XX年八年级下册数学期末知识点复习(新版北师大版)

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北师大版八年级下册数学[《三角形的证明》全章复习与巩固--知识点整理及重点题型梳理](基础)

北师大版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《三角形的证明》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1.经历回顾与思考的过程，深刻理解和掌握定理的探索和证明.2.结合具体实例感悟证明的思路和方法，能运用综合、分析的方法解决有关问题.3.能正确运用尺规作图的基本方法作已知线段的垂直平分线和角的平分线，以及绘制特殊三角形.【知识网络】【要点梳理】要点一、等腰三角形1.三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等.判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.2.等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）3.等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.4.含30°的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 要点诠释：等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a的等边三角形它的高是32a，面积是234a；含有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础.要点二、直角三角形1.勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.2.命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；3.直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）.要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,HL一共有5种判定方法.要点三、线段的垂直平分线1.线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.2.三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线.要点诠释：①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.要点四、角平分线1.角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.2.三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.3.如何用尺规作图法作出角平分线要点诠释：①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形. 【典型例题】类型一、三角形的证明1. 已知：点D 是△ABC 的边BC 的中点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，且BF=CE ．求证：△ABC 是等腰三角形．【思路点拨】欲证△ABC 是等腰三角形，又已知DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，BF=CE ，可利用三角形中两内角相等来证明．【答案与解析】证明：∵Ｄ是BC 的中点，∴BD=CD ，∵DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，∴△BDF 与△CDE 为直角三角形，在Rt △BDF 和Rt △CDE 中，,BF CE BDCD∴Rt △BFD ≌Rt △CED （HL ），∴∠B=∠C ，∴AB=AC ，∴△ABC 是等腰三角形．【总结升华】考查等腰三角形的判定方法及全等三角形的判定及性质；充分利用条件证明三角形全等是正确解答本题的关键．举一反三：【变式1】（2015秋?江阴市校级期中）已知：如图，△AMN 的周长为18，∠B ，∠Ｃ的平分线相交于点O ，过O 点的直线MN ∥BC 交AB 、AC 于点M 、N ．求AB+AC 的值．【答案】解：∵MN ∥BC ，∴∠BOM=∠OBC ，∠CON=∠OCB ，∵∠B，∠Ｃ的平分线相交于点O，∴∠MBO=∠OBC，∠NCO=∠OCB，∴∠MBO=∠BOM，∠NCO=∠CON，∴BM=OM，CN=ON，∵△AMN的周长为18，AN=AB+AC=18．∴AM+MN+AN=AM+OM+ON+AN=AM+BM+CN+【变式2】如图，在△ABC中，AB=AC，D、E在BC上，且AD=AE，求证：BD=CE．【答案】证明：∵AB=AC，AD=AE，∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED，∵∠ADE=∠B+∠BAD，∠AED=∠C+∠EAC，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE，∴ BD=CE．类型二、直角三角形2. 如图，已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合．（1）当∠Ａ满足什么条件时，点D恰为AB的中点写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D为AB的中点；（2）在（1）的条件下，若DE=1，求△ABC的面积．【思路点拨】（1）根据折叠的性质：△BCE≌△BDE，BC=BD，当点D恰为AB的重点时，AB=2BD=2BC，又∠C=90°，故∠A=30°；当添加条件∠A=30°时，由折叠性质知：∠EBD=∠EBC=30°，又∠A=30°且ED⊥AB，可证D为AB的中点；（2）在Rt△ADE中，根据∠Ａ及ED的值，可将AE、AD的值求出，又D为AB的中点，可得AB的长度，在Rt△ABC中，根据AB、∠Ａ的值，可将AC和BC的值求出，代入S△ABC=AC×BC 进行求解即可．【答案与解析】解：（1）添加条件是∠A=30°．证明：∵∠A=30°，∠C=90°，所以∠CBA=60°，∵Ｃ点折叠后与AB边上的一点D重合，∴BE平分∠CBD，∠BDE=90°，∴∠EBD=30°，∴∠EBD=∠EAB，所以EB=EA；∵ED为△EAB的高线，所以ED也是等腰△EBA的中线，∴Ｄ为AB中点．（2）∵DE=1，ED⊥AB，∠A=30°，∴AE=2．在Rt△ＡDE中，根据勾股定理，得AD=22213，∴AB=23，∵∠A=30°，∠C=90°，∴BC=12AB=3．在Rt△ABC中，AC=22AB BC=3，∴Ｓ△ABC=12×AC×BC=332．【总结升华】考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．3. 小林在上探索出只用三角尺作角平分线的一种方法：如图，在已知∠AOB的两边上分别取点M，N，使OM=ON，再过点M作OB的垂线，过点N作OA的垂线，垂足分别为C、D，两垂线交于点P，那么射线OP就是∠AOB的平分线．老师当场肯定他的作法，并且表扬他的创新．但是小林不知道这是为什么．①你能说明这样做的理由吗？也就是说，你能证明OP就是∠AOB的平分线吗？②请你只用三角板设法作出图∠AOB的平分线，并说明你的作图方法或设计思路．【思路点拨】①在Rt△OCM与Rt△ODN中，依据ASA得出OC=OD;在Rt△ＯCP与Rt△ＯDP中，因为OP=OP，OC=OD得出Rt△ＯC P≌Rt△ＯDP（HL），所以∠C OP=∠DOP，即OP平分∠AOB．②可作出两个直角三角形，利用HL定理证明两角所在的三角形全等．【答案与解析】①证明：在Rt△OCM和Rt△ODN中，COM DONOCM ODNOM ON∴△OCM≌△ODN（AAS），∴OC=OD，在△OCP与△ODP中，∵,OC OD OPOP∴Rt △OCP ≌Rt △ODP （HL ），∴∠COP=∠DOP ，即OP 平分∠AOB ；②解：①利用刻度尺在∠AOB 的两边上分别取OC=OD ；②过C ，D 分别作OA ，OB 的垂线，两垂线交于点E ；③作射线OE ，OE 就是所求的角平分线．∵CE ⊥OA ，ED ⊥OB ，∴∠OCE=∠ODE=90°，在Rt △OCE 与Rt △OD E 中，∵OC OD OEOE，∴Rt △OCE ≌Rt △ODE （HL ），∴∠EOC=∠EOD ，∴OE 为∠AOB 的角平分线．【总结升华】主要考查了直角三角形的判定，利用全等三角形的性质得出∠EOC=∠EOD 是解题关键．类型三、线段垂直平分线4.（2015秋?麻城市校级期中）如图所示：在△ABC 中，AB ＞BC ，AB=AC ，DE 是AB 的垂直平分线，垂足为D ，交AC 于E ．（1）若∠ABE=50°，求∠EBC 的度数；（2）若△ABC 的周长为41cm ，边长为15cm ，△BCE 的周长．【思路点拨】（1）由DE 是AB 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=BE ，继而求得∠Ａ的度数，又由AB=AC ，即可求得∠ABC 的度数，则可求得答案；（2）由△BCE 的周长=AC+BC ，然后分别从腰等于15cm 与底边等于15cm 去分析求解即可求得答案．【答案与解析】解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=50°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=65°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=15°；（2）∵AE=BE，；∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC∵△ABC的周长为41cm，∴AB+AC+BC=41cm，若AB=AC=15cm，则BC=11cm，则△BCE的周长为：15+11=26cm；若BC=15cm，则AC=AB=13cm，∵AB＞BC，∴不符合题意，舍去．∴△BCE的周长为26cm．【总结升华】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．举一反三：【变式】如图所示，AD是△ABC中∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于F，试说明∠BAF=∠ACF的理由．【答案】解：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA．又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵∠BAF=∠BAD+∠FAD，∠ACF=∠DAC+∠FDA，∴∠BAF=∠ACF．类型四、角平分线5.（2016秋?兴化市期中）已知：如图，△ABC的角平分线BE、CF相交于点P．求证：点P在∠A的平分线上．【思路点拨】过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD=PM，同理可得PM=PN，从而得到PD=PN，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可．【答案与解析】证明：如图，过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，∵BE平分∠ABC，点P在BE上，∴PD=PM，同理，PM=PN，∴PD=PN，∴点P在∠A的平分线上．【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．举一反三：【变式】如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A．1处B．2处 C．3处 D．4处【答案】D．解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．。

北师大版八年级数学(下)期末复习试卷及参考答案

八年级数学（下）期末复习试卷一、解答题1．已知ABC ，按下列要求：（尺规作图，保留痕迹，不写作法）（1）作BC 边上的高AD ；（2）作ABC 的平分线BE ．（尺规作图）（3）作出线段AB 的垂直平分线MN ．（尺规作图）2．如图，在ABC ∆中，AB AC =，请你利用尺规在BC 边上求一点P ，使得ABC PAC ∆∆∽．3．如图，在Rt ABC 中．()1利用尺规作图，在BC 边上求作一点P ，使得点P 到AB 的距离(PD 的长)等于PC 的长； ()2利用尺规作图，作出()1中的线段PD ．4．尺规作图：已知：∠AOB ，点M 、N求作：点P ，使点P 满足：PM=PN ，且P 到OA 、OB 的距离相等．5．如图，已知△ABC ，按要求做图.(1)过点 A 作 BC 的垂线段 AD (无需尺规作图，直接画出).(2)过点 C 作 AB 的平行线(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹).6．如图，在等腰ABC 中，,36AB AC A ︒=∠=，点D E 、分别为AB AC 、上的点，将A ∠沿直线DE 翻折，使点A 落在点C 处.（1）用尺规作图作出直线DE ；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若AD =，求BC 的长.7．如图，已知△ABC 与△A′B′C′关于点O 成中心对称，点A 的对称点为点A′，请你用尺规作图的方法，找出对称中心O ，并作出△A′B′C′．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．8．如图，已知△ABC ，AC ＜BC ，(1)尺规作图：作△ABC 的边BC 上的高AD (2)试用尺规作图的方法在线段BC 上确定一点P ，使PA+PC ＝BC ，并说明理由．9．如图，ABC ∆为一钝角三角形，且90BAC ∠>︒（1）分别以AB ，AC 为底向外作等腰Rt DAB ∆和等腰 Rt EAC （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）已知P 为BC 上一动点，通过尺规作图的方式找出一点P ，连接PD ，PE ，使得 PD PE ⊥并证明．10．如图已知△ABC ．（1）请用尺规作图法作出BC 的垂直平分线DE ，垂足为D ，交AC 于点E, （2）请用尺规作图法作出∠C 的角平分线CF ，交AB 于点F,（保留作图痕迹，不写作法）；（3）请用尺规作图法在BC 上找出一点P ，使△PEF 的周长最小.（保留作图痕迹，不写作法）.10．已知：如图，直线l 极其同侧两点A ，B ．（1）在图1直线l 上求一点P ，使到A 、B 两点距离之和最短；（不要求尺规作图）（2）在图2直线l 上求一点O ，使OA=OB ．（尺规作图，保留作图痕迹） 12．先尺规作图，后进行计算：如图，△ABC 中，∠A ＝105°．（1）试求作一点P ，使得点P 到B 、C 两点的距离相等，并且到∠ABC 两边的距离相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．（2）在（1）的条件下，若∠ACP ＝30°，求∠PBC 的度数．13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（﹣2，0），等边三角形AOC 经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD ．（1）△AOC 沿x 轴向右平移得到△OBD ，则平移的距离是个单位长度；（2）△AOC 与△BOD 关于直线对称，则对称轴是；（3）△AOC 绕原点O 顺时针旋转可以得到△DOB ，则旋转角度是度，在此旋转过程中，△AOC 扫过的图形的面积是．14．如图，在平面直角坐标系内，ABC 的顶点坐标分别为()4,4A -，()2,5B -，()2,1C -．（1）平移ABC ，使点C 移到点()12,2C ，画出平移后的111A B C △；（2）将ABC 绕点()0,0旋转180︒，得到222A B C △，画出旋转后的222A B C △；（3）连接12A C ，21A C ，求四边形1221A C A C 的面积．15．如图，每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt ABC ∆的三个顶点(2,2)A -，(0,5)B ，(0,2)C ． (1)将ABC ∆以点C 为旋转中心旋转180︒，得到△11A B C ，请画出△11A B C 的图形；(2)平移ABC ∆，使点A 的对应点2A 坐标为(2,6)--，请画出平移后对应的△222A B C 的图形；(3)若将△11A B C 绕某一点旋转180︒可得到△222A B C ，请直接写出旋转中心的坐标．16．如图1，ABC 中(2)A -，3，(31)B -，，(12)C -，．（1）将ABC 向右平移4个单位长度，画出平移后的111A B C △；（2）画出ABC 关于x 轴对称的222A B C △（3）将ABC 绕原点O 旋转180，画出旋转后的333A B C △；（4）在111A B C △，222A B C △，333A B C △中，______与______成轴对称，对称轴是______；______与______成中心对称，对称中心的坐标是____．17．综合题。

专题4.14 因式分解(全章复习与巩固)(知识讲解)八年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)

专题4.14因式分解（全章复习与巩固）（知识讲解）【知识点一】因式分解与整式乘法的识别把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解。

【知识点二】因式分解的方法（1）提取公因式法：)(c b a m mc mb ma ++=++（2）运用公式法：平方差公式：))((22b a b a b a -+=-；完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+±（3）十字相乘法：))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++（4）分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解。

（5）运用求根公式法：若)0(02≠=++a c bx ax 的两个根是1x 、2x ，则有：))((212x x x x a c bx ax --=++【知识点三】因式分解的一般步骤（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。

（4）最后考虑用分组分解法。

【典型例题】类型一、因式分解的概念✭✭求参数1．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（）A ．()2212x x x x+=+B ．()()2111a a a -=+-C ．()()2111x x x +-=-D ．()222312a a a -+=-+【答案】B【分析】根据因式分解的定义解答即可．解：A ．()2212x x x x +=+不是将多项式化成整式乘积的形式，故A 选项不符合题意；B ．()()2111a a a -=+-是将多项式化成整式乘积的形式，故B 选项符合题意；C ．()()2111x x x +-=-不是将多项式化成整式乘积的形式，故C 选项不符合题意；D ．()222312a a a -+=-+不是将多项式化成整式乘积的形式，故D 选项不符合题意；故选：D ．【点拨】本题主要考查了分解因式的定义，掌握定义是解题的关键．即把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫做分解因式．举一反三：【变式】下列各式，从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A ．()a m n am an+=+B ．()()2222a b c a b a b c+-=+--C ．()2221x x x x -=-D ．()()2166446x x x x -+=+-+【答案】C【分析】根据因式分解的定义去判断即可．解：A 、因为()a m n am an +=+是单项式乘以多项式，不是因式分解，故A 不符合题意；B 、因为()()2222a b c a b a b c +-=+--不是因式乘积的形式，不是因式分解，故B 不符合题意；C 、因为()2221x x x x -=-是因式分解，故C 符合题意；D 、因为()()2166446x x x x -+=+-+不是因式乘积的形式，不是因式分解，故D 不符合题意；故选C ．【点拨】本题考查了因式分解即把一个多项式写成几个因式积的形式，熟练掌握定义是解题的关键．2．三个多项式：24x y y -，22x y xy -，244x y xy y -+的最大公因式是（）A ．()2y x +B ．()4y x -C ．2(2)y x -D ．()2y x -【答案】D【分析】先把三个多项式因式分解，再进行解答即可．解：∵()()2422x y y y x x -=+-，()222x y xy xy x -=-，2244(2)x y xy y y x -+=-，∴最大公因式是()2y x -．故选D ．【点拨】本题主要考查了最大公因式，熟练掌握最大公因式的定义，将三个多项式分解因式，是解题的关键．举一反三：【变式】下列各组中，没有公因式的一组是（）A ．ax bx -与by ay -B ．ab ac -与ab bc -C ．268xy x y -与43x -+D ．()3a b -与()2b ya -【答案】B【分析】将每一组因式分解，找公因式即可解：A.()ax bx x a b -=-，()by ay y a b -=--，有公因式a b -，故不符合题意；B.()ab ac a b c -=-，()ab bc b a c -=-，没有公因式，符合题意；C.()268234xy x y xy x -=-，4334x x -+=-，有公因式34x -，故不符合题意；D.()3a b -与()2b y a -有公因式a b -，故不符合题意；故选：B【点拨】本题考查公因式，熟练掌握因式分解是解决问题的关键类型二、公因式✭✭提取公因式进行因式分解3．若关于x 的二次三项式23x x k -+的因式是()2x -和()1x -，则k 的值是____．【答案】2【分析】先利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出k 的值即可．解：由题意得：()()2232132x x k x x x x -+=--=-+，2k ∴=．故答案为：2．【点拨】此题考查了多项式乘以多项式法则，因式分解的意义，以及多项式相等的条件，熟练掌握因式分解的意义是解本题的关键．举一反三：【变式】已知多项式4x mx n ++能分解为()()2223x px q x x +++-，则p =______，q =______．【答案】2-；7．【分析】把()()2223x px q x x +++-展开，找到所有3x 和2x 的项的系数，令它们的系数分别为0，列式求解即可．解：∵()()2223x px q x x +++-432322222333x px qx x px qx x px q=+++++---()()()432223233x p x q p x q p x q=++++-+--4x mx n =++．∴展开式乘积中不含3x 、2x 项，∴20230p q p +=⎧⎨+-=⎩，解得：27p q =-⎧⎨=⎩．故答案为：2-，7．【点拨】本题考查了整式乘法的运算、整式乘法和因式分解的关系，将结果式子运用整式乘法展开后，抓住“若某项不存在，即其前面的系数为0”列出式子求解即可．4．因式分解：(1)282abc bc -；(2)()()26x x y x y +-+；【答案】(1)()24bc a c -；(2)()()23x y x +-【分析】（1）用提公因式法解答；（2）用提公因式法解答．（1）解：原式()24bc a c =-（2）解：原式()()23x y x =+-【点拨】此题考查了因式分解——提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．举一反三：【变式】把下列多项式因式分解：(1)2x xy x -+；(2)22m n mn mn -+；(2)33322292112x y x y x y -+；(4)()()22x x y y x y -+-．【答案】(1)()1x x y -+；(2)()1mn m n -+；(3)()223374x y xy x -+；(4)()()22x y x y-+【分析】（1）直接提取公因式x ，进而分解因式得出答案；（2）直接提取公因式mn ，进而分解因式得出答案；（3）直接提取公因式223x y ，进而分解因式得出答案；（4）直接提取公因式()x y -，进而分解因式得出答案．（1）解：()21x xy x x x y -+=-+（2）解：()221m n mn mn mn m n -+=-+（3）解：()33322222921123374x y x y x y x y xy x +--=+（4）解：()()()()2222xx y y x y x y x y -+-=-+【点拨】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．类型三、公式法进行因式分解➽➼平方差公式✭✭完全平方公式5．因式分解：(1)﹣2a 3+12a 2﹣18a(2)9a 2（x ﹣y ）+4b 2（y ﹣x ）【答案】(1)﹣2a （a ﹣3）2(2)（x ﹣y ）（3a +2b ）（3a ﹣2b ）【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．（2）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．解：（1）原式＝﹣2a （a 2﹣6a +9）＝﹣2a （a ﹣3）2（2）原式＝（x ﹣y ）（9a 2﹣4b 2）＝（x ﹣y ）（3a +2b ）（3a ﹣2b ）．【点拨】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．举一反三：【变式】因式分解：（1）224x y -（2）32296a a b ab -+【答案】（1）()()22x y x y +-；（2）()23a a b -．【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解即可；（2）先提公因式，然后利用完全平方公式进因式分解即可．解：（1）22224(2)(2)(2)x y x y x y x y -=-=+-；（2）232222(96)(963)=-+=--+a a ab b a b a a b b a a ．【点拨】本题主要考查了多项式的因式分解，解题的关键是熟练掌握各种因式分解的方法，并会根据多项式的特征选取合适的方法，还要注意要分解彻底．6．分解因式：(1)2225()9()m n m n +--(2)22441a b a --+【答案】(1)()()444m n n m ++；(2)()()2121a b a b +---【分析】（1）将m n +和m n -看成两个整体，利用平方差公式分解因式得到()()8228m n m n ++，再提取公因式即可．（2）利用分组法先将原式分成2441a a -+和2b -两组，2441a a -+可利用完全平方公式分解，再和2b -组合，由平方差公式分解即可．（1）解：2225()9()m n m n +--()()()()5353m n m n m n m n =++-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()55335533m n m n m n m n =++-+-+()()8228m n m n =++()()444m n m n =++．（2）22441a b a --+()22441a a b =-+-()2221a b =--()()2121a b a b =-+--()()2121a b a b =+---．【点拨】本题考查了因式分解的方法，分组法、公式法和提公因式法本题都涉及了，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键．举一反三：【变式】分解因式：(1)228168ax axy ay -+-(2)()22222936x y x y +-；【答案】(1)28()a x y --；(2)22(3)(3)x y x y +-【分析】（1）先提公因式，再根据完全平方公式分解因式即可；（2）根据平方差公式和完全平方公式分解因式即可．解：（1）原式228(2)a x xy y =--+28()a x y =--（2）原式2222(9)(6)x y xy =+-2222(96)(96)x y xy x y xy =+++-22(3)(3)x y x y =+-【点拨】本题考查了因式分解，涉及提公因式法和公式法，熟练掌握分解因式的步骤是解题的关键．类型四、因式分解➽➼十字相乘法✭✭分组分解法7．将下列各式分解因式：(1)256x x --；(2)21016x x -+；(3)2103x x --【答案】(1)(7)(8)x x +-；(2)(2)(8)x x --；(3)(5)(2)x x -+-【分析】（1）用十字相乘法，分解因式即可；（2）用十字相乘法，分解因式即可；（3）用十字相乘法，分解因式即可．（1）解：∵78x x ⨯-，即78x x x -=-，∴256(7)(8)x x x x --=+-；（2）解：∵28x x ⨯--，即2810x x x --=-，∴21016(2)(8)x x x x -+=--；（3）解：22103(310)x x x x --=-+-，∵52x x ⨯-，即523x x x -=，∴原式(5)(2)x x =-+-．【点拨】本题主要考查了利用十字相乘法分解因式，解题的关键在于能够熟练掌握十字相乘法：常数项为正，分解的两个数同号；常数项为负，分解的两个数异号．二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上．举一反三：【变式】用十字相乘法解方程：(1)2560x x +-=；(2)2230x x --=．【答案】(1)6x =-或1x =；(2)3x =或=1x -【分析】根据十字相乘法可分别求解（1）（2）．（1）解：2560x x +-=(6)(1)0x x +-=，60x +=或10x -=，6x =-或1x =；（2）解：2230x x --=，(3)(1)0x x -+=，30x -=或10x +=，3x =或=1x -．【点拨】本题主要考查利用因式分解进行求解方程，熟练掌握因式分解是解题的关键．8．因式分解：323412x x y x y +--．【答案】(3)(2)(2)x y x x ++-【分析】原式第一、三项结合，二、四项结合，提取公因式后再提取公因式，利用平方差公式分解即可．解：原式=324312x x x y y-+-=22(4)3(4)x x y x -+-=2(3)(4)x y x +-=(3)(2)(2)x y x x ++-．【点拨】本题考查了因式分解：分组分解法：对于多于三项以上的多项式的因式分解，先进行适当分组，再把每组因式分解，然后利用提公因式法或公式法进行分解．举一反三：【变式】因式分解：(1)a 2－ab ＋ac －bc ；(2)x 3＋6x 2－x －6.【答案】(1)(a －b)(a ＋c)；(2)(x ＋1)(x －1)(x ＋6)试题分析：根据因式分解的方法进行因式分解即可.解：(1)原式()()()()a a b c a b a b a c =-+-=-+．(2)原式()()()()()()()()()322226616116116x x x x x x x x x x x =-+-=-+-=-+=+-+类型五、因式分解综合9．将下列各式分解因式．（1）3416x x -；（2）()2212a x ax +-；（3）()24a b a b --；（4）()()()()2233a b a b a b b a -+++-．【答案】（1）()()41212x x x +-；（2）()221a x x ++；（3）()22a b --；（4）()()28a b a b -+【分析】（1）先提取公因式，然后进一步利用平方差公式进行因式分解即可；（2）利用提公因式法进行因式分解即可；（3）先将括号去掉，然后移项，根据完全平方公式进行因式分解即可；（4）利用提公因式法以及平方差公式综合进行因式分解即可.解：（1）3416x x -=()2414x x -=()()41212x x x +-；（2）()2212a x ax +-=()221a x x ⎡⎤+-⎣⎦=()221a x x ++；（3）()24a b a b --=2244ab a b --=()2244a ab b --+=()22a b --；（4）()()()()2233a b a b a b b a-+++-=()()()()2233a b a b a b a b -+-+-=()()()2233a b a b a b ⎡⎤-+-+⎣⎦=()()()4422a b a b a b -+-=()()28a b a b -+.【点拨】本题主要考查了因式分解，熟练掌握相关方法及公式是解题关键.举一反三：【变式】因式分解：（1）2273xy x-（2）2292a b ab+-+（3）228x x --【答案】（1）3(3+1)(31)-x y y ；（2）(3)(3)+++-a b a b ；（3）(2)(4)x x +-【分析】（1）根据提取公因式，平方差公式，即可分解因式；（2）根据完全平方公式法、平方差公式，即可分解因式；（3）根据十字相乘法分解因式，即可得到答案．解：（1）2273xy x-23(91)x y =-3(31)(31)x y y =+-；（2）2292a b ab+-+2229a ab b =++-22()3a b =+-(3)(3)a b a b =+++-；（3）228x x --(2)(4)x x =+-．【点拨】本题主要考查分解因式，掌握提取公因式法、公式法、十字相乘法分解因式，是解题的关键．类型五、因式分解的应用10．阅读材料，回答下列问题：若22228160m mn n n -+-+=，求m ，n 的值．解：∵22228160m mn n n -+-+=，∴222(2)(816)0m mn n n n -++-+=，即22()(4)0m n n +--=，又2()0m n -≥，2(4)0n -≥，∴2()0m n -=，2(4)0n -=，∴4n =，4m =．(1)若22440a b a +-+=，求a ，b 的值；(2)已知ABC 的三边a ，b ，c 满足2222220a b c ab ac ++--=．判断ABC 的形状，并说明理由．【答案】(1)2,0a b ==；(2)等边三角形，理由见分析．【分析】（1）参照例题，将等式转化为两个完全平方的和等于0的形式，进而求得a ，b 的值；（2）方法同（1）．解：（1）∵22440a b a +-+=，∴()22440a a b ++-=，即2220()a b -+=，又22(2)0,0a b -≥≥，22(2)0,0a b ∴-==，2,0a b ∴==．（2）∵2222220a b c ab ac ++--=，2222(2)(2)0a ab b b ac c ∴-++-+=，即22()()0a b b c -+-=，又22()0,()0a b b c -≥-≥，∴22()0,()0a b b c -=-=，,a b b c ∴==，a b c ==∴．ABC ∴ 是等边三角形．【点拨】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键．举一反三：【变式】已知：1a b +=，154ab =-(1)求22ab a b +的值(2)求22a b +的值(3)若22a b k -=-，求非负数k 的值【答案】(1)154-；(2)172；(3)k =【分析】（1）将代数式22ab a b +用提公因式法因式分解为()ab a b +，再将1a b +=，154ab =-代入计算即可；（2）将22a b +变形为()22a b ab +-，再将1a b +=，154ab =-代入计算即可；（3）类似的方法将()2a b -变形为()24a b ab +-，代入计算后求出a b -的值，继而根据22a b k -=-计算出符合条件的k 的值即可．（1）解：∵1a b +=，154ab =-，∴()221515144ab a b ab a b +=+=-⨯=-；（2）解：∵1a b +=，154ab =-，∴()2222a b a b ab+=+-15124⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1512=+172=；（3）解：∵()()224a b a b ab-=+-1514164⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，∴4a b -=±当4a b -=时，224k -=，k =∵k 为非负数，∴k =当4a b -=-时，224k -=-，22k =-（舍去），∴k =【点拨】本题考查了完全平方公式的应用以及提取公因式分解因式，能够灵活应用完全平方公式是解题的关键．11．阅读材料：()()()2222244454529232322x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=++--=+-=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()51x x =+-上面的方法称为多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．根据以上材料，解答下列问题：(1)因式分解：223x x +-；(2)求多项式2610x x +-的最小值；(3)已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，且满足222506810a b c a b c +++=++，求△ABC 的周长．【答案】(1)()()31x x +-；(2)19-；(3)12【分析】（1）先配方后，再利用平方差公式进行因式分解；（2）配方后根据平方的非负性求最小值；（3）配方后根据非负性求出a ，b ，c 的值即可．（1）解：223x x +-222113x x =++--2(1)4x =+-(12)(12)x x =+++-；(3)(1)x x =+-；（2）2226106919(3)19x x x x x +-=++-=+-，∵2(3)0x +≥，∴多项式2610x x +-的最小值为19-；（3）由题意得：2226810500a b c a b c ++---+=，∴2226981610250a a b b c c +++++--=-．∴222(3)4)(0(5)a b c -+-+-=．又∵2(3)0a -≥，2(04)b -≥，2(05)c -≥，∴30a -=，40b -=，50c -=，∴3a =，4b =，5c =，∴ABC 的周长为34512++=．【点拨】本题考查了配方法因式分解以及因式分解的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．举一反三：【变式】先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若2222690m mn n n ++-+=，求m 和n 的值．解：因为2222690m mn n n ++-+=，所以2222690m mn n n n +++-+=．所以22()(3)0m n n ++-=．所以0,30m n n +=-=．所以3,3m n =-=．问题：(1)若224212120++-+=x y xy y ，求xy 的值；(2)已知a ，b ，c 是等腰ABC 的三边长，且a ，b 满足2210841a b a b +=+-，求ABC 的周长．【答案】(1)-4；(2)13或14【分析】（1）仿照例题的思路，配成两个完全平方式，然后利用偶次方的非负性，进行计算即可解答；（2）仿照例题的思路，配成两个完全平方式，再利用偶次方的非负性，先求出a ，b 的值，然后分两种情况，进行计算即可解答．解：（1）∵22421212x y xy y ++-+222231212x xy y y xy =+++-+2()3x y =++2(2)y -，=∴0x y +=，20y -=，∴2x =-，2y =，∴2(2)4=⨯-=-xy ．（2）∵2210841a b a b +=+-，∴2210258160a a b b -+++=-，∴22(5)(4)0a b -+-=，∴50a -=，40b -=，∴5a =，4b =．由于ABC 是等腰三角形，所以5c =或4．①若5c =，则ABC 的周长为55414++=；②若4c =，则ABC 的周长为54413++=．所以ABC 的周长为13或14．【点拨】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，三角形的三边关系，熟练掌握完全平方式是解题的关键．。

北师大版八年级数学下册专题复习思维特训(二) 巧用30 °角的直角三角形解题

思维特训(二)巧用30 °角的直角三角形解题方法点津·30°的角是一个特殊的角，它具有一个特殊的性质，即“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．”这一性质在各类考试中经常考查，利用它的关键是设法构造出含有30°角的直角三角形，再利用它的性质解题．典题精练·类型之一无须构造，直接运用含30°角的直角三角形的性质解题1．如图2－TX－1①，某温室屋顶结构外框为△ABC，立柱AD垂直平分横梁BC，∠B＝30°，斜梁AC＝4 m．为增大向阳面的面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为△EBC(点E在BA的延长线上)，立柱EF⊥BC，如图2－TX－1②所示．若EF＝3 m，则斜梁增加部分AE的长为()图2－TX－1A．0.5 m B．1 m C．1.5 m D．2 m2．如图2－TX－2，一块含有30°角(∠ABC＝30°，∠ACB＝90°)的木制三角板是由三块宽度相等的木条拼合而成的．若木条的宽度为5 cm，求制作时拼合缝AA′的长．图2－TX－23．如图2－TX－3，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4 3，AD平分∠BAC，交BC于点D.求AD的长．图2－TX－34．如图2－TX－4，在等边三角形ABC中，AB＝2，P是AB边上任意一点(点P可以与点A重合)，过点P作PE⊥BC，垂足为E，过点E作EF⊥AC，垂足为F，过点F作FQ ⊥AB，垂足为Q.求当BP的长等于多少时，点P与点Q重合．图2－TX－45．如图2－TX－5，已知某船于上午8点在A处观测小岛C在北偏东60°方向上．该船以每小时40海里的速度向东航行到B处，此时测得小岛C在北偏东30°方向上．该船以原速度继续向东航行2小时到达小岛C的正南方D点．求船从A到D一共走了多少海里．图2－TX－5类型之二作辅助线构造含有30°角的直角三角形解题6．设计一张折叠型方桌如图2－TX－6，若AO＝BO＝50 cm，CO＝DO＝30 cm，将桌子放平后，要使B距离地面的高度为40 cm，则两条桌腿需要叉开的∠AOB的度数为()图2－TX－6A．60°B．90°C．120°D．150°7．在△ABC中，已知AB＝4，BC＝10，∠B＝30°，则△ABC的面积为__________．8．如图2－TX－7，在△ABC中，AD交边BC于点D，∠BAD＝15°，∠ADC＝4∠BAD，DC＝2BD.(1)求∠ABC的度数；(2)求证：∠CAD ＝∠ABC .图2－TX －79．如图2－TX －8，某气象站测得台风中心在A 城正西方向300 km 的B 处，以每小时10 7 km 的速度向北偏东60°的BF 方向移动．已知距台风中心200 km 的范围是受台风干扰的区域，则A 城是否会受到此次台风的干扰？为什么？若会受到台风干扰，求出A 城受台风干扰的时间．图2－TX －8类型之三与含有30°角的直角三角形有关的分类讨论题10．已知等腰三角形的腰长为10厘米，一腰上的高为5厘米，则这个等腰三角形的顶角为____________．11．学习了三角形后，八(6)班的王老师出了这样一道题让同学们讨论：“已知一个三角形的两边长分别是6 cm 和5 cm ，其中一个内角是30°，求这个三角形的面积．”于是得到很多结果：甲同学认为面积应该是152 cm 2，乙同学认为面积应该是3（3 3－4）2cm 2，而丙同学认为面积应该是3（3 3＋4）2 cm 2等，你认为他们的说法全面吗？若你有不同的结论，请你用所学的数学知识求出其面积．详解详析1．D [解析] ∵立柱AD 垂直平分横梁BC ，∴AB ＝AC ＝4 m ．∵∠B ＝30°，∴BE ＝2EF ＝6 m ，∴AE ＝BE －AB ＝6－4＝2(m)．2．解：如图，过点A ′分别作A ′D ⊥AC 于点D ，A ′E ⊥AB 于点E .A ′D ＝A ′E ，∴AA ′平分∠CAB . ∵∠ABC ＝30°，∠ACB ＝90°，∴∠CAB ＝60°， ∴∠DAA ′＝30°.∵∠ADA ′＝90°，∴DA ′＝12AA ′.∵木条的宽度为5 cm ，∴DA ′＝5 cm ，∴AA ′＝10 cm.3．解：在Rt △ABC 中，∠B ＝30°，AB ＝4 3， ∴∠BAC ＝60°，AC ＝12AB ＝2 3.又∵AD 平分∠BAC ， ∴∠DAC ＝12∠BAC ＝30°.在Rt △ACD 中，∠DAC ＝30°，AC ＝2 3，设AD 的长为x ，则CD 的长为x2.由勾股定理，得x 2＝⎝⎛⎭⎫x 22＋(2 3)2. ∵x >0，解得x ＝4，∴AD 的长为4.4．解：设BP ＝x .∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝AC ＝2，∠ABC ＝∠ACB ＝∠BAC ＝60°. 在Rt △PBE 中，∵∠BPE ＝90°－∠ABC ＝90°－60°＝30°， ∴BE ＝12BP ＝12x ，则EC ＝2－12x .在Rt △EFC 中，∠FEC ＝90°－∠ACB ＝90°－60°＝30°， ∴FC ＝12EC ＝1－14x ，∴AF ＝2－FC ＝2－(1－14x )＝1＋14x .同理：AQ ＝12AF ＝12＋18x .当点P 与点Q 重合时，BP ＋AQ ＝2，即x ＋(12＋18x )＝2，解得x ＝43.故当BP ＝43时，点P 与点Q 重合．5．解：由题意，得∠CAD ＝30°，∠CBD ＝60°， ∴∠BCD ＝30°，∴BC ＝2BD .∵船从B 到D 航行了2小时，船速为每小时40海里， ∴BD ＝80海里，∴BC ＝160海里．由∠CBD ＝60°，∠CAD ＝30°，得∠ACB ＝30°， ∴AB ＝BC ，即AB ＝160海里．∵AD ＝AB ＋BD ，∴AD ＝160＋80＝240(海里)．因此船从A 到D 一共走了240海里．6．C [解析] 如图，过点D 作DE ⊥AB 于点E .∵AD ＝50＋30＝80(cm)，DE ＝40 cm ，∴∠A ＝30°. ∵AO ＝BO ，∴∠B ＝∠A ＝30°，∴∠AOB ＝180°－30°－30°＝120°.故选C.7．10 [解析] 如图所示，过点A 作AD ⊥BC 于点D .∵AB ＝4，∠B ＝30°，∴AD ＝12AB ＝2.又∵BC ＝10，∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×10×2＝10.8．解：(1)∵∠BAD ＝15°，∠ADC ＝4∠BAD ，∴∠ADC ＝60°，∴∠ABC ＝60°－15°＝45°.(2)证明：如图，过点C 作CE ⊥. 由(1)知∠ADC ＝60°，∴∠ECD ＝90°－60°＝30°，∴DC ＝2ED . ∵DC ＝2BD ，∴ED ＝BD ，∴∠DBE ＝∠DEB ＝12∠ADC ＝30°，∴∠ECD ＝∠DBE ，∠EBA ＝45°－30°＝15°＝∠BAD ， ∴AE ＝CE ＝BE ，∴△AEC 为等腰直角三角形， ∴∠CAD ＝45°，∴∠CAD ＝∠ABC . 9．解：A 城会受到此次台风的干扰．理由：如图，过点A 作AM ⊥BF 于点M ，则 ∠AMB ＝90°.∵∠FBA ＝90°－60°＝30°， ∴AM ＝12AB ＝12×300＝150(km)．∵150<200，∴A 城会受到此次台风的干扰．以A 为圆心，200 km 为半径作弧交BF 于C 1，C 2两点，连接AC 1，AC 2，则AC 1＝AC 2. ∵AM ⊥BF ，∴C 1C 2＝2C 1M .在Rt △AMC 1中，有C 1M ＝2002－1502＝50 7(km)， ∴C 1C 2＝100 7 km ， ∴A 城受台风干扰的时间为100 710 7＝10(时)． 10．30°或150°[解析] (1)如图①所示，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10厘米，CD ⊥AB 于点D ，CD ＝5厘米． ∵在Rt △ACD 中，CD ＝12AC ，∴∠A ＝30°.(2)如图②所示，在△ABC ＝交BA 的延长线于点D ，且CD ＝5厘米．∵∠CDA ＝90°，CD ＝12AC ，∴∠DAC ＝30°，∴∠BAC ＝150°.故答案为30°或150°.11．解：不全面，应该有四种情况．(1)如图①所示，在△ABC 中，AC ＝5 cm ，AB ＝6 cm ，∠A ＝30°. 过点C 作CD ⊥AB 于点D .在Rt △ACD 中，CD ＝12AC ＝52 cm ，∴S △ABC ＝12AB ·CD ＝12×6×52＝152(cm 2)；(2)如图②所示，在△ABC 中，AB ＝6 cm ，BC ＝5 cm ，∠A ＝30°.过点B 作BD ⊥AC 于点D .在Rt △ABD 中，BD ＝12AB ＝3 cm ，∴AD ＝3 3 cm ，在Rt △BDC 中，CD ＝BC 2－BD 2＝52－32＝4(cm)，∴S △ABC ＝12AC ·BD ＝12×(3 3＋4)×3＝3（3 3＋4）2(cm 2)；(3)如图③所示，在△ABC 中，AB ＝6 cm ，BC ＝5 cm ，∠A ＝30°.过点B 作BD ⊥AC 交AC 的延长线于点D .在Rt △ABD 中，BD ＝12AB ＝3 cm ，∴AD ＝3 3 cm ，在Rt △BDC 中，CD ＝BC 2－BD 2＝52－32＝4(cm)， ∴S △ABC ＝12AC ·BD ＝12×(3 3－4)×3＝3（3 3－4）2(cm 2)；(4)如图④所示，在△ABC 中，AB ＝5 cm ，BC ＝6 cm ，∠A ＝30°.过点B 作BD ⊥AC 于点D .在Rt △ABD 中，BD ＝12AB ＝52 cm ，∴AD ＝52 3 cm.在Rt △BDC 中， CD ＝BC 2－BD 2＝62－（52）2＝1192(cm)，∴S △ABC ＝12AC ·BD ＝12×(52 3＋1192)×52＝5（5 3＋119）8(cm 2)．。

(新版)北师大版2020年八年级数学下学期期末考试知识点汇总

八年级数学（下册）知识点总结二次根式【知识回顾】1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。

3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4.二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）；（2）==a a 25.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．a ≥0，b ≥0）；=b ≥0，a>0）．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．勾股定理1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2=c 2。

2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c 满足a 2＋b 2=c 2。

，那么这个三角形是直角三角形。

3.直角三角形的性质（1）、直角三角形的两个锐角互余。

可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90° （2）、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

∠A=30°可表示如下： ⇒BC=21AB ∠C=90°（3）、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90°可表示如下： ⇒CD=21AB=BD=AD D 为AB 的中点a （a ＞0） a -（a ＜0）0 （a =0）；4、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

北师大版八年级数学下册第四章因式分解章末复习课件(共42张)

答案 C
章末复习
母题2 (教材P104复习题第1题) 把下列各式因式分解： (1)7x2-63； (2)a3-a； (3)3a2-3b2； (4)y2-9(x+y)2； (5)a(x-y)-b(y-x)+c(x-y)； (6)x(m+n)-y(n+m)+(m+n)； (7)(x+y)2-16(x-y)2； (8)a2(a-b)2-b2(a-b)2； (9)(x+y+z)2-(x-y-z)2； (10)(x+y)2-14(x+y)+49.
章末复习
相关题1 把下列各式分解因式： (1)5x2-15xy+10xy2； (2)a(x-2)+(2-x)2； (3)2x2y-8xy+8y； (4)(m2+n2)2-4m2n2.
章末复习
解：(1)原式＝5x(x－3y＋2y2)． (2)原式＝(x－2)(a＋x－2)． (3)原式＝2y(x2－4x＋4)＝2y(x－2)2. (4)原式＝(m2＋n2＋2mn)(m2＋n2－2mn)＝(m＋n)2·(m－n)2.
相关题3 求证：不论x取何实数, 多项式-2x4-12x3-18x2的值都不会是正数.
证明：原式＝－2x2(x2＋6x＋9)＝－2x2(x＋3)2. ∵－2x2≤0，(x＋3)2≥0， ∴－2x2(x＋3)2≤0， ∴不论 x 取何实数，原式的值都不会是正数．
章末复习
专题四因式分解的应用
【要点指点】因式分解不仅在数值计算、代数式的化简求值等方面有广泛的应用, 在解决实际问题时也同样重要.通过学习和应用因式分解, 能使我们的视察能力、运算能力、逻辑思维能力、探究能力得到提高．

第5章《分式与分式方程》实际应用专项(二) 2020—2021学年北师大版数学八年级下期末备考

八年级下册期末备考：《分式与分式方程》实际应用专项（二）1．有一段6000米的道路由甲乙两个工程队负责完成．已知甲工程队每天完成的工作量是乙工程队每天完成工作量的2倍，且甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项工程少用10天．（1）求甲、乙两工程队每天各完成多少米？（2）如果甲工程队每天需工程费7000元，乙工程队每天需工程费5000元，若甲队先单独工作若干天，再由甲乙两工程队合作完成剩余的任务，支付工程队总费用不超过79000元，则两工程队最多可以合作施工多少天？2．在我市雨污分流工程中，甲、乙两个工程队共同承担茅洲河某段720米河道的清淤任务，已知甲队每天能完成的长度是乙队每天能完成长度的2倍，且甲工程队清理300米河道所用的时间比乙工程队清理200米河道所用的时间少5天．（1）甲、乙两工程队每天各能完成多少米的清淤任务；（2）若甲队每天清淤费用为2万元，乙队每天清淤费用为0.8万元，要使这次清淤的总费用不超过60万元，则至少应安排乙工程队清淤多少天？3．在抗击新冠肺炎疫情期间，市场上防护口罩出现热销．某药店用3000元购进甲，乙两种不同型号的口罩共1100个进行销售，已知购进甲种口罩与乙种口罩的费用相同，购进甲种口罩单价是乙种口罩单价的1.2倍．（1）求购进的甲，乙两种口罩的单价各是多少？（2）若甲，乙两种口罩的进价不变，该药店计划用不超过7000元的资金再次购进甲，乙两种口罩共2600个，求甲种口罩最多能购进多少个？4．城镇老旧小区改造是重大民生工程和发展工程；安定区积极响应党的号召，全面推进城区老旧小区改造工作．现计划对城区某小区的居民自来水管道进行改造；该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．（1）这项工程的规定时间是多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为3500元，乙队每天的施工费用为2500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合做来完成．则该工程施工费用是多少？5．列方程解应用题：初二（1）班组织同学乘大巴车前往爱国教育基地开展活动，基地离学校有60公里，队伍12：00从学校出发，张老师因有事情，12：15从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地，问：（1）大巴与小车的平均速度各是多少？（2）张老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？6．我市计划对城区居民供暖管道进行改造，该工程若由甲队单独施工，则恰好在规定时间内完成；若由乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍，如果由甲乙两队先合作15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需要5天．（1）这项工程的规定天数是多少天？（2）已知甲队每天的施工费用是6500元，乙队每天的施工费用是3500元．为了缩短工期，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作，则该工程的施工费用是多少？7．2020年初，一场突如其来的新型冠状病毒肺炎疫情，打破了我们宁静的生活，为了预防新型冠状病毒肺炎，人们已经习惯出门戴口罩．某口罩生产企业在若干天内加工120万个口罩（每天生产数量相同），在实际生产时，由于提高了生产技术水平，每天加工的个数是原来的1.5倍，从而提前2天完成任务，问该企业原计划每天生产多少万个口罩？8．“你怎么样，中国便是怎么样；你若光明，中国便不黑暗”．2019年，一场新冠肺炎疫情牵扯着人们的心灵，各界人士齐心协力，众志成城．针对资源急需问题，某医疗设备公司紧急复工，但受疫情影响，医用防护服生产车间仍有7人不能到厂生产．为了应对疫情，已复产的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每小时完成的工作量不变．原来每天能生产防护服800套，现在每天能生产防护服650套．（1）求原来生产防护服的工人有多少人？（2）复工10天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍然为10小时．公司决定将复工后生产的防护服14500套捐献给某地，则至少还需要生产多少天才能完成任务？9．甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．求乙每小时做零件的个数．10．某商店计划今年的圣诞节购进A、B两种纪念品若干件．若花费480元购进的A种纪念品的数量是花费480元购进B种纪念品的数量的，已知每件A种纪念品比每件B种纪念品多4元．（1）求购买一件A种纪念品、一件B种纪念品各需多少元？（2）若商店一次性购买A、B纪念品共200件，要使总费用不超过3000元，最少要购买多少件B种纪念品？11．某商店第一次用600元购进一款中性笔若干支，第二次又用750元购进该款中性笔，但这次每支中性笔的进价比第一次多1元，所购进的中性笔数量与第一次相同．（1）求第一次每支中性笔的进价是多少元？（2）若要求这两次购进的中性笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于450元，求每支中性笔售价至少是多少元？12．某中学九年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min 后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．13．甲乙两名工人各承包了一段500米的道路施工工程，已知甲每天可完成的工程比乙多5米．两人同时开始施工，当乙还有100米没有完成时，甲已经完成全部工程．（1）求甲、乙每天各可完成多少米道路施工工程？（2）后来两人又承包了新的道路施工工程，施工速度均不变，乙承包了500米，甲比乙多承包了100米，乙想：这次我们一定能同时完工了！请通过计算说明乙的想法正确吗？若正确，求出两人的施工时间；若不正确，则应该如何调整其中一人的施工速度才能使两人同时完工，请通过计算给出调整方案．14．A、B两地相距18千米，甲工程队要在A、B两地间铺设一条输送天然气的管道，乙工程队要在A、B两地间铺设一条输油管道，已知甲工程队每天比乙工程队少铺设1千米．（1）若两队同时开工，甲工程队每天铺设3千米，求乙工程队比甲工程队提前几天完成？（2）若甲工程队提前3天开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙两队每天各铺设管道多少千米？15．为了加强疫情防控，某学校购进了部分N95口罩和一次性医用口罩，已知购买N95口罩共花费2000元，购买一次性医用口罩共花费1000元，购买一次性医用口罩数量是购买N95口罩数量的2.5倍，且购买一个N95口罩比购买一个一次性医用口罩多花4元．（1）求购买一个N95口罩、一个一次性医用口罩各需多少元？（2）该单位决定再次购买N95口罩和一次性医用口罩共3000个，恰逢该商场对两种口罩的售价进行调整，N95口罩售价比第一次购买时降低了20%，一次性医用口罩售价比第一次购买时降低了50%，如果此次购买N95口罩和一次性医用口罩的总费用不超过3250元，那么该单位至少可购买多少个一次性医所口罩？参考答案1．解：（1）设乙工程队每天完成x米，则甲工程队每天完成2x米，依题意，得：﹣＝10，解得：x＝300，经检验，x＝300是原方程的解，且符合题意，∴2x＝600．答：甲工程队每天完成600米，乙工程队每天完成300米．（2）设甲队先单独工作y天，则甲乙两工程队还需合作＝（﹣y）天，依题意，得：7000（y+﹣y）+5000（﹣y）≤79000，解得：y≥1，∴﹣y≤﹣＝6．答：两工程队最多可以合作施工6天．2．解：（1）设乙工程队每天能完成x米的清淤任务，则甲工程队每天能完成2x米的清淤任务，依题意，得：﹣＝5，解得：x＝10，经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，∴2x＝20．答：甲工程队每天能完成20米的清淤任务，乙工程队每天能完成10米的清淤任务．（2）设应安排乙工程队清淤m天，则安排甲工程队清淤天，依题意，得：0.8m+2×≤60，解得：m≥60．答：至少应安排乙工程队清淤60天．3．解：（1）3000÷2＝1500（元）．设乙种口罩的单价为x元，则甲种口罩的单价为1.2x元，依题意，得：，解得：x＝2.5，经检验，x＝2.5是原方程的解，且符合题意，∴1.2x＝3．答：甲种口罩的单价为3元，乙种口罩的单价为2.5元．（2）设该药店购进甲种口罩a只，则购进乙种口罩（2600﹣a）只，依题意，得：3a+2.5（2600﹣a）≤7000，解得：a≤1000．答：甲种口罩最多购进1000只．4．解：（1）设该项工程的规定时间是x天，由题意得：，解得：x＝30．经检验x＝30是原分式方程的解．答：该项工程的规定时间是30天．（2）甲、乙队合做完成所需的天数为：．则该工程施工费用是：18×（3500+2500）＝108000（元）．答：该工程施工费用为108000元．5．解：（1）设大巴的平均速度是x公里/小时，则小车的平均速度是1.5x公里/小时，根据题意得：＝++，解得：x＝40，经检验：x＝40是原方程的解，1.5x＝1.5×40＝60．答：大巴的平均速度是40公里/小时，小车的平均速度是60公里/小时；（2）设张老师追上大巴的地点到基地的路程有y公里，根据题意得：+＝，解得：y＝30，答：张老师追上大巴的地点到基地的路程有30公里．6．解：（1）设这项工程规定x天完成，15+5＝20（天），根据题意得：，解得：x＝30，经检验：x＝30是原方程的解，且符合题意，答：这项工程规定30天完成．（2）总施工费用：（元），答：该工程的施工费用是180000元．7．解：设该企业原计划每天生产x万个口罩，则在实际生产时每天生产1.5x万个口罩，由题意得：﹣＝2，解得：x＝20，经检验：x＝20是原分式方程的解，且符合题意，答：该企业原计划每天生产20万个口罩．8．解：（1）设原来生产防护服的工人有x人，由题意得，＝，解得：x＝20．经检验，x＝20是原方程的解．答：原来生产防护服的工人有20人；（2）设还需要生产y天才能完成任务．＝5（套），即每人每小时生产5套防护服．由题意得，10×650+20×5×10y≥14500，解得y≥8．答：至少还需要生产8天才能完成任务．9．解：设乙每小时做x个零件，甲每小时做（x+6）个零件，根据题意得：＝，解得：x＝12，经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意，答：乙每小时做12个零件．10．解：（1）设购买一件B种纪念品需x元，则购买一件A种纪念品需（x+4）元，依题意，得：＝×，解得：x＝12，经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意，∴x+4＝16．答：购买一件A种纪念品需16元，购买一件B种纪念品需12元．（2）设购买m件B种纪念品，则购买（200﹣m）件A种纪念品，依题意，得：16（200﹣m）+12m≤3000，解得：m≥50．答：最少要购买50件B种纪念品．11．解：（1）设第一次每支中性笔的进价是x元，则第二次每支中性笔的进价是（x+1）元，依题意得：＝，解得：x＝4，经检验，x＝4是原方程的解且符合题意．答：第一次每支中性笔的进价是4元．（2）第一次购进中性笔的数量为600÷4＝150（支），∴第二次购进中性笔150支．设每支中性笔售价为y元，依题意得：（150+150）y﹣600﹣750≥450，解得：y≥6．答：每支中性笔售价至少是6元．12．解：设骑车学生的速度为xkm/h，由题意得，﹣＝，解得：x＝15．经检验：x＝15是原方程的解．答：骑车学生的速度为15km/h．13．解：（1）设乙每天施工x米，则甲每天施工（x+5）米，根据题意可得：解得：x＝20，检验：当x＝20时，x（x+5）≠0，∴x＝20是原方程的解，则x+5＝25（米）答：甲、乙每天各可完成25米，20米道路施工；（2）∵甲完成600米，需要天，乙完成500米，需要天，∴甲乙不能同时完工；方案一：将甲施工速度减少a千米/天，根据题意可得：解得：a＝1，经检验：a＝1是原方程的解，方案二：将乙施工速度增加b千米/天，根据题意可得：解得：b＝，经检验：b＝是原方程的解，综上所述：将甲施工速度减少1千米/天，将乙施工速度增加千米/天，14．解：（1）甲工程队完成任务所需时间为18÷3＝6（天），乙工程队完成任务所需时间为18÷（3+1）＝4.5（天）．6﹣4.5＝1.5（天）．答：乙工程队比甲工程队提前1.5天完成．（2）设甲工程队每天铺设管道x千米，则乙工程队每天铺设管道（x+1）千米，依题意得：﹣＝3，整理得：x2+x﹣6＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝2，经检验，x1＝﹣3，x2＝2是原方程的解，x1＝﹣3不符合题意舍去，x2＝2符合题意，∴x+1＝3（千米）．答：甲工程队每天铺设管道2千米，乙工程队每天铺设管道3千米．15．解：（1）设购买一个一次性医用口罩需x元，则购买一个N95口罩需（x+4）元．列方程：×2.5＝，解得：x＝1．经检验x＝1是原方程的解，∴x+4＝5．答：购买一个普通口罩需1元，购买一个N95口罩需5元．（2）设购买一次性医用口罩y个．则购买N95口罩（3000﹣y）个，依题意得：1×（1﹣50%）y+5×（1﹣20%）（3000﹣y）≤3250．解得：y≥2500．∴该单位至少可购买2500个一次性医所口罩．。

北师大版八年级数学下册全册复习课件(共206张PPT)精选全文

第一章 | 复习
针对第8题训练
1．在直角三角形中，一条直角边长为a，另一条边长为2a，那么
它的三个内角之比为( D ) A．1∶2∶3 B．2∶2∶1 C．1∶1∶2 D．以上都不对
2．如图1－10，△ABC中，∠ACB＝90°，BA的垂直平分线交
CB边于点D，若AB＝10，AC＝5，则图中等于60°的角的个数为
第一章 | 复习
6．直角三角形的性质及判定性质(1)：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的___一__半____；性质(2)：直角三角形的两个锐角互余．判定：有两个角互余的三角形是直角三角形． 7．勾股定理及其逆定理勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 __平__方___．逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是_直__角______三角形．
第二章 | 复习
考点攻略
►考点一不等式的性质例1 ＞
＞
＜＜
[易错地带] 不等式两边都乘（或除以）同一个复数时，不等号的方向要改变。
第二章 | 复习
►考点二一元一次不等式(组)的解法例2
第二章 | 复习 [技巧总结]
第二章 | 复习
难易度
易
1，2，3，4，5，6，7，8，11，12，13，14， 15，17，18，19，20
中
9，10，21，22
难
16，23，24
第一章 | 复习
知识与技能
全等三角形
等腰三角形及直角三角
形
直角三角形和勾股定理
及逆定理
线段的垂直平分线及角
平分线
逆命题
反证法
2，16，17，22，24 1，4，10，14，20，21，23，24

(完整版)北师大版八年级下册数学复习知识点及例题相结合

一. 不等关系第一章一元一次不等式和一元一次不等式组1. 一般地,用符号“<”(或“ ≥”), “>”(或“ ≤”)连接的式子叫做不等式.2.区别方程与不等式：方程表示是相等的关系，不等式表示是不相等的关系。

3.准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.非负数⇔ 非正数⇔ 大于等于0( ≥ 0) ⇔小于等于0( ≤ 0) ⇔0 和正数0 和负数⇔不小于0⇔不大于0二. 不等式的基本性质1.掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:(1)不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即:如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, a >b .c c(3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即:如果a>b,并且c<0,那么ac<bc, a <bc c2.比较大小:(a、b 分别表示两个实数或整式) 一般地:如果a>b,那么a-b 是正数;反过来,如果a-b 是正数,那么a>b;如果a=b,那么a-b 等于0;反过来,如果a-b 等于0,那么a=b;如果a<b,那么a-b 是负数;反过来,如果a-b 是正数,那么a<b;即:a>b ⇔ a-b>0 a=b ⇔ a-b=0 a<b ⇔ a-b<0(由此可见,要比较两个实数的大小,只要作差即可)例下列各式一定成立的是( )A．7a﹥4a B. a﹥-a C. a+1﹥a－1 D. a≤a2例若a﹥b,且a、b 同号，以下不等式中一定成立的有①a2﹥b2 ②a3＜b3 ③1/a＜1/b ④a/b﹥1A. 0B. 1C. 2D. 3三. 不等式的解集:1.能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.2.不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同.3.不等式的解集在数轴上的表示:用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向:①边界:有等号的是实心点,无等号的是空心圆圈;②方向:大向右,小向左四. 一元一次不等式:1.只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1. 像这样的不等式叫做一元一次不等式.2.解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以一个负数时,不等号要改变方向.3.解一元一次不等式的步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为1(不等号的改变问题)4.一元一次不等式基本情形为ax>b(或ax<b)①当a>0 时,解为x >b;②当a=0 时,且b<0,则x 取一切实数;当a=0 时,且b≥0,则a无解;③当a<0 时, 解为x <b ;a5.不等式应用的探索(利用不等式解决实际问题)列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即:①审: 认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义;②设: 设出适当的未知数;③列: 根据题中的不等关系,列出不等式;④解: 解出所列的不等式的解集;⑤答: 写出答案,并检验答案是否符合题意.例不等式mx﹥n(m≠0)的解集是( )A．x﹥n/m B.当m﹥0 时，x﹥n/m，当m＜0 时，x＜-n/mC．x＜n/m D．当m﹥0 时，x﹥n/m，当m＜0 时，x＜n/m例如果不等式(a+1) x﹥(a+1)的解集为x＜1，则a 必须满足的的条件是：A. a＜0B. a≤-1C. a﹥-1D. a＜-1例已知关于x 的不等式(2a－b)x+a－5b ﹥0 的解集为x＜10/7,则ax+b﹥0 的解集为例若不等式组x﹥a 无解，则不等式组x﹥2－a 的解集是例水果店进了某中水果1t，进价是7 元/kg。

北师大版八年级下册数学期末知识点复习

北师大版八年级下册数学期末知识点复习八年级下册数学考试知识点复第一章证明（二）一、全等三角形的判定及性质全等三角形的性质是对应相等，即对应的角相等，对应的边相等。

判定全等三角形有五种方法：SSS（分别相等的三边）、SAS（分别相等的两边和它们夹角的正弦值相等）、ASA（分别相等的两角和夹角中间的边）、AAS（分别相等的两角和它们夹角的正弦值相等）、HL（分别相等的斜边和一个直角边的长度）。

等腰三角形的性质是两个底角相等，即等边对等角。

判定等腰三角形有一个角等于另一个角，即等角对等边。

等腰三角形还有一个推论是互相重合，即两个等腰三角形的两个底边相等，两个等腰角也相等。

等边三角形的性质是三个角都相等，每个角都等于60度，是轴对称图形，有一条对称轴。

判定等边三角形有两个方法：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形，三个角都相等的三角形是等边三角形。

直角三角形的勾股定理是直角边的平方和等于斜边的平方，逆定理是如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

含30度的直角三角形的边的性质是如果一个锐角等于30度，那么它所对的斜边等于另一条直角边的一半。

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

线段的垂直平分线的性质是线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

判定线段垂直平分线的方法是到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的中垂线上。

三角形三边的垂直平分线相交于一点，这一点到三个顶点的距离相等。

角平分线的性质是角平分线上的点到角的两边距离相等。

判定角平分线的方法是到一个角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

三角形的三条角平分线相交于一点，这一点到三条边的距离相等，叫做内心。

二、一元一次不等式和一元一次不等式组不等关系是数学中的一种关系，包括大于、小于、大于等于、小于等于四种形式。

一元一次不等式是形如ax+b>c的不等式，其中a、b、c都是实数，且a不等于0.解一元一次不等式可以用图像法或代数法，将不等式变形为x>或x<的形式。

北师大版八年级下册数学[等腰三角形(基础)知识点整理及重点题型梳理]

北师大版八年级下册数学[等腰三角形(基础)知识点整理及重点题型梳理]北师大版八年级下册数学重难点突破：等腰三角形（基础）研究目标：1.了解等腰三角形和等边三角形的定义和概念，掌握等腰三角形的轴对称性；2.掌握等腰三角形和等边三角形的性质，并能利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图；3.理解并掌握等腰三角形和等边三角形的判定方法及其证明过程，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力；4.理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题。

要点梳理：要点一、等腰三角形的定义等腰三角形是指有两条边相等的三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。

如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边，∠A 是顶角，∠B、∠C是底角。

要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”。

推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°。

2.等腰三角形的对称性1) 等腰三角形是轴对称图形；2) ∠B＝∠C；3) BD＝CD，AD为底边上的中线；4) ∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线。

结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（底边上的高线或中线）所在的直线是它的对称轴。

3.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形。

也称为正三角形。

等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线（底边上的高线或中线）所在的直线就是它的对称轴。

要点诠释：1) 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。

∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝180A/2.2) 等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。

等腰三角形的重要线段性质之一是“等腰三角形三线合一”，即等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合。

北师大版数学八年级下册期末复习(六) 平行四边形

期末复习(六) 平行四边形01 各个击破)命题点1 平行四边形的性质与判定【例1】 (桂林中考)如图，在▱ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点． (1)求证：四边形EBFD 为平行四边形；(2)对角线AC 分别与DE ，BF 交于点M ，N ，求证：△ABN≌△CDM.【思路点拨】 (1)先根据平行四边形的性质得AB∥CD，AB ＝CD ，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证；(2)因为AB ＝CD ，∠CAB ＝∠ACD 已知，则只需要再证明一组对应角相等即可．【解答】证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴ABCD.∵E ，F 分别是AB ，CD 的中点， ∴BE ＝12AB ，DF ＝12DC. ∴BEDF.∴四边形EBFD 为平行四边形． (2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴ABCD.∴∠CAB ＝∠ACD.∵四边形EBFD 为平行四边形， ∴∠ABN ＝∠CDM. 又∵AB＝CD ，∴△ABN ≌△CDM(ASA)．【方法归纳】 1.判定平行四边形的基本思路：(1)若已知一组对边平行，可以证这一组对边相等或另一组对边平行；(2)若已知一组对边相等，可以证这一组对边平行或另一组对边相等；(3)若已知一组对角相等，可以证另一组对角相等；(4)若已知条件与对角线有关，可以证明对角线互相平分． 2．利用平行四边形的性质进行计算的方法：(1)利用平行四边形的性质，通过角度或线段之间的等量转化进行相应的计算；(2)找出所求线段或角所在的三角形，若三角形为直角三角形，通过直角三角形的性质或勾股定理求解；若三角形为任意三角形，可通过三角形全等的性质进行求解．1．如图，在四边形ABCD 中，已知AB ＝CD ，AD ＝BC ，AC ，BD 相交于点O ，若AC ＝6，则AO 的长度等于3．2．如图，已知D 是△ABC 的边AB 上一点，CE ∥AB ，DE 交AC 于点O ，且OA ＝OC ，猜想线段CD 与线段AE 的大小关系和位置关系，并说明理由．解：线段CD 与线段AE 的大小关系和位置关系是相等且平行．理由：∵CE∥AB， ∴∠DAO ＝∠ECO.∵OA ＝OC ，∠AOD ＝∠COE， ∴△ADO ≌△CEO.∴AD ＝CE. 又∵AD∥CE，∴四边形ADCE 是平行四边形． ∴CD ∥AE ，CD ＝AE.3．如图，E 是▱ABCD 的边CD 的中点，延长AE 交BC 的延长线于点F. (1)求证：△ADE≌△FCE；(2)若∠BAF＝90°，BC ＝5，EF ＝3，求CD 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD.∴∠DAE ＝∠F，∠D ＝∠ECF. ∵E 是▱ABCD 的边CD 的中点， ∴DE ＝CE.在△ADE 和△FCE 中，⎩⎨⎧∠DAF＝∠F，∠D ＝∠ECF，DE ＝CE ，∴△ADE ≌△FCE(AAS)． (2)∵△ADE≌△FCE， ∴AE ＝EF ＝3. ∵AB ∥CD ，∴∠AED ＝∠BAF＝90°. 在▱ABCD 中，AD ＝BC ＝5， ∴DE ＝AD 2－AE 2＝52－32＝4. ∴CD ＝2DE ＝8.命题点2 三角形的中位线【例2】 (邵阳中考)如图，等边三角形ABC 的边长是2，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，延长BC 至点F ，使CF ＝12BC ，连接CD 和EF. (1)求证：DE ＝CF ； (2)求EF 的长．【思路点拨】 (1)欲证DE ＝CF ，由三角形中位线定理可知DE ＝12BC ，而条件中有CF ＝12BC 故易证得；(2)欲求EF 的长，可证四边形DEFC 是平行四边形，因此只需求出CD 的长．在等边三角形ABC 中，点D 是AB 的中点，因此运用勾股定理可求出，问题获解．【解答】 (1)证明：∵D，E 分别为AB ，AC 的中点，∴DE ＝12BC ，且DE∥BC. ∵点F 在BC 的延长线上，且CF ＝12BC ，∴DE ∥CF ，且DE ＝CF.(2)由(1)知DE∥CF，且DE ＝CF ， ∴四边形DEFC 为平行四边形．∵△ABC 是等边三角形，边长是2，点D 是AB 的中点，AB ＝BC ＝2， ∴CD ⊥AB ，∠BDC ＝90°，BD ＝12AB ＝1. ∴CD ＝BC 2－BD 2＝22－12＝ 3. ∵四边形DEFC 为平行四边形， ∴EF ＝CD ＝ 3.【方法归纳】若题中有中点通常考虑到三角形的中线和中位线，而在等边三角形(等腰三角形)中，中线同时也是高和角平分线．4．如图，CD 是△ABC 的中线，点E ，F 分别是AC ，DC 的中点，EF ＝2，则BD ＝4．5．如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，M ，N ，P 分别是AD ，BC ，BD 的中点，∠ABD ＝20°，∠BDC ＝70°，求∠PMN 的度数．解：∵M，N ，P 分别是AD ，BC ，BD 的中点，∴MP ，PN 分别是△ABD，△BCD 的中位线， ∴MP12AB, PN12CD.∴∠MPD ＝∠ABD＝20°，∠BPN ＝∠BDC＝70°. ∴∠DPN ＝110°.∴∠MPN ＝∠MPD＋∠DPN＝20°＋110°＝130°. 又∵AB＝CD ，∴MP ＝PN. ∴∠PMN ＝∠PNM. ∴∠PMN ＝25°.命题点3 多边形的内角和与外角和【例3】(泰安中考)如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3分别是∠BAE，∠AED，∠EDC的外角，则∠1＋∠2＋∠3等于(B)A．90°B．180°C．210°D．270°【思路点拨】由AB∥CD，推导∠B＋∠C＝180°，故∠B，∠C两角的外角和是180°，根据多边形外角和等于360°可计算∠1＋∠2＋∠3度数．【方法归纳】对于求多边形的外角和或部分外角的和的问题，都要根据任意多边形的外角和是360°以及邻角和其补角的互补关系这两个知识点，来解决问题．6．正多边形的一个内角的度数恰好等于它的外角的度数的3倍，则这个多边形的边数为8．7．如图，在六边形ABCDEF中，AB⊥AF，BC⊥DC，∠E＋∠F＝260°，求两外角和α＋β的度数．解：∵AB⊥AF，BC⊥DC，∴∠A＝∠C＝90°.又∵∠E＋∠F＝260°，∴∠EDC＋∠ABC＝(6－2)×180°－90°×2－260°＝280°.∴β＋α＝(180°－∠EDC)＋(180°－∠ABC)＝360°－(∠EDC＋∠ABC)＝80°.故两外角和α＋β的度数为80°.02整合集训一、选择题(每小题3分，共24分)1．已知平行四边形ABCD的周长为32 cm，AB＝4 cm，则BC的长为(B)A．4 cm B．12 cmD．16 cm D．24 cm2．(西宁中考)如果等边三角形的边长为4，那么等边三角形的中位线长为(A)A．2 B．4 C．6 D．83．(临沂中考)将一个n边形变成n＋1边形，内角和将(C)A．减少180°B．增加90°C．增加180°D．增加360°4．(乐山中考)如图，点E是▱ABCD的边CD的中点，AD，BE的延长线相交于点F，DF＝3，DE＝2，则▱ABCD 的周长为(D)A．5B．7C．10D．145．某平行四边形的对角线长为x，y，一边长为6，则x与y的值可能是(C)A．4和7 B．5和7C．5和8 D．4和176．(葫芦岛中考)如图，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝300°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P 的度数是(A)A．60°B．65°C．55°D．50°7．如图，在▱ABCD中，AB＝4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝1，则AE的长为(B)A．2 3 B．43C．4 D．88．已知在正方形的网格中，每个小方格的边长都相等，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，则以A，B 为顶点的网格平行四边形的个数为(D)A．6个B．8个C．10个D．12个二、填空题(每小题4分，共24分)9．(陕西中考)一个正多边形的外角为45°，则这个正多边形的边数是8．10．如图所示，在▱ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的一点，若添加一个条件AE＝FC或∠ABE＝∠CDF，则四边形EBFD为平行四边形．11．(娄底中考)如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E是AD的中点，△BCD的周长为18，则△DEO 的周长是9．12．(泉州中考)如图，顺次连接四边形ABCD四边的中点E，F，G，H，则四边形EFGH的形状一定是平行四边形．13．如图，在▱ABCD中，∠ABC＝60°，E，F分别在CD，BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，CF＝3，则AB 的长为3．14．在某张三角形纸片上，取其一边的中点，沿着过这点的两条中位线分别剪去两个三角形，剩下的部分就是如图所示的四边形；经测量这个四边形的相邻两边长为10 cm ，6 cm ，一条对角线的长为8 cm ；则原三角形纸片的周长是48_cm 或(32＋813)cm ．三、解答题(共52分)15．(6分)一个多边形的内角和与外角和的差为1 260度，求它的边数．解：设多边形的边数是n ，则(n －2)·180－360＝1 260.解得n ＝11. 答：它的边数为11.16．(8分)(陕西中考)如图，在▱ABCD 中，连接BD ，在BD 的延长线上取一点E ，在DB 的延长线上取一点F ，使BF ＝DE ，连接AF ，CE ，求证：AF∥CE.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC. ∴∠ADB ＝∠CBD. ∵BF ＝DE ，∴BF ＋BD ＝DE ＋BD ，即DF ＝BE.在△ADF 和△CBE 中，⎩⎨⎧AD ＝CB ，∠ADF ＝∠CBE，DF ＝BE ，∴△ADF ≌△CBE(SAS)． ∴∠AFD ＝∠CEB. ∴AF ∥CE.17．(8分)(永州中考)如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC，BN ⊥AN 于点N ，延长BN 交AC 于点D ，已知AB ＝10，BC ＝15，MN ＝3. (1)求证：BN ＝DN ； (2)求△ABC 的周长．解：(1)证明：∵AN 平分∠BAC， ∴∠BAN ＝∠DAN. ∵BN ⊥AN ，∴∠ANB ＝∠AND＝90°. 又∵AN＝AN ，∴△ABN ≌△ADN(ASA)．∴BN＝DN. (2)∵△ABN≌△ADN， ∴AD ＝AB ＝10，DN ＝NB. 又∵点M 是BC 中点，∴MN 是△BDC 的中位线． ∴CD ＝2MN ＝6.∴△ABC 的周长为AB ＋AC ＋BC ＝AB ＋AD ＋CD ＋BC ＝10＋10＋6＋15＝41.18．(10分)如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使EF ＝ED ，连接CF.(1)四边形DBCF 是平行四边形吗？说明理由；(2)DE 与BC 有什么样的位置关系和数量关系？说明理由．解：(1)四边形DBCF 是平行四边形．理由：∵E 是AC 的中点， ∴AE ＝CE.又∵EF＝ED ，∠CEF ＝∠AED， ∴△AED ≌△CEF(SAS)． ∴AD ＝CF ，∠A ＝∠ECF. ∴AD ∥CF ，即CF∥BD.又∵D 为AB 的中点，∴BD ＝AD.∴BD＝CF. ∴四边形DBCF 是平行四边形． (2)DE∥BC，DE ＝12BC. 理由：∵EF＝ED ，∴DE ＝12DF. 又∵四边形DBCF 是平行四边形， ∴DF ＝BC ，DF ∥BC. ∴DE ∥BC ，DE ＝12BC.19．(10分)(怀化中考)已知：如图，在△ABC 中，DE ，DF 是△ABC 的中位线，连接EF ，AD ，其交点为点O.求证： (1)△CDE≌△DBF； (2)OA ＝OD.证明：(1)∵DE，DF 是△ABC 的中位线， ∴DF ＝CE ，DF ∥CE ，DB ＝DC. ∵DF ∥CE ， ∴∠C ＝∠BDF.在△CDE 和△DBF 中，⎩⎨⎧DC ＝BD ，∠C ＝∠BDF，CE ＝DF ，∴△CDE ≌△DBF(SAS)．(2)∵DE，DF 是△ABC 的中位线， ∴DF ＝AE ，DF ∥AE.∴四边形DEAF 是平行四边形． ∵EF 与AD 交于点O ， ∴OA ＝OD.20．(10分)(扬州中考改编)如图，AC 为长方形ABCD 的对角线，将边AB 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点M 处，将边CD 沿CF 折叠，使点D 落在AC 上的点N 处． (1)求证：四边形AECF 是平行四边形；(2)若AB ＝6，AC ＝10，求四边形AECF 的面积．解：(1)证明：由折叠的性质可知：AM ＝AB ，CN ＝CD ，∠FNC ＝∠D＝90°，∠AME ＝∠B＝90°， ∴∠ANF ＝90°，∠CME ＝90°. ∵四边形ABCD 为长方形， ∴AB ＝CD ，AD ∥BC.∴AM ＝CN ，∠FAN ＝∠ECM. ∴AM －MN ＝CN －MN ，即AN ＝CM.在△ANF 和△CME 中，∠FAN ＝∠ECM，AN ＝CM ，∠ANF ＝∠CME， ∴△ANF ≌△CME(ASA)． ∴AF ＝CE. 又∵AF∥CE，∴四边形AECF 是平行四边形． (2)∵AB＝6，AC ＝10，∴BC ＝8.设CE ＝x ，则EM ＝8－x ，CM ＝10－6＝4. 在Rt △CEM 中，(8－x)2＋42＝x 2，解得x ＝5.∴S 四边形AECF ＝EC·AB＝5×6＝30.。

北师大版八年级下册数学期末总复习知识清单

八年级下册数学期末总复习知识清单（北师大版）学校：_______________班级：_______________姓名：_______________目录第一章三角形的证明第二章一元一次不等式与一元一次不等式组第三章图形的平移与旋转第四章因式分解第五章分式与分式方程第六章平行四边形第一章三角形的证明一、全等三角形判定、性质1、五种基本判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形专属判定定理）2、全等三角形的对应边相等、对应角相等。

【例题】如如如如如AC=AD如如ACB=如ADB=90°如如如如如如如如如如如A、1对B、2对C、3对D、4对【解析过程】如如如如ACB=如ADB=90°如AB=AB如AC=AD如如Rt如ACB如Rt如ADB如HL如如如BC=BD如如CAB=如DAB如如ABC=如ABD如如AC=AD如如CAE=如DAE如如如ACE如如ADE如SAS如如如BC=BD如如CBE=如DBE如BE=BE如如如BCE如如BDE如SAS如如如如如C如二、等腰三角形的性质定理：等腰三角形有两边相等；(定义)定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

推论1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。

（三线合一）推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。

等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；【例题1】如如如如如ABC如如AB=AD=DC如如BAD=26°如如如C如如如如【解析过程】【例题2】已知实数b a 、满足0)4(|2|2=-+-b a ，则以b a 、的值为两边的等腰三角形的周长是_________【解析过程】如如如如如如如a -2=0如b -4=0如如如a=2如b=4如如a=2如如如如如如如如如如如如如如4如4如2如如 4如4如2如如如如如如如如如如如如如如如10如如a=2如如如如如如如如如如如如如如4如2如2如2+2=4如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如如10如三、等腰三角形的判定1. 有关的定理及其推论定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”。

2023-2024学年八年级下学期北师大版数学期末综合复习题(含答案)

北师大版八年级年级数学下册期末综合复习测试题考试时间:120分钟满分150分一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，总分40分）1．下列生活中的现象，属于平移的是（）A．摩天轮在运行B．抽屉的拉开C．坐在秋千上人的运动D．树叶在风中飘落2．如果a＞b，那么一定有am＜bm，则m的取值可以是（）A．﹣10B．10C．0D．无法确定3．如图，Rt△ABC的斜边AB的垂直平分线MN与AC交于点M，∠A＝15°，BM＝2，则△AMB的面积为（）A．1B．2C．4D．54．若x2+kx﹣15能分解为（x+5）（x﹣3），则k的值是（）A．﹣2B．2C．﹣8D．85．算经之首《九章算术》中有这样一题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何？”其大意为“今有正方形小城，不知其大小，东南西北城墙正中央各开有一城门．出北城门20步处有一棵树，出南城门14步，转而西行1775步恰好能看见那棵树．问正方形小城的边长是多少？”若设正方形小城的边长为x步，则所列方程正确的是（）A．20x+14=x1775B．2020+x+14=x1775C．20x+14=12x1775D．2020+x+14=12x17756．如图，▱ABCD中，已知A（﹣1，2），C（2，﹣1），D（3，2），则点B的坐标为（）A ．（﹣3，﹣2）B ．（﹣2，﹣2）C ．（﹣3，﹣1）D ．（﹣2，﹣1）7．已知不等式组{x−m ＞1x +n ＜2的解集是﹣2＜x ＜0，则（m +n ）2024＝（）A ．2024B ．1C ．0D ．﹣18．如图，在四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点．若AB ＝6，CD ＝8，∠ABD ＝30°，∠BDC ＝120°，则EF 的长是（）A ．3B ．125C ．5D ．49．自然数a ，b ，c ，d 满足1a 2+1b 2+1c 2+1d 2=1，则1a 2+1b 3+1c 4+1d 5等于（）A ．14B ．38C ．716D ．153210．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CAB ＝30°，AC ＝63，D 为AB 上一动点（不与点A 重合），△AED 为等边三角形，过D 点作DE 的垂线，F 为垂线上任意一点，G 为EF 的中点，则线段BG 长的最小值是（）A ．23B ．6C ．33D ．9二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，总分20分）11．因式分解：3a 2﹣18a +27＝．12．平面直角坐标系中，若点A （a ，3）与B （﹣2，b ）关于原点对称，则a +b ＝．13．黄河流域两岸地带培育的大红枣，学名“木枣”，自古以来就被列为“五果”（桃、李、梅、杏、枣）之一“家家利”超市购进一批大红枣，一箱的进价为18元，标价为21元，在春节期间，该超市准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可以打折．14．若关于x的一元一次不等式组{2x+13≤34x−2＜3x+a 的解集为x≤4，且关于y的分式方程a−8y+2−yy+2=1的解均为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是．15．如图，∠BOD＝45°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OE⊥BD；②∠ADB＝30°；③DF=2AF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形，其中，判断正确的是．（填序号）三、解答题（本大题共11小题，总分90分）16．分解因式：8（x2﹣2y2）﹣x（7x+y）+xy．17．解不等式组：{7x−14≤0①2(x+3)＞x+4②，并把它的解集在数轴上表示出来．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE＝∠BAD．19．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＞AD ，∠B +∠C ＝90°，将AB ，CD 分别平移到EF 和EP 的位置．（1）求证：△EFP 为直角三角形．（2）若AD ＝5，CD ＝6，BC ＝15，求AB 的长．20．先化简：(1−4x +3)÷x 2−2x +12x +6，再从﹣3，1，2中选取一个合适的数作为x 的值代入求值．21．如图，E ，F 分别为▱ABCD 的边AD ，BC 的中点，G ，H 是对角线BD 上的两点，且BG ＝DH ，连接EG ，HF ．求证：△BFH ≌△DEG ．22．对于代数式ax 2+bx +c ，若存在实数n ，当x ＝n 时，代数式的值也等于n ，则称n 为这个代数式的不变值．例如：对于代数式x2，当x＝0时，代数式等于0；当x＝1时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作A．特别地，当代数式只有一个不变值时，则A＝0．（1）代数式x2﹣2x的不变值是，A＝；（2）已知代数式x2﹣bx+b．①若A＝0，求b的值；②若1≤A≤2，b为整数，求所有整数b的和．23．某商店欲购进A、B两种化妆品，用160元购进的A种化妆品与用240元购进的B种化妆品的数量相同，每件B种化妆品的进价比A种化妆品的进价贵10元．（1）求A、B两种化妆品每件的进价分别为多少元？（2）若该商店A种化妆品每件售价24元，B种化妆品每件售价35元，准备购进A、B两种化妆品共100件，且这两种化妆品全部售出后总获利高于468元，则最多购进A种化妆品多少件？24．如图，直线l1：y1＝kx+a分别交x轴，y轴于点A（﹣2，0），B（0，1）．直线l2：y2＝﹣2x+b分别交x轴，y轴于点C，D，与直线l1相交于点E，已知OB=13 OC．（1）求直线l1的表达式；（2）求三角形ACE的面积；（3）直接写出y1＞y2时，x的取值范围．25．如图1，在△OAB中，∠OAB＝90°，∠AOB＝30°，OB＝8．以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．26．已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．（1）【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB （填“＞”、“＜”或“＝”）．（2）【特例启发，解答题目】如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE DB （填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．（3）【拓展结论，设计新题】在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．参考答案一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，总分40分）1-5．BAABD 6-10．DBCDB．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，总分20分）11．3（a﹣3）2．12．﹣1．13．九．14．12．15．①③④．三、解答题（本大题共11小题，总分90分）16．解：（1）原式＝8x2﹣16y2﹣7x2﹣xy+xy＝x2﹣16y2＝（x+4y）（x﹣4y）．（2）{7x−14≤0①2(x+3)＞x+4②，由①得7x≤14，则x≤2，由②得2x+6＞x+4，则x＞﹣2，故原不等式组的解集为：﹣2＜x≤2，在数轴上表示其解集如下：17．证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∵BE⊥AC，∴∠BEC＝∠ADC＝90°，∴∠CBE＝90°﹣∠C，∠CAD＝90°﹣∠C，∴∠CBE＝∠CAD，∴∠CBE＝∠BAD．18．（1）证明：由平移的性质得AB ∥EF ，CD ∥EP ，∴∠B ＝∠EFP ，∠C ＝∠EPF ，∵∠B +∠C ＝90°，∴∠EFP +∠EPF ＝90°，∴∠FEP ＝90°，∴△EFP 是直角三角形；（2）解：由平移的性质得：AB ＝EF ，AE ＝BF ，ED ＝CP ，∴AD ＝AE +DE ＝BF +CP ，∵AD ＝5，BC ＝15，CD ＝6，∴PF ＝BC ﹣BF ﹣CP ＝BC ﹣AE ﹣DE ＝BC ﹣AD ＝10，EP ＝6，在Rt △EFP 中，由勾股定理得EF =PF 2−EP 2=102−62=8，∴AB ＝8．19．解：(1−4x +3)÷x 2−2x +12x +6=x +3−4x +3•2(x +3)(x−1)2 =x−1x +3•2(x +3)(x−1)2 =2x−1，∵x +3≠0，x ﹣1≠0，∴x ≠﹣3，x ≠1，∴当x ＝2时，原式=22−1=2．20．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ∥AD ，BC ＝AD ，∴∠HBF ＝∠GDE ．∵E ，F 分别为AD ，BC 的中点，∴BF ＝DE ，∵BG ＝DH ，∴BG +GH ＝DH +GH ，∴BH ＝DG ，在△BFH和△DEG中，{BF=DE∠HBF=∠EDGBH=DG，，∴△BFH≌△DEG（SAS）．21．解：（）1由题意得x2﹣2x＝x，解得：x1＝0，x2＝3，∴代数式x2﹣2x的不变值是0，3；∴A＝3﹣0＝3，故答案为：0，3；3；（2）①由题意得x2﹣bx+b＝x，即x2﹣（b+1）x+b＝0，∵A＝0，∴关于x的一元二次方程x2﹣（b+1）x+b＝0只有一个实数根，∴Δ＝[﹣（b+1）]2﹣4b＝0，解得：b＝1；②由题意得x2﹣bx+b＝x，即x2﹣（b+1）x+b＝0，设方程x2﹣（b+1）x+b＝0的两根为x1，x2，∴x1+x2＝b+1，x1x2＝b，∴(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=(b+1)2−4b=(b−1)2，∴A＝|b﹣1|，∵1≤A≤2，∴1≤|b﹣1|≤2，b为整数，∴当b＜1时，可得1≤1﹣b≤2，解得：﹣1≤b≤0；当b≥1时，可得1≤b﹣1≤2，解得：2≤b≤3；∴所有整数b的值为﹣1，0，2，3，∴所有整数b的和为﹣1+0+2+3＝4．22．解：（1）设A种化妆品每件的进价为x元，则B两种化妆品每件的进价为（x+10）元，由题意得：160x=240x+10，解得：x ＝20，经检验，x ＝20是原方程的解，且符合题意，则x +10＝30，答：A 、B 两种化妆品每件的进价分别为20元、30元；（2）设购进A 种化妆品y 件，则购进B 种化妆品（100﹣y ）件，由题意得：（24﹣20）y +（35﹣30）（100﹣y ）＞468，解得：y ＜32，答：最多购进A 种化妆品31件．23．如图，直线l 1：y 1＝kx +a 分别交x 轴，y 轴于点A （﹣2，0），B （0，1）．直线l 2：y 2＝﹣2x +b 分别交x 轴，y 轴于点C ，D ，与直线l 1相交于点E ，已知OB =13OC ．（1）求直线l 1的表达式；（2）求三角形ACE 的面积；（3）直接写出y 1＞y 2时，x 的取值范围．解：（1）根据题意得{−2k +a =0a =1，解得{k =12a =1，∴直线l 1的表达式为y 1=12x +1；（2）∵B （0，1），∴OB ＝1，∵OB =13OC ，∴OC ＝3OB ＝3，∴C （3，0），把C（3，0）代入y2＝﹣2x+b得﹣6+b＝0，解得b＝6，∴y2＝﹣2x+6，联立{y=12x+1y=−2x+6，{x=2y=2，∴E（2，2），∵A（﹣2，0），∴S△AEC=12×5×2＝5；（3）∵B（0，1），∴OB＝1，∵OB=13 OC，∴OC＝3OB＝3，∴C（3，0），把C（3，0）代入y2＝﹣2x+b得﹣6+b＝0，解得b＝6，∴y2＝﹣2x+6，解不等式12x+1＞﹣2x+6得x＞2，即y1＞y2时，x的取值范围为x＞2．24．（1）证明：∵Rt △OAB 中，D 为OB 的中点，∴AD =12OB ，OD ＝BD =12OB ∴DO ＝DA ，∴∠DAO ＝∠DOA ＝30°，∠EOA ＝90°，∴∠AEO ＝60°，又∵△OBC 为等边三角形，∴∠BCO ＝∠AEO ＝60°，∴BC ∥AE ，∵∠BAO ＝∠COA ＝90°，∴CO ∥AB ，∴四边形ABCE 是平行四边形；（2）解：设OG ＝x ，由折叠可得：AG ＝GC ＝8﹣x ，在Rt △ABO 中，∵∠OAB ＝90°，∠AOB ＝30°，BO ＝8，∴AO ＝BO •cos30°＝8×32=43，在Rt △OAG 中，OG 2+OA 2＝AG 2，x 2+（43）2＝（8﹣x ）2，解得：x ＝1，∴OG ＝1．25．解：（1）当E 为AB 的中点时，AE ＝DB ；（2）AE ＝DB ，理由如下，过点E 作EF ∥BC ，交AC 于点F ，证明：∵△ABC 为等边三角形，∴△AEF为等边三角形，∴AE＝EF，BE＝CF，∵ED＝EC，∴∠D＝∠ECD，∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD，∴∠DEB＝∠ECF，在△DBE和△EFC中，{DE=CE∠DEB=∠ECF，BE=FC∴△DBE≌△EFC（SAS），∴DB＝EF，则AE＝DB；（3）点E在AB延长线上时，作EF∥AC，则△EFB为等边三角形，如图所示，同理可得△DBE≌△CFE，∵AB＝1，AE＝2，∴BE＝1，∵DB＝FC＝FB+BC＝2，则CD＝BC+DB＝3．。

北师大版八年级数学下册第五章分式与分式方程章末复习课件(共53张)

第五章分式与分式方程
章末复习
第五章分式与分式方程
章末复习
知识框架归纳整合素养提升中考链接
章末复习
知识框架
分母不为零
分式有意义的条件
分子为零, 且分式的值为
分母不为零
零的条件
分式的基本性质
分式的约分
分式的通分
分式的概念
分式的性质
分式的运算
分式的乘法运算
分式的除法运算
分式的乘方
章末复习
素养提升
专题运用“整体思想”求分式的值
【要点指点】当题目按常规解法不易求解或不能求解时 , 可以利用整体代入法解题 , 也就是说先把条件和待求的式子进行整理 , 寻求两者相同的部分 ,代入求值. 在求分式的值时 , 可以恰当运用整体思想 , 把复杂问题简单化 .
有意义．
要使分式
无意义 , 则应满足 ( x + 3)( x - 4) = 0 , 解
得 x=- 3且 x = 4 ．所以当 x =- 3 且 x = 4 时 , 分式无意义．
章末复习
相关题1 (1)在分式
中 , 当 x =- m时 , ( C ) .
A ．分式的值为零
B ．分式无意义
C ．且 m ≠ 时 , 分式的值为零
章末复习
分析设(1) 设乙队单独完成此项任务需 x 天 , 则甲队单独完成此项任务需
( x + 10) 天 , 所以乙队的工作效率为 , 单独施工 30 天的工作量为 , 甲
队的工作效率为
, 单独施工 45 天的工作量
, 根据等量关系构
造方程求解． (2) 根据题意有不等关系：甲队的工作量 ≥ 乙队的工作量

专题04 一元一次不等式(组)含参数及一次函数问题(解析版)八年级数学下册期末综合复习(北师大版)

2020-2021学年八年级数学下册期末综合复习专题提优训练（北师大版）专题04一元一次不等式（组）含参数及一次函数问题【典型例题】1．如果一元一次不等式（m+2）x＞m+2的解集为x＜1，则m必须满足的条件是（）A．m＜﹣2B．m≤﹣2C．m＞﹣2D．m≥﹣2【答案】A【分析】根据解集中不等号的方向发生了改变，得出m+2＜0，求出即可．【详解】解：∵不等式（m+2）x＞m+2的解集是x＜1，∵m+2＜0，∵m＜﹣2，故选：A．【点睛】本题考查了一元一次不等式，解题关键是明确不等式性质，列出不等式求解．2．若不等式组531x xx m+<-⎧⎨>⎩的解集是3x>，则m的取值范围是_________．【答案】3m≤【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集结合口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了可得答案．【详解】解：x+5＜3x-1，得：x＞3，∵不等式组的解集是x＞3，∵m≤3，故答案为：m≤3．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【专题训练】一、选择题1．若（m ﹣1）x ＞m ﹣1 的解集是 x ＜1，则 m 的取值范围是（）A ．m ＞1B ．m ≤﹣1C ．m ＜1D ．m ≥1 【答案】C【分析】根据已知不等式的解集，利用不等式的基本性质求出m 的范围即可．【详解】解：∵（m -1）x ＞m -1的解集为x ＜1，∵m -1＜0，解得：m ＜1，故选：C ．【点睛】本题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．2．若关于x 的一元一次方程13mx x -=的解为正实数，则m 的取值范围是（）A ．3m ≥B ．3m ≤C ．3m >D ．3m < 【答案】C【分析】根据题意可得x ＞0，将x 化成关于m 的一元一次方程，然后根据x 的取值范围即可求出m 的取值范围．【详解】解：由mx -1=3x ，移项、合并，得（m -3）x =1，∵x =13m -， ∵方程mx -1=2x 的解为正实数，∵103m >-，解得m ＞3．故选：C ．【点睛】此题考查的是一元一次方程的解法，将x 用含m 的代数式来表示，根据x 的取值范围可求出m 的取值范围． 3．若不等式8x a x ≤⎧⎨>⎩无解，则a 得取值范围是（） A ．8a <B ．8a >C ．8a ≤D ．8a ≥【答案】C【分析】根据已知和找不等式组解集的规律得出答案即可．【详解】解：∵不等式组8x a x ≤⎧⎨>⎩无解， ∵a 的取值范围是8≥a ，即a ≤8，故选C ．【点睛】本题考查了不等式的解集和解不等式组，能熟记找不等式组解集的规律是解此题的关键．4．若一次函数y x m =-+的图象经过点()1,2-，则不等式2x m -+≥的解集为（）A ．0x ≥B ．0x ≤C ．1x ≥-D ．1x ≤-【答案】D【分析】先把()1,2-代入y x m =-+中求出m ，然后解不等式2x m -+≥即可．【详解】解：把()1,2-代入y x m =-+得12m +=，解得1m =，所以一次函数解析式为1y x =-+，解不等式12x -+≥得1x ≤-．故选：D ．本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y =kx +b 的值大于（或小于）0的自变量x 的取值范围．5．若不等式组2425x a x b +>⎧⎨-<⎩的解集是02x <<，则 a b +的值是（） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】先分别用a 、b 表示出各不等式的解集，然后根据题中已知的解集，进行比对，从而得出两个方程，解答即可求出a 、b ，由此即可求解．【详解】 24{25x a x b +->①<②， ∵由①得，x ＞4-2a ；由②得，x ＜52b +， ∵不等式组24{25x a x b +-><的解是0＜x ＜2， ∵此不等式组的解集为：4-2a ＜x ＜52b +， ∵4-2a =0， 52b +=2，解得a =2，b =-1，∵a +b =1．故选A ．【点睛】本题考查了根据不等式组的解集的情况求参数，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键．6．若关于x 的不等式组20219x a x -<⎧⎨+≥-⎩有两个整数解，则a 的取值范围是（） A ．43a -<<-B ．43a -<-C ．86a -<-D ．86a -<-【答案】C先求出不等式组的解集，根据已知得出关于a 的不等式组，求出不等式组的解集即可．【详解】解：20219x a x -<⎧⎨+-⎩≥①②，∵解不等式①得：x ＜2a ，解不等式②得：x ≥-5， ∵不等式组的解集是-5≤x ＜2a ， ∵关于x 的不等式组20219x a x -<⎧⎨+≥-⎩有两个整数解， ∵-4＜2a ≤-3，解得：-8＜a ≤-6，故选：C ．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于a 的不等式组是解此题的关键．7．若关于x 的一元一次不等式组21341x x x a⎧>-⎪⎨⎪+≥⎩恰有3个整数解，且一次函数()21y a x a =-++不经过第三象限，则所有满足条件的整数a 的值之和是（）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】C【分析】根据关于x 的一元一次不等式组21341x x x a⎧>-⎪⎨⎪+≥⎩恰有3个整数解，可以求得a 的取值范围，再根据一次函数()21y a x a =-++不经过第三象限，可以得到a 的取值范围，结合不等式组和一次函数可以得到最后a 的取值范围，从而可以写出满足条件的a 的整数值，然后相加即可．【详解】解：由不等式组21341x x x a⎧>-⎪⎨⎪+≥⎩，得134a x -≤<， ∵关于x 的一元一次不等式组21341x x x a⎧>-⎪⎨⎪+≥⎩恰有3个整数解， ∵1104a --<≤，解得-3＜a ≤1，∵一次函数y =（a -2）x +a +1不经过第三象限，∵a -2＜0且a +1≥0，∵-1≤a ＜2，又∵-3＜a ≤1，∵-1≤a ≤1，∵整数a 的值是-1，0，1，∵所有满足条件的整数a 的值之和是：-1+0+1=0，故选：C ．【点睛】本题考查一次函数的性质、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，求出a 的取值范围，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．8．如图，直线y ax b =+（0a ≠）过点()0,5A ，()3,0B -，则方程0ax b +>的解集是（）A ．3x >-B ．3x <-C ．5x >D ．35x >- 【答案】A【分析】所求不等式的解集，即为函数y =ax +b 图象在x 轴上方部分的横坐标即可．【详解】解：∵直线经过点A （0，5）和B （-3，0），∵当x ＞-3时，直线在x 轴上方，∵ax +b ＞0，故选A ．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式.注意掌握从函数的角度看，就是求使一次函数y =kx +b 的值大于（或小于）0的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y =kx +b 在x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．9．如图，在平面直角坐标系中，直线2y x =-和 1.2y ax =+相交于点(,1)A m ，则不等式2 1.2x ax -<+的解集为（）A ．12x <-B ．1x <C ．1x >D ．12x >- 【答案】D【分析】首先利用待定系数法求出点A 的坐标，在观察图象，写出直线y =-2x 在直线y =ax +1.2的下方所对应的自变量的范围即可．【详解】解：∵函数2y x =-过点(),1A m ，∵21m -=，解得：12m =-， ∵1,12A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，不等式24x ax -<+在函数图像上表现为 1.2y ax =+图像在2y x =-函数图像上方，在交点A 的右侧满足条件，∵不等式24x ax -<+的解集为12x -＞．故答案选D ．【点睛】本题主要考察了一次函数与一元一次不等式关系，对题意的准确理解是解题的关键．二、填空题10．若关于x 的不等式103x m -<的非负整数解只有3个，则m 的取值范围是________．【答案】23＜m ≤1 【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含m 的式子表示，根据非负整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于m 的不等式，从而求出m 的范围．【详解】解：解不等式103x m -<，得3x m <， ∵不等式103x m -<的非负整数解只有3个， ∵不等式的非负整数解为0、1、2，则2＜3m ≤3，解得：23＜m ≤1，故答案为：23＜m ≤1．【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解出不等式的解集，正确确定3m 的范围是解决本题的关键．解不等式时要用到不等式的基本性质．11．已知关于x 的不等式0ax b +>的解集为12x <，则不等式0bx a +<的解集是________．【分析】根据不等式的性质3，可得a 、b 的关系，再根据不等式的性质，可得答案．【详解】解：由关于x 的不等式ax ＋b ＞0的解集为12x <，得a ＜0，12b a -=， ∵a ＝−2b ＜0，即：b ＞0，解0bx a +<得：x ＜a b -＝2b b＝2．故答案为：x ＜2．【点睛】本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出a ＝−2b ＜0，是解题关键． 12．若关于x 的不等式组100x x a ->⎧⎨-<⎩无解，则a 的取值范围是__________．【答案】1a ≤【分析】将不等式组解出来，根据不等式组100x x a ->⎧⎨-<⎩无解，求出a 的取值范围．【详解】解：解100x x a ->⎧⎨-<⎩得1x x a>⎧⎨<⎩， ∵100x x a ->⎧⎨-<⎩无解， ∵a ≤1．故答案为：a ≤1．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，会根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值．一般方法是先解不等式组，再根据解集求出特殊值．13．若关于x 的一元一次不等式组23(2)x x x m >-⎧⎨<⎩的解集是6x <，则m 的取值范围是____．【分析】先求出23(2)x x >-的解集，然后根据同小取小，即可求出m 的取值范围．【详解】解：∵23(2)x x x m >-⎧⎨<⎩，解得：6x x m <⎧⎨<⎩， ∵一元一次不等式组23(2)x x x m >-⎧⎨<⎩的解集是6x <， ∵6m ≥；故答案为：6m ≥．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是正确求出不等式的解集．14．若关于x 的一元一次不等式组10x x a ->⎧⎨<⎩有2个整数解，则a 的取值范围是_____．【答案】34a <≤【分析】分别求出每一个不等式的解集，确定不等式组的解集，再结合不等式组的整数解的个数得出关于a 的不等式组，解之可得答案．【详解】解不等式10x ->，得：1x >，则不等式组的解集为1x a <<，不等式组有2个整数解，不等式组的整数解为2、3，则34a <≤，故答案为：34a <≤．【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，根据不等式组的整数解得出关于a 的不等式组是解答此题的关键．15．已知关于x ，y 的方程组2315x y k x y k -=⎧⎨+=-⎩的解满足不等式﹣3≤x +y ≤1，则实数k 的取值范围为__________________．【答案】1733k -≤≤ 【分析】根据关于x ，y 的方程组2315x y k x y k -=⎧⎨+=-⎩可得132k x y -+=，然后代入不等式﹣3≤x +y ≤1进行求解即可．【详解】解：由关于x ，y 的方程组2315x y k x y k -=⎧⎨+=-⎩①② 可①+②得：2213x y k +=-，则有132k x y -+=，代入不等式﹣3≤x +y ≤1得：13312k --≤≤，解得：1733k -≤≤；故答案为1733k -≤≤．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法及一元一次不等式组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法及一元一次不等式组的解法是解题的关键．16．若关于x 的不等式组()322312x x x a ⎧->-⎨-<-⎩的所有整数解的和是5-，则a 的取值范围是______．【答案】10a -<≤或23a <≤【分析】解不等式组得出解集，根据整数解的和为-5，可以确定整数解必含-3，-2这两个数，再根据解集确定a 的取值范围．【详解】解：解不等式组()322312x x x a ⎧->-⎨-<-⎩，得：-4＜x <a -1， ∵所有整数解的和是-5，-5=(-3)+(-2) ，∵不等式组的整数解为①-3，-2或②-3，-2，1，0，1，∵211a -<-≤-或112a <-≤，∵10a -<≤或23a <≤，故答案为： 10a -<≤或23a <≤．【点睛】考查一元一次不等式组的解集、整数解，根据整数解和解集确定待定字母的取值范围，在确定的过程中，不等号的选择应认真细心，切实选择正确．17．一次函数y 1＝kx +b 与y 2＝x +a 的图象如图，则下列结论：①k ＜0；②a ＞0；③关于x 的方程kx ﹣x ＝a ﹣b 的解是x ＝3；④当x ＜3时，y 1＜y 2中．则正确的序号有____．【答案】①③．【分析】根据一次函数的性质对①②进行判断；利用一次函数与一元一次方程的关系对③进行判断；利用函数图象，当x ＜3时，一次函数y 1＝kx +b 在直线y 2＝x +a 的上方，则可对④进行判断．【详解】解：∵一次函数y 1＝kx +b 经过第一、二、三象限，∵k ＜0，b ＞0，所以①正确；∵直线y 2＝x +a 的图象与y 轴的交点在x 轴，下方，∵a ＜0，所以②错误；∵一次函数y 1＝kx +b 与y 2＝x +a 的图象的交点的横坐标为3，∵x ＝3时，kx +b ＝x ﹣a ，整理得kx ﹣x ＝a ﹣b ，所以③正确；当x ＜3时，y 1＝kx +b 图像在y 2＝x +a 图像的上方，∵y 1＞y 2，所以④错误．故答案为①③．【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系，掌握一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系是解题关键．18．在同一平面直角坐标系中，函数y 1＝kx +b 与y 2＝mx +n 的图象如图所示，则关于x 的不等式kx +b ≥mx +n 的解集为__．【答案】x ≥2【分析】直接利用函数图象，结合kx +b ≥mx +n ，得出x 的取值范围．【详解】解：如图所示：不等式kx +b ＞mx +n 的解集为：x ≥2．故答案为：x ≥2．【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确利用函数图象求解是解题的关键．三、解答题19．在平面直角坐标系中，直线1I ：111y k x b =+与x 轴交于点()12,0B ，与直线2I ：22y k x =交于点()6,3A ．（1）分别求出直线1I 和直线2I 的表达式；（2）直接写出不等式112k x b k x +<解集．【答案】（1）1162y x =-+；212y x =；（2）6x > 【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）利用图像直线1I ：111y k x b =+在直线2I 的下方时，有不等式112k x b k x +<，写出范围即可．【详解】解：（1）把点()6,3A ，()12,0B 代入直线1l ：111y k x b =+，得111163120k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得11126k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线1l 的表达式为1162y x =-+；将()6,3A 代入直线2l ：22y k x =，得，236k =，解得212k =， ∴直线2l 的表达式为212y x =；（2）不等式112k x b k x +<，根据图像直线1I ：111y k x b =+在直线2I 的下方，在交点A 右侧部分满足条件，所以6x >．【点睛】本题考查待定系数法求解析式，利用图像解不等式，掌握待定系数法求解析式方法，利用图像解不等式，一看位置，二找交点，三定方向，写出范围是解题关键．20．在平面直角坐标系中，过点(1,2)A 的直线1l 与直线2:l y x m =+交于点(4,3)B ．（1）求直线1l 、2l 的解析式；（2）若直线y kx =与线段AB 恰有一个公共点，则k 的取值范围是．【答案】（1）直线1l 的表达式为1533y x =+；直线2:1l y x =-；（2）324k 【分析】（1）由待定系数法求出直线解析式即可；（2）求得直线y =kx 分别经过A 、B 时的k 的值，即可求得k 的取值．【详解】解：（1）点(4,3)B 在直线2:l y x m =+上， 34m ∴=+，解得1m =-．∴直线2:1l y x =-，点(1,2)A 和(4,3)B 在直线1l 上，设1:l y ax b =+，∴243a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得1353a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线1l 的表达式为1533y x =+．（2）把点(1,2)A 代入y kx =，求得2k =，把点(4,3)B 代入y kx =，求得34k =， ∴若直线y kx =与线段AB 恰有一个公共点，则k 的取值范围是324k ，故答案为：324k ．【点睛】本题考查了两直线相交的问题，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象与系数的关系，熟练掌握待定系数法是解题的关键．21．已知关于x ，y 的方程组325x y a x y a-=+⎧⎨+=⎩．（1）若x ，y 为非负数，求a 的取值范围；（2）若x y >，且20x y +<，求x 的取值范围．【答案】（1）a ≥2；（2）-5＜x ＜1【分析】（1）解方程组，用a 表示x 和y ，再根据x ，y 为非负数得到不等式组，解之即可；（2）根据x ＞y ，且2x +y ＜0，列出不等式组，求出a 的取值范围，可得x 的范围．【详解】解：（1）解方程组325x y a x y a -=+⎧⎨+=⎩，得212x a y a =+⎧⎨=-⎩， ∵x ，y 为非负数，∵21020a a +≥⎧⎨-≥⎩，解得：a ≥2；（2）∵x y >，且20x y +<，∵()21222120a a a a +>-⎧⎪⎨++-<⎪⎩①②，解不等式①得：a >-3,解不等式②得：a <0,∵不等式组的解集为：-3＜a ＜0，∵-6＜2a ＜0，∵-5＜2a +1＜0，∵-5＜x ＜1．【点睛】本题考查的是解二元一次方程组，解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．22．若方程组3133x y m x y m+=+⎧⎨+=-⎩的解满足x 为非负数，y 为负数．（1）请写出x y +=_____________；（2）求m 的取值范围；（3）已知4m n +=，且2n >-，求23m n -的取值范围．【答案】（1）1；（2）m ＞2；（3）-2＜2m -3n ＜18【分析】（1）将两个方程相加，化简可得x +y ；（2）解方程组得出x 、y ，由x 为非负数，y 为负数得出关于m 的不等式组，解之可得；（3）根据m +n =4，n ＞-2可得m 的范围，将n =4-m 代入2m -3n 中，利用不等式的性质可得取值范围．【详解】解：（1）3133x y m x y m +=+⎧⎨+=-⎩①②， ①+②得：444x y +=，∵1x y +=；（2）解方程组3133x y m x y m +=+⎧⎨+=-⎩得： 12112x m y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩， ∵方程组的解满足x 为非负数，y 为负数， ∵1021102m m ⎧≥⎪⎪⎨⎪-+<⎪⎩，解得：m ＞2；（3）∵m +n =4，∵n =4-m ＞-2，∵m ＜6，∵2＜m ＜6，∵2m -3n =2m -3（4-m ）=5m -12，∵10＜5m ＜30，∵-2＜5m -12＜18，即-2＜2m -3n ＜18．【点睛】本题考查的是解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解题的关键是理解题意，掌握相应的运算法则． 23．已知：如图一次函数12y kx =-与x 轴相交于点()2,0B-，2y x b =+与x 轴相交于点()4,0C ，这两个函数图象相交于点A ．（1）求出k ，b 的值和点A 的坐标；（2）连接OA ，直线2y x b =+上是否存在一点P ，使13OCP OAC S S ∆∆=.如果存在，求出点P 的坐标；（3）结合图象，直接写出12y y ≥时x 的取值范围．【答案】(1)-1，-4，（1，-3）．（2）P 点坐标为（5，1）或（3，1）；（3）当x ≤1时，12y y ≥．【分析】(1)把()2,0B -，()4,0C 分别代入两个解析式，联立两个解析式，解方程组即可；(2)根据13OCP OAC S S ∆∆=求出点P 的纵坐标，代入解析式即可； (3)观察图象直接判断即可．【详解】解：(1) 把()2,0B -代入12y kx =-得，0-22k =-，解得，1k =-；把()4,0C 代入2y x b =+得，04b =+，解得，4b =-；联络方程组得，24y x y x =--⎧⎨=-⎩，解得，13x y =⎧⎨=-⎩， A 点坐标为：A （1，-3）．(2)由（1）OC =3，A （1，-3）．193322OAC S ∆=⨯⨯=， 3123OCP OAC S S ∆∆==，设P 点坐标为（x ,y ），12OCP S OC y ∆=⨯， 31322y =⨯⨯， 1y =，当y =1时，1=x -4，x =5，P 点坐标为（5，1）；当y =-1时，-1=x -4，x =3，P 点坐标为（3，1）；纵上，P 点坐标为（5，1）或（3，1）；(3)根据图象可知，在A 点或A 点左侧时，12y y ≥，故当x ≤1时，12y y ≥．【点睛】本题考查了一次函数图象和性质，解题关键是熟练运用一次函数知识，用待定系数法求解析式，结合一次函数的性质求点的坐标．。