固体物理(清华大学)--N01_C02

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固体物理基础课后1到10题答案

一．本章习题

P272习题

1.试证理想六方密堆结构中c/a=.

一．说明：

C 是上下底面距离，a 是六边形边长。

二．分析：

首先看是怎样密堆的。

如图(书图(a)，P8)，六方密堆结构每个格点有12个近邻。

（同一面上有6个，上下各有3个）

上下底面中间各有一个球，共有六个球与之相切，每个球直径为a 。

中间层的三个球相切，又分别与上下底面的各七个球相切。球心之间距离为a 。所以球心之间即格点之间距离均为a （不管是同层还是上下层之间）。

三．证明：

如图OA=a ，OO ’=C/2（中间层是上下面层的一半），AB=a O ’是ΔABC 的三垂线交点

'a AB AO =

∴

（由余弦定理

)

330cos 2,30cos 230cos 2222a a x x a ax x a x ===-+=οο

633.13

22384132)2()2()3

()2(2

222

'≈===∴+=+=+

=a c c a a

c a a

c OA AO OO

2．若晶胞基矢c b a ρ

ρρ,,互相垂直，试求晶面族（hkl ）的面间距。

一、分析：

我们想到倒格矢与面间距的关系G d ρπ

2=。

倒格矢与晶面族（hkl ）的关系321b l b k b h G ρρρρ

++=

写出)(321b b b ρρρ与正格子基矢 )(c b a ρ

ρρ的关系。即可得与晶面族（hkl ）垂直的倒格矢G ρ。进而求

得此面间距d 。

二、解：

c b a ρρρΘ,,互相垂直，可令k c c j b b i a a ρρρρρρ

===,,

固体物理第一二章习题解答讲解学习

第一章习题

1.画出下列晶体的惯用原胞和布拉菲格子，指明各晶体的结构以及惯用原胞、初基原胞中的原子个数和

配位数。

(1)氯化钾；（2）氯化钛；（3）硅；（4）砷化镓；（5）碳化硅（6）钽酸锂；（7）铍；（8）钼；（9）铂。解：

名称分子式结构惯用元胞

布拉菲

格子初基元胞

中原子数

惯用元胞

中原子数

配位数

氯化钾KCl NaCl结构fcc 2 8 6 氯化钛TiCl CsCl结构sc 2 2 8 硅Si 金刚石fcc 2 8 4 砷化镓GaAs 闪锌矿fcc 2 8 4 碳化硅SiC 闪锌矿fcc 2 8 4

钽酸锂

LiTaO 3

钙钛矿

2、6、12

O 、Ta 、Li

铍

hcp

简单

六角

钼 Mo bcc

bcc 1 2 8

铂 Pt fcc

fcc 1 4 12

2. 试证明：理想六角密堆积结构的

8 1.6333c a ⎛⎫== ⎪⎝⎭。如果实际的c

值比这个数值大得多，可以把晶体视为由原子密排平面所组成，这些面是疏松堆垛的。

证明：如右图所示，六角层内最近邻原子间距为a ，而相邻两层的最近邻原子间距为：2

243⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=c a d 。

当d =a 时构成理想密堆积结构，此时有：2

43⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=c a a ，

由此解出：633.1382

=⎪

⎭

⎫

⎝⎛=a c 。

若

633.1>a

时，则表示原子平面的层间距较理想结构的层间距大，因此层间堆积不够紧密。

3. 画出立方晶系中的下列晶向和晶面：[101]、[110]、[112]、[121]、（110）、（211）、（111）、（112）。解：

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第1章绪论
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1 虚拟科学与工程
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1 Simulation-based Engineering and Science-SBES

(NEW)清华大学《839材料科学基础》-固体物理历年考研真题及详解

目　录

2009年清华大学材料科学基础（与物理化学或固体物理）考研真题及详解

2008年清华大学材料科学基础（与物理化学或固体物理）考研真题及详解

2007年清华大学材料科学基础（与物理化学或固体物理）考研真题及详解

2006年清华大学材料科学基础考研真题及详解

2005年清华大学材料科学基础考研真题及详解

2004年清华大学材料科学基础考研真题及详解

2003年清华大学材料科学基础考研真题（之一）及详解

2003年清华大学材料科学基础考研真题（之二）及详解

2002年清华大学材料科学基础考研真题及详解

2009年清华大学材料科学基础（与物理化学或固体物理）考研真题及详解

清华大学考研专业课839固体物理考试范围及历年真题汇编

第二卷固体物理知识点（参考黄昆的书，学有余力也建议学习韦丹固体物理，各有特色）

第一章晶体结构

1.1 晶格的相关概念及几种不同晶格

1.2 理解原胞概念

1.3 晶面晶向的标定

1.4 倒易点阵的定义及相关性质

1.5 立方体、正四面体、正六角柱的对称操作

1.6 五种旋转对称的推导

1.7 十四种布拉伐格子，结合材料科学基础，弄清楚。

1.8 表1-2记住，材科基会考

第二章固体的结合

2.1 离子性结合的特点，推导马德隆常数，系统内能的表示，求平衡距离和体变模量

2.2 共价结合的特点

2.3 金属性结合的特点，排斥作用来源

2.4 范德瓦尔斯结合的特点，Lennard-Jones 势的相关推导

第三章晶格振动与晶体的热学性质

3.1 了解简谐近似、简正坐标、振动模的概念

3.2 格波、声子概念，一维单原子链的色散关系等计算，q 的范围，长波极限特点

3.3 一维双原子链相关推导，q 的取值范围，声学波光学波的概念，长波极限的特点

3.4 声学波，光学波的数量判断，q 的分布密度，第一布里渊区的概念，画法

3.5 了解LST 关系

3.6 确定色散关系的几种方法及其原理

3.8 爱因斯坦模型和德拜模型的假设、结果、适用范围、缺陷及全部推导过程

3.9 不同条件下推导晶格振动模式密度

3.10 热膨胀产生原因

3.11晶格热传导原理，热导率的影响因素，N、U过程，不同温度下晶格热导原理第四章能带理论

4.1 布洛赫定理内容，简约波矢概念

4.2 一维周期长中求带隙大小，解释其成因

4.3 三维周期场的布里渊区和能带，SC、BCC、FCC的简约布里渊区及相关数据。结合2015年十一题和课后4.8弄懂图4-11

固体物理(清华大学)--N01_C03A

第三章：晶体结构(Crystal Structures)

3.1 晶格的几何描述(Geometrical description of crystals) （略）严格地讲，由于表面、原子振动、杂质(最小浓度为10-12cm-3)等的存在,没有完美的晶体.

“完美”晶体的讨论基于表面、振动、杂质等缺陷对要讨论的晶体性质的影响可忽略不计。

晶体的非完美性本身大多是很有意义的课题：例如原子振动之于电阻、杂质之于半导体等.

晶格(Crystal lattice)：用位于原子平衡位置的几何点替代每一个原子，结果得到一个与晶体几何特征相同、但无任何物理实质的几何图形（区分不同原子）.处于原子平衡位置的几何点被称为格点(Lattice site).

基矢(Basis)：在Bravais点阵中,人为选取的与晶格维数同样多的一组矢量,使得晶格中任意两个格点间的位移矢量(即格矢量,position vectors)可以表达为该组矢量的整数线性组合.基矢的选取不唯一。

在三维布拉伐晶格中, 格矢量

R na mb lc

=++，其中

a b c

,,为一组基

矢。二维布拉伐晶格中格矢量

R na mb

=+，其中

a b,为一组基矢。

原胞(Primitive unit cell)：产生完全平移覆盖的晶格最小单元。不唯一，以方便为准。同一晶格中的各种原胞选择之间体积大小相同.Bravais点阵的原胞只含一个原子,非Bravais点阵的原胞含多个原子。Wigner-Seitz原胞由Bravais点阵中以一个格点为中心的最短和次短的格矢量的中垂面围合而成。原胞与基矢的围合不一定一样(变形虫可以满铺二维空间).例子：三角晶格，计算面积。单胞(Conventional unit cell)：为更好显示晶格的旋转和镜像反射对称性而选的一倍或几倍于原胞的晶格单位. 注意单胞的定义与非Bravais点阵无关.晶格常数a通常指单胞的边长。例子：三角晶格。

固体物理-1.1-090214

（3）体心立方晶格
除顶角上有原子外，还有一个原子在立方体的中心。基矢:
a 1 a1 a b c i j k 2 2 a 1 a2 a b c i j k 2 2 1 a a3 a b c i j k 2 2
六、教材内容
通论部分：
1. 晶体结构
2. 晶体结合 3. 晶格振动和热学性质 4. 晶体中的电子——能带论 5. 金属电子论
6. 晶格缺陷和位错理论
专题部分
半导体电子论超导电性固体的磁性固体的光学过程与激子磁共振表面与界面物理介电体与铁电体
……
第一章晶体结构

理想晶体：内部结构完全规则的固体，又叫做完整晶体；实际晶体：固体中或多或少地存在有不规则性，在规则（排列）的背景中尚存在微量不规则性的晶体则叫做近乎完整的晶体。
二、固体物理的发展过程

十七世纪惠更斯试图以椭球堆积的模型来解释方解石的双折射性质和解理面；十八世纪，阿羽依认为方解石晶体是由一些坚实的、相同的、平行六面形的小“基石”有规则地重复堆集而成的；十九世纪中叶，布喇菲发展了空间点阵学说，概括了晶格周期性的特征。 20世纪初， X 射线提供了人类直接窥探晶体内部结构的工具；量子理论使人们能够更加深入和比较正确地描述晶体内部微观粒子的运动过程。 20 世纪四十年代末、五十年代初，以锗、硅为代表的半导体单晶的出现并制成了晶体三极管，进而产生了半导体物理。

清华大学固体物理：第六章晶格动力学

6. 1

固体物理性质的变化依赖于他们的晶格动力学行为：红外、拉曼和中子散射谱；比热，热膨胀和热导；

和电声子相互作用相关的现象如金属电阻，超导电性和光谱的温度依赖关系是其中的一部分。事实上，

借助于声子对这些问题的了解最令人信服地说明了訂前固体的量子力学图像是正确的。

晶格动力学的基础理论建立于30年代，玻恩和黄昆1954年的专题论文至今仍然是这个领域的参考教科书。这些早期的系统而确切地陈述主要建立了动力学矩阵的一般性质，他们的对称和解析性质，没有

考虑到和电子性质的联系，而实际上正是电子性质决定了他们。直到1970年才系统地研究了这些联系。一个系统电子的性质和晶格动力学之间的联系的重要性不仅在原理方面，主要在于通过使用这些关系，

才有可能讣算特殊系统的晶格动力学性质。

现在用db initio量子力学技术，只要输入材料化学成分的信息，理论凝聚态物理和计算材料科学就

可以il•算特殊材料的特殊性质。在晶格动力学性质的特殊情况下，基于晶格振

动的线性响应理论，大量

的ab initio计算在过去十年中通过发展密度泛函理论已经成为可能。密度泛函微扰理论是在密度泛函理

论的理论框架之内研究晶格振动线性响应。感谢这些理论和算法的进步，现在已经可以在整个布里渊区

的精细格子上精确讣算出声子色散关系，直接可以和中子衍射数据相比。山此系统的一些物理性质(如

比热、熱膨胀系数、能带隙的温度依赖关系等等)可以计算。1

从固体电子自山度分离出振动的基本近似是Born-Oppenhermer (1927)的绝热近似。在这个近似中，系统的晶格动力学性质曲以下薛定涔方程的本征值,R和本征函数决定。，

【讲义】固体物理N01_C03C

X 射线衍射的实验方法与实验原理：（略）

1。旋转晶体法：

特点：入射X 射线是单波长的。测量衍射光束与入射束夹角为，由布拉格定律以及出射、入射衍射光束的波矢差可得沿晶面法线方向的倒格矢 G hkl ： s k n ha ka la nG hkl =-=++=01232122(cos ,sin cos ,sin sin )()***θθφθφ。

测量衍射光斑强度可得几何结构因子F hkl 。由于旋转,每个晶面对应的光斑原则上都可以出现.从而确定晶体对应的Bravais 点阵。

2。劳厄法(Laue)：

特点：入射的是连续谱X 射线，胶片上可知衍射角。在确知固定的晶体的方位（即基矢和倒格矢）后，可以知道λ G hkl 。对应每一个光斑的波长是未知的，只能知道晶面间距与

波长的比。因此只能根据光斑分析单胞的性状而不知绝对大小。如果入射波矢平行与晶体

的某一对称轴，衍射花样会呈现此轴具有的对称性。

3。粉末法：实验设备与旋转晶体法类似，但是首先样品不是一块晶体而是放在圆柱形玻璃管中的小晶粒粉末，另外由于各向同性样品不用旋转。入射线也是单色的。衍射花样不是光斑状的而是圆环状的，因为因为同一组晶面在各方向都有。此法不能确定结构，但在结构已知的情况下可精确定出晶格参数：2d n sin θλ=。

3.6 点缺陷，热运动与离子导电（略）

本章1-3节讨论了完美晶体的结构。真实晶体的缺陷可以有各种形式，本节讨论最低维—零维缺陷，即点缺陷。

离子晶体在高温下有良好的导电性，如果离子晶体中的所有离子都固定在晶格格点上，就不可能理解电流的形成。在高温下，由于热涨落，晶体中会形成空位(Hole)与间隙原子(Interstitials)。离子晶体中的空位与间隙原子带电荷，在外加电场中有一个平均的移动速度，形成电流，从而使离子晶体导电。

清华大学固体物理期末考试卷

⒈ 写
2.金是什佟结合类墼
愠孝 fT系 l弭军
l暴
利用这种结合类犁自
(根据回忆整理 )
(α :吃氵 ζ ″ ′ 辶轸萑廴海边阝
q膣弱扫饵・垄口茄邻彳
1)一个原子有几个最近邻原子 ,几个次近邻原子。最疽嗫螽譬轱锾拦龋链嵩分另刂是多
^寺
Ι ζ 蕊面氨摆 ∵ 《
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j1t￠ l书垫由忍 i=麻森羹 ¨ 蠡怔 ˇ 淮冖 ˉ 蠹攴氇髦轧 ⊥ 刀窍皙巨絮 u主泣 wˇ 哪时 ˉ
2)正点阵和倒点阵是是什么点阵类型,第一布区什么形状?
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1…
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y.用 7.用
(关于晶向指数、晶面指数、密勒指数的计算)。
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ˉ ∴ 温下陋迈似拊论高嗣氐 %。 v° 并讨论鬲温和低温下钓麒莛腥望垫馔鹦盱托 P。
″ `A~i
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※ 推导三维自由电子气零温费能。(甲知 ?汐串子浓 ~嚅嚯古 λ 忄 9√ 分别写出Mn3+(3俨 )和 Coz+(3d9)的壳层电子排布、s、

固体物理习题解答-完整版

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2
《固体物理》习题解答
CA =
a1 a3 a a − , CB = 2 − 3 h1 h3 h2 h3
容易证明
Gh1h2 h3 ⋅ CA = 0 Gh1h2 h3 ⋅ CB = 0
G = h1b1 + h2b2 + h3b3 与晶面系 (h1h2 h3 ) 正交。
1.6 如果基矢 a , b , c 构成简单正交系证明晶面族 ( hkl ) 的面间距为 d = 1
=0 mα nβ − m +1 + n +1 = 0 r0 r0
1 nβ n − ) m r0 = ( mα
dU 平衡条件 dr
r = r0
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6
《固体物理》习题解答
2)
单个原子的结合能 W = −
1 u (r0 ) 2 1 m nβ n−−m W = α (1 − )( ) m 2 n mα
可见由 b1 , b2 , b3 为基矢构成的格子为体心立方格子 1.4 证明倒格子原胞的体积为
(2π )3 ，其中 v 0 为正格子原胞体积 v0
证
倒格子基矢 b1 = 2π
a2 × a3 a1 ⋅ a2 × a3 a3 × a1 a1 ⋅ a2 × a3 a1 × a2 a1 ⋅ a2 × a3

固体物理学习题解答(完整版)

《固体物理学》部分习题参考解答

第一章

1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以R f 和R b 代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问R f /R b 等于多少？

答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a ：

对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：R f

2 a 对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：R b

a 那么，

Rf Rb

31.2 晶面指数为（123）的晶面ABC 是离原点O 最近的晶面，OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，

a 2和a 3重合，除O 点外，OA ，OB 和OC 上是否有格点？若ABC 面的指数为（234），情况又如何？

答：根据题意，由于OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a 2和a 3重合，那么 1.3 二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。

答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分别如图所示：

1.4 在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil ）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a 1，a 2，a 3上的截距a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，第四个指数表示该晶面的六重轴c 上的截距c/l.证明：i=-（h+k ）并将下列用（hkl ）表示的晶面改用（hkil ）表示：（001）(133)(110)(323)（100）（010）(213)

固体物理期末复习题目及答案

第一章晶体结构

1、把等体积的硬球堆成下列结构，求球可能占据的最大体积和总体积之比。（1）简立方（2）体心立方（3）面心立方（4）金刚石解：（1）、简立方，晶胞内含有一个原子n=1，原子球半径为R ，立方晶格的顶点原子球相切，立方边长a=2R,体积为()3

2R ，

所以 ()33

344330.526

2n R R K V R πππ⋅==== （2）、体心立方晶胞内含有2个原子n=2，原子球半径为R ，晶胞边长为a ，立方晶格的体对角线原子球相切，体对角线长为4个原子半径，所以43

a R =

23330.68843n R R K V R πππ⋅⨯====⎛⎫

⎪⎝⎭

（3）、面心立方晶胞内含有4个原子n=4，晶胞的面对角线原子球相切，面对角线长度为4个原子半径，立方体边长为a,所以4

a R =

4442330.74642n R R K V R πππ⋅⨯====⎛⎫

⎪⎝⎭

(4)、金刚石在单位晶格中含有8个原子，碳原子最近邻长度2R 为体对角线

长，体对角线为83R a = 33

4483330.341683n R R K V R πππ⋅⨯====⎛⎫

⎪⎝⎭

2、证明面心立方和体心立方互为倒格子。

09级微电子学专业《固体物理》期末考复习题目

至诚学院信息工程系微电子学专业姓名：陈长彬学号： 210991803

3、证明：倒格子原胞体积为

()3

=，其中v c为正格子原胞的体积。

4、证明正格子晶面与倒格矢

正交。

5能写出任一晶列的密勒指数，也能反过来根据密勒指数画出晶列；能写出任一晶面的晶面指数，也能反过来根据晶面指数画出晶面。见课件例题以下作参考： 15.如图1.36所示，试求：

固体物理教程答案

【篇一：黄昆固体物理课后习题答案4】

>思考题

1.设晶体只有弗仑克尔缺陷, 填隙原子的振动频率、空位附近原子的振动频率与无缺陷时原子的振动频率有什么差异？

[解答]

正常格点的原子脱离晶格位置变成填隙原子, 同时原格点成为空位,

这种产生一个填隙原子将伴随产生一个空位的缺陷称为弗仑克尔缺陷. 填隙原子与相邻原子的距离要比正常格点原子间的距离小，填隙原子与相邻原子的力系数要比正常格点原子间的力系数大. 因为原子的振动频率与原子间力系数的开根近似成正比, 所以填隙原子的振动频率比正常格点原子的振动频率要高. 空位附近原子与空位另一边原子的距离, 比正常格点原子间的距离大得多, 它们之间的力系数比正

常格点原子间的力系数小得多, 所以空位附近原子的振动频率比正常格点原子的振动频率要低.

2.热膨胀引起的晶体尺寸的相对变化量?l/l与x射线衍射测定的晶格常数相对变化量?a/a存在差异，是何原因？

[解答]

la.

3.kcl晶体生长时，在kcl溶液中加入适量的cacl2溶液，生长的

kcl晶体的质量密度比理论值小，是何原因？

[解答]

2?2??由于ca离子的半径(0.99a)比k离子的半径(1.33a)小得不是

太多, 所以caoo

离子难以进入kcl晶体的间隙位置, 而只能取代k占据k离子的位置. 但ca

一价, 为了保持电中性(最小能量的约束), 占据k离子的一个

ca?2???2?比k高?将引起相邻的一个k?变成空位. 也就是说, 加入的cacl2越多, k?空位就越多. 又因为ca的原子量(40.08)

清华大学固体物理：固体物理习题解答

1，设晶体中每个振子的零点振动能为

ω，使用德拜模型求晶体的零点振动能。证明:根据量子力学零点能是谐振子所固有的，与温度无关，故T=0K 时振动能0E 就是各振动模零点能之和。()()()0000

12m

E E g d E ωωωωωω=

⎰

将和()22332s

g v ωωπ=代入积分有 4

023

39168

m m s V E N v ωωπ=

=，由于098m B D B D k E Nk ωθθ==得一股晶体德拜温度为~2

10K ，可见零点振动能是相当大的，其量值可与温升数百度所需热能相比拟． 2，根据k a

=±

状态简并微扰结果，求出与E -及E +相应的波函数ψ-及ψ+?，并说明它们

的特性．说明它们都代表驻波，并比较两个电子云分布2

ψ说明能隙的来源(假设n V =*n V )。

＜解＞令k a

，k a

'=-

，简并微扰波函数为00()()k k A x B x ψψψ=+

()0n E k E A V B ⎡⎤-+=⎣⎦

()0

0n V A E k E B '⎡⎤+-=⎣⎦ 取E E +=

带入上式，其中0()n E E k V +=+

V(x)<0,0n V <,从上式得到B= -A,于是

0()()n n i x i x a a

k A x x e e ππψψψ-'

+⎡⎤⎡⎤=-=-⎢⎥

⎣⎦⎣⎦

n x a π 取E E -=，0()n E E k V -=- ,n n V A V B A B =-=得到

0()()n n i x i x a

a k

k A x x e e ππ

固体物理课件ppt完全版_图文

[[x3 ,y3 ,z3]]
计算方法②
p
具体步骤：倒数比，互质整数比
m
n
1·以各晶轴点阵常数（晶格常数）为度量单位，求出晶面与三个晶轴的截距 m、n、p;
2·取以上截距的倒数 1/m、1/n、1/p;
3·将以上三数值简化为比值相同的三个最小简单整数，即 1/m、1/n、1/p = h/E : K/E : l/E= h : k : l, 其中E 为m、n、p 三数的最小公倍数， h 、 k 、l 为简单整数；
六角密排晶格的堆积方式
A
a
B c
六角密排晶格结构的典型单元
六角密排晶格结构的原胞
五、金刚石晶体结构
1·特点：每个原子有4 个最近邻，它们正好在一个正四面体的顶角位置
2·堆积方式：立方单元体内对角线上的原子 — A 面心立方位置上的原子 — B
金刚石晶格
A、B 两个面心立方晶格套成
相对位移 = 对角线的1/4
a 为晶格常数
简单立方晶格原胞
二、面心立方晶格（face-centered cubic — fcc）
1·配位数：每个原子在上、下平面位置对角线上各有四个最近邻原子 — 配位数为12
2·堆积方式：ABC ABC ABC……,是一种最紧密的排列方式，常称为立方密排晶格
3·原胞: 由一个立方体顶点到三个近邻的面心引晶格基矢，得到以这三个晶格基矢为边的原胞