数论50题
14数论历年数学联赛50套真题WORD版分类汇编含详细答案
1981年~2019年全国高中数学联赛二试试题分类汇编数论部分2019A 5、在1,2,3,,10中随机选出一个数a ，在1,2,3,,10----中随机选出一个数b ，则2a b +被3整除的概率为 ．◆答案：37100★解析：首先数组(),a b 有1010100⨯= 种等概率的选法． 考虑其中使2a b +被3整除的选法数N ．①若a 被 3 整除，则b 也被 3 整除．此时,a b 各有3种选法，这样的(),a b 有339⨯=组．若a 不被 3 整除，则()21mod3a ≡，从而()1mod3b ≡-．此时a 有7 种选法，b 有4种选法，这样的(),a b 有7428⨯=组． 因此92837N =+=．于是所求概率为37100。
2019A 三、（本题满分 50 分）设m 为整数，2m ≥．整数数列12,,a a 满足：12,a a 不全为零，且对任意正整数n ，均有21n n n a a ma ++=-．证明：若存在整数,r s , (2r s >≥ )使得1r s a a a ==，则r s m -≥．★解析：证明：不妨设12,a a 互素（否则，若()12,1a a d =>，则12,1a a d d ⎛⎫=⎪⎝⎭互素，并且用12,,a a d d代替12,,a a ，条件与结论均不改变）．由数列递推关系知()234mod a a a m ≡≡≡． ①以下证明：对任意整数3n ≥，有()()2123mod n a a a n a m m ≡-+-⎡⎤⎣⎦． ② ………10 分 事实上，当3n =时②显然成立．假设n k =时②成立（其中k 为某个大于2的整数），注意到①，有()212mod k ma ma m -≡，结合归纳假设知()()()21122221232mod k k k a a ma a k a m ma a a k a m +-≡-≡+--=-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即1n k =+时②也成立．因此②对任意整数3n ≥均成立． ………………20 分注意，当12a a =时，②对2n =也成立． 设整数,r s , (2r s >≥ )，满足1r s a a a ==． 若12a a =，由②对2n ≥均成立，可知()()()221221233mod r s a a r a m a a a a s a m m -+-≡≡≡-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦即()()()121233mod a r a a s a m +-≡+-，即 ()()20mod r s a m -≡． ③ 若12a a ≠，则12r s a a a a ==≠故3r s >≥．此时由于②对3n ≥均成立， 故类似可知③仍成立． ………………30 分 我们证明2,a m 互素．事实上，假如2a 与m 存在一个公共素因子p ，则由①得p 为23,,a a 的公因子，而12,a a 互素，故/|p 1a ，这与1r s a a a ==矛盾．因此，由③得()0mod r s m -≡．又r s >，所以r s m -≥． ………………50分2018A 四、（本题满分50分）数列{}n a 定义如下：1a 是任意正整数，对整数1≥n ，1+n a 与∑=ni ia1互素，且不等于n a a a ,.,,21 的最小正整数，证明：每个正整数均在数列{}n a 中出现。
5 小学奥数——数论 1 试题及解析
小学奥数——数论一.选择题（共50小题）1.一条大鲸鱼，头长3米，身长等于头长加尾长，尾长等于头长加身长的一半的和.这条大鲸鱼全长( )米.A.12B.24C.36D.482.有一串数，最前面的四个数依次是2、0、1、6.从第五个数起，每一个数都是它前面相邻四个数之和的个位数字.在这一组数中，一定不会出现的数组是( )A.2018B.2017C.9472D.41863.在10~1000之间，个位数是3或8的数的个数是( )A.200B.198C.196D.1944.在序列20170⋯中，从第 5 个数字开始，每个数字都是前面 4 个数字和的个位数，这样的序列可以一直写下去.那么从第 5 个数字开始，该序列中一定不会出现的数组是( )A.8615B.2016C.4023D.20175.整数1N = 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 132010⋯ 2011 2012 2013 2014 2015是由12015-这2015个整数，由小到大的顺序依次写出得到的，那么N 是( )位数.A.5678B.6947C.6950D.6953 6.设666673m ⋯⨯{个得数的各位数字之和为M ，333373n ⋯⨯{个得数的各位数字之和为N ，那么M 与N 的大小关系是( )A.M N >B.M N =C.M N <D.不确定7.如图，飞镖圆靶分成五个部分，每部分得分依次是1，3，5，7，9（分)，某小孩掷了六支飞镖，全部击中圆靶，下列得分中可能是他所得总分的是( )A.4B.17C.28D.568.把1~10的所有自然数相乘，得到的积的末尾会有( )个连续的零.A.1B.2C.3D.4 9.算式2016201699999999⋯⨯⋯{{个个的结果中含有( )个数字0.A.2017B.2016C.2015D.201410.有A 、B 两个整数，A 的各位数字之和为36，B 的各位数字之和为25，且两数相加时进位三次，那么A B +的各位数字之和是( )A.33B.34C.35D.3611.有20间房间，有的开着灯，有的关着灯，在这些房间里的人都希望与大多数房间保持一致.现在，从第一间房间的人开始，如果其余19间房间的灯开着的多，就把灯打开，否则就把灯关上，如果最开始开灯与关灯的房间各10间，并且第一间的灯开着.那么， 这20间房间里的人轮完一遍后，关着灯的房间有( )间.A.0B.10C.11D.2012.老师在黑板上从1开始将奇数连续地写下去，写了一长串数后，擦去了其中的两个数，将这些奇数隔成了3串，已知第二串比第一串多1个数，第三串比第二串多1个数，且第三串奇数和为4147，那么被划去的两个奇数的和是( )A.188B.178C.168D.15813.有四个数，它们的和是45，把第一个数加2，第二个数减2，第三个数乘2，第四个数除以2，得到的结果都相同.那么，原来这四个数依次是( )A.10，10，10，10B.12，8，20，5C.8，12，5，20D.9，11，12，1314.三位数N ，分别减3、加4、除以5、乘6，得到四个整数，已知这四个数的数字和恰好是4个连续的自然数，那么满足条件的三位数N 有( )个.A.8B.6C.4D.215.老师在黑板上将从1 开始的计数连续地写下去：1，3，5，7，9，11⋯写好后，擦去了其中的两个数，将这些奇数隔成了3 段，如果前两段的和分别是961 和1001，那么，老师擦去的两个奇数之和是( )A.154B.156C.158D.16016.在下列四个算式中：2AB CD ÷=，0E F ⨯=，1G H -=，4I J +=，~A J 代表0~9中的不同数字，那么两位数AB 不可能是( )A.54B.58C.92D.9617.一个五位数，由1，2，3三个数码组成，对于其中任何一个数码，如果这个数码是1，则它后面只能写2；如果这个数码是2，它后面只能写3；如果这个数码是3，它后面可以写1，也可以写3.这样的五位数有()个.A.10B.13C.19D.2818.对一个大于0的自然数作如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加1，如此进行直到1时操作停止，那么经过9次操作变为1的数有()个.A.15B.22C.25D.3419.某商品编号是一个三位数，现有5个三位数：123、364、765、874、925.其中每一个数与商品编号恰好在同一数位上有一个相同的数字，这个商品编号是()A.375B.724C.823D.96420.有8个谜语让60个人猜，猜对共338人次.每人至少猜对3个，猜对3个的有6人，猜对4个的有10人，猜对5个和7个的人数同样多.8个全猜对的有()人.A.6B.8C.10D.1221.蓝佛德数字是这样一种数字.它的数字中每一个数码都出现两次.并且数码1被一个其他数码分开，数码2被两个其他数码分开，等等.下面四个数是蓝佛德数字的一个是()A.12142334B.41312432C.14132342D.3243214122.2011的各位数字的和为4，具有这种性质的四位数的数共有()A.10B.15C.20D.2123.在下列四个数中，能被77整除的是()A.34987B.68486C.75999D.3298224.若1515153333a=⋯⨯⋯（有1004个15，有2008个3)，则整数a的所有数位上的数字和等于()A.18063B.18072C.18079D.1805425.在自然数1，2，3，⋯，2008中，末位是3的所有数的和是()A.201603B.201703C.201803D.20190326.从1、3、5、7、9这五个数字中任选2个，分别写在乘号的两边，组成一道乘法算式.共可得到多少个乘积不同的算式()A.5B.10C.15D.2027.已知一个三位数的百位、十位和个位分别是a，b，c，而且a b c a b c⨯⨯=++，那么满足上述条件的三位数的和为()A.1032B.1132C.1232D.133228.a、b、c、d、e这五个数各不相同，它们两两相乘后的积从小到大排列依次为：0.3，0.6，1.5，1.8，2，5，6，10，12，30.将这五个数从小到大排成一行，那么，左起第2个数是()A.0.3B.0.5C.1D.1.529.a、b、c、d、e这五个数各不相同，它们两两相乘后的积从小到大排列依次为：3，6，15，18，20，50，60，100，120，300.那么，这五个数中从小到大排列第2个数的平方是()A.1B.3C.5D.1030.123456789101112131420052006⋯是()位数.A.6913B.6914C.6915D.691731.有194盏亮着的灯，各有一个拉线开关控制着；拉一下拉线开关，灯由亮变灭；再拉一下，又由灭变亮，现按顺序将这194盏灯依次编号为1，2，3，4，⋯，194，然后将编号为2的倍数的拉线开关都拉一下；再将编号为3的倍数的灯线都拉一下；最后将编号为5的倍数的灯线都拉一下.三次拉完后，亮着的灯有()盏.A.97B.96C.95D.9432.写有数字6，10，18的卡片各10张，现在从这30张中适当选出9张计算出它们的和，可能的和是()A.93B.98C.104D.10733.下面不能写成10个连续自然数之和的是()A.385B.495C.675D.104034.从1、2、3、⋯、7中选择若干个数，使得其中偶数之和等于奇数之和.则符合条件的取法()种.A.6B.7C.8D.935.如图，在一张9行9列的方格纸上，把每个方格所在的行数和列数加起来，填在这个方格中，例如，在填入的81个数中，()多.A.奇数B.偶数36.房间有红、黄、蓝三种灯，当房间所有灯都关闭时，拉一次开关，红灯亮；第二次拉开关，红、黄灯都亮；第三次拉开关，红、黄、蓝三灯都亮；第四次拉开关，三灯全关闭，现在从1~100编号的同学走过该房间，并将开关拉若干次，他们拉开关的方式为：编号为奇数者，他拉的次数就是他的号数；编号为偶数者，其编号可以写成2r p g（其中p为正奇数，r为正整数），就拉p次，当100人都走过房间后，房间中灯的情况为()A.只有红灯亮B.只有红、黄灯亮C.三灯都亮D.三灯都不亮37.在如图的奥运五环图案中，分别填写五个两位数a，b，c，d，e，使得上面的三个数a，b，c是三个连续的偶数，下面的两个数d，e是两个连续的奇数，而且a b c d e++=+，如果填入的五个数的十位数字都是1，那么这五个数的和是()A.80B.76C.72D.6838.数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，⋯的前2006个数中，偶数有()A.667个B.668个C.669个D.670个39.任意两个质数的和()A.一定是偶数B.一定是质数C.一定是合数D.可能是偶数，可能是质数，也可能是合数40.如果a ，b ，c 是三个任意整数，那么,,(222a b b c c a +++ ) A.都不是整数B.至少有一个整数C.至少有两个整数D.都是整数41.若三个连续偶数的和是162，则它们的乘积是( )A.157248B.125748C.157284D.17258442.四个同学进行计算比赛，比赛内容是：在9、10、11、⋯、67、68这60个自然数的相邻两数之间任意添加符号“+”或“一”，然后进行计算.四个同学得到的结果分别是2000、2003、2300、2320，老师看后指出：这四个结果中只有一个是正确的.这个正确的结果是( )A.2274B.2003C.23000D.232043.下面三组数中和不同的是( )A.87，76，65，54B.77，66，55，84C.58，86，64，7544.有10个房间，9个开着灯，1个关着灯，如果每次拨动4个不同房间的开关，能不能把所有房间的灯都关上？A.能B.不能C.不能确定 45.三个质数的倒数和为3111001，那么这三个质数的和为( ) A.311 B.35 C.3146.若a 、b 互素，且两个最简分数之和为3135m n a b +=，则1(a b m n m n +-=⨯ ) A.5B.6C.8D.10 47.三个质数的倒数和为3111001，那么这三个质数的和为( ) A.311 B.35 C.31 D.2948.如图，正方体每个面上各写了一个整数，并且相对的两个面上的数之和都相等，现在只看到三个面上写的数8，10与25，如果看不见的三个面上写的都是质数，那么这三个质数之和是( )A.36B.38C.52D.5849.把40写成两个质数之和的形式共有()种方法.A.4B.3C.2D.150.已知4个质数的积是它们和的11倍，则它们的和为()A.46B.47C.48D.没有符合条件的数参考答案与试题解析一.选择题（共50小题）1.一条大鲸鱼，头长3米，身长等于头长加尾长，尾长等于头长加身长的一半的和.这条大鲸鱼全长( )米.A.12B.24C.36D.48【解析】设尾长为x 米，则身长为(3)x +米，得13(3)2x x =++⨯ 3 1.50.5x x =++0.5 4.5x =9x =身长：3912+=（米)大鲸鱼全长：312924++=（米).答：这条大鲸鱼全长24米.故选：B .2.有一串数，最前面的四个数依次是2、0、1、6.从第五个数起，每一个数都是它前面相邻四个数之和的个位数字.在这一组数中，一定不会出现的数组是( )A.2018B.2017C.9472D.4186【解析】对2016进行拓展962301607478656528⋯这组数字出现奇偶性的规律为：奇偶偶奇偶，奇偶偶奇偶⋯在2018、2017、9472、4186中只要2017有两个奇数相连，不符合规律.故选：B .3.在10~1000之间，个位数是3或8的数的个数是( )A.200B.198C.196D.194【解析】个位数是3的从10到1000中，每10个数中有一个，所以，一共有(100010)1099-÷=（个)，个位数是8的从10到1000中，每10个数中有一个，所以，一共有(100010)1099-÷=（个)，所以，个位数是3或8的一共有：9999198+=（个)，故选：B .4.在序列20170⋯中，从第 5 个数字开始，每个数字都是前面 4 个数字和的个位数，这样的序列可以一直写下去.那么从第 5 个数字开始，该序列中一定不会出现的数组是( )A.8615B.2016C.4023D.2017【解析】枚举法0170的数字和是8下一个数字就是8.1708的数字和是16下一个数字就是6.7086的数字和是21下一个数字就是1.0861的数字和是15下一个数字是5.8615的数字和是20下一个数字是0.6150的数字和为12下一个数字就是2.20170861502⋯ 规律总结：查看数字中奇数的个数，奇数一出现就是2个.故选：B .5.整数1N = 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 132010⋯ 2011 2012 2013 2014 2015是由12015-这2015个整数，由小到大的顺序依次写出得到的，那么N 是( )位数.A.5678B.6947C.6950D.6953【解析】一位数有：199⨯=（个)两位数有：290180⨯=（个)三位数有：39002700⨯=（个)四位数有：4(201510001)4064⨯-+=（个)9180270040646953+++=（个)答：N 是6953位数.故选：D .6.设666673m ⋯⨯{个得数的各位数字之和为M ，333373n ⋯⨯{个得数的各位数字之和为N ，那么M 与N 的大小关系是( )A.M N >B.M N =C.M N <D.不确定 【解析】因为606667320001m m ⋯⨯=⋯{{个个；31033373100011n n -⋯⨯=⋯{{个个，所以213M =+=，1113N =++=，所以M N =，故选：B .7.如图，飞镖圆靶分成五个部分，每部分得分依次是1，3，5，7，9（分)，某小孩掷了六支飞镖，全部击中圆靶，下列得分中可能是他所得总分的是( )A.4B.17C.28D.56【解析】由题意得分至少是166⨯=，至多是6954⨯=，故A 、B 排除. 因为6个奇数的和是偶数，所以B 排除，故选：C .8.把1~10的所有自然数相乘，得到的积的末尾会有( )个连续的零.A.1B.2C.3D.4【解析】因为2510⨯=，在1~10中，只有5和10两因数含有因数5，即把1~10的所有自然数相乘，得到的积的末尾会有2个连续的零.故选：B .9.算式2016201699999999⋯⨯⋯{{个个的结果中含有( )个数字0. A.2017B.2016C.2015D.2014 【解析】2016201699999999⋯⨯⋯{{个个201602016100019999⎛⎫ ⎪=⋯-⨯⋯ ⎪⎝⎭{{个个2016020162016100099999999=⋯⨯⋯-⋯{{{个个个20169020169990009999=⋯-⋯{{个和个个位0减9不够减，需要连续退位，个位数得1，所以数字0的个数是： 201612015-=（个)故选：C .10.有A、B两个整数，A的各位数字之和为36，B的各位数字之和为25，且两数相加时进位三次，那么A B+的各位数字之和是()A.33B.34C.35D.36【解析】362593+-⨯=-6127=34答：A B+的各位数字之和是34.故选：B.11.有20间房间，有的开着灯，有的关着灯，在这些房间里的人都希望与大多数房间保持一致.现在，从第一间房间的人开始，如果其余19间房间的灯开着的多，就把灯打开，否则就把灯关上，如果最开始开灯与关灯的房间各10间，并且第一间的灯开着.那么，这20间房间里的人轮完一遍后，关着灯的房间有()间.A.0B.10C.11D.20【解析】因为最开始开灯和关灯的各是10间，由于第一间的灯是开着的，所以，第一间人看到的，开灯的9间，关灯的10间，之后，他就关灯，以后无论开灯的出来看，还是关灯的出来看，始终关灯的多，即：一轮结束，灯全部会关闭，故选：D.12.老师在黑板上从1开始将奇数连续地写下去，写了一长串数后，擦去了其中的两个数，将这些奇数隔成了3串，已知第二串比第一串多1个数，第三串比第二串多1个数，且第三串奇数和为4147，那么被划去的两个奇数的和是()A.188B.178C.168D.158【解析】设第一段有n个，则第2段有1n+个，那么第一个擦的奇数是21n+，n+，第二个擦的奇数是45被划去的两个奇数的和为：214566+++=+，n n n66n+是6的倍数，在四个选项中只有168是6的倍数，符合要求.故选：C.13.有四个数，它们的和是45，把第一个数加2，第二个数减2，第三个数乘2，第四个数除以2，得到的结果都相同.那么，原来这四个数依次是( )A.10，10，10，10B.12，8，20，5C.8，12，5，20D.9，11，12，13【解析】设相同的结果为2x ，根据题意有：2222445x x x x -++++=，解得5x =，所以原来的4个数依次是8，12，5，20.14.三位数N ，分别减3、加4、除以5、乘6，得到四个整数，已知这四个数的数字和恰好是4个连续的自然数，那么满足条件的三位数N 有( )个.A.8B.6C.4D.2【解析】考虑到一定会有进位、退位，设原数数字和为a ，则3-，4+定不是差7，否则无法成为连续4个自然数，5÷说明末位为0或5，当末位为5时，3-，4+均不进位退位；当末位为0时，3-退位，符合，所以3-相当于数字和多6，6a +；4+相当于数字和多4，4a +；5÷相当于数字和2⨯，2a ⨯；2a ⨯，2a +，4a +连续，2a ⨯为7a +，5a +，3a +中的一个，分类讨论得到25a a ⨯=+成立，所以5a =，数字和为5，尾数为0的有：500（舍去），410，320，230，140，共4个.故选：C .15.老师在黑板上将从1 开始的计数连续地写下去：1，3，5，7，9，11⋯写好后，擦去了其中的两个数，将这些奇数隔成了3 段，如果前两段的和分别是961 和1001，那么，老师擦去的两个奇数之和是( )A.154B.156C.158D.160【解析】因为296131=，所以擦去的第一个奇数为3121263⨯-+=.而9616310012025++=，因为2202545=，所以擦去的第二个奇数数为4521291⨯-+=.所以，两个数的和为6391154+=，故选：A .16.在下列四个算式中：2AB CD ÷=，0E F ⨯=，1G H -=，4I J +=，~A J 代表0~9中的不同数字，那么两位数AB 不可能是( )A.54B.58C.92D.96【解析】由条件可知：E、F中至少有一个为0，假设E为0；另一个可以是任何数；I和J有一个是3，有一个是1；那么0~9中的数字还剩下2、4、5、6、7、8、9；因为：1G H-=①GH是9，8时则54272÷=此时6F=②GH是8，7时则92462÷=此时5F=③GH是7，6时则58292÷=此时4F=④G、H是6，5此时不满足条件⑤时G、H是5，4时，此时不满足条件所以两位数AB可能是54、58、92；不可能是96故选：D.17.一个五位数，由1，2，3三个数码组成，对于其中任何一个数码，如果这个数码是1，则它后面只能写2；如果这个数码是2，它后面只能写3；如果这个数码是3，它后面可以写1，也可以写3.这样的五位数有()个.A.10B.13C.19D.28【解析】如果最高位（万位）是1，那么根据题意，千位上只能是2，百位上只能是3，十位上可以是1或3，得到3种情况：12312、12331、12333；如果最高位（万位）是2，那么根据题意，千位上只能是3，百位上可以是1或3，通过列举，可以得到3种情况：23123、23312、23331；如果最高位（万位）是3，那么根据题意，千位上可以是1或3，千位上如果是1，可以得到2种情况：31231、31233；千位上如果是3，可以得到2种情况：33123、33312综上所述，符合题意的五位数有：12312、12331、12333、23123、23312、23331、31231、31233、33123、33312故选：A.18.对一个大于0的自然数作如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加1，如此进行直到1时操作停止，那么经过9次操作变为1的数有()个.A.15B.22C.25D.34【解析】通过1次操作变为1的数有1个，即2；经过2次操作变为1的数有2个，即4、1；经过3次操作变为1的数有2个，即3、8；⋯；经过5次操作变为1的数有8个，即11、24、10、28、13、64、31、30；经过1、2、3、4、5⋯次操作变为1的数依次为1、2、3、5、8⋯，这即为斐波拉契数列，则第6次后是：5813+=个.+=个，第七次后是13821+=个，第8次后是211334即经过8次操作变为1的数有34个.答：经过8次操作变为1的数有34个.故选：D.19.某商品编号是一个三位数，现有5个三位数：123、364、765、874、925.其中每一个数与商品编号恰好在同一数位上有一个相同的数字，这个商品编号是()A.375B.724C.823D.964【解析】选项A，375与123对应位置上的数字没有一个相同，故错误.选项B，符合要求；选项C，823与765对应位置上的数字没有一个相同，故错误.选项D，964123对应位置上的数字没有一个相同，故错误.综上所述故选：B.20.有8个谜语让60个人猜，猜对共338人次.每人至少猜对3个，猜对3个的有6人，猜对4个的有10人，猜对5个和7个的人数同样多.8个全猜对的有()人.A.6B.8C.10D.12【解析】设猜对5个和7个的人数各为x人，3641057(606102)8338x x x ⨯+⨯+++---⨯=5812(442)8338x x ++-⨯=581235216338x x ++-=472x =18x =6061026061021844368x ---=---⨯=-=答：8个谜语全猜对的有8人.故选：B .21.蓝佛德数字是这样一种数字.它的数字中每一个数码都出现两次.并且数码1被一个其他数码分开，数码2被两个其他数码分开，等等.下面四个数是蓝佛德数字的一个是( )A.12142334B.41312432C.14132342D.32432141【解析】A 、两个3连在一起，错误；B 、41312432被4个数分开，1被1个数分开，2被两个数分开，3被3个数分开，符合要求；C 、两个3中间只有一个数字隔开，错误；D 、两个3之间只有两个数字隔开，错误.故选：B .22.2011的各位数字的和为4，具有这种性质的四位数的数共有( )A.10B.15C.20D.21【解析】分5种情况讨论，①，4个数字都为1时，即1111，有1个四位数符合题意，②，4个数字为2、0、1、1时，0不能放在首位，有3种放法，则2有3种方法，剩余的2个1，放在其余两个位置，有1种情况，则共有339⨯=个四位数符合题意，③，4个数字为3、0、0、1时，首位必须是3或1，有2种情况，在剩余的3个位置取出2个来放数字0，有233C =种情况，剩余的1个数字放在最后位置，有1种情况，则共有236⨯=个四位数符合题意，④，4个数字为2、2、0、0时，首位必须是2，有1种情况，在剩余的3个位置种取出2个来放数字0，有233C =种情况，剩余的1个数字2放在最后位置，有1种情况，则共有133⨯=个四位数符合题意，⑤，4个数字为4、0、0、0时，即4000，只有1个四位数符合题意，综合，共有1936120++++=个四位数符合题意，故选：C .23.在下列四个数中，能被77整除的是( )A.34987B.68486C.75999D.32982【解析】34987，(397)(48)7++-+=，不能被11整除，则不能被77整除.68486，(646)(88)0++-+=，能被11整除，6846626834-⨯=，个数是4，不能被7整除，则不能被77整除.75999，(799)(59)11++-+=，能被11整除，7599927581-⨯=，能被7整除，所以75999能被77整除.32982，(392)(28)4++-+=，不能被11整除，则不能被77整除，故选：C .24.若1515153333a =⋯⨯⋯（有1004个15，有2008个3)，则整数a 的所有数位上的数字和等于( )A.18063B.18072C.18079D.18054【解析】1515153333⋯⨯⋯505050533333=⋯⨯⨯⋯，50505059999=⋯⨯⋯，(50505⋯共2007位数，9999⋯共2008位数）5050505(10000001)=⋯⨯⋯-，50505050000005050505=⋯⋯-⋯，5050505049494949495=⋯⋯；（前面505050504⋯共有2007位，中间9有1位，最后494949495⋯共2007位） 前面505050504⋯加最后494949495⋯正好为2007个9，再算是中间的一个9，因此所有数位上的和为9200818072⨯=.故选：B .25.在自然数1，2，3，⋯，2008中，末位是3的所有数的和是()A.201603B.201703C.201803D.201903【解析】313232003(12200)103201201603+++⋯+=++⋯+⨯+⨯=，故选：A.26.从1、3、5、7、9这五个数字中任选2个，分别写在乘号的两边，组成一道乘法算式.共可得到多少个乘积不同的算式()A.5B.10C.15D.20【解析】54210⨯÷=答：共可得到10个乘积不同的算式.故选：B.27.已知一个三位数的百位、十位和个位分别是a，b，c，而且a b c a b c⨯⨯=++，那么满足上述条件的三位数的和为()A.1032B.1132C.1232D.1332【解析】足a b c a b c⨯⨯=++=，⨯⨯=++的只有1，2，3，即1231236所以这些三位数是123，132，213，231，312，321；和为1231322132313123211332+++++=.故选：D.28.a、b、c、d、e这五个数各不相同，它们两两相乘后的积从小到大排列依次为：0.3，0.6，1.5，1.8，2，5，6，10，12，30.将这五个数从小到大排成一行，那么，左起第2个数是()A.0.3B.0.5C.1D.1.5【解析】设a b c d e<<<<，则0.3ce=，de=，12ac=，30ab=，0.6可得2a b=÷，=，0.3d c=， 2.5c b可得5个数为：÷，b，2b，5b，6b÷，0.3b再根据这几个数两两相乘的积分别为：0.3，0.6，1.5，1.8，2，5，6，10，12，30进行比较，得出1b=于是5个数为0.3，1，2，5，6，所以左起第2个数是1.故选：C.29.a 、b 、c 、d 、e 这五个数各不相同，它们两两相乘后的积从小到大排列依次为：3，6，15，18，20，50，60，100，120，300.那么，这五个数中从小到大排列第2个数的平方是( )A.1B.3C.5D.10【解析】设a b c d e <<<<，则：3ab =，3a b=， 6ac =；36c b=， 2c b =；120ce =2120be =60e b=； 300de =300d e =÷60300b=÷ 5b =； 那么这五个数就可以表示为：3b，b ，2b ，5b ，300b . 最大最小的四个乘积已经讨论过，再来讨论剩下的乘积，剩下的乘积就有可能表示为： 222bc b b b ==g ，255bd b b b ==g ，6060be b b==g ， 22510cd b b b ==g3515ad b b==g ， 2360180ae b b b==g ； 这些积就是：3，6，15，2180b，22b ，25b ，60，210b ，120，300； 显然：210b =.故选：D .30.123456789101112131420052006⋯是( )位数.A.6913B.6914C.6915D.6917【解析】1~9，共有9个数字组成，10~99共有290180⨯=个数字组成，100~999，共有39002700⨯=个数字组成，1000~2006共有410074028⨯=个数字组成.所以123456789101112131420052006⋯是由：9180270040286917+++=个数字组成.则其是6917位数.故选：D .31.有194盏亮着的灯，各有一个拉线开关控制着；拉一下拉线开关，灯由亮变灭；再拉一下，又由灭变亮，现按顺序将这194盏灯依次编号为1，2，3，4，⋯，194，然后将编号为2的倍数的拉线开关都拉一下；再将编号为3的倍数的灯线都拉一下；最后将编号为5的倍数的灯线都拉一下.三次拉完后，亮着的灯有( )盏.A.97B.96C.95D.94【解析】依题意可知：194盏灯亮着.2的倍数有194297÷=（盏).3的倍数有194364÷=（盏)2⋯.5的倍数有194538÷=（盏)4⋯.既是2的倍数又是3的倍数的共有194632÷=（盏)2⋯.既是2的倍数又是5的倍数的共有1941019÷=（盏)4⋯.既是3的倍数有是5的倍数有1941512÷=（盏)14⋯.同时是2，3，5的倍数的有194306÷=（盏)14⋯.拉1次的灯的，973219652--+=（盏).643212626--+=（盏).381219613--+=（盏).拉3次的共有6盏.194522613697----=.故选：A .32.写有数字6，10，18的卡片各10张，现在从这30张中适当选出9张计算出它们的和，可能的和是( )A.93B.98C.104D.107【解析】根据题意可知：6，10，18被4除，余数都是2，同余；所以选出9张卡片求和，余数变为了18.因为减去18，剩下的数可以被4整除即为答案..931875A -=，不能整除4，故错误选项..981880B -=，能整除4，故正确选项..1041886C -=，不能整除4，故错误选项..1071889D -=，不能整除4，故错误选项.故选：B .33.下面不能写成10个连续自然数之和的是( )A.385B.495C.675D.1040【解析】任意10个连续自然数中有5个偶数，5个奇数，5个奇数的和是奇数，5个偶数的和是偶数，因为奇数+偶数=奇数，所以任意10个连续自然数的和一定是奇数；因为385、495、675都是奇数，而1040是偶数，所以10个连续自然数之和不可能是1040.故选：D .34.从1、2、3、⋯、7中选择若干个数，使得其中偶数之和等于奇数之和.则符合条件的取法( )种.A.6B.7C.8D.9【解析】1，2，3，4，5，6，7中1，3，5，7是奇数，2，4，6是偶数，134+=156+=3746+=+3526+=+1726+=+1524+=+57246+=++共7种故选：B .35.如图，在一张9行9列的方格纸上，把每个方格所在的行数和列数加起来，填在这个方格中，例如，在填入的81个数中，( )多.A.奇数B.偶数【解析】因为：奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，奇数+偶数=奇数，所以，第一行填的数中由偶数开始，偶数结束，偶数比奇数多1个，第二行填的数中由奇数开始，数数结束，偶数比奇数少1个，同样，第三得填的数中偶数比奇数多1个，第四行填的数中偶数比奇数少1个，即前8行中奇数和偶数的个数一样多，而第九行中偶数多一个.所以，81个数字中偶数多. 答：81个数中偶数多.故选：B .36.房间有红、黄、蓝三种灯，当房间所有灯都关闭时，拉一次开关，红灯亮；第二次拉开关，红、黄灯都亮；第三次拉开关，红、黄、蓝三灯都亮；第四次拉开关，三灯全关闭，现在从1~100编号的同学走过该房间，并将开关拉若干次，他们拉开关的方式为：编号为奇数者，他拉的次数就是他的号数；编号为偶数者，其编号可以写成2r p g （其中p 为正奇数，r 为正整数），就拉p 次，当100人都走过房间后，房间中灯的情况为( )A.只有红灯亮B.只有红、黄灯亮C.三灯都亮D.三灯都不亮【解析】奇数和为135992500+++⋯+=，编号为2p 者有21⨯，23⨯，25⨯，⋯，249⨯，次数为13549625+++⋯+=； 编号为22p 者有221⨯，223⨯，225⨯，⋯，2225⨯，拉开关次数为13525169+++⋯+=； 同理可得编号32p 者拉36次；42p 者9次，52p 与62p 者拉开关次数1315++=次.总计2500625169369533444836+++++==⨯.所以最后三灯全关闭.故选：D.37.在如图的奥运五环图案中，分别填写五个两位数a，b，c，d，e，使得上面的三个数a，b，c是三个连续的偶数，下面的两个数d，e是两个连续的奇数，而且a b c d e++=+，如果填入的五个数的十位数字都是1，那么这五个数的和是()A.80B.76C.72D.68【解析】Q三个连续偶数之和等于两个连续奇数之和且都在0到20之间，∴只需使两个奇数的和为3的倍数即可，∴.Q填入的五个数的十位数字都是1，++++=，∴这五个数的和是101214171972故选：C.38.数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，⋯的前2006个数中，偶数有()A.667个B.668个C.669个D.670个【解析】每三个数是一组，每组中有1个偶数；÷=⋯2006366822006个数中有668个这样的一组，还余2个数，余下的这两个数都是奇数，所以一共有668个偶数.故选：B.39.任意两个质数的和()A.一定是偶数B.一定是质数C.一定是合数D.可能是偶数，可能是质数，也可能是合数【解析】如：235+=，5是质数；358+=，8是偶数也是合数；279+=，9是合数；所以，任意两个质数的和可能是偶数、可能是质数、也可能是合数.故选：D .40.如果a ，b ，c 是三个任意整数，那么,,(222a b b c c a +++ ) A.都不是整数B.至少有一个整数C.至少有两个整数D.都是整数【解析】当a ，b ，c 都为偶数时，则a b +，a c +，c b +的和为偶数， 那么,,222a b b c c a +++都为整数； 当a ，b ，c 都为奇数时，则a b +，a c +，c b +的和为偶数， 那么,,222a b b c c a +++都为整数； 当a ，b ，c 中有一个偶数，两个奇数时，a b +，a c +，c b +的和中有两个为奇数，一个为偶数， 那么,,222a b b c c a +++只有一个为整数； 当a ，b ，c 中有一个奇数，两个偶数时，a b +，a c +，c b +的和中有两个为奇数，一个为偶数， 那么,,222a b b c c a +++只有一个为整数； 所以，如果a ，b ，c 是三个任意整数，那么,,222a b b c c a +++中至少有一个为整数. 故选：B .41.若三个连续偶数的和是162，则它们的乘积是( )A.157248B.125748C.157284D.172584【解析】162354÷=，54252-=，54256+=，525456157248⨯⨯=. 答：它们的积是157248.故选：A .42.四个同学进行计算比赛，比赛内容是：在9、10、11、⋯、67、68这60个自然数的相邻两数之间任意添加符号“+”或“一”，然后进行计算.四个同学得到的结果分别是2000、2003、2300、2320，老师看后指出：这四个结果中只有一个是正确的.这个正确的结果是( )A.2274B.2003C.23000D.2320【解析】由于91011682310+++⋯=，23202310>，所以D错误、(23102274)218-÷=，1829÷=，所以在9前是减号即可，符合题意.(23102003)30768-=>，错误.(23102000)215568-÷=>，错误.故选：A.43.下面三组数中和不同的是()A.87，76，65，54B.77，66，55，84C.58，86，64，75【解析】选项A、B都是2奇2偶，所以得数是偶数；只有选项C都是1奇3偶，所以得数是奇数；故选：C.44.有10个房间，9个开着灯，1个关着灯，如果每次拨动4个不同房间的开关，能不能把所有房间的灯都关上？A.能B.不能C.不能确定【解析】每次拨动4个开关，拨动的总次数是偶数；要把9个开着的灯关闭，拨动的总次数是一个奇数；偶数≠奇数故选：B.45.三个质数的倒数和为3111001，那么这三个质数的和为()A.311B.35C.31【解析】由题意可知，这三个质数的最小公倍数是三者的积，又因为它们的倒数之和的分母是1001，所以把1001就是这三个质数的最小公倍数.100171113=⨯⨯7111331++=故选：C .46.若a 、b 互素，且两个最简分数之和为3135m n a b +=，则1(a b m n m n +-=⨯ ) A.5 B.6 C.8 D.10【解析】因为若a 、b 互素，且计算结果的分母为35，则35就是这两个质数的乘积， 3557=⨯，所以，5a =，7b =，则7531m n +=，解得，3m =，2n =，所以，1a b m n m n+-⨯ 5713223=+-⨯ 5=；故选：A .47.三个质数的倒数和为3111001，那么这三个质数的和为( ) A.311 B.35 C.31 D.29【解析】因为，100171113=⨯⨯所以，这三个质数分别是：7、11、13，所以，这三个质数的和是：7111331++=，答：这三个质数的和为31.故选：C .48.如图，正方体每个面上各写了一个整数，并且相对的两个面上的数之和都相等，现在只看到三个面上写的数8，10与25，如果看不见的三个面上写的都是质数，那么这三个质数之和是( )A.36B.38C.52D.58【解析】设和10相对的数是a ，和8相对的数是b ，和25相对的数是c ，。
初赛数论题
1.已知α是实数，且存在正整数n0证明：存在无穷多个正整数n（2011年）qp=，其中p，q为互质的正整数，则202qnpα+=．设k为任意的正整数，构造222n p k qk n=++，qpkp+∈Q．2.求所有正整数x，y，使得23x y+与23y x+都是完全平方数．（2010年）解：若x=y，则x2+3x是完全平方数.∵x2＜x2+3x＜x2+4x+4= (x+2)2，∴x2+3x= (x+1)2，∴x=y=1. ………………5分若x＞y，则x2＜x2+3y＜x2+3x＜x2+4x+4= (x+2)2.∵x2+3y是完全平方数，∴x2+3y= (x+1)2，得3y=2x+1，由此可知y是奇数，设y=2k+1，则x=3k+1，k是正整数.又y2+3x= 4k2+4k+1+9k+3=4k2+13k+4是完全平方数，且(2k+2)2=4k2+8k+4＜4k2+13k+4＜4k2+16k+16= (2k+4)2，∴y2+3x=4k2+13k+4=(2k+3)2，得k=5，从而求得x=16，y=11. …………………15分若x＜y，同x＞y情形可求得x=11，y=16.综上所述，(x，y)= (1，1), (11，16), (16，11)．…………………20分3.设a是整数，0≤b＜1．若a2＝2b(a＋b)，则b＝．(2009年）(等价于：求实数x，使[x]2＝2{x}x.)解：若a为负整数，则a2＞0，2b(a＋b)＜0，不可能，故a≥0．于是a2＝2b(a＋b)＜2(a＋1)⇒a2－2a－2＜0⇒0≤a＜1＋3⇒a＝0，1，2．a＝0时，b＝0；a＝1时，2b2＋2b－1＝0⇒b＝3－12；a＝2时，b2＋2b－2＝0⇒b＝3－1．4.⑴写出三个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数，请予以验证；⑵是否存在四个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数？请证明你的结论．（2009年）解：对于任意n ∈N *，n 2≡0，1(mod 4)．设a ，b 是两个不同的自然数，①若a ≡0(mod 4)或b ≡0(mod 4)，或a ≡b ≡2(mod 4)，均有ab ≡0(mod 4)，此时，ab ＋10≡2(mod 4)，故ab ＋10不是完全平方数；② 若a ≡b ≡1(mod4)，或a ≡b ≡3(mod 4)，则ab ≡1(mod 4)，此时ab ＋10≡3(mod 4)，故ab ＋10不是完全平方数．由此知，ab ＋10是完全平方数的必要不充分条件是ab (mod 4)且a 与b 均不能被4整除． ⑴ 由上可知，满足要求的三个自然数是可以存在的，例如取a ＝2，b ＝3，c ＝13，则2×3＋10＝42，2×13＋10＝62，3×13＋10＝72．即2，3，13是满足题意的一组自然数．⑵ 由上证可知不存在满足要求的四个不同自然数．这是因为，任取4个不同自然数，若其中有4的倍数，则它与其余任一个数的积加10后不是完全平方数，如果这4个数都不是4的倍数，则它们必有两个数mod 4同余，这两个数的积加10后不是完全平方数．故证．5.设集合[]{}{}222<==-=x x B x x x A 和，其中符号[]x 表示不大于x 的最大整数，则=B A .（2008年）解 ∵2<x ，[]x 的值可取1,0,1,2--.当[x ]=2-，则02=x 无解；当[x ]=1-，则12=x ，∴x =1-；当[x ]=0，则22=x 无解； 当[x ]=1，则32=x ，∴3=x . 所以31或-=x .6.能否将下列数组中的数填入3×3的方格表，每个小方格中填一个数，使得每行、每列、两条对角线上的3个数的乘积都相等？若能，请给出一种填法；若不能，请给予证明.(2008年）（Ⅰ）2,4,6,8,12,18,24,36,48； （Ⅱ）2,4,6,8,12,18,24,36,72.解（Ⅰ)不能. ……5分 因为若每行的积都相等，则9个数的积是立方数. 但是2×4×6×8×12×18×24×36×48=21+2+1+3+2+1+3+2+4×3121211+++++=219·38不是立方数，故不能.（Ⅱ）可以.如右表表中每行、每列及对角线的积都是26·23.7.若m 、{}22101010n x x a a a ∈=⨯+⨯+，其中{}1234567i a ∈，，，，，，，012i =，，，并且 636m n +=，则实数对(,)m n 表示平面上不同点的个数为（ ）.(2007年）（A ）60个 （B ）70个 （C ）90个 （D ）120个解：由6514233=+=+=+及题设知，个位数字的选择有5种. 因为321=+= 7610=+-，故（1） 由321=+知，首位数字的可能选择有2510⨯=种；（2） 由37610=+-及54123=+=+知，首位数字的可能选择有248⨯=种. 于是，符合题设的不同点的个数为5(108)90⨯+=种. 故选（C ）．8.设p 是质数，且p 2+71的不同正因数的个数不超过10个，求p.（2006年）解： 当p=2时，p 2+71=75=52×3，此时共有正因数(2+1)(1+1)=6个，故p=2满足要求．当p=3时，p 2+71=80=24×5，此时共有正因数(4+1)(1+1)=10个，故p=3 满足条件．当p>3时，p 2+71=p 2-1+72=(p-1)(p+1)+72.质数p 必为3k ±1型的奇数p-1、p+1是相邻的两个偶数，且其中必有一个是3的倍数.所以，(p —1)(p+1)是24的倍数， 从而p 2+71是24的倍数．设p 2+71=24×m ，m ≥4．若m 有不同于2、3的质因数，则，p 2+71的正因数个数≥(3+1)(1+1)(1+1)>l0； 若m 中含有质因数3，则，p 2+71的正因数个数≥(3+1)(2+1)>10；若m 中仅含有质因数2，则p 2+71的正因数个数≥(5+1) (1+1)>10；所以，p>3不满足条件．综上所述，所求得的质数p 是2或3.9.将27，37，47，48，55，71，75这七个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排法有_____________种.（2012年）144种.10.三角形的周长为31，三边c b a ,,均为整数，且c b a ≤≤，则满足条件的三元数组),,(c b a 的个数为____________.（2012年）24个11.将小王和小孙现在的年龄按从左至右的顺序排列得到一个四位数,这个数为完全平方数,362 24 812 18 672 4再过31年,将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数,这个数仍为完全平方数,小王现在的年龄是.（2013年）解析：设小王现在的年龄是a ,小孙现在的年龄是b .设a 有m 个数字,b 有n 个数字,由已知得4m n +=.如果2m <,那么3n ≥,但在31年后,a 是2位数,这与题意不符.由对称性,知n 也不小于2,从而2m n ==.设按照题中要求顺序排列的平方数依次为2x 和2y ,0x y <<,则223131y x =+,即()()31101y x y x -+=⨯.由0x y <<,故31y x -=且101y x +=,于是推得(,)(35,66)x y =.因此21225x =和24356y =,从而推得小王是12岁,小孙是25岁.12.正100边形12100A A A 的每个顶点染红、黄、蓝三色之一,证明：必存在四个同色点,恰为某等腰梯形的顶点.（2013年）证明：记正100边形12100A A A 的外接圆半径为r ,把顶点分为25个点集：4342414{,,,},1,2,,25k k k k A A A A k ---= .每个点集中4点然三色,至少有两点同色,此两点为端点的劣弧弧长分别为23,,505050r r rπππ之一.弧长为23,,505050r r rπππ,且两端同色的弧共有9种,前10个点集中至少存在10段此类弧,故总有两段弧“同种”,且均在某直径一侧,所以此两段弧四个端点构成的四边为等腰梯形.13.设集合{1,2,,8}S = ,A ,B 是S 的两个非空子集,且A 中的最大数小于B 中的最小数,则这样的集合对(,)A B 的个数是.（2014年）769个14.如果正整数m 可以表示为224(,)x y x y Z -∈,那么称m 为“好数”,问1,2,3,,2014 中“好数”的个数为.（2014年）15.在平面直角坐标系xOy 中，设D 是满足0,0,[][]19x y x y x y ≥≥+++≤的点(,)x y 形成的区域（其中[]x 是不超过x 的最大整数），则区域D 中整点的个数为.（2015年） 区域D 中整点的个数为1231055++++= .16.将正十一边形的k 个顶点染成红色，其余顶点染蓝色.（1）当2k =时，求顶点均为蓝色的等腰三角形的个数；（2）k 取何值时，三个顶点同色（同红色或同蓝色）的等腰三角形个数最少？并说明理由.（2015年）解：（1）设正十一边形的顶点12311,,,,A A A A ，则易知其中任意三点为顶点的三角形都不是正三角形.以这些点为顶点的等腰三角形个数可以如此计算：以(1,2,3,,11)i A i = 为顶角顶点的等腰三角形有11152-=个，这些三角形均不是等边三角形，即当j i ≠时，以i A 为顶角顶点的等腰三角形都不是上述等腰三角形.故所有的等腰三角形共有51155=⨯个. …………5分 当2k =时，设其中,m n A A 染成红色，其余染成蓝色.以m A 为顶角顶点的等腰三角形有5个，以m A 为底角顶点的等腰三角形有10个；同时以,m n A A 为顶点的等腰三角形有3个，这些等腰三角形的顶点不同色，且共有(510)2327+⨯-=个.注意到仅有这些等腰三角形的三个顶点不同蓝色，故所求三个顶点同为蓝色的等腰三角形有552728-=个. …………10分（2）若11个顶点中k 个染红色，其余11k -个染蓝色.则这些顶点间连线段（边或对角线）中，两端点染红色的有(1)2k k -条，两端染蓝色的有(11)(10)2k k --条，两端点染一红一蓝的有(11)k k -条，并且每条线段必属于且仅属于3个等腰三角形.把等腰三角形分4类：设其中三个顶点均为红色的等腰三角形有1x 个，三个顶点均为蓝色的等腰三角形有2x 个，两个顶点为红色一个顶点为蓝色的等腰三角形有3x 个，两个顶点为蓝色一个顶点为红色的等腰三角形有4x 个，则按顶点颜色计算连线段，13(1)332k k x x -+=⨯， ① 24(11)(10)332k k x x --+=⨯， ② 34223(11)x x k k +=⨯-， ③由①+②得 123433()[(1)(11)(10)]2x x x x k k k k +++=-+--， 用③代入得 21211[(1)(11)(10)(11)](333110)22x x k k k k k k k k +=-+----=-+. 当5k =或6时，12min 1()(546556)102x x +=⨯+⨯-⨯=. 即顶点同色的等腰三角形最少有10个，此时5k =或6. …………20分。
初等数论试题库
初等数论一、填空1、d （1000）= 。
φ（1000）= 。
(10174)=______ 。
2、ax+bY=c 有解的充要条件是 。
3、20022002被3除后余数为 。
4、[X]=3，[Y]=4，[Z]=2，则[X —2Y+3Z]可能的值为 。
5、φ（1）＋φ（P ）＋…φ（nP ）= 。
6、高斯互反律是 。
7、两个素数的和为31，则这两个素数是 。
8、带余除法定理是 。
9、d （37）= 。
σ（37）= 。
10、φ（1）＋φ（P ）＋…φ（nP ）= 。
11、不能表示成5X+3Y （X 、Y 非负）的最大整数为 。
12、7在2004！中的最高幂指数是 。
13、（1501 ，300）= 。
14、)(mod m b ax ≡有解的充要条件是 。
15、威尔逊定理是 。
16、写出6的一个绝对值最小的简化系 。
17、50506666688888⨯被7除后的余数为 。
18、d （31）= 。
σ（3600）= 。
19、四位数13AA 被9整除，则A= 。
20、17X+2Y=3通解为 。
21、费尔马大定理是 。
22、写出12的一个简化系，要求每项都是5的倍数 。
23、{}4.2-= 。
24、128574.0 化为分数是 。
25、15！的标准分解是 。
26、1000到2003的所有整数中13的倍数有 个。
27、 σ（29）= .28、不能表示成y x 45+（y x ,为非负整数）的最大整数为 .29、7在2008！的标准分解式中的最高幂指数是 . 30、2005和2006的最小公倍数是 . 31、威尔逊定理是 .32、设1>x 为整数且被4、5、7除后的余数都为3，则最小的x 是 . 33、已知（a ，b ）=1，则（5a+3b ，13a+8b ）=__________.34、1，4，9，16,…10000这100个平方数中是3的倍数的平方数有 个. 35、若今天是星期日, 则1010天后的那一天是星期__________.36、20053的末二位数是________. 37、d （1200）= 。
数论专题复习题集
数论专题复习题集1、甲、乙两人各写一个三位数，发现这两个三位数有两个数字是相同的（不一定是同一个数位上的数字相同），并且它们的最大公约数是75，那么这两个三位数的和的最大值是。
2、恰有12个不同约数的最小自然数是多少？3、甲数和乙数的最大公约数是6，最小公倍数是420，如果甲数比乙数大18，那么乙数是。
4、两数乘积为2800，而且已知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多1，那么这两个数分别是、。
5、已知三个两位奇数，它们的最大公约数是1，但是两两均不互质，且三个数的最小公倍数共有18个约数，那么这三个数可以为、、。
6、最多可以写出多少个各不相同的正整数，使得其中任何3个的和都是质数？7、有一种两位数A，其1至50倍得到的50个自然数十位数字与个位数字总不相同，那么这个两位数可以是。
8、有3个吉利数：888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得余数依次为a，a+7，a+10求这个自然数。
9、小明有200个硬币，放在桌上，一开始正面朝上，现每次选择n个硬币并翻动，目的是用最少的次数把所有硬币都翻成反面朝上，结果用了7次。
求所有这样的n的和。
10、一个自然数除以7、8、9后分别余3、5、7，而所得的三个商的和是758，这个数是。
11、甲、乙、丙三数分别为526、539、705，某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数与A除丙数所得余数的比是2：3，那么A是。
12、把一个两位数的两个数字颠倒过来得到一个新两位数，发现新两位数除以7的余数比旧两位数除以7的余数大1，那这样的两位数共有个。
13、三个两位数从小到大排成了一个公差是6的等差数列，把它们写成五进制后，每个数的各位数字之和恰好从大到小，那么这样的三个数共有组。
14、两个相差是4004的自然数，它们都是14的倍数，且各位数字之和也是14的倍数，那么满足要求的两个数最小为和。
15、有一个十位数是由0到9这十个数字组成的，而且具有这个性质，前两位组成的数能被2整除，前三位组成的数能被3整除，……，前九位组成的数能被9整除，而整个数能被10整除。
全国初中数学联赛数论题目汇编
33. (1998 联赛)1, 2, 3, · · · , 98 共 98 个自然数中, 能够表示成两整数的平方差的个数是
34. (1998 联赛) 每一本书都有一个国际书号:ABCDEF GHIJ , 其中 ABCDEF GHI 由九个数字排列而 成, J 是检查号码. 令 S = 10A + 9B + 8C + 7D + 6E + 5F + 4G + 3H + 2I ,r 是 S 除以 11 所得的 余数, 若 r 不等于 0 或 1, 则规定 J = 11 − r. (若 r = 0, 则规定 J = 0; 若 r = 1, 规定 J 用 x 表示) 现有一本书的书号是 962y 707015, 那么 y = .
20. (1990 联赛)12 , 22 , 32 , · · · , 1234567892 的和的个位数的数字是 21. (1990 联赛)[x] 表示不超过实数 x 的最大整数, 令 {x} = x − [x] 1 (1) 找出一个实数 x, 满足 {x} + { } = 1 x (2) 证明: 满足上述等式的 x, 都不是有理数.
3 29. (1997 联赛) 若正整数 x,y 满足 x2 + y 2 = 1997, 则 x + y 等于 .
30. (1997 联赛) 已知定理:“若三个大于 3 的质数,a, b, c 满足关系式 2a + 5b = c, 则 a + b + c 是整数 n 的倍数”. 试问: 上述定理中的整数 n 的最大可能值是多少? 并证明你的结论. 31. (1998 联赛) 满足 19982 + m2 = 19972 + n2 (0 < m < n < 1998) 的整数对 (m, n), 共有 32. (1998 联赛) 设平方数 y 2 是 11 个相继整数的平方和, 则 y 的最小值是 . . 个.
初等数论试题库
初等数论练习一、单项选择题1. 如果n是一个自然数，那么n(n+1)是（）。
A. 奇数B. 偶数C. 奇数或偶数D. 由n奇偶性而定2. 19983除以9后的余数是（）。
A. 1B. 2C. 3D. 03. 模10的绝对值最小的完全剩余系是（）。
A. 0，1，2，3，…8，9B. 1，2，3，…9，10C. -5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4D. 11，12，13，…19，204. 1500的标准分解式是（）。
A. 2×2×5×5×5×3B. 3×53×22C. 22×3×53D. 2×2×3×5×5×55. 有一批同样砖块，宽30cm，长45cm，至少需要这样的砖多少块，才能铺成一个正方形地面？（）A. 4B. 6C. 9D. 246. 边长为自然数，面积为30的长方形有多少个？（）A. 2B. 3C. 4D. 无数7. 一堆排球，3个3个数余2个，4个4个数余3个，问这堆排球至少有多少个?（）A. 23B. 35C. 24D. 118. 下列不定方程中是三元二次不定方程的有（）。
A. xyz=9B. 5x+6y+7z=5C. xy+5z=8D. 2x+3y=69. 若ac≡bc(mod m)，则下列正确的是( )A. a≡b(mod m)B. m|(a-b)cC. m|cD. m|(a+b)c10. 若a、b两数的和与积均为偶数，则a，b的奇偶性为( )A. a奇b偶B. a偶b奇C. 均为偶数D. 均为奇数11. 已知五位数123A5能被11整除，则A是( )A. 0B. 7C. 9D. 1812. 下列算式肯定错误的是( )A. 4569×91=415779B. 4569×92=420348C. 2376×156=370646D. 4569×29=13250113. 下列数中能表示成20和12的倍数之和的是( )A. 2B. 6C. 10D. 3614. 已知甲数除以11的余数是4，乙数除以11的余数是7，则甲、乙两数之和除以11的余数是( )A. 4B. 7C. 0D. 615. 下列答案中正确的是( )A. 〔x〕+〔y〕≤〔x+y〕B. 〔x+y〕=〔x〕+〔y〕C. 〔x〕+〔y〕＜〔x+y〕D. 〔x〕+〔y〕＞〔x+y〕16.m，n为整数，下列式子一定不可能成立的是( )A.m－n=3B.m+2n=5C.2m+n=12D.m+n=017.若a,b,c均为整数，且a+b被c整除，则下列一定成立的是( )A.c|aB.c|bC.c|a－bD.c|a2－b218.相邻两个整数之和与相邻两个整数之积分别是( )A.奇数奇数B.奇数偶数C.偶数奇数D.偶数偶数19.m为奇数时，模m的绝对最小完全剩余系是( )A.1,2,3,…,m－1,mB.－m,－(m－1),…,－2,－1C.--m12,…,－1,0,1,…m-12D.-m2,…,－1,0,1,…m21-20.下列不属于二元二次不定方程的是( )A.xy=5B.x2+y2=16C.2x2+y=8D.13442 xy+=21.11与-10以下列( )数为模时同余?A.2B.7C.10D.522.已知(a,b,c)=1,则一定有( )A.(a,b)=1B.(b,c)=1C.(a,c)=1D.((a,b),c)=123.所有不超过152的自然数中，5的倍数有( )个。
小学奥数数论(因数与倍数及整数裂项)试题及答案解析
小学奥数——因数与倍数与整数裂项一、选择题（共50小题）1.沿边长为20米的正方形花园四周每隔4米种一棵树，最多可种树()棵A.16B.18C.20D.222.一个挂钟，一点钟敲一下，两点钟敲两下，三点钟敲三下⋯⋯十二点钟敲十二下，每逢半点敲一下.这个挂钟一昼夜共敲()下.A.78B.102C.156D.1803.一根木头长24分米，要锯成4分米长的木棍.若每锯一次要3分钟，锯完一段休息2分钟，则全部锯完需要()分钟.A.23B.25C.28D.304.一块三角形地，三条边分别12米、15米、9米，每3米种一棵树，一共要种()棵树.A.9B.12C.15D.185.一根长2米的木棍，锯成每段长0.4米的木棍需要20分钟，那么锯成每段长0.5米的木棍需要()A.15分钟B.12分钟C.10分钟D.以上都不对6.一根水管锯成两段要2分钟，锯成6段要()分钟.A.6B.10C.12D.247.同学们做早操，81个同学排成一排，每相邻两个同学之间的距离相等，第一个人到最后一个人的距离时120米，相邻两个人的距离是()米.A.1B.约1.5C.1.5D.28.小明家住在9楼，他从底楼走到3楼用了1分钟，那么它从底楼走到9楼要用()分钟.A.4.5B.4C.3.5D.3E.2.59.奶奶出去散步，从第一根电线杆处走到第十根电线杆处共用了18分钟，照这个速度奶奶走了36分钟，她走到了第()根电线杆处.A.18B.19C.20D.2110.时钟3点敲3下，6秒钟敲完；那么7点敲7下，()秒钟敲完.A.10B.12C.14D.1811.在一座长1000米的长江大桥两边挂彩灯，起点和终点都挂，一共挂了202盏（相邻两盏之间的距离相等）.则相邻两盏彩灯之间的距离是()米.A.8B.9C.10D.1112.分母小于60，分子不大于6的最简真分数有()个.A.59B.87C.197D.21513.a，b和c是三个非零自然数，在a b c=⨯中，能够成立的说法是()A.b和c是互质数B.b和c都是a的质因数C.b和c都是a的约数D.b一定是c的倍数14.三个不同正整数的和为564，其中一个数除以3余数为1，另一个数除以5的余数为3，第三个数除以7的余数为5，商都相同，则相同的商为()A.15B.21C.35D.3715.商店有三种糖，甲种糖每袋1.5千克，乙种糖每袋2千克，丙种糖每袋2.5千克，为了方便顾客，将大袋改为小袋，把它们全改为0.5千克的小袋，这样奶糖正好装了126袋，水果糖正好装104袋，酥糖正好205袋，原来的甲、乙、丙三种糖的品种依次是()A.酥糖、水果糖、奶糖B.奶糖、水果糖、酥糖C.奶糖、酥糖、水果糖D.水果糖、奶糖、酥糖16.如图，在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米设计一个速度限制标志，而且从10千米处开始，每隔9千米设一个测速照相标志，则刚好在19千米处同时设置这两标志.那么，下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是()A.32B.37C.55D.9017.你能根据以下的线索找出百宝箱的密码吗？（1）密码是一个八位数；（2）密码既是3 的倍数又是25 的倍数；（3）这个密码在20000000 到30000000 之间；（4）百万位与十万位上的数字相同；（5）百位数字比万位数字小2；（6）十万位、万位、千位上数字组成的三位数除以千万位、百万位上数字组成的两位数，商是25.依据上面的条件，推理出这个密码应该是()A.25526250B.26650350C.27775250D.2887035018.从1~11这11个整数中任意取出6个数，则下面结论正确的共()个.①其中必有两个数互质；②其中必有一个数是其中另一个数的倍数；③其中必有一个数的2倍是其中另一个数的倍数.A.3B.2C.1D.019.如果20132013201420142012nm⨯=⨯+（其中m与n为互质的自然数），那么m n+的值是()A.1243B.1343C.4025D.402920.某班有50多人上体育课，他们站成一排，老师让他们按1，2，3，4，5，6，7循环报数，最后一人报的数是4，这个班有()人上体育课.A.51B.50C.53D.5721.两个数的最大公约数是20，最小公倍数是100，下面说法正确的有()个.（1）两个数的乘积是2000.（2）两个数都扩大10倍，最大公约数扩大100倍.（3）两个数都扩大10倍，最小公倍数扩大10倍.（4）两个数都扩大10倍，两个数乘积扩大100倍.A.1B.2C.3D.422.用四个数码1，3，4和6所组成的没有重复数字的所有整数中，是6的倍数的有( )A.1B.2C.3D.423.若干位小朋友排成一行，从左面第一个人开始，每隔2人发一个苹果，从右面第一人开始，每隔4人发一个桔子，结果有10个小朋友苹果和桔子都拿到了，那么这些小朋友最多有()人.A.16B.31C.158D.16624.一个电子钟，每9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午12点时，电子钟恰好又亮灯又响铃，问下次既亮灯又响铃是()A.2点B.3点C.4点D.5点25.在一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右至左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，那么，长度是1厘米的短木棍有()条.A.7B.8C.9D.1026.一根长木棍上刻有三种刻度，第一种刻度将木棍十等分，第二种刻度将木棍十二等分，第三种刻度将木棍十五等分，如果沿每条刻度线将木棍锯开，木棍总共被锯成()A.20段B.24段C.28段D.30段27.某加油站有二位员工，从今年l月1日起规定：员工甲每工作3天后休息1天，员工乙每工作5天后休息2天，当遇到二人都休息时，必须另聘一位临时工，则今年共有()天要聘1个时工.A.26B.28C.30D.2428.一条公路由A经B到C.已知A、B相距280米，B、C相距315米.现要在路边植树，要求相邻两树间的距离相等.并在B点及AB、BC的中点上都要植一棵.那么两树间距离最多有()A.35米B.36米C.17.5米D.18米29.如图，在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米设计一个速度限制标志，而且从10千米处开始，每隔9千米设一个测速照相标志，则刚好在19千米处同时设置这两标志.那么，下一个同时设置这两种标志的地点是()A.32千米处B.37千米处C.55千米处D.90千米处30.有两个二位数，它们的最大公约数8，最小公倍数是96，这两个数的和是()A.56B.78C.84D.9631.在老区和新区之间一条路上安排公交站点，第一种安排将道路分成十等份；第二种安排将道路分成十二等份；第三种安排将道路分成十五等份.这三种安排分别通过三路不同的公交车实现，则此道路上其有多少个公交站点？（含起点和终点）()A.27B.29C.32D.3732.有两个合数是互质数，它们的最小公倍数是210，这样的数有()对.A.1B.2C.3D.433.如果a、b的最大公因数是21，那么a和b的公因数有()个.A.2B.3C.4D.534.同学们栽树，每行栽5棵，到最后一行只栽了4棵树，那么这些树的棵数是()A.5的倍数B.4的倍数C.5的倍数多4D.4的倍数多535.标有1到200的200张数字卡片，任意抽一张，号码是3的倍数的可能性是()A.33100B.67100C.310D.不确定36.7和8的最小公倍数是()A.1B.56C.11237.一块红砖长25厘米，宽15厘米，用这样的红砖拼成一个正方形最少需要多少块？( )A.15B.12C.75D.838.小丽用一排地砖创造了一种跳跃游戏.她将地砖标上l，2，3，4，⋯并沿这一排地砖跳跃，每两块地砖着地一次，第一步落在第2块地砖上，最后停在倒数第2块地砖上.转身后她从倒数第2块地砖开始向回跳跃，这一次是每三块地砖着地一次，最后停在第l块地砖上.最后她又转身从第l块地砖开始跳跃，每五块地砖着地一次.这一次她又停在倒数第2块地砖上.那么这一排地砖共有()块（从下列选项中选出符合条件的答案）.A.39B.40C.47D.49E.5339.a、b和c是三个自然数，在a b c=⨯中，不一定成立的是()A.a一定是b的倍数B.a一定能被b整除C.a一定是b和c的最小公倍数D.b一定是a的约数40.一个圆的直径缩小2倍，周长与面积分别缩小()A.2倍与4倍B.2倍与2倍C.4倍与4倍D.4倍与2倍41.下列四组数中，两个数只有公约数1的数是()A.13和91B.21和51C.34和51D.15和2842.五楼的王老师病了，小孙帮王老师送早点，从一楼到二楼用了34分钟，用同样的速度从一楼走到五楼王老师家要用( )分钟.A.154B.3C.203D.以上都不对43.校园内有一圆形花坛，花坛周围一共种了15棵月季花，每两棵月季花的距离都是2米，那么花坛的周长是( )A.30B.3C.28D.1544.奶奶折一个纸鹤用3分钟，每折好一个需要休息1分钟，奶奶从2时30分开始折，她折好第5个纸鹤时已经到了( )A.2时45分B.2时49分C.2时50分D.2时53分45.小明在正方形的边上标出若干个点，每条边上恰有3个，那么所标出的点最少有( )个.A.12B.10C.8D.646.一个木工锯一根长22米的木料，他先把一头损坏的部分锯下来2米，然后锯了4次，锯成同样长的短木条，每根短木条长( )米.A.2B.3C.4D.547.把25分拆成若干个不同正整数的和，其积的最大值设为A ，把26分拆成若干个不同正整数的和，其积的最大值设为B ，则(A B ) A.2526 B.78 C.56 D.1848.把自然数154写成若干个连续自然数之和（最少有两个数），共有( )种不同写法.A.2B.3C.4D.549.如图所示，将15个点排成三角形点阵或者梯形点阵共有3种不同方法（规定：相邻两行的点数均差1).那么将2014个点排成三角形点阵或者梯形点阵（至少两层）共有( )种不同的方法.A.3B.7C.4D.950.式子20141x为整数，则正整数x有()种取值.A.6B.7C.8D.9参考答案与试题解析一、选择题（共50小题）1.沿边长为20米的正方形花园四周每隔4米种一棵树，最多可种树()棵A.16B.18C.20D.22【解析】根据题意得⨯÷2044=÷804=（棵)20故选：C.2.一个挂钟，一点钟敲一下，两点钟敲两下，三点钟敲三下⋯⋯十二点钟敲十二下，每逢半点敲一下.这个挂钟一昼夜共敲()下.A.78B.102C.156D.180【解析】根据题意得+++⋯++⨯(1231212)2=⨯902=（下)180故选：D.3.一根木头长24分米，要锯成4分米长的木棍.若每锯一次要3分钟，锯完一段休息2分钟，则全部锯完需要()分钟.A.23B.25C.28D.30【解析】2446÷=（段)615-=（次)⨯=（分钟）5315⨯-=（分钟）2(51)815823+=（分钟）答：全部锯完需要23分钟.故选：A.4.一块三角形地，三条边分别12米、15米、9米，每3米种一棵树，一共要种()棵树.A.9B.12C.15D.18【解析】根据题意得(12159)3++÷=÷363=（棵)12故选：B.5.一根长2米的木棍，锯成每段长0.4米的木棍需要20分钟，那么锯成每段长0.5米的木棍需要()A.15分钟B.12分钟C.10分钟D.以上都不对【解析】20.45÷=（段)÷-20(51)=÷204=（分)5÷=（段)20.54⨯-5(41)=⨯53=（分钟）15答：需要15分钟.故选：A.6.一根水管锯成两段要2分钟，锯成6段要()分钟.A.6B.10C.12D.24【解析】2(21)(61)÷-⨯-=÷⨯215=（分钟）10答：锯成6段要10分钟；故选：B.7.同学们做早操，81个同学排成一排，每相邻两个同学之间的距离相等，第一个人到最后一个人的距离时120米，相邻两个人的距离是()米.A.1B.约1.5C.1.5D.2【解析】如果把人看做一个点，120(811)÷-=÷120801.5=（米)所以应该是约1.5米，但不是1.5米答：相邻两个人约隔1.5米.故选：B.8.小明家住在9楼，他从底楼走到3楼用了1分钟，那么它从底楼走到9楼要用()分钟.A.4.5B.4C.3.5D.3E.2.5【解析】1(31)(91)÷-⨯-=÷⨯128=（分钟）；4答：它从底楼走到9楼要用4分钟.故选：B.9.奶奶出去散步，从第一根电线杆处走到第十根电线杆处共用了18分钟，照这个速度奶奶走了36分钟，她走到了第()根电线杆处.A.18B.19C.20D.21【解析】18(101)2÷-=（分钟）÷+=（根)362119答：奶奶36分钟走到了第19根电线杆处.10.时钟3点敲3下，6秒钟敲完；那么7点敲7下，()秒钟敲完.A.10B.12C.14D.18【解析】根据分析可得，÷-⨯-，6(31)(71)=⨯，3618=（秒)；答：7点敲7下，18秒钟敲完.故选：D.11.在一座长1000米的长江大桥两边挂彩灯，起点和终点都挂，一共挂了202盏（相邻两盏之间的距离相等）.则相邻两盏彩灯之间的距离是()米.A.8B.9C.10D.11【解析】大桥一边挂彩灯的数量：2022101÷=（盏)灯与灯之间的间隔数：1011100-=（个)相邻2盏彩灯的距离：100010010÷=（米)，故选：C.12.分母小于60，分子不大于6的最简真分数有()个.A.59B.87C.197D.215【解析】根据题意可得：①当分子是1时，分母可以从2到59，共58个；②当分子是2、3、5时，因为他们都是质数，因此分母必须大于分子，且不是分子的倍数，当分子是2时，在1到59之间有偶数29个130+=个数不符合条件，所以有593029-=个；当分子是3时，在1到59之间有3的倍数18个321+=个，所以有592138-=个；当分子是5时，在1到59之间是5的倍数的11个415+=个，所以591544-=个；③因为当分子是4时是合数，分母不能为偶数，在1到59之间有偶数29个231+=，所以有593128-=个；④分子是6时，6是合数，分母不能为偶数，在1到59之间有偶数29个231+=个，又不能是3的倍数，1至59之间不是偶数且是3的倍数有10个，则所以共有--=个.59311018所以分子不大于6而分母小于60的不可约真分数有：582938442818215+++++=（个).故选：D.13.a，b和c是三个非零自然数，在a b c=⨯中，能够成立的说法是()A.b和c是互质数B.b和c都是a的质因数C.b和c都是a的约数D.b一定是c的倍数【解析】A、比如1226=⨯，2和6不互质，所以b和c是互质数的说法错误；B、比如4886=⨯，8和6不是48的质因数，所以b和c都是a的质因数的说法错误；C、因为a b c=⨯，所以b和c都是a的因数，所以b和c都是a的约数的说法正确；D、比如4886=⨯，8就不是6的倍数，所以b一定是c的倍数的说法错误；故选：C.14.三个不同正整数的和为564，其中一个数除以3余数为1，另一个数除以5的余数为3，第三个数除以7的余数为5，商都相同，则相同的商为()A.15B.21C.35D.37【解析】---÷++=(564135)(357)37故选：D.15.商店有三种糖，甲种糖每袋1.5千克，乙种糖每袋2千克，丙种糖每袋2.5千克，为了方便顾客，将大袋改为小袋，把它们全改为0.5千克的小袋，这样奶糖正好装了126袋，水果糖正好装104袋，酥糖正好205袋，原来的甲、乙、丙三种糖的品种依次是()A.酥糖、水果糖、奶糖B.奶糖、水果糖、酥糖C.奶糖、酥糖、水果糖D.水果糖、奶糖、酥糖【解析】由题意，甲种糖一袋改3小袋，乙种糖一袋改4小袋，丙种糖一袋改5小袋，因为奶糖正好装了126袋，水果糖正好装104袋，酥糖正好205袋，而126能被3整除，104能被4整除，205能被5整除，所以甲、乙、丙三种糖的品种依次是奶糖、水果糖、酥糖，故选：B.16.如图，在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米设计一个速度限制标志，而且从10千米处开始，每隔9千米设一个测速照相标志，则刚好在19千米处同时设置这两标志.那么，下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是()A.32B.37C.55D.90【解析】同时经过两种设施时的里程数减3后，应是4的倍数，减10以后应是9的倍数.在19千米处第一次同时经过这两种设施，所以从这里开始以后再次经过这两种设施时，行驶的路一定是4和9的最小公倍数，所以第二次同时经过这两种设施时的里程数为194955+⨯=千米.故选：C.17.你能根据以下的线索找出百宝箱的密码吗？（1）密码是一个八位数；（2）密码既是3 的倍数又是25 的倍数；（3）这个密码在20000000 到30000000 之间；（4）百万位与十万位上的数字相同；（5）百位数字比万位数字小2；（6）十万位、万位、千位上数字组成的三位数除以千万位、百万位上数字组成的两位数，商是25.依据上面的条件，推理出这个密码应该是()A.25526250B.26650350C.27775250D.28870350【解析】（1）四个选项都是8位数；（2）四选项都是25的倍数，C的数字和是35不是3的倍数.排除C；（3）都满足条件；（4）都满足条件；（5）A，D相等不满足条件；（6）B满足条件.故选：B.18.从1~11这11个整数中任意取出6个数，则下面结论正确的共()个.①其中必有两个数互质；②其中必有一个数是其中另一个数的倍数；③其中必有一个数的2倍是其中另一个数的倍数.A.3B.2C.1D.0【解析】根据上面的分析可知：从1~11这11个整数中任意取出6个数，①其中必有两个数互质；此说法正确.③其中必有一个数的2倍是其中另一个数的倍数.此说法正确.故选：B.19.如果20132013201420142012n m⨯=⨯+（其中m 与n 为互质的自然数），那么m n +的值是( )A.1243B.1343C.4025D.4029 【解析】2013201320136712014201420122016672n m ⨯===⨯+， 所以671n =，672m =，1343m n +=.故选：B .20.某班有50多人上体育课，他们站成一排，老师让他们按1，2，3，4，5，6，7循环报数，最后一人报的数是4，这个班有( )人上体育课.A.51B.50C.53D.57【解析】接近50的7的倍数有：49和56，49453+=，56460+=不符合题意，所以这个班有53人上体育课.故选：C .21.两个数的最大公约数是20，最小公倍数是100，下面说法正确的有( )个.（1）两个数的乘积是2000.（2）两个数都扩大10倍，最大公约数扩大100倍.（3）两个数都扩大10倍，最小公倍数扩大10倍.（4）两个数都扩大10倍，两个数乘积扩大100倍.A.1B.2C.3D.4【解析】根据题意，可知这两个数分别是20和100；（1）201002000⨯=，所以两个数的乘积是2000，所以原说法正确的；（2）两个数都扩大10倍，最大公约数变为2010200⨯=，是扩大了10倍，所以原说法错误；（3）两个数都扩大10倍，最小公倍数变为100101000⨯=，是扩大了10倍，所以原说法正确；（4）两个数都扩大10倍，变为200和1000，乘积变为200000，也即两个数乘积扩大100倍，所以原说法正确；正确的说法有3个.故选：C .22.用四个数码1，3，4和6所组成的没有重复数字的所有整数中，是6的倍数的有( )A.1B.2C.3D.4【解析】由分析可知，用四个数码1，3，4和6所组成的没有重复数字的所有整数中，是6的倍数的有36和6这两个数.故选：B.23.若干位小朋友排成一行，从左面第一个人开始，每隔2人发一个苹果，从右面第一人开始，每隔4人发一个桔子，结果有10个小朋友苹果和桔子都拿到了，那么这些小朋友最多有()人.A.16B.31C.158D.166【解析】每(21)(41)15+⨯+=人就会有1人拿到两种水果.先让12人拿到两种水果，并且在这一行中，两端的两人都拿到了两种水果，因此共：15111166⨯+=（人)；然后从两端去掉最少的人就可以了，要满足左方第一个是苹果，那么左方最少去掉3人，要满足右方第一个拿到橘子，那么右方最少去掉5人；所以最多有：16653158--=（人)；答：这些小朋友最多有158人.故选：C.24.一个电子钟，每9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午12点时，电子钟恰好又亮灯又响铃，问下次既亮灯又响铃是()A.2点B.3点C.4点D.5点【解析】因为9和60的最小公倍数是180，所以180分后既亮灯又响铃，180分钟3=小时；12时3=时；+时15答：在下午3点既亮灯又响铃.故选：B.25.在一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右至左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，那么，长度是1厘米的短木棍有()条.A.7B.8C.9D.10【解析】从左往右每隔6厘米染的红点全是6的倍数，从右往左每隔5厘米染红点，100除以5能除尽，说明从左往右和从右往左是一样的，都是5的倍数.只要找出5厘米的倍数和6厘米的倍数就可以.100以内5的倍数是：5，10，15，20，25，30，35，40，45，50，55，60，65，70，75，80，85，90，95，100.100以内6的倍数是：6，12，18，24，30，36，42，48，54，60，66，72，78，84，90，96，5的倍数和6的倍数相差1的是：5和6，24和25，36和35，54和55，65和66，84和85，95和96，所以共有7段长1cm的短木棍.故选：A.26.一根长木棍上刻有三种刻度，第一种刻度将木棍十等分，第二种刻度将木棍十二等分，第三种刻度将木棍十五等分，如果沿每条刻度线将木棍锯开，木棍总共被锯成()A.20段B.24段C.28段D.30段【解析】由于10、12、15的最小公倍数是60，假定这根木棍的长为60.于是，各等分的刻度线的标记处是：十等分：6、12、18、24、30、36、42、48、54、60.十二等分：5、10、15、20、25、30、35、40、45、50、55、60.十五等分：4、8、12、16、20、24、28、32、36、40、44、48、52、56、60.这样，把有三个刻度线标记处重合的(60)去掉，把有两个刻度线标记处的(12、24、36、48、20、30、40)只算一个，然后在4、5、6、8、10、12、15、16、18、20、24、25、28、30、32、35、36、40、42、44、45、48、50、52、54、55、56处将木棍锯断，共锯了27次.根据植树问题的原理可知：这根木棍共锯成27128+=（段).故选：C.27.某加油站有二位员工，从今年l月1日起规定：员工甲每工作3天后休息1天，员工乙每工作5天后休息2天，当遇到二人都休息时，必须另聘一位临时工，则今年共有()天要聘1个时工.A.26B.28C.30D.24【解析】解；甲每到4的倍数就休息，而乙每到7的倍数和比7的倍数少一天都休息.因为4和7的最小公倍数是28，因为今年是平年，所以在28的倍数休息的日子时；÷=⋯（天)，36528131而每个28天中，第20天和第28天两人都休息，所以全年共有13226⨯=（天)需要聘请临时工.故选：A.28.一条公路由A经B到C.已知A、B相距280米，B、C相距315米.现要在路边植树，要求相邻两树间的距离相等.并在B点及AB、BC的中点上都要植一棵.那么两树间距离最多有()A.35米B.36米C.17.5米D.18米【解析】因为157.5140117.5÷=⋯，14017.58÷=，所以140和157.5这两个数的最大公约数就是17.5.答：两树间距离最多有17.5米.故选：C.29.如图，在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米设计一个速度限制标志，而且从10千米处开始，每隔9千米设一个测速照相标志，则刚好在19千米处同时设置这两标志.那么，下一个同时设置这两种标志的地点是()A.32千米处B.37千米处C.55千米处D.90千米处【解析】同时经过两种设施时的里程数减3后，应是4的倍数，减10以后应是9的倍数.在19km处第一次同时经过这两种设施，所以从这里开始以后再次经过这两种设施时，行驶的路一定是4和9的公倍数，所以第二次同时经过这两种设施时的里程数为194955km+⨯=.故选：C.30.有两个二位数，它们的最大公约数8，最小公倍数是96，这两个数的和是()A.56B.78C.84D.96【解析】8222=⨯⨯，=⨯⨯⨯⨯⨯，96222223所以这两个最大公约数8，最小公倍数是96的二位数只能是2222232⨯⨯⨯⨯=和⨯⨯⨯=；222324这两个二位数的和是：322456+=；故选：A.31.在老区和新区之间一条路上安排公交站点，第一种安排将道路分成十等份；第二种安排将道路分成十二等份；第三种安排将道路分成十五等份.这三种安排分别通过三路不同的公交车实现，则此道路上其有多少个公交站点？（含起点和终点）()A.27B.29C.32D.37【解析】第一种安排：10个站点；第二种安排：12个站点；第三种安排：15个站点.其中，三种安排的起点终点是相同的，要减掉4个站点又，第一种安排和第二种安排有一个站点重合，减掉1个站点（因为10和12在100以内只有一个公倍数60)第二种安排和第三种安排有一怠伐糙和孬古茬汰长咯个站点重合，减掉1个站点（因为12和15在100以内只有一个公倍数60)第一种安排和第三种安排有三个站点重合，减掉2个站点(10和15在100以内有三个公倍数30、60、90，其中60已经减过一次）所以总共是29个站点.故选：B.32.有两个合数是互质数，它们的最小公倍数是210，这样的数有()对.A.1B.2C.3D.4【解析】根据题干分析可得：=⨯⨯⨯，2102357符合题意的两个合数为：⨯；23⨯和57⨯；⨯和3725⨯；27⨯和35共有3对.故选：C.33.如果a、b的最大公因数是21，那么a和b的公因数有()个.A.2B.3C.4D.5【解析】a和b的公因数有1、3、7、21，共有4个；故选：C.34.同学们栽树，每行栽5棵，到最后一行只栽了4棵树，那么这些树的棵数是()A.5的倍数B.4的倍数C.5的倍数多4D.4的倍数多5【解析】根据分析可得，树的总棵数5=⨯行数4+，即树的总棵数比5的倍数多4；故选：C.35.标有1到200的200张数字卡片，任意抽一张，号码是3的倍数的可能性是()A.33100B.67100C.310D.不确定【解析】标有1到200的200张数字卡片，是3的倍数的有198366÷=个，可能性为：33 66200100÷=；答：号码是3的倍数的可能性是33 100；故选：A.36.7和8的最小公倍数是()A.1B.56C.112【解析】7和8的最小公倍数是；7856⨯=；故选：B.37.一块红砖长25厘米，宽15厘米，用这样的红砖拼成一个正方形最少需要多少块？( )A.15B.12C.75D.8【解析】(7525)(75150)÷⨯÷35=⨯15=（块)；答：用这样的红砖拼成一个正方形最少需要15块.故选：A.38.小丽用一排地砖创造了一种跳跃游戏.她将地砖标上l，2，3，4，⋯并沿这一排地砖跳跃，每两块地砖着地一次，第一步落在第2块地砖上，最后停在倒数第2块地砖上.转身后她从倒数第2块地砖开始向回跳跃，这一次是每三块地砖着地一次，最后停在第l块地砖上.最后她又转身从第l块地砖开始跳跃，每五块地砖着地一次.这一次她又停在倒数第2块地砖上.那么这一排地砖共有()块（从下列选项中选出符合条件的答案）.A.39B.40C.47D.49E.53【解析】第一次：因为每两块地砖着地一次，第一步落在第2块地砖上，最后停在倒数第2块地砖上，所以地砖数是2的倍数加上1；第二次：因为倒数第2块地砖开始向回跳跃，这一次是每三块地砖着地一次，最后停在第l块地砖上，所以地砖数是3的倍数减去1；第三次：因为从第l块地砖开始跳跃，每五块地砖着地一次.这一次她又停在倒数第2块地砖上，所以地砖数是5的倍数加上2；在答案39，40，47，49，53中，只有47符合要求；故选：C.39.a、b和c是三个自然数，在a b c=⨯中，不一定成立的是()A.a一定是b的倍数B.a一定能被b整除C.a一定是b和c的最小公倍数D.b一定是a的约数【解析】A、因为a b c=⨯，所以a一定是b的倍数，正确；B、因为a b c=⨯，所以a b c÷=，a一定能被b整除，正确；=⨯，a一定是b和c的最小公倍数，不成立；C、a b cD、a b c=⨯，所以a b c÷=，b一定是a的约数.故选：C.40.一个圆的直径缩小2倍，周长与面积分别缩小()A.2倍与4倍B.2倍与2倍C.4倍与4倍D.4倍与2倍【解析】根据圆的周长和面积公式可知，圆的周长和半径成正比例，圆的面积与半径的平方成正比例，所以圆的直径缩小2倍，即圆的半径缩小2倍，则圆的周长缩小2倍，圆的面积就缩小2=倍，24故选：A.41.下列四组数中，两个数只有公约数1的数是()A.13和91B.21和51C.34和51D.15和28【解析】A，13是质数，91713=⨯，它们的最大公因数是13；B，2137=⨯，51317=⨯，它们的最大公因数是3；C，34217=⨯，51317=⨯，它们的最大公因数是17；D，1535=⨯，28227=⨯⨯，它们的公因数只有1.故选：D.42.五楼的王老师病了，小孙帮王老师送早点，从一楼到二楼用了34分钟，用同样的速度从一楼走到五楼王老师家要用()分钟.A.154B.3C.203D.以上都不对【解析】3(51) 4⨯-344=⨯3=（分钟）答：用同样的速度从一楼走到五楼王老师家要用3分钟.故选：B.43.校园内有一圆形花坛，花坛周围一共种了15棵月季花，每两棵月季花的距离都是2米，那么花坛的周长是()A.30B.3C.28D.15【解析】根据题意可知：花坛的周长15230=⨯=（米)；故选：A.44.奶奶折一个纸鹤用3分钟，每折好一个需要休息1分钟，奶奶从2时30分开始折，她折好第5个纸鹤时已经到了()A.2时45分B.2时49分C.2时50分D.2时53分【解析】1(51)4⨯-=（分钟）3515⨯=（分钟）2时30分4+分钟15+分钟2=时49分答：她折好第5个纸鹤时已经到了2时49分；故选：B.45.小明在正方形的边上标出若干个点，每条边上恰有3个，那么所标出的点最少有(。
小学数论试题及答案
小学数论试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 一个数是3的倍数，那么这个数的各位数字之和一定是3的倍数。
这个说法是：A. 正确B. 错误2. 以下哪个数是质数？A. 4B. 9C. 11D. 153. 两个连续的自然数相加，和一定是：A. 质数B. 合数C. 偶数D. 奇数4. 一个数的因数的个数是有限的，那么这个数是：A. 质数B. 合数C. 偶数D. 奇数5. 一个数的倍数的个数是无限的，那么这个数是：A. 质数B. 合数C. 偶数D. 奇数6. 一个数的约数中最大的一个是它本身，那么这个数是：A. 质数B. 合数C. 偶数D. 奇数7. 以下哪个数是2的倍数？A. 23B. 37C. 42D. 598. 一个数是5的倍数，那么这个数的个位数字一定是：A. 0B. 2C. 5D. 89. 一个数是3的倍数，那么这个数的各位数字之和一定是：A. 3的倍数B. 2的倍数C. 5的倍数D. 7的倍数10. 以下哪个数是3的倍数？A. 123B. 234C. 345D. 456二、填空题（每题4分，共20分）1. 一个数的最小倍数是______。
2. 一个数的最大因数是______。
3. 一个数的因数的个数是______的。
4. 一个数的倍数的个数是______的。
5. 一个数的约数中最大的一个是______。
三、解答题（每题10分，共50分）1. 证明：如果一个数是偶数，那么它的倍数也是偶数。
2. 证明：如果两个数都是质数，那么它们的和一定是偶数。
3. 证明：如果一个数是3的倍数，那么这个数的各位数字之和也是3的倍数。
4. 证明：如果一个数是5的倍数，那么这个数的个位数字一定是0或5。
5. 证明：如果一个数是质数，那么它只有两个因数。
答案：一、选择题1. A2. C3. B4. B5. B6. A7. C8. C9. A10. A二、填空题1. 它本身2. 它本身3. 有限4. 无限5. 它本身三、解答题1. 证明：如果一个数是偶数，那么它可以表示为2n（n为整数）。
数论初步
数论初步1、六位数2003□□能被99整除，它的最后两位数是。
2、有一个三位数等于它的各位数字和的42倍，这个三位数是。
3、下面这个199位整数：1001001001…1001 被13除，余数是多少？4、一个数的20倍减1能被153整除，这样的自然数中最小的是-----。
5、一个三位自然数正好等于它各数位上的数字和的18倍。
这个三位自然数是----。
6、三个连续自然数的和能被13整除，且三个数中最大的数被9除余4，那么符合条件的最小的三位数是----，----，----。
7、如果20052005…200501能被11整除，那么N的最小值是-------。
8、有一个六位数，前四位是2857，即2857□□，这六位数能被11和13整除，请你算出后两位数。
9、在下面的方框中各填入一个数字，是六位数11□□11能被17和19整除，那么方框中的两位数是------。
10、将1996加一个整数，使和能被23与19整除，加的整数要尽可能的小，那么所加的整数是------。
11、用数字6,7,8各两个，组成一个六位数，使它们能被168整除。
这个六位数是-----。
12、在算式□+91=○中，已知□盖住的是一个能被9整除的两位数，○盖住的是7的倍数。
问：○盖住的数是多少？13、若四位数9A8A能被15整除，则A代表的数字是--------。
14、如果有一个九位数A19 993 11B能被72整除，试求A、B 两数的差。
（大减小）15、设A、B使得六位数A2000B能被26整除。
所有这样的6位数是-------。
16、一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称为“十全数”，例如，3 785 942 160就是一个十全数。
现已知一个十全数能被1,2,3，…，18整除，并且它的前四位数是4876，那么这个十全数是------。
17、包含0，1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字的十位数称为“十全数”，如果某个“十全数”同时满足下列要求：（1）它能分别被1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12整除。
数论经典50题
【分析】令这个三位数为 a0b ，则由题意可知， 100a b 67(a b) ，可得 a 2b ，而调换个位和 百位之后变为： b0a 100b a 102b ，而 a b 3b ，则得到的新三位数是它的各位数字之和的
13. （2009 年西城实验小升初试题）若三个不同的质数 ab2c a 2006 .求 a b c 的值.
因数与倍数
14. （2010 年第 8 届希望杯 6 年级 2 试试题）张老师带领六（1）班的学生会种树，学生恰好可平均 分成 5 组，已知师生每人种的树一样多，共种树 527 棵，则六（1）的学生有_____人。
14. （2010 年 9 月 101 中学小升初试题） [a]表示不超过 a 的最大整数， 称为 a 的整数部分， 例如： [0]=0, [0.03]=0, [10.98]=10, 那么数列 [ 相同的数
12 22 32 42 20102 ],[ ],[ ],[ ],......[ ] 中共出现了_______个互不 2010 2010 2010 2010 2010
等首位是 2 ，个位 。
9.
六位数 20□□08 能被 99 整除，□□是
.
10. 在小于 5000 的自然数中，能被 11 整除，并且数字和为 13 的数，共有
个．
3 2010 年数论经典 50 题
质数、合数
11. （2010 年十一学校试题）与 6 互质的最小的合数是多少？
12. （2010 年“数学解题能力展示”六年级初试第 5 题）用 0～9 这 10 个数字组成若干个合数，每个数 字都恰好用一次，那么这些合数之和的最小值是________．
数论专题复习题集学习资料
数论专题复习题集1、甲、乙两人各写一个三位数，发现这两个三位数有两个数字是相同的（不一定是同一个数位上的数字相同），并且它们的最大公约数是75，那么这两个三位数的和的最大值是。
2、恰有12个不同约数的最小自然数是多少？3、甲数和乙数的最大公约数是6，最小公倍数是420，如果甲数比乙数大18，那么乙数是。
4、两数乘积为2800，而且已知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多1，那么这两个数分别是、。
5、已知三个两位奇数，它们的最大公约数是1，但是两两均不互质，且三个数的最小公倍数共有18个约数，那么这三个数可以为、、。
6、最多可以写出多少个各不相同的正整数，使得其中任何3个的和都是质数？7、有一种两位数A，其1至50倍得到的50个自然数十位数字与个位数字总不相同，那么这个两位数可以是。
8、有3个吉利数：888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得余数依次为a，a+7，a+10求这个自然数。
9、小明有200个硬币，放在桌上，一开始正面朝上，现每次选择n个硬币并翻动，目的是用最少的次数把所有硬币都翻成反面朝上，结果用了7次。
求所有这样的n的和。
10、一个自然数除以7、8、9后分别余3、5、7，而所得的三个商的和是758，这个数是。
11、甲、乙、丙三数分别为526、539、705，某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数与A除丙数所得余数的比是2：3，那么A是。
12、把一个两位数的两个数字颠倒过来得到一个新两位数，发现新两位数除以7的余数比旧两位数除以7的余数大1，那这样的两位数共有个。
13、三个两位数从小到大排成了一个公差是6的等差数列，把它们写成五进制后，每个数的各位数字之和恰好从大到小，那么这样的三个数共有组。
14、两个相差是4004的自然数，它们都是14的倍数，且各位数字之和也是14的倍数，那么满足要求的两个数最小为和。
15、有一个十位数是由0到9这十个数字组成的，而且具有这个性质，前两位组成的数能被2整除，前三位组成的数能被3整除，……，前九位组成的数能被9整除，而整个数能被10整除。
七年级奥数思维训练100题
七年级奥数思维训练100题姓名：__________ 班级：__________ 得分：__________一、数论问题（20 题）1.一个数除以 10 余 7，除以 12 余 9，这个数最小是多少？2.有一个整数，除 450、420、390 得到相同的余数，这个整数是多少？3.两个数的最大公因数是 20，最小公倍数是 120，求这两个数。
4.一个数被 6、7、8 除都余 1，这个数最小是多少？5.三个连续自然数的乘积是 504，这三个数分别是多少？6.一个数既是 11 的倍数，又是 13 的倍数，这个数最小是多少？7.两个数的最大公因数是 12，最小公倍数是 72，求这两个数。
8.一个数除以 8 余 5，除以 10 余 7，这个数最小是多少？9.有一个整数，除 70、84、98 得到相同的余数，这个整数是多少？10.三个连续奇数的和是 63，这三个奇数分别是多少？11.一个数既是 9 的倍数，又是 12 的倍数，还是 15 的倍数，这个数最小是多少？12.两个数的最大公因数是 8，最小公倍数是 80，求这两个数。
13.一个数除以 9 余 6，除以 11 余 8，这个数最小是多少？14.有一个整数，除 54、66、78 得到相同的余数，这个整数是多少？15.三个连续偶数的和是 84，这三个偶数分别是多少？16.一个数除以 7 余 4，除以 9 余 6，除以 11 余 8，这个数最小是多少？17.有一个整数，除 80、96、112 得到相同的余数，这个整数是多少？18.两个数的最大公因数是 14，最小公倍数是 98，求这两个数。
19.一个数除以 10 余 8，除以 12 余 10，这个数最小是多少？20.三个连续奇数的乘积是 315，这三个奇数分别是多少？二、几何问题（30 题）21.一个三角形的三边长分别为 8 厘米、10 厘米、12 厘米，求这个三角形的面积。
22.一个正方形的边长增加 5 厘米后，面积变为 169 平方厘米，原正方形的边长是多少？23.一个长方形的长是宽的 4 倍，周长是 60 厘米，求这个长方形的面积。
02013初等数论练习题及答案
02013初等数论练习题及答案初等数论练习题一一、填空题1、?(2420)=27；?(2420)=_880_2、设a，n是大于1的整数，若an-1是质数，则a=_2.3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4}.4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x≡11(mod 37)。
5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t，y=700+18t t?Z。
.6、分母是正整数m的既约真分数的个数为_?(m)_。
7、18100被172除的余数是_256 。
8、??65?? = -1 。
?103?9、若p是素数，则同余方程x p ? 1 ?1(mod p)的解数为 p-1 。
二、计算题1、解同余方程：3x2?11x?20 ? 0 (mod 105)。
解：因105 = 3?5?7，同余方程3x2?11x?20 ? 0 (mod 3)的解为x ? 1 (mod 3)，同余方程3x2?11x?38 ? 0 (mod 5)的解为x ? 0，3 (mod 5)，同余方程3x2?11x?20 ? 0 (mod 7)的解为x ? 2，6 (mod 7)，故原同余方程有4解。
作同余方程组：x ? b1 (mod 3)，x ? b2 (mod 5)，x ? b3 (mod 7)，其中b1 = 1，b2 = 0，3，b3 = 2，6，孙子定理得原同余方程的解为x ? 13，55，58，100 (mod 105)。
2、判断同余方程x2≡42(mod 107)是否有解？237）1071071071071073?1107?17?1107?1 ??23107271072221，1，?221107107331077742??11072?3?7解：(42)??28除以111的最小非负余数。
解：易知1271≡50。
502 ≡58， 503 ≡58×50≡14，509≡143≡80知5028 ≡3×50≡803×50≡803×50≡68×50≡70 从而5056 ≡16。
小升初专练-数论问题-奇偶性问题通用版(含答案)
小升初专练-数论问题-奇偶性问题【知识点归纳】主要用到的知识点：1．奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数；奇数±偶数=奇数；偶数±奇数=奇数．2．奇数个奇数的和（或差）为奇数，偶数个奇数的和（或差）为偶数，任意多个偶数的和（或差）为偶数．3．奇数×奇数=奇数；偶数×偶数=偶数；奇数×偶数=偶数．4．若干个数相乘，其中有一个因数是偶数，则积为偶数；如果所有的因数都是奇数，则积为奇数．5．偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1．【常考题型】例1：一个偶数，各个数位上的数字之和是24，这个数最小是（）．分析：根据自然数的组成规律可和，一个自然数位数越少，其值就越小，由于这个偶数的各位数之和为24，24÷2=12，24÷3=8，所以这个自然数位数最少可为3位数．由于三个数位数字的平均数为8，则其则这三个数可为8，或7、8、9．而要求这个数最小可为几，一个数高位上的数越小，其值就越小，所以其百位可为7，由于是偶数，个数为8，由此可知，这个数为798．解：由于这个偶数的各位数之各为24，24÷2=12，24÷3=8，所以这个自然数位数最少可为3位数．三个数位数字的平均数为8，则其则这三个数可全为8，或7、8、9．要求这个数最小可为几，所以其百位可为7，由于是偶数，个数为8，由此可知，这个数为798．故答案为：798．点评：了解自然数的组成规律及数位知识是完成本题的关键．一．选择题1．×2的乘积一定不是（ ）A．奇数B．偶数C．合数2．M是一个奇数，N是一个偶数，下面（ ）的值一定是奇数．A．4M+3N B．3M+2N C．2M+7N D．2（M+N）3．x与y均为非零自然数，其中x既不是质数也不是合数，y是奇数，那么x与y的和一定是（ ）A．偶数B．质数C．奇数D．无法确定4．2004个连续自然数的和是（ ）A．奇数B．偶数C．可能是奇数，也可能是偶数5．3□□×24的积（ ）A．是奇数B．是偶数C．可能是奇数，可能是偶数6．下面的4个数中，只有一个数是连续自然数的乘积，它是（ ）A．285B．169C．342D．214二．填空题7．1+3+5+…+97+99的和是 数；147×289×303×210×43的积是 数。
数论50题
数论50题(订正)1．已知3个不同质数的和是最小的合数的完全平方，求这3个质数的乘积是多少？2．有1997个奇数，它们的和等于它们的乘积。
其中有三个数不是1，而是三个不同的质数。
那么，这样的三个质数是、、3．已知甲乙两数的和加上它们的最大公约数恰好等于它们的最小公倍数，求它们的最小公倍数除以它们的最大公约数所得的商是几？4．一个正整数加上32和132后都等于完全平方数，求这个正整数是多少？5．一间屋子里有100盏灯，全都是亮的，有编号为1-100的100名同学依次进入房间拉灯，规则如下：第一名同学先拉1号灯，然后隔一个拉一个；第2名同学先拉1号灯，然后隔两个拉一个；第3名同学先拉1号灯，然后隔3个拉一个；…第100名同学先拉1号灯，然后隔100个拉一个，问最后有几盏灯是灭的？6．筐里共有96个苹果，如果不一次全拿出，也不一个个地拿；要求每次拿出的个数同样多，拿完时又正好不多不少，有________种不同的拿法.7．如果N是1，2，3，…，1998，1999，2000的最小公倍数，那么N等于多少个2与1个奇数的积？8．求这样的三位数，它除以11所得的余数等于它的三个数字的平方和。
9． 1013除以一个两位数，余数是12．求出符合条件的所有的两位数．10． 有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数．11． 有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数．几何50题1． 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．HG FE DC B A2． 如图所示，四边形ABCD 与AEGF 都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．GFE D BA3． （小学数学奥林匹克决赛试题）右图中，ABCD 是74⨯的长方形，DEFG 是102⨯的长方形，求三角形BCO 与三角形EFO 的面积之差．4． 如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49．那么图中阴影部分的面积是多少？OA B C D E F G5． (人大附中入学测试题)如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5，四边形2的面积为36，则三角形1的面积为________．3216． 三角形ABC 中，C 是直角，已知2AC =，2CD =，3CB =，AM BM =，那么三角形AMN (阴影部分)的面积为多少？7． 如图，已知正方形ABCD 的边长为10厘米，E 为AD 中点，F 为CE 中点，G 为BF 中点，求三角形BDG 的面积．A B西安小升初行程 50 题强化练习2、甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走 60 米，乙每分钟走 67.5 米，丙每分钟走 75 米，甲乙 从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过 2 分钟与甲相遇， 求东西两镇间的路程有多少米？3、A ，B 两地相距 540 千米。
数论题 2024
数论题2024
一、选择题（每题3分，共30分）
下列运算正确的是：
A. 3a+2b=5ab
B. a2⋅a3=a6
C. (a+b)2=a2+b2
D. a6÷a2=a3
下列说法正确的是：
A. 任何数的平方都是正数
B. 绝对值等于本身的数是正数
C. 相反数等于本身的数是0
D. 倒数等于本身的数是1
下列方程中，解为 x=2 的是：
A. 2x−1=3
B. 3x+2=8
C. x2−4=0
D. 2x=1
二、填空题（每题4分，共20分）
若直线 y=2x+b 经过点 (1,3)，则 b= _______。
已知x2−4x+4=0，则 x= _______。
一个多边形的内角和是 1800∘，则这个多边形的边数是_______。
三、解答题（每题10分，共50分）
解方程组：
{3x−2y=5x+4y=−3
分解因式：x2−6x+9。
已知一个三角形的两条边长分别为 3 和4，求第三边的取值范围。
在平面直角坐标系中，点 A(2,3) 关于 x 轴的对称点的坐标是什么？
已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图像经过点 (1,0)，(0,−3)，且对称轴为 x=2，求该二次函数的解析式。
数论专题
数论专题复习题集数论专题复习题集1、甲、乙两人各写一个三位数，发现这两个三位数有两个数字是相同的（不一定是同一个数位上的数字相同），并且它们的最大公约数是75，那么这两个三位数的和的最大值是。
2、恰有12个不同约数的最小自然数是多少？3、甲数和乙数的最大公约数是6，最小公倍数是420，如果甲数比乙数大18，那么乙数是。
4、两数乘积为2800，而且已知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多1，那么这两个数分别是、。
5、已知三个两位奇数，它们的最大公约数是1，但是两两均不互质，且三个数的最小公倍数共有18个约数，那么这三个数可以为、、。
6、最多可以写出多少个各不相同的正整数，使得其中任何3个的和都是质数？7、有一种两位数A，其1至50倍得到的50个自然数十位数字与个位数字总不相同，那么这个两位数可以是。
8、有3个吉利数：888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得余数依次为a，a+7，a+10求这个自然数。
9、小明有200个硬币，放在桌上，一开始正面朝上，现每次选择n个硬币并翻动，目的是用最少的次数把所有硬币都翻成反面朝上，结果用了7次。
求所有这样的n的和。
10、一个自然数除以7、8、9后分别余3、5、7，而所得的三个商的和是758，这个数是。
11、甲、乙、丙三数分别为526、539、705，某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数与A除丙数所得余数的比是2：3，那么A是。
12、把一个两位数的两个数字颠倒过来得到一个新两位数，发现新两位数除以7的余数比旧两位数除以7的余数大1，那这样的两位数共有个。
13、三个两位数从小到大排成了一个公差是6的等差数列，把它们写成五进制后，每个数的各位数字之和恰好从大到小，那么这样的三个数共有组。
14、两个相差是4004的自然数，它们都是14的倍数，且各位数字之和也是14的倍数，那么满足要求的两个数最小为和。
15、有一个十位数是由0到9这十个数字组成的，而且具有这个性质，前两位组成的数能被2整除，前三位组成的数能被3整除，……，前九位组成的数能被9整除，而整个数能被10整除。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数论50题1．由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？【分析】各位数字和为1+3+4+5+7+8=28所以偶数位和奇数位上数字和均为14为了使得该数最大，首位必须是8，第2位是7，14-8=6那么第3位一定是5，第5位为1该数最大为875413。
2．请用1，2，5，7，8，9这六个数字（每个数字至多用一次）来组成一个五位数，使得它能被75整除，并求出这样的五位数有几个？【分析】75=3×25若被3整除，则各位数字和是3的倍数，1+2+5+7+8+9=32所以应该去掉一个被3除余2的，因此要么去掉2要么去掉8先任给一个去掉8的，17925即满足要求1）若去掉8则末2位要么是25要么是75，前3位则任意排，有3！=6种排法因此若去掉8则有2*6=12个满足要求的数2）若去掉2则末2位只能是75，前3位任意排，有6种排法所以有6个满足要求综上所述，满足要求的五位数有18个。
3．已知道六位数20□279是13的倍数，求□中的数字是几？【分析】根据被13整除的判别方法，用末三位减去前面的部分得到一个两位数，十位是7，个位是（9-□），它应该是13的倍数，因为13|78,所以9-□=8□中的数字是14．某自然数，它可以表示成9个连续自然数的和，又可以表示成10个连续自然数的和，还可以表示成11个连续自然数的和，那么符合以上条件的最小自然数是？（2005全国小学数学奥赛）【分析】可以表示成连续9个自然数的和说明该数能被9整除，可以表示成连续10个自然数的和说明该数能被5整除，可表示成连续11个自然数的和说明该数能被11整除因此该数是[9,5,11]=495，因此符合条件的最小自然数是495。
5．一次考试中，某班同学有考了优秀，考了良好，考了及格，剩下的人不及格，已知该班同学的人数不超过50，求有多少人不及格？【分析】乍一看这应该是一个分数应用题，但实际上用到的却是数论的知识，由于人数必须是整数，所以该班同学的人数必须同时是2，3，7的倍数，也就是42的倍数，又因为人数不超过50，所以只能是42人，因此不及格的人数为（1---）×42=1人6．（1）从1到3998这3998个自然数中，有多少个能被4整除？（2）从1到3998这3998个自然数中，有多少个数的各位数字之和能被4整除？（第14届迎春杯考题）【分析】（1）3998/4=999….6所以1-3998中有996个能被4整除的（2）考虑数字和，如果一个一个找规律我们会发现规律是不存在的因此我们考虑分组的方法我们补充2个数，0000和3999，此外所有的一位两位三位数都在前面加上0补足4位然后对这4000个数做如下分组（0000，1000，2000，3000）（0001，1001，2001，3001）（0002，1002，2002，3002）…….(0999，1999，2999，3999)共1000组，容易发现每一组恰好有个数字和是4的倍数，因此共有1000个数字和是4的倍数但注意到我们补充了一个0000进去。
所以原来的3998个数里，有999个数字和是4的倍数。
7．是否可在下列各数之间添加加号或者减号，使得等式成立？1 2 3 4 5 6 7 8 9 10=36若可以，请写出符合条件的等式；若不可以，请说明理由。
【分析】无论是加还是减，对奇偶性没有影响，如果全是加号的话，那么算出的结果是55是个奇数，因此某些加号变成减号后所得结果仍然是奇数，不可能是36，因此不可能使等式成立。
8．黑板上写着两个数1和2，按下列规则增写新数，若黑板有两个数a和b，则增写a×b＋a＋b这个数，比如可增写5（因为1×2＋1＋2＝5）增写11（因为1×5＋1＋5＝11），一直写下去，问能否得到2008，若不能，说明理由，若能则说出最少需要写几次得到？（2001年同方杯试题改编）【分析】开始是一奇数一个偶数，根据规则变成的新数是奇数×偶数+奇数+偶数，仍然是一个奇数，此时我们有2个奇数，一个偶数，如果还用奇数和偶数来进行运算的话我们新添的仍然是奇数，若用2个奇数进行运算，则新添的数是奇数×奇数+奇数+奇数，仍然是奇数。
因此无论我们怎么算都只能增写奇数，不可能写出2008这个偶数。
9．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任意选出三个数，使它们的和为偶数，则共有几种不同的选法？【分析】3个数的和是偶数有2种可能1）三个都是偶数，从2，4，6，8里选3个有4种可能2）两个奇数一个偶数，从1，3，5，7，9里选2个有10种可能，从2，4，6，8里选一个有4种可能，根据乘法原理有40种选法综上所述，共有44种不同的选法。
10．已知3个不同质数的和是最小的合数的完全平方，求这3个质数的乘积是多少？【分析】最小的合数是4，其平方为16我们知道奇数个奇数的和是奇数，所以这3个质数中必然有2那么其余2个的和是14只能一个是3一个是11因此这3个质数的乘积是2×3×11=6611．有1997个奇数，它们的和等于它们的乘积。
其中有三个数不是1，而是三个不同的质数。
那么，这样的三个质数是、、【分析】设这3个不同的质数分别是a，b，c根据题意 abc=1994+a+b+c这3个质数不可能都很大，假如最小的是11的话，那么11*13*17=2431,太大了所以a，b，c中一定有一个是3，5，7中的若a=3，那么3bc=1997+b+c,c=(1997+b)/(3b-1)试验一下发现b=5可以使c是整数，c=143，但143不是质数，b=7，11，13都不行那么我们不妨再让a=5，那么5bc=1999+b+cc=(1999+b)/(5b-1) b=7时算得c=59，是质数，符合要求因此a=5，b=7，c=59为满足条件的三个质数。
12．利用约数个数公式1）分别求12，35和420的约数个数2）分别求4，6，和24的约数个数问题1：对于1）的结果，你是否发现了什么规律？问题2：对于2）该规律是否仍然成立？问题3：该规律成立的条件是什么，并证明你的结论【分析】1）d(12)=6 d(35)=4 d(420)=24规律：12×35=420d(12)×d(35)=d(420)2) d(4)=3 d(6)=4 d(24)=8,规律不再成立3）规律是若(a,b)=1，则d(a)×d(b)=d(ab)证明用约数个数公式即可13．一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？【分析】设该数为p1^a1×p2^a2×…pn^an那么它的平方就是p1^(2a1)×p2^(2a2)…×pn(2an)因此(2a1+1)(2a2+1)…(2an+1)=39由于39=3×13=1×39（1）所以2a1+1=3,2a2+1=13a1=1,a2=6故该数的约数个数为(1+1)×(6+1)=14（2）或者：2a1+1=39a1=19,那么19+1=20个14．从1/2 1/4 1/6 1/8 1/10 1/12中去掉2个分数，可使得剩下4个分数之和为1，问去掉哪两个？（希望杯试题）【分析】单纯试的方法当然可以，但本题如果我们对数论知识理解透彻并应用上的话不需要任何计算就可以“看出”去掉的是1/8和1/10理由如下1）因为分母里8是独一无二的有3个质因子2的，所以必须去掉2）因为10是分母里独一无二的含有质因子5的，所以也必须去掉15．甲乙两数最小公倍数是60，最大公约数是6，已知甲数是12，求乙数。
【分析】直接用公式[a,b]×(a,b)=ab，代入即得乙数=3016．已知甲乙两数的和加上它们的最大公约数恰好等于它们的最小公倍数，求它们的最小公倍数除以它们的最大公约数所得的商是几？【分析】设甲数为a，乙数为b，并设a=（a,b）×a’，b=(a,b)×b’,则[a,b]=(a,b)a’b’根据题意得 (a,b)a’b’=（a,b）×a’+(a,b)×b’+（a,b）两边同时约掉(a,b)得到 a’b’=a’+b’+1所以a’b’-a’-b’+1=2 (a’-1)(b’-1)=2 得a’=3 b’=2最小公倍数除以最大公约数得到的是a’b’=3×2=617．三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的连续三个正整数的乘积称为“美妙数”，问所有的“美妙数”的最大公约数是多少？（第九届华杯赛）【分析】这样的数有3×4×5 8×9×10 15×16×17 24×25×26……容易发现它们的最大公约数是3×4×5=60下面给出证明，首先任意连续3个正整数中必然有一个是3的倍数，所以美妙数一定能被3整除，其次，任何一个完全平方数要么是4的倍数要么被8除余1，所以美妙数一定也能被4整除最后，任何一个完全平方数的末位数字都是0，1，4，5，6，9，无论是哪一个，它们自己加上前后各一个数中必然有一个是0或5，因此美妙数一定也是5的倍数综上所述，所有美妙数的最大公约数是6018．10个非零自然数的和是1001，则它们的最大公约数的最大值是多少？（2002我爱数学少年夏令营）【分析】设这10个非零自然数分别是a1,a2,a3,….a10,它们的最大公约数是a那么a1，a2，…,a10都是a的倍数因此1001是a的倍数，1001=7*11*13a是1001的约数，显然a不能取1001，若a取143，则a1+a2+…+a10至少是1430也不可能因此a最大是7*13=9119．一个偶数，它的约数里最大的两个之和是120，求该数是多少？【分析】设这个数是2a那么它最大的两个约数显然是2a和a2a+a=120解得a=40所以2a=2×40＝80所以这个数是80。
20．已知一个苹果重千克，一个梨重千克，且苹果和梨的总重量相同，求最少有几个苹果和几个梨？【分析】本题实质上就是一个求分数得最小公倍数的问题，这类问题有固定的解法，一般地，对于两个分数，它们的最小公倍数是，这里[a,c]代表a,b的最小公倍数，(b,d)代表b,d的最大公约数。
解法一：根据上述分析本题实质上是求和的最小公倍数由上面给出的结论知道这个数是=所以苹果和梨的总重量都是千克因此苹果个数是÷=25个梨的个数是÷=32个。
解法二：设苹果有x个，梨有y个所以x=y，推出x:y=25:32故x最小是25，y最小是32。
x=×25＝所以总重量是千克。