2016 朝阳高三一模 数学 理 答案

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2016届朝阳高三数学(理)答案

2016届朝阳高三数学(理)答案

P F D A E C B
18. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ax ln x ,其中 a R . (Ⅰ)若 f ( x ) 在区间 [1, 2] 上为增函数,求 a 的取值范 围; (Ⅱ)当 a e 时, (ⅰ)证明: f ( x) 2 0 ; (ⅱ)试判断方程 f ( x)
16. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 cos ADB 又因为 CAD
2 7 2 ,所以 sin ADB . 10 10
,所以 C ADB . 4 4
5
所以 sin C sin(ADB ) sin ADB cos cos ADB sin 4 4 4
第二部分(非选择题 共 110 分)
2
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上.
9.函数 y 2sin(2 x ) 1 的最小正周期是 6
,最小值是

x y ≤ 2, 10.若 x , y 满足约束条件 2 x y ≥ 1,则 z x y 的最大值为 y ≤1,
20. (本小题满分 13 分) 已知有穷数列: a1 , a2 , a3 , ① a1 a 3) 的各项均为正数,且满足条件:
, k 1) .
2 1 2an 1 (n 1, 2,3, an an 1
(Ⅰ)若 k 3, a1 2 ,求出这个数列; (Ⅱ)若 k 4 ,求 a1 的所有取值的集合; (Ⅲ)若 k 是偶数,求 a1 的最大值(用 k 表示) .
(Ⅰ)因为 f ( x ) 在区间 [1, 2] 上为增函数,所以 f ( x) 0 在 x [1, 2] 上恒成立, 即 f ( x) a 则a .

高三试卷—2016年北京朝阳高三上期末数学理(及答案解析)

高三试卷—2016年北京朝阳高三上期末数学理(及答案解析)

则 P(A)
C31 C72 C30 C130
C73
49 60

所以选出的 3 名同学来自班级的概率为 49 . 60
(Ⅱ)随机变量 X 的所有可能值为 0 ,1, 2 , 3 ,则
P(X
0)
C30 C73 C130
7 24
; P(X
1)
C31 C72 C130
21 40

P(X
2)
C32 C71 C130
所以 AB∥EF .
(Ⅱ)取 AD 中点 G ,连接 PG , GB .
因为 PA PD ,所以 PG AD .
又因为平面 PAD 平面 ABCD , 且平面 PAD 平面 ABCD AD ,
所以 PG 平面 ABCD .所以 PG GB .
在菱形 ABCD 中,因为 AB AD ,
x2
7
19.(本小题满分 14 分) 已知圆 O : x2 y2 1的切线 l 与椭圆 C : x2 3y2 4 相交于 A , B 两点.
(Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)求证: OA OB ; (Ⅲ)求 △OAB 面积的最大值.
8
20.(本小题满分 13 分)
已知有穷数列: a1 , a2 , a3 , , ak ( k N* , k≥3 )的各项均为正数,且满足

若 x 2 , y 3 , z 4 ,则 S△AOB : S△BOC : S△AOC

3
三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分 13 分)
某中学高一年级共 8 个班,现从高一年级选10 名同学组成社区服务小组,其中高一(1) 班选取 3 名同学,其它各班各选取1 名同学.现从这10 名同学中随机选取 3 名同学,到社区 老年中心参加“尊老爱老”活动(每位同学被选到的可能性相同).

北京市朝阳区2016届高三第一次综合练习(一模)数学理试题(解析版)

北京市朝阳区2016届高三第一次综合练习(一模)数学理试题(解析版)

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷(理工类) 2016.3(考试时间120分钟 满分150分)本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分第一部分(选择题 共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1. i 为虚数单位,复数2i 1i+= A .1i - B .1i -- C .1i -+ D .1i + 答案:D解析:分母实数化,即分子与分母同乘以分母的其轭复数:222(1)111i i i i i i -==++-。

2. 已知全集U =R ,函数ln(1)y x =-的定义域为M ,集合{}20N x x x =-<,则下列结论正确的是A .M N N =B .()U M N =∅ ðC .M N U =D .()U M N ⊆ð 答案:D解析:∵函数 y =ln(x -1)的定义域M ={}|1x x >,N ={}|01x x <<,又U =R ∴{}|1U C N x x =≥≤或x 0,∴M N =∅ ,故 A ,C 错误,D 显然正确。

3. “a b >”是“e e ab>”的A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 答案:A解析:由a b >,知0a b >≥, 又x y e =是增函数,所以,a b e e >,由a b e e >知a b >,但,a b 取负值时,,a b 无意义, 故选A 。

4. 执行如图所示的程序框图,输出的S 值为 A .42B .19C .8D .3答案:B解析:依次执行结果如下:S =2×1+1=3,i =1+1=2,i <4; S =2×3+2=8,i =2+1=3,i <4; S =2×8+1=19,i =3+1=42,i ≥4; 所以,S =19,选B 。

2016朝阳高三一模理科数学

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北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷(理工类) 2016.3(考试时间120分钟 满分150分)本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分第一部分(选择题 共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1. i 为虚数单位,复数2i 1i+= A .1i - B .1i -- C .1i -+ D .1i +2. 已知全集U =R ,函数ln(1)y x =-的定义域为M ,集合{}20N x x x =-<,则下列结论正确的是 A .M N N = B .()UMN =∅ðC .MN U = D .()UM N ⊆ð3. “a b >”是“e e a b>”的A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 4. 执行如图所示的程序框图,输出的S 值为 A .42 B .19 C .8 D .3 5.在ABC ∆中,角A ,B ,C 的对边分别为,,.a b c若222()tan 3a c b B ac +-=,则角B 的值为A .3π B .6π C .233ππ或D . 566ππ或 6.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误..的是 A. 收入最高值与收入最低值的比是3:1B. 结余最高的月份是7月C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D. 前6个月的平均收入为40万元(注:结余=收入-支出)万元 月O23 430 1 10 2 5689 10 7111240 60 570 908收入支出开始1,1i S ==4?i <1i i =+2S S i =+输出S 结束 否 是(第4题图)(第7题图)正视图侧视图俯视图2 11 17.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是A .13 B .12 C .1 D .328.若圆222(1)x y r +-=与曲线(1)1x y -=的没有公共点,则半径r 的取值范围是 A .02r << B .1102r <<C .03r <<D .1302r << 第二部分(非选择题 共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡上. 9. 二项式251()x x+的展开式中含4x 的项的系数是 (用数字作答). 10.已知等差数列}{n a (n *∈N )中,11=a ,47a =,则数列}{n a 的通项公式n a = ;2610410n a a a a +++++=______.11.在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的方程为222x y +=,曲线2C 的参数方程为2,(x t t y t=-⎧⎨=⎩为参数).以原点O 为极点,x 轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,则曲 线1C 与2C 的交点的极坐标...为 . 12.不等式组0,,290x y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域为D .若直线(1)y a x =+与区域D 有公共点,则实数a 的取值范围是 . 13.已知M 为ABC ∆所在平面内的一点,且14AM AB nAC =+.若点M 在ABC ∆的内部(不含边界), 则实数n 的取值范围是____.14.某班主任在其工作手册中,对该班每个学生用十二项能力特征加以描述.每名学生的第i (1,2,,12i =)项能力特征用i x 表示,0,1i i x i ⎧=⎨⎩如果某学生不具有第项能力特征,,如果某学生具有第项能力特征.若学生,A B 的十二项能力特征分别记为1212(,,,)A a a a =,1212(,,,)B b b b =,则,A B两名学生的不同能力特征项数为 (用,i i a b 表示).如果两个同学不同能力特征项数不少于7,那么就说这两个同学的综合能力差异较大.若该班有3名学生两两综合能力差异较大,则这3名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为 .三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分13分)已知函数213()sin 3cos 222x f x x ωω=+-,0ω>. (Ⅰ)若1ω=,求()f x 的单调递增区间;(Ⅱ)若()13f π=,求()f x 的最小正周期T 的表达式并指出T 的最大值.16.(本小题满分13分)为了解学生暑假阅读名著的情况,一名教师对某班级的所有学生进行了调查,调查结果如下表.(Ⅰ)从这班学生中任选一名男生,一名女生,求这两名学生阅读名著本数之和为4的概率?(Ⅱ)若从阅读名著不少于4本的学生中任选4人,设选到的男学生人数为X ,求随机变量X 的分布列和数学期望; (Ⅲ)试判断男学生阅读名著本数的方差21s 与女学生阅读名著本数的方差22s 的大小(只需 写出结论). 17.(本小题满分14分)人数 本数 性别 1 2 3 4 5 男生 1 4 3 2 2 女生 0 1 3 3 1如图,在直角梯形11AA B B 中,190A AB ∠=︒,11//A B AB ,11122AB AA A B ===.直角梯形11AAC C 通过直角梯形11AA B B 以直线1AA 为轴旋转得到,且使得平面11AA C C ⊥平面11AA B B .M 为线段BC 的中点,P 为线段1BB 上的动点.(Ⅰ)求证:11A C AP ⊥;(Ⅱ)当点P 是线段1BB 中点时,求二面角P AM B --的余弦值; (Ⅲ)是否存在点P ,使得直线1A C //平面AMP ?请说明理由.18.(本小题满分13分)已知函数()f x =ln ,x a x a +∈R . (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ)当[]1,2x ∈时,都有()0f x >成立,求a 的取值范围;(Ⅲ)试问过点(13)P ,可作多少条直线与曲线()y f x =相切?并说明理由.19.(本小题满分14分)AMPCBA 1C 1B 1已知点(2,1)P 和椭圆:C 22142x y +=. (Ⅰ)设椭圆的两个焦点分别为1F ,2F ,试求12PF F ∆的周长及椭圆的离心率; (Ⅱ)若直线:l 220(0)x y m m -+=≠与椭圆C 交于两个不同的点A ,B ,直线PA ,PB 与x 轴分别交于M ,N 两点,求证:PM PN =.20.(本小题满分13分)已知等差数列}{n a 的通项公式31()n a n n *=-∈N .设数列{}n b 为等比数列,且n n k b a =.(Ⅰ)若11=2b a =,且等比数列{}n b 的公比最小, (ⅰ)写出数列{}n b 的前4项; (ⅱ)求数列{}n k 的通项公式;(Ⅱ)证明:以125b a ==为首项的无穷等比数列{}n b 有无数多个.北京市朝阳区2015-2016学年度第二学期高三年级统一考试数学答案(理工类) 2016.3一、选择题:(满分40分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案D DA BCDA C二、填空题:(满分30分)题号 91011121314答案1021n a n =-,(3)(411)n n ++(2,)4π 3(,]4-∞3(0,)4121||ii i ab =-∑22(注:两空的填空,第一空3分,第二空2分) 三、解答题:(满分80分) 15.(本小题满分13分) 解:(Ⅰ)当1ω=时,213()sin 3cos 222x f x x =+-13sin cos 22x x =+ sin()3x π=+.令22,232k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z .解得22,66k x k k 5πππ-≤≤π+∈Z .所以()f x 的单调递增区间是[2,2],66k k k 5πππ-π+∈Z .……………………7分(Ⅱ)由213()sin 3cos 222x f x x ωω=+- 13sin cos 22x x ωω=+ sin()3x ωπ=+.因为()13f π=,所以sin()133ωππ+=.则2332n ωπππ+=π+,n ∈Z . 解得162n ω=+.又因为函数()f x 的最小正周期2T ωπ=,且0ω>,所以当ω12=时,T 的最大值为4π. ………………………………………13分 16.(本小题满分13分) 解:(Ⅰ)设事件A :从这个班级的学生中随机选取一名男生,一名女生,这两名学生阅读本数之和为4 .由题意可知, 13+417()=12896P A ⨯⨯=⨯.………………………………………4分(Ⅱ)阅读名著不少于4本的学生共8人,其中男学生人数为4人,故X 的取值为0,1,2,3,4.由题意可得44481(0)70C P X C ===; 134448168(1)7035C C P X C ====; 2244483618(2)7035C C P X C ====; 314448168(3)7035C C P X C ====; 44481(4)70C P X C ===. 所以随机变量X 的分布列为X0 1 2 3 4 P170 835 1835 835 170随机变量X 的均值116361610123427070707070EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.…………10分(Ⅲ)21s >22s .…………………………………………………………………………13分17.(本小题满分14分)解:(Ⅰ)由已知1190A AB A AC ∠=∠=︒,且平面11AA C C ⊥平面11AA B B ,所以90BAC ∠=︒,即AC AB ⊥. 又因为1AC AA ⊥且1ABAA A =,所以AC ⊥平面11AA B B .由已知11//A C AC ,所以11A C ⊥平面11AA B B . 因为AP ⊂平面11AA B B ,所以11AC AP ⊥.…………………………………………………………………………4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知1,,AC AB AA 两两垂直.分别以1,,AC AB AA 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示.由已知 11111222AB AC AA A B AC =====,所以(0,0,0),(0,2,0),(2,0,0),A B C 1(0,1,2)B ,PBA 1C 1B 1z1(0,0,2)A .因为M 为线段BC 的中点,P 为线段1BB 的中点,所以3(1,1,0),(0,,1)2M P . 易知平面ABM 的一个法向量(0,0,1)=m . 设平面APM 的一个法向量为(,,)x y z =n ,由 0,0,AM AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得0, 30. 2x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩取2y =,得(2,2,3)=--n .由图可知,二面角P AM B --的大小为锐角, 所以3317cos ,1717⋅〈〉===⋅m n m n m n. 所以二面角P AM B --的余弦值为31717.………………………………9分 (Ⅲ)存在点P ,使得直线1A C //平面AMP .设111(,,)P x y z ,且1BP BB λ=,[0,1]λ∈,则111(,2,)(0,1,2)x y z λ-=-, 所以1110,2,2x y z λλ==-=.所以(0,2,2)AP λλ=-. 设平面AMP 的一个法向量为0000(,,)x y z =n ,由 000,0,AM AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得00000, (2)20. x y y z λλ+=⎧⎨-+=⎩取01y =,得02(1,1,)2λλ-=-n (显然0λ=不符合题意).又1(2,0,2)AC =-,若1A C //平面AMP ,则10AC ⊥n . 所以10220AC λλ-⋅=--=n .所以23λ=. 所以在线段1BB 上存在点P ,且12BPPB =时,使得直线1A C //平面AMP .…………14分 18.(本小题满分13分)解:(Ⅰ)函数()f x 的定义域为{}0x x >.()1a x a f x x x+'=+=. (1)当0a ≥时,()0f x '>恒成立,函数()f x 在(0,)+∞上单调递增; (2)当0a <时, 令()0f x '=,得x a =-.当0x a <<-时,()0f x '<,函数()f x 为减函数; 当x a >-时,()0f x '>,函数()f x 为增函数.综上所述,当0a ≥时,函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞.当0a <时,函数()f x 的单调递减区间为(0,)a -,单调递增区间为(+)a -∞,.……………………………………………………………………………………4分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,(1)当1a -≤时,即1a ≥-时,函数()f x 在区间[]1,2上为增函数,所以在区间[]1,2上,min ()(1)1f x f ==,显然函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零; (2)当12a <-<时,即21a -<<-时,函数()f x 在[)1a -,上为减函数,在(],2a - 上为增函数,所以min ()()ln()f x f a a a a =-=-+-.依题意有min ()ln()0f x a a a =-+->,解得e a >-,所以21a -<<-. (3)当2a -≥时,即2a ≤-时,()f x 在区间[]1,2上为减函数, 所以min ()(2)2+ln 2f x f a ==.依题意有min ()2+ln 20f x a =>,解得2ln 2a >-,所以22ln 2a -<≤-. 综上所述,当2ln 2a >-时,函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零.………………8分 (Ⅲ)设切点为000,ln )x x a x +(,则切线斜率01a k x =+, 切线方程为0000(ln )(1)()ay x a x x x x -+=+-. 因为切线过点(1,3)P ,则00003(ln )(1)(1)ax a x x x -+=+-. 即001(ln 1)20a x x +--=. ………………① 令1()(ln 1)2g x a x x =+-- (0)x >,则 2211(1)()()a x g x a x x x-'=-=. (1)当0a <时,在区间(0,1)上,()0g x '>, ()g x 单调递增;在区间(1,)+∞上,()0g x '<,()g x 单调递减, 所以函数()g x 的最大值为(1)20g =-<.故方程()0g x =无解,即不存在0x 满足①式. 因此当0a <时,切线的条数为0.(2)当0a >时, 在区间(0,1)上,()0g x '<,()g x 单调递减,在区间(1,)+∞上,()0g x '>,()g x 单调递增, 所以函数()g x 的最小值为(1)20g =-<.取21+1ee ax =>,则221112()(1e 1)2e 0aa g x a a a----=++--=>.故()g x 在(1,)+∞上存在唯一零点.取2-1-21e<e ax =,则221122()(1e 1)2e 24a a g x a a a a ++=--+--=--212[e 2(1)]a a a+=-+. 设21(1)t t a=+>,()e 2t u t t =-,则()e 2t u t '=-. 当1t >时,()e 2e 20t u t '=->->恒成立.所以()u t 在(1,)+∞单调递增,()(1)e 20u t u >=->恒成立.所以2()0g x >. 故()g x 在(0,1)上存在唯一零点.因此当0a >时,过点P (13),存在两条切线.(3)当0a =时,()f x x =,显然不存在过点P (13),的切线. 综上所述,当0a >时,过点P (13),存在两条切线; 当0a ≤时,不存在过点P (13),的切线.…………………………………………………13分 19.(本小题满分14分)解:(Ⅰ)由题意可知,24a =,22b =,所以22c =.因为(2,1)P 是椭圆C 上的点,由椭圆定义得124PF PF +=. 所以12PF F ∆的周长为422+. 易得椭圆的离心率2=2c e a =.………………………………………………………4分 (Ⅱ)由22220,1,42x y m x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩得2242280x mx m ++-=. 因为直线l 与椭圆C 有两个交点,并注意到直线l 不过点P ,所以22844(8)0,0.m m m ⎧-⨯->⎨≠⎩解得40m -<<或04m <<. 设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则1222x x m +=-,21284m x x -=, 1122x m y +=,2222x m y +=. 显然直线PA 与PB 的斜率存在,设直线PA 与PB 的斜率分别为1k ,2k , 则1212121122y y k k x x --+=+-- 12211222(1)(2)(1)(2)22(2)(2)x m x m x x x x ++--+--=-- 122112(22)(2)(22)(2)2(2)(2)x m x x m x x x +--++--=-- 1212121222(4)()22422[2()2]x x m x x m x x x x +-+-+=-++ 2121222(8)(4)228216244442[2()2]m m m m x x x x ----+=-++ 2121222(8)(4)22821628[2()2]m m m m x x x x ----+=-++ 2212122216222828216208[2()2]m m m m x x x x --+-+==-++. 因为120k k +=,所以PMN PNM ∠=∠. 所以PM PN =. ………………………………………………………14分 20.(本小题满分13分)解:(Ⅰ)观察数列}{n a 的前若干项:2,5,8,11,14,17,20,23,26,29,32,35,…. 因为数列}{n a 是递增的整数数列,且等比数列以2为首项,显然最小公比不能是52,最小公比是4. (ⅰ)以2为首项,且公比最小的等比数列的前四项是2,8,32,128.(ⅱ)由(ⅰ)可知12b =,公比4q =,所以124n n b -=⋅.又31n n k n b a k ==-,所以13124,n n k n -*-=⋅∈N ,即11(241),3n n k n -*=⋅+∈N . 再证n k 为正整数.显然11k =为正整数,2n ≥时,1222111(2424)24(41)2433n n n n n n k k ------=⋅-⋅=⋅⋅-=⋅, 即2124(2)n n n k k n --=+⋅≥,故11(241),3n n k n -*=⋅+∈N 为正整数. 所以,所求通项公式为11(241),3n n k n -*=⋅+∈N . ……………………………………………………………………………6分 (Ⅱ)设数列{}n c 是数列}{n a 中包含的一个无穷等比数列,且115k c a ==,22231k c a k ==-,所以公比2315k q -=.因为等比数列{}n c 各项为整数,所以q 为整数. 取252k m =+(m *∈N ),则13+=m q ,故15(31)n n c m -=⋅+.只要证15(31)n n c m -=⋅+是数列}{n a 的项,即证31n k -15(31)n m -=⋅+. 只要证11[5(31)1]3n n k m -=++()n *∈N 为正整数,显然12k =为正整数.又2n ≥时,12215[(31)(31)]5(31)3n n n n n k k m m m m -----=+-+=+,即215(31)n n n k k m m --=++,又因为12k =,25(31)n m m -+都是正整数, 故2n ≥时,n k 也都是正整数.所以数列{}n c 是数列}{n a 中包含的无穷等比数列,其公比13+=m q 有无数个不同的取值,对应着不同的等比数列,故数列}{n a 所包含的以52=a 为首项的不同无穷等比数列有无数多个.…………………………………………………………………………………………13分。

北京市朝阳区2016届高三第二次(5月)统一考试数学理试题 含答案

北京市朝阳区2016届高三第二次(5月)统一考试数学理试题 含答案

开始输出S 的值2,1k S ==5?k <1k k =+ S S k=+结束是否 北京市朝阳区2015-2016学年度高三年级第二学期统一考试数学试卷(理工类) 2016.5(考试时间120分钟 满分150分)本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分第一部分(选择题 共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.已知集合{}124xA x =<<,{}10B x x =-≥,则A B =A .{}12x x ≤<B .{}01x x <≤C .{}01x x <<D .{}12x x <<2.复数i1iz =-(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于 A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限3.执行如图所示的程序框图,输出的S值为A .6B .10C .14D .15 4.已知非零向量a ,b ,“a ∥b ”是 “a ∥()+a b ”的A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件5.同时具有性质:“①最小正周期是π; ②图象关于直线3x π=对称;③在区间5,6π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦上是单调递增函数”的一个函数可以是A .cos()26x y π=+ B .sin(2)6y x 5π=+C .cos(2)3y x π=-D .sin(2)6y x π=-6.已知函数1,2,()2log ,2a x x f x x x -≤⎧=⎨+>⎩(0a >且1)a ≠的最大值为1,则a 的取值范围是A .112[,) B .01(,) C .102(,] D .1(,)+∞7.某学校高三年级有两个文科班,四个理科班,现每个班指定1人,对各班的卫生进行检 查.若每班只安排一人检查,且文科班学生不检查文科班,理科班学生不检查自己所在的班,则不同安排方法的种数是A .48B .72C .84D .1688.已知正方体1111A B C D A B C D-的棱长为2,E 是棱11D C 的中点,点F 在正方体内部或正方体的表面上,且EF ∥平面11A BC ,则动点F 的轨迹所形成的区域面积是A .92BCD第二部分(非选择题 共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡上.9.双曲线22:13x C y -=的渐近线方程是 ;若抛物线22(0)ypx p =>的焦点与双曲线C 的一个焦点重合,则p = . 10.如图,P 为⊙O 外一点,PA 是⊙O 的切线,A为切点,割线PBC与⊙O 相交于,B C 两点,且3PC PA =,D 为线段BC 的中点,AD 的延长线交⊙O 于点E .若1PB =,则PA 的长为______; AD DE ⋅的值是.11.已知等边ABC ∆的边长为3,D 是BC 边上一点,若1BD =,则AC AD ⋅的值是______.12.已知关于,x y 的不等式组0,,2,2x y x x y x y k≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪-≥⎩所表示的平面区域D 为三角形区域,则实数k 的取值范围是 .13.为了响应政府推进“菜篮子"工程建设的号召,某经销商投资60万元建了一个蔬菜生产基地.第一年支出各种费用8万元,以后每年支出的费用比上一年多2万元。

2016北京市朝阳区高三(一模)数 学(理)

2016北京市朝阳区高三(一模)数    学(理)

2016北京市朝阳区高三(一模)数学(理)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.(5分)i是虚数单位,=()A.1﹣i B.﹣1﹣i C.1+i D.﹣1+i2.(5分)已知全集U=R,函数y=ln(x﹣1)的定义域为M,集合N={x|x2﹣x<0},则下列结论正确的是()A.M∩N=N B.M∩(∁U N)=∅C.M∪N=U D.M⊆(∁U N)3.(5分)“”是“e a>e b”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.(5分)执行如图所示的程序框图,输出的S值为()A.42 B.19 C.8 D.35.(5分)在△ABC中,角A,B,C,的对边分别为a,b,c,若(a2+c2﹣b2)tanB=ac,则角B的值为()A.B.或C.D.或6.(5分)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误的是()(注:结余=收入﹣支出)A.收入最高值与收入最低值的比是3:1B.结余最高的月份是7月C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D.前6个月的平均收入为40万元7.(5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是()A.B.C.1 D.8.(5分)若圆x2+(y﹣1)2=r2与曲线(x﹣1)y=1没有公共点,则半径r的取值范围是()A.0<r<B.0<r<C.0<r<D.0<r<二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡上.9.(5分)二项式(x2+)5的展开式中含x4的项的系数是(用数字作答).10.(5分)已知等差数列{a n}(n∈N*)中,a1=1,a4=7,则数列{a n}的通项公式a n= ;a2+a6+a10+…+a4n+10= .11.(5分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为x2+y2=2,曲线C2的参数方程为(t为参数).以原点O 为极点,x轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,则曲线C1与C2的交点的极坐标为.12.(5分)不等式组所表示的平面区域为D.若直线y=a(x+1)与区域D有公共点,则实数a的取值范围是.13.(5分)已知M为△ABC所在平面内的一点,且.若点M在△ABC的内部(不含边界),则实数n 的取值范围是.14.(5分)某班主任在其工作手册中,对该班每个学生用十二项能力特征加以描述.每名学生的第i(i=1,2,…,12)项能力特征用x i表示,,若学生A,B的十二项能力特征分别记为A=(a1,a2,…,a12),B=(b1,b2,…,b12),则A,B两名学生的不同能力特征项数为(用a i,b i表示).如果两个同学不同能力特征项数不少于7,那么就说这两个同学的综合能力差异较大.若该班有3名学生两两综合能力差异较大,则这3名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.(13分)已知函数,ω>0.(Ⅰ)若ω=1,求f(x)的单调递增区间;(Ⅱ)若,求f(x)的最小正周期T的表达式并指出T的最大值.16.(13分)为了解学生暑假阅读名著的情况,一名教师对某班级的所有学生进行了调查,调查结果如表.1 2 3 4 5 男生 1 4 3 2 2 女生0 1 3 3 1(Ⅰ)从这班学生中任选一名男生,一名女生,求这两名学生阅读名著本数之和为4的概率?(Ⅱ)若从阅读名著不少于4本的学生中任选4人,设选到的男学生人数为X ,求随机变量X 的分布列和数学期望; (Ⅲ)试判断男学生阅读名著本数的方差与女学生阅读名著本数的方差的大小(只需写出结论).17.(14分)如图,在直角梯形AA 1B 1B 中,∠A 1AB=90°,A 1B 1∥AB ,AB=AA 1=2A 1B 1=2.直角梯形AA 1C 1C 通过直角梯形AA 1B 1B 以直线AA 1为轴旋转得到,且使得平面AA 1C 1C ⊥平面AA 1B 1B .M 为线段BC 的中点,P 为线段BB 1上的动点. (Ⅰ)求证:A 1C 1⊥AP ;(Ⅱ)当点P 是线段BB 1中点时,求二面角P ﹣AM ﹣B 的余弦值; (Ⅲ)是否存在点P ,使得直线A 1C ∥平面AMP ?请说明理由.18.(13分)已知函数f(x)=x+alnx,a∈R.(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)当x∈[1,2]时,都有f(x)>0成立,求a的取值范围;(Ⅲ)试问过点P(1,3)可作多少条直线与曲线y=f(x)相切?并说明理由.19.(14分)已知点和椭圆C:.(Ⅰ)设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,试求△PF1F2的周长及椭圆的离心率;(Ⅱ)若直线l:与椭圆C交于两个不同的点A,B,直线PA,PB与x轴分别交于M,N两点,求证:|PM|=|PN|.20.(13分)已知等差数列{a n}的通项公式.设数列{b n}为等比数列,且.(Ⅰ)若b1=a1=2,且等比数列{b n}的公比最小,(ⅰ)写出数列{b n}的前4项;(ⅱ)求数列{k n}的通项公式;(Ⅱ)证明:以b1=a2=5为首项的无穷等比数列{b n}有无数多个.数学试题答案一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.【解答】===1+i,故选C.2.【解答】由x﹣1>0,解得:x>1,故函数y=ln(x﹣1)的定义域为M=(1,+∞),由x2﹣x<0,解得:0<x<1,故集合N={x|x2﹣x<0}=(0,1),∴∁U N={x|x≥1或x≤0},∴M⊆(∁U N),故选:D.3.【解答】∵“”⇔a>b⇒“e a>e b”,反之不成立,例如取a=2,b=﹣1.∴“”是“e a>e b”的充分不必要条件.故选:A.4.【解答】模拟执行程序,可得i=1,S=1满足条件i<4,S=3,i=2满足条件i<4,S=8,i=3满足条件i<4,S=19,i=4不满足条件i<4,退出循环,输出S的值为19.故选:B.5.【解答】∵cosB=,∴a2+c2﹣b2=2accosB,代入已知等式得:2ac•cosBtanB=ac,即sinB=,则B=或.6.【解答】由图可知,收入最高值为90万元,收入最低值为30万元,其比是3:1,故A正确,由图可知,结余最高为7月份,为80﹣20=60,故B正确,由图可知,1至2月份的收入的变化率为与4至5月份的收入的变化率相同,故C正确,由图可知,前6个月的平均收入为(40+60+30+30+50+60)=45万元,故D错误,故选:D.7.【解答】由三视图可知:该几何体为如图所示的三棱锥,CB⊥侧面PAB.该几何体的体积V=××1=.故选:A.8.【解答】圆的圆心为(0,1),半径为r设圆与曲线y=相切的切点为(m,n),可得n=,①y=的导数为y′=﹣,可得切线的斜率为﹣,由两点的斜率公式可得•(﹣)=﹣1,即为n﹣1=m(m﹣1)2,②由①②可得n4﹣n3﹣n﹣1=0化为(n2﹣n﹣1)(n2+1)=0,即有n2﹣n﹣1=0,解得n=或,则有或.可得此时圆的半径r==.r的范围是(0,).故选:C.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡上.9.【解答】二项式(x2+)5的展开式中通项公式为 T r+1= x10﹣2r x﹣r=x10﹣3r.令 10﹣3r=4,可得 r=2,∴展开式中含x4的项的系数是=10,故答案为10.10.【解答】∵等差数列{a n}(n∈N*)中,a1=1,a4=7,∴a4=1+3d=7,解得d=2,∴a n=1+(n﹣1)×2=2n﹣1,∴a2=1+2=3,a6=1+5×2=11,a6﹣a2=8,∴a2+a6+a10+…+a4n+10=×3+×8=(n+3)(4n+11).故答案为:2n﹣1,(n+3)(4n+11).11.【解答】将曲线C2的参数方程(t为参数)代入曲线C1的方程为x2+y2=2,可得(2﹣t)2+t2=2,解得t=1,可得交点的直角坐标为(1,1),由x=ρcosθ,y=ρsinθ,tanθ=,可得ρ==,tanθ=1,0<θ<,可得θ=.可得交点的极坐标为(,).故答案为:(,).12.【解答】作出不等式组对应的平面区域图示:因为y=a(x+1)过定点C(﹣1,0).当a≤0时,直线y=a(x+1)与区域D有公共点,满足条件.当a>0时,当直线y=a(x+1)过点A时,由公共点,由得,即A(3,3),代入y=a(x+1)得4a=3,a=,又因为直线y=a(x+1)与平面区域D有公共点.此时0<a≤.综上所述,a≤.故答案为:.13.【解答】如图,由得:;∴;∴;∴;∴;∴实数n的取值范围是.故答案为:.14.【解答】若第i(i=1,2,…,12)项能力特征相同,则差为0,特征不相同,绝对值为1,则用x i表示A,B两名学生的不同能力特征项数为=|a1﹣b1|+|b2﹣c2|+…+|c12﹣a12|=,设第三个学生为C=(c1,c2,…,c12),则d i=|a i﹣b i|+|b i﹣c i|+|c i﹣a i|,1≤i≤12,∵d i的奇偶性和(a i﹣b i)+(b i﹣c i)+(c i﹣a i)=0一样,∴d i是偶数,3名学生两两不同能力特征项数总和为S=d1+d2+…+d12为偶数,又S≥7×3=21.则S≥22,取A=(0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1),B=(1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1),C=(1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,1),则不同能力特征数总和恰好为22,∴最小值为22,故答案为:,22三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.【解答】解:(Ⅰ)当ω=1时,==.令.解得.所以f(x)的单调递增区间是.…(7分)(Ⅱ)由==.因为,所以.则,n∈Z.解得.又因为函数f(x)的最小正周期,且ω>0,所以当ω=时,T的最大值为4π.…(13分)16.【解答】(Ⅰ)设事件A:从这个班级的学生中随机选取一名男生,一名女生,这两名学生阅读本数之和为4.由题意可知,.…(4分)(Ⅱ)阅读名著不少于4本的学生共8人,其中男学生人数为4人,故X的取值为0,1,2,3,4.由题意可得,,,,.所以随机变量X的分布列为X 0 1 2 3 4P随机变量X的均值.…(10分)(Ⅲ).…(13分)17.【解答】(Ⅰ)证明:由已知∠A1AB=∠A1AC=90°,且平面AA1C1C⊥平面AA1B1B,所以∠BAC=90°,即AC⊥AB.又因为AC⊥AA1且AB∩AA1=A,所以AC⊥平面AA1B1B.因为AP⊂平面AA1B1B,所以A1C1⊥AP.…(4分)(Ⅱ)由(Ⅰ)可知AC,AB,AA1两两垂直.分别以AC,AB,AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示.由已知 AB=AC=AA1=2A1B1=2A1C1=2,所以A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,0,0),B1(0,1,2),A1(0,0,2).因为M为线段BC的中点,P为线段BB1的中点,所以.易知平面ABM的一个法向量=(0,0,1).设平面APM的一个法向量为=(x,y,z),由,得取y=2,得=(﹣2,2,﹣3).由图可知,二面角P﹣AM﹣B的大小为锐角,所以===.所以二面角P﹣AM﹣B的余弦值为.…(9分)(Ⅲ)存在点P,使得直线A1C∥平面AMP.设P(x1,y1,z1),且,λ∈[0,1],则(x1,y1﹣2,z1)=λ(0,﹣1,2),所以x1=0,y1=2﹣λ,z1=2λ.所以.设平面AMP的一个法向量为=(x0,y0,z0),由,得取y0=1,得(显然λ=0不符合题意).又,若A1C∥平面AMP,则.所以.所以.所以在线段BB1上存在点P,且时,使得直线A1C∥平面AMP.…(14分)18.【解答】(Ⅰ)函数f(x)的定义域为{x|x>0}..(1)当a≥0时,f′(x)>0恒成立,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;(2)当a<0时,令f′(x)=0,得x=﹣a.当0<x<﹣a时,f′(x)<0,函数f(x)为减函数;当x>﹣a时,f′(x)>0,函数f(x)为增函数.综上所述,当a≥0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞).当a<0时,函数f(x)的单调递减区间为(0,﹣a),单调递增区间为(﹣a,+∞).…(4分)(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,(1)当﹣a≤1时,即a≥﹣1时,函数f(x)在区间[1,2]上为增函数,所以在区间[1,2]上,f(x)min=f(1)=1,显然函数f(x)在区间[1,2]上恒大于零;(2)当1<﹣a<2时,即﹣2<a<﹣1时,函数f(x)在[1,﹣a)上为减函数,在(﹣a,2] 上为增函数,所以f(x)min=f(﹣a)=﹣a+aln(﹣a).依题意有f(x)min=﹣a+aln(﹣a)>0,解得a>﹣e,所以﹣2<a<﹣1.(3)当﹣a≥2时,即a≤﹣2时,f(x)在区间[1,2]上为减函数,所以f(x)min=f(2)=2+aln2.依题意有f(x)min=2+aln2>0,解得,所以.综上所述,当时,函数f(x)在区间[1,2]上恒大于零.…(8分)(Ⅲ)设切点为(x0,x0+alnx0),则切线斜率,切线方程为.因为切线过点P(1,3),则.即.…①令(x>0),则.(1)当a<0时,在区间(0,1)上,g′(x)>0,g(x)单调递增;在区间(1,+∞)上,g′(x)<0,g(x)单调递减,所以函数g(x)的最大值为g(1)=﹣2<0.故方程g(x)=0无解,即不存在x0满足①式.因此当a<0时,切线的条数为0.(2)当a>0时,在区间(0,1)上,g′(x)<0,g(x)单调递减,在区间(1,+∞)上,g′(x)>0,g(x)单调递增,所以函数g(x)的最小值为g(1)=﹣2<0.取,则.故g(x)在(1,+∞)上存在唯一零点.取,则=.设,u(t)=e t﹣2t,则u′(t)=e t﹣2.当t>1时,u′(t)=e t﹣2>e﹣2>0恒成立.所以u(t)在(1,+∞)单调递增,u(t)>u(1)=e﹣2>0恒成立.所以g(x2)>0.故g(x)在(0,1)上存在唯一零点.因此当a>0时,过点P(1,3)存在两条切线.(3)当a=0时,f(x)=x,显然不存在过点P(1,3)的切线.综上所述,当a>0时,过点P(1,3)存在两条切线;当a≤0时,不存在过点P(1,3)的切线.…(13分)19.【解答】(Ⅰ)由题意可知,a2=4,b2=2,所以c2=2.因为是椭圆C上的点,由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=4.所以△PF1F2的周长为.易得椭圆的离心率.…(4分)(Ⅱ)证明:由得.因为直线l与椭圆C有两个交点,并注意到直线l不过点P,所以解得﹣4<m<0或0<m<4.设A(x1,y1),B(x2,y2),则,,,.显然直线PA与PB的斜率存在,设直线PA与PB的斜率分别为k1,k2,则======.因为k1+k2=0,所以∠PMN=∠PNM.所以|PM|=|PN|.…(14分)20.【解答】(Ⅰ)观察数列{a n}的前若干项:2,5,8,11,14,17,20,23,26,29,32,35,….因为数列{a n}是递增的整数数列,且等比数列以2为首项,显然最小公比不能是,最小公比是4.(ⅰ)以2为首项,且公比最小的等比数列的前四项是2,8,32,128.(ⅱ)由(ⅰ)可知b1=2,公比q=4,所以.又,所以,即.再证k n为正整数.显然k1=1为正整数,n≥2时,,即,故为正整数.所以,所求通项公式为;(Ⅱ)证明:设数列{c n}是数列{a n}中包含的一个无穷等比数列,且,,所以公比.因为等比数列{c n}各项为整数,所以q为整数.取k2=5m+2(m∈N*),则q=3m+1,故.只要证是数列{a n}的项,即证3k n﹣1=5•(3m+1)n﹣1.只要证(n∈N*)为正整数,显然k1=2为正整数.又n≥2时,,即,又因为k1=2,5m(3m+1)n﹣2都是正整数,故n≥2时,k n也都是正整数.所以数列{c n}是数列{a n}中包含的无穷等比数列,其公比q=3m+1有无数个不同的取值,对应着不同的等比数列,故数列{a n}所包含的以a2=5为首项的不同无穷等比数列有无数多个.。

朝阳2016高三上期末理

朝阳2016高三上期末理

北京市朝阳区2015-2016学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷(理工类) 2016.1(考试时间120分钟 满分150分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.1.已知集合{}|11M x x =-<<M N = A .{}|01x x ≤< B .{x C .{}|0x x≥D .{}|10x x -<≤2.复数i(1i)z =+(i A .(1,1) B .(1,1)-- C .(1,-3.执行如图所示的程序框图,则输出的A .3 B .4 C .5 D .4.在一段时间内有2000进行车速统计,统计结果如下面的频率分布直方图所示.若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h ~120km/h ,试估计通过该处的汽车约有A .30辆B .300辆C .170辆D .1700辆5.“1a >”是“函数()cos f x a x =⋅+R 上单调递增”的A .充分不必要B .必要不充分C .充分必要D .既不充分也不必要6. 已知点)0,22(Q 及抛物线24x y =上一动点(,)P x y ,则y PQ +的最小值是A .12B .1C . 2D . 3 7.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧面积是A .27B .30C .32D .36侧视图俯视图8.设函数()f x 的定义域D ,如果存在正实数m ,使得对任意x D ∈,都有()()f x m f x +>,则称()f x 为D 上的“m 型增函数”.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x >时,()f x x a a =--(a ∈R ).若()f x 为R 上的“20型增函数”,则实数a 的取值范围是A .0a > B .5a < C .10a < D .20a < 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡上.9.函数2sin(2)16y x π=++的最小正周期是 ,最小值是 .10.若x ,y 满足约束条件2211x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩≤,≥,≤,则z x y =+的最大值为 .11.在各项均为正数的等比数列{}n a 中,若22a =,则132a a +的最小值是 . 12.甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念.要求老师必须站在正中间,甲同学不与老师相邻,则不同站法种数为 .13.已知B A ,为圆9)()(:22=-+-n y m x C (,m n ∈R )上两个不同的点(C 为圆心),且满足||CA CB +=,则=AB .14.已知点O 在ABC ∆的内部,且有xOA yOB zOC ++=0,记,,AOB BOC AOC ∆∆∆的面积分别为AOB BOC AOC S S S ∆∆∆,,.若1x y z ===,则::AOB BOC AOC S S S ∆∆∆= ;若2,3,4x y z ===,则::AOB BOC AOC S S S ∆∆∆= . 15.(13分)某中学高一年级共8个班,现从高一年级选10名同学组成社区服务小组,其中高一(1)班选取3名同学,其它各班各选取1名同学.现从这10名同学中随机选取3名同学,到社区老年中心参加“尊老爱老”活动(每位同学被选到的可能性相同). (Ⅰ)求选出的3名同学来自不同班级的概率;(Ⅱ)设X 为选出同学中高一(1)班同学的人数,求随机变量X 的分布列和数学期望. 16.(13分) 如图,在ABC ∆中,点D 在BC 边上,7,42CAD AC π∠==,cos ADB ∠=. (Ⅰ)求sin C ∠的值;(Ⅱ)若5,BD =求ABD ∆的面积.ADBC17.(13分)如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是菱形,且60DAB ∠=︒.点E 是棱PC 的中点,平面ABE 与棱PD 交于点F .(Ⅰ)求证:AB ∥EF ;(Ⅱ)若PA PD AD ==,且平面PAD ⊥平面ABCD , 求平面PAF 与平面AFE 所成的锐二面角的余弦值.18.(14分) 已知函数()ln f x ax x =+,其中a ∈R . (Ⅰ)若()f x 在区间[1,2]上为增函数,求a 的取值范围; (Ⅱ)当e a =-时,(ⅰ)证明:()20f x +≤;19.(14分)已知圆:O 221x y +=的切线l 与椭圆:C 2234x y +=相交于A ,B 两点. (Ⅰ)求椭圆C 的离心率; (Ⅱ)求证:OA OB ⊥; (Ⅲ)求OAB ∆面积的最大值.20.(13分) 已知有穷数列:*123,,,,(,3)k a a a a k k ∈≥N 的各项均为正数,且满足条件: ①1k a a =;②11212(1,2,3,,1)n n n n a a n k a a +++=+=- . (Ⅰ)若13,2k a ==,求出这个数列; (Ⅱ)若4k =,求1a 的所有取值的集合; (Ⅲ)若k 是偶数,求1a 的最大值(用k 表示).15.解:(Ⅰ)设“选出的3名同学来自不同班级”为事件A ,则1203373731049().60C C C C P A C ⋅+⋅== 所以选出的3名同学来自班级的概率为4960. ……5分 (Ⅱ)随机变量X 的所有可能值为0,1,2,3,则03373107(0)24C C P X C ⋅===; 123731021(1)40C C P X C ⋅===; 21373107(2)40C C P X C ⋅===; 30373101(3)120C C P X C ⋅===. 所以随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望()012324404012010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. …13分 16.解:(Ⅰ)因为cos ADB ∠=,所以sinADB ∠=又因为4CAD π∠=,所以4C ADB π∠=∠-.所以sin sin()sin cos cos sin 444C ADB ADB ADB πππ∠=∠-=∠⋅-∠⋅45==. …7分 (Ⅱ)在ACD ∆中,由ADCACC AD ∠=∠sin sin ,得74sin sin AC C AD ADC ⋅⋅∠===∠. 所以11sin 572210ABD S AD BD ADB ∆=⋅⋅∠=⋅⋅=.…13分 17.(Ⅰ)证明:因为底面ABCD 是菱形,所以AB ∥CD . 又因为AB ⊄面PCD ,CD ⊂面PCD ,所以AB ∥面PCD .又因为,,,A B E F 四点共面,且平面ABEF 平面PCD EF =,所以AB ∥EF. ………5分(Ⅱ)取AD 中点G ,连接,PG GB .因为PA PD =,所以PG AD ⊥.又因为平面PAD ⊥平面ABCD ,且平面PAD 平面ABCD AD =,所以PG ⊥平面ABCD .所以PG GB ⊥. 在菱形ABCD 中,因为AB AD =, 60DAB ∠=︒,G 是AD 中点,所以AD GB ⊥.如图,建立空间直角坐标系G xyz -.设2PA PD AD a ===, 则(0,0,0),(,0,0)G A a,,0),(2,0),(,0,0),)B C a D a P --.又因为AB ∥EF ,点E 是棱PC 中点,所以点F 是棱PD 中点.所以(,)22E a -,(,0,)22a F -.所以3()22a AF =-,(,,0)22a EF =- .设平面AFE 的法向量为(,,)x y z =n ,则有0,0.AF EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以,.z y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩令3x =,则平面AFE的一个法向量为=n .因为BG ⊥平面PAD,所以,0)GB =是平面PAF 的一个法向量.因为cos ,GB <GB >GB⋅===⋅n n n所以平面PAF 与平面AFE.……13分 18. 解:函数()f x 定义域),0(+∞∈x ,1()f x a x '=+.(Ⅰ)因为()f x 在区间[1,2]上为增函数,所以()0f x '≥在[1,2]x ∈上恒成立,即1()0f x a x '=+≥,1a x ≥-在[1,2]x ∈上恒成立,则1.2a ≥- ……………4分 (Ⅱ)当e a =-时,() e ln f x x x =-+,e 1()x f x x-+'=.(ⅰ)令0)(='x f ,得1ex =.令()0f x '>,得1(0,)e x ∈,所以函数)(x f 在1(0,)e 单调递增.令()0f x '<,得1(,)e x ∈+∞,所以函数)(x f 在1(,)e+∞单调递减.所以,max 111()()e ln 2e e ef x f ==-⋅+=-. 所以()20f x +≤成立.……9分(ⅱ)由(ⅰ)知, max ()2f x =-, 所以2|)(|≥x f .ln 3(),(0,).2x g x x x =+∈+∞所以2ln 1)(xx x g -='.令0)(='x g ,得e x =. 令()0g x '>,得(0,e)x ∈,所以函数)(x g 在(0,e)单调递增, 令()0g x '<,得(e,)x ∈+∞,所以函数)(x g 在(e,)+∞单调递减; 所以,max lne 313()(e)2e 2e 2g x g ==+=+<, 即2)(<x g . 所以)(|)(|x g x f > ,即>|)(|x f ln 32x x +. 所以,方程=|)(|x f ln 32x x +没有实数解. ……14分 19.解:(Ⅰ)由题意可知24a =,243b =,所以22283c a b =-=.所以c e a ==.所以椭圆C3分 (Ⅱ)若切线l 的斜率不存在,则:1l x =±.在223144x y +=中令1x =得1y =±. 不妨设(1,1),(1,1)A B -,则110OA OB ⋅=-=.所以OA OB ⊥.同理,当:1l x =-时,也有OA OB ⊥. 若切线l 的斜率存在,设:l y kx m =+1=,即221k m +=.由2234y kx m x y =+⎧⎨+=⎩,得222(31)6340k x kmx m +++-=.显然0∆>. 设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则122631km x x k +=-+,21223431m x x k -=+. 所以2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++.所以1212OA OB x x y y ⋅=+ 221212(1)()k x x km x x m =++++22222346(1)3131m km k km m k k -=+-+++ 2222222(1)(34)6(31)31k m k m k m k +--++=+ 22244431m k k --=+2224(1)44031k k k +--==+.所以OA OB ⊥.综上所述,总有OA OB ⊥成立.……9分 (Ⅲ)因为直线AB 与圆O 相切,则圆O 半径即为OAB ∆的高, 当l 的斜率不存在时,由(Ⅱ)可知2AB =.则1OAB S ∆=. 当l 的斜率存在时,由(Ⅱ)可知,AB ==231k =+=== 所以2242222242424(1)(91)4(9101)44(1)(31)961961k k k k k AB k k k k k ++++===++++++ 24222164164164419613396k k k k k=+⋅=+≤+=++++(当且仅当k =时,等号成立).所以AB ≤.此时, max (S )OAB ∆=.综上所述,当且仅当k =时,OAB ∆14分 20.解:(Ⅰ)因为13,2k a ==,由①知32a =;由②知,21211223a a a a +=+=,整理得,2222310a a -+=.解得,21a =或212a =. 当21a =时,不满足2323212a a a a +=+,舍去;所以,这个数列为12,,22. …3分(Ⅱ)若4k =,由①知4a =1a .因为11212(1,2,3)n n n n a a n a a +++=+=,所以111(2)(1)0n n n n a a a a ++--=.所以112n n a a +=或11(1,2,3)n na n a +==.如果由1a 计算4a 没有用到或者恰用了2次11n na a +=,显然不满足条件; 所以由1a 计算4a 只能恰好1次或者3次用到11n na a +=,共有下面4种情况: (1)若211a a =,3212a a =,4312a a =,则41114a a a ==,解得112a =;(2)若2112a a =,321a a =,4312a a =,则4111a a a ==,解得11a =;(3)若2112a a =,3212a a =,431a a =,则4114a a a ==,解得12a =;(4)若211a a =,321a a =,431a a =,则4111a a a ==,解得11a =; 综上,1a 的所有取值的集合为1{,1,2}2.……8分(Ⅲ)依题意,设*2,,m 2k m m =∈≥N .由(II )知,112n n a a +=或11(1,2,3,21)n na n m a +==- . 假设从1a 到2m a 恰用了i 次递推关系11n na a +=,用了21m i --次递推关系112n n a a +=,则有(1)211()2itm a a -=⋅,其中21,t m i t ≤--∈Z .当i 是偶数时,0t ≠,2111()2tm a a a =⋅=无正数解,不满足条件;当i 是奇数时,由12111(),21222t m a a a t m i m -=⋅=≤--≤-得22211()22t m a -=≤,所以112m a -≤.又当1i =时,若213221222211111,,,,222m m m m a a a a a a a a ---==== , 有222111()2m m a a --=⋅,222112m m a a a -==,即112m a -=.所以,1a 的最大值是12m -.即1212k a -=.……13分。

a北京市朝阳区2016届高三第一次综合练习(一模)数学理试题(解析版)

a北京市朝阳区2016届高三第一次综合练习(一模)数学理试题(解析版)

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷(理工类) 2016.3(考试时间120分钟 满分150分)本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分第一部分(选择题 共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1. i 为虚数单位,复数2i 1i+= A .1i - B .1i -- C .1i -+ D .1i + 答案:D解析:分母实数化,即分子与分母同乘以分母的其轭复数:222(1)111i i i i i i-==++-。

2. 已知全集U =R ,函数ln(1)y x =-的定义域为M ,集合{}20N x x x =-<,则下列结论正确的是 A .M N N = B .()UMN =∅ðC .M N U =D .()U M N ⊆ð答案:D解析:∵函数 y =ln(x -1)的定义域M ={}|1x x >,N ={}|01x x <<,又U =R ∴{}|1U C N x x =≥≤或x 0,∴M N =∅,故 A ,C 错误,D 显然正确。

3. “a b >”是“e e a b>”的A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 答案:A 解析:由a b >,知0a b >≥,又xy e =是增函数,所以,a b e e >,由a b e e >知a b >,但,a b 取负值时,,a b 无意义, 故选A 。

4. 执行如图所示的程序框图,输出的S 值为 A .42B .19C .8D .3答案:B解析:依次执行结果如下:S =2×1+1=3,i =1+1=2,i <4; S =2×3+2=8,i =2+1=3,i <4; S =2×8+1=19,i =3+1=42,i ≥4; 所以,S =19,选B 。

北京市朝阳区高三一模数学(理科)带答案教学提纲

北京市朝阳区高三一模数学(理科)带答案教学提纲

北京市朝阳区2016高三一模数学(理科)带答案北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷(理工类) 2016.3(考试时间120分钟 满分150分)本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分第一部分(选择题 共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1. i 为虚数单位,复数2i1i+= A .1i - B .1i -- C .1i -+ D .1i +2. 已知全集U =R ,函数ln(1)y x =-的定义域为M ,集合{}2N x x x =-<,则下列结论正确的是 A .M N N = B .()UMN =∅C .M N U =D .()U M N ⊆3. >e e a b>”的A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件4. 执行如图所示的程序框图,输出的S 值为 A .42 B .19 C .8 D .35.在ABC ∆中,角A ,B ,C 的对边分别为,,.a b c 若222()tan a c b B +-=,则角B 的值为A . 3π B . 6πC . 233ππ或 D . 566ππ或6.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误..的是 A. 收入最高值与收入最低值的比是3:1 B. 结余最高的月份是7月C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D. 前6个月的平均收入为40万元 (注:结余=收入-支出)7.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是A .13B .12C .1D .328.若圆222(1)xy r +-=与曲线(1)1x y -=的没有公共点,则半径r 的取值范围是月 23 4 1 5 689 1711(第4题(第7题侧视俯视第二部分(非选择题 共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡上.9. 二项式251()x x+的展开式中含4x 的项的系数是 (用数字作答).10.已知等差数列}{n a (n *∈N )中,11=a ,47a =,则数列}{n a 的通项公式n a = ;2610410n a a a a +++++=______.11.在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的方程为222x y +=,曲线2C 的参数方程为2,(x t t y t=-⎧⎨=⎩为参数).以原点O 为极点,x 轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,则曲线1C 与2C 的交点的极坐标...为 .12.不等式组0,,290x y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域为D .若直线(1)y a x =+与区域D有公共点,则实数a 的取值范围是 .13.已知M 为ABC ∆所在平面内的一点,且14AM AB nAC =+.若点M 在ABC ∆的内部(不含边界), 则实数n 的取值范围是____.14.某班主任在其工作手册中,对该班每个学生用十二项能力特征加以描述.每名学生的第i (1,2,,12i =)项能力特征用i x 表示,0,1i i x i ⎧=⎨⎩如果某学生不具有第项能力特征,,如果某学生具有第项能力特征.若学生,A B 的十二项能力特征分别记为1212(,,,)A a a a =,1212(,,,)B b b b =,则,A B两名学生的不同能力特征项数为(用,i ia b表示).如果两个同学不同能力特征项数不少于7,那么就说这两个同学的综合能力差异较大.若该班有3名学生两两综合能力差异较大,则这3名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.(本小题满分13分)已知函数21()sin222xf x xωω=+-,0ω>.(Ⅰ)若1ω=,求()f x的单调递增区间;(Ⅱ)若()13fπ=,求()f x的最小正周期T的表达式并指出T的最大值.16.(本小题满分13分)为了解学生暑假阅读名著的情况,一名教师对某班级的所有学生进行了调查,调查结果如下表.(Ⅰ)从这班学生中任选一名男生,一名女生,求这两名学生阅读名著本数之和为4的概率?(Ⅱ)若从阅读名著不少于4本的学生中任选4人,设选到的男学生人数为X ,求随机变量X 的分布列和数学期望;(Ⅲ)试判断男学生阅读名著本数的方差21s 与女学生阅读名著本数的方差22s 的大小(只需 写出结论). 17.(本小题满分14分)如图,在直角梯形11AA B B 中,190A AB ∠=︒,11//A B AB ,11122AB AA A B ===.直角梯形11AAC C 通过直角梯形11AA B B 以直线1AA 为轴旋转得到,且使得平面11AA C C ⊥平面11AA B B .M 为线段BC 的中点,P 为线段1BB 上的动点.(Ⅰ)求证:11A C AP ⊥;(Ⅱ)当点P 是线段1BB 中点时,求二面角P AM B --的余弦值;(Ⅲ)是否存在点P ,使得直线1A C //平面AMP ?请说明理由.18.(本小题满分13分)已知函数()f x =ln ,x a x a +∈R . (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ)当[]1,2x ∈时,都有()0f x >成立,求a 的取值范围; A MPCBA 1C1B1(Ⅲ)试问过点(13)P ,可作多少条直线与曲线()y f x =相切?并说明理由.19.(本小题满分14分)已知点P 和椭圆:C 22142x y +=.(Ⅰ)设椭圆的两个焦点分别为1F ,2F ,试求12PF F ∆的周长及椭圆的离心率;(Ⅱ)若直线:l 20(0)y m m -+=≠与椭圆C 交于两个不同的点A ,B ,直线PA ,PB 与x 轴分别交于M ,N 两点,求证:PM PN =.20.(本小题满分13分)已知等差数列}{n a 的通项公式31()n a n n *=-∈N .设数列{}n b 为等比数列,且nn k b a =.(Ⅰ)若11=2b a =,且等比数列{}n b 的公比最小, (ⅰ)写出数列{}n b 的前4项; (ⅱ)求数列{}n k 的通项公式;(Ⅱ)证明:以125b a ==为首项的无穷等比数列{}n b 有无数多个.北京市朝阳区2015-2016学年度第二学期高三年级统一考试数学答案(理工类) 2016.3一、选择题:(满分40分)二、填空题:(满分30分)(注:两空的填空,第一空3分,第二空2分) 三、解答题:(满分80分) 15.(本小题满分13分)解:(Ⅰ)当1ω=时,21()sin 22x f x x =1sin 2x x =+sin()3x π=+. 令22,232k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z .解得22,66k x k k 5πππ-≤≤π+∈Z .所以()f x 的单调递增区间是[2,2],66k k k 5πππ-π+∈Z (7)分(Ⅱ)由21()sin 22xf x x ωω=1sin 2x x ωω=+ sin()3x ωπ=+.因为()13f π=,所以sin()133ωππ+=.则2332n ωπππ+=π+,n ∈Z .解得162n ω=+.又因为函数()f x 的最小正周期2T ωπ=,且0ω>,所以当ω12=时,T 的最大值为4π. ………………………………………13分16.(本小题满分13分)解:(Ⅰ)设事件A :从这个班级的学生中随机选取一名男生,一名女生,这两名学生阅读本数之和为4 .由题意可知,13+41()128P A ⨯⨯=⨯4分(Ⅱ)阅读名著不少于4本的学生共8人,其中男学生人数为4人,故X 的取值为0,1,2,3,4.由题意可得44481(0)70C P X C ===; 134448168(1)7035C C P X C ====;2244483618(2)7035C C P X C ====; 314448168(3)7035C C P X C ====; 4448(4)C P X C ===所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的均值10123427070707070EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.…………10分(Ⅲ)21s >22s .…………………………………………………………………………13分17.(本小题满分14分)解:(Ⅰ)由已知1190A AB A AC ∠=∠=︒,且平面11AA C C ⊥平面11AA B B ,所以90BAC ∠=︒,即AC AB ⊥.又因为1AC AA ⊥且1ABAA A =,所以AC ⊥平面11AA B B .由已知11//A C AC ,所以11A C ⊥平面11AA B B . 因为AP ⊂平面11AA B B , 所以11A C AP ⊥.…………………………………………………………………………4分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知1,,AC AB AA 两两垂直.分别以1,,AC AB AA 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示. 由已知 11111222AB AC AA A B AC =====,所以(0,0,0),(0,2,0),(2,0,0),A B C 1(0,1,2)B ,1(0,0,2)A .因为M 为线段BC 的中点,P 为线段1BB 的中点,所以3(1,1,0),(0,,1)2M P .易知平面ABM 的一个法向量(0,0,1)=m . 设平面APM 的一个法向量为(,,)x y z =n ,由 0,0,AM AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得0, 30. 2x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 取2y =,得(2,2,3)=--n .由图可知,二面角P AM B --的大小为锐角,所以cos ,17⋅〈〉===⋅m n m n m n.所以二面角P AM B --的余弦值为17.………………………………9分(Ⅲ)存在点P ,使得直线1A C //平面AMP .设111(,,)P x y z ,且1BP BB λ=,[0,1]λ∈,则111(,2,)(0,1,2)x y z λ-=-,所以1110,2,2x y z λλ==-=.所以(0,2,2)AP λλ=-. 设平面AMP 的一个法向量为0000(,,)x y z =n ,由 000,0,AM AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得00000, (2)20. x y y z λλ+=⎧⎨-+=⎩取01y =,得02(1,1,)2λλ-=-n (显然0λ=不符合题意).又1(2,0,2)AC =-,若1AC //平面AMP ,则10AC ⊥n . 所以10220AC λλ-⋅=--=n .所以23λ=. 所以在线段1BB 上存在点P ,且12BPPB =时,使得直线1A C //平面AMP . (14)分18.(本小题满分13分)解:(Ⅰ)函数()f x 的定义域为{}0x x >.()1a x a f x xx+'=+=.(1)当0a ≥时,()0f x '>恒成立,函数()f x 在(0,)+∞上单调递增; (2)当0a <时, 令()0f x '=,得x a =-.当0x a <<-时,()0f x '<,函数()f x 为减函数; 当x a >-时,()0f x '>,函数()f x 为增函数.综上所述,当0a ≥时,函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞.当0a <时,函数()f x 的单调递减区间为(0,)a -,单调递增区间为(+)a -∞,. ……………………………………………………………………………………4分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,(1)当1a -≤时,即1a ≥-时,函数()f x 在区间[]1,2上为增函数,所以在区间[]1,2上,min ()(1)1f x f ==,显然函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零;(2)当12a <-<时,即21a -<<-时,函数()f x 在[)1a -,上为减函数,在(],2a -上为增函数,所以min ()()ln()f x f a a a a =-=-+-.依题意有min ()ln()0f x a a a =-+->,解得e a >-,所以21a -<<-. (3)当2a -≥时,即2a ≤-时,()f x 在区间[]1,2上为减函数,所以min ()(2)2+ln 2f x f a ==.依题意有min ()2+ln 20f x a =>,解得2ln 2a >-,所以22ln 2a -<≤-. 综上所述,当2ln 2a >-时,函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零.………………8分(Ⅲ)设切点为000,ln )x x a x +(,则切线斜率01ak x =+,切线方程为0000(ln )(1)()ay x a x x x x -+=+-. 因为切线过点(1,3)P ,则00003(ln )(1)(1)ax a x x x -+=+-. 即001(ln 1)20a x x +--=. ………………① 令1()(ln 1)2g x a x x=+-- (0)x >,则 2211(1)()()a x g x a x x x-'=-=. (1)当0a <时,在区间(0,1)上,()0g x '>, ()g x 单调递增;在区间(1,)+∞上,()0g x '<,()g x 单调递减, 所以函数()g x 的最大值为(1)20g =-<. 故方程()0g x =无解,即不存在0x 满足①式.因此当0a <时,切线的条数为0.(2)当0a >时, 在区间(0,1)上,()0g x '<,()g x 单调递减,在区间(1,)+∞上,()0g x '>,()g x 单调递增,所以函数()g x 的最小值为(1)20g =-<.取21+1ee ax =>,则221112()(1e 1)2e 0aag x a a a----=++--=>.故()g x 在(1,)+∞上存在唯一零点. 取2-1-21e<e ax =,则221122()(1e 1)2e 24a ag x a a a a++=--+--=--212[e 2(1)]a a a +=-+. 设21(1)t t a=+>,()e 2t u t t =-,则()e 2t u t '=-.当1t >时,()e 2e 20t u t '=->->恒成立.所以()u t 在(1,)+∞单调递增,()(1)e 20u t u >=->恒成立.所以2()0g x >. 故()g x 在(0,1)上存在唯一零点.因此当0a >时,过点P (13),存在两条切线. (3)当0a =时,()f x x =,显然不存在过点P (13),的切线. 综上所述,当0a >时,过点P (13),存在两条切线; 当0a ≤时,不存在过点P (13),的切线.…………………………………………………13分 19.(本小题满分14分)解:(Ⅰ)由题意可知,24a =,22b =,所以22c =.因为P 是椭圆C 上的点,由椭圆定义得124PF PF +=.所以12PF F ∆的周长为4+.易得椭圆的离心率=2c e a =.………………………………………………………4分(Ⅱ)由2220,1,42y m x y -+=⎨+=⎪⎩得22480x m ++-=. 因为直线l 与椭圆C 有两个交点,并注意到直线l 不过点P ,所以22844(8)0,0.m m m ⎧-⨯->⎨≠⎩解得40m -<<或04m <<.设11(,)A x y ,22(,)B x y,则122x x +=-,21284m x x -=,112my +=,222m y +=.显然直线PA 与PB 的斜率存在,设直线PA 与PB 的斜率分别为1k ,2k ,则12k k +=+211)(1)(x x -+===28)(m m ----+=2=220==.因为120k k +=,所以PMN PNM ∠=∠.所以PMPN=. ………………………………………………14分20.(本小题满分13分)解:(Ⅰ)观察数列}{n a 的前若干项:2,5,8,11,14,17,20,23,26,29,32,35,….因为数列}{n a 是递增的整数数列,且等比数列以2为首项,显然最小公比不能是52,最小公比是4.(ⅰ)以2为首项,且公比最小的等比数列的前四项是2,8,32,128. (ⅱ)由(ⅰ)可知12b =,公比4q =,所以124n n b -=⋅.又31nn kn b a k ==-,所以13124,n n k n -*-=⋅∈N ,即11(241),3n n k n -*=⋅+∈N . 再证n k 为正整数. 显然11k =为正整数,2n ≥时,1222111(2424)24(41)2433n n n n n n k k ------=⋅-⋅=⋅⋅-=⋅,即2124(2)n n n k k n --=+⋅≥,故11(241),3n n k n -*=⋅+∈N 为正整数.所以,所求通项公式为11(241),3n n k n -*=⋅+∈N .……………………………………………………………………………6分(Ⅱ)设数列{}n c 是数列}{n a 中包含的一个无穷等比数列, 且115kc a ==,22231k c a k ==-,所以公比2315k q -=.因为等比数列{}n c 各项为整数,所以q 为整数. 取252k m =+(m *∈N ),则13+=m q ,故15(31)n n c m -=⋅+.只要证15(31)n n c m -=⋅+是数列}{n a 的项,即证31n k -15(31)n m -=⋅+.只要证11[5(31)1]3n n k m -=++()n *∈N 为正整数,显然12k =为正整数.又2n ≥时,12215[(31)(31)]5(31)3n n n n n k k m m m m -----=+-+=+,即215(31)n n n k k m m --=++,又因为12k =,25(31)n m m -+都是正整数, 故2n ≥时,n k 也都是正整数.所以数列{}n c 是数列}{n a 中包含的无穷等比数列,其公比13+=m q 有无数个不同的取值,对应着不同的等比数列, 故数列}{n a 所包含的以52=a 为首项的不同无穷等比数列有无数多个. …………………………………………………………………………………………13分。

北京市朝阳区2016届高三上学期期末联考数学(理)试卷

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北京市朝阳区2015-2016学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷(理工类) 2016.1(考试时间120分钟 满分150分)本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分第一部分(选择题 共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}|11M x x =-<<M N =A .{}|01x x ≤<B .{|01x x <<C .{}|0x x ≥D .{}|10x x -<≤2.复数i(1i)z =+(i 是虚数单位)在复平面内所对应点的坐标为A .(1,1)B .(1,1)--C .(1,1)-D . (1,1)-3.执行如图所示的程序框图,则输出的i 值为A .3B .4C .5D .6第3题图4.在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处,现随机抽取其中的200辆进行车速统计,统计结果如下面的频率分布直方图所示.若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h ~km/h )频率120km/h ,试估计2000辆车中,在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有 A .30辆 B .300辆 C .170辆 D .1700辆第4题图5.“1a >”是“函数()cos f x a x x =⋅+在R 上单调递增”的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件6. 已知点)0,22(Q 及抛物线24x y =上一动点(,)P x y ,则y PQ +的最小值是A .12B .1C . 2D . 3 7.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧面积是A .27B .30C .32D .36第7题图8.设函数()f x 的定义域D ,如果存在正实数m ,使得对任意x D ∈,都有()()f x m f x +>,则称()f x 为D 上的“m 型增函数”.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x >时,()f x x a a =--(a ∈R ).若()f x 为R 上的“20型增函数”,则实数a 的取值范围是A .0a >B .5a <C .10a <D .20a <第二部分(非选择题 共110分)侧视图俯视图二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡上. 9.函数2sin(2)16y x π=++的最小正周期是 ,最小值是 .10.若x ,y 满足约束条件2211x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩≤,≥,≤,则z x y =+的最大值为 .11.在各项均为正数的等比数列{}n a 中,若22a =,则132a a +的最小值是 . 12.甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念.要求老师必须站在正中间,甲同学不与老师相邻,则不同站法种数为 .13.已知B A ,为圆9)()(:22=-+-n y m x C (,m n ∈R )上两个不同的点(C 为圆心),且满足||CA CB +=14.已知点O 在ABC ∆的内部,且有xOA yOB zOC ++=0 ,记,,AOB BOC AOC ∆∆∆的面积分别为AOB BOC AOC S S S ∆∆∆,,.若1x y z ===,则::AOB BOC AOC S S S ∆∆∆= ;若2,3,4x y z ===,则::AOB BOC AOC S S S ∆∆∆= .三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分13分)某中学高一年级共8个班,现从高一年级选10名同学组成社区服务小组,其中高一(1)班选取3名同学,其它各班各选取1名同学.现从这10名同学中随机选取3名同学,到社区老年中心参加“尊老爱老”活动(每位同学被选到的可能性相同).(Ⅰ)求选出的3名同学来自不同班级的概率;(Ⅱ)设X 为选出同学中高一(1)班同学的人数,求随机变量X 的分布列和数学期望.16.(本小题满分13分)如图,在ABC ∆中,点D 在BC 边上,7,42CAD AC π∠==,cos ADB ∠=. (Ⅰ)求sin C ∠的值;(Ⅱ)若5,BD =求ABD ∆的面积.ADBC17.(本小题满分13分)如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是菱形,且60DAB ∠=︒.点E 是棱PC 的中点,平面ABE 与棱PD 交于点F . (Ⅰ)求证:AB ∥EF ;(Ⅱ)若PA PD AD ==,且平面PAD ⊥平面ABCD , 求平面PAF 与平面AFE 所成的锐二面角的余弦值.18.(本小题满分14分)已知函数()ln f x ax x =+,其中a ∈R .(Ⅰ)若()f x 在区间[1,2]上为增函数,求a 的取值范 围;(Ⅱ)当e a =-时,(ⅰ)证明:()20f x +≤;19.(本小题满分14分)已知圆:O 221x y +=的切线l 与椭圆:C 2234x y +=相交于A ,B 两点. (Ⅰ)求椭圆C 的离心率; (Ⅱ)求证:OA OB ⊥; (Ⅲ)求OAB ∆面积的最大值.20.(本小题满分13分)已知有穷数列:*123,,,,(,3)k a a a a k k ∈≥N 的各项均为正数,且满足条件: ①1k a a =;②11212(1,2,3,,1)n n n n a a n k a a +++=+=- . (Ⅰ)若13,2k a ==,求出这个数列; (Ⅱ)若4k =,求1a 的所有取值的集合;(Ⅲ)若k 是偶数,求1a 的最大值(用k 表示).北京市朝阳区2015-2016学年度第一学期期末高三年级统一考试数学答案(理工类) 2016.1一、选择题:(满分40分)二、填空题:(满分30分)(注:两空的填空,第一空3分,第二空2分) 三、解答题:(满分80分) 15.(本小题满分13分)解:(Ⅰ)设“选出的3名同学来自不同班级”为事件A ,则1203373731049().60C C C C P A C ⋅+⋅== 所以选出的3名同学来自班级的概率为4960. ……………………………5分 (Ⅱ)随机变量X 的所有可能值为0,1,2,3,则03373107(0)24C C P X C ⋅===; 123731021(1)40C C P X C ⋅===; 21373107(2)40C C P X C ⋅===; 30373101(3)120C C P X C ⋅===. 所以随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望721719()012324404012010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. …………………………13分 16.(本小题满分13分) 解:(Ⅰ)因为cos ADB ∠=,所以sin ADB ∠=. 又因为4CAD π∠=,所以4C ADB π∠=∠-.所以sin sin()sin cos cos sin 444C ADB ADB ADB πππ∠=∠-=∠⋅-∠⋅45==.………………………7分 (Ⅱ)在ACD ∆中,由ADCAC C AD ∠=∠sin sin,得sin sin AC C AD ADC ⋅∠===∠.所以11sin 5722ABD S AD BD ADB ∆=⋅⋅∠=⋅=. …………13分 17.(本小题满分13分)(Ⅰ)证明:因为底面ABCD 是菱形,所以AB ∥CD .又因为AB ⊄面PCD ,CD ⊂面PCD ,所以AB ∥面PCD . 又因为,,,A B E F 四点共面,且平面ABEF 平面PCD EF =, 所以AB ∥EF . ………………………5分 (Ⅱ)取AD 中点G ,连接,PG GB .因为PA PD =,所以PG AD ⊥. 又因为平面PAD ⊥平面ABCD , 且平面PAD 平面ABCD AD =,所以PG ⊥平面ABCD .所以PG GB ⊥. 在菱形ABCD 中,因为AB AD =, 60DAB ∠=︒,G 是AD 中点, 所以AD GB ⊥.如图,建立空间直角坐标系G xyz -.设2PA PD AD a ===, 则(0,0,0),(,0,0)G A a ,,0),(2,0),(,0,0),)B C a D a P --.又因为AB ∥EF ,点E 是棱PC 中点,所以点F 是棱PD 中点.所以(E a -,(2a F -.所以3(2a AF =-,(,2a EF = .设平面AFE 的法向量为(,,)x y z =n ,则有0,0.AF EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以,.z y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩令3x =,则平面AFE的一个法向量为=n .因为BG ⊥平面PAD,所以,0)GB =是平面PAF 的一个法向量.因为cos ,GB <GB >GB⋅===⋅n n n所以平面PAF 与平面AFE. ……………………13分 18.(本小题满分14分)解:函数()f x 定义域),0(+∞∈x ,1()f x a x'=+. (Ⅰ)因为()f x 在区间[1,2]上为增函数,所以()0f x '≥在[1,2]x ∈上恒成立, 即1()0f x a x '=+≥,1a x≥-在[1,2]x ∈上恒成立, 则1.2a ≥- ………………………………………………………4分(Ⅱ)当e a =-时,() e ln f x x x =-+,e 1()x f x x-+'=. (ⅰ)令0)(='x f ,得1ex =. 令()0f x '>,得1(0,)e x ∈,所以函数)(x f 在1(0,)e 单调递增.令()0f x '<,得1(,)e x ∈+∞,所以函数)(x f 在1(,)e +∞单调递减.所以,max 111()()e ln 2e e ef x f ==-⋅+=-.所以()20f x +≤成立. …………………………………………………9分 (ⅱ)由(ⅰ)知, max ()2f x =-, 所以2|)(|≥x f . 设ln 3(),(0,).2x g x x x =+∈+∞所以2ln 1)(x x x g -='.令0)(='x g ,得e x =.令()0g x '>,得(0,e)x ∈,所以函数)(x g 在(0,e)单调递增, 令()0g x '<,得(e,)x ∈+∞,所以函数)(x g 在(e,)+∞单调递减;所以,max ln e 313()(e)2e 2e 2g x g ==+=+<, 即2)(<x g . 所以)(|)(|x g x f > ,即>|)(|x f ln 32x x +. 所以,方程=|)(|x f ln 32x x +没有实数解. ……………………………14分 19.(本小题满分14分)解:(Ⅰ)由题意可知24a =,243b =,所以22283c a b =-=.所以c e a ==.所以椭圆C…………………………3分 (Ⅱ)若切线l 的斜率不存在,则:1l x =±.在223144x y +=中令1x =得1y =±.不妨设(1,1),(1,1)A B -,则110OA OB ⋅=-=.所以OA OB ⊥.同理,当:1l x =-时,也有OA OB ⊥. 若切线l 的斜率存在,设:l y kx m =+1=,即221k m +=.由2234y kx m x y =+⎧⎨+=⎩,得222(31)6340k x kmx m +++-=.显然0∆>. 设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则122631kmx x k +=-+,21223431m x x k -=+. 所以2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++.所以1212OA OB x x y y ⋅=+221212(1)()k x x km x x m =++++22222346(1)3131m kmk km m k k -=+-+++2222222(1)(34)6(31)31k m k m k m k +--++=+22244431m k k --=+ 2224(1)44031k k k +--==+. 所以OA OB ⊥.综上所述,总有OA OB ⊥成立. ………………………………………………9分(Ⅲ)因为直线AB 与圆O 相切,则圆O 半径即为OAB ∆的高, 当l 的斜率不存在时,由(Ⅱ)可知2AB =.则1OAB S ∆=.当l 的斜率存在时,由(Ⅱ)可知,=====. 所以2242222242424(1)(91)4(9101)44(1)(31)961961k k k k k AB k k k k k ++++===++++++ 24222164164164419613396k k k k k=+⋅=+≤+=++++(当且仅当k =时,等号成立).此时, max (S )OAB ∆=.综上所述,当且仅当k =时,OAB ∆.…………………14分 20.(本小题满分13分)解:(Ⅰ)因为13,2k a ==,由①知32a =; 由②知,21211223a a a a +=+=,整理得,2222310a a -+=.解得,21a =或212a =.当21a =时,不满足2323212a a a a +=+,舍去; 所以,这个数列为12,,22. …………………………………………………3分 (Ⅱ)若4k =,由①知4a =1a . 因为11212(1,2,3)n n n n a a n a a +++=+=,所以111(2)(1)0n n n n a a a a ++--=. 所以112n n a a +=或11(1,2,3)n na n a +==. 如果由1a 计算4a 没有用到或者恰用了2次11n na a +=,显然不满足条件; 所以由1a 计算4a 只能恰好1次或者3次用到11n na a +=,共有下面4种情况: (1)若211a a =,3212a a =,4312a a =,则41114a a a ==,解得112a =;(2)若2112a a =,321a a =,4312a a =,则4111a a a ==,解得11a =; (3)若2112a a =,3212a a =,431a a =,则4114a a a ==,解得12a =; (4)若211a a =,321a a =,431a a =,则4111a a a ==,解得11a =; 综上, 1a 的所有取值的集合为1{,1,2}2. ………………………………………………8分 (Ⅲ)依题意,设*2,,m 2k m m =∈≥N .由(II )知,112n n a a +=或11(1,2,3,21)n na n m a +==- . 假设从1a 到2m a 恰用了i 次递推关系11n na a +=,用了21m i --次递推关系112n n a a +=,则有(1)211()2it m a a -=⋅,其中21,t m i t ≤--∈Z .11 当i 是偶数时,0t ≠,2111()2t m a a a =⋅=无正数解,不满足条件; 当i 是奇数时,由12111(),21222t m a a a t m i m -=⋅=≤--≤-得22211()22t m a -=≤, 所以112m a -≤.又当1i =时,若213221222211111,,,,222m m m m a a a a a a a a ---==== , 有222111()2m m a a --=⋅,222112m m a a a -==,即112m a -=. 所以,1a 的最大值是12m -.即1212k a -=.…………………………………13分。

朝阳高三一模数学卷(理科)(有答案)

朝阳高三一模数学卷(理科)(有答案)

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学(理工类)2015.4(考试时间120分钟 满分150分)本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分第一部分(选择题 共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合{}21,2,A m =,{}1,B m =.若B A ⊆,则m =A.0B. 2C. 0 或2D. 1或22.已知点0(1,)A y 0(0)y >为抛物线22y px =()0p >上一点.若点A 到该抛物线焦点的距离为3,则0y =A.B. 2C. D. 43.在ABC ∆中,若π3A =,cos B =6BC =,则AC =A. B.4C.4.“x ∀∈R ,210x ax ++≥成立”是“2a ≤”的A .充分必要条件B .必要而不充分条件C .充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.某商场每天上午10点开门,晚上19点停止进入.在如图所示的框图中,t 表示整点时刻,()a t 表示时间段[1,)t t -内进入商场人次,S 表示某天某整点时刻前进入商场人次总和,为了统计某天进入商场的总人次数,则判断框内可以填A. 17?t ≤ B .19?t ≥ C .18?t ≥ D .18?t ≤6.设123,,x x x 均为实数,且1211log (1)3x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,2321log 3x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,3231log 3xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭则A. 132x x x <<B. 321x x x <<C. 312x x x <<D. 213x x x << 7.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点(1,0)A ,(1,1)B ,且90BOP ∠=.设OP OA kOB =+()k ∈R ,则OP =A .12B.C.D.28. 设集合M ={}22000000(,)20,,x y x y x y +≤∈∈Z Z ,则M 中元素的个数为 A.61 B. 65 C. 69 D.84第二部分(非选择题 共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡上. 9.i 为虚数单位,计算12i1i-=+ ______. 10.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若383a a +=,31S =,则通项公式n a =______.11.在极坐标中,设002πρθ>≤<,,曲线2ρ=与曲线sin 2ρθ=交点的极坐标为______. 12.已知有身穿两种不同队服的球迷各有三人,现将这六人排成一排照相,要求身穿同一种队服的球迷均不能相邻,则不同的排法种数为 . (用数字作答)13. 设3z x y =+,实数x ,y 满足20,20,0,x y x y y t +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩其中0t >.若z 的最大值为5,则实数t 的值为______,此时z 的最小值为______.14.将体积为1的四面体第一次挖去以各棱中点为顶点的构成的多面体,第二次再将剩余的每个四面体均挖去以各棱中点为顶点的构成的多面体,如此下去,共进行了n (n *∈N )次.则第一次挖去的几何体的体积是______;这n 次共挖去的所有几何体的体积和是______.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分13分)已知函数2()cos cos f x x x x =+,x ∈R . (Ⅰ)求()f x 的最小正周期和单调递减区间;(Ⅱ)设x m =()m ∈R 是函数()y f x =图象的对称轴,求sin4m 的值. 16.(本小题满分13分)如图所示,某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损,其中,频率分布直方图的分组区间分别为[)50,60,[)60,70,[)70,80,[)80,90,[90,100].据此解答如下问题.(Ⅰ)求全班人数及分数在[80,100]之间的频率;(Ⅱ)现从分数在[80,100]之间的试卷中任取3份分析学生失分情况,设抽取的试卷分数在[90,100]的份数为X ,求X 的分布列和数学期望.17.(本小题满分14分)0.03750.0125O0.025如图,正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直, 已知//,AB CD AD CD ⊥,12AB AD CD ==.(Ⅰ)求证:BF //平面CDE ;(Ⅱ)求平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的余弦值;(Ⅲ)线段EC 上是否存在点M ,使得平面BDM ⊥平面BDF ?若存在,求出EM EC的值;若不存在,说明理由. 18.(本小题满分13分) 已知函数2()ln (1)2x f x a x a x =+-+,a ∈R .(Ⅰ) 当1a =-时,求函数()f x 的最小值; (Ⅱ) 当1a ≤时,讨论函数()f x 的零点个数. 19.(本小题满分14分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为(2,0)F,离心率为3F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点,线段AB 中点为D ,O 为坐标原点,过O ,D 的直线交椭圆于,M N 两点. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)求四边形AMBN 面积的最大值. 20.(本小题满分13分)若数列{}n a 中不超过()f m 的项数恰为m b ()m ∈*N ,则称数列{}m b 是数列{}n a 的生成数列,称相应的函数()f m 是{}n a 生成{}m b 的控制函数.设2()f m m =. (Ⅰ)若数列{}n a 单调递增,且所有项都是自然数,11=b ,求1a ; (Ⅱ)若数列{}n a 单调递增,且所有项都是自然数,,11b a =求1a ;(Ⅲ)若2(1,2,3)n a n n ==,是否存在{}m b 生成{}n a 的控制函数2()g n pn qn r =++(其中常数,,p q r ∈Z )?使得数列{}n a 也是数列{}m b 的生成数列?若存在,求出)(n g ;若不存在,说明理由.北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学答案(理工类) 2015.4ABFE D C三、解答题(满分80分) 15.(本小题满分13分)解:(Ⅰ)由已知,函数2()cos cos f x x x x = 1(1cos2)2x =+2x=π1sin(2)62x ++.函数()f x 的最小正周期为πT =.当ππ3π2π22π262k x k +≤+≤+时(k ∈Z ),即π2ππ+π+63k x k ≤≤时,函数()f x 为减函数.即函数()f x 的单调减区间为π2ππ+,π+63k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,k ∈Z . ………………….9分(Ⅱ)由x m =是函数()y f x =图象的对称轴,则ππ2=π62m k ++(k ∈Z ),即126m k π=π+,k ∈Z .则423m k 2π=π+.则sin 4m ………………….13分16. (本小题满分13分)解:(Ⅰ)由茎叶图可知,分布在[50,60)之间的频数为4,由直方图,频率为0.0125100.125⨯=,所以全班人数为4320.125=人.所以分数在[80,100]之间的人数为32(4810)10-++=人. 分数在[80,100]之间的频率为100.312532= ………………….4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,分数在[80,100]之间的有10份,分数在[90,100]之间的人数有0.01251032=4创份,由题意,X 的取值可为0,1,2,3.363101(0)6C P X C ===, 12463101(1)2C C P X C ===,21463103(2)10C C P X C ===, 343101(3)30C P X C ===.所以随机变量X 的分布列为 随机变量X 的数学期望为01236210305EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.………………….13分17.(本小题满分14分) 解:(Ⅰ)因为//,AB CD AB ⊄平面,CDE CD ⊂平面CDE ,所以//AB 平面CDE ,同理,//AF 平面CDE , 又,AB AF A =所以平面//ABF 平面CDE ,因为BF ⊂平面,ABF 所以//BF 平面CDE . ……………….4分 (Ⅱ)因为平面ADEF ^平面ABCD ,平面ADEF I 平面ABCD =AD , C D A D^,CD Ì平面ABCD , 所以CD ^平面ADEF .又DE Ì平面ADEF ,故CD ED ^. 而四边形ADEF 为正方形,所以AD DE ^又AD CD ^,以D 为原点,DA ,DC ,DE 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系D xyz -.设1AD =,则(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,2,0),(0,0,1)D B F C E , 取平面CDE 的一个法向量(1,0,0)DA =, 设平面BDF 的一个法向量(,,)x y z =n ,则00DB DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即00x y x z +=⎧⎨+=⎩,令1x =,则1y z ==-, 所以(1,1,1)=--n .设平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的大小为θ,则cos |cos ,|DA θ=<>==n . ……………….9分 所以平面BDF 与平面CDE. (Ⅲ)若M 与C 重合,则平面()BDM C 的一个法向量0(0,0,1)=m ,由(Ⅱ)知平面BDF 的一个法向量(1,1,1)=--n ,则010??m n =,则此时平面BDF 与平面BDM 不垂直.若M 与C 不重合,如图设EMECλ=()01λ?,则(0,2,1)M λλ-,设平面BDM 的一个法向量000(,,)x y z =m ,则00DB DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ,即000002(1)0x y y z λλ+=⎧⎨+-=⎩,令01x =,则0021,1y z λλ=-=-,所以2(1,1,)1λλ=--m , 若平面BDF ⊥平面BDM 等价于0⋅=m n ,即2110,1λλ+-=-所以[]10,12λ=∈. 所以,EC 上存在点M 使平面BDF ⊥平面BDM ,且12EM EC =.……………….14分 18. (本小题满分13分)解:(Ⅰ)函数()f x 的定义域为{}0x x >.当1a =-时,2()ln 2x f x x =-+.211(1)(1)()x x x f x x x x x -+-'=-+==. 由(1)(1)0x x x +->()0x >解得1x >;由(1)(1)0x x x+-<()0x >解得01x <<.所以()f x 在区间(0,1)单调递减, 在区间(1,)+∞单调递增.所以1x =时,函数()f x 取得最小值1(1)2f =. ……………….5分 (Ⅱ)(1)()()x x a f x x--'=,0x >. (1)当0a ≤时,(0,1)x ∈时,()0f x '<,()f x 为减函数; (1,)x ∈+∞时,()0f x '>,()f x 为增函数. 所以()f x 在1x =时取得最小值1(1)2f a =--. (ⅰ)当0a =时,2()2x f x x =-,由于0x >,令()0f x =,2x =,则()f x 在(0,)+∞上有一个零点;(ⅱ)当12a =-时,即(1)0f =时,()f x 有一个零点;(ⅲ)当12a <-时,即(1)0f >时,()f x 无零点.(ⅳ)当102a -<<时,即(1)0f <时,由于0x →(从右侧趋近0)时,()f x →+∞;x →+∞时,()f x →+∞, 所以()f x 有两个零点.(2)当01a <<时,(0,)x a ∈时,()0f x '>,()f x 为增函数; (,1)x a ∈时,()0f x '<,()f x 为减函数; (1,)x ∈+∞时,()0f x '>,()f x 为增函数.所以()f x 在x a =处取极大值,()f x 在1x =处取极小值. 21()ln (1)2f a a a a a a =+-+21ln 2a a a a =--.当01a <<时,()0f a <,即在(0,1)x ∈时,()0f x <.而()f x 在(1,)x ∈+∞时为增函数,且x →+∞时,()f x →+∞,所以此时()f x 有一个零点.(3)当1a =时,2(1)()0x f x x-'=≥在()0,+∞上恒成立,所以()f x 为增函数.且0x →(从右侧趋近0)时,()f x →-∞;x →+∞时,()f x →+∞. 所以()f x 有一个零点.综上所述,01a ≤≤或12a =-时()f x 有一个零点;12a <-时,()f x 无零点;102a -<<()f x 有两个零点.……………….13分19.(本小题满分14分) 解:(Ⅰ)由题意可得2222,,c c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得a,b =, 故椭圆的方程为22162x y +=. …….4分(Ⅱ)当直线l 斜率不存在时,A B的坐标分别为,(2,,||MN =,四边形AMBN 面积为1||||42AMBN S MN AB =⋅=. 当直线l 斜率存在时,设其方程为(2)y k x =-,点11(,)A x y ,22(,)B x y ,33(,)M x y ,33(,)N x y --,点,M N 到直线l 的距离分别为12,d d ,则四边形AMBN 面积为121||()2AMBN S AB d d =+. 由221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k x k x k +-+-=, 则21221213k x x k +=+,212212613k x x k -=+,所以||AB=. 因为121224(4)13ky y k x x k -+=+-=+, 所以AB 中点22262(,)1313k kD k k -++. 当0k ¹时,直线OD 方程为30x ky +=, 由2230,1,62x ky x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得333,x ky =-232213y k =+. 所以121||()2AMBN S AB d d =+==< 当0k =时,四边形AMBN面积的最大值AMBN S =综上四边形AMBN面积的最大值为 …………………………14分20.(本小题满分13分)解:(Ⅰ)若11b =,因为数列{}n a 单调递增,所以211a ≤,又1a 是自然数,所以10a =或1. ………2分 (Ⅱ)因为数列{}n a 的每项都是自然数,若2101a =≤,则11b ≥,与11a b =矛盾;若12a ≥,则因{}n a 单调递增,故不存在21n a ≤,即10b =,也与11a b =矛盾. 当11=a 时,因{}n a 单调递增,故2≥n 时,1>n a ,所以11b =,符合条件, 所以,11a =. ………6分 (Ⅲ)若2(1,2,)n a n n ==,则数列{}n a 单调递增,显然数列{}m b 也单调递增,由2n a m ≤,即22n m ≤,得212n m ≤,所以,m b 为不超过212m 的最大整数,当21m k =-()k *ÎN 时,因为222211222222122kk m k k k k -<=-+<-+,所以222m b k k =-; 当2m k =()k *ÎN时,22122m k =,所以,22m b k =.综上,2222,21(2,2(m k k m k k b k m k k **ìï-=-?ï=íï=?ïîN )N ), 即当0m >且m 为奇数时,212m m b -=;当0m >且m 为偶数时,22m mb =. 若数列{}n a 是数列{}m b 的生成数列,且{}m b 生成{}n a 的控制函数为()g n , 则m b 中不超过()g n 的项数恰为n a ,即m b 中不超过()g n 的项数恰为2n ,所以221()n n b g n b +≤<,即222222n pn qn r n n ≤++<+对一切正整数n 都成立,即22(2)0(2)(2)0p n qn r p n q n r ⎧-++≥⎪⎨-+-->⎪⎩对一切正整数n 都成立,故得2p =,且0(2)0qn r q n r +≥⎧⎨-->⎩对一切正整数n 都成立,故02q ≤≤,q Z ∈.又常数r Z ∈,当0q =时,02(1)r n n ≤<≥,所以0r =,或1r =; 当1q =时,(1)n r n n -≤<≥,所以0r =,或1r =-; 当2q =时,20(1)n r n -≤<≥,所以2r =-,或1r =-;所以2()2g n n =,或221n +,或221n n +-,或22n n +,或2222n n +-,或2221n n +-(n *ÎN ). ………13分。

朝阳高三一模数学卷 理科 有答案

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北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学(理工类)2015.4(考试时间120分钟 满分150分)本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分第一部分(选择题 共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合{}21,2,A m =,{}1,B m =.若B A ⊆,则m =A.0B. 2C. 0 或2D. 1或22.已知点0(1,)A y 0(0)y >为抛物线22y px =()0p >上一点.若点A 到该抛物线焦点的距离为3,则0y =A.B. 2C. D. 43.在ABC ∆中,若π3A =,cos B =6BC =,则AC =A.C.4.“x ∀∈R ,210x ax ++≥成立”是“2a ≤”的 A .充分必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件5.某商场每天上午10点开门,晚上19点停止进入.在如图所示的框图中,t 表示整点时刻,()a t 表示时间段[1,)t t -内进入商场人次,S 表示某天某整点时刻前进入商场人次总和,为了统计某天进入商场的总人次数,则判断框内可以填A. 17?t ≤ B .19?t ≥ C .18?t ≥ D .18?t ≤6.设123,,x x x 均为实数,且1211log (1)3x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,2321log 3x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,3231log 3xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭则A. 132x x x <<B. 321x x x <<C. 312x x x <<D. 213x x x <<7.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点(1,0)A ,(1,1)B ,且90BOP ∠=o .设OP OA kOB =+u u u r u u u r u u u r ()k ∈R ,则OP =u u u rA . 12B.2C.D.28. 设集合M ={}22000000(,)20,,x y x y x y +≤∈∈Z Z ,则M 中元素的个数为 A.61 B. 65 C. 69第二部分(非选择题 共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡上. 9.i 为虚数单位,计算12i1i-=+ ______. 10.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若383a a +=,31S =,则通项公式n a =______.11.在极坐标中,设002πρθ>≤<,,曲线2ρ=与曲线sin 2ρθ=交点的极坐标为______. 12.已知有身穿两种不同队服的球迷各有三人,现将这六人排成一排照相,要求身穿同一种队服的球迷均不能相邻,则不同的排法种数为 . (用数字作答)13. 设3z x y =+,实数x ,y 满足20,20,0,x y x y y t +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩其中0t >.若z 的最大值为5,则实数t 的值为______,此时z 的最小值为______.14.将体积为1的四面体第一次挖去以各棱中点为顶点的构成的多面体,第二次再将剩余的每个四面体均挖去以各棱中点为顶点的构成的多面体,如此下去,共进行了n (n *∈N )次.则第一次挖去的几何体的体积是______;这n 次共挖去的所有几何体的体积和是______.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分13分)已知函数2()cos cos f x x x x =+,x ∈R . (Ⅰ)求()f x 的最小正周期和单调递减区间;(Ⅱ)设x m =()m ∈R 是函数()y f x =图象的对称轴,求sin4m 的值.16.(本小题满分13分)如图所示,某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损,其中,频率分布直方图的分组区间分别为[)50,60,[)60,70,[)70,80,[)80,90,[90,100].据此解答如下问题.(Ⅰ)求全班人数及分数在[80,100]之间的频率;(Ⅱ)现从分数在[80,100]之间的试卷中任取3份分析学生失分情况,设抽取的试卷分数在[90,100]的份数为X ,求X 的分布列和数学期望.17.(本小题满分14分)如图,正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直, 已知//,AB CD AD CD ⊥,12AB AD CD ==.(Ⅰ)求证:BF //平面CDE ;(Ⅱ)求平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的余弦值;(Ⅲ)线段EC 上是否存在点M ,使得平面BDM ⊥平面BDF ?若存在,求出EM EC的值;若不存在,说明理由.18.(本小题满分13分)已知函数2()ln (1)2x f x a x a x =+-+,a ∈R .(Ⅰ) 当1a =-时,求函数()f x 的最小值;A B F E D C(Ⅱ) 当1a ≤时,讨论函数()f x 的零点个数.19.(本小题满分14分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为(2,0)F F的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点,线段AB 中点为D ,O 为坐标原点,过O ,D 的直线 交椭圆于,M N 两点.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)求四边形AMBN 面积的最大值.20.(本小题满分13分)若数列{}n a 中不超过()f m 的项数恰为m b ()m ∈*N ,则称数列{}m b 是数列{}n a 的生成数列,称相应的函数()f m 是{}n a 生成{}m b 的控制函数.设2()f m m =. (Ⅰ)若数列{}n a 单调递增,且所有项都是自然数,11=b ,求1a ;(Ⅱ)若数列{}n a 单调递增,且所有项都是自然数,,11b a =求1a ;(Ⅲ)若2(1,2,3)n a n n ==L ,是否存在{}m b 生成{}n a 的控制函数2()g n pn qn r =++(其中常数,,p q r ∈Z )?使得数列{}n a 也是数列{}m b 的生成数列?若存在,求出)(n g ;若不存在,说明理由.北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学答案(理工类) 2015.4一、选择题(满分40分)(注:两空的填空,第一空3分,第二空2分)三、解答题(满分80分) 15.(本小题满分13分)解:(Ⅰ)由已知,函数2()cos cos f x x x x = 1(1cos2)2x =+2x=π1sin(2)62x ++.函数()f x 的最小正周期为πT =.当ππ3π2π22π262k x k +≤+≤+时(k ∈Z ),即π2ππ+π+63k x k ≤≤时,函数()f x 为减函数.即函数()f x 的单调减区间为π2ππ+,π+63k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,k ∈Z . ………………….9分(Ⅱ)由x m =是函数()y f x =图象的对称轴,则ππ2=π62m k ++(k ∈Z ),即126m k π=π+,k ∈Z .则423m k 2π=π+.则sin 4m ………………….13分16. (本小题满分13分)解:(Ⅰ)由茎叶图可知,分布在[50,60)之间的频数为4,由直方图,频率为0.0125100.125⨯=,所以全班人数为4320.125=人.所以分数在[80,100]之间的人数为32(4810)10-++=人. 分数在[80,100]之间的频率为100.312532= ………………….4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,分数在[80,100]之间的有10份,分数在[90,100]之间的人数有0.01251032=4创份,由题意,X 的取值可为0,1,2,3.363101(0)6C P X C ===, 12463101(1)2C C P X C ===,21463103(2)10C C P X C ===, 343101(3)30C P X C ===.所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望为1131601236210305EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.………………….13分 17.(本小题满分14分)解:(Ⅰ)因为//,AB CD AB ⊄平面,CDE CD ⊂平面CDE ,所以//AB 平面CDE ,同理,//AF 平面CDE , 又,AB AF A =I 所以平面//ABF 平面CDE ,因为BF ⊂平面,ABF 所以//BF 平面CDE . ……………….4分(Ⅱ)因为平面ADEF ^平面ABCD ,平面ADEF I 平面ABCD =AD , CD AD ^,CD Ì平面ABCD ,所以CD ^平面ADEF .又DE Ì平面ADEF ,故CD ED ^. 而四边形ADEF 为正方形,所以AD DE ^又AD CD ^,以D 为原点,DA ,DC ,DE 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系D xyz -.设1AD =,则(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,2,0),(0,0,1)D B F C E ,取平面CDE 的一个法向量(1,0,0)DA =u u u r,设平面BDF 的一个法向量(,,)x y z =n ,则00DB DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n ,即00x y x z +=⎧⎨+=⎩,令1x =,则1y z ==-, 所以(1,1,1)=--n . 设平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的大小为θ,则cos |cos ,|DA θ=<>==u u u r n . ……………….9分 所以平面BDF 与平面CDE. (Ⅲ)若M 与C 重合,则平面()BDM C 的一个法向量0(0,0,1)=m ,由(Ⅱ)知平面BDF 的一个法向量(1,1,1)=--n ,则010??m n =,则此时平面BDF 与平面BDM 不垂直.若M 与C 不重合,如图设EMECλ=()01λ?,则(0,2,1)M λλ-,设平面BDM 的一个法向量000(,,)x y z =m ,则00DB DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u u r m m ,即000002(1)0x y y z λλ+=⎧⎨+-=⎩,令01x =,则0021,1y z λλ=-=-, 所以2(1,1,)1λλ=--m , 若平面BDF ⊥平面BDM 等价于0⋅=m n ,即2110,1λλ+-=-所以[]10,12λ=∈. 所以,EC 上存在点M 使平面BDF ⊥平面BDM ,且12EM EC =.……………….14分 18. (本小题满分13分)解:(Ⅰ)函数()f x 的定义域为{}0x x >.当1a =-时,2()ln 2x f x x =-+.211(1)(1)()x x x f x x x x x -+-'=-+==. 由(1)(1)0x x x +->()0x >解得1x >;由(1)(1)0x x x+-<()0x >解得01x <<.所以()f x 在区间(0,1)单调递减, 在区间(1,)+∞单调递增.所以1x =时,函数()f x 取得最小值1(1)2f =. ……………….5分 (Ⅱ)(1)()()x x a f x x--'=,0x >. (1)当0a ≤时,(0,1)x ∈时,()0f x '<,()f x 为减函数; (1,)x ∈+∞时,()0f x '>,()f x 为增函数.所以()f x 在1x =时取得最小值1(1)2f a =--. (ⅰ)当0a =时,2()2x f x x =-,由于0x >,令()0f x =,2x =,则()f x 在(0,)+∞上有一个零点;(ⅱ)当12a =-时,即(1)0f =时,()f x 有一个零点;(ⅲ)当12a <-时,即(1)0f >时,()f x 无零点.(ⅳ)当102a -<<时,即(1)0f <时,由于0x →(从右侧趋近0)时,()f x →+∞;x →+∞时,()f x →+∞, 所以()f x 有两个零点.(2)当01a <<时,(0,)x a ∈时,()0f x '>,()f x 为增函数; (,1)x a ∈时,()0f x '<,()f x 为减函数; (1,)x ∈+∞时,()0f x '>,()f x 为增函数.所以()f x 在x a =处取极大值,()f x 在1x =处取极小值. 21()ln (1)2f a a a a a a =+-+21ln 2a a a a =--.当01a <<时,()0f a <,即在(0,1)x ∈时,()0f x <.而()f x 在(1,)x ∈+∞时为增函数,且x →+∞时,()f x →+∞,所以此时()f x 有一个零点.(3)当1a =时,2(1)()0x f x x-'=≥在()0,+∞上恒成立,所以()f x 为增函数.且0x →(从右侧趋近0)时,()f x →-∞;x →+∞时,()f x →+∞. 所以()f x 有一个零点.综上所述,01a ≤≤或12a =-时()f x 有一个零点;12a <-时,()f x 无零点;102a -<<()f x 有两个零点.……………….13分19.(本小题满分14分) 解:(Ⅰ)由题意可得2222,,c c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得a,b =, 故椭圆的方程为22162x y +=. …….4分(Ⅱ)当直线l 斜率不存在时,A B的坐标分别为,(2,,||MN =,四边形AMBN 面积为1||||42AMBN S MN AB =⋅=. 当直线l 斜率存在时,设其方程为(2)y k x =-,点11(,)A x y ,22(,)B x y ,33(,)M x y ,33(,)N x y --,点,M N 到直线l 的距离分别为12,d d ,则四边形AMBN 面积为121||()2AMBN S AB d d =+. 由221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k x k x k +-+-=,则21221213k x x k +=+,212212613k x x k-=+,所以||AB==. 因为121224(4)13ky y k x x k -+=+-=+, 所以AB 中点22262(,)1313k kD k k -++.当0k ¹时,直线OD 方程为30x ky +=, 由2230,1,62x ky x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得333,x ky =-232213y k =+. 所以121||()2AMBN S AB d d =+12=+33222|13kx y k -=+23323|13k y y k --=+==< 当0k =时,四边形AMBN面积的最大值AMBN S =综上四边形AMBN面积的最大值为 …………………………14分20.(本小题满分13分) 解:(Ⅰ)若11b =,因为数列{}n a 单调递增,所以211a ≤,又1a 是自然数,所以10a =或1. ………2分 (Ⅱ)因为数列{}n a 的每项都是自然数,若2101a =≤,则11b ≥,与11a b =矛盾;若12a ≥,则因{}n a 单调递增,故不存在21n a ≤,即10b =,也与11a b =矛盾.当11=a 时,因{}n a 单调递增,故2≥n 时,1>n a ,所以11b =,符合条件, 所以,11a =. ………6分 (Ⅲ)若2(1,2,)n a n n ==L ,则数列{}n a 单调递增,显然数列{}m b 也单调递增,由2n a m ≤,即22n m ≤,得212n m ≤, 所以,m b 为不超过212m 的最大整数, 当21m k =-()k *ÎN 时,因为222211222222122k k m k k k k -<=-+<-+, 所以222m b k k =-;当2m k =()k *ÎN 时,22122m k =,所以,22m b k =.综上,2222,21(2,2(m k k m k k b k m k k **ìï-=-?ï=íï=?ïîN )N ), 即当0m >且m 为奇数时,212m m b -=;当0m >且m 为偶数时,22m m b =. 若数列{}n a 是数列{}m b 的生成数列,且{}m b 生成{}n a 的控制函数为()g n , 则m b 中不超过()g n 的项数恰为n a ,即m b 中不超过()g n 的项数恰为2n ,所以221()n n b g n b +≤<,即222222n pn qn r n n ≤++<+对一切正整数n 都成立,即22(2)0(2)(2)0p n qn r p n q n r ⎧-++≥⎪⎨-+-->⎪⎩对一切正整数n 都成立, 故得2p =,且0(2)0qn r q n r +≥⎧⎨-->⎩对一切正整数n 都成立,故02q ≤≤,q Z ∈. 又常数r Z ∈,当0q =时,02(1)r n n ≤<≥,所以0r =,或1r =; 当1q =时,(1)n r n n -≤<≥,所以0r =,或1r =-; 当2q =时,20(1)n r n -≤<≥,所以2r =-,或1r =-; 所以2()2g n n =,或221n +,或221n n +-,或22n n +,或2222n n +-,或2221n n +-(n *ÎN ). ………13分。

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北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学(理工类)2015.4(考试时间120分钟 满分150分)本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分第一部分(选择题 共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合{}21,2,A m =,{}1,B m =.若B A ⊆,则m =A.0B. 2C. 0 或2D. 1或22.已知点0(1,)A y 0(0)y >为抛物线22y px =()0p >上一点.若点A 到该抛物线焦点的距离为3,则0y =3.在ABC ∆中,若π3A =,cos B =6BC =,则AC =A.4.“x ∀∈R ,210x ax ++≥成立”是“2a ≤”的 A .充分必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件5.某商场每天上午10点开门,晚上19点停止进入.在 如图所示的框图中,t 表示整点时刻,()a t 表示时间段[1,)t t -内进入商场人次,S 表示某天某整点时刻前进入商场人次总和,为了统计某天进入商场的总人次数,则判断框内可以填A. 17?t ≤ B .19?t ≥ C .18?t ≥ D .18?t ≤6.设123,,x x x 均为实数,且1211log (1)3x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,2321log 3x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,3231log 3xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭则A. 132x x x <<B. 321x x x <<C. 312x x x <<D. 213x x x <<7.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点(1,0)A ,(1,1)B ,且90BOP ∠=.设OP OA kOB =+()k ∈R ,则OP =A . 12B. 2D.28. 设集合M ={}22000000(,)20,,x y x y x y +≤∈∈Z Z ,则M 中元素的个数为 A.61 B. 65 C. 69第二部分(非选择题 共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡上. 9.i 为虚数单位,计算12i1i-=+ ______. 10.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若383a a +=,31S =,则通项公式n a =______. 11.在极坐标中,设002πρθ>≤<,,曲线2ρ=与曲线sin 2ρθ=交点的极坐标为______. 12.已知有身穿两种不同队服的球迷各有三人,现将这六人排成一排照相,要求身穿同一种队服的球迷均不能相邻,则不同的排法种数为 . (用数字作答)13. 设3z x y =+,实数x ,y 满足20,20,0,x y x y y t +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩其中0t >.若z 的最大值为5,则实数t 的值为______,此时z 的最小值为______.14.将体积为1的四面体第一次挖去以各棱中点为顶点的构成的多面体,第二次再将剩余的每个四面体均挖去以各棱中点为顶点的构成的多面体,如此下去,共进行了n (n *∈N )次.则第一次挖去的几何体的体积是______;这n 次共挖去的所有几何体的体积和是______.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分13分)已知函数2()cos cos f x x x x =+,x ∈R . (Ⅰ)求()f x 的最小正周期和单调递减区间;(Ⅱ)设x m =()m ∈R 是函数()y f x =图象的对称轴,求sin4m 的值.16.(本小题满分13分)如图所示,某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损,其中,频率分布直方图的分组区间分别为[)50,60,[)60,70,[)70,80,[)80,90,[90,100].据此解答如下问题.(Ⅰ)求全班人数及分数在[80,100]之间的频率;(Ⅱ)现从分数在[80,100]之间的试卷中任取3份分析学生失分情况,设抽取的试卷分数在[90,100]的份数为X ,求X 的分布列和数学期望.17.(本小题满分14分)如图,正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直, 已知//,AB CD AD CD ⊥,12AB AD CD ==.(Ⅰ)求证:BF //平面CDE ;(Ⅱ)求平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的余弦值;(Ⅲ)线段EC 上是否存在点M ,使得平面BDM ⊥平面BDF若存在,求出EM EC的值;若不存在,说明理由.18.(本小题满分13分)已知函数2()ln (1)2x f x a x a x =+-+,a ∈R .(Ⅰ) 当1a =-时,求函数()f x 的最小值;A B F E D C(Ⅱ) 当1a ≤时,讨论函数()f x 的零点个数.19.(本小题满分14分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为(2,0)F F的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点,线段AB 中点为D ,O 为坐标原点,过O ,D 的直线 交椭圆于,M N 两点.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)求四边形AMBN 面积的最大值.20.(本小题满分13分)若数列{}n a 中不超过()f m 的项数恰为m b ()m ∈*N ,则称数列{}m b 是数列{}n a 的生成数列,称相应的函数()f m 是{}n a 生成{}m b 的控制函数.设2()f m m =. (Ⅰ)若数列{}n a 单调递增,且所有项都是自然数,11=b ,求1a ;(Ⅱ)若数列{}n a 单调递增,且所有项都是自然数,,11b a =求1a ;(Ⅲ)若2(1,2,3)n a n n ==,是否存在{}m b 生成{}n a 的控制函数2()g n pn qn r =++(其中常数,,p q r ∈Z )使得数列{}n a 也是数列{}m b 的生成数列若存在,求出)(n g ;若不存在,说明理由.北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学答案(理工类) 2015.4一、选择题(满分40分)(注:两空的填空,第一空3分,第二空2分)三、解答题(满分80分) 15.(本小题满分13分)解:(Ⅰ)由已知,函数2()cos cos f x x x x = 1(1cos2)2x =+2x=π1sin(2)62x ++.函数()f x 的最小正周期为πT =.当ππ3π2π22π262k x k +≤+≤+时(k ∈Z),即π2ππ+π+63k x k ≤≤时,函数()f x 为减函数.即函数()f x 的单调减区间为π2ππ+,π+63k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,k ∈Z . ………………….9分(Ⅱ)由x m =是函数()y f x =图象的对称轴,则ππ2=π62m k ++(k ∈Z ),即126m k π=π+,k ∈Z .则423m k 2π=π+.则sin 4m . ………………….13分16. (本小题满分13分)解:(Ⅰ)由茎叶图可知,分布在[50,60)之间的频数为4,由直方图,频率为0.0125100.125⨯=,所以全班人数为4320.125=人. 所以分数在[80,100]之间的人数为32(4810)10人.分数在[80,100]之间的频率为100.312532= ………………….4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,分数在[80,100]之间的有10份,分数在[90,100]之间的人数有0.01251032=4份,由题意,X 的取值可为0,1,2,3.363101(0)6C P X C ===, 12463101(1)2C C P XC ===,21463103(2)10C C P X C ===, 343101(3)30C P X C ===.所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望为1131601236210305EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.………………….13分 17.(本小题满分14分)解:(Ⅰ)因为//,AB CD AB ⊄平面,CDE CD ⊂平面CDE ,所以//AB 平面CDE ,同理,//AF 平面CDE , 又,AB AF A =所以平面//ABF 平面CDE ,因为BF ⊂平面,ABF 所以//BF 平面CDE . ……………….4分(Ⅱ)因为平面ADEF 平面ABCD ,平面ADEF平面ABCD =AD ,CDAD ,CD 平面ABCD ,所以CD 平面ADEF .又DE平面ADEF ,故CDED .而四边形ADEF 为正方形,所以AD DE 又AD CD ,以D 为原点,DA ,DC ,DE 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系D xyz -.设1AD =,则(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,2,0),(0,0,1)D B F C E , 取平面CDE 的一个法向量(1,0,0)DA =, 设平面BDF 的一个法向量(,,)x y z =n ,则00DB DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即00x y x z +=⎧⎨+=⎩,令1x =,则1y z ==-, 所以(1,1,1)=--n .设平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的大小为θ,则cos |cos ,|DA θ=<>==n . ……………….9分 所以平面BDF 与平面CDE. (Ⅲ)若M 与C 重合,则平面()BDM C 的一个法向量0(0,0,1)m ,由(Ⅱ)知平面BDF的一个法向量(1,1,1)n,则010m n =,则此时平面BDF 与平面BDM 不垂直.若M 与C 不重合,如图设EMECλ=01λ,则(0,2,1)M λλ-,设平面BDM 的一个法向量000(,,)x y z =m ,则00DB DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ,即000002(1)0x y y z λλ+=⎧⎨+-=⎩,令01x =,则0021,1y z λλ=-=-,所以2(1,1,)1λλ=--m , 若平面BDF ⊥平面BDM 等价于0⋅=m n ,即2110,1λλ+-=-所以[]10,12λ=∈. 所以,EC 上存在点M 使平面BDF ⊥平面BDM ,且12EM EC =.……………….14分 18. (本小题满分13分)解:(Ⅰ)函数()f x 的定义域为{}0x x >.当1a =-时,2()ln 2x f x x =-+.211(1)(1)()x x x f x x x x x -+-'=-+==. 由(1)(1)0x x x +->0x 解得1x >;由(1)(1)0x x x+-<0x解得01x <<.所以()f x 在区间(0,1)单调递减, 在区间(1,)+∞单调递增.所以1x =时,函数()f x 取得最小值1(1)2f =. ……………….5分 (Ⅱ)(1)()()x x a f x x--'=,0x >. (1)当0a ≤时,(0,1)x ∈时,()0f x '<,()f x 为减函数; (1,)x ∈+∞时,()0f x '>,()f x 为增函数.所以()f x 在1x =时取得最小值1(1)2f a =--. (ⅰ)当0a =时,2()2x f x x =-,由于0x >,令()0f x ,2x ,则()f x 在(0,)+∞上有一个零点;(ⅱ)当12a =-时,即(1)0f =时,()f x 有一个零点;(ⅲ)当12a <-时,即(1)0f >时,()f x 无零点.(ⅳ)当102a -<<时,即(1)0f <时,由于0x →(从右侧趋近0)时,()f x →+∞;x →+∞时,()f x →+∞, 所以()f x 有两个零点.(2)当01a <<时,(0,)x a ∈时,()0f x '>,()f x 为增函数; (,1)x a ∈时,()0f x '<,()f x 为减函数; (1,)x ∈+∞时,()0f x '>,()f x 为增函数.所以()f x 在x a =处取极大值,()f x 在1x =处取极小值. 21()ln (1)2f a a a a a a =+-+21ln 2a a a a =--.当01a <<时,()0f a <,即在(0,1)x ∈时,()0f x <.而()f x 在(1,)x ∈+∞时为增函数,且x →+∞时,()f x →+∞,所以此时()f x 有一个零点.(3)当1a =时,2(1)()0x f x x-'=≥在()0,+∞上恒成立,所以()f x 为增函数.且0x →(从右侧趋近0)时,()f x →-∞;x →+∞时,()f x →+∞. 所以()f x 有一个零点.综上所述,01a ≤≤或12a =-时()f x 有一个零点;12a <-时,()f x 无零点;102a -<<()f x 有两个零点.……………….13分19.(本小题满分14分) 解:(Ⅰ)由题意可得2222,,c c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得a,b =, 故椭圆的方程为22162x y +=. …….4分(Ⅱ)当直线l 斜率不存在时,A B的坐标分别为,(2,,||MN =,四边形AMBN 面积为1||||42AMBN S MN AB =⋅=. 当直线l 斜率存在时,设其方程为(2)y k x =-,点11(,)A x y ,22(,)B x y ,33(,)M x y ,33(,)N x y --,点,M N 到直线l 的距离分别为12,d d ,则四边形AMBN 面积为121||()2AMBN S AB d d =+. 由221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k x k x k +-+-=,则21221213k x x k +=+,212212613k x x k-=+,所以||AB==. 因为121224(4)13ky y k x x k -+=+-=+, 所以AB 中点22262(,)1313k kD k k -++.当0k时,直线OD 方程为30x ky +=,由2230,1,62x ky x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得333,x ky =-232213y k =+. 所以121||()2AMBN S AB d d =+12=+33222|13kx y k -=+23323|13k y y k --=+==< 当0k =时,四边形AMBN 面积的最大值26243AMBNS .综上四边形AMBN 面积的最大值为 …………………………14分20.(本小题满分13分) 解:(Ⅰ)若11b =,因为数列{}n a 单调递增,所以211a ≤,又1a 是自然数,所以10a =或1. ………2分 (Ⅱ)因为数列{}n a 的每项都是自然数,若2101a =≤,则11b ≥,与11a b =矛盾;若12a ≥,则因{}n a 单调递增,故不存在21n a ≤,即10b =,也与11a b =矛盾.当11=a 时,因{}n a 单调递增,故2≥n 时,1>n a ,所以11b =,符合条件, 所以,11a =. ………6分 (Ⅲ)若2(1,2,)n a n n ==,则数列n a 单调递增,显然数列m b 也单调递增,由2n a m ≤,即22n m ≤,得212n m ≤, 所以,m b 为不超过212m 的最大整数, 当21m k k N 时,因为222211222222122k k m k k k k -<=-+<-+, 所以222m b k k =-;当2m k k N 时,22122m k =,所以,22m b k =.综上,2222,21(2,2(mk k m k k b k m k k N )N ), 即当0m 且m 为奇数时,212m m b ;当0m 且m 为偶数时,22m m b . 若数列{}n a 是数列{}m b 的生成数列,且{}m b 生成{}n a 的控制函数为()g n , 则m b 中不超过()g n 的项数恰为n a ,即m b 中不超过()g n 的项数恰为2n ,所以221()n n b g n b +≤<,即222222n pn qn r n n ≤++<+对一切正整数n 都成立,即22(2)0(2)(2)0p n qn r p n q n r ⎧-++≥⎪⎨-+-->⎪⎩对一切正整数n 都成立, 故得2p =,且0(2)0qn r q n r +≥⎧⎨-->⎩对一切正整数n 都成立,故02q ≤≤,q Z ∈.又常数r Z ∈,当0q =时,02(1)r n n ≤<≥,所以0r =,或1r =;当1q =时,(1)n r n n -≤<≥,所以0r =,或1r =-;当2q =时,20(1)n r n -≤<≥,所以2r =-,或1r =-;所以2()2g n n =,或221n +,或221n n +-,或22n n +,或2222n n +-,或2221n n +-(n N ). ………13分。

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北京市朝阳区高三年级第一次综合练习答案数学试卷(理工类)2016.3一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分. 1.答案:D 2. 答案:D 3.答案:A 4.答案:B 5.答案:C 6.答案:D 7.答案:A 8.答案:C二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡上. 9.答案:1010.答案:21n a n =-,(3)(411)n n ++11.答案:)4π 12.答案:3(,]4-∞ 13.答案:3(0,)414.答案:121||i i i a b =-∑ 22三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分13分)解析:解:(Ⅰ)当1ω=时,21()sin 22x f x x =+1sin 2x x = sin()3x π=+.令22,232k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z . 解得22,66k x k k 5πππ-≤≤π+∈Z . 所以()f x 的单调递增区间是[2,2],66k k k 5πππ-π+∈Z .……………………7分(Ⅱ)由21()sin 22x f x x ωω=+-1sin 2x x ωω= sin()3x ωπ=+.因为()13f π=,所以sin()133ωππ+=. 则2332n ωπππ+=π+,n ∈Z . 解得162n ω=+.又因为函数()f x 的最小正周期2T ωπ=,且0ω>,所以当ω12=时,T 的最大值为4π. ………………………………………13分 16.(本小题满分13分)解析:解:(Ⅰ)设事件A :从这个班级的学生中随机选取一名男生,一名女生,这两名学生阅读本数之和为4.由题意可知,13+41()128P A ⨯⨯=⨯4分(Ⅱ)阅读名著不少于4本的学生共8人,其中男学生人数为4人,故X 的取值为0,1,2,3,4.由题意可得44481(0)70C P X C ===; 134448168(1)7035C C P X C ====; 2244483618(2)7035C C P X C ====; 314448168(3)7035C C P X C ====;4448(4)C P X C ===所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的均值10123427070707070EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.…………10分 (Ⅲ)21s >22s .…………………………………………………………………………13分17.(本小题满分14分)解析:解:(Ⅰ)由已知1190A AB A AC ∠=∠=︒,且平面11AAC C ⊥平面11AA B B , 所以90BAC ∠=︒,即AC AB ⊥. 又因为1AC AA ⊥且1AB AA A = , 所以AC ⊥平面11AA B B .由已知11//AC AC ,所以11AC ⊥平面11AA B B . 因为AP ⊂平面11AA B B ,所以11AC AP ⊥.…………………………………………………………………………4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知1,,AC AB AA 两两垂直.分别以1,,AC AB AA 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示. 由已知 11111222AB AC AA AB AC =====, 所以(0,0,0),(0,2,0),(2,0,0),A B C 1(0,1,2)B ,1(0,0,2)A .因为M 为线段BC 的中点,P 为线段1BB 的中点,所以3(1,1,0),(0,,1)2M P .易知平面ABM 的一个法向量(0,0,1)=m . 设平面APM 的一个法向量为(,,)x y z =n ,由 0,0,AM AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得0, 30. 2x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 取2y =,得(2,2,3)=--n .由图可知,二面角P AM B --的大小为锐角,所以cos ,⋅〈〉===⋅m n m n m n .所以二面角P AM B --的余弦值为17.………………………………9分 (Ⅲ)存在点P ,使得直线1AC //平面AMP . 设111(,,)P x y z ,且1BP BB λ=,[0,1]λ∈,则111(,2,)(0,1,2)x y z λ-=-, 所以1110,2,2x y z λλ==-=.所以(0,2,2)AP λλ=-.设平面AMP 的一个法向量为0000(,,)x y z =n ,由 000,0,AM AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 得00000, (2)20. x y y z λλ+=⎧⎨-+=⎩ 取01y =,得02(1,1,)2λλ-=-n (显然0λ=不符合题意).又1(2,0,2)AC =- ,若1AC //平面AMP ,则10AC ⊥n . 所以10220AC λλ-⋅=--= n .所以23λ=. 所以在线段1BB 上存在点P ,且12BPPB =时,使得直线1AC //平面AMP .…………14分18.(本小题满分13分)解析: 解:(Ⅰ)函数()f x 的定义域为{}0x x >.()1a x a f x x x+'=+=. (1)当0a ≥时,()0f x '>恒成立,函数()f x 在(0,)+∞上单调递增; (2)当0a <时, 令()0f x '=,得x a =-.当0x a <<-时,()0f x '<,函数()f x 为减函数;当x a >-时,()0f x '>,函数()f x 为增函数.综上所述,当0a ≥时,函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞.当0a <时,函数()f x 的单调递减区间为(0,)a -,单调递增区间为(+)a -∞,.……………………………………………………………………………………4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,(1)当1a -≤时,即1a ≥-时,函数()f x 在区间[]1,2上为增函数,所以在区间[]1,2上,min ()(1)1f x f ==,显然函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零; (2)当12a <-<时,即21a -<<-时,函数()f x 在[)1a -,上为减函数,在(],2a - 上为增函数,所以min ()()ln()f x f a a a a =-=-+-.依题意有min ()ln()0f x a a a =-+->,解得e a >-,所以21a -<<-. (3)当2a -≥时,即2a ≤-时,()f x 在区间[]1,2上为减函数, 所以min ()(2)2+ln 2f x f a ==. 依题意有min ()2+ln 20f x a =>,解得2ln 2a >-,所以22ln 2a -<≤-. 综上所述,当2ln 2a >-时,函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零.………………8分 (Ⅲ)设切点为000,ln )x x a x +(,则切线斜率01a k x =+, 切线方程为0000(ln )(1)()ay x a x x x x -+=+-. 因为切线过点(1,3)P ,则00003(ln )(1)(1)ax a x x x -+=+-. 即001(ln 1)20a x x +--=. ………………① 令1()(ln 1)2g x a x x =+--(0)x >,则2211(1)()()a x g x a x x x -'=-=. (1)当0a <时,在区间(0,1)上,()0g x '>,()g x 单调递增;在区间(1,)+∞上,()0g x '<,()g x 单调递减,所以函数()g x 的最大值为(1)20g =-<. 故方程()0g x =无解,即不存在0x 满足①式. 因此当0a <时,切线的条数为0.(2)当0a >时, 在区间(0,1)上,()0g x '<,()g x 单调递减,在区间(1,)+∞上,()0g x '>,()g x 单调递增, 所以函数()g x 的最小值为(1)20g =-<.取21+1ee ax =>,则221112()(1e1)2e 0aa g x a a a----=++--=>. 故()g x 在(1,)+∞上存在唯一零点.取2-1-21e<e ax =,则221122()(1e 1)2e 24a ag x a a a a++=--+--=--212[e 2(1)]a a a +=-+. 设21(1)t t a=+>,()e 2t u t t =-,则()e 2t u t '=-. 当1t >时,()e 2e 20t u t '=->->恒成立.所以()u t 在(1,)+∞单调递增,()(1)e 20u t u >=->恒成立.所以2()0g x >. 故()g x 在(0,1)上存在唯一零点.因此当0a >时,过点P (13),存在两条切线. (3)当0a =时,()f x x =,显然不存在过点P (13),的切线. 综上所述,当0a >时,过点P (13),存在两条切线; 当0a ≤时,不存在过点P (13),的切线.…………………………………………………13分19.(本小题满分14分)解析:解:(Ⅰ)由题意可知,24a =,22b =,所以22c =.因为P 是椭圆C 上的点,由椭圆定义得124PF PF +=.所以12PF F ∆的周长为4+易得椭圆的离心率=2c e a =.………………………………………………………4分 (Ⅱ)由2220,1,42y m x y -+=⎨+=⎪⎩得22480x m ++-=. 因为直线l 与椭圆C 有两个交点,并注意到直线l 不过点P ,所以22844(8)0,0.m m m ⎧-⨯->⎨≠⎩解得40m -<<或04m <<.设11(,)A x y ,22(,)B x y,则122x x m +=-,21284m x x -=, 112m y +=,222my +=. 显然直线PA 与PB 的斜率存在,设直线PA 与PB 的斜率分别为1k ,2k ,则12k k +=+211)(1)(x x -+-===28)(m m ----+==220==.因为120k k +=,所以PMN PNM ∠=∠.所以PM PN =. ………………………………………………………14分20.(本小题满分13分)解析:解:(Ⅰ)观察数列}{n a 的前若干项:2,5,8,11,14,17,20,23,26,29,32,35,….因为数列}{n a 是递增的整数数列,且等比数列以2为首项,显然最小公比不能是52,最小公比是4.(ⅰ)以2为首项,且公比最小的等比数列的前四项是2,8,32,128.(ⅱ)由(ⅰ)可知12b =,公比4q =,所以124n n b -=⋅.又31n n k n b a k ==-,所以13124,n n k n -*-=⋅∈N ,即11(241),3n n k n -*=⋅+∈N . 再证n k 为正整数. 显然11k =为正整数,2n ≥时,1222111(2424)24(41)2433n n n n n n k k ------=⋅-⋅=⋅⋅-=⋅,即2124(2)n n n k k n --=+⋅≥,故11(241),3n n k n -*=⋅+∈N 为正整数.所以,所求通项公式为11(241),3n n k n -*=⋅+∈N .……………………………………………………………………………6分(Ⅱ)设数列{}n c 是数列}{n a 中包含的一个无穷等比数列, 且115k c a ==,22231k c a k ==-, 所以公比2315k q -=.因为等比数列{}n c 各项为整数,所以q 为整数. 取252k m =+(m *∈N ),则13+=m q ,故15(31)n n c m -=⋅+.只要证15(31)n n c m -=⋅+是数列}{n a 的项,即证31n k -15(31)n m -=⋅+.只要证11[5(31)1]3n n k m -=++()n *∈N 为正整数,显然12k =为正整数.又2n ≥时,12215[(31)(31)]5(31)3n n n n n k k m m m m -----=+-+=+,即215(31)n n n k k m m --=++,又因为12k =,25(31)n m m -+都是正整数,故2n ≥时,n k 也都是正整数.所以数列{}n c 是数列}{n a 中包含的无穷等比数列,其公比13+=m q 有无数个不同的取值,对应着不同的等比数列, 故数列}{n a 所包含的以52=a 为首项的不同无穷等比数列有无数多个. …………………………………………………………………………………………13分。

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