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市二中三角函数专题训练

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石家庄二中必修四第一章《三角函数》测试题(有答案解析)

石家庄二中必修四第一章《三角函数》测试题(有答案解析)

一、选择题1．函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到()y g x =的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()g x 为奇函数B ．函数()g x 的最小正周期为2πC ．函数()g x 的图象的对称轴为直线()6x k k ππ=+∈ZD ．函数()g x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z2．函数()sin()(0||)2，f x x πωϕωϕ=+><的部分函数图象如图所示，将函数()f x 的图象先向右平移3π个单位长度，然后向上平移1个单位长度，得到函数()g x 的解析式为（ ）A ．()sin 21g x x =-B ．()sin21g x x =+C ．()sin(2)13g x x π=--D ．()sin(2)13g x x π=-+3．如图，一个质点在半径为1的圆O 上以点P 为起始点，沿逆时针方向旋转，每2s 转一圈，由该质点到x 轴的距离y 关于时间t 的函数解析式是（ ）A ．2sin()3y t ππ=+B ．2sin()3y t ππ=-C ．2sin()3y t ππ=-D ．2sin()3y t ππ=+4．将函数sin()y x ϕ=+的图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将所得图像向左平移12π个单位后得到的函数图像关于原点中心对称，则sin 2ϕ=( )A ．12-B ．12C ．3-D ．3 5．已知实数a ，b 满足0<2a <b <3-2a ，则下列不等关系一定成立的是（ ） A ．sin sin2b a < B ．()2cos >cos 3a b -C ．()2sin sin 3a b +<D ．23cos >sin 2b a ⎛⎫-⎪⎝⎭6．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．假设在水流量稳定的情况下，简车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆O 的半径为4米，盛水筒M 从点0P 处开始运动，0OP 与水平面的所成角为30，且每分钟恰好转动1圈，则盛水筒M 距离水面的高度H （单位；m ）与时间t （单位：s ）之间的函数关系式的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()1f x +也是奇函数，当(]0,1x ∈时，()11f x x=-.若函数()()sin F x f x x π=+，则()F x 在区间[]1949,2021上的零点个数是（ ） A ．108B ．109C ．144D ．1458．设函数()()sin 16f x x N πωω*⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭在55,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则下述结论： ①()f x 关于,012π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称；②()f x 关于直线23x π=轴对称； ③()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦；④方程()1f x =在[]0,2π有4个不相同的根. 其中正确结论的编号是（ ） A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④9．函数2()cos sin (R)f x x x x =+∈的最小值为（ ）A ．54B ．1C ．1-D ．2-10．如图，摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为120m ，转盘直径为110m 设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要20min .游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动t min 后距离地面的高度为H m ，则在转动一周的过程中，高度H 关于时间t 的函数解析式是（ ）A ．()55cos 65020102H t t ππ⎛⎫=-+≤≤ ⎪⎝⎭B ．()55sin 65020102H t t ππ⎛⎫=-+≤≤ ⎪⎝⎭C ．()55cos 65020102H t t ππ⎛⎫=++≤≤ ⎪⎝⎭D ．()55sin 65020102H t t ππ⎛⎫=++≤≤ ⎪⎝⎭11．已知函数()sin cos f x x x =+，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的最小值为0 B ．()f x 的最大值为2 C ．()()2f x f x π-=D ．1()2f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解 12．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象（如图所示），则下列有关函数()f x 的结论错误的是（ ）A ．图象关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 B ．最小正周期是π C ．在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D ．在0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最大值是3 二、填空题13．函数()()sin f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递增区间为___________．14．如图，以正方形的各边为底可向外作四个腰长为1的等腰三角形，则阴影部分面积的最大值是___________.15．已知函数()sin cos f x a x x =+的一条对称轴为3x π=，则a =______；16．关于函数()()4sin 23f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，有下列命题： ①函数()y f x =的表达式可以改写为4cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭； ②函数()y f x =是以2π为最小正周期的周期函数； ③函数()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称； ④函数()y f x =的图象关于直线6x π=-对称.其中正确的序号是______.17．如图所示为函数()sin 2y A x ωϕ=++，()ϕπ<的图像的一部分，它的解析式为________.18．函数251612()sin (0)236x x f x x x x ππ-+⎛⎫=--> ⎪⎝⎭的最小值为_______.19．已知函数()3sin(2)cos(2)(0)f x x x ϕϕϕπ=+-+<<是定义在R 上的奇函数，则()8f π-的值为______.20．已知函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是奇函数，且在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的最大值是__________．三、解答题21．如图，正方形ABCD 边长为5，其中AEF 是一个半径为4的扇形，在弧EF 上有一个动点Q ，过Q 作正方形边长BC ，CD 的垂线分别交BC ，CD 于G ，H ，设EAQ θ∠=，长方形QGCH 的面积为S .（1）求S 关于θ的函数解析式； （2）求S 的最大值. 22．已知函数1()sin 22,23f x x x R π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的单调递减区间； （3）求()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值23．如图，在扇形OMN 中，半径10OM =，圆心角6MON π∠=，D 是扇形弧上的动点，矩形ABCD 内接于扇形，记DON θ∠=，矩形ABCD 的面积为S .（1）用含θ的式子表示线段DC ，OB 的长； （2）求S 的最大值.24．已知函数()sin()0,0,||2f x A wx A w πϕϕ⎫⎛=+>><⎪⎝⎭的部分图像如图所示.（1）求出函数()f x 的函数解析式； （2）求函数()f x 的单调递增区间； （3）求函数()f x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值. 25．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(0A >，0>ω，02πϕ<<)的部分图象如图所示，其中最高点以及与x 轴的一个交点的坐标分别为,16π⎛⎫⎪⎝⎭，5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的解析式；（2）设M ，N 为函数y t =的图象与()f x 的图象的两个交点(点M 在点N 左侧)，且3MN π=，求t 的值.26．如图，在平面直角坐标系xOy 中，31,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为单位圆上一点，射线OA 绕点O 按逆时针方向旋转θ后交单位圆于点B ，点B 的纵坐标y 关于θ的函数为()y fθ=.（1）求函数()y f θ=的解析式，并求223f f ππ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）若1()3f θ=，求7cos sin 36ππθθ⎛⎫⎛⎫--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据图象得到函数()f x 解析式，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到()y g x =的图象，可得()y g x =解析式，分别根据正弦函数的奇偶性、单调性、周期性与对称性，对选项中的结论判断，从而可得结论. 【详解】 由图象可知3A =，33253441234ππππω⎛⎫=⋅=--= ⎪⎝⎭T ，∴2ω=，则()3sin(2)f x x ϕ=+. 将点5,312π⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入()3sin(2)f x x ϕ=+中， 整理得5sin 2112πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭， ∴522,Z 122k k ππϕπ⨯+=+∈， 即2,Z 3k k πϕπ=-∈；||2ϕπ<， ∴3πϕ=-，∴()3sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. ∵将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到()y g x =的图象，∴()3sin 23sin 2,333g x x x x R πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. ()()3sin 23sin 233g x x x g x ππ⎛⎫⎛⎫-=-+=--≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()g x 既不是奇函数也不是偶函数， 故A 错误；∴()g x 的最小正周期22T ππ==， 故B 不正确. 令2,32πππ+=+∈x k k Z ，解得,122k x k Z ππ=+∈， 则函数()g x 图像的对称轴为直线,122k x k Z ππ=+∈. 故C 错误； 由222,232k x k k πππππ-++∈Z ，可得5,1212k x k k ππππ-+∈Z ，∴函数()g x 的单调递增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 故D 正确； 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，熟记正弦函数的奇偶性、单调区间、最小正周期与对称轴是解决本题的关键.2．D解析：D 【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得()f x 的解析式，再根据函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论．【详解】根据函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的部分函数图象，1274123πππω⋅=-，2ω∴=． 再根据五点法作图，23πϕπ⨯+=，3πϕ∴=，()sin(2)3f x x π=+．将函数()f x 的图象先向右平移3π个单位长度，可得sin(2)3y x π=-的图象．然后向上平移1个单位长度，得到函数()g x 的解析式为()sin(2)13g x x π=-+，故选：D 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于准确地根据三角函数的图象求出三角函数sin()y A x ωϕ=+的解析式，一般根据周期求出ω的值，根据最值求出A 的值，根据最值点求出ϕ的值.3．A解析：A 【分析】首先根据图象理解t 秒后23POx t ππ∠=+，再根据三角函数的定义求点P 的纵坐标和该质点到x 轴的距离y 关于时间t 的函数解析式. 【详解】由题意可知点P 运动的角速度是22ππ=（弧度/秒） 那么点P 运动t 秒后23POx t ππ∠=+，又三角函数的定义可知，点P 的纵坐标是2sin 3t ππ⎛⎫+⎪⎝⎭， 因此该质点到x 轴的距离y 关于时间t 的函数解析式是2sin 3y t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解三角函数的定义，并正确表示点23POx t ππ∠=+，即可表示函数的解析式.4．C解析：C 【分析】先根据条件写出图像变换后的函数解析式，然后根据图像关于原点中心对称可知函数为奇函数，由此得到ϕ的表示并计算出sin 2ϕ的结果. 【详解】因为变换平移后得到函数sin 26y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由条件可知sin 26y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为奇函数，所以6k πϕπ+=，sin 2sin 2sin 33k ππϕπ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选C ． 【点睛】本题考查三角函数的图像变换以及根据函数奇偶性判断参数值，难度一般.正弦型函数()()sin f x A x =+ωϕ为奇函数时,k k Z ϕπ=∈，为偶函数时,2k k Z πϕπ=+∈.5．D解析：D 【分析】对各个选项一一验证：对于A.由0<2a <b <3-2a ，可以判断出2ba <，借助于正弦函数的单调性判断； 对于B.由0<2a <b <3-2a ，可以判断出23a b <-，借助于余弦函数的单调性判断； 对于C.由0<2a <b <3-2a ，可以判断出23a b +<，借助于正弦函数的单调性判断； 对于D.先用诱导公式转化为同名三角函数，借助于余弦函数的单调性判断； 【详解】 因为0<2a <b <3-2a 对于A. 有0<2b a <，若22b a π<<，有sin sin 2b a <；若22b a π<<，有sin sin 2ba >，故A 错； 对于B.有 23ab <-，若232a b π<<-，有()2cos >cos 3a b -，故B 错；对于C. 23a b +<，若232a b π<+<，有()2sin sin 3a b +>，故C 错；对于D. 222333sin cos cos 2222a a a ππ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又因为b <3-2a <3，所以2cos >cos(3)b a -∵22332a a π+-<-∴()223cos 3cos 2a a π+⎛⎫->- ⎪⎝⎭∴()22233cos cos 3cos sin 22a a b a π+⎛⎫⎛⎫>->-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 对.故选：D. 【点睛】利用函数单调性比较大小，需要在同一个单调区间内．6．D解析：D 【分析】先根据题意建立坐标系，写出盛水筒M 距离水面的高度H 与时间t 之间的函数关系式，再根据关系式即可判断. 【详解】解：以O 为圆心，过点O 的水平直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系：0306xOP π∠==，OP ∴在()ts 内转过的角为：26030t t ππ=， ∴以x 轴正半轴为始边，以OP 为终边的角为：306t ππ-，P ∴点的纵坐标为：4sin 306t ππ⎛⎫-⎪⎝⎭， H ∴与t 之间的函数关系式为：4sin 2306H t ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭， 当sin 1306t ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，max 426H =+=， 当sin 1306t ππ⎛⎫-=-⎪⎝⎭时，max 422H =-+=-， 对A ，B ，由图像易知max min H H =-，故A ，B 错误； 对C ，max min H H <-，故C 错误； 对D ，max min H H >-，故D 正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解题意，根据题意写出H 与t 之间的函数关系式.7．D解析：D 【分析】由题可得()f x 是周期为2的函数，进而判断()F x 是周期为2的函数，可求得()0=0F ，102F ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10F =，利用周期性即可求出零点个数.【详解】()f x 是定义在R 上的奇函数，()1f x +也是奇函数，()00f ∴=，()()()111f x f x f x +=--+=-，()f x ∴是周期为2的函数，sin y x π=的周期为2，∴()()sin F x f x x π=+是周期为2的函数，()()00sin00=F f ∴+=，11sin 0222F f π⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()11sin 0F f π=+=，则在区间[]1949,2021上，()()()111949194919501950202122F F F F F ⎛⎫⎛⎫=+==+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()F x 在区间[]1949,2021上的零点个数是()2021194921145-⨯+=个.故选：D. 【点睛】本题考查函数奇偶性和周期性的应用，解题的关键是判断出()F x 是周期为2的函数，根据函数的周期性即可判断出零点的个数.8．D解析：D 【分析】利用题干中的已知条件求得2ω=，可得出()sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的对称性可判断①②的正误，利用正弦型函数的值域可判断③的正误，求出方程()1f x =在[]0,2π上的解，可判断④的正误. 【详解】N ω*∈，由55,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得55126666x πωπππωπω-≤-≤-， 由于函数()()sin 16f x x N πωω*⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭在55,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 所以，()553,2,21266622k k k Z πωππωπππππ⎡⎤⎡⎤--⊆++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以，521262532662k k ωππππωππππ⎧-≥+⎪⎪⎨⎪-≤+⎪⎩，解得()248121055k k k Z ω++≤≤∈，由248121055k k ++≤，解得16k ≤，N ω*∈且k Z ∈，0k ∴=，可得825ω≤≤，2ω∴=，则()sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.对于①，sin 2sin 00126ππ⎛⎫⨯-== ⎪⎝⎭，所以，112f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象关于点,112π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，①错误； 对于②，271sin 2sin 13662πππ⎛⎫⨯-==-≠± ⎪⎝⎭，②错误；对于③，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，5112,666x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，则11sin 262x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭， 所以，()302f x ≤≤，即()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，③正确； 对于④，当[]0,2x π∈时，232,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，令()1f x =，可得sin 206x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，206x π∴-=或26x ππ-=或226x ππ-=或236x ππ-=.所以，方程()1f x =在[]0,2π有4个不相同的根，④正确. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤： 第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式；第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+)的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）.9．C解析：C 【分析】由平方关系化为sin x 的函数，换元后利用二次函数性质得最小值． 【详解】由已知2()1sin sin f x x x =-+，令sin t x =，则[1,1]t ∈-，2()()1f x g t t t ==-++215()24t =--+，∵[1,1]t ∈-，∴1t =-时，min ()1g t =-． 故选：C ． 【点睛】本题考查与三角函数有关的复合函数的最值．求三角函数的最值有两种类型：（1）利用三角恒等变换公式化函数为()sin()f x A x k ωϕ=++形式，然后由正弦函数性质得最值或值域．（2）转化为关于sin x （或cos x ）的函数，用换元法，设sin t x =（或cos t x =）变成关于t 的二次函数，利用二次函数的性质求得最值或值域．10．B解析：B 【分析】先判断游客进仓后第一次到达最高点时摩天轮旋转半周，大约需要10min ，结合摩天轮最高点距离地面高度为120m ，可得10t =时，120H =，再利用排除法可得答案. 【详解】因为游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要20min ，所以游客进仓后第一次到达最高点时摩天轮旋转半周，大约需要10min ， 又因为摩天轮最高点距离地面高度为120m ， 所以10t =时，120H =，对于A ，10t =时，55cos 106555cos 65651022H πππ⎛⎫=⨯-+=+= ⎪⎝⎭，不合题意；对于B ，10t =时，55sin 106555sin 651201022H πππ⎛⎫=⨯-+=+= ⎪⎝⎭，符合题意；对于C ，10t =时，355cos 106555cos 65651022H πππ⎛⎫=⨯++=+= ⎪⎝⎭，不合题意； 对于D ，10t =时，355sin 106555sin65101022H πππ⎛⎫=⨯++=+= ⎪⎝⎭，不合题意； 故选：B. 【点睛】方法点睛：特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型： (1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前n 项和公式问题等等.11．C解析：C 【分析】 可得()()2f x f x π+=，得出()f x 是以2π为周期的函数，故只需考虑0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦即可. 【详解】()()sin cos cos sin 222f x x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫+=+++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x ∴是以2π为周期的函数，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin cos sin cos 4f x x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，则3,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，41x π⎛⎫+ ⎝∴≤⎪⎭≤根据函数的周期性可得()f x 的最小值为1AB 错误，∴1()2f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上无解，故D 错误， ()()sin cos cos sin222f x x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确.故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的应用，解题的关键是得出()f x 是以2π为周期的函数，故只需考虑0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦即可. 12．C解析：C 【分析】首先根据题中所给的函数图象，从最值、周期和特殊点着手将解析式确定，之后结合函数的性质对选项逐一分析，得到结果. 【详解】根据图象得到：2A =，311341264T πππ=-=，所以T π=， 所以2ππω=，解得2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+．将点,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入，得到2sin 23πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()232k k Z ππϕπ+=+∈，得()26k k Z πϕπ=+∈，又2πϕ<，所以6π=ϕ， 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． 对于A ，20126ππ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，则函数()f x 关于,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故A 正确； 对于B ，函数的周期22T ππ==，故B 正确； 对于C ，当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,662x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，此时函数()f x 为增函数，故C 错误； 对于D ，当0,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则1sin 262x π⎡⎛⎫+∈⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，2sin 26x π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭，故()f x 在0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 正确． 故选：C ． 【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有根据图象确定函数解析式，正弦型函数的相关性质，属于简单题目.二、填空题13．【分析】由图象知三角函数的周期结合函数图象及写出单调递增区间【详解】由图象知：∴的单调递增区间为故答案为：【点睛】思路点睛：1看图定周期特殊函数值：2结合图象由周期对称轴写出增区间解析：37[2,2],44k k k Z ++∈【分析】由图象知，三角函数的周期2T =，结合函数图象及15()()044f f ==，写出单调递增区间. 【详解】 由图象知：22||T πω==， 15()()044f f ==， ∴()f x 的单调递增区间为37[2,2],44k k k Z ++∈， 故答案为：37[2,2],44k k k Z ++∈ 【点睛】 思路点睛：1、看图定周期、特殊函数值：2T =，15()()044f f ==. 2、结合图象，由周期、对称轴写出增区间.14．【分析】设等腰三角形底角为阴影面积为根据正弦函数的图象与性质即可得到结果【详解】设等腰三角形底角为则等腰三角形底边长为高为阴影面积为：当时阴影面积的最大值为故答案为【点睛】本题考查平面图形的面积问题解析：2+【分析】设等腰三角形底角为θ，阴影面积为2sin2θ2cos2θ2++，根据正弦函数的图象与性质即可得到结果. 【详解】设等腰三角形底角为θ，则等腰三角形底边长为2cos θ，高为sin θ， 阴影面积为：()21422cos θ2sin2θ2cos2θ22cos sin θθ⨯⨯⨯+=++224πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,当8πθ=时，阴影面积的最大值为2+故答案为2+ 【点睛】本题考查平面图形的面积问题，考查三角函数的图象与性质，解题关键用等腰三角形底角为θ表示等腰三角形的底边与高.15．【分析】根据三角函数的性质可知在取得最大值或最小值建立方程即可求解【详解】其中是辅助角是的一条对称轴整理得解得故答案为：【点睛】本题考查三角函数性质得应用利用在对称轴的函数值是最大或最小是解题的关键【分析】根据三角函数的性质可知()f x 在3x π=取得最大值或最小值，建立方程即可求解.【详解】()()sin cos f x a x x x ϕ=+=+，其中ϕ是辅助角，3x π=是()f x 的一条对称轴，231()1322f a a ，整理得230a -+=，解得a =【点睛】本题考查三角函数性质得应用，利用在对称轴的函数值是最大或最小是解题的关键，属于中档题.16．①③【分析】利用诱导公式化简函数判断①正误；求出函数周期判断②；求出函数的对称中心判断③；求出函数的对称轴判断④【详解】解：对于①所以①正确；对于②最小正周期所以②不正确；对于③因为所以为的对称中心解析：①③ 【分析】利用诱导公式化简函数()f x ,判断①正误；求出函数()f x 周期判断②；求出函数()f x 的对称中心判断③；求出函数()f x 的对称轴判断④. 【详解】解：对于①，()4sin 24cos 2323f x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4cos 24cos 2326x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以①正确；对于②，最小正周期222T πππω===，所以②不正确； 对于③，因为4sin 4sin 00633f πππ⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭为()f x 的对称中心，故③正确；对于④，()()4sin 23f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的对称直线满足2,32x k k Z πππ+=+∈，6x π=-不满足条件，所以④不正确.故答案为：①③. 【点睛】本题考查正弦函数的性质，考查基本概念、基本知识的理解掌握程度，属于基础题.17．【分析】由两最值点对应横坐标可求周期由波峰波谷可求将代入可求【详解】由图可知即将得即又当时故故答案为：【点睛】本题考查由三角函数图像求解具体解析式属于中档题解析：33sin 224y x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭【分析】由两最值点对应横坐标可求周期，由波峰波谷可求,A 将,16π⎛⎫⎪⎝⎭代入可求ϕ【详解】 由图可知，522663T ππππ=-=，即43T π=，24332ππωω=⇒=， 3112A -==，将,16π⎛⎫⎪⎝⎭3sin 22y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭得2,42k k Z ππϕπ+=-+∈，即32,4k k Z πϕπ=-+∈，又ϕπ<，当0k =时，34πϕ=-，故33sin 224y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 故答案为：33sin 224y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查由三角函数图像求解具体解析式，属于中档题18．【分析】可拆分理解构造由对勾函数可得时取得最小值又当时也取到最小值即可求解【详解】令由对勾函数性质可知当时；因为当时所以当时取到最小值所以故答案为：【点睛】本题考查函数最值的求解拆分构造函数是解题关解析：52【分析】可拆分理解，构造251616()5x x g x x x x-+==+-，由对勾函数可得4x =时取得最小值，又当4x =时，12sin 236x ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭也取到最小值，即可求解 【详解】令251616()5x x g x x x x-+==+-，由对勾函数性质可知当4x =时，min ()3g x =；因为121sin 2362x ππ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，当4x =时，121sin 2362x ππ⎛⎫--=-⎪⎝⎭，所以当4x =时，()f x 取到最小值，5(4)2f =，所以min 5()2f x =. 故答案为：52【点睛】本题考查函数最值的求解，拆分构造函数是解题关键，属于中档题19．【分析】利用辅助角公式化简根据正弦型函数为奇函数可构造方程求得进而得到解析式代入即可求得结果【详解】为上的奇函数解得：又故答案为：【点睛】本题考查根据正弦型函数的奇偶性求解参数值已知解析式求解三角函解析：【分析】利用辅助角公式化简()f x ，根据正弦型函数为奇函数可构造方程求得ϕ，进而得到()f x 解析式，代入8x π=-即可求得结果.【详解】()()()2cos 22sin 26f x x x x πϕϕϕ⎛⎫=+-+=-+ ⎪⎝⎭，()f x 为R 上的奇函数，()6k k Z πϕπ∴-=∈，解得：()6k k Z πϕπ=+∈，又0ϕπ<<，6πϕ∴=，()2sin 2f x x ∴=，2sin 84f ππ⎛⎫⎛⎫∴-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为： 【点睛】本题考查根据正弦型函数的奇偶性求解参数值、已知解析式求解三角函数值的问题；关键是能够通过辅助角公式将函数化简为正弦型函数，进而利用奇偶性构造方程求得参数.20．【分析】先根据函数为奇函数结合的取值范围可求得的值化简可得由求得可得出进而得出关于的不等式组由此可得出实数的最大值【详解】函数是奇函数则函数在区间上单调递减则解得因此的最大值是故答案为：【点睛】本题 解析：2【分析】先根据函数()y f x =为奇函数结合ϕ的取值范围可求得ϕ的值，化简可得()sin f x x ω=-，由,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦求得,64x πωπωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得出,,6422πωπωππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，进而得出关于ω的不等式组，由此可得出实数ω的最大值. 【详解】函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是奇函数，则()0cos 0f ϕ==，0ϕπ≤≤，2πϕ∴=，()cos sin 2f x x x πωω⎛⎫∴=+=- ⎪⎝⎭.,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，,64x πωπωω⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦. 函数()y f x =在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，则,,6422πωπωππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 62420πωππωπω⎧-≥-⎪⎪⎪∴≤⎨⎪>⎪⎪⎩，解得02ω<≤，因此，ω的最大值是2. 故答案为：2. 【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，主要考查利用奇偶性与单调性求参数，考查计算能力，属中等题．三、解答题21．（1）2520(cos sin )16sin cos S θθθθ=-++，0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦；（2）5.【分析】（1）先根据题意计算AQ 在竖直方向上和水平方向上的投影的长度，即可计算,HQ QG 的长度，计算长方形QGCH 的面积再化简即得结果；（2）先换元sin cos t θθ+=，确定新元的范围和函数，再根据二次函数求最值即得结果. 【详解】解：⑴EAQ θ∠=，则AQ 在竖直方向上的投影的长度为4cos θ，在水平方向上的投影长度为4sin θ，故54cos ,54sin HQ QG θθ=-=-，θ0,2π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，(54cos )(54sin )S θθ=--，θ0,2π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，整理得：2520(cos sin )16sin cos S θθθθ=-++，θ0,2π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；（2）2520(cos sin )16sin cos S θθθθ=-++，θ0,2π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令sin cos t θθ+=2)4t πθ+=，平方可得22sin cos 1t θθ=-，当θ0,2π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，可求得2t ⎡⎤∈⎣⎦. 222525208(1)820178492S t t t t t ⎛⎫∴=-+-=-+=-⎪⎭+ ⎝，2t ⎡∈⎣， 根据二次函数对称性可知，当1t =时，max 820175S =-+=. 【点睛】 方法点睛：求含有正余弦函数的和（或差）及乘积的函数求最值（范围）时，常进行三角换元，令和（或差）为新变量，形成二次函数，求二次函数最值（范围）即可. 22．（1）π；（2）()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（3）最小值为32；最大值为94. 【分析】（1）利用正弦型函数的周期公式可求得函数()f x 的最小正周期； （2）解不等式()3222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，可得出函数()f x 的单调递减区间； （3）由44x ππ-≤≤求出23x π-的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数()f x的最小值和最大值. 【详解】 （1）因为1()sin 2223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==； （2）由()3222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，得()5111212k x k k Z ππππ+≤≤+∈.即函数()f x 的单调递减区间为()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； （3）因为44x ππ-≤≤，所以52636πππ-≤-≤x ，所以， 当232x ππ-=-即12x π=-时，函数()f x 取最小值，()min 13sin 2222f x π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭； 当236x ππ-=即4x π=时，函数()f x 取最大值，()max 19sin 2264f x π=+=. 【点睛】方法点睛：求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤： 第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式；第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+)的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）.23．（1）10sin DC θ=，0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；OB θ=，0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）max 100S =-【分析】（1）在Rt DCO 和Rt ABO 中利用三角函数的定义可表示出,DC OB ；（2）求出BC 后可得矩形面积S ，利用二倍角公式，两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质可得最大值． 【详解】解：（1）在Rt DCO 中，10OD =，∴10sin DC θ=，0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又Rt ABO 中，6AOB π∠=，10sin AB DC θ==，∴OB θ==，0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）在Rt DOC 中，10cos OC θ=，∴10(cos )BC OC OB θθ=-=， ∴100sin (cos )S AB BC θθθ=⋅=11cos 2100sin 2100sin 2223θπθθ-⎛⎫⎛⎫==+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵06πθ<<，∴22333πππθ<+<，∴当232ππθ+=即12πθ=时，max 100S =-【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的应用，解题关键是用角表示出矩形面积，然后可利用三角函数的恒等变换公式如二倍角公式、两角和与差的正弦（余弦）公式、诱导公式等化函数为一个角的一个三角函数形式，即()sin()f x A x k ωϕ=++形式，最后利用正弦函数性质求得结论．24．（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）(),,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（3）最小值为1-，最大值为2.【分析】(1)根据图像观察计算A 、ω、φ的值，求出()f x 的函数解析式；（2）利用同增异减求()f x 的单增区间；（3）用换元法求函数()f x 的最值.【详解】解：（1）由图可知：2A =，44T π=，即T π=， 根据2T πω=得：2ω=，由26f π⎛⎫= ⎪⎝⎭得：2262k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈6πϕ∴=，||2πϕ⎛⎫<⎪⎝⎭， 故：函数()f x 的解析式为：()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （2）由（1）知函数()f x 的解析式为()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 222262k x k πππππ∴-+≤+≤+，k Z ∈，36k x k ππππ∴-+≤≤+，k Z ∈，故：函数()f x 的单调递增区间为(),,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，（3）由（2）知()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数， ()f x ∴在6x π=-时，取得最小值16f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ()f x ∴在6x π=时，取得最大值26f π⎛⎫=⎪⎝⎭， 综上所述：()f x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为1-，最大值为2. 【点睛】（1）求三角函数解析式的方法：①求A 通常用最大值或最小值；②求ω通常用周期；③)求φ通常利用函数上的点代入即可求解. （2）利用同增异减求()f x 的单增区间；（3）利用换元法就可以得到()y g x =的最大值及取得最大值时x 的取值. 25．（1）()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）12±. 【分析】（1）由周期求出ω，取点,16π⎛⎫⎪⎝⎭求出ϕ，进而得出()f x 的解析式； （2）设()0,M x t ，0,3N x t π⎛⎫+⎪⎝⎭，解方程005sin 2sin 266x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得出0()2k x k π=∈Z ，再由0sin 26t x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求出t 的值.【详解】解：（1）由题意易知1A =，周期524126T πππω⎛⎫=-=⎪⎝⎭，所以2ω=，所以()sin(2)f x x ϕ=+.将最高点,16π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入()sin(2)f x x ϕ=+中可得1sin 3πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得2()32k k ππϕπ+=+∈Z ，即2()6k k πϕπ=+∈Z .又因为02πϕ<<，所以6π=ϕ，所以()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）设()0,M x t ，0,3N x t π⎛⎫+⎪⎝⎭，则005sin 2sin 266x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以001sin 2cos 222x x ⋅+⋅001sin 2cos 22x x ⎛=⋅+⋅ ⎝⎭所以0sin 20x =，所以02()x k k π=∈Z ，即0()2k x k π=∈Z 所以1sin 62t k ππ⎛⎫=+=± ⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：由图象求函数()sin y A x ωϕ=+的解析式时，有如下步骤： 1、由最值得出A 的值； 2、由周期结合2T πω=得出ω；3、取点求出ϕ.26．（1）()sin 6f πθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，223f f ππ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）23. 【分析】（1）由三角函数的定义得到()sin 6f πθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，进而代入计算；（2）由已知得1sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，将所求利用诱导公式转化即得. 【详解】解：（1）因为12A ⎫⎪⎪⎝⎭，所以6xOA π∠=，由三角函数定义，得()sin 6f πθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.所以22511sin sin 2336222f f ππππ⎛⎫⎛⎫+=+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）因为1()3f θ=，所以1sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以7cos sin cos sin 36626πππππθθθθπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=+--++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin sin 66ππθθ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22sin 63πθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考査三角函数的定义，三角函数性质，诱导公式.考查运算求解能力，推理论证能力.考查转化与化归，数形结合等数学思想.已知1sin63πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭求7cos sin36ππθθ⎛⎫⎛⎫--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时要将已知中的角作为整体不分离，观察所求中的角与已知中的角的关系，利用诱导公式直接转化是化简求值的常见类型.。

湖北湖北省黄石市第二中学三角函数与解三角形多选题试题含答案

湖北湖北省黄石市第二中学三角函数与解三角形多选题试题含答案

湖北湖北省黄石市第二中学三角函数与解三角形多选题试题含答案一、三角函数与解三角形多选题1．已知函数()(|sin |cos )(sin cos )f x x x x x =-+，x ∈R ，则（ ）A ．()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 是周期为2π的函数C ．()f x 有对称轴D ．函数()f x 在(0,2)π上有3个零点【答案】BD 【分析】先判断出()f x 是周期为2π的函数，再在给定的范围上研究()f x 的单调性和零点，从而可判断BCD 的正误，再利用反证法可判断C 不正确. 【详解】因为[][]()(2)|sin(2)|cos(2)(sin(2)cos(2))f x x x x x f x πππππ+=+-+⋅+++=， 故()f x 是周期为2π的函数，故B 正确. 当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，22()sin cos cos 2f x x x x =-=-， 因为220,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，而cos y u =-在20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭为增函数， 故()cos2f x x =-在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭为增函数，故A 错误.由(sin cos )(sin cos )002x x x x x π⎧-+=⎨<<⎩可得4x π=或34x π=或74x π=，故D 正确.若()f x 的图象有对称轴x a =，因为()f x 的周期为2π，故可设[)0,2a π∈， 则()()2f x f a x =-对任意的x ∈R 恒成立，所以()()02f f a =即1(|sin 2|cos 2)(sin 2cos 2)a a a a -=-+①， 也有222f f a ππ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1(|cos 2|sin 2)(cos 2sin 2)a a a a =--+②， 也有222f f a ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1(|cos 2|sin 2)(cos 2sin 2)a a a a -=+-③， 由②③可得cos 2sin 20cos 2sin 2cos 2sin 2a a a a a a -≠⎧⎨+=-⎩， 故sin 20a =，由①②可得cos21a =-，故π2a或32a π=.若π2a，则21116222f π⎛⎛⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而2711162226f f ππ⎛⎛⎛⎫⎛⎫=-=-+≠- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 若32a π=，则21911162226f f ππ⎛⎛⎛⎫⎛⎫=+-=-+≠-⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭这与()()2f x f a x =-对任意的x ∈R 恒成立矛盾， 故D 不成立. 故选：BD. 【点睛】方法点睛：与三角函数相关的函数性质的研究，应该依据一定次序，比如先研究函数的奇偶性或周期性，再根据前者把函数的研究限制在一定的范围内进行讨论.2．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，有以下四个命题中正确的是（ ） A ．22S a bc +B ．当2a =，sin 2sin BC =时，ABC 不可能是直角三角形 C ．当2a =，sin 2sin B C =，2A C =时，ABC的周长为2+D ．当2a =，sin 2sin B C =，2A C =时，若O 为ABC 的内心，则AOB的面积为13- 【答案】ACD 【分析】利用三角形面积公式，余弦定理基本不等式，以及三角换元，数形结合等即可判断选项A ；利用勾股定理的逆定理即可判断选项B ；利用正弦定理和三角恒等变换公式即可判断选项C ；由已知条件可得ABC 是直角三角形，从而可以求出其内切圆的半径，即可得AOB 的面积即可判断选项D. 【详解】 对于选项A ：2221sin 1sin 222cos 2222cos bc AS A b c a bc b c bc A bc Ac b==⨯++-+++- 1sin 4cos 2A A ≤-⨯-（当且仅当b c =时取等号）.令sin A y =，cos A x =，故21242S ya bc x ≤-⨯+-，因为221x y +=，且0y >，故可得点(),x y 表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：目标函数2yz x =-上，表示圆弧上一点到点()2,0A 点的斜率， 数形结合可知，当且仅当目标函数过点132H ⎛ ⎝⎭，即60A =时，取得最小值3- 故可得3,023yz x ⎡⎫=∈-⎪⎢⎪-⎣⎭， 又21242S yx bc x ≤-⨯+-，故可得213324S a bc ⎛≤-⨯= +⎝⎭， 当且仅当60A =，b c =，即三角形为等边三角形时，取得最大值，故选项A 正确； 对于选项B ：因为sin 2sin B C =，所以由正弦定理得2b c =，若b 是直角三角形的斜边，则有222a c b +=，即2244c c +=，得23c =，故选项B 错误； 对于选项C ，由2A C =，可得π3B C =-，由sin 2sin B C =得2b c =，由正弦定理得，sin sin b c B C=，即()2sin π3sin c c C C =-， 所以sin32sin C C =，化简得2sin cos 22cos sin 2sin C C C C C +=， 因为sin 0C ≠，所以化简得23cos 4C =， 因为2b c =，所以B C >，所以3cos C =，则1sin 2C =，所以sin 2sin 1B C ==，所以π2B =，π6C =，π3A =，因为2a =，所以233c =，33b =，所以ABC 的周长为223+，故选项C 正确； 对于选项D ，由C 可知，ABC 为直角三角形，且π2B =，π6C =，π3A =，c =，3b =，所以ABC的内切圆半径为1212r ⎛=+= ⎝⎭， 所以ABC的面积为111122333cr ⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭所以选项D 正确， 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是正余弦定理以及面积公式，对于A 利用面积公式和余弦定理，结合不等式得21sin 1sin 224cos 222cos S A Ab c a bc A A c b=⨯≤-⨯+-++-，再利用三角换元、数形结合即可得证，综合性较强，属于难题.3．在单位圆O ：221x y +=上任取一点()P x y ，，圆O 与x 轴正向的交点是A ，将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角记为θ，若x ，y 关于θ的表达式分别为()x fθ=，()y g θ=，则下列说法正确的是（ ）A ．()x f θ=是偶函数，()y g θ=是奇函数；B ．()x f θ=在()0，π上为减函数，()y g θ=在()0，π上为增函数；C ．()()1fg θθ+≥在02πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，上恒成立；D ．函数()()22t f g θθ=+的最大值为2.【答案】ACD 【分析】依据三角函数的基本概念可知cos x θ=，sin y θ=，根据三角函数的奇偶性和单调性可判断A 、B；根据辅助角公式知()()4f g πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数求值域可判断C ；对于D ，2cos sin2t θθ=+，先对函数t 求导，从而可知函数t 的单调性，进而可得当1sin 2θ=，cos 2θ=时，函数t 取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解． 【详解】由题意，根据三角函数的定义可知，x cos θ=，y sin θ=， 对于A ，函数()cos fθθ=是偶函数，()sin g θθ=是奇函数，故A 正确；对于B ，由正弦，余弦函数的基本性质可知，函数()cos fθθ=在()0,π上为减函数，函数()sin g θθ=在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为增函数，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，故B 错误； 对于C ，当0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦，时，3,444πππθ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦()()cos sin 2sin [1,2]4f g πθθθθθ⎛⎫+=+=+∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，函数()()222cos sin2t fg θθθθ=+=+，求导22sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)t θθθθθθ'=-+=-+-=--+， 令0t '>，则11sin 2θ-<<；令0t '<，则1sin 12θ<<， ∴函数t 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 当6πθ=即1sin 2θ=，3cos 2θ=时，函数取得极大值31333222t =⨯+⨯⨯=， 又当2θπ=即sin 0θ=，cos 1θ=时，212012t =⨯+⨯⨯=， 所以函数()()22t f g θθ=+取得最大值33，故D 正确.故选：ACD. 【点睛】方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：（1）将函数化简整理为()()sin f x A x ωϕ=+，再利用三角函数性质求值域； （2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.4．（多选题）如图，设ABC 的内角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，若a b c 、、成等比数列，、、A B C 成等差数列，D 是ABC 外一点，1,3DC DA ==，下列说法中，正确的是（ ）A ．3B π=B ．ABC 是等边三角形C ．若A B CD 、、、四点共圆，则13AC =D ．四边形ABCD 面积无最大值 【答案】ABC 【分析】根据等差数列的性质和三角形内角和可得3B π=，根据等比中项和余弦定理可得a c =，即ABC 是等边三角形，若A B C D 、、、四点共圆，根据圆内接四边形的性质可得23D π=，再利用余弦定理可求AC =211sin sin 223ACD ABC S S S AD CD D AC π∆∆=+=⋅+和2222cos AC AD CD AD CD D 可得3sin cos 3sin()22232S D D D π=-+=-+，从而求出最大面积. 【详解】由、、A B C 成等差数列可得，2A+C =B ，又A B C π++=， 则3B π=，故A 正确；由a b c 、、成等比数列可得，2b ac =，根据余弦定理，2222cos b a c ac B =+-，两式相减整理得，2()0a c -=，即a c =，又3B π=，所以，ABC 是等边三角形，故B 正确；若A B C D 、、、四点共圆，则B D π+=，所以，23D π=， ADC 中，根据余弦定理，2222cos AC AD CD AD CD D ，解得AC =C 正确； 四边形ABCD 面积为：211sin sin 223ACD ABC S S S AD CD D AC π∆∆=+=⋅+23sin 2D AC = 又2222cos 106cos AC AD CD AD CD D D =+-⋅=-，所以，3sin 3sin()22232S D D D π=-+=-+， 因为(0,)D π∈，当四边形面积最大时，sin()13D π-=，此时max 3S =，故D 错误. 故选：ABC 【点睛】本题考查解三角形和平面几何的一些性质，同时考查了等差等比数列的基本知识，综合性强，尤其是求面积的最大值需要一定的运算，属难题.5．函数()()()2sin 0,f x x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．1()2sin 36f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B ．若把()f x 的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，得到的函数在[],ππ-上是增函数C ．若把函数()f x 的图像向左平移2π个单位，则所得函数是奇函数 D ．函数()y f x =的图象关于直线4x π=-对称【答案】ACD 【分析】根据函数的图象求出函数的解析式，得选项A 正确； 求出213263x πππ--得到函数在[],ππ-上不是增函数，得选项B 错误；求出图象变换后的解析式得到选项C 正确； 求出函数的对称轴方程，得到选项D 正确. 【详解】 A, 如图所示：1732422T πππ=-=， 6T π∴=，∴2163πωπ==，(2)2f π=，∴2(2)2sin()23f ππϕ=+=，即2sin()13πϕ+=， ∴22()32k k Z ππϕπ+=+∈， ∴2()6k k Z πϕπ=-∈，||ϕπ<，∴6πϕ=-，∴1()2sin()36f x x π=-，故选项A 正确；B, 把()y f x =的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，得到的函数12sin()26y x π=-，[x π∈-，]π，∴213263x πππ--，∴12sin()26y x π=-在[π-，]π上不单调递增，故选项B 错误；C, 把()y f x =的图象向左平移2π个单位，则所得函数12sin[()]2sin 3223xy x ππ=-+=，是奇函数，故选项C 正确； D, 设1,,32,362x k k Z x k πππππ-=+∈∴=+当24k x π=-⇒=-，所以函数()y f x =的图象关于直线4x π=-对称，故选项D 正确.故选：ACD 【点睛】方法点睛：求三角函数的解析式，一般利用待定系数法，一般先设出三角函数的解析式sin()y A wx k ，再求待定系数,,,A w k ，最值确定函数的,A k ,周期确定函数的w ,非平衡位置的点确定函数的φ.6．在ABC 中，下列说法正确的是（ ） A ．若A B >，则sin sin A B > B ．若2C π>，则222sin sin sin C A B >+C ．若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形D ．存在ABC 满足cos cos 0A B +≤ 【答案】ABC 【分析】根据大角对大边，以及正弦定理，判断选项A ；利用余弦定理和正弦定理边角互化，判断选项B ；结合诱导公式，以及三角函数的单调性判断CD. 【详解】 A.A B >，a b ∴>，根据正弦定理sin sin a bA B=，可知sin sin A B >，故A 正确； B.2C π>，222cos 02a b c C ab +-∴=<，即222a b c +<，由正弦定理边角互化可知222sin sin sin C A B >+，故B 正确；C.当02A π<<时，sin cos cos cos 2A B A B π⎛⎫<⇔-< ⎪⎝⎭，即22A B A B ππ->⇒+<，即2C π>，则ABC 为钝角三角形，若2A π>，sin cos cos cos 2A B A B π⎛⎫<⇔-< ⎪⎝⎭，即22A B A B ππ->⇒>+成立，A 是钝角，当2A π=是，sin cos A B >，所以综上可知：若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形，故C 正确；D.A B A B ππ+<⇒<-，0,0A B πππ<<<-<，()cos cos cos A B B π∴>-=-，即cos cos 0A B +>，故D 不正确. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题考查判断三角形的形状，关键知识点是正弦定理和余弦定理，判断三角形形状，以及诱导公式和三角函数的单调性.7．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()(::5:)4:6b c c a a b +++=，下列结论正确的是（ ）A ．::7:5:3sinA sinB sinC = B ．0AB AC ⋅>C ．若6c =，则ABC 的面积是D ．若8+=b c ，则ABC 【答案】ACD 【分析】先利用已知条件设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=，进而得到3.5, 2.5, 1.5a k b c k ===，利用正弦定理可判定选项A ；利用向量的数量积公式可判断选项B ；利用余弦定理和三角形的面积公式可判定选项C ；利用余弦定理和正弦定理可判断选项D. 【详解】依题意，设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=， 所以 3.5, 2.5, 1.5a k b c k ===，由正弦定理得：::::7:5:3sinA sinB sinC a b c ==， 故选项A 正确；222222cos 22b c a b c a AB AC bc A bc bc +-+-⋅==⨯=222222.5 1.5 3.515028k k +-==-<，故选项B 不正确；若6c =，则4k =， 所以14,10a b ==，所以222106141cos 21062A +-==-⨯⨯，所以sin 2A =，故ABC 的面积是：11sin 61022bc A =⨯⨯= 故选项C 正确；若8+=b c ，则2k =， 所以7,5,3a b c ===，所以2225371cos 2532A +-==-⨯⨯，所以sin A =， 则利用正弦定理得：ABC 的外接圆半径是：12sin 3a A ⨯=， 故选项D 正确； 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：本题主要考查正余弦定理以及三角形面积公式. 利用已知条件设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=，再利用正余弦定理以及三角形面积公式求解是解决本题的关键.8．已知函数()()cos 22f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭，()()124F x f x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数，则下述四个结论中说法正确的是（ ）A ．tan ϕ=B ．()f x 在[],a a -上存在零点，则a 的最小值为6πC ．()F x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D ．()F x 的图象可由()f x 的图象向左平移2π个单位得到 【答案】ABC 【分析】首先得到()()1224F x f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的解析式，再根据函数的奇偶性求出参数ϕ，最后结合三角函数的性质一一验证即可. 【详解】解：因为()cos(2)f x x ϕ=+，所以11()()+cos(2))cos 22423F x f x f x x x x ππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫==++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为()F x 为奇函数，则(0)0F =，即cos 03πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以32k ππϕπ+=+，k Z ∈，因为||2ϕπ<，所以6π=ϕ；对于A ，tan tan63πϕ==，故A 正确； 对于B ，令()cos 206f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，得26k x ππ=+，k ∈Z ，若()f x 在[,]a a -上存在零点，则0a >且a 的最小值为6π，故B 正确； 对于C ，()cos 2sin 263F x x x ππ⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭，当3,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,232x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()F x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故C 正确. 对于D ，因为()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ()cos 266F x x ππ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，根据“左加右减”，()F x 的图象可由()f x 的图象向左平移6π个单位得到，故D 错误.故选：ABC . 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是先根据()()124F x f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为奇函数，确定参数ϕ的值，再结合三角函数的性质逐一判断即可.二、数列多选题9．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的有（ ） A ．若数列{}n a 的前n 项和22n S n =，则数列{}n a 为等差数列B ．若数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则数列{}n a 为等比数列C ．若等比数列{}n a 是递增数列，则{}n a 的公比1q >D ．数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，仍为等比数列 【答案】AB 【分析】对于A ，求出 42n a n =-，所以数列{}n a 为等差数列，故选项A 正确；对于B ， 求出2n n a =，则数列{}n a 为等比数列，故选项B 正确；对于选项C ，有可能10,01a q <<<，不一定 1q >，所以选项C 错误；对于D ，比如公比1q =-，n 为偶数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，均为0，不为等比数列．故选项D 不正确． 【详解】对于A ，若数列{}n a 的前n 项和22n S n =，所以212(1)(2)n S n n -=-≥，所以142(2)n n n a S S n n -=-=-≥，适合12a =，所以数列{}n a 为等差数列，故选项A 正确；对于B ，若数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，所以122(2)nn S n -=-≥，所以12(2)n n n n a S S n -=-=≥，又1422a =-=，2218224a S S =-=--=， 212a a =则数列{}n a 为等比数列，故选项B 正确；对于选项C ，若等比数列{}n a 是递增数列，则有可能10,01a q <<<，不一定 1q >，所以选项C 错误；对于D ，数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯不一定为等比数列，比如公比1q =-，n 为偶数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，均为0，不为等比数列．故选项D 不正确． 故选：AB 【点睛】方法点睛：求数列的通项常用的方法有：（1）公式法；（2）归纳法；（3）累加法；（4）累乘法；（5）构造法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.10．在n n n A B C （1,2,3,n =）中，内角,,n n n A B C 的对边分别为,,n n n a b c ，n n nA B C 的面积为n S ，若5n a =，14b =，13c =，且222124n n n a c b ++=，222124n n n a b c ++=，则（ ）A ．n n n ABC 一定是直角三角形 B ．{}n S 为递增数列 C ．{}n S 有最大值D ．{}n S 有最小值【答案】ABD 【分析】先结合已知条件得到()222211125=252n n n n b c b c +++-+-，进而得到22225=n n n b c a +=，得A 正确，再利用面积公式得到递推关系1221875=644n n S S ++，通过作差法判定数列单调性和最值即可. 【详解】 由222124n n n a c b ++=，222124n n n a b c ++=得，222222112244n n n n n n a c a b bc+++++=+()2221122n n n a b c =++()2225122n n b c =++，故()222211125=252n n n n b c b c +++-+-， 又221125=0b c +-，22250n n b c ∴+-=，22225=n n n b c a ∴+=，故n n n A B C 一定是直角三角形，A 正确；n n n A B C 的面积为12n n n S b c =，而()4222222222221124224416n n n n n n n n n n n n a b c a b c a c a b b c +++++++=⨯=， 故()42222222222111241875161875==1616641n n n n n n n n n n n a b c a b b S S c c S +++++++==+，故22212218751875==6446434n n n n n S S SS S +-+--，又22125=244n n n n n b c b c S +=≤（当且仅当==2n n b c 时等号成立） 22121875=06344n n n S SS +∴--≥，又由14b =，13c =知n n b c ≠不是恒成立，即212n n S S +>，故1n n S S +>，故{}n S 为递增数列，{}n S 有最小值16=S ，无最大值，故BD 正确，C 错误.故选：ABD. 【点睛】本题解题关键是利用递推关系得到()222211125=252n n n n b c b c +++-+-，进而得到22225=n n n b c a +=，再逐步突破.数列单调性常用作差法判定，也可以借助于函数单调性判断.。

三角函数专项练习(提高,经典)

三角函数专项练习(提高,经典)

三角函数专项练习(提高,经典)
本文将对三角函数专项练进行介绍，旨在帮助读者提高数学水平。

前置知识
在进行三角函数的练前，需要掌握以下基本概念：
- 正弦函数、余弦函数、正切函数的概念及其图像；
- 周期函数的概念；
- 三角函数的基本性质。

练内容
熟悉三角函数图像
通过画图的方式，熟悉三角函数的图像，能够更好地理解三角函数的性质。

练时可以通过以下方式进行：
1. 根据函数的周期，分别画出正弦函数、余弦函数、正切函数的一个周期；
2. 结合实际问题，画出函数的波形，如受到周期性振动的物体运动状态的图像；
3. 将函数进行平移、伸缩、翻转等变换，观察图像的变化。

掌握基本公式
三角函数的基本公式是解题的关键，平时需要多加练。

常用的基本公式包括：
- 三角函数的和差公式；
- 三角函数积化和差公式；
- 万能公式等。

练解题技巧
练时，需要掌握以下解题技巧：
1. 熟悉三角函数的基本概念和基本公式，理解问题中各个部分的含义；
2. 根据问题的要求，选择合适的公式进行变形和求解；
3. 注意符号、单位等细节问题，及时进行检查。

结语
三角函数是数学中的重要部分，对于提高数学水平和解题能力有着重要的作用。

希望通过本文所介绍的三角函数专项练习，能够帮助读者更好地掌握三角函数的知识和技巧，取得更好的成绩。

专项训练——三角函数习题(含答案)

专项训练——三角函数习题(含答案)

1．已知ΔABC 三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c ，0)．(1)若0AB AC = ，求c 的值；(2)若5c =，求sin ∠A 的值．2.设函数πf(x)=3sin(ωx +)6，ω>0，x ∈(－∞，+∞)，且以π2为最小正周期. (1)求f(0)； (2)求f(x)的解析式； (3)已知απ9f(+)=4125，求sinα的值.3． 已知 )sin ,2(cos αα=a ，)1sin 2,1(-=αb ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππα,2，且52=⋅b a ，求)4cos(πα+的值．4.在锐角△ABC 中，cos B ＋cos (A －C )＝3sin C ．(Ⅰ) 求角A 的大小；(Ⅱ) 当BC ＝2时，求△ABC 面积的最大值．5.已知函数2()2cos cos()3sin sin cos 6f x x x x x x π=--+．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）设]2,3[ππ-∈x ，求()f x 的值域．6.已知函数2()2sin cos 2cos ()f x x x x x R =-∈．（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）当02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求函数)(x f 的取值范围．7.在ABC ∆中，2AB =，1BC =，3cos 4C =． （Ⅰ）求sin A 的值； （Ⅱ）求BC CA ⋅ 的值．1.解: (1) (3,4)AB =-- (3,4)A C c =-- 由 3(3)16253AB AC c c =--+=-= 得 253c = (2) (3,4)AB =-- (2,4)AC =-6161cos 5205AB AC A AB AC-+∠=== 225sin 1cos 5A A ∠=-∠=2.解：(1) π3f(0)=3sin62=； (2) ∵π2πT=2ω=，∴ω=4，∴f(x)=3sin(4x+π6)； (3)由απ9f(+)=4125，得αππ93sin[4(+)+]=41265，即π3sin(α+)=cos α=25， ∴sinα＝±45.3.解：由52=⋅b a 得52sin sin 22cos 2=-+ααα52sin 1=-⇒α 所以53sin =α 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππα,2，所以54cos -=α 所以4sin sin 4cos cos 4cos παπαπα-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 210722532254-=⋅-⋅-=4. (Ⅰ) 解：因为cos B ＋cos (A －C )＝3sin C ，所以－cos (A ＋C )＋cos (A －C )＝3sin C ，得2sin A sin C ＝3sin C ，故sin A ＝32．因为△ABC 为锐角三角形，所以A =60°．(Ⅱ) 解：设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．由题意知 a ＝2，由余弦定理得4＝b 2＋c 2－2bc cos60°＝b 2＋c 2－bc ≥bc ，所以△ABC 面积＝12bc sin60°≤3， 且当△ABC 为等边三角形时取等号，所以△ABC 面积的最大值为3．5.解：（Ⅰ）∵2()cos (3cos sin )3sin sin cos f x x x x x x x =+-+223(cos sin )2sin cos x x x x =-+x x 2sin 2cos 3+=)32sin(2π+=x ． )(x f ∴的最小正周期为π． （Ⅱ）∵]2,3[ππ-∈x ，34323πππ≤+≤-∴x ， 又)32sin(2)(π+=x x f ，]2,3[)(-∈∴x f ，()f x 的值域为]2,3[-． 6.解：（Ⅰ）因为 ()sin 2cos 21f x x x =--2sin(2)14x π=--． 所以 22T π==π． （Ⅱ）()2sin(2)14f x x π=-- 当 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， 32444x πππ-≤-≤， 所以 当242x ππ-=，max ()21f x =-， 当244x ππ-=-，min ()2f x =-． 所以)(x f 的取值范围是221⎡⎤--⎣⎦，． 7.解：（1）在ABC ∆中，由3cos 4C =，得7sin 4C = 又由正弦定理sin sin AB BC C A= 得：14sin 8A =（2）由余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅得：232124b b =+-⨯ 即23102b b --=，解得2b =或12b =-（舍去），所以2AC = 所以，BC CA ⋅ cos ,cos()BC CA BC CA BC CA C π=⋅⋅<>=⋅⋅- 3312()42=⨯⨯-=-，即32BC CA ⋅=-。

山西省长治市第二中学三角函数与解三角形多选题试题含答案

山西省长治市第二中学三角函数与解三角形多选题试题含答案

山西省长治市第二中学三角函数与解三角形多选题试题含答案一、三角函数与解三角形多选题1．已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭且对于R x ∀∈都有144f x f x ππ⎛⎫-=- ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭成立．现将函数()2sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．函数066g x g x ππ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．函数()g x 相邻的对称轴距离为πC ．函数23g x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数 D ．函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】ABCD 【分析】先利用已知条件求出()f x 的周期T π=，即可得2ω=，再利三角函数图象的平移伸缩变换得()g x 的解析式，在逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】因为对于R x ∀∈都有144f x f x ππ⎛⎫-=-⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭成立 所以()12f x f x π=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()12f x f x ππ⎛⎫+=- ⎪+⎝⎭， 所以()()()11f x f x f x ππ=-=+-+对于R x ∀∈都成立， 可得()f x 的周期T π=，所以22Tπω==， 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，可得 2sin 22sin 2666y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍可得()2sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于选项A:()2sin 2sin 2sin 2sin 0666666g x g x x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=--++-=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选项A 正确；对于选项B ：函数()g x 周期为221T ππ==，所以相邻的对称轴距离为2Tπ=，故选项B正确；对于选项C ：222sin 2sin 2cos 3362g x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭是偶函数，故选项C 正确； 对于选项D ：当63x ππ≤≤，066x ππ≤-≤，所以函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故选项D 正确， 故选：ABCD 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是由144f x f x ππ⎛⎫-=-⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭恒成立得出 ()()f x f x π=+可得ω的值，求出()f x 的解析式.2．在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c .已知():():()4:5:6b c c a a b +++=，下列结论正确的是( ) A ．::7:5:3a b c = B ．0AC AB ⋅<C ．753A B C== D ．若8+=b c ，则ABC ∆面积是4【答案】ABD 【分析】设4,5,6(0)b c k c a k a b k k +=+=+=>，求出a ,b ,c 的值，可得A ；由正弦定理，sin :sin :sin ::7:5:3A B C a b c ==，可判定C ，由余弦定理1cos 2A =-，cos 0AC AB bc A ⋅=<，可判定B ；由8+=b c ，结合A 结论，可计算b ,c , 1sin 2ABC S bc A ∆=，可判定D【详解】设4,5,6(0)b c k c a k a b k k +=+=+=>，则753,,222a kb kc k === ，故 ::7:5:3a b c =，即A 选项正确；又222222259491444cos 5322222k k kb c a A bc k k +-+-===-⨯⨯，故cos 0AC AB bc A ⋅=<，B 选项正确；由正弦定理，sin :sin :sin ::7:5:3A B C a b c ==，C 选项错误； 若8+=b c ，则2k =，故5,3,120ob c A ===，所以1sin 2ABC S bc A ∆==，D 选项正确 故选：ABD 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于较难题3．函数()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则（ ） A ．函数()y f x =的图象可由函数sin 2y x =的图象向右平移4π个单位得到 B ．函数()y f x =的图象关于直线8x π=轴对称C ．函数()y f x =的图象关于点,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称D ．函数2()y x f x =+在08π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上为增函数 【答案】BCD 【分析】对四个选项，一一验证：对于选项A ，利用三角函数相位变化即可；对于选项B ，利用正弦函数的对称轴经过最高（低）点判断； 对于选项C ，利用正弦函数的对称中心直接判断； 对于选项D ，利用复合函数的单调性“同增异减”判断； 【详解】由题意，对于选项A ，函数sin 2y x =的图象向右平移4π个单位可得到()sin 2sin 2cos 242f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以选项A 错误；对于选项B ，sin 21884f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取到了最大值，所以函数()y f x =的图象关于直线8x π=轴对称，所以选项B 正确；对于选项C ，08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以函数()y f x =的图象关于点,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称，所以选项C 正确；对于选项D ，函数2yx 在08π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上为增函数，08x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，2442x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，单调递增，所以函数2()y x f x =+在08π⎛⎫⎪⎝⎭，上为增函数，所以选项D 正确.故选：BCD. 【点睛】(1)三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于sin y x =或cos y x =的性质解题；(2)求单调区间，最后的结论务必写成区间形式，不能写成集合或不等式．4．设M 、N 是函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象与直线2y =的交点，若M 、N 两点距离的最小值为6，1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭是该函数图象上的一个点，则下列说法正确的是（ ）A ．该函数图象的一个对称中心是()7,0B ．该函数图象的对称轴方程是132x k =-+，Z k ∈ C ．()f x 在71,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．()2cos 36x f x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 【答案】ABD 【分析】根据函数()f x 的基本性质求出函数()f x 的解析式，可判断D 选项的正误，利用余弦型函数的对称性可判断AB 选项的正误，利用余弦型函数的单调性可判断C 选项的正误. 【详解】因为M 、N 是函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象与直线2y =的交点，若M 、N 两点距离的最小值为6，则函数()f x 的最小正周期为6T =，23T ππω∴==，所以，()2sin 3x f x πϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 将点P 的坐标代入函数()f x 的解析式，可得12sin 226f πϕ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 16πϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.0ϕπ<<，5666πππϕ∴-<-<，则62ππϕ-=，23πϕ∴=，()22sin 2sin 2cos 3336236f x x x x πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，D 选项正确；对于A 选项，()7572cos 2cos 0362f πππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，A 选项正确； 对于B 选项，由()36x k k Z πππ+=∈，解得()132x k k Z =-+∈， 所以，函数()f x 的图象的对称轴方程是132x k =-+，k Z ∈，B 选项正确；对于C 选项，当71,23x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，3618x ππππ-≤+≤，所以，函数()f x 在区间71,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上不单调，C 选项错误. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =或cos y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．5．对于函数()sin cos 2sin cos f x x x x x =++，下列结论正确的是（ ） A ．把函数f (x )的图象上的各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，则π是函数y =g (x )的一个周期B ．对123,,2x x ππ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，若12x x <，则()()12f x f x <C ．对,44x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫∀∈-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 成立D ．当且仅当,4x k k Z ππ=+∈时，f (x )1【答案】AC 【分析】根据三角函数的变换规则化简即可判断A ；令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()21f t t t =+-，判断函数的单调性，即可判断B ；代入直接利用诱导公式化简即可；首先求出()f t 的最大值，从而得到x 的取值； 【详解】解：因为()2()sin cos 2sin cos sin cos sin cos 1f x x x x x x x x x =++=+++-，令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以t ⎡∈⎣，所以()21f t t t =+-， 对于A ：将()sin cos 2sin cos f x x x x x =++图象上的各点的横坐标变为原来的12倍，则()sin 2cos 22sin 2cos 2g x x x x x =++，所以()()()()()sin 2cos22sin 2cos2g x x x x x πππππ+=++++++()sin 2cos22sin 2cos2x x x x g x =++=，所以π是函数y =g (x )的一个周期，故A 正确；对于B ：因为3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以57,444x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则)14t x π⎛⎫⎡=+∈- ⎪⎣⎝⎭在5,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在53,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 又()2215124f t t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，对称轴为12t =-，开口向上，函数()21f t t t =+-在)1⎡-⎣上单调递减， 所以函数()f x 在5,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在53,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 故B 错误； 对于C ：sin c 4os 2sin cos 4444f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=----⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭+⎝⎭sin c 4os 2sin cos 4444f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭+⎝⎭c 2424242sin os 2sin cos 4x x x x ππππππππ⎥++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-------- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦4444sin cos 2sin cos 4x x x x f x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝+⎭+，故C 正确；因为()2215124f t t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，t ⎡∈⎣，当t =时()f t 取得最大值()max 1f t =，令4t x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭sin 14x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2,42x k k Z πππ+=+∈，解得2,4x k k Z ππ=+∈，即当2,4x k k Z ππ=+∈时，函数()f x1，故D 错误；故选：AC 【点睛】本题考查三角函数的综合应用，解答的关键是换元令sin cos t x x =+，将函数转化为二次函数；6．已知函数()()3sin 222f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线3x π=对称，则（ ）A ．函数12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数 B ．函数()f x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．函数()f x 的图象向右平移()0a a >个单位长度得到的函数的图象关于6x π=对称，则a 的最小值是3π D ．若方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同实根1x ，2x ，则12x x -的最大值为3π【答案】ACD 【分析】由条件可得13f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭，可得6πϕ=-从而得出()f x 的解析式, 选项A 先得出12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的表达式，可判断；选项B 求出函数的单调区间，可判断；选项C 根据图象平移变换得出解析式，可得答案；选项D 作出函数的图像，根据图象可判断. 【详解】 根据条件可得23sin 333f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2,32k k Z ππϕπ+=+∈ 则,6k k Z πϕπ=-∈，由22ππϕ-<<，所以6πϕ=-所以()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭选项A. 3sin 212f x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭为奇函数，故A 正确. 选项B. 由3222262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 2522233k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 536k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 当0k =时，536x ππ≤≤，所以函数()f x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故选项B 不正确. 选项C. 函数()f x 的图象向右平移()0a a >个单位长度得到, ()3sin 23sin 2266y x a x a ππ⎡⎤⎛⎫=--=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ 根据条件可得当6x π=时，3sin 23sin 23366a a πππ⎛⎫⎛⎫--=-=±⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2,62a k k Z πππ-=+∈,则1,26a k k Z ππ=--∈ 由0a >，则当1k =-时，a 有的最小值是3π，故C 正确. 选项D. 作出()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，如图 当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由()3f x =，可得3x π= 由33sin 662f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由()32f x =，可得2x π= 当332a ≤<时，方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同实根1x ，2x ，则1x +223x π= 设1x <2x ，则1211122233x x x x x ππ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，162x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，如图当32a =时，1x ，2x 分别为6π，2π时，12x x -最大，最大值为3π，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点睛：本题考查三角函数()sin y A x ωϕ=+的图像性质，考查三角函数的图象变换，解答本题的关键是根据正弦型函数的对称性求出ϕ的值，根据三角函数的对称性得到1211122233x x x x x ππ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，162x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，，属于中档题.7．已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为π B ．()f x 的图像关于直线6x π=对称C ．()f x 的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()f x 在区间(0,)π上有两个零点【答案】ABD 【分析】借助于()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像及y =sin x 的性质，对ABCD 四个选项一一验证： 对于A ：利用2T πω=求周期；对于B ：利用图像观察，也可以根据()26f π=判断；对于C ：利用图像观察，也可以根据()13f π=否定结论；对于D ：利用图像观察，可以得到()f x 在区间(0,)π上有两个零点. 【详解】对于A ：函数()y f x =的周期222T πππω===故A 正确； 对于B ：∵ ()2sin 22666f πππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，∴()f x 的图像关于直线6x π=对称，故B 正确；对于C ：∵ 5()2sin 22sin 13366f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 的图像不经过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，,03π⎛⎫⎪⎝⎭也不是其对称中心，故C 错误； 对于C ：由图像显然可以观察出，()f x 在区间(0,)π上有两个零点.也可以令()()00f x x π=<<，即2sin 206x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得：512x π=或1112π，故()f x 在区间(0,)π上有两个零点，故D 正确.故选：ABD 【点睛】三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，即()sin y A x B ωϕ=++的结构：（1）画出图像，利用图像分析性质；（2）用t x ωϕ=+借助于sin y x =或cos y x =的性质解题.8．将函数cos 2y x =的图象上所有点向左平移6π个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数()y f x =的图象，则（ ） A ．()f x 的图象的对称轴方程为()62k x k Z ππ=-+∈B ．()f x 的图象的对称中心坐标为(),0212k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ C ．()f x 的单调递增区间为()2,36k k k Z ππππ⎡⎫-+-+∈⎪⎢⎣⎭D ．()f x 的单调递减区间为()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【答案】AC 【分析】首先根据图象平移求函数()y f x =的解析式，再根据整体代入的方法判断函数的对称性和单调区间. 【详解】cos 2y x =的图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向下平移1个单位长度后得到()cos 213y f x x π⎛⎫==+- ⎪⎝⎭， 对于A ，令23x k ππ+=，解得,62k x k Z ππ=-+∈，函数的对称轴是,62k x k Z ππ=-+∈，故A 正确； 对于B ，令232x k πππ+=+，解得：,122k x k Z ππ=+∈，所以函数的对称中心,1,122k k Z ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭，故B 不正确； 对于C ，令2223k x k ππππ-+≤+≤，解得：236k x k ππ-+π≤≤-+π，所以函数的单调递增区间是2,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦，由于单点不具有单调性，所以()f x 的单调递增区间为()2,36k k k Z ππππ⎡⎫-+-+∈⎪⎢⎣⎭也正确，故C 正确；对于D ，令2223k x k ππππ≤+≤+，解得：63k x k ππππ-+≤≤+，所以函数单调递减区间是,63k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，故D 不正确.故选：AC 【点睛】方法点睛：本题考查函数的图象变换，以及()sin y A ωx φ=+的性质，属于中档题型，()sin y A x ϕ=+的横坐标伸长（或缩短）到原来的1ω倍，得到函数的解析式是()sin y A ωx φ=+，若sin y A x ω=向右（或左）平移ϕ（0ϕ>）个单位，得到函数的解析式是()sin y A x ωϕ=-⎡⎤⎣⎦或()sin y A x ωϕ=+⎡⎤⎣⎦.二、数列多选题9．已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和0n S >，设2132n n n b a a ++=-，记{}n b 的前n 项和为n T ，则下列判断正确的是（ ） A ．若1q =，则n n T S = B ．若2q >，则n n T S > C ．若14q =-，则n n T S > D ．若34q =-，则n n T S > 【答案】BD 【分析】先求得q 的取值范围，根据q 的取值范围进行分类讨论，利用差比较法比较出n T 和n S 的大小关系. 【详解】由于{}n a 是等比数列，0n S >，所以110,0a S q =>≠， 当1q =时，10n S na =>，符合题意； 当1q ≠时，()1101n n a q S q-=>-，即101nq q ->-，上式等价于1010n q q ⎧->⎨->⎩①或1010n q q ⎧-<⎨-<⎩②.解②得1q >.解①，由于n 可能是奇数，也可能是偶数，所以()()1,00,1q ∈-.综上所述，q 的取值范围是()()1,00,-+∞.2213322n n n n b a a a q q ++⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以232n n T q q S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()2311222n n n n T S S q q S q q ⎛⎫⎛⎫-=⋅--=⋅+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而0n S >，且()()1,00,q ∈-⋃+∞.所以，当112q -<<-，或2q >时，0n n T S ->，即n n T S >，故BD 选项正确，C 选项错误. 当12(0)2q q -<<≠时，0n n T S -<，即n n T S <.当12q =-或2q 时，0,n n n n T S T S -==，A 选项错误.综上所述，正确的选项为BD. 故选：BD 【点睛】本小题主要考查等比数列的前n 项和公式，考查差比较法比较大小，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.10．已知数列{}n a ，{}n b 满足，11a =，11n n n a a a +=+，1(1)n n b n a =+，若23100100122223100b b b T b =++++，则（ ） A ．n a n = B ．1n n b n =+ C ．100100101T =D ．10099100T =【答案】BC 【分析】 先证明数列1n a 是等差数列得1n a n=，进而得1(1)1n n n b n a n ==++，进一步得()211111n b n n n n n ==-++，再结合裂项求和得100100101T =. 【详解】 解:因为11nn n a a a +=+,两边取倒数得: 1111n n a a +=+,即1111n na a ,所以数列1n a 是等差数列,公差为1,首项为111a ,故()1111n n n a =+-⨯=,所以1n a n=, 所以1(1)1n n nb n a n ==++，故()211111n b n n n n n ==-++， 所以31002100122211112310022334100101b b b T b =++++=++++⨯⨯⨯11111111100122334100101101101⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故BC 正确，AD 错误； 故选：BC 【点睛】本题考查数列通项公式的求解，裂项求和，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于证明数列1na 是等差数列，进而结合裂项求和求解100T .。

高中数学三角函数专项练习题(含答案)

高中数学三角函数专项练习题(含答案)

高中数学三角函数专项练习题(含答案)一、填空题1．设1F ,2F 分别是椭圆2222:1(0)x yE a b a b+=>>的左､右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，11||3||AF BF =，若23cos 5AF B ∠=，则椭圆E 的离心率为___________.2．方程12sin 01x xπ-=-，[2,4]x m m ∈--+（m ∈Z ）的所有根的和等于2024，则满足条件的整数m 的值是________3．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边a 、b 、c 为三个连续偶数且2C A =，则b =__________．4．已知四棱锥P ABCD -的顶点均在球O 的球面上，底面ABCD 是正方形，AB =120APB ∠=︒，当AD AP ⊥时，球O 的表面积为______. 5．log sin()3y x ππ=+的单调增区间为________.6．在ABC 中，sin 2sin B C =，2BC =.则CA CB ⋅的取值范围为___________.（结果用区间表示）7．已知函数()sin cos f x x x =+，()sin cos g x x x =：①函数()f x 的图象关于点(,0)4π对称；②函数|()|g x 的最小正周期是2π；③把函数f (2x )图象上所有点向右平移8π个单位长度得到的函数图象的对称轴与函数y=()g x 图象的对称轴完全相同；④函数1()()y f x g x =--在R 上的最大值为2.则以上结论正确的序号为_______________ 8．已知O 为△ABC 外接圆的圆心，D 为BC 边的中点，且4BC =，6AO AD ⋅=，则△ABC 面积的最大值为___________.9．已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且222a c b ac +-=，则sin cos A C 的最大值为______．10．已知函数()2log ,0,0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，函数()g x 满足以下三点条件：①定义域为R ；②对任意x ∈R ，有()()2g x g x π+=；③当[]0,x π∈时，()sin .g x x =则函数()()y f x g x =-在区间[]4,4ππ-上零点的个数为__________个.二、单选题11．《九章算术》卷五“商功”：今有刍甍，下广3丈，袤4丈；上袤2丈，无广；高1丈.其描述的是下图的一个五面体，底面ABCD 是矩形，4AB =，3BC =，2EF =，//EF 底面ABCD 且EF 到底面ABCD 的距离为1.若DE AE BF CF ===，则该刍甍中点F 到平面EBC 的距离为（ ）A ．15B ．35C 10D 2512．在三棱锥A BCD -中，2AB AD BC ===，13CD =22AC =3BD =，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A ．927πB ．9πC ．1847πD ．18π13．已知函数()*()cos 3f x x πωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N ，若函数()f x 图象的相邻两对称轴之间的距离至少为4π，且在区间3(,)2ππ上存在最大值，则ω的取值个数为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．114．已知函数()sin os 0(c f x x a x a ωω=+>且0>ω），周期2T π<，()33f π()f x 在6x π=处取得最大值，则ω的最小值为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．1415．将方程23sin cos 3x x x =的所有正数解从小到大组成数列{}n x ，记()1cos n n n a x x +=-，则122021a a a ++⋅⋅⋅+=（ ）A ．3B ．24-C ．3D ．216．已知1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若2ABF 是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．(21,)+∞B ．(12,)+∞C ．(1,12)D ．(31,)+∞17．已知函数()2sin cos 3cos2f x x x x =，给出下列结论：①()f x 的图象关于直线π12x =对称；②()f x 的值域为[]22-,；③()f x 在π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数；④0是()f x 的极大值点．其中正确的结论有（ ） A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①②④18．函数()2sin(2)()2f x x πφφ=+<的图像向左平移6π个单位长度后对应的函数是奇函数，函数()(23cos 2g x x =．若关于x 的方程()()2f x g x +=-在[)0,π内有两个不同的解αβ，，则()cos αβ-的值为（ ）A ．BC ． D19．已知函数22sin sin ,[1,1]()22,(1,)x x a a x f x x ax a x ⎧++-∈-=⎨-+∈+∞⎩若关于x 的不等式()0f x 对任意[1,)x ∈-+∞恒成立，则实数a 的范围是（ ）A ．[0,2]B ．(,0][2,)-∞+∞C ．(,0][1,2]-∞D ．[0,1][2,)⋃+∞20．在ABC 中，2AB =，,D E 分别是边AB ，AC 的中点，CD 与BE 交于点O ，若OC =，则ABC 面积的最大值为（ ）AB ．C ．D ．三、解答题21．已知函数 f （x ）＝a （|sin x |+|cos x |）﹣sin2x ﹣1，a ∈R ． （1）写出函数 f （x ）的最小正周期（不必写出过程）； （2）求函数 f （x ）的最大值；（3）当a ＝1时，若函数 f （x ）在区间（0，k π）（k ∈N*）上恰有2015个零点，求k 的值．22．已知函数()sin(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<，其图象的一个对称中心是,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向左平移9π个单位长度后得到函数()g x 的图象. （1）求函数()g x 的解析式；（2）若对任意12,[0,]x x t ∈，当12x x <时，都有()()()()1212f x f x g x g x -<-，求实数t 的最大值；（3）若对任意实数,()(0)a y g x ωω=>在,4a a π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上与直线12y =-的交点个数不少于6个且不多于10个，求实数ω的取值范围. 23．已知函数()2sin cos cos2x x x x f =+. （1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间； （2）求()f x 在区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.24．已知函数()sin()0,04,||2f x A x b A πωϕωϕ⎛⎫=++><<< ⎪⎝⎭图象的一个最高点和最低点的坐标分别为5,212π⎛+ ⎝和11,212π⎛-⎝． （1）求()f x 的解析式；（2）若存在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()2f x m ≤-，求m 的取值范围．25．将函数()4sin cos 6g x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭个单位长度后得到()f x的图象.（1）若()f x 为偶函数，求ϕ； （2）若()f x 在7,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是单调函数，求ϕ的取值范围. 26．为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为200m ，圆心角为0120的扇形地上建造市民广场，规划设计如图：内接梯形ABCD 区域为运动休闲区，其中A ，B 分别在半径OP ，OQ 上，C ，D 在圆弧PQ 上，CD //AB ；上，CD //AB ；OAB ∆区域为文化展区，AB 长为3域，且CD 长不得超过200m.(1)试确定A ，B 的位置，使OAB ∆的周长最大？(2)当OAB ∆的周长最长时，设2DOC θ∠=，试将运动休闲区ABCD 的面积S 表示为θ的函数，并求出S 的最大值.27．函数()()2sin f x x ωϕ=+（其中0,2πωϕ><），若函数()f x 的图象与x 轴的任意两个相邻交点间的距离为2π，且函数()f x 的图象过点()0,1． （1）求()f x 的解析式； （2）求()f x 的单调增区间：（3）求()()2sin f x x ωϕ=+在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值域． 28．已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，函数()()2sin cos sin f x x A x A =-+，且当512x π=时，()f x 取最大值. （1）若关于x 的方程()f x t =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有解，求实数t 的取值范围；（2）若5a =，且43sin sin B C +=，求ABC ∆的面积. 29．已知函数()()2cos 3cos 1f x xx x =+-．（1）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值；（2）若()85f x =-，2,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求cos2x 的值；（3）若函数()()0y f x ωω=>在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递增函数，求正数ω的取值范围．30．已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，S 为ABC 的面积，()222sin SB C a c +=-． （1）证明：2A C =；（2）若2b =，且ABC 为锐角三角形，求S 的取值范围．【参考答案】一、填空题1 2．1008或1009 3．104．28π5．(2,2)(Z)36k k k ππππ-++∈6．8,83⎛⎫ ⎪⎝⎭7．②③④8．9．12+10．6二、单选题 11．C 12．A 13．C 14．C 15．C 16．B 17．B 18．D 19．C 20．C 三、解答题21．（1）最小正周期为π．（2）见解析（3）k ＝1008． 【解析】（1）由题意结合周期函数的定义直接求解即可；（2）令t ，t ∈[1，则当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()2f x t at t μ==-，当,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时，()()22f x v t t at ==+-，易知()()t v t μ≤，分类比较()1v 、v的大小即可得解；（3）转化条件得当且仅当sin2x ＝0时，f （x ）＝0，则x ∈（0，π]时，f （x ）有且仅有两个零点，结合函数的周期即可得解. 【详解】（1）函数 f （x ）的最小正周期为π． （2）∵f （x ）＝a （|sin x |+|cos x |）﹣sin2x ﹣1＝sin2x ﹣1＝（sin2x +1），令t =t ∈[1]，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()(21f x t at t t μ==-≤≤，当,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时，()()(221f x v t t at t ==+-≤≤，∵()()()2222220t v t at t t at t μ-=--+-=-+≤即()()t v t μ≤.∴()()(){}max max max 1,f x v t v v ==，∵()11v a =-，v，∴当1a ≤-()f x 最大值为1a -；当1a >-()f x .（3）当a ＝1时，f （x ）sin 21x -，若f （x ）＝0sin 21x =+即22sin 22sin 2sin x x x =+，∴当且仅当sin2x ＝0时，f （x ）＝0，∴x ∈（0，π]时，f （x ）有且仅有两个零点分别为2π，π， ∴2015＝2×1007+1， ∴k ＝1008． 【点睛】本题考查了三角函数的综合问题，考查了分类讨论思想和转化化归思想，属于难题. 22．（1）2()sin(3)3g x x π=+；（2）6π；（3）4083ω<≤.【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的对称性，可得函数()f x 的解析式，再由函数图象的平移变换法则，可得函数()g x 的解析式；（2）将不等式进行转化，得到函数()()f x g x -在[0，t ]上为增函数，结合函数的单调性进行求解即可；（3）求出()y g x ω=的解析式，结合交点个数转化为周期关系进行求解即可． 【详解】（1）因为函数()sin(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<，其图象的一个对称中心是,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以有()0sin[3()]0()(0)9933f k k Z ππππϕϕπϕπϕ-=⇒-+=⇒-=∈<<∴=，()f x 的图象向左平移9π个单位长度后得到函数()g x 的图象.所以 2()sin[3()]sin(3)933g x x x πππ=++=+；（2）由()()()()()()()()12121122f x f x g x g x f x g x f x g x -<-⇒-<-，构造新函数为()()()sin3h x f x g x x =-=，由题意可知：任意12,[0,]x x t ∈，当12x x <时，都有()()()()1212f x f x g x g x -<-，说明函数()sin3h x x =在[0,]x t ∈上是单调递增函数，而()sin3h x x =的单调递增区间为：22232()()226363k k k x k k Z x k Z ππππππππ-+≤≤+∈⇒-+≤≤+∈，而[0,]x t ∈， 所以单调递增区间为：06x π≤≤，因此实数t 的最大值为：6π；（3）2()sin(3)3y g x x πωω==+，其最小正周期23T πω=， 而区间,4a a π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦的长度为4π，直线12y =-的交点个数不少于6个且不多于10个,则34T π≤，且54T π>，解得：4083ω<≤. 【点睛】本题考查了正弦型函数的对称性和图象变换，考查了正弦型函数的单调性，考查了已知两函数图象的交点个数求参数问题，考查了数学运算能力.23．（1）最小正周期π；单调递减区间是5,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈（2）最大值和最小值和1. 【解析】（1）利用二倍角的正弦公式的逆用公式以及两角和的正弦公式的逆用公式化简得()24f x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再根据周期公式可得周期，利用正弦函数的递减区间可得()f x 的递减区间；（2）利用正弦函数的性质可求得结果. 【详解】（1）因为()sin 2cos 224x f x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期22T ππ==. 由3222242k x k πππππ+≤+≤+，得588k x k ππππ+≤≤+，所以()f x 的单调递减区间是5,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （2）因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以32,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.所以当242x ππ+=，即8x π=当244x ππ+=或34π，即0x =或4x π=时，函数取得最小值1.所以()f x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π和1.【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式，考查了两角和的正弦公式，考查了正弦型函数的周期公式，考查了求三角函数的单调区间和最值，属于基础题.24．(1) ()2sin(2)3f x x π=-[22]-，【解析】 【分析】（1）根据题意得到()21T k Z k π=∈+，42k ω=+所以2ω=，再代入数据计算得到，2A =b =3πϕ=-得到答案.（2）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦得到0()2f x ≤≤+202m m +≥⎧⎪⎨+⎪⎩. 【详解】 （1）由题意得1151()12122k T ππ-=+，则()21T k Z k π=∈+． 又2T πω=，则42k ω=+，因为04ω<<，所以2ω=．2A ==,b ==因为()f x 的图象经过点5(,212π，所以52sin(2)212πϕ⨯+=+ 所以23k πϕπ=-+，k Z ∈，因为||2ϕπ<，所以3πϕ=-．故()2sin(2)3f x x π=-+（2）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦从而,0()2f x ≤≤+()2f x m ≤-≤，所以()2m f x m +≤≤+．要使得存在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()2f x m -≤，则202m m +≥⎧⎪⎨≤⎪⎩解得22m -≤≤．故m 的取值范围为[22]-，． 【点睛】本题考查了三角函数的解析式，存在问题，计算函数的值域是解题的关键. 25．（1）6π=ϕ；（2）,62ππϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换对()4sin cos 6g x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭化简变形为()2sin 216g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，然后可得到图象左移之后的函数()2sin 2216f x x ϕπ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，利用三角函数偶函数的性质即可求出ϕ；（2）先求出2222,22662x πππϕπϕπϕ⎛⎫++∈++++ ⎪⎝⎭，再根据ϕ的范围求出26πϕ+和22πϕ+的范围，从而根据单调性列出关于ϕ的不等式，解之即可求得结果. 【详解】（1）()()14sin sin 21cos 22g x x x x x x ⎫=-=--⎪⎪⎝⎭2sin 216x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，∴()2sin 2216f x x ϕπ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭.又()f x 为偶函数，则()262k k Z ππϕπ+=+∈，02πϕ<≤，∴6π=ϕ； （2）7,6x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2222,22662x πππϕπϕπϕ⎛⎫++∈++++ ⎪⎝⎭.2πϕ<≤，∴72,666πππϕ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，32,222πππϕ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭()f x在7,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭是单调函数，∴2622ππϕπϕ⎧+≥⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎩，∴,62ππϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数的图象变换及性质，以及基本的运算能力和逻辑推理能能力，综合性较强，属于有一定难度的中档题.26．（1）OA、OB都为50m；（2）8sin64sin cosSθθθθ=-+；0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；最大值为2625(8m+.【解析】【分析】对于（1），设OA m=，OB n=，m，n(0,200)∈，在△OAB中，利用余弦定理可得22222cos3AB OA OB OA OBπ=+-⋅⋅，整理得222m n mn=++，结合基本不等式即可得出结论；对于（2），当△AOB的周长最大时，梯形ACBD为等腰梯形，过O作OF⊥CD交CD于F，交AB于E，则E、F分别为AB，CD的中点，利用已知可表示出相关线段；然后利用梯形的面积公式可知，8sin64sin cosSθθθθ=-+，0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，令()8sin64sin cosfθθθθθ=-+0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，结合导数，确定函数的单调性，即可求出S的最大值．【详解】解：（1）设OA m=，OB n=，m，n(0,200)∈，在OAB∆中，22222cos3AB OA OB OA OBπ=+-⋅⋅，即222m n mn=++.所以22222()3()()()44m nm n mn m n m n+=+-+-=+.所以m n100+，当且仅当m n50==时，m n+取得最大值，此时OAB∆周长取得最大值.答：当OA、OB都为50m时，OAB∆的周长最大.（2）当AOB∆的周长最大时，梯形ABCD为等腰梯形.如上图所示，过O 作OF CD ⊥交CD 于F ，交AB 于E ，则E 、F 分别为AB 、CD 的中点，所以DOE θ∠=.由CD 200，得0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 在ODF ∆中，DF 200sin θ=，OF 200cos θ=.又在AOE ∆中，OE OAcos 253π==，故EF 200cos 25θ=-. 所以1(503400sin )(200cos 25)2S θθ=- 625(38sin )(8cos 1)θθ=-625(838sin 64sin cos 3)θθθθ=-+，0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 令()838sin 64sin cos 3f θθθθθ=-+0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， ()838cos 64cos 216sin 64cos 26f πθθθθθθ'⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭，0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 又16sin 6y πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭及cos 2y θ=在0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上均为单调递减函数， 故()f θ'在0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上为单调递减函数. 因1()1640623f π⎫'=-⨯>⎪⎪⎝⎭，故()0f θ'>在0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立， 于是，()f θ在0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上为单调递增函数. 所以当6πθ=时，()f θ有最大值，此时S 有最大值为625(8153)+. 答：当6πθ=时，梯形ABCD 面积有最大值，且最大值为2625(8153)m +. 【点睛】 本题主要考查了余弦定理、基本不等式以及导数的应用，在（2）中得到()838sin 64sin cos 3f θθθθθ=-+()16sin 64cos 26f πθθθ'⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，结合函数在公共区间上，减函数+减函数等于减函数，从而确定()f θ'在0,6πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上为单调递减函数.属于难题. 27．（1）2sin(2)6y x π=+；（2）,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（3）[)2,1-【解析】【分析】（1）依据题意可得函数周期为π，利用周期公式算出ω，又函数过定点()0,1，即可求出ϕ，进而得出解析式；（2）利用正弦函数的单调性代换即可求出函数()f x 的单调区间；（3）利用换元法，设26t x π=+，结合2sin y t =在5,66t ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上的图象即可求出函数()()2sin f x x ωϕ=+在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值域 【详解】（1）因为函数()f x 的图象与x 轴的任意两个相邻交点间的距离为2π，所以函数()f x 的周期为π，由2T ππω==，得2ω=，又函数()f x 的图象过点()0,1，所以(0)1f =，即2sin 1=ϕ，而，所以6π=ϕ， 故()f x 的解析式为2sin(2)6y x π=+． （2）由sin y x =的单调增区间是2,2,22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦可得 222262k x k πππππ-+≤+≤+，解得36k x k ππππ-+≤≤+故故函数()f x 的单调递增区间是,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦． （3）设 26t x π=+，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则5,66t ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ，由2sin y t =在5,66t ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上的图象知，当2t π=- 时，min 2f =- 当t 趋于6π时，函数值趋于1，故()()2sin f x x ωϕ=+在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值域为[)2,1- ． 【点睛】本题主要考查正弦型函数解析式的求法，正弦函数性质的应用，以及利用换元法结合图象解决给定范围下的三角函数的范围问题，意在考查学生数学建模以及数学运算能力． 28．（1）3(；（21334 【解析】【分析】（1）利用两角和差的正弦公式整理()f x 可得：()sin(2)A f x x =-，再利用已知可得：522122A k πππ⨯-=+（k Z ∈），结合已知可得：3A π=，求得：(0,)2x π∈时，3sin(2)13x π<-≤，问题得解.（2）利用正弦定理可得：sin sin )+=+B C b c ，结合sin sin B C +=可得：8+=b c ，对a 边利用余弦定理可得：2222cos a b c bc A =+-，结合已知整理得：13=bc ，再利用三角形面积公式计算得解.【详解】解：（1）()2sin()cos sin f x x A x A =-+2sin()cos sin[()]x A x x x A =-+--2sin()cos sin cos()cos sin()x A x x x A x x A =-+---sin cos()cos sin()x x A x x A =-+-sin(2)x A =-.因为()f x 在512x π=处取得最大值， 所以522122A k πππ⨯-=+，k Z ∈, 即2,3A k k Z ππ=-+∈. 因为(0,)A π∈，所以3A π=， 所以()sin(2)3f x x π=-. 因为(0,)2x π∈，所以22(,)333x πππ-∈-所以sin(2)13x π<-≤，因为关于x 的方程()f x t =有解，所以t 的取值范围为(． （2）因为5a =，3A π=，由正弦定理sin sin sin b c a B C A ==于是sin sin )+=+B C b c ．又sin sin B C +=，所以8+=b c . 由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，整理得：2225=+-b c bc ，即225()3643=+-=-b c bc bc ，所以13=bc ，所以1sin 2ABC S bc A ∆== 【点睛】本题主要考查了两角和、差的正弦公式应用，还考查了三角函数的性质及方程与函数的关系，还考查了正弦定理、余弦定理的应用及三角形面积公式，考查计算能力及转化能力，属于中档题．29．（I ）1-；（II；（III ）10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ 【解析】【分析】 将()f x 整理为2sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（I ）利用x 的范围求得26x π+的范围，结合sin x 的图象可求得最值；（II ）利用()85f x =-可求得sin 26x ；结合角的范围和同角三角函数关系可求得cos 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭；根据cos 2cos 266x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用两角和差余弦公式可求得结果；（III ）利用x 的范围求得26x πω+的范围，从而根据sin x 单调递增区间构造出关于ω的不等式组，解不等式组再结合0>ω即可得到结果.【详解】()2cos 2cos 12cos 22sin 26f x x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭ （I ）0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 72,666x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦[]2sin 21,26x π⎛⎫∴+∈- ⎪⎝⎭ ()f x ∴在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为：1- （II ）由题意得：82sin 265x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 4sin 265x π⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭ 2,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 3132,626x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦ 3cos 265x π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭ cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦341552=⨯（III ）()2sin 26f x x πωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,6366x πωπππωωπ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦ 2622362k k ππωππωππππ⎧+≤+⎪⎪∴⎨⎪+≥-⎪⎩，k Z ∈，解得：12362k k ωω⎧≤+⎪⎨⎪≥-⎩，k Z ∈ 0ω>，可知当0k =时满足题意，即103ω<≤ω∴的取值范围为：10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查正弦型函数的值域求解、单调性应用、三角恒等变换公式应用、同角三角函数关系等问题.关键是能够利用二倍角公式和辅助角公式将函数化为()sin A x ωϕ+的形式，从而通过整体对应的方式来研究函数的值域和性质.30．（1）见解析；（2）2⎫⎪⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用三角形面积公式表示S ，结合余弦定理和正弦定理，建立三角函数等式，证明结论，即可．（2）结合三角形ABC 为锐角三角形，判定tanC 的范围，利用tanC 表示面积，结合S 的单调性，计算范围，即可．【详解】(1)证明：由()222sin S B C a c +=-，即222sin S A a c =-， 22sin sin bc A A a c∴=-，sin 0A ≠，22a c bc ∴-=， 2222cos abc bc A =+-，2222cos a c b bc A ∴-=-，22cos b bc A bc ∴-=，2cos b c A c ∴-=，sin 2sin cos sin B C A C ∴-=，()sin 2sin cos sin A C C A C ∴+-=，sin cos cos sin sin A C A C C ∴-=，()sin sin A C C ∴-=， A ，B ，()0,C π∈，2A C ∴=．(2)解：2A C =，3B C π∴=-，sin sin3B C ∴=． sin sin a b A B =且2b =， 2sin2sin3C a C ∴=， ()212sin2sin 2sin2sin 2tan2tan 4tan 4sin 32sin 2sin2cos cos2sin tan2tan 3tan tan tan C C C C C C C S ab C C C C C C C C C C C C∴======+++--， ABC 为锐角三角形，20,230,20,2A C B C C ππππ⎧⎛⎫=∈ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫∴=-∈⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭⎩，,64C ππ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，tan C ⎫∴∈⎪⎪⎝⎭， 43tan tan S C C=-为增函数， 2S ⎫∴∈⎪⎪⎝⎭． 【点睛】考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形面积公式，考查了函数单调性判定，难度偏难．。

(完整版)初中三角函数专项练习题及答案

(完整版)初中三角函数专项练习题及答案

初中三角函数基础检测题得分（一）精心选一选（共３６分）1、在直角三角形中，各边都扩大2倍，则锐角A 的正弦值与余弦值都（ ）A 、缩小2倍B 、扩大2倍C 、不变D 、不能确定2、在Rt △ABC 中，∠C=90，BC=4,sinA=54,则AC=( ）A 、3B 、4C 、5D 、63、若∠A 是锐角，且sinA=31，则（ ）A 、00〈∠A<300B 、300〈∠A 〈450C 、450〈∠A 〈600D 、600<∠A 〈9004、若cosA=31，则A A AA tan 2sin 4tan sin 3+-=（ ）A 、74B 、31C 、21D 、05、在△ABC 中,∠A ：∠B ：∠C=1：1：2,则a ：b ：c=( ）A 、1：1:2B 、1：1：2C 、1：1:3D 、1：1:226、在Rt △ABC 中，∠C=900，则下列式子成立的是（ ）A 、sinA=sinB B 、sinA=cosBC 、tanA=tanBD 、cosA=tanB 7．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=3，则下列各式中,正确的是( ）A ．sinB=23B ．cosB=23C ．tanB=23D ．tanB=328．点（-sin60°，cos60°)关于y 轴对称的点的坐标是（ )A ．(3，12）B ．（-3，12）C ．（—3，-12）D ．(—12，—32）9．每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们感受到了国旗的神圣．•某同学站在离旗杆12米远的地方，当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为30°，•若这位同学的目高1。

6米，则旗杆的高度约为( )A ．6。

9米B ．8。

5米C ．10。

3米D ．12.0米 10．王英同学从A 地沿北偏西60º方向走100m到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C地，此时王英同学离A 地 （ ） （A)350m (B)100 m（C)150m(D ）3100m11、如图1,在高楼前D 点测得楼顶的仰角为30︒， 向高楼前进60米到C 点，又测得仰角为45︒，则该高楼的高度大约为（ ） A 。

石家庄二中必修第一册第五单元《三角函数》测试题(有答案解析)

石家庄二中必修第一册第五单元《三角函数》测试题(有答案解析)

一、选择题1．已知曲线1:sin C y x =，曲线2:sin 23C y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A ．把曲线1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2C B ．把曲线1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个单位长度，得到曲线2C C ．把曲线1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2C D ．把曲线1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个单位长度，得到曲线2C 2．将函数()sin 2cos 2f x x x =+的图象向左平移12π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 图象的一条对称轴方程为（ ） A ．6x π=B ．12x π=C ．3x π=D ．24x π=3．计算cos21cos9sin 21sin9︒︒-︒︒的结果是（ ）.A ．B ．12-C ．2D ．124．已知函数()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的单调递增区间为(),26212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．()f x 的图象关于直线6x π=对称D ．()f x 的图象关于点,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称 5．把函数sin y x =的图象上所有的点向左平行移动6π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数解析式是（ ） A ．sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．sin 26x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭6．设31cos 29sin 2922a =-，1cos662b -=、22tan161tan 16c =+，则有（ ） A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>7．()()sin f x A x =+ωϕ0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若将函数()f x 的图象向右平移2π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则（ ）A ．()12sin 212g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B ．()12sin 212g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．()2sin 212g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．()2sin 212g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭8326tan 34tan 26tan 34++=（ ） A ．33B ．3C 3D ．33-9．已知函数()()()sin 0,0f x A x =+>-π<<ωϕωϕ的部分图象如图所示.则()f x 的解析式为（ ）．A ．()2sin 12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．()32sin 34f x x π=-⎛⎫ ⎪⎝⎭10．函数()()cos f x A x ωϕ=+(其中0A >，0>ω，2πϕ<)的图象如图所示.为了得到()cos g x A x ω=-的图象，只需把()y f x =的图象上所有的点（ ）A ．向右平移12π个单位长度 B ．向右平移512π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度D ．向左平移512π个单位长度11．刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆求周”方法:当n 很大时，用圆内接正n 边形的周长近似等于圆周长，并计算出精确度很高的圆周率 3.1416π≈.在《九章算术注》中总结出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”的极限思想，可以说他是中国古代极限思想的杰出代表．运用此思想，当π取3.1416时可得cos89︒的近似值为（ ） A ．0.00873 B ．0.01745C ．0.02618D ．0.0349112．已知2cos 432θπ⎛⎫= ⎪⎝⎭-，则sin θ=（ ） A ．79 B ．19C ．－19D ．－79二、填空题13．设函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()4f x f π⎛≤⎫⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为___________________.14．已知角θ的终边经过点(,3)P x （0x <）且cos x θ=，则x =___________.15．已知函数()22sin cos f x x x x ωωω=-，且()f x 图象的相邻对称轴之间的距离为π4，则当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值为______． 16．已知tan 3α=，则2sin 21sin cos 2ααα-=+_________． 17．已知函数()()()2cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象关于原点对称，且在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，则ω的取值范围为______.18．方程21sin cos 2x x x =在[0,]4π上的解为___________19．设函数2()2cos cos f x x x x m =++，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()f x 的值域为17,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则实数m 的值是________. 20．已知tan 2α=，则cos 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭___________. 三、解答题21．已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中0ab ≠．（1）若1b =，是否存在实数a 使得函数()f x 为偶函数，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由；（2）若34x π=为函数()f x 的对称轴，求函数()f x 的单调增区间． 22．已知()()1sin 2cos 3παπα+--=(2παπ<<)，求：（1）sin cos αα⋅； （2）sin cos αα-.23．已知函数()22sin cos 2sin 1f x x x x =-+.（1）求4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； （2）求()f x 的最小正周期； （3）求()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值.24．已知函数()21()2cos 1sin 2cos 42=-+f x x x x . （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 的最大和最小值以及相应的x 的取值；（3）若,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且()f α=，求α的值.25．已知()sin (sin )f x x x x =，ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c .（1）求()f x 的单调递增区间； （2）若3()2f A =，2a =，求ABC ∆周长的最大值26．已知函数()()2cos cos sin f x x x x x =+-．（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）若当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，关于()f x m ≥的不等式 _______，求实数m 的取值范围． 请选择①和②中的一个条件，补全问题（2），并求解．其中，①有解；②恒成立． 注意：如果选择①和②两个条件解答，以解答过程中书写在前面的情况计分．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据三角函数的伸缩变换与平移变换原则，可直接得出结果. 【详解】 因为sin 2sin 236y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以将sin y x =图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，可得sin 2y x =的图象，再将sin 2y x =的图象向右平移6π个单位，即可得到sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象. 故选：D.2．D解析：D 【分析】由()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，向左平移12π个单位长度得到()5212g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再令52122x k πππ+=+求解. 【详解】因为函数()sin 2cos 224f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由题意得()5212g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以52122x k πππ+=+， 解得1,224x k k Z ππ=+∈， 故选：D3．C解析：C 【分析】 直接化简求值即可. 【详解】解： cos21cos9sin 21sin9︒︒-︒︒()cos 219=︒+︒cos30=︒= 故选：C.4．B解析：B 【分析】对A ，根据解析式可直接求出最小正周期；对B ，令242,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈可求出单调递增区间；对C ，计算6f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断； 对D ，计算24f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断.【详解】 对于A ，()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴()f x 的最小正周期为242T ππ==，故A 错误；对于B ，令242,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得,26212k k x k Z ππππ-≤≤+∈，∴()f x 的单调递增区间为(),26212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，故B 正确；对于C ，2sin 412666f πππ⎛⎫⨯+=≠± ⎪⎝=⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴()f x 的图象不关于直线6x π=对称，故C 错误；对于D ，2sin 4026244f πππ⎛⎫⨯⎛⎫= +=≠ ⎪⎭⎭⎪⎝⎝，∴()f x 的图象不关于点,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称. 故选B. 【点睛】方法点睛：判断正弦型函数()()=sin f x A x ωϕ+对称轴或对称中心的方法： （1）利用正弦函数的性质求出对称轴或对称中心，令()2x k k Z πωϕπ+=+∈可求得对称轴，令()x k k Z ωϕπ+=∈可求得对称中心；（2）代入求值判断，若()()00=sin f x A x A ωϕ+=±，则0x x =是对称轴；若()()00=sin 0f x A x ωϕ+=，则()0,0x 是对称中心. 5．D解析：D 【分析】根据三角函数的图象变换规律可得解析式． 【详解】函数sin y x =的图象上所有的点向左平行移动6π个单位长度，得sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），可得sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：D ．6．B解析：B 【分析】由两角差的正弦公式，余弦和正正弦的二倍角公式化简,,a b c ，然后由正弦函数的单调性得出结论． 【详解】129si sin(6029)si 3n 2912n a =︒-︒=︒=-，b =sin 33==︒，2222sin162tan16cos162sin16sin 161tan 161c cos16sin 32os 16c ===︒︒︒︒=︒︒︒++， 显然sin31sin32sin33︒<︒<︒，所以a c b <<． 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数值的比较大小，解题方法是首先化简各函数，应用三角函数恒等变换公式化简函数，注意转化为同一个三角函数，并且把角转化到三角函数的同一单调区间上，然后由三角函数的单调性得大小关系．7．A解析：A 【分析】根据图象易得2A =，最小正周期T 2433ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，进而求得ω，再由图象过点2,23π⎛⎫⎪⎝⎭求得函数()f x ，然后再根据平移变换得到()g x 即可. 【详解】由图象可知2A =，最小正周期2T 4433πππ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴212T πω==，1()2sin 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 又22sin 233f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴232k ππϕπ+=+，26k πϕπ=+，∵||2ϕπ<，∴6π=ϕ，1()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将其图象向右平移2π个单位长度得 11()2sin 2sin 226212g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：A 8．C解析：C 【分析】利用两角和的正切公式，特殊角的三角函数值化简已知即可求解． 【详解】26tan34tan 26tan34︒︒+︒+︒26tan 34tan(2634)(1tan 26tan 34)=︒︒+︒+︒-︒︒26tan 34tan 26tan 34)=︒︒+-︒︒26tan3426tan34=︒︒︒︒=故选：C ．9．B解析：B 【分析】根据函数图象得到3532,41234T A πππ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭ ，进而求得2,2T Tππω===，然后由函数图象过点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭求解. 【详解】由函数图象知：3532,41234T A πππ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭， 所以2,2T Tππω===， 又函数图象过点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭， 所以 522,122k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 解得 2,3k k Z πϕπ=-∈，又因为 0πϕ-<<，所以3πϕ=-，所以()f x 的解析式为：()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.10．B解析：B 【分析】先根据图象求出,,A ωϕ的值即可得()f x 和()g x 的解析式，再利用函数图象的平移变换即可得正确选项. 【详解】由图知：1A =，74123T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以22T πω==，()()cos 2f x x φ=+，当712x π=时，()()cos 2f x x φ=+有最小值，所以()72212k k Z πϕππ⨯+=+∈， 所以()26k k Z πϕπ=-+∈，又因为2πϕ<，所以0,6k πϕ==-，所以()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()cos2cos 2g x x x π=-=-，所以只需要把()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有的点向右平移512π个单位长度得 ()()5cos 2cos 2cos 2126x x x g x πππ⎡⎤⎛⎫--=-=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由函数的部分图象求出,,A ωϕ的值，进而求出()f x 和()g x 的解析式，()()cos2cos 2g x x x π=-=-，由平移变换的规律求解，注意左右平移指一个x 变化多少，此点容易出错，属于中档题.11．B解析：B 【分析】根据cos89sin1︒=，将一个单位圆分成360个扇形，由这360个扇形的面积之和近似为单位圆的面积求解. 【详解】因为()cos89cos 901sin1︒=-=，所以将一个单位圆分成360个扇形，则每一个扇形的圆心角为1︒， 所以这360个扇形的面积之和近似为单位圆的面积，即2136011sin112π⨯⨯⨯⨯≈，所以 3.1416sin10.01745180180π≈≈≈， 故选：B12．C解析：C 【分析】根据题中条件，由诱导公式，以及二倍角公式，即可求出结果. 【详解】因为2cos 432θπ⎛⎫=⎪⎝⎭-， 所以241sin cos 2cos 12124299ππθθθ⎛⎫⎛⎫=-=--=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C二、填空题13．【分析】由是最大值点结合正弦函数的最大值可得的表达式再求得的最小值即可【详解】由可知时函数取得最大值故有解得所以最小值为故答案为：解析：43【分析】 由4x π=是最大值点，结合正弦函数的最大值可得ω的表达式，再求得ω的最小值即可．【详解】 由()4f x f π⎛≤⎫⎪⎝⎭可知4x π=时函数取得最大值. 故有2()462k k Z πππωπ+=+∈，解得48()3k k Z ω=+∈，所以最小值为43.故答案为：43．14．【分析】由余弦函数的定义可得解出即可【详解】由余弦函数的定义可得解得（舍去）或（舍去）或故答案为： 解析：1-【分析】由余弦函数的定义可得cos 10x θ==，解出即可. 【详解】由余弦函数的定义可得cos 10x θ==， 解得0x =（舍去），或1x =（舍去），或1x =-，1x ∴=-.故答案为：1-.15．【分析】先将函数化简整理根据相邻对称轴之间距离求出周期确定再根据正弦函数的性质结合给定区间即可求出最值【详解】因为由题意知的最小正周期为所以即所以当时所以因此所以函数的最小值为故答案为：解析：-【分析】先将函数化简整理，根据相邻对称轴之间距离求出周期，确定2ω=，再根据正弦函数的性质，结合给定区间，即可求出最值. 【详解】因为()21cos 22sin cos sin 22xf x x x x x ωωωωω+=-=-πsin 222sin 23x x x ωωω⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭由题意知()f x 的最小正周期为ππ242⨯=，所以2ππ22ω=，即2ω=， 所以()π2sin 43f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ2π4,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以π2sin 423x ⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎣⎦⎝⎭， 因此()π2sin 423f x x ⎛⎫⎡=-- ⎪⎣⎝⎭， 所以函数()f x的最小值为-．故答案为：-16．【分析】可将式子化简为即可求解【详解】故答案为： 解析：4-【分析】可将式子化简为22tan tan 1αα--，即可求解. 【详解】tan 3α=,()22222sin cos sin cos sin 21sin cos 2cos αααααααα-+-∴=+ 222tan tan 123314αα=--=⨯--=-.故答案为：4-.17．【分析】由函数图象关于原点对称可得再由在区间上是增函数可得解不等式即可【详解】由函数的图象关于原点对称得即因为在区间上是减函数所以在区间上是增函数又是函数的单调递增区间所以又解得故答案为：解析：30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦由函数图象关于原点对称可得2ϕπ=，再由2sin y x ω=在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，可得22232ππωππω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解不等式即可.【详解】由函数()()()2cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象关于原点对称，得2ϕπ=， 即()2cos 2sin 2f x x x πωω⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，因为()f x 在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数， 所以2sin y x ω=在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，又,22ππωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是函数2sin y x ω=的单调递增区间， 所以22232ππωππω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，又0>ω，解得304ω<≤.故答案为：30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦18．【分析】由二倍角公式和两角差的正弦公式化简变形后由正弦函数性质得出结论【详解】由得得∴又∴故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查求解三角方程解题方法：（1）利用三角函数的恒等变换公式化方程为的形式然后解析：12π 【分析】 由二倍角公式和两角差的正弦公式化简变形后由正弦函数性质得出结论． 【详解】由21sin cos 2x x x =得1cos 212222x x -+=，得sin 206x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴26x k ππ-=，,212k x k Z ππ=+∈， 又0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴12x π=． 故答案为：12π．方法点睛：本题考查求解三角方程，解题方法：（1）利用三角函数的恒等变换公式化方程为sin()x k ωϕ+=的形式，然后由正弦函数的定义得出结论．（2）用换元法，如设sin x t =，先求得方程()0f t =的解0t ，然后再解方程0sin x t =．19．【分析】利用二倍角公式与辅助角公式化简解析式为根据定义域求出函数值域为利用可得答案【详解】因为则由得且故故答案为：【点睛】高考解答题对三角三角函数的考查主要以三角恒等变形三角函数的图象和性质利用正余 解析：12【分析】利用二倍角公式与辅助角公式化简解析式为2sin 216x m π⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，根据定义域求出函数值域为[,3]m m +，利用17[,3],22m m ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦可得答案.【详解】因为2()2cos cos f x x x x m =++1cos 222sin 216x x m x m π⎛⎫=++=+++ ⎪⎝⎭.0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，2666x ππ7π∴≤+≤，则1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. ()2sin 21[,3]6f x x m m m π⎛⎫∴=+++∈+ ⎪⎝⎭，由17[,3],22m m ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦得，12m =且732m +=，故12m =. 故答案为：12. 【点睛】高考解答题对三角三角函数的考查主要以三角恒等变形，三角函数的图象和性质，利用正余弦定理解三角形为主，在研究三角函数的图象和性质问题时，一般先运用三角恒等变形，将表达式转化为一个角的三角函数的形式，再结合正弦函数与余弦函数的性质求解.20．【分析】本题首先可通过三角恒等变换将转化为然后代入即可得出结果【详解】因为所以故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查给值求值问题能否合理利用同角三角函数关系诱导公式二倍角公式是解决本题的关键考查计算解析：45【分析】本题首先可通过三角恒等变换将cos 22πα⎛⎫- ⎪⎝⎭转化为22tan tan 1αα+，然后代入tan 2α=即可得出结果. 【详解】 因为tan 2α=， 所以2222sin cos 2tan 4cos 2sin 22sin cos tan 15παααααααα⎛⎫-==== ⎪++⎝⎭， 故答案为：45. 【点睛】关键点点睛：本题考查给值求值问题，能否合理利用同角三角函数关系、诱导公式、二倍角公式是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题.三、解答题21．（1）不存在，理由见解析；（2）0a >时，单调增区间是32,244k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，0a <时，单调增区间是372,244k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．【分析】（1）利用函数奇偶性的定义可得答案；（2）由条件结合辅助角公式可得22a -=，化简可得=-b a ，()()sin cos sin 4f x a x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，然后分0a >、0a <两种情况讨论.【详解】（1）当1b =时，()sin cos f x a x x =+若存在实数a 使得函数()f x 为偶函数，则()()f x f x -=恒成立， 即()()sin cos sin cos a x x a x x -+-=+恒成立， 整理得sin 0a x =恒成立，所以0a =，与0ab ≠矛盾， 故不存在；（2）结合三角函数的性质知，三角函数在对称轴处取最值，又由辅助角公式知()f x 的最值为所以3422f a π⎛⎫=-=⎪⎝⎭两边平方，得22221122a b ab a b +-=+，所以2211022a b ab ++=， 即()2102a b +=，所以=-b a ，所以()()sin cos sin 4f x a x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，当0a >时，令22242k x k πππππ-≤-≤+，k Z ∈，解得32244k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈， 所以单调增区间是32,244k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， 当0a <时，令322242k x k πππππ+≤-≤+，k Z ∈，解得372244k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈， 所以单调增区间是372,244k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．22．（1）49-；（2）3. 【分析】（1）用诱导公式化简已知式为1sin cos 3αα+=，已知式平方后可求得sin cos αα； （2）已知式平方后减去4sin cos αα，再考虑到sin cos αα>就可求得sin cos αα-. 【详解】（1）由()()1sin 2cos 3παπα+--=可得1sin cos 3αα+=，所以()2221sin cos sin 2sin cos cos 12sin cos 9αααααααα+=++=+=， 所以4sin cos 9αα=-； （2）()()221417sin cos sin cos 4sin cos 4999αααααα⎛⎫-=+-=-⨯-= ⎪⎝⎭， 又因为,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以sin 0cos αα>>，sin cos 0αα->，所以sin cos 3αα-=. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是熟记诱导公式，以及sin cos αα+，sin cos αα，sin cos αα-之间的联系即()2sin cos 12sin cos αααα+=+，()2sin cos 12sin cos αααα-=-.23．（1）1；（2）π；（3）.【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，从而求得4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值 （2）由（1）得，利用正弦函数的周期性，得出结论； （3）由（1）得，利用正弦函数的单调性，得出结论； 【详解】（1）()22sin cos 2sin 1sin 2cos2f x x x x x x =-+=+π24x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴πππ1424f ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或直接求2ππππ2sin cos 2sin 114444f ⎛⎫=-+=⎪⎝⎭. （2）由（1）得，所以()f x 的最小正周期为2π2ππ2T ω=== （3）由（1）得，∵π02x -≤≤，∴3πππ2444x -≤+≤，∴πsin 21,42x ⎡⎛⎫+∈-⎢⎪⎝⎭⎣⎦当ππ242x +=-，即3π8x =-时，()f x 取得最小值为. 【点睛】关键点睛：解题的关键在于，利用三角恒等变换化简函数的解析式得到()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，进而利用正弦函数的性质求解，属于中档题24．（1）2π；（2）函数()f x 的最大值为2，此时+,162k x k Z ππ=∈；函数()f x的最小值为2-，此时3+,162k x k Z ππ=-∈；（3）3148πα=或4748π．【分析】（1）化简函数解析式为最简形式，利用公式求出周期 （2）根据正弦的性质可求得函数最值和相应的x 的取值； （3）根据限定范围和正弦函数的取值可求得答案． 【详解】（1），因为()()212cos 1sin 2cos 42f x x x x =-+1cos 2sin 2cos 42x x x =+()sin 124cos4x x +=)4x π=+，所以()f x )4x π=+， 所以()f x 的最小正周期为242ππ=，（2）由（1）得()f x )24x π=+，所以当sin(4)14x π+=时，函数()f x 的最大值为2，此时4+2,42x k k Z πππ+=∈，即+,162k x k Z ππ=∈；当sin(4)14x π+=-时，函数()f x 的最小值为2-，此时4+2,42x k k Z πππ+=-∈，即3+,162k x k Z ππ=-∈；所以函数()f x ，此时+,162k x k Z ππ=∈；函数()f x 的最小值为，此时3+,162k x k Z ππ=-∈；（3）因为(,)2παπ∈，所以9174(,)444πππα+∈.因为()4f α=，所以())244f παα=+=，即1sin(4)42πα+=. 所以17446ππα+=或256π，故3148πα=或4748π.25．（1）2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）23+. 【分析】（1）首先利用降幂公式和辅助角公式化简函数()1sin 226f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再求函数的单调递增区间；（2）先求角A ，再根据余弦定理和基本不等式求周长的最大值. 【详解】（1）()2111sin cos (cos22)sin(2)2226f x x x x x x x π==-=-+， ∴()f x 在3222262k x k πππππ+≤+≤+上单调递增， ∴2[,]63x k k ππππ∈++，k Z ∈ （2）()13sin(2)262f A A π=-+=，得32262A k k Z πππ+=+∈，，即23A k ππ=+，0A π<<，则23A π=， 而2a =，由余弦定理知：2222cos 4a b c bc A =+-=，有22()()444b c b c bc ++=+≤+，所以03b c <+≤当且仅当b c =时等号成立， ∵周长2l a b c b c =++=++，∴周长最大值为23+ 【点睛】思路点睛：已知一边及一边所对角求解三角形面积或周长的最大值时，可利用余弦定理构造方程，再利用基本不等式求所需的两边和或乘积的最值，代入三角形周长或面积公式，求得结果. 26．（1）[,],36k k k Z ππππ-++∈；（2）若选择①，2m ≤． 若选择②，1m ≤-．【分析】(1)先结合二倍角公式及辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的单调性可求; (2）若选择①，由()f x m ≥有解，即max ()m f x ≤，结合正弦函数的性质可求; 若选择②，由()f x m ≥恒成立，即min ()m f x ≤，结合正弦函数的性质可求. 【详解】（1）因为()()2cos cos sin f x x x x x =+-22cos s n cos i x x x x =+-2cos2x x =+2sin(2).6x π=+令222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得36k x k k Z ππ-+π≤≤+π,∈. 所以函数()f x 的单调递增区间,,.36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）若选择①，由题意可知，不等式()f x m ≥有解，即max ()m f x ≤，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72666x πππ≤+≤， 故当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值，且最大值为()26f π=，所以2m ≤.若选择②，由()f x m ≥恒成立，即min ()m f x ≤, 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72666x πππ≤+≤, 故当7266x ππ+=，即2x π=时,()f x 取得最小值，且最小值为()12f π=-，所以1m ≤- 【点睛】关键点点睛：考查了二倍角公式辅助角公式在三角函数化简中的应用，还考查了正弦函数性质的综合应用，其中，考查了存在性命题与全称命题的理解，理解含量词命题转化成适当的不等式是解题关键，属于中档试题.。

三角函数应用专项练习题(经典)

三角函数应用专项练习题(经典)

三角函数应用专项练习题(经典)1. 问题描述本文档收集了一些经典的三角函数应用练题，帮助学生强化对三角函数的理解和应用能力。

这些练题包括求解三角函数的值、求解三角函数方程、求解三角函数不等式等。

每个问题都提供了解题思路和详细步骤，供学生参考。

2. 练题2.1 求解三角函数的值2.1.1 题目一已知角A为第一象限角，且sin A = 0.5，求cos A的值。

2.1.2 题目二已知角B为第二象限角，且tan B = -√3，求sin B的值。

2.2 求解三角函数方程2.2.1 题目三解方程sin x = 0.8，在区间[0, 2π]内。

2.2.2 题目四解方程2cos^2 x - 3 = 0，在区间[-π, π]内。

2.3 求解三角函数不等式2.3.1 题目五求解不等式sin x - cos x ≤ 0，在区间[-π/2, π/2]内。

2.3.2 题目六求解不等式tan^2 x - 2tan x + 1 ≥ 0，在区间[-π, π]内。

3. 解答和步骤3.1 求解三角函数的值3.1.1 题目一由sin A = 0.5可知，角A的对边为0.5，斜边假设为1。

根据勾股定理，可以求得角A的邻边为√(1^2 - 0.5^2) = √(1 - 0.25) =√0.75 = √(3/4) = √3/2。

由于角A为第一象限角，邻边为正数。

所以cos A = √3/2。

3.1.2 题目二由tan B = -√3可知，角B的对边为-√3，邻边假设为1。

根据勾股定理，可以求得角B的斜边为√(1^2 + (-√3)^2) = √(1 + 3) = √4 = 2。

由于角B为第二象限角，邻边为负数。

所以sin B = -√3/2。

3.2 求解三角函数方程3.2.1 题目三解方程sin x = 0.8，可以通过求逆函数arcsin来得到解。

使用计算器可以得到arcsin 0.8 ≈ 0.927。

因为arcsin的定义域是[-π/2, π/2]，所以解法中要考虑解在这个区间的情况。

第1讲正弦、余弦、正切、余切 (专题测试)解析版

第1讲正弦、余弦、正切、余切 (专题测试)解析版

第1讲 正弦、余弦、正切、余切 （专题测试）【基础题】 一、单选题1．（2019·上海市第二中学高一期中）“1sin 2x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】首先根据1sin 2x =可得：2()6x k k Z ππ=+∈或52()6x k k Z ππ=+∈，再判断即可得到答案. 【详解】由1sin 2x =可得：2()6x k k Z ππ=+∈或52()6x k k Z ππ=+∈， 即2()6x k k Z ππ=+∈能推出1sin 2x =，但1sin 2x =推不出2()6x k k Z ππ=+∈“1sin 2x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”的必要不充分条件故选：B【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断，同时考查根据三角函数值求角，属于简单题.二、填空题2．（2020·上海市金山中学高一期中）已知tan 2θ=，则3sin 2cos sin 3cos θθθθ-=+____________________________．【答案】45【分析】分子、分母同除以cos θ，将tan 2θ=代入化简即可. 【详解】因为tan 2θ=，所以3sin 2cos 3tan 23224sin 3cos tan 3235θθθθθθ--⨯-===+++,故答案为45.【点睛】本题主要考查同角三角函数之间的关系的应用，属于基础题. 同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.3．（2019·上海华师大二附中高一期中）函数y =______． 【答案】2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈【分析】根据函数y =cos 0x ≥，再结合余弦函数的图象，求得x 的范围．【详解】根据函数y =cos 0x ≥，可得2222k x k ππππ-≤≤+()k ∈Z ，故函数的定义域为2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， 故答案为2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．【点睛】本题主要考查余弦函数的图象的特征，解三角不等式，属于基础题．4．（2020·上海市金山中学高一期中）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，1()22P -为其终边上一点，则sin()2πα+=________【答案】 【分析】由三角函数的定义可求出cos α的值，然后由诱导公式可得sin()cos 2παα+=得到答案.【详解】点1()2P 在角α的终边上，则1r OP ==.由三角函数的定义可得：cos x r α==又sin()cos 22παα+==-故答案为： 【点睛】本题考查三角函数的定义和诱导公式，属于基础题. 5．（2020·上海市杨浦高级中学高一期末）已知扇形的圆心角为23π，扇形的面积为3π，则该扇形的弧长为____________. 【答案】2π【分析】利用扇形的面积求出扇形的半径r ，再带入弧长计算公式即可得出结果． 【详解】解：由于扇形的圆心角为23απ=，扇形的面积为3π， 则扇形的面积221123223S r r παπ==⨯⨯=，解得：3r =，此扇形所含的弧长2323l r παπ==⨯=. 故答案为：2π.6．（2021·上海市行知中学高一期末）如果α是第三象限角，则3α的终边一定不在第_________象限.【答案】二【分析】根据α是第三象限角，求得3α的范围，分别令3k m =，31k m =+，32,()k m m Z 可判断3α终边所在象限，即可得答案.【详解】由题意得：360180360270,()k k k Z α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈， 所以1206012090,()3k k k Z α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈，当3,()k m mZ 时，3606036090,()3m m m Z α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈，则3α的终边在第一象限；当31,()k m m Z 时，360180360210,()3m m m Z α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈，则3α的终边在第三象限； 当32,()k mmZ 时，360300360330,()3m m m Z α⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈，则3α的终边在第四象限，所以3α的终边一定不在第二象限，故答案为：二7．（2020·上海浦东新区·高一期中）计算：15︒=________rad 【答案】12π【分析】根据1180π︒=rad 求解. 【详解】因为1180π︒=rad ， 所以151518012ππ︒=⨯=rad ，故答案为：12π【点睛】本题主要考查弧度制与角度制的互化，还考查了运算求解的能力，属于基础题.三、解答题8．（2016·上海普陀区·曹杨二中高一期末）已知一个扇形的周长为定值a ,求其面积的最大值,并求此时圆心角α的大小.【答案】2α=时,扇形面积最大为2a 16.【分析】设扇形面积为S ,半径为r ,圆心角为α,则扇形弧长为2a r -,,1(2)2S a r r =-,结合二次函数的图像与性质求解最值即可.【详解】设扇形面积为S ,半径为r ,圆心角为α,则扇形弧长为2a r -,所以221(2)2416a a S a r r r ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭. 故当4a r =且2α=时,扇形面积最大为2a 16. 【点睛】本题重点考查了扇形的面积公式、弧长公式、二次函数的最值等知识,属于基础题. 9．（2020·上海市杨浦高级中学高一期末）已知4tan 3α=-，且α是第四象限角，求cot ,cos ,csc ααα的值.【答案】335cot ,cos ,csc 454ααα=-==-. 【分析】根据同角三角函数的基本关系计算可得； 【详解】解：因为4tan 3α=-，且α是第四象限角， 所以41cot tan 3αα==-，因为22sin tan cos sin cos 1ααααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得3cos 54sin 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或3cos 54sin 5αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 因为α是第四象限角，所以3cos 54sin 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以15csc sin 4αα==- 【提升题】 一、单选题1．（2020·浙江高一期末）设a R ∈，[0,2]b π∈.若对任意实数x 都有sin(3)=sin()3x ax b π-+，则满足条件的有序实数对（a,b ）的对数为. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 试题分析：5sin(3)sin(32)sin(3)333x x x ππππ-=-+=+，，又4sin(3)sin[(3)]sin(3)333x x x ππππ-=--=-+，4(,)(3,)3a b π=-， 注意到[0,2)b π∈，只有这两组．故选B ． 【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，利用分类讨论的方法，确定得到,a b 的可能取值.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等. 2．（2020·上海奉贤区·高一期中）若α是第二象限的角，4sin 25α=，则sin α的值为（ ） A ．925B ．2125C ．2425D ．2425-【答案】C【分析】α是第二象限的角，根据sin 2α的值，利用三角函数的基本关系求出cos2α的值，再用二倍角公式即可求出sin α的值.【详解】解：α是第二象限的角，所以22,2k k k Z ππαππ+<<+∈，∴422k k παπππ+<<+,k Z ∈所以2α是第一或第三象限的角，又4sin 025α=>，2α是第一象限的角， 所以3cos25α=，由二倍角公式可得4324sin 2sin cos 2225525ααα==⨯⨯=. 故选：C【点睛】本题主要考查三角函数求值问题，解答本题需用到同角三角函数基本关系，和而二倍角角公式.3．（2020·常熟市中学高一月考）已知sin()cos )2ππθθπθ⎛⎫+++=- ⎪⎝⎭，则2sin cos cos θθθ-=（ ）A ．12B ．12-C D 【答案】C【分析】先根据诱导公式化简已知得: tan θ=进而再根据齐次式求值即可.【详解】解:根据诱导公式化简整理sin()cos )2ππθθπθ⎛⎫+++=- ⎪⎝⎭得:sin θθ=,所以tan θ=所以22222sin cos cos tan 11sin cos cos sin cos tan 14θθθθθθθθθθ---===++ 故选:C【点睛】本题考查诱导公式化简，同角三角函数齐次式求值，考查运算求解能力，是中档题.解题的关键在于2222sin cos cos sin cos cos sin cos θθθθθθθθ--=+，进而求解.二、填空题4．（2020·河北巨鹿中学高一月考）已知1cos 5α=，且02πα-<<，则()()()cos sin 2tan 23sin cos 22αππαπαππαα--+-=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______．【答案】-【分析】用同角间的三角函数关系计算sin α，用诱导公式化简后再计算．然后计算tan α，可得．【详解】∵1cos 5α=，且02πα-<<，∴sin α==，∴()()()cos sin 2tan 2cos sin (tan )sin tan 3cos (sin )cos sin cos 22αππαπααααααππααααα--+---=====---⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：-【点睛】方法点睛：本题考查诱导公式，同角间的三角函数关系．三角函数求值问题，首先要进行化简，应用诱导公式化简，应用同角间的三角函数关系化简，最后才代入求值．应用诱导公式应牢记：奇变偶不变，符号看象限，应用同角间的三角函数关系应注意在应用平方关系求函数值需确定角的范围，以确定正弦余弦值的正负．5．（2020·常熟市中学高一月考）如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是125，则22sin cos θθ-的值是______．【答案】725-【分析】由题可得每个直角三角形的长直角边为cos θ，短直角边为sin θ，可得1cos sin 5θθ-=，由此可求出7cos sin 5θθ+=，即可求出22sin cos θθ-. 【详解】大正方形的面积是1，即大正方形的边长为1，则由题可得每个直角三角形的长直角边为cos θ，短直角边为sin θ， 所以小正方形的边长为cos sin θθ-，小正方形的面积是125，()21cos sin 25θθ∴-=，1cos sin 5θθ∴-=， ()21cos sin 12sin cos 25θθθθ-=-=，则12sin cos 25θθ=，()249cos sin 12sin cos 25θθθθ∴+=+=，则7cos sin 5θθ+=，()()22177sin cos sin cos sin cos 5525θθθθθθ∴-=-+=-⨯=-.故答案为：725-. 【点睛】关键点睛：本题考查同角三角函数的关系，解题的关键是根据图形得出1cos sin 5θθ-=，从而根据三角函数关系求出7cos sin 5θθ+=. 6．（2020·湖北武汉市·武汉二中高一期末）已知tan 2α=，则442cos 2cos sin sin 2cos 1ααααα+-=+________． 【答案】17【分析】先进行弦化切，然后把tan 2α=代入求值.【详解】()()42422242422222222cos 2cos sin sin 2cos 1cos sin 2cos sin 2cos 1cos sin cos sin 2cos sin 2cos 1cos sin 2cos sin 3cos sin 1tan 2tan =3tan αααααααααααααααααααααααααα+-+-+=+-++=+-+=+-++ ∵tan 2α=，∴原式221tan 2tan 1441===3tan 347ααα-+-+++ 故答案为：17【点睛】对于正余弦的齐次式，可以先进行弦化切，然后代入求值.三、解答题7．（2020·江西省宜春中学高一月考）如图，点0P 是锐角α的终边与单位圆的交点，0OP 逆时针旋转3π得11,OP OP 逆时针旋转得21,,n OP OP -⋅⋅⋅，逆时针旋转3π得n OP .（1）若点2020P 的横坐标为45，求点1P 的横坐标； （2）若0P 的坐标为34,55⎛⎫⎪⎝⎭，求()()()c sin ta os n 2sin 3ααπαπαππ+⎛⎫-- ⎪⎝-⎭的值.【答案】（1）45-；（2）53【分析】（1）根据得2020P 的横坐标为45，即：4cos(2020)35πα+⨯=的值，化简得π4cos 35α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即为点1P 的横坐标； （2）根据题意得344cos ,sin ,tan 553ααα===，再根据诱导公式化简求值即可. 【详解】解：（1）根据题意得：2020OP 终边对应的角为20203πα+⨯，因为点2020P 的横坐标为45， 所以4cos 202035πα⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭，即4cos 673cos 335ππαπα⎛⎫⎛⎫++=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以π4cos 35α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 另一方面，1OP 的终边对应的角为π3α+， 所以点1P 的横坐标为π4cos 35α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. （2）因为0P 的坐标为34,55⎛⎫⎪⎝⎭，所以344cos ,sin ,tan 553ααα===，所以()()()()()sin sin tan cos cos tan 152cos sin cos 3sin cos sin cos cos 3παααπαααααππαααααα⎛⎫--⋅ ⎪⋅⎝⎭====+--⋅-⋅ 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，是基础题．本题解题的关键在于根据规律得n OP 的终边对应的角*,3n n N πα+∈，进而根据三角函数定义求解.8．（2020·沭阳县修远中学高一月考）《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的定义，“弧田”(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.（1）当圆心角AOB ∠为23π，矢为2的弧田，求：弧田(如图阴影部分所示)的面积； （2）已知如图该扇形圆心角AOB ∠是α，半径为r ，若该扇形周长是一定值()0c c >当α为多少弧度时，该扇形面积最大？ 【答案】（1）16433π-；（2）2α=. 【分析】（1）令圆弧的半径为R ，由定义知cos 22AOBR R ∠-=求R ，进而由弧田面积OACB AOB S S S =-，即可求其面积；（2）由题意得2r r c α+=，扇形面积22r S α=，利用基本不等式求其最大值，确定最大值时α的值即可.【详解】（1）由题意，如下图示2CD =，令圆弧的半径为R ，23AOB π∠=，∴cos32R OD R π==，即22RCD OC OD R =-=-=，得4R =， ∴弧田面积21132OACB AOBS S SR OD AB π=-=-⋅⋅，而3AB R =， ∴16433S π=-（2）由题意知：弧长AOB 为r α，即该扇形周长2r r c α+=，而扇形面积22r S α=，∴2222242(2)162()8c c c S αααα==≤=+++当且仅当2α=时等号成立. ∴当2α=时，该扇形面积最大.【点睛】关键点点睛：（1）根据“矢”的定义，结合扇形中弦、半径、圆心角的关系求其半径，进而由面积关系求弧田面积即可； （2）由扇形周长、面积公式列出扇形面积S 关于圆心角α的函数，应用基本不等式求最值并确定等号成立的条件.9．（2020·沭阳县修远中学高一月考）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在第一象限且3sin 5α=，若角β是将角α的终边逆时针旋转2π得到. （1）求sin β的值；（2）求tan β和221sin sin cos 2cos ββββ--的值. 【答案】（1）4sin 5β=；（2）22415tan ,3sin sin cos 2cos 2βββββ=-=--. 【分析】（1）由诱导公式求得sin β；（2）由同角关系求得cos β后可得tan β，直接代入sin ,cos ββ的值计算．【详解】（1）因为α是第一象限角，所以4cos 5α==，又2πβα=+， 所以4sin sin()cos 25πβαα=+==； （2）α是第一象限角，则2πβα=+是第二象限角，所以3cos 5β===-， 所以4sin 45tan 3cos 35βββ===--， 2222115sin sin cos 2cos 2443325555ββββ==--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的定义，诱导公式，同角间的三角函数关系．解题关键是掌握三角函数的定义确定三角函数值的正负，从而正确求解．由三角函数的定义得出cosα为正，cosβ为负．然后由商数关系求得tanβ，代入已求值可得分式的值．10．（2020·安徽省定远中学高一月考）若α为第二象限角，4 sin25πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭.（1）求sinα的值.（2）若7sin(5)cos tan()2()tan(19)sin()fπαπαπααπαα⎛⎫---+⎪⎝⎭=----，求()fα的值.【答案】（1）35；（2）35.【分析】（1）由已知利用诱导公式可求cosα的值，根据同角三角函数基本关系式可求sinα的值；（2）利用诱导公式即可化简求值得解．【详解】（1）α为第二象限角，4 sin()cos25παα+==-，3sin5α∴；（2）7sin(5)cos()tan()sin(sin)tan2()sintan(19)sin()tan(sin)fπαπαπααααααπαααα---+-===-----，3()5fα∴=．【点睛】方法点睛：诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限.用诱导公式化简，一般先把角化成,2kk Zπα+∈的形式，然后利用诱导公式的口诀化简（如果前面的角是90度的奇数倍，就是“奇”，是90度的偶数倍，就是“偶”；符号看象限是，把α看作是锐角，判断角2kπα+在第几象限，在这个象限的前面三角函数的符号是“+”还是“-”，就加在前面）。

三角函数专题练习(带答案详解)

三角函数专题练习(带答案详解)

三角函数专题练习(带答案详解)一、单选题1．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若222c a ab b =++，则C =（ ） A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．302．如图，角α的终边与单位圆交于点M ，M 的纵坐标为45，则cos α=（ ）A ．35B ．35C ．45D ．45-3．下列函数为偶函数的是（ ） A ．sin y x =B ．cos y x =C ．tan y x =D ．sin 2y x =4．已知函数()()()2sin 0f x x ωϕω=+>的部分图象如图所示， 则ω的值为（ ）A ．1B C D ．25．函数()sin cos f x x x =的最大值是（ ）A ．14B ．12C D ．16．直线:20l x y e -+=的倾斜角为α，则()sin sin 2ααπ⎛⎫π-+ ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．25-B ．15-C ．15 D ．257．将函数sin2y x π=的图象向右平移2个单位后,得到函数()f x 的图象,则函数()f x 的单调递减区间是( ) A ．[]12,12,k k k Z -++∈ B ．[]14,34,k k k Z ++∈ C ．[]14,14,k k k Z -++∈D ．4414,14,k k k Z ππ⎡⎤-++++∈⎢⎥⎣⎦8．函数2sin()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示．则函数()f x 的单调递增区间为（ ）A ．,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈B ．,33k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈C ．,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈D ．,66k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈9．计算sin133cos197cos47cos73︒︒+︒︒的结果为（ ）A ．12B ．12-C ．2D ．210．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴，终边过点(1,3)P -，则cos2α的值为( ) A ．45-B ．45C ．35D ．3511．已知2sin()4πα+=sin 2α=（ ）A ．12B C ．12-D ．二、多选题12．已知向量()()2sin 3,cos ,cos m x n x x =-=，，函数()231f x m n =⋅++，下列命题，说法正确的选项是（ ） A ．2()6f x f x π⎛⎫-=-⎪⎝⎭B ．6f x π⎛⎫-⎪⎝⎭的图像关于4x π=对称C ．若1202x x π<<<，则12()()f x f x <D ．若123,,,32x x x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则123()()()f x f x f x +>三、解答题13．如图，ABC ∆是等边三角形， D 是BC 边上的动点（含端点），记BAD ∠=α,ADC β∠=.（1）求2cos cos αβ-的最大值； （2）若11,cos 7BD β==，求ABD ∆的面积. 14．如图，在四边形ABCD 中，45,105,2,3ADB BAD AD BC AC ∠=︒∠=︒===（1）求cos ABC ∠的值；（2）若记ABC α∠=，求sin 23πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值. 15．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分別为,,a b c ，若3cos 4A =，2B A =，3b =.（1）求a ；（2）已知点M 在边BC 上，且AM 平分BAC ∠，求ABM ∆的面积.四、填空题16．若函数()cos()(0)4f x wx w π=+>在[]0,π的值域为1⎡-⎢⎣⎦，则w 的取值范围是______17．如果tan 2,α=则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________ 18．若α的终边在射线()20y x x =<上,则sin cos αα-=_____,tan2α=_____．19．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，且3cos cos 5a Bb Ac -=，则()tan A B -的最大值为______．20．如图所示，某住宅小区内有一个正方形草地ABCD ，现欲在其中修建一个正方形花坛EFGH ，若已知花坛面积为正方形草地面积的23，则θ=________参考答案1．B直接利用余弦定理即可得出结果. 【详解】在ABC 中，∵222c a ab b =++，∴2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-，∵()0,A π∈，∴120A =， 故选：B . 【点睛】本题考查了余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 2．B由题意设出M 的坐标，由M 到原点的距离为1求得M 的横坐标，再由任意角的三角函数定义得答案. 【详解】 由已知可设()4,05M x x ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 再由22415x ⎛⎫+ ⎪⎭=⎝，得35x =-，∴3cos 5α=-， 故选：B . 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，是基础的计算题. 3．B根据偶函数的定义逐个选项判断即可. 【详解】对于A ，函数定义域为R ，()sin f x y x ==，()()()sin sin f x x x f x -=-=-=-，即sin y x =为奇函数，故A 错误；对于B ，函数定义域为R ，()cos f x y x ==，()()()cos cos f x x x f x -=-==，即cos y x =为偶函数，故B 正确；对于C ，函数定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，()tan f x y x ==，()()()tan tan f x x x f x -=-=-=-，即tan y x =为奇函数，故C 错误；对于D ，函数定义域为R ，()sin 2f x y x ==，()()()sin 2sin 2f x x x f x -=-=-=-，即sin 2y x =为奇函数，故D 错误； 故选：B . 【点睛】本题主要考查了利用定义判断函数的奇偶性，属于基础题. 4．D由题设可得2145 16T ππ=-，由公式可求得ω. 【详解】 由题设可得5 126441T πππ=-=，所以周期T π=， 则22Tπω==， 故选：D . 【点睛】本题考查由()sin y A ωx φ=+的部分图象确定其解析式，理解三角函数图象的特征是解题的关键，属于中档题. 5．B由二倍角公式可得()1sin 22f x x =，结合正弦函数的值域即可得结果. 【详解】∵()1sin cos sin 22f x x x x ==， ∴函数()sin cos f x x x =的最大值是12， 故选：B . 【点睛】本题主要考查了二倍角公式的应用，正弦型函数的最值问题，属于基础题. 6．D先由倾斜角和斜率的关系得到tan 2α=，再利用诱导公式和同角三角函数基本关系将原式变形为2tan tan 1αα+，代入tan 2α=计算即可. 【详解】解：由已知得tan 2α=，则()2222sin cos tan 22sin sin sin cos 2sin cos tan 1215ααααααααααπ⎛⎫π-+===== ⎪+++⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系及诱导公式，是基础题. 7．C根据三角函数图像变换方法,得到()sin 2f x x π=-,令22,222k x k k Z πππππ-+≤≤+∈即可求单调减区间. 【详解】解:由题意知: ()sin(2)sin22f x x x ππ=-=-令22,222k x k k Z πππππ-+≤≤+∈,解得[]14,14,x k k k Z ∈-++∈故选:C. 【点睛】本题考查了三角函数图像变换,考查了三角函数的增减区间的求法.对于()sin y A ωx φ=+ 型函数在求单调区间时:当0A ω> 时,令22,22k x k k Z πππωϕπ-+≤+≤+∈ 可求增区间, 令322,22k x k k Z πππωϕπ+≤+≤+∈ 可求减区间; 当0A ω< 时,令22,22k x k k Z πππωϕπ-+≤+≤+∈ 可求减区间, 令322,22k x k k Z πππωϕπ+≤+≤+∈ 可求增区间.本题的易错点在于,一是无k Z ∈,二是增减区间未写成集合的形式. 8．C利用图象先求出周期，用周期公式求出ω，利用特殊点求出ϕ，然后根据正弦函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】根据函数2sin()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的部分图象， 可得：332113441264T ππππω=⋅=-=， 解得：2ω=， 由于点,26π⎛⎫⎪⎝⎭在函数图象上，可得：2sin 226πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，可得：2262k ππϕπ⨯+=+，k ∈Z ，解得：26k πϕπ=+，k ∈Z ，由于：0ϕπ<<， 可得：6π=ϕ，即2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222262k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z 解得：36k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ，可得：则函数()f x 的单调递增区间为：,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．故选C ． 【点睛】本题主要考查三角函数的单调性、三角函数的图象与性质，属于中档题.函数sin()y A x ωϕ=+的单调区间的求法：若0,0A ω>>,把x ωϕ+看作是一个整体，由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间，2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间.9．B根据诱导公式，化简三角函数值；再根据正弦的差角公式合并即可得到解． 【详解】sin133cos197cos 47cos73sin 47(cos17)cos 47sin17+=-+()sin 47cos17cos 47sin17=-- sin(4717)=--1sin 302=-=-所以选B 【点睛】本题考查了三角函数诱导公式、正弦差角公式的简单应用，属于基础题． 10．A利用任意角的三角函数的定义，求得cos α的值，再利用二倍角公式即可求得cos2α的值． 【详解】角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴，终边过点()1,3P -.由三角函数的定义有：cos10x OP α===214cos 22cos 121105αα=-=⨯-=- 故选：A ． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角公式的应用，属于基础题． 11．A将问题中的角2α看作未知角，条件中的角4απ+看作已知角，由未知角与已知角的关系2()242ππαα+-=，可以用已知角表示未知角，然后通过利用诱导公式以及二倍角公式即可求解未知角的正弦值. 【详解】因为sin 4πα⎛⎫+=⎪⎝⎭， 又因为2()242ππαα+-=，所以22()42ππαα=+-，则有2sin 2sin 2()42 sin 2()24 cos 2()412sin ()412ππααππαπαπα⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦=-+⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦=故选A. 【点睛】本题考查了三角函数值的求解问题，属于给值求值类型，常常利用角的关系对问题进行等价转化，再运用相关的诱导公式、两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式进行求解，属于基础题. 12．BD首先根据条件可得()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再根据三角函数的性质，通过代入验证，整体运算，逐一判断即可. 【详解】函数()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， A ：当0x =时，166f x f ππ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()2201f x f -=-=+A 错； B ：()2sin 216f x x π⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，当4x π=时，对应的函数值取得最小值为1-，所以B 正确； C ：0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，23x π-2,33ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ，所以函数()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭不单调，故C 错；D ：因为,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以23x π-()2,1,333f x ππ⎡⎤⎤∈∴∈⎢⎥⎦⎣⎦，，又)213>，即2()()min max f x f x >()()()123123,,,32x x x f x f x f x ππ⎡⎤∈+>⎢⎥⎣⎦，恒成立，故D 对；故选：BD.【点睛】本题考查以向量为背景的三角函数性质的问题，熟练掌握性质的求解和判断是关键，是中档题.13．(1)当α＝6π，即D 为BC（1）由题意可得β=α+3π，根据三角函数和差公式及辅助角公式化简即可求出其最大值． （2）根据三角函数差角公式求得sinα，再由正弦定理，求得AB 的长度；进而求得三角形面积．【详解】（1）由△ABC 是等边三角形，得β＝α＋3π， 0≤α≤3π，故2cos α－cos β=2cos α－cos +3πα⎛⎫ ⎪⎝⎭sin +3πα⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故当α＝6π，即D 为BC（2）由cos β＝17 ，得sin β， 故sin α＝sin 3πβ⎛⎫-⎪⎝⎭＝sin βcos 3π－cos βsin 3π由正弦定理sin sin AB BD ADB BAD=∠∠， 故AB ＝sin sin βα BD1＝83 ，故S △ABD ＝12AB·BD·sin B＝1812323⨯⨯⨯= 【点睛】本题考查了三角函数和差公式、辅助角公式、正弦定理的综合应用，三角形面积的求法，属于中档题．14．（1）6-；（2）12.（1）通过正弦定理sin sin AB AD ADB ABD =∠∠求出AB =ABC 中由余弦定理可得cos ABC ∠；（2）由()1可得cos 6α=-，sin 6α=，再利用两角和的正弦公式及倍角公式可求sin 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 【详解】（1）由题意，因为45ADB ∠=，105BAD ∠=，30ABD ∴∠=， 62AD =2BC =，ABD △中，由正弦定理可得，2sin 45sin 30AB =，AB ∴=， 3AC =.ABC 中由余弦定理可得，222cos26AB BC AC ABC AB BC ∠+-===-⋅；（2）由()1可得cos α=，sin α∴=，sin 22sin cos ααα∴==，25cos 22cos 16αα=-=-1sin 2sin 2232212πααα⎛⎫∴-=-= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理的应用，考查倍角公式与和角公式的灵活应用，是中档题.15．(1) 2a =(2) ABM S ∆= （1）先求sin 4A =，sin sin 28B A ==结合正弦定理求解a 即可；（2）先求1cos 8B =，再利用余弦定理得c，进而得1sin 216ABC S bc A ∆==，再利用||||365||||52ACM ABM S CM AC S BM AB ∆∆====求解ABM ∆的面积即可 【详解】（1）由0A π<<，3cos 4A =，得sin A =所以3sin sin 22sin cos 24B A A A ====， 由正弦定理sin sin a b A B=，可得sin 2sin b A a B ==. （2）2231cos cos22cos 12148B A A ⎛⎫==-=⨯-= ⎪⎝⎭， 在ABC ∆中，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22100c c --=， 解得52c =或2c =-（舍去）. 1sin 216ABC S bc A ∆==， 因为||||365||||52ACM ABM S CM AC S BM AB ∆∆====，所以551111ABM ABC S S ∆∆===【点睛】本题考查正余弦定理，二倍角公式，同角三角函数基本公式，三角形面积公式，熟记公式定理，准确计算是关键，是中档题16．3342⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 先根据题意计算出4wx π+的范围，再根据函数的单调性，结合值域，列出不等式，即可求得.【详解】因为[]0,x π∈，且0w >， 故可得1,444wx w πππ⎡⎤⎛⎫+∈+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 因为y cosx =在区间,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，在7,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，且7cos cos 424ππ==，1cos π=-， 故要满足题意，只需1744w πππ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭ 解得33,42w ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 故答案为：3342⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. 【点睛】本题考查由余弦型函数在区间上的值域，求参数范围的问题，属中档题.17．3-因为tan 2α=，所以tan 121tan 341tan 12πααα++⎛⎫+===- ⎪--⎝⎭.18．- 在终边所在的射线上,任取一点,可求出sin α 和cos α 的值,即得到sin cos αα-的值.由半角公式可求1tan2cos sin ααα-=,代入后可求出. 【详解】解:在α的终边在射线()20y x x =<上,任意取一点()1,2--则sin α==,cos α==则sin cos αα-==1tan 2cos sin ααα-==故答案为5-12+-. 【点睛】 本题考查了任意角的三角函数值,考查了三角恒等变换.当题目已知角终边上一点坐标时,可利用sin cos tan y r x r y x ααα⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩,其中r =,将角的三角函数值求出.求半角的三角函数值时,可根据半角公式进行求解,即sin 1cos tan 21cos sin ααααα-==+. 19．34试题分析：由正弦定理得,即,则,当时,.考点：正弦定理及运用．20．12π或512π 设CG x =，FC y =，用x ，y 表示出草地和正方形的面积，根据面积比列出方程得出x y ． 【详解】设()CG x FC y x y ==<,，则FG BC x y ==+．∵花坛面积为正方形草地面积的23， ∴ ()22223x y x y +=+，即2240x y xy +-=．∴2410x x y y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得 2x y = 2x y =+，即tan 2θ=2+ ∴12πθ=或512π． 故答案为：12π或512π． 【点睛】本题考查了解三角形的实际应用，属于基础题．。

安徽安庆市第二中学新高考新题型——数学三角函数与解三角形多选题专项练习及解析

安徽安庆市第二中学新高考新题型——数学三角函数与解三角形多选题专项练习及解析

安徽安庆市第二中学新高考新题型——数学三角函数与解三角形多选题专项练习及解析一、三角函数与解三角形多选题1．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，下列命题正确的是（ ）A ．若::4:5:6a b c =，ABC 的最大内角是最小内角的2倍B ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 一定为直角三角形 C ．若4,5,6a b c ===，则ABCD ．若()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，则ABC 一定是等边三角形 【答案】ABD 【分析】对于A 选项，求得2A C =，由此确定选项正确.对于B 选项，求得2A π=，由此确定选项正确.对于C 选项，利用正弦定理求得ABC 外接圆半径，由此确定选项错误.对于D 选项，证得()()()cos cos cos 1A B B C C A -=-=-=，得到A B C ==，确定选项正确. 【详解】对于A 选项，A 角最小，C 角最大.由余弦定理得253616453cos 0256604A +-===>⨯⨯，16253651cos 0245408C +-===>⨯⨯，2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭，cos2cos A C =.0,022A C ππ<<<<，则02A π<<，所以2A C =，所以A 选项正确.对于B 选项，cos cos a B b A c -=，由正弦定理得sin cos sin cos sin A B B A C -=，()sin cos cos sin sin sin cos cos sin A B A B A B A B A B -=+=+，cos sin 0=A B ，由于0,0A B ππ<<<<，所以2A π=，故B 选项正确.对于C 选项，16253651cos 245408C +-===⨯⨯，0C π<<，sin 8C ==， 设三角形ABC 外接圆半径为R，则2sin 2sin 7c cR R C C=⇒===，故C 选项错误.对于D 选项，0,0,A B A B ππππ<<-<-<-<-<，故()1cos 1A B -<-≤，同理可得()()1cos 1,1cos 1B C C A -<-≤-<-≤， 要使()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，则需()()()cos cos cos 1A B B C C A -=-=-=，所以0,0,0A B B C C A -=-=-=，所以A B C ==，所以D 选项正确. 故选：ABD 【点睛】利用正弦定理可求得三角形外接圆的半径R ，要注意公式是2sin aR A=，而不是sin aR A =.2．函数()sin()f x x ωϕ=+的部分图像如图中实线所示，图中的M 、N 是圆C 与()f x 图像的两个交点，其中M 在y 轴上，C 是()f x 图像与x 轴的交点，则下列说法中正确的是（ ）A ．函数()y f x =的一个周期为56B ．函数()f x 的图像关于点4,03成中心对称C ．函数()f x 在11,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 D ．圆C 的面积为3136π【答案】BD 【分析】根据图象，结合三角函数的对称性、周期性、值域以及圆的中心对称性，可得,,C M N 的坐标，进而可得()f x 的最小正周期、对称中心、单调减区间，及圆的半径，故可判断选项的正误. 【详解】由图知：1(,0)3C ，3)M ，23()3N ， ∴()f x 中111()2362T =--=，即1T =；对称中心为1,0,23k k Z ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭；单调减区间为17,,1212k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；圆的半径221331()()326r =+=，则圆的面积为3136π； 综上，知：AC 错误，而BD 正确. 故选：BD.【点睛】本题考查了三角函数的性质，结合了圆的中心对称性质判断三角函数的周期、对称中心、单调区间及求圆的面积，属于难题.3．ABC 中，2BC =，BC 边上的中线2AD =，则下列说法正确的有（ ） A ．AB AC →→⋅为定值B ．2210AC AB += C ．co 415s A << D ．BAD ∠的最大值为30【答案】ABD 【分析】A 利用向量的加减法及向量的数量积公式运算即可，B 根据余弦定理及角的互补运算即可求值，C 利用余弦定理及基本不等式求出cos A 范围即可，D 根据余弦定理及基本不等式求出cos BAD ∠的最小值即可. 【详解】 对于A ，22413AB AC AD DB AD DB AD DB →→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⋅=+-=-=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，AB AC →→∴⋅为定值，A 正确； 对于B ，cos cos ADC ADB∠=-∠2222222cos 2cos AC AB AD DC AD DC ADC AD DB AD DB ADB ∴+=+-⋅⋅∠++-⋅⋅∠2222AD DB DC =++ 2221110=⨯++=，故B 正确；对于C ，由余弦定理及基本不等式得224242122b c bc cosA bc bc bc+--=≥=-（当且仅当b c =时，等号成立）,由A 选项知cos 3bc A =，22cos cos 1133cos AA A∴≥-=-， 解得3cos 5A ≥，故C 错误； 对于D，2222213cos 44c c BAD c c +-+∠==≥=（当且仅当c =立），因为BAD ABD ∠<∠， 所以(0,)2BAD π∠∈，又cos BAD ∠≥BAD ∠的最大值30，D 选项正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，余弦定理，基本不等式，考查了推理能力，属于难题.4．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（其中，0>ω，||2ϕπ<），08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3()8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，且()f x 在区间,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调，则下列说法正确的是（ ）A ．存在ϕ，使得()f x 是偶函数B ．3(0)4f f π⎛⎫=⎪⎝⎭C ．ω是奇数D ．ω的最大值为3【答案】BCD 【分析】根据3()8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭得到21k ω=+，根据单调区间得到3ω≤，得到1ω=或3ω=，故CD 正确，代入验证知()f x 不可能为偶函数，A 错误，计算得到B 正确，得到答案. 【详解】08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3()8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则3188242k T πππ⎛⎫⎛⎫--==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k ∈N ， 故221T k π=+，21k ω=+，k ∈N ， 08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()s n 08i f x πωϕ⎛⎫=+= ⎪⎭-⎝，故8k πωϕπ+=-，8k ϕπωπ=+，k Z ∈，当,1224x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，,246x k k ωπωπωϕππ⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭，k Z ∈，()f x 在区间,1224ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调，故241282T πππ⎛⎫--=≤ ⎪⎝⎭，故4T π≥，即8ω≤，0243ωππ<≤，故62ωππ≤，故3ω≤，综上所述：1ω=或3ω=，故CD 正确；1ω=或3ω=，故8k ϕππ=+或38k ϕππ=+，k Z ∈，()f x 不可能为偶函数，A 错误；当1ω=时，(0)sin sin 8f k πϕπ⎛⎫==+⎪⎝⎭，33sin sin 4488f k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭； 当3ω=时，3(0)sin sin 8f k πϕπ⎛⎫==+⎪⎝⎭，393sin sin 4488f k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 综上所述：3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，B 正确； 故选：BCD. 【点睛】本题考查了三角函数的性质和参数的计算，难度较大，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.5．（多选题）已知22tan 2tan 10x y --=，则下列式子成立的是（ ） A ．22sin 2sin 1y x =+ B ．22sin 2sin 1y x =-- C ．22sin 2sin 1y x =-D ．22sin 12cos y x =-【答案】CD 【分析】对原式进行切化弦，整理可得：222222sin cos 2sin cos cos cos x y y x y x ⋅-⋅=⋅，结合因式分解代数式变形可得选项. 【详解】∵22tan 2tan 10x y --=，2222sin sin 210cos cos x yx y-⋅-=， 整理得222222sin cos 2sin cos cos cos x y y x y x ⋅-⋅=⋅，∴()()()22222221cos 1sin sin cos cos sin cos x x y x y y x ---⋅=+， 即22222221cos sin sin cos sin cos cos x y y x y x x --+⋅-⋅=， 即222sin 12cos 2sin 1y x x =-=-，∴C 、D 正确. 故选：CD 【点睛】此题考查三角函数的化简变形，根据弦切关系因式分解，结合平方关系变形.6．已知函数()cos f x x x =-，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称B ．()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C ．()f x 在()0,2π上有且仅有1个最小值点D ．()f x 的值域为[]1,2-【分析】利用特殊值法可判断A 选项的正误；化简函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的解析式，利用正弦型函数的单调性可判断B 选项的正误；由()()f x f x π+=可得()f x 的周期为π，再在[]0,π上讨论函数()f x 的单调性、最值，可判断CD 选项的正误.【详解】对于A 选项，因为06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭62f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，故A 错误；对于B 选项，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，27,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以，函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，B 选项正确； 对于C 选项，()()()cos sin cos f x x x x x πππ+=+-+=--()cos x x f x =-=，所以π为函数()f x 的周期.当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()()min01f x f ==-，()max 2f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭ 由B 选项可知，函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()max 2f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭()()min1f x f π==-.所以，函数()f x 在()0,2π上有且只有1个最小值点，C 选项正确；对于D 选项，由C 选项可知，函数()f x 的值域为⎡-⎣，D 选项错误.故选：BC. 【点睛】方法点睛：求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤： 第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式；第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+)第三步：求出所求函数的值域（或最值）.7．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()(::5:)4:6b c c a a b +++=，下列结论正确的是（ ）A ．::7:5:3sinA sinB sinC = B ．0AB AC ⋅>C ．若6c =，则ABC 的面积是D ．若8+=b c ，则ABC 的外接圆半径是3【答案】ACD 【分析】先利用已知条件设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=，进而得到3.5, 2.5, 1.5a k b c k ===，利用正弦定理可判定选项A ；利用向量的数量积公式可判断选项B ；利用余弦定理和三角形的面积公式可判定选项C ；利用余弦定理和正弦定理可判断选项D. 【详解】依题意，设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=， 所以 3.5, 2.5, 1.5a k b c k ===，由正弦定理得：::::7:5:3sinA sinB sinC a b c ==， 故选项A 正确；222222cos 22b c a b c a AB AC bc A bc bc +-+-⋅==⨯=222222.5 1.5 3.515028k k +-==-<，故选项B 不正确；若6c =，则4k =， 所以14,10a b ==，所以222106141cos 21062A +-==-⨯⨯，所以sin A =，故ABC 的面积是：11sin 61022bc A =⨯⨯= 故选项C 正确；若8+=b c ，则2k =，所以7,5,3a b c ===，所以2225371cos 2532A +-==-⨯⨯，所以3sin 2A =， 则利用正弦定理得：ABC 的外接圆半径是：1732sin 3a A ⨯=， 故选项D 正确； 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：本题主要考查正余弦定理以及三角形面积公式. 利用已知条件设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=，再利用正余弦定理以及三角形面积公式求解是解决本题的关键.8．已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．23ϕπ=B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 的图象关于直线12x π=对称D ．()f x 的图象关于点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】BCD 【分析】利用图象，把(3代入求ϕ,利用周期求出2ω=，从而2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，研究对称轴和对称中心. 【详解】由图可知2sin 3ϕ=3sin 2ϕ=，根据图象可知0x =在()f x 的单调递增区间上，又0ϕπ<<，所以3πϕ=，A 项错误；因为()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以结合图像，由五点法得33ωπππ+=，解得2ω=，则()f x 的最小正周期2T ππω==，B 项正确；将12x π=代入2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，得2sin 21263f πππ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于直线12x π=对称，C 项正确﹔将56x π=代入可得552sin 0633f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，D 项正确. 故选：BCD. 【点睛】求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.9．已知函数22()(sin cos )2cos f x x x x =++，则（ ） A ．()f x 的最小正周期是πB ．()f x 的图像可由函数()22g x x =+的图像向左平移8π个单位而得到 C ．4x π=是()f x 的一条对称轴D ．()f x 的一个对称中心是,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】AB 【分析】首先化简函数()224f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根据三角函数形式的公式，以及代入的方法判断选项. 【详解】()1sin 2cos 21224f x x x x π⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭，A.函数的最小正周期22T ππ==，故A 正确；B.根据图象的平移变换规律，可知函数()2sin 22g x x =+的图像向左平移8π个单位而得到()2sin 222sin 2284f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；C.当4x π=时，32444πππ⨯+=，不是函数的对称轴，故C 不正确； D.当8x π=-时，2084ππ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，此时函数值是2，故函数的一个对称中心应是,28π⎛⎫- ⎪⎝⎭，故D 不正确. 故选：AB 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.10．已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，则下列正确的是（ ）A ．2()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．(2021)1f π=C ．函数|()|y f x =为偶函数D ．,066x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫∀∈++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 【答案】AD 【分析】先利用图象得到2A =，T π=，求得2ω=，再结合12x π=-时取得最大值求得ϕ，得到解析式，再利用解析式，结合奇偶性、对称性对选项逐一判断即可. 【详解】由图象可知，2A =，5212122T πππ=+=，即2T ππω==,2ω=， 由12x π=-时，()2sin 2212f x =πϕ⎡⎤⎛⎫=⨯-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，得22,122=k k Z ππϕπ⎛⎫⨯-++∈ ⎪⎝⎭， 即22,3=k k Z πϕπ+∈，而0ϕπ<<，故2=3πϕ，故2()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，A 正确； 22(2021)2sin 22021=2sin 33f ππππ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭B 错误； 由2()2sin 23y f x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭知，222sin 2=2sin 233x x ππ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不是恒成立，故函数|()|y f x =不是偶函数，故C 错误； 由6x π=时，22sin 22sin 0663f =ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故06π⎛⎫ ⎪⎝⎭，是2()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称中心，故,066x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫∀∈++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，故D 正确. 故选：AD.【点睛】方法点睛：三角函数模型()sin()f x A x b ωϕ=++求解析式时，先通过图象看最值求A ，b ，再利用特殊点（对称点、对称轴等）得到周期，求ω，最后利用五点特殊点求初相ϕ即可.。

高中三角函数专题练习题(附答案)

高中三角函数专题练习题(附答案)

高中三角函数专题练习题（附答案）一、填空题1．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．角B 为钝角．设△ABC 的面积为S ，若()2224bS a b c a =+-，则sin A +sin C 的最大值是____________．2．如图，点C 为某沿海城市的高速公路出入口，直线BD 为海岸线，512BAC π∠=，BD AB ⊥，BC 是以A 为圆心，半径为1km 的圆弧型小路．该市拟修建一条从C 通往海岸的观光专线CP PQ -（新建道路PQ ，对道路CP 进行翻新），其中P 为BC 上异于B C ，的一点，PQ 与AB 平行，设012PAB θθ5π⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭，新建道路PQ 的单位成本是翻新道路CP 的单位成本的2倍．要使观光专线CP PQ -的修建总成本最低，则θ的值为____________．3．平面向量i a 满足：1(0,1,2,3)i a i ==，且310i i a ==∑．则012013023a a a a a a a a a ++++++++的取值范围为________．4．设函数()sin f x x π=，()21g x x x =-+，有以下四个结论.①函数()()y f x g x =+是周期函数： ②函数()()y f x g x =-的图像是轴对称图形： ③函数()() y f x g x =⋅的图像关于坐标原点对称： ④函数()()f x yg x =存在最大值 其中，所有正确结论的序号是___________.5．已知函数()sin()(0,)R f x x ωϕωϕ=+>∈在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且满足73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.有下列结论：①203f π⎛⎫=⎪⎝⎭； ②若5112f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期为π；③ω的取值范围为(]0,4；④函数()f x 在区间[)0,2π上最多有6个零点. 其中所有正确结论的编号为________.6．已知函数23tan ,,,2332()2,33x x f x x ππππππ⎧⎛⎤⎛⎫∈-⋃ ⎪⎪⎥⎝⎦⎝⎭⎪=⎨⎛⎤⎪+∈ ⎥⎪⎝⎦⎩若()f x 在区间D 上的最大值存在，记该最大值为{}K D ，则满足等式{[0,)}3{[,2]}K a K a a =⋅的实数a 的取值集合是___________. 7．在平面直角坐标系中，对任意角α，设α的终边上异于原点的任意一点P 的坐标为(,)x y ，它与原点的距离是r .我们规定：比值,,r r xx y y分别叫做角α的正割､余割､余切，分别记作sec α，csc α，cot α，把sec ,csc ,cot y x y x y x ===分别叫做正割函数､余割函数､余切函数，则下列叙述正确的有___________(填上所有正确的序号) ①3cot14π=； ②sin csc 1αα⋅=；③sec y x =的定义域为{}|,Z x x k k π≠∈； ④22sec csc 4αα+；⑤2cot 1cot22cot ααα-=.8．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的三边分别为a ，b ，c ，c ＝2b ，若△ABC 的面积为1，则BC 的最小值是________ ．9．已知向量a 与b 的夹角为θ，sin θ=||4a b -=，向量,c a c b --的夹角为2π，||23c a -=，则a c ⋅的最大值是___________.10．已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且222a c b ac +-=，则sin cos A C 的最大值为______．二、单选题11．在△ABC 中，24CA CB ==，F 为△ABC 的外心，则CF AB ⋅=（ ） A ．-6B ．-8C ．-9D ．-1212．已知点P 是曲线y =α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ） A ．0,6π⎛⎤⎥⎝⎦B ．,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦13．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（ ）A ．⎝B ．32⎛ ⎝C ．⎣D ．32⎡⎢⎣14．已知函数()132,f x x x R =∈，若当02πθ≤≤时，(sin )(1)0f m f m θ+->恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．0,1 B ．,0C ．1,D ．(),1-∞15．在三棱锥A BCD -中，2AB AD BC ===，CD =AC =3BD =，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A ．927πB ．9πC ．1847πD ．18π16．已知双曲线22413y x -=的左右焦点分别为1F ，2F ，点M 是双曲线右支上一点，满足120MF MF →→⋅=，点N 是线段12F F 上一点，满足112F N F F λ→→=.现将12MF F △沿MN 折成直二面角12F MN F --，若使折叠后点1F ，2F 距离最小，则λ=（ ）A ．15B ．25C ．35D ．4517．已知ABC 的三边是连续的三个自然数，且最大角是最小角的2倍，则ABC 内切圆的半径r =（ ）A ．1B C ．32D ．218．已知函数2log ,0,(),0,x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩函数()g x 满足以下三点条件：①定义域为R ；②对任意x ∈R ，有()()2g x g x π+=；③当[0,]x π∈时，()sin g x x =．则函数()()y f x g x =-在区间[4,4]ππ-上零点的个数为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．919．已知函数2()sin f x x x =⋅各项均不相等的数列{}n x 满足||(1,2,3,,)2i x i n π≤=.令*1212()([()()()())]n n F n x x x f x f x f x n N =+++⋅+++∈.给出下列三个命题：（1）存在不少于3项的数列{},n x 使得()0F n =；（2）若数列{}n x 的通项公式为*1()()2n n x n N =-∈，则(2)0F k >对k *∈N 恒成立；（3）若数列{}n x 是等差数列，则()0F n ≥对n *∈N 恒成立，其中真命题的序号是（ ）A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（1）（2）（3）20．设函数()cos 2sin f x x x =+，下述四个结论：①()f x 是偶函数； ②()f x 的最小正周期为π； ③()f x 的最小值为0； ④()f x 在[]0,2π上有3个零点 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②B ．①②③C ．①③④D ．②③④三、解答题21．已知函数()cos f x x =. （1）若,αβ为锐角，5()5f αβ+=-， 4tan 3α=，求cos2α及tan()βα-的值；（2）函数()(2)3g x f x =-，若对任意x 都有2()(2)()2g x a g x a ≤+--恒成立，求实数a 的最大值；（3）已知3()()()=2f f f αβαβ+-+，,(0,)αβπ∈，求α及β的值.22．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知33sin cos 022b A a B ππ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且2sin 6sin sin A B C =⋅. （1）求A ；（2）若()b c a R λλ+=∈，求λ的值.23．如图，甲、乙两个企业的用电负荷量y 关于投产持续时间t （单位：小时）的关系()y f t =均近似地满足函数()sin()(0,0,0)f t A t b A ωϕωϕπ=++>><<.（1）根据图象，求函数()f t 的解析式；（2）为使任意时刻两企业用电负荷量之和不超过9，现采用错峰用电的方式，让企业乙比企业甲推迟(0)m m >小时投产，求m 的最小值.24．已知函数2()232sin cos ()f x x x x a a R =-++∈，且(0)3f = （1）求a 的值；（2）若()f x ω在[0,]π上有且只有一个零点，0>ω，求ω的取值范围. 25．已知函数()cos s (3co )f x x x x =-. （1）求()f x 的最小正周期及对称中心；（2）若将函数()y f x =的图象向左平移m 个单位所得图象关于y 轴对称，求m 的最小正值.26．已知函数()23sin 212cos f x x x +-.（1）求()f x 的对称轴； （2）将()f x 的图象向左平移12π个单位后得到函数()g x 的图象，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的值域.27．已知向量()cos sin ,sin a m x m x x ωωω=-，()cos sin ,2cos b x x n x ωωω=--，设函数()()2n f x a b x R =⋅+∈的图象关于点,112π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且()1,2ω∈ （I ）若1m =，求函数()f x 的最小值；（II ）若()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切实数恒成立，求()y f x =的单调递增区间．28．已知向量33cos ,sin 22a x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（1）求a ·b 及||a b +；（2）若3()||2f x a b a b =⋅-+，求()f x 的最小值29．已知函数()()()21?0f x cos x sin x x ωωωω=>，()12 1()3f x f x ==-，，且12min 2x x π-=.（1）求()f x 的单调递减区间； （2）若()237,,,sin 33235,25f ππβπαβαβ⎛⎫⎛⎫∈-=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求2f α⎛⎫⎪⎝⎭的值.30．已知函数2()2cos cos f x x x x =+. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若()f x 在区间,6m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]0,3，求m 的取值范围.【参考答案】一、填空题1．982．6π3．4⎡⎤⎣⎦4．②④ 5．①②④6．47,912ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭7．②④⑤89．2510．12+二、单选题 11．A 12．A 13．A 14．D 15．A 16．C 17．B 18．A 19．D 20．B 三、解答题21．（1）72cos 2,tan()2511αβα=--=；（2）265-；（3）3παβ== 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数的关系和二倍角的余弦公式可求得cos2α的值，利用二倍角的正切公式、同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式可求解tan()βα-的值；（2）由余弦函数的有界性求得()g x 的值域，再将不等式分离参数，并令()1t g x =-，可得1a t t ≤+对[5,3]t ∈--恒成立.易知函数1y t t=+在[5,3]t ∈--单调递增，求出其最小值，则可得265a ≤-，从而求得a 的最大值； （3）利用和差化积公式（需证明）以及二倍角公式，将该式化简，配凑成22(2coscos)sin 0222αβαβαβ+---+=，再结合,(0,)αβπ∈，即可求出α及β的值.【详解】 解：（1）4tan 3α=，且α为锐角，4sin 5α∴=，3cos 5α=，22tan 24tan 21tan 7ααα==--则227cos 2cos sin 25ααα=-=-，又()cos()f αβαβ+=+=,αβ为锐角，sin()αβ∴+=，tan()2αβ+=-， tan()tan[()2]βααβα∴-=+-242()tan()tan 227241tan()tan 2111(2)()7αβααβα---+-===+++-⨯-； （2）()(2)3cos 23[4,2]g x f x x =-=-∈--，2()(2)()2g x a g x a ≤+--对任意x 恒成立，即2()2()2(()1)g x g x g x a -+≤-对任意x 恒成立， 令()1[5,3]t g x =-∈--，211t a t t t+∴≤=+对[5,3]t ∈--恒成立，又函数1y t t=+在[5,3]t ∈--单调递增，∴当5t =-时，min 126()5t t +=-，265a ∴≤-，则a 的最大值为265-； （3）3()()()2f f f αβαβ+-+=， 即3cos cos cos()2αβαβ+-+= ， cos cos()22αβαβα+-=+coscossinsin2222αβαβαβαβ+-+-=-，cos cos()22αβαββ+-=-coscos+sinsin2222αβαβαβαβ+-+-=，cos cos 2coscos22αβαβαβ+-∴+=，又2cos()2cos12αβαβ++=-，232coscos2cos 12222αβαβαβ+-+∴-+=，则24cos 4coscos10222αβαβαβ++--+=， 22(2coscos)1cos 0222αβαβαβ+---+-=， 即22(2coscos)sin 0222αβαβαβ+---+=，2cos cos 022sin 02αβαβαβ+-⎧-=⎪⎪∴⎨-⎪=⎪⎩，又0απ<<，0βπ<<， 3παβ∴==.【点睛】本题考查了同角三角函数间的关系，两角和与差的三角函数公式，二倍角余弦和正切公式，不等式恒成立问题，考查了运算能力和转化能力，属于综合性较强的题. 22．（1）3A π=；（2）λ=. 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式、正弦定理、同角三角函数基本关系式，结合已知等式，化简tan A =(0,)A π∈，可得A 的值；（2）由已知根据余弦定理可得2223a a bc λ+=，利用正弦定理可得26a bc =，联立即可解得λ的值． 【详解】（13sin cos 022A a B ππ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos sin 0A a B ⇒+=，cos sin sin 0B A A B ⇒+=(0,)sin 0B B π∈∴≠，tan (0,)3A A A ππ∴=∈∴=；（2）22sin 6sin sin 6A B C a ac =⋅⇒=，2222222cos )(3a b c bc B b c b bc bc c +⋅=++=--=-，而()b c a R λλ+=∈， 22()3a a bc λ=-，而26a ac =，所以有2302λλλλ=⇒=>∴=【点睛】本题考查了诱导公式、正弦定理、同角三角函数基本关系式、余弦定理，考查了数学运算能力.23．（1）()sin 462f t t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（2）4【解析】 【分析】（1）由212T πω==，得ω，由53A b b A +=⎧⎨-=⎩，得A ，b ，代入(0,5)，求得ϕ，从而即可得到本题答案；（2）由题，得()()cos ()cos 8966f t m f t t m t ππ⎡⎤⎛⎫++=+++≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭恒成立，等价于cos ()cos 166t m t ππ⎡⎤⎛⎫++≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭恒成立，然后利用和差公式展开，结合辅助角公式，逐步转化，即可得到本题答案. 【详解】（1）解：由图知212T πω==，6πω∴=又53A b b A +=⎧⎨-=⎩，可得41b A =⎧⎨=⎩()sin 46f t t πϕ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭，代入(0,5)，得22k πϕπ=+，又0ϕπ<<，2πϕ∴=所求为()sin 462f t t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）设乙投产持续时间为t 小时，则甲的投产持续时间为()t m +小时，由诱导公式，企业乙用电负荷量随持续时间t 变化的关系式为：()sin 4cos 4626f t t t πππ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭同理，企业甲用电负荷量变化关系式为：()cos ()46f t m t m π⎡⎤+=++⎢⎥⎣⎦两企业用电负荷量之和()()cos ()cos 866f t m f t t m t ππ⎡⎤⎛⎫++=+++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，0t ≥依题意，有()()cos ()cos 8966f t m f t t m t ππ⎡⎤⎛⎫++=+++≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭恒成立即cos ()cos 166t m t ππ⎡⎤⎛⎫++≤⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭恒成立 展开有cos 1cos sin sin 16666m t m t ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦恒成立cos 1cos sin sin cos 66666m t m t A t πππππϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦其中，A =cos 16cos m Aπϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，sin 6sin m A πϕ=1A ∴=≤整理得：1cos 62m π⎛⎫≤- ⎪⎝⎭解得2422363k m k πππππ⎛⎫+≤≤+ ⎪⎝⎭即124128k m +≤≤+ 取0k =得：48m ≤≤ m ∴的最小值为4.【点睛】本题主要考查根据三角函数的图象求出其解析式，以及三角函数的实际应用，主要考查学生的分析问题和解决问题的能力，以及计算能力，难度较大.24．（1）a =（2）15,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）利用降次公式、辅助角公式化简()f x 表达式，利用(0)f =a 的值. （2）令()0f x ω=，结合x 的取值范围以及三角函数的零点列不等式，解不等式求得ω的取值范围. 【详解】（1）2()2sin cos f x x x x a =-++sin 2x x a =+2sin 23x a π⎛⎫=++- ⎪⎝⎭(0)f =(0)2sin3f a π∴=+=即a =（2）令()0f x ω=，则sin 203x πω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，[0,]x π∈，2,2333πππωπω⎡⎤∴+∈+⎢⎥⎣⎦，()f x 在[0,]π上有且只有一个零点，223πππωπ∴+<，1536ω∴<， ω∴的取值范围为15,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数零点问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.25．（1）π，1,()2122k k Z ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭；（2）3π 【解析】【分析】（1）直接利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和对称中心.（2）利用（1）的关系式，利用整体思想的应用对函数的关系式进行平移变换和对称性的应用求出最小值.【详解】（1）因为2()cos cos )cos cos f x x x x x x x =-=-1cos 212sin 2262x x x π+⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭， 所以最小正周期为22T ππ==， 由正弦函数的对称中心知26x k ππ-=，解得212k x ππ=+，k Z ∈， 所以对称中心为1,()2122k k Z ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭； （2）()y f x =的图象向左平移m 个单位所得解析式是1sin 2262y x m π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭， 因为其图象关于y 轴对称， 所以262m k πππ-=+，k Z ∈， 解得23k m ππ=+，k Z ∈， 所以m 的最小正值是3π. 【点睛】 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.26．（1）23k x ππ=+(k Z ∈)（2）[]0,2 【解析】（1）利用三角恒等变换，化简函数解析式为标准型，再求对称轴；（2）先求平移后的函数解析式，再求值域.【详解】（1）()222cos 1f x x x =-+2cos 2x x =-2sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭令：262x k πππ-=+，得23k x ππ=+， 所以()f x 的对称轴为23k x ππ=+(k Z ∈). （2）将()f x 的图象向左平移12π个单位后得到函数()g x ，所以()12g x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2sin 22sin 2126x x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，有220,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 故[]sin 20,1x ∈， ()g x ∴的值域为[]0,2.【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简函数解析式，求解函数性质，同时涉及三角函数图象的平移，以及值域的求解问题.属三角函数综合基础题.27．（Ⅰ）1()22,31234k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 【解析】【分析】化简()f x 解析式可得()()22n f x x ωϕ=-+；根据图象关于,112π⎛⎫ ⎪⎝⎭可求得n ；（Ⅰ）若1m =，则()()21f x x ωϕ=-+，从而可得函数最小值；（Ⅱ）利用4x π=为对称轴，,112π⎛⎫ ⎪⎝⎭为对称中心可得()*642T T k k N π=+⋅∈，根据周期和ω的范围可求得ω；将,112π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入解析式可求得()314f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，将34x π-整体放入正弦函数的单调递增区间中，解出x 的范围即可.【详解】由题意得：()()22cos sin 2sin cos 2n f x m x x n x x ωωωω=--++()sin 2cos 2222n n n x m x x ωωωϕ=-+=-+ 其中cos ϕ=sin ϕ=图象关于点,112π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 12n ∴=，解得：2n =()()21f x x ωϕ∴=-+（Ⅰ）若1m =，则()()21f x x ωϕ=-+()min 1f x ∴=（Ⅱ）()4f x f π⎛⎪≤⎫ ⎝⎭对一切实数恒成立 ()max 4f x f π⎛⎫∴= ⎪⎝⎭ ()*412642T T k k N πππ∴-==+⋅∈，即：()()*223212T k N k ππω==∈+ ()3212k ω∴=+，又()1,2ω∈ 32ω∴= ()2sin3cos31f x x m x ∴=-+，又图象关于点,112π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 2sin cos 111244f m πππ⎛⎫∴=-+= ⎪⎝⎭，解得：2m = ()2sin 32cos31314f x x x x π⎛⎫∴=-+=-+ ⎪⎝⎭ 令232242k x k πππππ-+≤-≤+，k Z ∈，解得：2212343k k x ππππ-+≤≤+，k Z ∈ ()f x ∴的单调递增区间为：()22,31234k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 【点睛】本题考查三角函数图象与性质的综合应用问题，涉及到根据三角函数的性质求解函数解析式的求解、三角函数最值的求解、单调区间的求解问题.28．（1）见解析；（2）178-. 【解析】【分析】（1）运用向量数量积的坐标表示，求出a ·b ；运用平面向量的坐标运算公式求出a b +，然后求出模．（2）根据上（1）求出函数()f x 的解析式，配方，利用二次函数的性质求出最小值．【详解】（1）33cos cos sin sin cos22222x x a b x x x ⋅=⋅-⋅=cos a b ⎛+= ⎝=∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴cos 0x ∴2cos a b x += （2）()cos23cos f x x x =- 223172cos 13cos 2cos 48x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭ ∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴0cos 1x ∴()min 317cos 48x f x ==- 【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标表示，以及平面向量的坐标加法运算公式．重点是二次函数求最小值问题．29．(1) 单调递减区间为7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； (2) 15. 【解析】【分析】（1）根据题意求出函数()f x 的解析式，然后可求出它的单调递减区间．（2）结合条件求出()424sin ,cos 3525πβαβ⎛⎫-=+=- ⎪⎝⎭，然后由()2sin 12sin 1233f αππααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦可得结果． 【详解】（1）()2()1f x cos x sin x x ωωω=221sin xcos x x ωωω=+221)1sin x cos x ωω=--221sin x x ωω=-2(2)13sin x πω=+-． ∵1(2)13sin x πω-≤+≤， ∴32(2)113sin x πω-≤+-≤， ∴()f x 的最大值为1，最小值为3-．又()()121,3f x f x ==-，且12min 2x x π-=， ∴函数()f x 的最小正周期为22ππ⨯=，∴1ω=， ∴()2(2)13f x sin x π=+-． 由3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 得7,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， ∴()f x 的单调递减区间为7[,],1212k k k Z ππππ++∈． （2）由（1）得3212335f sin βππβ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴4sin 35πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．∵2,33ππβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴0,33ππβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，∴3cos 35πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭． ∵()7sin 25αβ+=-且2,,33ππαβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴24,33ππαβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴()24cos 25αβ+==-． ∴()2sin 12sin 1233f αππααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()()2sin cos cos sin 133ππαββαββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+--+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 7324421255255⎡⎤⎛⎫=⨯-⨯--⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦15=． 【点睛】（1）解答有关三角函数性质的有关问题时，首项把函数解析式化为(x)Asin(x )f ωϕ=+的形式，然后再结合正弦函数的相关性质求解，解题时注意系数,A ω对结果的影响． （2）对于三角变换中的“给值求值”问题，在求解过程中注意角的变换，通过角的“拆”、“拼”等手段转化为能应用条件中所给角的形式，然后再利用整体思想求解． 30．(Ⅰ) (),,36ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z (Ⅱ) 62ππ≤≤m 【解析】【分析】 （Ⅰ）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数()f x 化为π2sin 216x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数()f x 的递增区间; (Ⅱ) 要使得()f x 在π,6m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]0,3，即πsin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，可得7 2266m πππ≤+≤，从而可得结果. 【详解】（Ⅰ）()22f x cos x =+πcos212sin 216x x x ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，由()222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得(),36k x k k Z ππππ-≤≤+∈所以，()f x 的单调递增区间是(),,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ （Ⅱ）由（Ⅰ）知()π2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 因为π,6x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以π2,2666x m ππ⎡⎤+∈-+⎢⎥⎣⎦. 要使得()f x 在π,6m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]0,3，即πsin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，. 所以72266m πππ≤+≤，即62m ππ≤≤. 【点睛】本题主要考查二倍角公式、辅助角公式的应用以及三角函数的单调性、三角函数的值域，属于中档题. 函数sin()y A x ωϕ=+的单调区间的求法：若0,0A ω>>,把x ωϕ+看作是一个整体，由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间，2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间.。

黑龙江省绥化市第二中学三角函数与解三角形多选题试题含答案

黑龙江省绥化市第二中学三角函数与解三角形多选题试题含答案

黑龙江省绥化市第二中学三角函数与解三角形多选题试题含答案一、三角函数与解三角形多选题1．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2a =，sin 2sin B C =，有以下四个命题中正确的是（ ）A ．满足条件的ABC 不可能是直角三角形B ．ABC 面积的最大值为43C ．当A =2C 时，ABC 的周长为2+D ．当A =2C 时，若O 为ABC 的内心，则AOB 【答案】BCD 【分析】对于A ，利用勾股定理的逆定理判断；对于B ，利用圆的方程和三角形的面积公式可得答案； 对于C ，利用正弦定理和三角函数恒等变形公式可得答案对于D ，由已知条件可得ABC 为直角三角形，从而可求出三角形的内切圆半径，从而可得AOB 的面积 【详解】对于A ，因为sin 2sin B C =，所以由正弦定理得，2b c =，若b 是直角三角形的斜边，则有222a c b +=，即2244c c +=，得3c =，所以A 错误； 对于B ，以BC 的中点为坐标原点，BC 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则(1,),(1,0)B C -，设(,)A m n ，因为2b c ==， 化简得22516()39m n ++=，所以点A 在以5,03⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心，43为半径的圆上运动， 所以ABC 面积的最大值为1442233⨯⨯=，所以B 正确； 对于C ，由A =2C ，可得3B C π=-，由sin 2sin B C =得2b c =，由正弦定理得，sin sin b cB C=，即2sin(3)sin c c C C π=-，所以sin32sin C C =，化简得2sin cos 22cos sin 2sin C C C C C +=， 因为sin 0C ≠，所以化简得23cos 4C =，因为2b c =，所以B C >，所以cos C =，则1sin 2C =，所以sin 2sin 1B C ==，所以2B π=，6C π=，3A π=，因为2a =，所以c b ==，所以ABC 的周长为2+，所以C 正确； 对于D ，由C 可知，ABC 为直角三角形，且2B π=，6C π=，3A π=，c b ==，所以ABC 的内切圆半径为1212r ⎛=+= ⎝⎭，所以AOB 的面积为111122333cr ⎛=⨯-= ⎝⎭所以D 正确， 故选：BCD 【点睛】此题考查三角形的正弦定理和面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换，考查转化能力和计算能力，属于难题.2．（多选题）已知22tan 2tan 10x y --=，则下列式子成立的是（ ） A ．22sin 2sin 1y x =+ B ．22sin 2sin 1y x =-- C ．22sin 2sin 1y x =-D ．22sin 12cos y x =-【答案】CD 【分析】对原式进行切化弦，整理可得：222222sin cos 2sin cos cos cos x y y x y x ⋅-⋅=⋅，结合因式分解代数式变形可得选项. 【详解】∵22tan 2tan 10x y --=，2222sin sin 210cos cos x yx y-⋅-=， 整理得222222sin cos 2sin cos cos cos x y y x y x ⋅-⋅=⋅，∴()()()22222221cos 1sin sin cos cos sin cos x x y x y y x ---⋅=+， 即22222221cos sin sin cos sin cos cos x y y x y x x --+⋅-⋅=， 即222sin 12cos 2sin 1y x x =-=-，∴C 、D 正确. 故选：CD【点睛】此题考查三角函数的化简变形，根据弦切关系因式分解，结合平方关系变形.3．已知函数()f x 的定义域为D ，若对于任意()()()a b c D f a f b f c ∈，，，，，分别为某个三角形的边长，则称()f x 为“三角形函数”，其中为“三角形函数”的函数是（ ） A ．()4sin f x x =- B ．()22sin 10cos 13f x x x =-++C ．()tan 2x f x = D ．()sin 20,34f x x x ππ⎛⎫⎡⎤=++∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【答案】AD 【分析】结合三角形的性质有:两边之差小于第三边，得若()f x 为 “三角形函数”则()()()max min min f x f x f x <-恒成立，即()()max min 2f x f x <恒成立即可，根据条件求出函数的最大值和最小值，进行判断即可. 【详解】解:①()4sin f x x =-，则()max 415f x =+=，()min 413f x =-= 则()()max min 2f x f x <恒成立,则A 满足条件②()22532cos 10cos 112cos 22f x x x x ⎛⎫=++=+= ⎪⎝⎭当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0cos 1x ≤≤∴当cos 0x =时，函数()f x 取得最小值()min 11f x =,当cos 1x =时，函数()f x 取得最大值，()max 23f x =则()()max min 2f x f x <不恒成立，则B 不满足条件 ③()()()tan ,00,2xf x =∈-∞⋃+∞，则不满足条件()()max min 2f x f x <恒成立，故C 不是④()sin 23f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，52,336x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，则()max sin12f x π=+=+()min 51sin62f x π=+=+则()min 21f x =+，则()()max min 2f x f x <恒成立，故D 满足条件 故选AD 【点睛】本题考查了三角形的性质及“三角形函数”的概念，根据条件转化为()()max min 2f x f x <恒成立是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度.4．已知2π-＜θ2π＜，且sin θ+cos θ＝a ，其中a ∈（0，1），则关于tan θ的值，在以下四个答案中，可能正确的是（ ） A ．﹣3 B ．13C ．13-D ．12-【答案】CD 【分析】先由已知条件判断cos 0θ>，sin 0θ<，得到sin 1tan 0cos θθθ-<=<，对照四个选项得到正确答案. 【详解】∵sin θ+cos θ＝a ，其中a ∈（0，1），∴两边平方得：1+22sin cos =a θθ，∴21sin cos =02a θθ-<，∵22ππθ-<＜，∴可得cos 0θ>，sin 0θ<，∴sin tan 0cos θθθ=<， 又sin θ+cos θ＝a 0>，所以cos θ＞﹣sin θ，所以sin tan 1cos θθθ=>- 所以sin 1tan 0cos θθθ-<=<， 所以tan θ的值可能是13-，12-． 故选：CD 【点睛】关键点点睛：求出tan θ的取值范围是本题解题关键．5．已知函数()()cos 2f x A x b ϕ=++(0A >，0ϕπ<<)的部分图像如图所示，则（ ）A ．2A =B ．点7,112π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图像的一个对称中心 C ．6π=ϕ D ．直线3x π=是()f x 图像的一条对称轴【答案】ABD 【分析】由图知函数最大值为3,最小值为1-,且函数图像与y 轴的交点为()0,2,进而待定系数得()2cos 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,再整体换元讨论B,D 选项即可.【详解】因为0A >，所以31A b A b +=⎧⎨-+=-⎩，解得21A b =⎧⎨=⎩，故A 正确；()02cos 12f ϕ=+=，则1cos 2ϕ=.又0ϕπ<<，所以3πϕ=，故C 错误；()2cos 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令23x k ππ+=，k ∈Z ，解得62πk πx =-+，k ∈Z ， 所以()f x 图像的对称轴方程为62πk πx =-+， 令1k =，则3x π=，D 正确；令232x k πππ+=+，k ∈Z ，解得122k x ππ=+，k ∈Z ， 令1k =，则712x π=且7112f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故B 正确. 故选：ABD【点睛】本题考查三角函数图像求解析式，三角函数的对称轴，对称中心等，考查运算求解能力，是中档题.解题的过程中，需要注意形如()()sin 0y A x B A ωϕ=++>，()()cos 0y A x B A ωϕ=++>，max min ,y A B y A B =+=-+，ϕ的求解通常采用待定系数法求解.6．函数()()()2sin 0,f x x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．1()2sin 36f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B ．若把()f x 的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，得到的函数在[],ππ-上是增函数C ．若把函数()f x 的图像向左平移2π个单位，则所得函数是奇函数 D ．函数()y f x =的图象关于直线4x π=-对称【答案】ACD 【分析】根据函数的图象求出函数的解析式，得选项A 正确； 求出213263x πππ--得到函数在[],ππ-上不是增函数，得选项B 错误；求出图象变换后的解析式得到选项C 正确； 求出函数的对称轴方程，得到选项D 正确. 【详解】 A, 如图所示：1732422T πππ=-=， 6T π∴=，∴2163πωπ==，(2)2f π=，∴2(2)2sin()23f ππϕ=+=，即2sin()13πϕ+=， ∴22()32k k Z ππϕπ+=+∈， ∴2()6k k Z πϕπ=-∈，||ϕπ<，∴6πϕ=-，∴1()2sin()36f x x π=-，故选项A 正确；B, 把()y f x =的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，得到的函数12sin()26y x π=-，[x π∈-，]π，∴213263x πππ--，∴12sin()26y x π=-在[π-，]π上不单调递增，故选项B 错误；C, 把()y f x =的图象向左平移2π个单位，则所得函数12sin[()]2sin 3223xy x ππ=-+=，是奇函数，故选项C 正确； D, 设1,,32,362x k k Z x k πππππ-=+∈∴=+当24k x π=-⇒=-，所以函数()y f x =的图象关于直线4x π=-对称，故选项D 正确.故选：ACD 【点睛】方法点睛：求三角函数的解析式，一般利用待定系数法，一般先设出三角函数的解析式sin()y A wx k ，再求待定系数,,,A w k ，最值确定函数的,A k ,周期确定函数的w ,非平衡位置的点确定函数的φ.7．已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．23ϕπ=B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 的图象关于直线12x π=对称D ．()f x 的图象关于点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】BCD 【分析】利用图象，把(3代入求ϕ,利用周期求出2ω=，从而2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，研究对称轴和对称中心. 【详解】由图可知2sin 3ϕ=3sin 2ϕ=，根据图象可知0x =在()f x 的单调递增区间上，又0ϕπ<<，所以3πϕ=，A 项错误；因为()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以结合图像，由五点法得33ωπππ+=，解得2ω=，则()f x 的最小正周期2T ππω==，B 项正确；将12x π=代入2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得2sin 21263f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于直线12x π=对称，C 项正确﹔将56x π=代入可得552sin 0633f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点5,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，D 项正确. 故选：BCD. 【点睛】求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.8．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()(::5:)4:6b c c a a b +++=，下列结论正确的是（ ）A ．::7:5:3sinA sinB sinC = B ．0AB AC ⋅>C ．若6c =，则ABC 的面积是D ．若8+=b c ，则ABC 【答案】ACD 【分析】先利用已知条件设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=，进而得到3.5, 2.5, 1.5a k b c k ===，利用正弦定理可判定选项A ；利用向量的数量积公式可判断选项B ；利用余弦定理和三角形的面积公式可判定选项C ；利用余弦定理和正弦定理可判断选项D. 【详解】依题意，设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=， 所以 3.5, 2.5, 1.5a k b c k ===，由正弦定理得：::::7:5:3sinA sinB sinC a b c ==， 故选项A 正确；222222cos 22b c a b c a AB AC bc A bc bc +-+-⋅==⨯=222222.5 1.5 3.515028k k +-==-<，故选项B 不正确；若6c =，则4k =， 所以14,10a b ==，所以222106141cos 21062A +-==-⨯⨯，所以sin 2A =，故ABC 的面积是：11sin 61022bc A =⨯⨯= 故选项C 正确；若8+=b c ，则2k =， 所以7,5,3a b c ===，所以2225371cos 2532A +-==-⨯⨯，所以sin A =， 则利用正弦定理得：ABC的外接圆半径是：12sin a A ⨯=， 故选项D 正确； 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：本题主要考查正余弦定理以及三角形面积公式. 利用已知条件设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=，再利用正余弦定理以及三角形面积公式求解是解决本题的关键.二、数列多选题9．已知数列{},{}n n a b 均为递增数列，{}n a 的前n 项和为,{}n n S b 的前n 项和为,n T 且满足*112,2()n n n n n a a n b b n N +++=⋅=∈，则下列结论正确的是（ ）A ．101a << B．11b <<C ．22n n S T <D ．22n n S T ≥【答案】ABC 【分析】利用数列单调性及题干条件，可求出11,a b 范围；求出数列{},{}n n a b 的前2n 项和的表达式，利用数学归纳法即可证明其大小关系，即可得答案. 【详解】因为数列{}n a 为递增数列， 所以123a a a <<，所以11222a a a <+=，即11a <， 又22324a a a <+=，即2122a a =-<， 所以10a >，即101a <<，故A 正确； 因为{}n b 为递增数列， 所以123b b b <<，所以21122b b b <=，即1b <又22234b b b <=，即2122b b =<， 所以11b >，即11b <<，故B 正确；{}n a 的前2n 项和为21234212()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++ = 22(121)2[13(21)]22n n n n +-++⋅⋅⋅+-==， 因为12n n n b b +⋅=，则1122n n n b b +++⋅=，所以22n n b b +=，则{}n b 的2n 项和为13212422()()n n n b b b b b b T -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=1101101122(222)(222)()(21)n n n b b b b --++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+-1)1)n n >-=-，当n =1时，222,S T =>，所以22T S >，故D 错误；当2n ≥时假设当n=k 时，21)2k k ->21)k k ->，则当n=k +11121)21)21)2k k k k k ++-=+-=-> 2221(1)k k k >++=+所以对于任意*n N ∈，都有21)2k k ->，即22n n T S >，故C 正确故选：ABC【点睛】本题考查数列的单调性的应用，数列前n 项和的求法，解题的关键在于，根据数列的单调性，得到项之间的大小关系，再结合题干条件，即可求出范围，比较前2n 项和大小时，需灵活应用等差等比求和公式及性质，结合基本不等式进行分析，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.10．某集团公司有一下属企业A 从事一种高科技产品的生产.A 企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了40%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.集团公司要求A 企业从第一年开始，每年年底上缴资金t 万元（800t <），并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底A 企业上缴资金后的剩余资金为n a 万元.则（ ）A ．22800a t =-B ．175n n a a t +=-C ．1n n a a +>D ．当400t =时，33800a >【答案】BC【分析】先求得第一年年底剩余资金1a ，第二年底剩余资金2a ，即可判断A 的正误；分析总结，可得1n a +与n a 的关系，即可判断B 的正误；根据题意，求得n a 的表达式，利用作差法即可比较1n a +与n a 的大小，即可判断C 的正误，代入400t =，即可求得3a ，即可判断D 的正误，即可得答案.【详解】第一年年底剩余资金12000(140%)2800a t t =⨯+-=-， 第二年底剩余资金211712(140%)392055a a t a t t =⨯+-=-=-，故A 错误； 第三年底剩余资金3227109(140%)5488525t a a t a t =⨯+-=-=-，⋅⋅⋅ 所以第n +1年年底剩余资金为17(140%)5n n n a a t a t +=⨯+-=-，故B 正确； 因为212277777()()55555n n n n a a t a t t a t t ---=-=--=--12217777()[1()()]5555n n a t --=-+++⋅⋅⋅+117[1()]75()(2800)7515n n t t ---=---=11757()(2800)[()1]525n n t t -----=1775()(2800)522n t t --+， 所以111722775277[()(2800)]()(2800)555522552n n n n n n n t t t a a a t a a t t --+-=--=-=-+-=-， 因为800t <，所以7280002t ->， 所以11277()(2800)0552n n n t a a -+-=->，即1n n a a +>，故C 正确； 当400t =时，310910940054885488374438002525t a ⨯=-=-=<，故D 错误； 故选：BC【点睛】解题的关键是根据123,,a a a ，总结出n a ，并利用求和公式，求得n a 的表达式，综合性较强，考查计算化简的能力，属中档题.。

辽宁沈阳市第二中学三角函数与解三角形多选题试题含答案

辽宁沈阳市第二中学三角函数与解三角形多选题试题含答案

辽宁沈阳市第二中学三角函数与解三角形多选题试题含答案一、三角函数与解三角形多选题1．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，下列命题正确的是（ ）A ．若::4:5:6a b c =，ABC 的最大内角是最小内角的2倍B ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 一定为直角三角形 C ．若4,5,6a b c ===，则ABCD ．若()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，则ABC 一定是等边三角形 【答案】ABD 【分析】对于A 选项，求得2A C =，由此确定选项正确.对于B 选项，求得2A π=，由此确定选项正确.对于C 选项，利用正弦定理求得ABC 外接圆半径，由此确定选项错误.对于D 选项，证得()()()cos cos cos 1A B B C C A -=-=-=，得到A B C ==，确定选项正确. 【详解】对于A 选项，A 角最小，C 角最大.由余弦定理得253616453cos 0256604A +-===>⨯⨯，16253651cos 0245408C +-===>⨯⨯，2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭，cos2cos A C =.0,022A C ππ<<<<，则02A π<<，所以2A C =，所以A 选项正确.对于B 选项，cos cos a B b A c -=，由正弦定理得sin cos sin cos sin A B B A C -=，()sin cos cos sin sin sin cos cos sin A B A B A B A B A B -=+=+，cos sin 0=A B ，由于0,0A B ππ<<<<，所以2A π=，故B 选项正确.对于C 选项，16253651cos 245408C +-===⨯⨯，0C π<<，sin C ==， 设三角形ABC 外接圆半径为R，则2sin 2sin c cR R C C=⇒===，故C 选项错误.对于D 选项，0,0,A B A B ππππ<<-<-<-<-<，故()1cos 1A B -<-≤，同理可得()()1cos 1,1cos 1B C C A -<-≤-<-≤， 要使()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=， 则需()()()cos cos cos 1A B B C C A -=-=-=，所以0,0,0A B B C C A -=-=-=，所以A B C ==，所以D 选项正确. 故选：ABD 【点睛】利用正弦定理可求得三角形外接圆的半径R ，要注意公式是2sin aR A=，而不是sin aR A =.2．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且::4:5:6a b c =，则下列结论正确的是（ ）A ．sin :sin :sin 4:5:6ABC = B ．ABC 是钝角三角形C ．ABC 的最大内角是最小内角的2倍D ．若6c =，则ABC【答案】ACD 【分析】由正弦定理可判断A ；由余弦定理可判断B ；由余弦定理和二倍角公式可判断C ；由正弦定理可判断D. 【详解】解：由::4:5:6a b c =，可设4a x =，5b x =，6c x =，()0x >， 根据正弦定理可知sin :sin :sin 4:5:6A B C =，选项A 描述准确；由c 为最大边，可得2222221625361cos 022458a b c x x x C ab x x +-+-===>⋅⋅，即C 为锐角，选项B 描述不准确；2222222536163cos 22564b c a x x x A bc x x +-+-===⋅⋅，291cos 22cos 121cos 168A A C =-=⨯-==， 由2A ，C ()0,π∈，可得2A C =，选项C 描述准确；若6c =，可得2sin 7c R C===，ABC，选项D 描述准确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理，二倍角公式，考查化简运算能力，属于中档题.3．已知2π-＜θ2π＜，且sin θ+cos θ＝a ，其中a ∈（0，1），则关于tan θ的值，在以下四个答案中，可能正确的是（ ） A ．﹣3 B ．13C ．13-D ．12-【答案】CD 【分析】先由已知条件判断cos 0θ>，sin 0θ<，得到sin 1tan 0cos θθθ-<=<，对照四个选项得到正确答案. 【详解】∵sin θ+cos θ＝a ，其中a ∈（0，1），∴两边平方得：1+22sin cos =a θθ，∴21sin cos =02a θθ-<，∵22ππθ-<＜，∴可得cos 0θ>，sin 0θ<，∴sin tan 0cos θθθ=<， 又sin θ+cos θ＝a 0>，所以cos θ＞﹣sin θ，所以sin tan 1cos θθθ=>- 所以sin 1tan 0cos θθθ-<=<， 所以tan θ的值可能是13-，12-．故选：CD 【点睛】关键点点睛：求出tan θ的取值范围是本题解题关键．4．已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x B A ωϕωϕ=++>><<的部分自变量、函数值如下表所示，下列结论正确的是（ ）．A ．函数解析式为()5π3sin 226f x x ⎛⎫ ⎝=⎪⎭++ B ．函数()f x 图象的一条对称轴为2π3x =- C ．5π,012⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心 D ．函数()f x 的图象左平移π12个单位，再向下移2个单位所得的函数为奇函数 【答案】ABD 【分析】首先根据表格，利用最值求A 和B ，再根据周期求ω，以及根据最小值点求ϕ，求得函数的解析式，再分别代入23x π=-和512x π=-，判断BC 选项，最后根据平移规律求平移后的解析式. 【详解】由表格可知，2B =， 函数的最大值是5，所以25A B A +=+=，即3A =， 当3x π=时，函数取得最小值，最小值点和相邻的零点间的距离是71234πππ-=，所以12244ππωω⨯=⇒=， 当3x π=时，322,32k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得：526k πϕπ=+，0ϕπ<<， 56πϕ∴=，所以函数()53sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故A 正确； B.当23x π=-时，252362πππ⎛⎫⨯-+=- ⎪⎝⎭，能使函数取得最小值，所以23x π=-是函数的一条对称轴，故B 正确； C.当512x π=-时，5520126ππ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，此时2y =，所以5,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数的一个对称中心，故C 不正确； D.函数向左平移12π个单位后，再向下平移2个单位后，得()53sin 2223sin 23sin 2126y x x x πππ⎡⎤⎛⎫=+++-=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数是奇函数，故D 正确.故选：ABD 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证次区间是否是函数sin y x =的增或减区间．5．已知函数()1cos cos 632f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则以下说法中正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 C ．51,62π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 D ．()f x 的最大值为12【答案】ABC 【分析】利用三角恒等变换思想化简()11sin 2232f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的周期公式可判断A 选项的正误，利用正弦型函数的单调性可判断B 选项的正误，利用正弦型函数的对称性可判断C 选项的正误，利用正弦型函数的有界性可判断D 选项的正误. 【详解】cos cos sin 3266x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以，()1111cos cos cos sin sin 2632662232f x x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.对于A 选项，函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，A 选项正确； 对于B 选项，当7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，32232x πππ≤+≤， 此时，函数()f x 在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，B 选项正确； 对于C 选项，5151111sin 2sin 262632222f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，51,62π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，C 选项正确； 对于D 选项，()max 111122f x =⨯+=，D 选项错误. 故选：ABC.【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．6．已知函数22()(sin cos )2cos f x x x x =++，则（ ） A ．()f x 的最小正周期是πB ．()f x 的图像可由函数()22g x x =+的图像向左平移8π个单位而得到 C ．4x π=是()f x 的一条对称轴D ．()f x 的一个对称中心是,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】AB 【分析】首先化简函数()224f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根据三角函数形式的公式，以及代入的方法判断选项. 【详解】()1sin 2cos 21224f x x x x π⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭，A.函数的最小正周期22T ππ==，故A 正确；B.根据图象的平移变换规律，可知函数()22g x x =+的图像向左平移8π个单位而得到()222284f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；C.当4x π=时，32444πππ⨯+=，不是函数的对称轴，故C 不正确； D.当8x π=-时，2084ππ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，此时函数值是2，故函数的一个对称中心应是,28π⎛⎫- ⎪⎝⎭，故D 不正确. 故选：AB 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.7．将函数cos 2y x =的图象上所有点向左平移6π个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数()y f x =的图象，则（ ） A ．()f x 的图象的对称轴方程为()62k x k Z ππ=-+∈ B ．()f x 的图象的对称中心坐标为(),0212k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ C ．()f x 的单调递增区间为()2,36k k k Z ππππ⎡⎫-+-+∈⎪⎢⎣⎭D ．()f x 的单调递减区间为()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【答案】AC 【分析】首先根据图象平移求函数()y f x =的解析式，再根据整体代入的方法判断函数的对称性和单调区间. 【详解】cos 2y x =的图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向下平移1个单位长度后得到()cos 213y f x x π⎛⎫==+- ⎪⎝⎭， 对于A ，令23x k ππ+=，解得,62k x k Z ππ=-+∈，函数的对称轴是,62k x k Z ππ=-+∈，故A 正确； 对于B ，令232x k πππ+=+，解得：,122k x k Z ππ=+∈，所以函数的对称中心,1,122k k Z ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭，故B 不正确； 对于C ，令2223k x k ππππ-+≤+≤，解得：236k x k ππ-+π≤≤-+π，所以函数的单调递增区间是2,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦，由于单点不具有单调性，所以()f x 的单调递增区间为()2,36k k k Z ππππ⎡⎫-+-+∈⎪⎢⎣⎭也正确，故C 正确；对于D ，令2223k x k ππππ≤+≤+，解得：63k x k ππππ-+≤≤+，所以函数单调递减区间是,63k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，故D 不正确. 故选：AC 【点睛】方法点睛：本题考查函数的图象变换，以及()sin y A ωx φ=+的性质，属于中档题型，()sin y A x ϕ=+的横坐标伸长（或缩短）到原来的1ω倍，得到函数的解析式是()sin y A ωx φ=+，若sin y A x ω=向右（或左）平移ϕ（0ϕ>）个单位，得到函数的解析式是()sin y A x ωϕ=-⎡⎤⎣⎦或()sin y A x ωϕ=+⎡⎤⎣⎦.8．在ABC 中，下列说法正确的是（ ） A ．若A B >，则sin sin A B > B ．存在ABC 满足cos cos 0A B +≤ C ．若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形 D ．若2C π>，则22sin sin sin C A B >+【答案】ACD 【分析】A 项，根据大角对大边定理和正弦定理可判断；B 项，由A B π+<和余弦函数在()0,π递减可判断；C 项，显然2A π≠，分02A π<<和2A π>两种情况讨论，结合余弦函数的单调性可判断；D 项，根据2A B π+<和正弦函数的单调性得出0sin cos A B <<和0sin cos B A <<，再由放缩法可判断. 【详解】解：对于A 选项，若A B >，则a b >，则2sin 2sin R A R B >，即sin sin A B >，故A 选项正确；对于B 选项，由A B π+<，则A B π<-，且(),0,A B ππ-∈，cos y x =在()0,π上递减，于是cos cos A B >-，即cos cos 0A B +>，故B 选项错误﹔ 对于C 选项，由sin cos A B <，得cos cos 2A B π⎛⎫-<⎪⎝⎭，cos y x =在()0,π上递减，此时：若02A π<<，则2A B π->，则2A B π+<，于是2C π>； 若2A π>，则cos cos 2A B π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则2A B π->， 于是2A B π>+，故C 选项正确；对于D 选项，由2C π>，则2A B π+<，则022A B ππ<<-<，sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭递增，于是sin sin 2A B π⎛⎫<- ⎪⎝⎭， 即0sin cos A B <<，同理0sin cos B A <<， 此时，22sin sin()sin cos cos sin sin sin sin sin sin sin C A B A B A B A A B B A B=+=+>⋅+⋅=+所以D 选项正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：正余弦函数的单调性，正弦定理的边角互化，大边对大角定理以及大角对大边定理，不等式的放缩等等，综合使用以上知识点是解决此类题的关键.二、数列多选题9．设数列{}n a 前n 项和n S ，且21n n S a =-，21log n n b a +=，则（ ） A ．数列{}n a 是等差数列 B ．12n n aC ．22222123213n na a a a -++++= D ．122334111111n n b b b b b b b b +++++< 【答案】BCD 【分析】利用n S 与n a 的关系求出数列{}n a 的通项公式，可判断AB 选项的正误；利用等比数列的求和公式可判断C 选项的正误；利用裂项求和法可判断D 选项的正误. 【详解】对任意的n *∈N ，21n n S a =-.当1n =时，11121a S a ==-，可得11a =； 当2n ≥时，由21n n S a =-可得1121n n S a --=-， 上述两式作差得122n n n a a a -=-，可得12n n a a -=，所以，数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，11122n n n a --∴=⨯=，A 选项错误，B选项正确；()221124n n na --==，所以，22221231441143nn n a a a a --==-++++，C 选项正确； 212log log 2nn n b a n +===，()1111111n n b b n n n n +==-++， 所以，12233411111111111111112233411n n b b b b b b b b n n n +++++=-+-+-++-=-<++， D 选项正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.10．已知等差数列{}n a 中，59a a =，公差0d >，则使得前n 项和n S 取得最小值的正整数n 的值是（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】BC 【分析】分析出数列{}n a 为单调递增数列，且70a =，由此可得出结论. 【详解】在等差数列{}n a 中，59a a =，公差0d >，则数列{}n a 为递增数列，可得59a a <，59a a ∴=-，可得5975202a a a a +==>，570a a ∴<=，所以，数列{}n a 的前6项均为负数，且70a =， 因此，当6n =或7时，n S 最小. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：本题考查等差数列前n 项和最大值的方法如下：（1）利用n S 是关于n 的二次函数，利用二次函数的基本性质可求得结果； （2）解不等式0n a ≥，解出满足此不等式的最大的n 即可找到使得n S 最小.。

【单元练】杭州市第二中学九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数》经典复习题(含答案解析)

【单元练】杭州市第二中学九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数》经典复习题(含答案解析)

一、选择题1．菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）A．5:1B．4:1C．3:1D．2:1A解析：A【分析】先根据菱形的性质求出菱形的边长，再根据菱形的高与边长的关系求出∠A，进而可求出∠ADC，从而可得答案．【详解】解：如图，DE是菱形ABCD的高，DE=1cm，∵菱形ABCD的周长是8cm，∴AD=2cm，在Rt△ADE中，∵DE=12AD，∴∠A=30°，∵AB∥DC，∴∠A+∠ADC=180°，∴∠ADC=150°，∴∠ADC：∠A=150°：30°=5:1．故选：A．【点睛】本题考查了菱形的性质和30°角的直角三角形的性质，属于基本题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．2．如图，将一副三角尺如图所示叠放在一起，则BECE的值是（）A3B．33C．2 D．32B解析：B 【分析】设AC=AB=x ，求得3tan 33AC x CD x D ===，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】 解：设AC=AB=x ， 则3tan 33AC x CD x D ===， ∵∠BAC=∠ACD=90°，∴∠BAC+∠ACD=180°，∴AB ∥CD ，∴△ABE ∽△DCE ， ∴333BE AB x CE CD x===， 故选：B ．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．3．如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ΔABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么cos ∠ACB 值为（ ）A 35B 17C ．35D ．45C 解析：C【分析】如图，过点A 作AH BC ⊥于H ．利用勾股定理求出AC 即可解决问题．【详解】解：如图，过点A 作AH BC ⊥于H ．在Rt ACH ∆中，4AH =，3CH =，2222435AC AH CH ∴=++，3cos 5CH ACH AC ∴∠==， 故选：C ．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 4．在△ABC 中，∠C=90º，AC=3，AB=4，则下列结论正确的是（ ）A ．34sinA =B ．34cos A =C ．34tan A =D ．34cot A =B 解析：B【分析】按照锐角三角函数的定义求各函数值即可．【详解】解：如图，由勾股定理可得BC=2222437AB AC -=-=选项A ，74BC sinA AB ==，故错误； 选项B ，3cos 4AC A AB ==，故正确； 选项C ，7tan 3BCA AC ，故错误； 选项D ，337cot77AC A BC ===，故错误； 故应选：B【点睛】 本题考查了锐角三角函数定义，解答关键是按照相关锐角三角函数定义解题． 5．如图，一块矩形木板ABCD 斜靠在墙边，（ OC ⊥OB ，点A 、B 、C 、D 、O 在同一平面内），已知AB a ，AD b ，∠BCO =α．则点A 到OC 的距离等于（ ）A ．asinα+bsinαB ．acosα+bcosαC ．asinα+bcosαD ．acosα+bsinαD解析：D【分析】 根据题意，做出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出点A 到OC 的距离即可求解．【详解】解：作AE ⊥OC 于点E ，作AF ⊥OB 于点F ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=90°，∵∠ABC=∠AEC ，∠BCO=α，∴∠EAB=α，∴∠FBA=α，∵AB=a ，AD=b ，∴FO=FB+BO=a•cosα+b•sinα，故选：D ．【点睛】本题考查解直角三角形、三角函数的定义、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，正确做出辅助线，利用数形结合的思想解答．6．如图，ABC 中，6AB AC AE AC DE ==⊥，，垂直平分AB 于点D ，则EC 的长为（ ）A ．3B ．3C ．22D ．42解析：B【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AE=BE ，由等腰三角形的性质得到∠B=∠BAE ，根据三角形的外角的性质得到∠AEC=∠B+∠BAE=2∠B ，求得∠C=30°，根据三角函数的定义即可得到结论．【详解】∵DE 垂直平分AB 于点D ，∴AE=BE ，∴∠B=∠BAE ，∴∠AEC=∠B+∠BAE=2∠B ，∵AB=AC ，∴∠AEC=2∠C ，∵AE ⊥AC ，∴∠EAC=90°，∴∠C=30°，∴CE=643cos3032AC ==︒， 故选：B ．【点睛】 本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质以及特殊角的三角函数值．注意掌握数形结合思想的应用．7．如图，在Rt ABC ∆中，BC=4，AC=3，90C ∠=︒，则sinB 的值为（ ）A ．45B ．34C ．35D ．43C 解析：C 【分析】由勾股定理求出AB 的长度，即可求出sinB 的值．【详解】解：在Rt ABC ∆中，BC=4，AC=3，90C ∠=︒，∴22345AB +=，∴35AC sinB AB ==， 故选：C ．【点睛】 本题考查了求角的正弦值，以及勾股定理，解题的关键是正确求出AB 的值．8．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，D 为BC 的中点，点E 在AB 上，AD ，CE 交于点F ，AE ＝EF ＝4，FC ＝9，则cos ∠ACB 的值为（ ）A ．35B ．59C ．512D ．45D 解析：D【分析】如图，延长AD 到M ，使得DM=DF ，连接BM ．利用全等三角形的性质证明BM=CF=9，AB=BM ，利用勾股定理求出BC ，AC 即可解决问题．【详解】解：如图，延长AD 到M ，使得DM=DF ，连接BM ．∵BD=DC ，∠BDM=∠CDF ，DM=DF ，∴△BDM ≌△CDF （SAS ），∴CF=BM=9，∠M=∠CFD ，∵CE ∥BM ，∴∠AFE=∠M ，∵EA=EF ，∴∠EAF=∠EFA ，∴∠BAM=∠M ，∴AB=BM=9，∵AE=4，∴BE=5，∵∠EBC=90°， ∴2222135EC BE -=-，∴2222912AB BC ++，∴cos ∠ACB=124155BC AC == ， 故选：D ．【点睛】此题考查解直角三角形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．9．如图，平行四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，AB =3，BC =7,对角线AC ，BD 相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转，分别交B C ，AD 于点E ，F ,下列说法：①在旋转过程中，AF =CE . ②OB =AC ，③在旋转过程中，四边形ABEF 的面积为212，④当直线AC 绕点O 顺时针旋转30°时，连接BF ,DE 则四边形BEDF 是菱形，其中正确的是（ ）A ．①②④B ．① ②C ．①②③④D ．② ③ ④A 解析：A【分析】 ①通过证明AOF COE ≅△△即可判断；②分别利用勾股定理求出OB,AC 的长度即可得出答案；③先利用ABC 的面积求出AG 的长度，然后利用梯形的面积公式求解即可； ④易证四边形BEDF 是平行四边形，然后通过角度得出90DOF ∠=︒，然后证明DOF DOE ≅，则有DF DE =，则可证明结论．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，,//,AO CO AD BC AD BC ∴== ，AFO CEO ∴∠=∠ ．在AOF 和COE 中，AFO CEO AOF COE AO CO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AOF COE AAS ∴≅,AF CE OF OE ∴==，故①正确；∵AB ⊥AC ，90BAC ∴∠=︒ ．∵AB 3BC 7222AC BC AB ∴=-= ，112AO AC ∴== ， 222OB AO AB ∴=+=，OB AC ∴=，故②正确；过点A 作AG BC ⊥交BC 于点G ，1122ABC S AB AC BC AG =⋅=⋅ ， 3222177AB AC AG BC ⋅⨯∴=== ， 11221()73227ABEF S AF BE AG ∴=+⋅=⨯⨯=四边形 ，故③错误； 连接DE,BF ，,AF CE AD BC ==，DF BE ∴= ．∵//DF BE ，∴四边形BEDF 是平行四边形．3sin 2AB AOB OB ∠== ， 60AOB ∴∠=︒ ．30AOF ∠=︒，180603090DOF ∴∠=︒-︒-︒=︒，90DOE ∴∠=︒．在DOF △和DOE △中，FO OE DOF DOE DO DO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()DOF DOE SAS ∴≅，DF DE ∴=，∴四边形BEDF 是菱形，故④正确；所以正确的有：①②④，故选：A ．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理和锐角三角函数，掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理和锐角三角函数是解题的关键．10．如图，学校环保社成员想测量斜坡CD 旁一棵树AB 的高度，他们先在点C 处测得树顶B 的仰角为60°，然后在坡顶D 测得树顶B 的仰角为30°，已知斜坡CD 的长度为10m ，DE 的长为5m ，则树AB 的高度是（ ）m ．A ．10B ．15C ．3D ．35B解析：B【分析】 先根据CD ＝10m ，DE ＝5m 得出∠DCE ＝30°，故可得出∠DCB ＝90°，再由∠BDF ＝30°可知∠DBE ＝60°，由DF ∥AE 可得出∠BGF ＝∠BCA ＝60°，故∠GBF ＝30°，所以∠DBC ＝30°，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【详解】解：在Rt △CDE 中，∵CD ＝10m ，DE ＝5m ，∴sin ∠DCE ＝51102DE CD ==， ∴∠DCE ＝30°．∵∠ACB ＝60°，DF ∥AE ，∴∠BGF ＝60°∴∠ABC ＝30°，∠DCB ＝90°．∵∠BDF ＝30°，∴∠DBF ＝60°，∴∠DBC ＝30°，∴BC ＝10103tan3033CD ==︒（m ）， ∴AB ＝BC •sin60°＝10332⨯＝15（m ）． 故选：B ．【点睛】 本题考查的是解直角三角形的应用－仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．二、填空题11．如图，点O 为正八边形ABCDEFGH 的中心，连接DA 、DB ，则=ADB ∠______度；若4OA =，则该正八边形的面积为______．225【分析】连接OAOB 由正八边形的性质求出得到过A作于K 可证得是等腰直角三角形利用正弦的定义求出AK 由三角形面积公式即可得出答案【详解】解：连接OAOB ∵ABCDEFGH 是正八边形∴∴过A 作于K 解析：22.5 322【分析】连接OA 、OB ，由正八边形的性质求出45AOB ∠=︒，得到22.5ADB ∠=︒，过A 作AK OB ⊥于K ，可证得AKO ∆是等腰直角三角形，利用正弦的定义求出AK ，由三角形面积公式即可得出答案．【详解】解：连接OA 、OB ，∵ABCDEFGH 是正八边形，∴360845AOB ∠=︒÷=︒，∴122.52ADB AOB ∠=∠=︒， 过A 作AK OB ⊥于K ，∴90AKO ∠=︒，∵45AOB ∠=︒，，∴AKO ∆是等腰直角三角形，∵4OA =，∴422AK ===∴11422OAB S OB AK ∆=⋅=⨯⨯=∴正八边形ABCDEFGH 88OAB S ∆==⨯=故答案为：22.5，．【点睛】本题考查的是正多边形的有关计算以及锐角三角函数，掌握正多边形的中心角的计算方法、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象过点P （1，1），与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且tan ∠ABO ＝2，那么点A 的坐标是_____．（﹣10）或（30）【分析】依题意得即可得一次函数解析式为所以由tan ∠ABO ＝2得到且可解得或进而求得结论【详解】解：∵一次函数的图象经过点∴即∴一次函数解析式为∴一次函数与x 轴y 轴的交点坐标为（解析：（﹣1，0）或（3，0）【分析】依题意得1k b =+，即1b k =-，可得一次函数解析式为1y kx k =+-，所以1k OA k -=，1OB k =-，由tan ∠ABO ＝2得到121k k k -=-且1k ≠可解得12k =或12k =-，进而求得结论． 【详解】解：∵一次函数y kx b =+的图象经过点()1,1P ，∴1k b =+，即1b k =-，∴一次函数解析式为1y kx k =+-，∴一次函数1y kx k =+-与x 轴、y 轴的交点坐标为（1k k -，0）、（0，1k -）， ∴1k OA k-=，1OB k =-， ∵tan 2OA ABO OB∠==,∴121kkk-=-且1k≠，解得，12k=或12k=-，当12k=时，OA=1，此时点A在x轴负半轴上，所以点A坐标为（﹣1，0），当12k=-时，OA=3，此时点A在x轴正半轴上，所以点A坐标为（3，0），∴A点的坐标是1,0或3,0故答案为：（﹣1，0）或（3，0）．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是求出函数图象与x轴、y轴的交点坐标．解决本题时要注意点A的坐标有两种情况，不要漏解．13．某人顺着山坡沿一条直线型的坡道滑雪，当他滑过130米长的路程时，他所在位置的竖直高度下降了50米，则该坡道的坡比是_________．【分析】首先根据勾股定理求得滑行的水平距离然后根据坡比的定义即可求解【详解】解：滑行的水平距离是：=120（米）故坡道的坡比是：50：120=故答案是：【点睛】本题考查了勾股定理以及坡比的定义正确求解析：5 12【分析】首先根据勾股定理求得滑行的水平距离，然后根据坡比的定义即可求解．【详解】2213050-（米），故坡道的坡比是：50：120=512．故答案是：5 12．【点睛】本题考查了勾股定理，以及坡比的定义，正确求得滑行的水平距离是关键．14．如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A ，B 两点的俯角分别为45和30.若飞机离地面的高度CH 为1200米，且点H ，A ，B 在同一水平直线上，则这条江的宽度AB 为______米(结果保留根号)．【解析】【分析】在和中利用锐角三角函数用CH表示出AHBH 的长然后计算出AB 的长【详解】由于在中米在米米故答案为【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题题目难度不大解决本题的关键是用含C 解析：()120031- 【解析】 【分析】在Rt ACH 和Rt HCB 中，利用锐角三角函数，用CH 表示出AH 、BH 的长，然后计算出AB 的长．【详解】由于CD//HB ， CAH ACD 45∠∠∴==，B BCD 30∠∠==，在Rt ACH 中，CAH 45∠∴=，AH CH 1200∴==米，在Rt HCB ，CH tan B HB∠=， CH 12001200HB 12003(tan B tan3033∠∴====米)， ()AB HB HA 120031200120031∴=-=-=-米， 故答案为()120031-. 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角、俯角问题，题目难度不大，解决本题的关键是用含CH 的式子表示出AH 和BH ．15．在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8．将矩形纸片折叠，使点C 与点A 重合，则折痕的长是______．【分析】先利用勾股定理得出AC 根据翻折变换的性质可得AC ⊥EFOC=AC 然后利用∠ACB 的正切列式求出OF 再求出△AOE 和△COF 全等根据全等三角形对应边相等可得OE=OF 从而求出折痕的长【详解】解解析：152【分析】先利用勾股定理得出AC ，根据翻折变换的性质可得AC ⊥EF ，OC=12AC ，然后利用∠ACB 的正切列式求出OF ，再求出△AOE 和△COF 全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=OF ，从而求出折痕的长．【详解】解：如图∵AB=6，BC=8，∴AC==10，∵折叠后点C 与点A 重合，∴AC ⊥EF ，OC=12AC=12×10=5， ∵tan ∠ACB=OF CO ＝AB CB ， ∴OF 5＝68， 解得OF=154， ∵矩形对边AD ∥BC ，∴∠OAE=∠OCF ，在△AOE 和△COF 中 OAE OCF OA OCAOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AOE ≌△COF （ASA ），∴OE=OF=154， ∴EF=152故答案为152【点睛】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．16．如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD ，DC ∥AB ,BC 长为6米，坡角β为45°，AD 的坡角α为30°，则AD 的长为 ________ 米 （结果保留根号）【分析】过C 作CE ⊥AB 于EDF ⊥AB 于F 分别在Rt △CEB 与Rt △DFA 中使用三角函数即可求解【详解】解：过C 作CE ⊥AB 于EDF ⊥AB 于F 可得矩形CEFD 和Rt △CEB 与Rt △DFA ∵BC=6∴ 解析：62 【分析】 过C 作CE ⊥AB 于E ，DF ⊥AB 于F ，分别在Rt △CEB 与Rt △DFA 中使用三角函数即可求解.【详解】解：过C 作CE ⊥AB 于E ，DF ⊥AB 于F ，可得矩形CEFD 和Rt △CEB 与Rt △DFA ， ∵BC=6，∴CE=2sin 456322BC ︒=⨯=， ∴DF=CE=32，∴62sin 30DF AD ==︒， 故答案为：62．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义．17．图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC ，BD （点A 与点B 重合），点O 是夹子转轴位置，O E ⊥AC 于点E ，OF ⊥BD 于点F ，OE=OF=1cm ，AC =BD =6cm ， CE =DF ， CE :AE =2:3.按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O 转动．(1)当E ，F 两点的距离最大值时，以点A ，B ，C ，D 为顶点的四边形的周长是_____ cm ．(2)当夹子的开口最大（点C 与点D 重合）时，A ，B 两点的距离为_____cm ．16【分析】（1）当EOF 三点共线时EF 两点间的距离最大此时四边形ABCD 是矩形可得AB=CD=EF=2cm 根据矩形的性质求出周长即可（2）当夹子的开口最大（点C 与D 重合）时连接OC 并延长交AB 于点解析：16 6013 【分析】（1）当E 、O 、F 三点共线时，E 、F 两点间的距离最大，此时四边形ABCD 是矩形，可得AB=CD=EF=2cm ，根据矩形的性质求出周长即可． （2）当夹子的开口最大（点C 与D 重合）时，连接OC 并延长交AB 于点H ，可得CH AB ⊥，AH=BH ，利用已知先求出125CE cm =，在Rt △OEF 中利用勾股定理求出CO 的长，由sin OE AH ECO CO AAC∠==，求出AH ，从而求出AB=2AH 的长． 【详解】 （1）当E 、O 、F 三点共线时，E 、F 两点间的距离最大，此时四边形ABCD 是矩形， ∴AB=CD=EF=2cm ，∴以点A ，B ，C ，D 为顶点的四边形的周长为2+6+2+6=16cm ．（2）当夹子的开口最大（点C 与D 重合）时，连接OC 并延长交AB 于点H ，∴CH AB ⊥，AH=BH ，∵AC=BD=6cm ，CE ∶AE=2∶3，∴125CE cm =， 在Rt △OEF 中，22135CO OE CE =+=，∵sin OE AH ECO CO AAC ∠==，3013AH =， ∴AB=2AH=6013． 故答案为16，6013． 【点睛】本题主要考查了勾股定理与旋转的结合，做题时准确理解题意利用已知的直角三角形进行求解是解题的关键．18．如图，已知直线l ：y ＝33x ，过点A （0，1）作y 轴的垂线交直线l 于点B ，过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点A 1；过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1，过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点A 2；…；按此作法继续下去，则点A 4的坐标为_____．（0256）【分析】利用锐角三角函数分别计算得到的坐标利用规律直接得到答案【详解】解：∵l ：y ＝x ∴l 与x 轴的夹角为30°∵AB ∥x 轴∴∠ABO ＝30°∵OA ＝1∴AB ＝∵A1B ⊥l ∴∠ABA1＝6解析：（0，256）【分析】利用锐角三角函数分别计算得到12,A A 的坐标，利用规律直接得到答案．【详解】解：∵l ：y 3 ∴l 与x 轴的夹角为30°∵AB ∥x 轴∴∠ABO ＝30°∵OA ＝1∴AB 3∵A 1B ⊥l∴∠ABA 1＝60°∴AA 1＝3∴A 1（0，4）同理可得A 2（0，16）…∴A 4纵坐标为44＝256∴A 4（0，256）故答案为：（0，256）．【点睛】本题考查的是一次函数综合题，先根据所给一次函数判断出一次函数与x 轴夹角是解决本题的突破点；根据含30°的直角三角形的特点依次得到123,,A A A …的点的坐标是解决本题的关键．19．已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为4，那么此直角三角形斜边上的的高是________．【分析】由直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出30°角对应的直角边再由勾股定理可知求出另一直角边进而求出斜边上的高【详解】解：如下图所示BC=4∠B=30°∠C=60°由直角三角形中 解析：3【分析】由直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出30°角对应的直角边，再由勾股定理可知求出另一直角边，进而求出斜边上的高.【详解】 解：如下图所示，BC=4，∠B=30°，∠C=60°由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半知：AC=12BC=2 由勾股定理知：2222=422 3.-=-=AB BC AC在Rt △ABH 中，AH=123. 3【点睛】本题考查了直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等相关知识，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键.20．如图，在ABC ∆中，3AB AC cm ==，120A ∠=︒，AB 的垂直平分线分别交,AB BC 于,D E ，则EC 的长为_________．【分析】根据等腰三角形的性质可求出两底角的度数连接AE 可得出AE=BE 推出解直角三角形即可得出答案【详解】解：∵∴连接AE ∵ED 垂直平分AB ∴AE=BE ∵∴∴故答案为：【点睛】本题考查的知识点是等腰 解析：23 【分析】 根据等腰三角形的性质可求出两底角的度数，连接AE ，可得出AE=BE ，30EAD =∠°，推出90EAC ∠=︒，解直角三角形即可得出答案．【详解】解：∵3AB AC cm ==，120A ∠=︒，∴1(180120)302B C ，连接AE ，∵ED 垂直平分AB ，∴AE=BE ，30EAD =∠°，∵120A ∠=︒，∴90EAC ∠=︒， ∴323cos3032AC CE ===︒ 故答案为：23．【点睛】本题考查的知识点是等腰三角形的性质、解直角三角形、垂直平分线的性质，综合性较强，但难度不大．三、解答题21．如图，在ABC 中，AD BC ⊥，BE AC ⊥，垂足分别为D ，E ，AD 与BE 相交于点F ．（1）求证：ACD △∽BFD △；（2）当tan 1ABD ∠=，3AC =时，求BF 的长．解析：（1）见解析；（2）3【分析】（1）由90C DBF ∠+∠=︒，90C DAC ∠+∠=︒，推出DBF DAC ∠=∠，由此即可证明；（2）先证明AD BD =，由ACD △∽BFD △，得1AC AD BF BD==，即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵AD BC ⊥，BE AC ⊥，∴90BDF ADC BEC ∠=∠=∠=︒，∴90C DBF ∠+∠=︒，90C DAC ∠+∠=︒，∴DBF DAC ∠=∠，∴ACD △∽BFD △． （2）∵tan 1ABD ∠=，90ADB ∠=︒，∴1AD BD=， ∴AD BD =，∵ACD △∽BFD △，∴1AC AD BF BD ==，∴3BF AC ==．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，属于中考常考题型．22．计算：2cos30°+tan60°﹣16+（π﹣3.14）0解析：233-【分析】原式利用特殊角的三角函数值，以及零指数幂法则计算即可得到结果．【详解】原式=323412⨯+-+ 333=+-233=-【点睛】此题考查了含特殊角的三角函数值的实数的运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解本题的关键．23．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD ，小李在山坡的坡脚A 处测得广告牌底部D 的仰角为60︒，沿坡面AB 向上走到B 处测得广告牌顶部C 的仰角为45︒，已知山坡AB 的坡度1:3i =，6AB =米，广告牌CD 的高度为3米．()1求点B 距水平面AE 的高度BH ；()2求楼房DE 的高度.(测角器的高度忽略不计，结果保留根号)解析：（1）3米；（2993+）米． 【分析】 （1）在Rt △ABH 中，通过解直角三角形求出BH ；（2）过B 作BG ⊥DE 于G ，设AE=x 米，用x 表示出BG 、CG 、CE ，然后表示出DE 的长，在△ADE 根据三角函数列出方程，解方程后即可求出楼房DE 的高度．【详解】解：（1）Rt △ABH 中，i=tan ∠BAH= 1333=， ∴∠BAH=30°，∴BH= 12AB=3米； （2）如图，过B 作BG ⊥DE 于G ，设AE=x 米，∵BH ⊥HE ，GE ⊥HE ，BG ⊥DE ，∴四边形BHEG 是矩形．∵由（1）得：BH=3，AH= 33 ∴BG=AH+AE=（33）米，EG= BH=3， Rt △BGC 中，∠CBG=45°， ∴CG=BG=33，∴CE=CG+EG=3+33，∴DE=CE-CD=3+3333， Rt △ADE 中，∠DAE=60°，∴tan 603DE AE==， ∴333x x =，∴9332x +=， ∴DE =339332+= 9932+. 答：楼房DE 993+）米． 【点睛】 此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．24．已知：如图所示，ABC 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别()0,3A ，()3,4B ，()2,2C ，(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度)． ()1画出ABC 关于x 轴对称的111A B C △，点1C 的坐标是____；tan _____.BAC ∠=()2以点B 为位似中心，在网格内画出222A B C△，使222A B C △与ABC 位似，且位似比为2:1，点2C 的坐标是_____； ()2223A B C 的周长为_______ ．解析：（1）画图见解析；1C 的坐标是（2，-2）；tan BAC ∠=1；（2）画图见解析；2C 的坐标是（1，0）；（3）510【分析】（1）将△ABC 关于x 轴对称得到△A 1B 1C 1，如图所示，找出所求点坐标；证明ABC 是等腰直角三角形即可求出tan BAC ∠的值；（2）以点B 为位似中心，在网格内画出△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且位似比为2：1，如图所示，找出所求点坐标即可．（3）先求出△ABC 的周长，再根据222A B C 与ABC 的位似比为2:1，即可求出222A B C 的周长．【详解】解：（1）111A B C 如图所示，点C 1的坐标是（2，-2）；∵222125AC =+=，222125BC =+=，2221310AB =+=，∴222AC BC AB +=，AC BC =，∴ABC 是等腰直角三角形，∴45BAC ∠=，∴tan BAC ∠= tan 45=1；故答案是：（2，-2）；1；（2）△A 2B 2C 2如图所示，2C 的坐标是（1，0）；故答案是：（1，0）；（3）∵△ABC 的周长55102510222A B C 与ABC 的位似比为2:1，∴222A B C 的周长为2(2510)=4510 故答案为：510【点睛】此题考查了作图-位似变换与对称变换及三角函数值的求法，熟练掌握位似变换与对称变换的性质是解本题的关键．25．有一只拉杆式旅行箱（图1），其侧面示意图如图2所示，已知箱体长50cm AB =，拉杆BC 的伸长距离最大时可达35cm ，点A 、B 、C 在同一条直线上，在箱体底端装有圆形的滚筒A ，A 与水平地面切于点D ，在拉杆伸长至最大的情况下，当点B 距离水平地面38cm 时，点C 到水平面的距离CE 为59cm ，设AF ∥MN ．（1）求A 的半径长；（2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，某人将手自然下垂在C 端拉旅行箱时，CE 为80cm ，64CAF ∠=︒，求此时拉杆BC 的伸长距离．（精确到1cm ，参考数据：sin 640.90︒≈，cos640.39︒≈，tan64 2.1︒≈）解析：（1）圆形滚轮的半径AD 的长是8cm ；（2）拉杆BC 的伸长距离为30cm ．【分析】（1）作BH ⊥AF 于点K ，交MN 于点H ，则△ABK ∽△ACG ，设圆形滚轮的半径AD 的长是xcm ，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列方程求得x 的值；（2）求得CG 的长，然后在直角△ACG 中，求得AC 即可解决问题；【详解】（1）作BH AF ⊥于点K ，交MN 于点H .则BK CG ，ABK ACG ∆∆∽.设圆形滚轮的半径AD 的长是cm x . 则BK AB CG AC =，即3850595035x x -=-+， 解得：8x =.则圆形滚轮的半径AD 的长是8cm ；（2）在Rt ACG ∆中，80872(cm)CG =-=.则sin CG CAF AC ∠=∴AC=72=sin 0.9CG CAF ∠=80(cm)∴805030(cm)BC AC AB =-=-=.【点睛】本题考查解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．26．（1）sin 6045260cos30tan tan ︒-︒+︒︒． （2）tan 45cos6030sin 60tan ︒-︒⨯︒︒． 解析：（1）2）13． 【分析】（1）首先求出特殊角的三角函数值，然后根据实数加减混合运算法则计算即可；（2）首先求出特殊角的三角函数值，然后化简，然后根据实数加减混合运算法则计算即可．【详解】（1）sin 6045260cos30tan tan ︒-︒+︒︒=1-+（2）tan 45cos6030sin 60tan ︒-︒⨯︒︒=11-=3 =13． 【点睛】本题考查了特殊锐角三角函数值的混合运算，关键是记忆30 º、45 º和60º的三角函数值．27．已知等边三角形ABC ．（1）用尺规作图找出ABC∆外心O．（2）设等边三角形的边长为4，求外接圆的半径．解析：（1）见解析；（2）43 3【分析】（1）作AB，BC的垂直平分线交于点O，则点O即为所求；（2）根据正三角形的每个内角为60°和三角形外接圆的相关知识解答.【详解】（1）如图所示，点O即为所求ABC∆外心.（2）如图，O是等边△ABC的外接圆，连接OA、OB、OC，延长AO交BC于D，∵OB=OC，∴点O在BC的垂直平分线上，又∵ABC是等边三角形，4AB BC AC===，∴点A在BC的垂直平分线上，∴AO是BC的垂直平分线，∴OD⊥BC，BD=BC=2，∴190602ODB BOD BOC∠=︒∠=∠=︒，，∴43 sin603BDOB===︒【点睛】本题考查正多边形外接圆的问题，解答此题要明确两点：（1）正多边形的中心和外接圆圆心重合；（2）正三角形每个内角每条边都相等.28．已知：直线3y kx k =+，交x 轴于B ，交y 轴于A ，且3OA OB =．（1）如图1，求直线AB 的解析式；（2）如图2，点D 在AO 上且AD t =连接BD ，过BD 作DE BD ⊥于D ，过A 作AE y ⊥轴于A ，E 点的横坐标为m ，求m 与t 的函数关系式；（3）如图3，在（2）的条件下，点P 在BD 的延长线上，P 的横坐标为t ，点F 在EA 的延长线上，点N 在AD 上，连接FN ，连接PF 并延长交直线AB 于点M ，若E BPM ∠=，2ANF ADE ∠=∠，2AN DN =，求点M 的坐标．解析：（1）y=3x+9；（2）m=2133t t -；（3）M(1，10)． 【分析】（1）先设OB b =，表示出A 、B 的坐标，代入求解即可；（2）根据lBD lDE k k ⋅= -1，得出93t -·t m=-1，变形求解即可； （3）首先得出直线BD 的解析式，再得出直线NF 为：y=222mt m t -，设F(n ，9)，得出直线FD ，再根据直线AB 求解即可．【详解】解：（1）设OB b =，∴B(-b,0)，∵OA=3OB ，∴A(0,3b)，∵A 、B 在直线y=kx+k 上，代入得3033bk k k b -+=⎧⎨=-⎩， 解得：33k b =⎧⎨=⎩ ，∴y=3x+9； （2）由（1）知A(0，9)，B(-3，0)，∵AE ⊥y 轴，∴E(m ，9)，∵AD=t ，∴D(0，9-t)，∵BD ⊥DE ，∴lBD lDE k k ⋅= -1，而lBD k =93t -，lDE k =t m， ∴93t -·t m=-1， ∴-t²+9t+3m=0， ∴m=2133t t -；（3）由（2）和（1）知：直线BD 为：y=993t x t -+- ， ∵P 在直线BD 上且横坐标为t ， ∴P(t ，26273t t -++)， ∵AN=2DN ，∴N(0，9-t)，∵∠ANF=2∠ADE 且lDE k =t m，则直线NF 为：y=222mt m t - ， 设F(n ，9)，则22223t mt n m t =-，解得n=223m t m-， ∴F(223m t m-，9)， 由F 、P 得FP l ：y=222222()933m t m t x m t mt m---+--①， 由（1）得：AB l :y=3x+9②，∵∠E=∠BPM ，∴tan ∠E=tan ∠BPM③，由M 为AB 和PF 的交点，联立①②③得：M(1，10)．【点睛】本题考查了一次函数的性质、待定系数法等知识，解题的关键是学会利用参数、构建方程解决问题．。

河北省石家庄市第二中学三角函数与解三角形多选题试题含答案

河北省石家庄市第二中学三角函数与解三角形多选题试题含答案

河北省石家庄市第二中学三角函数与解三角形多选题试题含答案一、三角函数与解三角形多选题1．ABC 中，2BC =，BC 边上的中线2AD =，则下列说法正确的有（ ）A ．AB AC →→⋅为定值B ．2210AC AB += C ．co 415s A << D ．BAD ∠的最大值为30【答案】ABD 【分析】A 利用向量的加减法及向量的数量积公式运算即可，B 根据余弦定理及角的互补运算即可求值，C 利用余弦定理及基本不等式求出cos A 范围即可，D 根据余弦定理及基本不等式求出cos BAD ∠的最小值即可. 【详解】 对于A ，22413AB AC AD DB AD DB AD DB →→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⋅=+-=-=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，AB AC →→∴⋅为定值，A 正确； 对于B ，cos cos ADC ADB∠=-∠2222222cos 2cos AC AB AD DC AD DC ADC AD DB AD DB ADB ∴+=+-⋅⋅∠++-⋅⋅∠2222AD DB DC =++ 2221110=⨯++=，故B 正确；对于C ，由余弦定理及基本不等式得224242122b c bc cosA bc bc bc+--=≥=-（当且仅当b c =时，等号成立）,由A 选项知cos 3bc A =，22cos cos 1133cos AA A∴≥-=-， 解得3cos 5A ≥，故C 错误； 对于D，2222213cos 44c c BAD c c +-+∠==≥=（当且仅当c =立），因为BAD ABD ∠<∠， 所以(0,)2BAD π∠∈，又cos BAD ∠≥BAD ∠的最大值30，D 选项正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，余弦定理，基本不等式，考查了推理能力，属于难题.2．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．函数()y f x =的周期为πB ．函数()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减 C ．函数()y f x =的图象关于直线512x π=-对称 D ．该图象向右平移6π个单位可得2sin 2y x =的图象 【答案】ACD 【分析】先根据图像求出()y f x =的解析式，再分别验证A 、B 、C 、D 是否正确. 对于A ：利用周期公式求周期；对于B ：利用复合函数“同增异减”求单调区间； 对于C ：计算512f π⎛-⎫⎪⎝⎭，看512x π=-是否经过顶点； 对于D ：利用“左加右减”判断. 【详解】由图像可知：A =2，周期24,2312T T ππππω⎛⎫=-=∴==⎪⎝⎭； 由=2sin 2212122f ππϕπϕ⎧⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪<⎪⎩解得：3πϕ=故函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对于A ：4312T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故A 正确； 对于B ：当236x ππ-≤≤- 时203x ππ-≤+≤，所以()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上不单调.故B 错误；对于C ：当512x π=-时255s 2121232in f πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎭⎝-⎪⎭+⎝⨯，即直线512x π=-是()y f x =的一条对称轴.故C 正确；对于D ：()y f x =向右平移6π个单位得到2sin 222sin 263y x x ππ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：ACD 【点睛】求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.3．设M 、N 是函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象与直线2y =的交点，若M 、N 两点距离的最小值为6，1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭是该函数图象上的一个点，则下列说法正确的是（ ）A ．该函数图象的一个对称中心是()7,0B ．该函数图象的对称轴方程是132x k =-+，Z k ∈ C ．()f x 在71,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．()2cos 36x f x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 【答案】ABD 【分析】根据函数()f x 的基本性质求出函数()f x 的解析式，可判断D 选项的正误，利用余弦型函数的对称性可判断AB 选项的正误，利用余弦型函数的单调性可判断C 选项的正误. 【详解】因为M 、N 是函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象与直线2y =的交点，若M 、N 两点距离的最小值为6，则函数()f x 的最小正周期为6T =，23T ππω∴==， 所以，()2sin 3x f x πϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 将点P 的坐标代入函数()f x 的解析式，可得12sin 226f πϕ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 16πϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.0ϕπ<<，5666πππϕ∴-<-<，则62ππϕ-=，23πϕ∴=，()22sin 2sin 2cos 3336236f x x x x πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，D 选项正确；对于A 选项，()7572cos 2cos 0362f πππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，A 选项正确；对于B 选项，由()36x k k Z πππ+=∈，解得()132x k k Z =-+∈， 所以，函数()f x 的图象的对称轴方程是132x k =-+，k Z ∈，B 选项正确；对于C 选项，当71,23x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，3618x ππππ-≤+≤，所以，函数()f x 在区间71,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上不单调，C 选项错误. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =或cos y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．4．已知4παπ≤≤，32ππβ≤≤，4sin 25α=，cos()αβ+= ）A ．cos α=B ．sin cos αα-=C ．34πβα-=D ．cos cos αβ=【答案】BC 【分析】先根据4sin 25α=，判断角α的范围，再根据cos2α求cos α； 根据平方关系，判断sin cos αα-的值；利用公式cos()cos[()2]βααβα-=+-求值，并根据角的范围判断角βα-的值；利用公式()cos βα+和()cos βα-，联合求cos cos αβ.【详解】 ①因为4παπ≤≤，所以222παπ≤≤，又4sin 205α=>，故有22παπ≤≤，42ππα≤≤，解出2231cos 22cos 1cos cos 55αααα=-=-⇒=⇒=，故A 错误； ②()21sin cos 1sin 25ααα-=-=， 由①知：42ππα≤≤，所以sin cos αα>，所以sin cos αα-=，故B 正确； ③由①知：42ππα≤≤，而32ππβ≤≤，所以524παβπ≤+≤，又cos()0αβ+=<，所以5342ππαβ≤+≤，解得sin()10αβ+=-，所以34cos()cos[()2]55βααβα⎛⎛⎫-=+-=-+⨯= ⎪ ⎝⎭⎝⎭ 又因为5342ππαβ≤+≤，22ππα-≤-≤-， 所以4πβαπ≤-≤，有34πβα-=，故C 正确；④由cos()cos cos sin sin 1010αβαβαβ+=-⇒-=-，由③知，cos()cos cos sin sin 2βααβαβ-=+=-，两式联立得：cos cos αβ=D 错误． 故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题的关键是三角函数恒等变形的灵活应用，尤其是确定角的范围，根据三角函数值4sin 25α=，确定22παπ≤≤，且cos()010αβ+=-<，进一步确定5342ππαβ≤+≤，这些都是确定函数值的正负，以及角的大小的依据.5．已知函数()26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f xC ．函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．函数()f x 的图象关于直线712x π=对称 【答案】BD 【分析】首先要熟悉()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象和性质，将()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，可以得到函数()f x 的图象，并判断选项. 【详解】由题意，将()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，可以得到函数()f x 的图象，故函数()f x 的最小正周期为2π，故A 错误；函数()f x B 正确；函数()f x 的图象是由()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，所以不是中心对称图形，故C 错误；由7012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭知D 正确， 故选：BD .【点睛】思路点睛：要判断函数()f x 的性质，需先了解函数()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的性质，并且知道函数()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，可以得到函数()f x 的图象，函数的周期变为原来的一半，()g x 的对称轴和对称中心都是函数()f x 的对称轴.6．在ABC 中，下列说法正确的是（ ） A ．若A B >，则sin sin A B > B ．存在ABC 满足cos cos 0A B +≤ C ．若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形 D ．若2C π>，则22sin sin sin C A B >+【答案】ACD 【分析】A 项，根据大角对大边定理和正弦定理可判断；B 项，由A B π+<和余弦函数在()0,π递减可判断；C 项，显然2A π≠，分02A π<<和2A π>两种情况讨论，结合余弦函数的单调性可判断；D 项，根据2A B π+<和正弦函数的单调性得出0sin cos A B <<和0sin cos B A <<，再由放缩法可判断. 【详解】解：对于A 选项，若A B >，则a b >，则2sin 2sin R A R B >，即sin sin A B >，故A 选项正确；对于B 选项，由A B π+<，则A B π<-，且(),0,A B ππ-∈，cos y x =在()0,π上递减，于是cos cos A B >-，即cos cos 0A B +>，故B 选项错误﹔对于C 选项，由sin cos A B <，得cos cos 2A B π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，cos y x =在()0,π上递减， 此时：若02A π<<，则2A B π->，则2A B π+<，于是2C π>； 若2A π>，则cos cos 2A B π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则2A B π->， 于是2A B π>+，故C 选项正确；对于D 选项，由2C π>，则2A B π+<，则022A B ππ<<-<，sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，于是sin sin 2A B π⎛⎫<- ⎪⎝⎭， 即0sin cos A B <<，同理0sin cos B A <<， 此时，22sin sin()sin cos cos sin sin sin sin sin sin sin C A B A B A B A A B B A B=+=+>⋅+⋅=+所以D 选项正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：正余弦函数的单调性，正弦定理的边角互化，大边对大角定理以及大角对大边定理，不等式的放缩等等，综合使用以上知识点是解决此类题的关键.7．函数()sin()f x x ωϕ=+的部分图像如图中实线所示，图中的M 、N 是圆C 与()f x 图像的两个交点，其中M 在y 轴上，C 是()f x 图像与x 轴的交点，则下列说法中正确的是（ ）A ．函数()y f x =的一个周期为56B ．函数()f x 的图像关于点4,03成中心对称C ．函数()f x 在11,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 D ．圆C 的面积为3136π【答案】BD 【分析】根据图象，结合三角函数的对称性、周期性、值域以及圆的中心对称性，可得,,C M N 的坐标，进而可得()f x 的最小正周期、对称中心、单调减区间，及圆的半径，故可判断选项的正误. 【详解】由图知：1(,0)3C ，3)M ，23()3N ， ∴()f x 中111()2362T =--=，即1T =；对称中心为1,0,23k k Z ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭；单调减区间为17,,1212k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；圆的半径r ==，则圆的面积为3136π； 综上，知：AC 错误，而BD 正确. 故选：BD. 【点睛】本题考查了三角函数的性质，结合了圆的中心对称性质判断三角函数的周期、对称中心、单调区间及求圆的面积，属于难题.8．已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 的初相为6π- B ．若函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则(0,2]ω∈ C ．若函数()f x 关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ω可以为12D ．将函数()f x 的图象向左平移一个单位得到的新函数是偶函数，则ω可以为2023 【答案】AB 【分析】根据选项条件一一判断即可得结果. 【详解】A 选项：函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的初相为6π-，正确； B 选项：若函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则2266k ππωππ-+≤-，2362k πωπππ-≤+，k Z ∈，所以21226k k ω-+≤≤+，k Z ∈，又因为0ω<，则02ω<≤，正确；C 选项：若函数()f x 关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则,26k k Z πωππ-=∈，所以12,3k k Z ω=+∈故ω不可以为12，错误； D 选项：将函数()f x 的图象向左平移一个单位得到()12sin 6f x x πωω⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭是偶函数，则,62k k Z ππωπ-=+∈，所以2,3k k Z πωπ=+∈故ω不是整数，则ω不可以为2023，错误； 故选：AB 【点睛】掌握三角函数图象与性质是解题的关键.二、数列多选题9．已知数列{},{}n n a b 均为递增数列，{}n a 的前n 项和为,{}n n S b 的前n 项和为,n T 且满足*112,2()n n n n n a a n b b n N +++=⋅=∈，则下列结论正确的是（ ）A ．101a << B．11b <<C ．22n n S T <D ．22n n S T ≥【答案】ABC 【分析】利用数列单调性及题干条件，可求出11,a b 范围；求出数列{},{}n n a b 的前2n 项和的表达式，利用数学归纳法即可证明其大小关系，即可得答案. 【详解】因为数列{}n a 为递增数列， 所以123a a a <<，所以11222a a a <+=，即11a <， 又22324a a a <+=，即2122a a =-<， 所以10a >，即101a <<，故A 正确； 因为{}n b 为递增数列， 所以123b b b <<，所以21122b b b <=，即1b <又22234b b b <=，即2122b b =<， 所以11b >，即11b <<，故B 正确；{}n a 的前2n 项和为21234212()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++= 22(121)2[13(21)]22n n n n +-++⋅⋅⋅+-==，因为12n n n b b +⋅=，则1122n n n b b +++⋅=，所以22n n b b +=，则{}n b 的2n 项和为13212422()()n n n b b b b b b T -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=1101101122(222)(222)()(21)n n nb b b b --++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+-1)1)n n>-=-，当n =1时，222,S T =>，所以22T S >，故D 错误；当2n ≥时假设当n=k时，21)2k k ->21)k k ->，则当n=k +11121)21)21)2k k k k k ++-=+-=-> 2221(1)k k k >++=+所以对于任意*n N ∈，都有21)2k k ->，即22n n T S >，故C 正确故选：ABC【点睛】本题考查数列的单调性的应用，数列前n 项和的求法，解题的关键在于，根据数列的单调性，得到项之间的大小关系，再结合题干条件，即可求出范围，比较前2n 项和大小时，需灵活应用等差等比求和公式及性质，结合基本不等式进行分析，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.10．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121n n S S n +=+-，则下列结论正确的是（ ）A ．数列{}n a 为等比数列B ．数列{}n S n +为等比数列C ．数列{}n a 中10511a =D ．数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---【答案】BCD【分析】 由已知可得11222n n n n S n S n S n S n++++==++，结合等比数列的定义可判断B ；可得2n n S n =-，结合n a 和n S 的关系可求出{}n a 的通项公式，即可判断A ；由{}n a 的通项公式，可判断C ；由分组求和法结合等比数列和等差数列的前n 项和公式即可判断D.【详解】因为121n n S S n +=+-，所以11222n n n n S n S n S n S n++++==++． 又112S +=，所以数列{}n S n +是首项为2，公比为2的等比数列，故B 正确；所以2n n S n +=，则2n n S n =-．当2n ≥时，1121n n n n a S S --=-=-，但11121a -≠-，故A 错误；由当2n ≥时，121n n a -=-可得91021511a =-=，故C 正确；因为1222n n S n +=-，所以2311222...2221222...22n n S S S n ++++=-⨯+-⨯++- ()()()23122412122...2212...224122n n n n n n n n n ++--⎡⎤=+++-+++=-+=---⎢⎥-⎣⎦所以数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---，故D 正确．故选：BCD ．【点睛】关键点点睛：在数列中，根据所给递推关系，得到等差等比数列是重难点，本题由121n n S S n +=+-可有目的性的构造为1122n n S S n n +++=+，进而得到11222n n n n S n S n S n S n++++==++，说明数列{}n S n +是等比数列，这是解决本题的关键所在，考查了推理运算能力，属于中档题,。

石家庄二中九年级数学下册第三单元《锐角三角函数》测试题(有答案解析)

石家庄二中九年级数学下册第三单元《锐角三角函数》测试题(有答案解析)

一、选择题1．已知：如图，四边形AOBC 是矩形，以O 为坐标原点，OB 、OA 分别在x 轴、y 轴上，点A 的坐标为（0，3），∠OAB ＝60°，以AB 为轴对折后，C 点落在D 点处，则D 点的坐标为（ ）A ．33(3,)22-B ．33(3,)22--C ．33(,3)22D ．(3,33)- 2．若菱形的边长为2cm ，其中一内角为60°，则它的面积为（ ） A ．232cm B ．23cm C ．22cm D ．223cm3．如图，为方便行人推车过天桥，市政府在10m 高的天桥两端分别修建了50m 长的斜道．用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是（ ）A ．sin0.2=B ．2ndF sin0.2=C ．tan0.2=D ．2ndF tan0.2=4．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 的对角线AC 在x 轴上，点A 的坐标是()1,0，把正方形ABCD 绕原点O 旋转180︒，则点B 的对应点B '的坐标是（ ）A ．(-1,-1)B ．()2,1C ．()2,1-D ．()2,1--5．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 是BC 的中点，DE BC ⊥，//CE AD ，若2AC =，30ADC ∠=︒，①四边形ACED 是平行四边形；②BCE ∆是等腰三角形；③四边形ACEB 的周长是10213+；则以上结论正确的是（ ）A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③6．如图，ABC ∆的三个项点均在格点上，则tan A 的值为（ ）A ．12B ．55C ．2D ．2557．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB 的边长为4，点A 在第二象限内，将OAB 沿射线AO 平移，平移后点A '的横坐标为43，则点B ′的坐标为（ ）A ．(63,2)-B ．(63,23)-C ．()6,2-D ．(63,2)-8．在Rt △ABC 中，若∠ACB ＝90°，tanA ＝12，则sinB ＝（ ） A ．12 B ．3 C ．5 D ．25 9．如图，Rt △ABC 中，AB =4，BC =2，正方形ADEF 的边长为2，F 、A 、B 在同一直线上，正方形ADEF 向右平移到点F 与B 重合，点F 的平移距离为x ，平移过程中两图重叠部分的面积为y ，则y 与x 的关系的函数图象表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，平行四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，AB =3，BC =7,对角线AC ，BD 相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转，分别交B C ，AD 于点E ，F ,下列说法：①在旋转过程中，AF =CE . ②OB =AC ，③在旋转过程中，四边形ABEF 的面积为212，④当直线AC 绕点O 顺时针旋转30°时，连接BF ,DE 则四边形BEDF 是菱形，其中正确的是（ ）A ．①②④B ．① ②C ．①②③④D ．② ③ ④ 11．如图，等边ABC 边长为a ，点O 是ABC 的内心，120FOG ∠=︒，绕点O 旋转FOG ∠，分别交线段AB 、BC 于D 、E 两点，连接DE ，给出下列四个结论：①ODE 形状不变；②ODE 的面积最小不会小于四边形ODBE 的面积的四分之一；③四边形ODBE 的面积始终不变；④BDE 周长的最小值为1.5a ．上述结论中正确的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．112．河堤横断面如图所示，迎水坡10AB =米，迎水坡AB 的坡比为1:3(坡比是坡面的铅直高度BC 与水平度AC 之比)，则AC 的长是（ ）A ．53B ．2米C ．15米D ．10米第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案二、填空题13．小芳同学在学习了图形的镶嵌和拼接以后，设计了一幅瓷砖贴纸（图1），它是由图2这种基本图形拼接而成。

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选择题部分《》（2010湖北理数）3.在A B C ∆中，a=15,b=10,A=60°，则cos B = A－3B 3C3D 33．【答案】D【解析】根据正弦定理sin sin a b AB=可得1510sin 60sin B=解得sin 3B =又因为b a <，则B A <，故B为锐角，所以cos 3B ==，故D 正确.10.（辽宁理4）△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，asinAsinB+bcos2A=a 2，则=ab（A） （B）（C（D【答案】D1.（重庆理6）若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足22a b 4c +-=（），且C=60°，则ab 的值为A ．43B．8- C ． 1 D ．23【答案】A 3.（天津理6）如图，在△ABC 中，D 是边A C上的点，且,23,2A B C D B D B C B D==，则sin C 的值为A．3B．6C ．3D ．6【答案】D4.（四川理6）在∆ABC 中．222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-．则A 的取值范围是A ．（0，6π]B ．[ 6π，π）C ．（0，3π]D ．[ 3π，π）【答案】C【解析】由题意正弦定理22222222211cos 023b c aa b c bc b c a bc A A bcπ+-≤+-⇒+-≥⇒≥⇒≥⇒<≤【答案】C（（2010湖南理数）6、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a,b,c ，若∠C=120°，c =,则A 、a>bB 、a<bC 、a=bD 、a 与b 的大小关系不能确定《》2010江西理数）7.E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan E C F ∠=（ ）A. 1627 B. 23 C. 3 D. 34 【答案】D【解析】考查三角函数的计算、解析化应用意识。

解法1：约定AB=6,AC=BC=由余弦定理再由余弦定理得4cos 5E CF ∠=，解得3tan 4E CF ∠=解法2：坐标化。

约定AB=6,AC=BC=（0,3）利用向量的夹角公式得4cos 5E CF ∠=，解得3tan 4E CF ∠=。

（2010天津理数）（7）在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若22a b -=，sin C B =，则A=（A ）030 （B ）060 （C ）0120 （D ）0150 【答案】A【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题。

由由正弦定理得22c c RR=⇒=，[来源:]所以cosA=222+c -a 22b bcbc==22bc=，所以A=30【温馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。

填空题部分15.（上海理6）在相距2千米的A ．B 两点处测量目标C ，若075,60C AB C BA ∠=∠=，则A ．C 两点之间的距离是 千米。

21.（北京理9）在A B C ∆中。

若b=5，4B π∠=，tanA=2，则sinA=____________；a=_______________。

【答案】10255218.（全国新课标理16）A B C ∆中，60,B AC =︒=，则AB+2BC 的最大值为_________．【答案】20.（福建理14）如图，△ABC 中，AB=AC=2，BC=点D 在BC 边上，∠ADC=45°，则AD 的长度等于______【答案】23.（安徽理14）已知A B C ∆ 的一个内角为120o ，并且三边长构成公差为4的等差数列，则A B C ∆的面积为_______________.【答案】315（2010广东理数）11.已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若, A+C=2B,则sinC= .11．1．解：由A +C =2B 及A + B+ C =180°知，B =60°．由正弦定理知，1sin sin 60A=，即1sin 2A =．由a b <知，60A B <= ，则30A = ，180180306090C A B =--=--=，sin sin 901C ==（2010山东理数）3.（2010江苏卷）13、在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，6cos ba C a b+=，则tan tan tan tan C C AB+=____▲_____。

[解析] 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。

一题多解。

（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A 、B 和边a 、b 具有轮换性。

当A=B 或a=b 时满足题意，此时有：1cos 3C =，21cos 1tan21cos 2C C C-==+，tan22C =，1tan tan tan 2A B C ===tan tan tan tan C C AB+= 4。

（方法二）226cos 6cos ba C ab C a b ab+=⇒=+，2222222236,22a b cc ab a b a b ab+-⋅=++=2tan tan sin cos sin sin cos sin sin()1sin tan tan cos sin sin cos sin sin cos sin sin C C C B A B AC A B C ABCA B C A B C A B+++=⋅=⋅=⋅计算题部分※※（2010浙江理数）（18）(本题满分l4分)在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c ，已知1cos 24C =-(I)求sinC 的值；(Ⅱ)当a=2， 2sinA=sinC 时，求b 及c 的长．解析：本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同事考查运算求解能力。

（Ⅰ）解：因为cos2C=1-2sin 2C=14-，及0＜C ＜π所以4（Ⅱ）解：当a=2，2sinA=sinC 时，由正弦定理a c sin Asin C=，得c=4由cos2C=2cos 2C-1=14-，J 及0＜C ＜π得cosC=±4由余弦定理c 2=a 2+b 2-2abcosC ，得b 2解得所以 b= c=4 或 c=4※※（2010全国卷2理数）（17）（本小题满分10分）A B C ∆中，D 为边B C 上的一点，33B D =，5sin 13B =，3cos 5A D C ∠=，求A D ．【命题意图】本试题主要考查同角三角函数关系、两角和差公式和正弦定理在解三角形中的应用，考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况. 【参考答案】由cos ∠ADC=＞0，知B ＜.由已知得cosB=，sin ∠ADC=.从而 sin ∠BAD=sin （∠ADC-B ）=sin ∠ADCcosB-cos ∠ADCsinB==.由正弦定理得 ，所以=.【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现.这类题型难度比较低，一般出现在17或18题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化. 正弦定理，角的关系，边化角 ※※（2010福建理数）19．（本小题满分13分）O 某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上。

在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30 且与该港口相距20海里的A 处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。

假设该小船沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇。

（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。

【解析】如图，由（1）得=10,>,,>AC O C O C AC AC =≥故且对于线段上任意点P 有OP OC ，而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A 、C （包含C ）的任意位置相遇，设C O D =(0<<90),Rt C O D C D θθθ∠∆=则在中，，OD=cos θ，由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为1030t θ+=和cos t v θ=，所以30cos v θ=30,sin (+30)sin (+30)2v v θθ=≤≥又故，从而30<90,30tan θθθ≤= 由于时，取得最小值，且最小值为3，于是当30θ=时，30t =取得最小值，且最小值为23。

此时，在O A B ∆中，20O A O B A B ===，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30 ，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。

※※※（2010全国卷1理数）(17)(本小题满分10分) 已知A B C V 的内角A ，B 及其对边a，b满cot cot a b a A b B +=+，求内角C ．※※（2010江苏卷）17、（本小题满分14分）某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H(单位：m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度h=4m ，仰角∠ABE=α，∠ADE=β。

(1)该小组已经测得一组α、β的值，tan α=1.24，tan β=1.20，请据此算出H 的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d （单位：m ），使α与β之差较大，可以提高测量精确度。

若电视塔的实际高度为125m ，试问d 为多少时，α-β最大？[解析] 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。

（1）tan tan H H AD ADββ=⇒=，同理：tan H A B α=，tan h BD β=。

AD —AB=DB ，故得tan tan tan H H h βαβ-=，解得：tan 4 1.24124tan tan 1.24 1.20h H αβα⨯===--。

因此，算出的电视塔的高度H 是124m 。

（2）由题设知d A B =，得tan ,tan H H h H h dA DD Bdαβ-====，2tan tan tan()()1tan tan ()1HH hhd h dd H H h H H h d H H h d d d dαβαβαβ----====--+⋅+-+⋅+()H H h d d-+≥，（当且仅当d ==取等号）故当d =tan()αβ-最大。

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