信号与系统第4章连续时间信号与系统的复频域分析

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南邮信号与系统B习题答案04

(3)
解：
s
s
2
a
2 2

a shatu (t ) 2 2 s a
由频域微分性：
d a 2as 2 tshatu(t ) 2 2 2 2 ds s a (s a )
s t shatu(t ) 由线性： 2 2 2 (s a ) 2a
4-7 用部分分式展开法求下列函数的拉氏反变换。
1 2 3 原式 e t 2e 2t 3e 3t u t s 1 s 2 s 3

2s 4 (4) s s2 4
A Bs C 解：原式是真分式，可表示为：原式 2 s s 4 2s 4 用遮挡法得： A 2 1 s 4 s 0
s 2 8s 10 (1) 2 s 5s 4
解：原式不是真分式，用长除法将其分解为：
3s 6 原式 1 2 s 5s 4 3s 6 则f 0 lim s 2 3 t s 5s 4
平面，故f 存在：
由于原式的极点为 1、 4，均位于s平面的左半
s 1 1 2s 1 4 2 2s 5 Y s 2 2 s 4s 4 s 1 s 4s 4 s 22
设Y s
s 2
2
2s 5
2

s 22
A
B s 2
用遮挡法求系数 A： A s 2 Y s s 2 2s 5 s 2 6
4-3 已知f t F s ，求下列信号的拉氏变换。
(2) e
解：
at
t f a
t f aF as a

信号与系统第4章信号的复频域分析

σ t L f ( t ) F f ( t ) e u(t ) F s s σ jω
由此可以得到傅氏变换与拉氏变换的关系
当σ 0 0 时, 收敛边界落于 s 右半平面
当σ 0 0时, 收敛边界落于 s左半平面
当σ 0 0时, 收敛边界位于虚轴
at f ( t ) e u( t )(a 0)的LT 例2：求
1 F ( s) ( a ) s a
4 信号的复频域分析举例说明收敛域的概念：例3：求 at e u (t )(a 0) f (t ) t a 的LT e u ( t )( 0)

f ( t )e s t dt F ( s ), R
是振幅密度
4 信号的复频域分析
4.1.1 拉普拉斯变换
2．拉普拉斯正变换
信号在复S域中展开式中，有：
F( s )

f ( t )e st dt Re[ s ] R
s j 具有频率的量纲，称为复频率。
4.1.1 拉普拉斯变换
3．拉氏反变换
信号在复S域中展开式中，有： 1 + s t st f (t ) [ f ( t ) e dt ] ds e Re[ s ] R 2 j -j 清楚表明了信号的组成成份和组成方式，称此式为
Inverse Laplace
4.1.1 拉普拉斯变换
4. 收敛域
使

f ( t )e s t dt F ( s ) f ( t )e
t
0r

dt
成立的 Re[ s]取值区域（范围）称为收敛域。记为：ROC(region of convergence) jω 实际上就是拉氏变换存在的条件；

信号与系统自测题(第4章连续时间信号与系统的复频域分析)含答案

）。
D
、6
−t
18
( s) s 、线性系统的系统函数 H (s) = Y = ，若其零状态响应 y(t ) = (1 − e F ( s) s + 1
D B
−t
)u (t )
，则系
统的输入信号 f (t ) = （
A
）。
−t
、 δ (t )
、e
u (t )
C
、e
−2 t
u (t )
D
、 tu(t )
C
2
、s
ω e −2 s + ω2
12
、原函数 e
1 − t a
t f( ) a
的象函数是（
B
B
）。
C
s 1 F( + ) 、1 a a a 注：原书答案为 D
A
、 aF (as + 1)
、 aF (as + a)
D
、 aF (as + 1 ) a
t f ( ) ↔ aF (as ) a e f (t ) ↔ F ( s + 1)
A
−s s −s s
A
s 、1 F ( )e a a
−s
b a
B
s 、1 F ( )e a a
− sb
C
s 、1 F ( )e a a
t 0
s
b a
D
s 、1 F ( )e a a
sb
、已知信号 x(t ) 的拉普拉斯变换为 X (s) ，则信号 f (t ) = ∫ λ x(t − λ )d λ 的拉普拉斯变换为（ B ）。 1 1 1 1 A、 X ( s ) B、 X (s) C、 X ( s) D、 X (s) s s s s 注：原书答案为 C。 f (t ) = ∫ λ x(t − λ )d λ = tu(t ) ∗ x(t )u(t ) tu(t ) ∗ x(t )u(t ) ↔ s1 X (s) 9、函数 f (t ) = ∫ δ ( x)dx 的单边拉普拉斯变换 F ( s ) 等于（ D ）。 1 1 A、 1 B、 C、 e D、 e s s

04四章连续时间信号与系统的S域分析

相应的傅里叶逆变换为
• Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数），f(t)称为 Fb(s) 的双边拉氏逆变换（或原函数）。
二、双边拉氏变换的收敛域
能使
收敛的S值的范围。
若f(t)绝对可积，则 F(jω)=F(s)|σ=0 或F(jω)= F(s)|s= jω
S平面与零点、极点
N (s) F ( s) D( s )
例5.1－5求复指数函数（式中s0为复常数）f(t)=es0t(t)的象函数
• 解： L[e (t )] 0 e e dt 0 e
s0 t s0t st

( s s0 ) t
dt
1 , Re[ s] Re[ s0 ] s s0 1 t , Re[ s ] 若s0为实数，令s0＝，则有 e (t ) s

三、 S域平移（Shifting in the s-Domain）: 若 x(t ) X (s), ROC: R 则
x(t )e X ( s s0 ), ROC : R Re[s0 ]
s0t
表明 X (s s0 ) 的ROC是将 X ( s)的ROC平移了一个Re[ s0 ] 。
1 s2 X 1 ( s) 1 , s 1 s 1
1 X 2 ( s) , s 1
ROC: 1
ROC: 1
而 x1 (t ) x2 (t ) t 1 ROC为整个S平面 • 当R1 与R2 无交集时，表明 X ( s) 不存在。
二、时移性质（Time Shifting）:
ROC : 包括 R1 R2
x1 (t ) x2 (t ) X1 (s) X 2 ( s)

精品文档-信号与系统分析(徐亚宁)-第4章

F1= w0/(s^2+w0^2)
F2= s/(s^2+w0^2)
第4章连续时间信号与系统的复频域分析
【例4-10】用MATLAB求解【例4-3】, 设τ=1 解求解的代码如下： %program ch4-10 R=0.02; t=-2:R:2; f=stepfun(t, 0)-stepfun(t, 1); S1=2*pi*5; N=500; k=0:N; S=k*S1/N; L=f*exp(t′*s)*R; L=real(L);
本例中
和
的ROC均为
Re[s]>0,
极点均在s=0处。但
有一个s=0的零点，
抵消了该处的极点，相应地ROC扩大为整个s平面。
第4章连续时间信号与系统的复频域分析 4.2.3 复频移(s域平移)特性
【例4-4】
, s0为任意常数 (4-12)
求e-atcosω0tU(t)及e-atsinω0tU(t)的象函数。
第4章连续时间信号与系统的复频域分析
1. s 借助复平面(又称为s平面)可以方便地从图形上表示复频率s。如图4-1所示，水平轴代表s Re[s]或σ, 垂直轴代表s的虚部，记为Im[s]或jω, 水平轴与垂直轴通常分别称为σ轴与jω轴。如果信号f(t)绝对可积，则可从拉氏变换中得到傅里叶变换：
f= exp(-t)+2*t*exp(-2*t)-exp(-2*t)
第4章连续时间信号与系统的复频域分析
【例4-9】用MATLAB求解【例4-2】解求解的代码如下：
%program ch4-9 syms w0t; F1=laplace(sin(w0*t)) F2=laplace(cos(w0*t))
(4-2)

(仅供参考)信号与系统第四章习题答案

e −sT
=
−sT
2 − 4e 2
+ 2e −sT
Ts 2
（f） x(t) = sin πt[ε (t)− ε (t − π )]
sin π tε (t ) ↔
π s2 + π 2
L[sin
πtε (t
−π
)]
=
L e jπt
− 2
e− jπt j
ε (t
−π
)
∫ ∫ =
1 2j
∞ π
e
jπt e−st dt
4.3 图 4.2 所示的每一个零极点图，确定满足下述情况的收敛域。
（1） f (t) 的傅里叶变换存在
（2） f (t )e 2t 的傅里叶变换存在
（3） f (t) = 0, t > 0
（4） f (t) = 0, t < 5
【知识点窍】主要考察拉普拉斯变换的零极点分布特性。【逻辑推理】首先由零极点写出拉普拉斯变换式，再利用反变换求取其原信号，即可求取其收
= cosϕ eω0tj + e−ω0tj − sin ϕ eω0tj − e−ω0tj
2
2j
=
cos 2
ϕ
−
sin 2
ϕ j
e
ω0 t j
+
cosϕ 2
+
sin ϕ 2j
e −ω 0tj
F(s) =
L
cosϕ 2
−
sin ϕ 2j
eω0tj
+
cos 2
ϕ
+
sin ϕ 2j
e
−ω0
t
j
ε
(t
)
∫ ∫ =

第4章连续信号与系统的复频域分析

式（ 4.1-5 ）和（ 4.1-6 ）称为双边拉普拉斯变换对，可以用双箭头表示f ( t )与F(s) 之间这种变换与反变换的关系
记F (s) L [ f (t )], f (t ) L [ F (s)]
-1
f (t ) F ( s)
从上述由傅氏变换导出双边拉普拉斯变换的过程中可以看出，f (t) 的双边拉普拉斯变换F(s)=F( j )是把f (t)乘以e - t之后再进行的傅里叶变换，或者说F(s)是f ( t ) 的广义傅里叶变换。
j
1
j
st
ds
t > 0
(4.1-9）
记为£ -1[ F(s)]。即
F(s) =£ [ f (t) ]
–1 [ F (s) ] 和 f (t) = £
式（4.1-8）中积分下限用0－而不用0＋，目的是可把t = 0－时出现的冲激考虑到变换中去，当利用单边拉普拉斯变换解微分方程时，可以直接引用已知的起始状态f (0－)而求得全部结果，无需专门计算0－到0＋的跳变。
经过 0 的垂直线是收敛边界，或称为收敛轴。
由于单边拉普拉斯变换的收敛域是由 Re[s] = > 0的半平面组成，因此其收敛域都位于收敛轴的右边。
凡满足式(4.1-10)的函数f ( t )称为“指数阶函数”，意思是可借助于指数函数的衰减作用将函数f(t) 可能存在的发散性压下去，使之成为收敛函数。
在收敛域内，函数的拉普拉斯变换存在，在收敛域外，函数的拉普拉斯变换不存在。
双边拉普拉斯变换对并不一一对应，即便是同一个双边拉普拉斯变换表达式，由于收敛域不同，可能会对应两个完全不同的时间函数。
因此，双边拉普拉斯变换必须标明收敛域。

连续时间信号与系统的频域分析报告

连续时间信号与系统的频域分析报告1. 引言连续时间信号与系统的频域分析是信号与系统理论中的重要分支，通过将信号和系统转换到频域，可以更好地理解和分析信号的频谱特性。

本报告将对连续时间信号与系统的频域分析进行详细介绍，并通过实例进行说明。

2. 连续时间信号的频域表示连续时间信号可以通过傅里叶变换将其转换到频域。

傅里叶变换将信号分解成一系列不同频率的正弦和余弦波的和。

具体来说，对于连续时间信号x(t)，其傅里叶变换表示为X(ω)，其中ω表示频率。

3. 连续时间系统的频域表示连续时间系统可以通过频域中的频率响应来描述。

频率响应是系统对不同频率输入信号的响应情况。

通过系统函数H(ω)可以计算系统的频率响应。

系统函数是频域中系统输出与输入之比的函数，也可以通过傅里叶变换来表示。

4. 连续时间信号的频域分析频域分析可以帮助我们更好地理解信号的频谱特性。

通过频域分析，我们可以获取信号的频率成分、频谱特性以及信号与系统之间的关系。

常用的频域分析方法包括功率谱密度估计、谱线估计等。

5. 连续时间系统的频域分析频域分析也可以用于系统的性能评估和系统设计。

通过分析系统的频响特性，我们可以了解系统在不同频率下的增益和相位变化情况，进而可以对系统进行优化和设计。

6. 实例分析以音频信号的频域分析为例，我们可以通过对音频信号进行傅里叶变换，将其转换到频域。

通过频域分析，我们可以获取音频信号的频谱图，从而了解音频信号的频率成分和频率能量分布情况。

进一步，我们可以对音频信号进行系统设计和处理，比如对音乐进行均衡、滤波等操作。

7. 结论连续时间信号与系统的频域分析是信号与系统理论中重要的内容，通过对信号和系统进行频域分析，可以更好地理解和分析信号的频谱特性。

频域分析也可以用于系统的性能评估和系统设计，对于音频信号的处理和优化具有重要意义。

总结：通过本报告，我们了解了连续时间信号与系统的频域分析的基本原理和方法。

频域分析可以帮助我们更好地理解信号的频谱特性和系统的频响特性，对系统设计和信号处理具有重要意义。

信号与系统第四章-连续信号复频域分析

j
0
（可以用复平面虚轴上的连续频谱表示）实际上是把非周期信号分解为无穷多等幅振荡的正
弦分量 d cost 之和。《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
F ( )

f (t )e jt dt
ZB
3. 拉普拉斯变换
2 j f (t ) F ( s)
称为衰减因子； e- t 为收敛因子。返回《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
ZB
取 f(t)e- t 的傅里叶变换：
F [ f (t )e
t
]

f (t )e
t jt
e
f (t )e ( j )t dt dt

它是 j的函数，可以表示成
拉普拉斯变换（复频域）分析法 – 在连续、线性、时不变系统的分析方面十分有效 – 可以看作广义的傅里叶变换 – 变换式简单 – 扩大了变换的范围 – 为分析系统响应提供了规范的方法
返回《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
ZB
4.1 拉普拉斯变换
4.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换
单边拉氏变换的优点： (1) 不仅可以求解零状态响应，而且可以求解零输入响应或全响应。 (2) 单边拉氏变换自动将初始条件包含在其中，而且只需要了解 t=0- 时的情况就可以了。 (3) 时间变量 t 的取值范围为 0 ~ ，复频域变量 s 的取值范围为复平面( S 平面)的一部分。 j S 平面当 >0 时， f(t)e- t 绝对收敛。
ZB
按指数规律增长的信号：如 e t ，0 =
比指数信号增长的更快的信号：如 e 或t t 找不到0 ，则此类信号不存在拉氏变换。

信号与系统-连续系统的复频域分析

连续系统的复频域分析
内容提要
l 拉普拉斯变换 l 系统的拉氏变换分析法
– 零输入响应 – 零状态响应
l 系统稳定条件
§5.1 拉普拉斯变换
一拉普拉斯变换的定义及收敛域 ①定义双边拉普拉斯变换对
∞ F (s) = ∫ f ( t ) e st d t −∞ σ + j∞ 1 st F ( s ) e ds f (t ) = ∫ − ∞ σ j 2π j
− st
。
③时移和尺度变换都有时：
1 s f (at − b) ⇔ F ( )e a a
b −s a
④f(t)时间微分，积分函数的拉普拉斯变换不仅与 F(s)有关，还与 t-0 点函数值 f(0)，函数的微分值 f (0) 或函数的积分值 f
n (−n)
(0) 有关。这
一点需要与傅立叶变焕相区分(这里的 n 取整数)
at
才收敛，所以收敛坐标为 σ 0 = a 。 ④右边信号的收敛域在收敛轴以右的 s 平面,既
σ >a
⑤左边信号的收敛域在收敛轴以左的 s 平面，既σ < β ⑥双边信号的收敛域为 s 平面的带状区域，即
α <σ < β
另外，对所有拉普拉斯变换来说，ROC 内部不包括任何极点；如果信号的收敛域包括虚轴，则这个信号的傅立叶变换和拉普拉斯变换都存在。
⑤初值定理和终值定理应用的条件关于初值定理，要注意所求的初值是 f(t)在 t=0+时刻的值,而不是 f(t)在 t=0-和 t=0 时刻的值,无论拉氏变换 F(s) 是采用 0-系统的结果还是采用 0-系统的结果,所求的初值总是 f(0+).
另外，用初值定理 f (0+ ) = lim sF ( s ) 求函数

信号与系统第四章复频域分析

j
7
4.1 拉普拉斯变换
• 拉氏变换对：X (s) x(t)est d t 说明：
1. 拉普拉斯变换的定义
x(t) 1 j X (s)estds
2 j j
① X s Lx象t 函数,自然界中不存在,复函数,无法直接测量；
xt L1X s原函数,实际存在,实函数, 可以感觉和测量.
2
• 三、本书用到的信号的变换域
自变量基本信号单元变换名称
连续信号离散信号
复频域 s j est
频域
j
e jt
复频域 z re jΩ zn
频域
e jΩ
e jΩ
拉氏变换傅氏变换 z变换傅里叶变换
3
• 四、拉氏变换在系统分析中的优势
1、将系统在时域内微分方程转换为复频域的代数方程，降低求解难度.
傅里叶反变换：x(t) 1 X ()e jt d 2
e x(t) 可以分解为的j线t 性组合.
条件：信号 x必(t须)满足绝对可积条件
x(t) dt
映射：傅里叶变换与傅里叶反变换是一对一的变换对。
6
4.1 拉普拉斯变换
• 拉普拉斯变换的定义
1. 拉普拉斯变换的定义
[x(t)e t ]ej tdt x(t)e( j)tdt
② 复频域移位性质：e at x(t) X (s a)
例4.3.5：求衰减正弦 e at sin(的0拉t普) 拉斯变换.
解：
正弦函数的变换为
e at sin( 0t)
sin( 0t)
0
0
s2
2 0
(s
a)2
2 0
余弦函数的变换为
cos(0t)
s2

重庆邮电大学信号与系统课件第4章

f
(t )
etch tU
(t )
F (s)
(s
(s ) )2
2
23
通信与信息基础教学部
典型信号的拉普拉斯变换(1)
原函数
f (t)
像函数
F (s)
(t)
(t)
t (t)
Ae at (t)
sin0t (t)
cos0t (t)
24
通信与信息基础教学部
1
1 s 1 s2 A
sa
0 s2 02
1 2
s
1
s
1
1 2
s2
2s
2
s2
s
2
22
通信与信息基础教学部
典型信号的拉氏变换
同理
f
(t)
s ht
F (s)
s2
2
f
(t)
s h tU (t)
F (s)
s2
2
f
(t)
c h tU (t)
F (s)
s2
s
2
f (t) et s h tU (t) F (s)
(s )2 2
f (t) 1
2 j
j j
Fb
(
s)e
st
ds
拉普拉斯变换是将时域函数f(t)变为复频域函数Fb(s)；或作相反的变换。此处时域变量t是实数，复频域变量s是复数。
（拉普拉斯变换建立了时域和复频域（s 域）间的联系。）
6
通信与信息基础教学部
拉普拉斯变换的收敛域(1)
拉普拉斯变换的收敛域
02
18
通信与信息基础教学部
典型信号的拉氏变换
同理

信号与系统分析第四章连续时间系统的频域分析

(4.5)
Y(j)
H(j) F(j)
()y()f()
第四章连续时间系统的频域分析
可见, |H(jω)|是角频率为ω的输出与输入信号幅度之比, 称为系统的[HTH]幅频响应; φ(ω)是角频率为ω的输出与输入信号的相位差, 称为系统的相频响应。由于 H(jω)是h(t)的傅里叶变换, 因而当h(t)为实函数时, 由傅里叶变换的性质可知, |H(jω)|关于ω偶对称, φ(ω) 关于ω 奇对称。
(4.1)
第四章连续时间系统的频域分析
设系统的初始状态为零, 则y(t)为系统的零状态响应, 对上式两边取傅里叶变换, 并令 Yzs (jω)=F［y(t)］, F(jω)=F［f(t)］, 由时域微分性质, 可
[ j) ( n a n 1 ( j) n 1 a 1 ( j) a 0 ] Y z ( j s ) [ b m ( j) m b m 1 ( j) m 1 b 1 ( j) b 0 ] F ( j)
第四章连续时间系统的频域分析
本章将讨论连续时间系统的频域分析。系统的频域分析就是把系统的激励和响应的关系应用傅里叶变换从时域变换到频域, 在频域中求系统的响应或分析系统的特性。利用频域分析法求系统响应, 是通过运用傅里叶级数或傅里叶变换, 将信号分解为一系列正弦分量或虚指数信号(ejωt)之和或积分, 并将这些单元信号作用于系统所得的响应进行叠加, 从而得到完整的系统响应。
系统函数表征了系统的频域特性, 是频域分析的关键。系统函数的求解方法有如下几种:
第四章连续时间系统的频域分析
(1) 若系统由微分方程给出, 则可以对微分方程两边取傅里叶变换, 按照式(4.3)直接求取;
(2) 若给定系统的冲激响应, 则可以对其做傅里叶变换来求取;

信号与系统王明泉课件第4章

+∞
傅里叶逆变换
x( t ) e
−σ t
1 ∞ = X (σ + jω) ejωt dω 2π ∫−∞
以两边同乘 eσ t
1 ∞ (σ + jω)t x( t ) = ∫−∞ X (σ + jω) e dω 2π
令 s = σ + jω ; d s = jdω 拉普拉斯逆变换
ω: ∫ ⇒s : ∫
L[ ax1(t) + bx2 (t)] = aX1(s) + bX2 (s)
−2 t 例4.2.1 求 x(t ) = (1 − e )u (t ) 拉普拉斯变换
L [ x(t ) ] = L u (t ) − e −2t u (t ) = L [u (t ) ] − L e −2t u (t ) 1 1 = − s s+2
信号与系统
第4章连续时间信号与系统的复频域分析
11 /85
4.1.2 拉普拉斯变换的收敛性
根据定义：选择适当的σ才使得x(t)的拉氏变换存在。由于x(t)e-σt的傅里叶变换就是拉氏变换，当σ> σ0区域内的任意一点时，若x(t)e-σt绝对可积，则拉氏变换的收敛域就是σ> σ0，而σ= σ0这条垂线就是收敛域的边界，称为收敛轴。
jω0t
(σ > 0) (σ > 0)
信号与系统
第4章连续时间信号与系统的复频域分析
17 /85
正弦信号
ω0 1 1 1 L[sinω0tu(t)] = − = 2 2 j s − jω0 s + jω0 s +ω02
1 1 1 s L[ cosω0tu(t)] = + = 2 2 s − jω0 s + jω0 s +ω02

信号与系统张晔版第四章ppt

L[u(t)] est dt est 1
0
s
s
0
u(t) 1 s
(2) 单边指数信号 f (t) eatu(t)
延时信号
→ 对比傅里叶变换？双边
L[eat ] eat est dt e(as)t 1
0
as
as
0
eat u(t) 1 sa
( a)
哈尔滨工业大学图象与信息技术研究所
L f (t t0 )u(t t0 ) F (s)est0
→
L
f
(at
t0 )u(at
t0 )
1 a
F
s a
e
s a
t0
(2) 先尺度、后平移
L
f
(at)u(at)
1 a
F
s a
→
L
f
(at
t0 )u(at
t0 )
1 a
F
s a
e
s a
t0
哈尔滨工业大学图象与信息技术研究所
4.2.6 时域微分特性
推而广之：
L
d n f (t)
dt n
sn F (s)
n 1 r 0
snr 1
f
(r) (0)
式中
f
(r)
(0)是r阶导数
d
r f (t) dt r
在0-时刻的取值。特别是，如果它们都为0，则
L
df (t dt
)
sF
(s)
L
d
2f dt
(t
2
)
s2F(s)
i 1
i 1
在应用中，可实现复杂信号的分解。
4.2.2 时域平移特性

信号与系统第四章知识点

第四章拉普拉斯变换—连续信号s 域分析一、考试内容（知识点）1．拉普拉斯变换的定义及其性质、拉普拉斯逆变换； 2．系统的复频域分析法； 3．系统函数)(s H ；4．系统的零极点分布决定系统的时域、频域特性； 5．线性系统的稳定性；6．拉普拉斯变换与傅里叶变换之间的关系。

二、内容（知识点）详解1．拉普拉斯变换的定义、收敛域（1）变换式与反变换式dt e t f t f s F st -∞⎰-==0)()]([)(L ds e s F js F t f stj j ⎰∞+∞--==σσπ)(21)]([)(1L )(s F 称为)(t f 的象函数，)(t f 称为)(s F 的原函数。

下限值取-0，主要是考虑信号)(t f 在t =0时刻可能含有冲激函数及其导数项也能包含在积分区间之内。

（2）收敛域在s 平面上，能使式0)(lim =-→∞t t e t f σ满足和成立的σ的取值范围（区域），称为)(t f 或)(s F 的收敛域。

2．常用时间函数的拉普拉斯变换（1）冲激函数 )()(t t f δ= 1)(=s F)()()(t t f n δ= n s s F =)(（2）阶跃函数 )()(t u t f = ss F 1)(= （3）n t （n 是正整数） t t f =)( 21)(s s F =2)(t t f = 32)(s s F =n t t f =)( 1!)(+=n s n s F（4）指数信号 t e t f α-=)( α+=s s F 1)(t te t f α-=)( ()21)(α+=s s F t n e t t f α-=)( ()1!)(++=n s n s F αt j e t f ω-=)( ωj s s F +=1)( （5）正弦信号、余弦信号系列)sin()(t t f ω= 22)(ωω+=s s F)cos()(t t f ω= 22)(ω+=s ss F)sin()(t e t f t ωα-= 22)()(ωαω++=s s F)cos()(t e t f t ωα-= 22)()(ωαα+++=s s s F )sin()(t t t f ω= 222)(2)(ωω+=s ss F )cos()(t t t f ω= 22222)()(ωω+-=s s s F )()(t sh t f ω= 22)(ωω-=s s F )()(t ch t f ω= 22)(ω-=s ss F （6） ∑∞=-=0)()(n nT t t f δ sT e s F --=11)(∑∞=-=00)()(n nT t f t f sTes F s F --=1)()(0 3．拉普拉斯变换的基本性质象函数)(s F 与原函数)(t f 之间的关系为：)]([)(t f s F L = （1）线性（叠加性）∑∑===⎥⎦⎤⎢⎣⎡ni i i n i i i s F a t f a 11)()(L ，其中i a 为常数，n 为正整数。

数字信号处理第4章信号与系统的复频域分析

有的零点和极点以及比例因子bm，就可以确定系统函数。因此，系统函数的零点和
极点的分布反映了系统的各种特征。
系统函数往往用零点和极点在S平面上的分布图来表示，以”○”表示零点，以”×” 表示极点，以“⊙”表示重零点，以”*” 表示重极点。
jω
×
1
○
*
-2
-1
○
01
○
2
σ
×
-1
H
(s)
s(s (s2 2s
求上式的拉氏反变换，就可以得到系统的
冲激响应为：
n
h(t) bm kie pit i 1
每一极点对应一分量 epit ,(有r重极点时对应 t e r1 pit ），极点位置就决定了该分量的时域性质。
在H(s)的系数都为实数时，如果有一极点
为复数，必有另一极点是该极点的共轭复数，同时系数k也将为共轭复数，一对共轭极点组成的响应分量仍然为实数。
系统稳定性：对于任何一个有界的激励，稳定系统产生的响应在任何时候都是有界的。也就是要求系统的冲激响应有界（随着t→∞，|h(t)|将逐渐衰减到零）。系统的冲激响应的时域性质可由系统函数的极点位置确定，因此，系统的稳定性可由系统函数的极点位置来判断。
1、系统函数的极点全部位于左半S平面时，随着t→∞将逐渐衰减到零，系统稳定。因
1
F (s)estds F (s)estds
2 j C0 Ci
Ci
0
k
Re
s(sk
)
1
2
j
Ci
F
(s)e st ds
F (s)estds 0 t 0
C1
F (s)estds 0 t 0
C2

第四章连续系统的复频域分析

(region of convergence)实际上就是拉氏变换存在的条
件；
则收敛条件为。 lim f (t) eσt 0 t
σ σ0
jω 收敛轴
收敛区
收敛坐标
σ0 O
σ
图4-2拉普拉斯收敛域
4.1.2 拉普拉斯变换的收敛域
例 4-1-1 求指数函数 f (t) et ( 0) 的拉氏变换及其收敛域。
F(s) f (t)e-stdt 0
F( s ) ：为s的函数，称为象函数。
s = + j，复频率。
变换对：
f( t ) F( s )
电压：u( t ) U( s )
电流：i( t ) I( s )
4.1.2 拉普拉斯变换的收敛域
收敛域就是使存在的s的区域称为收敛域。记为：ROC
eα st

1
αs αs
σ α
3.单位冲激信号
0
L
t

0
t

estd
t

1
全s域平面收敛
L t t0

0
t t0
estd t est0
表4—1一些常见函数的拉氏变换
4.1.3 常用信号的拉普拉斯变换
解: 用两种方法进行求解。
dt
的拉普拉斯变换。
方法一：由基本定义求解。 d
因为 f (t) 的导数为
dt
[e
atu(t
)]

aeat
u(t)

(t
)
L

df (t) dt

信号与系统分析《信号与系统分析》吴京,国防科技大学出版社第四章-1

图形上，时域波形与频谱图的关系
能量的角度，时域与频域的对应关系响应的角度
四线性时不变系统对周期信号的响应
一波形对称性与谐波特性的关系
f ( t ) a 0 [a n cos(nt ) bn sin( nt )]，t 0 t t 0 T
n 1

2 , n 1,2,...} T f ( t ) a 0 [a n cos(nt ) bn sin( nt )]，t 0 t t 0 T
正余弦信号集
n 1
{sin( nt ),1, cos(nt ),

f ( t ) c 0 c n cos(nt n ) f ( t ) d 0 d n sin( nt n )
n 1 n 1
1 t 0 T a 0＝ f ( t )dt T t0 2 t 0 T an f ( t ) cos(nt )dt T t0 2 t 0 T bn f ( t ) sin( nt )dt T t0
a0 c0 d 0
2 2 cn d n an bn
f ( t ) a0 [an cos(nt ) bn sin( nt )] ，t 0 t t 0 T
n1

在上式两边同乘以 1、 cos nt、 sin nt，并在 (t 0 , t 0 T )
1 t 0 T f ( t )dt T t 0 2 t 0 T an f ( t ) cos(nt )dt T t0 2 t 0 T bn f ( t ) sin( nt )dt t 0 T a 0＝
区间上积分，得到：
a0 c0 d 0
2 2 cn d n an bn

连续时间信号与系统的复频域分析课件

子e-t使之变为收敛函数，满足绝对可积条件；从物理意义
上看，是将频率ω变换为复频率s，ω只能描述振荡的重复
频率，而s不仅能给出重复频率，还可以表示振荡的增长的
速率或衰减速率。
例：求信号f(t)= e-atu(t)在a>0时的拉普拉斯变换。
解： f(t)的拉普拉斯变换为
F (s) f (t)estdt eatestdt 1
性质4 若f(t)是右边信号，即有始信号，则其收敛域为从最右边极点开始的右半平面。
性质5 若f(t)是左边信号，即有终信号，则其收敛域为从最左边极点开始的左半平面。
性质6 若f(t)是双边信号，则其收敛域是S平面的一条带状区域。
例：已知信号f(t)=e-b|t|，试对b>0及b<0两种情况求其拉普拉斯变换及收敛域。
0
sa
Re{s} a
如果a=0，f(t)就是阶跃函数，其拉普拉斯变换对为
u(t) 1 s
Re s 0
再来看一下信号f(t)= -e-atu(-t)的拉普拉斯变换。
F (s) eatu(t)estdt 0 e(sa)tdt 1
sa
Re{s} a
不同信号的拉氏变换表示式是一样的，但使表示式有
4. 尺度特性
若 f (t) F(s) 收敛域为：R
则 f (at) 1 F ( s ) aa
R1 aR
若a=-1，则有 f (t) F(s)
如： eatu(t) 1 sa
Re{s} a
R1 R
则 eatu(t) 1
saΒιβλιοθήκη eatu(t) 1Re{s} a
sa
Re{s} a eatu(t) 1 sa
A
A1