.分析由f'(ξ)-λ(f(ξ)-ξ)=1得到f'(x)-λf(x)=1-λx,由一阶非齐次微分方程的通解公式得λdx⎡-λdx⎰dx+c⎤=eλxxe-λx+c=ceλx+x, ()f(x)=e⎰1-λxe⎰⎢⎥⎣⎦[]即(f(x)-x)e-λx=c,于是便得到要找的辅助函数F(x)=(f(x)-x)e-λx.证明设F(x)=(f(x)-x)e-λx,则F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且F(0)=F(1)=0,所以满足罗尔定理,即对任意的λ∈R,必存在ξ∈(0,1),使得F(ξ)=f(ξ)-1-λ(f(ξ)-ξ)e'[']-λξ=0,即f'(ξ)-λ(f(ξ)-ξ)=1.总之,通过构造辅助函数,我们可以利用知道的结论和定理来解决目前的题目,需要注意的是原题和辅助题目应是等价的,构造辅助函数的方法是多种多样的,具体问题应具体分析,只要我们仔细分析各类数学问题与函数的直接或间接联系,大胆联想、猜测、推理,就可以构造出合适的函数,恰当地使用构造函数法在高等数学解题中往往能起到事半功倍的功效.参考文献[1]袁继红.浅析构造思想在高等数学中的应用[J].数学的实践与认识, 1997, 27 (4): 367~371.[2]黄光谷,余尚智.高等数学方法导论[M].第2版.武汉:武汉测绘科技大学出版社,1996. 86~93.[3]杜先能,孙国正.高等数学[M],合肥:安徽大学出版社,2003.[4]西北工业大学高等数学教研室编.高等数学专题指导[M].上海:同济大学出版社,1999.[5]李兆强.“辅助函数法”在数学分析中的应用[J].漯河职业技术学院学报,2009.。
微分方程的基本概念与解法
微分方程的基本概念与解法微分方程是数学中重要的一部分，它描述了一个或多个变量之间的关系以及变量的变化率。
一、微分方程的基本概念微分方程是含有导数或微分的数学方程。
它包含未知函数及其导数，通常用“y”表示未知函数，如y(x)。
微分方程可分为常微分方程和偏微分方程两类。
1. 常微分方程常微分方程是只涉及一个自变量的微分方程。
常微分方程可以分为一阶和高阶两类。
（1）一阶常微分方程一阶常微分方程的一般形式为：dy/dx = f(x, y)其中，dy/dx 表示 y 关于 x 的导数，f(x, y) 表示未知函数 y 关于自变量 x 和 y 自身的函数关系。
（2）高阶常微分方程高阶常微分方程涉及到多个导数。
例如：d²y/dx² + p(x)dy/dx + q(x)y = g(x)其中，d²y/dx²表示 y 的二阶导数，p(x)、q(x)、g(x) 是与自变量 x 有关的一阶函数。
2. 偏微分方程偏微分方程是涉及多个自变量的微分方程，它包含未知函数及其偏导数。
例如，二维空间中的波动方程可以表示为：∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = c²∂²u/∂t²其中，u(x, y, t) 表示未知函数，c 是常量，x、y、t 分别表示空间坐标和时间。
二、微分方程的解法微分方程的解法主要包括解析解和数值解。
解析解是通过对微分方程进行变量分离、变量替换、积分等数学处理得到的解，而数值解则是借助计算机等工具使用数值方法进行近似计算得到的解。
1. 解析解对于一阶常微分方程，常见的解法包括分离变量法、齐次方程法、常数变易法等。
通过适当的变量变换和数学操作，可以将微分方程转化为可直接求解的形式，得到解析解。
对于高阶常微分方程和偏微分方程，解法更加复杂。
常用的解法包括变量分离法、齐次方程法、常数变易法、特征方程法、叠加原理法等。
微分方程的基本概念与解法
微分方程的基本概念与解法微分方程是描述变量之间关系的数学方程，其中涉及自变量的导数。
微分方程在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍微分方程的基本概念，并讨论其中的解法。
一、微分方程的基本概念微分方程是描述一些变量之间的关系的数学方程。
其中含有自变量的导数。
一般形式的微分方程可以表示为：dy/dx = f(x,y)其中y是自变量x的函数，f(x,y)是关于x和y的已知函数。
微分方程可以描述许多现象，例如物理学中的运动、化学中的反应速率等。
微分方程可以分为很多不同的类型，包括常微分方程、偏微分方程、一阶微分方程、高阶微分方程等。
不同类型的微分方程使用不同的解法。
二、一阶微分方程的解法一阶微分方程是指方程中最高阶导数为一阶的方程。
一阶微分方程的一般形式可以写作：dy/dx = f(x)解一阶微分方程的常见方法包括分离变量法、齐次方程法和一阶线性常系数齐次方程法。
1. 分离变量法分离变量法是一种常用的解一阶微分方程的方法。
首先将方程中的项进行变形，使得自变量和因变量分开，然后对两边同时进行积分，得到解的表达式。
2. 齐次方程法当一阶微分方程可以改写为dy/dx = g(y/x)时，可以使用齐次方程法进行解。
将y/x表示为新的未知函数u，然后进行变量代换和化简，最后得到一个可分离变量的方程。
3. 一阶线性常系数齐次方程法形如dy/dx + P(x)y = 0的方程可以使用一阶线性常系数齐次方程法进行解。
解这种方程需要求解常数P(x)的积分因子，然后通过乘以积分因子将方程化为可分离变量的形式。
三、二阶及高阶微分方程的解法除了一阶微分方程外，二阶及高阶微分方程也有对应的解法。
1. 常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程的一般形式为d²y/dx² + ay' + by = 0。
其解法为先猜测一个特解，然后通过代入方程中求解出特征方程。
再根据特征方程的根的不同情况，找到方程的通解。
初中数学知识归纳微分方程的基本概念和解法
初中数学知识归纳微分方程的基本概念和解法微分方程是数学中重要的分支之一，它在很多领域都有广泛的应用。
本文将介绍初中数学中微分方程的基本概念和解法。
一、微分方程的基本概念微分方程是含有一个或多个未知函数的方程，其中未知函数与其导数之间存在一定的关系。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两大类。
在初中数学中，我们主要学习常微分方程。
1.1 一阶微分方程一阶微分方程是指只含有未知函数的一阶导数的微分方程。
一阶微分方程的一般形式可以表示为dy/dx=f(x)，其中y是未知函数，x是自变量，f(x)是已知函数。
1.2 高阶微分方程高阶微分方程是指含有未知函数的高阶导数的微分方程。
高阶微分方程的一般形式可以表示为d^n y/dx^n=f(x)，其中y是未知函数，x是自变量，f(x)是已知函数，n为正整数。
二、微分方程的解法解微分方程的关键是确定未知函数的表达式，常用的解法有分离变量法、齐次法、一阶线性微分方程和二阶齐次线性微分方程等。
2.1 分离变量法对于一阶微分方程dy/dx=f(x)，如果可以将方程两边的变量分离到方程两侧，则可以通过积分的方式解得未知函数y的表达式。
具体步骤如下：- 将方程化为dy=f(x)dx的形式；- 将dy和dx分离到方程两侧；- 对方程两边同时积分，得到y的表达式；- 添加常数C，得到通解。
2.2 齐次法对于一阶微分方程dy/dx=f(x,y)，如果可以将方程通过变量代换化为dy/dx=g(x/y)的形式，则可以通过变量代换和分离变量的方式解得未知函数y的表达式。
具体步骤如下：- 令y=ux，其中u是关于x的函数；- 对x求导并代入方程，化简得到关于u和x的方程；- 将方程分离变量并积分，得到u的表达式；- 将u代回方程，得到y的表达式。
2.3 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的一般形式是dy/dx+p(x)y=q(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数。
解一阶线性微分方程的关键是构造一个积分因子，使得方程变为可积的形式。
一阶微分方程构造辅助函数原理
一阶微分方程构造辅助函数原理1. 引言1.1 概述在数学和科学领域中，微分方程是一个重要的研究对象。
一阶微分方程是其中最基础且常见的类型之一。
解一阶微分方程可以帮助我们理解自然现象、预测未来发展趋势以及解决各种实际问题。
辅助函数作为求解一阶微分方程的有效工具，在解题过程中起着至关重要的作用。
本文将深入探讨辅助函数原理，并介绍构造辅助函数的方法和技巧。
1.2 文章结构本文共包括五个部分。
首先，在引言部分我们将概述文章的主题和目标。
其次，我们会介绍一阶微分方程的基础知识，包括定义与形式、常见类型与解法以及初值问题与辅助函数的重要性。
接着，我们将详细阐述辅助函数原理及其构造方法，包括辅助函数的概念与作用、构造辅助函数的步骤和方法以及常用的辅助函数构造技巧。
然后，通过示例和应用案例分析，我们将展示辅助函数在求解一阶微分方程中的实际应用，包括小型一阶微分方程求解示例的详解、实际问题中辅助函数应用案例的分析以及辅助函数在数学模型建立中的实践应用。
最后，我们会总结本文的研究成果，并对未来研究方向进行展望。
1.3 目的本文旨在深入探讨一阶微分方程构造辅助函数原理，并介绍相关的构造方法和技巧。
通过对辅助函数在一阶微分方程求解过程中的作用和重要性进行分析，使读者能够更好地理解和运用辅助函数。
同时，通过具体示例和应用案例的分析，帮助读者将理论知识与实际问题相结合，提高问题求解能力。
最终，希望本文能为相关领域研究者提供有益的参考和启示，并促进一阶微分方程及其应用领域的发展与创新。
2. 一阶微分方程基础知识：2.1 定义与形式一阶微分方程是指未知函数的导数与自变量之间只包含一阶导数的关系式。
通常表示为dy/dx=f(x)的形式，其中y表示未知函数，x表示自变量，f(x)表示已知函数。
2.2 常见类型与解法一阶微分方程可以根据其类型进行分类和求解。
常见的类型包括可分离变量型、齐次型、线性型等。
可分离变量型：当一阶微分方程可以被写为dy/dx=g(x)h(y)时，我们可以将其转化为两个变量可分离的形式，并通过两边同时积分来求解。
微分方程的基本概念和解法技巧
微分方程的基本概念和解法技巧微分方程是数学中重要的一种方程，它涉及到函数与它的导数之间的关系。
在物理学、工程学、经济学等领域中，微分方程广泛应用于描述各种变化和运动的规律。
了解微分方程的基本概念和解法技巧，对于理解和解决实际问题具有重要意义。
本文将介绍微分方程的基本概念以及一些常见的解法技巧。
一、微分方程的基本概念1. 定义：微分方程是含有未知函数及其导数的方程。
一般形式可以表示为 F(x, y, y', y'', ...) = 0，其中 y 是未知函数。
2. 阶数：微分方程的阶数是指该方程中导数的最高阶数。
常见的阶数有一阶、二阶和高阶微分方程。
3. 解：微分方程的解是满足方程的函数。
一般来说，一个微分方程可以有无穷多个解。
4. 初值问题：初值问题是求解微分方程时给定一个或多个初始条件，根据这些条件确定方程的解。
初值问题通常涉及到一个点上的初始状态。
5. 常微分方程和偏微分方程：常微分方程只涉及到一个自变量，而偏微分方程则涉及到多个自变量。
常微分方程的解是一类函数，而偏微分方程的解是一个函数族。
二、微分方程的解法技巧1. 变量可分离法：适用于可以将微分方程的变量分离开的情况。
通过将方程两边同时乘以不同变量的函数，使得方程可以变为两个积分的形式，从而得到解。
2. 齐次方程法：适用于可以通过变量代换将微分方程化为齐次方程的情况。
齐次方程中的未知函数可以表示为一个比值函数，通过变量代换后，方程可以化为一个仅依赖于一个变量的方程，从而得到解。
3. 一阶线性常微分方程：适用于形如 y' + p(x)y = q(x) 的一阶线性常微分方程。
通过乘以一个适当的积分因子将方程化为可积形式，然后求解积分得到方程的解。
4. 常系数线性微分方程：适用于形如 y⁽ⁿ⁾ + aₙy⁽ⁿ⁻¹⁾ + ... + a₁y' + a₀y =g(x) 的常系数线性微分方程。
通过猜测形式，得到特解和齐次方程的通解，从而得到方程的通解。
微分方程解的结构原理
微分方程解的结构原理微分方程解的结构原理一、微分方程的定义和分类微分方程是描述自变量与函数及其导数之间关系的方程，是数学中重要的一个分支。
根据方程中出现的最高阶导数的阶数和自变量的个数，微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两类。
二、初值问题和边值问题对于常微分方程来说，通常有两种求解方式：初值问题和边值问题。
初值问题是指在某一时刻给定函数及其导数在该时刻的取值，求解函数在其他时刻的取值；而边值问题则是在给定函数在某些时刻取值后，求解函数在这些时刻之间的取值。
三、微分方程解存在定理对于某些特定类型的微分方程来说，它们具有唯一可解性。
例如，对于一阶线性常微分方程y’+p(x)y=q(x)，如果p(x)和q(x)都是连续函数，则它有唯一一个解。
四、通解和特解对于大多数情况下无法直接求得精确解的微分方程来说，可以通过求出通解或者特解来近似地描述其行为。
通解是指包含所有可能形式的特殊解所构成的一组公式，而特解则是指满足特定条件的解。
五、线性微分方程的通解对于一阶线性常微分方程y’+p(x)y=q(x)，可以通过分离变量法求得通解。
首先将方程改写为dy/dx+p(x)y=q(x)，然后将y和q(x)看做两个未知函数，再将它们代入原方程中进行计算，最终得到通解y=e^(-∫p(x)dx)(∫q(x)e^(∫p(x)dx)dx+C)，其中C为常数。
对于高阶线性常微分方程来说，也可以采用类似的方式求得通解。
首先找到其对应的齐次线性微分方程的通解，然后加上一个特殊解即可得到非齐次线性微分方程的通解。
六、非线性微分方程的近似求解对于大多数情况下无法直接求得精确解的非线性微分方程来说，可以采用近似求解方法。
其中一种常见的方法是泰勒级数展开法。
首先将函数在某一点处展开成泰勒级数，然后截取前几项作为近似值代入原方程中进行计算。
七、总结微分方程是描述自变量与函数及其导数之间关系的重要工具，在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
微分方程基础知识
微分方程基础知识微分方程是数学中一种重要的工具，用来描述变量之间的关系及其随时间（或其他独立变量）的变化规律。
微分方程广泛应用于物理学、工程学、生物学等众多领域中，是这些科学研究中不可或缺的一部分。
本文将介绍微分方程的基础知识，包括微分方程的定义、分类、常见的解法以及应用实例。
1. 微分方程的定义微分方程是包含未知函数及其导数的方程。
一般形式可以表示为：\[F(x, y, y', y'', \ldots, y^{(n)}) = 0\]其中，$x$ 是自变量，$y$ 是未知函数。
2. 微分方程的分类根据微分方程中未知函数与其导数的最高阶数，微分方程可分为以下几种基本类型：2.1 一阶微分方程一阶微分方程中最高阶导数为一阶，通常以一阶常微分方程为主要研究对象。
一阶微分方程的一般形式为：\[F(x, y, y') = 0\]其中，$y'$ 表示 $y$ 对 $x$ 的导数。
2.2 二阶及高阶微分方程二阶及高阶微分方程中最高阶导数为二阶及以上。
例如，二阶微分方程一般形式为：\[F(x, y, y', y'') = 0\]3. 微分方程的解法3.1 可分离变量的微分方程对于形如 $\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$ 的可分离变量的微分方程，可以通过分离变量并逐步求解得到解。
具体步骤如下：- 将方程改写为 $\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx$，即将 $y$ 相关项移到一边，将 $x$ 相关项移到一边；- 对两边同时积分，得到 $\int \frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx$；- 对右边的积分进行求解，得到 $\int \frac{dy}{g(y)}=F(x)+C$，其中 $F(x)$ 是积分后的函数，$C$ 为常数项；- 对左边的积分进行求解，得到 $G(y)=F(x)+C$，其中 $G(y)$ 表示$\int \frac{dy}{g(y)}$ 的反函数；- 然后得到 $G(y)=F(x)+C$，通过代入初始条件解出常数项 $C$，进而得到方程的特解。
微分方程有关的构造函数
微分方程有关的构造函数介绍本文档旨在提供关于微分方程构造函数的基本概念和使用方法的信息。
微分方程是数学中一个重要的概念，用于描述变量之间的关系。
构造函数则是在解决微分方程时的一种有力工具。
通过使用构造函数，我们可以找到微分方程的特殊解或者将其转化为更简化的形式。
构造函数的定义和作用构造函数是一种特殊的函数形式，它可以通过代入特定的解试图拟合微分方程。
构造函数的目标是使微分方程成为一个更简化的形式，从而使得求解它的过程更加容易。
构造函数的作用可以归纳如下：1. 将微分方程转化为更简化的形式。
2. 寻找微分方程的特殊解，从而得到原方程的一般解。
3. 用于验证微分方程的解是否正确。
4. 用于研究微分方程的性质和特征。
构造函数的基本概念构造函数的基本概念可以总结如下：1. 假设形式：构造函数需要通过假设某种形式的解来试图拟合微分方程。
这种假设形式通常是根据微分方程的特点和问题的需求而定的。
假设形式：构造函数需要通过假设某种形式的解来试图拟合微分方程。
这种假设形式通常是根据微分方程的特点和问题的需求而定的。
2. 代入求解：将构造函数代入原微分方程，求解得到构造函数的具体形式和参数。
这一步骤需要使用代数或者其他数值方法来完成。
代入求解：将构造函数代入原微分方程，求解得到构造函数的具体形式和参数。
这一步骤需要使用代数或者其他数值方法来完成。
3. 验证解的合理性：将构造函数代入原微分方程，验证其是否满足微分方程的所有条件。
如果满足，则该构造函数是微分方程的一个解。
验证解的合理性：将构造函数代入原微分方程，验证其是否满足微分方程的所有条件。
如果满足，则该构造函数是微分方程的一个解。
构造函数的应用举例以下是几个常见的构造函数应用举例：1. 欧拉方程的特殊解：通过构造函数的方法，可以找到欧拉方程的一个特殊解。
例如，对于欧拉方程 $x^2y'' - xy' + (x^2-\frac{1}{4})y = 0$，可以通过构造函数 $y(x) = x^r$，代入方程并求解得到特殊解 $y(x) = x^{\frac{1}{2}}$。
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专题:微分方程构造函数
总括:
①我们把这类方程称为一阶线性齐次微分方程.
②我们把这类方程称为一阶线性非齐次微分方程
在高中数学以及大学考研中,用微分方程构造题目函数不等式是非常凑效的方法.
注意
例题一:定义在上的可导函数满足恒成立,问与的大
小关系.(选择题)
方法一:令满足恒成立,故
方法二:解微分方程
构造
例题二(某市模拟题):定义在上的函数是它的导函数且恒有成立,则( )
方法一:从B选项看出和比较关系,从A选项看出和比较关系.然后猜
测需要构造
方法二:解微分方程
构造函数
注意到故
,选项A错误
,选项B错误
,选项C错误
,选项D正确
例题三:定义在上的可导函数的图像连续,当时,则函数
的零点的个数为
方法一:考察零点个数转化为
的解的个数
构造
故无解,即零点个数为零
方法二:解微分方程
构造函数
有
注意到中故无零点
评价:虽然看上去方法一较方法二简便,但这样做是不是太靠运气了呢?毕竟不一定构造
函数那么简单就可以看出来的.总的来说,解微分方程是最佳的最保险最万能的方法.
例题四(自编题):定义在上的可导连续函数满足时,恒有
且已知函数.则函数
的零点个数为
解:先解微分方程
构造函数
故当时,当时
有无零点
例题五(坏坏悦子寒假做过滴):定义在上的可导连续函数满足
恒成立.请问与零的大小关系
解:
解微分方程
构造
而恒成立
故
特别地,当时代入得
综上有
例题六(高中数学吧):定义在上的可导函数满足:对任意有,且在
有.若求实数范围.
解:陷阱是看到转化为
于是构造,之后就会解题失败….
坏坏悦子只需记住一点,这类函数题,出现函数与导数的不等式,那么就是要解这个微分方程.其他条件先不管它,我们先把构造函数求出来
先解微分方程
构造函数
当时有
[注意到题目有个条件]
从而为奇函数,故在上单调递增
由于即
评价:这题出题人挺阴险的…
接下来是一阶线性非齐次微分方程的题目
首先坏坏悦子要记住一个很长很长的公式((>_<),加油!坏坏悦子最聪明啦)
的解为
……..其中表示对积分…例如
后面的题目坏坏悦子有兴趣的话就看看哇…四川可能不会考,但说不准,毕竟新课改什么情况都有可能发生….
例题七(某地区模拟):定义在上的可导连续奇函数满足当时恒成
立.试比较与大小关系.
方法一:注意到和
方法二:解微分方程
代入公式得到
构造函数
注意分子大于零
那么再注意到
比较与大小关系即比较与
大小关系
显然由单调性知即
例题八(自编题):设为可导连续函数且对
都有则下列说法中一定正确的是________
①
②
③
④
解:先解微分方程
代入公式得
注意到分子小于零,分母大于零,有
逐一验证可知①③④正确
对于②仅由这些条件是不足以推出②的。