2013年高考题汇编圆锥曲线选择题及填空题
2013年全国高考(理科)数学试题分类汇编：圆锥曲线
全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线一、选择题1 （高考江西卷（理））过点引直线l与曲线y =A,B 两点,O 为坐标原点,当∆AOB 的面积取最大值时,直线l 的斜率等于 （ ）A ．y EB BC CD=++3 B． C． D． B 2 （福建数学（理）试题）双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A ．25B ．45CDC 3 （广东省数学（理）卷）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是（ ）A．2214x = B ．22145x y -=C ．22125x y -=D．2212x =*B4 （高考新课标1（理））已知双曲线C :22221x y a b -=(0,0a b >>)则C 的渐近线方程为 （ ）A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±*C5 （高考湖北卷（理））已知04πθ<<,则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的 （ ）A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等*D6 （高考四川卷（理））抛物线24y x =的焦点到双曲线2213yx -=的渐近线的距离是（ ）A ．12B．2C ．1 DB7 （浙江数学（理）试题）如图,21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点,B A ,分别是1C ,2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形,则2C 的离心率是（ ）A ．2B ．3C ．23D ．26*D8 （天津数学（理）试题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 则p =（ ）A ．1B ．32C ．2D ．3*C9 （大纲版数学（理））椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ）A ．1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，*B10（大纲版数学（理））已知抛物线2:8C yx =与点()2,2M -,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点,若0MA MB =,则k =（ ）A ．12B C D ．2*D11（高考北京卷（理））若双曲线22221x y a b-=则其渐近线方程为（ ）。
2013年全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线 Word版含答案
2013年全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线一、选择题错误！未指定书签。
．（2013年高考江西卷（理））过点引直线l与曲线y =交于A,B 两点,O 为坐标原点,当∆AOB 的面积取最大值时,直线l 的斜率等于 （ ） A ．y EB BC CD=++3B．3-C．3±D．【答案】B错误！未指定书签。
．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A ．25B ．45CD【答案】C错误！未指定书签。
．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是 （ ）A．2214x =B ．22145x y -= C ．22125x y -=D．2212x =【答案】B错误！未指定书签。
．（2013年高考新课标1（理））已知双曲线C :22221x y a b-=(0,0a b >>),则C 的渐近线方程为 （ ）A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±【答案】C错误！未指定书签。
．（2013年高考湖北卷（理））已知04πθ<<,则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的 （ ）A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等【答案】D错误！未指定书签。
．（2013年高考四川卷（理））抛物线24y x =的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离是 （ ）A ．12 B．2C ．1 D【答案】B错误！未指定书签。
．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））如图,21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点,B A ,分别是1C ,2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形,则2C 的离心率是（ ）A ．2B ．3C ．23 D ．26 【答案】D错误！未指定书签。
圆锥曲线2013
2013年全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线一、选择题1 ．（2013年高考江西卷（理））过点引直线l与曲线y=A,B 两点,O 为坐标原点,当∆AOB 的面积取最大值时,直线l 的斜率等于 （ ）A ．y EB BC CD=++B．C． D．【答案】B2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于 （ ）A ．25B ．45 CD【答案】C3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是（ ）A．214x =B ．22145x y -= C ．22125x y -=D．212x -=【答案】B4 ．（2013年高考新课标1（理））已知双曲线C :22221x y a b -=(0,0a b >>)则C 的渐近线方程为 （ ）A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±【答案】C5 ．（2013年高考湖北卷（理））已知04πθ<<,则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的 （ ）A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等【答案】D6 ．（2013年高考四川卷（理））抛物线24y x =的焦点到双曲线2213yx -=的渐近线的距离是（ ）A ．12BC ．1 D【答案】B7 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））如图,21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点,B A ,分别是1C ,2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形,则2C 的离心率是（ ）A ．2B ．3C ．23 D ．26 【答案】D8 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB则p =（ ）A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】C9 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ）A ．1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】B10．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点,若0MA MB =,则k =（ ）A ．12BCD ．2【答案】D11．（2013年高考北京卷（理））若双曲线22221x y a b-=则其渐近线方程为（ ）A ．y =±2xB ．y= C ．12y x =±D．y x =±【答案】B12．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知抛物线1C :212y x p =(0)p >的焦点与双曲线2C :2213x y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M .若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线,则p =（ ）ABCD【答案】D13．（2013年高考新课标1（理））已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为（ ）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y +=【答案】D14．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点M 在C 上,5MF =,若以MF 为直径的圆过点)2,0(,则C 的方程为（ ）A ．24y x =或28y x = B ．22y x =或28y x = C ．24y x =或216y x =D ．22y x =或216y x =【答案】C15．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）已知 A B 、为平面内两定点,过该平面内动点M 作直线AB 的垂线,垂足为N .若2MN AN NB λ=⋅,其中λ为常数,则动点M 的轨迹不可能是 （ ）A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线【答案】C16．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知圆()()221:231C x y -+-=,圆()()222:349C x y -+-=,,M N 分别是圆12,C C 上的动点,P 为x 轴上的动点,则PM PN +的最小值为 （ ）A ．4B 1C ．6-D【答案】A 二、填空题17．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为_____________.【答案】x y 43±= 18．（2013年高考江西卷（理））抛物线22(0)x py p =>的焦点为F,其准线与双曲线22133x y -=相交于,A B 两点,若ABF ∆为等边三角形,则P =_____________【答案】619．（2013年高考湖南卷（理））设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点,P是C 上一点,若216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30 ,则C 的离心率为___.【答案】320．（2013年高考上海卷（理））设AB 是椭圆Γ的长轴,点C 在Γ上,且4CBA π∠=,若AB=4,BC =,则Γ的两个焦点之间的距离为________【答案】. 21．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））已知直线y a =交抛物线2y x =于,A B 两点.若该抛物线上存在点C ,使得ABC ∠为直角,则a 的取值范围为___ _____.【答案】),1[+∞22．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部与边界).若点),(y x P 是区域D 内的任意一点,则y x 2+的取值范围是__________.【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,223．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ,右焦点为F ,右准线为l ,短轴的一个端点为B ,设原点到直线BF 的距离为1d ,F 到l 的距离为2d ,若126d d =,则椭圆C 的离心率为_______.【答案】24．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左.右焦点分别为12,F F ,焦距为2c,若直线)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠,则该椭圆的离心率等于__________【答案】1-25．（2013年高考陕西卷（理））双曲线22116x y m -=的离心率为54, 则m 等于___9_____. 【答案】9 26．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点,连接,AF BF ,若410,6,cos ABF 5AB AF ==∠=,则C 的离心率e =______. 【答案】5727．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）抛物线28yx =的准线方程是_______________【答案】2x =-28．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））在平面直角坐标系xOy 中,设定点),(a a A ,P 是函数xy 1=(0>x )图象上一动点,若点A P ，之间的最短距离为22,则满足条件的实数a 的所有值为_______.【答案】1-或1029．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））设F 为抛物线x y C 4:2=的焦点,过点)0,1(-P 的直线l 交抛物线C 于两点B A ,,点Q 为线段AB 的中点,若2||=FQ ,则直线的斜率等于________.【答案】1± 三、解答题30．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第1小题满分4分,第2小题满分9分.已知椭圆C 的两个焦点分别为1(1 0)F -，、2(1 0)F ，,短轴的两个端点分别为12 B B 、 (1)若112F B B ∆为等边三角形,求椭圆C 的方程;(2)若椭圆C 的短轴长为2,过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于 P Q 、两点,且11F P FQ ⊥,求直线l 的方程. [解](1) (2)【答案】[解](1)设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>.根据题意知2221a b a b =⎧⎨-=⎩, 解得243a =,213b = 故椭圆C 的方程为2214133x y +=.(2)容易求得椭圆C 的方程为2212x y +=. 当直线l 的斜率不存在时,其方程为1x =,不符合题意; 当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(21)42(1)0k x k x k +-+-=. 设1122( ) ( )P x y Q x y ，，，,则2212121111222242(1) (1 ) (1 )2121k k x x x x F P x y FQ x y k k -+===+=+++ ，，，，， 因为11F P FQ ⊥ ,所以110F P FQ ⋅=,即 21212121212(1)(1)()1(1)(1)x x y y x x x x k x x +++=++++-- 2221212(1)(1)()1k x x k x x k =+--+++2271021k k -==+, 解得217k =,即k =故直线l的方程为10x +-=或10x -=.31．（2013年高考四川卷（理））已知椭圆C :22221,(0)x y a b a b +=>>的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -,且椭圆C 经过点41(,)33P .(Ⅰ)求椭圆C 的离心率;(Ⅱ)设过点(0,2)A 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点,点Q 是线段MN 上的点,且222211||||||AQ AM AN =+,求点Q 的轨迹方程.【答案】解:2+=所以,a =又由已知,1c =, 所以椭圆C的离心率c e a ===()II 由()I 知椭圆C 的方程为2212x y +=.设点Q 的坐标为(x,y).(1)当直线l 与x 轴垂直时,直线l 与椭圆C 交于()()0,1,0,1-两点,此时Q点坐标为0,2⎛ ⎝ (2) 当直线l 与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为2y kx =+.因为,M N 在直线l 上,可设点,M N 的坐标分别为1122(,2),(,2)x kx x kx ++,则22222212(1),(1)AM k x AN k x =+=+. 又()222222(1).AQ x y k x =+-=+由222211AQAMAN=+,得()()()22222212211111k x k x k x =++++,即 ()212122222212122211x x x x x x x x x +-=+= ① 将2y kx =+代入2212x y +=中,得()2221860kx kx +++= ②由()()22842160,k k ∆=-⨯+⨯>得232k >. 由②可知12122286,,2121k x x x x k k +=-=++ 代入①中并化简,得2218103x k =- ③因为点Q 在直线2y kx =+上,所以2y k x-=,代入③中并化简,得()22102318y x --=.由③及232k >,可知2302x <<,即x ⎛⎫⎛∈ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝ .又0,2⎛-⎝满足()22102318y x --=,故x ⎛∈ ⎝. 由题意,(),Q x y 在椭圆C 内部,所以11y -≤≤, 又由()22102183y x -=+有()2992,54y ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭且11y -≤≤,则1,22y ⎛∈ ⎝. 所以点Q 的轨迹方程是()22102318y x --=,其中,x ⎛∈ ⎝,1,22y ⎛∈ ⎝32．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别是12,F F ,,过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,连接12,PF PF ,设12F PF ∠的角平分线PM 交C 的长轴于点(,0)M m ,求m 的取值范围;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过P 点作斜率为k 的直线l ,使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点,设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ,若0k ≠,试证明1211kk kk +为定值,并求出这个定值.【答案】解:(Ⅰ)由于222c a b =-,将x c =-代入椭圆方程22221x y a b +=得2b y a =±由题意知221b a =,即22a b = 又ce a == 所以2a =,1b = 所以椭圆方程为2214x y +=204x ≠,将向量坐标代入并化简得:m(23000416)312x x x -=-,因为204x ≠,12118kk kk +=-=-为定值.33．（2013年高考上海卷（理））(3分+5分+8分)如图,已知曲线221:12x C y -=,曲线2:||||1C y x =+,P 是平面上一点,若存在过点P 的直线与12,C C 都有公共点,则称P 为“C 1—C 2型点”.(1)在正确证明1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);(2)设直线y kx =与2C 有公共点,求证||1k >,进而证明原点不是“C 1—C 2型点”; (3)求证:圆2212x y +=内的点都不是“C 1—C 2型点”.【答案】:(1)C 1的左焦点为(F ,过F 的直线x =与C 1交于(,与C 2交于(1))±+,故C 1的左焦点为“C 1-C 2型点”,且直线可以为x =;(2)直线y kx =与C 2有交点,则(||1)||1||||1y kxk x y x =⎧⇒-=⎨=+⎩,若方程组有解,则必须||1k >; 直线y kx =与C 2有交点,则2222(12)222y kx k x x y =⎧⇒-=⎨-=⎩,若方程组有解,则必须212k < 故直线y kx =至多与曲线C 1和C 2中的一条有交点,即原点不是“C 1-C 2型点”. (3)显然过圆2212x y +=内一点的直线l 若与曲线C 1有交点,则斜率必存在; 根据对称性,不妨设直线l 斜率存在且与曲线C 2交于点(,1)(0)t t t +≥,则:(1)()(1)0l y t k x t kx y t kt =+=-⇒-++-=直线l 与圆2212x y +=内部有交点,<化简得,221(1)(1)2t tk k +-<+............① 若直线l 与曲线C 1有交点,则2222211()2(1)(1)10212y kx kt t k x k t kt x t kt x y =-++⎧⎪⇒-++-++-+=⎨-=⎪⎩ 22222214(1)4()[(1)1]0(1)2(1)2k t kt k t kt t kt k ∆=+---+-+≥⇒+-≥-化简得,22(1)2(1)t kt k +-≥-.....②由①②得,222212(1)(1)(1)12k t tk k k -≤+-<+⇒< 但此时,因为2210,[1(1)]1,(1)12t t k k ≥+-≥+<,即①式不成立;当212k =时,①式也不成立综上,直线l 若与圆2212x y +=内有交点,则不可能同时与曲线C 1和C 2有交点,即圆2212x y +=内的点都不是“C 1-C 2型点” .34．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））如图,在正方形OABC中,O 为坐标原点,点A 的坐标为(10,0),点C 的坐标为(0,10).分别将线段OA 和AB 十等分,分点分别记为129,,....A A A 和129,,....B B B ,连结i OB ,过i A 做x 轴的垂线与i OB 交于点*(,19)iP i N i ∈≤≤. (1)求证:点*(,19)i P i N i ∈≤≤都在同一条抛物线上,并求该抛物线E 的方程;(2)过点C 做直线与抛物线E 交于不同的两点,M N ,若OCM ∆与OCN ∆的面积比为4:1,求直线的方程.【答案】解:(Ⅰ)依题意,过*(,19)∈≤≤i A i Ni 且与x 轴垂直的直线方程为=x i (10,) i B i ,∴直线i OB 的方程为10=iy x 设i P 坐标为(,)x y ,由10=⎧⎪⎨=⎪⎩x iiy x 得:2110=y x ,即210=x y , ∴*(,19)∈≤≤i P i N i 都在同一条抛物线上,且抛物线E 方程为210=x y(Ⅱ)依题意:直线的斜率存在,设直线的方程为10=+y kx由21010=+⎧⎨=⎩y kx x y得2101000--=x kx 此时2100+4000∆=>k ,直线与抛物线E 恒有两个不同的交点,M N 设:1122(,)(,)M x y N x y ,则121210100+=⎧⎨⋅=-⎩x x kx x4∆∆= OCM OCN S S ∴124=x x又120⋅< x x ,∴124=-x x 分别带入21010=+⎧⎨=⎩y kx x y,解得32=±k 直线的方程为3+102=±y x ,即32200-+=x y 或3+2200-=x y 35．（2013年高考湖南卷（理））过抛物线2:2(0)E xpy p =>的焦点F 作斜率分别为12,k k 的两条不同的直线12,l l ,且122k k +=,1l E 与相交于点A,B,2l E 与相交于点C,D.以AB,CD为直径的圆M,圆N(M,N 为圆心)的公共弦所在的直线记为l .(I)若120,0k k >>,证明;22FM FN P < ;(II)若点M 到直线l,求抛物线E 的方程. 【答案】解: (Ⅰ)，设),(),,(),,(),,(),,(),,().2,0(3434121244332211y x N y x M y x D y x C y x B y x A pF 02,221211=++-+=p x pk x E px k y l ：方程联立，化简整理得与抛物线方程：直线),(2,20,2211211212112221121p k p k FM p p k y p k x x x p x x p k x x -=⇒+==+=⇒=-=⋅=+⇒),(2,2,222223422134p k p k FN p p k y p k x x x -=⇒+==+=⇒同理. )1(2121222221221+=+=⋅⇒k k k k p p k k p k k FN FM222121221212121212)11(1)1(,122,,0,0p p k k k k p FN FM k k k k k k k k k k =+⋅⋅<+=⋅∴≤⇒≥+=≠>> 所以,22p FN FM <⋅成立. (证毕) (Ⅱ),)]2(2[21)]2()2[(21,212121121p p k p p k p y p y p r r r N M +=++=+++=⇒的半径分别为、设圆,2同理,221211p p k r p p k r +=+=⇒.,21r r N M 的半径分别为、设圆则21212212)()(r y y x x N M =-+-的方程分别为、, 的方程为：，直线l r y y x x 22234234)()(=-+-0-)(2)(2222123421223421212341234=+-+-+-+-r r y y x x y y y x x x .))(-())(())(()(2)(212123412341234123412212212=++--+--+-+-⇒r r r r y y y y x x x x y k k p x k k p2))((1))(()(2)(2)(2222121222222122212212212212++-+++-+-+-+-⇒k k k k p k k k k p k k p y k k p x k k p 0202)(1)(222212221=+⇒=+++++--+⇒y x k k p k k p p y x55758751)41()41(2|512||52|),(212112121212==+-+-⋅≥++⋅=+=p p k k p y x d l y x M 的距离到直线点y x p 1682=⇒=⇒抛物线的方程为.36．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））如图,点)1,0(-P 是椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 的一个顶点,1C 的长轴是圆4:222=+y x C 的直径.21,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线,其中1l 交圆2C 于两点,2l 交椭圆1C 于另一点D (1)求椭圆1C 的方程; (2)求ABD ∆面积取最大值时直线1l 的方程.【答案】解:(Ⅰ)由已知得到1b =,且242a a =∴=,所以椭圆的方程是2214x y +=;(Ⅱ)因为直线12l l ⊥,且都过点(0,1)P -,所以设直线1:110l y kx kx y =-⇒--=,直线21:10l y x x ky k k=--⇒++=,所以圆心(0,0)到直线1:110l y kx kx y =-⇒--=的距离为d =,所以直线1l 被圆224x y +=所截的弦AB ==;由22222048014x ky k k x x kx x y ++=⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩,所以28||4D P k x x DP k +=-∴==+所以（第21题图）11||||22ABDS AB DP ∆==⨯====≤=当252k k =⇒=⇒=时等号成立,此时直线1:1l y x =- 37．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如题(21)图,椭圆的中心为原点O ,长轴在x 轴上,离心率e =,过左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于,A A '两点,4AA '=.(1)求该椭圆的标准方程;(2)取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点,P P ',过,P P '作圆心为Q 的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q 外.若PQ P Q '⊥,求圆Q 的标准方程.【答案】38．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））设椭圆2222:11x y E a a+=-的焦点在x 轴上 (Ⅰ)若椭圆E 的焦距为1,求椭圆E 的方程;(Ⅱ)设12,F F 分别是椭圆的左、右焦点,P 为椭圆E 上的第一象限内的点,直线2F P 交y轴与点Q ,并且11F P FQ ⊥,证明:当a 变化时,点p 在某定直线上. 【答案】解:(Ⅰ)13858851,12,122222222=+=⇒+-==->x x a c a a c a a ，椭圆方程为： .(Ⅱ) ),(),,),,0(),,(),0,(),0,(2221m c QF y c x P F m Q y x P c F c F -=-=-（则设. 由)1,0(),1,0()1,0(012∈∈⇒∈⇒>-y x a a .⎩⎨⎧=++=-⊥=+=0)()(,//).,(),,(112211my c x c ycx c m Q F P F QF P F m c Q F y c x P F 得：由 解得联立⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-==-=-+=-⇒=+-⇒22222222222222111.))((c a a c y x a y a x c y x y c x c xy x y x y x yx y y x x -=∴∈∈±=⇒=+-++-⇒1)1,0(),1,0(.)1(1121222222222 所以动点P 过定直线01=-+y x .39．（2013年高考新课标1（理））已知圆M :22(1)1x y ++=,圆N :22(1)9x y -+=,动圆P与M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线 C.(Ⅰ)求C 的方程;(Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A,B 两点,当圆P 的半径最长时,求|AB|.【答案】由已知得圆M 的圆心为M (-1,0),半径1r =1,圆N 的圆心为N (1,0),半径2r =3.设动圆P 的圆心为P (x ,y ),半径为R.(Ⅰ)∵圆P 与圆M 外切且与圆N 内切,∴|PM|+|PN|=12()()R r r R ++-=12r r +=4, 由椭圆的定义可知,曲线C 是以M,N 为左右焦点,场半轴长为2,的椭圆(左顶点除外),其方程为221(2)43x y x +=≠-.(Ⅱ)对于曲线C 上任意一点P (x ,y ),由于|PM|-|PN|=22R -≤2,∴R≤2, 当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时,R=2.∴当圆P 的半径最长时,其方程为22(2)4x y -+=, 当l 的倾斜角为090时,则l 与y 轴重合,可得|AB|=当l 的倾斜角不为090时,由1r ≠R 知l 不平行x 轴,设l 与x 轴的交点为Q,则||||QP QM =1Rr ,可求得Q(-4,0),∴设l :(4)y k x =+,由l 于圆M1=,解得k =±当k时,将y x =+代入221(2)43x y x +=≠-并整理得27880x x +-=,解得1,2x12||x x -=187.当k时,由图形的对称性可知|AB|=187, 综上,|AB|=187或|AB|= 40．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ,, 过点F 且与x(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB += , 求k 的值.【答案】41．（2013年高考江西卷（理））如图,椭圆2222+=1(>>0)x y C a b a b ：经过点3(1,),2P 离心率1=2e ,直线l 的方程为=4x .(1) 求椭圆C 的方程;(2) AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P ),设直线AB 与直线l 相交于点M ,记,,PA PB PM 的斜率分别为123,,.k k k 问:是否存在常数λ,使得123+=.k k k λ?若存在求λ的值;若不存在,说明理由.【答案】解:(1)由3(1,)2P 在椭圆上得,221914a b+= ① 依题设知2a c =,则223b c = ② ②代入①解得2221,4,3c a b ===.故椭圆C 的方程为22143x y +=.(2)方法一:由题意可设AB 的斜率为k , 则直线AB 的方程为(1)y k x =- ③代入椭圆方程223412x y +=并整理,得2222(43)84(3)0k x k x k +-+-=, 设1122(,),(,)A x y B x y ,则有2212122284(3),4343k k x x x x k k -+==++ ④ 在方程③中令4x =得,M 的坐标为(4,3)k .从而121231233331222,,11412y y k k k k k x x ---====----. 注意到,,A F B 共线,则有AF BF k k k ==,即有121211y yk x x ==--. 所以1212121212123331122()1111212y y y y k k x x x x x x --+=+=+-+------ 1212122322()1x x k x x x x +-=-⋅-++ ⑤④代入⑤得22122222823432214(3)8214343k k k k k k k k k k -++=-⋅=---+++, 又312k k =-,所以1232k k k +=.故存在常数2λ=符合题意.方法二:设000(,)(1)B x y x ≠,则直线FB 的方程为:00(1)1y y x x =--, 令4x =,求得003(4,)1y M x -, 从而直线PM 的斜率为0030212(1)y x k x -+=-,联立0022(1)1143y y x x x y ⎧=-⎪-⎪⎨⎪+=⎪⎩ ,得0000583(,)2525x y A x x ---,则直线PA 的斜率为:00102252(1)y x k x -+=-,直线PB 的斜率为:020232(1)y k x -=-,所以00000123000225232122(1)2(1)1y x y y x k k k x x x -+--++=+==---,故存在常数2λ=符合题意.42．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点. (Ⅰ) 求抛物线C 的方程;(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值.【答案】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24xcy =,0c >,解得1c =.所以抛物线C 的方程为24x y =. (Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '=设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==),则切线,PA PB 的斜率分别为112x ,212x , 所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --=同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++ 联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y = 所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92. 43．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））平面直角坐标系xOy 中,过椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的右焦点F 作直0x y +=交M 于,A B两点,P 为AB 的中点,且OP 的斜率为12. (Ⅰ)求M 的方程;(Ⅱ),C D 为M 上的两点,若四边形ABCD 的对角线CD AB ⊥,求四边形ABCD 面积的最大值.【答案】44．（2013年高考湖北卷（理））如图,已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ,长轴均为MN 且在x 轴上,短轴长分别为2m ,2n ()m n >,过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ,2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ,B ,C ,D .记mnλ=,BDM ∆和ABN ∆的面积分别为1S 和2S .(I)当直线l 与y 轴重合时,若12S S λ=,求λ的值;(II)当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=?并说明理由.【答案】解:(I)12S S λ=()m n m n λ⇒+=-,1111m n m n λλλ++∴==--解得:1λ=+(舍去小于1的根)(II)设椭圆()22122:1x y C a m a m +=>,22222:1x y C a n+=,直线l :ky x =22221ky x x y a m =⎧⎪⎨+=⎪⎩2222221a m k y a m +⇒=A y ⇒= 同理可得,B y =又 BDM ∆和ABN ∆的的高相等12B D B A A B A BS BD y y y y S AB y y y y -+∴===-- 如果存在非零实数k 使得12S S λ=,则有()()11A B y y λλ-=+,第21题图即:()()222222222211a n k a n k λλλλ-+=++,解得()()2222232114a k n λλλλ--+=∴当1λ>+时,20k >,存在这样的直线l ;当11λ<≤+时,20k ≤,不存在这样的直线l .45．（2013年高考北京卷（理））已知A 、B 、C 是椭圆W :2214x y +=上的三个点,O 是坐标原点.(I)当点B 是W 的右顶点,且四边形OABC 为菱形时,求此菱形的面积;(II)当点B 不是W 的顶点时,判断四边形OABC 是否可能为菱形,并说明理由.【答案】解:(I)椭圆W :2214x y +=的右顶点B 的坐标为(2,0).因为四边形OABC 为菱形,所以AC 与OB 相互垂直平分. 所以可设A(1,m ),代入椭圆方程得2114m +=,即m =. 所以菱形OABC 的面积是11||||22||22OB AC m ⋅=⨯⨯=. (II)假设四边形OABC 为菱形. 因为点B 不是W 的顶点,且直线AC 不过原点,所以可设AC 的方程为(0,0)y kx m k m =+≠≠.由2244x y y kx m⎧+=⎨=+⎩消去y 并整理得222(14)8440k x kmx m +++-=. 设A 1,1()x y ,C 2,2()x y ,则1224214x x km k +=-+,121222214y y x x mk m k ++=⋅+=+. 所以AC 的中点为M(2414km k -+,214mk+). 因为M 为AC 和OB 的交点,所以直线OB 的斜率为14k-.因为1()14k k⋅-≠-,所以AC 与OB 不垂直. 所以OABC 不是菱形,与假设矛盾.所以当点B 不是W 的顶点时,四边形OABC 不可能是菱形. 46．（2013年高考陕西卷（理））已知动圆过定点A (4,0), 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8.(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C 的方程;(Ⅱ) 已知点B (-1,0), 设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P , Q , 若x 轴是PBQ ∠的角平分线, 证明直线l 过定点.【答案】解:(Ⅰ) A (4,0),设圆心C2222,2),,(EC ME CM CA MNME E MN y x +===，由几何图像知线段的中点为x y x y x 84)422222=⇒+=+-⇒（(Ⅱ)点B (-1,0),222121212122118,8,00),,(),,(x y x y y y y y y x Q y x P ==<≠+，由题知设.080)()(88811211221212222112211=+⇒=+++⇒+-=+⇒+-=+⇒y y y y y y y y y yy y x y x y 直线PQ 方程为:)8(1)(21121112121y x y y y y x x x x y y y y -+=-⇒---=-1,088)(8)()(122112112==⇒=++⇒-=+-+⇒x y x y y y y x y y y y y y所以,直线PQ 过定点(1,0)47．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））如图,抛物线()2212:4,:20C x y C x py p ==->,点()00,M x y 在抛物线2C 上,过M 作1C 的切线,切点为,A B (M 为原点O 时,,A B 重合于O )01x =,切线.MA 的斜率为12-. (I)求p 的值;(II)当M 在2C 上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹方程.(),,.A B O O 重合于时中点为【答案】48．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F ，,离心率为3，直线2y =与C 的. (I)求,;a b ;(II)设过2F 的直线l 与C 的左、右两支分别相交于,A B 两点,且11AF BF ,证明:22AF AB BF 、、成等比数列.【答案】49．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.已知抛物线24C y x =： 的焦点为F .(1)点 A P 、满足2AP FA =-.当点A 在抛物线C 上运动时,求动点P 的轨迹方程;(2)在x 轴上是否存在点Q ,使得点Q 关于直线2y x =的对称点在抛物线C 上?如果存在,求所有满足条件的点Q 的坐标;如果不存在,请说明理由.【答案】(1)设动点P 的坐标为( )x y ，,点A 的坐标为( )A A x y ，,则( )A A AP x x y y =--，, 因为F 的坐标为(1 0)，,所以(1 )A A FA x y =-，, 由2AP FA =-得( )2(1 )A A A A x x y y x y --=--，，.即2(1)2A A A A x x x y y y -=--⎧⎨-=-⎩ 解得2A Ax x y y =-⎧⎨=-⎩代入24y x =,得到动点P 的轨迹方程为284y x =-.(2)设点Q 的坐标为( 0)t ，.点Q 关于直线2y x =的对称点为( )Q x y '，,则122yx t y x t ⎧=-⎪⎪-⎨⎪=+⎪⎩ 解得3545x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩若Q '在C 上,将Q '的坐标代入24y x =,得24150t t +=,即0t =或154t =-. 所以存在满足题意的点Q ,其坐标为(0 0)，和15( 0)4-，.。
2013年全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线-推荐下载
（ ）
1与
7
8
9
1
A．
2
【答案】B
．（2013
3
B．
2
年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理））如图, F1, F2 是椭圆 C1
C．1
共焦点, A, B 分别是 C1 , C2 在第二、四象限的公共点.若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是
y
A． 2
【答案】D
F1
A
O
（第 9 题图）
12．（2013
A． y 2x
【答案】B
C2
:
2
B．
2
B． y = 2x
年普通高等学校招生统一考试山东数学（理））已知抛物线 C1
x2 3
近线,则 p
3 A． 16
【答案】D
13．（2013 年高考新课标
y2
1 的右焦点的连线交 C1 于第一象限的点
3 B． 8
1（理））已知椭圆 E :
圆于 A, B 两点.若 AB 的中点坐标为 (1, 1) ,则 E 的方程为
A． x2 y2 1 45 36
B． x2 y2 1 36 27
y2 b2
x2 a2
C． 2
1的离心率为
C． y 1 x 2
23 C． 3
y2 b2
1(a
C． x2 y2 1 27 18
C． y 1 x 2
C．焦距相等
6 ．（2013 年高考四川卷（理））抛物线 y2 4x 的焦点到双曲线 x2 y 2 1的渐近线的距离是 （ ） 3
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2013高考数学试题分类汇编：专题11 圆锥曲线(解析版)
专题11 圆锥曲线一、选择题：1．（山东省济南市2013年1月高三上学期期末文12）已知椭圆方程22143x y +=,双曲线的焦点是椭圆的顶点,顶点是椭圆的焦点,则双曲线的离心率C. 2D. 32．(山东省德州市2013届高三上学期期末校际联考文7)过点P （0，2）的双曲线C 的一个焦点与抛物线216x y =-的焦点相同，则双曲线C 的标准方程是（ ）A ．221124x y -=B ．221204x y -=C ．221412y x -=D ．221420y x -=3. (山东省济宁市2013届高三1月份期末测试文5)已知圆22670x y x +--=与抛物线()220y px p =>的准线相切，则p 的值为A.1B.2C.12D.44. (山东省济宁市2013届高三1月份期末测试文9)已知双曲线的方程为()222210,2x y a b a b -=>>，（其中c 为双曲线的半焦距长），则该双曲线的离心率为A.32D.525. (山东省烟台市2013届高三上学期期末文7)已知点P 是抛物线x 2=4y 上的动点，点P 在直线y+1=0上的射影是点M ，点A 的坐标(4,2)，则P A P M +的最小值是C.3D.2【答案】A【解析】抛物线的焦点坐标(1,0)F ,准线方程为1y =-。
根据抛物线的定义可知PM PF =,所以P A P M P A P F AF +=+≥，即当A,P,F 三点共线时，所以最小值为=选A.6. (山东省烟台市2013届高三上学期期末文8)已知与向量v=(1,0)平行的直线l 与双曲线2214x y -=相交于A 、B 两点，则A B 的最小值为A.2C.4D.7.(山东省潍坊市2013年1月高三上学期期末考试A 卷文9)已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的一条渐近线的斜率为2，且右焦点与抛物线x y 342=的焦点重合，则该双曲线的离心率等于（A ）2（B ）3（C ）2（D ）238. （山东省泰安市2013届高三上学期期末文11）以双曲线22163x y -=的右焦点为圆心且与双曲线的线相切的圆的方程是A.(22x y -+=B.(223x y -+=C.()223x y -+=D.()2233x y -+=9. （山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试文12）抛物线)0(42>=p px y 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为 A.215+ B.12+ C.13+ D.2122+10.（山东省潍坊一中2013届高三12月月考测试文）设12,F F 分别是椭圆22221x y a b +=()0a b >>的左、右焦点，与直线y b =相切的2F 交椭圆于点E ，E 恰好是直线EF 1与2F 的切点，则椭圆的离心率为11.(山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试文)椭圆191622=+y x 的焦距为A.10B.5C.7D.72【答案】D【解析】由题意知2216,9a b ==，所以2227c a b =-=，所以c =，即焦距为2c =，选D.12.(山东省兖州市2013届高三9月入学诊断检测文)若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线221y x m+=的离心率是（ ）A B ．C D13.(山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试文)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线均与22:650C x y x +-+=相切，则该双曲线离心率等于A B C ．32D14.(山东省聊城市东阿一中2013届高三上学期期初考试)过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠= ，则椭圆的离心率为 （ ）A B C ．12 D ．13二、填空题：15. （山东省泰安市2013届高三上学期期末文13）若双曲线221y x m-=的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合，则m 的值为__________.16.(山东省青岛一中2013届高三1月调研考试文)过抛物线2x =2py(p>0)的焦点F 作倾斜角030的直线，与抛物线交于A 、B 两点（点A 在y 轴左侧），则AF BF的值是___________．17.(山东省青岛一中2013届高三1月调研考试文)如图所示, C是半圆弧x2+y2=1(y≥0)上一点, 连接AC并延长至D, 使|CD|=|CB|, 则当C点在半圆弧上从B点移动至A点时,D 点的轨迹是_______的一部分，D点所经过的路程为.18.(山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试文)已知点P 是抛物线24y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是（4，a ），则当||4a >时，||||PA PM +的最小值是 。
圆锥曲线2013高考题汇总
圆锥曲线2013年高考题汇总一、选择题1 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线L过F且与C交于A, B两点.若|AF|=3|BF|,则L的方程为（）A．y=x-1或y=-x+1 B．y=错误！未找到引用源。
(X-1)或y=错误！未找到引用源。
-错误！未找到引用源。
(x-1)C．y=错误！未找到引用源。
(x-1)或y=-错误！未找到引用源。
(x-1) D．y=错误！未找到引用源。
(x-1)或y=-错误！未找到引用源。
(x-1)2 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））O为坐标原点,F为抛物线2:C y=的焦点,P为C上一点,若||PF=,则POF∆的面积为（）A．2B．C．D．43 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知双曲线2222:1x yCa b-=(0,0)a b>>的离心率为错误！未找到引用源。
,则C的渐近线方程为（）A．14y x=±B．13y x=±C．12y x=±D．y x=±4 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））设椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F P是C上的点21212,30PF F F PF F⊥∠=︒,则C的离心率为（）A．错误！未找到引用源。
B．错误！未找到引用源。
C．错误！未找到引用源。
D．错误！未找到引用源。
5）已知()()1221,0,1,0,F F C F x-是椭圆的两个焦点过且垂直于轴的直线交于A B、两点，且3AB=，则C的方程为（）A．2212xy+=B．22132x y+=C．22143x y+=D．22154x y+=6．（2013年高考大纲卷（文））已知抛物线2:8C y x=与点()2,2M-,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于,A B两点,若0MA MB=,则k=（）A．12BCD．27．（2013年高考北京卷（文））双曲线221yxm-=的充分必要条件是（）A．12m>B．1m≥C．1m>D．2m>A．1 B．2 C．4 D．128．（2013年高考江西卷（文））已知点A(2,0),抛物线C:x 2=4y 的焦点为F,射线FA 与抛物线C 相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|:|MN|=（ ）A ．2:错误！未找到引用源。
2013年全国各省市高考真题——圆锥曲线(带答案)
2013年全国各省市文科数学—圆锥曲线1、2013天津文T5.已知过点P (2,2) 的直线与圆225(1)x y +=-相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a =(A) 12-(B) 1 (C) 2(D)122、2013广东文T7．垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是A ．0x y +-=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D ．0x y ++=（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）4、2013陕西文T8. 已知点M (a ,b )在圆221:O x y +=外, 则直线ax + by = 1与圆O 的位置关系是 (A) 相切(B) 相交(C) 相离(D) 不确定5、2013山东文 T13.过点(3，1)作圆22(2)(2)4x y -+-=的弦，其中最短的弦长为__________6、2013浙江文T13.直线y=2x+3被圆x 2+y 2-6x-8y=0所截得的弦长等于__________. 7、2013江西文T14.若圆C 经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C 的方程是 。
8、2013广东文T9．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，离心率等于21，则C 的方程是A ．14322=+y xB ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x9、2013上海文T12.设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且4π=∠CBA .若AB=4，BC=2，则Γ的两个焦点之间的距离为 . 10、2013大纲文T8.已知()()1221,0,1,0,F F C F x -是椭圆的两个焦点过且垂直于轴的直线交于A B 、两点，且3AB =，则C 的方程为（A ）2212x y += （B ）22132x y += （C ）22143x y += （D ）22154x y +=11、2013新课标Ⅱ文T5.设椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠= ，则C 的离心率为（ ）（A）6 （B ）13 （C ）12（D）3 12、2013辽宁文T11.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点，连接AF,BF 若，，则C 的离心率为（A ）35 （B ）57 （C ）45 （D ）6713、2013四川文T9.从椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点1F ，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且//AB OP （O 是坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ）（A）4 （B ）12（C）2 （D14、2013浙江文T9.如图F 1、F 2是椭圆C1：x 24+y 2=1与双曲线C2的公共焦点A 、B分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点，若四边形AF 1BF 2为 矩形，则C 2的离心率是A 、2 B 、3 C 、32 D 、6215、2013福建文T15．椭圆)0(1:2222>>=+Γb a by a x 的左、右焦点分别为,F F ，焦距为c 2．若直线与椭圆Γ的一个交点M 满足12212F MF F MF ∠=∠，则该椭圆的离心率等于（第14题图）16、2013新课标文T4.已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，则C 的渐近线方程为（ ） （A ）14y x =±（B ）13y x =±（C ）12y x =±（D ）y x =±17、2013辽宁文T15.已知F 为双曲线22:1,916x y C P Q C PQ -=的左焦点，为上的点，若的长等于虚轴长的2倍，点A 在线段PQ 上，则∆PQF 的周长为 .18、2013北京文T7．双曲线221y x m-=的充分必要条件是A ．12m >B ．1m ≥C ．1m >D ．2m > 19、2013重庆文T10.设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相较于点O 、所成的角为060的直线11A B 和22A B ，使1122A B A B =，其中1A 、1B 和2A 、2B 分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（A ）2] （B ）2) （C ）)+∞ （D ）)+∞ 20、2013福建文T4．双曲线122=-y x 的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A ．21B ．22C ．1D ．221、2013陕西文T11. 双曲线221169x y -=的离心率为 .22、2013湖北文T2．已知π04θ<<，则双曲线1C ：22221sin cos x y θθ-=与2C ：22221cos sin y x θθ-=的 A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．离心率相等D ．焦距相等23、2013江西文T9. 已知点A （2，0），抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM|：|MN|= A.2:B.1:2C. 1:D. 1:324、2013大纲文T12.已知抛物线()2:82,2,C C y x M k C =-与点过的焦点，且斜率为的直线与交于 ,0,A B MA MB k ==两点,若则（A ）12（B ）2 （C （D ）225、2013新课标文T8.O 为坐标原点，F 为抛物线2:C y =的焦点，P 为C 上一点，若||PF =POF ∆的面积为（ ）（A ）2（B ） （C ） （D ）426、2013新课标Ⅱ文T10.设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点。
2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编：圆锥曲线-推荐下载
:
y
C．1: 5
1 2p
线交 C1 于第一象限的点 M,若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线,则 p =（ ）
3
A．
16
3
B．
8
x2(p
23
C．
3
【答案】D x2
19.．（2013 年高考浙江卷（文））如图 F1.F2 是椭圆 C1: 4 +y2=1 与双曲线 C2 的公共焦点（ ） A．B 分别是 C1.C2 在第二.四象限的公共点,若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是
A． 6
【答案】D
3
10.．（2013 年高考大纲卷（文））
B．3
1
已知 F1 1, 0, F2 1, 0是椭圆C的两个焦点过, 且F垂2 直于轴的x直线交于
C 的方程为（ ）
A． x2 y2 1 2
【答案】C
11.．（2013
B． x2 y2 1 32
年高考辽宁卷（文））已知椭圆 C :
．（2013 年高考课标Ⅰ卷（文）） O 为坐标原点, F 为抛物线 C : y2 4 2x 的焦点, P 为 C 上一点,若
| PF | 4 2 ,则 POF 的面积为（ ）
A． 2
【答案】C
．（2013
程为（ ）
A． y 1 x 4
【答案】C
B． 2 2
年高考课标Ⅰ卷（文））已知双曲线 C
A．1
B．2
C ．4
【答案】C 17.．（2013 年高考江西卷（文））已知点 A(2,0),抛物线 C:x2=4y 的焦点为 F,射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M,与
其准线相交于点 N,则|FM|:|MN|=（ ）
四川省各地市2013年高考数学最新联考试题分类汇编(10)圆锥曲线
一、选择题:4．(四川省凉山州2013届高三第三次诊断理)若y=2x 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线,则该双曲线的离心率为A BC ．2D 【答案】D2. (四川省绵阳市2013届高三第三次诊断性考试文)抛物线x 2=-4y 的准线方程是 A. x=-1 B. x=2 C.y=1 D. y=-2【答案】C9. (四川省绵阳市2013届高三第三次诊断性考试文)0(122>>=+b a b y)0,0(122>>=+n m ny 的公共焦点 是F 1 F 2,点P 是两曲线的一个公共点，若cos 21=∠PF FA.22 C.1010 D. 510【答案】D8. (四川省南充市高2013届第三次高考适应性考试理)已知抛物线()022>=p px y 与双曲线()0,012222>>=-b a by a x 有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且x AF ⊥轴，则双曲线的离心率为 （ ） A.12+ B.13+C.215+ D.2122+【答案】A8. (四川省宜宾市高中2013届高三二诊考试理)设直线的斜率为2且过抛物线)0(2≠=a ax y 的焦点F ，又与y 轴交于点A ，O 为坐标原点，若OAF ∆的面积为4，则抛物线的方程为：（A ）x y 42= （B ）x y 82= （C ）x y 42±= （D ） x y 82±=【答案】D5．(四川省资阳市2013届高三第二次高考模拟考试文)以抛物线24y x =的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是（A ）22(2)4x y -+= （B ）22(1)4x y -+= （C ）22(2)2x y -+=（D ）22(1)2x y -+=【答案】B10. (四川省宜宾市高中2013届高三二诊考试理) 如图，轴截面为边长为34等边三角形的圆锥，过底面圆周上任一点作一平面α，且α与底面所成二面角为6π，已知α与圆锥侧面交线的曲线为椭圆，则此椭圆的离心率为（ ）（A ）43 （B ）23（C ）33 （D ） 22 【答案】C6、(四川省成都十二中2013届高三3月考理)设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ B ） A. 340x y ±= B. 430x y ±=C. 350x y ±=D. 540x y ±=二、填空题:14. (四川省成都市2013届高三第三次诊断理）已知双曲线C:)0,0(12222>>=-b a by a x 与抛物线y 2=8x 有公共的焦点F ，它们在第一象限内的交点为M.若双曲线C 的离心率为2，则 |MF|=_____. 【答案】514. (四川省南充市高2013届第三次高考适应性考试理) P 点在椭圆22143x y +=上运动,Q ，R 分别在两圆22(1)1x y ++=和22(1)1x y -+=上运动，则|PQ|+|PR|的最大值为 【答案】612．(四川省资阳市2013届高三第二次高考模拟考试文)双曲线2216416y x -=上一点P 到它的一个焦点的距离等于1，那么点P 到另一个焦点的距离等于 ． 【答案】1714、(四川省眉山市高中2013届高三第二次诊断性考试理)已知点M 是抛物线x y 42=上的一点，F 为抛物线的焦点，点A 在圆1)1()4(:22=-+-y x C 上，则||||MF MA +的最小值为 . 【答案】412. (四川省成都十二中2013届高三3月考理)双曲线21(0)x y a a-=>,则a三、解答题:20. (四川省绵阳市2013届高三第三次诊断性考试文) (本小题满分13分）已知椭圆C:0(12222>>=+b a b y a x 原点为圆心，椭圆c 的短半轴长为半径的圆与直线02=++y x 相切.A 、B 是椭圆的左右顶点，直线l 过B 点且与x 轴垂直，如图.(I )求椭圆的标准方程；(II)设G 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，GH 丄x 轴，H 为垂足，延长HG 到点Q 使得HG=GQ,连接AQ 并延长交直线l 于点M,点N 为MB 的中点，判定直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系，并证明你的结论. 20．解：（Ⅰ）由题可得：e =c a =∵ 以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x +y+2=0相切，，解得b =1．再由a =b +c ，可解得：a =2．∴ 椭圆的标准方程：2214x y +=．……………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：A (-2，0)，B (2，0)，直线l 的方程为：x =2． 设G (x 0，y 0)(y 0≠0)，于是H (x 0，0)，Q (x 0，2y 0)，且有220014x y +=，即4y 02=4-x 02．设直线AQ 与直线BQ 的斜率分别为：k AQ ，k BQ ，∵220000220000224412244AQ BQ y y y x k k x x x x -⋅=⋅===-+---，即AQ ⊥BQ ，∴ 点Q 在以AB 为直径的圆上．∵ 直线AQ 的方程为：002(2)2y y x x =++， 由002(2)22y y x x x ⎧=+⎪+⎨⎪=⎩，， 解得：00282x y y x =⎧⎪⎨=⎪+⎩，，即008(2)2y M x +，，∴ 004(2)2yN x +，．∴ 直线QN 的斜率为：0000000220000422222442QN y y x x y x y x k x x y y -+---====--，∴ 0000212OQ QN y xk k x y -⋅=⋅=-，于是直线OQ 与直线QN 垂直，∴直线QN 与以AB 为直径的圆O 相切． …………………………………13分20. (四川省南充市高2013届第三次高考适应性考试理)（本小题满分13分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>长轴上有一顶点到两个焦点之间的距离分别为：3+-（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若P 在椭圆上，12,F F 分别为椭圆的左右焦点，且满足t PF PF =⋅21，求实数的范围； （Ⅲ）过点Q(1,0 )作直线l (与x 轴不垂直）与椭圆交于M,N 两点，与y 轴交于点R ，若NQ RN MQ RM μλ==,，求证：μλ+为定值.20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=+223223c a c a ，得⎪⎩⎪⎨⎧==223c a ，1222=-=c a b ，所以椭圆方程为1922=+y x ………………4分（Ⅱ）设12(,),(P x y F F -12(22,),(22,)PF x y PFx y ∴=---=--122222(,,)88PF PF x y x y x y x y ⋅=----=-+=+-P 在椭圆1922=+y x 上 2219x y ∴=-222128879t PF PF x y x ∴=⋅=+-=- 209x ≤≤ 71t ∴-≤≤故所求实数的范围为[]7,1-………………8分（Ⅲ）依题意，直线的斜率存在，则设直线的方程为)1(-=x k y ，设11223(,),(,),(0,)M x y N x y R y ，则N M ,两点坐标满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=19)1(22y x x k y ， 消去y 整理得09918)91(2222=-+-+k x k x k ，所以221212221899,1919k k x x x x k k-+==++，① ………………10分 因为MQ RM λ=，所以()11311(,)1,0(,)x y y x y λ-=-⎡⎤⎣⎦，即11131(1)x x y y y λλ=-⎧⎨-=-⎩，因为l 与x 轴不垂直，所以11x ≠，则111x x λ=-，又NQ RN μ=，同理可得221x x μ=-， 所以1212121212122111()x x x x x x x x x x x x λμ+-+=+=---++ 由①式代人上式得49-=+μλ ………………13分 20．(四川省宜宾市高中2013届高三二诊考试理)（本小题满分13分）已知椭圆的中心在坐标原点O, 焦点在x 轴上,形为正方形, 两准线间的距离为4. (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)直线过点P(0, 2)且与椭圆相交于A.、B 两点, 当△AOB 面积取得最大值时, 求直线的方程. 20．解：(Ⅰ) 设椭圆方程为 )0(12222>>=+b a by a x ……（ 1 分）20题图由已知得⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+===112422222222c b a c b a c ac b ……（ 3 分） ∴. 所求椭圆方程为1222=+y x . ………………（ 4 分）(Ⅱ)解法一:由题意知直线的斜率存在, 设直线的方程为2+=kx y ,),(),,(2211y x B y x A , ………………（ 5 分）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=12222y x kx y ，消去y 得关于x 的方程: 068)21(22=+++kx x k , ………………（ 7 分）由直线与椭圆相交于A 、B 两点, ∴0)21(2464022>+-⇒>∆k k解得232>k . …………（ 8 分） 又由韦达定理得⎪⎩⎪⎨⎧+=⋅+-=+221221216218k x x k k x x ………………（ 9 分） ∴2121x x k AB -⋅+=24162114)(1222212212-++=-++=k k k x x x x k原点O 到直线的距离为212kd +=………………（ 10 分）∴222221322221241621k k k k d AB S AOB+-=+-=⋅=∆………………（ 11 分）对22212416kk S +-=两边平方整理得:024)4(4422242=++-+S k S k S∵0≠S ,∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+>-≥+⨯--⨯0424040)24(44)4(1622222222S S S S S S S 整理得:212≤S , 又0>S , ∴220≤<S . 从而AOB S ∆的最大值为22=S ,………………（ 12 分） 此时代入方程(*)得04928424=+-k k ∴ 214±=k , 所以, 所求直线方程为04214=+-±y x .………………（13 分） 解法二: 令)0(322>-=m k m ,则3222+=m k ∴ 224224222≤+=+=mm m m S ,………………（ 12 分） 当且仅当mm 4=即2=m 时, 22max =S ,此时214±=k , 所以, 所求直线方程为04214=+-±y x .………………（ 13 分） 20．(四川省资阳市2013届高三第二次高考模拟考试文)（本小题满分13分）已知椭圆C ：22221x ya b+=(0a b >>)经过(1,1)与两点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过原点的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，椭圆C 上一点M 满足||||MA MB =．求证：222112||||||OA OB OM ++为定值． 20．解析（Ⅰ）将(1,1)与代入椭圆C 的方程， 得2222111,331,24a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得23a =，232b =．∴椭圆C 的方程为222133x y +=． ·······························································6分（Ⅱ）由||||MA MB =，知M 在线段AB 的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A 、B 关于原点对称．①若点A 、B 是椭圆的短轴顶点，则点M 是椭圆的一个长轴顶点，此时 222112||||||OA OB OM ++22222112112()2b b a a b =++=+=． 同理，若点A 、B 是椭圆的长轴顶点，则点M 在椭圆的一个短轴顶点，此时 222112||||||OA OB OM ++22222112112()2a a b a b=++=+=． ②若点A 、B 、M 不是椭圆的顶点，设直线l 的方程为y kx =（0k ≠）， 则直线OM 的方程为1y x k=-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由22,21,33y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得212312x k =+，2212312k y k =+， ∴222221123(1)||||12k OA OB x y k +==+=+，同理2223(1)||2k OM k +=+，所以222112||||||OA OB OM ++22222212122(2)23(1)3(1)3(1)k k k k k k +++=++=+++， 故222112||||||OA OB OM ++为定值2． ························································13分 20、(四川省眉山市高中2013届高三第二次诊断性考试理)（本小题13分）设A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2)是椭圆)0(12222>>=+b a bx a y 上的两点，已知),(),,(2211a yb x n a y b x m ==，若0=∙，椭圆的离心率23=e ，短轴长为2，O 为坐标原点。
2013年高考真题解析分类汇编(文科数学)9：圆锥曲线
2013年高考解析分类汇编9：圆锥曲线一、选择题1 ．（2013年高考湖北卷（文））已知π04θ<<,则双曲线1C :22221sin cos x y θθ-=与2C :22221cos sin y x θθ-=的（ ）A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等【答案】D本题考查双曲线的方程以及,,a b c 的计算。
双曲线1C 中，2222s i n ,c o s a b θθ==，所以21c =，离心率为221sin e θ=。
2C 中，2222c o s ,s i n a b θθ==，所以21c =。
所以两个双曲线有相同的焦距，选D.2 ．（2013年高考四川卷（文9））从椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点P 向x 轴作垂线,垂足恰为左焦点1F ,A 是椭圆与x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与y 轴正半轴的交点,且//AB OP (O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是（ ）A ．4B ．12C ．2 D ．2【答案】C由已知得，点),(y c P -在椭圆上，代入椭圆的方程，得),(2ab c P -，因为AB ∥OP ，所以OP AB k k =，ac b a b 2-=-，c b =，所以21222222=-==c b c a c e ，22=e ，选C.3 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文10））设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点。
若||3||AF BF =，则l 的方程为（ ）（A ）1y x =-或1y x =-+ （B ）1)y x =-或1)y x =-（C ）1)y x =-或1)y x =- （D ）1)2y x =-或1)2y x =-- 【答案】C抛物线y 2=4x 的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=-1，设A （x 1，y 1），B（x 2，y 2），则因为|AF|=3|BF|，所以x 1+1=3（x 2+1），所以x 1=3x 2+2。
圆锥曲线理科高考真题汇总
2013年全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线一、选择题1 .过点(2,0)引直线l 与曲线21y x =+相交于A,B 两点,O 为坐标原点,当∆AOB 的面积取最大值时,直线l 的斜率等于（ ） A ．y EB BC CD=++33B ．33-C ．33±D ．3-【答案】B2 ．双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A ．25B ．45C ．255D ．455【答案】C3 ．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是（ ）A ．22145x -=B ．22145x y -=C ．22125x y -=D ．22125x -=【答案】B4 ．已知双曲线C :22221x y a b -=(0,0a b >>)的离心率为52,则C 的渐近线方程为（ ）A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±【答案】C5 ．已知04πθ<<,则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的 （ ）A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等【答案】D6 ．抛物线24y x =的焦点到双曲线2213yx -=的渐近线的距离是（ ） A ．12B ．32C ．1D 3【答案】B7 ．如图,21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点,B A ,分别是1C ,2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形,则2C 的离心率是（ ）A ．2B ．3C ．23 D ．26 【答案】D8 ．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB则p =（ ） A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】C9 ．椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是 （ ）A ．1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】B10．已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点,若0MA MB =u u u r u u u rg ,则k =（ ）A ．12B．2CD ．2【答案】D11．若双曲线22221x y a b-=则其渐近线方程为（ ）A ．y =±2xB ．y=C ．12y x =±D．2y x =±【答案】B12．已知抛物线1C :212y x p =(0)p >的焦点与双曲线2C :2213x y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M .若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线,则p =（ ）A ．3B ．3C ．23D ．43【答案】D13．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为（ ）A ．2214536x y += B ．2213627x y += C ．2212718x y += D ．221189x y += 【答案】D14．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点M 在C 上,5MF =,若以MF 为直径的圆过点)2,0(,则C 的方程为（ ）A ．24y x =或28y x =B ．22y x =或28y x =C ．24y x =或216y x =D ．22y x =或216y x =【答案】C15．已知 A B 、为平面内两定点,过该平面内动点M 作直线AB 的垂线,垂足为N .若2MN AN NB λ=⋅u u u u r u u u r u u u r,其中λ为常数,则动点M 的轨迹不可能是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线【答案】C16．已知圆()()221:231C x y -+-=,圆()()222:349C x y -+-=,,M N 分别是圆12,C C 上的动点,P为x 轴上的动点,则PM PN +的最小值为 （ ）A ．524B 171C ．622-D 17【答案】A 二、填空题17．双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为_____________. 【答案】x y 43±=18.抛物线22(0)x py p =>的焦点为F,其准线与双曲线22133x y -=相交于,A B 两点,若ABF ∆为等边三角形,则P =_____________【答案】619．设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点,P 是C 上一点,若216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30o ,则C 的离心率为___.【答案】320．设AB 是椭圆Γ的长轴,点C 在Γ上,且4CBA π∠=,若AB=4,2BC =,则Γ的两个焦点之间的距离为________【答案】46.21．已知直线y a =交抛物线2y x =于,A B 两点.若该抛物线上存在点C ,使得ABC ∠为直角,则a 的取值范围为___ _____.【答案】),1[+∞ 22．抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部与边界).若点),(y x P 是区域D 内的任意一点,则y x 2+的取值范围是__________.【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,223．在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ,右焦点为F ,右准线为l ,短轴的一个端点为B ,设原点到直线BF 的距离为1d ,F 到l 的距离为2d ,若126d d =,则椭圆C 的离心率为_______.【答案】324．椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左.右焦点分别为12,F F ,焦距为2c,若直线3()y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠,则该椭圆的离心率等于__________【答案】1-25．双曲线22116x y m -=的离心率为54, 则m 等于_______.【答案】926．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点,连接,AF BF ,若410,6,cos ABF 5AB AF ==∠=,则C 的离心率e =______. 【答案】5727．抛物线28y x =的准线方程是_______________【答案】2x =-28．在平面直角坐标系xOy 中,设定点),(a a A ,P 是函数xy1=(0>x )图象上一动点,若点A P ，之间的最短距离为22,则满足条件的实数a 的所有值为_______.【答案】1-或1029．设F 为抛物线x y C 4:2=的焦点,过点)0,1(-P 的直线l 交抛物线C 于两点B A ,,点Q 为线段AB 的中点,若2||=FQ ,则直线的斜率等于________.【答案】1± 三、解答题30．已知椭圆C 的两个焦点分别为1(10)F -，、2(1 0)F ，,短轴的两个端点分别为12 B B 、 (1)若112F B B ∆为等边三角形,求椭圆C 的方程;(2)若椭圆C 的短轴长为2,过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于 P Q 、两点,且11F P FQ ⊥u u u r u u u r,求直线l 的方程.31.已知椭圆C :22221,(0)x y a b a b +=>>的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -,且椭圆C 经过点41(,)33P .(Ⅰ)求椭圆C 的离心率;(Ⅱ)设过点(0,2)A 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点,点Q 是线段MN 上的点,且222211||||||AQ AM AN =+,求点Q 的轨迹方程.32．椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别是12,F F ,,过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,连接12,PF PF ,设12F PF ∠的角平分线PM 交C 的长轴于点(,0)M m ,求m 的取值范围;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过P 点作斜率为k 的直线l ,使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点,设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ,若0k ≠,试证明1211kk kk +为定值,并求出这个定值.33．如图,已知曲线221:12x C y -=,曲线2:||||1C y x =+,P 是平面上一点,若存在过点P 的直线与12,C C 都有公共点,则称P 为“C 1—C 2型点”.(1)在正确证明1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);(2)设直线y kx =与2C 有公共点,求证||1k >,进而证明原点不是“C 1—C 2型点”; (3)求证:圆2212x y +=内的点都不是“C 1—C 2型点”.34．如图,在正方形OABC 中,O 为坐标原点,点A 的坐标为(10,0),点C 的坐标为(0,10).分别将线段OA和AB 十等分,分点分别记为129,,....A A A 和129,,....B B B ,连结i OB ,过i A 做x 轴的垂线与i OB 交于点*(,19)i P i N i ∈≤≤.(1)求证:点*(,19)i P i N i ∈≤≤都在同一条抛物线上,并求该抛物线E 的方程;(2)过点C 做直线与抛物线E 交于不同的两点,M N ,若OCM ∆与OCN ∆的面积比为4:1,求直线的方程.35．过抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点F 作斜率分别为12,k k 的两条不同的直线12,l l ,且122k k +=,1l E 与相交于点A,B,2l E 与相交于点C,D.以AB,CD 为直径的圆M,圆N(M,N 为圆心)的公共弦所在的直线记为l .(I)若120,0k k >>,证明;22FM FN P <u u u u r u u u r g ;(II)若点M 到直线l 的距离的最小值为55,求抛物线E 的方程.36．如图,点)1,0(-P 是椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 的一个顶点,1C 的长轴是圆4:222=+y x C 的直径.21,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线,其中1l 交圆2C 于两点,2l 交椭圆1C 于另一点D (1)求椭圆1C 的方程; (2)求ABD ∆面积取最大值时直线1l 的方程.37．如题(21)图,椭圆的中心为原点O ,长轴在x 轴上,离心率22e =,过左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于,A A '两点,4AA '=.(1)求该椭圆的标准方程;(2)取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点,P P ',过,P P '作圆心为Q 的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q 外.若PQ P Q '⊥,求圆Q 的标准方程.xOyBl 1l 2 PDA（第36题图）38．设椭圆2222:11x y E a a+=-的焦点在x 轴上 (Ⅰ)若椭圆E 的焦距为1,求椭圆E 的方程;(Ⅱ)设12,F F 分别是椭圆的左、右焦点,P 为椭圆E 上的第一象限内的点,直线2F P 交y 轴与点Q ,并且11F P F Q ⊥,证明:当a 变化时,点p 在某定直线上.39.已知圆M :22(1)1x y ++=,圆N :22(1)9x y -+=,动圆P 与M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线 C.(Ⅰ)求C 的方程;(Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A,B 两点,当圆P 的半径最长时,求|AB|.40．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F , 3, 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的43(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=u u u r u u u r u u u r u u u r , 求k 的值.41．如图,椭圆2222+=1(>>0)x y C a b a b ：经过点3(1,),2P 离心率1=2e ,直线l 的方程为=4x .(1) 求椭圆C 的方程;(2) AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P ),设直线AB 与直线l 相交于点M ,记,,PA PB PM 的斜率分别为123,,.k k k 问:是否存在常数λ,使得123+=.k k k λ?若存在求λ的值;若不存在,说明理由.42．已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0Fc c >到直线l :20x y --=的距离为322.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点. (Ⅰ) 求抛物线C 的方程;(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值.43．平面直角坐标系xOy 中,过椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的右焦点F 作直30x y +=交M 于,A B 两点,P 为AB 的中点,且OP 的斜率为12. (Ⅰ)求M 的方程;(Ⅱ),C D 为M 上的两点,若四边形ABCD 的对角线CD AB ⊥,求四边形ABCD 面积的最大值.44．如图,已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ,长轴均为MN 且在x 轴上,短轴长分别为2m ,2n ()m n >,过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ,2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ,B ,C ,D .记m nλ=,BDM ∆和ABN ∆的面积分别为1S 和2S . (I)当直线l 与y 轴重合时,若12S S λ=,求λ的值;(II)当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=?并说明理由.45．已知A 、B 、C 是椭圆W :2214x y +=上的三个点,O 是坐标原点. (I)当点B 是W 的右顶点,且四边形OABC 为菱形时,求此菱形的面积;(II)当点B 不是W 的顶点时,判断四边形OABC 是否可能为菱形,并说明理由.第21题图46．已知动圆过定点A (4,0), 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8.(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C 的方程;(Ⅱ) 已知点B (-1,0), 设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P , Q , 若x 轴是PBQ ∠的角平分线, 证明直线l 过定点.47．如图,抛物线()2212:4,:20C x y C x py p ==->,点()00,M x y 在抛物线2C 上,过M 作1C 的切线,切点为,A B (M 为原点O 时,,A B 重合于O )012x =-,切线.MA 的斜率为12-. (I)求p 的值;(II)当M 在2C 上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹方程.(),,.A B O O 重合于时中点为48．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F ，,离心率为3，直线2y =与C 的6.(I)求,;a b ; (II)设过2F 的直线l 与C 的左、右两支分别相交于,A B 两点,且11AF BF =,证明:22AF AB BF 、、成等比数列.49．已知抛物线2 4C y x =：的焦点为F . (1)点 A P 、满足2AP FA =-u u u r u u u r .当点A 在抛物线C 上运动时,求动点P 的轨迹方程;(2)在x 轴上是否存在点Q ,使得点Q 关于直线2y x =的对称点在抛物线C 上?如果存在,求所有满足条件的点Q 的坐标;如果不存在,请说明理由. ()()2222232114a k n λλλλ--+=。
2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编11：圆锥曲线
2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编9：圆锥曲线一、选择题1 ．（2013年高考湖北卷（文））已知π04θ<<,则双曲线1C :22221sin cos x y θθ-=与2C :22221cos sin y x θθ-=的（ ） A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等 【答案】D2 ．（2013年高考四川卷（文））从椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点P 向x 轴作垂线,垂足恰为左焦点1F ,A 是椭圆与x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与y 轴正半轴的交点,且//AB OP (O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是（ ）A ．4B ．12C ．2D ．2【答案】C3 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,直线L 过F 且与C 交于A, B 两点.若|AF|=3|BF|,则L 的方程为（ ） A ．y=x-1或y=-x+1 B ．y=(X-1)或y=-(x-1)C ．y=(x-1)或y=-(x-1)D ．y=(x-1)或y=-(x-1)【答案】C4 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））O 为坐标原点,F 为抛物线2:C y =的焦点,P 为C 上一点,若||PF =,则POF ∆的面积为（ ）A ．2B ．C ．D ．4【答案】C5 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>则C 的渐近线方程为（ ） A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±【答案】C6 ．（2013年高考福建卷（文））双曲线122=-y x的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A ．21 B ．22 C ．1D ．2【答案】B7 ．（2013年高考广东卷（文））已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ,离心率等于21,则C 的方程是（ ）A ．14322=+y x B ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x 【答案】D8 ．（2013年高考四川卷（文））抛物线28y x =的焦点到直线0x -=的距离是（ ）A ．B ．2 CD ．1【答案】D9 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F P 是C 上的点21212,30PF F F PF F ⊥∠=︒,则C 的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D10．（2013年高考大纲卷（文））已知()()1221,0,1,0,F F C F x -是椭圆的两个焦点过且垂直于轴的直线交于A B 、两点，且3AB =，则C 的方程为（ ）A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 【答案】C11．（2013年高考辽宁卷（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点,连接了,AF BF ,若410,8,cos ABF 5AB B F ==∠=,则C 的离心率为（ ） A ．35B ．57C ．45D ．67【答案】B12．（2013年高考重庆卷（文））设双曲线C 的中心为点O ,若有且只有一对相较于点O 、所成的角为060的直线11A B 和22A B ,使1122A B A B =,其中1A 、1B 和2A 、2B 分别是这对直线与双曲线C 的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．(2]3B ．[,2)3C ．()3+∞ D ．[)3+∞ 【答案】A13．（2013年高考大纲卷（文））已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M-,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点,若0MA MB =,则k =（ ）A ．12B ．2C D ．2【答案】D14．（2013年高考北京卷（文））双曲线221y x m-=的充分必要条件是（ ）A ．12m >B ．1m ≥C ．1m >D ．2m >【答案】C15．（2013年上海高考数学试题（文科））记椭圆221441x ny n +=+围成的区域(含边界)为()1,2,n n Ω=,当点(),x y 分别在12,,ΩΩ上时,x y +的最大值分别是12,,M M ,则lim n n M →∞=（ ）A ．0B ．41C ．2D ．【答案】D16．（2013年高考安徽（文））直线250x y +-+=被圆22240x y x y +--=截得的弦长A ．1B ．2C ．4D ．【答案】C17．（2013年高考江西卷（文））已知点A(2,0),抛物线C:x 2=4y 的焦点为F,射线FA 与抛物线C 相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|:|MN|=（ ） A ．2:B ．1:2C ．1:D ．1:3【答案】C18．（2013年高考山东卷（文））抛物线)0(21:21>=p x py C 的焦点与双曲线222:13x C y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M,若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线,则p =（ ）A ．163B ．83 C ．332 D ．334 【答案】D19．（2013年高考浙江卷（文））如图F 1.F 2是椭圆C1:x 24+y 2=1与双曲线C2的公共焦点( ）A ．B 分别是C 1.C 2在第二.四象限的公共点,若四边形AF 1BF 2为矩形,则C 2的离心率是A ．2B ．3 C ．32D ．62【答案】 D ．二、填空题20．（2013年高考湖南（文））设F 1,F 2是双曲线C,22221a x y b-= (a>0,b>0)的两个焦点.若在C 上存在一点P.使PF 1⊥PF 2,且∠PF 1F 2=30°,则C 的离心率为_______.【答案】13+21．（2013年高考陕西卷（文））双曲线221169x y -=的离心率为________.【答案】4522．（2013年高考辽宁卷（文））已知F 为双曲线22:1916x y C -=的左焦点,,P Q 为C 上的点,若PQ 的长等于虚轴长的2倍,点()5,0A 在线段PQ 上,则PQF ∆的周长为【答案】4423．（2013年上海高考数学试题（文科））设AB 是椭圆Γ的长轴,点C 在Γ上,且π4CBA ∠=.若4AB =,BC =则Γ的两个焦点之间的距离为【答案】324．（2013年高考北京卷（文））若抛物线22y px =的焦点坐标为(1,0)则p =____;准线方程为_____.【答案】2,1x =-25．（2013年高考福建卷（文））椭圆)0(1:2222>>=+Γb a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ,焦距为c 2.若直线与椭圆Γ的一个交点M 满足12212F MF F MF ∠=∠,则该椭圆的离心率等于__________【答案】13- 26．（2013年高考天津卷（文））已知抛物线28y x =的准线过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为【答案】2213y x -= 三、解答题27．（2013年高考浙江卷（文））已知抛物线C 的顶点为O(0,0),焦点F(0,1)(Ⅰ)求抛物线C 的方程;(Ⅱ) 过点F 作直线交抛物线C 于A.B 两点.若直线AO.BO 分别交直线l :y=x-2于M.N 两点, 求|MN|的最小值.【答案】解:(Ⅰ)由已知可得抛物线的方程为:22(0)xpy p =>,且122pp =⇒=,所以抛物线方程是:24x y =;(Ⅱ)设221212(,),(,)44x x A x B x ,所以12,,44AO BO x x k k ==所以AO 的方程是:14x y x =,由118442M x y x x x y x ⎧=⎪∴=⎨-⎪=-⎩,同理由228442N x y x x x y x ⎧=⎪∴=⎨-⎪=-⎩所以1212121288|||||44164()M N x x MN x x x x x x x x -=-=-=---++①设:1AB y kx =+,由1222121444044y kx x x k x kx x x x y=+⎧+=⎧⎪∴--=∴⎨⎨=-=⎪⎩⎩,且12||x x -==代入①得到:|||16164MN k ==--设34304tkt k +-=≠∴=, ① 当0t >时||MN ==≥所以此时||MN的最小值是;② 当0t <时,4||55MN ====,所以此时||MN的最小值是5,此时253t =-,43k =-;综上所述:||MN的最小值是5;28．（2013年高考山东卷（文））在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C 的中心在原点O,焦点在x 轴上,短轴长为2,(I)求椭圆C 的方程(II)A,B 为椭圆C 上满足AOB ∆,E 为线段AB 的中点,射线OE 交椭圆C 与点P,设OP tOE =,求实数t 的值.解：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为（222210)x y a b a b+=>>，由题意得22222a b c cab ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩， 解得a =1b =，所以椭圆C 的方程为2212x y +=． （Ⅱ）（1）当A ，B 两点关于x 轴对称时，设直线AB 的方程是x m =，由题意知0m <<或0m <<x m =代入2212x y +=得y =．所以4AOBS m∆==，解得232m =或212m =． ① 又 11()(2,0)(,0)22OP t OE t OA OB t m mt ==+==，且点P 在椭圆C 上， 所以2()012mt +=，即2()2mt =． ② 由①②得24t =或243t =．又因0t >，所以2t =或t =．（2）当A ，B 两点关于x 轴不对称时，设直线AB 的方程是y k x h =+，由2212y k x h x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 整理得222(12)4220k x khx h +++-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ．由判别式0∆>得2212k h +>．此时122412kh x x k +=-+，21222212h x x k -⋅=+，121222()212hy y k x x h k +=++=+，所以AB ==． 因为点O 到直线AB的距离d =，所以1122AOB S AB d ∆==⨯h =．又因4AOB S ∆=h =③， 令212n k =+，代入③整理得224316160n h n h -+=，解得24n h =或243n h =，即22124k h +=或224123k h += ④，又 121222112()(,)(,)221212kht htOP t OE t OA OB t x x y y k k ==+=++=-++，且点P 在椭圆C 上，所以222212()()121212kht ht k k-+=++，即22()12ht k =+ ⑤， 由④⑤得24t =或243t =．又因0t >，所以2t =或t =．综合（1）（2）得2t =或3t =．29．（2013年高考广东卷（文））已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0Fc c >到直线:20l x y --=的距离为2.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点. (1) 求抛物线C 的方程;(2) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (3) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值.【答案】(1)依题意2d ==,解得1c =(负根舍去) ∴抛物线C 的方程为24x y =; (2)设点11(,)A x y ,22(,)B x y ,),(00y x P , 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为)(2111x x x y y -=-, 即2111212x y x x y -+=. ∵21141x y =, ∴112y x x y -=. ∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① 同理, 20202y x x y -=. ② 综合①、②得,点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标都满足方程 y x xy -=002. ∵经过1122(,),(,)A x y B x y 两点的直线是唯一的, ∴直线AB 的方程为y x xy -=002,即00220x x y y --=; (3)由抛物线的定义可知121,1AF y BF y =+=+, 所以()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立2004220x y x x y y ⎧=⎨--=⎩,消去x 得()22200020y y x y y +-+=, 2212001202,y y x y y y y ∴+=-= ∴当012y =-时,AF BF ⋅取得最小值为9230．（2013年上海高考数学试题（文科））本题共有3个小题.第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.如图,已知双曲线1C :2212x y -=,曲线2C :||||1y x =+.P 是平面内一点,若存在过点P 的直线与1C 、2C 都有公共点,则称P 为“1C -2C 型点”.(1)在正确证明1C 的左焦点是“1C -2C 型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);(2)设直线y kx =与2C 有公共点,求证||1k >,进而证明原点不是“1C -2C 型点; (3)求证:圆2212x y +=内的点都不是“1C -2C 型点”. 【解析】 （1） )0,3(,3,1,212122222221-=+====-F b a c b a y x C 可知：方程：由显然，由双曲线1C 的几何图像性质可知，过相交的任意直线都与曲线11C F .在曲线2C 图像上取点P(0,1),则直线均有交点、与两曲线211C C PF 。
2013高考真题文科数学试题分类汇编15：圆锥曲线
2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编15：圆锥曲线一、选择题1 ．（2013年高考湖北卷（文））已知π04θ<<,则双曲线1C :22221sin cos x y θθ-=与2C :22221cos sin y x θθ-=的 （ ）A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等【答案】D2 ．（2013年高考四川卷（文））从椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点P 向x 轴作垂线,垂足恰为左焦点1F ,A 是椭圆与x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与y 轴正半轴的交点,且//AB OP (O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是（ ）A ．24B ．12C ．22 D ．32【答案】C3 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,直线L 过F 且与C 交于A,B 两点.若|AF|=3|BF|,则L 的方程为 （ ）A ．y=x-1或y=-x+1B ．y=(X-1)或y=-(x-1)C ．y=(x-1)或y=-(x-1)D ．y=(x-1)或y=-(x-1)【答案】C4 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））O 为坐标原点,F 为抛物线2:42C y x =的焦点,P 为C上一点,若||42PF =,则POF ∆的面积为（ ）A ．2B ．22C ．23D ．4【答案】C5 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>52,则C 的渐近线方程为（ ）A ．14y x=± B ．13y x=± C ．12y x=± D ．y x =±【答案】C6 ．（ 2013年高考福建卷（文））双曲线122=-y x 的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A ．21B ．22C ．1D ．2【答案】B7 ．（2013年高考广东卷（文））已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ,离心率等于21,则C 的方程是 （ ）A ．14322=+y x B ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x【答案】D8 ．（2013年高考四川卷（文））抛物线28y x =的焦点到直线30x y -=的距离是（ ）A ．23B ．2C ．3D ．1【答案】D9 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F P 是C 上的点21212,30PF F F PF F ⊥∠=︒,则C 的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 10．（2013年高考大纲卷（文））已知()()1221,0,1,0,F F C F x -是椭圆的两个焦点过且垂直于轴的直线交于A B 、两点，且3AB =，则C 的方程为 （ ）A ．2212x y +=B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 【答案】C11．（2013年高考辽宁卷（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点,连接了,AF BF,若410,8,cos ABF 5AB B F ==∠=,则C 的离心率为（ ）A ．35B ．57C ．45D ．67【答案】B12．（2013年高考重庆卷（文））设双曲线C 的中心为点O ,若有且只有一对相较于点O 、所成的角为060的直线11A B 和22A B ,使1122A B A B =,其中1A 、1B 和2A 、2B 分别是这对直线与双曲线C 的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是 （ ）A．2]B．2)C．)+∞D．)+∞【答案】A13．（2013年高考大纲卷（文））已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点,若0MA MB =,则k = （ ）A ．12BCD ．2【答案】D14．（2013年高考北京卷（文））双曲线221y x m-=（ ）A ．12m >B ．1m ≥C ．1m >D ．2m >【答案】C15．（2013年上海高考数学试题（文科））记椭圆221441x ny n +=+围成的区域(含边界)为()1,2,n n Ω=,当点(),x y 分别在12,,ΩΩ上时,x y +的最大值分别是12,,M M ,则lim n n M →∞=（ ）A ．0B ．41C ．2D ．22【答案】D16．（2013年高考安徽（文））直线2550x y +-+=被圆22240x y x y +--=截得的弦长为 （ ）A ．1B ．2C ．4D ．46【答案】C17．（2013年高考江西卷（文））已知点A(2,0),抛物线C:x 2=4y 的焦点为F,射线FA 与抛物线C 相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|:|MN|=（ ）A ．2:B ．1:2C ．1:D ．1:3【答案】C18．（2013年高考山东卷（文））抛物线)0(21:21>=p x py C 的焦点与双曲线222:13x C y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M,若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线,则p =（ ）A ．163 B ．83 C ．332 D ．334 【答案】D19．（2013年高考浙江卷（文））如图F 1.F 2是椭圆C1:x 24+y 2=1与双曲线C2的公共焦点（ ）A ．B 分别是C 1.C 2在第二.四象限的公共点,若四边形AF 1BF 2为矩形,则C 2的离心率是（ ）A ． 2B ． 3C ．32D ． 62【答案】 D ．（第9题图）二、填空题20．（2013年高考湖南（文））设F 1,F 2是双曲线C,22221a x y b -= (a>0,b>0)的两个焦点.若在C 上存在一点P.使PF 1⊥PF 2,且∠PF 1F 2=30°,则C 的离心率为____13+_______.【答案】13+21．（2013年高考陕西卷（文））双曲线221169x y -=的离心率为________. 【答案】4522．（2013年高考辽宁卷（文））已知F 为双曲线22:1916x y C -=的左焦点, ,P Q 为C 上的点,若PQ 的长等于虚轴长的2倍,点()5,0A 在线段PQ 上,则PQF ∆的周长为____________.【答案】4423．（2013年上海高考数学试题（文科））设AB 是椭圆Γ的长轴,点C 在Γ上,且π4CBA ∠=.若4AB =,BC =则Γ的两个焦点之间的距离为_______.【答案】324．（2013年高考北京卷（文））若抛物线22y px =的焦点坐标为(1,0)则p =____;准线方程为_____.【答案】2,1x =-25．（2013年高考福建卷（文））椭圆)0(1:2222>>=+Γb a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ,焦距为c 2.若直线与椭圆Γ的一个交点M 满足12212F MF F MF ∠=∠,则该椭圆的离心率等于__________ 【答案】13-26．（2013年高考天津卷（文））已知抛物线28y x =的准线过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为______.【答案】2213y x -= 三、解答题27．（2013年高考浙江卷（文））已知抛物线C 的顶点为O(0,0),焦点F(0,1)(Ⅰ)求抛物线C 的方程;(Ⅱ) 过点F 作直线交抛物线C 于A.B 两点.若直线AO.BO 分别交直线l :y=x-2于M.N 两点,求|MN|的最小值.【答案】解:(Ⅰ)由已知可得抛物线的方程为:22(0)x py p =>,且122p p =⇒=,所以抛物线方程是: 24x y =; (Ⅱ)设221212(,),(,)44x x A x B x ,所以12,,44AO BO x x k k ==所以AO 的方程是:14x y x=,由118442Mx y xx x y x ⎧=⎪∴=⎨-⎪=-⎩,同理由228442Nx y xx x y x ⎧=⎪∴=⎨-⎪=-⎩所以1212121288|||||44164()M N x x MN x x x x x x x x -=-=-=---++①设:1AB y kx =+,由1222121444044y kx x x k x kx x x x y=+⎧+=⎧⎪∴--=∴⎨⎨=-=⎪⎩⎩,且12||x x -==代入①得到:||||16164MN k ==--设34304t k t k +-=≠∴=,① 当0t>时||MN ==≥,所以此时||MN 的最小值是② 当0t<时,4||55MN ===≥=,所以此时||MN的最小值是5,此时253t =-,43k =-; 综上所述:||MN的最小值是5;28．（2013年高考山东卷（文））在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C 的中心在原点O,焦点在x 轴上,短轴长为2,(I)求椭圆C 的方程(II)A,B 为椭圆C 上满足AOB ∆,E 为线段AB 的中点,射线OE交椭圆C 与点P,设OP tOE =,求实数t 的值.【答案】将x m =代入椭圆方程2212y x +=,得29．（2013年高考广东卷（文））已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离为322.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点.(1) 求抛物线C 的方程; (2) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程;(3) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF⋅的最小值.【答案】(1)依题意d ==解得1c =(负根舍去)∴抛物线C 的方程为24x y =;(2)设点11(,)A x y ,22(,)B x y ,),(00y x P ,由24x y =,即214y x ,=得y '=12x .∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为)(2111x x x y y -=-, 即2111212x y x x y -+=. ∵21141x y =, ∴112y x x y -= . ∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① 同理,20202y x x y -=. ② 综合①、②得,点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标都满足方程yx xy -=002. ∵经过1122(,),(,)A x y B x y 两点的直线是唯一的,∴直线AB 的方程为yx x y -=002,即00220x x y y --=; (3)由抛物线的定义可知121,1AF y BF y =+=+,所以()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立2004220x y x x y y ⎧=⎨--=⎩,消去x 得()22200020y y x y y +-+=,2212001202,y y x y y y y ∴+=-=0020x y --=()222200000021=221AF BF y y x y y y ∴⋅=-++-+++220019=22+5=2+22y y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭∴当012y =-时,AF BF ⋅取得最小值为92 30．（2013年上海高考数学试题（文科））本题共有3个小题.第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.如图,已知双曲线1C :2212x y -=,曲线2C :||||1y x =+.P 是平面内一点,若存在过点P 的直线与1C 、2C 都有公共点,则称P 为“1C -2C 型点”.(1)在正确证明1C 的左焦点是“1C -2C 型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);(2)设直线y kx =与2C 有公共点,求证||1k >,进而证明原点不是“1C -2C 型点;(3)求证:圆2212x y +=内的点都不是“1C -2C 型点”.【答案】31．（2013年高考福建卷（文））如图,在抛物线2:4E y x =的焦点为F ,准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上,以C 为圆心OC为半径作圆,设圆C 与准线l 的交于不同的两点,M N .(1)若点C 的纵坐标为2,求MN;(2)若2AF AM AN=⋅,求圆C 的半径.【答案】解:(Ⅰ)抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-,由点C 的纵坐标为2,得点C 的坐标为(1,2) 所以点C 到准线l 的距离2d =,又||5CO =所以22||2||2542MN CO d =-=-=.(Ⅱ)设200(,)4y C y ,则圆C 的方程为242220000()()416y y x y y y -+-=+,即22200202y x x y y y -+-=. 由1x =-,得2202102y y y y -++= 设1(1,)M y -,2(1,)N y -,则:222000201244(1)240212y y y y y y ⎧∆=-+=->⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩由2||||||AF AM AN =⋅,得12||4y y =所以20142y +=,解得0y =此时0∆>所以圆心C的坐标为3(2或3(,2从而233||4CO =,||CO =即圆C32．（2013年高考北京卷（文））直线y kx m =+(0m ≠)W :2214x y +=相交于A ,C 两点,O 是坐标原点(1)当点B 的坐标为(0,1),且四边形OABC 为菱形时,求AC 的长. (2)当点B 在W 上且不是W 的顶点时,证明四边形OABC 不可能为菱形.【答案】解:(I)因为四边形OABC 为菱形,所以AC 与OB 相互垂直平分.所以可设1(,)2A t ,代入椭圆方程得21144t +=,即t =. 所以|AC|=(II)假设四边形OABC 为菱形.因为点B 不是W 的顶点,且AC⊥O B,所以0k ≠. 由2244x y y kx m⎧+=⎨=+⎩,消去y 并整理得222(14)8440k x kmx m +++-=.设A1,1()x y ,C 2,2()x y ,则1224214x x km k +=-+,121222214y y x x m k m k ++=⋅+=+.所以AC 的中点为M(2414km k -+,214m k +).因为M 为AC 和OB 的交点,且0m ≠,0k ≠,所以直线OB 的斜率为14k-. 因为1()14k k⋅-≠-,所以AC 与OB 不垂直. 所以OABC 不是菱形,与假设矛盾. 所以当点B 不是W 的顶点时,四边形OABC 不可能是菱形.33．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知圆22:(1)1M x y ++=,圆22:(1)9N x y -+=,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线C .(Ⅰ)求C 的方程;(Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A ,B 两点,当圆P 的半径最长是,求||AB .请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑.【答案】解:由已知得圆M 的圆心为M(-1,0),半径11r =;圆N 的圆心为N(1,0),半径23r =.设知P 的圆心为P(x,y),半径为R.(I) 因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,所以1212()()4PM PN R r r R r r +=++-=+=.有椭圆的定义可知,曲线C 是以M,N 为左.右焦点,长半轴长为2,(左定点除外),其方程为221(2)43x y x +=≠-.(II)对于曲线C 上任意一点(,)P x y ,由于222PM PN R -=-≤,所以R ≤2,当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时,R=2,所以当圆P 的半径最长时,其方程为22(2)4x y -+=;若l 的倾斜角为90°,则l 与y 轴重合,可得AB =若l 的倾斜角不为90°,则1r R ≠知l 不平行于x 轴,设l 与x 轴的交点为Q,则1QPR QM r =,可求得Q(-4,0),所以可设l:y=k(x+4).由l 于圆M1=,解得k=±4. 当k=4时,将y=422143x y +=,并整理得27880x x +-=,解得1,22141877x AB x -±=-=所以. 当k=18=7AB .综上,AB 187AB =.34．（2013年高考陕西卷（文））已知动点M (x ,y )到直线l :x = 4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍.(Ⅰ) 求动点M 的轨迹C 的方程;(Ⅱ) 过点P (0,3)的直线m 与轨迹C 交于A , B 两点. 若A 是PB 的中点, 求直线m 的斜率.【答案】解: (Ⅰ) 点M(x,y)到直线x=4的距离,是到点N(1,0)的距离的2倍,则 134)1(2|4|2222=+⇒+-=-y x y x x . 所以,动点M 的轨迹为 椭圆,方程为13422=+y x (Ⅱ) P(0, 3), 设212122113202),,(B ),,(A y y x x y x y x +=+=，由题知： 椭圆),3-,0()3,0(和的上下顶点坐标分别是经检验直线m 不经过这2点,即直线m斜率k 存在.3:+=kx y m 方程为设直线.联立椭圆和直线方程,整理得:221221224324,432402424)43k x x k k x x kx x k +=⋅+-=+⇒=+++（232924)43()24(252)(2212221212211221±=⇒=⋅+-⇒=⋅⋅-+⇒+=+k k k x x x x x x x x x x所以,直线m 的斜率23±=k35．（2013年高考大纲卷（文））已知双曲线()221222:10,0x y C a b F F a b-=>>的左、右焦点分别为，，离心率为3，直线2y C =与(I)求,;a b ;(II)2F l C A B 设过的直线与的左、右两支分别相交于、两点，且11,AF BF -证明:22AF AB BF 、、成等比数列【答案】(Ⅰ)由题设知3ca=,即2229a b a+=,故228b a =.所以C 的方程为22288x y a -=.将y=2代入上式,求得,x =由题设知,=解得,21a =.所以1,a b ==(Ⅱ)由(Ⅰ)知,1(3,0)F -,2(3,0)F ,C 的方程为2288x y -=. ①由题意可设l 的方程为(3)y k x =-,||k <,代入①并化简得,2222(8)6980k x k x k --++=.设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则11x ≤-,21x ≥,212268k x x k +=-,2122988k x x k +•=-.于是11||(31)AF x ===-+,12||31BF x ===+由11||||AF BF =得,12(31)31x x -+=+,即1223x x +=-.故226283k k =--,解得245k =,从而12199x x •=-.由于21||13AF x ===-,22||31BF x ===-,故2212||||||23()4AB AF BF x x =-=-+=,221212||||3()9-116AF BF x x x x •=+-=.因而222|||||AB|AF BF •=,所以2||AF 、||AB 、2||BF 成等比数列.36．（2013年高考天津卷（文））设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ,, 过点F 且与x(Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=, 求k 的值.【答案】37．（2013年高考辽宁卷（文））如图,抛物线()2212:4,:20C x y C x py p ==->,点()00,M x y 在抛物线2C 上,过M 作1C 的切线,切点为,A B (M 为原点O 时,,A B 重合于O )01x =,切线.MA 的斜率为12-.(I)求p 的值;(II)当M 在2C 上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹方程.(),,.A B O O 重合于时中点为【答案】38．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））在平面直角坐标系xOy 中,己知圆P 在x 轴上截得线段长为2,在Y 轴上截得线段长为2.(Ⅰ)求圆心P 的轨迹方程; (Ⅱ)若P 点到直线y=x 的距离为,求圆P 的方程.【答案】39．（2013年高考湖北卷（文））如图,已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ,长轴均为MN 且在x 轴上,短轴长分别为2m ,2()n m n >,过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ,2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ,B ,C ,D .记m nλ=,△BDM 和△ABN 的面积分别为1S 和2S .(Ⅰ)当直线l 与y 轴重合时,若12S S λ=,求λ的值;(Ⅱ)当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=?并说明理由.【答案】依题意可设椭圆1C 和2C 的方程分别为1C :22221x y a m +=,2C :22221x y a n +=. 其中0a m n >>>, 1.m n λ=> (Ⅰ)解法1:如图1,若直线l 与y 轴重合,即直线l 的方程为0x =,则111||||||22S BD OM a BD =⋅=,211||||||22S AB ON a AB =⋅=,所以12||||S BD S AB =. 在C 1和C 2的方程中分别令0x =,可得A y m =,B y n =,D y m =-,于是||||1||||1B D A B y y BD m n AB y y m n λλ-++===---.若12S S λ=,则11λλλ+=-,化简得2210λλ--=. 由1λ>,可解得1λ.故当直线l 与y 轴重合时,若12S S λ=,则1λ=.解法2:如图1,若直线l 与y 轴重合,则||||||BD OB OD m n =+=+,||||||AB OA OB m n =-=-;111||||||22S BD OM a BD =⋅=,211||||||22S AB ON a AB =⋅=. 所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===--. 若12S S λ=,则11λλλ+=-,化简得2210λλ--=. 由1λ>,可解得1λ.故当直线l 与y 轴重合时,若12S S λ=,则1λ=.第22题图(Ⅱ)解法1:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=. 根据对称性,不妨设直线l :(0)y kx k =>,点(,0)M a -,(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ,2d ,则因为1d ==,2d =,所以12d d =.又111||2S BD d =,221||2S AB d =,所以12||||S BD S AB λ==,即||||BD AB λ=. 由对称性可知||||AB CD =,所以||||||(1)||BC BD AB AB λ=-=-, ||||||(1)||AD BD AB AB λ=+=+,于是||1||1AD BC λλ+=-. ① 将l 的方程分别与C 1,C 2的方程联立,可求得A x =,B x =.根据对称性可知C B x x =-,D Ax x =-,于是2||||2A B x AD BC x ==从而由①和②式可得1(1)λλλ+-. ③令1(1)t λλλ+=-,则由m n >,可得1t ≠,于是由③可解得222222(1)(1)n t k a t λ-=-.因为0k ≠,所以20k >. 于是③式关于k 有解,当且仅当22222(1)0(1)n t a t λ->-,等价于2221(1)()0t t λ--<. 由1λ>,可解得11t λ<<,即111(1)λλλλ+<<-,由1λ>,解得1λ>+所以当11λ<≤+,不存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=;当1λ>,存在与坐标轴不重合的直线l 使得12S S λ=. 解法2:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=. 根据对称性, 不妨设直线l :(0)y kx k =>,点(,0)M a -,(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ,2d ,则因为1d ==,2d =,所以12d d =.又111||2S BD d =,221||2S AB d =,所以12||||S BD S AB λ==.因为||||A B A Bx x BD AB x x λ+==-,所以11AB xx λλ+=-.由点(,)A A A x kx ,(,)B BB x kx 分别在C 1,C 2上,可得222221A A x k x a m +=,222221B B x k x a n +=,两式相减可得22222222()0A B A Bx x k x x a m λ--+=, 依题意0A B x x >>,所以22A Bx x >. 所以由上式解得22222222()()A B B A m x x k a x x λ-=-.因为20k >,所以由2222222()0()A BB A m x x a x x λ->-,可解得1AB x x λ<<. 从而111λλλ+<<-,解得1λ>所以当11λ<≤+,不存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=;当12λ>+时,存在与坐标轴不重合的直线l 使得12S S λ=.40．（2013年高考重庆卷（文））(本小题满分12分,(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问8分)如题(21)图,椭圆的中心为原点O ,长轴在x 轴上,离心率22e =,过左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于A 、A '两点,4AA '=.(Ⅰ)求该椭圆的标准方程;(Ⅱ)取平行于y 轴的直线与椭圆相较于不同的两点P 、P ',过P 、P '作圆心为Q 的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q 外.求PP Q '∆的面积S 的最大值,并写出对应的圆Q 的标准方程.【答案】41．（2013年高考湖南（文））已知1F ,2F 分别是椭圆15:22=+y x E 的左、右焦点1F ,2F 关于直线02=-+y x 的对称点是圆C 的一条直径的两个端点. (Ⅰ)求圆C 的方程;(Ⅱ)设过点2F 的直线l 被椭圆E 和圆C 所截得的弦长分别为a ,b .当ab 最大时,求直线l 的方程.【答案】解: (Ⅰ) 先求圆C 关于直线x + y – 2 = 0对称的圆D,由题知圆D 的直径为关于）与圆心（圆心），半径（的圆心所以C D D 0,0,2b -a c r 0,0D 圆,F F 2221===直线02=-+y x 对称4)2()2(:)2,2(22=-+-⇒⇒y x C C 的方程为圆.(Ⅱ)由(Ⅰ)知2F (2,0), ,据题可设直线l 方程为: x = my +2,m∈R. 这时直线l 可被圆和椭圆截得2条弦,符合题意.圆C:4)2()2(22=-+-y x 到直线l 的距离22m 1|2m |m1|2-22m |=d +=++.22222m 14)m 144(4+=+-=⇒m b ：在圆中，由勾股定理得.整理得：联立直线和椭圆方程，设直线与椭圆相交于点),,(),,(2211y x F y x E 5204544)(0145(22212122+=++-=++=+⇒=-++m m m m y y m x x my y m ）由椭圆的焦半径公式得:51525)(210)(5252222121++⋅=+-=+-=m m x x x x a5158m 14515222222++⋅=+⋅++⋅=∴m m m m ab ..),3[]3,0[)(0,51)(上单调递减上单调递增，在在令+∞=⇒≥++=x f y x x x x f .23.3)3.()(2+±==⇒≤y x ab m f x f 这时直线方程为取最大值时，当令所以当23+±=y x ab 取最大值，直线方程为(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设0000(,)(0)Q x y x y ≠为椭圆C 上一点,过点Q 作x 轴的垂线,垂足为E .取点(0,A ,连接AE ,过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D .点G 是点D 关于y 轴的对称点,作直线QG ,问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点?并说明理由【答案】解: (1)因为椭圆过点P∴22231a b+= 且222a b c =+∴ 28a = 24b = 24c = 椭圆C 的方程是22184x y += (2)由题意,各点的坐标如上图所示, 则QG 的直线方程:0000808x x y y x x --=-化简得20000(8)80x y x x y y ---=又220028x y +=,所以00280x x y y +-=带入22184x y += 求得最后0∆=所以直线QG 与椭圆只有一个公共点.43．（2013年高考江西卷（文））椭圆C:=1(a>b>0)的离心率,a+b=3(1) 求椭圆C 的方程;(2) 如图,A,B,D 是椭圆C 的顶点,P 是椭圆C 上除顶点外的任意点,直线DP 交x 轴于点N 直线AD 交BP 于点M,设BP 的斜率为k,MN 的斜率为m,证明2m-k 为定值.【答案】解:22222223314c c a b b a a a a -===-=(1）因为故 所以2a b =再由a+b=3得a=2,b=1,2214x C y ∴+=椭圆的方程为： 1)2≠≠±（2）因为B （2，0），P 不为椭圆顶点，则BP 方程为y=k(x-2)(k 0且k ① 将①代入2214x y +=,解得222824(,)4141k k P k k --++ 又直线AD 的方程为112y x =+ ② ①与②联立解得424(,)2121k k M k k +-- 由222824(0,1),(,),(,0)4141k kD P N x k k --++三点共线可角得42(,0)21k N k -- 所以MN 的分斜率为m=214k +,则211222k m k k +-=-=(定值)。
2013年全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线Word版
2013 年全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线一、选择题1 ．（ 2013 年高考江西卷（理） ） 过点 ( 2,0)引直线 l 与曲线 y 1 x 2 订交于 A,B 两点 ,O为坐标原点 , 当 AOB 的面积取最大值时, 直线 l 的斜率等于（ ）3B ．3 C ． 3D ．3A ． y EB BC CD333【答案】 B2 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试福建数学（理）试题（纯 WORD 版））双曲线x 2y 214的极点到其渐近线的距离等于（）A ．2B ．4C ．2 5D ．4 555 55【答案】 C3 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版）） 已知中心在原点3的双曲线 C 的右焦点为F 3,0, 离心率等于 2 ,在双曲线C的方程是（）x 2y 2x 2y 2x 2y 2x 2y 2A ．41B ． 41C ． 21D ．215555【答案】 B4 ．（ 2013 年高考新课标 1（理））已知双曲线 C :x 2 y 2 0,b 0 ) 的离心率为5 ,a2b 21 ( a2则 C 的渐近线方程为（）A ． y1 x B ．y1 x C ． y1 x D ． yx432【答案】 C5 ．（2013 年高考湖北卷（理））已知 0则双 曲线x 2 y 2与4 ,C 1 :cos 2sin 21y 2 x 2C 2 :sin 2sin 2tan 21的（）A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等【答案】 D6 ．（ 2013 年高考四川卷（理） ） 抛物线 y24x 的焦点到双曲线x 2 y 21的渐近线的距离3是1B．3D．3A．C．122【答案】 B7 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））如图,F1, F2是椭圆C1:x2y21与双曲线 C 2的公共焦点, A, B 分别是 C1, C2在第二、四象限的公共4点. 若四边形AF1BF2为矩形 , 则C2的离心率是yAO F2x1FB （第 9 题图）A．2B．336 C．D．22【答案】 D8．（2013年一般高等学校招生一致考试天津数学（理）试题（含答案））已知双曲线a2b21(a0,b0)的两条渐近线与抛物线y 2 px( p0)的准线分别交于,x2y22 A B 两点,O 为坐标原点 .若双曲线的离心率为 2, △的面积为3,则p=AOBA． 1B．3C． 2D． 3 2【答案】 C9 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试纲领版数学（理）WORD版含答案（已校正））椭圆C : x2y21的左、右极点分别为A1, A2,点P在C上且直线 PA2的斜率的取值范围43是2, 1 ,那么直线PA1斜率的取值范围是1333C．1，D．3，A．，B．，24842141【答案】 B10．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试纲领版数学（理）WORD版含答案（已校正））已知抛物线 C : y28x 与点M2, 2 ,过 C 的焦点且斜率为k 的直线与 C 交于A, B两点,若（）（）（）（）MA MB0 , 则 k（）1B ．2C ．2D ． 2A ．22【答案】 D11．（ 2013 年高考北京卷（理） ） 若双曲线x 2y 2 1 的离心率为3 , 则其渐近线方程为（）a 2b 2A ． y =±2xB ． y =2xC ． y1 x D ． y2 x22【答案】 B12 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试山东数学（理）试题（含答案）） 已知抛物线y1 x2 0)的焦点与双曲线 C 2 : x 2 y 21C 1于第一C 1 :2 p( p3的右焦点的连线交象限的点M . 若C 1在点 M 处的切线平行于C 2的一条渐近线 , 则p（）332 3 43A ．16B ． 8C ．3D ． 3【答案】 D13．（ 2013 年高考新课标1（理）） 已知椭圆 x 2y 21(a b0) 的右焦点为 F (3,0) ,E :2b 2a过点 F 的直线交椭圆于 A, B 两点 . 若 AB 的中点坐标为 (1, 1) ,则E 的方程为（）x 2 y 21B ．x 2 y 2 C ．x 2 y 21 x2 y 2 1A ．36 3612718D ．9452718【答案】 D14．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试新课标Ⅱ卷数学（理） （纯 WORD 版含答案）） 设抛物线C : y 22 px( p 0)的焦点为 F ,点M 在C 上,MF5 , 若以 MF 为直径的圆过点(0,2) , 则 C 的方程为（ ）A ． y 2 4 x 或 y 2 8xB ． y 22x 或 y 2 8xC ． y 24x 或 y 216 xD ． y 22 x 或 y 2 16 x【答案】 C15．（ 2013 年上海市春天高考数学试卷( 含答案 ) ）已知 A 、B 为平面内两定点 , 过该平面内动点2M 作直线 AB 的垂线 ,垂足为 N .若MN AN NB ,此中 为常数 ,则动点 M 的轨迹不行能是（）A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线【答案】 C16．（2013 年一般高等学校招生一致考试重庆数学（理）试题（含答案））已知圆22229, M , N 分别是圆 C 1,C 2 上的C 1 : x 2 y 31, 圆 C 2 : x 3 y 4动点 , P 为 x 轴上的动点 , 则 PM PN 的最小值为（）A ．52 4B ．171C ．622D ． 17【答案】 A二、填空题17．（ 2013 年一般高等学校招生全国一致招生考试江苏卷（数学）（已校正纯WORD 版含附带题） ）双曲线x 2 y 2 1的两条渐近线的方程为 _____________.169【答案】 y3 x418 ．（ 2013 年高考江西卷（理）） 抛物线 x 22 py( p 0) 的焦点为F, 其准线与双曲线x 2 y 2 1订交于 A,B 两点, 若ABF 为等边三角形 , 则 P _____________33【答案】 62219．（ 2013 年高考湖南卷 （理））设 F 1 , F 2是双曲线 C : x2y2 1(a 0, b 0) 的两个焦点 ,Pa b是C 上一点,若 PF 1 PF 26a, 且 PF 1 F 2 的最小内角为 30, 则 C 的离心率为 ___.【答案】320．（ 2013 年高考上海卷（理））设 AB 是椭圆的长轴,点 C 在上,且 CBA, 若4AB=4, BC2 , 则 的两个焦点之间的距离为 ________【答案】46 .321．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））已知直线y a 交抛物线 yx 2 于 A, B 两点 . 若该抛物线上存在点 C , 使得ABC 为直角 , 则 a 的取值范围为 ___ _____.【答案】 [1, )22．（ 2013 年一般高等学校招生全国一致招生考试江苏卷（数学）（已校正纯 WORD 版含附带题） ）抛物线 yx 2 在 x 1处的切线与两坐标轴围成三角形地区为D ( 包括三角形内部与边界). 若点 P( x, y) 是地区 D 内的随意一点 , 则 x2 y 的取值范围是 __________.【答案】12,223．（ 2013 年一般高等学校招生全国一致招生考试江苏卷（数学） （已校正纯 WORD 版含附带题） ）在平面直角坐标系xOy 中 , 椭圆 C 的标准方程为x 2 y 2 1( a 0,b0) , 右焦点为a2b2F , 右准线为 l , 短轴的一个端点为 B , 设原点到直线BF 的距离为 d 1 , F 到 l 的距离为d 2 , 若 d 26d 1 , 则椭圆 C 的离心率为 _______.【答案】3324 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试福建数学（理）试题（纯 WORD 版））椭圆: x 2 y 2 1(a b 0) 的左 . 右焦点分别为 F 1 , F 2 , 焦距为 2c, 若直线 y3( x c)a 22b与椭圆的一个交点M 知足MF 1 F 22 MF 2 F 1 , 则该椭圆的离心率等于__________【答案】3 125．（ 2013 年高考陕西卷（理） ） 双曲线x 2y 21的离心率为 5,则 m 等于 ___9_____.16 m4【答案】 926．（2013 年一般高等学校招生一致考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知椭圆x 2 y 2F , C 与过原点的直线订交于A,B 两点 , 连结C :2b 2 1(a b 0) 的左焦点为aAF , BF , 若 AB 10, AF 6,cos ABF4 e= ______.,则C 的离心率 【答案】55727 ．（ 2013 年 上 海 市 春 季 高 考 数 学 试 卷 ( 含 答 案 ) ） 抛 物 线 y 28x 的 准 线 方 程 是_______________【答案】 x228．（ 2013 年一般高等学校招生全国一致招生考试江苏卷（数学）（已校正纯 WORD 版含附带题） ）在平面直角坐标系 xOy 中,设定点 A(a, a) ,P是函数y1( x 0 ) 图象上一动点 , 若x点 P，A 之间的最短距离为2 2 ,则知足条件的实数 a 的全部值为_______.【答案】1或1029．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））设F为抛物线C : y24x 的焦点,过点 P(1,0) 的直线l交抛物线C于两点 A, B ,点 Q 为线段 AB 的中点,若【答案】三、解答题| FQ | 2 ,则直线的斜率等于________. 130．（ 2013 年上海市春天高考数学试卷( 含答案 ) ）此题共有2个小题,第1小题满分4分,第2小题满分9 分 .已知椭圆C 的两个焦点分别为F1( 1 0)F2(1 0),短轴的两个端点分别为B1 B2，、，、(1)若 F1B1B2为等边三角形,求椭圆C的方程;(2) 若椭圆C的短轴长为2,过点F2的直线 l 与椭圆 C 订交于P、Q两点,且 F P FQ ,11求直线 l 的方程.[ 解 ](1)(2)【答案】 [ 解 ](1)设椭圆 C 的方程为x2y21(a b 0) .a2b2a2b, 解得a24,b21依据题意知b21a233故椭圆 C 的方程为x2y21. 4133(2) 简单求得椭圆C的方程为x2y21. 2当直线 l 的斜率不存在时,其方程为 x1, 不切合题意 ;当直线的斜率存在时, 设直线l的方程为y k ( x1) .y k( x 1)由x 2得 (2 k21)x 2 4k 2 x 2(k21) 0.y 2 12设P(x 1，y 1 )，Q( x 2，y 2 ) , 则x 14k 2， 2( k x 22x 1 x 22k2k 121)2， ， ，，1 F 1 P ( x 1 1 y 1 ) FQ 1( x 2 1 y 2 )因为 FP FQ ,因此 FPFQ 0 , 即1111(x 1 1)( x 2 1) y 1 y 2 x 1 x 2 (x 1x 2 ) 1 k 2 ( x 1 1)(x 2 1)(k 2 1)x 1 x 2 (k 2 1)(x 1 x 2 ) k 2 17k 2 1 0 ,2k21解得 k 21 , 即 k 7 .7 7故直线 l 的方程为 x7 y1 0 或 x7y 1 0 .31．（ 2013 年高考四川卷（理）） 已知椭圆 C x 2 y 2 1,( a b 0) 的两个焦点分别为:b 2a 2F 1 ( 1,0), F 2 (1,0) , 且椭圆 C 经过点 P( 4 , 1) .3 3 ( Ⅰ) 求椭圆 C 的离心率 ;( Ⅱ) 设过点 A(0, 2) 的直线 l 与椭圆 C 交于 M 、 N 两点 , 点 Q 是线段 MN 上的点 , 且211 2, 求点 Q 的轨迹方程 .22|AQ| |AM | |AN |2 2 2 2【答案】 解 :2a PF 1 PF 24 1 1 4 1 1 2 23333因此 , a2 .又由已知 , c1,因此椭圆 C 的离心率 ec1 2a22由知椭圆 C 的方程为x 2y 2 1.2设点 Q 的坐标为 (x,y).(1) 当直线 l 与 x 轴垂直时 , 直线 l 与椭圆 C 交于 0,1 , 0, 1 两点 ,此时 Q 点坐标为0,23 55(2) 当直线 l 与 x 轴不垂直时 , 设直线 l 的方程为 ykx 2 .因为 M , N 在直线 l 上 , 可设点 M , N 的坐标分别为 (x 1, kx 12),( x 2 , kx 2 2), 则22(1 k 2 ) x 2 2 .22(1 k 2 ) x 2.AM(1 k 2 )x 12 , AN 又 AQx 2y 2由211 , 得222AQAMAN211, 即1 k2 x 2 1 k 2 x 121 k2 x 22 2 1 1 x 1 x 2 22x 1x 2①x2x 12x 22x 12 x 22将 y kx2 代入 x 2y 2 1中,得22k 2 1 x 2 8kx 6②由8k 24 2k216 0, 得 k23 .8k6 2由②可知 x 1x 2, x 1x 2,2k 2 1 2k 218 1 代入①中并化简 , 得 x 2 3③10k 2 y2因 为 点 Q 在 直 线 yk x 2 上 ,,代入③中并化简,得所 以 kx10 y 2 3x 2 18 .2由③及 k23 ,可知 0 x 23 , 即 x6,00, 6 .2222又0,23 5知足10 y23x218 , 故 x6 ,6 .252 2由题意 ,Q x, y 在椭圆 C 内部 , 因此 1 y1,又由 10 y 22有18 3x 2y 29,9且1y 1, 则 y1,23 5 .25 425所以点Q的轨 迹方程是1 y0 22x 23其,1 8中 , x6 , 6, y1,23 52 22532．（2013 年一般高等学校招生一致考试山东数学（理）试题（含答案））椭圆x 2 y 2 1 (a b 0 )的左、右焦点分别是F , F , 离心率为3,过F 且垂直于 xC :2 b 2 12 1a2轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1.(Ⅰ)求椭圆 C 的方程 ;( Ⅱ) 点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点, 连结 PF 1 , PF 2 , 设 F 1PF 2 的角均分线PM 交 C 的长轴于点 M (m,0) , 求 m 的取值范围 ;( Ⅲ) 在( Ⅱ) 的条件下 , 过 P 点作斜率为 k 的直线 l , 使得 l 与椭圆 C 有且只有一个公共 点 , 设直线 PF 1, PF 2 1 1 的斜率分别为 k 1 , k 2 , 若 k 0, 试证明为定值 , 并求出这kk 1kk 2个定值 .x 2 y 21b 2 【答案】 解:( Ⅰ) 因为c 2a 2b 2 , 将xc 代入椭圆方程 a 2 b 2y得a2b 2 1c 3a2b 2e2由题意知, 即a又a因此a2 , b 1x 2 y 2 1因此椭圆方程为4( Ⅱ) 由题意可知 :PF 1PM= PF 2PM , PF 1PM = PF 2 PM, 设 P(x 0 , y 0 ) 其|PF 1||PM || PF 2 ||PM | |PF 1| |PF 2 |中 x 02 4 , 将向量坐标代入并化简得 :m( 4x 0216) 3x 03 12 x 0 , 因为 x 024 ,因此 m3x 0 , 而 x 0 ( 2,2) , 因此 m( 3,3)42 2(3) 由题意可知 , l 为椭圆的在 p 点处的切线 , 由导数法可求得 , 切线方程为 :x 0 x y 0 y 1 , 因此 k x 0, 而 k 1y 0 , k 2 y 0,代入11 中得44 y 0x3x3kk 1 kk 21 1 4(x3x3)8为定值 .kk 1 kk 2x 0x 0233 ．（ 2013 年高考上海卷（理）） (3 分 +5 分 +8 分 ) 如图 , 已知曲线 C 1 :xy 21 , 曲线2,P 是平面上一点 , 若存在过点P 的直线与C 1 ,C 2 都有公共点 , 则称 P 为C 2 :| y | | x | 1“C— C 型点”.12(1) 在正确证明 C 1 的左焦点是“C 1— C 2 型点”时 , 要使用一条过该焦点的直线 , 试写出一条这样的直线的方程( 不要求考证 );(2) 设直线 y kx 与 C 2 有公共点 , 求证 | k | 1, 从而证明原点不是“C 1—C 2 型点”;(3) 求证 : 圆 x2y21内的点都不是“C 1— C 2型点”.2【答案】:(1)C 1的左焦点为 F (3,0) ,过F 的直线 x3 与1交于( 3,2C) ,2与 C 2 交于 ( 3, ( 3 1)) , 故 C 1 的左焦点为“C 1-C 2 型点” , 且直线能够为 x3 ;2013年全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线Word 版(2) 直线 y kx 与 C 2 有交点 , 则y kx(| k |1)| x | 1, 若方程组有解 , 则一定 | k | 1;| y | | x | 1直线 ykx 与 C 有交点 , 则2y kx(1 2k 2)x 2 2,若方程组有解 , 则一定 k 21x 22 y 222故直线 ykx 至多与曲线 C 1 和 C 2 中的一条有交点 , 即原点不是“C 1-C 2 型点” .(3) 明显过圆 x 2y 2 1 内一点的直线 l 若与曲线 C 1 有交点 , 则斜率必存在 ;2依据对称性 , 不如设直线 l 斜率存在且与曲线 C 2 交于点 (t, t1)(t0) , 则l : y (t 1) k( x t )kx y (1 t kt ) 0直线 l 与圆 x2y 21 内部有交点 , 故 |1t kt | 22k 2 12化简得 ,(1 t tk) 2 1 (k 2 1) ............①若直线 l2与曲线 C 有交点,则1y kx kt t 112222x y2(k ) x 2k (1 t kt) x(1 t kt) 11224k 2 (1 t kt)24(k21)[(1 t kt) 2 1] 0(1 t kt)22(k 2 1)2化简得 , (1 t kt ) 2 2(k 2 1) .....②由①②得 ,2(k 2 1) (1 t tk) 2 1 (k 2 1)k 212但此时 , 因为 t0,[1 t(1 k )] 21,1(k 2 1) 1, 即①式不建立 ; 2当 k 21 时 , ①式也不建立2 y 21综上 , 直线 l 若与圆 x 2内有交点 , 则不行能同时与曲线 C 1和 C 2 有交点 ,y 21 2即圆 x 2内的点都不是“C 1-C 2 型点” .2如图 , 在正方形 OABC34（． 2013 年一般高等学校招生一致考试福建数学（理）试题（纯 WORD 版））中, O 为坐标原点 , 点 A 的坐标为 (10,0) , 点 C 的坐标为 (0,10) . 分别将线段 OA 和 AB2013年全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线Word版十均分 , 分点分别记为A1 , A2 ,....A9和 B1, B2 ,....B9,连结 OB i,过 A i做 x 轴的垂线与 OB i 交于点P i(i N*,1i9).(1)求证 : 点P i(i N*,1i9) 都在同一条抛物线上, 并求该抛物线E的方程 ;(2)过点 C 做直线与抛物线 E 交于不一样的两点 M , N ,若OCM与OCN的面积比为4 :1,求直线的方程.【答案】解:( Ⅰ) 依题意 , 过A i(i N*,1i9) 且与x轴垂直的直线方程为 x iB i (10,i ) ,直线 OB i的方程为 y i x10设 P i坐标为 ( x, y) ,由x iy1x2, 即x210 y , y得 :i x1010P i (i N* ,1i9)都在同一条抛物线上, 且抛物线E方程为x210y ( Ⅱ) 依题意 : 直线的斜率存在 , 设直线的方程为y kx10由y kx 10得 x210kx1000x210y此时100k 2 +4000, 直线与抛物线E 恒有两个不一样的交点M , N设:M ( x1, y1) N (x2 , y2 ) ,则x1x210k x1x2100SOCM 4SOCN x1 4 x2又x1 x2 0 ,x14x2分别带入y kx103 x210 y, 解得k2直线的方程为y 3x+10 ,即3x 2 y200 或3x+2 y200 235．（ 2013 年高考湖南卷（理））过抛物线E : x2 2 py( p0) 的焦点F作斜率分别为 k1 , k2的两条不一样的直线l1, l2,且 k1k2 2 , l1与 E 订交于点A,B, l2与E订交于点 C,D. 以 AB,CD2013年全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线Word 版为直径的圆 M,圆 N(M,N 为圆心 ) 的公共弦所在的直线记为 l .(I) 若 k 1 0, k 20,证明; FM FN2P 2 ;(II)若点 M 到直线 l 的距离的最小值为7 5 , 求抛物线 E 的方程 .5【答案】解:( Ⅰ)F (0, p).设 ( , y 1 ), ( x 2 , y 2 ), C ( x 3 , y 3 ), ( x 4 , y 4 ), M ( x 12 , y 12 ), N ( x 34 , y 34 )，2 A x 1 B Dp,与抛物线 E 方程联立，化简整理得 ：x 2直线 l 1方程： yk 1 x 2 pk 1xp 22x 1 x 22k 1 p, x 1 x 2p2x12x 1 2 x 2 k 1 p, y 12k 1 2 p p FM (k 1 p, k 1 2 p)x 1x 2p2 同理, x34 k 2 p, y 34 k 22 p FN (k 2 p, k 22 p) .2 2FM FN k k p 22 2 p 2 p 2k k (k k 1)2 k k 2 21 1 12 1k 1 0, k 2 0, k 1 k 2,2 k 1 k 22 k 1k 2 k 1k 2 1, FM FN p 2 k 1k 2 (k 1k 2 1) p 2 1 (1 1) 2 p因此 , FM FN 2 p2建立 . ( 证毕 )( Ⅱ)设圆 M 、 N 的半径分别为 r 1, r 2 r 1 1 [( p y 1 ) ( p y 2 )] 1 [ p 2(k 1 2 p p)] k 12 p p,2 2 2 22r 1 k 12 p p,同理 2r 1k 22 p p,设圆 M 、 N 的半径分别为r 1, r 2 . 则 M 、 N 的方程分别为 (x x 12 )2 ( yy 12) 2 r 12 ,(x x 34 )2 ( y y 34 )2r 2 2，直线 l 的方程为：2( x34x ) x 2( y y ) y x2x 2 y2 y2 - r 2 r2 0 .123412 12 341234122 p(k 2 k 1 )x 2 p(k 2 2 k 1 2 ) y (x 12 x 34 )( x 12 x 34 ) ( y 12y 34 )( y 12 y 34 ) (r 2 - r 1)(r 2 r 1) 02 p(k 2 k ) x 2 p(k2 2 k 2 ) y 2p 2 (k k 2 ) p 2 ( k 2 k 2 )(k 2 k2 1) p 2 (k 2k 2 )( k 2 k2211112122112x 2 y p p(k 1 2 k 2 2 1) p(k 12 k 2 2 2) 0x 2 y 0x 12 2 y 122k 1 2k 1 1 2( 1 )2( 1) 17 p7点 M ( x 12 , y 12 )到直线 l 的距离 d |p ||p4 45|5558 55p8 抛物线的方程为 x2 16 y .36．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试浙江数学（理）试题（纯 WORD版））如图,点P(0, 1)是椭圆 C1: x2y21( a b0) 的一个顶点,C1的长轴是圆 C 2 : x2y2 4 的直a 2b2径 . l1, l2是过点 P 且相互垂直的两条直线, 此中l1交圆C2于两点 , l2交椭圆C1于另一点D(1) 求椭圆C1的方程 ; (2)求 ABD 面积取最大值时直线 l1的方程.yl1D BO xPAl2（第 21 题图）【答案】解:( Ⅰ) 由已知获得b1,且2a 4 a2, 因此椭圆的方程是x2y2 1 ;4 ( Ⅱ) 因为直线l1l2,且都过点 P(0,1) ,因此设直线 l1 : y kx1kx y 10 ,直线l2 : y 1x1x k y ,0所k以圆心(0,到直线kl1 : y k1x k x1的距y离0为d1, 因此直线l1被圆 x2y241k 2所截的弦 AB24 d 2234k 2;1k 2x ky k02222由x y2k x4x8kx0,因此14x D x P8k|DP |(11)64k 28k21,因此k 24k2(k 24) 2k 24SABD 1|AB||DP |1 2 34k 28k2184k 23 4 84k 23 22 1 k 2k24k 244k 2 3 134k 232133213321613 , 34k23213134k234k 234k23当4k 2313k 25k 10时等建立,此时直线4k2322l1 : y10 x1237．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试重庆数学（理）试题（含答案））如题 (21)图, 椭圆的中心为原点O ,长轴在 x 轴上,离心率 e 2过左焦点 F1作 x 轴的垂线交椭圆于,2A,A 两点,AA 4 .(1)求该椭圆的标准方程;(2)取垂直于 x 轴的直线与椭圆订交于不一样的两点P,P ,过 P,P 作圆心为 Q的圆,使椭圆上的其他点均在圆Q外.若PQ PQ,求圆 Q的标准方程.【答案】38．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））设椭圆x2y2的焦点在 x 轴上1E :a21a2( Ⅰ) 若椭圆E的焦距为 1, 求椭圆E的方程 ;( Ⅱ) 设F1, F2分别是椭圆的左、右焦点, P为椭圆E上的第一象限内的点,直线F2P交y 轴与点Q,而且F1P F1Q ,证明:当 a变化时 , 点p在某定直线上 .【答案】解: ( Ⅰ)a21a 2 ,2c1, a 21 a 2 c 2 a 25 ，椭圆方程为：8x28x21853.( Ⅱ)设F1(c,0),F2(,0),( ,),Q(0,), 则F2 P（,),QF2( ,)c P x y m x c y c m .由 1a20a(0,1)x(0,1), y(0,1) .F1P( x c, y), F1Q(c, m).由F2 P // QF2 , F1Pm(c x)ycF1Q得：c)my0c( xx 2y 21a 21 a 2( x c )( x c )y 2x 2y 2 c 2 .联立x2y 2 c 2解得2122a a cx22x 212 y 2y 21x 2( y1)2.x ( 0,1), y(0,1)x 1 y y 2 1 x 2因此动点 P 过定直线x y 1 0.39．（ 2013 年高考新课标1（理））已知圆M:( x 1)2y21,圆N: ( x1)2y29,动圆P 与 M 外切而且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线 C.(Ⅰ)求 C的方程 ;( Ⅱ)l是与圆P , 圆M都相切的一条直线, l与曲线 C 交于 A,B 两点 , 当圆 P 的半径最长时 , 求 |AB|.【答案】由已知得圆 M 的圆心为 M (-1,0),半径r1=1, 圆N的圆心为N (1,0),半径r2=3.设动圆 P 的圆心为 P (x,y),半径为 R.( Ⅰ) ∵圆P与圆M外切且与圆N内切 , ∴|PM|+|PN|=(R r1 ) (r2 R) = r1r2=4,由椭圆的定义可知 , 曲线 C 是以 M,N 为左右焦点 , 场半轴长为 2, 短半轴长为3的椭圆( 左极点除外 ), 其方程为x2y21(x 2) . 43( Ⅱ) 对于曲线 C 上随意一点 P ( x , y ), 因为 |PM|-|PN|= 2R 2≤2, ∴R ≤2,当且仅当圆 P 的圆心为 (2,0)时 ,R=2.∴当圆 P 的半径最长时 , 其方程为 ( x 2)2y 24 ,当 l 的倾斜角为 900 时 , 则 l 与 y 轴重合 , 可得 |AB|= 2 3 .当 l 的倾斜角不为900时 , 由 r 1 ≠R 知 l 不平行 x 轴, 设 l 与 x 轴的交点为 Q,则| QP | = R,|QM |r 1 可求得 Q(- 4,0),∴设 l : yk (x 4) , 由 l 于圆 M 相切得| 3k | 2 .1, 解得 k41 k 2当 k =2 时 , 将 y 2 x 2 代入 x 2y 2 1(x2) 并整理得 7x 28x8 0 ,444 3解得 x 1,2 = 4 62, ∴|AB|= 1k 2 | x 1x 2 | = 18 .77当 k =-2 时 , 由图形的对称性可知 |AB|= 18 ,47综上 ,|AB|=18或 |AB|= 2 3 .740．（2013 年一般高等学校招生一致考试天津数学（理）试题（含答案））设椭圆x 2y 21(ab 0) 的左焦点为 F , 离心率为 3, 过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆a 2b 23截得的线段长为4 3 .3( Ⅰ) 求椭圆的方程 ;(Ⅱ) 设 , 分别为椭圆的左右极点 , 过点F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 , D 两点 .A BC若 AC ·DB AD ·CB 8 , 求 k 的值 .【答案】41（．x2+y231 2013 年高考江西卷（理））如图,椭圆C：2b2 =1(a>b>0) 经过点 P(1,), 离心率 e=,a22直线 l 的方程为 x=4 .(1)求椭圆 C 的方程;(2)AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过点 P ),设直线 AB 与直线 l 订交于点 M ,记PA, PB, PM 的斜率分别为k1 ,k2 ,k3. 问:能否存在常数, 使得k1+k2=k3 . ?若存在求的值 ; 若不存在 , 说明原因 .【答案】 解 :(1) 由 P(1,3) 在椭圆上得 ,1 9 1①2a 2 4b 2依题设知 a 2c , 则 b 23c 2②②代入①解得 c 21,a 2 4, b 2 3 .故椭圆 C 的方程为x 2y 2 1.43(2) 方法一 : 由题意可设 AB 的斜率为 k ,则直线 AB 的方程为 y k(x 1)③代入椭圆方程 3x 24y 2 12 并整理 , 得 (4 k 2 3)x 2 8k 2x 4( k 23) 0,设 A(x 1, y 1 ), B(x 2 , y 2 ) , 则有x 18k 24( k 2 3) x 23, x 1 x 2④4k 2 4k 2 3在方程③中令x 4 得 , M 的坐标为 (4,3k) .y 13y 2 3 3k 3 1 .从而 k 12, k 22, k 32 kx 1x 241112注意到 A,F,B 共线,则有 kkAFk BF , 即有 y 1 y 2 k .1x 1 x 2 1y 13 y 23 y 1y 2311因此 k 1k 222)x 1 1x 2(1 x 21 x 1 1 x2 1 2 x 122k3x 1 x 2 2⑤2 x 1 x 2( x 1x 2 ) 18k 234k 22④代入⑤得 k 1k 2 2k32k 1 ,2 4(k 2 3)8k 2114k 2 34k 2 3又 k 3, 因此 k 1k 22k 3 . 故存在常数 2 切合题意 .k2方法二 : 设 B(x 0 , y 0 )( x 0 1) , 则直线 FB 的方程为 :yy 0 ( x 1) ,x 0 1令 x 4 , 求得 M (4,3 y 0) , x 0 1从而直线 PM 的斜率为 k 32 y 0 x 0 1 ,2( x 0 1)yy 0 (x 1)5x 03y 0 联立x 0 1 8) ,y 2 ,得A(,5x 2 12 x 0 5 2x 043则直线 PA 的斜率为 : k 12 y 0 2x 0 5 , 直线 PB 的斜率为 : k 22 y 03 ,2( x 0 1)2( x 01)因此 k 1 k 22 y 0 2x 0 5 2 y 0 32y 0x 0 12( x 0 1) 2( x 0 1)x 0 12k 3 ,故存在常数2切合题意 .WORD 版）） 已知抛物线 C 的42．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试广东省数学（理）卷（纯极点为原点 , 其焦点 F 0, cc 0 到直线 l : x y 2 0的距离为32.设P 为直线2l 上的点 , 过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA, PB , 此中 A, B 为切点 .( Ⅰ) 求抛物线 C 的方程 ;( Ⅱ)当点 P x 0 , y 0 为直线 l 上的定点时 , 求直线 AB 的方程 ;( Ⅲ) 当点 P 在直线 l 上挪动时 , 求 AFBF 的最小值 .【答案】 ( Ⅰ)依题意 , 设抛物线 C 的方程为 x 24cy , 由 0 c 2 3 2 联合 c 0 ,22解得 c 1 .因此抛物线 C 的方程为 x 24 y .( Ⅱ) 抛物线 C 的方程为 x 24y , 即 y1 x2 , 求导得 y 1 x42设 Ax 1 , y 1 , B x 2 , y 2 ( 其 中 y 1x 12 , y 2 x 2 2 ), 则切线 PA,PB 的斜率分别为441 1 x 1 ,x 2 ,22所 以 切 线 PA 的 方 程 为 y yx 1 x x ,即 yx 1 x x 12y 1 , 即1 2 1 2 2x 1 x 2y 2 y 1同理可得切线PB 的方程为 x 2 x 2 y 2 y 2 0因为切线 PA, PB 均过点 P x , y0, 因此 x 1x 02 y 0 2y 10 , x 2 x 0 2y 02y 2因此x 1 , y 1 , x 2 , y 2 为方程 x 0 x 2 y 0 2 y 0 的两组解 .因此直线 AB 的方程为 x 0 x 2 y 2y 0 0 .( Ⅲ) 由抛物线定义可知 AF y 1 1, BF y 2 1 ,因此AF BFy 1 1 y 2 1 y 1 y 2 y 1 y 21x 0 x2 y 2y 02 y 0 x0 2yy 00 联立方程4y, 消去 x 整理得 y22x 2由一元二次方程根与系数的关系可得y 1y 2x 0 2 2y 0 , y 1 y 2 y 0 2因此 AF BF y yy y 1 y2x2 2 y 11 2120 0又点 P x , y0 在直线 l 上 , 因此 x 0y 0 2 ,2因此 y 02x 022 y 0 1 2y 022 y 05 2 y 01922因此当 y 01 时 , AF BF 获得最小值 , 且最小值为 9 .2243．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试新课标Ⅱ卷数学（理） （纯 WORD 版含答案）） 平面直角坐标系 xOy 中 , 过椭圆 M:x 2y 21(a b0) 的右焦点 F 作直 x y3 0交M 于a 22bA,B 两点, P 为 AB 的中点 , 且OP 的斜率为1 .2(Ⅰ)求 M 的方程 ;(Ⅱ)C,D 为 M 上的两点 , 若四边形 ABCD 的对角线 CDAB , 求四边形 ABCD 面积的最大值 .【答案】44．（ 2013 年高考湖北卷（理））如图,已知椭圆C1与C2的中心在座标原点O ,长轴均为 MN 且在 x 轴上,短轴长分别为2m , 2n m n ,过原点且不与x 轴重合的直线l 与 C1, C2的四个交点按纵坐标从大到小挨次为A ,B ,C ,D .记m BDM 和 ABN 的面,n积分别为 S 1 和 S 2 .(I) 当直线 l 与 y 轴重合时 , 若 S 1S 2,求 的值;(II) 当 变化时 , 能否存在与坐标轴不重合的直线l , 使得 S 1 S 2 ?并说明原因 .yA BMOCDN x第 21题图m11 nm 1S 1S 2 mnm n ,1【答案】 解 :(I)n解得 :2 1( 舍去小于1的根)(II) 设椭圆 C 1 :x2 2, C 2 :x2 22y2 1 am 2y 2 1, 直线 l : kyxa mankyy2xa 2m 2k 2y21y Aamx 2 1 2 222 2a 2m 2a mam k同理可得 , y Bana 2n 2k2又BDM 和 ABN 的的高相等S 1 BD y B y D y B y A S 2AB y Ay By Ay B假如存在非零实数k 使得 S 1S 2,则有1 y A1 y B ,222a 222 121即 :11 , 解得 k 2a 24n 2 3a 22n 2k 2n 2 k 2当1 2 时, k 20 ,存在这样的直线l ;当 11 2 时, k 20 ,不存在这样的直线 l.45．（ 2013 年高考北京卷（理））已知A、B、C是椭圆W:x2y21上的三个点,O是坐标原4点.(I)当点 B 是 W的右极点 , 且四边形 OABC为菱形时 , 求此菱形的面积 ;(II)当点 B 不是 W的极点时 , 判断四边形 OABC能否可能为菱形 , 并说明原因 .【答案】:(I)x221的右极点B的坐标为(2,0).因为四边形 OABC为菱形 ,解椭圆 W:y4因此 AC 与 OB 相互垂直均分. 因此可设 A(1, m ),代入椭圆方程得1m2 1 ,即43.112 | m |3.m因此菱形 OABC的面积是| OB | | AC |2222(II)假定四边形 OABC为菱形 . 因为点 B 不是 W的极点 , 且直线 AC可是原点 , 因此可设AC的方程为y kx m( k0, m0) .由x2 4 y24消去 y 并整理得(14k 2 ) x28kmx4m240 .y kx m设 A(x1,y1) ,C ( x2,y2) , 则x1x214km ,y1y2kx1x2m m. 24k 22214k 2因此 AC的中点为 M(4km,m).14k 214k 21因为M为 AC和 OB的交点 , 因此直线OB的斜率为.4k1因为 k() 1 ,因此AC与OB不垂直.因此 OABC不是菱形 , 与假定矛盾 .4k因此当点 B 不是 W的极点时 , 四边形 OABC不行能是菱形 .46．（ 2013 年高考陕西卷（理））已知动圆过定点A(4,0),且在 y 轴上截得的弦MN的长为8.( Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C的方程;( Ⅱ )已知点 B(-1,0),设不垂直于 x 轴的直线l与轨迹 C交于不一样的两点P,Q,若 x 轴是PBQ 的角均分线,证明直线 l过定点 .【答案】解:( Ⅰ)A(4,0),设圆心C(x, y), MN线段的中点为 E，由几何图像知 ME MN ,CA2CM 2ME 2EC 22（x 4)2y242x2y28x( Ⅱ )点(-1,0),B 设 P(x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ),由题知 y1 y20， y1 y2 0, y128x1 , y228x2.y1y2y1y28( y1y2 ) y1 y2 ( y2y1 ) 0 8 y1 y2 0 x1 1 x2 1y128 y228直线 PQ方程为 : y y1y2y1(x x1 )y y11(8x y1 2 )x2x1y2y1y( y2y1 ) y1 ( y2y1 ) 8x y12y( y2y1 ) 8 8x y 0, x 1因此 , 直线 PQ过定点 (1,0)47 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试辽宁数学（理）试题（WORD版））如图,抛物线C1 : x2 4 y,C2 : x22py p 0, 点M x0 , y0在抛物线C2上,过 M 作C1的切线,切点为 A, B (M为原点O时, A, B 重合于O)x01 2 ,切线 MA.的斜率为 - 1. 2(I)求 p 的值;(II)当 M 在C2上运动时,求线段 AB 中点 N 的轨迹方程 . A,B重合于O时,中点为O .【答案】48．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试纲领版数学（理）WORD 版含答案（已校正） ） 已知双曲x 2y 2 F 1，F 2 , 离心率为 3，直线 y 2 与线 C :2b 2 1 a 0,b 0 的左、右焦点分别为aC 的两个交点间的距离为 6 .(I)求 a, b; ;(II)设过 F2的直线l 与 C 的左、右两支分别订交于A, B 两点,且AF1BF1,证明 : AF2、AB、BF2成等比数列 .【答案】49．（ 2013 年上海市春天高考数学试卷 ( 含答案 ) ） 此题共有 2 个小题 , 第 1 小题满分 6 分, 第 2小题满分 6 分.已知抛物线 C ：y 24x 的焦点为 F .(1) 点 A 、P 知足 AP 2FA . 当点 A 在抛物线 C 上运动时 , 求动点 P 的轨迹方程 ;(2) 在 x 轴上能否存在点 Q , 使得点 Q 对于直线 y2x 的对称点在抛物线 C 上 ?假如存在 , 求全部知足条件的点Q 的坐标 ; 假如不存在 , 请说明原因 .【答案】(1)设 动 点 P 的 坐 标 为 ( x ，y) , 点 A 的 坐 标 为 (x A ，y A ), 则AP ( x x A ，y y A ) ,因为 F的坐标为 (1，0) , 因此(1， ),FA x Ay A由 AP2FA 得 (x x A ，y y A ) 2( x A 1，y A ) .即x x A 2(x A1)x A2 xy A2 y A解得yy A y代入 y 2 4x , 获得动点 P 的轨迹方程为 y 28 4x .(2) 设点 Q 的坐标为 (t ，0) . 点 Q 对于直线 y2x 的对称点为 Q ( x ，y) ,y 1 x 3 t 则 x t2 解得 5yxty42t5 若 Q 在 C 上 , 将 Q 的坐标代入 y 24x , 得 4t 2 15t 0 , 即 t 0或 t15 .Q , 其坐标为 (0，0) 和 (15，0) .4因此存在知足题意的点4。
2013年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(12 圆锥曲线与方程)
2013年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全 （12圆锥曲线与方程）一、选择题：1．(2013北京理)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )．A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x答案 B解析 由e ＝3，知c ＝3a ，得b ＝2a .∴渐近线方程y ＝±bax ，y ＝±2x .2．(2013北京理)直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )．A.43 B ．2 C.83 D.1623 答案 C解析 由C ：x 2＝4y ，知焦点P (0,1)．∴直线l 的方程为y ＝1.∴所求面积S ＝4－⎠⎛2－2x 24 d x ＝4－⎪⎪x 3122－2＝83.3．(2013北京文)双曲线x 2－y 2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是( )．A ．m >12 B ．m ≥1 C ．m >1 D ．m >2答案 C解析 由x 2－y 2m ＝1知，a ＝1，b ＝m ，∴c 2＝a 2＋b 2＝1＋m ，e 2＝c 2a2＝1＋m ，由e >2，得1＋m >2，∴m >1.4．(2013福建文) 双曲线122=-y x 的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A ．21 B ．22 C ．1 D ．2 【答案】B【解析】本题考查的是双曲线的性质．因为双曲线的两个顶点到两条渐近线的距离都相等，故可取双曲线的一个顶点为)0,1(，取一条渐近线为x y =，所以点)0,1(到直线x y =的距离为22．5．(2013福建理) 双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A ．25B ．45C ．5D ．5【答案】C【解析】 2214x y -=的顶点坐标为(2,0)±，渐近线为2204x y -=，即20x y ±=．带入点到直线距离公式0022Ax Bx C d A B ++=+=2222551(2)±=+±．6．(2013广东文) 已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，离心率等于21，则C 的方程是 A ．14322=+y x B ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x【解析】基础题，1,2,3c a b ===，选D.7．(2013广东理) 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是( )A . 22145x y -= B ．22145x y -= C ．22125x y -= D ．22125x y -= 【解析】B ；依题意3c =,32e =,所以2a =,从而24a =,2225b c a =-=,故选B ．8．(2013湖北文) 已知π04θ<<，则双曲线1C ：22221sin cos x y θθ-=与2C ：22221cos sin y x θθ-=的 A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等 解析 双曲线C 1、C 2的焦距均为sin 2θ＋cos 2θ＝1. 答案 D9、(2013湖北理) 已知04πθ<<，则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的（ ）A.实轴长相等B.虚轴长相等C.焦距相等D. 离心率相等 【解析与答案】双曲线1C 的离心率是11cos e θ=，双曲线2C 的离心率是()222sin 1tan 1sin cos e θθθθ+==，故选D 【相关知识点】双曲线的离心率，三角恒等变形10. (2013江西文) 已知点A （2，0），抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM|：|MN|=A.2:B.1:2C. 1:D. 1:3 [答案]：C[解析]：依题意可得AF 所在直线方程为12xy +=代入x 2=4y 得352y -=，又|FM|：|MN|=（1-y ）：（1+y ）＝1:11．(2013辽宁文)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( )A.35B.57C.45D.67 答案 B解析 在△ABF 中，由余弦定理得|AF |2＝|AB |2＋|BF |2－2|AB |·|BF |cos ∠ABF ， ∴|AF |2＝100＋64－128＝36，∴|AF |＝6，从而|AB |2＝|AF |2＋|BF |2，则AF ⊥BF .∴c ＝|OF |＝12|AB |＝5，利用椭圆的对称性，设F ′为右焦点，则|BF ′|＝|AF |＝6， ∴2a ＝|BF |＋|BF ′|＝14，a ＝7.因此椭圆的离心率e ＝c a ＝57.12．(2013全国大纲文)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( )．A ．22x ＋y 2＝1 B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 答案：C解析：如图，|AF 2|＝12|AB |＝32，|F 1F 2|＝2， 由椭圆定义得|AF 1|＝2a －32.①在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|2＝|AF 2|2＋|F 1F 2|2＝232⎛⎫⎪⎝⎭＋22.②由①②得a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴椭圆C 的方程为22143x y +=，应选C ．13．(2013全国大纲理) 椭圆C ：22=143x y+的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且直线P A 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线P A 1斜率的取值范围是( )．A ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦答案：B解析：设P 点坐标为(x 0，y 0)，则2200=143x y +， 2002PA y k x =-，1002PA y k x =+，于是12220222003334244PA PA x y k k x x -⋅===---.故12314PA PA k k ＝－. ∵2PA k ∈[－2，－1]， ∴133,84PA k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选B.14．(2013全国大纲文、理) 已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k的直线与C 交于A ，B 两点．若MA u u u r ·MB u u u r＝0，则k ＝( )．A ．12B ．22C ．2D ．2答案：D解析：设AB ：y ＝k (x －2)，代入y 2＝8x 得： k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则∴x 1＋x 2＝2248k k +，x 1x 2＝4.(*)∵MA u u u r ·MB u u u r ＝0，∴(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝0， 即(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0.∴x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0.①∵11222,2,y k x y k x =(-)⎧⎨=(-)⎩∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－4)，②y 1·y 2＝k 2(x 1－2)(x 2－2)＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]．③ 由(*)及①②③得k ＝2.故选D ．15．(2013全国新课标Ⅱ理)设抛物线C ：y 2＝2px (p ≥0)的焦点为F，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( ) A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16x D ．y 2＝2x 或y 2＝16x 答案 C解析 由题意知：F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，抛物线的准线方程为x ＝－p 2，则由抛物线的定义知，x M ＝5－p2，设以MF 为直径的圆的圆心为⎝⎛⎭⎫52，y M 2，所以圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －522＋⎝⎛⎭⎫y －y M 22＝254，又因为圆过点(0,2)，所以y M ＝4，又因为点M 在C 上，所以16＝2p ⎝⎛⎭⎫5－p2，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x ，故选C.16、(2013全国新课标Ⅱ文) 设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点。
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12Βιβλιοθήκη 1 2， 4
• B
• 10．（2013年普通高等学校招生统一考试 大纲版数学（理）WORD版含答案（已校 C : y 2 8 x与点M 2, 2 对））已知抛物线 ,过 C的 焦点且斜率为K 的直线与 C交于A,B 两点, 若 MAMB 0 ,则 K= 2 1 • A． B．2 2 • C． 2 D． 2 •
D．x
y2 1 2 5
2
• B
• 4. （2013年高考新课标1（理））已知双曲 线: ( )的离心率为 ,则 C的渐近线方程为 （ ） • A． B． • • C． y 1 x D．
2
• C
5．（2013年高考湖北卷（理））已知 0 4 y x x y C : 1 ,则双曲线 C : 1与 的 sin sin tan
• 15
• C
• 16
• A
• 17.
• 18
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• 19
3
• 20
4 6 3
• 21
[1,)
• C
3．（2013年普通高等学校招生统一考试广东 省数学（理）卷（纯WORD版））已知中 F ,离 3, 0 心在原点的双曲线C 的右焦点为 3 心率等于 ,在双曲线 C的方程是 （ ） 2 • A． B．x y
x y 1 4 5
2
2 2
2
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• C．x
2
y 1 5
2
• D
• 11．（2013年高考北京卷（理））若双曲 x y 线 a b 1 的离心率为 3 ,则其渐近线方程为 （ ） • A．y=±2x B．y= 2x
2 2 2 2
•
1 y C． 2 x
D． y
2 x 2
• B
• 12．
• D
• 13
• D
• 14
• C
2 2
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2
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• C
• 9．（2013年普通高等学校招生统一考试大 纲版数学（理）WORD版含答案（已校 x y C: 对））椭圆 4 3 1 的左、右顶点分别为 A , A • ,P点 在 C上且直线 PA2 的斜率的取值范围 是 2, 1 ,那么直线 PA1 斜率的取值范围是 （ ） 3 3 1 3 8， ， • A． 2 4 B． 4 • C． 1 D．3 ， 1
2 2
2 2
1
cos
2
sin
2
2
2
2
2
A．实轴长相等 C． 焦距相等
B．虚轴长相等 D．离心率相等
• D
• 6. （2013年高考四川卷（理））抛物线 2 2 y y 4 x 的焦点到双曲线 x 2 1 的渐近线 3 的距离是 （ ） 1 • A． B． 3
2
2
1 • C．
2 2 1
y
A
3 • C． 2
D． 6
2
F
O
F2
B
x
1
（第9题图）
• D
8．（2013年普通高等学校招生统一考试天津 数学（理）试题（含答案））已知双曲线 x y y 2 px( p 0) 1(a 0, b 0) 的两条渐近线与抛物线 a b 的准线分别交于A, B两点, O为坐标原点. 若 双曲线的离心率为2, △AOB的面积为 3 , 则 p= 3 A．1 B． 2 C．2 D．3
1 ．（2013年高考江西卷（理））过点 ( 2, 0)引 直线l与曲线 y 1 x 2相交于A,B两点,O为坐标原 点,当 AOB的面积取最大值时,直线 l的斜率等于 （ ） 3 A． 3 B． 33 C． 33 D．
3
• B
2．（2013年普通高等学校招生统一考试福建 数学（理）试题（纯WORD版））双曲线 的顶点到其渐近线的距离等于 A． C． B． D．
D． 3
• B
• 7．（2013年普通高等学校招生统一考试浙 江数学（理）试题（纯WORD版））如图, x C : y 1 F1 , F2 是椭圆 4 与双曲线C2 的公共焦 点, A,B分别是C1 , C2 在第二、四象限的公共 点.若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是 • A． 2 B． 3