《直线的点斜式1方程》参考学案
学案3：3.2.1 直线的点斜式方程
3.2.1 直线的点斜式方程学习要求1．掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程．2．结合具体实例理解直线的方程和方程的直线概念及直线在y 轴上的截距的含义． 3．会根据斜截式方程判断两直线的位置关系． 核心扫描1．了解直线方程的点斜式的推导过程．(难点) 2．掌握直线方程的点斜式并会应用．(重点)3．掌握直线方程的斜截式，了解截距的概念．(重点、易错点)新知探究新知导学1．直线的点斜式方程温馨提示 (1)方程y －y 0＝k (x －x 0)与方程k ＝y －y 0x －x 0并不一致，前者是直线的点斜式方程，表示直线；而后者由于x ≠x 0，因此表示的直线不包括P 0(x 0，y 0)，并不是一条完整的直线． (2)由于点斜式方程是用点的坐标和斜率表示的，因而它只能表示斜率存在的直线，斜率不存在的直线是不能用点斜式方程来表示的．即点斜式不能表示与x 轴垂直的直线；过点P 0(x 0，y 0)且垂直于x 轴的直线可以表示为x ＝x 0的形式．(3)点斜式方程可以表示平行于x 轴的直线．过点P 0(x 0，y 0)且平行于x 轴的直线方程为y ＝y 0.特别地，x 轴的方程为y ＝0. 2．直线l 在坐标轴上的截距(1)直线在y 轴上的截距：直线l 与y 轴的交点(0，b )的 . (2)直线在x 轴上的截距：直线l 与x 轴的交点(a,0)的 . 温馨提示 (1)直线在y 轴上的截距是它与y 轴交点的纵坐标，截距是一个数值，可正、可负、可为零．当截距非负时，它等于直线与y 轴交点到原点的距离；当截距为负时，它等于直线与y 轴交点到原点距离的相反数．(2)直线在x 轴上的截距与直线在x 轴上的交点到原点的距离也有上述类似的关系． 3．直线的斜截式方程直线的斜截式方程是点斜式方程的特例，应用的前提也是直线的斜率存在．(2)斜截式方程与一次函数的解析式的区别：当斜率不为0时，y＝kx＋b即为一次函数；当斜率为0时，y＝b不是一次函数；一次函数y＝kx＋b(k≠0)必是一条直线的斜截式方程．互动探究探究点1 斜率存在的直线一定有点斜式方程吗？探究点2 若直线在x轴、y轴上的截距相同，这条直线的倾斜角是多少？探究点3 斜率为k且过原点的直线的点斜式方程和斜截式方程有什么关系？题型探究类型一直线的点斜式方程例1 求满足下列条件的直线方程．(1)过点P(－4,3)，斜率k＝－3；(2)过点P(3，－4)，且与x轴平行；(3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点．[规律方法]求直线的点斜式方程关键是求出直线的斜率，若直线的斜率不存在时，直线没有点斜式方程．活学活用1 (1)过点(－1,2)，且倾斜角为135°的直线方程为________．(2)已知直线l过点A(2,1)且与直线y－1＝4x－3垂直，则直线l的方程为________．类型二 直线的斜截式方程例2 求分别满足下列条件的直线l 的方程：(1)与直线l 1：y ＝34x ＋1平行，且在两坐标轴上的截距之和为1.(2)与直线l 1：y ＝34x ＋1垂直，且在两坐标轴上的截距之和为1.[规律方法] 设直线l 1的方程为y ＝k 1x ＋b 1，直线l 2的方程为y ＝k 2x ＋b 2，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2且b 1≠b 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.活学活用2 (1)已知直线l 过点A (2，－3)，若直线l 与直线y ＝－2x ＋5平行，求其方程． (2)直线l 与直线l 1：y ＝2x ＋6在y 轴上有相同的截距，且l 的斜率与l 1的斜率互为相反数，求直线l 的方程．类型三 直线过定点问题例3 求证：不论m 为何值时，直线l ：y ＝(m －1)x ＋2m ＋1总过第二象限．[规律方法] 本例两种证法是证明直线过定点的基本方法，法一体现了点斜式的应用，法二体现代数方法处理恒成立问题的基本思想．活学活用3 已知直线y ＝(3－2k )x －6不经过第一象限，求k 的取值范围．易错辨析 因忽视截距所致的错误示例 a 取何值时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行？ [错解] 因为l 1∥l 2，∴a 2－2＝－1，∴a 2＝1，∴a ＝1或a ＝－1.[错因分析] 在已知两直线斜截式方程条件下两直线平行的条件是斜率相等且截距不相等，上述解法未检验截距不相等这个条件，致使所求a 的值增多． [正解] 因为l 1∥l 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2＝－1，2≠2a ，解得a ＝－1.[防范措施] 在运用两直线的斜截式方程判定两直线是否平行，或已知直线平行求参数的 值时，必需保证斜率相等且截距不相等这两个条件同时成立. 课堂达标1．已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( ) A ．直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B ．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D ．直线经过点(－2，－1)，斜率为12．直线y ＝2x －3的斜率和在y 轴上截距分别等于( ) A ．2,3B ．－3，－3C ．－3,2D ．2，－33．斜率为4，经过点(2，－3)的直线方程是________． 4．过点(1,3)与x 轴垂直的直线方程是________．5．写出斜率为－2，且在y 轴上的截距为t 的直线的方程．当t 为何值时，直线通过点(4，－3)?课堂小结1．直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，使用这两种方程的条件都是斜率存在． 2．求直线方程时常常使用待定系数法，即根据直线满足的一个条件，设出其点斜式方程或斜截式方程，再根据另一条件确定待定常数的值，从而达到求出直线方程的目的．但在求解时仍然需要讨论斜率不存在的情形．3．要掌握利用直线方程的点斜式证明直线过定点问题，会利用直线的斜截式方程判定 两直线的位置关系.参考答案新知探究新知导学1．y －y 0＝k (x －x 0)2．(1)纵坐标b (2)横坐标a 3．y ＝kx ＋b 互动探究探究点1 提示 一定有点斜式方程． 探究点2 提示 135°.探究点3 提示 相同．都是y ＝kx 的形式.题型探究类型一 直线的点斜式方程例1 【解】 (1)∵直线过点P (－4,3)，斜率k ＝－3， 由直线方程的点斜式得直线方程为y －3＝－3(x ＋4)， 即3x ＋y ＋9＝0.(2)与x 轴平行的直线，其斜率k ＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y －(－4)＝0×(x －3)， 即y ＝－4.(3)过点P (－2,3)，Q (5，－4)的直线的斜率k PQ ＝－4－35－(－2)＝－77＝－1.又∵直线过点P (－2,3)，∴由直线方程的点斜式可得直线方程为y －3＝－1×(x ＋2)，即x ＋y －1＝0. 活学活用1 (1)x ＋y －1＝0 (2)x ＋4y －6＝0 【解析】 (1)k ＝tan 135°＝－1，由直线的点斜式方程得y －2＝－1×(x ＋1)，即x ＋y －1＝0. (2)方程y －1＝4x －3可化为y －1＝4⎝⎛⎭⎫x －34， 由点斜式方程知其斜率k ＝4.又因为l 与直线y －1＝4x －3垂直，所以直线l 的斜率为－14.又因为l 过点A (2,1)，所以直线l 的方程为y －1＝－14(x －2)，即x ＋4y －6＝0.类型二 直线的斜截式方程例2 【解】 (1)根据题意知直线l 1的斜率k 1＝34，∵l ∥l 1，∴直线l 的斜率k ＝34，设直线l 的方程为y ＝34x ＋b ，则令y ＝0得它在x 轴上的截距a ＝－43b .∵a ＋b ＝－43b ＋b ＝－13b ＝1，∴b ＝－3.∴直线l 的方程为y ＝34x －3，即3x －4y －12＝0.(2)∵l 2⊥l ，∴直线l 的斜率k ＝－1k 1＝－43.设直线l 的方程为y ＝－43x ＋b ′，则它在x 轴上的截距a ′＝34b ′.∵a ′＋b ′＝34b ′＋b ′＝74b ＝1，∴b ′＝47.∴直线l 的方程为y ＝－43x ＋47，即28x ＋21y －12＝0.活学活用2 【解】 (1)法一 ∵直线l 与y ＝－2x ＋5平行，∴k l ＝－2，由直线方程的点斜式知y ＋3＝－2(x －2)，即l ：2x ＋y －1＝0. 法二 ∵已知直线方程y ＝－2x ＋5， 又l 与其平行，则可设l 为y ＝－2x ＋b . ∵l 过点A (2，－3)， ∴－3＝－2×2＋b ，则b ＝1， ∴l ：y ＝－2x ＋1，即2x ＋y －1＝0.(2)由直线l 1的方程可知它的斜率为2，它在y 轴上的截距为6，所以直线l 的斜率为－2，在y 轴上的截距为6.由斜截式可得直线l 的方程为y ＝－2x ＋6. 类型三 直线过定点问题例3 【证明】法一 根据恒等式的意义求解． 直线l 的方程可化为y －3＝(m －1)(x ＋2)， ∴直线l 过定点(－2,3)，由于点(－2,3)在第二象限，故直线l 总过第二象限． 法二 直线l 的方程可化为(x ＋2)m －(x ＋y －1)＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3.∴无论m 取何值，直线l 总经过点(－2,3)． ∵点(－2,3)在第二象限，∴直线l 总过第二象限．活学活用3 【解】由题意知，需满足它在y 轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则⎩⎪⎨⎪⎧－6≤0，3－2k ≤0，得k ≥32.所以，k 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫k |k ≥32.感悟提升课堂达标 1．C【解析】 方程变形为y ＋2＝－(x ＋1)，∴直线过点(－1，－2)，斜率为－1. 2．D 3．y ＝4x －11 4．x ＝1【解析】 ∵直线与x 轴垂直且过(1,3)， ∴直线的方程为x ＝1.5．【解】 由直线方程的斜截式，可得方程为y ＝－2x ＋t . 将点(4，－3)代入方程y ＝－2x ＋t ，得－3＝－2×4＋t ， 解得t ＝5.故当t ＝5时，直线通过点(4，－3)．。
直线的点斜式方程学案
学习指导 即时感悟
y P P0
x
பைடு நூலகம்
k , x0 , y0 之间的关系。
直线的点斜式方程 探究 2、 （1）过点 P ，斜率是 k 的直线 l 上的点，其坐标都满足方 0 ( x0 , y0 ) 程（1）吗？ （2）坐标满足方程（1）的点都在经过 P0 ( x0 , y0 ) ，斜率为 k 的直线 l 上吗？
例 1、直线 l 经过点 P0 (2,3) ，且倾斜角 45 ，求直线 l 的点斜式方程， 并画出直线 l 。
二、直线的斜截式方程 探究 5、 已知直线 l 的斜率为 k ， 且与 y 轴的交点为 (0, b) ， 求直线 l 的方程。
直线的斜截式方程 探究 6、观察方程 y kx b ，它的形式具有什么特点？
探究 7、直线 y kx b 在 x 轴上的截距是什么？
探究 8、你如何从直线方程的角度认识一次函数 y kx b ？一次函数中 k 和 b 的 几 何 意 义 是 什 么 ？ 你 能 说 出 一 次 函 数 y 2 x 1,
y 3x,
y x 3 图象的特点吗？
3、 已知过点 A(2, m) 和 B(m, 4) 的直线与直线 y 2 x 1 平行， 则 m 的值 为（ ） A、 0 B、 8 C、 2 D、 10
4、以 A(1，3)，B(-5，1)为端点的线段的垂直平分线方程是（ ） A、3x-y-8=0 B、3x+y+4=0 C、3x-y+6=0 D、3x+y+2=0
数学学案 直线的点斜式方程
直线的点斜式方程
学习内容 【学习目标】 （1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围； （2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程； （3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系。 【学习重点】 直线的点斜式方程和斜截式方程 【学习难点】 直线的点斜式方程和斜截式方程的应用 【回顾·预习】 1、直线的倾斜角和斜率 2、两直线平行和垂直满足的条件 3、在直线坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？ 【精讲点拨】 一、直线的点斜式方程 探究 1、直线 l 经过点 P ，且斜率为 k 。设 0 ( x0 , y0 ) 点 P( x, y) 是直线 l 上的任意一点，请建立 x, y 与
直线的点斜式方程学案
直线的点斜式方程【学习目标】（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围。
（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。
（3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系。
【学习重点】（1）重点：直线的点斜式方程和斜截式方程。
（2）难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。
【学习过程】 一、复习回顾1．直线倾斜角的概念2. 在直角坐标系内确定一条直线，需要哪些几何要素？二、基础自测A((2)D(︒1. 写出下列直线的点斜式方程：(1)经过点３，-１)经过点-４，-２)，倾斜角是120121211(1):3,:22253(2):,:35l y x l y x l y x l y x=+=-==-2. 判断下列各对直线是否平行或垂直：三、知识梳理1.直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k 。
设点),(y x P 是直线l 上不同于0P 的任意一点，请建立 y x ,与00,,y x k 之间的关系。
2.（1）过点),(000y x P ，斜率是k 的直线l 上的点，其坐标都满足1建立的方程吗？（2）坐标满足方程（1）的点都在经过),(000y x P ，斜率为k 的直线l 上吗？3.点斜式方程的定义：如一个方程是由直线上的及其确定的，那么我们把这个方程叫做直线的点斜式方程。
4.直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？5.（1）x 轴所在直线的方程是什么？y 轴所在直线的方程是什么？（2）经过点),(000y x P 且平行于x 轴（即垂直于y 轴）的直线方程是什么？（3）经过点),(000y x P 且平行于y 轴（即垂直于x 轴）的直线方程是什么？6.（1）如果直线L 的斜率为k ，，且与y 轴的交点为（0，b ），代入直线的点斜式方程得到，即。
（2）我们把直线L 与y 轴的交点（0，b ）的纵坐标叫做直线L 在y 轴上的。
（3）截距是，它不是距离。
（4）如果一个方程是由一条直线的与它在y 轴上的确定的，那么我们把这个方程叫做这条直线的。
3.2.1直线的点斜式方程学案
学习目标：
1、掌握直线的点斜式和斜截式方程。
2、会用点斜式和斜截式求直线的方程。
学习重点：用点斜式和斜截式求直线的方程。
学习难点：直线的点斜式和斜截式方程的应用。
自学设计：
1．直线的点斜式方程是：；它适用于_______________________的直线.
2.如果直线l的斜率为k,且与y轴的交点为（0，b）,代入直线的点斜式方程可得：叫做直线的斜截式方程。
3.x轴所在的直线方程是：；y轴所在的直线方程是：
合作探究
探究一。方程Y=kx+b，它的形式具有什么特点？
探究二。直线点斜式方程的应用：
例1.
探究三。直线斜截式方程的应用：
课堂达标
[一层练习]：
1、经过点（ ，2）倾斜角是 的直线的方程是
A、y＋√2 =√3/3（x－2）B、y+2=√3（x－√2）
C、y－2=√3/3（x＋√2）D、y－2=√3（x＋√2）
2、已知直线方程y－3= （x－4），则这条直线经过的已知点，倾斜角分别是
A、（4，3）；π/ 3 B、（－3，－4）；π/ 6
C、（4，3）；π/ 6 D、（－4，－3）；π/ 3
3、直线方程可表示成点斜式方程的条件是
A、直线的斜率存在B、直线的斜率不存在
7、若平行四边形三个顶点的坐标为(1，0)，(5，8)，(7，4),则第四个顶点坐标为。
[三层练习]：
8．直线(m＋2)x＋(2-m)y=2m在x轴上的截距为3，则m的值是（）
(A) (B) (C)6 (D)-6
C、直线不过原点D、不同于上述答案
4、在y轴上截距是2的直线的方程为（）
A、y=kx-2 B、y=k(x-2) C、y=kx＋2 D、y=k(x＋2)
直线的点斜式方程学生学案
《直线的点斜式方程》学案 课题：§ 直线的点斜式方程（一）复习回顾问题1：直线的倾斜角α与斜率 k 之间的关系是怎样的？问题2：经过两点111(,)p x y 和222(,)p x y ()12x x ≠的直线的斜率公式是什么？问题3：确定一条直线需要什么样的条件？（二）开始新课 1、探究：（在斜率存在的情况下）思考：若直线l 经过点000(,)p x y ，斜率为k , 这条直线上的任意一点(,)p x y 的坐标x 与y 之间满足什么关系呢？根据斜率公式，可以得到，当0x x ≠时，_________k =，（*）化为整式，即_______________________（**）2、小组讨论回答: (1)直线l 上的其它的坐标都满足方程（**）吗？(2) 反之，满足直线方程（**）的坐标对应的点都在直线l 上吗？定义：方程00()y y k x x -=-由直线上一定点000(,)p x y 及其斜率k 确定，所以称为直线的点斜式方程，简称点斜式.注：强调直线的点斜式方程要求：（1）________________；（2）要有直线上的一点。
小组讨论完成：（1）右图中，经过点),(000y x P 且平行于x 轴的 直线方程是什么？（2）右图中，经过点),(000y x P 且平行于y 轴（即垂直于x 轴） 的直线方程是什么？（3）x 轴所在直线的方程是什么？y 轴所在直线的方程是什么？例1、直线l 经过点0(2,3)P -，倾斜角45o α=，求直线l 的点斜式方程。
课堂练习11、写出下列直线的点斜式方程:（1）经过点(3,1)A -，斜率是2； （2）经过点(B ，倾斜角是30°；2、填空题：(1) 已知直线的点斜式方程是21)y x +=+,那么直线的斜率为_____,倾斜角为_______. (2) 已知直线的点斜式方程是21y x -=-,那么直线的斜率为_______,倾斜角为________.3、已知直线经l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为 (0,b )，求直线l 的方程。
3.2.1 直线的点斜式方程学案
3.2.1 直线的点斜式方程学案一．学习目标：根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的点斜式、斜截式，体会斜截式与一次函数的关系.二．重点、难点：重点：直线的点斜式方程和斜截式方程难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用 三．知识要点：1. 点斜式：直线l 过点000(,)P x y ,且斜率为k ，其方程为00()y y k x x -=-.2. 斜截式：直线l 的斜率为k ，在y 轴上截距为b ，其方程为y kx b =+.3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x 轴直线. 若直线l 过点000(,)P x y 且与x 轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为00x x -=，或0x x =.4. 注意：y y k x x -=-与00()y y k x x -=-是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点000(,)P x y ，后者才是整条直线.四．自主探究1、过定点P （x 0,y 0）的直线有多少条？倾斜角为定值的直线有多少条？2、确定一条直线需要几个独立的条件？ 学生回答：3、给出两个独立的条件，例如：一个点P 1（2，4）和斜率k =2就能决定一条直线l 。
（1）你能在直线l 上再找一点，并写出它的坐标吗？你是如何找的？ （2）这条直线上的任意一点P （x ，y ）的坐标x ，y 满足什么特征呢？例题精讲：【例1】写出下列点斜式直线方程： （1）经过点(2,5)A ，斜率是4；（2）经过点(3,1)B -，倾斜角是30 .【例2】光线从点A（－3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点 B （－2，6），求射入y轴后的反射线的方程.【例3】已知直线l经过点(5,4)P--，且l与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线l的方程．五．目标检测（一）基础达标1．下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程的是（）.A. x=3B. y=－5C. 2y=xD. x=4y－12．方程(2)=-表示（）.y k xA. 通过点(2,0)-的所有直线 B. 通过点(2,0)的所有直线C. 通过点(2,0)且不垂直于x轴的直线D. 通过点(2,0)且除去x轴的直线3．直线y ax b=+（a b+＝0）的图象可以是（）.4．已知直线l过点(3,4)=+的两倍，则直线l的方程为P，它的倾斜角是直线1y x（）.A. 42(3)y-= D. 30-=- C. 40-=- B. 43y xy xx-= 5．过点P(1,2)且与原点O距离最大的直线l的方程（）.A. 250+-= D.+-= C. 370x yx y+-= B. 240x y+-=350x y6．倾斜角是135 ，在y轴上的截距是3的直线方程是 .7．将直线1=+绕它上面一点（115°，得到的直y x线方程是 .（二）能力提高8．已知直线l在y轴上的截距为－3，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l的方程.，求：9．已知△ABC在第一象限，若(1,1),(5,1),60,45A B A B∠=∠=（1）边AB所在直线的方程；（2）边AC和BC所在直线的方程.（三）探究创新10．国庆庆典活动的中心广场有数万名学生手持圆花组成大型图案方阵，方阵前排距观礼台120米，方阵纵列95人，每列长度192米，问第一、二排间距多大能达到满意的观礼效果？。
3、2、1直线的点斜式方程学案.doc
3、2、1 直线的点斜式方程学案编写者：黄冈实验学校数学教师孟凡洲同学们，如果把直线当做结论，那么确定一条直线需要几个条件？如何根据所给条件求出直线的方程？一、【学习目标】1、引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程；2、在理解的基础上掌握直线方程的点斜式的特征及适用范围.二、【自学内容和要求及自学过程】1、阅读教材第92—93页内容，然后回答问题(点斜式方程)〈1＞如果已知直线Z经过点P Q(x Q,y0),且斜率为k ,设点P (x, y)是直线 /上不同于点％的任意一点，你能求出直线的方程吗？你怎么说明我们根据斜率所得到的方程就是我们所求的直线方程？〈2〉我们由〈1〉所得的方程是斜率存在的情况，若斜率不存在也就是倾斜角是直角的情况，方程怎么求？倾斜角为零度呢？结论:＜1＞由斜率公式得：, v/ 即就是我们所求的方程.证明过'程：由上述推导过程我们可知：1°过点P0(x0,y0),斜率为k的直线/的坐标都满足上述方程；反过来我__________________ __ 们还可以验证.2°坐标满足上述方程的点，都在过布~点 ____________ ,斜率为上的直线/上.事实上，' | I若点匕(也见)的坐标M，X满足上述方程，即, ］尸若 __________ ,贝'J ='()，说明点____________ 重合，于是可得在直线Z上；若也？工0，| | . 则*=,这说明过点R、％的直线斜率为k ,于是可得点6在过点,斜率为*的直线Z上.上述两条成立，说明上述方程恰p为过点 ________ ,斜率为_____ 的直线 _____ 上的任------- ,一一点的坐标所满足的关系式，我们称上述方程为过点日--------------- ; P0(x0, y0),斜率为k的直线,的方程.＜2＞两种特殊情况的方程分别为： , .练习一:①请同学们回味我们第一个知识点所学的知识，你能把这些知识总结一下吗？你能总结出点斜式方程的适用范围吗？动一下手，你会有很大的收获的！②请同学们自学教材例1,并完成教材第95页练习1、2.2、阅读教材第94页思考上面的内容，回答问题（斜截式）〈3>如果直线I的斜率为们且与y轴的交点为（0,。
学案6：3.2.1 直线的点斜式方程
3.2.1 直线的点斜式方程知识点点斜式、斜截式提出问题如图，过点A(1,1)作直线l.问题1：试想直线l确定吗？问题2：若直线l的倾斜角为45°，直线确定吗？问题3：若直线l的斜率为2，直线确定吗？导入新知1．直线的点斜式方程(1)定义：如图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程叫做直线l 的点斜式方程，简称点斜式．(2)说明：如图所示，过定点P(x0，y0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x－x0＝0，或.2．直线的斜截式方程(1)定义：如图所示，直线l的斜率为k，且与y 轴的交点为(0，b )，则方程 叫做直线l 的斜截式方程，简称斜截式．(2)说明：一条直线与y 轴的交点(0，b )的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的 ．倾斜角是 的直线没有斜截式方程．化解疑难1．关于点斜式的几点说明：(1)直线的点斜式方程的前提条件是：①已知一点P (x 0，y 0)和斜率k ；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．(2)方程y －y 0＝k (x －x 0)与方程k ＝y －y 0x －x 0不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P (x 0，y 0)的一条直线．(3)当k 取任意实数时，方程y －y 0＝k (x －x 0)表示恒过定点(x 0，y 0)的无数条直线．2．斜截式与一次函数的解析式相同，都是y ＝kx ＋b 的形式，但有区别，当k ≠0时，y ＝kx ＋b 即为一次函数；当k ＝0时，y ＝b 不是一次函数，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)必是一条直线的斜截式方程．截距不是距离，可正、可负也可为零.常考题型题型一 直线的点斜式方程例1 (1)经过点(－5,2)且平行于y 轴的直线方程为________________．(2)直线y ＝x ＋1绕着其上一点P (3,4)逆时针旋转90°后得直线l ，则直线l 的点斜式方程为________________．(3)求过点P (1,2)且与直线y ＝2x ＋1平行的直线方程为________________．类题通法已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，直线方程的点斜式，应在直线斜率存在的条件下使用．当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝x 0.活学活用1.若直线l 过点(2,1)，分别求l 满足下列条件时的直线方程：(1)倾斜角为135°；(2)平行于x 轴；(3)平行于y 轴；(4)过原点．题型二 直线的斜截式方程例2 (1)倾斜角为150°，在y 轴上的截距是－3的直线的斜截式方程为________________．(2)已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3，l 2的方程为y ＝4x －2，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程．类题通法1．斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b＝0时，y＝kx表示过原点的直线；当k ＝0时，y＝b表示与x轴平行(或重合)的直线．2．截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零，而距离是一个非负数．活学活用2.写出下列直线的斜截式方程：(1)直线斜率是3，在y轴上的截距是－3；(2)直线倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；(3)直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2.题型三两直线平行与垂直的应用例3当a为何值时，(1)两直线y＝ax－2与y＝(a＋2)x＋1互相垂直？(2)两直线y＝－x＋4a与y＝(a2－2)x＋4互相平行？类题通法判断两条直线位置关系的方法直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2.(1)若k1≠k2，则两直线相交．(2)若k1＝k2，则两直线平行或重合，当b1≠b2时，两直线平行；当b1＝b2时，两直线重合．(3)特别地，当k1·k2＝－1时，两直线垂直．(4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑．活学活用3-1．若直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直，则a＝________.3-2．若直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－1)y＝－7＋a平行，则实数a的值为________．随堂即时演练1．直线的点斜式方程y－y1＝k(x－x1)()A．可以表示任何一条直线B．不能表示过原点的直线C．不能表示与坐标轴垂直的直线D．不能表示与x轴垂直的直线2．直线l经过点P(2，－3)，且倾斜角α＝45°，则直线的点斜式方程是()A．y＋3＝x－2B．y－3＝x＋2C．y＋2＝x－3 D．y－2＝x＋33．直线y＝3x－2在y轴上的截距为________．4．在y轴上的截距为2，且与直线y＝－3x－4平行的直线的斜截式方程为________________．5．(1)求经过点(1,1)，且与直线y＝2x＋7平行的直线的方程；(2)求经过点(－2，－2)，且与直线y＝3x－5垂直的直线的方程．参考答案知识点点斜式、斜截式问题1：【答案】不确定．因为过一点可画无数条直线．问题2：【答案】确定．问题3：【答案】确定．导入新知1．(1)y－y0＝k(x－x0) (2)x＝x02． (1) y ＝kx ＋b (2)截距 直角常考题型题型一 直线的点斜式方程例1 【答案】 (1)x ＝－5 (2)y －4＝－(x －3) (3)2x －y ＝0活学活用1.解：(1)直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以由点斜式方程得y －1＝－1×(x －2)，即方程为x ＋y －3＝0.(2)平行于x 轴的直线的斜率k ＝0，故所求的直线方程为y ＝1.(3)过点(2,1)且平行于y 轴的直线方程为x ＝2.(4)过点(2,1)与点(0,0)的直线的斜率k ＝12， 故所求的直线方程为y ＝12x . 题型二 直线的斜截式方程例2 解：(1)y ＝－33x －3 (2)由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2，又∵l ∥l 1，∴l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，∴l 在y 轴上的截距b ＝－2，由斜截式可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.活学活用2.解：(1)y ＝3x －3.(2)∵k ＝tan 60°＝3，∴y ＝3x ＋5.(3)∵直线在x 轴上的截距为4，在y 轴上的截距为－2，∴直线过点(4,0)和(0，－2)，∴k ＝－2－00－4＝12，∴y ＝12x －2. 题型三 两直线平行与垂直的应用例3 解：(1)设两直线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＝a ，k 2＝a ＋2.∵两直线互相垂直，∴k 1k 2＝a (a ＋2)＝－1，解得a ＝－1.故当a ＝－1时，两条直线互相垂直．(2)设两直线的斜率分别为k 3，k 4，则k 3＝－1，k 4＝a 2－2.∵两条直线互相平行，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2＝－1，4a ≠4，解得a ＝－1.故当a ＝－1时，两条直线互相平行． 活学活用3-1．【答案】383-2．【答案】3随堂即时演练1．【答案】D2．【答案】A3．【答案】－24．【答案】y ＝－3x ＋25． 解：(1)2x －y －1＝0(2)x ＋3y ＋8＝0。
高中数学二 3.2.1 直线的点斜式方程 导学案
3.2.1 直线的点斜式方程学习目标：（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；（2)能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；（3)体会直线的斜截式方程与一次函数的关系． 重点：直线的点斜式、斜截式方程难点：直线的斜截式方程与一次函数的关系.学习过程一、知识链接复习1．已知直线12,l l 都有斜率，如果12//l l ,则 ;如果12ll ⊥，则 . 2．若三点(3,1),(2,),(8,11)A B k C -在同一直线上，则k 的值为 。
3．已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为(0,1),(1,0),(3,2)A B C ，则第四个顶点D 的坐标。
4．直线的倾斜角与斜率有何关系?什么样的直线没有斜率？(预习教材P 92~ P 95，找出疑惑之处）二、自主学习1：在直线坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？2：已知直线l 经过点00(,)P x y ，且斜率为k ,则方程 为直线的点斜式方程.直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？3:⑴x 轴所在直线的方程是 ，y 轴所在直线的方程是 .⑵经过点000(,)P x y 且平行于x 轴（即垂直于y 轴）的直线方程是 。
⑶经过点000(,)P x y 且平行于y 轴（即垂直于x 轴）的直线方程是 .4：已知直线l 的斜率为k ,且与y 轴的交点为(0,)b ，求直线l 的方程。
5.直线l 与y 轴交点(0,)b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距.直线 叫做直线的斜截式方程. 注意:截距b 就是函数图象与y 轴交点的 .6：能否用斜截式表示平面内的所有直线? 斜截式与我们学过的一次函数表达式比较你会得出什么结论。
典型例题【例1】（1）x 轴所在直线的方程是 ，y 轴所在直线的方程是 ．（2）经过点00(,)P x y 且平行于x 轴（即垂直于y 轴）的直线方程是 ．（3）经过点00(,)P x y 且平行于y 轴(即垂直于x 轴）的直线方程是 ．（4）直线过点(1,2)-，且过原点的直线方程．【例2】直线l过点)3,2(0-P，且倾斜角045=α，求直线l的点斜式方程,并画出直线l．【例3】写出满足下列条件的直线的点斜式方程:(1）过点(1,2)P-,倾斜角是30;（2）过点(1,0)M，斜率为【例4】写出满足下列条件的直线的斜截式方程：（1)斜率为，在y轴上的截距为1-；（2）斜率为0，在y轴上的截距为6；(3）过点(4,2)A-,倾斜角是120 ;【例5】已知直线,:,:222111b x k y l b x k y l+=+=，讨论（1)21//l l （2)21l l⊥的条件反馈练习1．直线l :2()y x b b R +=+∈一定经过 （ ） A ．第一、二、三象限 B ．第二、三、四象限C ．第一、三、四象限D ．第一、二、四象限2．一条直线经过点(2,A -，并且它的斜率等于直线y x =的斜率的2倍,则这条直线 的方程是 （ )A ．252-=x y B ．y = C ．2y =- D ．y =3．已知直线l 过点(3,4)P ，它的倾斜角是直线1y x =-的两倍,则直线l 的方程为 ( )A.42(3)y x -=- B 。
直线的方程(1)点斜式,斜截式导学案
2.1.2 直线的方程（1）点斜式，斜截式学习目标：（1）掌握直线的点斜式，斜截式方程；（2）领会直线斜截式基本量k,b 的几何意义，会用等定系数法求直线的方程；（3）在求直线方程的过程中，感悟方程的思想。
学习重点：掌握直线的点斜式，斜截式方程一，复习：1.谈谈你对直线倾斜角的认识？直线倾斜角和直线斜率间有什么关系？试从函数图象加以解释。
2.今后你将怎么求一条直线的斜率？二、新授：若直线l 过点()1,3A -，斜率是2-，点P 在直线l 上运动，则点P 的坐标(),x yl 上的点的坐标都满足方程(),0fx y =，且以方程(),0f x y =的解为坐标的点(),x y 都在直线l 上，则称方程(),0f x y =是直线l 的方程，直线l 是方程(),0f x y =的直线。
一般地，设直线l 过点()11,P x y ，斜率是k ，求直线l 的方程。
2.直线的：直线l 过点()11,P x y ，斜率是k 时，方程 ，称为直线的点斜式方程。
（想想，任何直线的方程都能用点斜式表示吗？）思考： 直线l 的斜率是k ，与y 轴的交点是0,P b b R ∈，求直线l 的方程。
3．在直线l 的方程y kx b =+中，称b 为 (b 是点P 到坐标原点的距离吗？)这个方程是由 和 确定，称这个方程为直线的斜截式方程。
（想想斜截式方程和点斜式方程之间的关系）例1．根据直线满足的条件，写出直线的方程（1） 过点()1,0，斜率是2- （2）过点()0,1-，斜率是2（3）过点(),a b ，斜率是b a()0a ≠（4）过两不同的点()(),,,a b b a （5）过两不同点()()()21,1,,1m m m ≠例2．已知直线5y x =+的倾斜角是直线l 的倾斜角的5倍，求分别满足下列条件的直线l 的方程：（1）过点()3,4-；（2）在y 轴上的截距是3例3.1．对于直线l :y kx b =+,分别根据下列条件, 判断直线l 经过的象限（1）0,0k b >>；（2）0,0k b ><；（3）0,0k b <>；（4）0,0k b <<（5）0,0k b =<；（6）0,0k b <=；2．直线()1y mx m =+-能同时经过第二、三、四象限吗？例4．直线l 过点()1,1--，且和两坐标轴在第三象限围成的三角形的面积是94，求直线l 的方程.例5．（1）直线l 的方程是()32y k x -=+，当k 取任意实数时，这样的直线具有什么共同的特点？（2）已知两条直线1110a x b y ++=和2210a x b y ++=都过点()1,2A ，求过两点()111,P a b ，()222,P x y 的直线的方程。
直线的点斜式方程(优秀经典导学案)
3.2.1直线的点斜式方程一、课时目标1.了解直线方程的点斜式的推导过程．(难点)2.掌握直线方程的点斜式并会应用．(重点)3.掌握直线方程的斜截式，了解截距的概念．(重点、易错点)二、自主学习1、知识点（一）1．定义：如图3－2－1所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程叫做直线l的点斜式方程，简称点斜式．图3－2－12．说明：如图3－2－2所示为过定点P(x0，y0)，倾斜角是90°的直线，它的方程没有点斜式，其方程为x－x0＝0或．图3－2－22、知识点（二）图3－2－3（1）定义：如图3－2－3所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则方程叫做直线l的斜截式方程，简称斜截式．（2）说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的．倾斜角是的直线没有斜截式方程．（3）求直线的点斜式方程的步骤：（4）求直线的斜截式方程的步骤：确定直线的斜率k↓确定直线在y轴上的截距b↓代入y＝kx＋b即得直线的斜截式方程（5）由于直线的斜截式方程是点斜式方程的特例，因此，求直线方程时，往往选择点斜式方程．利用点斜式求方程的关键是求直线的斜率．在利用斜率与倾斜角的关系求斜率时，要注意倾斜角的定义及其取值范围．三、课堂练习1．直线l经过点P(2，－3)，且倾斜角α＝45°，则直线的点斜式方程是()A．y＋3＝x－2B．y－3＝x＋2C．y＋2＝x－3 D．y－2＝x＋32．过点(1，0)且与直线y＝12x－1平行的直线方程是()A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝03．直线y＝k(x－2)＋3必过定点，该定点坐标为________．4．当a为何值时，(1)两直线y＝a x－2与y＝(a＋2)x＋1互相垂直？(2)两直线y＝－x＋4a与y＝(a2－2)x＋4互相平行？。
学案1：2.2.2 第1课时 直线的点斜式方程与斜截式方程~2.2.2 第2课时 直线的两点式方程
2.2.2第1课时直线的点斜式方程与斜截式方程~2.2.2第2课时直线的两点式方程学习目标核心素养1．会求直线的点斜式、斜截式、两点式和一般式的方程．(重点)2．掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种基本形式及它们之间的关系．(重点)3．灵活选用恰当的方式求直线方程．(难点)1．通过直线方程的几种形式的学习，培养数学抽象的核心素养．2．通过直线方程的几种形式适用范围的学习，提升逻辑推理、数学运算的核心素养．【情境导学】情境引入斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足．若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线．怎样表示直线的方程呢？新知初探1．直线的点斜式方程与斜截式方程在平面直角坐标系中，如果已知P0(x0，y0)是直线l上一点及l的斜率信息，就可以写出直线l的方程．(1)如果直线l的斜率不存在，则直线l的方程为．(2)直线的点斜式方程：若直线l的斜率存在且为k，P(x，y)为直线l上不同于P0的点，则直线l的方程为y－y0＝k(x －x0)．由直线上一点和直线斜率确定，通常称为直线的点斜式方程．思考1：直线的点斜式方程应用范围是什么？(3)直线的斜截式方程当直线l既不是x轴也不是y轴时，若直线l与x轴的交点为(a,0)，则称l在x轴上的截距为a，与y轴的交点为(0，b)，则称l在y轴上的截距为b．如果已知直线的斜率为k，截距为b，则直线l的方程为．由直线的斜率和截距确定，通常称为直线斜截式方程．思考2：直线的斜截式方程应用范围是什么？2．直线的两点式方程与截距式方程(1)直线l上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x2≠x1，y2≠y1时，则称为直线的两点式方程．(2)若直线l在x轴，y轴上的截距分别为a，b，且ab≠0，则方程称为直线的截距式方程．思考3：直线的两点式方程和截距式方程的应用范围分别是什么？3．直线的一般式方程直线的一般式方程为．初试身手1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线y－3＝m(x＋1)恒过定点(－1,3)．()(2)直线y＝2x＋3在y轴上的截距为3．()(3)斜率不存在的直线能用两点式方程表示．()(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．()2．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则()A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1D．直线经过点(－2，－1)，斜率为13．过点(1,2)和(3,5)的直线方程为．4．经过点P(－2,1)，且斜率为－1的直线方程为．【合作探究】【例1】写出下列直线的点斜式方程．(1)经过点(2,5)，倾斜角为45°；(2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，求直线l的点斜式方程；(3)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行；(4)经过点D(1,1)，且与x轴垂直．[规律方法]1．求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)．2．点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．[跟进训练]1．求满足下列条件的直线的点斜式方程．(1)过点P(－4,3)，斜率k＝－3；(2)过点P(3，－4)，且与x轴平行；(3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点．【例2】 根据条件写出下列直线的斜截式方程．(1)斜率是3，在y 轴上的截距是－3．(2)倾斜角是60°，在y 轴上的截距是5．(3)过点A (－1，－2)，B (－2,3)．[思路探究] 先求直线的斜率，结合y 轴上的截距可用斜截式方程求解．[规律方法]1．用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，要特别注意截距和距离的区别．2．直线的斜截式方程y ＝kx ＋b 不仅形式简单，而且特点明显，k 是直线的斜率，b 是直线在y 轴上的截距，只要确定了k 和b 的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k ，b 的几何意义进行判断．[跟进训练]2．(1)写出直线斜率为－1，在y 轴上截距为－2的直线的斜截式方程；(2)求过点A (6，－4)，斜率为－43的直线的斜截式方程； (3)已知直线l 的方程为2x ＋y －1＝0，求直线的斜率，在y 轴上的截距以及与y 轴交点的坐标．【例3】在△ABC中，A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，(1)求BC所在直线的方程；(2)求BC边上的中线所在直线的方程．[思路探究](1)由两点式直接求BC所在直线的方程；(2)先求出BC的中点，再由两点式求直线方程．[规律方法]1．由两点式求直线方程的步骤(1)设出直线所经过点的坐标．(2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标．(3)由直线的两点式方程写出直线的方程．2．求直线的两点式方程的策略以及注意点当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．[跟进训练]3．(1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2,7)，则直线l的方程为；(2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝．[探究问题]1．平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？为什么？2．每一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)都能表示一条直线吗？为什么？【例4】设直线l的方程为(a－1)x＋y－2－a＝0(a∈R)．若直线l不过第三象限，则a的取值范围为．[思路探究]含有参数的一般式直线方程问题⇒化为直线方程的相应形式，根据实际情况求解．[母题探究]1．本例中若将方程改为“x＋(a－1)y－2－a＝0(a∈R)”，其他条件不变，又如何求解？2．若本例中的方程不变，当a取何值时，直线不过第二象限？[规律方法]当题目给出直线的一般式方程而考查直线经过的象限问题时，可将一般式方程转化为斜截式方程(但它的参数要有限制，注意分类讨论)，直接研究y＝kx＋b：①k>0，b>0，经过第一、二、三象限；②k>0，b<0，经过第一、三、四象限；③k<0，b>0，经过第一、二、四象限；④k<0，b<0，经过第二、三、四象限．【课堂小结】1．本节课的重点是了解直线方程的五种形式，难点是根据条件求直线的方程并能在几种形式间相互转化．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)求点斜式方程与斜截式方程的方法．(2)求截距式方程与两点式方程的方法．(3)求一般式方程的方法．3．本节课的易错点是利用斜截式方程求参数时漏掉斜率不存在的情况．【达标检测】1．过点(－3,2)，倾斜角为60°的直线方程为()A．y＋2＝3(x－3)B．y－2＝33(x＋3)C．y－2＝3(x＋3) D．y＋2＝33(x＋3)2．直线y－2＝3(x＋1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为()A．60°，2 B．60°，2＋3C．120°，2＋ 5 D．120°，23．直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有()A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜04．已知直线l过点P(2,1)，且斜率为－1，则l的点斜式方程为．5．直线l经过点P(3,4)，它的倾斜角是直线y＝3x＋3的倾斜角的2倍，求直线l的点斜式方程．【参考答案】【情境导学】新知初探1．直线的点斜式方程与斜截式方程(1) x＝x0思考1：[提示]直线l的斜率k存在．(3)y＝kx＋b思考2：[提示]直线既不与x轴重合也不与y轴重合．2．直线的两点式方程与截距式方程(1) y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(2)xa＋yb＝1思考3：[提示]两点式表示的直线l不与坐标轴平行或重合，截距式表示的直线l不与坐标轴平行或重合，且不过原点．3．直线的一般式方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)初试身手1．[答案](1)√(2)√(3)×(4)√[提示](1)由点斜式方程的形式知正确．(2)由斜截式方程的形式知正确．(3)两点式方程不能表示与坐标轴平行或重合的直线，错误．(4)正确．2．C[方程变形为y＋2＝－(x＋1)，∴直线过点(－1，－2)，斜率为－1．]3．3x－2y＋1＝0[由直线的两点式方程，得y－25－2＝x－13－1，化简得3x－2y＋1＝0．] 4．x＋y＋1＝0[由题意知，直线方程为y－1＝－(x＋2)，即x＋y＋1＝0．]【合作探究】【例1】[解] (1)因为倾斜角为45°，所以斜率k ＝tan 45°＝1，所以直线的方程为y －5＝x －2．(2)直线y ＝x ＋1的斜率k ＝1，所以倾斜角为45°．由题意知，直线l 的倾斜角为135°，所以直线l 的斜率k ′＝tan 135°＝－1．所以直线的方程为y －4＝－(x －3)．(3)由题意知，直线的斜率k ＝tan 0°＝0，所以直线的点斜式方程为y －(－1)＝0，即y ＝－1．(4)由题意可知直线的斜率不存在，所以直线的方程为x ＝1，该直线没有点斜式方程．[跟进训练]1．[解] (1)∵直线过点P (－4,3)，斜率k ＝－3，由直线方程的点斜式得直线方程为y －3＝－3(x ＋4)．(2)与x 轴平行的直线，其斜率k ＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y －(－4)＝0×(x －3)，即y ＋4＝0．(3)过点P (－2,3)，Q (5，－4)的直线的斜率k PQ ＝－4－35－(－2)＝－77＝－1． 又∵直线过点P (－2,3)，∴直线的点斜式方程为y －3＝－(x ＋2)．【例2】[解] (1)由直线方程的斜截式可知，所求直线的斜截式方程为y ＝3x －3．(2)∵倾斜角是60°，∴斜率k ＝tan 60°＝3，由斜截式可得方程y ＝3x ＋5．(3)斜率为k ＝3＋2－2＋1＝－5，由点斜式得y －3＝－5(x ＋2)，化为斜截式y ＝－5x －7． [跟进训练]2．[解] (1)易知k ＝－1，b ＝－2，故直线的斜截式方程为y ＝－x －2．(2)由于直线的斜率k ＝－43，且过点A (6，－4)，根据直线的点斜式方程得直线方程为y ＋4＝－43(x －6)，化成斜截式为y ＝－43x ＋4． (3)直线方程2x ＋y －1＝0可化为y ＝－2x ＋1，由直线的斜截式方程知：直线的斜率k ＝－2，在y 轴上的截距b ＝1，直线与y 轴交点的坐标为(0,1)．【例3】[解] (1)∵BC 边过两点B (5，－4)，C (0，－2)，∴由两点式得y －(－4)(－2)－(－4)＝x －50－5， 即2x ＋5y ＋10＝0．故BC 所在直线的方程为2x ＋5y ＋10＝0． (2)设BC 的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝5＋02＝52， y 0＝(－4)＋(－2)2＝－3．∴M ⎝⎛⎭⎫52，－3， 又BC 边上的中线经过点A (－3,2)．∴由两点式得y －2－3－2＝x －(－3)52－(－3)，即10x ＋11y ＋8＝0． 故BC 边上的中线所在直线的方程为10x ＋11y ＋8＝0．[跟进训练]3．(1)x ＝2 (2)－2 [(1)由于点A 与点B 的横坐标相等，所以直线l 没有两点式方程，所求的直线方程为x ＝2．(2)由两点式方程得，过A ，B 两点的直线方程为y ＋14＋1＝x －2－3－2，即x ＋y －1＝0． 又点P (3，m )在直线AB 上，所以3＋m －1＝0，得m ＝－2．][探究问题]1．[提示] 都可以，原因如下：(1)直线和y 轴相交于点(0，b )时：此时倾斜角α≠π2，直线的斜率k 存在．直线可表示成y ＝kx ＋b ，可转化为kx ＋(－1)y ＋b ＝0，这是关于x ，y 的二元一次方程．(2)直线和y 轴平行(包含重合)时：此时倾斜角α＝π2，直线的斜率k 不存在，不能用y ＝kx ＋b 表示，而只能表示成x －a ＝0，它可以认为是关于x ，y 的二元一次方程，此时方程中y 的系数为0．2．[提示] 能表示一条直线，原因如下：当B ≠0时，方程Ax ＋By ＋C ＝0可变形为y ＝－A Bx －C B ，它表示过点⎝⎛⎭⎫0，－C B ，斜率为－A B的直线． 当B ＝0时，方程Ax ＋By ＋C ＝0变成Ax ＋C ＝0．即x ＝－C A，它表示与y 轴平行或重合的一条直线． 【例4】[1，＋∞) [把直线l 化成斜截式，得y ＝(1－a )x ＋a ＋2，因为直线l 不过第三象限，故该直线的斜率小于等于零，且直线在y 轴上的截距大于等于零．即⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≤0，a ＋2≥0，解得a ≥1．所以a 的取值范围为[1，＋∞)．][母题探究]1．[解] (1)当a －1＝0，即a ＝1时，直线为x ＝3，该直线不过第三象限，符合．(2)当a －1≠0，即a ≠1时，直线化为斜截式方程为y ＝11－a x －2＋a 1－a， 因为直线l 不过第三象限，故该直线的斜率小于等于零，且直线在y 轴上的截距大于等于零． 即⎩⎪⎨⎪⎧ 11－a ≤0，－2＋a 1－a ≥0，解得a ＞1．由(1)(2)可知a ≥1．2．[解] 把直线l 化成斜截式，得y ＝(1－a )x ＋a ＋2，因为直线l 不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且直线在y 轴上的截距小于等于零．即⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≥0，a ＋2≤0，解得a ≤－2．所以a 的取值范围为(－∞，－2]．【达标检测】1．C [因为直线的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝3，由直线方程的点斜式，可得方程为y －2＝3(x ＋3)．]2．B [由y －2＝3(x ＋1)的可知斜率k ＝3，故倾斜角60°，令x ＝0可得在y 轴上的截距2＋3．]3．B [∵直线经过一、三、四象限，由图知，k ＞0，b ＜0．]4．y－1＝－(x－2)[直线l的斜率k＝－1，又过点P(2,1)，所以l点斜式方程为y－1＝－(x－2)．]5．[解]直线y＝3x＋3的斜率k＝3，则其倾斜角α＝60°，∴直线l的倾斜角为120°．∴直线l的斜率为k′＝tan 120°＝－3．∴直线l的点斜式方程为y－4＝－3(x－3)．。
第1课时 点斜式 学案(含答案)
第1课时点斜式学案（含答案）2.1.2直线的方程第1课时点斜式学习目标1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题.知识点一直线的点斜式方程名称已知条件示意图方程使用范围点斜式点Px0，y0和斜率kyy0kxx0斜率存在的直线知识点二直线的斜截式方程1直线在y轴上的截距直线l与y 轴的交点0，b的纵坐标b，可正，可负，也可为零.2直线的斜截式方程名称已知条件示意图方程使用范围斜截式斜率k和在y轴上的截距bykxb斜率存在的直线一.直线的点斜式方程例1求满足下列条件的直线的点斜式方程1过点P4,3，斜率k3；2过点P3，4，且与x轴平行；3过P2,3，Q5，4两点；4经过点A2,5，且其倾斜角与直线y2x7的倾斜角相等.解1直线过点P4,3，斜率k3，由直线方程的点斜式得直线方程为y33x4.2与x轴平行的直线，其斜率k0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y40x3.3过点P2,3，Q5，4的直线的斜率kPQ1.又直线过点P2,3.直线的点斜式方程为y3x2.4所求直线的斜率k2，又直线过点A2,5，直线的点斜式方程为y52x2.反思感悟求直线的点斜式方程的步骤提示斜率不存在时，过点Px0，y0的直线与x轴垂直，直线上所有点的横坐标相等，都为x0，故直线方程为xx0.跟踪训练11经过点3,1且平行于y 轴的直线方程是________.2一直线l1过点A1，2，其倾斜角等于直线l2yx的倾斜角的2倍，则l1的点斜式方程为________.答案1x32y2x1解析1直线与y轴平行，该直线斜率不存在，直线方程为x3.2直线l2的方程为yx，设其倾斜角为，则tan，30，那么直线l1的倾斜角为23060，则l1的点斜式方程为y2tan60x1，即y2x1.二.直线的斜截式方程例2根据条件写出下列直线的斜截式方程.1斜率为2，在y轴上的截距是5；2倾斜角为150，在y轴上的截距是2；3倾斜角为60，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.解1由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y2x5.2倾斜角150，斜率ktan150.由斜截式可得直线方程为yx2.3直线的倾斜角为60，斜率ktan60.直线与y轴的交点到原点的距离为3，直线在y轴上的截距b3或b3.所求直线方程为yx3或yx3.反思感悟1斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在.当b0时，ykx表示过原点的直线；当k0时，yb表示与x轴平行或重合的直线.2截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横纵坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数和零，而距离是一个非负数.跟踪训练2已知直线l在y轴上的截距为2，根据条件，分别写出直线l的斜截式方程.1直线l经过点Mm，n，Nn，mmn；2直线l与坐标轴围成等腰三角形.解1由题意得直线l的斜率为k1，所以直线l的斜截式方程为yx2.2因为直线l在y轴上的截距为2，所以l与y轴的交点为P0，2，而直线l与坐标轴围成等腰三角形，又是直角三角形，所以l与x轴的交点坐标为2,0或2,0.由过两点的斜率公式得k1或1，所以直线l的斜截式方程为yx2或yx2.三.直线方程的简单应用例3求经过点A3,4，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程.解方法一点斜式设直线方程为y4kx3k0.当x0时，y43k，当y0时，x3，3k4312，即3k211k40，k4或k.故直线方程为y44x3或y4x3.方法二斜截式设直线方程为ykxb，直线经过点A3,4，3kb40.直线在两坐标轴上的截距之和为12，b12.由得或故直线方程为y4x16或yx3.反思感悟利用待定系数法求直线方程1已知一点，可选用点斜式，再由其他条件确定斜率.2已知斜率，可选用斜截式，再由其他条件确定直线在y轴上的截距.跟踪训练3已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的直线方程.解设直线方程为yxb，则当x0时，yb；当y0时，x6b.由已知可得|b||6b|3，即6|b|26，b1.故所求直线方程为yx1或yx1.1.建立点斜式方程的依据是直线上任一点与这条直线上一个定点的连线的斜率相同，故有k，此式是不含点P1x1，y1的两条反向射线的方程，必须化为yy1kxx1才是整条直线的方程.当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为xx1.2.斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过点0，b.斜率为k的直线ybkx0，即ykxb，其特征是方程等号的一端只是一个y，其系数是1；等号的另一端是x的一次式，而不一定是x的一次函数.如yc是直线的斜截式方程，而2y3x4不是直线的斜截式方程.1.已知直线的方程是y2x1，则A.直线经过点1,2，斜率为1B.直线经过点2，1，斜率为1C.直线经过点1，2，斜率为1D.直线经过点2，1，斜率为1答案C解析由y2x1，得y2x1，所以直线的斜率为1，过点1，2.2.方程yax表示的直线可能是图中的答案B解析直线yax 的斜率是a，在y轴上的截距为.易知a0.当a0时，斜率a0，在y 轴上的截距0，则直线yax过第一.二.三象限，四个选项都不符合；当a0时，斜率a0，在y轴上的截距0，则直线yax过第二.三.四象限，仅有选项B符合.3.过点1,0且在y轴上的截距为的直线的斜截式方程是________.答案yx4.已知直线l过点P2,1，且直线l的斜率为直线x4y30的斜率的2倍，则直线l的方程为________.答案y1x2解析由x4y30，得yx，其斜率为，故所求直线l的斜率为，又直线l过点P2,1，所以直线l的方程为y1x2.5.已知直线l的倾斜角是直线yx1的倾斜角的2倍，且过定点P3,3，求直线l的方程.解直线yx1的斜率为1，所以倾斜角为45，又所求直线的倾斜角是已知直线倾斜角的2倍，所以所求直线的倾斜角为90，其斜率不存在.又直线过定点P3,3，所以直线l的方程为x3.。
3.2.1直线的点斜式方程教案(详案)
必修二3.2.1直线的点斜式方程教材分析本节内容是人教版必修二第三章第二节直线的方程第一课时。
在学习了《直线的倾斜角和斜率》之后。
学习直线方程的第一课时《直线的点斜方程》，知识储备充足，过渡自然合理，解析几何的思想开始渗透，因此既是对上一节思想的拓展延伸，也是下一节内容的基础，更是对数形结合这一重要思想的进一步认识与理解。
本节课使学生开始具有解析几何的意识，为学生今后用代数方法研究几何问题的思想提供了必要的基础。
教学目标1.使学生进一步理解直线与直线方程的关系，初步渗透解析几何的思想2.理解直线的点斜式方程的形式特点和适用范围3.能正确利用直线点斜式公式求直线的方程教学重点直线的点斜式方程推导及应用教学难点直线的点斜式方程的应用学情分析本班学生数学基础比较差，在解题能力特别是抽象思维的能力比较欠缺。
在此之前学生已学习了直线的倾斜角及斜率的概念，明确通过斜率分析直线应首先考虑直线斜率是否存在在α≠90°的情况下，具备计算斜率的公式，初步形成用代数方法研究几何问题的思想，为本节的学习奠定了基础。
教学方法本节课是前面学习的直线的斜率的延伸，也是以后解析几何思想的基础，由此安排教学时，注意渗透类比、数形结合的思想，采用启发式的讲授法进行教学。
教学过程设计一.引入通过上节课学习的直线由一点和倾斜角唯一确定，提出直线上任意一点坐标关系的新问题，引出本堂课的内容。
师：同学们，上节课我们学习了斜率的概念和由直线上两点计算斜率的方法，分析了在直角坐标系内，一点和直线的什么唯一确定一条直线？生：倾斜角。
师：那么，如果在直角坐标系中，对一直线l ，直线经过已知点000(,)p x y ，斜率为k 。
我们怎样用直线上的已知点000(,)p x y ，斜率k 表示出该直线上所有点的坐标(,)x y 满足的关系式，并且论证这个关系式就是直线的方程？这就是我们这节课所要学习的内容——直线的点斜式方程。
二.新知探究通过解析引入中的问题，得出直线方程的概念，以及直线的点斜式方程公式及其形式特点、适用范围。
直线的点斜式方程教案导学案
直线的点斜式方程教案
【学习目标】
1.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程
2.直线平行、垂直的判断
3.恒过定点问题
一、引入新知
1.直线的点斜式方程和斜截式方程
注：过点P 0且斜率不存在的直线为x ＝x 0.
2.直线l 的截距
(1)直线在y 轴上的截距：直线与y 轴的交点(0，b )的__________．
(2)直线在x 轴上的截距：直线与x 轴的交点(a ,0)的____________．注：截距不是距离，可为正数、负数或零
3.直线平行、垂直的判断
对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，
(1)l 1∥l 2__________________；(2)l 1⊥l 2__________________．
4.恒过定点问题
直线l :y －y 0＝k （x-x 0），不论k 取何值l
都过哪个定点二、思 1.课本60页例1、例2
点斜式
斜截式已知条件点P (x 0，y 0)和斜率k 斜率k 和直线在y 轴上的截距b
图示
方程形式
y －y 0＝适用条件斜率存在斜率存在
三、课堂小测
2.
4.(1)当a 为何值时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2
－2)x ＋2平行？
(2)当a 为何值时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直？
(3)直线l
：y＝(a2－2)x＋2恒过哪个定点？
2
5.。
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课题：§3.2.1直线的点斜式方程
学习目标1.理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；2.能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；3.体会直线的斜截式方程与一次函数的关系 导学过程： 一、课前准备
（预习教材9492P P -，找出疑惑之处） 复习1．已知直线1l 、2l 都有斜率，如果21//l l ，则__________________；如果21l l ⊥，则___________
2．若三点)1,3(A ，),2(k B -，)11,8(C 在同一直线上，则k 的值为___________
3．已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为)1,0(A 、)0,1(B 、)2,3(C ，则第四顶点D 的坐标________．
4．直线的倾斜角与斜率有何关系？什么样的直线没有斜率？
二、新课学习
探究1：复习直线的斜率及斜率公式设点
),(000y x P 为直线上的一定点,那么直线上不同
于0P 的任意一点),(y x P 与直线的斜率k 有什么关系？
已知直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k ，则直线的方程为
)(00x x k y y -=- （1）
思考：
（1）是否在直线上的任意一点的坐标都适合方程（1）
（2）适合方程（1）的任意一组解),(y x 为坐标的点是否都在直线l 上？
如果直线l 的斜率为0，方程怎样？方程有什么特点？
如果直线的斜率不存在，是否方程就不存在？若在，方程怎样？ 知识1：
（1）直线的点斜式方程：
（2）
x 轴所在直线的方程是______________ ，y 轴所在直线的方程是______________；
经过点),(000y x P 且平行于x 轴（即垂直于y 轴）的直线方程是______________； 经过点),(000y x P 且平行于y 轴（即垂直于x 轴）的直线方程是______________
例1直线l 经过)3,2(0-P ，且倾斜角︒=45α，求直线l 的点斜式方程，并画出直线l
思考：求直线的点斜式方程的关键是______________ ____________________.
引入：已知直线l 的斜率为k ，l 且与x 轴的交点为),0(b ，求直线l 的方程
新知 ：直线l 与y 轴交点),0(b 的纵坐标b 叫做直线 在y 轴上的截距,直线
b kx y += （2）
叫做直线的斜截式方程
思考1：截距是距离吗？
思考2：能否用斜截式表示平面内的所有直线
l ？斜截式与我们学过的一次函数表达式比较你会得出什么结论？
例2已知直线111:b x k y l +=，222:b x k y l +=，试讨论：（1）1l //2l 的条件是什么？（2）1l ⊥
2l 的条件是什么？
结论：对于直线
111:b x k y l +=，222:b x k y l +=
1l //2l ⇔21k k =，且21b b =； 1l ⊥2l ⇔121-=k k
※ 动手试试
1．求经过点)2,1(，且与直线32+-=x y 平行的直线方程
2．已知点)32,2(P ，求经过点P ，且与POx ∠平分线垂直的直线的方程 三、总结提升 ※.学习小结
直线的方程：（1）点斜式)(00x x k y y -=- ；（2）斜截式b kx y +=；这两个公式都只能在
斜率存在的前提下才能使用
※知识拓展
学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（ ） A ．很好 B ．较好 C ．一般 D ．较差
※当堂检测
1．过点)2,4(-，倾斜角为︒45的直线方程（ ） A ．02=-+y x B ．02=--y x C ．02=+-y x
D ．02=++y x 2．已知直线12--=+x y ，则（ ） A ．直线经过点)1,2(-斜率为1- B ．直线经过点)1,2(--斜率为1 C ．直线经过点)2,1(--斜率为1- D ．直线经过点)2,1(-斜率为1-
3．直线1l ：)3(21+=-x y ，2l ：42
1
+-=x y ，
则1l 与2l 的位置关系是（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直 D ．以上都不对
4．已知点)2,1(A ，)4,3(B ，则线段AB 的垂直平分线的方程为__________________________
**5．直线031=-+-k y kx ，当k 变化时，所有直线恒过定点_________ 课后作业
1．已知三角形的三个顶点)2,2(-A ，)2,3(B ，
)0,3(C ，求这个三角形的三边所在的直线方程
*2．直线l 过点)3,2(-P 且与x 轴、y 轴分别交于A ，B 点，若P 为线段AB 的中点，求直线l 的方程。