高中数学新课程创新教学设计案例函数的表示方法

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高中数学新课程创新教学设计案例--二次函数

精心整理10二次函数教材分析二次函数是重要的基本函数之一，由于它存在最值，因此，其单调性在实际问题中有广泛的应用，并且它与前面学过的二次方程有密切联系，又是后面学习解一元二次不等式的基础．二次函数在初中学生已学过，主要是定义和解析式，这里，在此基础上，接着学习二次函数的性质与图像，进而使学生对二次函数有一个比较完整的认识．本节先研究特殊的二次函数y＝ax2，（a≠0）的图像与a值的关系，这可通过a在0的附近取值画图观察得到．然后，通过一个实例，如y＝x2＋4x＋6，研讨二次函数的性质与图像．最后，总结出一般性结论．这节内容的重点是二次函数的性质，即顶点坐标、对称轴方程、二次函数的单调性及其图像，难点是用配方法把y＝ax2＋bx ＋c21.2.3.与a1.2.（1）y（53.4.x）＝x（1（2）问：它有没有最值？若有最大（小）值，最大（小）值是多少？试求出此时对应的自变量ｘ的值．（3）画出它的图像．（4）它的图像有没有对称轴？如果有，位置如何？（5）确定函数的单调区间．1.先让学生独立解答问题1，然后师生共同确定答案（1）令y＝0，即x2＋4x＋6＝０，解得x1＝－6，x2＝－2．∴与ｘ轴交于两点（－6，0），（－2，0）．（2）将原式配方，得f（x）＝x2＋4x＋6＝（x2＋8x＋12）＝（x2＋8x＋16－16＋12）＝（x＋4）2－2．∵对任意x∈R，都有（x＋4）2≥0，∴f（x）≥－2，当且仅当x＝－4时，取“＝”号．∴函数有最小值是－2，记作y min＝－2，此时x＝－4．（3）以x＝－4为中间值，取x的一些值列表如下：表10-1描点，画图．（4）由上表及图像推测：二次函数f（x）的图像存在对称轴，并且对称轴过点（－4，－2），与y轴平行．（5）观察图像知：二次函数f（x）在（－∞，－4］上是减函数，在（－4，＋∞）上是增函数．2.（1x2）．（2）＝x4．（3）把f x）＝（4x（5＋的形式，1.＝－，2.（1）当a＞0时，抛物线开口向上，函数在（－∞，－］上递减，在［－，＋∞）上递增，当x＝－时，［f（x）］min＝．（2）当a＜0时，抛物线开口向下，函数在（－∞，－］上递增，在［－，＋∞）上递减，当x＝－时，［f（x）］max＝．思考：（1）二次函数的图像一定与x轴或y轴相交吗？（2）函数y＝（x－1）2＋2，x∈［2，3］的最小值是2吗？四、解释应用［例题］1.求函数y＝3x2＋2x＋1的最小值和它的图像的对称轴，并指出它的单调性．注：可利用上面的性质直接写出答案．2.某商品在最近一个月内价格f（t）与时间t的函数关系式是f（t）＝＋22，（0≤t≤30，t∈N），售量g（t）与时间t的函数关系是g（t）＝－，（0≤t≤30，t∈N）．求这种商品的日销售额的最大值．∵t∈N，∴当t＝，不能使．［练1.2.3.4.抛物线1.2.3.＝－点评效果．。

函数的表示方法(1)教案及说课稿

人教B版数学必修1第二章函数2.1.2 函数的表示方法（第1课时）教案及说课稿新宾县朝鲜族中学李锦玉2019年10月11日2.1.2 函数的表示方法（第1课时）教案教学目标：知识与技能掌握函数的三种表示方法：列表法、图象法、解析法，体会表示方法的特点。

过程与方法能根据实际情景选择恰当的方法表示一个函数以获取有用的信息，培养学生灵活运用知识的能力；初步体会用函数知识解决实际问题的方法。

情感态度与价值观体会数形结合思想在理解函数概念中的重要作用，在图形的变化中感受数学的直观性。

重点函数的三种表示方法的简单运用。

难点根据不同的需要选择恰当的表示方法表示一个函数。

教学准备教学环节问题预设师生互动设计意图引入课题课前作业：某种笔记本的单价是2元，买X 个笔记本需要y元。

你能用几种方法表示这个函数？想一想：每个函数都可以有列表法、图象法、解析法三种形教师：出示课前作业题，展示学生作业。

师生：共同检查评议。

教师：提示解题规律学生举例说明在学生原有认知的基础上，借助“现实生活中的实例”为学习函数表示法作铺垫，注重知识之间的联系，调动2.1.2 函数的表示方法（第1课时）说课稿根据本节教材的特点和教学内容的结构特征，依据学生的认知规律，结合学生的实际水平，制定本节课的教学设计说明如下：一、说教材《函数的表示方法》是高中新教材人教B版必修1第二章第一节第二部分的内容。

学生在初中已经接触过较简单函数的一些不同表示方法，在高中阶段继函数的概念、定义域、值域之后学习函数的表示方法，这部分属于函数三要素之一，即对应关系的表达方式。

学习函数的表示法，不仅是研究函数本身和应用函数解决实际问题所必须涉及的问题，也是加深对函数概念理解所必须的，同时，基于高中阶段所接触的许多函数均可用几种不同的方法表示，因而学习函数的表示也是领悟数学思想方法（如数形结合、化归等）、学会根据问题需要选择表示方法的重要过程。

二、说学情本人所教的高一学生（16人）课堂纪律较好，但数学基础不够扎实，思维不够活跃，逻辑推理和分析概括的能力较弱。

高中数学教案《函数的概念及其表示》

教学计划：《函数的概念及其表示》一、教学目标1.知识与技能：o学生能够理解并掌握函数的基本概念，包括自变量、因变量、函数定义域和值域。

o学生能够识别函数关系，并用不同的方式（如解析式、表格、图像）表示函数。

o学生能够区分函数与非函数关系，理解函数关系的唯一对应性。

2.过程与方法：o通过实例分析，引导学生从具体到抽象地理解函数概念。

o运用对比、归纳等方法，帮助学生掌握函数的不同表示方法。

o通过小组合作探究，培养学生的合作学习能力和问题解决能力。

3.情感态度与价值观：o激发学生对数学学习的兴趣，培养探究数学规律的精神。

o引导学生认识到函数在现实生活中的应用价值，增强数学应用的意识。

o通过解决问题，培养学生的耐心、细致和严谨的科学态度。

二、教学重点和难点●重点：函数的基本概念及其三种表示方法（解析式、表格、图像）。

●难点：理解函数关系的唯一对应性，区分函数与非函数关系；灵活运用不同方式表示函数。

三、教学过程1. 导入新课（5分钟）●生活实例引入：通过日常生活中的实例（如气温随时间变化、汽车速度与行驶时间的关系等），引导学生思考这些关系中是否存在一个变量随另一个变量变化而变化的规律。

●提出问题：这些关系中的两个变量之间是如何相互影响的？能否用数学语言来描述这种关系？●明确目标：引出函数的概念，并说明本节课将要学习的内容。

2. 概念讲解（15分钟）●函数定义：详细讲解函数的基本概念，包括自变量、因变量、函数关系以及定义域和值域的概念。

●实例分析：结合生活实例，分析哪些关系可以构成函数，哪些不能，强调函数关系的唯一对应性。

●表示方法：介绍函数的三种表示方法（解析式、表格、图像），并举例说明每种方法的应用场景。

3. 案例分析（10分钟）●典型例题：选取几道具有代表性的例题，通过分析题目中的变量关系，引导学生判断是否为函数关系，并尝试用不同方式表示该函数。

●师生互动：在例题讲解过程中，适时提问引导学生思考，鼓励学生尝试自己解答或提出疑问。

【创新设计】高中数学（人教版必修一）配套练习：1.2.2函数的表示法第1课时（含答案解析）

1.2.2 函数的表示法第1课时函数的表示法课时目标 1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当方法表示函数．会根据不同的需要选择恰当方法表示函数．函数的三种表示法函数的三种表示法(1)解析法——用____________表示两个变量之间的对应关系；表示两个变量之间的对应关系； (2)图象法——用______表示两个变量之间的对应关系；表示两个变量之间的对应关系； (3)列表法——列出______来表示两个变量之间的对应关系．来表示两个变量之间的对应关系．一、选择题一、选择题1．一个面积为100 cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为( )A ．y ＝50x(x>0)B ．y ＝100x(x>0)C ．y ＝50x (x>0)D ．y ＝100x(x>0) 2．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．33．如果f(1x )＝x1－x ，则当x≠0时，f(x)等于( ) A.1x B.1x －1 C.11－xD.1x －1 4．已知f(x)＝2x ＋3，g(x ＋2)＝f(x)，则g(x)等于( ) A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3D ．2x ＋7 5．若g(x)＝1－2x ，f[g(x)]＝1－x 2x 2，则f(12)的值为( ) A ．1 B ．15 C ．4D ．306．在函数y ＝|x|(x ∈[－1,1])的图象上有一点P(t ，|t|)，此函数与x 轴、直线x ＝－1及x ＝t 围成图形(如图阴影部分)的面积为S ，则S 与t 的函数关系图可表示为( )题号 1 2 3 4 5 6 答案二、填空题二、填空题7．一个弹簧不挂物体时长12 cm ，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例．如果挂上3 kg 物体后弹簧总长是13.5 cm ，则弹簧总长y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式为_________________________________________________________ _______________．8．已知函数y ＝f(x)满足f(x)＝2f(1x )＋x ，则f(x)的解析式为____________．9．已知f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x ＋8，则f(x)的解析式为__________________．三、解答题三、解答题10．已知二次函数f(x)满足f(0)＝f(4)，且f(x)＝0的两根平方和为10，图象过(0,3)点，求f(x)的解析式．的解析式．11．画出函数f(x)＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题：的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f(0)、f(1)、f(3)的大小；的大小； (2)若x 1<x 2<1，比较f(x 1)与f(x 2)的大小；的大小； (3)求函数f(x)的值域．的值域．能力提升12．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6·时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x]([x]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( ) A ．y ＝[x10] B ．y ＝[x ＋310]C．y＝[x＋410]10] D．y＝[x＋513．设f(x)是R上的函数，且满足f(0)＝1，并且对任意实数x，y，有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x)的解析式．的解析式．1．如何作函数的图象．如何作函数的图象一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式(可能有的要表示为分段函数)，再列表描出图象，并在画图象的同时注意一些关键点，如与坐标轴的交点、分段函数的区间端点等．2．如何求函数的解析式．如何求函数的解析式求函数的解析式的关键是理解对应关系f的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)．1．2.2 函数的表示法第1课时函数的表示法知识梳理知识梳理(1)数学表达式数学表达式 (2)图象图象 (3)表格表格作业设计作业设计1．C [由x ＋3x 2·y ＝100，得2xy ＝100.∴y ＝50x(x>0)．]2．B [由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，也可由题干中的“至少打开一个水口”知③错．] 3．B [令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f(1x )＝x1－x，则有f(t)＝1t1－1t＝1t －1，故选B.]4．B [由已知得：g(x ＋2)＝2x ＋3，令t ＝x ＋2，则x ＝t －2，代入g(x ＋2)＝2x ＋3，则有g(t)＝2(t －2)＋3＝2t －1，故选B.] 5．B [令1－2x ＝12，则x ＝14，∴f(12)＝1－(14)2(14)2＝15.]6．B [当t<0时，S ＝12－t 22，所以图象是开口向下的抛物线，所以图象是开口向下的抛物线，顶点坐标是顶点坐标是(0，12)；当t>0时，S ＝12＋t 22，开口是向上的抛物线，顶点坐标是(0，12)．所以B 满足要求．]7．y ＝12x ＋12解析解析设所求函数解析式为y ＝kx ＋12，把x ＝3，y ＝13.5代入，得13.5＝3k ＋12，k ＝12. 所以所求的函数解析式为y ＝12x ＋12.8．f(x)＝－x 2＋23x (x≠0) 解析解析 ∵f(x)＝2f(1x )＋x ，①，① ∴将x 换成1x ，得f(1x )＝2f(x)＋1x .②由①②消去f(1x )，得f(x)＝－23x －x3，即f(x)＝－x 2＋23x (x≠0)．9．f(x)＝2x ＋83或f(x)＝－2x －8解析解析设f(x)＝ax ＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax ＋b)＝a 2x ＋ab ＋b.∴îïíïìa 2＝4ab ＋b ＝8，解得îïíïìa ＝2b ＝83或îïíïìa ＝－2b ＝－8. 10．解．解设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)．由f(0)＝f(4)知îïíïìf(0)＝c ，f(4)＝16a ＋4b ＋c ，f(0)＝f(4)，得4a ＋b ＝0.① 又图象过(0,3)点，点，所以c ＝3.②设f(x)＝0的两实根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca .所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(－b a)2－2·c a＝10.即b 2－2ac ＝10a 2.③由①②③得a ＝1，b ＝－4，c ＝3.所以f(x)＝x 2－4x ＋3.11．解．解因为函数f(x)＝－x 2＋2x ＋3的定义域为R ，列表：，列表：x … －2 －1 0 1 2 3 4 … y… －5343－5…连线，描点，得函数图象如图：连线，描点，得函数图象如图：(1)根据图象，容易发现f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0，所以f(3)<f(0)<f(1)．(2)根据图象，容易发现当x 1<x 2<1时，有f(x 1)<f(x 2)．(3)根据图象，根据图象，可以看出函数的图象是以可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，为顶点，开口向下的抛物线，开口向下的抛物线，开口向下的抛物线，因此，因此，因此，函数的函数的值域为(－∞，4]．12．B [方法一方法一特殊取值法，特殊取值法，若若x ＝56，y ＝5，排除C 、D ，若x ＝57，y ＝6，排除A ，所以选B.方法二方法二设x ＝10m ＋α(0≤α≤9)，0≤α≤6时，时， [x ＋310]＝[m ＋α＋310]＝m ＝[x 10]，当6<α≤9时，[x ＋310]＝[m ＋α＋310]＝m ＋1＝[x 10]＋1，所以选B.]13．解．解因为对任意实数x ，y ，有，有 f(x －y)＝f(x)－y(2x －y ＋1)，所以令y ＝x ，有f(0)＝f(x)－x(2x －x ＋1)，即f(0)＝f(x)－x(x ＋1)．又f(0)＝1， ∴f(x)＝x(x ＋1)＋1＝x 2＋x ＋1.。

函数的概念及其表示(第三课时教学设计)-高中数学人教A版2019必修第一册

3.1函数的概念及其表示（第三课时）教学设计一、内容及内容解析（一）教学内容1.函数的表示法；2.分段函数。

（二）教学内容解析学生在初中阶段已经接触了函数的三种表示，本节课直接给出函数的三种表示方法，并通过典型例题训练学生选择适当的方法表示函数，并且通过例题引进分段函数。

学习函数的表示，不仅是研究函数本身和应用函数模型解决实际问题的需要，而且是进一步理解函数概念，深化对具体函数模型的认识需要。

同时，基于高中所涉及的函数大多数均可用几种不同的方式表示，因此学习函数的表示也是向学生渗透数形结合的思想，培养学生直观想象素养的重要过程。

（三）教学重点函数的三种表示法及各自的优缺点，分段函数。

二、教学目标1.通过研究实例，能总结出函数三种表示法各自的特点，体会数形结合的思想．2.通过用图象法表示一些函数，能利用函数图象探索解决问题的思路，体会利用图象简化代数运算的过程．3.通过具体实例，能认识分段函数，并能简单应用．三、教学问题诊断分析问题：提炼函数的三种表示法各自的优缺点。

突破：课本3.1.1中四个实例为学习函数的三种表示方法做了铺垫。

在实际教学中，先引导学生比较三种表示方法各自的特点，再师生一起进行评价并总结。

四、教学支持条件为了增加学生对分段函数的理解，可以利用GGB软件，作出图像，让学生观察各段图象函数解析式.五、教学过程设计上一节我们已经学习过了函数的概念，那么函数的具体表示方法有哪些呢，在不同的情境中函数如何表示呢？带着这样的疑问来深入学习一下本节课的内容吧.问题1：我们在初中已经接触过函数的三种表示法，分别是什么？如何表示？师生活动：教师提出问题，学生观察思考后回答问题.根据学生的回答，教师进行必要的补充.解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系.设计意图：本节课就是学习函数的三种表示方法，通过回顾初中函数表示的三种方法，为后面的学习奠定基础。

高中数学必修一函数的表示方法(第二课时)教案

1.2.2 函数的表示方法（第二课时）教学目标：1.进一步理解函数的概念；2.使学生掌握分段函数及其简单应用。

教学重点：分段函数的理解教学难点：分段函数的图象及简单应用教学方法：自学法和尝试指导法教学过程：（Ⅰ）引入问题1．函数有几种常用的表示方法？它们分别是哪几种？2．如何作出函数y x =的图象？（II ）讲授新课例1．作出函数y x =的图象和1y x =-的图象，并分别求出函数的值域。

注：分段函数的定义域和值域分别是各段函数的定义域和值域的并集。

例2．国内投寄信函（外埠），假设每封信函不超过20g 时付邮资80分；超过20g 不超过40g 时付邮资160分；依次类推，每封xg(100x 0≤<)的信函付邮资为：()(](](](]⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈∈∈∈∈=)100,80x (400)80,60x (320)80,60x (240)40,20x (160)20,0x (80y , 画出这个函数的图象。

说明：表示函数的式子也可以不止一个（如例1与例2），对于这类分几个式子表示的函数称为分段函数。

注意它是一个函数，不要把它误认为是“几个函数”。

例3．（教材24P 例6）例4．作出下列各函数的图象：（1）1(01)()(1)x f x x x x ⎧<<⎪=⎨⎪≥⎩；（2）222(0)()2(0)x x x f x x x x ⎧+≥=⎨--<⎩ 对第（2）小题的函数，试根据a 的取值讨论方程()f x a =的根的个数问题。

练习：1．在函数22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩中，若()3f x =，则x 的值为。

2．已知1(0)()(0)0(0)x x f x x x π+>⎧⎪==⎨⎪<⎩，则{[(1)]}f f f -= 。

作业：课本P 28习题1.2第10、11、12、13题。

1.2.2 函数的表示方法（第三课时）教学目标：1.使学生了解映射的概念、表示方法；2.使学生了解象、原象的概念；3.使学生通过简单的对应图示了解一一映射的概念；4.使学生认识到事物间是有联系的，对应、映射是一种联系方式。

高中数学新课程创新教学设计案例--直线方程的几种形式

23直线方程的几种形式教材分析这节内容介绍了直线方程的几种要紧形式：点歪式、两点式和一般式，并简单介绍了歪截式和截距式．直线方程的点歪式是其他直线方程形式的本源，因此它是本节学习的重点．在推导直线方程的点歪式时，要使学生理解：〔1〕建立点歪式的要紧依据是，通过直线上一个定点与这条直线上任意一点的直线是唯一的，其歪率等于k．〔2〕在得出方程后，要把它变成方程y－y1＝k〔x－x1〕．因为前者表示的直线缺少一个点P1〔x1，y1〕，而后者才是这条直线的方程．〔3〕当直线的歪率不存在时，不能用点歪式求它的方程，这时的直线方程为x＝x1．在学习了点歪式的本源上，进一步介绍直线方程的其他几种形式：歪截式、两点式、截距式和一般式，并探究它们的适用范围和相互联系与区不．通过研究直线方程的几种形式，指出它们基本上关于x，y的二元一次方程，然后从两个方面进一步研究直线和二元一次方程的关系，使学生明确一个重要事实：在平面直角坐标系中，任何一条直线的方程，都能够写成关于x，y的一次方程；反过来，任何一个关于x，y的一次方程都表示一条直线，为以后接着学习“曲曲折折线和方程〞打下本源．因为这局限内容较为抽象，因此它是本节学习的难点．教学目标1.在“直线与方程〞和直线的歪率本源上，引导学生探究由一个点和歪率推导出直线方程，初步体会直线方程建立的方法．2.理解和把握直线方程的点歪式，并在此本源上研究直线方程的其他几种形式，把握它们之间的联系与区不，并能依据条件熟练地求出直线方程．3.理解直线和二元一次方程的关系，并能用直线方程解决和研究有关咨询题．4.通过直线方程几种形式的学习，初步体会知识发生、开发和运用的过程，培养学生多向思维的能力．任务分析这节内容是在学习了直线方程的概念与直线的歪率本源上，具体地研究直线方程的几种形式，而这几种形式的要害是推导点歪式方程．因此，在推导点歪式方程时，要使学生理解：明确直线的歪率和直线上的一个点，这条直线就确定了，进而直线方程也就确定了．求直线方程确实是基本把直线上任一点用歪率和直线上明确点来表示，如此由两点的歪率公式即可推出直线的点歪式方程．在直线的点歪式方程本源上，由学生推出直线方程的其他几种形式，并使学生明确直线方程各种形式的使用范围，以及它们之间的联系与区不．关于直线和方程的一一对应关系是本节课的难点，在论证直线和方程的关系时，一方面分歪率存在与歪率不存在两类，另一方面又分B≠0与B＝0两类．这种“两分法〞的分类，科学严密，可培养学生全面系统和周密地讨论咨询题的能力．教学设计一、咨询题情境飞逝的流星形成了一条漂亮的弧线，这条弧线能够瞧作满足某种条件的点的集合．在平面直角坐标系中，直线也能够瞧作满足某种条件的点的集合．为研究直线咨询题，须要建立直线的方程．直线可由两点唯一确定，也可由一个点和一个方一直确定．假如明确直线上一个点的坐标和歪率，那么如何建立这条直线的方程呢？二、建立模型1.教师提出一个具体的咨询题假如直线l通过点A〔－1，3〕，歪率为－2，点P在直线l上运动，那么点P的坐标满足什么条件？设点P的坐标为〔x，y〕，那么当P在直线l上运动时〔除点A外〕，点P与定点A 确定的直线确实是基本l，它的歪率恒为－2，因此＝－2，即2x＋y－1＝0．显然，点A〔－1，3〕满足此方程，因此，当点P在直线l上运动时，其坐标〔x，y〕满足方程2x＋y－1＝0．2.教师明晰一般地，设直线l通过点P1〔x1，y1〕，且歪率为k，关于直线l上任意一点P〔x，y〕〔不同于点P1〕，当点P在直线l上运动时，PP1的歪率始终为k，因此，即y－y1＝k〔x－x1〕．能够验证：直线l上的每个点〔包括点P1〕的坐标基本上那个方程的解；反过来，以那个方程的解为坐标的点都在直线l上，那个方程确实是基本过点P1、歪率为k的方程，我们把那个方程喊作直线的点歪式方程．当直线l与x轴垂直时，歪率不存在，其方程不能用点歪式表示，但因为直线l上每一点的横坐标都等于x1，因此它的方程是x＝x1．考虑：〔1〕方程与方程y－y1＝k〔x－x1〕表示同一图形吗？〔2〕每一条直线都可用点歪式方程表示吗？［例题］求满足以下条件的直线方程．〔1〕直线l1：过点〔2，5〕，k＝－1．〔2〕直线l2：过点〔0，1〕，k＝－.〔3〕直线l3：过点〔2，1〕和点〔3，4〕．〔4〕直线l4：过点〔2，3〕平行于y轴．〔5〕直线l5：过点〔2，3〕平行于x轴．参考答案：〔1〕x＋y－7＝0．〔2〕y＝－x＋1．〔3〕3x－y－5＝0．〔4〕x＝2．〔5〕y＝3．［练习］求以下直线方程．〔1〕明确直线l的歪率为k，与y轴的交点P〔0，b〕．〔假如直线l的方程为y＝kx＋b，因此称b是直线l在y轴上的截距，那个方程喊直线的歪截式方程〕〔2〕明确直线l通过两点P1〔x1，y1〕，P2〔x2，y2〕．〔假如直线l的方程为y－y1＝〔x－x1〕，〔x1≠x2〕，因此那个方程喊直线的两点式方程〕〔3〕明确直线l通过两点A〔ａ，0〕，B〔0，b〕，其中ab≠0．〔假如直线l的方程为，〔ab≠0〕，因此a，b分不称为直线l在x轴、y轴上的截距，那个方程喊直线的截距式方程〕进一步考虑讨论：前面所学的直线方程的几种形式基本上关于x，y的二元一次方程，那么任何一条直线的方程是否为关于x，y的二元一次方程？反过来，关于x，y的二元一次方程都表示一条直线吗？通过学生讨论后，师生共同明晰：在平面直角坐标系中，每一条直线的方程基本上关于x，y的二元一次方程．事实上，当直线歪率存在时，它的方程可写成y＝kx＋b，它可变形为kx－y＋b＝0，假如设A＝k，B＝－1，C＝b，它的方程可化为Ax＋By＋C＝0；当直线歪率不存在时，它的方程可写成x＝x1，即x－x1＝0，设A＝1，B＝0，C＝－x1，它的方程可化为Ax＋By＋C ＝0．即任何一条直线的方程都能够表示为Ax＋By＋C＝0；反过来，关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0，〔A，B不全为0〕的图像是一条直线．事实上，关于方程Ax＋By＋C＝0，〔A，B不全为0〕，当B≠0时，方程可化为y＝－x－，它表示歪率为－，在y轴上截距为－的直线；当B＝0时，A≠0，方程可化为x＝－，它表示一条与ｙ轴平行或重合的直线．综上可知：在平面直角坐标系中，直线与关于x，y的二元一次方程是一一对应的．我们把方程Ax＋By＋C＝0，〔A，B不全为0〕喊作直线的一般式方程．三、解释应用［例题］1.明确直线l通过点〔－2，5〕，且歪率为－．〔1〕求直线的一般式方程．〔2〕求直线在x轴、y轴上的截距．〔3〕试画出直线l．解答过程由学生讨论回复，教师适时点拨．2.求直线l：2x－3y＋6＝0的歪率及在x轴与y轴上的截距．解：明确直线方程可化为y＝x＋2，因此直线l的歪率为，在y轴上的截距为2．在方程2x－3y＋6＝0中，令y＝0，得x＝－3，即直线在x轴上的截距为－3．［练习］1.求满足以下条件的直线方程，并画出图形．〔1〕过原点，歪率为－2．〔2〕过点〔0，3〕，〔2，1〕．〔3〕过点〔－2，1〕，平行于x轴．〔4〕歪率为－1，在y轴上的截距为5．〔5〕在x轴、y轴上的截距分不为3，－5．2.求过点〔3，－4〕，且在两条坐标轴上的截距相等的直线方程．3.设直线l的方程为〔m2－2m－3〕x＋〔2m2＋m－1〕y＝2m－6，依据以下条件确定m 的值．〔1〕直线l在x轴上的截距为－3．〔2〕直线l的歪率为1．〔3〕直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为10．四、拓展延伸1.在直线方程y－1＝k〔x－1〕中，k取所有实数，可得到很多条直线，这很多条直线具有什么共同特点？2.在直线方程Ax＋By＋C＝0中，当A，B，C分不满足什么条件时，直线有如下性质：〔1〕过坐标原点．〔2〕与两坐标轴都相交．〔3〕只与x轴相交．〔4〕只与y轴相交．〔5〕与x轴重合．〔6〕与y轴重合．3.直线方程的一般式与几种特不形式有什么区不与联系？你能讲明它们的适用范围以及相互转化的条件吗？参考答案：1.直线过点〔1，1〕，它不包括直线x＝1．2.〔1〕C＝0．A，B不全为0；〔2〕A，B都不为0．〔3〕A≠0，B＝0，C≠0．〔4〕A＝0，B≠0，C≠0．〔5〕A＝0，B≠0，C＝0．〔6〕A≠0，B＝0，C＝0．3.略．点评这篇案例在直线与方程和直线的歪率本源上，通过实例探究出过一点且歪率明确的直线的方程，然后按照由特不到一般的方程建立了直线的点歪式方程，在点歪式方程的本源上由学生自主的探究出直线方程的其他形式，并研究了几种直线方程的联系与区不以及它们的适用范围．在案例的设计上注重了知识的发生、开发和适用的过程．在例题与练习的设计上，注重了层次性和知识的完整性的结合，在培养学生的能力上，注重了数学的实质是数学思维过程的教学，显示了数形结合、化回、转化、抽象、概括以及函数与方程的思想．在培养学生创新意识、探究研究、分析解决咨询题的能力等方面，做了一些尝试，显示了新课程的教学理念，能够较好地完本钱节的教育教学任务．。

《函数的表示方法》教学设计与反思

过程。
和设计。
一
、
教材分析
教材从引进函数概念开始，就比较注重函数的不同表示方法。在本节中，材仍以引进函数概念时所用教的三个问题为背景，入函数的表示方法，现知识情引体境呈现的一致性。解析法表示函数关系时，数关系简函
明、楚，于用解析式来研究函数性质，现了透过清便体
本节重点内容是函数的三种表示方法，难点是根据不同的需要选择恰当的方法来表示函数，分段函数的表示及其图像的作法。另外，像从 “ 图图形 ” 面刻画方函数的变化规律，研究函数性质的重要依据，及到是涉数形结合这一重要思想方法，学生理解它需要一个较
更多地给学生自主支配的机会。从 “ 是为了不教 ” 教、 “ 人以鱼不如授人以渔 ” 教学理念出发，教学方授等在
法上主要采用启发发现、发讲解法，免知识从天而启避
降和咀嚼填鸭式，学生自然而然地接受新的知识。由让
于多媒体可以显著增大教学容量、观性和形象化，直实现教学方式多样化，所以有条件的可以借助现代教学手段多媒体进行教学。

高中数学第5章函数概念与性质 5.2 函数的表示方法教学案(含解析)苏教版必修第一册-苏教版高一

5.2 函数的表示方法学习目标核心素养1．理解函数的三种表示方法(图象法、列表法、解析法)，会选择恰当的方法表示简单情境中的函数．(重点)2．了解简单的分段函数，能写出简单情境中的分段函数，并能求出给定自变量所对应的函数值．(重点、难点) 通过学习本节内容，进一步提升学生的逻辑推理、数学运算核心素养．观察教材第5．1节开头的3个函数问题，你能说出各种函数表达形式上的特点吗？如何用数学语言来准确地描述函数表示法？你能说出几种函数表示法的优缺点吗？1．函数的表示方法2．分段函数(1)在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．像这样的函数，通常叫做分段函数．(2)分段函数定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集．(3)分段函数图象：画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象．分段函数是一个函数，因此应在同一坐标系中画出各段函数图象．1．思考辨析(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)任何一个函数都可以用列表法表示．( )(2)任何一个函数都可以用解析法表示．( )(3)有些函数能用三种方法来表示．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ 2．(一题两空)假设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，x 2－1，x <0，那么f (x )的定义域为，值域为．{x |x ≠0} {y |y >－1} [定义域为{x |x >0或x <0}＝{x |x ≠0}，当x >0时，f (x )>0，当x <0时，f (x )>－1，∴值域为{y |y >－1}．]3．某同学去商店买笔记本，单价5元，买x (x ∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y 元，试用三种方法表示函数y ＝f (x )．[解] 列表法：笔记本数x 1 2 345钱数y5 10 15 20 25解析法：y ＝5x ，x ∈{1,2,3,4,5}．图象法：求函数解析式(1)f (x )为一次函数，f (2x ＋1)＋f (2x －1)＝－4x ＋6，那么f (x )＝． (2)f (x ＋1)＝x ＋2x ，那么f (x )＝．(3)f (x )为一次函数，且f (f (x ))＝4x －1，那么f (x )＝．(4)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ＞0，x 2＋bx ＋c ，x ≤0，假设f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，那么f (x )的解析式为．(5)假设f ⎝⎛⎭⎪⎫x －2x ＝x 2＋4x2，那么f (x )＝．[思路点拨] (1)(3)可以设出函数解析式，用待定系数法求解．(2)可以把x ＋1看作一个整体来求解．(4)用待定系数法求解．(5)可以把x －2x看作一个整体来求解．(1)－x ＋3 (2)x 2－1(x ≥1) (3)2x －13或－2x ＋1 (4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ＞0x 2＋4x ＋2，x ≤0(5)x 2＋4 [(1)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)＋b ， f (2x －1)＝a (2x －1)＋b ，f (2x ＋1)＋f (2x －1)＝4ax ＋2b ＝－4x ＋6，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝－4，2b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，即函数f (x )的解析式为f (x )＝－x ＋3． (2)令x ＋1＝t (t ≥1)，那么x ＝t －1，x ＝(t －1)2， ∴f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1， ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(3)设所求函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，所以f (f (x ))＝f (kx ＋b )＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ＝4x －1，那么⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝4，kb ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝1，所以f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1．(4)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧16－4b ＋c ＝c ，4－2b ＋c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝2，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ＞0，x 2＋4x ＋2，x ≤0.(5)f ⎝⎛⎭⎪⎫x －2x ＝x 2＋4x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 2＋4，∴f (x )＝x 2＋4．]求函数解析式的常用方法1待定系数法：函数f x 的函数类型，求f x的解析式时，可根据类型设出其解析式，将条件代入解析式，得到含待定系数的方程组，确定其系数即可.2换元法：令t ＝g x ，注明t 的X 围，再求出f t 的解析式，然后用x 代替所有的t 即可求出f x ，一定要注意t 的X 围即为fx 中x 的X 围.3配凑法：f g x的解析式，要求f x 时，可从f g x的解析式中拼凑出“gx 〞，即用g x 来表示，再将解析式两边的g x 用x 代替即可.4代入法：y ＝f x的解析式求y ＝fg x 的解析式时，可直接用新自变量g x 替换y ＝f x 中的x .[跟进训练]1．(1)f (x )是一个正比例函数和一个反比例函数的和，且f (2)＝3，f (1)＝3，那么f (x )＝．(2)假设f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＋1x ，那么f (x )＝．(1)x ＋2x(2)x 2－x ＋1(x ≠1)[(1)设f (x )＝k 1x ＋k 2x ，那么⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝k 1＋k 2＝3，f 2＝2k 1＋k 22＝3⇒⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝1，k 2＝2，∴f (x )＝x ＋2x．(2)令t ＝x ＋1x (t ≠1)，那么x ＝1t －1，∴f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －12＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －12＋(t －1)＝t 2－t ＋1，∴f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．]分段函数[例2] 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－2，x 2＋2x ，－2<x <2，2x －1，x ≥2.试求f (－5)，f (－3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52的值．[思路点拨] 要求各个函数值，需要把自变量代入到相应的解析式中．[解] 由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4，f (－3)＝(－3)2＋2(－3)＝3－23．因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－52＋1＝－32，－2<－32<2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 ＝94－3＝－34．1．(变结论)本例条件不变，假设f (a )＝3，某某数a 的值．[解] ①当a ≤－2时，f (a )＝a ＋1，所以a ＋1＝3，所以a ＝2>－2不合题意，舍去． ②当－2<a <2时，a 2＋2a ＝3，即a 2＋2a －3＝0．所以(a －1)(a ＋3)＝0，所以a ＝1或a ＝－3．因为1∈(－2,2)，－3(－2,2)，所以a ＝1符合题意．③当a ≥2时，2a －1＝3，所以a ＝2符合题意．综合①②③，当f (a )＝3时，a ＝1或a ＝2．2．(变结论)本例条件不变，假设f (m )>m (m ≤－2或m ≥2)，某某数m 的取值X 围． [解] 假设f (m )>m ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－2，m ＋1>m 或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，2m －1>m ，即m ≤－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m >1，所以m ≤－2或m ≥2．所以m 的取值X 围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．1．分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的X 围，代入相应的解析式求值．2．分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用X 围；也可先判断每一段上的函数值的X 围，确定解析式再求解．3．求分段函数的定义域时，取各段自变量的取值X 围的并集即可．求分段函数的值域时，要先求出各段区间内的值域，然后取其并集．方程组法求解析式1．解二元一次方程组的主导思想是什么？[提示] 主导思想是消元，常用的消元方法有代入消元和加减消元两种．2．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝4，①A －B ＝6，②[提示] 法一(代入消元法)：由②得A ＝B ＋6，代入①得B ＋6＋B ＝4，∴B ＝－1，代入A ＝B ＋6，得A ＝5，∴A ＝5，B ＝－1．法二(加减消元法)：①＋②得2A ＝10，∴A ＝5， ①－②得2B ＝－2，∴B ＝－1．3．探究2中，每个等式右边如果是代数式，如⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝x 2，A －B ＝4x ，能求A ，B 吗？[提示] 能求A ，B ．仍可以采用上述两种方法．两式相加得2A ＝x 2＋4x ，∴A ＝x 2＋4x2，两式相减得2B ＝x 2－4x ，∴B ＝x 2－4x2．[例3] 求解析式．(1)f (x )＋2f (－x )＝1x，求f (x )；(2)2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，求f (x )．[思路点拨] 将f (x )与f (－x )，f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 分别看作两个变量，构造这两个变量的方程组，通过解方程组求f (x )．[解] (1)∵f (x )＋2f (－x )＝1x，①用－x 替换x 得f (－x )＋2f (x )＝－1x，②②×2－①得3f (x )＝－2x －1x ＝－3x ，∴f (x )＝－1x．(2)∵2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，用1x替换x 得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x，消去f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 得3f (x )＝6x －3x ，∴f (x )＝2x －1x．方程组法(消去法)，适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如：互为倒数⎝ ⎛⎭⎪⎫f x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，互为相反数(f (－x )，f (x ))的函数方程，通过对称构造一个对称方程组，解方程组即可．在构造对称方程时，一般用1x或－x 替换原式中的x 即可．[跟进训练]2．f (x )满足f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋x ，那么f (x )的解析式为． f (x )＝－23x －x 3 [因为f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋x ，用1x 替换x 得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )＋1x ，代入上式得f (x )＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2f x ＋1x ＋x ，解得f (x )＝－23x －x3．]1．函数三种表示法的优缺点2．描点法画函数图象的步骤：(1)求函数定义域；(2)化简解析式；(3)列表；(4)描点；(5)连线．3．求函数解析式常用的方法有：(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消元法；(5)方程组法等．1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )C[先分析小明的运动规律，再结合图象作出判断．距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C．]2．函数f(3x＋1)＝x2＋3x＋2，那么f(10)＝．20[令3x＋1＝10，∴x＝3，代入得f(10)＝32＋3×3＋2＝20．]3．f(x)是一次函数，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，那么f(x)＝．3x －2 [设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)， ∵2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －b ＝5，k ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3，b ＝－2，∴f (x )＝3x －2．]4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，0≤x ≤2，2x ，x >2.(1)求f (2)，f (f (2))的值； (2)假设f (x 0)＝8，求x 0的值． [解] (1)∵0≤x ≤2时，f (x )＝x 2－4，∴f (2)＝22－4＝0，f (f (2))＝f (0)＝02－4＝－4． (2)当0≤x 0≤2时，由x 20－4＝8，得x 0＝±23(舍去)；当x 0>2时，由2x 0＝8，得x 0＝4．∴x 0＝4．。

高中数学学案：《函数的表示方法1》必修一

【学习目标】
2．求函数的解析式有哪些方法？
【我的疑问】
备注
第1页共4页
【自主探究】
例1购买某种饮料听，所需钱数为元.若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将表示成的函数，并指出该函数的值域.
例2求下列函数的解析式：
（1）已知是二次函数，且，，求；
（2）已知，求；
（3）已知，求 .
5、解：
6、解：
备注
第4页共4页
备注
第2页共4页
【课堂检测】
1、1 n mile(海里)约合1852 m，根据这一关系，写出米数关于海里数的函数解析式.
（2）；
（3） .
4、已知，则，。
5、设函数满足，求，。
【回标反馈】
备注
第页共4页
【巩固练习】
完成伴你学P26自我检测第1－6题
1、解：
2、解：
3、解：
4、解：

人教版高中数学必修第一册函数的表示方法教案(二)

函数的表示方法(二)三维目标一、知识与技能1.了解实际背景的图象与数学情境下的图象是相通的.2.了解图象可以是散点.3.图象是数形结合的基础.4.了解映射的概念及表示方法. 二、过程与方法1.自主学习，了解作图的基本要求.2.探究与活动，明白作图是由点到线，由局部到全体的运动变化过程.3.会判断一个对应是不是映射.4.重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造性地解决问题；通过教师指导发现知识结论，培养学生的抽象概括能力和逻辑思维能力.三、情感态度与价值观1.培养辩证地看待事物的观念和数形结合的思想.2.使学生认识到事物间是有联系的，对应、映射是一种联系方式.3.激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.教学重点函数的作图. 教学难点如何选点作图，映射的概念. 教具准备多媒体课件、投影仪、打印好的材料. 教学过程一、创设情景，引入新课师：日常生活中我们见过许多曲线图象.让我们一起来看一看〔多媒体投影〕：〔图象1〕股市走势图. 〔图象2〕产生的震动波曲线. 〔图象3〕医用心电图的波线.师：初中我们已研究过直线、反比例及二次函数的图象，请大家作出y =2x －1，y ＝x1，y ＝x 2的图象.〔学生在下面自己作图，老师巡视〕我们可以发现这些线的图象都有一个共同的特点，就是由满足一定条件的点构成的，具体地说就是x 作为横坐标，y 作为纵坐标描成的点，所有的点即构成该曲线的图象.二、讲解新课一般而言，如何作出y ＝f 〔x 〕的图象呢？我们将自变量的一个值x 0作为横坐标就得到坐标平面上的一个点〔x 0，f 〔x 0〕〕，自变量取遍函数定义域A 的每个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合〔点集〕为｛〔x ，y 〕|y =f 〔x 〕，x ∈A ｝，这些点组成的曲线就是函数y ＝f 〔x 〕的图象.可从以下几个方面加深对函数图象的理解：画函数的图象，不仅要依据函数的解析式，而且还必须考虑它的定义域.两个用不同的解析式表示的函数，只有在对应关系相同、定义域相同的条件下，才能是相同的函数，才能有相同的图象.由函数的图象的定义知道，点的集合｛〔x ，y 〕|y =f 〔x 〕，x ∈A ｝是函数的图象，因此从理论上讲，用列表描点法总能作出函数的图象，但是不了解函数本身的特点，就无法了解函数图象的特点，如二次函数的图象是抛物线，如果不知道抛物线的顶点坐标和存在着对称轴，盲目地列表描点是很难将图象的特征描绘出来的.函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，以后可以看到，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质.反之，掌握好函数的性质，将有助于正确地画出函数的图象.我们知道函数的图象是由点集构成的，如何作图即如何选点呢？我们看一看下面的一些例题. [例1] 试画出以下函数的图象：〔1〕f 〔x 〕=x +1〔x ∈{1，2，3，4，5}〕；〔2〕f 〔x 〕=〔x －1〕2+1，x ∈［1，3〕. 解：〔1〕我们先列表再描点y3 4 56-1-2-3-4〔1〕y-3-4〔2〕f 〔x 〕=x +1的图象？生：仅需把图〔1〕的散点连结起来构成一条直线就是f 〔x 〕=x +1的图象，如图〔2〕.师：对，在初中我们就研究过一次函数的图象，它表示一条直线，所以今后我们作一次函数的图象仅需作出其两点，然后再连成一条直线即可.〔2〕师：这是一个什么曲线？生：抛物线.师：是一条完整的抛物线吗？生：好像不是. 师：为什么？生：因为x ∈［1，3〕，所以x 的取值受限制.师：对，这个函数的图象与抛物线f 〔x 〕=〔x －1〕2+1有联系，它是其中一段，为了能够作出其图象，我们先作出抛物线f 〔x 〕=〔x －1〕2+1的图象，大家自己动手作出该函数的图象，用虚线表示.〔一会儿后〕请生甲回答如何作出其图象的.〔同时投影其所得的图象〕生甲：先作出顶点〔1，1〕，再作出两点〔2，2〕、〔3，5〕，然后根据抛物线的对称轴是x ＝1，作出〔2，2〕、〔3，5〕关于xf 〔x 〕=〔x －1〕2+1的图象.〔如图〔3〕〕y-1-2-3-4〔3〕师：生甲同学通过选关键点顶点，再结合二次函数的对称性取另外两点作出其关于对称轴的对称点，这样得到5点，最后用圆滑的曲线由左向右顺次连结这些点.这个方法是通常作二次函数的方法.这种方法提醒我们对一些熟知的函数要作出其图象仅需要选一些特征点及辅助点，然后就可以得出其图象.这样要作出f 〔x 〕=〔x －1〕2+1，x ∈［1，3〕，仅需要在f 〔x 〕=〔x －1〕2+1的虚线图象上取x ∈［1，3〕的一段用实线描出，但端点〔3，5〕处用空心点表示.〔如图〔4〕〕y-1-2-3-4〔4〕[例2] 作出函数y =|x －2|〔x ＋1〕的图象. 分析：显然直接用函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对解析式进行等价变形．解：〔1〕当x ≥2，即x －2≥0时，y =〔x －2〕〔x +1〕=x 2－x －2=〔x －21〕2－49. 当x ＜2，即x －2＜0时，y =－〔x －2〕〔x +1〕=－x 2+x +2=－〔x －21〕2+49，所以y =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+--≥--.2,49)21(,2,49)21(22x x x x这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出.〔如图〔5〕〕〔5〕方法引导：作不熟悉的函数图象，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意x、y的变化X围．因此必须熟记基本函数的图象．例如：一次函数、反比例函数、二次函数等基本函数的图象．函数是“两个数集间的一种确定的对应关系〞.当我们将数集扩展到任意的集合时，就可以得到映射的概念.例如，亚洲的国家构成集合A，亚洲各国的首都构成集合B，对应关系f：国家a对应于它的首都b.这样，对于集合A中的任意一个国家，按照对应关系f，在集合Bf：A→B称为映射.设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射.在我们的生活中，有很多映射的例子，例如，设集合A={x|x某场电影票上的}，集合B={x|x是某电影院的座位号}，对应关系f：电影票的对应于电影院的座位号，那么对应f：A→B是一个映射.[例3] 教科书P26例7.本例中的〔1〕〔2〕是以后经常用到的映射，教学时应引导学生认真理解.对于〔3〕，还可以把“内切圆〞换成“外接圆〞让学生思考.对于〔4〕，可以与本例后的“思考〞进行比较，让学生进一步体会映射是讲顺序的，即f：A→B与f：B→A是不同的，并且，它们中可以一个是映射而另一个不是映射，也可以两个都是映射或两个都不是映射.在此基础上归纳出映射概念值得注意的几点：〔1〕函数推广为映射，只是把函数中的两个数集推广为两个任意的集合；〔2〕对于映射f：A→B，我们通常把集合A中的元素叫原象，而把集合B中与A中的元素相对应的元素叫象.所以，集合A叫原象集，集合B叫象所在的集合〔集合B中可以有些元素不是象〕.〔3〕映射只要求“对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应〞，即对于A中的每一个原象在B中都有象，至于B中的元素在A中是否有原象，以及有原象时原象是否唯一等问题是不需要考虑的.〔4〕用映射刻画函数的定义可以这样表达：设A、B都是非空的数集，那么A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函数，记作y=f〔x〕.其中x∈A，y∈B.原象集合A叫做函数y=f〔x〕的定义域，象集合C叫做函数y=f〔x〕的值域.很明显，C B.[例4] 集合A=｛1，2，3，k｝，B=｛4，7，a4，a2+3a｝，且a∈N，k∈N，x∈A，y∈B，映射f：A→B，使B中元素y=3x+1和A中元素xa及k的值.方法引导：集合A中元素1，2，3在对应法那么的作用下，分别得到象4，7，10，关键是集合B中谁和10对应.解：∵B中元素y=3x+1和A中元素x对应，∴A中元素1的象是4，2的象是7，3的象是10.对于集合B而言能与10对应的元素有两种情况：a4=10或a2+3a=10.∵a∈N，∴a2+3a－10=0得a=－5〔舍去〕或a=2.当a=2时，a4=16.由3k+1=16得k=5.∴a=2，k=5为所求.A 集合中只有两个的元素，此时应该考虑四种对应关系.然后用条件和集合的性质加以排除.此题将集合与映射两个概念同时考查，有一定的新意.三、课堂练习1.根据所给定义域，画出函数y =x 2－2x +2的图象. 〔1〕x ∈R ；〔2〕x ∈〔－1，2］；〔3〕x ∈〔－1，2〕且x ∈Z . 答案：〔1〕〔2〕〔3〕A 到集合B 的映射，哪些不是，为什么? 〔1〕A =B =N *，对应关系f ：x →y =|x －3|.〔2〕A =R ，B =｛0，1｝，对应关系f ：x →y =⎩⎨⎧,0,1.0,0<≥x x〔3〕A =B =R ，对应关系f ：x →y =±x .〔4〕A =Z ，B =Q ，对应关系f ：x →y =x1. 〔5〕A ={0，1，2，9}，B ={0，1，4，9，64}，对应关系f ：a →b =〔a －1〕2. 答案：〔1〕对于A 中的3，在f 作用下得0，但0∉B ，即3在B 中没有象，所以不是映射. 〔2〕对于A 中任意一个非负数都有唯一象1，对于A 中任意一个负数都有唯一象0，所以是映射. 〔3〕集合A 中的负数在B 中没有元素与之对应，故不是映射. 〔4〕集合A 中的0在B 中没有元素和它对应，故不是映射.〔5〕在f 的作用下，A 中的0，1，2，9分别对应到B 中的1，0，1，64，所以是映射. 四、课堂小结1.本节学习的数学知识：函数的图象、函数图象的作法、作函数图象的要素、映射的概念. 2.本节学习的数学方法：定义法、数形结合与分类讨论的思想方法、归纳与发散的思想、思维的批判性. 五、布置作业1.画出以下函数的图象.〔1〕y =〔－1〕x ，x ∈{0，1，2，3}；〔2〕y =x －|1－x |；〔3〕y =xx x -+||)21(0.A.y 轴所示的函数表达式为x =0B.y =x 〔x ＜0〕是定义域为空集的函数f 是从集合A 到集合B 的映射，那么A 中每一元素在B 中都有象 f 是从集合A 到集合B 的映射，那么B 为A 中元素的象的集合M =｛x |0≤x ≤6｝，P =｛y |0≤y ≤3｝，那么以下对应关系中，不能看作从M 到P 的映射的是 A.f ：x →y =21x B.f ：x →y =31x C.f ：x →y =x D.f ：x →y =61x 板书设计1.2.2 函数的表示法〔2〕作法注意点例1 例2映射的定义对映射的几点说明例3 例4 课堂练习课堂小结。

《函数的表示方法》教学设计.doc

《函数的表示方法》教学设计钱蒙娜一、教材分析本节内容为苏教版《数学必修1》中2.1.2 “函数的表示方法”。

在初中学生已经接触过较简单函数的一些不同表示方法，在高中阶段继函数的概念、定义域、值域之后学习函数的表示方法，这部分属于函数三要素Z-,即对应关系的表达方式。

函数学习要“多次接触、反复体会、螺旋上升，逐步加深对函数概念的理解。

”在苏教版《数学必修4》中还会继续学习的三角函数，也是非常重要的一类函数模型。

学习函数的表示法，不仅是研究函数本身和应用函数解决实际问题所必须涉及的问题，也是加深对函数概念理解所必须的。

同时，基于高屮阶段所接触的许多函数均可用几种不同的方式表示，因而学习函数的表示也是领悟数学思想方法（如数形结合、化归等）、学会根据问题需要选择表示方法的重要过程。

学生在学习用集合与对应的语言刻画函数之前，比较习惯于用解析式表示函数，但这是对函数很不全而的认识。

在本节中，从引进函数概念开始，就比较注重函数的不同表示方法：解析法、图象法、列表法。

函数的不同表示法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念。

特别是在信息技术环境下，可以使函数在数形结合上得到更充分的表现，使学牛更好地体会这一重要的数学思想方法。

因此，在研究函数时，应充分发挥图象直观的作用；在研究图象时要注意代数刻画，以求思考和表述的精确性。

二、教学目标根据《普通高中数学课程标准》（实验）和新课改的理念，我从知识与技能、过程与方法和情感态度与价值观三个维度制订教学目标。

知识与技能：掌握函数常用的三种表示方法（列表法、图象法、解析法），了解函数不同表示方法的优缺点并能根据不同需要选择恰当的方式表示函数；掌握分段函数、复合函数的概念；能根据不同情况求出函数的表达式和定义域。

过程与方法：通过实例，分析比较函数三种不同的表示方法；通过分段函数改变的形成过程，培养学生观察、归纳和抽彖的能力，培养数形结合和分类讨论的数学思想。

情感态度与价值观：通过对函数不同表示方法的学习，从中体会数学的简洁统一美；通过探究函数的表达式，激发学牛的学习热情。

3.1.1 高中必修一数学教案《函数及其表示方法》

高中必修一数学教案《函数及其表示方法》教材分析本节内容是高中数学必修一人教版B版第三章第一单元第一节的内容。

学生在学习用集合与对应的语言刻画函数之前，习惯用解析式表示函数，但这是对函数的不全面的认识。

本节中，从引进函数的概念开始，就注重函数的不同表示方法：解析法、列表法、图象法。

函数的不同表示方法能丰富学生对函数的认识，帮助学生理解抽象的函数概念，特别是在信息技术环境下，可以使函数在数形结合方面表现更加充分。

因此，在研究函数时，要充分发挥图象直观的作用，注意刻画代数，以求思考和表述的准确性。

学情分析学生基本可以掌握本节课的知识点，对于函数概念，有些学生理解的不透彻，可以通过课上小组讨论，合作学习加以掌握；函数的定义域对于学生而言是一个难点，可以通过讨论展示来理解。

教学目标1、在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。

2、了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域、值域。

3、通过具体问题情境，抽象出函数概念，积累从具体到抽象的活动经验。

教学重点用集合语言和对应关系刻画函数。

教学难点通过实例，归纳、概括、抽象出函数的概念。

教学方法讲授法、演示法、讨论法、练习法教学过程一、直接导入我们在初中已经学习过一些函数的知识，比如一次函数、二次函数、反比例函数等，并了解了函数的一些简单应用。

但是，仅以初中的函数知识解决不了比较复杂的函数问题。

本节课我们就一起来学习《函数及其表示方法》。

二、学习新知1、函数的概念在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量；在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数。

是反比例函例如，y = 2x是正比例函数，y = -3x-1是一次函数，y = -2x数，y = x2+2x-3是二次函数，等等。

（1）函数一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y = f（x），x∈A（2）定义域其中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围（即数集A）称为这个函数的定义域。

高一数学教案：函数的概念3篇

高一数学教案：函数的概念高一数学教案：函数的概念精选3篇（一）教案标题：函数的概念教学目标：1. 理解函数的基本概念；2. 能够根据给定的函数定义进行函数值的计算；3. 能够掌握函数的图像表示方法。

教学准备：1. PowerPoint或黑板；2. 教材《高中数学》；3. 教学PPT或教学黑板稿。

教学步骤：步骤一：引入问题（5分钟）1. 通过生活中的例子引导学生思考“什么是函数？”；2. 引导学生记忆和理解“自变量”和“因变量”的概念。

步骤二：函数的定义（10分钟）1. 引导学生学习教科书上的函数定义；2. 解释函数的定义中自变量、因变量和对应规律的含义；3. 通过一些例子帮助学生理解函数的定义。

步骤三：函数的表示方法（10分钟）1. 引导学生学习函数的表示方法；2. 介绍函数的表格表示和解析式表示；3. 通过具体例子的计算来展示函数的表示方法。

步骤四：函数值的计算（15分钟）1. 引导学生学习函数值的计算方法；2. 通过给定函数和自变量求因变量的例子来演示函数值的计算。

步骤五：函数的图像表示（15分钟）1. 引导学生学习函数的图像表示方法；2. 通过函数表格和坐标系画出函数的图像；3. 解释图像上自变量和因变量的含义；4. 引导学生发现函数图像的特点，如单调性和奇偶性。

步骤六：练习与总结（10分钟）1. 给学生提供一些练习题，加深对函数的理解和掌握；2. 回顾课堂内容，让学生总结函数的概念和表示方法。

教学延伸：1. 引导学生进一步探究函数的性质，如定义域、值域、单调性等；2. 引导学生学习更复杂的函数概念，如反函数、复合函数等。

教学反思：通过讲解函数的概念和表示方法，学生能够初步理解函数的含义和计算方法。

在教学过程中，可以适当增加一些生动的例子和练习，培养学生的兴趣和动手能力。

在教学结束前，可以布置一些相关的课后作业，巩固学生的学习成果。

高一数学教案：函数的概念精选3篇（二）教学目标：1. 了解对数函数的定义和性质。

学高中数学第二章函数函数函数的表示法教案北师大版必修第一册

第二章函数第２．２节函数的表示法教学设计函数的表示法是“函数及其表示”这一节的主要内容之一．学习函数表示法，可以加深对函数概念的理解，领悟数形结合，化归等函数思想，函数的不同表示法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．一．教学目标：（１）明确函数的三种表示方法；（２）会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数；a（３）通过具体实例，了解简单的分段函数及应用．二. 核心素养1.数学抽象：函数的表示方法的理解2.逻辑推理：通过引导学生回答问题，培养学生的自主学习能力；通过画图像，培养学生的动手操作能力；3.数学运算：会函数图像，根据图像分析函数的定义域，值域4.直观想象：通过一些实际生活应用题，让学生感受到学习函数表示的必要性，并体会数学源于生活用于生活的价值；通过函数的解析式与图像的结合，渗透数形结合思想方法。

5.数学建模:通过本节课的教学，使学生进一步认识到，数学源于生活，数学也可应用于生活，能够解决生活中的实际问题．教学重点函数的三种表示方法，分段函数的概念教学难点根据题目的已知条件，写出函数的解析式并画出图像PPT1. 函数的表示方法（１）解析法：把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式。

如初中：学习的一次函数、一元二次函数、反比例函数的关系式,都是解析法.（２）列表法：列表法直接通过表格读数,不必通过计算，就表示出了两个变量之间的对应值,非常直观.但任何一个表格内标出的数都是有限个，也就只能表示有限个数值之间的函数关系.若自变量有无限多个数，则只能给出局部的对应关系.（３）图象法：用函数图象表示两个变量之间的关系。

例如：气象台应用自动记录器，描绘温度随时间变化的曲线就是用图象法表示函数关系的。

（见课本P ５３页图２—２我国人口出生变化曲线）比如心电图：但不是所有函数都可以用图像表示：如狄利克雷函数：{1,0()x x f x =为有理数，为无理数２．函数表示的三种方法对比：函数表示方法优点缺点解析法１、简明、全面地概括了变量间的关系；２、通过解析式求出任意一个自变量的值对应的函数值。

高中数学第三章函数概念与性质3.1.2函数的表示法函数的表示法第一册数学教案

第1课时函数的表示法考点学习目标核心素养函数的三种表示方法了解函数的三种表示法及各自的优缺点，会根据不同需要选择恰当方法表示函数数学抽象求函数的解析式掌握求函数解析式的常用方法数学运算函数图象的作法及应用会作函数的图象并从图象上获取有用信息直观想象问题导学预习教材P67，并思考以下问题：1．函数的表示方法有哪几种？2．函数的表示方法有什么特点？函数的表示法■名师点拨(1)列表法：采用列表法的前提是函数值对应清楚，选取的自变量要有代表性．(2)图象法：图象既可以是连续的曲线，也可以是离散的点．(3)解析法：利用解析法表示函数的前提是变量间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何一个函数都可以用解析法表示．( )(2)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线．( )答案：(1)×(2)×已知y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为( )A ．y ＝1x B ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x2解析：选C.设y ＝k x ，由题意得1＝k2，解得k ＝2，所以y ＝2x.已知函数f (x )由下表给出，则f (f (3))＝________．x 1 2 3 4 f (x )3241解析：由题设给出的表知f (3)＝4，则f (f (3))＝f (4)＝1. 答案：1函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的定义域是________，值域是________．答案：[－1，0)∪(0，2] [－1，1) 函数的三种表示方法某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x (x 为正整数)与收款数y 之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．【解】 (1)列表法：x /台1234 5 6 7 8 9 10 y /元 3 000 6 000 9 00012 00015 00018 00021 00024 00027 00030 000(3)解析法：y ＝3 000x ，x ∈{1，2，3，…，10}．(1)函数三种表示方法的选择解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少．(2)应用函数三种表示方法应注意以下三点①解析法必须注明函数的定义域；②列表法必须能清楚表明自变量与函数值的对应关系；③图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”．1．某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )解析：选D.由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0.2．下表表示函数y＝f(x)，则f(x)>x的整数解的集合是________．x 0<x<55≤x<1010≤x<1515≤x<20 y＝f(x)46810当5≤x<10时，f(x)>x的整数解为{5}．当10≤x<15时，f(x)>x的整数解为∅.当15≤x<20时，f(x)>x的整数解为∅.综上所述，f(x)>x的整数解的集合是{1，2，3，5}．答案：{1，2，3，5}3．已知两个函数f (x )和g (x )的定义域和值域都是集合{1，2，3}，其函数对应关系如下表：x 1 2 3 f (x ) 2 3 1 x 1 2 3 g (x )321则方程g (f (x ))＝x 的解集为________．解析：当x ＝1时，f (1)＝2，g (f (1))＝2，不符合题意；当x ＝2时，f (2)＝3，g (f (2))＝1，不符合题意；当x ＝3时，f (3)＝1，g (f (3))＝3，符合题意．综上，方程g (f (x ))＝x 的解集为{3}．答案：{3} 求函数的解析式(1)已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝9x ＋4，求f (x )的解析式；(2)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )；(3)已知2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝x (x ≠0)，求f (x )．【解】 (1)设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则f (f (x ))＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ＝9x ＋4.所以⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝9，kb ＋b ＝4.解得k ＝3，b ＝1，或k ＝－3，b ＝－2. 所以f (x )＝3x ＋1或f (x )＝－3x －2. (2)法一：(配凑法)因为f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1)，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二：(换元法)令x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝(t －1)2(t ≥1)，所以f (t )＝(t －1)2＋2（t －1）2＝t 2－1(t ≥1)．所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(3)f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，令x ＝1x，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f (x )＝1x .于是得到关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 的方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f （x ）＝1x.解得f (x )＝23x －x3(x ≠0)．求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．(2)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f (g (x ))的解析式求f (x )的解析式可用换元法(或“配凑法”)，即令g (x )＝t ，反解出x ，然后代入f (g (x ))中求出f (t )，从而求出f (x )．(3)消元法(或解方程组法)：在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数，而这两个变量有着某种关系，这时就要依据两个变量的关系，建立一个新的关于这两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标变量的解析式，这种方法叫做消元法(或解方程组法)．1．(2019·辽源检测)设函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝x ，则f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝1＋x 1－xB ．f (x )＝1＋xx －1C ．f (x )＝1－x1＋xD ．f (x )＝2x x ＋1解析：选C.令t ＝1－x1＋x ，解得x ＝1－t1＋t ，代入f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝x ，可得f (t )＝1－t1＋t ，所以f (x )＝1－x1＋x.2．已知f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，求f (x )．解：因为f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，① 所以将x 换成－x ，得f (－x )＋2f (x )＝x 2－2x .② ②×2－①得3f (x )＝x 2－6x ，所以f (x )＝13x 2－2x .函数图象的作法及应用作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y ＝2x ＋1，x ∈[0，2]； (2)y ＝2x，x ∈[2，＋∞)；(3)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2，2]．【解】 (1)列表：x 0 12 1 32 2 y12345当x ∈[0，2]时，图象是直线的一部分，观察图象可知，其值域为[1，5]．(2)列表：x2345…y 123 12 25…当x ∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y ＝2x的一部分，观察图象可知其值域为(0，1]．(3)列表：x －2 －1 0 1 2 y－138画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分．由图可得函数的值域是[－1，8]．函数y＝f(x)图象的画法(1)若y＝f(x)是已学过的基本初等函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍．(2)若y＝f(x)不是所学过的基本初等函数之一，则要按：①列表；②描点；③连线．三个基本步骤作出y＝f(x)的图象．作出下列函数的图象：(1)y＝x＋2，|x|≤3；(2)y＝x2－2，x∈Z且|x|≤2.解：(1)因为|x|≤3，所以函数的图象为线段，而不是直线，如图(1)；(2)因为x∈Z且|x|≤2，所以函数的图象是五个孤立的点，如图(2)．1.已知函数f(x)的图象如图所示，其中点A，B的坐标分别为(0，3)，(3，0)，则f(f(0))＝( )A．2 B．4C．0 D．3解析：选C.结合题图可得f(0)＝3，则f(f(0))＝f(3)＝0.2．已知函数f(2x＋1)＝6x＋5，则f(x)的解析式是( )A．f(x)＝3x＋2 B．f(x)＝3x＋1C．f(x)＝3x－1 D．f(x)＝3x＋4解析：选A.法一：令2x ＋1＝t ，则x ＝t －12.所以f (t )＝6×t －12＋5＝3t ＋2，所以f (x )＝3x ＋2.法二：因为f (2x ＋1)＝3(2x ＋1)＋2，所以f (x )＝3x ＋2.3．已知函数f (x )＝x －mx，且此函数的图象过点(5，4)，则实数m 的值为________．解析：因为函数f (x )＝x －mx的图象过点(5，4)，所以4＝5－m5，解得m ＝5.答案：54．已知f (x )是二次函数，且满足f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x ，求f (x )．解：因为f (x )是二次函数，设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，得c ＝1.由f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－ax 2－bx －1＝2x . 整理得2ax ＋(a ＋b )＝2x ，由系数相等得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.所以f (x )＝x 2－x ＋1.[A 基础达标]1．下表表示y 是x 的函数，则函数的值域是( )C ．(0，20]D ．N *解析：选B.由表格可知，y 的值为2，3，4，5.故函数的值域为{2，3，4，5}．2．已知f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0，则f (－1)＝( )A ．0B ．8C ．2D ．－2解析：选B.因为f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3，即f (x )＝x 2－4x ＋3，所以f (－1)＝1＋4＋3＝8.3．已知函数f (x －1)＝x 2－3，则f (2)的值为( ) A ．－2 B ．6 C ．1D ．0解析：选B.法一：令x －1＝t ，则x ＝t ＋1，所以f (t )＝(t ＋1)2－3，所以f (2)＝(2＋1)2－3＝6.法二：f (x －1)＝(x －1)2＋2(x －1)－2，所以f (x )＝x 2＋2x －2，所以f (2)＝22＋2×2－2＝6. 法三：令x －1＝2，所以x ＝3，所以f (2)＝32－3＝6.4．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)＝2x ＋17，则f (x )等于( )A.23x ＋5 B.23x ＋1 C ．2x －3D ．2x ＋1解析：选A.因为f (x )是一次函数，所以设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，由3f (x ＋1)＝2x ＋17，得3[a (x ＋1)＋b ]＝2x ＋17，整理得3ax ＋3(a ＋b )＝2x ＋17，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝2，3（a ＋b ）＝17，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝5，所以f (x )＝23x ＋5，故选A.5．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水也不出水．则正确论断的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选B.由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，故③错．6．已知函数y＝f(x)的对应关系如表所示，函数y＝g(x) 的图象是如图的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f(g(2))的值为________．解析：由函数g(x则f(g(2))＝f(1)＝2.答案：27．(2019·莆田检测)函数y＝x2＋2x－3在区间[－3，0]上的值域为________．解析：y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝－1，因为x∈[－3，0]，所以当x＝－3时，y max＝0，当x＝－1时，y min＝－4.函数的值域为[－4，0]．答案：[－4，0]8．已知a，b为常数，若f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x ＋24，则5a －b ＝________．解析：由f (x )＝x 2＋4x ＋3，f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24，得(ax ＋b )2＋4(ax ＋b )＋3＝x 2＋10x ＋24，即a 2x 2＋(2ab ＋4a )x ＋b 2＋4b＋3＝x 2＋10x ＋24，由系数相等得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，2ab ＋4a ＝10，b 2＋4b ＋3＝24，解得a ＝－1，b ＝－7或a ＝1，b ＝3，则5a －b ＝2.答案：29.已知函数p ＝f (m )的图象如图所示．求： (1)函数p ＝f (m )的定义域； (2)函数p ＝f (m )的值域；(3)p 取何值时，有唯一的m 值与之对应．解：(1)观察函数p ＝f (m )的图象，可以看出图象上所有点的横坐标的取值范围是－3≤m ≤0或1≤m ≤4，由题图知定义域为[－3，0]∪[1，4]．(2)由题图知值域为[－2，2]．(3)由题图知：p ∈(0，2]时，只有唯一的m 值与之对应． 10．已知函数f (x )＝g (x )＋h (x )，g (x )关于x 2成正比，h (x )关于x 成反比，且g (1)＝2, h (1)＝－3.求：(1)函数f (x )的解析式及其定义域； (2)f (4)的值．解：(1)设g (x )＝k 1x 2(k 1∈R ，且k 1≠0)，h (x )＝k 2x(k 2∈R ，且k 2≠0)，由于g (1)＝2，h (1)＝－3，所以k 1＝2，k 2＝－3. 所以f (x )＝2x 2－3x，定义域是(0，＋∞)．(2)由(1)，得f (4)＝2×42－34＝612.[B 能力提升]11．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x2(x ≠－1)，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝x1＋x 2(x ≠－1)B ．f (x )＝－2x1＋x 2(x ≠－1)C ．f (x )＝2x1＋x 2(x ≠－1)D ．f (x )＝－x1＋x2(x ≠－1)解析：选 C.设1－x 1＋x ＝t ，则x ＝1－t1＋t(t ≠－1)，所以f (t )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 2＝4t 2＋2t 2＝2t 1＋t 2，即f (x )＝2x1＋x2(x ≠－1)．故选C.12．设f (x )＝2x ＋a ，g (x )＝14(x 2＋3)，且g (f (x ))＝x 2－x ＋1，则a 的值为( )A ．1B ．－1C ．1或－1D ．1或－2解析：选B.因为g (x )＝14(x 2＋3)，所以g (f (x ))＝14[(2x ＋a )2＋3]＝14(4x 2＋4ax ＋a 2＋3)＝x 2－x ＋1，求得a ＝－1.故选B.13．画出二次函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较f (0)、f (1)、f (3)的大小； (2)求函数f (x )的值域．解：f (x )＝－(x －1)2＋4的图象如图所示： (1)f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0，所以f (1)＞f (0)＞f (3)．(2)由图象可知二次函数f (x )的最大值为f (1)＝4，则函数f (x )的值域为(－∞，4]．[C 拓展探究]14．设二次函数f (x )满足f (x －2)＝f (－x －2)，且f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为1，被x 轴截得的线段长为22，求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由f (x －2)＝f (－x －2)得4a －b ＝0；①又因为|x 1－x 2|＝b 2－4ac |a |＝22，所以b 2－4ac ＝8a 2；② 又由已知得c ＝1.③由①②③解得b ＝2，a ＝12，c ＝1，所以f (x )＝12x 2＋2x ＋1.。

高中数学_函数的表示法教学设计学情分析教材分析课后反思

函数的表示法的教学设计一、教材分析本节内容是教材必修1第一章《函数及其表示》第二节，学生在学习用集合与对应的语言刻画函数之前，比较习惯的用解析式表示函数，但这是对函数很不全面的认识。

本节中，从引进函数的概念开始就比较注重函数的不同表示方法：解析法，列表法，图像法。

函数的不同的表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念，特别是在信息技术环境下，可以使函数在数与形两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过对函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法。

因此，在研究函数时，要充分发挥图象直观的作用，在研究图像时，又要注意代数刻画以求思考和表述的准确性。

二、三维目标本节内容是教材必修1第一章《函数及其表示》第二节，学生在学习用集合与对应的语言刻画函数之前，比较习惯的用解析式表示函数，但这是对函数很不全面的认识。

本节中，从引进函数的概念开始就比较注重函数的不同表示方法：解析法，列表法，图像法。

因此，在研究函数时，要充分发挥图象直观的作用，在研究图像时，又要注意代数刻画以求思考和表述的准确性。

三、重难点教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念。

教学难点：分段函数的表示及其图像。

四、教学过程1、由华罗庚老先生的名言引入课题---函数的的表示法，进一步由身边的实例学生归纳出函数的三种表示法——解析法，列表法，图像法。

（1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的函数关系，这种表示方法叫做解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式．(2)图象法：以自变量x的取值为横坐标，对应的函数值y为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了函数的图象，这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法叫做图象法．(3)列表法：列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做列表法．2.问题探究问题1：某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y 元．试用函数的三种表示法表示函数y＝f(x)．活动：学生思考函数的表示法的规定．注意本例的设问，此处“y＝f(x)”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表．本题的定义域是有限集，且仅有5个元素．解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}，用解析法可将函数y＝f(x)表示为y＝5x，x∈{1,2,3,4,5}．用列表法可将函数y＝f(x)表示为笔记本数x 1 2 3 4 5钱数y 5 10 15 20 25用图象法可将函数y＝f(x)表示点评：本题主要考查函数的三种表示法．解析法的特点是：简明、全面地概括了变量间的关系，可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质，还有利于我们求函数的值域；图象法的特点是：直观、形象地表示自变量变化时相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图象来研究函数的某些性质，图象法在生产和生活中有许多应用，如企业生产图、股市走势图等；列表法的特点是：不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值，列表法在实际生产和生活中也有广泛的应用，如银行利率表、列车时刻表等等．并不是所有的函数都能用解析法表示，只有函数值随自变量的变化发生有规律的变化时，这样的函数才可能有解析式，否则写不出解析式，也就不能用解析法表示．问题2下面是某校高一(1)班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分表：第一次第二次第三次第四次第五次第六次王伟98 87 91 92 88 95张城90 76 88 75 86 80赵磊68 65 73 72 75 82班平均分88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．活动：学生思考做学情分析，具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？本题利用表格给出了四个函数，它们分别表示王伟、张城、赵磊的考试成绩及各次考试的班级平均分．由于表格区分三位同学的成绩高低不直观，故采用图象法来表示．做学情分析，具体要分析学习成绩是否稳定，成绩变化趋势．解：把“成绩”y看成“测试序号”x的函数，用图象法表示函数y＝f(x)，由图可看到：王伟同学的数学成绩始终高于班级平均分，学习情况比较稳定而且成绩优秀；张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均分水平上下波动，而且波动幅度较大；赵磊同学的数学学习成绩呈上升趋势，表明他的数学成绩稳步提高．点评：本题主要考查根据实际情境需要选择恰当的函数表示法的能力，以及应用函数解决实际问题的能力．通过本题可见，图象法比列表法和解析法更能直观反映函数值的变化趋势．注意：本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样便于研究成绩的变化特点.问题3某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：(1)乘坐汽车5千米以内(含5千米)，票价2元；(2)5千米以上，每增加5千米，票价增加1元(不足5千米按5千米计算)，如果某条线路的总里程为20千米，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．活动：学生讨论交流题目的条件，弄清题意．本例是一个实际问题，有具体的实际意义，由于里程在不同的范围内，票价有不同的计算方法，故此函数是分段函数．解：设里程为x千米时，票价为y元，根据题意得x∈(0,20]．由“招手即停”公共汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式： y＝2，3，4，5，0<x≤5，5<x≤10，10<x≤15，15<x≤20.根据这个函数解析式，可画出函数图象点评：本题主要考查分段函数的实际应用，以及应用函数解决问题的能力．生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题，如出租车的计费、个人所得税纳税额等等．在列出其解析式时，要充分考虑实际问题的规定，根据规定来求得解析式．注意：①本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义；②分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值不同的几种表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况.3.课堂小练1．画出函数y=|x-2|的图象.2.已知函数f(x)，2x+3,（x＜－1）,x2,（－1≤x＜1),x-1,(x≧1) (1)求f(-2)，f[f(－2)]（2）若f(a)=6,则a=?五、课堂小结通过本节课的学习，你有哪些收获？（1）函数的表示方法有三种，各有优、缺点.（2）应该根据不同的问题、不同的要求选择恰当的方法表示它，以便研究函数某些性质。

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