高一数学苏教版必修5《2.1数列求和》学案

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高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 2.1.1 数列》1

数列〔1〕海州高级中学李旭萃教学目标：1 了解数列的概念和分类，理解数列的实质即一种特殊的函数，会用列表法和图象法表示数列；2．理解数列通项公式的概念，会根据通项公式写出数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出数列的一个通项公式．教学重点：1．理解数列的概念；2．会根据简单数列的前几项写出数列的一个通项公式．教学难点：1．理解数列的实质：一种特殊的函数；2．能根据简单数列的前几项写出数列的通项公式教学方法：采用启发式的教学方法，通过问题激发学生求知欲，引用生活中的实力让学生主动参与数学实践活动中来，并以独立思考和相互交流的形式，在老师的引导下总结数列的概念。

教学过程：一、问题情境1．情境：青蛙的儿歌导入新课剧场座位：，，，，，．．．〔1〕彗星出现的年份：，，，，，．．．〔2〕细胞分裂的个数：，，，，，．．．〔3〕各年树木的枝干数： 1，，，，，，．．．〔4〕我国参加9次奥运会获金牌数，，，，，，51,28,26 〔5〕2．问题：这些问题有什么共同特点？二、学生活动问题，教师引导学生体会例子中出现的几组数据的顺序都是不可调换的，是学生理解顺序变化对这列数字的影响．从而生成数列的概念。

三、建构数学1．数列：按照一定次序排列的一列数称为数列．数列的一般形式可以写成，，，．．．，，．．．，简记为．2．项：数列中的每个数都叫做这个数列的项．称为数列的第项〔或称为首项〕，称为第项，．．．，称为第项．比照数列和集合的概念，比拟两者的区别：〔1〕数列中的项是有序的，而集合中的项是无序的；〔2〕数列中的项可以重复，而集合中的元素不能重复．给出数列的概念后让学生用数列去表示：“一尺之棰〞每日剩下的局部：1，，，，，．．．3．有穷数列与无穷数列．项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．4．通项公式．一般地，如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个公式来表示．那么这个公式叫做这个数列的通项公式．5、数列是特殊的函数．在数列中，对于每一个正整数〔或｛1，2，…,｝〕，都有一个数与之对应．因此，数列可以看成以正整数集N〔或它的有限子集｛1，2，…,｝〕为定义域的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．反过来，对于函数，如果〔，…〕有意义，那么我们可以得到一个数列，，，…，，…．〔强调有序性〕提出数列是一种特殊的函数后，给出两组数列的通项公式，画出其图像，说明数列的图像是一些离散的点。

江苏省高级中学高中数学(苏教版)必修五学案：第一课时2.1 数列

第一课时§2.1 数列【教学目标】一、知识与技能理解数列的概念、表示、分类、通项等基本概念，了解数列和函数之间的关系，了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项，对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式；培养学生认真观察的习惯，培养学生从特殊到一般的归纳能力，提高观察、抽象的能力.二、过程与方法培养学生认真观察的习惯，培养学生从特殊到一般的归纳能力，提高观察、抽象的能力.三、情感、态度与价值观【教学重点】1.理解数列概念；2.用通项公式写出数列的任意一项【教学难点】根据一些数列的前几项抽象、归纳出数列的通项公式.【教学过程】一、复习回顾在前面第二章中我们一起学习了有关映射与函数的知识，现在我们再来回顾一下函数的定义.如果A、B都是非空的数集，那么A到B的映射f︰A→B就叫做A到B的函数，记作：y＝f(x)，其中x∈A，y∈B.二、新课讲解在学习函数知识的基础上，今天我们一起来学习第三章数列有关知识，首先我们来看一些例子.1，2，3，4，…，50 ①1，2，22，23， (263)15，5，16，16，28 ③0，10，20，30，…，1000 ④1，0.84，0.842，0.843，…⑤请同学们观察上述例子，看它们有何共同特点？它们均是一列数，它们是有一定次序的.（1）数列定义：按照一定次序排成的一列数.数列{a n }的第n 项a n 与项数n 有一定的关系吗？（2）数列的通项公式：{a n }与a n 又有何区别和联系？{a n }表示数列；a n 表示数列的项.具体地说，{a n }表示数列a 1，a 2，a 3，a 4，…，a n ，…，而a n 只表示这个数列的第n 项.其中n 表示项的位置序号，如：a 1，a 2，a 3，a n 分别表示数列的第1项，第2项，第3项及第n 项.数列是否都有通项公式？数列的通项公式是否是惟一的？3、数列的表示法（1）解析法（2）列表法（3）图象法4、数列的分类（1）按项数分（2）按项与项的大小分（3）三、例题讲解例1根据下面数列{a n }的通项公式，写出它的前5项：(1)a n ＝nn ＋1 ； (2)a n ＝(－1)n ·n有限项：无限项：递增数列：a n+1>a n递减数列：a n+1<a n摆动数列：a n+1>a n 或a n+1<a n 不确定无界数列例2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)1， 3，5，7； (2) 22－12 ，32－13 ，42－14 ，52－15 (3)－11×2 ，12×3 ，－13×4 ，14×5 .例3已知数列{}n a 的通项公式为n n a n -=22，问45是否是数列中的项？为什么？例4 写出下列各数列的一个通项公式使它的前几项分别是下列各数⑴ 515,414,313,2122222---- ⑵ 541,431,321,211⨯⨯-⨯⨯- ⑶ 3，5，9，17，33⑷ 5，55，555，5555⑸225,8,29,2,21 ⑹ 63,51,43,31,23,1--- ⑺ 1337,1126,917,710,1,32--- ⑻ b, a, b, a小结：（1）出现正负号交错项，可用1)1()1(+--n n 和来调节；（2）形如{}n n b a 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 等形式的数列求通项，先分别求出{}n a 、{}n b 通项，再结合例题5 已知下列数列的通项公式，问n 取何值时，a n 最小？（1）1)29(2+-=n a n （2）1)310(2+-=n a n （3）1)11(2+-=n a n例题6 已知数列通项公式34122-+-=n n a n（1）解不等式n 1n a a >+ （2）试问：该数列中是否存在最大的项？，若存在，是第几项，若不存在，请说明理由四、课时小结：对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的一些项求一些简单数列的通项公式.五、作业：课课练、补充练习。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 2.1.1 数列》94

数列（第一课时）南京市宁海中学汤池武【教学目标】1、能从实际问题中抽象、归纳出数列的概念；2、体会并理解数列的本质是函数并理解通项公式的概念；3、会利用函数的相关知识研究数列问题，加深理解数列的本质；4、培养学生抽象、归纳、转化的能力。

【教学重点】1理解数列概念；2体会数列的本质。

【教学难点】数列的本质【教学过程】一、问题情境实际问题数学语言表示：问题一——三角形数；问题二——《庄子天下篇》；问题三——剧场的座位；问题四——简谐振动位移的记录；问题五——王同学的四次考试成绩。

二、数学构建以上这些问题有什么共同的特点？——引入新知——数列——得到新知概念理解：1、数列定义中的关键词有哪些？你能不能再举出一些数列的例子。

2、你是如何理解数列定义中的一定次序的？3、针对分析你有什么发现？——得到数列的本质——是一个函数。

三、学生活动利用函数知识来研究前面的几个数列。

——学生展示要研究一个函数那么首先我们要研究函数的哪些问题？数列的通项公式：四、例题分析例一写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列个数：五、检测训练{}4+11.n n n n a a n a a =+1. 已知数列的通项公式是,求及{}2412.(1)5(2)(3)n n a a n n =-- 2.已知数列的通项公式是　求这个数列的第项；　65是这个数列的第几项；　该数列是否存在最大项或最小项，若存在，求是第几项.{}222112.n n a a n n =--已知数列的通项公式是该数列的最小项是哪一项？(1)2,4,6,8 ；1111(2),,,12233445--⨯⨯⨯⨯.六、知识方法展望。

苏教版高中数学必修5-2.1《数列(第2课时)》导学案

数列（第2课时）【学习导航】知识网络学习要求1．进一步理解数列概念，了解数列的分类；2．理解数列和函数之间的关系，会用列表法和图象法表示数列；3．了解递推数列的概念。

【自学评价】1．数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项。

2．数列的分类：按n a 的增减分类：（i ）递增数列：n N *∈任意，总有1n n a a +>；（ii ）递减数列：n N *∈任意，总有1n n a a +<；(iii) 摆动数列：l N *∈任意k,，有1k k a a +>，也有1l l a a +<，例如1,2,4,6,8,---；（iv ）常数列：n N *∈任意，1n n a a +=；（v ）有界数列：存在正整数M 使||n a M ≤；（vi ）无界数列：对任意正整数M 总存在n a 使||n a M >。

3．递推数列：如果已知数列{}n a 的前一项（或前几项），且任意一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，则这个数列叫递推数列，这个公式叫这个数列的递推公式。

递推公式是给出数列的一种重要方式。

【精典范例】【例1】写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）222221314151,,,2345----；（2）12341,2,3,42345；（3）9，99，999，9999。

【解】（1）这个数列的前4项的分母都是序号加上1，分子都是分母的平方减去1，所以它的一个通项公式是：2(1)11n n a n +-=+；（2）这个数列的前4项每一项都可以分为整数部分n 与分数部分1n n +的和，所以它的一个通项公式是：1n n a n n =++；（3）这个数列的前4项每一项加1后变成10,100,1000,10000，所以它的一个通项公式是：101n n a =-。

苏教版高中数学(必修5)2.1《数列》word教案3篇

第 1 课时：§2.1 数列（1）【三维目标】：一、知识与技能1.通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)，了解数列是一种特殊函数；认识数列是反映自然规律的基本数学模型；2.了解数列的分类，理解数列通项公式的概念，会根据通项公式写出数列数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出数列的通项公式；3. 培养学生认真观察的习惯，培养学生从特殊到一般的归纳能力，提高观察、抽象的能力.二、过程与方法1.通过对具体例子的观察分析得出数列的概念，培养学生由特殊到一般的归纳能力；2.通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．3.通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；三、情感、态度与价值观1.体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。

2.在参与问题讨论并获得解决中，培养观察、归纳的思维品质，养成自主探索的学习习惯；并通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。

【教学重点与难点】：重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式【学法与教学用具】：1. 学法：学生以阅读与思考的方式了解数列的概念；通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法；以观察的形式发现数列可能的通项公式。

2. 教学方法：启发引导式3. 教学用具：多媒体、实物投影仪、尺等.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1. 观察下列例子中的6列数有什么特点：（1）传说中棋盘上的麦粒数按放置的先后排成一列数：1，2，22，23，…，263（2）某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为2个，那么每过1分钟，1个细胞分裂的个数依次为1，2，4，8，16，…（3）π精确到0.01，0.001，0.0001…的不足近似值排成一列数：3.14，3.141，3.1415，3.14159，3.141592…（4）人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出它每隔83年出现一次，则从出现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为1740，1823，1906，1989，…（5）某剧场有10排座位，第一排有20个座位，后一排都比前一排多2个，则各排的座位数依次为：20，22，24，26，…，38（6）从1984年到今年，我国体育健儿共参加了6次奥运会，获得的金牌数依次排成一列数：15，5，16，16，28，32（7）＂一尺之棰，日取其半，万世不竭＂如果将＂一尺之棰＂视为1份，那么每日剩下的部分依次为1，12，14，18，116，．．．这些数字能否调换顺序？顺序变了之后所表达的意思变化了吗？思考问题，并理解顺序变化后对这列数字的影响．（组织学生观察这六组数据后，启发学生概括其特点，教师总结并给出数列确切定义）注意：由古印度关于国际象棋的传说、生物学中的细胞分裂问题及实际生活中的某些例子导入课题，既激活了课堂气氛，又让学生体会到数列在实际生活中有着广泛的应用，提高学生学习的兴趣。

高中数学第二章数列 2.1 数列(一)学案苏教版必修5-苏教版高一必修5数学学案

2.1 数列（一）学习目标 1.理解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式．知识点一数列及其有关概念思考1 数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？思考2 数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别是什么？梳理(1)按照________排列的____________称为数列，数列中的每个数都叫做这个数列的________．(2)数列的一般形式可以写成________________，简记为________，其中a1称为数列{a n}的________(或称为________)，a2称为________，…，a n称为________．知识点二通项公式思考1 数列1,2,3,4，…的第100项是多少？你是如何猜的？梳理如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．思考2 数列的通项公式a n＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？知识点三数列的分类思考对数列进行分类，可以用什么样的分类标准？梳理 (1)按项数分类，项数有限的数列叫做________数列，项数无限的数列叫做________数列．(2)按项的大小变化分类，从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列．类型一由数列的前几项写出数列的一个通项公式例1 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)1，－12，13，－14；(2)12，2，92，8，252；(3)9,99,999,9 999；(4)2,0,2,0.反思与感悟要由数列的前几项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中项的构成规律，看哪些部分不随序号的变化而变化，哪些部分随序号的变化而变化，确定变化部分随序号变化的规律，继而将a n 表示为n 的函数关系．跟踪训练1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)－11×2，12×3，－13×4，14×5；(2)22－12，32－13，42－14，52－15；(3)7,77,777,7 777.类型二数列的通项公式的应用例2 已知数列{a n }的通项公式a n ＝－1nn ＋12n －12n ＋1，n ∈N *.(1)写出它的第10项；(2)判断233是不是该数列中的项．引申探究对于例2中的{a n }． (1)求a n ＋1； (2)求a 2n .反思与感悟在通项公式a n＝f(n)中，a n相当于y，n相当于x.求数列的某一项，相当于已知x求y，判断某数是不是该数列的项，相当于已知y求x，若求出的x是正整数，则y是该数列的项，否则不是．跟踪训练 2 已知数列{a n}的通项公式为a n＝1n n＋2(n∈N*)，那么1120是这个数列的第______项．1．下列叙述正确的是________．①数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列；②数列0,1,2,3，…可以表示为{n}；③数列0,1,0,1，…是常数列；④数列{nn＋1}是递增数列．2．37是数列{3n＋1}的第________项．3．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为________．4．已知数列{a n}的通项公式a n＝－1n－1·n2n－1，则a1＝________；a n＋1＝________.1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．(2)可重复性：数列中的数可以重复．(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关．2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3，3.1,3.14，3.141，…，它没有通项公式．据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和结构(绝对值)特征．并对此进行联想、转化、归纳．3．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．答案精析问题导学知识点一思考1 不是．顺序不一样．思考2 数列中的数讲究顺序，集合中的元素具有无序性；数列中可以出现相同的数，集合中的元素具有互异性．梳理(1)一定次序一列数项(2)a1，a2，a3，…，a n，…{a n} 第1项首项第2项第n项知识点二思考1 100.由前四项与它们的序号相同，猜测第n项a n＝n，从而第100项应为100.思考2如图，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})为定义域的函数a n＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．不同之处是定义域，数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集．知识点三思考(1)可以按项数分类；(2)可以按项的大小变化分类．梳理(1)有穷无穷题型探究例1 解(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为a n＝－1n＋1n，n∈N*.(2)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：12，42，92，162，252，…，所以它的一个通项公式为a n ＝n 22，n ∈N *.(3)各项加1后，变为10,100,1 000，10 000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为a n ＝10n－1，n ∈N *.(4)这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是2，偶数项是0，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1＋1，n ∈N *.跟踪训练1 解 (1)这个数列前4项的分母都是序号数乘以比序号数大1的数，并且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为a n ＝－1nn ×n ＋1，n ∈N *.(2)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1，所以它的一个通项公式为a n ＝n ＋12－1n ＋1，n ∈N *.(3)这个数列的前4项可以变为79×9，79×99，79×999，79×9 999，即79×(10－1)，79×(100－1)，79×(1 000－1)，79×(10 000－1)，即79×(10－1)，79×(102－1)，79×(103－1)， 79×(104－1)，所以它的一个通项公式为a n ＝79×(10n －1)，n ∈N *.例2 解 (1)a 10＝－110×1119×21＝11399.(2)令n ＋12n －12n ＋1＝233，化简得8n 2－33n －35＝0，解得n ＝5(n ＝－78，舍去)．当n ＝5时，a 5＝－233≠233.所以233不是该数列中的项．引申探究解(1)a n＋1＝－1n＋1[n＋1＋1] [2n＋1－1][2n＋1＋1]＝－1n＋1n＋22n＋12n＋3.(2)a2n＝－12n2n＋12×2n－12×2n＋1＝2n＋14n－14n＋1.跟踪训练2 10解析∵1n n＋2＝1120，∴n(n＋2)＝10×12，∴n＝10. 当堂训练1．④ 2.12 3.a n＝n＋1，n∈N*4．1 －1n n＋12n＋1。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 2.1.1 数列》91

第二章数列数列（一）【学习目标】1了解数列的概念；2了解数列的分类，了解数列是一种特殊的函数，会用列表法和图象法表示数列；3理解数列通项公式的概念，会根据通项公式写出数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出数列的通项公式【学习过程】活动一概念引入（一）情境1：某种树木第1年长出幼枝、第2年幼枝长成粗干、第三年粗干可长成幼枝各年树木的枝干数依次为情境2：某剧场幼有30排座位，第一排有2021位，从第二排起，后一排都比前一排多1个，各排的座位数依次为；情境3：哈雷慧星回归周期为76年，从1682年开始连续6年的年份依次为；情境4：请大家取一张纸对折，假设纸的厚度为1个长度单位，面积是1个面积单位，那么随着依次对折的次数的增加，问它每次对折后的厚度依次是；和每层纸的面积依次是；情境5：从1984年到今年，我国共参加了9次奥运会，各次参赛获得的金牌总数依次为情境6：古希腊毕达哥拉斯学派数学家研究的三角形数数依次为；正方形数依次为问题1：以上问题中的数有什么共同特点？活动二概念形成1数列的定义：问题2：你能自己举出数列的例子吗？2数列的分类：问题3:你能用将上述情境中的数列进行分类吗3. 数列的记法：问题4:数列与集合的区别：问题5：数列中的每一项与其序号之间是怎样的关系？4数列的本质：问题5：你认为数列可以用哪些方法表示？为什么？5数列的表示：活动三概念应用例1 已知数列的通项公式，写出这个数列的前5项，并作出它的图象：（1）1+=n n a n ；（2）()n nn a 21-=例2 写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）3，6，9，12；（2）541,431,321211⨯-⨯⨯-⨯，活动四课堂小结。

高中数学数列专题复习1—数列求和问题教案苏教版必修5-苏教版高二必修5数学教案

数列专题复习1——数列求和问题教学目标：1．熟练掌握等差、等比数列的求和公式；2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法．教学重点：等差、等比数列的求和公式及非等差、等比数列求和的几种常见方法的应用．教学难点：非等差、等比数列的求和．教学方法：启发式、讲练结合．教学过程：一、问题情境问题1 求和是数列问题中考查的一个重要方面，我们已经学过的数列求和有哪几种？问题2 对于下列数列如何求和？①已知)(x f 满足12,R x x ∈，当121=+x x 时，21)()(21=+x f x f ，若N n f nn f n f n f f S n ∈+-++++=),1()1()2()1()0( ，求n S ．②求数列a ，2a 2，3a 3，4a 4，…，na n，…（a 为常数）的前n 项和．③求数列311⨯，421⨯，531⨯，…，)2(1+n n ，…的前n 项和S ．二、学生活动1．等差、等比数列直接运用公式求和（直接利用公式求和是数列求和的最基本的方法）2．分析、概括各种数列的特征，从特征中寻求解决的方法．三、建构数学题型 1 公式法求和．题型 2 倒序相加法求和．（此类型关键是抓住数列中与首末两端等距离的两项之和相等这一特点来进行倒序相加的）题型3 错位相减法求和．这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n·b n}的前n项和，其中{ a n }，{ b n}分别是等差数列和等比数列．题型4 裂项相消法求和．这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用．裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．题型5 分组求和法．有一类数列，既不是等差数列，又不是等比数列，若将这类数列适当拆开，则可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其相加，即可得出原数列的和．四、数学运用例1 已知log3x＝－1log23，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n xxxx32的前n项和．解析由log 3x ＝－1log 23 log 2x ＝－1x ＝12 ．由等比数列求和公式得 S n ＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x n＝xx x n --1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21．例2 求数列a ，2a 2，3a 3，4a 4，…，na n，…(a 为常数)的前n 项和．解析若a ＝0，则S n ＝0．若a ＝1，则S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝ n (n +1)2．若a ≠0且a ≠1，则S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋…＋ na n， ∴aS n ＝ a 2＋2 a 3＋3 a 4＋…＋na n +1， ∴(1－a ) S n ＝a ＋ a 2＋a 3＋…＋a n －nan +1＝∴ S n =当a ＝0时，此式也成立． ∴S n ＝点评数列{}n na 是由数列{}n 与{}n a 对应项的积构成的，此类型的才适应错位相减（课本中的的等比数列前n 项和公式就是用这种方法推导出来的），但要注意应按以上三种111n n a a na a++---．112(1)(1)1n n a a na a a a++--≠--．情况进行讨论，最后再综合成两种情况．而且对于应用等比数列求和时，一定要先注意公比的取值．例3 求数列311⨯，421⨯，531⨯，…，)2(1+n n ，…的前n 项和S ．分析 ∵)2(1+n n =211(21+-n n ），则对数列中每一项分解后即可得出结果．解析 ∵)2(1+n n =211(21+-n n ），∴ S n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+⋅⋅⋅+-+-)211()4121()311(21n n=)2111211(21+-+--n n =42122143+-+-n n ．数列求和的常用方法：1.公式法．直接应用等差、等比数列的求和公式；3. 错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求．4. 裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．常见的拆项公式有：1()n n k =+ ，=，1(21)(21)n n =-+ ，等等．5. 分组求和法：需要熟悉一些常用基本式的特点与规律，将同类性质的数列归于一组，便于运用常见数列的求和公式．。

江苏省徐州市中小学教学研究室高一数学苏教版5《2.1数列求和》教案1

数列求和的常用方法如下：
⑴公式法：利用已知的求和公式来求和，如等差数列与等比数列求和公式；
例1：已知数列中，，则 =
（2）分组求和法:所谓分组求和法，即将一个数列中的项拆成几项,转化成特殊数列求和。
例2、求数列的前n项和;
（3)倒序相加法:将一个数列倒过来排序（倒序)，当它与原数列相加时,若有因式可提，并且剩余的项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和。如等差数列的求和公式的推导。
= ； =
=；
=
练习：1、求数列的前项和
2、已知数列的通项公式为，求前项的和．
课外作业
教学小结
备课时间
2016年3月11日
上课时间
第周周月日
班级节次
课题
数列求和1
总课时数
第节
教学目标
1。掌握求数列求和的几种常用方法。
2。体会转化思想在数列求和中的应用
教学重难点
数列求和的常用Hale Waihona Puke 法教学参考教材、教参
授课方法
讲练结合
教学辅助手段
多媒体
专用教室
教学过程设计
教
学
二次备课
【学习过程】
练习：求和：
练习：求的值。
教学过程设计
教
学
二次备课
例3、已知满足，当时, ,求的值;
（4)裂项相消法:若数列能裂项成，即所裂两项具有传递性（即关于的相邻项，使展开后中间项能全部消去).
例4、已知数列满足，求数列的前项和
总结规律：裂项相消求和就是将数列的每一项拆成两项或多项，使数列中的项出现有规律的抵消项，从而达到求和的目的。常见的拆项公式有：

高中数学《数列》教案5 苏教版必修5

数列教学目标1．理解数列概念，了解数列的分类，理解数列是一种特殊的函数，会用列表法和图象法表示数列；2．理解数列的通项公式的概念，能根据数列的前几项写出数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3．对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式；4．数列的前n 项的和的公式及其应用． 5．提高观察、抽象的能力．教学重点1．理解数列概念； 2．通项公式的应用．教学难点根据一些数列的前几项写出数列的一个通项公式．克服难点的关键是由各项的特点，分析、寻找各项的构成未规律．教学方法发现式教学法教学过程设置情境考察下列问题：某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位（如图），那么各排的座位数依次为20，22，24，26，28，…． ①人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔83年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为1740，1823，1906，1989，2072，…． ②某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为2个，那么每过1分钟，1个细胞分裂的个数依次为1，2，4，8，16，…． ③“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完．如果将“一尺之棰”视为１份，那么每日剩下的部分依次为1，21，41，81，161，…． ④ 某种树木第1年长出幼枝，第２年幼枝长成粗干，第３年粗干可生出幼枝（如图），那么按照这个规律，各年树木的枝干数依次为1，1，2，3，5，8，…． ⑤从1984年到2004年，我国共参加了6次奥运会，各次参赛获得的金牌总数依次为15，5，16，16，28，32． ⑥问题1 这些问题有什么共同的特点？把数按照一定的次序排成一列．意义建构、数学理论数列的概念按照一定次序排列的一列数称为数列（sequence of number ），数列的一般形式可以写成1a ，2a ，3a ，…，n a ，…，简记为｛n a ｝．其中1a 称为数列｛n a ｝的第１项（或称为首项），2a 称为第２项，…，n a 称为第n 项．…．思考：能不能把数列的定义改成“按照一定规律排列的一列数称为数列”？数列中数的有序性，如果我们将数列1，2，4，8，16，…中2，4位置交换得：1，4，2，8，16，…这个数列就是与原数列不同的数列了．项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项．在数列｛n a ｝中，1a 称为数列｛n a ｝的第１项（或称为首项），2a 称为第２项，…，n a 称为第n 项．…．数列的分类：项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．在上面我们考察的数列中那些是有穷数列，那些是无穷数列？学生活动问题2 上面这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：项 20， 22， 24， 26， 28，…． ①↓ ↓ ↓ ↓ ↓序号 1 2 3 4 5这个数列的某一项与这一项的序号可用一个公式：n a n 218+=来表示其对应关系，即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n ，就可以求出该数列相应的各项．进一步考察上面这些数列，依次可以写出第n 项与n 的关系如下：数列②：n a =1740+(n-1)83(n ∈N *)，数列③：12-=n n a （n ≥1，n ∈N ），数列④：121-=n n a （n ≥1，n ∈N ）．必须注意，不是所有的数列都可以写出上面这样的关系的，如数列⑥．通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式．问题3 数列的通项公式与函数有何联系？为了解决这个问题我们先回顾函数的有关概念．在前面第二章中我们一起学习了有关映射与函数的知识，现在我们再来回顾一下函数的定义:如果A 、B 都是非空数集，那么A 到B 的某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有惟一的元素y 和它对应，这样的对应叫做从从A 到B 的一个函数，记作：)(x f y =，其中A x ∈．从函数的观点来观察数列的通项公式，数列实际上就是特殊的函数，数列可以看作是一个定义域为正自然数集N +（或它的有限子集{}n ,,2,1 的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式．我们知道函数通常可以用列表法、图象法和解析式法来表示，因此数列也可以用列表法、图象法及解析式来表示．数列的通项公式实际上就是数列的解析式．下面我们结合例题来看看如何用列表法及图象法表示数列．数学应用例1 已知数列｛n a ｝的通项公式，写出这个数列的前5项，并作出它的图象：（1）n a ＝1+n n ；（2）n a ＝nn2)1(-．解特点：它们都是一群弧立的点．从函数的观点看数列，它就是一种特殊函数的一列函数值．因为，数列中的每一个数都对应着一个序号；反之，每个序号也都对应着数列中一个数，如数列1，21，31，41，51中第3项（序号3）就对应着数31，第5项对应着数51．因此，可以认为这个数列是定义在集合{1，2，3，4，5}上的函数f (n )依次得到的函数值，而f (n )＝n1就是这个函数的解析式．为什么要用函数的观点看数列呢？因为这样才能从本质上去理解数列的通项公式、求和公式、递增与递减等等有关问题，并用所学过的函数知识去指导我们解有关数列的问题．一方面不是所有的数列都很方便地能写出它的通项公式（如同有的函数关系不能用解析式表达一样）；另一方面，有的数列的通项公式在形式上可能不唯一，如―1，1，―1，1，―1，1,…，它的通项公式可以是a n ＝(－1)n，也可以是a n ＝cos n π，还可以是⎪⎩⎪⎨⎧-=.1,1为奇数时为奇数时n n a n例2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）1，3，5，7；（2）2122-，3132-，4142-，5152-；（3）211⨯，321⨯-，431⨯，541⨯-．［分析］（1）项1=2×1-1， 3=2×2-1， 5=2×3-1， 7=2×4-1， ↓ ↓ ↓ ↓序号 1 2 3 4 ∴12-=n a n ；（2）序号：1 2 3 4↓ ↓ ↓ ↓项分母：2=1+1 3=2+1 4=3+1 5=4+1↓ ↓ ↓ ↓ 项分子： 22-1 32-1 42-1 52-1∴11)1(2+-+=n n a n ；‖ ‖ ‖ ‖ )11(11)1(1+⨯- )12(21)1(2+⨯- )13(31)1(3+⨯- )12(21)1(2+⨯-∴)1(1)1(+-=n n a nn ．例3 写出以下各数列的一个通项公式：（1）－1，58，－715，924，－1135，…；（2）2－1，4＋21，8－31，16＋41，…；（3） 0.9，0.99，0.999，0.9999，…；帮助学生分析为什么题中要说明是写出一个通项公式．解（1）要求出此数列的通项公式应分别寻找符号、分子、分母的变化规律．符号：－1，1，－1，1，…规律为(－1)n；分母：3，5，7，9，11…(第一项应化成－33)，规律为2n ＋1；分子：3，8，15，24，35，…，可看作22－1，32－1，42－1，52－1，62－1，…规律为（n +1）2－1，故a n ＝(－1)n121)1(2+-+n n ．（2）数列的每一项分别由两部分组成，前一部分2，4，8，16，…，规律为2n；后一部分－1, 21，－31，41，…，规律为nn 1)1(⋅-， ∴ a n ＝2n＋n n )1(-．（3）数列可看成1－0.1，1－0.01，1－0.001，1－0.0001，…， ∴n n a --=101． [说明] 仅仅根据数列的前几项写出数列的通项公式应该说是不科学的，因为后面未写出的项是否满足此规律不得而知，因此这类题仅作“寻找数列各项变化规律”的练习用，以培养观察、分析能力．例4 已知数列a 1＝2，a n ＋1＝2＋nna a -12，写出它的前4项．解： a 1＝2，a 2＝2＋1112a a -＝－2，a 3＝2＋2212a a -＝2＋32)2(1)2(2=---⨯， a 4＝2＋3312a a -＝6． [说明] 通过递推关系给出数列也是构成数列的一种重要方法，数学中有不少重要的数列都是由递推公式构成的，如由a 1＝a 2＝1，且a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3)就得出有名的斐波拉契数列：211 1 ⨯↓ 321 3 ⨯-↓ 431 3 ⨯-↓ 541 4 ⨯-↓（3）序号1，1，2，3，5，8，13，…．数列的前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，S n 与a n 之间的关系为：⎪⎩⎪⎨⎧∈≥-==-),,2(),1(*11N n n S S n S a n nn 这个关系式今后常常要用．例5 数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋1，求a 1、a 5的值．解：根据⎪⎩⎪⎨⎧∈≥-==-),,2(),1(*11N n n S S n S a n nn 可得311==S a ， 183351455=-=-=S S a ．课堂练习（1）若数列的通项公式是a n ＝n (n ＋1)，则a n ＋1－a n 为（）．[C]Ａ．2n Ｂ．2n ＋1 Ｃ．2n ＋2 Ｄ．2n ＋3（2）数列{a n }为1，0，1，0，…，则下列各式中不能作为它的通项公式的是（）．[C]Ａ．2)1(11+-+n Ｂ．si n 22πn Ｃ．3)4)(2(--n n Ｄ．2cos 1πn -（3）已知数列5，11，17，23，29，…，则55是它的第项．[21]（4）写出下列数列的一个通项公式：① －1，3，－5，7，－9，…； ② －267,175103,51-，…； ③ 1618,816,414,212，…； ④ 189,167,145,123+-+-,…．[①2n －3；② (－1)n 1)1(122++-n n ； ③ 2n ＋(21)n ；④ n n 212+＋(－1)n] （5）已知{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋1，写出它的前6项，并推测它的通项公式．[ 3，7，15，31，63，127；推测a n ＝2n ＋1－1．]课堂小结这李课我们学习了数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n 项求一些简单数列的通项公式．课后作业书P32习题2.1 1，2，3，5．。

高中数学2.1数列(1)教案苏教版必修5

2.1数列第 9 课时一、学习目标 1．理解数列的概念；探索并掌握数列的通项公式。

2．探索并掌握数列的几种简单表示法。

二、学法指导数列是高中数学的重要内容之一,是高考必考内容之一，同学们可以根据数列概念,及实例,归纳猜想数列通项公式。

利用递推公式计算数列的前几项数值,归纳猜想数列通项公式。

１．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质；（１）确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的。

（２）可重复性：数列中的数可以重复。

（３）有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关。

２．数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式。

３．并不是所有的数列都有通项公式，就像并不是所有的函数都能用解析式表示一样。

三、课前预习１．叫做数列，叫做这个数列的项。

２．叫做这个数列的通项公式。

３．叫做有穷数列，叫做无穷数列。

４．数列的表示方法有：、、。

四、课堂探究例1．已知数列的第n 项n a 为21n -，写出这个数列的首项、第2项和第3项．例2．已知数列{}n a 的通项公式，写出这个数列的前5项，并作出它的图象：（１）1n n a n =+；（２）2(1)2n na -=．例3．写出数列的一个通项公式，使它的前４项分别是下列各数：（1）1，3，7，15；（2）2，4，6，8；（3）1-，1，1-；（4）0，2，0，2；（5）13，45，97，169……；（6）112⨯，123-⨯，134⨯，145-⨯.五、巩固训练（一）当堂练习练习：P31练习２，３，４，５（二）课后作业 32P 习题２．１第1，2，3，4题六、反思总结七、课后练习（选做）1．数列－1，85 ，－157 ，249 ，…的一个通项公式a n= ．2．数列0，2，0，2，0，2，……的一个通项公式a n= ．3．数列2，5，11，20，x ，47，…中的x 等于．4．⑴求数列1，2，1，2，1，2的一个通项公式.⑵求数列25 ，215 ，252，…的通项公式.5．写出下列数列的通项公式：⑴9，99，999，9999，．．．，；⑵13-，18，115-，241，．．．，；。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 2.1 数列》

数列求和一、根底回忆：1、设是等差数列的前项和，假设那么_-54______2、假设数列是首项为，公比为的等比数列，那么数列的前项和________3、假设数列是首项为2，公差为2的等差数列，，那么数列的前项和________4、假设数列满足：那么数列的前项和________5、设是数列的前项和，那么数列的通项公式________6、将以下式子裂成两项差的形式：〔1〕_______; 2=_______;3=__________二、例题分析：例1、在等比数列中，公比为是其前项和，假设求解：由题意得：即解得或当时，；当时，小结与反思：求和方法之一：当数列为等差或等比数列时，求和用公式法。

数列求和常用的公式有：〔需注意公式形式的选择〕等差数列：S n＝错误!＝na1＋错误!d；等比数列：S n＝错误!例2、数列是首项为公差为的等差数列，且求数列前项和解：由题意得：所以=所以=小结与反思：求和方法之二：某些数列的通项可以拆成二项或多项〔裂项〕，以这种形式相加时出现有规律的抵消项，此时求和用裂项相消法如：；常见的拆项公式有：1错误!＝错误!－错误!； 2错误!＝错误!错误!；3错误!＝错误!错误!；4错误!＝错误!错误!－错误!；例3、数列的通项公式为求数列前项和解：因为所以小结与反思：求和方法之三：数列满足，其中为等差或等比数列时，求和用分组求和法。

例4、数列前项和〔1〕求数列的通项公式；〔2〕假设求数列前项和分析：此数列非等差数列也非等比数列，其通项公式可以认为是一个等差数列b n＝n与一个等比数列c n＝错误!相乘得到的，可以用乘公比错位相减法来求解．解：〔1〕因为，当时，当时，，也满足上式综上，〔2〕那么3两式相减得那么，化简得：小结与反思：求和方法之四：数列满足，其中一个等差，另一个等比时，求和用错位相减法。

错位相减法的一般步骤：〔1〕列出求和表达式；〔2〕等式两边同乘以等比数列的公比，且等式右边要错位；〔3〕将上述两式相减，对应的项相减将会出现一个新的等比数列；〔4〕右边用等比公式求和并化简整理〔注意结果的最简形式〕。

江苏省高中数学苏教版必修5《2.1数列求和》学案

数列求和【学习目标】掌握数列求和的常用方法【学习过程】数列求和的常用方法如下：⑴公式法：利用已知的求和公式来求和，如等差数列与等比数列求和公式；例1：已知数列{}n a 中，3,6011+=-=+n n a a a ，则30321a a a a ++++ =（2）分组求和法：所谓分组求和法，即将一个数列中的项拆成几项，转化成特殊数列求和。

例2、求数列 ,1614,813,412,211的前n 项和；练习：求和：∑=+n k kk 1)312(（3）倒序相加法：将一个数列倒过来排序（倒序），当它与原数列相加时，若有因式可提，并且剩余的项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和。

如等差数列的求和公式2)(1n n a a n S +=的推导。

例3、已知)(x f 满足R x x ∈21,，当121=+x x 时，21)()(21=+x f x f ，求*∈+-++++N n f nn f n f n f f ),1()1()2()1()0( 的值；练习：求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222+++++的值。

（4）裂项相消法：若数列}{n a 能裂项成)()1(n f n f a n -+=，即所裂两项具有传递性（即关于n 的相邻项，使展开后中间项能全部消去）。

例4、已知数列}{n a 满足)1(1+=n n a n ，求数列}{n a 的前n 项和n S练习：1、求数列n+++++++ 3211,,3211,211,1的前n 项和n S2、已知数列}{n a 的通项公式为n a =n 项的和n S ．总结规律：裂项相消求和就是将数列的每一项拆成两项或多项，使数列中的项出现有规律的抵消项，从而达到求和的目的。

常见的拆项公式有：)1(1+=n n a n = ；)13)(23(1+-=n n a n = )2)(1(1++=n n n a n = ；b a a n +=1=（5）错位相减法：这是推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列}{n n b a ⋅的前n 项和，其中}{n a 、}{n b 分别是等差数列和等比数列。

苏教版高中数学必修5-2.1《数列(第2课时)》教学教案

数列（第2课时）教学目的：1．了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；2．会根据数列的递推公式写出数列的前几项；3．理解数列的前n 项和与n a 的关系；4．会由数列的前n 项和公式求出其通项公式。

教学重点：根据数列的递推公式写出数列的前几项。

教学难点：理解递推公式与通项公式的关系。

授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：上节学习知识点如下1．数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列。

注意：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现。

2．数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.。

各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….。

3．数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项。

4．数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。

5．数列的图像都是一群孤立的点。

6．数列有三种表示形式：列举法，通项公式法和图象法。

7．有穷数列：项数有限的数列。

8．无穷数列：项数无限的数列。

二、讲解新课：知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题。

观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型。

模型一：自上而下：第1层钢管数为4，即：1↔4＝1+3；第2层钢管数为5，即：2↔5＝2+3；第3层钢管数为6，即：3↔6＝3+3；第4层钢管数为7，即：4↔7＝4+3；第5层钢管数为8，即：5↔8＝5+3；第6层钢管数为9，即：6↔9＝6+3；第7层钢管数为10，即：7↔10＝7+3。

若用n a 表示钢管数，n 表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且1(3+=n a n ≤n≤7）。

高中数学苏教版必修5学案：2.1 数列 Word版含解析

2.1 数列1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．(难点)2．理解数列的通项公式及简单应用．(重点)3．数列与集合、函数等概念的区别与联系．(易混点)[基础·初探]教材整理1 数列的概念与分类阅读教材P 31，完成下列问题．1．数列的概念按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫做这个数列的项．项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．2．数列的表示方法数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，简记为{a n }，其中a 1称为数列{a n }的第1项(或称为首项)，a 2称为第2项，…，a n 称为第n 项．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列1,2,3,5,7可表示为{1,2,3,5,7}．( )(2)数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列．( )(3)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n 的第5项为15.( )(4)数列0,2,4,6，…是无穷数列．( )【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√教材整理2 数列的通项公式阅读教材P32～P33的有关内容，完成下列问题．1．数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，k})为定义域的函数a n＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．2．数列的通项公式如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．数列可以用通项公式来描述，也可以通过列表或图象来表示．1．数列1,3,5,7,9，…的一个通项公式可以是________．【解析】1,3,5,7,9，…的一个通项公式可以是a n＝2n－1，n∈N*.【答案】a n＝2n－1，n∈N*2．若数列{a n}的通项公式为a n＝3n－2，则a5＝________.【解析】∵a n＝3n－2，∴a5＝3×5－2＝13.【答案】13[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问2：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问3：_________________________________________________解惑：_________________________________________________[小组合作型]写出下列数列的一个通项公式．(1)12，2，92，8，252，…；(2)9,99,999,9 999，…；(3)22－11，32－23，42－35，52－47，…；(4)－11×2，12×3，－13×4，14×5，….【精彩点拨】【自主解答】 (1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：12，42，92，162，252，…，所以它的一个通项公式为a n ＝n 22(n ∈N *)．(2)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，….此数列的通项公式为10n ，可得原数列的通项公式为a n ＝10n －1(n ∈N *)．(3)数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，可用2n －1表示；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，可用(n ＋1)2表示，分子的后一部分是减去一个自然数，可用n 表示，综上，原数列的通项公式为a n ＝(n ＋1)2－n 2n －1(n ∈N *)． (4)这个数列的前4项的绝对值都等于项数与项数加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是a n ＝(－1)n1n (n ＋1)(n ∈N *)．用观察法求数列的通项公式的一般规律1．一般数列通项公式的求法2．对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)k 处理符号问题．3．对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．[再练一题]1．写出下列数列的一个通项公式．(1)3,5,9,17,33，…；(2)12，34，78，1516，3132，…；(3)23，－1，107，－179，2611，－3713，….【导学号：91730020】【解】 (1)中3可看做21＋1,5可看做22＋1,9可看做23＋1,17可看做24＋1,33可看做25＋1，….所以a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列为21,22,23,24，…，所以a n ＝2n －12n .(3)偶数项为负而奇数项为正，故通项公式必含因式(－1)n ＋1，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7,9,11,13组成，而分子则是32＋1,42＋1,52＋1,62＋1，按照这样的规律第1,2两项可分别改写为12＋12＋1，－22＋12×2＋1，所以a n ＝(－1)n ＋1n 2＋12n ＋1.n n (1)写出数列的前3项；(2)判断45是否为{a n }中的项？3是否为{a n }中的项？【精彩点拨】 (1)令n ＝1,2,3求解即可；(2)令a n ＝45或a n ＝3解n 便可．【自主解答】 (1)在通项公式中依次取n ＝1,2,3，可得{a n }的前3项分别为：1,6,15.(2)令2n 2－n ＝45，得2n 2－n －45＝0，解得n ＝5或n ＝－92(舍去)，故45是数列{a n }中的第5项．令2n 2－n ＝3，得2n 2－n －3＝0，解得n ＝－1或n ＝32，即方程没有正整数解，故3不是数列中的项．1．如果已知数列的通项公式，只要将相应项数代入通项公式，就可以写出数列中的指定项．2．判断某数是否为数列中的一项，步骤如下：(1)将所给的数代入通项公式中；(2)解关于n 的方程；(3)若n 为正整数，说明所给的数是该数列的项；若n 不是正整数，则不是该数列的项．[再练一题]2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－21n 2(n ∈N *)．(1)0和1是不是数列{a n }中的项？如果是，那么是第几项？(2)数列{a n }中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？【解】 (1)令a n ＝0，得n 2－21n ＝0，∴n ＝21或n ＝0(舍去)，∴0是数列{a n }中的第21项．令a n ＝1，得n 2－21n 2＝1，而该方程无正整数解，∴1不是数列{a n }中的项．(2)假设存在连续且相等的两项为a n ，a n ＋1，则有a n ＝a n ＋1，即n 2－21n 2＝(n ＋1)2－21(n ＋1)2，解得n ＝10，所以存在连续且相等的两项，它们分别是第10项和第11项．[探究共研型]探究1 (小)项？【提示】可以借助函数的性质求数列的最大(小)项，但要注意函数与数列的差异，数列{a n }中，n ∈N *.探究2 如何定义数列{a n }的单调性？【提示】对于数列的单调性的判断一般要通过比较a n ＋1与a n 的大小来判断，若a n ＋1>a n ，则数列为递增数列，若a n ＋1<a n ，则数列为递减数列．设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋kn (n ∈N *)．数列{a n }是单调递增的，求实数k 的取值范围．【精彩点拨】利用二次函数的单调性，求得k 的取值范围．【自主解答】 ∵a n ＝n 2＋kn ，其图象的对称轴为n ＝－k 2， ∴当－k 2≤1，即k ≥－2时，{a n }是单调递增数列．另外，当1<－k 2<2且⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2－1<2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2，即－3<k <－2时，{a n }也是单调递增数列(如图所示)．∴k 的取值范围是(－3，＋∞)．1．函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别，即数列所对应的函数若单调则数列一定单调，反之若数列单调，其所对应的函数不一定单调．2．求数列的最大(小)项，还可以通过研究数列的单调性求解，一般地，若⎩⎨⎧ a n －1≤a n ，a n ＋1≤a n ，则a n 为最大项；若⎩⎨⎧a n －1≥a n ，a n ＋1≥a n，则a n 为最小项．[再练一题]3．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝－2n 2＋9n ＋3(n ∈N *)，求它的最大项.【导学号：91730021】【解】由题意知，－2n 2＋9n ＋3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －942＋1058. 由于函数f (x )＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋1058在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，94上是增函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，＋∞上是减函数，故当n ＝2时，f (n )＝－2n 2＋9n ＋3取得最大值13，所以数列{a n }的最大项为a 2＝13.[构建·体系]1．已知下列数列：(1)2 010,2 012,2 014,2 016,2 018；(2)0，12，23，…，n －1n ，…；(3)1，12，14，…，12n －1，…； (4)1，－23，35，…，(－1)n －1·n 2n －1，…； (5)1,0，－1，…，sin n π2，…；(6)9,9,9,9,9,9.其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________．(将合理的序号填在横线上)【解析】 (1)是有穷递增数列；(2)是无穷递增数列⎝⎛⎭⎪⎫因为n －1n ＝1－1n ； (3)是无穷递减数列；(4)是摆动数列，也是无穷数列；(5)是摆动数列，也是无穷数列；(6)是常数列，也是有穷数列．【答案】 (1)(6) (2)(3)(4)(5) (1)(2) (3) (6) (4)(5)2．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为________．【解析】这个数列的前4项都比序号大1，所以它的一个通项公式为a n ＝n ＋1.【答案】 a n ＝n ＋13．下列有关数列的表述：①数列的通项公式是唯一的；②数列0,1,0，－1与数列－1,0,1,0是相同的数列；③数列若用图象表示，它是一群孤立的点；④数列中的数是按一定次序排列的．其中说法正确的是________．【解析】如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式，但一个数列可以没有通项公式，也可以有几个通项公式，如：数列1，－1,1，－1，1，－1，…的通项公式可以是a n ＝(－1)n＋1，也可以是a n＝cos(n－1)π，故①错；由数列的概念知数列0,1,0，－1与数列－1,0,1,0是不同的数列，故②错；易知③④是正确的．【答案】③④4．用火柴棒按图2-1-1的方法搭三角形：图2-1-1按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n与所搭三角形的个数n之间的关系式是________.【导学号：91730022】【解析】a1＝3，a2＝3＋2＝5，a3＝3＋2＋2＝7，a4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴a n＝2n＋1.【答案】a n＝2n＋15．已知数列{a n}的通项公式为a n＝4n2＋3n(n∈N*)，(1)写出此数列的前3项；(2)试问110和1627是不是它的项？如果是，是第几项？【解】(1)a1＝412＋3×1＝1，a2＝422＋3×2＝25，a3＝432＋3×3＝29.(2)令4n2＋3n＝110，则n2＋3n－40＝0，解得n＝5或n＝－8.又n∈N*，故n＝－8舍去，所以110是数列{a n}的第5项．令4n2＋3n＝1627，则4n2＋12n－27＝0，解得n＝32或n＝－92.又n∈N*，所以1627不是数列{a n}的项．我还有这些不足：(1)_________________________________________________(2)_________________________________________________我的课下提升方案：(1)_________________________________________________(2)_________________________________________________学业分层测评(六)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．将正整数的前5个数排列如下：①1,2,3,4,5；②5,4,3,2,1；③2,1,5,3,4；④4,1,5,3,2.那么可以称为数列的有________．【解析】由数列定义，①②③④均为按一定次序排列的一列数，故均为数列．【答案】①②③④2．数列1,3,6,10，x,21,28，…中x的值是________．【解析】观察数列的特点可知，从第2项起，每一项与前一项的差分别为2,3,4，…，依次增加1，故x为15.【答案】153．下列各式能成为数列1,3,6,10，…的一个通项公式的是________．①a n＝n2－n＋1；②a n＝n(n－1)2；③a n＝n(n＋1)2；④a n＝n2＋1.【解析】令n ＝1,2,3,4，分别代入①②③④检验即可．排除①②④，从而确定答案为③.【答案】 ③4．数列的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧ 3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，则a 2·a 3等于________．【解析】由a n ＝⎩⎨⎧3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，得a 2＝2，a 3＝10，所以a 2·a 3＝20.【答案】 205．已知数列2，5，22，11，…，则25是这个数列的第________项.【导学号：91730023】【解析】数列的通项为a n ＝3n －1.∵25＝20＝3×7－1，∴25是数列的第7项．【答案】 76．根据下列4个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图形中有________个点．(1) (2) (3) (4)图2-1-2【解析】由图形可得，图形中的点数为1,4,9,16，…，则其通项公式为a n ＝n 2，故第n 个图形中的点数为n 2.【答案】 n 27．若数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则a 2n ＝______，a 2a 3＝________. 【解析】 ∵a n ＝3－2n ，∴a 2n ＝3－22n ，a 2a 3＝3－223－23＝15.【答案】 3－22n15 8．已知数列{a n }的通项公式a n ＝n －98n －99(n ∈N *)，则数列{a n }的前30项中，最大项和最小项分别是________．①a 10，a 9；②a 1，a 9；③a 1，a 30；④a 9，a 30.【解析】通项公式变形为：a n ＝n －99＋99－98n －99＝1＋99－98n －99，显然当n ＝10和n ＝9时，a n 分别取最大值和最小值．【答案】 ①二、解答题9．已知数列{a n }中，a 1＝3，a 10＝21，通项a n 相应的函数是一次函数．(1)求数列{a n }的通项公式，并求出a 2 017；(2)若{b n }是由a 2，a 4，a 6，a 8，…组成，试归纳{b n }的一个通项公式．【解】 (1)由题意可设a n ＝kn ＋b ，又a 1＝3，a 10＝21，∴⎩⎨⎧ k ＋b ＝3，10k ＋b ＝21，解得⎩⎨⎧k ＝2，b ＝1，∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，a 2 017＝2×2 017＋1＝4 035.(2)∵{b n }是由{a n }的偶数项组成，∴b n ＝a 2n ＝2×2n ＋1＝4n ＋1(n ∈N *)．10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝9n 2－9n ＋29n 2－1(n ∈N *)． (1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内．【解】 (1)a n ＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝(3n －1)(3n －2)(3n －1)(3n ＋1)＝3n －23n ＋1.令n ＝10，得第10项a 10＝2831.(2)令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300. 此方程无正整数解，故98101不是该数列中的项．(3)证明：因为a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1，又n ∈N *，所以0<33n ＋1<1. 所以0<a n <1，所以数列中的各项都在区间(0,1)内．[能力提升]1．数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5的值为______.【导学号：91730024】【解析】由a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，∴a 1a 2＝4，a 1a 2a 3＝9，∴a 3＝94，同理a 5＝2516，∴a 3＋a 5＝6116.【答案】 6116图2-1-32．如图2-1-3，五角星魅力无穷，一动点由A 处按图中数字由小到大的顺序依次运动，当第一次运动结束回到A 处时，数字为6，按此规律无限运动，则数字2 016应在________处．【解析】设a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝4，a 5＝5，a 6＝1分别对应点A ，B ，C，D，E，A，故动点运动的周期为5，∵a2 016＝a2 015＋1＝a5×403＋1＝a1＝1，故应在A处．【答案】A3．已知数列{a n}满足a m·n＝a m·a n(m，n∈N*)，且a2＝3，则a8＝________. 【解析】由a m·n＝a m·a n，得a4＝a2·2＝a2·a2＝9，a8＝a2·4＝a2·a4＝3×9＝27.【答案】274．设函数f(x)＝log2x－log x2(0<x<1)，数列{a n}满足f(2a n)＝2n(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)判断数列{a n}的单调性．【解】(1)由f(x)＝log2x－log x2，可得f(2a n)＝a n－1a n＝2n，所以a2n－2na n－1＝0，解得a n＝n±n2＋1. 因为0<x<1，所以0<2a n<1，所以a n<0.故a n＝n－n2＋1.(2)法一：(作商比较)a n＋1 a n＝(n＋1)－(n＋1)2＋1 n－n2＋1＝n＋n2＋1(n＋1)＋(n＋1)2＋1<1.因为a n<0，所以a n＋1>a n.故数列{a n}是递增数列．法二：(作差比较)a n＋1－a n＝n＋1－(n＋1)2＋1－n＋n2＋1＝n2＋1＋1－n2＋2n＋2＝2(n2＋1－n)n2＋1＋1＋n2＋2n＋2>0.所以数列{a n}是递增数列．。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 2.1.1 数列》4

数列的概念【学习目标】：理解数列的有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的前几项甚至任意一项；对于比较简单的数列，会根据它的前几项写出它的一个通项公式。

【学习重点】：数列及其有关概念，通项公式及其应用。

【学习难点】：根据数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式。

【学习过程】：一、创设情景，导入课题观察下列例子中的6列数有什么特点：⑴传说中棋盘上的麦粒数按放置的先后排成一列数：1，2，22，23，…，263⑵某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为2个，那么每过一分钟，一个细胞分裂的个数依次为：1，2，4，8，16，… ⑶某剧场有30排座位，第一排有2021位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位，那么各排的座位数依次为：20212，24，26，28，…。

⑷人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出它每隔83年出现一次，则从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为1740，1823，1906，1989，2021，…。

⑸π精确到，，…的不足近似值排成一列数：，，，，…⑹从1984年到2021年，我国共参加了6次奥运会，各次参赛获得的金牌总数依次为：15，5，16，16，28，32 ●观察这六组数据，它们的特点是什么？特点：。

二、讲授新课1、数列的定义：按照一定排列的一列数称为数列，数列中的每个数叫做这个数列的各项依次叫做这个数列的第1项（首项）、第2项、…、第n 项…项数有限的数列叫做，项数无限的数列叫做。

●你能举出其他数列的例子吗？问题1：数列:1，2，3，4，5；数列:5，4，3，2，1；它们是否是同一数列？问题2：-1，1，-1，1是否是一数列？与1，-1， 1，-1，是同一数列吗？问题3：1，1，1，1，呢？问题4：数列中的项和集合中的元素有何区别？2、数列的一般形式：数列的一般形式可以写成 ,,,,321n a a a a 其中右下标n 表示项的位置序号，上面的数列又可简记为}{n a 注：这里的n a 和}{n a 是不同的，n a 表示，而}{n a 。

江苏省高一数学苏教版必修5《2.1数列求和》教案2

第周周月日
备课时间
2016 年 3 月 11 日
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课题数列求和2
总课时数
第节教学目标 1.掌握求数列求和的几种常用方法。

2.体会转化思想在数列求和中的应用教学重难点数列求和的常用方法
教学参考教材、教参
多媒体
授课方法
讲练结合
教学辅助手段
专用教室
教
学
二次备课
【学习过程】
数列求和的常用方法如下：
（5）错位相减法：这是推导等比数列的前项和公n 式时所用的方法，这种方法主要用于求数列
的前项和，其中、分别是等差
}{n n b a ⋅n }{n a }{n b 数列和等比数列。

例5、求数列的前项和。

}2{n
n ⋅n n S 练习：求和：
n n n S 212854321-++++=
教学二次备课
）奇偶讨论法（或并
为奇数、偶数进行讨论。

、
列求和的方法：
、在各项为正数的等比数列
课外作业
教学小结。