中考数学直角三角形的边角关系(大题培优 易错 难题)及答案

本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，锐角三角函
数，多边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.
2．如图，在△ ABC 中，AB=7.5，AC=9，S△ ABC= 81 ．动点 P 从 A 点出发，沿 AB 方向以每秒 4
5 个单位长度的速度向 B 点匀速运动，动点 Q 从 C 点同时出发，以相同的速度沿 CA 方向 向 A 点匀速运动，当点 P 运动到 B 点时，P、Q 两点同时停止运动，以 PQ 为边作正△ PQM （P、Q、M 按逆时针排序），以 QC 为边在 AC 上方作正△ QCN，设点 P 运动时间为 t 秒． （1）求 cosA 的值；
中考数学直角三角形的边角关系(大题培优 易错 难题)及答案
一、直角三角形的边角关系
1．已知：如图，在四边形 ABCD 中， AB∥ CD， ∠ ACB =90°， AB=10cm， BC=8cm， OD 垂 直平分 A C．点 P 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，点 Q 从点 D 出 发，沿 DC 方向匀速运动，速度为 1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点 P 作 PE⊥AB，交 BC 于点 E，过点 Q 作 QF∥ AC，分别交 AD， OD 于点 F， G．连接 OP， EG．设运动时间为 t ( s )（0＜t＜5） ，解答下列问题： （1）当 t 为何值时，点 E 在 BAC 的平分线上？ （2）设四边形 PEGO 的面积为 S(cm2) ，求 S 与 t 的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使四边形 PEGO 的面积最大？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由； （4）连接 OE， OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使 OE⊥OQ？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由．
8
5 4
t
Fra Baidu bibliotek
3 5
t
1 2
3
8
5 4
t
= 8 t2 15 t 16(0 t 5) ． 33
（3）存在．
∵
S
8 3
t
5 2
2
68 3
(0
t
5) ，
∴ t= 5 时，四边形 OPEG 的面积最大，最大值为 68 ．
2
3
（4）存在．如图，连接 OQ．
∵ OE⊥OQ，
∴ ∠ EOC+∠ QOC=90°，
可解决问题．
【详解】
（1）在 Rt△ ABC 中，∵ ∠ ACB=90°，AB=10cm，BC=8cm，
∴ AC= 102 82 =6（cm），
∵ OD 垂直平分线段 AC， ∴ OC=OA=3（cm），∠ DOC=90°， ∵ CD∥ AB，
∴ ∠ BAC=∠ DCO，
∵ ∠ DOC=∠ ACB，
【答案】（1） t=4s ；（2） S四边形PEGO
3t2 8
15 t 8
6
， (0
t
5) ；（3） t
5 2
时，
S四边形PEGO
取得最大值；（4）
t
16 5
时，
OE
OQ
.
【解析】
【分析】
（1）当点 E 在∠ BAC 的平分线上时，因为 EP⊥AB，EC⊥AC，可得 PE=EC，由此构建方程
即可解决问题．
5
5
5
26
27 3 3 s 时，△ PQM 的某个顶点（Q 点除外）落在△ QCN 的边上． 26
【解析】 分析：（1）如图 1 中，作 BE⊥AC 于 E．利用三角形的面积公式求出 BE，利用勾股定理求 出 AE 即可解决问题；
（2）如图 2 中，作 PH⊥AC 于 H．利用 S△ PQM= 9 S△ QCN 构建方程即可解决问题； 5
∴ △ DOC∽ △ BCA，
∴ AC AB BC ， OC CD OD
∴ 6 10 8 ， 3 CD OD
∴ CD=5（cm），OD=4（cm），
∵ PB=t，PE⊥AB，
易知：PE= 3 t，BE= 5 t，
4
4
当点 E 在∠ BAC 的平分线上时，
∵ EP⊥AB，EC⊥AC，
∴ PE=EC，
∵ ∠ QOC+∠ QOG=90°，
∴ ∠ EOC=∠ QOG，
∴ tan∠ EOC=tan∠ QOG，
∴ EC GQ ， OC OG
8 5t 3t
∴
4 5 ， 3 44t
5
整理得：5t2-66t+160=0，
解得 t 16 或 10（舍弃） 5
∴ 当 t 16 秒时，OE⊥OQ． 5
【点睛】
在 Rt△ ABE 中，AE= AB2 BE 2 =6 ，
∴ coaA= AE 6 4 ． AB 7.5 5
（2）如图 2 中，作 PH⊥AC 于 H．
∵ PA=5t，PH=3t，AH=4t，HQ=AC-AH-CQ=9-9t， ∴ PQ2=PH2+HQ2=9t2+（9-9t）2，
∵ S△ PQM= 9 S△ QCN， 5
（3）分两种情形①如图 3 中，当点 M 落在 QN 上时，作 PH⊥AC 于 H．②如图 4 中，当 点 M 在 CQ 上时，作 PH⊥AC 于 H．分别构建方程求解即可； 详解：（1）如图 1 中，作 BE⊥AC 于 E．
∵ S△ ABC= 1 •AC•BE= 81 ，
2
4
∴ BE= 9 ， 2
∴ 3 t=8- 5 t， 44
∴ t=4．
∴ 当 t 为 4 秒时，点 E 在∠ BAC 的平分线上．
（2）如图，连接 OE，PC．
S 四边形 OPEG=S△ OEG+S△ OPE=S△ OEG+（S△ OPC+S△ PCE-S△ OEC）
=
1 2
4
4 5
t
3
1 2
3
8
4 5
t
1 2
（2）当△ PQM 与△ QCN 的面积满足 S△ PQM= 9 S△ QCN 时，求 t 的值； 5
（3）当 t 为何值时，△ PQM 的某个顶点（Q 点除外）落在△ QCN 的边上．
【答案】（1）coaA= 4 ；（2）当 t= 3 时，满足 S△ PQM= 9 S△ QCN；（3）当 t= 27 3 3 s 或
（2）根据 S 四边形 OPEG=S△ OEG+S△ OPE=S△ OEG+（S△ OPC+S△ PCE-S△ OEC）构建函数关系式即可． （3）利用二次函数的性质解决问题即可．
（4）证明∠ EOC=∠ QOG，可得 tan∠ EOC=tan∠ QOG，推出 EC GQ ，由此构建方程即 OC OG