2020高考人教版数学理科一轮复习课后练43【空间点、直线、平面之间的位置关系】及解析

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2020年高考数学(理)复习【空间点、线、面的位置关系】小题精练卷附答案解析

2020年高考数学（理）复习【空间点、线、面的位置关系】小题精练卷刷题增分练○27一、选择题1．下列说法正确的是()A．若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面答案：D解析：由异面直线的定义可知D正确．2．如图，正方体或四面体中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四点不共面的是()答案：D解析：A选项中，在正方体中，连接PS，QR，则PS∥QR，所以这四点共面；B选项中，在正方体中，连接PS，QR，则PS∥QR，所以这四点共面；C选项中，在四面体中，连接PS，QR，则PS∥QR，所以这四点共面；D选项中，在四面体中，连接PS，QR，则PS，QR异面，所以这四点不共面．故选D.3．[2019·益阳市、湘潭市调研]下图中，G，N，M，H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有()A．①③B．②③C．②④D．②③④答案：C解析：由题意，可知题图①中，GH∥MN，因此直线GH与MN共面；题图②中，连接GN，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；题图③中，连接MG，则GM∥HN，因此直线GH与MN共面；题图④中，连接GN，G，M，N三点共面，但H∉平面GMN，所以直线GH与MN 异面．故选C.4．[2019·银川模拟]已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m⊥α，n⊥β，且β⊥α，则下列结论一定正确的是()A．m⊥n B．m∥n C．m与n相交D．m与n异面答案：A解析：若β⊥α，m⊥α，则直线m与平面β的位置关系有两种：m⊂β或m∥β.当m⊂β时，又n⊥β，所以m⊥n；当m∥β时，又n⊥β，所以m⊥n.故m⊥n，选A.5．[2019·山西临汾模拟]已知平面α及直线a，b，下列说法正确的是()A．若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行B．若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线不可能垂直C．若直线a，b平行，则这两条直线中至少有一条与平面α平行D．若直线a，b垂直，则这两条直线与平面α不可能都垂直答案：D解析：若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线不一定平行；若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线可能垂直；若直线a，b平行，这两条直线可能都和平面α相交(不平行)；若直线a，b垂直，则直线a，b不平行，而这两条直线与平面α都垂直等价于直线a，b平行，因此若直线a，b垂直，则这两条直线与平面α不可能都垂直．故选D.6．设l，m，n表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，给出下列四个命题：①若l⊥α，m⊥α，则l∥m；②若m⊂β，n是l在平面β内的射影，l⊥m，则n⊥m；③若m⊂α，n∥m，则n∥α；④若γ⊥α，γ⊥β，则α∥β.其中真命题为()A．①②B．①②③C．②③④D．①③④答案：A解析：由直线与平面垂直的性质定理可得，垂直于同一个平面的两条直线相互平行，所以①为真命题；易得②为真命题；根据直线与平面平行的判定定理，平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行，③中缺少条件n⊄α，所以得到的结论可能为n∥α，也可能为n⊂α，所以③为假命题；若α⊥γ，β⊥γ，则得到的结论可能为β∥α，也可能为β，α相交，所以④为假命题．7．[2019·成都市高中毕业班诊断性检测]已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是()A．若m⊂α，则m⊥βB．若m⊂α，n⊂β，则m⊥nC．若m⊄α，m⊥β，则m∥αD．若α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α答案：C解析：选项A中，若m⊂α，则直线m和平面β可能垂直，也可能平行或相交，故选项A不正确；选项B中，直线m与直线n的关系不确定，可能平行，也可能相交或异面，故选项B不正确；选项C 中，若m⊥β，则m∥α或m⊂α，又m⊄α，故m∥α，选项C正确；选项D中，缺少条件n⊂β，故选项D 不正确，故选C.8．[2019·宁夏银川一中模拟]已知P是△ABC所在平面外的一点，M，N分别是AB，PC的中点，若MN＝BC＝4，PA＝43，则异面直线PA与MN所成角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°答案：A解析：如图．取AC中点D，连接DN，DM，由已知条件可得DN＝23，DM＝2.在△MND中，∠DNM为异面直线PA与MN所成的角，则cos∠DNM＝16＋12－42×4×23＝32，∴∠DNM＝30°.二、非选择题9．[2019·湖南联考]已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β.其中正确的命题是________．答案：①④解析：对于①，若α∥β，m⊥α，l⊂β，则m⊥l，故①正确；对于②，若α⊥β，则m∥l或m⊥l或m 与l异面，故②错误；对于③，若m⊥l，则α⊥β或α与β相交，故③错误；对于④，若m∥l，m⊥α，则l⊥α，又l⊂β，所以α⊥β，故④正确．10．[2019·陕西西安模拟]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线；②直线AM 与BN 是平行直线；③直线BN 与MB 1是异面直线；④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确的结论为________．答案：③④解析：A ，M ，C 1三点共面，且在平面AD 1C 1B 中，但C ∉平面AD 1C 1B ，C 1∉AM ，因此直线AM 与CC 1是异面直线，同理，AM 与BN 也是异面直线，AM 与DD 1也是异面直线，①②错，④正确；M ，B ，B 1三点共面，且在平面MBB 1中，但N ∉平面MBB 1，B ∉MB 1，因此直线BN 与MB 1是异面直线，③正确．11．如图所示，在三棱锥C －ABD 中，E ，F 分别是AC 和BD 的中点．若CD ＝2AB ＝4，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角是______________．答案：30°解析：如图，取CB 的中点G ，连接EG ，FG .则EG ∥AB ，FG ∥CD ，∴EF 与CD 所成的角为∠EFG .又∵EF ⊥AB ，∴EF ⊥EG .在Rt △EFG 中，EG ＝12AB ＝1，FG ＝12CD ＝2，∴sin ∠EFG ＝12，∴∠EFG ＝30°，∴EF 与CD 所成的角为30°.12．[2019·日照模拟]如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，给出下列结论：①A、M、O三点共线；②A、M、O、A1不共面；③A、M、C、O共面；④B、B1、O、M共面．其中正确结论的序号为________．答案：①③解析：连接A1C1、AC，则A1C1∥AC，∴A1、C1、C、A四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A1.∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O、A在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，∴A、M、O三点共线，故①正确．由①易知②错误，③正确．易知OM与BB1为异面直线，故④错误．刷题课时增分练○27一、选择题1．经过两条异面直线a，b外的一点P作与a，b都平行的平面，则这样的平面()A．有且仅有一个B．恰有两个C．至多有一个D．至少有一个答案：C解析：(1)当点P所在位置使得a，P(或b，P)确定的平面平行b(或a)时，过点P作不出与a，b都平行的平面；(2)当点P所在位置使得a，P(或b，P)确定的平面与b(或a)不平行时，可过点P作a′∥a，b′∥b.因为a，b为异面直线，所以a′，b′不重合且相交于点P.因为a′∩b′＝P，a′，b′确定的平面与a，b都平行，所以可作出一个平面与a，b都平行．综上，选C.2．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BC，BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是()A．直线AA1B．直线A1B1C．直线A1D1D．直线B1C1答案：D解析：只有直线B1C1与直线EF在同一平面内，且两者是相交的，直线AA1，A1B1，A1D1与直线EF都是异面直线．3．将下面的平面图形(图中每个点是正三角形的顶点或边的中点)沿虚线折成一个正四面体后，直线MN与PQ是异面直线的是()A．①②B．②④C．①④D．①③答案：C解析：图②翻折后N与Q重合，两直线相交；图③翻折后两直线平行，因此选C.4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：①若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β；②若m∥α，α⊥β，则m⊥β；③若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；④若m∥α，m⊥β，则α⊥β.其中正确命题的序号是()A．①④B．②③C．②④D．③④答案：D解析：①α与β可能相交，m，n都与α，β的交线平行即可，故该命题错误；②当α⊥β，m∥α时，m ⊂β也可能成立，故该命题错误；③当m⊥α，m⊥n时，n⊂α或n∥α，又n⊥β，所以α⊥β，故该命题正确；④显然该命题正确．综上，选D.5．[2019·衡阳模拟]若直线l与平面α相交，则()A．平面α内存在直线与l异面B．平面α内存在唯一一条直线与l平行C．平面α内存在唯一一条直线与l垂直D．平面α内的直线与l都相交答案：A解析：当直线l与平面α相交时，这条直线与该平面内任意一条不过交点的直线均为异面直线，故A 正确；该平面内不存在与直线l平行的直线，故B错误；该平面内有无数条直线与直线l垂直，所以C 错误，平面α内的直线与l可能异面，故D错误，故选A.6．[2019·湖南常德模拟]一个正方体的展开图如图所示，A，B，C，D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中()A．AB∥CD B．AB与CD相交C．AB⊥CD D．AB与CD所成的角为60°答案：D解析：如图，把展开图中的各正方形按图(1)所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图(2)所示的直观图，可得选项A，B，C不正确．图(2)中，DE∥AB，∠CDE为AB与CD 所成的角，△CDE为等边三角形，∴∠CDE＝60°.∴正确选项为D.7．如图，过正方体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面CB1D1平行的直线有()A．18条B．20条C．21条D．22条答案：C解析：设各棱的中点如图所示(各点连线略)，其中与D1B1平行的有F1G1，E1H1，FG，EH，NL，共5条；与CD1平行的有G1M，GN，LE1，KE，H1F，共5条；与CB1平行的有F1M，FL，HK，NH1，GE1，共5条．分别取CB1，B1D1，CD1的中点如图，连接CO，D1P，B1T，与CO平行的有GH1，FE1，共2条；与D1P平行的有H1L，NF，共2条；与B1T平行的有E1N，GL，共2条．故与平面CB1D1平行的直线共有5＋5＋5＋2＋2＋2＝21(条)．8．[2019·内蒙古赤峰模拟]已知l，m，n为三条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列判断正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB ．若m ⊥α，n ∥β，α⊥β，则m ⊥nC ．若α∩β＝l ，m ∥α，m ∥β，则m ∥lD ．若α∩β＝m ，α∩γ＝n ，l ⊥m ，l ⊥n ，则l ⊥α答案：C解析：对于选项A ，若m ∥α，n ∥α，则m 与n 可能平行，可能相交，也可能异面，故A 错误．对于选项B ，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，设平面ABCD 为平面α，平面CDD ′C ′为平面β，直线BB ′为直线m ，直线A ′B 为直线n ，则m ⊥α，n ∥β，α⊥β，但直线n 与m 不垂直，故B 错误．对于选项C ，设过m 的平面γ与α交于a ，过m 的平面θ与β交于b ，∵m ∥α，m ⊂γ，α∩γ＝a ，∴m ∥a ，同理可得m ∥b .∴a ∥b .∵b ⊂β，a ⊄β，∴a ∥β.∵α∩β＝l ，a ⊂α，∴a ∥l ，∴l ∥m .故C 正确．对于选项D ，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，设平面ABCD 为平面α，平面ABB ′A ′为平面β，平面CDD ′C ′为平面γ，则α∩β＝AB ，α∩γ＝CD ，BC ⊥AB ，BC ⊥CD ，但BC ⊂平面ABCD ，故D 错误．故选C.二、非选择题9．如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP 与BD 所成的角为________．答案：π3解析：如图，将原图补成正方体ABCD －QGHP ，连接GP ，AG ，则GP ∥BD ，所以∠APG 为异面直线AP 与BD 所成的角，在△AGP 中，AG ＝GP ＝AP ，所以∠APG ＝π3.10．[2019·宜昌调研]如图，在棱长均相等的四棱锥P－ABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，有下列结论：①PC∥平面OMN；②平面PCD∥平面OMN；③OM⊥PA；④直线PD与MN所成角的大小为90°.其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)答案：①②③解析：如图，连接AC，易得PC∥OM，所以PC∥平面OMN，结论①正确．同理PD∥ON，所以平面PCD∥平面OMN，结论②正确．由于四棱锥的棱长均相等，所以AB2＋BC2＝PA2＋PC2＝AC2，所以PC⊥PA，又PC∥OM，所以OM⊥PA，结论③正确．由于M，N分别为侧棱PA，PB的中点，所以MN∥AB，又四边形ABCD为正方形，所以AB∥CD，又三角形PDC为等边三角形，所以∠PDC＝60°，所以直线PD 与MN所成的角即∠PDC，故④错误．故正确的结论为①②③.11．已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF ＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线；(3)DE，BF，CC1三线交于一点．证明：(1)如图所示．因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体AC1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．(2)在正方体AC1中，设A1CC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β.所以Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．(3)∵EF∥BD且EF<BD，∴DE与BF相交，设交点为M，则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1，同理，点M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，∴M∈CC1.∴DE，BF，CC1三线交于点M.。

高考数学(理科)一轮复习：单元八立体几何 8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系

正确;命题④中没有说清三个点是否共线,∴④不正确.
2
解析
关闭
答案
第八章
考点1 考点2 考点3
8.3
空间点、直线、平面之间的位置关系
关键能力
必备知识
-11-
考点 1
平面的基本性质及应用
例1
(1)如图所示,四边形ABEF和ABCD都是直角梯形,∠BAD= 1 1 ∠FAB=90°,BC= 2AD,BE= FA ,G,H分别为FA,FD的中点. 2 ①四边形BCHG的形状是 ; ②点C,D,E,F,G中,能共面的四点是 . (2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,对角线A1C与平面BDC1交于点 O,AC与BD交于点M,则点O与直线C1M的关系是 . 答案: (1)①平行四边形 ②C,D,E,F
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只有B1C1与EF在同一平面内,是相交的.选项A,B,C中直线与EF都是异面直线,故选D.
关闭
D
解析答案
第八章
知识梳理考点自测
8.3
空间点、直线、平面之间的位置关系
关键能力
必备知识
-8-
1
2
3
4
5
3.已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,则c与b ( A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线
)
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由已知得,直线c与b可能为异面直线,也可能为相交直线,但不可能为平行直线,若b∥c,则a∥b,与已知a,b为异面直线相矛盾.
关闭
C
解析答案
第八章
知识梳理考点自测
8.3
空间点、直线、平面之间的位置关系
关键能力
必备知识
-9-
1

2020版广西高考人教A版数学(理)一轮复习课件：8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系

第八章
考点1 考点2 考点3
8.3
空间点、直线、平面之间的位置关系
知识梳理核心考点学科素养
-16-
证明 (1)如图,连接EF,CD1,A1B. ∵E,F分别是AB,AA1的中点, ∴EF∥A1B. 又A1B∥CD1, ∴EF∥CD1,∴E,C,D1,F四点共面. (2)∵EF∥CD1,EF<CD1, ∴CE与D1F必相交,设交点为P, 则由P∈CE,CE⊂平面ABCD, 得P∈平面ABCD. 同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA, ∴P∈直线DA. ∴CE,D1F,DA三线共点.
关闭
③④
答案
第八章
知识梳理双基自测
8.3
空间点、直线、平面之间的位置关系
知识梳理核心考点学科素养
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1
2
3
4
5
5.(教材探究改编P46)如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱 AB,BC,CD,DA的中点,则
关闭
易知 EH∥BD∥FG,且
1
1 EH=2BD=FG,同理
EF∥AC∥HG,且
第八章
考点1 考点2 考点3
8.3
空间点、直线、平面之间的位置关系
知识梳理核心考点学科素养
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对点训练1如图,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2.
(1)求证:E,F,G,H四点共面; (2)设EG与FH交于点P,求证:P,A,C三点共线.
√2 √5
=
√10 ,故选 5
C.
第八章
考点1 考点2 考点3
8.3

备考2020年高考数学一轮复习：39 空间点、直线、平面之间的位置关系

备考2020年高考数学一轮复习：39 空间点、直线、平面之间的位置关系一、单选题(共12题；共24分)1．（2分）已知平面α、β、γ两两垂直，直线a、b、c满足：a⊆α，b⊆β，c⊆γ，则直线a、b、c不可能满足以下哪种关系（）A．两两垂直B．两两平行C．两两相交D．两两异面2．（2分）如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（）A．BM=EN，且直线BM、EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM=EN，且直线BM、EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线3．（2分）已知直线l是平面a的斜线，则a内不存在与l（）A．相交的直线B．平行的直线C．异面的直线D．垂直的直线4．（2分）下列命题中为真命题的是（）①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若a⊥α，b⊥α，则a∥b；③若a⊥α，a⊥b，则b//α；④若a∥α，a⊥b，则b⊥α.A．①②B．①②③C．②③④D．①②④5．（2分）直三棱柱ABC—A1B1C1中，BB1中点为M，BC中点为N，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与MN所成角的余弦值为（）A．1B．−45C．−34D．06．（2分）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M,N分别是棱B1C1,C1C的中点，则异面直线BD1与MN所成的角的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°7．（2分）在正四棱锥P−ABCD中，PA=2，直线PA与平面ABCD所成的角为C2，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角为（）A．90∘B．C2C．45∘D．30∘8．（2分）如图，正四面体A−BCD中，P是棱CD上的动点，设CP=tCD（t∈(0,1)），记AP与BC所成角为α，AP与BD所成角为β，则（）A．α≥βB．α≤βC．当t∈(0,12]时，α≥βD．当t∈(0,12]时，α≤β9．（2分）设直线l与平面α平行，直线m在平面α上，那么（）A．直线l不平行于直线m B．直线l与直线m异面C．直线l与直线m没有公共点D．直线l与直线m不垂直10．（2分）已知某四面体的六条棱长分别为3，3，2，2，2，2，则两条较长棱所在直线所成角的余弦值为（）A．0B．79C．0或79D．以上都不对11．（2分）已知a、b、c是三条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列判断正确的是（）A．若a//b，b⊥γ，则a⊥γB．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γC．若a⊥α，b⊥α，则a⊥bD．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c12．（2分）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖膈，在鳖膈A-BCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，且AB=BC=CD ，M 为AD 的中点，则异面直线BM 与CD 夹角的余弦值为（） A ．√23B ．√34C ．√33D ．√24二、填空题(共5题；共5分)13．（1分）如图所示，已知平面 α∩ 平面 β=l ， EA ⊥α ，垂足为 A ， EB ⊥β ，垂足为B ，直线 a ⊂β , a ⊥AB ，则直线 a 与直线 l 的位置关系是 .14．（1分）在正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中， M,N 分别为棱 AD,D 1D 的中点，则异面直线 MN与 AC 所成的角大小为．15．（1分）如图所示的几何体 ABCDEF 中， ABCD 是平行四边形且 AE//CF ，六个顶点任意两点连线能组成异面直线的对数是．16．（1分）已知直线l 1:y=3x+1,l 2:kx-2y-3=0，若l 1∥l 2,则k= ．17．（1分）若m ，n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为．①m//n m ⊥α} ⇒n ⊥α；②m ⊥αn ⊥α} ⇒m ∥n ；③m ⊥αn//α} ⇒m ⊥n ；④m//αm ⊥n} ⇒n ⊥α. 三、解答题(共4题；共25分)18．（10分）A 是 △BCD 平面外的一点，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，（1）（5分）求证：直线EF 与BD 是异面直线；（2）（5分）若 AC ⊥BD ， AC =BD ，求EF 与BD 所成的角．19．（5分）如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．20．（5分）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是B1C1和D1C1的中点，P，Q分别为EF和BD的中点，对角线A1C与平面EFDB交于H点，求证：P，H，Q三点共线.21．（5分）如图，△ABC与△A1B1C1不全等，且A1B1∥AB，B1C1∥BC，C1A1∥CA.求证：AA1，BB1，CC1交于一点.答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：如图1，可得a、b、c可能两两垂直；如图2，可得a、b、c可能两两相交；如图3，可得a、b、c可能两两异面；故答案为：B．【分析】利用面面垂直的性质定理结合线面之间的位置关系，用线线平行，线线垂直，线线相交，异面直线的判定方法找出直线a、b、c不可能满足的关系。

2020版高考数学一轮复习第八章立体几何第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系教案理(含解析)新人教A版

第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系基础知识整合1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的□01两点在一个平面内，那么这条直线就在此平面内．公理2：经过□02不在同一直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有□03且只有一条过□04该点的公共直线．2．用集合语言描述点、线、面间的关系 (1)点与平面的位置关系：点A 在平面α内记作□05A ∈α，点A 不在平面α内记作□06A ∉α. (2)点与线的位置关系点A 在直线l 上记作□07A ∈l ，点A 不在直线l 上，记作□08A ∉l . (3)线面的位置关系：直线l 在平面α内记作□09l ⊂α，直线l 不在平面α内记作□10l ⊄α.(4)平面α与平面β相交于直线a ，记作□11α∩β＝a . (5)直线l 与平面α相交于点A ，记作□12l ∩α＝A . (6)直线a 与直线b 相交于点A ，记作□13a ∩b ＝A . 3．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎨⎧□14平行.□15相交.异面直线：不同在□16任何一个平面内的两条直线.(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的□17锐角或直角叫做异面直线a ，b 所成的角(或夹角)． ②范围：□18⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2.1．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面． 2．异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．1．(2019·银川模拟)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m ⊥α，n⊥β，且β⊥α，则下列结论一定正确的是( )A．m⊥n B．m∥nC．m与n相交D．m与n异面答案 A解析若β⊥α，m⊥α，则直线m与平面β的位置关系有两种：m⊂β或m∥β.当m⊂β时，又n⊥β，所以m⊥n；当m∥β时，又n⊥β，所以m⊥n.故选A.2．(2019·福州质检)已知命题p：a，b为异面直线，命题q：直线a，b不相交，则p 是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析若直线a，b不相交，则a，b平行或异面，所以p是q的充分不必要条件，故选A.3．设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( )A．若AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BCD．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC答案 D解析A，B，C，D构成的四边形可能为平面四边形，也可能为空间四边形，D不成立．4．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定( ) A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行答案 C解析由题意易知，c与a，b都可相交，也可只与其中一条相交，故A，B均错误；若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，知a∥b，与a，b异面矛盾，D错误．故选C.5．设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．上述命题中错误的是________(写出所有错误命题的序号)．答案②③④解析由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错误；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错误；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错误．故填②③④.6．(2019·河南南阳模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，O为CD上的动点，V P－OAB恒为定值，且△PDC是正三角形，则直线PD与直线AB所成角的大小是________．答案60°解析因为V P－OAB为定值，所以S△ABO为定值，即O到线AB的距离为定值．因为O为CD上的动点，所以CD∥AB.所以∠PDC即为异面直线PD与AB所成角．因为△PDC为等边三角形，所以∠PDC＝60°.所以PD与AB所成角为60°.核心考向突破考向一平面基本性质的应用例1 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．证明(1)如图所示，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1.∴E，C，D1，F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P.则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．触类旁通共面、共线、共点问题的证明方法(1)证明点或线共面，①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．证明点共线，①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定的直线上.证明线共点，先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.提醒：点共线、线共点等都是应用公理3，证明点为两平面的公共点，即证明点在交线上.即时训练 1. 如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面； (2)设EG 与FH 交于点P . 求证：P ，A ，C 三点共线．证明 (1)∵E ，F 分别为AB ，AD 的中点， ∴EF ∥BD . 在△BCD 中，BG GC ＝DH HC ＝12，∴GH ∥BD ，∴EF ∥GH ，∴E ，F ，G ，H 四点共面． (2)由(1)知EF 綊12BD ，GH 綊23BD .∴四边形FEGH 为梯形，∴GE 与HF 交于一点，设EG ∩FH ＝P ，P ∈EG ，EG ⊂平面ABC ， ∴P ∈平面ABC .同理P ∈平面ADC . ∴P 为平面ABC 与平面ADC 的公共点，又平面ABC ∩平面ADC ＝AC ， ∴P ∈AC ，∴P ，A ，C 三点共线．考向二空间两条直线的位置关系角度1 两条直线位置关系的判定例2 (1)若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4即不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定答案 D解析构造如图所示的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，取l 1为AD ，l 2为AA 1，l 3为A 1B 1，当取l 4为B 1C 1时，l 1∥l 4，当取l 4为BB 1时，l 1⊥l 4，故排除A ，B ，C ，选D.(2)(2019·贵州六盘水模拟)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是( )A．垂直B．相交C．异面D．平行答案 D解析∵α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，m⊄α，n⊂α，A∈m，A∈α，∴n在平面α内，m与平面α相交，A是m和平面α的交点，∴m和n异面或相交(垂直是相交的特殊情况)，一定不平行．故选D.角度2异面直线的判定例3 (2019·许昌模拟)如下图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．答案②④解析①中HG∥MN；③中GM∥HN且GM≠HN，所以直线HG与MN必相交．触类旁通空间两条直线位置关系的判定方法即时训练 2.(2019·太原期末)已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l( )A．平行B．相交C．垂直D．异面答案 C解析直线l与平面α斜交时，在平面α内不存在与l平行的直线，∴A错误；l⊂α时，在平面α内不存在与l异面的直线，∴D错误；l∥α时，在平面α内不存在与l 相交的直线，∴B错误．无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直．故选C.3．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论序号都填上)．答案③④解析因为点A 在平面CDD 1C 1外，点M 在平面CDD 1C 1内，直线CC 1在平面CDD 1C 1内，CC 1不过点M ，所以AM 与CC 1是异面直线，故①错；取DD 1中点E ，连接AE ，则BN ∥AE ，但AE 与AM 相交，故②错；因为B 1与BN 都在平面BCC 1B 1内，M 在平面BCC 1B 1外，BN 不过点B 1，所以BN 与MB 1是异面直线，故③正确；同理④正确，故填③④.考向三异面直线所成的角例4 (1)如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )A.15B.25 C.35 D.45答案 D解析连接BC 1，易证BC 1∥AD 1，则∠A 1BC 1或其补角即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角．连接A 1C 1，由AB ＝1，AA 1＝2，则A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝5，故cos ∠A 1BC 1＝5＋5－22×5×5＝45.则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为45.故选D.(2)正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱的侧面对角线E 1D 与BC 1所成的角是________．答案 60°解析如图所示，连接A 1B ，可知A 1B ∥E 1D ，∴∠A 1BC 1是异面直线E 1D 和BC 1所成的角．连接A 1C 1，可求得A 1C 1＝C 1B ＝BA 1＝3， ∴∠A 1BC 1＝60°. 触类旁通用平移法求异面直线所成的角的三步法(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角．二证：证明作出的角是异面直线所成的角.三求：解三角形，求出作出的角.如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.即时训练 4. 如图，在三棱锥D －ABC 中，AC ＝BD ，且AC ⊥BD ，E ，F 分别是棱DC ，AB 的中点，则EF 和AC 所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 B解析如图所示，取BC 的中点G ，连接FG ，EG .∵E ，F 分别为CD ，AB 的中点， ∴FG ∥AC ，EG ∥BD ，且FG ＝12AC ，EG ＝12BD .∴∠EFG 为EF 与AC 所成的角． ∵AC ＝BD ，∴FG ＝EG . ∵AC ⊥BD ，∴FG ⊥EG ， ∴∠FGE ＝90°，∴△EFG 为等腰直角三角形，∴∠EFG ＝45°，即EF 与AC 所成的角为45°.故选B.5．在三棱锥S －ACB 中，∠SAB ＝∠SAC ＝∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝13，SB ＝29，则SC 与AB 所成角的余弦值为________．答案1717解析如图所示，取BC 的中点E ，分别在平面ABC 内作DE ∥AB ，在平面SBC 内作EF ∥SC ，则异面直线SC 与AB 所成的角为∠FED ，过F 作FG ⊥AB ，连接DG ，则△DFG 为直角三角形．由题知AC ＝2，BC ＝13，SB ＝29可得DE ＝172，EF ＝2，DF ＝52，在△DEF 中，由余弦定理可得cos ∠FED ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ·EF ＝1717.(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( )A.32B.155C.105D.33答案 C解析将直三棱柱ABC －A 1B 1C 1补形为直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，如图所示，连接AD 1，B 1D 1，BD .由题意知∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，所以AD 1＝BC 1＝2，AB 1＝5，∠DAB ＝60°.在△ABD 中，由余弦定理知BD 2＝22＋12－2×2×1×cos60°＝3，所以BD ＝3，所以B 1D 1＝ 3.又AB 1与AD 1所成的角即为AB 1与BC 1所成的角θ ，所以cos θ＝AB 21＋AD 21－B 1D 212×AB 1×AD 1＝5＋2－32×5×2＝105.故选C. 答题启示(1)当异面直线所成的角不易作出或难于计算时，可考虑使用补形法．(2)补形法的目的是平移某一条直线，使之与另一条相交，常见的补形方法是对称补形．对点训练(2019·银川模拟)如图所示，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝12，BC ＝3，AA 1＝4，N 在A 1B 1上，且B 1N ＝4，则异面直线BD 1与C 1N 所成角的余弦值为( )A.25 B.35 C.45 D ．－35答案 B解析补一个与原长方体相同的，并与原长方体有公共面BC 1的长方体B 1F ，如图所示．连接C 1E ，NE ，则C 1E ∥BD 1，于是∠NC 1E 即为异面直线BD 1与C 1N 所成角(或其补角)．在△NC 1E 中，根据已知条件可求C 1N ＝5，C 1E ＝13，EN ＝E 1N 2＋EE 21＝417.由余弦定理，得cos ∠NC 1E ＝C 1N 2＋C 1E 2－EN 22C 1N ×C 1E ＝－35.所以BD 1与C 1N 所成角的余弦值为35.。

2025年高考数学一轮复习课时作业-空间点、直线、平面之间的位置关系【含解析】

2025年高考数学一轮复习课时作业-空间点、直线、平面之间的位置关系【原卷版】(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)(多选题)下列命题中正确的是()A.梯形的四个顶点共面B.两条平行直线确定一个平面C.空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等D.四边形确定一个平面2.(5分)已知两条不同的直线a,b及两个不同的平面α,β,下列说法正确的是()A.若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥bB.若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线C.若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b平行或异面D.若α∩β=b,a⊂α,则a与β一定相交3.(5分)(2023·南京模拟)如图所示,在正方体ABCD A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是CC1的中点,N是C1D1的中点,则下列说法正确的是()A.ON=BM,且直线ON,BM是异面直线B.ON=BM,且直线ON,BM是相交直线C.ON≠BM,且直线ON,BM是异面直线D.ON≠BM,且直线ON,BM是相交直线4.(5分)如图,在三棱锥D ABC中,AC⊥BD,一平面截三棱锥D ABC所得截面为平行四边形EFGH.已知EF=2,EH=5,则异面直线EG和AC所成角的正弦值是()A.147B.77C.357D.27【加练备选】如图,圆柱的轴截面ABCD为正方形,E为的中点,则异面直线AE与BC所成角的余弦值为()A.33B.55C.306D.665.(5分)在棱长均相等的四面体OABC中,M,N分别是棱OA,BC的中点,则异面直线MN与AB所成角的大小为()A.30°B.45°C.60°D.90°6.(5分)(多选题)(2023·杭州模拟)如图所示,在正方体ABCD A1B1C1D1中,O为DB 的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论正确的是()A.C1,M,O三点共线B.C1,M,O,C四点共面C.C1,O,A,M四点共面D.D1,D,O,M四点共面7.(5分)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的个数为.8.(5分)如图,在正三棱柱ABC A1B1C1中,AB=2,AA1=6,D为B1B的中点,则A1B与C1D所成角的余弦值为.9.(5分)如图所示,在正三棱柱ABC A1B1C1中,D是AC的中点,AA1∶AB=2∶1,则异面直线AB1与BD所成的角为.10.(10分)如图,平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠F AB=90°,BC∥AD且BC=12AD,BE∥AF且BE=12AF,G,H分别为FA,FD的中点.(1)证明:四边形BCHG是平行四边形;(2)C,D,F,E四点是否共面?为什么?11.(10分)如图所示,三棱锥P ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=60°,P A=AB=AC=2,E 是PC的中点.(1)求证AE与PB是异面直线;.(2)求异面直线AE与PB所成角的余弦值.【能力提升练】12.(5分)三棱柱ABC A1B1C1中,AA1与AC,AB所成的角均为60°,∠BAC=90°,且AB=AC=AA1,则A1B与AC1所成角的正弦值为()A.1B.13C.33D.6313.(5分)(2023·沈阳模拟)我国古代大多数城门楼的底座轮廓大致为上、下两面互相平行,且都是矩形的六面体(如图),现从某城楼中抽象出一几何体ABCD EFGH,其中ABCD是边长为4的正方形,EFGH为矩形,上、下底面与左、右两侧面均垂直,EF=4,FG=2,AE=BF=CG=DH,且平面ABCD与平面EFGH的距离为4,则异面直线BG与CH所成角的余弦值为.14.(10分)如图,圆锥的顶点为P,底面圆心为O,线段AB和线段CD都是底面圆的直径,且AB⊥CD,取劣弧BC上一点E,使∠COE=π3,连接PE.已知OA=1,PA=2.(1)求该圆锥的体积;(2)求异面直线PE,BD所成角的余弦值.2025年高考数学一轮复习课时作业-空间点、直线、平面之间的位置关系【解析版】(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)(多选题)下列命题中正确的是()A.梯形的四个顶点共面B.两条平行直线确定一个平面C.空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等D.四边形确定一个平面【解析】选AB.显然选项A正确;对于选项B,两条平行直线确定唯一一个平面,故选项B正确;对于选项C,由空间角的等角定理知,空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补,故选项C错误;对于选项D,因为空间四边形不在一个平面内,故选项D错误.2.(5分)已知两条不同的直线a,b及两个不同的平面α,β,下列说法正确的是()A.若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥bB.若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线C.若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b平行或异面D.若α∩β=b,a⊂α,则a与β一定相交【解析】选C.若α∥β,a⊂α,b⊂β,则直线a,b没有交点,故a与b平行或异面,故A,B 错误,C正确;若α∩β=b,a⊂α,当a∥b时,a与β平行,故D错误.3.(5分)(2023·南京模拟)如图所示,在正方体ABCD A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是CC1的中点,N是C1D1的中点,则下列说法正确的是()A.ON=BM,且直线ON,BM是异面直线B.ON=BM,且直线ON,BM是相交直线C.ON≠BM,且直线ON,BM是异面直线D.ON≠BM,且直线ON,BM是相交直线【解析】选A.根据题意,设正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2a,取BC的中点P,连接C1P,OP,由于OP∥NC1且OP=NC1,则四边形OPC1N是平行四边形,则有ON∥PC1且ON=PC1,在四边形BCC1B1中,边长为2a,P为BC的中点,M是CC1的中点,BM与PC1相交且BM=PC1=4 2+ 2=5a,故ON=BM,且直线ON,BM是异面直线.4.(5分)如图,在三棱锥D ABC中,AC⊥BD,一平面截三棱锥D ABC所得截面为平行四边形EFGH.已知EF=2,EH=5,则异面直线EG和AC所成角的正弦值是()A.147B.77C.357D.27【解析】选A.由题意知EH∥FG,又FG⊂平面ADC,EH⊄平面ADC,所以EH∥平面ACD,所以EH∥AC,同理HG∥BD,因为AC⊥BD,所以EH⊥HG,记EG与AC所成角∠GEH为θ,则sinθ= = 2+ 2=27=147.【加练备选】如图,圆柱的轴截面ABCD为正方形,E为的中点,则异面直线AE与BC所成角的余弦值为()A.33B.55C.306D.66【解析】选D.由题意可知AD∥BC,所以∠EAD即为异面直线AE与BC所成的角,设圆柱上、下底面圆心为O,O1,连接OE,OA,ED,不妨设正方形ABCD的边长为2,则AO=5,从而AE=ED=6,则cos∠EAD16=66,即AE与BC所成角的余弦值为66.5.(5分)在棱长均相等的四面体OABC中,M,N分别是棱OA,BC的中点,则异面直线MN与AB所成角的大小为()A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】选B.取OB的中点P,AB的中点Q,连接MP,PN,CQ,OQ,由中位线定理可知MP∥AB,则∠PMN(或补角)为异面直线MN与AB所成角,MP∥AB,PN∥OC,OQ⊥AB,CQ ⊥AB,且CQ∩OQ=Q,所以AB⊥平面OCQ,则AB⊥OC,所以PM⊥PN,四面体OABC 棱长均相等,则PM=PN,所以△MPN为等腰直角三角形,所以∠PMN=45°.6.(5分)(多选题)(2023·杭州模拟)如图所示,在正方体ABCD A1B1C1D1中,O为DB 的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论正确的是()A.C1,M,O三点共线B.C1,M,O,C四点共面C.C1,O,A,M四点共面D.D1,D,O,M四点共面【解析】选ABC.在正方体ABCD A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,在选项A中,因为直线A1C交平面C1BD于点M,所以M∈平面C1BD,M∈直线A1C,又A1C⊂平面ACC1A1,所以M∈平面ACC1A1,因为O为DB的中点,BD⊂平面C1BD,所以O∈平面C1BD,且O∈平面ACC1A1,又C1∈平面C1BD,且C1∈平面ACC1A1,所以C1,M,O三点共线,故选项A正确;在选项B中,因为C1,M,O三点共线,所以C1,M,O,C四点共面,故B正确;在选项C中,因为C1,M,O三点共线,所以C1,M,O,A四点共面,故C正确;在选项D中,因为直线OM∩CC1=C1,DD1∥CC1,所以D1,D,O,M四点不共面,故D错误.7.(5分)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的个数为.【解析】因为AB∥CD,由题图可以看出EF平行于正方体左右两个侧面,与另外四个面相交.答案:48.(5分)如图,在正三棱柱ABC A1B1C1中,AB=2,AA1=6,D为B1B的中点,则A1B与C1D所成角的余弦值为.【解析】如图,取A1B1的中点E,连接DE,EC1,在△A1BB1中,D为B1B的中点,所以DE为中位线,所以DE∥A1B,所以∠EDC1或其补角为A1B与C1D所成的角,在△EDC1中,ED=32+12=10,DC1=32+22=13,EC1=22-12=3,所以cos∠EDC1= 2+ 12- 122 · 1=10+13-310×13=13013,所以A1B与C1D所成角的余弦值为13013.答案:130139.(5分)如图所示,在正三棱柱ABC A1B1C1中,D是AC的中点,AA1∶AB=2∶1,则异面直线AB1与BD所成的角为.【解析】取A1C1的中点E,连接B1E,ED,AE,在Rt△AB1E中,∠AB1E即为所求,设AB=1,则A1A=2,AB1=3,B1E=32,AE=32,故∠AB1E=60°.答案:60°10.(10分)如图,平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠F AB=90°,BC∥AD且BC=12AD,BE∥AF且BE=12AF,G,H分别为FA,FD的中点.(1)证明:四边形BCHG是平行四边形;【解析】(1)由已知得FG=GA,FH=HD,可得GH12AD.又BC12AD,所以GH BC,所以四边形BCHG为平行四边形.(2)C,D,F,E四点是否共面?为什么?【解析】(2)共面.理由如下:因为BE12AF,G是F A的中点,所以BE FG,所以四边形BEFG为平行四边形,所以EF∥BG.由(1)知BG CH,所以EF∥CH,所以EF与CH共面.又D∈FH,所以C,D,F,E四点共面.11.(10分)如图所示,三棱锥P ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=60°,P A=AB=AC=2,E 是PC的中点.(1)求证AE与PB是异面直线;【解析】(1)假设AE与PB共面,设平面为α,因为A∈α,B∈α,E∈α,所以平面α即为平面ABE,所以P∈平面ABE,这与P∉平面ABE矛盾,所以AE与PB是异面直线.(2)求异面直线AE与PB所成角的余弦值.【解析】(2)取BC的中点F,连接EF,AF,则EF∥PB,所以∠AEF(或其补角)就是异面直线AE与PB所成的角.因为∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,PA⊥平面ABC,所以AF=3,AE=2,EF=2,cos∠AEF= 2+ 2- 22· · ==14,故异面直线AE与PB所成角的余弦值为14.【能力提升练】12.(5分)三棱柱ABC A1B1C1中,AA1与AC,AB所成的角均为60°,∠BAC=90°,且AB=AC=AA1,则A1B与AC1所成角的正弦值为()A.1B.13C.33D.63【解析】选D.如图所示,把三棱柱补形为四棱柱ABDC A1B1D1C1,连接BD1,A1D1,则BD1∥AC1,则∠A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角,设A1B=a,在△A1BD1中,A1B=a,BD1=3a,A1D1=2a,所以sin∠A1BD1=63.13.(5分)(2023·沈阳模拟)我国古代大多数城门楼的底座轮廓大致为上、下两面互相平行,且都是矩形的六面体(如图),现从某城楼中抽象出一几何体ABCD EFGH,其中ABCD是边长为4的正方形,EFGH为矩形,上、下底面与左、右两侧面均垂直,EF=4,FG=2,AE=BF=CG=DH,且平面ABCD与平面EFGH的距离为4,则异面直线BG与CH所成角的余弦值为.【解析】如图,把此六面体补成正方体,连接AH,AC,由题可知AH∥BG,所以∠AHC是异面直线BG与CH所成角或其补角,在△AHC中,AH=32+42=5,CH=12+42+42=33,AC=42,则cos∠AHC= 2+ 2- 22× × ==1333165.答案:133316514.(10分)如图,圆锥的顶点为P,底面圆心为O,线段AB和线段CD都是底面圆的直径,且AB⊥CD,取劣弧BC上一点E,使∠COE=π3,连接PE.已知OA=1,PA=2.(1)求该圆锥的体积;【解析】(1)由勾股定理可知:PO= 2- 2=4-1=3,所以圆锥的体积为13·π·12·3=3π3;(2)求异面直线PE ,BD 所成角的余弦值.【解析】(2)连接BD ,过E 作EF ∥BD ,连接PF ,所以∠PEF 是异面直线PE ,BD 所成的角(或其补角),如图所示,因为线段AB 和线段CD 都是底面圆的直径,且AB ⊥CD ,所以∠BFE =∠DBO =π4,即∠OFE =3π4,而∠COE =π3,所以∠FOE =π6,因此∠OEF =π12,在△OEF 中,由正弦定理可知: sin π12= sin 3π4= sin π6⇒ sin(π3-π4)=2= 12⇒EF =22,OF =2(2×3-2×1)=3-1,PF = 2+ 2=由余弦定理可知:cos ∠PEF = 2+ 2- 22 · =4+12-=2+68.【误区警示】空间图形中作出的角无法直观确定是否是锐角,也可能是钝角,书写步骤时应注明,不然容易混淆.。

2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业：43空间点、直线、平面之间的位置关系版含解析

课时作业43空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1．在以下命题中,不是公理的是(A)A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线解析：选项A是面面平行的性质定理,是由公理推证出来的,而公理是不需要证明的．2．假设空间三条直线a,b,c满足a⊥b,b∥c,那么直线a与c(D)A．一定平行B．一定相交C．一定是异面直线D．一定垂直解析：两条平行线中一条与第三条直线垂直,另一条直线也与第三条直线垂直．应选D.3．空间四边形两对角线的长分别为6和8 ,所成的角为45° ,连接各边中点所得四边形的面积是(A)A．6 2 B．12C．12 2 D．24 2解析：如图,空间四边形ABCD ,对角线AC＝6 ,BD＝8 ,易证四边形EFGH为平行四边形,∠EFG或∠FGH为AC与BD所成的角,大小为45° ,故S四边形EFGH＝3×4×sin45°＝6 2.应选A.4．(2021·南宁市摸底联考)在如下列图的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中 ,E ,F 分别是棱B 1B ,AD 的中点 ,异面直线BF 与D 1E 所成角的余弦值为( D )A.147B.57C.105D.255解析：如图 ,过点E 作EM ∥AB ,过M 点作MN ∥AD ,取MN 的中点G ,连接NE ,D 1G ,所以平面EMN ∥平面ABCD ,易知EG ∥BF ,所以异面直线BF 与D 1E 的夹角为∠D 1EG ,不妨设正方体的棱长为2 ,那么GE ＝5 ,D 1G ＝2 ,D 1E ＝3 ,在△D 1EG 中 ,cos ∠D 1EG ＝D 1E 2＋GE 2－D 1G 22D 1E ·GE＝255 ,应选D.5．异面直线a ,b 分别在平面α ,β内 ,且α∩β＝c ,那么直线c 一定( C )A ．与a ,b 都相交B ．只能与a ,b 中的一条相交C ．至||少与a ,b 中的一条相交D ．与a ,b 都平行解析：如果c与a、b都平行,那么由平行线的传递性知a、b平行,与异面矛盾．应选C.6．到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为(C)A．1 B．4C．7 D．8解析：当空间四点不共面时,那么四点构成一个三棱锥．①当平面一侧有一点,另一侧有三点时,如图1.令截面与四棱锥的四个面之一平行,第四个顶点到这个截面的距离与其相对的面到此截面的距离相等,这样的平面有4个；②当平面一侧有两点,另一侧有两点时,如图2 ,当平面过AB ,BD ,CD ,AC的中点时,满足条件．因为三棱锥的相对棱有三对,那么此时满足条件的平面有3个．所以满足条件的平面共有7个,应选C.二、填空题7．三条直线可以确定三个平面,这三条直线的公共点个数是0或1.解析：因三条直线可以确定三个平面,所以这三条直线有两种情况：一是两两相交,有1个交点；二是互相平行,没有交点．8．(2021·武汉调研)在正四面体ABCD中,M ,N分别是BC和DA的中点,那么异面直线MN和CD所成角的余弦值为2 2.解析：取AC 的中点E ,连接NE ,ME ,由E ,N 分别为AC ,AD 的中点 ,知NE ∥CD ,故MN 与CD 所成的角即MN 与NE 的夹角 ,即∠MNE .设正四面体的棱长为2 ,可得NE ＝1 ,ME ＝1 ,MN ＝ 2 ,故cos ∠MNE ＝NE 2＋MN 2－ME 22NE ·MN＝22. 9.如下列图 ,在空间四边形ABCD 中 ,点E ,H 分别是边AB ,AD的中点 ,点F ,G 分别是边BC ,CD 上的点 ,且CF CB ＝CG CD ＝23 ,那么以下说法正确的选项是④.(填写所有正确说法的序号)①EF 与GH 平行；②EF 与GH 异面；③EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上 ,也可能不在直线AC 上； ④EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上．解析：连接EH ,FG (图略) ,依题意 ,可得EH ∥BD ,FG ∥BD ,故EH ∥FG ,所以E ,F ,G ,H 共面．因为EH ＝12BD ,FG ＝23BD ,故EH ≠FG ,所以EFGH 是梯形 ,EF 与GH 必相交 ,设交点为M .因为点M 在EF 上 ,故点M 在平面ACB 上．同理 ,点M 在平面ACD 上 ,∴点M 是平面ACB 与平面ACD 的交点 ,又AC 是这两个平面的交线 ,所以点M 一定在直线AC 上．三、解答题10.如下列图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1 ,B1C1的中点．问：(1)AM与CN是否是异面直线?说明理由；(2)D1B与CC1是否是异面直线?说明理由．解：(1)AM与CN不是异面直线．理由如下：如图,连接MN ,A1C1 ,AC.因为M ,N分别是A1B1 ,B1C1的中点,所以MN∥A1C1.又因为A1A綊C1C ,所以四边形A1ACC1为平行四边形,所以A1C1∥AC ,所以MN∥AC ,所以A ,M ,N ,C在同一平面内,故AM和CN不是异面直线．(2)D1B与CC1是异面直线．理由如下：因为ABCD-A1B1C1D1是正方体,所以B ,C ,C1 ,D1不共面．假设D1B与CC1不是异面直线,那么存在平面α,使D1B⊂平面α ,CC1⊂平面α ,所以D1 ,B ,C ,C1∈α ,这与B ,C ,C 1 ,D 1不共面矛盾．所以假设不成立 ,即D 1B 与CC 1是异面直线．11．如图 ,在三棱锥P -ABC 中 ,P A ⊥底面ABC ,D 是PC 的中点．∠BAC ＝π2 ,AB ＝2 ,AC ＝2 3 ,P A ＝2.求：(1)三棱锥P -ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．解：(1)S △ABC ＝12×2×23＝2 3 ,三棱锥P -ABC 的体积为V ＝13S△ABC ·P A ＝13×23×2＝433.(2)如图 ,取PB 的中点E ,连接DE ,AE ,那么ED ∥BC ,所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角．在△ADE 中 ,DE ＝2 ,AE ＝ 2 ,AD ＝2 ,cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34.故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34.12．如图是三棱锥D -ABC 的三视图 ,点O 在三个视图中都是所在边的中点 ,那么异面直线DO 和AB 所成角的余弦值等于( A )A.33 B.12C. 3D.2 2解析：由三视图及题意得如下列图的直观图,从A出发的三条线段AB ,AC ,AD两两垂直且AB＝AC＝2 ,AD＝1 ,O是BC中点,取AC 中点E ,连接DE ,DO ,OE ,那么OE＝1 ,又可知AE＝1 ,由于OE∥AB ,故∠DOE即为所求两异面直线所成的角或其补角．在直角三角形DAE 中,DE＝ 2 ,由于O是BC的中点,在直角三角形ABC中可以求得AO＝ 2 ,在直角三角形DAO中可以求得DO＝ 3.在三角形DOE中,由余弦定理得cos∠DOE＝1＋3－22×1×3＝33,故所求异面直线DO与AB所成角的余弦值为33.13．正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段B1D1上的一个动点,那么以下结论中正确的选项是①②③(填序号)．①AC⊥BE；②B1E∥平面ABCD；③三棱锥E-ABC的体积为定值；④直线B1E⊥直线BC1.解析：因AC⊥平面BDD1B1,故①正确；因B1D1∥平面ABCD,故②正确；记正方体的体积为V ,那么V E-ABC＝16V ,为定值,故③正确；B1E与BC1不垂直,故④错误．14.如下列图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是边长为2的正三角形,侧棱A1A⊥底面ABC ,点E ,F分别是棱CC1 ,BB1上的点,点M 是线段AC上的动点,EC＝2FB＝2.(1)当点M在何位置时,BM∥平面AEF?(2)假设BM∥平面AEF ,判断BM与EF的位置关系,说明理由；并求BM与EF所成的角的余弦值．解：(1)解法1：如下列图,取AE的中点O,连接OF,过点O作OM⊥AC于点M.因为侧棱A1A⊥底面ABC ,所以侧面A1ACC1⊥底面ABC.又因为EC＝2FB＝2 ,所以OM∥EC∥FB且OM＝12EC＝FB ,所以四边形OMBF为矩形,BM∥OF.因为OF⊂平面AEF ,BM⊄平面AEF ,故BM∥平面AEF ,此时点M为AC的中点．解法2：如下列图,取EC的中点P ,AC的中点Q ,连接PQ ,PB ,BQ.因为EC＝2FB＝2 ,所以PE綊BF ,所以PQ∥AE ,PB∥EF ,所以PQ∥平面AFE ,PB∥平面AEF ,因为PB∩PQ＝P ,PB⊂平面PBQ ,PQ⊂平面PBQ ,所以平面PBQ ∥平面AEF.又因为BQ⊂平面PBQ ,所以BQ∥平面AEF.故点Q即为所求的点M ,此时点M为AC的中点．(2)由(1)知,BM与EF异面,∠OFE(或∠MBP)就是异面直线BM 与EF所成的角或其补角．易求AF＝EF＝ 5 ,MB＝OF＝ 3 ,OF⊥AE,所以cos∠OFE＝OF EF ＝35＝155,所以BM与EF所成的角的余弦值为155.尖子生小题库 - -供重点班学生使用普通班学生慎用15．平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1 ,α∩平面ABCD＝m ,α∩平面ABB1A1＝n ,那么m ,n所成角的正弦值为(A)A.32 B.22C.33 D.13解析：如下列图,设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1 ,因为α∥平面CB1D1 ,所以m1∥m ,又平面ABCD∥平面A1B1C1D1 ,且平面B1D1C∩平面A1B1C1D1＝B1D1 ,所以B1D1∥m1 ,故B1D1∥m.因为平面ABB1A1∥平面DCC1D1 ,且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1 ,同理可证CD1∥n.故m ,n所成角即直线B1D1与CD1所成角,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,△CB1D1是正三角形,故直线B1D1与CD1所成角为60° ,其正弦值为32.16．(2021·成都诊断性检测)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为正方形,P为A1D1的中点,AD＝2 ,AA1＝ 3 ,点Q是正方形ABCD所在平面内的一个动点,且QC＝2QP ,那么线段BQ的长度的最||大值为6.解析：以D为坐标原点,分别以DA ,DC ,DD1所在直线为x轴、公众号：惟微小筑y轴、z轴,建立空间直角坐标系,那么P(1,0 ,3) ,C(0,2,0) ,B(2,2,0) ,Q(x ,y,0) ,因为QC＝2QP ,所以x2＋(y－2)2＝2(x－1)2＋y2＋3⇒(x－2)2＋(y＋2)2＝4 ,所以(y＋2)2＝4－(x－2)2≤4⇒|y＋2|≤2⇒－4≤y≤0 ,BQ＝(x－2)2＋(y－2)2＝4－(y＋2)2＋(y－2)2＝4－8y,根据－4≤y≤0可得4≤4－8y≤36 ,所以2≤BQ≤6 ,故线段BQ的长度的最||大值为6.。

2020高考数学课后作业9-3空间点、直线、平面之间的位置关系新人教A版

2020高考数学人教A版课后作业：9-3空间点、直线、平面之间的位置关系1. （文）（2020 •福州二检）给出下列四个命题：①没有公共点的两条直线平行；②互相垂直的两条直线是相交直线；③既不平行也不相交的直线是异面直线；④不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2C．3 D．4[ 答案] B[解析]没有公共点的两条直线平行或异面，故命题①错；互相垂直的两条直线相交或异面，故命题②错；既不平行也不相交的直线是异面直线，不同在任一平面内的两条直线是异面直线，命题③、④正确，故选 B.（理）（2020 •浙江文，4）若直线I不平行于平面a,且l? a,则（）A. a内的所有直线与I异面B．a 内不存在与l 平行的直线C. a 内存在唯一的直线与I 平行D. a 内的直线与I 都相交[ 答案] B[解析]由题意知不妨设直线I A a= M对A过M点的a内的直线与I不异面，A错误；对B,假设存在与I平行的直线m则由m// I得I //a ,这与I A a = M矛盾，故B正确；C显然错误；对D, a内存在与I 异面的直线，故D错误.综上知选 B.2. （2020 •深圳市调研）已知E、F、G H是空间内四个点，条件甲：E、F、G H四点不共面，条件乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[ 答案] A[解析]点E、F、G H四点不共面可以推出直线EF和GH^相交；但由直线EF和GH^ 相交不一定能推出E、F、G H四点不共面，例如：EF和GH平行，这也是直线EF和GH不相交的一种情况，但E、F、G H四点共面.故甲是乙成立的充分不必要条件.3. （文）（2020 •威海质检）已知直线I、m平面a ,且a,则I // m是I //a的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件［答案］D［解析］由I // m可知I //a或l ? a,所以“ I // m”’不是“ I //a "的充分条件，I //a 且m? a,则直线I // m或直线I与m异面，所以“ I // m也不是“ I //a ”的必要条件，故选 D.（理）（2020 •淄博一中）已知直线I丄平面a，直线n?平面卩，则a/卩是I丄m的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件［答案］A［解析］若a//®,则由I丄a知I丄卩，又m?卩，可得I丄m若a与卩相交（如下图），设a n ®=n当mil n时，由I丄a可得I丄m而此时a与卩不平行.于是a/®是I丄m的充分不必要条件.故选A.4. （2020 •济宁一模）已知空间中有三条线段AB BC和CD且/ ABC=Z BCD那么直线AB与CD的位置关系是（）A. AB// CDB. AB与CD异面C. AB与CD相交D. AB// CD或AB与CD异面或AB与CD相交［答案］D［解析］若三条线段共面，如果AB BC CD勾成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线，故选D.5 .平行六面体ABC B A i B i C iD中，既与AB共面也与CC共面的棱的条数为（）A. 3B. 4C. 5D. 6［答案］C［解析］AA 、BB ,共 5 条.6 .在空间四边形 ABCD 勺边AB BG CD DA 上分别取 E F 、G H 四点，若 EF 与GH 交于点M［答案］A［解析］点P 在平面ABC 内，又在平面 ADC 内，故必在交线 AC 上.7. （2020 •金华模拟）在图中，G H 、M N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则使图③中，连接 MG GMT HN 因此GH 与 MN 共面; 图④中，G M N 共面，但H?平面GMN因此GH 与 MN 异面.CC 共面的棱为 BC CD 、DCA .M —定在 AC 上B . M —定在 BD 卜C. M 可能在AC 上也可能在BD 上D. M 不在AC 上，也不在BD 上直线GH MN 是异面直线的图形有.（填上所有正确答案的序号）图②中, 因此直线图①中，直线 GH/ MNG H N 三点在三棱柱的侧面上,MGW这个侧G 二 M ?平面 GHNGH 与 MN 异面; 如上图，平行六面体///④所以图②、④中GH与MN异面.8.如下图，平面ABEFL平面ABCD四边形ABEF与ABCDTE是直角梯形，/ BAD=Z FAB=90°, BC 綊1A D, BE 綊2F A G H 分别为FA 、FD 的中点.(1)证明：四边形 BCH (是平行四边形; (2) CD F 、E 四点是否共面？为什么？⑶设AB= BE 证明：平面 ADEL 平面CDE［解析］解法一：由题设知， FA 、AB AD 两两互相垂直.如图，以A 为坐标原点, AB 为x 轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系A — xyz .(1)设 AB= a , BC= b , BE= c ,则由题设得 A (0 , 0,0) , B ( a, 0,0) , C ( a , b, 0) , D (0,2日 a,0, c ) , G (0,0 , c ), H(0, b , c ), F (0,0,2 c ).—f所以，GH= (0 , b, 0), BC= (0 , b,0),于是GH= BC 又点G 不在直线BC 上 , 所以四边形BCHG1平行四边形.⑵CD F 、E 四点共面.理由如下：由题设知，F (0,0,2 c ),所以f f f fEF = ( — a, 0 , c ), CH= ( — a, 0 , c ), EF = CH 又C ?EF, H € FD,故C D F 、E 四点共面.射线b,0),⑶由AB= BE 得c = a,所以CH= ( —a, 0, a), AE= (a, 0, a)又AD= (0,2 b,0)，因此CH- AE= 0, CH- AD= 0即CHL AE CHL AD,又AR AE= A,所以CHL平面ADE故由CH?平面CDFE得平面AD L平面CDE［点评］如果所给问题中存在两两垂直的直线交于一点，容易将各点的坐标表示出来时，可用向量法求解•如果其所讨论关系不涉及求角，求距离或所求角、距离比较容易找(作)出时，可不用向量法求解•本题解答如下：1解法二：⑴由题设知，FG= GA FH= HD所以GH綊q AD1又BC綊q AD故GH綊BC所以四边形BCHG1平行四边形.⑵CD F、E四点共面•理由如下：1由BE綊q AF, G是FA的中点知，BE綊GF,所以EF// BG由(1)知BG// CH所以EF / CH故EC FH共面.又点D直线FH上,所以CD F、E四点共面.⑶连结EG由AB= BE, BE綊AG及/ BAG= 90°知ABEG1正方形，故BGL EA由题设知，FA AD AB两两垂直，故ADL平面FABE因此EA是ED在平面FABE内的射影，二BGL ED又E8 EA= E ,所以BGL平面ADE由(1)知，CH// BG所以CHL平面ADE由⑵知F€平面CDE故CH?平面CDE得平面ADEL平面CDE能力拓展提高1. （2020 •北京市西城区模拟）正方体ABC D ABCD中，与对角线AG异面的棱有（）A. 3条B. 4条C. 6条D. 8条［答案］Cr［解析］在正方体ABC B ABCD中，与对角线AC有公共点A的和有公共点C的各有3 条，其余6条所在正方体的面与AC均相交，且交点不在这些棱上，由异面直线判定定理知，这6条与AC都异面，故选C.2 .（文）（2020 •四川文，6）l i,l2,丨3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A. 丨1丄丨 2 ,丨2丄丨3? l 1 II l 3B. l 1 丄l 2 , l 2 II l 3? l 1 丄l 3C. l 1 I l 2 II l 3? l 1 , l 2 , l 3共面D. l 1 , l 2 , l 3共点？丨1,丨2,丨3共面［答案］B［解析］举反例，由教室内共点的三条墙角线可知A、D是错误的；由三棱柱的三条侧棱可知C是错误的.故选 B.（理）（2020 •浙江省嘉兴市高三教学测试）如图，在正方「体ABCD- ABCD中，M N分别是BC, CD的中点，则下列判断错误的是（）A. MNW CC垂直B. MN与AC垂直C. MNW BD平行D. MNW AB 平行［答案］D［解析］由于CD与AB平行，MNW CD是异面直线，所以MN与AB是异面直线，故选项D错误.［点评］取 CG 中点 P ,贝U MP// BC , NP// CD , •/ CC 丄 BC , CG 丄 CD ,「.CC 丄MP CC 丄NP,1 1 •••CC 丄平面MNP 「. CC 丄MN ••• A 正确；取CD 中点Q BC 中点R 贝U NC 綊q DD, MF 綊q CC, •••CC 綊 DD, ••• NQ 綊 MR • M / QR •/ QR/BD ACL BD • AC 丄 MN • B 正确；•/ MIN/QR QR/ BD •- MIN/ BD •- C 正确.3 .已知a 、b 、c 是相异直线，a 、卩、丫是相异平面，下列命题中正确的是（）A. a 与b 异面，b 与c 异面？ a 与c 异面B. a 与b 相交，b 与c 相交？a 与c 相交C.a//® ,卩〃丫？ a/丫D. a ? a , b ? ® , a 与卩相交？ a 与b 相交［答案］C［解析］如下图（1）,正方体 ABC B ABCD 中，a 、b 、c 是三条棱所在直线满足 a 与b 异面，b 与c 异面，但a n c =代故A 错；同样在图（2）的正方体中，满足 a 与b 相交，b 与c 相交，但a 与c 不相交，故B 错；如图 ⑶，a n 3= c , a // c ,则a 与b 不相交，故D 错.(1)(2)(3)异面直线BA 与AC 所成的角等于（）A . 30°B . 45° C. 60° D. 90°［答案］C［解析］将原来的直三棱柱补成一个正方体 ABD （- ABDC ,• AC //BD ,•••/ ABD 即为异面直线 BA 与AC 所成的角. • △ ABD 为正三角形, • / ABD = 60°.［点评］异面直线所成的角是重点考查的一个内容，难点在于寻找异面直线的平行线，4. (2020 •全国卷I 文,6）直三棱柱 ABC-ABC 中，若/ BAC = 90° , A* AC = AA ,贝 U本题巧妙地构造一个正方体，借助于正方体的特点，很容易找出异面直线所成的角.5.（2020 •南京模拟）如图，直三棱柱ABC- ABC 中，AB= 1, BC= 2 , AC= .5 , AA = 3 , M为线段BB 上的一动点，则当 AW MC 最小时，△ AMC 勺面积为 __________［解析］如下图，在正方体 AC 中，I Q€ AQ ,.・.Q€平面 ACCA 又Q€ ［答案］,：3［解析］将三棱柱的侧面 AABB 和BBCC 以BB 为折痕展平到一个平面a 内AC 与BB 相交，则交点即为 M 点，易求 BM= 1 ,••• AM= ,2 MC = 2 '2,又在棱柱中，AC = 14,AM 2+ MC 2 — AC 2 2+ 8- 14 1•- cos / AM" = ----------- =一二，2AM- MC 2X 羽X 2羽 2•••/ AMC 120°,1• S A AMC = ^AM- MC ・ sin / AMC，在平面 a =1X .''2X2'2 X ~23= 36•如下图，已知正方体 ABC — ABCD 中，E 、F 分别为 DC 、BC 的中点,AG A EF = Q,若AQ 交平面BDEF 于点R 试确定点 R 的位置.AC A BD = P,BDEF即卩Q是平面A1C1CA与平面BDEF的公共点.同理，P也是平面ACCA与平面BDEF的公共点.•••平面A1GCA O平面BDE= PQ 又ACH平面BDE= R,. R€ AC,••• R€ 平面ACCA 又R€ 平面BDEF 二R€ PQ ••• R是A C与PQ的交点.7.(文)正方体ABCB ABGD的棱长为1.求：(1) AB与BC所成的角；⑵AB与BD的距离.［解析］(1) ••• AB// CD •/ BCD为AB和BC所成的角,•/ DCL平面BBCC,•DCL BC,于是/ BCD= 90°,•AB与B i C所成的角为90°.⑵••• AB// CD AB?平面BDC DC?平面B i DC•AB//平面B i DC从而AB与BD的距离即为AB与平面B i DC的距离，连接BC交BC于0点，易知BOL B i C, BOL CD •- BOL平面BDC•B0的长为B到平面B i DC的距离，••• Bd#AB与BiD的距离为乎.(理)(2020 •湖南文)如下图所示，在长方体ABCD- ABCD中，AB= AD= 1, AA= 2, M是棱CG 的中点.(1) 求异面直线AM和CD所成的角的正切值；(2) 证明：平面ABM L平面A i B i M I［解析］方法1: (1)如图，因为CD// BA,所以「/MAB为异面直线AM与GD所成的角. 因为AB L 平面BCCB i，所以/ ABM= 90°,而A B i = 1, B i M= ；'BC 2+ MC2= ：2，故BM 厂tan / MAB = AB = 2 即异面直线AM和CD所成的角的正切值为羽.(2)由AB丄平面BCCB, BM?平面平面BCGB，得A1B1L BM ①由(1)知，BM= 2,又BM=P BC+ CM=d BB= 2,所以BM+ BM= B1B2,从而BM L BM ②又AB n BM= B,.・.BML平面ABM 而BM?平面ABM因此平面ABM_平面ABMf f方法2：以A为原点，AB AD, AA的方向分别作为x、y、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0) , B(1,0,0) , A (0,0,2) , B(1,0,2) , C(1,1,2) , D(0,1,2),M1,1,1).⑴AM= (1,1 , - 1) , CD = (—1,0,0),cos〈AM CD〉= - 1 =-半.^3X1 3设异面直线AM与CD所成角为a，贝U cos a =-^3,3•- tan a = :2即异面直线AM和CD所成的角的正切值是沱.(2) A B = ( 1 ,0,0) , BM= (0,1 , 1 ) , BM= (0,1，—1),A1B1 • BM= 0, BM" BM= 0,f f f f• A1B1L BM BM L BM 即BM L A1B1, BM L BM>又B MA A1B = B1, ••• BML平面ABM 而BM?平面ABM备选题库因此ABML平面ABM1 •将正方体纸盒展开如图所示，直线AB, CD在原正方体中的位置关系是（）A .平行C.相交成60°角［答案］D2. （09 •江西）如图，在四面体ABC ［中，若截面PQM 是正方形，则在下列命题中，错误的为（）A . ACL BDB . AC//截面 PQMNC. AC= BDD. 异面直线PM 与BD 所成的角为45［答案］CB QC c60°角［解析］•/ MN PQ ••• MN平面ABC, MN AC同理BD// QM•/ MN_ QM •- ACL BD •- A 正确；•/ AC//MN•AC//面PQMN 故 B 对；•/ BD//QM •- PM与BD所成角即为/ PMQ•PM与BD成45° 角,故D对.选 C.3. (2020 •山西太原调研)已知平面a和不重合的两条直线m n，下列选项正确的是( )A. 如果m? a , n? a , m n是异面直线，那么n//aB. 如果m? a , n与a相交，那么m n是异面直线C. 如果m? a , n //a , m n共面，那么m// nD. 如果ml a , n丄m那么n//a［答案］C［解析］如图(1)可知A错；如图⑵可知B错；如图⑶，m l a ,门是a内的任意直线，都有n L m故D错.t n //a ,• n与a无公共点，••• n? a ,• n与m无公共点，又m n共面，• m// n,故选C.⑴(2) ⑶a⑴(2) ⑶。

2020届高考数学(理)一轮必刷题专题41 空间点、直线、平面之间的位置关系(解析版)

考点41 空间点、直线、平面之间的位置关系1．（山东省日照市2019届高三5月校际联合考试数学理）已知,m n 是两条不同直线，,αβ是两个不同平面，给出四个命题： ①若m αβ=，n α⊂，n m ⊥，则αβ⊥；②若,m m αβ⊥⊥，则αβ；③若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥；④若,,m n m n αβ，则αβ.其中正确的命题是（）A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④【答案】B 【解析】①若m αβ=，n α⊂，n m ⊥，如图，则α与β不一定垂直，故①为假命题；②若,m m αβ⊥⊥，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，则αβ；故②为真命题；③若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥，故③为真命题；④若,,m n m n αβ，如图，则α与β可能相交，故④为假命题．故选：B ．2．（四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学理）设,a b 是空间两条直线，则“,a b 不平行”是“,a b 是异面直线”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】由,a b 是异面直线⇒,a b 不平行．反之若直线,a b 不平行，也可能相交．所以“,a b 不平行”是“,a b 是异面直线”的必要不充分条件．故选：B ．3．（安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测）如图，边长为1的菱形ABCD 中，60DAB ︒∠= ，沿BD 将ABD ∆ 翻折，得到三棱锥A BCD - ，则当三棱锥A BCD -体积最大时，异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为（）A ．58B ．23C ．1316D ．14【答案】D【解析】当三棱锥A BCD -体积最大时，平面ADB ^平面BDC ，边长为1的菱形ABCD 中，60DAB ︒∠=BD 1\=取DB 中点O ，连接AO,OC ，则AO ⊥平面BDC ，OC ^平面ADB ，以O 为原点，分别OB,OC,OA 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系则11D ,0,0,A 0,0,,B ,0,0222骣骣骣琪琪琪-琪琪琪桫桫桫，C 0,,02骣琪琪桫131,0,,,2222AD BC 骣骣琪琪=--=-琪琪桫桫设异面直线AD 与BC 所成角为θ1||14cos 114||||AD BC AD BC q ×\===´×即异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为14故选D．4．（山东省泰安市教科研中心2019届高三考前密卷数学理）如图所示，边长为a的空间四边形ABCD中，∠BCD＝90°，平面ABD⊥平面BCD，则异面直线AD与BC所成角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C【解析】由题意得BC＝CD＝a，∠BCD＝90°，∴BD，∴∠BAD＝90°，取BD中点O，连结AO，CO，∵AB＝BC＝CD＝DA＝a，∴AO⊥BD，CO⊥BD，且AO＝BO＝OD＝OC＝，2又∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊥BD，∴AO⊥平面BCD，延长CO至点E，使CO＝OE，连结ED，EA，EB，则四边形BCDE为正方形，即有BC∥DE，∴∠ADE（或其补角）即为异面直线AD与BC所成角，由题意得AE＝a，ED＝a，∴△AED为正三角形，∴∠ADE＝60°，∴异面直线AD与BC所成角的大小为60°．故选：C．5．（安徽省1号卷A10联盟2019届高考最后一卷数学理）已知,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（） A ．若//,//m n αα，则//m n B ．若,αγβγ⊥⊥，则//αβC ．若//,//m n αα，且,m n ββ⊂⊂，则//αβD ．若,m n αβ⊥⊥，且αβ⊥，则m n ⊥ 【答案】D 【解析】若//m α，//n α，则//m n 或m 与n 异面或m 与n 相交，故选项A 错误；若αγ⊥，βγ⊥，则α与β可能相交，故选项B 错误；若直线,m n 不相交，则平面,αβ不一定平行，故选项C 错误；αβ⊥Q ，m α⊥ //m β∴或m β⊂，又n β⊥ m n ∴⊥，故选项D 正确.本题正确选项：D6．（江西省吉安市2019届高三下学期第一次模拟考试数学理）如图，长为4，宽为2的矩形纸片ABCD 中，E 为边AB 的中点，将A ∠沿直线DE 翻转1A DE △（1A ∉平面ABCD ），若M 为线段1A C 的中点，则在ADE 翻转过程中，下列说法错误的是（）A ．//MB 平面1A DEB ．异面直线BM 与1A E 所成角是定值C ．三棱锥1A ADE -体积的最大值是3D ．一定存在某个位置，使1DE A C ⊥ 【答案】D 【解析】由题意，对于A ，延长CB ，DE 交于H ，连接1A H ，由E 为AB 的中点，可得B 为CH 的中点，又M 为1A C 的中点，可得1BM //A H ，BM ⊄平面1A DE ，1A H ⊂平面1A DE ，则BM//平面1A DE ，∴A 正确；对于B ，AB 2AD 4==，过E 作EG //BM ，G ∈平面1A DC ，则1A EG ∠是异面直线BM 与1A E 所成的角或所成角的补角，且11A EG EA H ∠∠=，在1EA H 中，1EA 2=，EH DE ==则1A H =，则1EA H ∠为定值，即1A EG ∠为定值，∴B 正确；对于C ，设O 为DE 的中点，连接OA ，由直角三角形斜边的中线长为斜边的一半，可得平面1A DE ⊥平面ADE 时，三棱锥1A ADE -的体积最大，最大体积为2Δug 1111V S A 02332=⋅=⨯⨯=，∴C 正确；对于D ，连接1A O ，可得1DE A O ⊥，若DE MO ⊥，即有DE ⊥平面1A MO ，即有1DE A C ⊥，由1A C 在平面ABCD 中的射影为AC ，可得AC 与DE 垂直，但AC 与DE 不垂直，则不存在某个位置，使DE MO ⊥，∴D 错误；故选：D ．7．（新疆乌鲁木齐市2019届高三第二次诊断性测试数学理）如图，是棱长为1的正方体的平面展开图，则在这个正方体中，以下结论正确的是（）A ．点A 到EFB ．三棱锥C DMN -的体积是16C ．EF 与平面CDN 所成的角是45︒D ．EF 与MN 所成的角是60︒ 【答案】D 【解析】解：根据正方体的平面展开图，画出它的立体图形如图所示，对于A ，连接ND ，与EF 交于O 点，连接AO ，则AO 的长即点A 到EF 的距离，AO 2，故A 错误；对于B ，三棱锥C DMN -的体积是33２１１，故B 错误；对于C ，F 点到平面CDN的距离为3，∴EF 与平面CDN3，故C 错误；对于D ，EF 与MN 所成的角即MC 与MN 所成的角，显然是60°，故D 正确，故选：D8．（新疆乌鲁木齐市2019届高三第二次诊断性测试数学理）设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（） A ．若αβ⊥，m β⊥，则//m α B ．若//m α，n m ⊥，则n α⊥C ．若//m α，//n α，m β⊂，n β⊂，则//αβD ．若//m β，m α⊂，n αβ=，则//m n【答案】D 【解析】若αβ⊥，m β⊥，则有可能m 在面α内，故A 错误；若//m α，n m ⊥，n 有可能在面α内，故B 错误；若一平面内两相交直线分别与另一平面平行，则两平面平行，故C 错误．若//m β，m α⊂，n αβ=，则由直线与平面平行的性质知//m n ，故D 正确．故选D.9．（湖北省武汉市2019年高考数学理）已知两个平面相互垂直，下列命题 ①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 ②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线 ③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确命题个数是（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】由题意，对于①，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故①错误；对于②，设平面α∩平面β=m ，n ⊂α，l ⊂β，∵平面α⊥平面β， ∴当l ⊥m 时，必有l ⊥α，而n ⊂α， ∴l ⊥n ，而在平面β内与l 平行的直线有无数条，这些直线均与n 垂直，故一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即②正确；对于③，当两个平面垂直时，一个平面内的任一条直线不垂直于另一个平面，故③错误；对于④，当两个平面垂直时，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面，这是面面垂直的性质定理，故④正确；故选：B ．10．（辽宁省辽阳市2019届高三下学期一模数学理）如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱AB 和A 1D 1的中点分别为E ，F ，AB ＝6，AD ＝8，AA 1＝7，则异面直线EF 与AA 1所成角的正切值为（）A ．57B ．75C D【解析】取A 1B 1中点G ，连接EG ，FG ，EG ⊥FG ，因为EG ∥AA 1，所以异面直线EF 与AA 1所成角为∠FEG 或其补角，在△EFG 中，FG ＝5，EG ＝7，所以tan ∠FEG 57=，故选：A ．11．（广东省湛江市2019年普通高考测试二理）已知,,αβγ是三个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，给出下列命题：①若//,m n αα⊂，则//m n ；②若,//m m n αβ⋂=，且,n n αβ⊄⊄，则//,//n n αβ； ③若,,//n m αβαβ⊥⊂，则m n ⊥； ④ ,,,m n αγβγαβγ⊥⊥⋂=⊂，则m n ⊥. 其中真命题的个数是（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】对①若//,m n αα⊂，则//m n 或m,n 异面，故错误；对②，由线面平行的判定定理知：若,//m m n αβ⋂=，且,n n αβ⊄⊄，则//,//n n αβ，正确对③，若,//n ααβ⊥，则,m m ββ⊥⊂，则m n ⊥，正确对④，设α,?,a b γβγ==在面γ内任取点O,作OA a,⊥ OB b,⊥由,αγβγ⊥⊥，得OA ,α⊥ OB ,β⊥故OA ,m ⊥ OB ,m ⊥则m γ⊥，又n m n γ⊂⊥，则，正确综上真命题的个数是3个12．（甘肃省兰州市2019届高三实战模拟考试二诊数学（理）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，AD =1AA 11A B 与1AC 所成角的余弦值为（）A ．14B C D ．13【答案】C 【解析】因为长方体1111ABCD A B C D -所以11A B AB ∥，所以1BAC ∠即为异面直线11A B 与1AC 所成角。

高考数学统考一轮复习课后限时集训42空间点直线平面之间的位置关系理含解析新人教版

课后限时集训(四十二) 空间点、直线、平面之间的位置关系建议用时：40分钟一、选择题1．a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是()A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等D．若a⊥b，b⊥c，则a∥cC〖若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c 相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确．故选C．〗2．给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面．其中正确的序号是() A．①B．①④C．②③D．③④B〖①显然正确；②错误，三条平行直线可能确定1个或3个平面；③若三个点共线，则两个平面相交，故③错误；④显然正确．故选B．〗3．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是()A B C DD〖A，B，C图中四点一定共面，D中四点不共面．〗4.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是()A．直线ACB．直线ABC ．直线CD D ．直线BCC 〖由题意知，D ∈l ，l ⊂β，所以D ∈β，又因为D ∈AB ，所以D ∈平面ABC ，所以点D 在平面ABC 与平面β的交线上．又因为C ∈平面ABC ，C ∈β，所以点C 在平面β与平面ABC 的交线上，所以平面ABC ∩平面β＝CD ．〗5.(2020·兰州模拟)如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若点E 为BC 的中点，点F 为B 1C 1的中点，则异面直线AF 与C 1E 所成角的余弦值为( )A ．23B ．53C ．52D ．255B 〖不妨设正方体的棱长为1，取A 1D 1的中点G ，连接AG ，易知GA ∥C 1E ，则∠F AG (或其补角)为异面直线AF 与C 1E 所成的角．连接FG (图略)，在△AFG 中，AG ＝12＋⎝⎛⎭⎫122＝52，AF ＝12＋⎝⎛⎭⎫522＝32，FG ＝1，于是cos ∠F AG ＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫522－122×32×52＝53，故选B ．〗6．在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝2BB 1，则AB 1与BC 1所成角的大小为( ) A ．30° B ．60° C ．75° D ．90°D 〖将正三棱柱ABC -A 1B 1C 1补为四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1，连接C 1D ，BD (图略)，则C 1D ∥B 1A ，∠BC 1D 为所求角或其补角．设BB 1＝2，则BC ＝CD ＝2，∠BCD ＝120°，BD ＝23，又因为BC 1＝C 1D ＝6，所以∠BC 1D ＝90°.〗二、填空题7．已知AE 是长方体ABCD -EFGH 的一条棱，则在这个长方体的十二条棱中，与AE 异面且垂直的棱共有条．4 〖如图，作出长方体ABCD -EFGH .在这个长方体的十二条棱中，与AE 异面且垂直的棱有：GH 、GF 、BC 、CD ．共4条．〗 8．已知在四面体ABCD 中，E ，F 分别是AC ，BD 的中点．若AB ＝2，CD ＝4，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成角的度数为．30° 〖如图，设G 为AD 的中点，连接GF ，GE ，则GF ，GE 分别为△ABD ，△ACD 的中位线．由此可得GF ∥AB ，且GF ＝12AB ＝1，GE ∥CD ，且GE ＝12CD ＝2，∴∠FEG 或其补角即为EF 与CD 所成的角．又∵EF ⊥AB ，GF ∥AB ，∴EF ⊥GF . 因此，在Rt △EFG 中，GF ＝1，GE ＝2， sin ∠GEF ＝GF GE ＝12，可得∠GEF ＝30°，∴EF 与CD 所成角的度数为30°.〗9．在下列四个图中，G ，N ，M ，H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直线的图形有．(填序号)① ② ③ ④②④ 〖图①中，直线GH ∥MN ；图②中，G ，H ，N 三点共面，但M ∉平面GHN ，因此直线GH 与MN 异面；图③中，连接MG ，GM ∥HN ，因此GH 与MN 共面；图④中，G ，M ，N 共面，但H ∉平面GMN ，因此GH 与MN 异面．所以在图②④中，GH 与MN 异面．〗三、解答题10.如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是梯形，BC 綊12AD ，BE 綊12F A ，G ，H 分别为F A ，FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？〖解〗 (1)证明：由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH 綊12AD ．又BC 綊12AD ，∴GH綊BC ．∴四边形BCHG 为平行四边形． (2)∵BE 綊12AF ，G 为F A 的中点，∴BE 綊FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG . 由(1)知BG 綊CH ，∴EF ∥CH ，∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C ，D ，F ，E 四点共面．11.如图所示，A 是△BCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是BC ，AD 的中点．(1)求证：直线EF 与BD 是异面直线；(2)若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角．〖解〗 (1)证明：假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A ，B ，C ，D 在同一平面内，这与A 是△BCD 所在平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线．(2)取CD 的中点G ，连接EG ，FG ，则AC ∥FG ，EG ∥BD ，所以相交直线EF 与EG 所成的角，即为异面直线EF 与BD 所成的角．又因为AC ⊥BD ，则FG ⊥EG . 在Rt △EGF 中，由EG ＝FG ＝12AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.1.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且AB ＝BC ＝CD ，则异面直线AC 与BD 所成的角的余弦值为( )A ．12B ．－12C ．32D ．－32A 〖如图所示，分别取AB ，AD ，BC ，BD 的中点E ，F ，G ，O ，连接EF ，FO ，OG ，GE ，GF ，则EF ∥BD ，EG ∥AC ，FO ⊥OG ，∴∠FEG 或其补角为异面直线AC 与BD 所成的角．设AB ＝2a ，则EG ＝EF ＝2a ，FG ＝a 2＋a 2＝2a ，∴△EFG 是等边三角形，∴∠FEG ＝60°，∴异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为12，故选A ．〗2.(2019·全国卷Ⅲ)如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则( )A ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线B 〖如图所示，作EO ⊥CD 于O ，连接ON ，过M 作MF ⊥OD 于F .连接BF ，∵平面CDE ⊥平面ABCD ，EO ⊥CD ，EO ⊂平面CDE ，∴EO ⊥平面ABCD ，MF ⊥平面ABCD ，∴△MFB 与△EON 均为直角三角形．设正方形边长为2，易知EO ＝3，ON ＝1，EN ＝2，MF ＝32，BF ＝52， ∴BM ＝7.∴BM ≠EN .连接BD ，BE ，∵点N 是正方形ABCD 的中点，∴点N 在BD 上，且BN ＝DN .又∵M 为ED 的中点， ∴BM ，EN 为△DBE 的中线， ∴BM ，EN 必相交．故选B ．〗3.如图，E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 各边上的点，且AE ∶EB ＝AH ∶HD ＝m ，CF ∶FB ＝CG ∶GD ＝n .(1)证明：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)m ，n 满足什么条件时，四边形EFGH 是平行四边形？ (3)在(2)的条件下，若AC ⊥BD ．试证明：EG ＝FH .〖解〗 (1)证明：因为AE ∶EB ＝AH ∶HD ，所以EH ∥BD ．又CF ∶FB ＝CG ∶GD ，所以FG ∥BD ．所以EH ∥FG . 所以E ，F ，G ，H 四点共面．(2)当EH ∥FG ，且EH ＝FG 时，四边形EFGH 为平行四边形．因为EH BD ＝AE AE ＋EB ＝m m ＋1，所以EH ＝m m ＋1BD ．同理可得FG ＝n n ＋1BD ，由EH ＝FG ，得m ＝n .故当m ＝n 时，四边形EFGH 为平行四边形．(3)证明：当m ＝n 时，AE ∶EB ＝CF ∶FB ，所以EF ∥AC ，又EH ∥BD ，所以∠FEH 是AC 与BD 所成的角(或其补角)，因为AC ⊥BD ，所以∠FEH ＝90°，从而平行四边形EFGH 为矩形，所以EG ＝FH .。

高考一轮复习课时作业(人教版)：8-3空间点、直线、平面之间的位置关系word版含答案

8-3空间点、直线、平面之间的位置关系A级基础达标演练(时间：40分钟满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2012·东北三校联考)下列命题正确的个数为()．①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A．0 B．1 C．2 D．3解析①④错误，②③正确．答案 C2．(2011·福州模拟)给出下列四个命题：①没有公共点的两条直线平行；②互相垂直的两条直线是相交直线；③既不平行也不相交的直线是异面直线；④不同在任一平面内的两条直线是异面直线．其中正确命题的个数是()．A．1 B．2 C．3 D．4解析没有公共点的两条直线也可能异面，故命题①错；互相垂直的两条直线相交或异面，故命题②错；既不平行也不相交的直线是异面直线，不同在任一平面内的两条直线是异面直线，命题③、④正确，故选B.答案 B3．(2011·济宁一模)已知空间中有三条线段AB、BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是()．A．AB∥CDB．AB与CD异面C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交解析若三条线段共面，如果AB、BC、CD构成等腰三角形，则直线AB与CD 相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线．答案 D4．(2012·丰台月考)正方体ABCDA1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为()．A．3 B．4 C．5 D．6解析依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行的棱有AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1，故符合条件的棱共有5条．答案 C5．已知正方体ABCDA1B1C1D1中，O是BD1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论错误的是()．A．A1、M、O三点共线B．M、O、A1、A四点共面C．A、O、C、M四点共面D．B、B1、O、M四点共面解析因为O是BD1的中点．由正方体的性质知，O也是A1C的中点，所以点O在直线A1C上，又直线A1C交平面AB1D1于点M，则A1、M、O三点共线，又直线与直线外一点确定一个平面，所以B、C正确．答案 D二、填空题(每小题4分，共12分)6．已知a，b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a，b在α上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面结论中，正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号)．解析只有当a∥b时，a，b在α上的射影才可能是同一条直线，故③错，其余都有可能．答案①②④7．(2012·太原模拟)若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成________部分．解析如图所示，三个平面α、β、γ两两相交，交线分别是a、b、c且a∥b∥c.观察图形，可得α、β、γ把空间分成7部分．答案78．给出下列命题：①如果平面α与平面β相交，那么它们只有有限个公共点；②两个平面的交线可能是一条线段；③经过空间任意三点的平面有且只有一个；④如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面就重合为一个平面．其中，正确命题的序号为________．解析根据平面基本性质3可知，如果两个平面相交，则它们有无数个公共点，并且这些公共点在同一条直线——两个平面的交线上，故①②都不正确；由平面的基本性质2可知，经过不共线的三个点有且只有一个平面，若三点共线，则经过这三点的平面有无数个，所以③不正确，④正确．答案④三、解答题(共23分)9．(11分)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱D1C1、B1C1的中点，求证：EF∥BD，且EF＝12BD.证明连接B1D1，∵BB1∥DD1，∴四边形BB1D1D是平面图形，又∵BB1綉DD1，∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴BD綉B1D1.在△C1D1B1中，∵E、F分别是D1C1与B1C1的中点，∴EF綉12B1D1，∴EF∥BD，且有EF＝12BD.10．(12分)(2012·许昌调研)如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠F AB＝90°，BC綉12AD，BE綉12F A，G、H分别为F A、FD的中点．(1)求证：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？(1)证明由题设知，FG＝GA，FH＝HD，所以GH綉12AD.又BC綉12AD，故GH綉BC.所以四边形BCHG是平行四边形．(2)解C、D、F、E四点共面．理由如下：由BE綉12AF，G是F A的中点知，BE綉GF，所以EF綉BG.由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC、FH共面．又点D在直线FH上，所以C、D、F、E四点共面．B级综合创新备选(时间：30分钟满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2011·辽宁)如图，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是()．A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角解析选项A正确，因为SD垂直于平面ABCD，而AC在平面ABCD中，所以AC垂直于SD；再由ABCD为正方形，所以AC垂直于BD；而BD与SD相交，所以，AC垂直于平面SBD，进而垂直于SB.选项B正确，因为AB平行于CD，而CD在平面SCD内，AB不在平面SCD内，所以AB平行于平面SCD.选项C 正确，设AC与BD的交点为O，连接SO，则SA与平面SBD所成的角就是∠ASO，SC与平面SBD所成的角就是∠CSO，易知这两个角相等．选项D错误，AB与SC所成的角等于∠SCD，而DC与SA所成的角是∠SAB，这两个角不相等．答案 D2．在底面为正方形的长方体上任意选择4个顶点，则以这4个顶点为顶点构成的几何形体可能是：①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为直角三角形，一个面为等腰三角形的四面体；④每个面都是等腰三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．则其中正确结论的序号是()．A．①③④⑤B．①②④⑤C．①②③⑤D．①②③④解析由长方体的性质知①正确，②不正确；对于③，长方体ABCDA1B1C1D1中的四面体A1ABD符合条件，③正确；对于④，长方体ABCDA1B1C1D1中的四面体A1BC1D符合条件，④正确；对于⑤，长方体ABCDA1B1C1D1中的四面体A1ABC符合条件．答案 A二、填空题(每小题4分，共8分)3．(2012·丰台模拟)已知线段AB、CD分别在两条异面直线上，M、N分别是线段AB 、CD 的中点，则MN ____________12(AC ＋BD )(填“＞”，“＜”或“＝”)．解析如图所示，四边形ABCD 是空间四边形，而不是平面四边形，要想求MN 与AB 、CD 的关系，必须将它们转化到平面来考虑．我们可以连接AD ，取AD 的中点为G ，再连接MG 、NG ，在△ABD 中，M 、G 分别是线段AB 、AD 的中点，则MG ∥BD ，且MG ＝12BD ，同理，在△ADC中，NG ∥AC ，且NG ＝12AC ，又根据三角形的三边关系知，MN ＜MG ＋NG ，即MN ＜12BD ＋12AC ＝12(AC ＋BD )．答案＜4．如图是正四面体的平面展开图，G 、H 、M 、N 分别为DE 、BE 、EF 、EC 的中点，在这个正四面体中，①GH 与EF 平行；②BD 与MN 为异面直线；③GH 与MN 成60°角；④DE 与MN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析还原成正四面体知GH 与EF 为异面直线，BD 与MN 为异面直线，GH 与MN 成60°角，DE ⊥MN .答案 ②③④三、解答题(共22分)5．(10分)如图所示，正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，A 1C 与截面DBC 1交于O 点，AC ，BD 交于M 点，求证：C 1，O ，M 三点共线．证明∵C1∈平面A1ACC1，且C1∈平面DBC1，∴C1是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点．又∵M∈AC，∴M∈平面A1ACC1.∵M∈BD，∴M∈平面DBC1，∴M也是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点，∴C1M是平面A1ACC1与平面DBC1的交线．∵O为A1C与截面DBC1的交点，∴O∈平面A1ACC1，O∈平面DBC1，即O也是两平面的公共点，∴O∈直线C1M，即C1，O，M三点共线．6.(12分)如图，空间四边形ABCD中，E、F分别是AD、AB的中点，G、H分别在BC、CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求证：E、F、G、H四点共面；(2)设FG与HE交于点P，求证：P、A、C三点共线．证明(1)△ABD中，E、F为AD、AB中点，∴EF∥BD.△CBD中，BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，∴GH∥BD，∴EF∥GH(平行线公理)，∴E、F、G、H四点共面．(2)∵FG∩HE＝P，P∈FG，P∈HE，⎭⎬⎫∴P ∈面ABC ，P ∈面ADC 又面ABC ∩面ADC ＝AC ⇒P ∈直线AC . ∴P 、A 、C 三点共线．6.(12分)如图，空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、AB 的中点，G 、H 分别在BC 、CD 上，且BG ∶GC ＝DH ∶HC ＝1∶2.(1)求证：E 、F 、G 、H 四点共面；(2)设FG 与HE 交于点P ，求证：P 、A 、C 三点共线．证明 (1)△ABD 中，E 、F 为AD 、AB 中点，∴EF ∥BD .△CBD 中，BG ∶GC ＝DH ∶HC ＝1∶2，∴GH ∥BD ，∴EF ∥GH (平行线公理)，∴E 、F 、G 、H 四点共面．(2)∵FG ∩HE ＝P ，P ∈FG ，P ∈HE ，⎭⎬⎫∴P ∈面ABC ，P ∈面ADC 又面ABC ∩面ADC ＝AC ⇒P ∈直线AC . ∴P 、A 、C 三点共线．。

2020届高考数学一轮复习：课时作业43《空间点、直线、平面之间的位置关系》(含解析)

课时作业43空间点、直线、平面之间的位置关系1．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是(D)解析：A、B、C图中四点一定共面，D中四点不共面．2．(2019·烟台质检)a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是(C)A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c解析：若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确．3．若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是(A)①若直线m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线；②若直线m，n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线；③已知平面α，β互相垂直，且直线m，n也互相垂直，若m⊥α，则n⊥β；④若直线m，n在平面α内的射影互相垂直，则m⊥n.A．②B．②③C．①③D．②④解析：对于①，m与n可能平行，可能相交，也可能异面，①错误；对于②，由线面垂直的性质定理可知，m与n一定平行，故②正确；对于③，还有可能n∥β，n⊂β或n与β相交，③错误；对于④，把m，n放入正方体中，如图，取A1B为m，B1C为n，平面ABCD为平面α，则m与n在α内的射影分别为AB与BC，且AB⊥BC.而m与n所成的角为60°，故④错误．4．过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作(D)A．1条B．2条C．3条D．4条解析：如图，连接体对角线AC1，显然AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，所成角的正切值都为 2.联想正方体的其他体对角线，如连接BD 1，则BD 1与棱BC ，BA ，BB 1所成的角都相等，∵BB 1∥AA 1，BC ∥AD ，∴体对角线BD 1与棱AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，同理，体对角线A 1C ，DB 1也与棱AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，过A 点分别作BD 1，A 1C ，DB 1的平行线都满足题意，故这样的直线l 可以作4条．5．如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，长为2的线段MN 的一个端点M 在棱DD 1上运动，点N 在正方体的底面ABCD 内运动，则MN 的中点P 的轨迹的面积是( D )A ．4πB ．πC ．2π D.π2解析：连接DN ，则△MDN 为直角三角形，在Rt △MDN 中，MN ＝2，P 为MN 的中点，连接DP ，则DP ＝1，所以点P 在以D 为球心，半径R ＝1的球面上，又因为点P 只能落在正方体上或其内部，所以点P 的轨迹的面积等于该球面面积的18，故所求面积S ＝18×4πR 2＝π2.6．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，则异面直线CP 与BA 1所成的角θ的取值范围是( D )A ．0＜θ＜π2B ．0＜θ≤π2C ．0≤θ≤π3D ．0＜θ≤π3解析：连接CD 1，CA . ∵A 1B ∥D 1C ，∴异面直线CP 与A 1B 所成的角即为CP 与D 1C 所成的角．∵△AD 1C 是正三角形，∴当P 与A 重合时，所成角最大，为π3.又∵P 不能与D 1重合(此时D 1C 与A 1B 平行，不是异面直线)，∴θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3，故选D. 7．如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1是长方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，则下列结论正确的是( A )A ．A ，M ，O 三点共线B ．A ，M ，O ，A 1不共面C ．A ，M ，C ，O 不共面D ．B ，B 1，O ，M 共面解析：连接A 1C 1，AC ，则A 1C 1∥AC ，所以A 1，C 1，C ，A 四点共面，所以A 1C ⊂平面ACC 1A 1，因为M ∈A 1C ，所以M ∈平面ACC 1A 1，又M ∈平面AB 1D 1，所以M 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上，因为平面ACC 1A 1∩平面AB 1D 1＝AO ，所以M ∈AO ，所以A ，M ，O 三点共线．8．直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( C )A.110B.25C.3010D.22解析：解法一：取BC 的中点Q ，连接QN ，AQ ，易知BM ∥QN ，则∠ANQ 或其补角的余弦值即为所求，设BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AQ ＝5，AN ＝5，QN ＝6，∴cos ∠ANQ ＝AN 2＋NQ 2－AQ 22AN ·NQ ＝5＋6－525×6＝6230＝3010.解法二：以C 1为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设BC ＝CA ＝CC 1＝2，则A (2,0,2)，N (1,0,0)，M (1,1,0)，B (0,2,2)，∴AN →＝(－1,0，－2)，BM →＝(1，－1，－2)，∴cos 〈AN →，BM →〉＝AN →·BM →|AN →||BM →|＝－1＋45×6＝330＝3010.故选C. 9．(2019·西安模拟)如图是正四面体的平面展开图，G ，H ，M ，N 分别为DE ，BE ，EF ，EC 的中点，在这个正四面体中，①GH 与EF 平行；②BD 与MN 为异面直线；③GH 与MN 成60°角；④DE 与MN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是②③④.解析：还原成正四面体A-DEF，其中H与N重合，A，B，C三点重合．如图所示．易知GH与EF异面，BD与MN异面．又△GMH为等边三角形，∴GH与MN成60°角，易证DE⊥AF，MN∥AF，∴MN⊥DE.因此正确的序号是②③④.10．如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为2.解析：取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，如图．因为C 是圆柱下底面弧AB 的中点，所以AD ∥BC ，所以直线AC 1与AD 所成的角即为异面直线AC 1与BC 所成的角，因为C 1是圆柱上底面弧A 1B 1的中点，所以C 1D ⊥圆柱下底面，所以C 1D ⊥AD .因为圆柱的轴截面ABB 1A 1是正方形，所以C 1D ＝2AD ，所以直线AC 1与AD 所成角的正切值为2，所以异面直线AC 1与BC 所成角的正切值为 2.11．如图所示，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点.已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝23，P A ＝2.求：(1)三棱锥P -ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．解：(1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P -ABC 的体积为V ＝13S △ABC ·P A ＝13×23×2＝43 3.(2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE 是异面直线BC 与AD 所成的角(或其补角)．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34. 故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34.12．如图，已知二面角α-MN -β的大小为60°，菱形ABCD 在平面β内，A ，B 两点在棱MN 上，∠BAD ＝60°，E 是AB 的中点，DO ⊥平面α，垂足为O .(1)证明：AB ⊥平面ODE ；(2)求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值．解：(1)证明，∵DO ⊥α，AB ⊂α，∴DO ⊥AB .连接BD ，由题意知，△ABD 是正三角形．又E 是AB 的中点，∴DE ⊥AB .而DO ∩DE ＝D ，∴AB ⊥平面ODE .(2)∵BC ∥AD ，∴BC 与OD 所成的角等于AD 与OD 所成的角，即∠ADO 是异面直线BC 与OD 所成的角．由(1)知，AB ⊥平面ODE ，所以AB ⊥OE .又DE ⊥AB ，∴∠DEO 是二面角α-MN -β的平面角，即∠DEO ＝60°.不妨设AB ＝2，则AD ＝2，易知DE ＝ 3. 在Rt △DOE中，DO ＝DE ·sin60°＝32.连接AO ，在Rt △AOD 中，cos ∠ADO ＝DO AD ＝322＝34.故异面直线BC 与OD 所成角的余弦值为34.13．正四棱锥P -ABCD 中，四条侧棱长均为2，底面ABCD 是正方形，E 为PC 的中点，若异面直线P A 与BE 所成的角为45°，则该四棱锥的体积是( D )A ．4B ．2 3 C.43D.233 解析：如图所示，连接AC ，BD .设AC ∩BD ＝O ，连接PO ，OE ，∵O ，E 分别是AC 和PC 的中点，∴OE ∥P A ，OE ＝12P A ＝1，则∠BEO 或其补角即为异面直线P A 与BE 所成的角．∵底面ABCD 是正方形，∴BO ⊥AC ，又PO ⊥OB ，PO ∩AC ＝O ，∴BO ⊥平面P AC ，则BO ⊥OE ，∴△BOE 是等腰直角三角形，∴OB ＝OE ＝1，PO ＝PB 2－OB 2＝3，BC ＝2，则四棱锥P -ABCD 的体积V ＝13×(2)2×3＝233，故选D.14．如图是三棱锥D -ABC 的三视图，点O 在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线DO 和AB 所成角的余弦值等于( A )A.33B.12C. 3D.22解析：由三视图及题意得如图所示的直观图，从A出发的三条线段AB，AC，AD两两垂直且AB＝AC＝2，AD ＝1，O是BC的中点，取AC中点E，连接DE，DO，OE，则OE＝1，又可知AE＝1，由于OE∥AB，故∠DOE即为所求两异面直线所成的角或其补角．在直角三角形DAE中，DE＝2，由于O是BC的中点，在直角三角形ABC中可以求得AO＝2，在直角三角形DAO中可以求得DO＝ 3.在三角形DOE中，由余弦定理得cos∠DOE＝1＋3－22×1×3＝33，故所求异面直线DO与AB所成角的余弦值为33，故选A. 15．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE 翻折过程中，下列四个命题中不正确的是③.(填序号)①BM是定值；②点M在某个球面上运动；③存在某个位置，使DE⊥A1C；④存在某个位置，使MB∥平面A1DE.解析：取DC的中点F，连接MF，BF，则MF ∥A 1D 且MF ＝12A 1D ，FB ∥ED 且FB ＝ED ，所以∠MFB ＝∠A 1DE .由余弦定理可得MB 2＝MF 2＋FB 2－2MF ·FB ·cos ∠MFB 是定值，所以M 是在以B 为球心，MB 为半径的球面上，可得①②正确；由MF ∥A 1D 与FB ∥ED 可得平面MBF ∥平面A 1DE ，可得④正确；若存在某个位置，使DE ⊥A 1C ，则因为DE 2＋CE 2＝CD 2，即CE ⊥DE ，因为A 1C ∩CE ＝C ，则DE ⊥平面A 1CE ，所以DE ⊥A 1E ，与DA 1⊥A 1E 矛盾，故③不正确．16．如图，在直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，AC ⊥BC,2AC ＝2BC ＝CC 1＝4，点N 为CC 1的中点，P 为线段AC (包含端点)上一动点，给出以下四个结论：①直线BP 与直线B 1A 1为异面直线；②P 到平面A 1B 1N 的距离是定值；③A 1P 与B 1N 所成角最小为45°；④B 1P 与平面A 1PN 所成角余弦值的最小值为255.其中正确结论的序号为 ③④ .解析：①若P 点与A 点重合，则BP ∥B 1A 1，故①错；②记P 到平面A 1B 1N 的距离为h 1，平面三角形A 1PN 的面积S △A 1PN 在变化，点B 1到平面A 1PN 1的距离h 2为定值，又三角形A 1B 1N的面积S △A 1B 1N 为定值，所以V P -A 1B 1N ＝V B 1-A 1PN ，即13S △A 1B 1N ·h 1＝13S △A 1PN ·h 2，所以h 1不是定值，②错．③如图所示，建立空间直角坐标系，A 1(0,0,0)，P (0，y 0,4)，B 1(2,2,0)，N (0,2,2)，A 1P →＝(0，y 0,4)，B 1N →＝(－2,0,2)，记A 1P 与B 1N 所成角为θ，则cos θ＝|A 1P →·B 1N →||A 1P →|·|B 1N →|＝22y 20＋16(0≤y 0≤2)，(cos θ)max ＝22，所以θ的最小值为45°.④连接PC 1.B 1C 1⊥平面AA 1C 1C ，则∠B 1PC 1即为线面角，tan ∠B 1PC 1＝B 1C 1C 1P ，B 1C 1为定值，当tan ∠B 1PC 1最大时，PC 1最小，cos ∠B 1PC 1最小，所以当P 与C 重合时，(cos ∠B 1PC 1)min ＝255.。

2020版高考人教A版理科数学一轮复习文档：第七章第三节空间点、直线、平面之间的位置关系 Word版含答案

第三节　空间点、直线、平面之间的位置关系2019考纲考题考情1．平面的基本性质名称图示文字表示符号表示公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A ∈l ，B ∈l ，且A ∈α，B ∈α⇒l ⊂α公理2过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面A 、B 、C 三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A 、B 、C ∈α续表名称图示文字表示符号表示公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过P ∈α，且P ∈β⇒α∩β＝l ，且P ∈l该点的公共直线2.空间两直线的位置关系(2)平行公理：公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行——空间平行线的传递性。

(3)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

(4)异面直线所成的角：①定义：设a、b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b所成的角(或夹角)。

②范围：。

(0，π2]3．直线与平面的位置关系位置关系图示符号表示公共点个数直线l在平面l⊂α无数个α内直线l与平面l∩α＝A一个α相交直线l与平面l∥α0个α平行1．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面。

2．异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线。

3．两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角。

一、走进教材。

2020高考数学理科大一轮复习导学案《空间点、直线、平面之间的位置关系》含答案

第三节空间点、直线、平面之间的位置关系知识点一平面的基本性质1．公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．2．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．3．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．4．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．1．判断正误(1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分．(×)(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，记作α∩β＝A.(×)(3)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(√)(4)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(×)2．以下四个命题中，正确命题的个数是(B)①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E 共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A．0 B．1C．2 D．3解析：①显然是正确的，可用反证法证明；②中若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面；③构造长方体或正方体，如图显然b，c异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面．故正确的个数是1.3．如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过(D)A．点A B．点BC．点C但不过点M D．点C和点M解析：∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.根据公理3可知，M在γ与β的交线上．同理可知，点C也在γ与β的交线上．知识点二直线与直线的位置关系1．空间中两直线的位置关系(1)两直线位置关系的分类(2)公理4和等角定理①公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．2．异面直线所成的角(1)定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．(2)范围：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2.4．已知直线a 和平面α，β，α∩β＝l ，a ⊄α，a ⊄β，且a 在α，β内的射影分别为直线b 和c ，则直线b 和c 的位置关系是( D )A ．相交或平行B ．相交或异面C ．平行或异面D ．相交、平行或异面解析：依题意，直线b 和c 的位置关系可能是相交、平行或异面．5．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为A 1B 1，BB 1的中点，则异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为( D )A.13B.23C.15D.25解析：如图，取AB 的中点E ，连接B 1E ，则AM ∥B 1E .取EB 的中点F ，连接FN ，则B 1E ∥FN ，因此AM ∥FN ，连接CF ，则直线FN 与CN 所夹锐角或直角为异面直线AM 与CN 所成的角θ.设AB ＝1，在△CFN 中，CN ＝52，FN ＝54，CF ＝174.由余弦定理得cos θ＝|cos ∠CNF |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪CN 2＋FN 2－CF 22CN ·FN ＝25.故选D.6．下列命题中不正确的是①②.(填序号)①没有公共点的两条直线是异面直线；②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行；④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．解析：没有公共点的两直线平行或异面，故①错；如果与两异面直线中一条交于一点，则两直线相交，故命题②错；命题③，设两条异面直线为a，b，c∥a，若c∥b，则a∥b，这与a，b异面矛盾，故c，b不可能平行，③正确；命题④正确，若c与两异面直线a，b都相交，a，c可确定一个平面，b，c也可确定一个平面，这样a，b，c共确定两个平面．1．空间中两个角的两边分别对应平行，则两个角相等或互补．2．异面直线的判定：经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．3．唯一性的几个结论：(1)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(2)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(3)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．考向一平面的基本性质【例1】已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线；(3)DE，BF，CC1三线交于一点．【证明】(1)连接D1B1，如图所示．因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体AC1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．(2)在正方体AC1中，设A1CC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β.所以Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．(3)∵EF∥BD且EF<BD，∴DE与BF相交，设交点为M，则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1，同理，点M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，∴M∈CC1.∴DE，BF，CC1三线交于点M.1.证明不共线的四点共面,即证由这四点组成的两条直线平行或相交.或由三点确定一个平面，再证明第4个点在该平面上.2.证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用公理3，证明点在两个平面的交线上，或者选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在该直线上.(1)如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是(D)解析：A，B，C图中四点一定共面，D中四点不共面．(2)如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F，求证：E，F，G，H四点必定共线．证明：因为AB∥CD，所以AB，CD确定一个平面β.又因为AB∩α＝E，AB⊂β，所以E∈α，E∈β，即E为平面α与β的一个公共点．同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点，因为若两个平面有公共点，那么它们有且只有一条通过公共点的公共直线，所以E，F，G，H四点必定共线．考向二空间两条直线的位置关系【例2】(1)(2019·益阳、湘潭调研考试)下图中，G，N，M，H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有()A．①③B．②③C．②④D．②③④(2)已知a，b，c为三条不同的直线，且a⊂平面α，b⊂平面β，α∩β＝c，给出下列结论：①若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；②若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；③若a∥b，则必有a∥c.其中正确的结论是________．(填序号)【解析】(1)由题意，可知题图①中，GH∥MN，因此直线GH与MN 共面；题图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；题图③中，连接MG，则GM∥HN，因此直线GH与MN共面；题图④中，连接GN，G，M，N三点共面，但H∉平面GMN，所以直线GH 与MN异面．故选C.(2)若c与a，b均不相交，则有c∥a，c∥b，从而a∥b，这与a，b异面相矛盾，所以①正确；对于②，显然a与b有可能垂直；易知③正确．【答案】(1)C(2)①③(1)要判断空间两条直线的位置关系(平行、相交、异面)，可利用定义及公理4，借助空间想象并充分利用图形进行判断.(2)判断空间直线的位置关系一般有两种方法：一是构造几何体(如正方体、空间四边形等)模型来推断；二是利用排除法.(1)已知a，b，c为三条不重合的直线，已知下列结论：①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.其中正确的个数为(B)A．0 B．1C．2 D．3(2)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2F A，则EF与BD1的位置关系是(D)A．相交但不垂直B．相交且垂直C．异面D．平行解析：(1)在空间中，若a⊥b，a⊥c，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以①②错，③显然成立．(2)连接D1E并延长交AD于M点，因为A1E＝2ED，可得，M为AD 中点，连接BF并延长交AD于N点，因为CF＝2F A，可得N为AD中点，所以M，N重合．且MEED1＝12，MFFB＝12.所以MEED1＝MFFB，所以EF∥BD1.考向三异面直线所成的角【例3】 (2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )A.15B.56C.55D.22【解析】解法1：如图，连接BD 1，交DB 1于O ，取AB 的中点M ，连接DM ，OM ，易知O 为BD 1的中点，所以AD 1∥OM ，则∠MOD 为异面直线AD 1与DB 1所成角．因为在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，AD 1＝AD2＋DD 21＝2，DM ＝AD 2＋(12AB )2＝52，DB 1＝AB 2＋AD2＋DD 21＝5，所以OM ＝12AD 1＝1，OD ＝12DB 1＝52，于是在△DMO 中，由余弦定理，得cos ∠MOD ＝12＋(52)2－(52)22×1×52＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55，故选C.解法2：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．由条件可知D (0,0,0)，A (1,0,0)，D 1(0,0，3)，B 1(1,1，3)，所以AD 1→＝(－1,0，3)，DB 1→＝(1,1，3)，则由向量夹角公式，得cos 〈AD 1→，DB 1→〉＝AD 1→·DB 1→|AD 1→|·|DB 1→|＝225＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55，故选C.【答案】 C用平移法求异面直线所成角的一般步骤 (1)作角——用平移法找(或作)出符合题意的角；(2)求角——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角；(3)结论——设由(2)求出的角的大小为θ，若0°<θ≤90°，则θ即为所求，若90°<θ<180°，则180°－θ即为所求．(1)已知四棱锥P -ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，点E 是PB 的中点，则异面直线AE 与PD 所成角的余弦值为( C )A.13B.23C.33D.23(2)如图所示，正三棱锥A -BCD 的底面BCD 与正四面体E -BCD 的底面BCD 重合，连接AE ，则异面直线AE 与CD 所成角的大小为( D )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：(1)如图，设四棱锥P -ABCD 的棱长为1，AC ∩BD ＝O ，则O 是AC 与BD 的中点，连接OE ，又E 是PB 的中点，所以由三角形中位线定理，得OE∥PD，OE＝12PD＝12，则∠AEO或其补角是异面直线AE与PD所成的角．又△P AB是等边三角形，所以AE＝3 2AB＝32.易得OA＝OB＝OC＝OD＝22，在△OAE中，由余弦定理，得cos∠AEO＝AE2＋OE2－OA22AE·OE＝33，即异面直线AE与PD所成角的余弦值为33.(2)由已知得，底面BCD是等边三角形，又AB＝AC＝AD，EB＝EC＝ED，所以点A，E在平面BCD上的射影是△BCD的中心，即AE⊥平面BCD，则异面直线AE与CD所成角的大小为90°.。

2020版高考数学一轮复习教案第7章_第3节_空间点、直线、平面之间的位置关系(含答案解析)

第三节空间点、直线、平面之间的位置关系[考纲传真] 1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． (2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．(4)公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 2．空间直线的位置关系 (1)位置关系的分类⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎨⎧平行直线相交直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2. (3)平行公理(公理4)和等角定理平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)空间中直线与平面的位置关系1．异面直线的判定定理经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．2．等角定理的引申(1)在等角定理中，若两角的两边平行且方向相同或相反，则这两个角相等．(2)在等角定理中，若两角的两边平行且方向一个边相同，一个边相反，则这两个角互补．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．()(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．()(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．()(4)若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)×2．(教材改编)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°C[连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求的角，又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.]3．(教材改编)下列命题正确的是()A．经过三点确定一个平面B．经过一条直线和一个点确定一个平面C．四边形确定一个平面D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D[根据确定平面的公理和推论知选项D正确．]4．已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是() A．空间四边形B．矩形C．菱形D．正方形B[四边形的相邻两边分别平行于空间四边形的两角对角线，故选B.]5．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.]【例1】(1)以下命题中，正确命题的个数是()①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A．0B．1C．2D．3B[①正确，可以用反证法证明，假设任意三点共线，则四个点必共面，与不共面的四点矛盾；②中若点A，B，C在同一条直线上，则A，B，C，D，E不一定共面，故②错误；③中，直线b，c可能是异面直线，故③错误；④中，当四条线段构成空间四边形时，四条线段不共面，故④错误．](2)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：①E，C，D1，F四点共面；②CE，D1F，DA三线共点．[解]①如图，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面．②∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈直线CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．共面的一个图是()A B C DD[根据异面直线的判定定理，选项D中PS与QR是异面直线，则四点P，Q，R，S不共面．故选D.](2)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点．求证：D1，H，O三点共线．[证明]如图，连接BD，B1D1，则BD∩AC＝O，因为BB1═∥DD1，所以四边形BB1D1D为平行四边形，又H∈B1D，B1D⊂平面BB1D1D，则H∈平面BB1D1D，因为平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，所以H∈OD1.即D1，H，O三点共线．【例2】(1)已知a，b，c为三条不同的直线，且a⊂平面α，b⊂平面β，α∩β＝c，给出下列命题：①若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；②若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；③若a∥b，则必有a∥c.其中真命题有________．(填序号)(2)在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN 是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．①②③④(1)①③(2)②④[(1)对于①，若c与a，b都不相交，则c∥a，c∥b，从而a∥b，这与a与b是异面直线矛盾，故①正确．对于②，a与b可能异面垂直，故②错误．对于③，由a∥b可知a∥β，又α∩β＝c，从而a∥c，故③正确．(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG(图略)，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面，所以在图②④中，GH与MN异面．]b是异面直线，直线c平行于直线a，那么A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线(2)如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确的结论为________．(把你认为正确的结论的序号都填上)(1)C (2)③④ [(1)c 与b 可能相交，也可能异面，但可不能平行，故选C. (2)根据两条异面直线的判定定理知，③④正确．]【例3】 (1)(2018·全国卷Ⅱ)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为( )A.22B.32C.52D.72(2)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝1，BB 1＝1，P 是AB 的中点，则异面直线BC 1与PD 所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°(1)C (2)C [(1)如图，连接BE ，因为AB ∥CD ，所以异面直线AE 与CD 所成的角等于相交直线AE 与AB 所成的角，即∠EAB .不妨设正方体的棱长为2，则CE ＝1，BC ＝2，由勾股定理得BE ＝ 5.又由AB ⊥平面BCC 1B 1可得AB ⊥BE ，所以tan ∠EAB ＝BE AB ＝52.故选C.(2)取CD的中点Q，连接BQ，C1Q∵P是AB的中点，∴BQ∥PD∴∠C1BQ是异面直线BC1与PD所成的角．在△C1BQ中，C1B＝BQ＝C1Q＝2，∴∠C1BQ＝60°，即异面直线BC1与PD所成的角等于60°，故选C.]＝BC＝4，P A＝43，则异面直线P A与MN所成角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°(2)如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．(1)A(2)2[(1)取AC的中点O，连接OM，ON，则OM ═∥12BC ，ON ═∥12P A .∴∠ONM 就是异面直线P A 与MN 所成的角．在△OMN 中，MN ＝4，OM ＝2，ON ＝23， ∴cos ∠ONM ＝ON 2＋MN 2－OM 22ON ·MN ＝12＋16－42×23×4＝32，∴∠ONM ＝30°即异面直线P A 与MN 所成角的大小为30°，故选A. (2)取圆柱下底面弧AB 的另一中点D ，连接C 1D ，AD ，因为C 是圆柱下底面弧AB 的中点，所以AD ∥BC ，所以直线AC 1与AD 所成角等于异面直线AC 1与BC 所成角，因为C 1是圆柱上底面弧A 1B 1的中点，所以C 1D ⊥圆柱下底面，所以C 1D ⊥AD .因为圆柱的轴截面ABB 1A 1是正方形，所以C 1D ＝2AD ，所以直线AC 1与AD 所成角的正切值为2，所以异面直线AC 1与BC 所成角的正切值为 2.]1．(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.32 B.155C.105 D.33C[将直三棱柱ABC-A1B1C1补形为直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，如图所示，连接AD1，B1D1，BD.由题意知∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，所以AD1＝BC1＝2，AB1＝5，∠DAB＝60°.在△ABD中，由余弦定理知BD2＝22＋12－2×2×1×cos 60°＝3，所以BD＝3，所以B1D1＝ 3.又AB1与AD1所成的角即为AB1与BC1所成的角θ，所以cos θ＝AB21＋AD21－B1D212×AB1×AD1＝5＋2－32×5×2＝105.故选C.]2．(2016·全国卷Ⅰ)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为()A.32 B.22 C.33 D.13A[根据平面与平面平行的性质，将m，n所成的角转化为平面CB1D1与平面ABCD的交线及平面CB1D1与平面ABB1A1的交线所成的角．设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1.∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m.又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，∴B1D1∥m1.∴B1D1∥m.∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1，且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1，同理可证CD1∥n.因此直线m与n所成的角即直线B1D1与CD1所成的角．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形，故直线B1D1与CD1所成角为60°，其正弦值为3 2.]。

人教A版2020版新一线高考理科数学一轮复习教学案：第7章第2节空间点、直线、平面之间的位置关系含答案

第二节空间点、直线、平面之间的位置关系[考纲传真] 1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎨⎧相交直线平行直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)． ②范围：(0°，90°]．3．直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况． 4．平面与平面的位置关系有相交、平行两种情况． 5．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． [常用结论]1．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．2．异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线，如图所示．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a ，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a .( ) (2)两个平面α，β有一个公共点A ，就说α，β相交于过A 点的任意一条直线．( ) (3)平面ABC 与平面DBC 相交于线段BC .( ) (4)没有公共点的两条直线是异面直线．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× 2．下列命题正确的是( ) A ．经过三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确定一个平面C ．四边形确定一个平面D ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 D [依据公理2可知D 选项正确．]3．(教材改编)如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则异面直线B 1C 与EF 所成的角的大小为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°C [连接B 1D 1，D 1C (图略)，则B 1D 1∥EF ，故∠D 1B 1C 为所求的角，又B 1D 1＝B 1C ＝D 1C ，∴∠D 1B 1C ＝60°.]4．已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是( ) A ．空间四边形 B ．矩形 C ．菱形D ．正方形B [如图，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，易知EH 綊12BD ，FG 綊12BD ，∴EH 綊FG ，∴四边形EFGH 为平行四边形，又AC ⊥BD ，故EF ⊥FG ， ∴四边形EFGH 为矩形．故选B .]5．在三棱锥S -ABC 中，G 1，G 2分别是△SAB 和△SAC 的重心，则直线G 1G 2与BC 的位置关系是________．平行 [如图所示，连接SG 1并延长交AB 于M ，连接SG 2并延长交AC 于N ，连接MN .由题意知SM 为△SAB 的中线，且SG 1＝23SM ，SN 为△SAC 的中线，且SG 2＝23SN ，∴在△SMN 中，SG 1SM ＝SG 2SN ， ∴G 1G 2∥MN ，易知MN 是△ABC 的中位线，∴MN∥BC，因此可得G1G2∥BC.]空间两条直线的位置关系1．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使得m与l()A．平行B．相交C．垂直D．互为异面直线C[若l⊂α，则排除选项D；若l∩α＝A，则排除选项A；若l∥α，则排除选项B，故选C.] 2．设a，b，c是空间中三条不同的直线，给出下面四个说法：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a与b一定是异面直线．其中说法正确的是________．(写出所有正确说法的序号)①[①显然正确；若a⊥b，b⊥c，则a与c可以相交，平行，异面，故②错误；③当a与b相交，b与c相交时，a与c可能相交，也可能平行，还可能异面，故③错误；④中a与b的关系，也可能有相交，平行，异面三种情况，故④错误．故只有①正确．] 3．(2019·唐山模拟)如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．①②③④②④[图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GH N，因此直线GH与MN异面；图③中，连接M G，G M∥H N，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面G MN，因此GH与MN异面．所以在图②④中GH与MN异面．]平面的基本性质及应用【例1】如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．[证明](1)如图，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈直线CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．如图所示，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．[证明](1)因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD.在△BCD中，BGGC＝DHHC＝12，所以GH∥BD，所以EF∥GH.所以E，F，G，H四点共面．(2)因为EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC，所以P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.所以P为平面ABC与平面ADC的公共点．又平面ABC∩平面ADC＝AC，所以P∈AC，所以P，A，C三点共线．异面直线所成的角【例2】(1)(2018·银川二模)已知P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M，N分别是AB，PC的中点，若MN＝BC＝4，PA＝43，则异面直线PA与MN所成角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°(2)在三棱锥S-ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝SA，SA⊥平面ABC，D为BC中点，则异面直线AB 与SD所成角的余弦值为()A.55B.66C.306D.305(1)A(2)B[(1)连接AC，并取其中点O，连接OM，ON，则OM綊12BC，ON綊12PA，∴∠ONM是异面直线PA与MN所成的角，由MN＝BC＝4，PA＝43，得OM＝2，ON＝23，MN＝4，∴cos∠ONM＝ON2＋MN2－OM22ON×MN＝12＋16－42×23×4＝32，又∠ONM ∈(0°，90°]，∴∠ONM ＝30°，即异面直线PA 与MN 所成角的大小为30°，故选A . (2)以A 为原点，建立空间直角坐标系A -xyz ，如图所示．设AB ＝AC ＝SA ＝2，则AS →＝(0,0,2)，AB →＝(2,0,0)，AC →＝(0,2,0)，AD →＝12AB →＋12AC →＝(1,1,0)，SD →＝AD→－AS →＝(1,1，－2)．∴cos 〈AB →，SD →〉＝226＝66.故选B .]111F 分别是AB ，A 1C 1的中点，则EF 与侧棱C 1C 所成的角的余弦值是( ) A .55B .255C .12D ．2(2)(2019·安庆模拟)正四面体ABCD 中，E ，F 分别为AB ，BD 的中点，则异面直线AF ，CE 所成角的余弦值为________．(1)B (2)16 [(1)如图，取AC 中点G ，连接FG ，EG ，则FG ∥C 1C ，FG ＝C 1C ，EG ∥BC ，EG ＝12BC ，故∠EFG 即为EF 与C 1C 所成的角，在Rt △EFG 中，cos ∠EFG ＝FG FE ＝25＝255.(2)取BF 的中点G ，连接CG ，EG (图略)，易知EG ∥AF ，所以异面直线AF ，CE 所成的角即为∠GEC (或其补角)．不妨设正四面体棱长为2，易求得CE ＝3，EG ＝32，CG＝132，由余弦定理得cos ∠GEC ＝EG 2＋CE 2－CG 22EG ·CE ＝34＋3－1342×32×3＝16，所以异面直线AF ，CE 所成角的余弦值为16.]1.(2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( ) A .15 B .56 C .55D .22C [法一：如图，连接BD 1，交DB 1于O ，取AB 的中点M ，连接DM ，OM ，易知O 为BD 1的中点，所以AD 1∥OM ，则∠MOD 为异面直线AD 1与DB 1所成角．因为在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，AD 1＝AD 2＋DD 21＝2，DM ＝AD 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB 2＝52，DB 1＝AB 2＋AD 2＋DD 21＝5，所以OM ＝12AD 1＝1，OD ＝12DB 1＝52，于是在△DMO 中，由余弦定理，得cos ∠MOD ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫5222×1×52＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55，故选C .法二：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．由条件可知D (0,0,0)，A (1,0,0)，D 1(0,0，3)，B 1(1,1，3)，所以AD 1→＝(－1,0，3)，DB 1→＝(1,1，3)，则由向量夹角公式，得cos 〈AD 1→，DB 1→〉＝AD 1→·DB 1→|AD 1→|·|DB 1→|＝225＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55，故选C .] 2.(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( ) A .32B .155C .105D .33C [以B 1为坐标原点，B 1C 1所在的直线为x 轴，垂直于B 1C 1的直线为y 轴，BB 1所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．由已知条件知B 1(0,0,0)，B (0,0,1)，C 1(1,0,0)，A (－1，3，1)，则BC 1→＝(1,0，－1)，AB 1→＝(1，－3，－1)．所以cos 〈AB 1→，BC 1→〉＝AB 1→·BC 1→|AB 1→|·|BC 1→|＝25×2＝105.所以异面直线AB 1与BC 1所成的角的余弦值为105. 故选C .]3．(2016·全国卷Ⅰ)平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为( ) A .32 B .22C .33D .13A [如图，设平面CB 1D 1∩平面ABCD ＝m 1. ∵平面α∥平面CB 1D 1，∴m 1∥m . 又平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，且平面CB 1D 1∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1， ∴B 1D 1∥m 1.∴B 1D 1∥m . ∵平面ABB 1A 1∥平面DCC 1D 1，且平面CB 1D 1∩平面DCC 1D 1＝CD 1，同理可证CD 1∥n .因此直线m 与n 所成的角即直线B 1D 1与CD 1所成的角．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，△CB 1D 1是正三角形，故直线B 1D 1与CD 1所成角为60°，其正弦值为32.]。

高考理科数学(人教版)一轮复习练习：第七篇第3节空间点、直线、平面之间的位置关系

第3节空间点、直线、平面之间的位置关系【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.已知空间三条直线l,m,n,若l与m异面,且l与n异面,则( D )(A)m与n异面(B)m与n相交(C)m与n平行(D)m与n异面、相交、平行均有可能解析:在如图所示的长方体中,m,n1与l都异面,但是m∥n1,所以A,B 错误;m,n2与l都异面,且m,n2也异面,所以C错误.2.如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的一个图是( D )解析: 在A图中分别连接PS,QR,易证PS∥QR,所以P,Q,R,S共面;在C图中分别连接PQ,RS,易证PQ∥RS,所以P,Q,R,S共面;在B图中过P,Q,R,S可作一正六边形,故四点共面;D图中PS与QR为异面直线,所以四点不共面,故选D.3.如图是某个正方体的侧面展开图,l1,l2是两条侧面对角线,则在正方体中,l1与l2( D )(A)互相平行(B)异面且互相垂直(C)异面且夹角为(D)相交且夹角为解析:将侧面展开图还原成正方体如图所示,则B,C两点重合.故l1与l2相交,连接AD,△ABD为正三角形,所以l1与l2的夹角为.故选D.ABCD中,M,N分别为AB,CD的中点,则下列判断:①MN≥(AC+BD);②MN>(AC+BD);③MN=(AC+BD);④MN<(AC+BD).其中正确的是( D )(A)①③(B)②④(C)② (D)④解析:如图,取BC的中点O,连接MO,NO,则OM=AC,ON=BD.在△MON中,MN<OM+ON=(AC+BD),所以④正确.5.在正方体ABCD A1B1C1D1中,P,Q,R分别是AB,AD,B1C1的中点,那么正方体过P,Q,R的截面图形是( D )(A)三角形(B)四边形(C)五边形(D)六边形解析:如图所示,作RG∥PQ交C1D1于G,连接QP并延长与CB延长线交于M,且QP反向延长线与CD延长线交于N,连接MR交BB1于E,连接PE,则PE,RE为截面与正方体的交线,同理连接NG交DD1于F,连接QF,FG,则QF,FG为截面与正方体的交线,所以截面为六边形PQFGRE.D ABC的三视图,点O在三个视图中都是所在边的中点,则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于( A )(A) (B)(C) (D)解析:由题意得如图的直观图,从A出发的三条线段AB,AC,AD两两垂直且AB=AC=2,AD=1,O是BC中点,取AC中点E,连接DE,DO,OE,则OE=1.又可知AE=1,由于OE∥AB,故∠DOE或其补角即为所求两异面直线所成的角.在直角三角形DAE中,DE=,由于O是中点,在直角三角形ABC 中可以求得AO=.在直角三角形DAO中可以求得DO=,又EO=1,所以△DOE为直角三角形,cos∠DOE==,故所求余弦值为,故选A.7.如图所示,在三棱锥A BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则当AC,BD满足条件时,四边形EFGH为菱形,当AC,BD满足条件时,四边形EFGH是正方形.解析:易知EH∥BD∥FG,且EH=BD=FG,同理EF∥AC∥HG,且EF=AC=HG,显然四边形EFGH为平行四边形.要使平行四边形EFGH为菱形需满足EF=EH,即AC=BD;要使平行四边形EFGH为正方形需满足EF=EH且EF ⊥EH,即AC=BD且AC⊥BD.答案:AC=BD AC=BD且AC⊥BD·安庆市二模)正四面体ABDC中,E,F分别为边AB,BD的中点,则异面直线AF,CE所成角的余弦值为. 解析:如图,连接CF,取BF的中点M,连接CM,EM,则ME∥AF,故∠CEM(或其补角)即为所求的异面直线所成的角.设这个正四面体的棱长为2,在△ABD中,AF==CE=CF,EM=,CM=.所以cos∠CEM==.答案:能力提升(时间:15分钟)9.如图,ABCD A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是( A )(A)A,M,O三点共线(B)A,M,O,A1不共面(C)A,M,C,O不共面(D)B,B1,O,M共面解析:连接A1C1,AC,则A1C1∥AC,所以A1,C1,C,A四点共面,所以A1C⊂平面ACC1A1,因为M∈A1C,所以M∈平面ACC1A1,又M∈平面AB1D1,所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,又A在平面ACC1A1和平面AB1D1的交线上.所以A,M,O三点共线.B,C 不正确,BB1与AO异面,所以D不正确.故选A.10.长方体ABCD A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上,E为AB的中点,CE=3,异面直线A1C1与CE所成角的余弦值为,且四边形ABB1A1为正方形,则球O的直径为( C )(A)4 (B)(C)4或(D)4或5解析:设AE=x,则BC=,AC=.因为A1C1∥AC,所以∠ACE为异面直线A1C1与CE所成的角,由余弦定理得=,所以x4-7x2+6=0,所以x2=1或6,所以x=1或.设球O的半径为R,则2R===4或.故选C.11.如图所示,在正方体ABCD A1B1C1D1中,M,N分别是棱C1D1,C1C的中点,给出以下四个结论:①直线AM与直线C1C相交;②直线AM与直线BN 平行;③直线AM与直线DD1异面;④直线BN与直线MB1异面.其中正确结论的序号为.(把你认为正确的结论的序号都填上)解析:AM与C1C异面,故①错;AM与BN异面,故②错.易知③④正确. 答案:③④12.在正三棱柱ABC A1B1C1中,D是AC的中点,AA1∶AB=∶1,则异面直线AB1与BD所成的角为.解析:如图,取A1C1的中点D1,连接B1D1,因为D是AC的中点,所以B1D1∥BD,所以∠AB1D1即为异面直线AB1与BD所成的角.连接AD1,设AB=a,则AA1=a,所以AB1=a,B1D1=a,AD1==a.所以,在△AB1D1中,由余弦定理得cos∠AB1D1===,所以∠AB1D1=60°.答案:60°,在体积为的正三棱锥A BCD中,BD长为2,E为棱BC的中点,求:(1)异面直线AE与CD所成角的余弦值;(2)正三棱锥A BCD的表面积.解:(1)过点A作AO⊥平面BCD,垂足为O,则O为△BCD的中心,由××22×3×AO=,得AO=1.又在正三角形BCD中得OE=1,所以AE=.取BD中点F,连接AF,EF,故EF∥CD,所以∠AEF就是异面直线AE与CD所成的角.在△AEF 中,AE=AF=,EF=.所以cos∠AEF==.所以,异面直线AE与CD所成的角的余弦值为.(2)由AE=可得正三棱锥A BCD的侧面积为S=3··BC·AE=×2×=3,所以正三棱锥A BCD的表面积为S=3+·BC2=3+3.。

高考数学(理)一轮规范练【40】空间点、直线、平面之间的位置关系(含答案)

课时规范练40 空间点、直线、平面之间的位置关系课时规范练第63页一、选择题1.如图,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且C∉l,直线AB∩l=M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必通过( )A.点AB.点BC.点C但不过点MD.点C和点M答案:D解析:∵AB⊂γ,M∈AB,∴M∈γ.又α∩β=l,M∈l,∴M∈β.根据公理3可知,M在γ与β的交线上.同理可知,点C也在γ与β的交线上.2.已知a,b,c,d是空间四条直线,如果a⊥c,b⊥c,a⊥d,b⊥d,那么( )A.a∥b且c∥dB.a,b,c,d中任意两条可能都不平行C.a∥b或c∥dD.a,b,c,d中至多有一对直线互相平行答案:C解析:若a与b不平行,则存在平面β,使得a⊂β且b⊂β,由a⊥c,b⊥c,知c⊥β,同理d⊥β,所以c∥d.若a∥b,则c与d可能平行,也可能不平行.结合各选项知选C.3.若空间中有四个点,则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:如果四个点中有三点在同一直线上,则一定有这四个点在同一个平面上;反之则不成立.例如平行四边形的四个顶点.4.给出(1)在空间内,垂直于同一平面的两个平面平行;(2)设l,m是不同的直线,α是一个平面,若l⊥α,l∥m,则m⊥α;(3)已知α,β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件;(4)a,b是两条异面直线,P为空间内一点,过P总可以作一个平面与a,b之一垂直,与另一个平行.[:其中正确A.0B.1C.2D.3答案:B解析:(1)中有可能互相垂直;(2)正确;(3)α⊥β,m⊂α不一定有m⊥β.而m⊥β则α⊥β一定成立,故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件;(4)只有两异面直线互相垂直时,才能有这样的平面.5.已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列A.若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,则n⊥α或n⊥βB.若m不垂直于α,则m不可能垂直于α内的无数条直线[:C.若α∩β=m,n∥m,且n⊄α,n⊄β,则n∥α且n∥βD.若α⊥β,m∥n,n⊥β,则m∥α答案:C解析:∵n∥m,m⊂α,n⊄α,∴n∥α,同理有n∥β,故C正确.6.已知直线l∥平面α,P∈α,那么过点P且平行于直线l的直线( )A.只有一条,不在平面α内B.只有一条,且在平面α内C.有无数条,不一定在平面α内D.有无数条,一定在平面α内答案:B解析:由直线l与点P可确定一个平面β,则平面α,β有公共点,因此它们有一条公共直线,设该公共直线为m,因为l∥α,所以l∥m,故过点P且平行于直线l的直线只有一条,且在平面α内,选B.7.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=,则下列结论中错误的是( )A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.三棱锥A-BEF的体积为定值D.△AEF的面积与△BEF的面积相等答案:D解析:由AC⊥平面DBB1D1,可知AC⊥BE,故A正确.由EF∥BD,EF⊄平面ABCD,知EF∥平面ABCD,故B正确.A到平面BEF的距离即A到平面DBB1D1的距离为,且S△BEF=BB1×EF=定值,[:故V A-BEF为定值,即C正确.二、填空题8.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,将△ABD沿对角线BD折起到△A'BD的位置,使点A'在平面BCD内的射影点O恰好落在BC边上,则异面直线A'B与CD所成角的大小为.答案:90°解析:如题图所示,由A'O⊥平面ABCD,可得平面A'BC⊥平面ABCD,又由DC⊥BC可得DC⊥平面A'BC,故DC⊥A'B,即得异面直线A'B与CD所成的角的大小为90°.9.如图,在正方体ABC D-A1B1C1D1中,M,N分别是棱C1D1,C1C的中点.给出以下四个结论:①直线AM与直线C1C相交;②直线AM与直线BN平行;③直线AM与直线DD1异面;④直线BN与直线MB1异面.其中正确结论的序号为.(注:把你认为正确的结论序号都填上)答案:③④解析:AM与C1C异面,故①错;AM与BN异面,故②错;③,④正确.10.设α,β为两个不重合的平面,m,n是两条不重合的直线,给出下列四个①若m⊥n,m⊥α,则n∥α;②若n⊂α,m⊂β,α与β相交但不垂直,则n与m不垂直;③若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,则n⊥β;④若m∥n,n⊥α,α∥β,则m⊥β.其中真答案:④解析:若m⊥n,m⊥α,则n∥α或n⊂α,①是假三、解答题11.如图,平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF与ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC∥AD且BC=AD,BE∥AF且BE=AF,G,H分别为FA,FD的中点.(1)证明:四边形BCHG是平行四边形;(2)C,D,F,E四点是否共面?为什么?[:解：(1)证明:∵G,H分别为FA,FD的中点,∴GH AD.又∵BC AD,∴GH BC.∴四边形BC HG为平行四边形.[:(2)解∵BE∥AF,BC∥AD,BC∩BE=B,平面BCE∥平面AFD,∴EC∥平面AFD.∵DF⊂平面AFD,∴EC∥DF.∴C,D,E,F四点共面.12.如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为DD1,DB的中点.(1)求证:EF∥平面ABC1D1;(2)求证:CF⊥B1E;(3)求三棱锥B1-EFC的体积.解： (1)证明:如图,连接BD1,在△DD1B中,E,F分别为D1D,DB的中点,∴EF为△DD1B的中位线,∴EF∥D1B.而D1B⊂平面ABC1D1,EF⊄平面ABC1D1,∴EF∥平面ABC1D1.(2)证明:在等腰直角三角形BCD中,∵F为BD的中点,∴CF⊥BD.①在正方体ABCD-A1B1C1D1中,DD1⊥平面ABCD,∵CF⊂平面ABCD,∴DD1⊥CF.②综合①②,且DD1∩BD=D,DD1,BD⊂平面BDD1B1,∴CF⊥平面BDD1B1.而B1E⊂平面BDD1B1,∴CF⊥B1E.(3)解连接B1D1,由(2)可知CF⊥平面BDD1B1,∴CF⊥平面EFB1,即CF为高,CF=BF=.∵EF=BD1=,B1F=,B1E==3,∴EF2+B1F2=B1E2,即∠EFB1=90°,∴EF·B1F=,∴··CF==1.。

2020版高考数学理科(人教B版)一轮复习课时规范练39 空间点、直线、平面之间的位置关系含解析

课时规范练39空间点、直线、平面之间的位置关系基础巩固组1.(2018陕西师大附中期末,5)设已知A,B,C,D,E是空间五个不同的点,若点E在直线BC上,则“AC与BD是异面直线”是“AD与BE是异面直线”的()A.充分不必要条件B.充分必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件2.(2018北京西城区期末,5)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是梯形,AB∥CD,若平面PAD∩平面PBC=l,则()A.l∥CDB.l∥BCC.l与直线AB相交D.l与直线DA相交3.(2018河南洛阳一模,4)设α,β是两个不同的平面,a,b,c是三条不同的直线()A.若a⊥b,b⊥c,则a∥cB.若a∥α,b∥α,则a∥bC.若a⊥b,a⊥α,则b∥αD.若a⊥α,a⊥β,则α∥β4.如图所示,ABCD-A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是()A.A,M,O三点共线B.A,M,O,A1不共面C.A,M,C,O不共面D.B,B1,O,M共面5.(2018广东佛山模拟,4)在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与直线A1B1,EF,BC都相交的直线()A.不存在B.有且只有两条C.有且只有三条D.有无数条6.(2018云南保山统考二,10)四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形,PA=,E为PC的中点,则异面直线BE与PD所成角的余弦值为()A. B. C. D.7.(2018河北衡水一模,14)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥底面ABC,D是AB的中点,∠ACB=90°,AC=BC=CC1,过点D、C作截面交BB1于点E,若点E恰好是BB1的中点,则直线AC1与DE所成角的余弦值为.综合提升组8.(2018福建福州二模,7)平面α外有两条直线m和n,如果m和n在平面α内的射影分别是m1和n1,给出下列四个命题:①m1⊥n1⇒m⊥n;②m⊥n⇒m1⊥n1;③m1与n1相交⇒m与n相交或重合;④m1与n1平行⇒m与n平行或重合;其中不正确的命题个数是()A.1B.2C.3D.49.(2017福建厦门二模,11)过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作平面α,使得正方体的各棱与平面α所成的角均相等,则满足条件的平面α的个数是()A.1B.4C.6D.810.平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为()A. B. C. D.11.α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号)创新应用组12.(2018山西太原三模,8)如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别是DE,BE,EF,EC的中点,在这个正四面体中:①DE与MN平行;②BD与MN为异面直线;③GH与MN成60°角;④DE与MN垂直.以上四个命题中,正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.413.(2018陕西黄陵中学6月模拟,5)我国古代《九章算术》里,记载了一个例子:“今有羡除,下广六尺,上广一丈,深三尺,末广八尺,无深,袤七尺,问积几何?”该问题中的羡除是如图所示的五面体ABCDEF,其三个侧面皆为等腰梯形,两个底面为直角三角形,其中AB=6尺,CD=10尺,EF=8尺,AB,CD间的距离为3尺,CD,EF间的距离为7尺,则异面直线DF与AB所成角的正弦值为()A. B.C. D.课时规范练39空间点、直线、平面之间的位置关系1.B若AC与BD是异面直线,则A,B,C,D四点不共面,则AD与BC是异面直线,而点E在BC上,所以AD与BE也是异面直线,若AD与BE是异面直线,而点E在直线BC上,所以AD与BC是异面直线,所以A,B,C,D四点不共面,所以AC与BD是异面直线,所以互为充分必要条件,故选B.2.D两个平面若有一个交点,那么必然有无数个交点,而且这些交点在同一条直线上.那么DA与BC 的交点必在直线l上,故选D.3.D A.垂直于同一条直线的两条直线,可能是互相垂直的,比如墙角模型.故不正确.B.平行于同一个平面的两条直线可以是平行的,垂直的,共面异面都有可能.故不正确.C.直线b有可能在平面α内.故不正确.D.垂直于同一条直线的两个平面是平行的.正确.故答案为D.4.A连接A1C1,AC,则A1C1∥AC,所以A1,C1,A,C四点共面.所以A1C⊂平面ACC1A1.因为M∈A1C,所以M∈平面ACC1A1.又M∈平面AB1D1,所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上.同理A,O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,所以A,M,O三点共线.5.D在EF上任意取一点M,直线A1B1与M确定一个平面,这个平面与BC有且仅有1个交点N,当M的位置不同时确定不同的平面,从而与BC有不同的交点N,而直线MN与A1B1,EF,BC分别有交点P,M,N,如图,故有无数条直线与直线A1B1,EF,BC都相交.6.C如图所示,取CD的中点F,连接BF,EF,∵E是PC的中点,∴EF∥PD,则∠BEF是BE与PD的夹角,EF=PD=∵PC=,∴cos∠BPC=,∴BE2=32+2-2×3-又BF=,∴cos∠BEF=-7连接AB1,且AB1∥DE,所以直线AC1与DE所成角为∠C1AB1,由CC1⊥底面ABC,所以为直三棱柱,设AC=BC=CC1=1,∠ACB=90°,所以B1C1=1,AC1=,AB1=,且B1C1⊥AC1,cos∠C1AB1=填8.D结合题意逐一分析所给的四个说法,在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中:对于说法①:若取平面α为ABCD,m1,n1分别为AC,BD,m,n分别为A1C,BD1,满足m1⊥n1,但是不满足m⊥n,该说法错误;对于说法②:若取平面α为ADD1A1,m1,n1分别为A1D1,AD1,m,n分别为A1C1,BD1,满足m⊥n,但是不满足m1⊥n1,该说法错误;对于说法③:若取平面α为ABCD,m1,n1分别为AC,BD,m,n分别为AC1,B1D1,满足m1与n1相交,但是m与n异面,该说法错误;对于说法④:若取平面α为ADD1A1,m1,n1分别为A1D1,AD,m,n分别为A1C1,BC,满足m1与n1平行,但是m与n异面,该说法错误;综上可得:不正确的命题个数是4.故选D.9.B在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与AA1,AD,AB平行的直线各有3条,AA1=AD=AB,A1-BDC1是正三棱锥,AA1,AD,AB与平面A1DB所成角相等,∴满足条件的平面有4个,故选B.10.A(方法一)∵α∥平面CB1D1,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,α∩平面ABCD=m,平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1,∴m∥B1D1.∵α∥平面CB1D1,平面ABB1A1∥平面DCC1D1,α∩平面ABB1A1=n,平面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1,∴n∥CD1.∴B1D1,CD1所成的角等于m,n所成的角,即∠B1D1C等于m,n所成的角.∵△B1D1C为正三角形,∴∠B1D1C=60°,∴m,n所成的角的正弦值为(方法二)由题意画出图形如图,将正方体ABCD-A1B1C1D1平移,补形为两个全等的正方体如图,易证平面AEF∥平面CB1D1,所以平面AEF即为平面α,m即为AE,n即为AF,所以AE与AF所成的角即为m与n所成的角.因为△AEF是正三角形,所以∠EAF=60°,故m,n所成角的正弦值为11.②③④对于①,若m⊥n,m⊥α,n∥β,则α,β的位置关系无法确定,故错误;对于②,因为n∥α,所以过直线n作平面γ与平面α相交于直线c,则n∥c.因为m⊥α,所以m⊥c,所以m⊥n,故②正确;对于③,由两个平面平行的性质可知正确;对于④,由线面所成角的定义和等角定理可知其正确,故正确命题的编号有②③④.12.C将正四面体的平面展开图复原为正四面体A(B、C)-DEF,如图:对于①,M、N分别为EF、AE的中点,则MN∥AF,而DE与AF异面,故DE与MN不平行,故①错误;对于②,BD与MN为异面直线,正确(假设BD与MN共面,则A、D、E、F四点共面,与ADEF为正四面体矛盾,故假设不成立,故BD与MN异面);对于③,依题意,GH∥AD,MN∥AF,∠DAF=60°,故GH与MN成60°角,故③正确;对于④,连接GF,A点在平面DEF的射影A1在GF上,∴DE⊥平面AGF,DE⊥AF,而AF∥MN,∴DE与MN垂直,故④正确.综上所述,正确命题的序号是②③④,故答案为②③④.13.B如图:根据题意AB∥CD,所以∠FDC为异面直线DF与AB所成角,又因为CD=10尺,EF=8尺且侧面为等腰梯形,过点F作FG⊥DC,则DG=9尺,CD,EF间的距离为7尺,故FG=7尺,由勾股定理得DF=尺,所以sin∠FDC=,故选B.。

2022版高考数学一轮复习练案(44理+43文)第七章立体几何第三讲空间点、直线、平面之间

第三讲空间点、直线、平面之间的位置关系A组基础巩固一、选择题1．给出下列说法:①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面．其中正确的序号是（B）A．①B．①④C．②③D．③④2．（2018·上海）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1的棱所在的直线中,与直线BC1异面的直线的条数为(C）A．1B．2C．3D．4[解析］在直三棱柱ABC－A1B1C1的棱所在的直线中，与直线BC1异面的直线有：A1B1，AC,AA1，共3条．故选C．3．（2021·云南楚雄州期中联考）如图，在三棱锥D－ABC中，AC⊥BD,一平面截三棱锥D－ABC所得截面为平行四边形EFGH.已知EF＝错误!，EH＝错误!，则异面直线EG和AC所成角的正弦值是（A）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!［解析]由题意知EH∥FG,又FG⊂平面ADC，EH⊄平面ADC，∴EH∥平面ACD，∴EH∥AC，同理HG∥BD，∵AC⊥BD,∴EH⊥HG，记EG与AC所成角∠GEH为θ，则sin θ＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!。

故选A．4．如图所示,平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D,C∈β，C∉l,则平面ABC与平面β的交线是（C)A．直线AC B．直线ABC．直线CD D．直线BC[解析]由题意知,D∈l，l⊂β,所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD。

5．（2021·湖北名师联盟模拟)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中,点E,F分别是AB,A1D1的中点，O为正方形A1B1C1D1的中心,则下列结论正确的是（C) A．直线EF，AO是异面直线B．直线EF，BB1是相交直线C．直线EF与BC1所成角为30°D．直线EF与BB1所成角的余弦值为错误!［解析]OF綊AE，EF、AO是相交直线，A错;EF、BB1是异面直线，B错;如图，OF綊BE，∴EF∥BO，∴∠C1BO为EF与BC1所成的角,设正方体棱长为2，则BC1＝2错误!,OC1＝错误!,BO＝错误!,∴BC错误!＝OC错误!＋BO错误!，即BO⊥OC1，∴∠OBC1＝30°，C对;EF与BB1所成角的余弦值为错误!,D错；故选C．6．(2021·河北唐山模拟）下图是一个正方体的展开图，则在该正方体中(D）A．直线AB与直线CD平行B．直线AB与直线CD相交C．直线AB与直线CD异面垂直D．直线AB与直线CD异面且所成的角为60°［解析]还原成几何体如图所示连AH，BH,则CD∥AH，∠BAH为AB与CD所成的角，显然AB、CD异面且所成的角为60°。