ACM 常用数论小总结

baby-giant step
• wiki上的的算法: • In group theory, a branch of mathematics, the baby-step giant-step algorithm is a series of well-defined steps to compute the discrete logarithm. The discrete log problem is of fundamental importance to the area of public key cryptography. Many of the most commonly used cryptography systems are based on the assumption that the discrete log is extremely difficult to compute; the more difficult it is, the more security it provides a data transfer. One way to increase the difficulty of the discrete log problem is to base the cryptosystem on a larger group.
miller_rabin 素数测试
利用费尔马小定理,对于给定的整数n,可以设 计素数判定算法,通过 计算d=a^(n-1)%n来判断n 的素性 当d!=1时,n肯定不是素数 当d= 1时,n可能不是素数 1/4. • 二次探测定理:如果p是一个素数,且0<x<p,则方程 x^2%p=1的解为:x=1或 x=p-1. • Miller_Rabin测试T次时，它产生一个假的素数所 花费的时间不超过1/4^T
这就是容斥原理 ^ ^ !
容斥原理 dfs hdu 4059
java大数
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中国剩余定理
• ex： 一个数被3除余1，被4除余2，被5除 余4，这个数最小是几？ • /%D7%CF%B5%E7%C C%DA%F2%D4/blog/item/53fb06ab50b09 1eefaed50b7.html
• 欧拉定理：若n,a为正整数，且n,a互质， (a,n) = 1，则a^φ(n) ≡ 1 (mod n) • 费马小定理：假如p是质数，且gcd(a,p)=1， 那么 a^(p-1) ≡１（mod p）
容斥原理
• ex： 所有小于 100 的正整数中 有因子2 或 3 的数的个数 ？ • ans = 100 / 2 + 100 / 3 - 100 / 6
pollard-rho大整数质因数分解(2)
• • • • • • • • • • • • 伪代码： int pollard_rho(n) { x = y = x0 while (d == 1) { x = f(x), y = f(f(y)) d = gcd(x – y, n) if 1 < d AND d < n then return d if d == n then return FAILURE } }
组合数奇偶性
• scanf("%d%d", &n, &k); • printf("%s\n", k&(n-k)? "偶数": "奇数");
斯特林公式
• ln(n!) = n * ln(n) - n + 1.0/2 * ln(2 * n * pi)
万年历公式
• week = (year-1 + (year-1) div 4 - (year-1) div 100 + (year-1) div 400 + days) mod 7 • week为周几(0为星期日，1为星期一，2为 星期二 • days为这一天在这一年中的第几天
baby-giant step(2)
告诉 a mod b 求最小的x 使 a^x % mod == b gcd(a, mod) == 1 如果 gcd(a, mod) != 1 又怎么办 。。。
欧拉函数
• phi(n) = n*(1 - 1/p1)*(1 - 1/p2)*...*(1 - 1/pk); • p1 p2 ... 为n 的素因子 • 表示 1 ... n 中 与 n 互质的数的个数 • 推导 • 概率解释 • ex： [1, a] 与 [1, b] 互质对个数 ？
欧拉定理 & 费马小定理
lucas定理
• 求c(n,m) mod p的值,p是素数。 • Lucas(n,m,p)=cm(n%p,m%p)*Lucas(n/p,m /p,p) • Cm(n, m, p) m > n 时 return 0； •int gcd(int a, int b) • { • return b==0? a: gcd(b, a % b) ; • }
catlan数
• 令h(0)=1,h(1)＝1,catalan数满足递归式： • h(n)= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2) • 该递推关系的解为： • h(n)=C(2n,n)/(n + 1) (n=1,2,3,...) • /flyupliu/article/details/6 547052
pollard-rho大整数质因数分解
它的核心思想是：选取一个随机数a。 再选一个随机数b。检查d = gcd(a-b, n) 是 否大于1。若大于1，d就是n的一个因子。 否则再选取随机数c，检查gcd(a - c, n)和 gcd(b - c, n)。如此继续，直到找到n的一个 非平凡因子。 • 在最坏情况下，其时间复杂度可能接近 sqrt(n)，但在一般条件下，时间复杂度都可 以认为是 sqrt( sqrt(n) )。 •
扩展欧几里得
• int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) • { • if(b == 0){ x = 1, y = 0; return a;} • int r = exgcd(b, a % b, x, y); • int tmp = x; x = y; y = tmp - a/b * y; • return r; • }