三角形培优

初中数学竞赛试题之三角形
满分： 100 分 时间：100分钟 一．选择题（共6小题，每题3分，共18分）
1．在△ABC 中，AB=AC ，AB 的中垂线与AC 所在直线相交所得的锐角为50°，则∠B 的度数为（ ）
A ．40°
B ．70°
C ．70°或20°
D ．40°或70° 2．如图，在△ABC 中，∠C=90°，
AB=
3
，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，若AD ∶DC=5∶2，则点D 到AB 的距离为（ ） A ．10 B ．4
C
．
3
D
3．如图，△ABC 中，AB=AC=BD ，∠ADC=108°，则下列选项不正确的是（ ） A ．点D 是线段BC 的黄金分割点 B ．△ABD 中∠BAD 的角平分线与CD 相等 C ．BC-AD=CA
D ．
4．如图，△ABC 中，∠B 、∠C 的角平分线相交于点O ，过点O 分别作三边的平行线，若AB ∶BC ∶CA=6∶7∶5，则阴影部分面积之和与△ABC 面积之比为（ ）
A ．
73
162
B ．13
C ．
718 D ．25146
5．已知在Rt △ABC 中，D 为AC
上一点，190,,
2AB C ABD BDC CD ︒
∠=∠=∠=AD
BC
等于（ ）A ．
B ．2
C ．
D ．
6.老师给小明一道数学题，要求他将题补充完整：某农民要在一块面积为144米2的矩形荒地上建一个花坛, 花坛四周是宽度为1米的小路，中央是矩形的花圃，要求花圃面积为99.2米2．已知小明列出的方程为99.2
[(1)(
1)]244.8x x
+++⨯=，那么小明找的等量关系是（ ）
A ．荒地的长或宽 Ｂ．四周小路的面积 Ｃ．花圃的长或宽 Ｄ．只有设两个未知数才能解决问题
二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
33
22321 A Ｂ Ｃ
Ｅ 第7题 第2题
第3题 第4题 A D B
A
B
C
7.如图所示，□ABCD 中，∠BCD 的平分线CE 交AD 于点Ｅ，DE = 2AE = 4cm ，梯形ABCE 的面积为12.8cm 2，则CE 的长为_______。

8.将两只三角板如图所示的放置，有两条边恰好完全重合，记上、下两块三角板的面积分别 为1S 、2S ，若能覆盖它们的最小的圆面积为0S ，则
12
S S S +=______。

9．三边皆为整数的等腰三角形的周长为11，则其面积的可能值有 。

10．腰长为2 cm 的等腰三角形的面积为1 cm 2，则它的底边长为 。

11．如图，BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，已知AE ∶FC=9∶5，AB=30cm ，BC=26cm ，则△DEF 的面积为 。

12．如图，把一张矩形纸片ABCD 沿BD 对折，使点C 落在E 处，BE 与AD 相交于点O ，若BC=8，BC :1:3AED A D S S ∆=矩形 ，则AE= 。

13．如图，△ABC 中，BC=5，AB 的中垂线PD 交BC 于D ，AC 的中垂线QE 交BC 于E ，
PQ 分别交AD 、CE 于点F 、G ，则折线DFGE 的长度为 。

14. 如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使得点A 恰与点Ｃ重合；已知折痕EF =5cm ，且折叠后所得图形的面积与原矩形面积之比等于11∶16，那么原矩形的周长为 。

三．解答题（共8大题，共58分）
15．（5分）如图，在ΔABC 中，10,8AB AC BC ===．用尺规作图作AC 边上的中线BD
（保留作图痕迹，不要求写作法、证明），并求BD 的长。

16．如图，△ABC 中，AC=BC ，∠C=90°，AD 是△ABC 的角平分线； (1)（3分）若CD=5，求AC 的长； (2)（4分）求证：AB=AC+CD 。

第14题
第
8
题
17.如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线D 交AC 于点E ，CE 的垂直平分线正好经过点B ，与A 相交于点F ； （1）（3分）求∠A 的度数；（2）（4分）求cos ∠CBE 。

18．如图，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，将矩形ABCD 沿CE 折叠后，使点D 恰好落
在对角线AC 上的点F 处。

(1)（3分）求梯形ABCE 的面积；(2)（3分）延长EF 交BC 于点G ，试求BF
AG。

19.△ABC 中，22.5,30,4ABC C AC ︒︒∠=∠==，AB 的中垂线OD 交BC 边于点D ，连结AD ；
(1) （2分）求∠DAC 的度数； (2) （3分）求△ABC 的面积；
(3)（3分）直线DO 与CA 的延长线交于点E ，试求BE 。

20. 如图，正方形ABCD 内一点P ，1,PA PD PC == （1）（2分）求APD ∠； （2）（3分）求证：~APD DPB ∆∆； （3）（2分）求PB 。

21.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=10cm ，BC=15cm ，点P 从A 出发沿AC 向C 点以1厘米/秒的速度匀速移动；点Q 从C 出发沿CB 向B 点以2厘米/
速移
动．点P 、Q 分别从起点同时出发，移动到某一位置时所需时间为t 秒； (1) （
2分）当t = 4时，求线段PQ 的长度；
(2) （3分）当t 为何值时，△PCQ 的面积等于16cm 2？
(3)（3分）点O 为AB 的中点，连结OC ，能否使得PQ ⊥OC ？若能，求出t 的值； 若不能，请说明理由。

22. 在△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=80°，BD 、AE 分别是∠ABC 、∠BAC 的角平分线，且交于点O ，F 、G 分别为AB 、AC 上一点，使得CB=CF=CG ； (1)（2分）求证：
2BO BE
DO CE
=； (2)（2分）请找出图中的相似三角形（不包括全等三角形）；
(3)（6分）求证：AF 的长是方程32
680k k -+=的一个根；
BF 的长是方程32
1280t t -+=的一个根。

三角形边角竞赛试题精选
1.如图20所示的七角星形中，已知∠B=140,∠C=150,∠F=160，并且∠A+∠D+∠E+∠G=k ·450，则k 等于 。

2.如图21，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H 的度数为 度。

3.（山东省初中数学竞赛试题）如图22，CGE α∠=，则A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=（ ）
(A) 0360α- (B) 0270α- (C) 0
180α+ (D) 2α
C
G
E
C
D
图20 图21 图22
4.（1996年“希望杯”全国数学邀请赛初二试题）
已知：如图23，DO 平分∠ADC ，BO 平分∠ABC ，且∠A=270，∠O=330，则∠C 的大小是 .
5.（1994年四川省初中数学竞赛试题）
如图24，已知∠xoy=900，点A 、B 分别在射线ox 、oy 上移动，∠OAB 的内角平分线与∠OBA 的外角平分线交于点C .试问∠ACB 的大小是否变动？证明你的结论. 6.（江苏省第十五届初中数学竞赛初二第1试试题）
如图25，XK ，ZF 是△XYZ 的高且交于一点H ，∠XHF ＝400
，那么∠XYZ ＝ 度.
A B
F X Y
图23 图24 图25
7.在△ABC 中，∠A=70°，∠B=50°，过A 、B 两点分别作BC 和AC 的垂线，这两条垂线相
交于O ，则∠AOB 等于( ) A.120° B.60° C.70°或50° D.60°或120°
8.（江苏省第十八届初中数学竞赛初一年级第1试）
如图26，在一个正方体的两个面上画了两条对角线AB ，AC ，那么这两条对角线的夹角等于（ ）
A 、600
B 、750
C 、900
D 、1350
9. (2004年富阳市初一数学竞赛试卷)
如图27，已知AB ∥ED ，∠C ＝900，∠ABC ＝∠DEF ，∠D ＝1300，∠F ＝1000
，求∠E 的大小。

10.（1988年上海市初二数学竞赛）
一个六边形的六个内角都是1200
,连续四边的长依次是1,3,3,2,则该六边形的周长是____.
11.已知空间中有8个点，其中任四点不在同一个平面上，在这8点中间连结21条线段，则
这些线段最多能构成的三角形的个数为（ ） (A)56 (B)35 (C)21 (D)以上都不对
12.平面上有n 个点，其中每三个点都是某个正三角形的顶点，则n 的最大值是 .
13. (1988年上海市初二数学竞赛试题) ABC ∆中，
A ∠是最小角，
B ∠是最大角,且25B A ∠=∠,若B ∠的最大的值是m 0最小值是n 0
,则m n += . 14.如图28所示,四边形ABCD 中,AB=AC=AD,
(1) 若∠DAC=2∠BAC,则∠DBC=2∠BDC,说明理由;
(2) 试猜想当∠DAC=3∠BAC,∠DAC=4∠BAC,…,∠DAC=n ∠BAC 时,∠DBC 与∠BDC 有何关系?并说明你的
O
D
C
B
A。