函数方程

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函数与方程含参数

函数与方程含参数函数和方程是数学中基本的概念，用于描述数学对象之间的关系。

函数是一个机制，通过给定输入值，可以得到相应的输出值。

方程则是一个等式，用于描述两个表达式之间的相等关系。

函数和方程含有参数时，其输入值和输出值不再是确定的，而是变量，可以在一定范围内取不同的值。

含有参数的函数被称为参数函数。

以一元函数（只含有一个自变量）为例，参数函数可以用如下的形式表示：f(x;a,b,c,...)。

其中，x表示自变量，a、b、c等表示参数。

在这种情况下，函数的输出值不再只是与x相关，还与参数a、b、c等相关。

例如，考虑一个简单的线性函数：f(x; a, b) = ax + b。

这个函数包含了两个参数，a和b。

当确定了参数的值之后，函数可以计算出与给定自变量x对应的输出值。

例如，当a=2，b=1时，函数变为f(x) = 2x+ 1、此时，如果给定x的值为2，则函数的输出值为f(2) = 2*2 + 1 = 5、可以看出，函数的输出值不仅与自变量x有关，还与参数a和b的值有关。

含有参数的方程也是类似的概念。

以一元方程为例，含有参数的方程可以用如下的形式表示：ax + by + cz + ... = d。

同样，这个方程中的系数a、b、c等是参数，不再是确定的值。

对于不同的参数值，方程的解也会发生变化。

例如，考虑一个二次方程：ax^2 + bx + c = 0。

这个方程包含了三个参数a、b、c。

在给定了参数的值之后，方程可以求解出x的值。

如果给定了a=1，b=2，c=-3，那么方程变为x^2 + 2x - 3 = 0。

解这个方程可以得到x的两个解为x = 1和x = -3、注意到，同样是一个二次方程，但是当参数取不同的值时，方程的解也会发生变化。

含有参数的函数和方程在数学中应用广泛。

它们可以用于建模和解决实际问题。

通过改变参数的值，可以探究函数和方程的性质和变化趋势。

例如，在物理学中，参数函数可以用来描述物体的运动，通过改变参数值，可以预测和分析物体的运动轨迹。

函数和方程

函数和方程
函数（function）表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。

方程（英文：equation）是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式
函数f中对应输入值的输出值x的标准符号为f(x).包含某个函数所有的输入值的集合被称作这个函数的定义域,包含所有的输出值的集合被称作值域.若先定义映射的概念,可以简单定义函数为,定义在非空数集之间的映射称为函数。

方程（equation）是指含有未知数的等式。

是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式，使等式成立的未知数的值称为“解”或“根”。

求方程的解的过程称为“解方程”。

通过方程求解可以免去逆向思考的不易，直接正向列出含有欲求解的量的等式即可。

方程具有多种形式，如一元一次方程、二元一次方程、一元二次方程等等，还可组成方程组求解多个未知数。

函数（function），最早由中国清朝数学家李善兰翻译，出于其著作《代数学》。

之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。

函数的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的。

函数方程的几种方法

函数方程三、求解函数方程的几种方法：一．代换法 1．解函数方程：x x x f x f +=-+1)1()( (1)解：令1,0,1≠-=y y y x ；则xy -=11，将此代入（：yy y f y y f 12)11()1(-=-+-或x x x f x x f 12)11()1(-=-+-。

(2) 此时(1)及(2)并无法解出)(x f ；所以我们再令1,0,11≠-=z z x 将此代入（1）式则可得z z z f z f --=+-12)()11(，即x f x f =+-)()11( 将(1)，(2)及(3)联立，则可得到一个以)1(),11(),(xx f x f x f --元一次方程组；我们利用消去法来解此问题． (1)+(3)x x x x x x f 1212)1()(2----++=)1(21)(23---=⇒x x x x x f 。

经检验是原函数方程的解．2．（2007越南数学奥林匹克）设b 是一个正实数，试求所有函数R f :得 )3(3)()(1)(1)(y y f b x y f b b b x f y x f y y -+⋅=+-+-+对任意实数x 、y 均成立。

解：将原方程变形为：1)(3))(()(-++⋅+=++y f b x y x y b x f b y x f ， (x , y 令x b x f x g +=)()(，则①等价于1)(3)()(-⋅=+y g x g y x g ，(x , )R y ∈② 在②中令0=y 得1)0(3)()(-⋅=g x g x g )(R x ∈这表明1)0(0)(==g x g 或。

1）若0)(=x g )(R x ∈，则x b x f -=)(；2）若1)0(=g ，在②式中令0=x 得：1)(1)(33)0()(--=⋅=y g y g g y g ，即0)(31)(=--y g y g 。

)(R y ∈③考虑函数t t h t -=-13)(，它的导函数13ln 3)('1-=-t t h ，则11)(l o g l o g 0)('33<+=⇔=e t t h ，于是可知0)(=t h 有两根11=t 和c t =2)10(<<c ，于是③式等价于1)(=y g 或c 。

函数求解万能公式

函数求解万能公式万能公式是指一种可以解决多种问题的通用公式。

在数学和科学中，存在一些公式可以适用于多个领域，在求解各种问题时提供便利。

然而，要找到一个可以解决所有问题的万能公式是不可能的，因为问题的复杂性和多样性使得每个问题都有其特定的解决方法。

然而，在特定领域中，可能存在一些常用的公式，被广泛应用于各种问题的求解。

下面将列举一些常见的万能公式。

1. 抛物线方程：y = ax² + bx + c。

这是一种可以描述抛物线形状的公式。

可以根据具体的a、b、c值来确定抛物线的开口方向、顶点位置等信息。

2. 二次方程求根公式：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a。

这是解决二次方程的常用公式，通过求解二次方程的根可以确定方程的解。

3.等比数列求和公式：Sn=a(1-r^n)/(1-r)。

这是求解等比数列的前n项和的公式，其中a为首项，r为公比。

4. 物理力学中的运动方程：v = u + at、s = ut + 1/2at²。

这些是描述物体在直线运动中的速度、位移与时间关系的公式，其中v为末速度，u为初速度，a为加速度，t为时间，s为位移。

5.欧姆定律：V=IR。

这是描述电流、电压和电阻之间关系的公式，其中V为电压，I为电流，R为电阻。

6. 狄拉克方程：Eψ = (mc² - ħc∇)²ψ。

这是描述粒子与反粒子以及与电磁场相互作用的量子方程。

狄拉克方程的求解可以得到一系列粒子的能级和波函数。

以上只是一些常见的万能公式示例，可以解决特定领域中的一些问题。

然而，并不存在一个能解决所有问题的单一公式。

每个问题都具有其特定的条件和特征，需要根据具体情况采用相应的方法和公式来求解。

对于数学和科学领域的问题求解，需要综合运用数学原理、物理定律、逻辑推理等多种方法，而不是依赖于单一的公式。

因此，学好基础知识、培养分析和解决问题的能力，以及广泛阅读和学习不同领域的知识，才能在实际问题中找到恰当的求解方法。

认识函数和方程的基本概念

认识函数和方程的基本概念函数和方程是数学中的重要概念，对于理解数学和解决实际问题具有重要意义。

本文将介绍函数和方程的基本概念，包括定义、特点及其在数学和实际生活中的应用。

1. 函数的基本概念函数是一种将一个或多个输入值与唯一的输出值相关联的关系。

它可以用符号表示为 y = f(x)，其中 x 表示自变量，y 表示因变量。

函数的关键特点包括：（1）定义域：函数的自变量可以取值的集合。

（2）值域：函数的因变量可以取到的值的集合。

（3）图像：函数的所有值与自变量的关系所构成的图形。

2. 方程的基本概念方程是一个数学等式，其中包含一个或多个未知数。

通过求解方程，我们可以确定未知量的值。

方程的关键特点包括：（1）等号：方程由等号连接左右两个表达式，表示它们相等。

（2）未知数：方程中表示待求解的值的符号或变量。

（3）解：满足方程的未知数的值。

3. 函数与方程的关系函数和方程之间存在密切关系。

事实上，函数可以通过方程来表示。

对于给定的函数，我们可以找到一个与之对应的方程。

例如，对于函数 y = 2x + 3，我们可以将它表示为方程 2x - y + 3 = 0。

同样，对于给定的方程，我们也可以将它表示为一个函数。

例如，对于方程 x^2 +y^2 = 25，我们可以将它表示为函数y = ±√(25 - x^2)。

4. 函数与方程的应用函数和方程在数学和实际生活中有广泛的应用。

在数学中，它们常用于描述几何图形、解析几何、微积分等领域。

例如，在几何中，我们可以利用函数来描述圆的方程和直线的方程；在微积分中，我们可以利用方程来求解曲线与坐标轴的交点。

在实际生活中，函数和方程也具有重要应用。

例如，在经济学中，我们可以利用函数来描述供需关系和成本收益关系，进而进行经济决策；在物理学中，我们可以利用方程描述物体的运动规律和能量转化等现象。

总结：函数和方程是数学中的基本概念，通过函数可以描述自变量与因变量之间的关系，而方程可以用来求解未知数的值。

函数、方程、不等式之间的关系

函数、方程和不等式的关系很多学生在学习中把函数、方程和不等式看作三个独立的知识点。

实际上，他们之间的联系非常紧密。

如果能熟练地掌握三者之间的联系，并在做题时灵活运用，将会有事半功倍的收效。

★函数与方程之间的关系。

先看函数解析式：(0)y ax b a =+≠，这是一个一次函数，图像是一条直线。

对于这个函数而言，x 是自变量，对应的是图像上任意点的横坐标；y 是因变量，也就是函数值，对应的是图像上任意点的纵坐标。

如果令0y =，上面的解析式也就变成了0ax b +=，也就是一个一元一次方程了。

我们知道，一般在求一个函数图像与x 轴交点的时候，令0y =（同理求一个函数图像与y 轴交点的时候，令0x =）。

所以上面的意义可以这样表达：将函数解析式中的y 变为0，那么就得到相应的方程。

这个方程的解也就是原先的函数图像与x 轴交点的横坐标。

这就是函数解析式与方程之间的关系，它适用于所有的函数解析式。

举例说明如下：例如函数23y x =-的图像如右所示：该函数与x 轴的交点坐标为3(,0)2，也就是在函数解析式23y x =-中，令0y =即可。

令0y =也就意味着将一元一次函数23y x =-变成了一元一次方程230x -=，其解和一次函数与x 轴的交点的横坐标是相同的。

接下来推广到二次函数：例如函数2252y x x =-+的图像如右图所示：很容易验证，该函数图象与x 轴的交点的横坐标正是方程22520x x -+=的解。

如果右边的函数图象是通过列表、描点、连线的方式作出来的，虽然比较精确，但过程十分繁琐。

在实际中，很多时候并不要求我们把函数图象作得很精准。

有时候只需要作出大致图像即可。

既然上面讲述了函数图象与对应的方程之间的关系，我们可不可以通过利用方程的根来绘制对应的函数图象呢？函数2252y x x =-+对应的方程是22520x x -+=，先求出这个方程的两个解。

很容易根据十字相乘法(21)(2)0x x --=得出该方程的两个解分别为12和2。

简单函数方程的解法

简单函数方程的解法1.函数方程的定义含有未知函数的等式叫做函数方程。

如f(x+1)=x、f(-x)=f(x)、f(-x)= -f(x)、f(x+2)=f(x)等。

其中f(x)是未知函数2.函数方程的解能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解。

如f(x)=x-1、偶函数、奇函数、周期函数分别是上述各方程的解3.解函数方程求函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫解函数方程4.定理(柯西函数方程的解)若f(x)是单调(或连续)函数且满足f(x+y)=f(x)+f(y) (x,y∈R)、则f(x)=xf(1)证明：由题设不难得f(x1+x2+…+xn)=f(x1)+f(x2)+…+f(xn)取x1=x2=…=xn=x，得f(nx)=nf(x) (n∈N+)令x=0，则f(0)=nf(0)，解得f(0)=0 --------- (1)x=1，则f(n)=nf(1)x= ，则f(m)=nf( ) ，解得f( )= f(m)= f(1) --------- (2)x=- ，且令y=-x>0，则f(x)+f(y)=f(x+y)=f(0)=0∴f(x)=-f(y)=-yf(1)=xf(1) (m,n∈N+,且(m,n)=1) ---------(3)由上述(1)，(2)，(3)知：对任意有理数x均有f(x)=xf(1)另一方面，对于任意的无理数x，因f(x)连续，取以x为极限的有理数序列{xn}，则有：f(x)= f(xn)= xnf(1)=xf(1)综上所述，对于任意实数x，有f(x)=xf(1)函数方程的解法：1.代换法(或换元法)把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换(代换时应注意使函数的定义域不会发生变化)，得到一个新的函数方程，然后设法求得未知函数例1 (1)已知f(2x-1)=x2+x，那麽f(x)=______________。

略解：设t=2x-1，则x= (t+1)，那麽f(t)= (t+1)2+ (t+1)= t2+t+故f(x)= x2+x+(2) 已知f( +1)=x+2 ，那麽f(x)=____________。

求函数方程的六种常用方法

求函数方程的六种常用方法函数方程是数学中常见的问题类型，解决函数方程需要运用不同的方法和策略。

以下是六种常用的方法：1. 代入法代入法是最常见也是最简单的求解函数方程的方法。

通过将变量代入方程中，并解方程，即可得到函数的解。

这种方法适用于一些简单的函数方程，如一次函数或二次函数。

2. 类比法类比法是通过观察已知函数方程的形式和性质，找到与之类似的函数方程，并利用已知函数的性质来求解。

这种方法常用于解决一些特殊类型的函数方程，如指数函数方程或三角函数方程。

3. 分离变量法对于涉及到多个变量的函数方程，可以使用分离变量法将方程分离成两个单独的函数方程。

然后，对每个单独的函数方程进行求解，并将求解结果合并，得到原函数方程的解。

4. 微分法微分法在求解函数方程中起到重要的作用。

通过对函数方程进行微分，得到新的微分方程。

然后，通过求解微分方程来求解函数方程。

这种方法适用于一些复杂的函数方程，如高阶导数方程。

5. 极限法极限法是一种在数学分析中常用的求解函数方程的方法。

通过观察函数在某些特殊点的极限值，确定函数的性质和解的存在性。

然后，通过运用极限的性质来求解函数方程。

6. 变量替换法变量替换法是将函数方程中的变量进行替换，将复杂的函数方程转化为简单的函数方程。

然后，通过求解简化后的函数方程来求解原函数方程。

这种方法常用于处理一些复杂的函数方程，如三角函数方程或指数函数方程。

以上六种方法是求解函数方程常用的策略，具体应根据具体的函数方程类型来选择合适的方法。

希望这份文档对您有所帮助。

函数方程

函数方程函数方程，是指包含一个或多个未知函数的方程式。

在数学中，函数方程的学习是函数论中的重要内容之一，一直以来都在数学领域中扮演着重要的角色。

本文将从以下几个角度来给大家讲解函数方程。

一、函数方程的基本概念函数方程是关于函数的一个方程，形式上可以是一个或多个未知函数的方程式。

与一般的方程不同，函数方程的解不是数的解，而是一个函数或一组函数。

函数方程是函数论中的研究方向之一，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和特点。

二、常见的函数方程1. 函数递推方程函数递推方程指满足某一递推条件的函数关系式。

通常以递归的方法来定义一个新的函数，它可以通过前面的函数值来确定。

这里可以给大家提供一个简单的例子：f(0) = 1f(n) = f(n-1) + 1我们可以得出 f(n) = n+1。

2. 函数迭代方程函数迭代方程是指通过反复迭代某个函数得到的方程。

通常迭代的方式是将函数的输出结果作为输入，再次输入到函数中，以此不断迭代。

这里给大家提供一个简单的例子：f(x) = 2xf(f(x)) = 2f(x) = 4x3. 函数积分方程函数积分方程通常是通过对函数进行积分得到的，它可以帮助我们求解复杂的计算问题。

我们可以给大家举个例子：f(x) = 1 + ∫[0,x]f(t)dt我们可以通过求解 f(x) 来得到满足该方程的函数。

三、函数方程的解法解析法是求解函数方程的最常用方法，它通过对方程中的函数进行代数变形求解。

解析法解题时通常要根据方程中的条件来进行转换，具体方法有以下几种：1. 点带入法点带入法是指将方程中的一个或几个未知量带入到方程式中，从而使得方程中的未知量逐渐减少，最终求得解。

2. 比较法比较法是通过比较多个方程的解来求得函数方程的解。

3. 变异法变异法是指通过对方程式中的某些项进行变形，从而引出新的方程式来求得函数方程的解。

四、函数方程的应用函数方程在实际应用中有着广泛的应用，它可以帮助我们解决一些实际问题。

函数与方程

函数与方程1．函数的零点 (1)函数零点的定义对于函数y ＝f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点． (2)几个等价关系方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与零点的关系(x 0)，(x 0)(x 0) 无交点 1．函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)答案：B2．函数f (x )＝kx ＋1在[1,2]上有零点，则k 的取值范围是________．答案：⎝⎛⎭⎫－1，－12 3．函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点个数是______．答案：11．函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．2．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象．[小题纠偏]1．函数f(x)＝(x2－2)(x2－3x＋2)的零点为______．答案：－2，2，1,22．若函数f(x)唯一的零点在区间(1,3)或(1,4)或(1,5)内：①函数f(x)的零点在(1,2)或(2,3)内；②函数f(x)在(3,5)内无零点；③函数f(x)在(2,5)内有零点；④函数f(x)在(2,4)内不一定有零点；⑤函数f(x)的零点必在(1,5)内．以上说法错误的是______(填序号)．答案：①②③考点一函数零点所在区间的判定(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(易错题)已知实数a>1,0<b<1，则函数f(x)＝a x＋x－b的零点所在的区间是() A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)解析：选B∵a>1,0<b<1，f(x)＝a x＋x－b，∴f(－1)＝1a－1－b<0，f(0)＝1－b>0，由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1,0)上存在零点．2．设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)解析：选B函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的取值范围．作图如下：可知f (x )的零点所在的区间为(1,2)．3．函数f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上______(填“存在”或“不存在”)零点．解析：法一：∵f (1)＝12－3×1－18＝－20<0， f (8)＝82－3×8－18＝22>0，∴f (1)·f (8)<0，又f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]的图象是连续的，故f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上存在零点．法二：令f (x )＝0，得x 2－3x －18＝0， ∴(x －6)(x ＋3)＝0.∵x ＝6∈[1,8]，x ＝－3∉[1,8]，∴f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上存在零点．答案：存在[谨记通法]确定函数f (x )的零点所在区间的2种常用方法(1)定义法：使用零点存在性定理，函数y ＝f (x )必须在区间[a ，b ]上是连续的，当f (a )·f (b )<0时，函数在区间(a ，b )内至少有一个零点，如“题组练透”第1题．(2)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f (x )＝g (x )－h (x )，作出y ＝g (x )和y ＝h (x )的图象，其交点的横坐标即为函数f (x )的零点．考点二判断函数零点个数(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x >2，函数g (x )＝3－f (2－x )，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选A 由已知条件可得g (x )＝3－f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|＋1，x ≥0，3－x 2， x <0.函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数即为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )图象的交点个数，在平面直角坐标系内作出函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象如图所示．由图可知函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象有2个交点，所以函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为2.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x >0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (0)＝－2，f (－1)＝1，则函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为______．解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－2，－1－b ＋c ＝1，由此解得b ＝－4，c ＝－2.由g (x )＝0得f (x )＋x ＝0，该方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，－2＋x ＝0，①或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，－x 2－4x －2＋x ＝0.②解①得x ＝2，解②得x ＝－1或x ＝－2.因此，函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为3. 答案：3[由题悟法]判断函数零点个数的3种方法(1)解方程法：若对应方程f (x )＝0可解时，通过解方程，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理法：利用定理不仅要判断函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质 (如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．[即时应用]1．函数f (x )＝sin(πcos x )在区间[0,2π]上的零点个数是( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选C 令f (x )＝0，得πcos x ＝k π(k ∈Z)⇒cos x ＝k ，所以k ＝0,1，－1.若k ＝0，则x ＝π2或x ＝3π2；若k ＝1，则x ＝0或x ＝2π；若k ＝－1，则x ＝π，故零点个数为5.2．函数f (x )＝e x ＋12x －2的零点有______个．解析：∵f ′(x )＝e x ＋12>0，∴f (x )在R 上单调递增，又f (0)＝1－2<0，f (1)＝e －32>0，∴函数在区间(0,1)上有零点且只有一个．答案：1考点三函数零点的应用(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是______．解析：函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，转化为f (x )－m ＝0的根有3个，进而转化为y ＝f (x )，y ＝m 的交点有3个．画出函数y ＝f (x )的图象，则直线y ＝m 与其有3个公共点．又抛物线顶点为(－1,1)，由图可知实数m 的取值范围是(0,1)．答案：(0,1)[由题悟法]已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的3种方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．[即时应用]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，2x ，x >0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是( )A ．[0,1)B ．(－∞，1)C ．(－∞，0]∪(1，＋∞)D ．(－∞，1]∪(2，＋∞)解析：选C 函数g (x )＝f (x )＋x －m 的零点就是方程f (x )＋x ＝m 的根，作出h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，2x ＋x ，x >0的图象，如图所示，观察它与直线y ＝m的交点，得知当m ≤0或m >1时有交点，即函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是(－∞，0]∪(1，＋∞)．2．函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N)内，则n ＝________. 解析：求函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，因为f (2)＝－1＋ln 2，由于ln 2<ln e ＝1，所以f (2)<0，f (3)＝2＋ln 3，由于ln 3>1，所以f (3)>0，所以函数f (x )的零点位于区间(2,3)内，故n ＝2.答案：2一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．若函数f (x )＝ax ＋1在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(－∞，1) C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,1)解析：选C 由题意知，f (－1)·f (1)<0，即(1－a )(1＋a )<0，解得a <－1或a >1.2．函数f (x )＝2a log 2x ＋a ·4x ＋3在区间⎝⎛⎭⎫12，1上有零点，则实数a 的取值范围是( ) A .⎝⎛⎭⎫－∞，－12 B.⎝⎛⎭⎫－∞，－32 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－34 D.⎝⎛⎭⎫－32，－12 解析：选C 函数f (x )在⎝⎛⎭⎫12，1上是单调函数，又f ⎝⎛⎭⎫12＝3>0，则根据零点存在性定理，应满足f (1)＝4a ＋3<0，解得a <－34.3．函数f (x )＝x 3＋2x －1的零点所在的大致区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)解析：选A 因为f (0)＝－1<0，f (1)＝2>0，则f (0)·f (1)＝－2<0，且函数f (x )＝x 3＋2x －1的图象是连续曲线，所以f (x )在区间(0,1)内有零点．4．已知函数f (x )＝23x ＋1＋a 的零点为1，则实数a 的值为______．解析：由已知得f (1)＝0，即231＋1＋a ＝0，解得a ＝－12.答案：－125．已知关于x 的方程x 2＋mx －6＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m 的取值范围是______．解析：设函数f (x )＝x 2＋mx －6，则根据条件有f (2)<0，即4＋2m －6<0，解得m <1. 答案：(－∞，1)二保高考，全练题型做到高考达标1．函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫－14，0 B.⎝⎛⎭⎫0，14 C.⎝⎛⎭⎫14，12D.⎝⎛⎭⎫12，34解析：选C 易知函数f (x )＝e x ＋4x －3在R 上为增函数，故f (x )＝e x ＋4x －3至多有一个零点．∵f ⎝⎛⎭⎫14＝e 14＋1－3＝e 14－2<0，f ⎝⎛⎭⎫12＝e 12＋2－3＝e 12－1>0，∴函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为⎝⎛⎭⎫14，12.2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x >0的零点个数为( )A ．3B ．2C ．7D ．0解析：选B 法一：由f (x )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e.因此函数f (x )共有2个零点．法二：函数f (x )的图象如图所示，由图象知函数f (x )共有2个零点．3．已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]解析：选D 令m ＝0，由f (x )＝0得x ＝13，满足题意，可排除选项A ，B.令m ＝1，由f (x )＝0得x ＝1，满足题意，排除选项C.4．设函数y ＝f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝|x |，则函数g (x )＝f (x )－sin x 在区间[－π，π]上的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B 要求函数g (x )＝f (x )－sin x 的零点，即求方程f (x )－sin x ＝0的根，将其转化为f (x )＝sin x 的根，进一步转化为函数y ＝f (x )与函数y ＝sin x 的图象交点的问题．在同一坐标系下，作出两个函数的图象如图所示，可知在区间[－π，π]上有3个交点．5．已知x 0是f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ＋1x 的一个零点，x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)，则( ) A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0 B ．f (x 1)>0，f (x 2)>0 C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)<0，f (x 2)>0解析：选C 在同一坐标系下作出函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，f (x )＝－1x 的图象(图略)，由图象可知当x ∈(－∞，x 0)时，⎝⎛⎭⎫12x >－1x ；当x ∈(x 0,0)时，⎝⎛⎭⎫12x <－1x ，所以当x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)时，有f (x 1)>0，f (x 2)<0.6．已知f (x )＝⎩⎨⎧e －x，x ≤0，x ，x >0，g (x )＝f (x )－12x －b 有且仅有一个零点时，b 的取值范围是________．解析：要使函数g (x )＝f (x )－x2－b 有且仅有一个零点，只需要函数f (x )的图象与函数y＝x2＋b 的图象有且仅有一个交点，通过在同一坐标系中同时画出两个函数的图象(图略)并观察得，要符合题意，须满足b ≥1或b ＝12或b ≤0.答案：(－∞，0]∪[1，＋∞)∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫127．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1，x ≥2或x ≤－1，1，－1<x <2，则函数g (x )＝f (x )－x 的零点为________．解析：要求函数g (x )＝f (x )－x 的零点，即求f (x )＝x 的根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2或x ≤－1，x 2－x －1＝x 或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <2，1＝x . 解得x ＝1＋2或x ＝1. ∴g (x )的零点为1＋2，1. 答案：1＋2，18．已知0<a <1，k ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x ≥0，kx ＋1，x <0，若函数g (x )＝f (x )－k 有两个零点，则实数k 的取值范围是______．解析：函数g (x )＝f (x )－k 有两个零点，即f (x )－k ＝0有两个解，即y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个交点．分k >0和k <0作出函数f (x )的图象．当0<k <1时，函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个交点；当k ＝1时，有一个交点；当k >1或k <0时，没有交点，故当0<k <1时满足题意．答案：(0,1)9．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.证明：存在x 0∈⎝⎛⎭⎫0，12，使f (x 0)＝x 0. 证明：令g (x )＝f (x )－x .∵g (0)＝14，g ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫12－12＝－18， ∴g (0)·g ⎝⎛⎭⎫12<0.又函数g (x )在⎣⎡⎦⎤0，12上是连续曲线， ∴存在x 0∈⎝⎛⎭⎫0，12，使g (x 0)＝0，即f (x 0)＝x 0. 10．已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a .(1)判断命题：“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝⎛⎭⎫0，12内各有一个零点，求实数a 的取值范围．解：(1)“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”是真命题；依题意f (x )＝1有实根，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0有实根，因为Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R 恒成立，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0必有实根，从而f (x )＝1必有实根，(2)依题意知，要使y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝⎛⎭⎫0，12内各有一个零点，只需⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)>0，f (0)<0，f ⎝⎛⎭⎫12>0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－4a >0，1－2a <0，34－a >0，解得12<a <34.故实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，34. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知x ∈R ，符号[x ]表示不超过x 的最大整数，若函数f (x )＝[x ]x －a (x ≠0)有且仅有3个零点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤34，45∪⎣⎡⎭⎫43，32B.⎣⎡⎦⎤34，45∪⎣⎡⎦⎤43，32 C.⎝⎛⎦⎤12，23∪⎣⎡⎭⎫54，32D.⎣⎡⎦⎤12，23∪⎣⎡⎦⎤54，32 解析：选A 当0<x <1时，f (x )＝[x ]x－a ＝－a ； 1≤x <2时，f (x )＝[x ]x －a ＝1x －a ； 2≤x <3时，f (x )＝[x ]x －a ＝2x－a ；…. f (x )＝[x ]x －a 的图象是把y ＝[x ]x 的图象进行纵向平移而得到的，画出y ＝[x ]x的图象，如图所示，通过数形结合可知a ∈⎝⎛⎦⎤34，45∪⎣⎡⎭⎫43，32.2．已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝f(x)x－4ln x的零点个数．解：(1)∵f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}，∴f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a>0.∴f(x)m in＝f(1)＝－4a＝－4，a＝1.故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.(2)∵g(x)＝x2－2x－3x－4ln x＝x－3x－4ln x－2(x>0)，∴g′(x)＝1＋3x2－4x＝(x－1)(x－3)x2.令g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3.当x变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下：又因为g(x)在(3，＋∞)上单调递增，因而g(x)在(3，＋∞)上只有1个零点．故g(x)在(0，＋∞)上仅有1个零点．。

方程与函数的关系

方程与函数的关系摘要：1.方程与函数的定义与关系2.方程的解法与函数的性质3.方程在函数图像上的应用4.函数在方程求解中的作用5.总结：方程与函数的紧密联系正文：一、方程与函数的定义与关系方程，是数学中表示两个量相等关系的式子，通常包含一个或多个未知数。

而函数，是数学中描述一种特定关系的方法，通常表示为一个数的集合（自变量）与另一个数的集合（因变量）之间的对应关系。

方程与函数之间的关系密切，函数可以看作是包含一个或多个未知数的方程，而方程则是函数在某一点的取值。

二、方程的解法与函数的性质解方程是数学中的一个重要环节，通常有代入法、消元法、韦达定理等多种方法。

而函数的性质，如单调性、周期性、奇偶性等，则影响着方程的解法。

了解函数的性质，可以帮助我们更快地解出方程，甚至可以简化方程的解法过程。

三、方程在函数图像上的应用函数的图像，是函数在平面直角坐标系上的点的集合，可以直观地反映函数的性质。

而方程，则可以用来确定函数图像上的特定点。

例如，如果一个函数的零点就是方程的解，那么我们可以通过解方程来确定函数图像上的零点。

四、函数在方程求解中的作用函数在方程求解中的作用也非常重要。

例如，我们可以通过函数的导数来找到方程的解，或者通过函数的性质来简化方程的解法。

在一些复杂的数学问题中，函数和方程的相互作用，可以使得问题得到更好的理解和解决。

五、总结：方程与函数的紧密联系从上述内容可以看出，方程与函数的联系非常紧密。

方程可以看作是函数在某一点的取值，而函数的性质则影响着方程的解法。

同时，方程和函数在数学问题的求解中，往往可以相互转化，互相帮助。

方程与函数的联系与区别

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方程与函数的联系与区别
代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，叫代数式。

函数：如果对于一个变量(比如x)在某一范围内的每一个确定的值，变量
(比如y)都有唯一确定的值和它对应，那么，就把y叫做x的函数。

函数式：用解析法(公式法)表示函数的式子叫函数式。

方程：含有未知数的等式叫方程。

联系：函数式和方程式都是由代数式组成的。

没有代数式，就没有函数和方程。

方程只是函数解析式在某一特定函数值的解。

方程表示特定的因变量
的自变量解。

如5x+6=7这是方程；y=5x+6这是函数解析式。

区别：函数和方程本质区别就是：方程中未知数x是一个常量（虽然方程可能有多个解）；函数中x是变量，因此y也是变量，并且是由于x的变化而变化（即函数表示两个变量之间的关系。

因变量(函数)随变量(自变量)的变化而变化）。

函数与方程

函数与方程1. 函数的零点(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，我们把使________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．2. 零点存有定理假如函数y＝f(x)满足：(1)在闭区间[a，b]上连续；（图象不间断） (2)f(a)·f(b)<0；则函数y＝f(x)在(a，b)上存有零点，即存有c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．图象4．二分法(1)二分法的定义对于在区间[a ，b ]上连续持续且________的函数y ＝f (x )，通过持续地把函数f (x )的零点所在的区间________，使区间的两端点逐步逼近________，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法．(2)用二分法求函数零点近似解的步骤第一步：确定区间[a ，b ]，验证________，给定精确度ε；第二步：求区间(a ，b )的中点c ；第三步：计算f (c )①若f (c )＝0，则c 就是函数的零点；②若f (a )·f (c )<0，则令b ＝c (此时零点x 0∈(a ，c ))； ③若f (c )·f (b )<0，则令a ＝c (此时零点x 0∈(c ，b ))．第四步：判断是否达到精确度ε，即若|a －b |<ε，则得到零点近似值a (或b )，否则重复第二、三、四步．典型例题分析函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3函数f (x )＝ln(x －2)－2x的零点所在的大致区间是( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)函数f (x )＝x cos2x 在区间[0,2π]上的零点的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5在以下区间中，函数f (x )＝e x＋4x －3的零点所在的区间为( )A ．(－14，0)B ．(0，14)C ．(14，12)D ．(12，34)函数f (x )＝mx 2－2x ＋1有且仅有一个为正实数的零点，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．(－∞，0]∪{1} C ．(－∞，0)∪(0,1] D ．(－∞，1)设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为( )A ．(－94，－2]B ．[－1,0]C ．(－∞，－2]D ．(－94，＋∞)设函数f (x )＝13x －ln x (x >0)，则y ＝f (x )( )A ．在区间(1e ，1)，(1，e)内均有零点B ．在区间(1e，1)，(1，e)内均无零点C ．在区间(1e ，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间(1e，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点函数f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2D. 3已知a 是函数f (x )＝2x－x 的零点，若0<x 0<a ，则f (x 0)的值满足( )A ．f (x 0)＝0B ．f (x 0)<0C ．f (x 0)>0D ．不确定已知函数f (x )＝log ax ＋x －b (a >0，且a ≠1)．当2<a <3<b <4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________.一、选择题1. [2013·广东四校联考]函数f (x )＝x 3＋2x －1的零点所在的大致区间是( ) A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)答案：A解析：f (0)＝－1<0，f (1)＝2>0，f (2)＝11>0，f (3)＝32>0，f (4)＝71>0，则f (0)·f (1)＝－2<0且函数f (x )＝x 3＋2x －1的图象是连续曲线，所以f (x )在区间(0,1)内有零点．2. 若函数f (x )＝bx ＋2有一个零点为13，则g (x )＝x 2＋5x ＋b 的零点是( )A. －13B. 1或－6C. －1或6D. 1或6答案：B解析：∵13是函数f (x )的零点，∴f (13)＝0，即13b ＋2＝0，解得b ＝－6.∴g (x )＝x 2＋5x －6.令g (x )＝0，即x 2＋5x －6＝0，也就是(x －1)(x ＋6)＝0，解得x ＝1或x ＝－6.∴函数g (x )有两个零点1、－6.3. 如图是函数f (x )的图象，它与x 轴有4个不同的公共点．给出以下四个区间，不能用二分法求出函数f (x )零点的区间是( )A. [－2.1，－1]B. [1.9,2.3]C. [4.1,5]D. [5,6.1]答案：B解析：由图象易知，函数f (x )在区间[1.9,2.3]上不能用二分法求出函数的零点． 4. [2013·湖北八校二联]已知函数f (x )＝2x－log 12x ，且实数a >b >c >0满足f (a )·f (b )·f (c )<0，若实数x 0是函数y ＝f (x )的一个零点，那么以下不等式中不可能成立的是( )A. x 0<aB. x 0>aC. x 0<bD. x 0<c答案：D解析：画出函数y ＝2x与y ＝log 12x 的图象可知，满足条件的c 只能在函数f (x )的零点的左边，故不可能出现x 0<c .5. 已知关于x 的方程x ln x ＝ax ＋1(a ∈R)，以下说法准确的是( ) A. 有两不等根 B. 只有一正根 C. 无实数根 D. 不能确定答案：B解析：由x ln x ＝ax ＋1(a ∈R)知x >0，∴ln x ＝a ＋1x ，作出函数y 1＝ln x 与y 2＝a ＋1x的图象，易知选B.6. [2013·深圳调研]已知符号函数sgn (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则函数f (x )＝sgn (ln x )－ln x 的零点个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C解析：当x >1时，ln x >0，sgn (ln x )＝1；当x ＝1时，ln x ＝0，sgn (ln x )＝0；当0<x <1，ln x <0，sgn (ln x )＝－1.∴f (x )＝sgn (ln x )－ln x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－ln x ，x >1，0，x ＝1，－1－ln x ，0<x <1.由f (x )＝0得，x ＝e 或1或1e ，应选C.二、填空题7. [2012·浙江绍兴二模]若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1，x ≥2或x ≤－1，1，－1<x <2，则函数g (x )＝f (x )－x 的零点为________．答案：1＋2，1解析：求函数g (x )＝f (x )－x 的零点，即求f (x )＝x 的根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2或x ≤－1，x 2－x －1＝x或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <2，1＝x .解得x ＝1＋2或x ＝1. ∴g (x )的零点为1＋2，1.8. [2013·南昌模拟]已知[x ] 表示不超过实数x 的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.2]＝－2.x 0是函数f (x )＝ln x －2x的零点，则[x 0]等于 ________.答案：2解析：∵函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴函数f ′(x )＝1x ＋2x2>0，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．由f (2)＝ln2－1<0，f (e)＝lne －2e>0，知x 0∈(2，e)，∴[x 0]＝2.9. [2013·金版原创]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≥0－x 2－2x ，x <0，若函数y ＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．答案：(0,1)解析：画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≥0－x 2－2x ，x <0的图象，由图象可知，若函数y ＝f (x )－m 有3个零点，则0<m <1，所以m 的取值范围是(0,1)．三、解答题10. 若g (x )＝x ＋e2x(x >0)，g (x )＝m 有零点，求m 的取值范围．解：法一：∵g (x )＝x ＋e 2x≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e ，故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因而只需m ≥2e，则g (x )＝m 就有零点．法二：作出g (x )＝x ＋e2x(x >0)的大致图象如图：可知若使g (x )＝m 有零点，则只需m ≥2e.法三：由g (x )＝m 得x 2－mx ＋e 2＝0. 此方程有大于零的根且e 2>0，故根据根与系数的关系得m >0，故⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m 2－4e 2≥0等价于⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m ≥2e或m ≤－2e ，故m ≥2e.11. [2013·苏州模拟]是否存有这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1，3]上与x 轴恒有一个交点，且只有一个交点？若存有，求出范围；若不存有，请说明理由．解：若实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可．f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0，所以a ≤－15或a ≥1.检验：(1)当f (－1)＝0时a ＝1，所以f (x )＝x 2＋x .令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1. 方程在[－1，3]上有两根，不合题意，故a ≠1.(2)当f (3)＝0时a ＝－15，此时f (x )＝x 2－135x －65.令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0，解之x ＝－25或x ＝3.方程在[－1，3]上有两根，不合题意，故a ≠－15.综上所述，a <－15或a >1.12．[2013·揭阳联考]已知二次函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (b 、c ∈R)． (1)若f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤1}，求实数b 、c 的值；(2)若f (x )满足f (1)＝0，且关于x 的方程f (x )＋x ＋b ＝0的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0,1)内，求实数b 的取值范围．解：(1)依题意，x 1＝－1，x 2＝1是方程x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根．由韦达定理，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2b ，x 1x 2＝c .即⎩⎪⎨⎪⎧－2b ＝0，c ＝－1.所以b ＝0，c ＝－1.(2)由题知，f (1)＝1＋2b ＋c ＝0，所以c ＝－1－2b .记g (x )＝f (x )＋x ＋b ＝x 2＋(2b ＋1)x ＋b ＋c ＝x 2＋(2b ＋1)x －b －1，则⎩⎪⎨⎪⎧g－3＝5－7b >0，g －2＝1－5b <0，g 0＝－1－b <0，g1＝b ＋1>0，解得15<b <57，所以实数b 的取值范围为15<b <57.。

函数方程热点问题集

函数方程热点问题集函数方程是数学中的一个重要概念，它描述了函数之间的关系。

在函数方程的研究中，有一些热点问题被广泛讨论和研究。

下面我将从多个角度对这些热点问题进行全面回答。

1. 什么是函数方程？函数方程是指涉及一个或多个函数的方程。

它们描述了函数之间的关系，通常是通过给定的条件或性质来确定函数的形式。

函数方程是数学中的一个重要研究领域，它在各个数学分支中都有广泛的应用。

2. 常见的函数方程类型有哪些？常见的函数方程类型包括函数的加法、乘法、复合、逆函数等。

比如，加法函数方程是指满足f(x+y) = f(x) + f(y)的函数，乘法函数方程是指满足f(xy) = f(x)f(y)的函数，复合函数方程是指满足f(g(x)) = h(x)的函数等等。

不同类型的函数方程有不同的性质和解法。

3. 函数方程的解法方法有哪些？函数方程的解法方法多种多样，取决于具体的方程类型和条件。

常见的解法方法包括代入法、递推法、特殊函数法、变换法、极限法等。

对于一些特殊的函数方程，可能需要借助数学分析、微积分、代数学等工具来求解。

4. 函数方程中的对称性有哪些重要性质？函数方程中的对称性是指方程在某些变换下保持不变。

常见的对称性包括奇偶性、周期性、平移对称性等。

对称性在函数方程的研究中起着重要的作用，可以帮助简化方程的形式、找到特殊解或者验证解的正确性。

5. 哪些经典的函数方程问题备受关注？在函数方程的研究中，有一些经典的问题备受关注。

比如，Cauchy函数方程是指满足f(x+y) = f(x) + f(y)的函数，它的解法相对较为复杂，涉及到实数轴上的非线性函数。

另外，有Berzsenyi函数方程、Jensen函数方程、D'Alembert函数方程等等，它们都有各自的特殊性质和解法。

总结起来，函数方程是数学中一个重要的研究领域，涉及到多个方面的知识和技巧。

在解决函数方程问题时，需要灵活运用各种解法方法，同时注意对称性和特殊性质的利用。

(完整版)求函数方程的六种常用方法

(完整版)求函数方程的六种常用方法
在数学中，求解函数方程是一项常见的任务。

以下是六种常用
的方法用于解决函数方程问题。

1. 代数方法
代数方法是使用代数运算来求解函数方程的一种方法。

它通常
将方程中的变量替换为常数或者引入新的变量，通过代数运算化简
方程，从而求得函数的表达式或关系。

2. 函数递推法
函数递推法是通过逐步迭代，根据给定的初始条件和递推关系，逐步计算出函数的值，从而获得函数的表达式或关系。

3. 图像法
图像法是通过绘制函数的图像来求解函数方程。

通过观察函数
的图像特征，如零点、极值点等，可以推断出函数的性质和表达式。

4. 函数拟合法
函数拟合法是通过将函数方程的解与已知的数据点进行拟合，找到一个满足这些数据点的函数表达式。

这种方法通常使用最小二乘法或其他数值拟合技术。

5. 微分方程法
微分方程法是将函数方程转化为微分方程，通过求解微分方程的方法得到函数的表达式。

这种方法通常适用于一些特定类型的函数方程，如常微分方程。

6. 迭代法
迭代法是一种数值计算方法，通过反复迭代运算来逼近函数方程的解。

它常用于求解无法通过代数方法解析求解的函数方程。

以上六种方法是求解函数方程常用的方法，每种方法都有其适用的情况和优缺点。

在实际应用中，我们可以根据具体问题选择合适的方法来求解函数方程。

请注意，该文档所述的方法仅供参考，并不保证能够解决所有函数方程的问题。

在实际应用中，根据具体情况和问题特点进行灵活选择和使用方法，以获得最佳的解决方案。

函数与方程的紧密联系

函数与方程的紧密联系1. 引言函数和方程是数学中两个基本概念，它们在解决数学问题和实际应用中发挥着重要的作用。

函数是一种映射关系，它将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素；而方程则是等式的表示形式，在其中未知数与已知数之间建立了关系。

尽管它们在概念上有所不同，但函数和方程之间存在着紧密的联系。

本文将深入探讨函数与方程之间的这种联系，并提供一些观点和理解。

2. 函数与方程的定义及基本属性2.1 函数的定义函数可以看作是一种映射关系，它将集合A中的元素通过某种规则映射到集合B中的元素，记作f: A → B。

其中，A称为定义域，B称为值域。

函数的定义可以采用不同的表达方式，如显式表达、隐式表达或参数表达式。

2.2 方程的定义方程是等式的表达形式，其中包含一个或多个未知数和已知数之间的关系。

方程可以是线性的、非线性的，也可以是代数方程、函数方程等等。

3. 函数与方程的关系3.1 函数的图像与方程的解的关系函数的图像是函数在坐标平面上的表示，它展示了函数的性质和行为。

而方程的解是满足方程等式的未知数的取值。

函数的图像与方程的解之间存在着密切的联系。

对于给定的函数f(x)，我们可以将其转化为方程f(x) = 0，并求解这个方程，得到函数的零点或根，也就是函数的图像与x轴的交点。

3.2 方程与函数图像的交点方程和函数图像的交点是方程的解和函数的零点。

通过解方程和求函数的零点，我们可以找到方程与函数图像的交点。

这些交点在坐标平面上有特定的位置和特征，它们揭示了方程和函数图像之间的关系。

4. 函数与方程的应用函数和方程在数学和现实生活中有广泛的应用。

例如：4.1 函数在数学分析中的应用函数作为数学分析的基础，广泛应用于微积分、实分析和复分析等领域。

函数的性质与方程的解密切相关，在数学分析中，我们需要研究函数的连续性、可导性以及函数的极值等等，这些问题与方程的解有着紧密的联系。

4.2 方程在物理学中的应用方程在物理学中有着重要的应用。

数学解决函数方程问题的四种常见方法

数学解决函数方程问题的四种常见方法在数学领域，函数方程问题一直是一个重要的研究方向。

解决函数方程问题的方法有很多，但其中有四种方法是最常见和最经典的。

本文将对这四种方法进行详细介绍，帮助读者更好地理解和掌握这些方法。

一、代数法代数法是解决函数方程问题最基本的方法之一。

它通过将未知函数表示为一个或多个变量的代数表达式，然后利用方程的性质进行变形和运算，最终得到函数的解。

在代数法中，常用的技巧包括代入法、消元法和配凑法等。

通过这些技巧，我们可以将复杂的函数方程转化为简单的代数方程，从而更容易求解。

二、几何法几何法是解决函数方程问题的另一种重要方法。

它通过利用几何图形和几何性质来解释函数的性质和方程的意义，从而得到方程的解。

在几何法中，我们常常利用几何图形的对称性、平移性和旋转性等性质，结合函数的定义和方程的条件，来推导出函数的解。

这种方法不仅直观，而且可以帮助我们更好地理解函数方程的本质和几何意义。

三、递推法递推法是解决函数方程问题的一种迭代推导方法。

它通过构造一个递推序列，利用序列中前一项和后一项之间的关系来求解函数方程。

递推法在解决一些特殊类型的函数方程问题时非常有效，例如线性递推方程、二项式递推方程等。

通过寻找递推序列的通项公式，我们可以得到函数的解析表达式，从而解决函数方程问题。

四、分析法分析法是解决函数方程问题的一种基于数学分析的方法。

它通过利用导数、积分和极限等数学工具，对函数进行分析和推导，从而解决函数方程。

在分析法中，我们常常利用函数的导数性质、连续性和极限值等特点，来推导函数的性质和解析表达式。

这种方法在解决一些复杂的函数方程问题时非常有效，但需要一定的数学分析基础和技巧。

在实际应用中，以上四种方法常常互相结合，相互补充，形成一个有机整体。

通过灵活运用这些方法，我们可以更准确地解答各类函数方程问题。

对于不同类型的函数方程问题，选择合适的方法非常重要。

在实际解决问题时，我们需要根据具体情况选择合适的方法，从而更好地解决函数方程问题。

数学中的函数与方程式

数学中的函数与方程式是数学的基础概念，它们在数学领域中起着重要的作用。

函数是一种数学关系，用来描述输入与输出之间的关系。

方程式则是含有未知数的等式，用来求解未知数的值。

函数可以理解为一种映射关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。

函数的定义域是输入的集合，值域是输出的集合。

例如，函数f(x) = 2x表示输入x与输出值的关系是将输入值乘以2。

函数的输入可以是任何数，而函数的输出则是乘以2后的结果。

函数可以用多种方式表示，例如表格、图像或公式。

函数在数学中有着广泛的应用。

在几何学中，函数可以描述曲线或图形上的点的位置；在代数学中，函数可以用来求解方程组；在微积分中，函数则是求导和积分的基本工具。

函数在各个学科中都有不可或缺的作用。

方程式是数学中的另一个重要概念。

方程式是一个含有一个或多个未知数的等式，它要求找到使得等式成立的未知数的值。

方程式通常以等号连接一个式子的左右两边，例如x + 2 = 5就是一个方程式，要求找到x的值，使得方程式成立。

方程式的解是方程式的解集，它包含了所有使得方程式成立的未知数的值。

方程式的解可以是一个数、一组数、或者是一个范围。

方程式的解可以使用不同的方法求解，例如代入法、化简法或者图形法。

方程式的求解是数学中一个重要的技巧，它在很多实际问题的建模和求解中都有应用。

函数与方程式之间存在着密切的联系。

实际上，函数可以看作是方程式的特殊情况。

当方程式只有一个未知数，并且将该未知数表示为函数的形式时，方程式就可以看作是函数。

例如，方程式x + 2 = 5可以写成函数f(x) = x + 2 = 5。

函数和方程式都可以用来描述数学中的关系，它们共同构成了数学的基础框架。

函数与方程式在数学中有着广泛的应用。

它们不仅仅是数学教学中的内容，还在数学建模、物理学、经济学、计算机科学等其他学科中发挥着重要作用。

函数与方程式的研究不仅仅是数学的一部分，也是解决实际问题的有效工具。

函数方程

函数与方程含参数

函数和方程

函数方程的几种方法

函数求解万能公式

认识函数和方程的基本概念

函数、方程、不等式之间的关系

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求函数方程的六种常用方法

函数 方程

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