高中数学选修2-3 (23)

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高中数学选修2-3答案

高中数学选修2-3答案

高中数学选修2-3答案【篇一:高中数学选修2-3所有试卷含答案】每章分三个等级:[基础训练a组], [综合训练b组], [提高训练c 组] 建议分别适用于同步练习,单元自我检查和高考综合复习。

(数学选修2--3) 第一章计数原理[基础训练a组]一、选择题1.将3个不同的小球放入4个盒子中,则不同放法种数有()a.81 b.64c.12d.142.从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少有甲型与乙型电视机各1台,则不同的取法共有()a.140种 b.84种 c.70种 d.35种3.5个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有() a.a3 b.4a3 c.a5?a3a3 d.a2a3?a2a3a3 4.a,b,c,d,e共5个人,从中选1名组长1名副组长,但a不能当副组长,不同的选法总数是()a.20 b.16 c.10 d.65.现有男、女学生共8人,从男生中选2人,从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛,共有90种不同方案,那么男、女生人数分别是() a.男生2人,女生6人 b.男生3人,女生5人 c.男生5人,女生3人 d.男生6人,女生2人. ?x6.在??的展开式中的常数项是() ?283352323113a.7 b.?7 c.28 d.?287.(1?2x)(2?x)的展开式中x3的项的系数是() a.120 b.?120 c.100 d.?100 ?8.??2??2?展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是() x?n5a.180 b.90 c.45 d.360二、填空题1.从甲、乙,??,等6人中选出4名代表,那么(1)甲一定当选,共有种选法.(2)甲一定不入选,共有种选法.(3)甲、乙二人至少有一人当选,共有种选法.2.4名男生,4名女生排成一排,女生不排两端,则有. 3.由0,1,3,5,7,9这六个数字组成_____个没有重复数字的六位奇数.4.在(x?的展开式中,x的系数是1062205.在(1?x)展开式中,如果第4r项和第r?2项的二项式系数相等,则r?,t4r?6.在1,2,3,...,9的九个数字里,任取四个数字排成一个首末两个数字是奇数的四位数,这样的四位数有_________________个?7.用1,4,5,x四个不同数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为288,则x. 8.从1,3,5,7,9中任取三个数字,从0,2,4,6,8中任取两个数字,组成没有重复数字的五位数,共有________________个?三、解答题1.判断下列问题是排列问题还是组合问题?并计算出结果.(1)高三年级学生会有11人:①每两人互通一封信,共通了多少封信?②每两人互握了一次手,共握了多少次手?(2)高二年级数学课外小组10人:①从中选一名正组长和一名副组长,共有多少种不同的选法?②从中选2名参加省数学竞赛,有多少种不同的选法?(3)有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数:①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商?②从中任取两个求它的积,可以得到多少个不同的积?2.7个排成一排,在下列情况下,各有多少种不同排法?(1)甲排头,(2)甲不排头,也不排尾,(3)甲、乙、丙三人必须在一起,(4)甲、乙之间有且只有两人,(5)甲、乙、丙三人两两不相邻,(6)甲在乙的左边(不一定相邻),(7)甲、乙、丙三人按从高到矮,自左向右的顺序,(8)甲不排头,乙不排当中。

高中数学人教A版选修2-3 基本计数原理例题和练习

高中数学人教A版选修2-3 基本计数原理例题和练习

基本计数原理(1)分类加法计数原理:做一件事情,完成它有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,……,在第n类办法中有m n种不同的方法.那么完成这件事情共有N=m1+m2 +……+m n种不同的方法。

(2)分步乘法计数原理:做一件事情,完成它需要n个步骤,做第一个步骤有m1种不同的方法,做第二个步骤有m2种不同的方法……做第n个步骤有m n种不同的方法,那么完成这件事情共有N= m1 ×m2 ×……× m n种不同的方法。

计数问题是数学中的重要研究对象,解决计数问题,其基本方法是列举法、列表法、树形图法等:其中级方法是分类加法原理和分步乘法原理:其高级方法是排列组合,基本计数原理是连接初级方法和高级方法的“桥梁”,是核心的方法,是解决计数问题的最重要的方法,而排列组合问题的方法:①特殊元素、特殊位置优先法。

②间接法。

③相邻问题捆绑法。

④不相邻(相间)问题插空法。

⑤有序问题组合法。

⑥选取问题先选后排法。

⑦至多至少问题间接法。

⑧相同元素分组可采用隔板法。

⑨分组问题等。

[例1]用0, 1, ..9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为()。

A.243B.252C.261D.279[解析]0,1, 2,…,9共能组成9×10×10=900 (个)三位数,其中无重复数字的三位数有9×9×8=648 (个),∴有重复数字的三位数有900-648=252 (个)。

故选B。

[注意]三位数一定要保证最高位不为0.[例2] 6名同学排成一排照相,要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边,共有()种不同站法。

[解析]法一: (位置分析法)先从其他5人中安排2人站在最左边和最右边,再安排余下4人的位置,分为两步:第1步,从除甲外的5人中选2人站在最左边和最右边,有25A 种站法:第2步,余下4人(含甲)站在剩下的4个位置上,有44A 种站法。

高中数学选修2-3优质课件:事件的相互独立性

高中数学选修2-3优质课件:事件的相互独立性

[解] 令事件 A,B,C 分别表示 A,B,C 三个独立的研究 机构在一定时期内成功研制出该疫苗,依题意可知,事件 A,B, C 相互独立,且 P(A)=15,P(B)=14,P(C)=13.
(1)他们都研制出疫苗,即事件 ABC 发生,故 P(ABC)= P(A)P(B)·P(C)=15×14×13=610.
第三页,编辑于星期一:点 三十六分。
[类题通法] 判断事件是否相互独立的方法
(1)定义法:事件 A,B 相互独立⇔P(AB)=P(A)·P(B). (2)利用性质:A 与 B 相互独立,则 A 与 B ,A 与 B,A 与 B 也都相互独立. (3)有时通过计算 P(B|A)=P(B)可以判断两个事件相互 独立.
第九页,编辑于星期一:点 三十六分。
[对点训练] 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为 0.5,购买 乙种商品的概率为 0.6,且购买甲种商品与购买乙种商品相互 独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的.求: (1)进入商场的 1 位顾客,甲、乙两种商品都购买的概率; (2)进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率. 解:记 A 表示事件“进入商场的 1 位顾客购买甲种商品”, 则 P(A)=0.5; 记 B 表示事件“进入商场的 1 位顾客购买乙种商品”,则 P(B)=0.6;
第十三页,编辑于星期一:点 三十六分。
[类题通法] 解决此类问题应注意
(1)恰当用事件的“并”“交”表示所求事件; (2)“串联”时系统无故障易求概率,“并联”时系统 有故障易求概率,求解时注意对立事件概率之间的转化.
第十四页,编辑于星期一:点 三十六分。
[对点训练] 在一段线路中并联着 3 个自动控制的常开开关,只要其中 1 个开关能够闭合,线路就能正常工作.假定在某段时间内每 个开关能够闭合的概率都是 0.7,计算在这段时间内线路正常 工作的概率. 解:如图所示,记这段时间内开关 KA,KB,KC 能 够闭合为事件 A,B,C.

高中数学选修2-3课后习题答案[人教版]

高中数学选修2-3课后习题答案[人教版]

高中数学人教版选修2-3课本习题答案1. <n曝完建的井事tr是“选岀t人完成工惟”,不同的选法种敷是5+4二刘<2)密完臨的**一件耶情”是“从人村经H村flCH去”,不同路线条3X2-6,2. <1)耍完曲的“一井UtT是“选出I人参加活动J不同的选崔种*^3+5-1-4-12,忆)蜃完底啊亠一悴耶情”屋4■从3牛聊级的学主中各选I人罢加洁动“,干同的选誌种敦足3X5X4=60. 3-因为要确足的見这荊同孑的专业选择.并不要考匡学狡的差异*所以应当>6+^1-9 (种)可範的专业选择.竦习10^)1”婆完陵的亠一件痢tiT是“碍別展开式的一项二由于毎一项都是□就门的形点*所以吨以井二.母完A t第一步,取爲.有』种方法F第二步「取知.有3种方法多第三步,叽.奋5种方浚”根器井步乘祛计数原贻展开式共有3X3X5 = 45帧L氐婴立底的“一杵事tr是”鞘定一卞电恬号购的后怨位:分四步绕酸出拇一歩那是从。

〜9 ii 10 个效字中耻1个. 10X10X10X10=10 000 (个九玄婆完建的"一仲事nr是"从5名同学中选出正*副组檢各1名二分钢步完氤第一绘选正组长' 有5种方法*第二歩选副纽忙*冇4种方槌・共有选^5X4 = 30 £种hA.要完威的"一件事悄”是”从*j个门中的一个进人并从男一个口出強二分创歩完成;先从£匸门中选-牛进人.评从其余5个门中逢一亍出去+扰有进出方SfefiX5-30 <种1.习SIU ($ 1135)AiML •一杵事情“是"买一台果型号的电视机”*弟同朗选^+7=tl <^L2* M一理事悄”是“从甲地籃乙地或證丙地別丁地去”.所以左"先分类、后分歩=不何的聲绥It有2X3+#冥2 = M (条人3. 对于第亠问,r帝事悄” & •■构成亠牛分数二由于L 5・趴13虽奇数* 4・S. 12, 16是偶数* 肿以以1・5・h】3中ff意一牛为分子.都可以与氣乳12, 16^的任意一牛梅成甘数・宙此町以分两步桌构成分数:第-涉.选分子,有4种选达*第二步「选分毋'也疔彳种逸迭.共有革同的分*4X4^16仆对于第二『叭”一杵舉ffC是”枸成一牛真分ST.分匹类’分子为1时,分母町以从4. 8・1签16 中任选-个,有4个』分于为5时*分柿从氛12, 16中选一个*有3 t*分于为9时*分母从1签倍屮选一个,有2个*分子为曲时•分母只髄迭卜粘有I仁所以共有真分散4+3十2+1 = 10 (“4JJ榔髀悄”是“喪通线*ST・眾据电路的肴戋知识.容彌到不間的接通线路有3 + 1+2X 2*8 f条紅5, U)“一件事箭**丛円用坐杯硝定一个点巴曲于横、纵坐标可以相同,因此可堆井两母完遵:第一步.从A中选榄坐标.冇6个选择工葡二步从人中选纵塑怖’也有&伞选抄.所以共有世拆6X6 = 36 (个人]■ ()) abt act titii &・、be * bd « ca r 触 tci tde 、(,2) Qd* ar* ad T u+, ba 、be r txf , he 、rc T 匸打、・ f*> da ■ db, de. df* ea 卅,ec, "+ 監 CBA1t = J5X 14X1.1X12=32 Mg (2> A —5 0401(3> AJ-2J \5~8X7X6X5~2XSX7"1N2456 7 KZ224 120720 5 040 io 33a4. <D 略 t(2) Aj-8Af 4-7AJ -8AJ —&Aj-hAj = A?, 5* A? —&0(种人缶甩=刘<1f).It 穷 <W 25®)1. (I)甲*乙、甲、闪.甲.丁.乙,丙-乙、丁,丙* Ti ⑵甲'!■甲T乙«乙T\H TL甲丙即TT再乙T乙T丙么2蹴二△A#。

高中数学选修2-3-排列与组合

高中数学选修2-3-排列与组合

排列与组合知识集结知识元排列与排列数公式知识讲解1.排列及排列数公式【考点归纳】1.定义(1)排列:一般地,从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.(其中被取的对象叫做元素)(2)排列数:从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号表示.2.相关定义:(1)全排列:一般地,n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个不同元素的一个全排列.(2)n的阶乘:正整数由1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用n!表示.(规定0!=1)3.排列数公式(1)排列计算公式:=.m,n∈N+,且m≤n.(2)全排列公式:=n•(n﹣1)•(n﹣2)•…•3•2•1=n!.例题精讲排列与排列数公式例1.(x-2)(x-3)(x-4)…(x-15)(x∈N+,x>15)可表示为()A.A B.A C.A D.A例2.若=12,则n=()A.8B.7C.6D.4例3.已知=15,那么=()A.20B.30C.42D.72组合与组合数公式知识讲解1.组合及组合数公式【考点归纳】1.定义(1)组合:一般地,从n个不同元素中,任意取出m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个元素中任取m个元素的一个组合.(2)组合数:从n个不同元素中,任意取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同元素中,任意取出m个元素的组合数,用符号表示.2.组合数公式:=.m,n∈N+,且m≤n.3.组合数的性质:性质1性质2.例题精讲组合与组合数公式例1.'排球单循环赛南方球队比北方球队多9支南方球队总得分是北方球队的9倍求证冠军是一支南方球队(胜得1分败得0分).'例2.'一个袋子里装有大小相同且标有数字1~5的若干个小球,其中标有数字1的小球有1个,标有数字2的小球有2个,…,标有数字5的小球有5个.(Ⅰ)从中任意取出1个小球,求取出的小球标有数字3的概率;(Ⅱ)从中任意取出3个小球,求其中至少有1个小球标有奇数数字的概率;(Ⅲ)从中任意取出2个小球,求小球上所标数字之和为6的概率.'例3.'求C3n38-n+C21+n3n的值.'排列组合的简单计数问题知识讲解1.排列、组合及简单计数问题【知识点的知识】1、排列组合问题的一些解题技巧:①特殊元素优先安排;②合理分类与准确分步;③排列、组合混合问题先选后排;④相邻问题捆绑处理;⑤不相邻问题插空处理;⑥定序问题除法处理;⑦分排问题直排处理;⑧“小集团”排列问题先整体后局部;⑨构造模型;⑩正难则反、等价转化.对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则:一是按元素的性质分类,二是按时间发生的过程进行分步.对于有限制条件的排列组合问题,通常从以下三个途径考虑:①以元素为主考虑,即先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素;②以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置;③先不考虑限制条件,计算出排列或组合数,再减去不符合要求的排列或组合数.2、排列、组合问题几大解题方法:(1)直接法;(2)排除法;(3)捆绑法:在特定要求的条件下,将几个相关元素当作一个元素来考虑,待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”;(4)插空法:先把一般元素排列好,然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中,此法主要解决“元素不相邻问题”;(5)占位法:从元素的特殊性上讲,对问题中的特殊元素应优先排列,然后再排其他一般元素;从位置的特殊性上讲,对问题中的特殊位置应优先考虑,然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则;(6)调序法:当某些元素次序一定时,可用此法;(7)平均法:若把kn个不同元素平均分成k组,每组n个,共有;(8)隔板法:常用于解正整数解组数的问题;(9)定位问题:从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内,并且都排在某r个指定位置则有;(10)指定元素排列组合问题:①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列(或组合),规定某r个元素都包含在内.先C后A策略,排列;组合;②从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列(或组合),规定某r个元素都不包含在内.先C后A策略,排列;组合;③从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列(或组合),规定每个排列(或组合)都只包含某r个元素中的s个元素.先C后A策略,排列;组合.例题精讲排列组合的简单计数问题例1.的展开式中,x的系数为___(用数字作答)例2.在的展开式中,x4的系数是____.例3.若,则n的展开式中,含x2项的系数为_______.当堂练习单选题练习1.计算2+3的值是()A.72B.102C.5070D.5100练习2.=()A.30B.24C.20D.15练习3.6本不同的书在书桌上摆成一排,要求甲,乙两本书必须放在两端,丙、丁两本书必须相邻,则不同的摆放方法有()种。

北师大版高中数学选修2-3课件2.3条件概率与独立事件

北师大版高中数学选修2-3课件2.3条件概率与独立事件
(3)甲、乙各射击 1 次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标” 不可能同时发生,二者是互斥事件;
(4)甲、乙各射击 1 次,“至少有 1 人射中目标”与“甲射中目标,但乙没 有射中目标”可能同时发生,二者构不成互斥事件,也不可能是相互独立事 件.
弄清“互斥事件”与“相互独立事件”的区别是关键,“互斥事件”不能
§3 条件概率与独立事件
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学习目标导航 基础知识梳理 重点难点突破 典型例题剖析 随堂练习巩固
1.了解条件概率的概念,理解互斥事件,会用条件概率公式求解简单的实际 问题. 2.理解相互独立事件的意义,理解相互独立事件同时发生的概率乘法公式.
学习目标导航 基础知识梳理 重点难点突破 典型例题剖析 随堂练习巩固
=1 4 1Fra bibliotek=12.
2
答案:A
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12345
2 在 10 支铅笔中,有 8 支正品,2 支次品,从中任取 2 支,则在第一次抽的
是次品的条件下,第二次抽的是正品的概率是( )
A.15
B.485
C.89
D.45
解析:记事件 A,B 分别表示“第一次、第二次抽得正品”,
【例 2】 判断下列各对事件是互斥事件还是相互独立事件. (1)运动员甲射击 1 次,“射中 9 环”与“射中 8 环”; (2)甲、乙两运动员各射击 1 次,“甲射中 10 环”与“乙射中 9 环”; (3)甲、乙两运动员各射击 1 次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有
射中目标”; (4)甲、乙两运动员各射击 1 次,“至少有 1 人射中目标”与“甲射中目标,

P(A2)=P(������1 A2)+P(A1A2)=25

高中数学选修2-3二项式定理讲义含答案

高中数学选修2-3二项式定理讲义含答案

二项式定理公式(a+b)n=C0n a n+C1n a n-1b+C2n a n-2b2+…+C r n a n-r b r所表示的规律叫做二项式定理.2、相关概念(1)公式右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式.(2)各项的系数C r n(r=0,1,2,…,n)叫做展开式的二项式系数.(3)展开式中的C r n a n-r b r叫做二项展开式的通项,记作:T r+1,它表示展开式的第r+1项.(4)在二项式定理中,如果设a=1,b=x,则得到公式(1+x)n=C0n+C1n x+C2n x2+…+C r n x r+…+C n n x n3、展开式具有以下特点(1)项数:共有n+1项;(2)二项式系数:依次为C0n,C1n,C2n,…,C r n,…,C n n;(3)每一项的次数是一样的,即为n次,展开式依a的降幂、b的升幂排列展开;(4)通项是第r+1项.[例1](1)用二项式定理展开(2x-32x2)5.(2)化简:C0n(x+1)n-C1n(x+1)n-1+C2n(x+1)n-2-…+(-1)r C r n(x+1)n-r+…+(-1)n C n n.[思路点拨](1)二项式的指数为5,可直接按二项式定理展开;(2)可先把x+1看成一个整体,分析结构形式,逆用二项式定理求解.[答案](1)(2x-32x2)5=C05(2x)5+C15(2x)4·(-32x2)+…+C55(-32x2)5=32x5-120x2+180x-135x4+4058x7-24332x10.(2)原式=C0n(x+1)n+C1n(x+1)n-1(-1)+C2n(x+1)n-2(-1)2+…+C r n(x+1)n-r(-1)r+…+C n n(-1)n=[(x +1)+(-1)]n=x n.1.求(3x+1x)4的展开式.解:法一:(3x+1x)4=C04(3x)4+C14(3x)3·1x+C24(3x)2·(1x)2+C34(3x)(1x)3+C44(1x)4=81x2+108x+54+12x+1x2.法二:(3x +1x)4=(3x +1)4x 2=1x 2(81x 4+108x 3+54x 2+12x +1)=81x 2+108x +54+12x +1x 2. 2.求C 26+9C 36+92C 46+93C 56+94C 66的值.解:原式=192(92C 26+93C 36+94C 46+95C 56+96C 66) =192(C 06+91C 16+92C 26+93C 36+94C 46+95C 56+96C 66)-192(C 06+91C 16) =192(1+9)6-192(1+6×9)=192(106-55)=12 345. [例2] (1)(x +12 x)8的展开式中常数项为( ) A.3516 B.358 C.354D .105(2)设二项式(x -a x)6(a >0)的展开式中x 3的系数为A ,常数项为B .若B =4A ,则a 的值是________. [答案] (1)二项展开式的通项为 T r +1=C r 8(x )8-r (12 x)r =C r 8(12)r x 4-r. 当4-r =0时,r =4,所以展开式中的常数项为 C 48(12)4=358.故选B. (2)由题意得T r +1=C r 6x6-r (-a x)r =(-a )r C r 6x 36-2r, ∴A =(-a )2C 26,B =(-a )4C 46.又∵B =4A ,∴(-a )4C 46=4(-a )2C 26,解之得a 2=4.又∵a >0,∴a =2. 3.在(2x 2-1x )5的二项展开式中,x 的系数为( )4.A .10B .-10C .40D .-40解析:二项式(2x 2-1x )5的展开式的第r +1项为T r +1=C r 5(2x 2)5-r (-1x)r =C r 5·25-r ×(-1)r x 10-3r .当r =3时含有x ,其系数为C 35·22×(-1)3=-40.4.(1+3x )n (其中n ∈N 且n ≥6)的展开式中,若x 5与x 6的系数相等,则n = ( )A .6B .7C .8D .9解析:二项式(1+3x )n 的展开式的通项是T r +1=C r n 1n -r ·(3x )r =C r n ·3r ·x r.依题意得C 5n ·35=C 6n·36,即n (n -1)(n -2)(n -3)(n -4)5! =3×n (n -1)(n -2)(n -3)(n -4)(n -5)6!(n ≥6),解得n =7.5.在(32x -12)20的展开式中,系数是有理数的项共有( )A .4项B .5项C .6项D .7项解析:T r +1=C r 20(32x )20-r (-12)r =(-22)r ·(32)20-r C r 20·x 20-r . ∵系数为有理数,∴(2)r与20r 32-均为有理数,∴r 能被2整除,且20-r 能被3整除. 故r 为偶数,20-r 是3的倍数,0≤r ≤20, ∴r =2,8,14,20.引入:nb)+(a 的展开式的二次项系数,当n 取正整数时可以表示成如下形式:二项式系数的性质(1)每一行的两端都是1,其余每个数都等于它“肩上”两个数的和.即C 0n =C n n =1,C m n +1=C m -1n +C m n . (2)每一行中,与首末两端“等距离”的两个数相等,即C m n =C n -mn.(3)如果二项式的幂指数n 是偶数,那么其展开式中间一项12+n T 的二项式系数最大;如果n 是奇数,那么其展开式中间两项12121++++n n T T 的二项式系数相等且最大.(4)二项展开式的各二项式系数的和等于2n .即C 0n +C 1n +C 2n +…+C n n =2n .且C 0n +C 2n +C 4n +…=C 1n +C 3n +C 5n +…=2n -1.[例1] 如图,在“杨辉三角”中,斜线AB 的上方,从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列:1,2,3,3,6,4,10,5,….记其前n 项和为Sn ,求S19的值.[思路点拨] 由图知,数列中的首项是C 22,第2项是C 12,第3项是C 23,第4项是C 13,…,第17项是C 210,第18项是C 110,第19项是C 211.[答案] S 19=(C 22+C 12)+(C 23+C 13)+(C 24+C 14)+…+(C 210+C 110)+C 211=(C 12+C 13+C 14+…+C 110)+(C 22+C 23+…+C 210+C 211)=(2+3+4+…+10)+C 312=(2+10)×92+220=274.n 行的首尾两个数均为________.解析:由1,3,5,7,9,…可知它们成等差数列,所以an =2n -1.答案:2n -12.如图,由二项式系数构成的杨辉三角中,第________行从左到右第14个数与第15个数之比为2∶3.解析:设第n 行从左至右第14与第15个数之比为2∶3,则3C 13n =2C 14n ,即3n !13!(n -13)!=2n !14!(n -14)!.解得n =34. [例2] 设)(2x )-(12012201222102012R x x a x a x a a ∈++++=(1)求2012210a a a a ++++ 的值. (2)求2011531a a a a ++++ 的值. (3)求||||||||2012210a a a a ++++ 的值.[思路点拨] 先观察所要求的式子与展开式各项的特点,用赋值法求解.[答案] (1)令x =1,得a 0+a 1+a 2+…+a 2 012=(-1)2 012=1.①(2)令x =-1,得a 0-a 1+a 2-…+a 2 012=32 012.② ①-②得2(a 1+a 3+…+a 2 011)=1-32 012, ∴a 1+a 3+a 5+…+a 2 011=1-32 0122.(3)∵T r +1=C r 2 012(-2x )r =(-1)r ·C r 2 012·(2x )r,∴a 2k -1<0(k ∈N +),a 2k >0(k ∈N). ∴|a 0|+|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a 2 012| =a 0-a 1+a 2-a 3+…+a 2 012 =32 012.[总结] 赋值法是解决二项展开式中项的系数问题的常用方法.根据题目要求,灵活赋给字母不同值是解题的关键.一般地,要使展开式中项的关系变为系数的关系,令x =0可得常数项,令x =1可得所有项的和,令x =-1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差.3.()()()nx x x ++++++1112的展开式中各项系数的和为( )A .12+n B .12-n C .121-+nD .221-+n解析:令x =1,则222222132-=+++++n n答案:D4.已知14141313221072)21x a x a x a x a a x x +++++=-+ a14x14.(1)求1413210a a a a a +++++ (2)求13531a a a a +++ 解:(1)令x =1,则1413210a a a a a +++++ =72=128. ①(2)令x =-1,则14133210a a a a a a +-+-+- =7)2(-=-128.②①-②得2(13531a a a a ++++ )=256,∴13531a a a a ++++ =128.[例3] (10分)已知(23x+3x 2)n 的展开式中,各项系数和与它的二项式系数和的比为32.(1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项.[思路点拨] 根据已知条件求出n ,再根据n 为奇数或偶数确定二项式系数最大的项和系数最大的项.[答案] 令x =1,则展开式中各项系数和为(1+3)n =22n .(1分)又展开式中二项式系数和为2n , ∴22n 2n =2n=32,n =5. (2分)(1)∵n =5,展开式共6项,∴二项式系数最大的项为第三、四两项, (3分) ∴T 3=C 25(23x)3(3x 2)2=90x 6,(4分) T 4=C 35(23x)2(3x 2)3=270223x.(5分)(2)设展开式中第k +1项的系数最大, 则由T k +1=C k 5(23x)5-k (3x 2)k =3k C k51043k x+,(6分)得⎩⎪⎨⎪⎧3k C k 5≥3k -1C k -15,3k C k 5≥3k +1C k +15,,∴72≤k ≤92,∴k =4, (8分)即展开式中系数最大的项为T 5=C 45(23x)(3x 2)4=405263x.(10分)[总结] (1)求二项式系数最大的项,根据二项式系数的性质,当n 为奇数时,中间两项的二项式系数最大;当n 为偶数时,中间一项的二项式系数最大.(2)求展开式中系数最大项与二项式系数最大项是不同的,需根据各项系数的正、负变化情况,一般采用列不等式组、解不等式的方法求得.变式训练5.若(x 3+1x 2)n 的展开式中第6项系数最大,则不含x 的项是( )A .210B .120C .461D .416解析:由题意知展开式中第6项二项式系数最大, n2+1=6,∴n =10, T r +1=C r 10x3(10-r )(1x2)r =C r 10x 30-5r . ∴30-5r =0.∴r =6.常数项为C 610=210. 答案:A 5.已知()nx 31+的展开式中,末三项的二项式系数的和等于121,求展开式中二项式系数最大的项.解:由题意知C n n +C n -1n +C n -2n =121, 即C 0n +C 1n +C 2n =121,∴1+n+n(n-1)2=121,即n2+n-240=0,解得n=15或-16(舍).∴在(1+3x)15的展开式中二项式系数最大的项是第八、九两项,且T8=C715(3x)7=C71537x7,T9=C815(3x)8=C81538x8.1.二项式展开式中的常数项是()A.180B.90C.45D.3602.二项式的展开式中x3 的系数是()A.84B. -84C.126D. -1263.设,则=()A.﹣2014B.2014C.﹣2015D.20154.的展开式中含有常数项为第( )项A.4B.5C.6D.75.若对于任意的实数x ,有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则a2的值为()A.3B.6C.9D.126.在二项式的展开式中,含x4 的项的系数是()A.﹣10B.10C.﹣5D.57.展开式中不含x4项的系数的和为( )A.-1B.0C.1D.28.812014 除以100的余数是()A.1B.79C.21D.819.除以9的余数为( )A.8B.7C.6D.510.二项式展开式中的常数项是()A.第7项B.第8项C.第9项D.第10项11.在二项式的展开式中,前三项的系数成等差数列,则该二项式展开式中x-2项的系数为()A.1B.4C.8D.1612.将二项式的展开式按x的降幂排列,若前三项系数成等差数列,则该展开式中x的指数是整数的项共有()个A.3B.4C.5D.613.已知展开式中,各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64,则n等于()A.4B.5C.6D.714.展开式中x3的系数为10,则实数a等于()A. -1B.C.1D.215.在的二项式展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则n= ()A.6B.7C.8D.9二、填空题16.设的展开式的各项系数之和为M ,二项式系数之和为N ,若M-N=240 ,则n =________.17.的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为________.18.(a+2x+3x2)(1+x)5的展开式中一次项的系数为-3 ,则x5的系数为________19.已知的展开式中的常数项为T ,f(x) 是以T 为周期的偶函数,且当时,f(x)=x ,若在区间[-1,3] 内,函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点,则实数k 的取值范围是________20.对任意实数x ,有,则a3 的值为________.三、解答题21.求的二项展开式中的第5项的二项式系数和系数.22.在二项式的展开式中:(1)求展开式中含x3项的系数;(2)如果第3k项和第k+2项的二项式系数相等,试求k的值.23.已知(+3x2)n的展开式中,各项系数和比它的二项式系数和大992,求:(1)展开式中二项式系数最大的项;(2)展开式中系数最大的项.24.已知,且.(1)求n的值;(2)求的值25.已知的展开式的二项式系数之和为32,且展开式中含x3项的系数为80.(1)求m和n的值;(2)求展开式中含x2项的系数.课堂运用答案解析一、选择题1.【答案】A【考点】二项式定理【解析】【解答】二项式展开式的通项为令得r=2所以二项式展开式中的常数项是.故选A.【分析】本题主要考查了二项式定理,解决问题的关键是根据二项式通项计算即可.2.【答案】B【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由于二项式的通项公式为,令9-2r=3,解得r=3,∴展开式中x3的系数是(−1)3• ,故答案为B.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质,解决问题的关键是根据二项式系数的性质计算即可.3.【答案】D【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】由题意可得即为展开式第2015项的系数,再根据通项公式可得第2015项的系数为:,故选D.【分析】本题主要考查了二项式定理的应用,解决问题的关键是根据二项式定理的性质分析计算即可.4.【答案】B【考点】二项式定理【解析】【解答】由二项展开式公式:,当8-2r=0,即r=4时,T5为常数项,所以常数项为第5项.故选B【分析】本题主要考查了二项式定理,解决问题的关键是根据二项式计算即可.5.【答案】B【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】因为,所以,故选择B.【分析】本题主要考查了二项式定理的应用,解决问题的关键是根据二项式的性质计算即可.6.【答案】B【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由二项式定理知,二项式的展开式通项为:,令,得,则的项的系数为:.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质,解决问题的关键是根据二项式定理的性质计算即可.7.【答案】B【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由二项式定理知,展开式中最后一项含x4,其系数为1,令x=1得,此二项展开式的各项系数和为,故不含x4项的系数和为1-1=0,故选B.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质,解决问题的关键是根据二项式的特征计算即可.8.【答案】C【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】== 4,即除以100的余数为21.【分析】本题主要考查了二项式定理的应用,解决问题的关键是根据二项式性质分析计算即可.9.【答案】B【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】依题意S=++…+=227-1=89-1=(9-1)9-1=×99-×98+…+×9--1=9( ×98-×97+…+)-2.∴ ×98-×97+…+是正整数,∴S被9除的余数为7.选B.【分析】本题主要考查了二项式定理的应用,解决问题的关键是根据二项式展开性质计算即可.10.【答案】C【考点】二项式定理【解析】【解答】根据二项式定理可得的第项展开式为,要使得为常数项,要求,所以常数项为第9项.【分析】本题主要考查了二项式定理,解决问题的关键是根据二项式定理的性质分析计算即可.11.【答案】A【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由题意可得,成等差数列,∴ ,解得n=8.故展开式的通项公式为,令,求得r=8,故该二项式展开式中项的系数为,故选:A.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质,解决问题的关键是二项式性质计算即可.12.【答案】A【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】展开式的通项为∴前三项的系数分别是,∴前三项系数成等差数列∴∴∴当时,∴,展开式中x 的指数是整数,故共有3个,答案为A.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质,解决问题的关键是根据实际问题结合二项式系数的性质计算即可.13.【答案】C【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】展开式中各项系数和为x取时式子的值,所以各项系数和为,而二项式系数和为,因此,所以,答案选C.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质,解决问题的关键是根据二项式系数的性质分析计算即可. 14.【答案】D【考点】二项式定理【解析】【解答】二项式的展开式的通项,当5-2r=3 时,r=1,系数,解得a=2,答案选D.【分析】本题主要考查了二项式定理,解决问题的关键是根据二项式定理分析其通项计算即可.15.【答案】C【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】因为在的二项式展开式中,只有第5项的二项式系数最大所以由此可得:,即所以即.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质,解决问题的关键是根据二项式系数的单调性计算即可.二、填空题16.【答案】4【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由题设知:,解得:,所以答案应填:4.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质,解决问题的关键是根据二项式系数的性质计算即可.17.【答案】40【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由题意,,解得:,所以的展开式中常数项为:所以答案应填:40.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质,解决问题的关键是二项式系数的性质计算即可.18.【答案】39【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由题意:,解得:,所以,展开式中的系数为,所以答案应填:39【分析】本题主要考查了二项式系数的性质,解决问题的关键是根据二项式性质计算即可.19.【答案】""【解析】【解答】∴ 的常数项为∴f(x)是以2为周期的偶函数∴区间[-1,3]是两个周期∴区间[-1,3]内,函数有4个零点可转化为f(x)与有四个交点当k=0时,两函数图象只有两个交点,不合题意,当k≠0时,∴ ,两函数图象有四个交点,必有解得,故填:.【分析】本题主要考查了二项式定理的应用,解决问题的关键是根据二项式定理的性质结合函数性质计算即可.20.【答案】8【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】,所以.【分析】本题主要考查了二项式系数的性质,解决问题的关键是要配成指定形式,再展开三、解答题21.【答案】【解答】解:,所以二项式系数为,系数为.【考点】二项式系数的性质【解析】【分析】本题主要考查了二项式系数的性质,解决问题的关键是利用二项式定理的通项公式写出,再求出二项式系数与系数.22.【答案】(1)【解答】解:展开式第r+1项:令,解得r=2,∴展开式中含x3项的系数为(2)【解答】解:∴第3k项的二项式系数为,第k+2项的二项式系数∴故3k-1=k+1或3k-1+k+1=12 解得k=1或k=3【解析】【分析】本题主要考查了二项式系数的性质,解决问题的关键是(1)写出二项式的展开式的特征项,当x的指数是3时,把3代入整理出k 的值,就得到这一项的系数的值.(2)根据上一问写出的特征项和第3k项和第k+2项的二项式系数相等,表示出一个关于k的方程,解方程即可.23.【答案】(1)解:令x=1,则展开式中各项系数和为(1+3)n=22n.又展开式中二项式系数和为2n,∴22n-2n=992,n=5∴n=5,展开式共6项,二项式系数最大的项为第3、4两项,∴T3=C52 ( )3(3x2)2=90x6,T4=C53 ( )2(3x2)3=(2)解:设展开式中第r+1项系数最大,则T r+1=C5r ( )5-r(3x2)r=3r C5r,∴ ,则,∴r=4,即展开式中第5项系数最大,T5=C54 ( )(3x2)4=405.【考点】二项式系数的性质【解析】【分析】本题主要考查了二项式系数的性质,解决问题的关键是(1)利用赋值法求出各项系数和,与二项式系数和求出值,利用二项式系数的性质求展开式中二项式系数最大的项;(2)设出展开式中系数最大的项,利用进行求解即可.24.【答案】(1)【解答】解:由已知得:,由于, 所以(2)【解答】解:当x=1时,当x=0时,所以,【考点】二项式系数的性质,二项式定理的应用【解析】【分析】本题主要考查了二项式系数的性质;二项式定理的应用,解决问题的关键是:(1)首先注意等式中n的取值应满足:且n为正整数,其次是公式和的准确使用,将已知等式转化为n的方程,解此方程即得;(2)应用赋值法:注意观察已知二项式及右边展开式,由于要求,所以首先令x=1,得;然后就只要求出a0的值来即可,因此需令x=0,得,从而得结果25.【答案】(1)【解答】解:由题意,,则n=5,由通项公式,则r=3,所以,所以m=2(2)【解答】解:=,所以展开式中含x2项的系数为.【考点】二项式系数的性质,二项式定理的应用【解析】【分析】本题主要考查了二项式系数的性质;二项式定理的应用,解决问题的关键是(1)二项式系数之和为:,令易求得n,其次利用二项展开式的通项公式中令r=3,易求得m;(2)在前小题已求得的m,n的基础上,要求展开式中求特定项(含x2项)的系数,只需把两个二项式展开,对于展开式中的常数项与展开式中的x2项的系数乘,一次项系数与其一次项系数乘,二次项系数与其常数项乘,再把所得值相加即为所求.一、选择题1.二项式展开式中的系数为()A.5B.16C.80D.2.在的展开式中,含的项的系数是()A.60B.160C.180D.2403.展开式的各项系数之和大于8,小于32,则展开式中系数最大的项是()A. B. C. D.或4.设,那么的值为()A. B. C. D.5.的展开式中含项的系数为()A. B. C. D.6.的展开式中,的系数为()A.15B.C.60D.7.的展开式中常数项为()A. B. C. D.8.的展开式中,各项系数之和为,各项的二项式系数之和为,且,则展开式中常数项为()A.6B.9C.12D.18二、填空题9.若的展开式中第三项与第五项的系数之比为,则展开式中常数项是________.10.在的展开式中,项的系数为________.(结果用数值表示)11.二项式的展开式中,前三项的系数依次成等差数列,则此展开式中有理项有________项.三、解答题12.已知在的展开式中,第6项为常数项.(1)求;(2)求含项的系数;(3)求展开式中所有的有理项.13.已知二项式.(1)若它的二项式系数之和为.①求展开式中二项式系数最大的项;②求展开式中系数最大的项;(2)若,求二项式的值被除的余数.14.已知在的展开式中,第5项的系数与第3项的系数之比是14∴1.(1)求展开式中的系数;(2)求展开式中系数绝对值最大的项;(3)求的值.课后作业答案解析1.【答案】C【考点】二项式定理,二项式系数的性质【解析】【解答】二项展开式的通项公式为,则当时,其展开式中的的系数为.故答案为:C.【分析】先求出二项的展开式的通项,然后令x的指数为1,求出r,从而可求出x的系数.2.【答案】D【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】展开式的通项为,令,则,则含的项的系数为.故答案为:D.【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项,令x的指数为7得含x7项的系数.3.【答案】A【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】令,可得各项系数的之和为,则,解得,中间一项的系数最大,则,故答案为:A.【分析】令x=1,可求出展开式中的各项系数之和,通过各项系数之和大于8,小于32由已知求出n,即可求解中间项系数最大.4.【答案】B【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】时,;时,,∴ ,,∴ ,故答案为:B.【分析】利用展开式,分别令x=1与-1,两式相加或相减可得结论.5.【答案】A【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】∴ ,故展开式中含项的系数为.故答案为:A.【分析】把(1+x)5 按照二项式定理展开,可得展开式中含x3项的系数.6.【答案】C【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】,系数为.故答案为:C.【分析】根据二项式展开式的通项公式,利用展开式中x4y2,即可求出对应的系数.7.【答案】B【考点】二项式系数的性质,二项式定理的应用【解析】【解答】因为,常数项为,中常数项为,故展开式中常数项为,故答案为:B.【分析】把所给的三项式变为二项式,利用二项式展开式的通项公式,求得展开式中常数项.8.【答案】B【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由二项展开式的性质,可得,所以,所以.展开式的通项为,令可得,常数项为,故答案为:B.【分析】通过给x 赋值1得各项系数和,据二项式系数和公式求出B,列出方程求出n,利用二项展开式的通项公式求出第r+1项,令x的指数为0得常数项.9.【答案】【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】的展开式中第三项的系数为,第五项的系数为,由题意有,解得. 的展开式的通项为,由得,所以展开式的常数项为.【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式中第三项与第五项的系数,列出方程求出n;利用二项展开式的通项公式求出第r+1项,令x的指数为0求出常数项.10.【答案】【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】,令,得,,的展开式的通项为,则项的系数为.【分析】先把三项式写成二项式,求得二项式展开式的通项公式,再求一次二项式的展开式的通项公式,令x的幂指数等于4,求得r、m的值,即可求得x4项的系数.11.【答案】3【考点】二项式系数的性质,二项式定理的应用【解析】【解答】由题意可得成等差数列,即,化简可得,解得n=8,或n=1(舍去).二项式的展开式的通项公式为,为整数,可得r=0,4,8,故此展开式中有理项的项数是3.【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项,求出前三项的系数,利用等差数列得到关于n的等式,求出n的值,将n的值代入通项,令x的指数为整数,得到r的值,得到展开式中有理项的项数.12.【答案】(1)解:的展开式的通项为= ,又第6项为常数项,则当r=5时,,即=0,可得n=10.(2)解:由(1)可得,,令,可得r=2,所以含x2项的系数为(3)解:由(1)可得,,若T r+1为有理项,则,且0≤r≤10,所以r=2,5,8,则展开式中的有理项分别为,,【考点】二项式系数的性质【解析】【分析】(1)利用通项公式即可得出.(2)根据通项公式,由题意得x的指数是整数,通过取值即可得出.13.【答案】(1)解:,通项为.①二项式系数最大的项为第项,.② ,则展开式中系数最大的项为第项,(2)解:,转化为被除的余数,,即余数为【考点】二项式系数的性质,二项式定理的应用【解析】【分析】(1)根据二项式系数之和为2n=128 求得n的值,可得二项式系数最大的项为第四项和第五项,利用二项展开式的通项公式求出这2项.(2)假设第r+1项的系数最大,列出不等式组求得r的值,可得结论.14.【答案】(1)解:由题意得,解得.通项为,令,得,于是系数为(2)解:设第项系数的绝对值最大,则解得,于是只能为6,所以系数绝对值最大的项为(3)解:原式【考点】二项式系数的性质,二项式定理的应用【解析】【分析】(1)利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项,求出展开式中第3项与第5项的系数列出方程求出n的值.(2)设出第r+1项为系数的绝对值最大的项,即可列出关于r的不等式,解得即可,(3)利用二项式定理求得结果.。

高中数学选修2-3优质课件:组合与组合数公式

高中数学选修2-3优质课件:组合与组合数公式
第十五页,编辑于星期一:点 三十六分。
解:(1)从 10 名教师中选 2 名去参加会议的选法种数为 C210= 120××19=45. (2)可把问题分两类情况: 第 1 类,选出的 2 名是男教师有 C62种选法; 第 2 类,选出的 2 名是女教师有 C42种选法. 根据分类加法计数原理,共有 C62+C42=15+6=21 种不同的 选法.
由此可得所有的组合为 ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de.
第六页,编辑于星期一:点 三十六分。
与组合数有关的计算
[例 2] (1)计算:C140-C37·A33; (2)已知C15m-C16m=107Cm7 ,求 C8m+C58-m. [解] (1)原式=C140-A73=140××39××28××17-7×6×5=210 -210=0. (2)原式=m!55!-m!-m!66!-m! =7×71-0×m7!!m!,
第十页,编辑于星期一:点 三十六分。
解:(1)原式=C38+C2100×1=83× ×72× ×61+1020××199=56+4 950 =5 006. (2)原方程可变形为CC53nn- -31+1=159,Cn5-1=154Cn3-3, 即n-1n-2n5-!3n-4n-5 =154·n-3n3-!4n-5,化简整理,得 n2-3n-54=0.解此 二次方程,得 n=9 或 n=-6(不合题意,舍去),所以 n=9 为所求.
)
A.4 或 9
B.4
C.9
D.其他
解析:当 x=3x-8 时,解得 x=4;当 28-x=3x-8
时,解得 x=9.
答案:A
第十八页,编辑于星期一:点 三十六分。
2.某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服

人教版高中数学选修2-3知识点汇总

人教版高中数学选修2-3知识点汇总

人教版高中数学必修2-3知识点第一章计数原理1.1分类加法计数与分步乘法计数分类加法计数原理:完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。

分类要做到“不重不漏”。

分步乘法计数原理:完成一件事需要两个步骤。

做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。

分步要做到“步骤完整”。

n元集合A={a1,a2⋯,a n}的不同子集有2n个。

1.2排列与组合1.2.1排列一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement)。

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号表示。

排列数公式:n个元素的全排列数规定:0!=11.2.2组合一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(combination)。

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号或表示。

组合数公式:∴规定:组合数的性质:(“构建组合意义”——“殊途同归”)1.3二项式定理1.3.1二项式定理(binomial theorem)*注意二项展开式某一项的系数与这一项的二项式系数是两个不同的概念。

1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质*表现形式的变化有时能帮助我们发现某些规律!(1)对称性(2)当n 是偶数时,共有奇数项,中间的一项取得最大值;当n 是奇数时,共有偶数项,中间的两项,同时取得最大值。

(3)各二项式系数的和为(4)二项式展开式中,奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和:(5)一般地,第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布(n ∈N *)其中各项的系数(k ∈{0,1,2,⋯,n})叫做二项式系数(binomial coefficient);2.1.1离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量(random variable)。

最新版人教版高中数学选修2-3课后习题参考答案

最新版人教版高中数学选修2-3课后习题参考答案

新课程标准数学选修2—3第一章课后习题解答第一章 计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 练习(P6) 1、(1)要完成的“一件事情”是“选出1人完成工作”,不同的选法种数是5+4=9; (2)要完成的“一件事情”是“从A 村经B 村到C 村去”,不同路线条数是3×2=6. 2、(1)要完成的“一件事情”是“选出1人参加活动”,不同的选法种数是3+5+4=12; (2)要完成的“一件事情”是“从3个年级的学生中各选1人参加活动”,不同选法种数是3×5×4=60.3、因为要确定的是这名同学的专业选择,并不要考虑学校的差异, 所以应当是6+4-1=9(种)可能的专业选择. 练习(P10)1、要完成的“一件事情”是“得到展开式的一项”.由于每一项都是i j k a b c 的形式,所以可以分三步完成:第一步,取i a ,有3种方法;第二步,取j b ,有3种方法;第三步,取k c ,有5种方法. 根据分步乘法计数原理,展开式共有3×3×5=45(项).2、要完成的“一件事情”是“确定一个电话号码的后四位”. 分四步完成,每一步都是从0~9这10个数字中取一个,共有10×10×10×10=10000(个).3、要完成的“一件事情”是“从5名同学中选出正、副组长各1名”. 第一步选正组长,有5种方法;第二步选副组长,有4种方法. 共有选法5×4=20(种).4、要完成的“一件事情”是“从6个门中的一个进入并从另一个门出去”. 分两步完成:先从6个门中选一个进入,再从其余5个门中选一个出去. 共有进出方法6×5=30(种). 习题1.1 A 组(P12) 1、“一件事情”是“买一台某型号的电视机”. 不同的选法有4+7=11(种). 2、“一件事情”是“从甲地经乙地或经丙地到丁地去”. 所以是“先分类,后分步”,不同的路线共有2×3+4×2=14(条). 3、对于第一问,“一件事情”是“构成一个分数”. 由于1,5,9,13是奇数,4,8,12,16是偶数,所以1,5,9,13中任意一个为分子,都可以与4,8,12,16中的任意一个构成分数. 因此可以分两步来构成分数:第一步,选分子,有4种选法;第二步,选分母,也有4种选法. 共有不同的分数4×4=16(个). 对于第二问,“一件事情”是“构成一个真分数”. 分四类:分子为1时,分母可以从4,8,12,16中任选一个,有4个;分子为5时,分母可以从8,12,16中选一个,有3个;分子为9时,分母从12,16中选一个,有2个;分子为13时,分母只能选16,有1个. 所以共有真分数4+3+2+1=10(个). 4、“一件事情”是“接通线路”. 根据电路的有关知识,容易得到不同的接通线路有3+1+2×2=8(条).5、(1)“一件事情”是“用坐标确定一个点”. 由于横、纵坐标可以相同,因此可以分两步完成:第一步,从A 中选横坐标,有6个选择;第二步,从A 中选纵坐标,也有6个选择. 所以共有坐标6×6=36(个). (2)“一件事情”是“确定一条直线的方程”. 由于斜率不同截距不同、斜率不同截距相同、斜率相同截距不同的直线都是互不相同的,因此可分两步完成:第一步,取斜率,有4种取法;第二步,取截距,有4种取法. 所以共有直线4×4=16(条). 习题1.1 B 组(P13) 1、“一件事情”是“组成一个四位数字号码”. 由于数字可以重复,最后一个只能在0~5这六个数字中拨,所以有号码10×10×10×6=6000(个). 2、(1)“一件事情”是“4名学生分别参加3个运动队中的一个,每人限报一个,可以报同一个运动队”. 应该是人选运动队,所以不同报法种数是43.(2)“一件事情”是“3个班分别从5个风景点中选择一处游览”. 应该是人选风景点,故不同的选法种数是35. 1.2排列与组合 练习(P20)1、(1),,,,,,,,,,,ab ac ad ba bc bd ca cb cd da db dc ;(2),,,,,,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad ae ba bc bd be ca cb cd ce da db dc de ea eb ec ed .2、(1)4151514131232760A =⨯⨯⨯=; (2)777!5040A ==; (3)4288287652871568A A -=⨯⨯⨯-⨯⨯=; (4)87121277121255A A A A ==.3、4、(1)略. (2)876777787677778788A A A A A A A -+=-+=.5、3560A =(种). 6、3424A =(种). 练习(P25) 1、(1)甲、乙, 甲、丙, 甲、丁, 乙、丙, 乙、丁, 丙、丁; (2)2、ABC ∆,ABD ∆,ACD ∆,BCD ∆.3、3620C =(种). 4、246C =(个). 5、(1)26651512C ⨯==⨯; (2)3887656123C ⨯⨯==⨯⨯; (3)3276351520C C -=-=; (4)328532356210148C C -=⨯-⨯=. 6、()1111(1)!!11(1)![(1)(1)]!!!m m n n m m n n C C n n m n m m n m +++++=⋅==++++-+- 习题1.2 A 组(P27)1、(1)325454*********A A +=⨯+⨯=; (2)12344444412242464A A A A +++=+++=. 2、(1)315455C =; (2)19732002001313400C C ==; (3)346827C C ÷=;(4)22211(1)(1)(1)22n n n n nn nn n n n CCCC n -++--⋅=⋅=+⋅=.3、(1)12111(1)n n n n n n n n n n nn A A n A A nA n A +-+--=+-==; (2)(1)!!(1)!!(1)!!(1)!!!n n n k n n k n k k k k ++-⋅-+-==-. 4、由于4列火车各不相同,所以停放的方法与顺序有关,有481680A =(种)不同的停法.5、4424A =. 6、由于书架是单层的,所以问题相当于20个元素的全排列,有2020A 种不同的排法.7、可以分三步完成:第一步,安排4个音乐节目,共有44A 种排法;第二步,安排舞蹈节目,共有33A 种排法;第三步,安排曲艺节目,共有22A 种排法. 所以不同的排法有432432288A A A ⋅⋅=(种).8、由于n 个不同元素的全排列共有!n 个,而!n n ≥,所以由n 个不同的数值可以以不同的顺序形成其余的每一行,并且任意两行的顺序都不同. 为使每一行都不重复,m 可以取的最大值是!n .9、(1)由于圆上的任意3点不共线,圆的弦的端点没有顺序,所以共可以画21045C =(条)不同的弦;(2)由于三角形的顶点没有顺序,所以可以画的圆内接三角形有310120C =(个). 10、(1)凸五边形有5个顶点,任意2个顶点的连线段中,除凸五边形的边外都是对角线,所以共有对角线2555C -=(条);(2)同(1)的理由,可得对角线为2(3)2n n n C n --=(条).说明:本题采用间接法更方便. 11、由于四张人民币的面值都不相同,组成的面值与顺序无关,所以可以分为四类面值,分别由1张、2张、3张、4张人民币组成,共有不同的面值1234444415C C C C +++=(种). 12、(1)由“三个不共线的点确定一个平面”,所确定的平面与点的顺序无关,所以共可确定的平面数是3856C =;(2)由于四面体由四个顶点唯一确定,而与四个点的顺序无关,所以共可确定的四面体个数是410210C =. 13、(1)由于选出的人没有地位差异,所以是组合问题,不同的方法数是3510C =. (2)由于礼物互不相同,与分送的顺序有关系,所以是排列问题,不同方法数是3560A =;。

高中数学选修2-3知识点

高中数学选修2-3知识点

高中数学选修2-3知识点高中数学选修2-3知识点第一章:计数原理1.分类加法计数原理:完成一件事情,有N类方法,第一类方法有M1种不同的方法,第二类方法有M2种不同的方法,以此类推,第N类方法有MN种不同的方法。

那么完成这件事情共有M1+M2+。

+MN种不同的方法。

2.分步乘法计数原理:完成一件事情需要分成N个步骤,第一步有m1种不同的方法,第二步有M2种不同的方法,以此类推,第N步有MN种不同的方法。

那么完成这件事情共有XXX种不同的方法。

3.排列:从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素,按照一定顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

4.排列数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列,称为从n个不同元素中取出m个元素的m个排列。

从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数,用符号An表示。

An=m!/(n-m)!(m≤n,n,m∈N)。

5.公式:A(n+m)=An+Am*m!(m≤n,n,m∈N);An=m*(m-1)*。

*(n-m+1)=n!/(n-m)。

6.组合:从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

7.公式:C(m,n)=C(n,n-m)=m!/[(n-m)!*m!];C(m,n)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m);C(n,m)=C(n-1,m-1)*(n-m+1)/m。

8.二项式定理:(a+b)^n=C(n,0)*a^n*b^0+C(n,1)*a^(n-1)*b^1+。

+C(n,n)*a^0*b^n。

9.二项式通项公式展开式的通项公式:T=C(n,r)*a^(n-r)*b^r (r=0,1.n),其中C(n,r)为二项式系数。

10.二项式系数Cn:C(n,r)=C(n,n-r)=n!/(r!(n-r)!),其中r为从n个元素中取出的元素个数。

11.杨辉三角:杨辉三角是一种数学图形,由二项式系数构成,XXX的数为C(n,0),C(n,1)。

人教A版高中数学选修2-3全册ppt课件

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[一题多变] 1.[变条件]若本例条件变为个位数字小于十位数字且为偶数, 那么这样的两位数有多少个.
解:当个位数字是 8 时,十位数字取 9,只有 1 个. 当个位数字是 6 时,十位数字可取 7,8,9,共 3 个. 当个位数字是 4 时,十位数字可取 5,6,7,8,9,共 5 个. 同理可知,当个位数字是 2 时,共 7 个, 当个位数字是 0 时,共 9 个. 由分类加法计数原理知,符合条件的两位数共有 1+3+5 +7+9=25(个).
用计数原理解决涂色(种植)问题
[ 典例 ] 如图所示,要给“优”、
“化”、“指”、“导”四个区域分别涂上 3 种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色 使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色, 有多少种不同的涂色方法?
[解] 优、化、指、导四个区域依次涂色,分四步.
第 1 步,涂“优”区域,有 3 种选择. 第 2 步,涂“化”区域,有 2 种选择.
利用分类加法计数原理计数时的解题流程
分步乘法计数原理的应用
[典例]
从 1,2,3,4 中选三个数字,组成无重复数字的整
数,则分别满足下列条件的数有多少个? (1)三位数; (2)三位数的偶数.
[解] (1)三位数有三个数位, 百位 十位 个位
故可分三个步骤完成: 第 1 步,排个位,从 1,2,3,4 中选 1 个数字,有 4 种方法; 第 2 步, 排十位, 从剩下的 3 个数字中选 1 个, 有 3 种方法;
2.如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足 a1<a2 且 a3<a2,则称这样的 三位数为凸数(如 120,342,275 等),那么所有凸数个数是多少? 解:分 8 类,当中间数为 2 时,百位只能选 1,个位可选 1、0, 由分步乘法计数原理,有 1×2=2 个; 当中间数为 3 时,百位可选 1,2,个位可选 0,1,2,由分步乘法计 数原理,有 2×3=6 个;同理可得: 当中间数为 4 时,有 3×4=12 个; 当中间数为 5 时,有 4×5=20 个; 当中间数为 6 时,有 5×6=30 个; 当中间数为 7 时,有 6×7=42 个; 当中间数为 8 时,有 7×8=56 个; 当中间数为 9 时,有 8×9=72 个. 故共有 2+6+12+20+30+42+56+72=240 个.

高中数学 23 2.2 第2课时事件的独立性课件 新人教B版选修23

高中数学 23 2.2 第2课时事件的独立性课件 新人教B版选修23
第三十三页,共38页。
=[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)] =(1-0.7)(1-0.7)(1-0.7)=0.027, 于是这段时间内至少有 1 个开关能够闭合,从而使线路 能正常工作的概率是 1-P( A B C )=1-0.027=0.973.
第三十四页,共38页。
学法归纳总结
[分析] 依据相互独立事件的定义或直观解释判断.
第十四页,共38页。
[解析] ①事件A与B是互斥事件,故A与B不是相互独立事 件.
②第一枚出现正面还是反面,对第二枚出现反面没有影 响,∴A与B相互独立.
③由于每次取球观察(guānchá)颜色后放回,故事件A的发 生对事件B发生的概率没有影响,
∴A与B相互独立. [说明] 相互独立事件是指两个实验中,一个事件的发生 与否对另一事件发生的概率没有影响.
第三十六页,共38页。
第十一页,共38页。
课堂互动探究
第十二页,共38页。
下面所给出的两个事件 A 与 B 相互独立吗? ①抛掷一枚骰子,事件 A=“出现 1 点”,事件 B=“出 现 2 点”; ②先后抛掷两枚均匀硬币,事件 A=“第一枚出现正 面”,事件 B=“第二枚出现反面”;
第十三页,共38页。
③在含有2红1绿三个大小相同的小球的口袋中,任取一个 (yī ɡè)小球,观察颜色后放回袋中,事件A=“第一次取到绿 球”,B=“第二次取得绿球”.
第二十八页,共38页。
甲、乙、丙三人各自向同一飞机射击,设击中飞机的概率 分别(fēnbié)为0.4、0.5、0.8.如果只有一人击中,则飞机被击落 的概率是0.2;如果有两人击中,则飞机被击落的概率是0.6;如 果三人都击中,则飞机一定被击落.求飞机被击落的概率.

数学选修2-3解排列问题的常用技巧2

数学选修2-3解排列问题的常用技巧2

示例(2005·福建·理)从6人中选4人分别到巴黎、
伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城市有 一人游览,每人只游览一个城市,且这6人中甲、乙两
B 人不去巴黎游览,则不同的选择方案共有______
A.300种 B.240种 C.144种 D.96种
分析(直接法)分三种情况: 情况一,不选甲、乙两个去游览 情况二:甲、乙中有一人去游览 情况三:甲、乙两人都去游览
把椅子排成一排. 先在前4个位置排甲乙两 个特殊元素有_A_42__种,再排后4个位置上的
特上殊任元意素排有列_有_A__41__A__55种_种,其,则余共的有5人_A_42_在A_41_5A_个55__位_种置.
好的6个元素中间包含首尾两个空位共有
种 A64不同的方法 由分步计数原理,节目的 不同顺序共有A55 A64 种





不相邻问题——插空法
对于某几个元素不相邻得排列问题,可先将其它元素 排好,然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及 两端的空隙之间插入即可。
例5 7人站成一排照相,要求甲,乙,丙三人不相邻, 分别有多少种站法?
综上不同的选择方案共有 240种
(间接法)A64 A53 A53 240 (个)
练习题 1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个 座谈会,若这4人中必须既有男生又有女生,
则不同的选法共有_3__4_种___;
2.3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人,2 号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选 2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这5人共有_2_7_种___乘船方法.
种不同的排法
练习题
某人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好 有3枪连在一起的情形的不同种数为_2_0_

高中数学选修2-3知识点总结

高中数学选修2-3知识点总结

高中数学选修2-3知识点总结Mathematics Elective 2-3 Chapter 1 Counting Principles Must-Know1.What is the principle of n n counting?Answer: To do something。

there are n ways to complete it。

In the first way。

there are m1 different methods。

in the second way。

there are m2 different methods。

in the nth way。

there are mn different methods。

Then there are N=m1+m2+。

+mn different ways to XXX.2.What is the principle of step-by-step n counting?Answer: To do something。

it requires n steps。

There are m1 different methods for the first step。

m2 different methods for the second step。

and mn different methods for the nth step。

Then there are N=m1×m2×。

×mn different ways to XXX.3.What is the n of n?Answer: Generally。

taking m (m≤n) different elements from n different elements。

XXX order。

is called a n of taking m elements from n different XXX.4.What is the n of n?Answer: Generally。

人教版高中数学选修2-3全部教案

人教版高中数学选修2-3全部教案

人教版选修2-3第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分部乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2排列与组合探究与发现组合数的两个性质1.3二项式定理小结第二章随机变量及其分布第三章第一章计数原理1.1分类加法计数原理和分步乘法计数原理第一课时1分类加法计数原理(1)提出问题问题 1.1:用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号,总共能够编出多少种不同的号码?问题1.2:从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车.如果一天中火车有3班,汽车有2班.那么一天中,乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?(2在第(3A A,B 又2类如果完成一件事情有n 类不同方案,在每一类中都有若干种不同方法,那么应当如何计数呢?一般归纳:完成一件事情,有n 类办法,在第1类办法中有1m 种不同的方法,在第2类办法中有2m 种不同的方法……在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N +⋅⋅⋅++=21种不同的方法.理解分类加法计数原理:分类加法计数原理针对的是“分类”问题,完成一件事要分为若干类,各类的方法相互独立,各类中的各种方法也相对独立,用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事. 例2.一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条?解:从总体上看,如,蚂蚁从顶点A 爬到顶点C1有三类方法,从局部上看每类又需两步完成,所以,第一类,m1=1×2=2条第二类,m2=1×2=2条第三类,m3=1×2=2条所以,根据加法原理,从顶点A 到顶点C1最近路线共有N=2+2+2=6(条)第二课时2分步乘法计数原理(1)提出问题问题2.1:用前6个大写英文字母和1—9九个阿拉伯数字,以1A ,2A ,…,1B ,2B ,…的方式给教室里的座位编号,总共能编出多少个不同的号码?(2在第(330×. 3步,各个步骤相互依存,完成任何其中的一步都不能完成该件事,只有当各个步骤都完成后,才算完成这件事,是合作完成.例2.如图,要给地图A 、B 、C 、D 四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种?解:按地图A 、B 、C 、D 四个区域依次分四步完成,第一步,m1=3种,第二步,m2=2种,第三步,m3=1种,第四步,m4=1种,所以根据乘法原理,得到不同的涂色方案种数共有N=3×2×1×1=6第三课时3综合应用例1.书架的第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放2本不同的体育书.①从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?②从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种不同的取法?③从书架上任取两本不同学科的书,有多少种不同的取法?【分析】①要完成的事是“取一本书”,由于不论取书架的哪一层的书都可以完成了这件事,因此是分类问题,应用分类计数原理.②要完成的事是“从书架的第1、2、3层中各取一本书”,由于取一层中的一本书都只完成了这件事的一部分,只有第1、2、3层都取后,才能完成这件事,因此是分步问题,应用分步计数原理.③要完成的事是“取2本不同学科的书”,先要考虑的是取哪两个学科的书,如取计算机4层取1N1本计1本N步,从363个不重复的阿拉伯数字,并且3个字母必须合成一组出现,3个数字也必须合成一组出现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照?分析:按照新规定,牌照可以分为2类,即字母组合在左和字母组合在右.确定一个牌照的字母和数字可以分6个步骤.解:将汽车牌照分为2类,一类的字母组合在左,另一类的字母组合在右.字母组合在左时,分6个步骤确定一个牌照的字母和数字:第1步,从26个字母中选1个,放在首位,有26种选法;第2步,从剩下的25个字母中选1个,放在第2位,有25种选法;第3步,从剩下的24个字母中选1个,放在第3位,有24种选法;第4步,从10个数字中选1个,放在第4位,有10种选法;第5步,从剩下的9个数字中选1个,放在第5位,有9种选法;第6步,从剩下的8个字母中选1个,放在第6位,有8种选法.根据分步乘法计数原理,字母组合在左的牌照共有26×25×24×10×9×8=11232000(个).同理,字母组合在右的牌照也有11232000个.所以,共能给11232000+11232000=22464000(个).辆汽车上牌照.用两个计数原理解决计数问题时,最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析―需要分类还是需要分步.分类要做到“不重不漏”.分类后再分别对每一类进行计数,最后用分类加法计数原理求和,得到总数.分步要做到“步骤完整”―完成了所有步骤,恰好完成任务,当然步与步之间要相互独立.分步后再计算每一步的方法数,最后根据分步乘法计数原理,把完成每一步的方法数相乘,得到总数.1234后两个 100长度为100的所有可能的不同RNA 分子数目有1001004444⋅⋅⋅=(个)例3.电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态,而这也是最容易控制的两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有O 或1两种数字的记数法,即二进制.为了使计算机能够识别字符,需要对字符进行编码,每个字符可以用一个或多个字节来表示,其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位,每个字节由8个二进制位构成.问:(1)一个字节(8位)最多可以表示多少个不同的字符?(2)计算机汉字国标码(GB 码)包含了6763个汉字,一个汉字为一个字符,要对这些汉字进行编码,每个汉字至少要用多少个字节表示?分析:由于每个字节有8个二进制位,每一位上的值都有0,1两种选择,而且不同的顺序代表不同的字符,因此可以用分步乘法计数原理求解本题.解:(1)用图1.1一3来表示一个字节.图1.1一3一个字节共有8位,每位上有2种选择.根据分步乘法计数原理,一个字节最多可以表示2×2×2×2×2×2×2×2=28=256个不同的字符;(2)由(1)知,用一个字节所能表示的不同字符不够6763个,我们就考虑用2个字节能够表示多少个字符.前一个字节有256种不同的表示方法,后一个字节也有256种表示方法.根据分步乘法计数原理,2个字节可以表示256×256=65536个不同的字符,这已经大于汉字国标码包含的汉字个数6763.所以要表示这些汉字,每个汉字至少要用2个字节表示.问:221.如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通,从丁地到丙地有2条路可通。

高三数学选修2-3_解排列组合问题的四大原则

高三数学选修2-3_解排列组合问题的四大原则

解排列组合问题的四大原则排列、组合是高中数学的重要内容,新教材中概率与统计的增加更突出了排列、组合的重要性.高考对排列组合的考查以两个基本原理——分类加法计数原理和分步乘法计数原理为出发点,侧重检测解题思想和解题技巧,因而对解题策略和思维模式的培养和提炼是平时训练的核心.下面通过具体的例题来解析排列组合问题的解题策略之“四大原则”.一、特殊优先原则该原则是指在有限制的排列组合问题中优先考虑特殊元素或特殊位置. 例1 (2003年北京市西城区一模题(文))甲、乙、丙三个同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作,每天1人值班,每人值班2天,如果甲同学不值周一的班,则可以排出不同的值班表有( )A .90种B .89种C .60种D .59种解析:特殊元素优先考虑,甲同学不值周一的班,则先考虑甲,分步完成:①从除周一的5天中任取2天安排甲有25C 种;②从剩下的4天中选2天安排乙有24C 种;③仅剩2天安排丙有22C 种.由分步乘法计数原理可得一共有22254260C C C =··种,即选C .评注:特殊优先原则是解有限制的排列组合问题的总原则,对有限制的元素和有限制的位置一定要优先考虑.二、先取后排原则该原则充分体现了m m m n m n C A A =·的精神实质,先组合后排列,从而避免了不必要的重复与遗漏.例2 (2004年高考全国卷Ⅲ)将4名教师分配到3所中学任教,每所中学至少1名教师,则不同的分配方案共有( ).A .12种B .24种C .36种D .48种解析:先分组再排列:将4名教师分成3组有24C 种分法,再将这三组分配到三所学校有33A 种分法,由分步乘法计数原理知一共有234336C A =·种不同分配方案.评注:先取后排原则也是解排列组合问题的总原则,尤其是排列与组合的综合问题.若本例简单分步:先从4名教师中取3名教师分给3所学校有34A 种方法,再将剩下的1名教师分给3所学校有3种选择,则共有34372A =·种分配方案,则有明显重复(如:甲、乙、丙、丁和甲、乙、丁、丙).因此,处理多元素少位置问题时一般采用先取后排原则.三、正难则反原则若从正面直接解决问题有困难时,则考虑事件的对立事件,从不合题意要求的情况入手,再整体排除.例3 (2004年北京市春招卷)在100件产品中有6件次品,现从中任取3件产品,至少取到1件次品的不同取法的种数是( )A .12694C CB .12699C C C .3310094C C -D .3310094A C -解析:从100件次品中取3件产品,至少有1件次品的对立事件是取到3件全部是正品,即从94件正品中取3件正品有394C 种取法,所以满足条件的不同取法是3310094C C -,故选C .如果从正面考虑,则必须分取到1,2,3件次品这三类,没有应用排除法来得简单.而本例最易迷惑人的是B :12699C C ,即从6件次品中取1件确保了至少有1件次品,再从剩下的99件产品中任取2件即可.事实上这样分步并不相互独立,第一步对第二步有明显影响,设次品为ABCDEF ,正品为甲乙丙丁戊…则12699C C 可以是AB甲,也可能是BA甲,因而重复. 评注:正难则反原则也是解决排列组合问题的总原则,如果从正面考虑不易突破,一般寻找反面途径.利用正难则反原则的语境有其规律,如当问题中含有“至少”,“最多”等词语时,易用此原则.四、策略针对原则不同类型的排列、组合问题有着不同的应对策略,不同的限制条件要采用不同的解题方法.1.相邻问题捆绑法(整体法),相隔问题插空法例4 (2004年高考重庆卷(理))某校高三年级举行一次演讲比赛,共有10位同学参赛,其中一班有3位,二班有2位,其他班有5位.若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序,则一班的3位同学恰好被安排到一起(演讲序号相连),而2班的2位同学没有被排在一起的概率为( )A .110B .120C .140D .1120解析:10人的全排列数是1010A ,即所有的演讲顺序有1010A 种.符合要求的演讲顺序有两个限制:一班的3位同学相邻,而2班的2位同学不相邻,因此分步完成:①把一班的3位同学看成一个整体,他们自身全排列有33A 种安排;②把这个整体当成1个元素与其他班5个元素一起排列有66A 种安排;③把这6个元素排定后有7个空位(包含两端),从这7个空位中任取2个空位安排2班的2位同学有27A 种排法(这样确保2位同学不相邻).满足条件的排列共有362367A A A ··种,即所求概率是3623671010120A A A A ··,故选B . 评注:处理相邻问题和不相邻问题时易采用整体法(确保相邻)和插空法(确保相隔),只是要注意是先整体后插空(相邻与不邻的综合问题)或先排后插(单纯的相隔问题),再就是要注意整体元素的排列顺序问题.2.合理分类直接分步法例5 (2004年高考全国卷Ⅱ)在由数字1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的5位数中,大于23145且小于43521的数共有( )个. ( )A .56B .57C .58D .60解析:所有大于23145且小于43521的数由以下几类构成:由分类加法计数原理可得,一共有234322343212222158A A A A A ++++++=个,故选C .评注:合理分类与直接分步是两个基本原理———分类加法计数原理和分步乘法计数原理最直接的体现,是解排列组合问题的最原始的方法.诸多排列组合问题总是从合理分类,直接分步得到解决的.3.顺序一定消序法(用除法)例6 (2003年北京市春招卷)某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目,如果将这两个节目插入原节目中,那么不同插法的种数为( ).A .42B .30C .20D .12解析:新插入两个节目,而原来的5个节目顺序不变,从结果考虑,7个节目的全排列是77A ,而顺序不变的5个节目的全排列是55A ,不变的顺序是总体的551A ,则一共有775542A A =种不同的插入种数,故选A . 评注:某些元素顺序不变的排列用除法解决,即若共有n 个元素,其中m 个元素顺序不变,则其不同的排列数为.当然本题可以这样考虑:最终有7个节目位置,从7个位置中任选2个位置安排新增节目有27A 种方法,其他5个位置按原5个节目的固定顺序排列,因此共有2742A =种不同的插入方法.4.对象相同隔板法例7 (1)(2004年湖北省四校联考卷)高二年级要从3个班级抽取10人参加数学竞赛,每班至少1人,一共有______种不同的安排方法.(2)(2003年荆州市质检卷Ⅱ)10个相同的小球放到3个不同的盒中,每个盒不空,一共有______种不同的放法.解析:两例的实质一样,属于同一模型———对象相同,这类问题处理方式较多,但隔板法简单易操作:10个相同的小球有9个空档(确保盒子不空).从9个空档中选2个空档放入两块隔板,将小球分成三部分(每一种放档板的放法对应着10个小球分成3部分的分法),每部分一一对应着一个不同的小盒.因此一共有29C 种不同的放法,即2936C =种.而把10个竞赛名额分配给3个班,每班至少1个名额的方法与此一模一样.评注:研究的对象是不加区别的元素时,一般考虑隔板法.这是一个基本的数学模型,由此变形的问题是:10++=有多少组正整数解?而解法不变.x y z。

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解 ∵p真,q真,∴“p或q”为真,“p且q”为真.
(3)p:函数y=x2+3x+4的图像与x轴有公共点,q:方程x2+3x-4=0没 有实数根. 解 ∵p假,q假,∴“p或q”为假,“p且q”为假.
解答
类型三
已知复合命题的真假求参数范围
例4
已知 p :方程 x2 + mx + 1 = 0 有两个不相等的负根, q :方程 4x2 +

假 假

真 假

真 假
命题“p或q”的真值表可简单归纳为“假假才假”.
[思考辨析 判断正误] 1.逻辑联结词“且”“或”只能出现在命题的结论中.( × ) 2.“p且q为假命题”是“p为假命题”的充分条件.( × ) 3.当p,q都为假命题时,p且q才为假命题.( × ) 4.若p:sin x≥2,q:任意x∈R,x2-x+1>0,则p或q为假命题.( × )
解答
反思与感悟 应用逻辑联结词求参数范围的四个步骤 (1)分别求出命题p,q为真时对应的参数集合A,B; (2)讨论p,q的真假; (3)由p,q的真假转化为相应的集合的运算; (4)求解不等式或不等式组得到参数的取值范围.
跟踪训练4
已知p:(x+2)(x-3)≤0,q:|x+1|≥2,若“p且q”为真,
题型探究
类型一 含有“且”“或”命题的构成
命题角度1 简单命题与复合命题的区分 例1 指出下列命题的形式及构成它的命题. (1)向量既有大小又有方向; 解 是p且q形式命题. 其中p:向量有大小,q:向量有方向. (2)矩形有外接圆或有内切圆; 解 是p或q形式命题.
其中p:矩形有外接圆,q:矩形有内切圆.

∵p真,q真,∴“p或q”为真,“p且q”为真.
解答
反思与感悟 形如p或q,p且q命题的真假根据真值表判定.
跟踪训练3 命题的真假.
分别指出由下列各组命题构成的 “p或q”“p且q”形式的
(1)p: 3是无理数,q:π 不是无理数;
解 ∵p真,q假,∴“p或q”为真,“p且q”为假. (2)p:集合A=A,q:A∪A=A;
第一章 §4
逻辑联结词“且”“或”“非”
4.1
逻辑联结词“且”
4.2
逻辑联结词“或”
学习目标
1.了解联结词“且”“或”的含义.
2.会用联结词“且”“或”联结或改写某些数学命题,并判断其
命题的真假.
内容索引
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一
“且”
思考
观察三个命题:①5是10的约数;②5是15的约数;③5是10的
设g(x)=x2+(2m-1)x+4-2m,其图像开口向上,
若命题q为真,则g(2)<0,即22+(2m-1)×2+4-2m<0,解得m<-3.
由p且q为假,p或q为真,得p假q真或p真q假.
若p假q真,则m<-3且m≠-4;
若p真q假,则m无解.
所以实数m的取值范围为(-∞,-4)∪(-4,-3).
p且q 形式复合命题. 跟踪训练1 命题“菱形对角线垂直且平分”为________
答案
命题角度2 用逻辑联结词构造新命题
例2 分别写出下列命题的“p且q”“p或q”形式的命题.
(1)p:梯形有一组对边平行,q:梯形有一组对边相等;
解 p或q:梯形有一组对边平行或有一组对边相等.
p且q:梯形有一组对边平行且有一组对边相等.
A.p为假命题
C.p或q为真命题 √
B.q为真命题
D.p且q为真命题
解析 由题意,知p为真命题,q为假命题.
1
2
3
4
5
解析
答案
2.由下列各组命题构成的新命题“p或q”“p且q”都为真命题的是 A.p:4+4=9,q:7>4 B.p:a∈{a,b,c},q:{a}⊆{a,b,c} √ C.p:15是质数,q:8是12的约数 D.p:2是偶数,q:2不是质数
[1,3] 则实数x的取值范围是________. 解析 由(x+2)(x-3)≤0,解得-2≤x≤3. 由|x+1|≥2,解得x≥1或x≤-3.
-2≤x≤3, ∵“p 且 q”为真,∴ x≥1或x≤-3,
解得1≤x≤3,则实数x的取值范围是[1,3].
解析
答案
达标检测
1.已知p:2+3=5,q:5<4,则下列判断正确的是
跟踪训练2 指出下列命题的形式及构成它的简单命题.
(1)96是48与16的倍数;
解 p且q:p:96是48的倍数;q:96是16的倍数.
(2)不等式x2-x-2>0的解集是{x|x<-1或x>2}. 解 p或q:p:不等式x2-x-2>0的解集是{x|x<-1}, q:不等式x2-x-2>0的解集是{x|x>2}.
1
2
3
4
5
答案
3.已知命题p,q,若p为真命题,则
A.p且q必为真
C.p或q必为真 √
B.p且q必为假
D.p或q必为假
解析 p或q,一真则真,故必有p或q为真.
1
2
3
4
5
解析
答案
π 4.已知p:函数y=sin x的最小正周期为 2 ,q:函数y=sin 2x的图像关于 假 命题.(填“真”或“假”) 直线x=π对称,则p且q是____
1 2 3 4 5
解答
规律与方法
1.判断不含有逻辑联结词的命题构成形式关键是:弄清构成它的命题条
件、结论.
2.对用逻辑联结词联结的复合命题的真假进行判断时,首先找出构成复
合命题的简单命题,判断简单命题的真假,然后分析构成形式,根据构
成形式判断复合命题的真假.
4(m-2)x+1=0无实数根,若p或q为真,p且q为假,求m的取值范围.
解答
引申探究 本例中若将“p且q为假”改为“p且q为真”,求实数m的取值范围. 解 同例得当p为真命题时,m>2,当q为真命题时,1<m<3. 因为p或q为真,p且q为真,所以p,q均为真命题,
m>2, 即 解得 2<m<3,所以 m 的取值范围为(2,3). 1<m<3,
(2)p:-1是方程x2+4x+3=0的解,q:-3是方程x2+4x+3=0的解. 解 p或q:-1或-3是方程x2+4x+3=0的解.
p且q:-1和-3是方程x2+4x+3=0的解.
解答
反思与感悟
用逻辑联结词“或”“且”联结p,q构成新命题时,在不
引起歧义的前提下,可以把p,q中的条件或结论合并.

真 假 假

假 真 假归纳为“同真则真”.
知识点二
“或”
思考
观察三个命题:①3>2;②3=2;③3≥2,它们之间有什么关系?
答案 命题③是命题①②用逻辑联结词“或”联结得到的新命题.
梳理
(1)定义:一般地,用联结词“或”把命题p和命题q联结起来,
就得到一个新命题“ p或q ”. (2)当p,q两个命题有一个命题是真命题时,p或q是 真 命题;当p,q两 个命题都是假命题时,p或q是 假 命题. 将命题p和命题q以及p或q的真假情况绘制为命题“p或q”的真值表如下: p 真 q 真 p 或q 真
解答
类型二
“p且q”和“p或q”形式命题的真假判断
例3 分别指出“p或q”“p且q”的真假. (1)p:函数y=sin x是奇函数;q:函数y=sin x在R上单调递增; 解 ∵p真,q假,∴“p或q”为真,“p且q”为假.
2 2
1 (2)p:直线 x=1 与圆 x +y =1 相切;q:直线 x=2与圆 x2+y2=1 相交.
解答
(3)2≥2.
解 是p或q形式命题. 其中p:2>2,q:2=2.
解答
反思与感悟
不含有逻辑联结词的命题是简单命题;由简单命题与逻辑
联结词“或”“且”构成的命题是复合命题. 判断一个命题是简单命题还是复合命题,不能仅从字面上看它是否含有 “或”“且”等逻辑联结词,而应从命题的结构来看是否用逻辑联结词 联结两个命题.如“四边相等且四角相等的四边形是正方形”不是“且” 联结的复合命题,它是真命题,而用“且”联结的命题“四边相等的四 边形是正方形且四角相等的四边形是正方形”是假命题.
解析
由题意,知命题p为假命题,命题q也是假命题,故p且q是假命题.
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解析
答案
5.已知命题p:函数f(x)=(x+m)(x+4)为偶函数;命题q:方程x2+(2m- 1)x+4-2m=0的一个根大于2,一个根小于2,若p且q为假,p或q为真, 求实数m的取值范围. 解 若命题p为真,则由f(x)=x2+(m+4)x+4m,得m+4=0,解得m=-4.
约数且是15的约数,它们之间有什么关系? 答案 命题③是将命题①②用“且”联结得到的新命题.
梳理
(1)定义:一般地,用联结词“且”把命题p和命题q联结起来, 就得到一个新命题“ p且q ”. (2)当p,q都是真命题时,p且q是 真 命题;当p,q两个命题中有一个命 题是假命题时,p且q是 假 命题. 将命题p和命题q以及p且q的真假情况绘制为命题“p且q”的真值表如下: p q p且q
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